О задачах управления динамикой неполно определенных трехмерных упругих тел. II. Случай дискретно заданного желаемого состояния

О задачах управления динамикой неполно определенных трехмерных упругих тел. II. Случай дискретно заданного желаемого состояния

Решены задачи управления линейно преобразованной вектор-функцией смещений точек трехмерного упругого тела в целях среднеквадратического приближения ее к дискретно заданным значениям. Задачи решаются без ограничений на геометрию тела и при дискретно определенных наблюдениях за его начально-краевым со...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Кибернетика и системный анализ
Дата:2017
Автор: Стоян, В.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Теми:
Системний аналіз
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144794
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:О задачах управления динамикой неполно определенных трехмерных упругих тел. II. Случай дискретно заданного желаемого состояния / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 5. — С. 102–112. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144794
record_format dspace
spelling Стоян, В.А.
2019-01-04T18:21:58Z
2019-01-04T18:21:58Z
2017
О задачах управления динамикой неполно определенных трехмерных упругих тел. II. Случай дискретно заданного желаемого состояния / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 5. — С. 102–112. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144794
517.95:519.86:539.3
Решены задачи управления линейно преобразованной вектор-функцией смещений точек трехмерного упругого тела в целях среднеквадратического приближения ее к дискретно заданным значениям. Задачи решаются без ограничений на геометрию тела и при дискретно определенных наблюдениях за его начально-краевым состоянием. В качестве управляющих факторов рассматриваются объемно-, поверхностно- и начально-распределенные внешнединамические возмущения. Выполнена оценка точности и однозначности управления.
Розв’язано задачі керування лінійно перетвореною вектор-функцією зміщень точок тривимірного пружного тіла з метою середньоквадратичного наближення її до дискретно заданих значень. Задачі розв’язуются без обмежень на геометрію тіла і при дискретно визначених спостереженнях за його початково-крайовим станом. Як керувальні фактори розглянуто об'ємно-, поверхнево- і початково-розподілені зовнішньодинамічні збурення. Проведено оцінювання точності та однозначності керування.
The author solves the problems of control of linearly transformed vector function of displacement points of three-dimensional elastic body with the purpose of root-mean-square approximation to its discretely defined values. The problems are solved without constraints on the body geometry and under discretely defined observations of its initial-boundary state. Space, superficial, and initially distributed outward perturbations are considered as control factors. The evaluation of accuracy and uniqueness of control is conducted.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системний аналіз
О задачах управления динамикой неполно определенных трехмерных упругих тел. II. Случай дискретно заданного желаемого состояния
Про задачі керування динамікою неповно визначених тривимірних пружних тіл. ІI. Випадок дискретно заданого бажаного стану
Problems of control of the dynamics of incompletely defined three-dimensional elastic bodies. II. The case of discretely defined desired state
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title О задачах управления динамикой неполно определенных трехмерных упругих тел. II. Случай дискретно заданного желаемого состояния
spellingShingle О задачах управления динамикой неполно определенных трехмерных упругих тел. II. Случай дискретно заданного желаемого состояния
Стоян, В.А.
Системний аналіз
title_short О задачах управления динамикой неполно определенных трехмерных упругих тел. II. Случай дискретно заданного желаемого состояния
title_full О задачах управления динамикой неполно определенных трехмерных упругих тел. II. Случай дискретно заданного желаемого состояния
title_fullStr О задачах управления динамикой неполно определенных трехмерных упругих тел. II. Случай дискретно заданного желаемого состояния
title_full_unstemmed О задачах управления динамикой неполно определенных трехмерных упругих тел. II. Случай дискретно заданного желаемого состояния
title_sort о задачах управления динамикой неполно определенных трехмерных упругих тел. ii. случай дискретно заданного желаемого состояния
author Стоян, В.А.
author_facet Стоян, В.А.
topic Системний аналіз
topic_facet Системний аналіз
publishDate 2017
language Russian
container_title Кибернетика и системный анализ
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Про задачі керування динамікою неповно визначених тривимірних пружних тіл. ІI. Випадок дискретно заданого бажаного стану
Problems of control of the dynamics of incompletely defined three-dimensional elastic bodies. II. The case of discretely defined desired state
description Решены задачи управления линейно преобразованной вектор-функцией смещений точек трехмерного упругого тела в целях среднеквадратического приближения ее к дискретно заданным значениям. Задачи решаются без ограничений на геометрию тела и при дискретно определенных наблюдениях за его начально-краевым состоянием. В качестве управляющих факторов рассматриваются объемно-, поверхностно- и начально-распределенные внешнединамические возмущения. Выполнена оценка точности и однозначности управления. Розв’язано задачі керування лінійно перетвореною вектор-функцією зміщень точок тривимірного пружного тіла з метою середньоквадратичного наближення її до дискретно заданих значень. Задачі розв’язуются без обмежень на геометрію тіла і при дискретно визначених спостереженнях за його початково-крайовим станом. Як керувальні фактори розглянуто об'ємно-, поверхнево- і початково-розподілені зовнішньодинамічні збурення. Проведено оцінювання точності та однозначності керування. The author solves the problems of control of linearly transformed vector function of displacement points of three-dimensional elastic body with the purpose of root-mean-square approximation to its discretely defined values. The problems are solved without constraints on the body geometry and under discretely defined observations of its initial-boundary state. Space, superficial, and initially distributed outward perturbations are considered as control factors. The evaluation of accuracy and uniqueness of control is conducted.
issn 0023-1274
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144794
citation_txt О задачах управления динамикой неполно определенных трехмерных упругих тел. II. Случай дискретно заданного желаемого состояния / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 5. — С. 102–112. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT stoânva ozadačahupravleniâdinamikoinepolnoopredelennyhtrehmernyhuprugihteliislučaidiskretnozadannogoželaemogosostoâniâ
AT stoânva prozadačíkeruvannâdinamíkoûnepovnoviznačenihtrivimírnihpružnihtílíivipadokdiskretnozadanogobažanogostanu
AT stoânva problemsofcontrolofthedynamicsofincompletelydefinedthreedimensionalelasticbodiesiithecaseofdiscretelydefineddesiredstate
first_indexed 2025-11-27T08:39:51Z
last_indexed 2025-11-27T08:39:51Z
_version_ 1850809519210233856
fulltext ÓÄÊ 517.95:519.86:539.3 Â.À. ÑÒÎßÍ Î ÇÀÄÀ×ÀÕ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ ÍÅÏÎËÍÎ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ ÒÐÅÕÌÅÐÍÛÕ ÓÏÐÓÃÈÕ ÒÅË. II. ÑËÓ×ÀÉ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎ ÇÀÄÀÍÍÎÃÎ ÆÅËÀÅÌÎÃÎ ÑÎÑÒÎßÍÈß Àííîòàöèÿ. Ðåøåíû çàäà÷è óïðàâëåíèÿ ëèíåéíî ïðåîáðàçîâàííîé âåê- òîð-ôóíêöèåé ñìåùåíèé òî÷åê òðåõìåðíîãî óïðóãîãî òåëà â öåëÿõ ñðåäíå- êâàäðàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ åå ê äèñêðåòíî çàäàííûì çíà÷åíèÿì. Çàäà÷è ðåøàþòñÿ áåç îãðàíè÷åíèé íà ãåîìåòðèþ òåëà è ïðè äèñêðåòíî îïðåäåëåí- íûõ íàáëþäåíèÿõ çà åãî íà÷àëüíî-êðàåâûì ñîñòîÿíèåì.  êà÷åñòâå óïðàâëÿ- þùèõ ôàêòîðîâ ðàññìàòðèâàþòñÿ îáúåìíî-, ïîâåðõíîñòíî- è íà÷àëüíî-ðàñ- ïðåäåëåííûå âíåøíåäèíàìè÷åñêèå âîçìóùåíèÿ. Âûïîëíåíà îöåíêà òî÷íîñòè è îäíîçíà÷íîñòè óïðàâëåíèÿ. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, ïðîñòðàíñòâåííûå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè, ïñåâäîèíâåðñèÿ, óïðàâëåíèå. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì èññëåäîâàíèé àâòîðà [1] â îáëàñòè äèíàìèêè òðåõìåðíûõ óïðóãèõ òåë, ôóíêöèîíèðóþùèõ â óñëîâèÿõ íåïîëíîòû èíôîðìàöèè îá èõ íà÷àëüíî-ïîâåðõíîñòíîì ñîñòîÿíèè.  ðàáîòàõ [2, 3] ðåøå- íû çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé äèíàìèêè òàêèõ òåë ïðè óñëî- âèè âûðîæäåííîñòè èõ ïî îäíîé ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòå äëÿ ñëó÷àåâ, êîãäà çà íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì âíóòðåííèõ è òåêóùåì ñîñòîÿíèåì ïîâåðõíî- ñòíûõ òî÷åê òåëà ïðîâîäÿòñÿ äèñêðåòíî è íåïðåðûâíî îïðåäåëåííûå íàáëþäå- íèÿ, ñ êîòîðûìè ïîñòðîåííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñîãëàñóåòñÿ ïî ñðåäíå- êâàäðàòè÷åñêîìó êðèòåðèþ.  ðàáîòàõ [4, 5] ðåøåíû çàäà÷è óïðàâëåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûìè òåëàìè ïî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó ïðèáëèæåíèþ èõ ñîñòîÿíèÿ ê íàïåðåä çàäàííîìó. Ðàñ- ñìîòðåíû ñëó÷àè óïðàâëåíèÿ îáúåìíî-, ïîâåðõíîñòíî- è íà÷àëüíî-ðàñïðåäåëåí- íûìè âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè âîçìóùåíèÿìè, âçÿòûìè ïî îäíîìó, ïî äâà è ïî òðè.  [1] ýòè ïðîáëåìû ðåøåíû äëÿ òðåõìåðíûõ óïðóãèõ òåë ñ ïðîèçâîëüíîé ãåîìåòðèåé èõ ïîâåðõíîñòè. Ïðè ýòîì ïî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó êðèòåðèþ ó÷è- òûâàþòñÿ íåïðåðûâíî çàäàííîå æåëàåìîå ñîñòîÿíèå è íåïðåðûâíî îïðåäåëåííûå íàáëþäåíèÿ çà ãðàíè÷íî-ïîâåðõíîñòíûì ñîñòîÿíèåì òåëà. Ýòî íîâûå, èíòåðåñíûå è íå ðåøåííûå ðàíåå çàäà÷è ìåõàíèêè òâåðäîãî äåôîðìèðóåìîãî òåëà, èìåþùèå âàæíóþ ïðàêòè÷åñêóþ íàïðàâëåííîñòü. Åùå áîëåå ñëîæíûìè ÿâëÿþòñÿ çàäà÷è óïðàâëåíèÿ äèíàìèêîé ðàññìàòðèâàå- ìûõ òåë äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà èíôîðìàöèÿ îá èõ íà÷àëüíî-ïîâåðõíîñòíîì è æåëàå- ìîì ñîñòîÿíèÿõ çàäàíà äèñêðåòíî, à óïðàâëåíèå âûïîëíÿåòñÿ êàê äèñêðåòíî, òàê è íåïðåðûâíî îïðåäåëåííûìè âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè óïðàâëÿþùèìè ôàêòîðà- ìè — íà÷àëüíûìè, ïîâåðõíîñòíûìè è îáúåìíûìè. Ïîñòðîåíèþ ðåøåíèé íàçâàí- íûõ çàäà÷ è ïîñâÿùåíà íàñòîÿùàÿ ïóáëèêàöèÿ. Çäåñü ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ êàê óïðàâëÿþùèõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçäåéñòâèé, òàê è ïîëÿ äè- íàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òî÷åê òåëà, ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêè ñîãëàñîâàííîãî ñ æåëàåìûì, à òàêæå äàíû îöåíêè òî÷íîñòè ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé è èññëåäîâàíû óñëîâèÿ èõ îäíîçíà÷íîñòè. 102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 © Â.À. Ñòîÿí, 2017 ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È È ÏÐÎÁËÅÌÛ ÅÅ ÐÅØÅÍÈß Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâåííî îïðåäåëåííîå óïðóãîå òåëî, âíóòðåííÿÿ îá- ëàñòü S 0 êîòîðîãî â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x1, x2 , x3 îãðàíè÷åíà ïîâåðõíîñòüþ � [1–3]. Îáîçíà÷èì u u u u� col( , , )1 2 3 âåêòîð-ôóíêöèþ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òî÷- êè x x x x� ( , , )1 2 3 â íàïðàâëåíèè êîîðäèíàòíûõ îñåé Ox1, Ox2 , Ox3 , à ÷åðåç f f f f� col( , , )1 2 3 — ñâÿçàííóþ ñ íåé âåêòîð-ôóíêöèþ îáúìíî-ðàñïðåäåëåííûõ âíåøíåäèíàìè- ÷åñêèõ ôàêòîðîâ; äèíàìèêó ñìåùåíèÿ òî÷åê òåëà îïèøåì ñèñòåìîé óðàâíåíèé Ëÿìå [6] L u s f ss( ) ( ) ( )� � . (1) Çäåñü L s( )� � � � � � � � � � ( ) ( ) ( ) � � � ��� � � � � � � � � � � � 2 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 x x x t x x x x1 1 2 2 1 3 3 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � x x x x x t x x2 1 3 2 3 3 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � x x x x x x x t 2 � � � � � � � ÿâëÿåòñÿ ìàòðè÷íûì äèôôåðåíöèàëüíûì îïåðàòîðîì, â êîòîðîì s x t� ( , ) , � � � � � � � � �s x t x x x t( , ) ( , , , ) 1 2 3 , � — óäåëüíàÿ ïëîòíîñòü, à � è � — êîíñòàí- òû Ëÿìå, õàðàêòåðèçóþùèå óïðóãèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà òåëà. Äëÿ óäîáñòâà ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ íèæå çàäà÷ äèôôåðåíöèàëüíóþ ìî- äåëü (1) çàìåíèì ñëåäóþùèì èíòåãðàëüíûì ýêâèâàëåíòîì [1–3]: u s G s s f s ds( ) ( ) ( ) ,� � �� �� � (2) ãäå ïðè ìíèìîì i p p p p, ( , , )� 1 2 3 èìååì D p q s s e lp x x q t t( , , ) ( , , )( ) ( )� � �� � � diag 1 3 , G s s i L p q D p q s s dpdq( ) ( ) ( , ) ( , , )� � � � �� �� � 1 2 4 1 � . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çà íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì òåëà è òåêóùèì ñîñòîÿíèåì åãî ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòåé ïðîâîäÿòñÿ ñëåäóþùèå íàáëþäåíèÿ: L u s Ur t t x x S rl l 0 0 0 0 0 ( ) ( )� �� � � ( , ; , )l L r R� �1 10 0 , (3) L u s Uõ s s T l l � � � � � � ( ) ( ) [ , ] � � � � � 0 ( , ; , )l L R� �1 1� �� , (4) ãäå Lr t 0 ( )� ( , )r R�1 0 è L x� � ( )� ( , )� �1 R� — ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðà- òîðû, à U rl 0 ( , ; , )l L r R� �1 10 0 è U l� � ( , ; , )l L R� �1 1� �� — çàäàííûå çíà÷åíèÿ. Äèñêðåòíî ñîîòíîøåíèåì L u s Ui s s s S S T i i T( ) ( )| [ , ] � �� � � �0 0 0 ( , )i I�1 (5) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 103 ïðè çàäàííûõ Li s( )� ( , )i I�1 è U il ( , ; , )l L i I� �1 1 îïðåäåëèì æåëàåìîå ñîñòîÿ- íèå òåëà. Ïîñòàâèì çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ïàêåòà óïðàâëÿþùèõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ ôàêòîðîâ, ò.å. îáúåìíî-ðàñïðåäåëåííûõ âîçìóùåíèé f s( ) , íà÷àëüíî-ïîâåðõíî- ñòíûõ âîçäåéñòâèé U xr 0 ( ) ( , ; )r R x S� �1 0 0 è U s� � ( ) ( , ; )� � � �1 R s� � ��� �� , âû- áðàííàÿ êîìáèíàöèÿ êîòîðûõ ïî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó êðèòåðèþ âûïîëíÿåò ñîîòíîøåíèå (5), ðàññìàòðèâàåìîå ñîâìåñòíî ñ íàáëþäåíèÿìè (3), (4). Ïðè íàëè÷èè íàçâàííûõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ ôàêòîðîâ (êàê èçâåñòíûõ, òàê è óïðàâëÿþùèõ) âåêòîð-ôóíêöèþ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òî÷åê òåëà ïðåäñòàâèì ñóììîé u s u s u s u s( ) ( ) ( ) ( )� � �� 0 � , (6) ñëàãàåìûå êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò îáúåìíûì, íà÷àëüíûì è ïîâåðõíîñòíûì âíåøíåäèíàìè÷åñêèì âîçìóùåíèÿì. Ïî àíàëîãèè ñ u s G s s f s ds S T � � � �( ) ( ) ( ) 0 , (7) u s G s s fm m m M � � � ��( ) ( ) 1 , (8) ãäå s S S Tm T� � � 0 0 0[ , ] ïðè m M�1, , ïðåäñòàâèì ñîñòàâëÿþùèå u s G s s f s ds S 0 0 0 ( ) ( ) ( )� � � , (9) u s G s s f s ds S � � � ( ) ( ) ( )� � � , (10) u s G s s fm m m M 0 0 0 1 0 ( ) ( )� � � � , (11) u s G s s fm m m M � � � � ( ) ( )� � � � 1 . (12) Çäåñü f s0 ( ) ( ( , ])s S� � ��0 0 è f s� ( ) ( ( \ ) ( , ])s S R S T� � �� 3 0 0 — «ôèêòèâ- íûå» âíåøíåäèíàìè÷åñêèå âîçìóùàþùèå ôàêòîðû, èñïîëüçóåìûå äàëåå äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ (èìèòàöèè) äåéñòâèé íà÷àëüíûõ è ïîâåðõíîñòíî-îïðåäåëåííûõ âîçäåéñòâèé íà òåëî, à u u sm m0 0 0� ( ) ( ; , )s S m Mm 0 0 01� � , u u sm m� � �� ( ) ( ; , )s S m Mm � � �� �1 . Ïîñêîëüêó ïðåäñòàâëåííàÿ ñîãëàñíî (6), (9), (10) èëè (6), (11), (12) âåê- òîð-ôóíêöèÿ u s( ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1) òî÷íî [7] ïðè ëþáûõ f s0 ( ) , f s� ( ) , f f m Mm0 0 01� �col( , , ) , f f m Mm� � �� �col( , , )1 , òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäíèõ áóäåì äàëåå èñïîëüçîâàòü íà÷àëüíî-ïîâåðõíîñòíûå íàáëþäå- íèÿ (3), (4) è ñîîòíîøåíèå (5), êîòîðûå íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ïî ñðåäíåêâàäðà- òè÷åñêîìó êðèòåðèþ. 104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 ÇÀÄÀ×È ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ ÓÏÐÓÃÈÕ ÒÅË Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÎÁÚÅÌÍÎ-ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ ÂÍÅØÍÅÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÂÎÇÄÅÉÑÒÂÈÉ Ïîñòàíîâêà çàäà÷. Ðàññìîòðèì áëîê çàäà÷ óïðàâëåíèÿ ñèñòåìîé (1) ïðè âû- âîäå âåêòîð-ôóíêöèè u s( ) äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òî÷åê ñèñòåìû â îêðå- ñòíîñòü ñîñòîÿíèÿ U il ( , ; , )l L i I� �1 1 òàê, ÷òîáû � � min ( )u s (13) ïðè �� � � � �� ��� || ( ) ( ) ||L u s Ui s l L i I s s il l 11 2 . Îáÿçàòåëüíûì ýëåìåíòîì ïàêåòà âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ óïðàâëÿþùèõ âîçäåé- ñòâèé áóäåì ñ÷èòàòü îáúåìíî-ðàñïðåäåëåííîå âíåøíåäèíàìè÷åñêîå âîçäåé- ñòâèå f s( ) , îïðåäåëåííîå íåïðåðûâíî èëè âåêòîðîì f f s m Mm� �col( ( ), , )1 åãî çíà÷åíèé â òî÷êàõ s S m Mm T� � 0 1( , ) . Ðàññìîòðèì âîçìîæíîñòè äîïîëíèòåëüíîãî èñïîëüçîâàíèÿ óïðàâëÿþ- ùèõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçäåéñòâèé U xr 0 ( ) ( , ; )r R x S� �1 0 0 è U s� � ( ) ( , ; [ , ])� � � �1 0R s T� � , êîòîðûå îïðåäåëèì ñîãëàñíî (3), (4) ñ ó÷åòîì ïðåäâà- ðèòåëüíî íàéäåííîé âåêòîð-ôóíêöèè u s( ) . Íå èñïîëüçóåìûå â óïðàâëåíèè íà÷àëüíî-ïîâåðõíîñòíûå âíåøíåäèíàìè÷åñêèå âîçäåéñòâèÿ áóäåì ñ÷èòàòü èçâåñòíûìè. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî, ÷òîáû âåêòîð-ôóíêöèÿ u s( ) äîïîëíèòåëü- íî ê (13) ìèíèìèçèðîâàëà ôóíêöèîíàëû ��0 0 11 0 0 2 00 0 � � � � �� � � �� || ( ) ( ) || min ( L u s Ur t l L r R t x x rl u l s) , (14) ��� � ��� �� � � � �� ��� || ( ) ( ) || min ( ) L u s Ux l LR s s l u sl � � � 11 2 . (15) Óïðàâëåíèå îáúåìíî-ðàñïðåäåëåííûìè âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè âîçäåé- ñòâèÿìè. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå çàäà÷è (1)–(5) ñ ó÷åòîì óïðàâëåíèÿ ñîñòîÿíèåì òðåõìåðíîãî óïðóãîãî òåëà S 0 ñ èñïîëüçîâàíèåì (êàê óïðàâëÿþùåãî) îáúåì- íî-ðàñïðåäåëåííîãî âíåøíåäèíàìè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ. Ïðîàíàëèçèðóåì òàêæå ñëó÷àé, êîãäà ýòî óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå îïðåäåëÿåòñÿ íåïðåðûâíî ôóíêöèåé f s( ) è äèñêðåòíî — âåêòîðîì f åãî çíà÷åíèé. Ïðè èçâåñòíûõ íà÷àëüíî-ïîâåðõ- íîñòíûõ íàáëþäåíèÿõ (3), (4) çà òåëîì ïîòðåáóåì, ÷òîáû � � ��� � �0 min ( )u s (16) ïðè � ��0 , , îïðåäåëåííûõ â (14), (15). Ïðåäñòàâëÿÿ âåêòîð-ôóíêöèþ u s( ) ñîñòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî òåëà ñîîòíî- øåíèÿìè (6), (9), (10) èëè (6), (11), (12), îò çàäà÷è (16) ëåãêî ïåðåõîäèì [7] ê çà- äà÷å îïðåäåëåíèÿ óïðàâëÿþùå-ìîäåëèðóþùåé âåêòîð-ôóíêöèè f s f s s S( ) (( ( )( ))� �col 0 0 , ( ( ) ( ))f s s S� �� , ( ( ) ( )))f s s S� 0 � èëè âåêòîðà f f f f� col( , , )0 � , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì (ðåçóëüòàòîì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îáðàùåíèÿ) ñîîòâåòñòâåííî ñèñòåì ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 105 A s f s ds U( ) ( ) ( )� � � (17) è Af U� . (18) Çäåñü ñèìâîëîì ( )� îáîçíà÷åíî èíòåãðèðîâàíèå ïî îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïîäûí- òåãðàëüíîé ôóíêöèè, U U U U� col( , , )0 � , A Aij i j i j� � � [ ] , , 1 3 , A s A sij i j i j ( ) [ ( )] , ,� � � 1 3 ïðè U U l L r R rl0 0 0 01 1� � �col(( , , , , ) , U U l L R l� � � �� � �col(( , , , , ) � �1 1 , U U i Ii� �col( , ), 1 ; A s L G s s l L rj j r t j t x xl 1 0 00 0 1 1( ) (( ( ) ( ) , , ), , � � � �� � col � R0 ) , A s L G s s l L Rj j x j s sl 2 1 1( ) (( ( ) ( ) , , ), , ) � � � � � col � � �� � �� , A s L G s s i Ij j i s j s si 3 1( ) (( ( ) ( ) , , ) � � � � col � , A L G s m M l Lj r t jm jt x xl 1 0 0 0 1 1� � � �� � col str(( ( ( ) ( ) , , ), ,� 0 01), , )r R� , A L G s m M l Lj x jm s s j l 2 1 1� � � � � col str(( ( ( ) ( ) , , ), , ),� � � �� � �1, )R� , A L G s m M i Ij i s jm s s j i 3 1 1� � � � � col str(( ( ( ) ( ) , , ), , )� , �s S1 0 , �s S2 � , �s S T 3 0 è 1 0 m ms� , M M1 0� , 2m ms� � , M M2 � � , 3m ms� , M M3 � . Ðåøåíèåì (18), ïðè êîòîðîì || || minAf U f � � , íàõîäèì [7] óïðàâëÿþùå-ìîäåëèðóþùèé âåêòîð f ñ êîìïîíåíòàìè f A P U AT 0 1 0� � �� ( ) , f A P U AT � �� � �� 2 ( ) , (19) f A P U AT� � �� 3 ( ) , ãäå ïðè ïðîèçâîëüíûõ 3 0M -, 3M � - è 3M -ìåðíûõ âåêòîðàõ 0 , ,� òîæäåñò- âåííî ðàâíûõ íóëþ, åñëè det A AT � 0 , èìååì 106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 � col( , , )0 � , A A ji ji� �col( , , )1 3 , P AAT� , à �2 0� � � � � �min( ) ( )u s T TU U U PP U� � �� . (20) Àíàëîãè÷íî èç ðåøåíèÿ ñèñòåìû (17) òàêîãî, ÷òî || ( ) ( ) || min ( ) ( ) A s f s ds U f s� � � �2 , íàõîäèì [7] êîìïîíåíòû f s A s P U A sT 0 1 0( ) ( ) ( ) ( )� � �� f s A s P U A sT � �( ) ( ) ( ) ( )� � �� 2 (21) f s A s P U A sT( ) ( ) ( ) ( )� � �� 3 íåïðåðûâíî îïðåäåëåííîé óïðàâëÿþùå-ìîäåëèðóùåé âåêòîð-ôóíêöèè f s( ) , ïðè êîòîðîé ñ òî÷íîñòüþ �2 0� � � � � �min( ) ( )u s T TU U U PP U� � �� (22) ðåøàåòñÿ ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à. Çäåñü, êàê è âûøå, 0 ( )s ( )s S� 0 , � ( )s ( )s S� � , ( )s ( )s S T� 0 — ïðîèçâîëüíûå èíòåãðèðóåìûå â îáëàñòè èçìåíåíèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ ôóíêöèè, òîæäåñòâåííî ðàâíûå íóëþ, åñëè lim det [ ( ) ( )] , , N T i j i j i j N A s A s �� � � � 1 0 ïðè A s A s ji ji( ) ( ( ), ,� �col 1 3 ( , )i �1 3 ), P A s A s ds A s A s ds A s A s S T S T S T T � � �� � �1 1 2 2 3 3 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( � )ds, A A s s ds A s s ds A s s ds S S S T � � �� � �1 0 2 3 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � . Óïðàâëåíèå ñ ó÷åòîì íà÷àëüíî-ïîâåðõíîñòíûõ âîçìóùàþùèõ ôàêòîðîâ. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé óïðàâëåíèÿ òðåõìåðíûì óïðóãèì òåëîì, ïîëàãàÿ, ÷òî ñîñòîÿ- íèåU i ( , )i I�1 òî÷åê òåëà äîñòèãàåòñÿ ñîâìåñòíûì äåéñòâèåì îáúåìíî-ðàñïðåäå- ëåííûõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ óïðàâëÿþùèõ ôàêòîðîâ f è f s( ) , äîïîëíåííûõ íà÷àëüíûìè U xr 0 ( ) ( , )r R�1 0 , ïîâåðõíîñòíûìèU s� � ( ) ( , )� �1 R� è íà÷àëüíî-ïî- âåðõíîñòíûìèU xr 0 ( ) ( , )r R�1 0 ,U s� � ( ) ( , )� �1 R� âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè óïðàâ- ëÿþùèìè ôàêòîðàìè. Çàäà÷à 1. Ïðîáëåìà óïðàâëåíèÿ ñèñòåìîé (1) — (5) ðåøàåòñÿ ïðè èçâåñòíîì íàáëþäåíèè U l� � ( , , , )l L R� �1 1� �� îáúåìíî- è íà÷àëüíî-ðàñïðåäåëåííûìè âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè óïðàâëÿþùèìè âîçäåéñòâèÿìè. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 107  ýòîì ñëó÷àå â ðàçðåøàþùèõ ñèñòåìàõ (17), (18) äëÿ îïðåäåëåíèÿ óïðàâëÿ- þùå-ìîäåëèðóþùèõ âåêòîðà f è âåêòîð-ôóíêöèè f s( ) áóäóò îòñóòñòâîâàòü ïåð- âûå 3 0 0R L óðàâíåíèÿ èëè (÷òî ýêâèâàëåíòíî) áëîêè U 0 , A j1 , A sj1 ( ) ( , )j �1 3 âåê- òîðà U , ìàòðèöû A è ìàòðè÷íîé ôóíêöèè A s( ) .  ðåçóëüòàòå óïðîùàþòñÿ âûðà- æåíèÿ (19), (21) äëÿ âåêòîðîâ f 0 , f � , f è âåêòîð-ôóíêöèé f s0 ( ) , f s� ( ) , f s( ) . Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîñëåäíèõ ñîãëàñíî (3) îïðåäåëèì óïðàâëÿþùèå ôóíêöèè U xr 0 ( ) ( , )r R�1 0 . Òî÷íîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿ- ìè (20), (22), çàïèñàííûìè ñ ó÷åòîì óïîìÿíóòûõ èçìåíåíèé â îïðåäåëåíèè âåêòîðà U , ìàòðèöû A è ìàòðè÷íîé ôóíêöèè A s( ) . Çàäà÷à 2. Óïðàâëåíèå ñèñòåìîé (1)–(5) âûïîëíÿåòñÿ ïðè íàáëþäàåìîì ñî- ãëàñíî (3) íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè èññëåäóåìîãî òåëà îáúåìíî- è ïîâåðõíîñòíî-ðàñ- ïðåäåëåííûìè âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè óïðàâëÿþùèìè ôóíêöèÿìè f s( ) èU s� � ( ). Êàê è âûøå, óïðàâëÿþùå-ìîäåëèðóþùèå âåêòîð f è âåêòîð-ôóíêöèþ f s( ) îïðåäåëèì ïîñëå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îáðàùåíèÿ ñèñòåì (17), (18), â êîòîðûõ òåïåðü áóäóò îòñóòñòâîâàòü 3R L� � óðàâíåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå íåíàáëþäàåìî- ìó çäåñü âåêòîðó U � . Àíàëîãè÷íûå èçìåíåíèÿ èìåþò ìåñòî è ïðè îïðåäåëåíèè ìàòðèöû A , ìàòðè÷íîé ôóíêöèè A s( ) , à òàêæå ïðè íàéäåííûõ ÷åðåç íèõ ñîîòíî- øåíèÿìè (19), (21) âåêòîðàõ f 0 , f � , f è âåêòîð-ôóíêöèÿõ f s0 ( ) , f s� ( ) , f s( ) , ìî- äåëèðóþùèõ íà÷àëüíî-, ïîâåðõíîñòíî- è îáúåìíî-ðàñïðåäåëåííûå óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ âåêòîðîâ è âåêòîð-ôóíêöèé ñîîòíîøåíèÿìè (6)–(12) îïðåäåëèì âåêòîð-ôóíêöèþ u s( ), à ÷åðåç íåå ñîãëàñíî (4) íàéäåì è ïîâåðõíî- ñòíî-ðàñïðåäåëåííîå óïðàâëåíèå U s� � ( ) ( , , [ , ])� � � �1 0R s T� � . Çàäà÷à 3. Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå âåêòîð-ôóíêöèè u s( ) ñîñòîÿ- íèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî óïðóãîãî òåëà ê çíà÷åíèÿì U i ( , )i I�1 , îïðåäåëåííûì â (5), âûïîëíèì êîìïëåêñíî, âîçäåéñòâóÿ íà íåãî íà÷àëüíî-, ïîâåðõíîñòíî- è îáúåìíî-ðàñïðåäåëåííûìè âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè óïðàâëÿþùèìè ôàêòîðàìè îäíîâðåìåííî. Îòñóòñòâèå íàáëþäåíèé (3), (4), à ñëåäîâàòåëüíî è ñîñòàâëÿþùèõ U 0 , U � â (17), (18), ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèÿì A Ai i� 3 , A s A si i( ) ( )� 3 äëÿ i �1 3, . Àíàëîãè÷íî óïðîùàþòñÿ è âûðàæåíèÿ (19), (21) äëÿ óïðàâëÿþùå-ìîäåëèðóþ- ùèõ âåêòîðîâ f 0 , f � , f è âåêòîð-ôóíêöèé f s0 ( ), f s� ( ), f s( ). Óïðàâëÿþùèå âíåøíåäèíàìè÷åñêèå âîçäåéñòâèÿ U xr 0 ( ) ( , )r R�1 0 è U s� � ( ) ( , )� �1 R� , êàê è âûøå, ïîëó÷èì èç (3), (4) ïîñëå ïîäñòàíîâêè â íèõ ñîîòíîøåíèé (6)–(12), ÷òî è ðåøèò çàäà÷ó. Òî÷íîñòü ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ îïðåäåëèì ñîãëàñíî (20), (22) ñ ó÷åòîì íàçâàííûõ çäåñü óïðîùåíèé â ðàçðåøàþùèõ óðàâíåíèÿõ (17), (18). Óïðàâëåíèå â óñòàíîâèâøåìñÿ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîì ðåæèìå. Ïîñòà- íîâêè è ðåøåíèÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå çàäà÷ ïî óïðàâëåíèþ òðåõìåðíûì óïðóãèì òå- ëîì S 0 áóäóò áîëåå ïðîñòûìè, åñëè âëèÿíèåì íà÷àëüíî- è ïîâåðõíî- ñòíî-îïðåäåëåííûõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçäåéñòâèé u s( ) íà ïîëå îáúåìíî- äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé â îáëàñòè S 0 ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.  ýòîì ñëó÷àå â óðàâíåíè- ÿõ (17), (18) ìîæíî íå ó÷èòûâàòü âåêòîðûU 0 è U � , ÷òî, êàê è âûøå, óïðîñòèò ñòðóê- òóðó ìàòðèöû A, à òàêæå ìàòðè÷íîé ôóíêöèè A s( ) . Ïðè îòñóòñòâèè íà÷àëüíî-ïîâåðõ- íîñòíûõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçäåéñòâèé îêàæóòñÿ íåíóæíûìè âåêòîðû f 0 , f � , à ñëåäîâàòåëüíî, è âåêòîð-ôóíêöèè f s0 ( ) , f s� ( ), êîòîðûå èõ ìîäåëèðóþò, à òàêæå ðå- çóëüòàò òàêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ — ôóíêöèè u s0 ( ) è u s� ( ) â ñîîòíîøåíèè (6). 108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 Ïðåäñòàâèì âàðèàíòû ïîñòàíîâîê çàäà÷ óïðàâëåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûì òåëîì è ñòðóêòóðó ðàçðåøàþùèõ óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ óïðàâëÿþùå-ìîäåëèðóþ- ùèõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ ôàêòîðîâ f è f s( ) . Çàäà÷à 4. Èññëåäóåòñÿ äèíàìèêà ðàññìàòðèâàåìîãî óïðóãîãî òåëà, êîãäà íà- ÷àëüíûìè âîçìóùåíèÿìè Y xr 0 ( ) ( , )r R�1 0 ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, à óïðàâëÿþùèì ôàêòîðîì áóäåì ñ÷èòàòü îáúåìíî-ðàñïðåäåëåííîå âíåøíåäèíàìè÷åñêîå âîçäåé- ñòâèå, îïðåäåëåííîå ôóíêöèåé f s( ) èëè âåêòîðîì f åå çíà÷åíèé òàê, ÷òîáû � ��� � min ( )u s . Óïðàâëÿþùå-ìîäåëèðóþùèé âåêòîð f f f� col( , )� , êàê è âåêòîð-ôóíêöèþ f s f s f s( ) ( ( ), ( ))� col � , ïîëó÷èì ïîñëå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îáðàùåíèÿ ñèñòåì (17), (18), â êîòîðûõ òåïåðü A Aij i j i j� � � [ ] , , 2 3 , A s A sij i j i j ( ) [ ( )] , ,� � � 2 3 , U U U� col( , )� , U s U s U s( ) ( ( ), ( ))� col � . Ñ ó÷åòîì ýòîãî ñîîòíîøåíèÿìè (19), (21) ïðè A1 0� , A A Ai i i� col( , )2 3 , i � 2 3, , A s1 0( ) � , A s A s A si i i( ) ( ( ), ( ))� col 2 3 , i � 2 3, , îïðåäåëÿþòñÿ âåêòîðû f f� , è âåêòîð-ôóíêöèè f s f s� ( ), ( ) òàêèå, ÷òî min( ) ( )u s T TU U U PP U� ��� � � � . Åñëè â óïðàâëåíèè èñïîëüçóþòñÿ ïîâåðõíîñòíûå âíåøíåäèíàìè÷åñêèå âîç- ìóùàþùèå ôàêòîðû U s� � ( ) ( , )� �1 R� , êîòîðûå â äîïîëíåíèå ê f , f s( ) îïðåäå- ëèì ñîãëàñíî (6)–(12), òî ðåøåíèåì (17), (18) ïðè � � min ( )u s áóäóò âåêòîðû f � , f è âåêòîð-ôóíêöèè f s� ( ) , f s( ) , îïðåäåëåííûå ñîîòíîøå- íèÿìè (19), (21), â êîòîðûõ ïðè îòñóòñòâèè U � èìååì A A22 23� � A s22 ( ) � � �A s23 0( ) . Ïðè ýòîì, êàê è âûøå, min ( )u s T TU U U PP U� � � � . (23) Çàäà÷à 5. Ðàññìîòðèì âàðèàíò óïðàâëåíèÿ òåëîì S 0 , êîãäà ïðè íàáëþäàå- ìîì ñîãëàñíî (3) íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè òåëà ïîâåðõíîñòíî-ðàñïðåäåëåííûìè âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè âîçäåéñòâèÿìè (4) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Óïðàëÿþùå-ìîäåëèðóþùèå âåêòîð f f f� col( , )0 è âåêòîð-ôóíêöèþ f s f s f s( ) ( ( ), ( ))� col 0 òàêèå, ÷òî � �� �0 min ( )u s , ïîëó÷èì èç (19), (21) ïîñëå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îáðàùåíèÿ ñèñòåì (17), (18), ãäå A A A A A � � � � �� 11 13 31 33 , U U U � � � � �� 0 , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 109 A s A s A s A s A s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � �� 11 13 31 33 , U s U s U s ( ) ( ) ( ) � � � � �� 0 . Åñëè â óïðàâëåíèè ðàññìàòðèâàåìûì òåëîì âìåñòå ñ îáúåìíî-ðàñïðåäåëåííû- ìè âîçìóùåíèÿìè f è f s( ) èñïîëüçóþòñÿ íà÷àëüíî-îïðåäåëåííûå âíåøíåäèíàìè- ÷åñêèå âîçìóùåíèÿU xr 0 ( ) ( , )r R�1 0 , òî äîïîëíèòåëüíî ê ñêàçàííîìó â óðàâíåíè- ÿõ (17), (18) ïðè îòñóòñòâèè U 0 èìååì A A A s A s11 13 11 13 0� � � �( ) ( ) . Ïðè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì îáðàùåíèè íàçâàííûõ óðàâíåíèé ðàññìàòðèâàå- ìàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ �2 è îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (23). Çàäà÷à 6. Ðåøåíèå çàäà÷è óïðàâëåíèÿ òåëîì S 0 áóäåò áîëåå ïðîñòûì äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà íà÷àëüíî-ïîâåðõíîñòíûìè âîçìóùåíèÿìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Óïðàâëÿþùèå îáúåìíî-ðàñïðåäåëåííûå âíåøíåäèíàìè÷åñêèå âîçìóùàþ- ùèå ôàêòîðû f è f s( ) , ïðè êîòîðûõ � � min ( )u s , ïîëó÷èì ïîñëå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îáðàùåíèÿ óðàâíåíèé A f U33 � , A s f s ds U S T 33 0 ( ) ( ) �� .  ðåçóëüòàòå íàõîäèì f A U A A� � �� � 33 33 33 , f s A P U s A P AT T( ) ( )� � �� � 33 33 ïðè P A s A s dsT S T � � 33 33 0 ( ) ( ) , A A s s ds S T � � 33 0 ( ) ( ) , ïðîèçâîëüíîì 3M -ìåðíîì âåêòîðå è èíòåãðèðóåìîé â îáëàñòè S T 0 âåê- òîð-ôóíêöèè ( )s , òîæäåñòâåííî ðàâíîé íóëþ, åñëè ñîîòâåòñòâåííî detA AT 33 33 0� è lim [ ( ) ( )] , , N T i j i j i j N A s A s �� � � �det 33 33 1 0. Êàê è âûøå, èìååò ìåñòî îöåíêà òî÷íîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è, îïðåäåëåííàÿ â (23). ÇÀÄÀ×È ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ ÒÐÅÕÌÅÐÍÎÃÎ ÓÏÐÓÃÎÃÎ ÒÅËÀ ÏÐÈ ÈÇÂÅÑÒÍÛÕ ÎÁÚÅÌÍÎ-ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ ÂÍÅØÍÅÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÕ Èçëîæèì ðåøåíèÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå çàäà÷ óïðàâëåíèÿ òåëîì S 0 äëÿ ñëó- ÷àÿ, êîãäà îáúåìíî-ðàñïðåäåëåííîå âíåøíåäèíàìè÷åñêîå âîçäåéñòâèå f s( ) èçâåñòíî, à óïðàâëåíèå âûïîëíÿåòñÿ íà÷àëüíî- è ïîâåðõíîñòíî-îïðåäåëåííû- ìè âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè óïðàâëÿþùèìè ôàêòîðàìè U xr 0 ( ) ( , )r R�1 0 , U s� � ( ) ( , )� �1 R� . Êàê è âûøå, âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé U xr 0 ( ) ( , )r R�1 0 , U s� � ( ) ( , )� �1 R� ïîëó÷èì èç ñîîòíîøåíèé (6)–(12), çàïèñàííûõ ñ ó÷åòîì ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì îïðåäåëåííûõ âåêòîðîâ f è âåêòîð-ôóíêöèè f s( ). 110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 Ïîëàãàÿ U U L u sr t t x xl 0 0 0 0 0 � � � � � � �col(( ( ) ( ) , l L�1 0, , r R�1 0, ) , �U U L u sx s sl � � �� � � � � �0 col(( ( ) ( )� , l L�1, � , � �1, )R� , �U U L u si s s si � � � � � �col(( ( ) ( ) , i I�1, ) , ðàçðåøàþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ âåêòîðà f è âåêòîð-ôóíêöèè f s( ) çà- ïèøåì â âèäå Af U� ~ , (24) A s f s ds U( ) ( ) ~ ( ) � � � , (25) ãäå ~ U U U � � � � �� � � , A A A A A � � � � �� 21 22 31 32 , A s A s A s A s A s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � �� 21 22 31 32 ïðè óïðàâëåíèè ôóíêöèÿìè U xr 0 ( ) ( , )r R�1 0 òàêîì, ÷òî �2 � min ( )u s �� ; ~ U U U � � � � �� � 0 , A A A A A � � � � �� 11 12 31 32 , A s A s A s A s A s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � �� 11 12 31 32 ïðè óïðàâëåíèè ôóíêöèÿìè U s� � ( ) ( , )� �1 R� òàêîì, ÷òî �2 0� min ( )u s � ; è, íàêîíåö, ~ U U� � , A A A� ( , )31 32 , A s A s A s( ) ( ( ) ( ))� 31 32 ïðè ñîâìåñòíîì óïðàâëåíèè ôóíêöèÿìè U xr 0 ( ) ( , )r R�1 0 è U s� � ( ) ( , )� �1 R� , äëÿ êîòîðîãî �2 � min ( )u s � . Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îáðàùåíèå óðàâíåíèé (24), (25) ïîçâîëÿåò óñïåøíî ðåøèòü ðàññìàòðèâàåìûå çàäà÷è òàê, ÷òî ïðè P AAT� , P A s A s dsT� � � ( ) ( ) ( ) òî÷íîñòü èõ ðåøåíèÿ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ âåëè÷èíîé �2 � � �~ ~ ~ ~ U U U PP UT T . ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ðåøåíà ñëîæíåéøàÿ çàäà÷à ïðîñòðàíñòâåííîé òåîðèè óïðó- ãîñòè ïî óïðàâëåíèþ òðåõìåðíûì óïðóãèì îáúåêòîì â öåëÿõ ïðèáëèæåíèÿ ëè- íåéíî ïðåîáðàçîâàííîãî âåêòîðà óïðóãî-äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé åãî òî÷åê ê äèñêðåòíî çàäàííûì çíà÷åíèÿì. Çàäà÷à ðåøåíà áåç îãðàíè÷åíèé íà ôîðìó è ðàçìåðû òåëà, áåç îãðàíè÷åíèé íà êîëè÷åñòâî è êà÷åñòâî èíôîðìàöèè î íà÷àëü- íîì ñîñòîÿíèè âíóòðåííèõ òî÷åê òåëà è òåêóùåì ñîñòîÿíèè åãî ïîâåðõíîñòè. Ðàññìîòðåíû ñëó÷àè, êîãäà óïðàâëåíèå ïîëåì óïðóãî-äèíàìè÷åñêèõ ñìåùå- íèé òåëà âûïîëíÿåòñÿ ðàçíûìè êîìáèíàöèÿìè òðåõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ óïðàâ- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 111 ëÿþùèõ ôàêòîðîâ — îáúåìíî-îïðåäåëåííûõ, ïîâåðõíîñòíûõ è íà÷àëüíûõ âîç- ìóùåíèé. Íàçâàííûé ïàêåò óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé íà òåëî ïî ñðåäíåêâàäðà- òè÷åñêîìó êðèòåðèþ òðåõìåðíîå ïîëå óïðóãèõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òî÷åê òåëà, óäîâëåòâîðÿþùåå ïðîñòðàíñòâåííûì óðàâíåíèÿì Ëÿìå, ñîãëàñîâûâàåò ñ äîñòóïíûìè äëÿ äèñêðåòíîãî íàáëþäåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâûìè óñëîâèÿìè è âåê- òîðîì æåëàåìûõ ñîñòîÿíèé îòäåëüíûõ òî÷åê òåëà. Äëÿ êàæäîé çàäà÷è äàíà îöåí- êà òî÷íîñòè òàêîãî ñîãëàñîâàíèÿ, çàïèñàíû óñëîâèÿ îäíîçíà÷íîñòè ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé, èíæåíåðíî ïðîñòûõ è äîñòóïíûõ äëÿ ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ñòîÿí Â.À. Î çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ äèíàìèêîé íåïîëíî îïðåäåëåííûõ òðåõìåðíûõ óïðóãèõ òåë. I. Ñëó- ÷àé íåïðåðûâíî çàäàííîãî æåëàåìîãî ñîñòîÿíèÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2017. Ò. 53, ¹ 4. Ñ. 84–95. 2. Ñòîÿí Â.À., Äâèðíè÷óê Ê.Â. Î ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè òðåõìåðíîãî ïîëÿ ïîïåðå÷íûõ äèíà- ìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òîëñòûõ óïðóãèõ ïëèò. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2013. ¹ 6. Ñ. 58–72. 3. Ñòîÿí Â.À. Ìåòîäè ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ â çàäà÷àõ äèíàì³êè òîâñòèõ ïðóæíèõ ïëèò. Êè¿â: ÂÏÖ «Êè¿âñüêèé óí³âåðñèòåò», 2016. 310 ñ. 4. Ñòîÿí Â.À., Äâèðíè÷óê Ê.Â. Î ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè çàäà÷ óïðàâëåíèÿ äèíàìèêîé òîëñòûõ óïðóãèõ ïëèò. I. Óïðàâëåíèå ïðè íåïðåðûâíî çàäàííîì æåëàåìîì ñîñòîÿíèè. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåì- íûé àíàëèç. 2014. Ò. 50, ¹ 3. Ñ. 70–96. 5. Ñòîÿí Â.À., Äâèðíè÷óê Ê.Â. Î ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè çàäà÷ óïðàâëåíèÿ äèíàìèêîé òîëñòûõ óïðóãèõ ïëèò. II. Óïðàâëåíèå ïðè äèñêðåòíî çàäàííîì æåëàåìîì ñîñòîÿíèè. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåì- íûé àíàëèç. 2015. Ò. 51, ¹ 2. Ñ. 117–133. 6. Ëóðüå À.È. Ïðîñòðàíñòâåííûå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè. Ìîñêâà: Ãîñòåõèçäàò, 1955. 492 ñ. 7. Ñòîÿí Â.À. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ë³í³éíèõ, êâàç³ë³í³éíèõ ³ íåë³í³éíèõ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì. Êè¿â: ÂÏÖ «Êè¿âñüêèé óí³âåðñèòåò», 2011. 320 ñ. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 06.12.2016 Â.À. Ñòîÿí ÏÐÎ ÇÀÄÀײ ÊÅÐÓÂÀÍÍß ÄÈÍÀ̲ÊÎÞ ÍÅÏÎÂÍÎ ÂÈÇÍÀ×ÅÍÈÕ ÒÐÈÂÈ̲ÐÍÈÕ ÏÐÓÆÍÈÕ Ò²Ë. ²I. ÂÈÏÀÄÎÊ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎ ÇÀÄÀÍÎÃÎ ÁÀÆÀÍÎÃÎ ÑÒÀÍÓ Àíîòàö³ÿ. Ðîçâ’ÿçàíî çàäà÷³ êåðóâàííÿ ë³í³éíî ïåðåòâîðåíîþ âåêòîð- ôóíêö³ºþ çì³ùåíü òî÷îê òðèâèì³ðíîãî ïðóæíîãî ò³ëà ç ìåòîþ ñåðåäíüî- êâàäðàòè÷íîãî íàáëèæåííÿ ¿¿ äî äèñêðåòíî çàäàíèõ çíà÷åíü. Çàäà÷³ ðîçâ’ÿ- çóþòñÿ áåç îáìåæåíü íà ãåîìåòð³þ ò³ëà ³ ïðè äèñêðåòíî âèçíà÷åíèõ ñïîñòå- ðåæåííÿõ çà éîãî ïî÷àòêîâî-êðàéîâèì ñòàíîì. ßê êåðóâàëüí³ ôàêòîðè ðîç- ãëÿíóòî îá'ºìíî-, ïîâåðõíåâî- ³ ïî÷àòêîâî-ðîçïîä³ëåí³ çîâí³øíüîäèíàì³÷í³ çáóðåííÿ. Ïðîâåäåíî îö³íþâàííÿ òî÷íîñò³ òà îäíîçíà÷íîñò³ êåðóâàííÿ. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ïðîñòîðîâî ðîçïîä³ëåí³ äèíàì³÷í³ ñèñòåìè, ïðîñòîðîâ³ çà- äà÷³ òåî𳿠ïðóæíîñò³, ïñåâäî³íâåðñ³ÿ, êåðóâàííÿ. V.A. Stoyan PROBLEMS OF CONTROL OF THE DYNAMICS OF INCOMPLETELY DEFINED THREE-DIMENSIONAL ELASTIC BODIES. II. THE CASE OF DISCRETELY DEFINED DESIRED STATE Abstract. The author solves the problems of control of linearly transformed vector function of displacement points of three-dimensional elastic body with the purpose of root-mean-square approximation to its discretely defined values. The problems are solved without constraints on the body geometry and under discretely defined observations of its initial-boundary state. Space, superficial, and initially distributed outward perturbations are considered as control factors. The evaluation of accuracy and uniqueness of control is conducted. Keywords: spatially distributed dynamical systems, spatial problems of elasticity theory, pseudoinversion, control. Ñòîÿí Âëàäèìèð Àíòîíîâè÷, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: v_a_stoyan@ukr.net. 112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5

Схожі ресурси