К геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве
В контексте качественной теории реализации бесконечномерных динамических систем приведены результаты исследований геометрических свойств семейств непрерывных управляемых динамических процессов (отображений «вход-выход») в задаче разрешимости дифференциальной реализации этого семейства в классе линей...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144774 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве / В.А. Русанов, А.В. Данеев, Ю.Э. Линке // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 71–83. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144774 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Русанов, В.А. Данеев, А.В. Линке, Ю.Э. 2019-01-03T19:01:24Z 2019-01-03T19:01:24Z 2017 К геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве / В.А. Русанов, А.В. Данеев, Ю.Э. Линке // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 71–83. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144774 517.937 В контексте качественной теории реализации бесконечномерных динамических систем приведены результаты исследований геометрических свойств семейств непрерывных управляемых динамических процессов (отображений «вход-выход») в задаче разрешимости дифференциальной реализации этого семейства в классе линейных обыкновенных нестационарных дифференциальных уравнений в сепарабельном гильбертовом пространстве. У контексті якісної теорії реалізації нескінченновимірних динамічних систем наведено результати досліджень геометричних якостей сім’ї неперервних керованих динамічних процесів (відображень «вхід-вихід») у задачі розв’язності диференціальної реалізації цієї сім’ї у класі лінійних звичайних нестаціонарних диференціальних рівнянь у сепарабельному гільбертовому просторі. In the context of the qualitative theory of implementation of infinite-dimensional dynamic systems, the authors demonstrate some results related to investigation of the geometrical properties of families of continuous control dynamic processes ( “input–output” mappings) in the problem of solvability of this differential realization in a class of linear ordinary nonstationary differential equations in a separable Hilbert space. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз К геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве Щодо геометричних основ диференціальної реалізації динамічних процесів у гільбертовому просторі To the geometrical theory of differential implementation of dynamic processes in a Hilbert space Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
К геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве |
| spellingShingle |
К геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве Русанов, В.А. Данеев, А.В. Линке, Ю.Э. Системний аналіз |
| title_short |
К геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве |
| title_full |
К геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве |
| title_fullStr |
К геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве |
| title_full_unstemmed |
К геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве |
| title_sort |
к геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве |
| author |
Русанов, В.А. Данеев, А.В. Линке, Ю.Э. |
| author_facet |
Русанов, В.А. Данеев, А.В. Линке, Ю.Э. |
| topic |
Системний аналіз |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Щодо геометричних основ диференціальної реалізації динамічних процесів у гільбертовому просторі To the geometrical theory of differential implementation of dynamic processes in a Hilbert space |
| description |
В контексте качественной теории реализации бесконечномерных динамических систем приведены результаты исследований геометрических свойств семейств непрерывных управляемых динамических процессов (отображений «вход-выход») в задаче разрешимости дифференциальной реализации этого семейства в классе линейных обыкновенных нестационарных дифференциальных уравнений в сепарабельном гильбертовом пространстве.
У контексті якісної теорії реалізації нескінченновимірних динамічних систем наведено результати досліджень геометричних якостей сім’ї неперервних керованих динамічних процесів (відображень «вхід-вихід») у задачі розв’язності диференціальної реалізації цієї сім’ї у класі лінійних звичайних нестаціонарних диференціальних рівнянь у сепарабельному гільбертовому просторі.
In the context of the qualitative theory of implementation of infinite-dimensional dynamic systems, the authors demonstrate some results related to investigation of the geometrical properties of families of continuous control dynamic processes ( “input–output” mappings) in the problem of solvability of this differential realization in a class of linear ordinary nonstationary differential equations in a separable Hilbert space.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144774 |
| citation_txt |
К геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве / В.А. Русанов, А.В. Данеев, Ю.Э. Линке // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 71–83. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT rusanovva kgeometričeskimosnovamdifferencialʹnoirealizaciidinamičeskihprocessovvgilʹbertovomprostranstve AT daneevav kgeometričeskimosnovamdifferencialʹnoirealizaciidinamičeskihprocessovvgilʹbertovomprostranstve AT linkeûé kgeometričeskimosnovamdifferencialʹnoirealizaciidinamičeskihprocessovvgilʹbertovomprostranstve AT rusanovva ŝodogeometričnihosnovdiferencíalʹnoírealízacíídinamíčnihprocesívugílʹbertovomuprostorí AT daneevav ŝodogeometričnihosnovdiferencíalʹnoírealízacíídinamíčnihprocesívugílʹbertovomuprostorí AT linkeûé ŝodogeometričnihosnovdiferencíalʹnoírealízacíídinamíčnihprocesívugílʹbertovomuprostorí AT rusanovva tothegeometricaltheoryofdifferentialimplementationofdynamicprocessesinahilbertspace AT daneevav tothegeometricaltheoryofdifferentialimplementationofdynamicprocessesinahilbertspace AT linkeûé tothegeometricaltheoryofdifferentialimplementationofdynamicprocessesinahilbertspace |
| first_indexed |
2025-11-24T02:38:21Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:38:21Z |
| _version_ |
1850840143409184768 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.937
Â.À. ÐÓÑÀÍÎÂ, À.Â. ÄÀÍÅÅÂ, Þ.Ý. ËÈÍÊÅ
Ê ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÌ ÎÑÍÎÂÀÌ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ
ÐÅÀËÈÇÀÖÈÈ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ
 ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎÌ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ1
Àííîòàöèÿ.  êîíòåêñòå êà÷åñòâåííîé òåîðèè ðåàëèçàöèè áåñêîíå÷íîìåð-
íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ãåîìåòðè-
÷åñêèõ ñâîéñòâ ñåìåéñòâ íåïðåðûâíûõ óïðàâëÿåìûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåñ-
ñîâ (îòîáðàæåíèé «âõîä-âûõîä») â çàäà÷å ðàçðåøèìîñòè äèôôåðåíöèàëüíîé
ðåàëèçàöèè ýòîãî ñåìåéñòâà â êëàññå ëèíåéíûõ îáûêíîâåííûõ íåñòàöèî-
íàðíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ñåïàðàáåëüíîì ãèëüáåðòîâîì
ïðîñòðàíñòâå.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèôôåðåíöèàëüíàÿ ðåàëèçàöèÿ, íåñòàöèîíàðíàÿ
( , , )#A B B 2-ìîäåëü, ÎËÄ/ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòü.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà èíòåðâàëå âðåìåíè T çàäàíû ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà
L T( ), D T( ) è � — íåêîòîðûé êëàññ îïåðàòîðîâ F L T D T: ( ) ( )� , à òàêæå ôèêñè-
ðîâàíî íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî Q èç L T( ) (îãðàíè÷åíèé íà Card Q íå íàêëàäûâà-
åì). Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü, ñóùåñòâóåò ëè îïåðàòîð F �� , äëÿ êîòîðîãî ôóíêöèî-
íàëüíîå ïîäìíîæåñòâî Q ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ F q( ) � 0 � � �q Q L T( ).
Èìåÿ â âèäó ïðàêòè÷åñêèå ïðèìåíåíèÿ äàííîé ïîñòàíîâêè â àïîñòåðèîðíîì
ìîäåëèðîâàíèè óðàâíåíèé äèíàìèêè ñèñòåì, â êà÷åñòâå êëàññà îïåðàòîðîâ �
äàëåå ðàññìàòðèâàåì ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà
â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå è ïó÷îê Q ïàð «òðàåêòîðèÿ, óïðàâëåíèå». Òàêèì îáðà-
çîì, ïðèâåäåííàÿ çàäà÷à îòíîñèòñÿ ê êà÷åñòâåííîé òåîðèè îáðàòíûõ çàäà÷ ñèñòåì-
íîãî àíàëèçà [1–4] áåñêîíå÷íîìåðíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì [5–8]. Îäèí èç ìåòîäîâ
ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñòðîåíèè îïåðàòîðà Ðåëåÿ–Ðèòöà [3, 8], ïîâå-
äåíèå êîòîðîãî íà ïó÷êå Q îáóñëîâëèâàåò íàëè÷èå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ F .
 íàñòîÿùåé ðàáîòå äëÿ ðåøåíèÿ óêàçàííîé ïðîáëåìû èñïîëüçóåòñÿ ãåîìåò-
ðè÷åñêèé àïïàðàò àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè. Ââîäèòñÿ è èññëåäóåòñÿ ãåîìåòðè-
÷åñêîå ñâîéñòâî êîíå÷íîãî õàðàêòåðà â àíàëèçå êà÷åñòâåííîé ðàçðåøèìîñòè çà-
äà÷è äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèè íå îãðàíè÷åííîãî ïî ìîùíîñòè (êîíå÷íî-
ãî/ñ÷åòíîãî/êîíòèíóàëüíîãî) ñåìåéñòâà íåïðåðûâíûõ óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ
«âõîä-âûõîä». Ïðåäëàãàåìîå ñâîéñòâî ïîçâîëÿåò íà áàçå ëåììû Òåéõìþëëå-
ðà–Òüþêè îñëàáëÿòü óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ íåïðåðûâíîé áèõåâèîðèñòè÷åñêîé
ñèñòåìû ß. Âèëëåìñà (îïðåäåëåíèå 1 [2, c. 10]), èìåþùåé äèôôåðåíöèàëüíóþ
ðåàëèçàöèþ [8–12] â âåùåñòâåííîì ñåïàðàáåëüíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.
Ïîêàçàíî, ÷òî, ïåðåêèäûâàÿ àíàëèòè÷åñêèé ìîñò ìåæäó ïðîåêòèâíîé ãåîìåòðèåé
è äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèåé êîíå÷íûõ ïó÷êîâ ìîäåëèðóåìûõ äèíàìè-
÷åñêèõ ïðîöåññîâ, òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííóþ êîíñòðóêöèþ îïåðàòîðà Ðå-
ëåÿ–Ðèòöà è ãåîìåòðè÷åñêèé àíàëèç óñëîâèé åãî íåïðåðûâíîñòè ìåòîäîëîãè÷åñ-
êè óäîáíî ôîðìóëèðîâàòü íà ÿçûêå êîìïàêòíûõ n-ìíîãîîáðàçèé â òåðìèíàõ êî-
íå÷íûõ CW-êîìïëåêñîâ Óàéòõåäà [13].
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 71
1Èññëåäîâàíèå âûïîëíåíî ïðè ôèíàíñèðîâàíèè Ñîâåòà ïî ãðàíòàì Ïðåçèäåíòà Ðîññèéñêîé Ôåäåðà-
öèè äëÿ ãîñóäàðñòâåííîé ïîääåðæêè âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë (ÍØ-8081.2016.9), à òàêæå ãðàíòà
ÐÔÔÈ (16-07-00201).
� Â.À. Ðóñàíîâ, À.Â. Äàíååâ, Þ.Ý. Ëèíêå, 2017
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß È ÒÅÐÌÈÍÎËÎÃÈß
Âåçäå äàëåå ( , | | | | ), ( , | | | | ), ( , | | | | )X Y ZX Y Z� � � — âåùåñòâåííûå ñåïàðàáåëüíûå
ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà (ïðåäãèëüáåðòîâîñòü îïðåäåëÿþò íîðìû || | |� X ,
| | | |� Y , | | | |� Z ); L Y X( , ) — áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî (ñ îïåðàòîðíîé íîðìîé) âñåõ
ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ èç ïðîñòðàíñòâà Y â X
(àíàëîãè÷íî ââîäÿòñÿ ïðîñòðàíñòâà L X X( , ), L X Z( , ), L Z X( , )); T — îòðåçîê
÷èñëîâîé ïðÿìîé R ñ ìåðîé Ëåáåãà �; AC T X( , ) — ëèíåéíîå ìíîæåñòâî âñåõ
àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ íà T (îòíîñèòåëüíî ìåðû �) ôóíêöèé ñî çíà÷åíèÿìè
â ïðîñòðàíñòâå X . Êàê îáû÷íî, äëÿ íåêîòîðîãî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà ( , | | | | )� �
îáîçíà÷èì L 2 ( , , )T � � ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâî âñåõ èíòåãðèðóåìûõ ïî Áîõíåðó
[14, ñ. 137] îòîáðàæåíèé f T: � � ñ íîðìîé | | ( )| | ( )
/
f d
T
� � �2
1 2
�
�
�
�
�
�
. Êðîìå òîãî,
äëÿ óäîáñòâà óñëîâèìñÿ, ÷òî �: ( , ) ( , , )� � �AC T X T YL 2 � L 2 ( , , )T Z� .
Äàëåå, ïóñòü L( , , )T R� — ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâî êëàññîâ �-ýêâèâàëåíòíîñòè
âñåõ âåùåñòâåííûõ �-èçìåðèìûõ íà èíòåðâàëå T ôóíêöèé è � L — òàêîå êâà-
çèóïîðÿäî÷åíèå â L( , , )T R� , ÷òî � �1 2� L (äëÿ � � �1 2, ( , , )�L T R ) èìååò ìåñòî
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà � �1 2( ) ( )t t� �-ïî÷òè âñþäó â T ; äëÿ W T R� L( , , )�
îáîçíà÷èì supL W íàèìåíüøóþ âåðõíþþ ãðàíü (åñëè îíà ñóùåñòâóåò) ïîäìíîæåñ-
òâà W â ñòðóêòóðå êâàçèóïîðÿäî÷åíèÿ � L. Âíå çàâèñèìîñòè îò Card W ñâÿçü ìåæäó
êîíñòðóêöèåé supL è îáû÷íîé êîíñòðóêöèåé sup íà ïðÿìîé R òàêîâà: åñëè â ïðî-
ñòðàíñòâå (L L( , , ), )T R� � ëåæèò ãðàíü supL W, òî èìååòñÿ (òåîðåìà 17 [16, c. 68])
ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî W W� � òàêîå, ÷òî �-èçìåðèìóþ ôóíêöèþ �:� supLW îñó-
ùåñòâëÿåò sup-êîíñòðóêöèÿ ñëåäóþùåãî âèäà: t t� �( ) � sup{ }v t R v W( ) :� � � .
Ïðèìåì, ÷òî � �: ( , , )� L T R� — ôóíêöèîíàëüíûé îïåðàòîð Ðåëåÿ–Ðèòöà
[3, 8, 10]:
�( ( ), ( ), ( )):
| | ( ) / | | /| | ( ( ), ( ), ( )
g t w t q t
dg t dt g t w t q tX
�
)| | ,
( ( ), ( ), ( )) ;
, ( ( ), ( ),
U
g t w t q t U
R g t w t q
åñëè
åñëè
� �
�
0
0 ( )) ,t U� �
�
�
�
�
� 0
(1)
ãäå | | ( , , )| | : (| | | | | | | | | | | | ) /x y z x y zU X Y Z
� � �2 2 2 1 2 — íîðìà â äåêàðòîâîì ïðîèç-
âåäåíèè U X Y Z:� � � (ñîãëàñíî (1) â [15, ñ. 47] (U U, | | | |� ) — ãèëüáåðòîâî ïðî-
ñòðàíñòâî); ïðè ïîñòðîåíèè � ó÷òåíû ëåììû 1 è 3 èç [7], ïîçâîëÿþùèå óòâåð-
æäàòü, ÷òî äëÿ âñåõ âåêòîð-ôóíêöèé ( , , )g w q �� áóäåò ñïðàâåäëèâî
{ } {t T g t w t q t t T dg t dtU X� � � � �:| | ( ( ), ( ), ( ))| | :| | ( ) / | |0 0} (mod )� ;
äàííîå âëîæåíèå êîíñòàòèðóåò ôóíêöèîíàëüíóþ êîððåêòíîñòü êîíñòðóêöèè (1).
Îòìåòèì, ÷òî ýòèìîëîãèÿ íàçâàíèÿ îïåðàòîðà (1) ïðèâåäåíà â [3].
Îïåðàòîð (1) óäîâëåòâîðÿåò ïðîñòûì (íî âàæíûì) îòíîøåíèÿì:
0 � L �( )� , 0�L( , , )T R� , ���, � �( ) ( )r� �� , 0 � �r R. (1')
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ñîîòíîøåíèÿ ðàâåíñòâà èç (1') ðàñêðûâàåò êîììåíòàðèé
â ñíîñêå 2, ñîïîñòàâëÿþùèé îïåðàòîð (1) ñ ìåòîäàìè ïðîåêòèâíûõ ïðåäñòàâ-
ëåíèé [15, ñ. 238] íà CW-êîìïëåêñàõ [13, ñ. 232].
Èñïîëüçîâàâ áàçîâóþ òåðìèíîëîãèþ, âûäåëèì åùå îäíî (ýêñêëþçèâíîå)
ñâîéñòâî îïåðàòîðà Ðåëåÿ–Ðèòöà.
Îïðåäåëåíèå 1 [3]. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îïåðàòîð (1) ïîëóàääèòèâåí ñ âåñîì
p R� íà ñåìåéñòâå äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ E � �, åñëè äëÿ ëþáîé ïàðû
( , )� �1 2 � �E E âûïîëíèìî óñëîâèå � � �( ) ( ) ( )� � � �1 2 1 2� � �L p p .
72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4
Ðàññìîòðèì (íà âðåìåííîì èíòåðâàëå T) äèôôåðåíöèàëüíûå ìîäåëè êëàññà
dx t dt A t x t B t u t B t u x t( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))# #� � � � 0, (2)
ãäå x AC T X� ( , ) — ðåøåíèå Êàðàòåîäîðè (K-ðåøåíèå), u T Y�L 2 ( , , )� — ïðîãðàì-
ìíîå óïðàâëåíèå, u L X Z# ( , )� — îïåðàòîð ïîçèöèîííîãî óïðàâëåíèÿ, ïðè ýòîì
( , , ) ( , , ( , )) ( , , ( , )) ( , , ( ,#A B B T L X X T L Y X T L Z� � �L L L2 2 2� � � X )).
Êàê è â [7, 10], âåêòîð-ôóíêöèþ ( , , ( ))#x u u x íàçîâåì K-ðåøåíèåì, à òðîéêó
îïåðàòîð-ôóíêöèé ( , , )#A B B — íåñòàöèîíàðíîé ( , , )#A B B 2-ìîäåëüþ óðàâíå-
íèÿ (2).
Âåçäå äàëåå u L X Z# ( , )� — çàäàííûé îïåðàòîð ïîçèöèîííîãî óïðàâëåíèÿ,
N — ôèêñèðîâàííîå ñåìåéñòâî (ïó÷îê) óïðàâëÿåìûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ
âèäà
N g w u g g AC T X w T Y
u
� � � � �� �# : ( , , ( )) : ( , ), ( , , )#{ L }2 � , (3)
ïðè÷åì Card N � �, ãäå � — íåêîòîðûé (ôèêñèðîâàííûé) áåñêîíå÷íûé êàð-
äèíàë.
 êîíòåêñòå îïðåäåëåíèÿ 1 [ñì. 2, c. 10] ñåìåéñòâî äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ
(3) çàäàåò íåêîòîðóþ íåïðåðûâíóþ óïðàâëÿåìóþ áèõåâèîðèñòè÷åñêóþ äèíàìè-
÷åñêóþ ñèñòåìó N (âîçìîæíî, ñôîðìèðîâàííóþ a posteriori). Ââåäåì äëÿ ñèñòå-
ìû N äâà ïîòåíöèàëüíûõ ñòðóêòóðíûõ ñâîéñòâà.
Îïðåäåëåíèå 2 [4]. Ïó÷îê âåêòîð-ôóíêöèé P N� èìååò:
— îáûêíîâåííóþ ëèíåéíî äèôôåðåíöèàëüíóþ ñîâìåñòèìîcòü (ÎËÄ-ñî-
âìåñòèìîñòü), åñëè ëèáî P ��, ëèáî ñóùåñòâóåò òàêàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ ñèñòå-
ìà (2), ÷òî ïó÷îê P ïðèíàäëåæèò êëàññó äîïóñòèìûõ K-ðåøåíèé ýòîé ñèñòåìû;
— ðàñïðåäåëåííóþ ëèíåéíî äèôôåðåíöèàëüíóþ ñîâìåñòèìîñòü (ÐËÄ-ñî-
âìåñòèìîñòü) ñòóïåíè k (ôèêñèðîâàííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî), êîãäà ëèáî P ��,
ëèáî ëþáîå � �P Pabs co ( ), Card � �P k, îáðàçóåò ÎËÄ-ñîâìåñòèìîå ìíîæåñòâî.
Çàìå÷àíèå 1. Íå áóäåì èññëåäîâàòü ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòü â øèðîêîì ñìûñëå
ñëîâà, ò.å. êîãäà k — êàðäèíàëüíîå ÷èñëî, òàê êàê ýòî ìîæåò ïðèâåñòè ê íåæåëà-
òåëüíûì òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûì óñëîæíåíèÿì (ñì. äàëåå ñíîñêó 3). Ñëåäóåò
îáðàòèòü âíèìàíèå íà òàêèå ôàêòû:
1) òðåáîâàíèå (óñëîâèå) íàëè÷èÿ â ñòðóêòóðå ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè êîíñòðóê-
öèè àáñîëþòíîé âûïóêëîñòè ìíîæåñòâà P ñóùåñòâåííî, ïîñêîëüêó âîçìîæíî ïî-
ëîæåíèå, êîãäà ëþáîå ïîäìíîæåñòâî � �P Pco ( ), Card � �P k, îáðàçóåò ÎËÄ-ñî-
âìåñòèìîå ìíîæåñòâî, â òî âðåìÿ êàê ìíîæåñòâî P íå èìååò ñâîéñòâà ÐËÄ-ñî-
âìåñòèìîñòè ñòóïåíè k (ñì. äàëåå ïðèìåð 1);
2) ÎËÄ-ñîâìåñòèìîñòü ìíîæåñòâà P íå îáåñïå÷èâàåò åäèíñòâåííîñòè
( , , )#A B B 2-ìîäåëè, êîòîðàÿ ÷åðåç äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (2) ðåàëèçóåò
ñåìåéñòâî ïðîöåññîâ P;
3) ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòü ïðîèçâîëüíîé ñòóïåíè k (â òîì ÷èñëå ïðè
Card � ��P 0 — àëåô íóëü) íå ýêâèâàëåíòíà ÎËÄ-ñîâìåñòèìîñòè.
Èññëåäóåì ñâÿçü è ðàçëè÷èå â ñòðóêòóðàõ ÎËÄ- è ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè.
ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ ÎËÄ/ÐËÄ-ÑÎÂÌÅÑÒÈÌÎÑÒÈ
ßñíî, ÷òî ÎËÄ/ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòü èíâàðèàíòíà ïî îòíîøåíèþ ê èäåìïîòåíòíî-
ìó äåéñòâèþ îïåðàòîðà Span, ÷òî ïîçâîëÿåò ââåñòè ñëåäóþùèå êîíñòðóêöèè.
Îïðåäåëåíèå 3. Åñëè P N� � (àíàëîãè÷íî P N# � ) îáðàçóåò ìàêñèìàëüíîå
ìíîæåñòâî ñî ñâîéñòâîì ÎËÄ-ñîâìåñòèìîñòè (àíàëîãè÷íî ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè
ñòóïåíè k), òî Span P� (ñîîòâåòñòâåííî Span P # ) íàçîâåì îáûêíîâåííûì ïëàñ-
òîì íàä N (ðàñïðåäåëåííûì ïëàñòîì ñòóïåíè k íàä N ) è, åñëè N P� �Span
( )#N P� Span , òàêîé ïëàñò áóäåì íàçûâàòü îäíîðîäíûì.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 73
Çàìå÷àíèå 2. Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî íàä ñåìåéñòâîì äèíàìè÷åñêèõ ïðî÷åñîâ
N ñóùåñòâóþò îáûêíîâåííûå ïëàñòû, ðàñïðåäåëåííûé îäíîðîäíûé ïëàñò (ïðè
ýòîì îíè âñå íå ñîâïàäàþò (ñì. äàëåå ïðèìåð 1)) èëè ðàñïðåäåëåííûé îäíîðîä-
íûé ïëàñò ïðîèçâîëüíîé ñòóïåíè k, íî íå èìååòñÿ êàêîãî áû òî íè áûëî îáûêíî-
âåííîãî ïëàñòà.
Íà ïåðâûé âçãëÿä òåîðåòèêî-ñèñòåìíîå ïîíÿòèå ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè êàæåò-
ñÿ âåñüìà çàìûñëîâàòûì, îäíàêî äàëåå ïîêàçàíî, íàñêîëüêî îíî íà ñàìîì äåëå
àíàëèòè÷åñêè ïðîäóêòèâíî. Òàê, ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå êîíñòàòèðóåò: ÐËÄ-ñîâìåñ-
òèìîñòü åñòü ñâîéñòâî êîíå÷íîãî õàðàêòåðà [17, ñ. 28] è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ êàæ-
äîãî íåïóñòîãî ÐËÄ-ñîâìåñòèìîãî ïîäìíîæåñòâà ïðîöåññîâ P N� ñóùåñòâóåò
ìàêñèìàëüíîå ÐËÄ-ñîâìåñòèìîå ïîäìíîæåñòâî P # òàêîå, ÷òî P P N� �# .
Ìîæíî òîëüêî ñîæàëåòü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ýòî ñâîéñòâî äèíàìè÷åñêîé ñèñòå-
ìû N íå èìååò ìåñòà â îòíîøåíèè ïðèçíàêà ÎËÄ-ñîâìåñòèìîñòè.
Ëåììà 1. Äëÿ ïó÷êà äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ N
u
� � # ïðèçíàê ÐËÄ-ñî-
âìåñòèìîñòè ñòóïåíè k åñòü ñâîéñòâî êîíå÷íîãî õàðàêòåðà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü D N� — íåêîòîðîå íåïóñòîå ÐËÄ-ñîâìåñòèìîå
ìíîæåñòâî äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñòóïåíè k è �D — ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå
ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà D. Ïîñêîëüêó èìååì abs co abs co( ) ( )� �D D , êàæäûé
íàáîð k ýëåìåíòîâ èç absco ( )�D ïðåäñòàâëÿåò ÎËÄ-ñîâìåñòèìîå ìíîæåñòâî, ñëå-
äîâàòåëüíî, �D ÿâëÿåòñÿ ÐËÄ-ñîâìåñòèìûì ñòóïåíè k. Îáðàòíî, ïóñòü D N� è
Qk — íåêîòîðûé íàáîð k ýëåìåíòîâ èç abs co ( )D . Â D íàéäåòñÿ [16, ñ. 81] êîíå÷-
íîå ìíîæåñòâî D * òàêîå, ÷òî Q Dk � abs co ( *), è òàê êàê D * êîíå÷íî, òî îíî ÿâ-
ëÿåòñÿ ÐËÄ-ñîâìåñòèìûì ñòóïåíè k, ïîýòîìó ëþáûå k ýëåìåíòîâ èç absco ( *)D
îáðàçóþò ÎËÄ-ñîâìåñòèìîå ìíîæåñòâî, â ÷àñòíîñòè, òàêîâûì áóäåò Qk , îòêóäà
çàêëþ÷àåì, ÷òî ìíîæåñòâî D ÿâëÿåòñÿ ÐËÄ-ñîâìåñòèìûì ñòóïåíè k. �
Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ëåììà 1 óñòàíàâëèâàåò ïðèíöèïèàëüíûé ôàêò: êàæäîå
íåïóñòîå ñåìåéñòâî ïðîöåññîâ N
u
� � # â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé Òåéõìþëëåðà–
Òüþêè [17, ñ. 28] ëèáî íå ñîäåðæèò íè îäíîãî íåïóñòîãî ïîäìíîæåñòâà ñî ñâîé-
ñòâîì ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè (à çíà÷èò, è ÎËÄ-ñîâìåñòèìîñòè), ëèáî íàä äàííûì
ïó÷êîì äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ N íåïðåìåííî íàéäåòñÿ íåêîòîðûé ðàñïðåäåëåí-
íûé ïëàñò (âîçìîæíî, íååäèíñòâåííûé); ôàêòè÷åñêè ñ ýòîé öåëüþ è ââîäèëîñü
ñâîéñòâî ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè. Oòìåòèì, ÷òî ëåììà Òåéõìþëëåðà–Òüþêè ÿâëÿåòñÿ
àëüòåðíàòèâíîé ôîðìîé àêñèîìû âûáîðà è, ñëåäîâàòåëüíî, íå çàâèñèò îò êîíòèíó-
óì-ãèïîòåçû (ñì. êîììåíòàðèé ñíîñêè 3).
Íàäåëèì ïðîñòðàíñòâî H T X T Y T Z2 2 2 2: ( , , ) ( , , ) ( , , )� � �L L L� � � òîïîëî-
ãèåé ïðè íîðìå
| | ( , , )| | : (| | ( )| | | | ( )| | | | ( )| | ) (g w q g w qH X Y Z
� � �� � � �2 2 2 d
T
�)
/
�
�
�
�
�
�
1 2
, ( , , )g w q H� 2 ;
çàìåòèì, ÷òî H 2 — ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî â ñèëó êîíñòðóêöèè | | | |� H (ñì.
[15, ñ. 47]).
Ëåììà 2. Ïóñòü äèíàìè÷åñêèé ïó÷îê N
u
� � # îáðàçóåò ÎËÄ-ñîâìåñòèìîå
ìíîæåñòâî, òîãäà:
(i) ñóùåñòâóåò òàêîé îáûêíîâåííûé ïëàñò E íàä �
u# , çàìêíóòûé â ïðî-
ñòðàíñòâå H 2 , ÷òî ðåàëèçóåìî âêëþ÷åíèå N E� ;
(ii) E — ðàñïðåäåëåííûé ïëàñò ñòóïåíè k íàä ñåìåéñòâîì ïðîöåññîâ �
u#
(k — ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü E
u
� � # — ñåìåéñòâî âñåõ K-ðåøåíèé ñèñòåìû (2),
ÿâëÿþùåéñÿ ðåàëèçàöèåé N
u
� � # , òîãäà (i) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåîðåìû 31.D
â [18, ñ. 111]. Òàê êàê ÎËÄ-ñîâìåñòèìîñòü âëå÷åò ñâîéñòâî ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè
ïî âñåì ñòóïåíÿì 1� k, òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû óñòàíîâèì ñâîéñòâî (ii).
74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4
Ðàññóæäàåì îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ðàñøèðåíèå E E x u u x1: Span { }� ( ( , , ( )) )* * # *
ñîõðàíÿåò ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòü ñòóïåíè k äëÿ îäíîýëåìåíòíîãî ÎËÄ-ñîâìåñòè-
ìîãî { }( , , ( ))* * # *x u u x E! . Âûáåðåì â E òðîéêó ( , , ( ))** * # **x u u x òàêóþ, ÷òî
x t x t** *( ) ( )0 0� , t T0 � . Òîãäà â ñèëó ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè E1 òðîéêà
( , , ( ))** * # ** *x x u x x� �0 ïðåäñòàâëÿåò íåíóëåâîå ðåøåíèå íåêîòîðîé îäíîðîä-
íîé ñèñòåìû (2) ñ íóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì â ìîìåíò t0 .  ðåçóëüòàòå ïðè-
øëè ê ïðîòèâîðå÷èþ. �
Ëåììà 2 èìååò âàæíîå ñëåäñòâèå, ïî ñóùåñòâó, ïîêàçûâàþùåå, ÷òî ÎËÄ-ñîâìåñ-
òèìîñòü òîïîëîãè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ íàñòîëüêî «õîðîøåé», íàñêîëüêî ýòîãî ìîæíî æåëàòü.
Ñëåäñòâèå 1. Çàìûêàíèå ÎËÄ-ñîâìåñòèìîãî ìíîæåñòâà â òîïîëîãèè ïðî-
ñòðàíñòâà H 2 òàêæå ÿâëÿåòñÿ ÎËÄ-ñîâìåñòèìûì ìíîæåñòâîì.
Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 1 ëåììû 2 ëþáîé îáûêíîâåííûé ïëàñò, íå çàìêíóòûé
â ïðîñòðàíñòâå H 2 , âñåãäà ìîæíî òîïîëîãè÷åñêè ðàñøèðèòü äåéñòâèåì îïåðàòîðà
çàìûêàíèÿ Êóðàòîâñêîãî [17, ñ. 36] äî åãî çàìûêàíèÿ ñ ñîõðàíåíèåì ñâîéñòâà
ÎËÄ-ñîâìåñòèìîñòè. Â äàííîì êîíòåêñòå, ñèñòåìàòèçèðîâàâ òåðìèíîëîãèþ, òàêîå
ðàñøèðåíèå íàçîâåì òîïîëîãè÷åñêèì ÎËÄ-ðàñøèðåíèåì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå
íåñïðàâåäëèâî â îòíîøåíèè ðàñïðåäåëåííîãî ïëàñòà, ïîñêîëüêó íå âñåãäà âûïîë-
íèìî òîïîëîãè÷åñêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè.  ñâÿçè ñ ââåäåííîé
òîïîëîãè÷åñêîé êîíñòðóêöèåé âîçíèêàåò ïðîñòîé âîïðîñ, ñóùåñòâóþò ëè â ïðî-
ñòðàíñòâå H 2 íåçàìêíóòûå îáûêíîâåííûå ïëàñòû, äîïóñêàþùèå òîïîëîãè÷åñêîå
ÎËÄ-ðàñøèðåíèå. Îòâåò, î÷åâèäíî, ïîëîæèòåëåí: òàêîâûìè (â ñèëó òåîðåìû Áýðà
î êàòåãîðèè [14, ñ. 96]) ÿâëÿþòñÿ ïëàñòû ñî ñ÷åòíûì áàçèñîì Ãàìåëÿ (àëãåáðàè÷åñ-
êèì áàçèñîì [14, ñ. 141]), ÷òî ïîäòâåðæäàåò ñëåäóþùèé âûâîä.
Ñëåäñòâèå 2. Åñëè îáûêíîâåííûé èëè ðàñïðåäåëåííûé ïëàñò íàä N
u
� � #
çàìêíóò â ïðîñòðàíñòâå H 2 , òî åãî áàçèñ Ãàìåëÿ ëèáî êîíå÷íûé, ëèáî íåñ÷åòíûé.
Ñîãëàñíî îáû÷íîé òåðìèíîëîãèè áàøåí ìíîæåñòâ [15] íàä ñåìåéñòâîì
óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ �
u# ñòðóêòóðà ÎËÄ-ñîâìåñòèìîñòè ñèëüíåå (èíûìè
ñëîâàìè, òîíüøå) ñòðóêòóðû ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè (ðàâíîñèëüíî ÐËÄ-ñîâìåñòè-
ìîñòü ñëàáåå (ãðóáåå) ÎËÄ-ñîâìåñòèìîñòè), ïîñêîëüêó (ëåììà 2, ï. ii) êàæäîå
ÎËÄ-ñîâìåñòèìîå ìíîæåñòâî äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ èç �
u# ÿâëÿåòñÿ ÐËÄ-ñî-
âìåñòèìûì äëÿ ëþáîé ñòóïåíè k (îáðàòíîå ïðåäïîëîæåíèå â îáùåì ñëó÷àå íå-
ñïðàâåäëèâî (ñì. ï. 3 çàìå÷àíèÿ 1, à òàêæå ïðèìåð 1)).
Äàëåå G N — ãðàíèöà [17, ñ. 51] ìíîæåñòâà abs co ( )N â ëèíåéíîì òîïîëîãè-
÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå Span N ñ òîïîëîãèåé, èíäóöèðîâàííîé èç îáúåìëþùåãî
(ãèëüáåðòîâà) ïðîñòðàíñòâà H 2 ; â ñèëó ñëåäñòâèÿ 2 ïðè Card dim Span N ��0
ïðîñòðàíñòâî Span N íåïîëíî.
Î÷åâèäíî, ÷òî êàæäîå òåîðåòèêî-ñèñòåìíîå èññëåäîâàíèå ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè
ôèêñèðîâàííîãî ñåìåéñòâà óïðàâëÿåìûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ (3) äîëæíî íà÷è-
íàòüñÿ ñî ñòóïåíè k �1, ïîýòîìó â àðñåíàëå òåîðåòè÷åñêèõ ñðåäñòâ ïîäîáíûõ êà÷åñ-
òâåííûõ èññëåäîâàíèé íå ïîñëåäíåå ìåñòî ìîæåò çàíÿòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 1. Íàä ñåìåéñòâîì ïðîöåññîâ (3) ñóùåñòâóåò ðàñïðåäåëåííûé îä-
íîðîäíûé ïëàñò ñòóïåíè k �1 â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè
�[ ] ( , , )G T RN � L 2 � , ïðè ýòîì Span N îáðàçóåò îáûêíîâåííûé îäíîðîäíûé
ïëàñò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìíîæåñòâî �[ ]G N îãðàíè÷åíî ñâåðõó â ïðî-
ñòðàíñòâå ( ( , , ), )L L2 T R� � , ÷òî ýêâèâàëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþ supL�[ ]G N �
�L 2 ( , , )T R� â ñòðóêòóðå êâàçèóïîðÿäî÷åíèÿ � L.
Åñëè êàæäûé ïó÷îê óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ N i u
� � # , Card N i " �0 ,
i n�1, ,� , èìååò ñâîéñòâî ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòèè ñòóïåíè k �1, òî ñåìåéñòâî ïðî-
öåññîâ
�i n
iN
1, ,�
èìååò íåêîòîðóþ äèôôåðåíöèàëüíóþ ðåàëèçàöèþ (2), êîëü
ñêîðî îïåðàòîð Ðåëåÿ–Ðèòöà ïîëóàääèòèâåí ñ íåêîòîðûì âåñîì p # 1 íà çàìêíó-
òîì ëèíåéíîì ìíîãîîáðàçèè Span Span SpanN N N n1 2� � ��� � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 75
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâàÿ ÷àñòü òåîðåìû 1 î÷åâèäíà â ñèëó òåîðåìû 3 â [8], ïî-
ýòîìó îáîñíóåì âòîðóþ ÷àñòü. Ïóñòü { }( , , ( )) : , ,#x u u x j kij ij ij i�1 � — àëãåáðàè-
÷åñêèé áàçèñ â Span N i è ïóñòü �( , , ( )#x u u xij ij ij ij� � , ãäå � �ij T R�L 2 ( , , ).
Åñëè ( ) Span Spanx u v N N n, , � � �1 � , òî ( , , ) ( , , ( ))#x u v x u u xij ij ij ij�$� , i n�1, ,� ,
j k i�1, ,� , è çíà÷èò, íà îñíîâàíèè (1') èìååò ìåñòî öåïî÷êà îòíîøåíèé (äàëåå
l k kn� � �1 � ):
� � $ $ �( , , ) ( ( , , ( ))) ( ( ,#x u v x u u x p xij ij ij ij
l
ij ij� � �� �L
1 u u xij ij, ( )))# �
� �� �$ � $p x u u x pl
ij ij ij
l
ij
1 1( , , ( ))# � ,
è òàê êàê âûáîð ( )x u v, , ïðåäïîëàãàëñÿ ïðîèçâîëüíûì, òî äàííîå óòâåðæäåíèå
ñëåäóåò èç òåîðåìû 3 â [8]. �
Ïðîäîëæèâ àíàëèç ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè ñòóïåíè k �1, îòìåòèì, ÷òî â ìîäå-
ëèðîâàíèè ðåàëèçàöèè ñåìåéñòâ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñ «íóëåâûìè» ïðî-
ãðàììíûì è ïîçèöèîííûì óïðàâëåíèÿìè, ïî ñóùåñòâó, ýòèì ñòðóêòóðíûì êëàñ-
ñîì ìîæíî è îãðàíè÷èòüñÿ; äëÿ óäîáñòâà ïðèìåì
� �0 0 0: ( , )� � � �AC T X { } { } .
Òåîðåìà 2. Ñòðóêòóðû ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè ñòóïåíåé k �1 2, ,� íà ïîäìíî-
æåñòâàõ èç �0 ýêâèâàëåíòíû (ñîâïàäàþò).
(Äîêàçàòåëüñòâî — ìîäèôèêàöèÿ óòâåðæäåíèÿ 3 â [19].)
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñóùåñòâîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèè â êëàññå
îäíîðîäíûõ ñèñòåì (2) ïîëó÷àåì (ñîãëàñíî ïåðâîé ÷àñòè òåîðåìû 1) âàæíîå ñëå-
äñòâèå, óñòàíàâëèâàþùåå ñòðóêòóðíîå ïîëîæåíèå, êîãäà â ñåìåéñòâå äèíàìè÷åñ-
êèõ ïðîöåññîâ N ñîâïàäàþò îáå ñòðóêòóðû: ñëàáàÿ — ÐËÄ è ñèëüíàÿ — ÎËÄ.
Ñëåäñòâèå 1. Íà êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâàõ èç �0 ñòðóêòóðû ÐËÄ-ñîâìåñòè-
ìîñòè ñòóïåíè k �1 è ÎËÄ-ñîâìåñòèìîñòè ýêâèâàëåíòíû.
Èñïîëüçóÿ òåîðåìó 1, äàííûé ðåçóëüòàò ìîæíî êîìïàêòíî èíòåðïðåòèðîâàòü
ãåîìåòðè÷åñêè, ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿ íîâàÿ ôîðìà ñëåäñòâèÿ 1 òåî-
ðåìû 2, êîòîðàÿ èíîãäà ìîæåò îêàçàòüñÿ àíàëèòè÷åñêè ïðåäïî÷òèòåëüíåé.
Ñëåäñòâèå 2. Ïó÷îê òðàåêòîðèé N N� " ��0 0, Card , ïðåäñòàâëÿåò K-ðå-
øåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû (2) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà �[ ] ( , , )G T RN � L 2 � .
Çàìå÷àíèå 3. ×òîáû îöåíèòü êà÷åñòâåííûé âêëàä ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè â ðå-
çóëüòàò òåîðåìû 2 è åå ñëåäñòâèé 1 è 2, îòìåòèì, ÷òî àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä, îáû÷-
íî äîêàçûâàþùèé [8, 10] ñóùåñòâîâàíèå äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèè ñåìåéñòâà
ïðîöåññîâ (3), îñíîâàí íà îòûñêàíèè ôóíêöèè � ��L 2 ( , , )T R , äëÿ êîòîðîé âûïîë-
íèìî � �� L ïðè ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ���[ ]G N (ñì. òåîðåìó 1). ßñíî, ÷òî õà-
ðàêòåðèñòè÷åñêèé ïðèçíàê �[ ] ( , , )G T RN � L 2 � — áîëåå ñëàáîå óñëîâèå.
ÏÐÎÅÊÒÈÂÍÎÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ ÐÅËÅß–ÐÈÒÖÀ
 ñèëó ôîðìóëû (1') ôîðìàëüíî ìîæíî ñ÷èòàòü � �| \ |Span { }N PN0 � , ãäå
PN — âåùåñòâåííîå ïðîåêòèâíîå ïðîñòðàíñòâî (ñîâîêóïíîñòü âñåõ îäíîìåð-
íûõ ïîäïðîñòðàíñòâ â Span N [15, c. 239])2, àññîöèèðîâàííîå ñ ëèíåéíûì
ìíîãîîáðàçèåì Span N ; äàëåå â îòíîøåíèè ìåòðè÷åñêîé ñòðóêòóðû ïðîñòðàí-
ñòâà L( , , )T R� èñïîëüçîâàíû òåîðåìû 15 è 16 èç [16, ñ. 65, 67].
76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4
2Àáñòðàãèðóÿñü, â êîíñòðóêöèè îïåðàòîðà Ðåëåÿ–Ðèòöà ìîæíî ïðèíÿòü, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
PN — ýòî ìíîæåñòâî îðáèò ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïû R R� � \ { }0 , äåéñòâóþùåé íà Span N \ { }0 ïî
ïðàâèëó � � � �( ) ( )g,w,q g, w, q� , �� �R .  äàííîé òðàêòîâêå î÷åâèäíû (è ñóùåñòâåííî àêòóàëüíû â êîí-
òåêñòå òåîðåìû 3 è åå ñëåäñòâèÿ 1) òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà [15, c. 77] ïðîñòðàíñòâà PN , Card N " �0,
ïðåæäå âñåãî åãî êîìïàêòíîñòü, â ÷àñòíîñòè, åñëè dim Span N � 3, òî PN óñòðîåíî (ãîìåîìîðôíî) êàê
ëèñò Ìåáèóñà, ê êîòîðîìó ïî åãî ãðàíèöå ïðèêëååí êðóã [20, ñ. 162]. Îòìåòèì, ÷òî íà ïðîñòðàíñòâå
PN , Card N "�0, ìîæíî ââåñòè ñòðóêòóðó êîíå÷íîãî CW-êîìïëåêñà [20, c. 140], ÷òî âàæíî ïðè ðåøå-
íèè âîïðîñà î ãåîìåòðè÷åñêîé ðåàëèçàöèè (òåîðåìà 9.7 [20, c. 149]) ìíîãîîáðàçèÿ PN ïðè íàõîæäåíèè
(âû÷èñëåíèè) sup [ ]L NP� .  äàííîì êîíòåêñòå ñâîéñòâî ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè ëåãêî ïåðåôîðìóëèðóåò-
ñÿ íà ÿçûêå ïðîåêòèâíîé ãåîìåòðèè â òåðìèíàõ âåùåñòâåííûõ ãðàññìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèé [15, c. 78].
Òåîðåìà 3. Ðàññìîòðèì L( , , )T R� êàê ïîëíîå ñåïàðàáåëüíîå ìåòðè÷åñêîå
ïðîñòðàíñòâî ñ èíâàðèàíòíîé ìåòðèêîé
�
� � �
� � � � �
�T
T
d( , ): | ( ) ( )| ( | ( ) ( )| ) ( ), ,� � � � ��
1 1 L( , , )T R� ,
è ïóñòü N N� " ��0 0,Card . Òîãäà îïåðàòîð �: ( , , )P T RN � L � áóäåò íåïðå-
ðûâíûì, åñëè ïó÷îê äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ N ïðåäñòàâëÿåò ÐËÄ-ñîâìåñòè-
ìîå ìíîæåñòâî ñòóïåíè 1.
Òåîðåìó 3 åùå ïðåäñòîèò îáîáùèòü (íà óïðàâëÿåìûå N -ïó÷êè ñîãëàñíî
ñëåäñòâèþ 1 ýòîé òåîðåìû).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó âñå õàóñäîðôîâû êîíå÷íîìåðíûå ëîêàëüíî âû-
ïóêëûå âåêòîðíûå òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà îäíîé è òîé æå àëãåáðàè÷åñêîé
ðàçìåðíîñòè èçîìîðôíû ìåæäó ñîáîé (òåîðåìà 2 â [16, c. 127]), áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî âåêòîðíóþ òîïîëîãèþ â ëèíåéíîì ìíîãîîáðàçèè Span N � �0 (íàðàâíå ñ òî-
ïîëîãèåé, èíäóöèðîâàííîé èç ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H 2) ñíàáæàåò íîðìà
| | ( , , )| | : | | | | | | �| |g g gN C0 0 � � l , ( , , )g N0 0 �Span , ãäå
�( ) ( ) /g t dg t dt� , | | | | : | | ( )| | :g g t t TC X� �sup{ }, | | �| | : | | �( )| | ( )g g dX
T
l � � � � .
Îáîçíà÷èì S g N gN N: ( , , ) :| | ( , , )| |� � �{ Span }0 0 0 0 1 ñôåðó l-ðàäèóñà â Span N
ñ òîïîëîãèåé, èíäóöèðîâàííîé íîðìîé | | | |� N . Â ñèëó (1) äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñ-
òàòî÷íî óñòàíîâèòü íåïðåðûâíîñòü îïåðàòîðà %: ( , , )S T RN � L � , äåéñòâóþùåãî
ïî ïðàâèëó (àíàëîãè÷íîìó ïðàâèëó (1)):
%( ( ), , ): | | �( )| | / | | ( )| |g t g t g tX X0 0 � ïðè g t( ) � 0,
%( ( ), , ) :g t R0 0 0� � , åñëè g t( ) � 0.
Âûäåëèì ( *, , )g S N0 0 � è ïóñòü { }( , , )g j 0 0 — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â S N , ñõî-
äÿùàÿñÿ ê ( *, , )g 0 0 . Ïîêàæåì, ÷òî T jg g( ( , , ), ( *, , ))% %0 0 0 0 0� . Äëÿ ýòîãî, ðàñ-
ñóæäàÿ îò ïðîòèâíîãî, âíóòðè ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè { } { }( , , ) ( , , )g gk j0 0 0 0� òà-
êîé, ÷òî �T kg g( ( , , ), ( *, , ))% %0 0 0 0 0# & , äîñòàòî÷íî (â öåëÿõ ïîëó÷åíèÿ ïðîòè-
âîðå÷èÿ) äëÿ íåêîòîðîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè { } { }( , , ) ( , , )g gi k0 0 0 0�
óñòàíîâèòü (òåîðåìû 4 è 14 â [16, c. 58, 64]) ñõîäèìîñòü % %( , , ) ( *, , )g gi 0 0 0 0�
�-ïî÷òè âñþäó â T , ïîñêîëüêó ñõîäèìîñòü â ìåòðèêå T ðàâíîñèëüíà ñõîäèìîñ-
òè ïî ìåðå �.
Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { }( , , )gk 0 0 â íîðìå | | | |� N ïðèâîäèò ê òîìó,
÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }gk C| | | |� -ñõîäèòñÿ ê g * ðàâíîìåðíî (à çíà÷èò, âñþ-
äó â T), ïðè ýòîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }�gk áóäåò | | | |� l -ñõîäèòüñÿ ê �*g â ñðåäíåì,
è çíà÷èò, ñóùåñòâóåò òàêîå ïîäìíîæåñòâî T T� �� (mod ), ÷òî íàéäåòñÿ
{ } { }� �g gi k� , ïîòî÷å÷íî ñõîäÿùàÿñÿ ê g * âñþäó â T�. Çàôèêñèðóåì â T� òî÷êó �t ,
òîãäà g t* ( )� � 0 ; äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê ìíîæåñòâî N ÐËÄ-ñîâìåñòèìî ñòóïåíè
1, òî òðàåêòîðèÿ g * èìååò îäíîðîäíóþ ðåàëèçàöèþ (2), è, òàêèì îáðàçîì, g * íè-
ãäå íà èíòåðâàëå âðåìåíè T íå ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó 0�X .
Èòàê, ïóñòü g t* ( )� � 0. ßñíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî èñ÷åçàþùåãî ìàëîãî
& 0 íàé-
äåòñÿ (â ñèëó ðàâíîìåðíîé | | | |� C -ñõîäèìîñòè { }gi ) òàêîé èíäåêñ �i , ÷òî ïðè i i# �
âûïîëíÿåòñÿ
| ( * ( ), , ) ( ( ), , )| | | | � * ( )| | / | | * (% %g t g t g t gi X� � � � � �0 0 0 0 t g t g tX i X i X)| | | | � ( )| | /| | ( )| | |� � � �
� � � � � �| | | �* ( )| | /| | * ( )| | | | � ( )| | /(| | * ( )|g t g t g t g tX X i X | ( ( )))|X i1' �� ,
ãäå 0 1� � � "�
( )i . Ðàññìîòðèì âàðèàíò � �� ( )i ; âû÷èñëåíèÿ äëÿ � �� ( )i àíàëîãè÷íû.
Ïîñêîëüêó ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )( (1 1 1 11 2 3� � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � �i i i i i i� ))�1, òî
èìååì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 77
| ( * ( ), , ) ( ( ), , )|% %g t g ti� � � �0 0 0 0
� � � � � � �| | �* ( )| | | | � ( )| | / | | * ( )| | ( )| | � (g t g t g t i gX i X X i� � � � �t g t iX X)| | /(| | * ( )| | ( ( )))1 � .
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, çàêëþ÷àåì, ÷òî äëÿ ÷èñëà
íàéäåòñÿ (â ñèëó ïîòî-
÷å÷íîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { }�gi ) òàêîé èíäåêñ �� # �i i è 0 � �� ��
( )i ,
÷òî ïðè i i# �� áóäåò
| ( * ( ), , ) ( ( ), , )|% %g t g ti� � � �0 0 0 0
� ' �� � � � ' �� � �| ( )/| | * ( )| | ( )( ( ) | | �* ( )| | / (� � �i g t i i g tX X | | * ( )| | ( ( )))|g t iX� � � �1 �
� � � � � � �
( /| | * ( )| | ( | | �* ( )| | ) / (| | * ( )| | (1 1g t g t g tX X X ))) :�
� � ( � � � �: ( , ) lim ( , ) :f t f t
{ }0 0,
÷òî â êîíå÷íîì èòîãå óñòàíàâëèâàåò (â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà òî÷êè
� �t T�) ïîòî÷å÷íóþ ñõîäèìîñòü % %( , , ) ( *, , )g gi 0 0 0 0� �-ïî÷òè âñþäó â T . �
Êîððåêòèðîâêà íîðìû || | |� N , ó÷èòûâàþùàÿ ïåðåõîä îò àíàëèçà íåóïðàâëÿå-
ìûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ èç �0 ê óïðàâëÿåìûì èç �, ïîçâîëÿåò
ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùåå.
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ êîíå÷íîãî ïó÷êà N
u
� � # îïåðàòîð � : ( , , )P T RN � L �
íåïðåðûâíûé, åñëè ïðè ïðîèçâîëüíîì âûáîðå âåêòîð-ôóíêöèè ( , , )g w q �
�Span { }N \ 0 è òî÷êè t T t T g t Xg� � � � �: : ( ){ }0 äëÿ íèõ íàéäåòñÿ òàêîå
äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî �t & 0, ÷òî � � �(( , ) )t t Tt t g� � ) � 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âíà÷àëå óñòàíîâèì ôàêò �( )Tg � 0. Äëÿ ýòîãî âûáåðåì
êàæäîìó ìîìåíòó âðåìåíè t Tg� äåéñòâèòåëüíóþ êîíñòàíòó �t & 0 òàê, ÷òî
� � �(( , ) )t t Tt t g� � ) � 0. Äàëåå íàéäåì òàêèå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà r rt t
� �, , ÷òî
r t tt t
� � �( , )� , r t tt t
� � �( , )� , è ïóñòü I r rt t t: ( , )� � � . Òîãäà ñåìåéñòâî èíòåðâàëîâ
{ }I t t Tg� ïîêðûâàåò ìíîæåñòâî Tg , à òàê êàê êàæäûé èíòåðâàë I t ÿâëÿåòñÿ îòêðû-
òûì ñ ðàöèîíàëüíûìè êîíöàìè, òî ñåìåéñòâî { }I t t Tg� ñîäåðæèò íåêîòîðîå ñ÷åò-
íîå ïîäñåìåéñòâî { }I ti i�1 2, ,�, òàêæå ÿâëÿþùååñÿ ïîêðûòèåì ìíîæåñòâà Tg . Òå-
ïåðü çàìåòèì, ÷òî, ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî èíäåêñà i �1 2, ,� âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷å-
íèå I t tti i ti i ti� � �( , )� � , î÷åâèäíî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî �( )I Tti g) � 0, è
çíà÷èò, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà �-îòíîøåíèé:
� � �( ) ( ( )) ( )
, , , , ,
T T I T Ig g
i
ti
i
g ti
i
� ) � ) �
� � �1 2 1 2 1 2� �
$
,
( )
�
� T Ig ti) � 0,
îòêóäà ñëåäóåò �( )Tg � 0. Ïî ñóùåñòâó, ýòî ïîëîæåíèå ôàêòè÷åñêè ñíèìàåò
àïåëëÿöèþ â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3 ê ñâîéñòâó ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè ñòóïå-
íè 1, ïîñëå ÷åãî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ýòèì ôàêòîì è ïðèáåãíóòü ê ïî÷òè
äîñëîâíîìó ïîâòîðåíèþ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 3 ñ ïðåäñòàâëåíèåì íîðìû
|| | |� N è îïåðàòîðà % (èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 3) â âèäå
| | ( , , )| | : | | | | | | �| | | | ( , )| |g w q g g w qN C� � �1 2 , ( , , ) \g w q N�Span { }0 , �( ) ( ) /g t dg t dt� ,
| | | | : | | ( )| | :g g t t TC X� �sup{ }, | | �| | | | �( )| |g g d
T
X1 � � � �,
| | ( , )| | : (| | ( )| | | | ( )| | ) ( )w q w q d
Y Z
T
2
2 2� �
�
�
�
�
�
� � � � �
1 2/
;
%( ( ), ( ), ( )) : | | �( )| | /(| | ( )| | | | ( )| |g t w t q t g t g t w tX X Y� � � | | ( )| | )q t Z
78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4
ïðè ( ( ), ( ), ( ))g t w t q t U� �0 ,
%( ( ), ( ), ( )) :g t w t q t R� �0 , åñëè ( ( ), ( ), ( ))g t w t q t U� �0 . �
ßñíî, ÷òî äëÿ óïðàâëÿåìîãî äèíàìè÷åñêîãî ïó÷êà N N
u
� " �� # , Card 0 ,
íåïðåðûâíîñòü îïåðàòîðà Ðåëåÿ–Ðèòöà, äåéñòâóþùåãî íà êîíå÷íîì CW-êîìïëåêñå
PN , îáóñëoâëèâàåò êîìïàêòíîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî ìíîæåñòâà �[ ]PN (òåîðå-
ìà 3.1.10 â [17, c. 199]), à òàêæå ãàðàíòèðóåò (ñì. ñëåäñòâèå 3.2.9 â [17, c. 220]) ñó-
ùåñòâîâàíèå òàêîé òî÷êè �*�PN , ÷òî âûïîëíèìû ñîîòíîøåíèÿ
� � � T T N T NP P( ( *), ) ( ( ), ): ( [ ], )� � �0 0 0� � �sup{ } supL ,
� �( *) ( , , ) [ ] ( , , )� � �* ( *L sup LL2 2T R P T RN ,
ãäå sup supL L� �[ ] [ ]P GN N� , è åñëè ïîìèìî ïðî÷åãî îïåðàòîð � :PN �
� L ( , , )T R� ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì, òî �| PN — ãîìåîìîðôèçì
(òåîðåìà 7.2 â [20, c. 104]), ÷òî ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ôóíäàìåíòàëüíóþ ãðóï-
ïó (òåîðåìà 8.3 â [13, ñ. 97]) ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ( [ ], )� PN T .
Çàìå÷àíèå 4. Ïîëåçíî òàêæå ñëåäóþùåå ðàññóæäåíèå: äëÿ íàòóðàëüíîãî
n îáîçíà÷èì Wn êîíå÷íîå n�1-ïëîòíîå ïîäìíîæåñòâî â �[ ]PN (Wn íàéäåòñÿ
â ñèëó òåîðåìû 4.3.27 [17, ñ. 408], ïðè ýòîì äëÿ ëþáîãî
& 0, �n nW1 2, ,� —
-ñåòü [16, ñ. 43] â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ( [ ], )� PN T ) è ïóñòü
f Wn
i n
n:
, ,
�
�
supL
1 �
. Ïîýòîìó supL�[ ]PN ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà (è
çíà÷èò, â ñèëó òåîðåìû 1 ïðè sup LL�[ ] ( , , )P T RN � 2 � ïó÷îê N îáðàçóåò
ÎËÄ-ñîâìåñòèìîå ìíîæåñòâî), êîãäà { }f n — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Êîøè â ìåòðè-
÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ( ( , , ), )L T R T� ; îòìåòèì, ÷òî ( ( , , ), )L T R T� — ïîëíîå ñå-
ïàðàáåëüíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (òåîðåìû 15 è 16 â [16, ñ. 65, 67]).
Äàííûå ãåîìåòðè÷åñêèå êîíñòðóêöèè, à òàêæå òåîðåìà 9.7 â [20, c. 149] äàþò
îñíîâàíèå ïîëàãàòü, ÷òî äëÿ âàðèàíòà Card N " �0 ïðîåêòèâíîå ïðîñòðàíñòâî PN
— ýòî íàèáîëåå «åñòåñòâåííàÿ» ñòðóêòóðà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà�.
Âîïðîñ î ðåàëèçàöèè äèíàìè÷åñêèõ ïó÷êîâ (3) â êëàññå äèôôåðåíöèàëüíûõ
ñèñòåì (2) áûë áû ðåøåí, åñëè áû ñëåäñòâèÿ 1 è 2 òåîðåìû 2 áûëè ñïðàâåäëèâû è
äëÿ òðàåêòîðèé ñ íåíóëåâûì ïðîãðàììíûì óïðàâëåíèåì. Îäíàêî äëÿ òåîðèè ðåà-
ëèçàöèè è äëÿ ïðèëîæåíèé ýòî íå òàê. Ïðèâåäåì ïîÿñíÿþùèé ïðèìåð.
Ïðèìåð 1. Ïóñòü X Y R� � , T � �[ , ]1 1 , u# ( )� + 0 è
N x u x t u t t t T1 1 1 1 10 1� � � � �{ }( ( ), ( ), ):(( ( ), ( )) ( , ), ,
N x u x t u t t t t T2 2 2 2 2
20� � � � � �{ }( ( ), ( ), ):(( ( ), ( )) ( , ), .
Ïîêàæåì, ÷òî íàä N N N:� 1 2 ñóùåñòâóþò òîëüêî äâà îáûêíîâåííûõ
ïëàñòà: Span N1, Span N 2 , è îäèí ðàñïðåäåëåííûé îäíîðîäíûé ïëàñò Span N
ñòóïåíè 1, êîòîðûé íå ÿâëÿåòñÿ îáûêíîâåííûì ïëàñòîì, â ñèëó ÷åãî (ñîãëàñíî
òåîðåìå 1) îïåðàòîð Ðåëåÿ–Ðèòöà íåïîëóàääèòèâíûé (ñ ëþáûì âåñîì p # 1) íà
ëèíåéíîì ìíîãîîáðàçèè Span N (ïðè ýòîì, î÷åâèäíî, îí ïîëóàääèòèâåí ñ âåñîì
p �1 êàê íà ìíîãîîáðàçèè Span N1, òàê è íà Span N 2). Äîêàæåì ýòè ïîëîæåíèÿ,
ðàçáèâ èõ óñòàíîâëåíèå íà ñåðèþ ïðîñòûõ øàãîâ. Â ñâÿçè ñ ýòèì øàáëîííàÿ ïðî-
âåðêà (â ñèëó òåîðåìû 1) ïîêàçûâàåò, ÷òî óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû N N1 2, ñóòü
ÎËÄ-ñîâìåñòèìûå ìíîæåñòâà, ïîñêîëüêó âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ
sup LL� [ ] ( ) ( , , )/G t T RN 1
2 1 2
21� � �� � ,
sup LL� [ ] ( ) ( , , )/G t T RN 2
2 12 1 2
2� � �� � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 79
Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî N èìååò ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòü ñòóïåíè 1.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî (â ñèëó ïåðâîé ÷àñòè òåîðåìû 1) óñòàíîâèòü, ÷òî ëþáàÿ
òî÷êà ãðàíèöû G N óäîâëåòâîðÿåò òåîðåìå 1 [7]. Ñ ýòîé öåëüþ çàôèêñèðóåì ïðî-
èçâîëüíóþ âåêòîð-ôóíêöèþ ( , , )x u G N0 � . Åñëè ïðè ýòîì âûáîðå ( , , )x u 0 — êðàé-
íÿÿ òî÷êà abs co ( )N , òî ñîîòâåòñòâóþùåå åé ìíîæåñòâî { }( , , )x u 0 èìååò ïðåäñòàâ-
ëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîìó èç ñëåäóþùèõ ÎËÄ-ñîâìåñòèìûõ (÷òî ïîêàçàíî
ðàíåå) ìíîæåñòâ: N1, N 2 , �N1, �N 2 .
Îñòàåòñÿ ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà ( , , )x u 0 íå ÿâëÿåòñÿ êðàéíåé òî÷êîé
abs co ( )N . Òîãäà êîíñòðóêöèè ìåð v è v� èç òåîðåìû 1 [7], ñîîòâåòñòâóþùèå
ïðîöåññó ( , , ) \ ( )x u G N N N NN0 1 2 1 2� � � , äîëæíû èìåòü îäèí èç äâóõ
âàðèàíòîâ (êàæäûé ñîîòâåòñòâóåò ñâîåé ïàðå ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí «ïàðàë-
ëåëîãðàììà» abs co ( )N ) èç àíàëèòè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé:
v c c c c d
v c c
� � � � � �
� � �
�
(( ( ) ) ( ( ) ) ) ( ),
| ( ) |
� � � � �
�
1 1
2 1
2 2 2
� �( ), ;d cåñëè 0 1" "
�
�
�
��
v c c c c d
v c c
� � � � � �
� � �
�
(( ( ) ) ( ( ) ) ) ( ),
| ( ) |
� � � � �
�
1 1
2 1
2 2 2
� �( ), .d cåñëè 0 1" "
�
�
�
��
Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ïåðâîãî âàðèàíòà (ðàññóæäåíèÿ äëÿ âòîðîãî
âàðèàíòà àíàëîãè÷íû). ßñíî, ÷òî L L2 1( , , ) ( , , )T R T v R� � � . Ïóñòü f t( ) :�
: ( ( ) ) ( ( ) )� � � � � �ct c t c c t1 12 2 2 , òîãäà f t( ) � 0 � �t T . Äàëåå, â ñèëó òîãî, ÷òî T
— êîìïàêò, èìååì inf { }f t t T( ): � & 0, îòêóäà L L2 2( , , ) ( , , )T v R T R� � , è çíà÷èò,
L L2 1( , , ) ( , , )T R T v R� � � äëÿ ëþáîé êîíñòàíòû c�( , )0 1 , îïðåäåëÿþùåé òî÷êó
( , , )x u 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó òåîðåìû 1 [7] äàííàÿ òî÷êà ( , , )x u 0 èìååò äèôôå-
ðåíöèàëüíóþ ðåàëèçàöèþ (2).
Òåïåðü ïîêàæåì, ðàññóæäàÿ îò ïðîòèâíîãî, ÷òî ïó÷îê N íå ÿâëÿåòñÿ
ÎËÄ-ñîâìåñòèìûì: åñëè ñóùåñòâóåò ( , )A B -ìîäåëü ( ( ), ( )) :� �� � � �T R R
ðåàëèçàöèè N N1 2 , òî îíà èíäóöèðóåò ðàâåíñòâà 1 0� � �� �( ) ( )t t t äëÿ N1 è
2 02t t t t t� � �� �( ) ( ) äëÿ N 2 , îòêóäà ( ( ), ( )) ( . , . )� �� � � �15 051t . Òàêèì îáðàçîì,
ôóíêöèîíàëüíàÿ ( , )A B -ìîäåëü ðåàëèçàöèè N íå ïðèíàäëåæèò êëàññó
L L2 2( , , ) ( , , )T R T R� �� .
Ïðèìåì êàê èñõîäíóþ ïîñòàíîâêó N x u x t u t2 2 2 2 20� � � �{( ( ), ( ), ):( ( ), ( ))
� � �( , ),t t T1 }.  äàííîì ñëó÷àå N íå áóäåò ÐËÄ-ñîâìåñòèìûì (õîòÿ îáûêíîâåí-
íûå ïëàñòû íàä N òàêèå æå: Span N1 è Span N 2); ïðè ýòîì ëþáàÿ òðîéêà ( , , )x u 0
èç co ( )N , íî íå èç abs co ( )N , áóäåò ÎËÄ-ñîâìåñòèìîé.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Îñíîâíîå ïðåäíàçíà÷åíèå àáñòðàêòíîé òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèè
áèõåâèîðèñòè÷åñêèõ ñèñòåì íåçàâèñèìî îò äðóãèõ ñâîéñòâ äèíàìèêè ðàññìàòðè-
âàåìûõ ìîäåëåé — êà÷åñòâåííîå èçó÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ óðàâ-
íåíèé äèíàìèêè èññëåäóåìûõ ïðîöåññîâ è ïðè ýòîì ïîèñê àíàëîãèè ìåæäó ÿâ-
ëåíèÿìè, êàæóùèìèñÿ äàëåêèìè îäèí îò äðóãîãî. Â äàííîì êîíòåêñòå óêàæåì
íåêîòîðûå (ïðåäâàðèòåëüíûå) îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ ñòðóêòóðû ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòè
â ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðèè îáùèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì [15, 21].
 âàðèàíòå ðàñøèðåíèÿ îïðåäåëåíèÿ 2 äî ïîëîæåíèÿ, êîãäà ñòóïåíü k ÐËÄ-ñî-
âìåñòèìîñòè îïðåäåëÿåòñÿ êàðäèíàëüíûì ÷èñëîì, ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòü ïðèâîäèò
âíå ðàìîê êîíòèíóóì-ãèïîòåçû [22] ëèáî ê òðèâèàëüíûì ïðåäëîæåíèÿì ïðè
80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4
k N�Card (íàïðèìåð, åñëè ïó÷îê N ñ÷åòíûé è ÐËÄ-ñîâìåñòèì ñòóïåíè k ��0 , òî
N èìååò ðåàëèçàöèþ (2), àíàëîãè÷íî äëÿ k N� � �Card exp 0), ëèáî ñ ó÷åòîì
ñëåäñòâèé 1, 2 òåîðåìû 2 ê íîâûì3 ïîñòàíîâêàì äëÿ k N" � �Card exp 0 ; ïðè
ýòîì îáùàÿ ôèëîñîôèÿ è ðåçóëüòàòû ïîäîáíû ñëó÷àþ, êîãäà ñòóïåíü k — íàòó-
ðàëüíîå ÷èñëî, íî âîçìîæíîñòè øèðå, õîòÿ â ìåíüøåé ñòåïåíè ïðåäñêàçóåìû.
Ïîëóàääèòèâíîñòü îïåðàòîðà Ðåëåÿ–Ðèòöà íàõîäèòñÿ â âàæíîé ãåîìåòðè÷åñ-
êîé çàâèñèìîñòè îò ëåììû Òåéõìþëëåðà–Òüþêè, à èìåííî: â ñåìåéñòâå ïðîöåñ-
ñîâ � ñóùåñòâóþò ìàêñèìàëüíûå ìíîæåñòâà, íà êàæäîì èç êîòîðûõ îïåðàòîð (1)
ïîëóàääèòèâåí ñ íåêîòîðûì âåñîì p # 0, ïðè ýòîì â ñëó÷àå p�( , )0 1 òàêèå ìíî-
æåñòâà äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ íåëèíåéíûå (âàðèàíò E � �{ }0 � èñêëþ÷àåì);
ïîýòîìó â òåîðåìå 1 âåñ ïîëóàääèòèâíîñòè — íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ p # 1. Â äàí-
íîì êîíòåêñòå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîëóàääèòèâíîñòü ñ âåñîì p # 1 îïåðàòîðà
Ðåëåÿ–Ðèòöà ñîâìåñòíî ñ ëåììîé Òåéõìþëëåðà–Òüþêè ïðèâîäÿò ê ñëåäóþùåìó
ôàêòó: åñëè E — îáûêíîâåííûé ïëàñò èç ôîðìóëèðîâêè ëåììû 2, òî â E íàéäåò-
ñÿ ìàêñèìàëüíîå ëèíåéíîå ìíîæåñòâî, çàìêíóòîå â ïðîñòðàíñòâå H 2 , íà êîòîðîì
îïåðàòîð Ðåëåÿ–Ðèòöà ïîëóàääèòèâåí ñ âåñîì p # 1, ÷òî â êîíå÷íîì èòîãå äåëàåò
ãåîìåòðè÷åñêè êîððåêòíîé ôîðìóëèðîâêó âòîðîé ÷àñòè òåîðåìû 1; ìîæíî òàêæå
ñòàâèòü âîïðîñ îá îïðåäåëåíèè âåñà ïîëóàääèòèâíîñòè (ñîãëàñíî òåîðåìå 2 [23]).
Ñëåäñòâèÿ 1, 2 òåîðåìû 2 êàñàòåëüíû ðåàëèçàöèè ñ ïîçèöèîííûì óïðàâëåíè-
åì, ò.å. ìîæíî ãîâîðèòü î ðåàëèçàöèè «îäíîðîäíîé ñèñòåìû ñ çàêîíîì
x u x�
# ( )», ïîñêîëüêó ëþáàÿ ( , , )#A B0 2-ìîäåëü ñèñòåìû (2) ïðèâîäèò ê ýêâèâà-
ëåíòíîé ñòðóêòóðå ( , , )# #A B u� 0 0 .  ÷àñòíîñòè, åñëè u L X Z# ( , )� �0 è îïåðàòîð
u# íåïðåðûâíî îáðàòèì, ò.å. u L X Z# ( , )� �1 , òî, íàêëàäûâàÿ íà îïåðàòîð-ôóíê-
öèþ B # ñòðóêòóðíóþ êëàóçóëó B A A u# #: ( * )� � �1, ãäå A T L X X* ( , , ( , ))�L 2 � —
îïåðàòîð-ôóíêöèÿ ìîäåëè ðåàëèçàöèè îäíîðîäíîé ñèñòåìû, â îòíîøåíèè îïåðà-
òîð-ôóíêöèè A ìîæíî äåëàòü ëþáûå ïðåäïîëîæåíèÿ, íå íàðóøàþùèå
A T L X X�L 2 ( , , ( , ))� , íàïðèìåð, èññëåäîâàòü ðåàëèçàöèþ â ïðåäïîëîæåíèè ñòà-
öèîíàðíîñòè îïåðàòîðà A, íå çàòðàãèâàÿ îáùèõ ðåçóëüòàòîâ èç [10, 24–26]. Îäíà-
êî óñëîâèå u L Z X# ( , )� *1 ïðèâîäèò ê ïîñòàíîâêå, êîãäà â ( , , )#A B0 2-ìîäåëè îïåðà-
òîð-ôóíêöèÿ A ôèêñèðîâàíà (ò.å. äèíàìèêà ìîäåëèðóåìîãî îáúåêòà ÷àñòè÷íî
èçâåñòíà [12]) è íàäî îïðåäåëèòü îïåðàòîð-ôóíêöèþ B # . Äàííóþ ðåàëèçàöèþ
ìîæíî ñòðîèòü â êîíòåêñòå òåîðåìû 3, èñïîëüçóÿ àïïàðàò ðàñøèðåíèÿ îïåðàòîð-ôóíê-
öèé â ðàìêàõ êà÷åñòâåííûõ ðåçóëüòàòîâ ïî òåîðèè M 2-ïðîäîëæèìîñòè [8, 10].
Êîíñòðóêöèè òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòðàíñòâà Ôîêà [14, c. 68] è îïå-
ðàòîðà Ðåëåÿ–Ðèòöà ïîçâîëÿþò íà áàçå ñâîéñòâà óíèâåðñàëüíîñòè [15, c. 40] òåí-
çîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ðåçóëüòàòîâ, ïîäîáíûõ ñëåäñòâèþ 1 òåîðåìû 3, èñïîëü-
çîâàòü ìåòîäû ïðîåêòèâíîé ãåîìåòðèè äëÿ èññëåäîâàíèÿ ðåàëèçàöèè ãèïåðáîëè-
÷åñêèõ ñèñòåì [12, 27] ñ ïðîãðàììíî-ïîçèöèîííûìè ðåãóëÿòîðàìè, èìåþùèìè
ïîëèëèíåéíóþ ñòðóêòóðó [28, 29]. Ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî èññëåäîâàíèÿ â ýòîì íà-
ïðàâëåíèè ñòàíóò îñíîâîé íîâîé îáùåé ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðèè íåëèíåéíîé
äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèè ñëîæíûõ áåñêîíå÷íîìåðíûõ äèíàìè÷åñêèõ
ñèñòåì [5–12, 23–29].
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 81
3Âîïðîñ î ñîäåðæàòåëüíîñòè òàêèõ ïîñòàíîâîê íåïðîñòîé, îäíàêî îòâåò íà íåãî ïîëîæèòåëåí.
Ï. Êîýí, äîêàçàâøåé íåçàâèñèìîñòü êîíòèíóóì-ãèïîòåçû (ÊÃ) è àêñèîìû âûáîðà (ðàâíîñèëüíî —
ëåììû Òåéõìþëëåðà–Òüþêè) â ñèñòåìå àêñèîì òåîðèè ìíîæåñòâ Öåðìåëî–Ôðåíêåëÿ, ïîëàãàë [22,
ñ. 281]: «Òî÷êà çðåíèÿ, êîòîðàÿ, êàê ïðåä÷óâñòâóåò àâòîð, ìîæåò â êîíöå êîíöîâ ñòàòü ïðèíÿòîé, ñî-
ñòîèò â òîì, ÷òî Êà ÿâëÿåòñÿ, î÷åâèäíî ëîæíîé» (êóðñèâ àâòîðà). Ìîòèâàöèåé ïîäîáíûõ ðàññóæäå-
íèé ÿâëÿåòñÿ ïîëîæåíèå, ÷òî ÐËÄ-ñîâìåñòèìîñòü ñòóïåíè k õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî ëþáîå k-ìåðíîå
ïîäïðîñòðàíñòâî â Span N èìååò íåêîòîðóþ äèôôåðåíöèàëüíóþ ðåàëèçàöèþ (2).
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Åðóãèí Í.Ï. Ïîñòðîåíèå âñåãî ìíîæåñòâà ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, èìåþùèõ
çàäàííóþ èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ. Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1952. Ò. XVI, ¹ 6.
Ñ. 659–670.
2. Âèëëåìñ ß. Îò âðåìåííîãî ðÿäà ê ëèíåéíîé ñèñòåìå. Òåîðèÿ ñèñòåì. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû
è ìîäåëèðîâàíèå. Ïîä ðåä. À.Í. Êîëìîãîðîâà, Ñ.Ï. Íîâèêîâà. Ìîñêâà: Ìèð, 1989. Ñ. 8–191.
3. Äàíååâ À.Â., Ðóñàíîâ Â.À., Øàðïèíñêèé Ä.Þ. Íåñòàöèîíàðíàÿ ðåàëèçàöèÿ Êàëìàíà–Ìåñàðî-
âè÷à â êîíñòðóêöèÿõ îïåðàòîðà Ðåëåÿ–Ðèòöà. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2007. ¹ 1.
Ñ. 82–90.
4. Daneev A.V., Lakeev A.V., Rusanov V.A., Rusanov M.V. On the theory of realization of strong
differential models. Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2007. Vol. 1, N 3.
P. 273–282.
5. Ahmed N.U. Optimization and identification of systems governed by evolution equations on Banach
space. New York: John Wiley and Sons, 1988. 187 p.
6. Ñåðãèåíêî È.Â., Äåéíåêà Â.Ñ. Èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ ýëëèïòèêî-ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ
ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2011. ¹ 4. Ñ. 28–50.
7. Rusanov V.A., Antonova L.V., Daneev A.V. Inverse problem of nonlinear systems analysis:
a behavioral approach. Advances in Differential Equations and Control Processes. 2012. Vol. 10,
N 2. P. 69–88.
8. Ðóñàíîâ Â.À., Ëàêååâ À.Â., Ëèíêå Þ.Ý. Ñóùåñòâîâàíèå äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèè äèíà-
ìè÷åñêîé ñèñòåìû â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå â êîíñòðóêöèÿõ ðàñøèðåíèé äî M p-îïåðàòîðîâ.
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 2013. Ò. 49, N 3. Ñ. 358–370.
9. Chen Y.A. New one-parameter inhomogeneous differential realization of the spl(2,1) superalgebra.
International Journal of Theoretical Physics. 2012. Vol. 51, N 12. P. 3763–3768.
10. Rusanov V.A., Daneev A.V., Lakeev A.V., Linke Yu.E. On the differential realization theory of
nonlinear dynamic processes in hilbert space. Far East Journal of Mathematical Sciences. 2015.
Vol. 97, N 4. P. 495–532.
11. Ðóñàíîâ Â.À., Ëàêååâ À.Â., Ëèíêå Þ.Ý. Î ðàñøèðåíèè â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå äèôôå-
ðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèè ñ÷åòíîãî ïó÷êà íåëèíåéíûõ ïðîöåññîâ «âõîä-âûõîä». Êèáåðíåòèêà
è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2015. Ò. 51, ¹ 4. Ñ. 121–126.
12. Rusanov V.A., Daneev A.V., Lakeev A.V., Linke Yu.E. On solvability of the identification-inverse
problem for operator-functions of a nonlinear regulator of a nonstationary hyperbolic system.
Advances in Differential Equations and Control Processes. 2015. Vol. 16, N 2. P. 71–84.
13. Ìàññè Ó., Ñòîëëèíãñ Äæ. Àëãåáðàè÷åñêàÿ òîïîëîãèÿ. Ââåäåíèå. Ìîñêâà: Ìèð, 1977. 344 ñ.
14. Ðèä Ì., Ñàéìîí Á. Ìåòîäû ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Òîì 1. Ôóíêöèîíàëüíûé
àíàëèç. Ìîñêâà: Ìèð, 1977. 360 ñ.
15. Êèðèëëîâ À.À. Ýëåìåíòû òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé. Ìîñêâà: Íàóêà, 1978. 344 ñ.
16. Êàíòîðîâè÷ Ë.Â., Àêèëîâ Ã.Ï. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ìîñêâà: Íàóêà, 1977. 744 ñ.
17. Ýíãåëüêèíã Ð. Îáùàÿ òîïîëîãèÿ. Ìîñêâà: Ìèð, 1986. 752 ñ.
18. Ìàññåðà Õ., Øåôôåð Õ. Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðà-
íñòâà. Ìîñêâà: Ìèð, 1970. 456 ñ.
19. Äàíååâ À.Â., Ðóñàíîâ Â.À. Îá îäíîì êëàññå ñèëüíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ìîäåëåé íàä ñ÷åò-
íûì ìíîæåñòâîì äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ êîíå÷íîãî õàðàêòåðà. Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ìàòåìàòè-
êà. 2000. ¹ 2. Ñ. 32–40.
20. Ïðàñîëîâ Â.Â. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðíîé è äèôôåðåíöèàëüíîé òîïîëîãèè. Ìîñêâà: ÌÖÍÌÎ,
2014. 360 ñ.
21. Àãðà÷åâ À.À., Ñà÷êîâ Þ.Ë. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ óïðàâëåíèÿ. Ìîñêâà: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2005.
392 ñ.
22. Êîýí Ï.Äæ. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ è êîíòèíóóì-ãèïîòåçà. Ìîñêâà: Ìèð, 1969. 348 ñ.
82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4
23. Ðóñàíîâ Â.À. Îá îäíîé àëãåáðå ìíîæåñòâ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, îáëàäàþùåé äèôôåðåí-
öèàëüíîé ðåàëèçàöèåé â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Äîêë. ÐÀÍ. 2010. Ò. 433, ¹ 6.
C. 750–752.
24. Êîëìîãîðîâ À.Í. Êðèâûå â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, èíâàðèàíòíûå ïî îòíîøåíèþ ê
îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïå äâèæåíèé. Èçáðàííûå òðóäû. Òîì 1. Ìàòåìàòèêà è ìåõàíè-
êà. Ìîñêâà: Íàóêà, 2005. Ñ. 296–300.
25. Âîðîíîâ Â.À., Ëàêååâ À.Â., Ëèíêå Þ.Ý., Ðóñàíîâ Â.À. Îöåíêà òî÷íîñòè â ïðîöåññå þñòèðîâêè
ìàòðèöû èäåíòèôèêàöèè. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 2015. ¹ 4. Ñ. 16–26.
26. Ðóñàíîâ Â.À., Ëàêååâ À.Â., Ëèíêå Þ.Ý. Ê ðàçðåøèìîñòè äèôôåðåíöèàëüíîé ðåàëèçàöèè ìè-
íèìàëüíîãî äèíàìè÷åñêîãî ïîðÿäêà ñåìåéñòâà íåëèíåéíûõ ïðîöåññîâ «âõîä-âûõîä» â ãèëü-
áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 2015. Ò. 51, ¹ 4. Ñ. 524–537.
27. Äàíååâ À.Â., Ðóñàíîâ Â.À., Ðóñàíîâ Ì.Â. Îò ðåàëèçàöèè Êàëìàíà–Ìåñàðîâè÷à ê ëèíåéíîé ìî-
äåëè íîðìàëüíî-ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2005. ¹ 6.
Ñ. 137–157.
28. Ðóñàíîâ Â.À., Øàðïèíñêèé Ä.Þ. Ê òåîðèè ñòðóêòóðíîé èäåíòèôèêàöèè íåëèíåéíûõ ìíîãî-
ìåðíûõ ñèñòåì. Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 2010. Ò. 74, âûï. 1. Ñ. 119–132.
29. Ëàêååâ À.Â., Ëèíêå Þ.Ý., Ðóñàíîâ Â.À. Ê ñòðóêòóðíîé èäåíòèôèêàöèè íåëèíåéíîãî ðåãóëÿòî-
ðà íåñòàöèîíàðíîé ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû. Äîêë. ÐÀÍ. 2016. Ò. 468, ¹ 2. C. 143–148.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 14.11.2016.
Â.À. Ðóñàíîâ, Î.Â. Äàíººâ, Þ.Š˳íêå
ÙÎÄÎ ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÍÈÕ ÎÑÍΠÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍί ÐÅÀ˲ÇÀÖ²¯ ÄÈÍÀ̲×ÍÈÕ
ÏÐÎÖÅÑ²Â Ó Ã²ËÜÁÅÐÒÎÂÎÌÓ ÏÐÎÑÒÎв
Àíîòàö³ÿ. Ó êîíòåêñò³ ÿê³ñíî¿ òåî𳿠ðåàë³çàö³¿ íåñê³í÷åííîâèì³ðíèõ äèíàì³÷íèõ
ñèñòåì íàâåäåíî ðåçóëüòàòè äîñë³äæåíü ãåîìåòðè÷íèõ ÿêîñòåé ñ³ì’¿ íåïåðåðâíèõ
êåðîâàíèõ äèíàì³÷íèõ ïðîöåñ³â (â³äîáðàæåíü «âõ³ä-âèõ³ä») ó çàäà÷³ ðîçâ’ÿçíîñò³
äèôåðåíö³àëüíî¿ ðåàë³çàö³¿ ö³º¿ ñ³ì’¿ ó êëàñ³ ë³í³éíèõ çâè÷àéíèõ íåñòàö³îíàðíèõ
äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ó ñåïàðàáåëüíîìó ã³ëüáåðòîâîìó ïðîñòîð³.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: äèôåðåíö³àëüíà ðåàë³çàö³ÿ, íåñòàö³îíàðíà ( , , )#A B B 2-ìî-
äåëü, ÇËÄ/ÐËÄ-ñóì³ñí³ñòü.
V.A. Rusanov, A.V. Daneev, Yu.E. Linke
TO THE GEOMETRICAL THEORY OF DIFFERENTIAL IMPLEMENTATION
OF DYNAMIC PROCESSES IN A HILBERT SPACE
Abstract. In the context of the qualitative theory of implementation of
infinite-dimensional dynamic systems, the authors demonstrate some results
related to investigation of the geometrical properties of families of continuous
control dynamic processes ( “input–output” mappings) in the problem of
solvability of this differential realization in a class of linear ordinary
nonstationary differential equations in a separable Hilbert space.
Keywords: differential implementation, nonstationary ( , , )#A B B 2-model, OLD-
compatibility, DLD-compatibility.
Ðóñàíîâ Âÿ÷åñëàâ Àíàòîëüåâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà äèíàìèêè ñèñòåì è òåîðèè
óïðàâëåíèÿ èì. Â.Ì. Ìàòðîñîâà ÑÎ ÐÀÍ, Èðêóòñê, Ðîññèÿ, e-mail: v.rusanov@mail.ru.
Äàíååâ Àëåêñåé Âàñèëüåâè÷
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð Èðêóòñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ïóòåé ñîîáùåíèÿ; Èðêóòñêîãî
íàöèîíàëüíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà, Ðîññèÿ, e-mail: daneev@mail.ru.
Ëèíêå Þðèé Ýðíèåâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Èðêóòñêîãî íàöèîíàëüíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãî òåõíè÷åñêîãî
óíèâåðñèòåòà, Ðîññèÿ, e-mail: linkeyurij@gmail.com.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 83
|