Структурно детерминированные неравенства для корреляций в цикле линейных зависимостей
Сформулированы и доказаны ограничения (типа неравенств) для корреляций, вытекающие из линейности и марковских свойств модели с ромбовидной структурой (цикл с одним коллайдером). Представленные неравенства специфичны для базовой модели и некорректны для альтернативных моделей, отличающихся марковским...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2018 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144846 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Структурно детерминированные неравенства для корреляций в цикле линейных зависимостей / А.С. Балабанов // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 3–16. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144846 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Балабанов, А.С. 2019-01-05T19:09:13Z 2019-01-05T19:09:13Z 2018 Структурно детерминированные неравенства для корреляций в цикле линейных зависимостей / А.С. Балабанов // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 3–16. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144846 004.855:519.216 Сформулированы и доказаны ограничения (типа неравенств) для корреляций, вытекающие из линейности и марковских свойств модели с ромбовидной структурой (цикл с одним коллайдером). Представленные неравенства специфичны для базовой модели и некорректны для альтернативных моделей, отличающихся марковскими свойствами из-за присутствия дополнительной связи. Правдоподобность нарушения этих неравенств в альтернативных моделях оценивается стохастической симуляцией. Показано, что представленные неравенства полезны для валидации модели в ситуации неполной наблюдаемости. Сформульовано і доведено декілька обмежень (типу нерівність) для кореляцій, які випливають з лінійності та марковських властивостей моделі з ромбовидною структурою (цикл с одним колізором). Презентовані нерівності є специфічними для базової моделі й некоректними для альтернативних моделей, які відрізняються марковськими властивостями через наявність додаткового зв’язку. Правдоподібність порушення цих нерівностей в альтернативних моделях оцінюється стохастичною симуляцією. Показано, що встановлені нерівності корисні для валідації моделі в ситуації неповної спостережуваності. We state and prove several simple inequality constraints on correlations, which are entailed by linearity and Markov properties of rhombus-like causal model (structured as cycle with one collider). The inequalities are specific for the basic model and are likely to be violated in alternative models, which differ in Markov properties due to existence of additional edge (connection). Plausibility of violation of the inequalities in alternative models is evaluated via simulation. We outline some ways by which the inequalities can assist in the model verification under partial observability. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кібернетика Структурно детерминированные неравенства для корреляций в цикле линейных зависимостей Структурно детерміновані нерівності для кореляцій у циклі лінійних залежностей Inequality constraints on correlations, structurally implied by cycle of linear dependencies Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Структурно детерминированные неравенства для корреляций в цикле линейных зависимостей |
| spellingShingle |
Структурно детерминированные неравенства для корреляций в цикле линейных зависимостей Балабанов, А.С. Кібернетика |
| title_short |
Структурно детерминированные неравенства для корреляций в цикле линейных зависимостей |
| title_full |
Структурно детерминированные неравенства для корреляций в цикле линейных зависимостей |
| title_fullStr |
Структурно детерминированные неравенства для корреляций в цикле линейных зависимостей |
| title_full_unstemmed |
Структурно детерминированные неравенства для корреляций в цикле линейных зависимостей |
| title_sort |
структурно детерминированные неравенства для корреляций в цикле линейных зависимостей |
| author |
Балабанов, А.С. |
| author_facet |
Балабанов, А.С. |
| topic |
Кібернетика |
| topic_facet |
Кібернетика |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Структурно детерміновані нерівності для кореляцій у циклі лінійних залежностей Inequality constraints on correlations, structurally implied by cycle of linear dependencies |
| description |
Сформулированы и доказаны ограничения (типа неравенств) для корреляций, вытекающие из линейности и марковских свойств модели с ромбовидной структурой (цикл с одним коллайдером). Представленные неравенства специфичны для базовой модели и некорректны для альтернативных моделей, отличающихся марковскими свойствами из-за присутствия дополнительной связи. Правдоподобность нарушения этих неравенств в альтернативных моделях оценивается стохастической симуляцией. Показано, что представленные неравенства полезны для валидации модели в ситуации неполной наблюдаемости.
Сформульовано і доведено декілька обмежень (типу нерівність) для кореляцій, які випливають з лінійності та марковських властивостей моделі з ромбовидною структурою (цикл с одним колізором). Презентовані нерівності є специфічними для базової моделі й некоректними для альтернативних моделей, які відрізняються марковськими властивостями через наявність додаткового зв’язку. Правдоподібність порушення цих нерівностей в альтернативних моделях оцінюється стохастичною симуляцією. Показано, що встановлені нерівності корисні для валідації моделі в ситуації неповної спостережуваності.
We state and prove several simple inequality constraints on correlations, which are entailed by linearity and Markov properties of rhombus-like causal model (structured as cycle with one collider). The inequalities are specific for the basic model and are likely to be violated in alternative models, which differ in Markov properties due to existence of additional edge (connection). Plausibility of violation of the inequalities in alternative models is evaluated via simulation. We outline some ways by which the inequalities can assist in the model verification under partial observability.
|
| issn |
1019-5262 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144846 |
| citation_txt |
Структурно детерминированные неравенства для корреляций в цикле линейных зависимостей / А.С. Балабанов // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 3–16. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT balabanovas strukturnodeterminirovannyeneravenstvadlâkorrelâciivciklelineinyhzavisimostei AT balabanovas strukturnodetermínovanínerívnostídlâkorelâcíiuciklílíníinihzaležnostei AT balabanovas inequalityconstraintsoncorrelationsstructurallyimpliedbycycleoflineardependencies |
| first_indexed |
2025-11-26T00:08:34Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:08:34Z |
| _version_ |
1850593044013776896 |
| fulltext |
À.Ñ. ÁÀËÀÁÀÍÎÂ
ÓÄÊ 004.855:519.216 ÑÒÐÓÊÒÓÐÍÎ ÄÅÒÅÐÌÈÍÈÐÎÂÀÍÍÛÅ
ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ ÄËß ÊÎÐÐÅËßÖÈÉ Â ÖÈÊËÅ
ËÈÍÅÉÍÛÕ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÅÉ
Àííîòàöèÿ. Ñôîðìóëèðîâàíû è äîêàçàíû îãðàíè÷åíèÿ (òèïà íåðàâåíñòâ)
äëÿ êîððåëÿöèé, âûòåêàþùèå èç ëèíåéíîñòè è ìàðêîâñêèõ ñâîéñòâ ìîäåëè
ñ ðîìáîâèäíîé ñòðóêòóðîé (öèêë ñ îäíèì êîëëàéäåðîì). Ïðåäñòàâëåííûå
íåðàâåíñòâà ñïåöèôè÷íû äëÿ áàçîâîé ìîäåëè è íåêîððåêòíû äëÿ àëüòåðíà-
òèâíûõ ìîäåëåé, îòëè÷àþùèõñÿ ìàðêîâñêèìè ñâîéñòâàìè èç-çà ïðèñóòñòâèÿ
äîïîëíèòåëüíîé ñâÿçè. Ïðàâäîïîäîáíîñòü íàðóøåíèÿ ýòèõ íåðàâåíñòâ â àëü-
òåðíàòèâíûõ ìîäåëÿõ îöåíèâàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ñèìóëÿöèåé. Ïîêàçàíî,
÷òî ïðåäñòàâëåííûå íåðàâåíñòâà ïîëåçíû äëÿ âàëèäàöèè ìîäåëè â ñèòóàöèè
íåïîëíîé íàáëþäàåìîñòè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîððåëÿöèÿ, îãðàíè÷åíèå òèïà íåðàâåíñòâî, ñèñòåìà ëè-
íåéíûõ ñòðóêòóðàëüíûõ óðàâíåíèé, ðîìáîâèäíàÿ ñòðóêòóðà ìîäåëè, ìàðêîâ-
ñêèå ñâîéñòâà.
Èçâåñòíî, ÷òî ñòðóêòóðà ñèñòåìû çàâèñèìîñòåé èìïëèöèðóåò îïðåäåëåííûå
îãðàíè÷åíèÿ íà ñîîòíîøåíèå ïîêàçàòåëåé çàâèñèìîñòåé â ìîäåëè. Ìàðêîâñêèå
ñâîéñòâà êàóçàëüíîé ñåòè âûðàæàþòñÿ êàê ðàâåíñòâà äëÿ óñëîâíûõ âåðîÿòíîñ-
òåé [1, 2]. Åñëè íàáëþäàþòñÿ íå âñå ïåðåìåííûå ìîäåëè, íåâîçìîæíî ïðîâå-
ðèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ìàðêîâñêèå ñâîéñòâà. Â òàêîé ñèòóàöèè äëÿ òåñòèðîâà-
íèÿ ìîäåëè ïðèõîäèòñÿ ïðèáåãàòü ê ïðîâåðêå àëüòåðíàòèâíûõ îãðàíè÷åíèé
è êðèòåðèåâ, êîòîðûå ìîæíî âû÷èñëèòü èç ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòåé ìåíü-
øåé ðàçìåðíîñòè. Îáùèå àëãåáðàè÷åñêèå ìåòîäû âûâîäà îãðàíè÷åíèé, èìïëè-
öèðóåìûõ ñòðóêòóðîé êàóçàëüíîé ñåòè, ïðåäñòàâëåíû â [3]. Ñïåöèàëèñòàì ïî
êàóçàëüíûì ìîäåëÿì èçâåñòíî îãðàíè÷åíèå Âåðìà (Verma constraint [4]) äëÿ
ðàñïðåäåëåíèé óñëîâíûõ âåðîÿòíîñòåé. Ýòî îãðàíè÷åíèå õàðàêòåðèçóåò ìîäåëü
èíñòðóìåíòàëüíîé ïåðåìåííîé, ãäå ìåæäó ïðè÷èíîé è ýôôåêòîì èìååòñÿ «ìå-
äèàòîðíàÿ» ïåðåìåííàÿ, ñâÿçàííàÿ ñ êîíôàóíäåðîì ÷åðåç ïðè÷èíó. Íîâûå ðå-
çóëüòàòû äëÿ äèñêðåòíûõ ìîäåëåé ìîæíî íàéòè â [5]. Âûâåäåííûå â [6] ðà-
âåíñòâà õàðàêòåðèçóþò ëèíåéíûå ìîäåëè ñ íåñêîëüêèìè ñêðûòûìè ïåðåìåí-
íûìè. Ýòè ðàâåíñòâà óñòàíîâëåíû äëÿ ñóììû òåðìîâ ñ ðàçíûìè çíàêàìè. Äëÿ
ïðàêòèêè âàæíî, ÷òîáû îãðàíè÷åíèÿ, óñòàíîâëåííûå äëÿ ìîäåëè, ïîçâîëÿëè
ïîñòðîèòü òåñòîâûé êðèòåðèé ñ øèðîêîé êðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ.  ýòîì ñìûñëå
áîëåå ïåðñïåêòèâíû ïðîñòûå (íî íåòðèâèàëüíûå) îãðàíè÷åíèÿ. Íàèáîëåå èçâåñò-
íûé ðåçóëüòàò — íåðàâåíñòâî äëÿ êîððåëÿöèé, óñòàíîâëåííîå òåîðåìîé Äæ.Ñ. Áåë-
ëà (äëÿ îïðåäåëåííîé êâàíòîâîé ñèñòåìû) [7]. Áîëüøèíñòâî ïðàãìàòè÷åñêèõ
êðèòåðèåâ ðàçðàáîòàíî äëÿ äðåâîâèäíûõ ñòðóêòóð ìîäåëåé è ëèíåéíûõ ôîðì
çàâèñèìîñòåé (èëè äëÿ áèíàðíûõ ïåðåìåííûõ). Â ïðàêòèêå àíàëèçà äàííûõ
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 3
© À.Ñ. Áàëàáàíîâ, 2018
øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ îãðàíè÷åíèÿ «òåòðàä» (ðàâåíñòâà ïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé
êîððåëÿöèé), êîòîðûå äåéñòâóþò â ëèíåéíîé ìîäåëè, ãäå íå ìåíåå ÷åòûðåõ
ïåðåìåííûõ ñâÿçàíû îáùåé «ïðè÷èíîé» [1, 8]. Èçâåñòíû òàêæå îãðàíè÷åíèÿ
äëÿ ñîîòíîøåíèé êîððåëÿöèé äëÿ íåêîòîðûõ íåëèíåéíûõ (ìîíîòîííûõ) ôîðì
çàâèñèìîñòåé [9]. Åñëè â ëèíåéíîé ìîäåëè èìååì òîëüêî òðè èíäèêàòîðíûå
ïåðåìåííûå, òî «òåòðàä» íå ðàáîòàåò, íî äåéñòâóåò ñëàáîå îãðàíè÷åíèå òèïà
íåðàâåíñòâà (íåðàâåíñòâî «òðåóãîëüíèêà»). «Òåòðàä»-îãðàíè÷åíèå ëåãêî ðàñ-
ïðîñòðàíÿåòñÿ íà áèíàðíûå ïåðåìåííûå [10]. Àíàëîãè÷íûå ðàâåíñòâà âûâîäÿò-
ñÿ äëÿ ìîäåëè ñ áèíàðíîé îáùåé ïðè÷èíîé è äèñêðåòíûìè (íå îáÿçàòåëüíî
áèíàðíûìè) èíäèêàòîðàìè [11, 12]. Óäàëîñü íàéòè íåòðèâèàëüíîå ðàâåíñòâî
(«òðèàä») äëÿ ìîäåëè, ãäå èìåþòñÿ òîëüêî òðè äèñêðåòíûõ (íå áèíàðíûõ) èí-
äèêàòîðà [11]. Öèêëè÷åñêèå ñòðóêòóðû ñëîæíåå õàðàêòåðèçîâàòü â òåðìèíàõ
ïàðíûõ çàâèñèìîñòåé.  äàííîé ñòàòüå àíàëèçèðóåòñÿ öèêëè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà
ëèíåéíûõ çàâèñèìîñòåé.
ÕÀÐÀÊÒÅÐÍÛÅ ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ ÄËß ÊÎÐÐÅËßÖÈÉ
Êàóçàëüíûå ñåòè, ãäå âñå çàâèñèìîñòè ëèíåéíû, à ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíû, íà-
çûâàþò ãàóññîâûìè ñåòÿìè, èëè ëèíåéíûìè ñèñòåìàìè ñòðóêòóðàëüíûõ óðàâíå-
íèé. (Èíîãäà ãàóññîâûìè ñåòÿìè íàçûâàþò ìîäåëè íà îñíîâå íåîðèåíòèðîâàííûõ
ñâÿçåé. Ìû ðàññìàòðèâàåì ìîäåëè ñ îðèåíòèðîâàííûìè ñâÿçÿìè, ò.å. êàóçàëüíûå
ãàóññîâû ñåòè.) Ãàóññîâû ñåòè óäîáíû òåì, ÷òî ÷àñòíûå êîððåëÿöèè ñîâïàäàþò ñ
óñëîâíûìè êîððåëÿöèÿìè. Íàïîìíèì, ÷òî êîëëàéäåðîì íàçûâàþò ôðàãìåíò
ñòðóêòóðû âèäà A C B� � (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî A è B âëèÿþò íà C).
 öåíòðå âíèìàíèÿ äàííîé ðàáîòû — öèêëè÷åñêàÿ ãàóññîâà ñåòü èç ÷åòûðåõ
(íå ìåíåå ÷åòûðåõ) ïåðåìåííûõ ñ îäíèì êîëëàéäåðîì â öèêëå. Áàçîâàÿ ìîäåëü
îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé ëèíåéíûõ ñòðóêòóðàëüíûõ óðàâíåíèé:
x � �1; (1)
z a x� � � �2 ; (2)
w b x� � � �3 ; (3)
y c z d w� � � � � �4 , (4)
ãäå � �i i iN m~ ( , )2 , äëÿ âñåõ i j� ñïðàâåäëèâî � �i j� .
Ñòðóêòóðà ýòîé ìîäåëè èçîáðàæåíà íà ðèñ. 1, à. Ìàðêîâñêèå ñâîéñòâà ìîäå-
ëè (óñëîâíûå íåçàâèñèìîñòè, äåòåðìèíèðîâàííûå ñòðóêòóðîé) ñ÷èòûâàþòñÿ
ñ ãðàôà ìîäåëè ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ d-ñåïàðàöèè [2]. Â ãàóññîâûõ ñåòÿõ ìàðêîâ-
ñêèå ñâîéñòâà âûðàæàþòñÿ íóëåâûìè çíà÷åíèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ (÷àñòíûõ)
êîððåëÿöèé [1, 2]. Äëÿ ìîäåëè (1)–(4) èìååì � ZW X; � 0 è � XY ZW; � 0. Ýòà ïàðà
îáíóëÿþùèõñÿ ÷àñòíûõ êîððåëÿöèé îïðåäåëÿåò êëàññ ìàðêîâñêîé ýêâèâàëåíò-
íîñòè ìîäåëåé. Ðåâåðñèðîâàíèå ðåáðà X W� èëè ðåáðà X Z� (íî òîëüêî îäíî-
ãî èç íèõ) íå âûâîäèò ìîäåëü çà ïðåäåëû êëàññà ìàðêîâñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè.
(Òîãäà óðàâíåíèÿ (1)–(3) ñîîòâåòñòâåííî ïåðåïèñûâàþòñÿ.) Óêàçàííûå óñëîâíûå
íåçàâèñèìîñòè äëÿ íàáîðà ïåðåìåííûõ X Z W, , , Y ñîõðàíÿþòñÿ äàæå ïîñëå ââå-
äåíèÿ äîïîëíèòåëüíîé ïåðåìåííîé Q ñî ñâÿçÿìè Q X� è Q W� (ðèñ. 1, á). Áî-
ëåå òîãî, äâå óêàçàííûå óñëîâíûå íåçàâèñèìîñòè ñîõðàíÿþòñÿ òàêæå â ìîäåëè,
ãäå äîïîëíèòåëüíûìè ñâÿçÿìè îõâà÷åíî ðåáðî êîëëàéäåðà (ñì. ñòðóêòóðó ðèñ. 1, â).
Ïåðå÷èñëåííûå âàðèàíòû ñòðóêòóðû ìîäåëè äëÿ êðàòêîñòè áóäåì íàçûâàòü ðîì-
áîì. Äëÿ ìîäåëè ñî ñòðóêòóðîé ðîìáà íàéäåíû õàðàêòåðíûå îãðàíè÷åíèÿ äëÿ
êîððåëÿöèé. Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî â [13].
4 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
Óòâåðæäåíèå 1.  ñèñòåìå (1)–(4) ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñïðà-
âåäëèâî îãðàíè÷åíèå � �
XY ZY
2 2
èëè � �
XY WY
2 2
.
Äîêàçàòåëüñòâî èç [13] îïåðèðóåò ïàðàìåòðàìè ìîäåëè è íåïîñðåäñòâåííî
îòíîñèòñÿ ê îäíîìó âàðèàíòó áàçîâîé ìîäåëè. Ìåæäó òåì, òàêîå îãðàíè÷åíèå
âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåãî êëàññà ìàðêîâñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè, ê êîòîðîìó îòíîñèò-
ñÿ ìîäåëü (1)–(4) (è áîëåå òîãî, äëÿ âñåõ ëèíåéíûõ ìîäåëåé ñ óêàçàííûìè äâóìÿ
íåçàâèñèìîñòÿìè). Äîêàçàòåëüñòâî áîëåå îáùåãî óòâåðæäåíèÿ îïèðàåòñÿ èñêëþ-
÷èòåëüíî íà óñëîâíûå íåçàâèñèìîñòè è ëèíåéíîñòü. Ñíà÷àëà ïðåäïîëîæèì, ÷òî
�
XZ
2 1� , �
XW
2 1� , �
ZY
2 1� è �
WY
2 1� . (Ñëó÷àè, êîãäà êîððåëÿöèè ðàâíû åäèíè-
öå, ðàññìîòðèì ïîñëå ïðèâåäåííûõ íèæå óòâåðæäåíèé.)
Óòâåðæäåíèå 2 (íåðàâåíñòâî ìàêñèìàëüíîé êîëëàéäåðíîé êîððåëÿöèè).
Åñëè â êàóçàëüíîé ãàóññîâîé ñåòè ñïðàâåäëèâî � ZW X; � 0 è � XY ZW; � 0, òî âû-
ïîëíÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå � � �
XY ZY WY
2 2 2
max ,{ }.
Äîêàçàòåëüñòâî. Óñëîâèå �XY ZW; � 0 îçíà÷àåò ðàâåíñòâî � � �XY W XZ W ZY W; ; ;� � .
Ðàñêðûâàÿ ôîðìóëû ÷àñòíûõ êîððåëÿöèé, ïîëó÷àåì
( )( )� � � �XY XW WY ZW
�
�1 2 ( )( )� � � � � �XZ XW ZW ZY WY ZW
�
� . (5)
Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé (5) è ñîêðàùåíèÿ ïîëó-
÷àåì
� � � � � � � � � �XY ZW ZY XZ XW ZW WY XW XZ ZW( ) ( ) ( )1 2
�
� �
� . (6)
Âîçìîæíî íåñêîëüêî ñëó÷àåâ ñî÷åòàíèÿ çíàêîâ òåðìîâ â óðàâíåíèè (6). Ðàñ-
ñìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà îáà òåðìà ïðàâîé ÷àñòè îòðèöàòåëüíû. (Òîãäà ëåâàÿ ÷àñòü
òîæå îòðèöàòåëüíà.) Î÷åâèäíî, â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïåðåïèñàòü (6) â ñëåäóþùåì
âèäå ñ èñïîëüçîâàíèåì àáñîëþòíûõ âåëè÷èí (ìîäóëåé):
| | ( ) | | | | | | |� � � � � � � � �XY ZW ZY XZ XW ZW WY XW XZ�
� �
� � �
�1 2
� ZW |. (7)
Ïðèìåì ïðåäïîëîæåíèå «îò ïðîòèâíîãî», ò.å. ïóñòü èìååì
� �
XY ZY
2 2
� , � �
XY WY
2 2
� . (8)
Ñîïîñòàâëÿÿ (7) è (8), ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
| | ( )� �XY ZW
�
�1 2 | | | | | | | |,� � � � � � � �XY XZ XW ZW XY XW XZ ZW�
� � �
� (9)
ãäå | |� XY ìîæíî ñîêðàòèòü.
Èñïîëüçóÿ ïåðâîå óñëîâèå (ò.å. � � �ZW XZ XW� � ), ïîëó÷àåì èç (9)
( ) | | | |1 2 2 2 2
�
� �
�� � � � � � � �
XZ XW XZ XZ XW XW XW XZ
. (10)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 5
W
X
Y
Z
W
X
Y
Z
Q
W
X
Y
Z
R
Ðèñ. 1. Âàðèàíòû áàçîâîé ìîäåëè: ïðîñòåéøàÿ ñòðóêòóðà (à); «ýêâèâàëåíòíûå» ñòðóêòóðû
ñ äîïîëíèòåëüíîé ïåðåìåííîé (á), (â)
à á â
Ïîñêîëüêó âñåãäà ñïðàâåäëèâî | |�
1, ìîäóëü ðàçíîñòè â (10) ìîæíî çàìå-
íèòü ðàçíîñòüþ ìîäóëåé; òîãäà ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçî-
âàíèé ïîëó÷àåì
( | | ) ( | | ) ( | | ) (| | |1 1 1
� � �
� �� � � � � � � �XZ XW XZ XW XZ XW XZ XW | ) . (11)
Ââèäó ïîëîæèòåëüíîñòè îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà (11) îáùèé ñîìíîæè-
òåëü ìîæíî ñîêðàòèòü. Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ìàíèïóëÿöèé ïîëó÷àåì
( | | ) ( | | )1 1 0
�
�� �XZ XW , ÷òî óäîâëåòâîðèòü íåâîçìîæíî. Ïðåäïîëîæåíèå
«îò ïðîòèâíîãî» îïðîâåðãíóòî.
Äëÿ äðóãîãî ñëó÷àÿ, êîãäà îáà òåðìà ïðàâîé ÷àñòè íåîòðèöàòåëüíû, äîêàçà-
òåëüñòâî èäåíòè÷íî. Îñòàåòñÿ òîëüêî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà òåðìû ïðàâîé
÷àñòè (6) — ðàçíûõ çíàêîâ (â ÷àñòíîñòè, íóëü). Áåç ïîòåðè îáùíîñòè, ïóñòü
â ïðàâîé ÷àñòè (6) ïåðâûé òåðì ïî ìîäóëþ áîëüøå âòîðîãî. Òîãäà îòáðîñèì
âòîðîé òåðì, ïåðåéäåì ê ìîäóëÿì è ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
| | ( ) | | | |� � � � � �XY ZW ZY XZ XW ZW�
� �
�1 2 . (12)
Èñïîëüçóåì ïîäõîäÿùåå íåðàâåíñòâî èç ïðåäïîëîæåíèÿ «îò ïðîòèâíîãî» (8),
â äàííîì ñëó÷àå � �
XY ZY
2 2
� , è óñèëèâàåì íåðàâåíñòâî (12) äî ñëåäóþùåãî:
1 2
�
�� � � �
ZW XZ XW ZW| |. (13)
Èñïîëüçóÿ óñëîâèå óòâåðæäåíèÿ � � �ZW XZ XW� � , ïîëó÷àåì èç (13)
1 2 2 2 2
�
� �
�� � � � � � � �
XZ XW XZ XZ XW XZ XZ XW
| | | | | | . (14)
Èç (14) ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì
( | | ) ( | | )1 1 02
� � � �� � �XZ XZ XW
. (15)
Íåðàâåíñòâî (15) óäîâëåòâîðèòü íåâîçìîæíî; ïðåäïîëîæåíèå «îò ïðîòèâíîãî»
îïðîâåðãíóòî.
 áàçîâîé ìîäåëè ðåáðà X —Z è X —W îáðàçóþò öåïî÷êó è ôîðìèðóþò
òðàíçèòíóþ çàâèñèìîñòü. Ïîñêîëüêó ýòè ðåáðà íå âõîäÿò â ñîñòàâ êîëëàéäåðà
(à «ðàñõîäÿòñÿ» ïðî÷ü îò êîðíåâîé âåðøèíû), íàçîâåì èõ «äèâåðãåíòíûìè» ðåá-
ðàìè (â ïðîòèâîâåñ êîëëàéäåðíûì ðåáðàì). Îãðàíè÷åíèå, óñòàíîâëåííîå óòâåð-
æäåíèåì 2 äëÿ êîëëàéäåðíûõ ðåáåð ðîìáà, íåëüçÿ ðàñïðîñòðàíèòü íà êîððåëÿöèè
� XZ è � XW , ñîîòâåòñòâóþùèå äèâåðãåíòíûì ðåáðàì. (Íåðàâåíñòâî
� � �
XY XZ XW
2 2 2
max ,{ } íå êîððåêòíî.) Íî, êàê ïîêàçàíî â [13], äëÿ êîððåëÿöèé
� XZ è � XW â áàçîâîé ìîäåëè (1)–(4) âûïîëíÿåòñÿ äðóãîå îãðàíè÷åíèå — íåðàâåí-
ñòâî äëÿ ñóììû �
XY
2
� �
XZ XW
2 2
� . Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó îãðàíè÷åíèþ, íåðà-
âåíñòâî äëÿ ñóììû ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåãî êëàññà ìàðêîâñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè,
ê êîòîðîìó îòíîñèòñÿ ìîäåëü (1)–(4).
Óòâåðæäåíèå 3 (íåðàâåíñòâî ñóììû äèâåðãåíòíûõ êîððåëÿöèé). Åñëè â êàó-
çàëüíîé ãàóññîâîé ñåòè ñïðàâåäëèâî � ZW X; � 0 è � XY ZW; � 0, òî âûïîëíÿåòñÿ
îãðàíè÷åíèå �
XY
2
� �
XZ XW
2 2
� .
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àè, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ îäíî èëè íåñêîëüêî ðàâåíñòâ
�
XZ
2 1� , �
XW
2 1� , �
ZY
2 1� è �
WY
2 1� . Ýòè ñëó÷àè ñîîòâåòñòâóþò îñîáûì òî÷êàì
â êîíòèíóàëüíîì ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ [1, 2]. Òàêèå ñëó÷àè ïðèíÿòî èñêëþ-
÷àòü ïðè ðàññìîòðåíèè âåðîÿòíîñòíûõ ãðàôîâûõ ìîäåëåé — íåò ñìûñëà îòîáðà-
6 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
æàòü â ñòðóêòóðå äóáëèêàòû îäíîé ïåðåìåííîé.  ÷àñòíîñòè, â óêàçàííûõ ñëó÷à-
ÿõ áåññìûñëåííî ãîâîðèòü î ñòðóêòóðå ðîìáà. Òåì íå ìåíåå, ìîæíî ôîðìàëüíî
ðàñïðîñòðàíèòü äåéñòâèå óòâåðæäåíèé 2 è 3 íà ýòè ñëó÷àè. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü
�
XZ
2 1� . Ïî ñóùåñòâó, ýòî îçíà÷àåò òîæäåñòâî X Z� èëè X Z�
, è òîãäà ñïðà-
âåäëèâî � �
XY ZY
2 2
� . Î÷åâèäíî, ÷òî íåðàâåíñòâî èç óòâåðæäåíèÿ 2 òðèâèàëüíî
âûïîëíÿåòñÿ. Äàëåå, ïîäñòàâëÿÿ �
XZ
2 1� â íåðàâåíñòâî èç óòâåðæäåíèÿ 3, ïîëó-
÷àåì � �
XY XW
2 21 � , ÷òî òðèâèàëüíî âûïîëíÿåòñÿ. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé �
ZY
2 1� .
Òîãäà ìîæíî ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî íåðàâåíñòâî èç óòâåðæäåíèÿ 2 òðèâèàëüíî âû-
ïîëíÿåòñÿ. Èç �
ZY
2 1� âûòåêàåò � �
XZ XY
2 2
� . Ïîäñòàâëÿÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî
â íåðàâåíñòâî èç óòâåðæäåíèÿ 3, ïîëó÷àåì �
XZ
2
� �
XZ XW
2 2
� , ÷òî òðèâèàëüíî
âûïîëíÿåòñÿ. Îñòàëüíûå ñëó÷àè àíàëèçèðóþòñÿ àíàëîãè÷íî.
Ôîðìàëüíî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âûøå äîêàçàíî áîëåå àáñòðàêòíîå óòâåðæäå-
íèå, à èìåííî ñëåäóþùåå. Åñëè êîððåëÿöèè óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâàì
� � �ZW XZ XW� � è � � �XY W XZ W ZY W; ; ;� � (èëè �
XW
2 1� , èëè �
ZW
2 1� , èëè
�
WY
2 1� ), òî ñïðàâåäëèâî � � �
XY ZY WY
2 2 2
max ,{ }. Îäíàêî áåç ïðåäïîëîæåíèé
î ëèíåéíîñòè è ñòðóêòóðå ìîäåëè óñëîâèÿ ýòîãî óòâåðæäåíèÿ îêàçûâàþòñÿ íåîáîñ-
íîâàííûìè è íåïðàâäîïîäîáíûìè. Íàïðèìåð, â ïðèíöèïå âîçìîæíà ñèòóàöèÿ,
êîãäà ðàâåíñòâî � � �ZW XZ XW
� � 0 âûïîëíÿåòñÿ, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â ñòðóê-
òóðå ìîäåëè ïåðåìåííàÿ X íå ñåïàðèðóåò Z è W. Íî äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òî-
áû «ñóììà» âñåõ âëèÿíèé ÷åðåç îòêðûòûå ïàðàëëåëüíûå ïóòè ìåæäó Z è W îáíó-
ëÿëàñü áëàãîäàðÿ âçàèìíîé àííèãèëÿöèè. Òàêîå «íåëåãèòèìíîå» îáíóëåíèå êîð-
ðåëÿöèè òðåáóåò òî÷íîãî áàëàíñà êîýôôèöèåíòîâ (íàðóøàåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå
êàóçàëüíîé íåîáìàí÷èâîñòè [1, 2]).
 òî æå âðåìÿ ìîæíî îñëàáèòü ïðåäïîëîæåíèå î ôîðìå ðàñïðåäåëåíèé ÷ëåíîâ
ðàññåÿíèÿ («øóìà») � i . Èçâåñòíî, ÷òî óñëîâíûå êîððåëÿöèè ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâó-
þùèìè ÷àñòíûìè êîððåëÿöèÿìè è äëÿ íåêîòîðûõ äðóãèõ ôîðì ðàñïðåäåëåíèé âåðî-
ÿòíîñòåé [14]. Îäíàêî íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî ïðè îòêëîíåíèè ôîðìû ðàñïðåäå-
ëåíèé îò íîðìàëüíîé âîçìîæíî «íåëåãèòèìíîå» îáíóëåíèå êîððåëÿöèè íå òîëüêî
èç-çà ôåíîìåíà áàëàíñà êîýôôèöèåíòîâ, íî òàêæå èç-çà ôîðìû ðàñïðåäåëåíèÿ.
Àñèììåòðèÿ ñâîéñòâ ïàð ñâÿçåé â ðîìáå (âûÿâëåííàÿ óòâåðæäåíèÿìè 2 è 3)
îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî êîððåëÿöèè äëÿ äèâåðãåíòíûõ ðåáåð îïðåäåëÿþòñÿ èñêëþ-
÷èòåëüíî ëîêàëüíûìè ïàðàìåòðàìè ýòèõ ñâÿçåé, à êîððåëÿöèè äëÿ êîëëàéäåðíûõ
ðåáåð çàâèñÿò îò âñåõ ïàðàìåòðîâ öèêëà.
Îáúåäèíåíèå óòâåðæäåíèé 2 è 3 äàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè â êàóçàëüíîé ãàóññîâîé ñåòè ñïðàâåäëèâî � ZW X; � 0 è
� XY ZW; � 0, òî âûïîëíÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå 2 2 2 2
� � �
XY XZ XW
� � max ,{ }� �
ZY WY
2 2 .
Îñëàáëåííîå ñëåäñòâèå èç óòâåðæäåíèé 2 è 3 âûðàæàåòñÿ êàê 2 2 2
� �
XY XZ
�
� � �� � �
XW ZY WY
2 2 2 .
Ìîæíî ëè íàéòè áîëåå ñèëüíûå îãðàíè÷åíèÿ äëÿ áàçîâîé ìîäåëè, ÷åì íåðà-
âåíñòâà èç óòâåðæäåíèé 2 è 3? Áûëà ðàññìîòðåíà ãèïîòåçà, ÷òî «äèàãîíàëüíàÿ»
êîððåëÿöèÿ â ðîìáå âñåãäà äîëæíà áûòü ñëàáåå íåêîòîðûõ äâóõ ðåáåðíûõ êîððå-
ëÿöèé. Ãèïîòåçà «äâóõ êîððåëÿöèé»: â ìîäåëè (1)–(4) âûïîëíÿåòñÿ íå ìåíåå äâóõ
èç ñëåäóþùèõ ÷åòûðåõ íåðàâåíñòâ: � �
XY XZ
2 2
� , � �
XY XW
2 2
� , � �
XY ZY
2 2
� ,
� �
XY WY
2 2
� . Îêàçàëîñü, ÷òî ãèïîòåçà íåâåðíà. Êîíòðïðèìåð — áàçîâàÿ ìîäåëü ñî
çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ: �
1
2
� 0,3; �
2
2
� 0,45; �
3
2
� 0,8; �
4
2
� 0,1; a � 0,6; b �
0,9;
c � 0,4; d �
0,8. Ýòà ìîäåëü äàåò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ êâàäðàòîâ êîððåëÿöèé:
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 7
�
XY
2
� 0,288; �
XZ
2
� 0,1935; �
XW
2
� 0,233; �
ZY
2
� 0,232; �
WY
2
� 0,807. Òàêèì îáðà-
çîì, äèàãîíàëüíàÿ êîððåëÿöèÿ ñèëüíåå òðåõ «ðåáåðíûõ» êîððåëÿöèé, ïðè÷åì îíà
ïðåâûøàåò âòîðóþ ïî ñèëå ðåáåðíóþ êîððåëÿöèþ íà 24 %. (Îäíàêî ñëó÷àè íåâû-
ïîëíåíèÿ ýòîé ãèïîòåçû äîâîëüíî ðåäêè.)
È âñå æå óäàëîñü íàéòè áîëåå ñèëüíîå îãðàíè÷åíèå äëÿ áàçîâîé ìîäåëè.
Îíî ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: óäâîåííûé êâàäðàò äèàãîíàëüíîé êîððåëÿöèè âñåãäà
ìåíüøå ñóììû êâàäðàòîâ íåêîòîðûõ äâóõ ðåáåðíûõ êîððåëÿöèé. (Ýòî íåðàâåí-
ñòâî ïðÿìî óñèëèâàåò ñëåäñòâèå 1.) Ôîðìóëèðóåì ñîîòâåòñòâóþùåå óòâåðæäåíèå
áåç äîêàçàòåëüñòâà.
Òåçèñ 1 (íåðàâåíñòâî ñóììû «ñèëüíûõ» êîððåëÿöèé). Åñëè â êàóçàëüíîé ãà-
óññîâîé ñåòè ñïðàâåäëèâî � ZW X; � 0 è � XY ZW; � 0 , òî ñðåäè ÷åòûðåõ âåëè÷èí
�
XZ
2 , �
XW
2 , �
ZY
2 , �
WY
2 âñåãäà íàéäóòñÿ äâå òàêèå (íå òîæäåñòâåííûå) �
( )1
2 è �
( )2
2 ,
÷òî âûïîëíÿåòñÿ 2 2
1
2
2
2
� � �
XY
� �
( ) ( )
.
ÀËÜÒÅÐÍÀÒÈÂÍÛÅ ÌÎÄÅËÈ
Óòâåðæäåíèÿ 2 è 3 îãðàíè÷èâàþò âåëè÷èíó êîððåëÿöèè ìåæäó ïåðåìåííûìè X
è Y â áàçîâîé ìîäåëè. Åñëè óäàëèòü èç ìîäåëè ëþáîå ðåáðî, ïîëó÷èòñÿ ìîäåëü
áåç öèêëà, äëÿ êîòîðîé èçâåñòíû áîëåå æåñòêèå îãðàíè÷åíèÿ. Ñàìîé ãåíåðàëü-
íîé àëüòåðíàòèâîé ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñâÿçíàÿ (íàñûùåííàÿ) ìîäåëü. Ïîëíîñâÿçíàÿ
ìîäåëü èç ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ ñîäåðæèò øåñòü ðåáåð è íå íàêëàäûâàåò íåòðè-
âèàëüíûõ îãðàíè÷åíèé.  êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâíîé áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìî-
äåëü, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç áàçîâîé â ðåçóëüòàòå äîáàâëåíèÿ ïÿòîãî ðåáðà.
Àëüòåðíàòèâîé ÿâëÿåòñÿ ñòðóêòóðà, ãäå ñóùåñòâóåò òðåòèé ïóòü ñâÿçè ìåæäó X
è Y (ðèñ. 2, à). Äëÿ îïèñàíèÿ ìîäåëè ñ òàêîé ñòðóêòóðîé íàäî çàìåíèòü ñòðóê-
òóðàëüíîå óðàâíåíèå (4) íà óðàâíåíèå y c z d w f x� � � � � � � �4 . Ñòðóêòóðó ýòîé
ìîäåëè áóäåì íàçûâàòü ðîìáîì ñ äèàãîíàëüþ (ñì. ðèñ. 2, à).
Ââåäåíèå äèàãîíàëè èçìåíÿåò ìàðêîâñêèå ñâîéñòâà ìîäåëè. Â ðåçóëüòàòå
óñëîâíàÿ íåçàâèñèìîñòü X è Y ñòàíîâèòñÿ íåëåãèòèìíîé, à óòâåðæäåíèÿ 2 è 3
íåêîððåêòíû. Ëåãêî ïîñòðîèòü êîíòðïðèìåðû, íàðóøàþùèå óêàçàííûå íåðàâåí-
ñòâà. Äîêàçàííûå âûøå îãðàíè÷åíèÿ íà �
XY
2 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñðåäñòâî,
ïîìîãàþùåå ðàñïîçíàòü ñóùåñòâîâàíèå òðåòüåãî ïóòè ñâÿçè ìåæäó X è Y .
 ñòðóêòóðå, îòîáðàæåííîé íà ðèñ. 2, á, äèàãîíàëü ñîñòîèò èç äâóõ ðåáåð.
Ñòðóêòóðà, îòîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 2, â, íå ñîäåðæèò äèàãîíàëè, îäíàêî â íåé òàêæå íå
êîððåêòíî ñâîéñòâî � XY ZW; � 0. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî áëàãîäàðÿ ïðèñóòñòâèþ
êîíôàóíäåðà H êîíäèöèîíèðîâàíèå Z ïðîâîöèðóåò [15] çàâèñèìîñòü ÷åðåç êîíôàóí-
äåð H (òî æå ñàìîå ïðîèñõîäèò äëÿ ïåðåìåííûõ L è W). Äëÿ âñåõ ìîäåëåé ñî ñòðóê-
òóðîé, îòîáðàæåííîé íà ðèñ. 2, óòâåðæäåíèÿ 2 è 3 íåêîððåêòíû. Ýòè ñòðóêòóðû õà-
ðàêòåðèçóþòñÿ ñâîéñòâîì � XY ZW; � 0, íî â íèõ ïî-ïðåæíåìó âûïîëíÿåòñÿ
� ZW X; � 0 . Èíòåðåñíî ïðîàíàëèçèðîâàòü ïîâåäåíèå ìîäåëåé, êîòîðûå, íàîáîðîò,
õàðàêòåðèçóþòñÿ ñâîéñòâàìè � XY ZW; � 0 è � ZW X; � 0. Î÷åâèäíûé ñïîñîá ïîëó-
÷èòü ìîäåëü ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè — ââåñòè â áàçîâóþ ìîäåëü «ïåðåìû÷êó» Z —W .
Ýòî çíà÷èò, ÷òî â îïèñàíèè ìîäåëè óðàâíåíèå (3) íåîáõîäèìî çàìåíèòü íà
w b x g z� � � � � �3 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì «òðèàíãóëèðîâàííûé ðîìá» (ðèñ. 3, à).
Ñòðóêòóðû, îòîáðàæåííûå íà ðèñ. 3, á, â, íå ñîäåðæàò «ïåðåìû÷êè», íî íà
ïîäìíîæåñòâå ïåðåìåííûõ X Z W, , , Y âûíóæäåííûå óñëîâíûå íåçàâèñèìîñòè
äëÿ ýòèõ ñòðóêòóð ñîâïàäàþò ñ íåçàâèñèìîñòÿìè, ñâîéñòâåííûìè òðèàíãóëèðî-
âàííîìó ðîìáó (ñì. ðèñ. 3, à). Â ýòèõ ìîäåëÿõ áóäåò � ZW X; � 0 (êîíäèöèîíèðî-
âàíèå X ïðîâîöèðóåò çàâèñèìîñòü ÷åðåç R, Q).
8 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
Ìîäåëü ñ äâóìÿ êîëëàéäåðàìè â öèêëå (ðèñ. 3, ã) îòëè÷àåòñÿ òåì, ÷òî â íåé
âûïîëíÿåòñÿ áåçóñëîâíàÿ íåçàâèñèìîñòü Z è W. (Çàìåòèì, ÷òî ñâîéñòâî � ZW � 0
òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü â òðèàíãóëèðîâàííîì ðîìáå (ñì. ðèñ. 3, à), íî òîëüêî ïðè
ñîîòâåòñòâóþùåì áàëàíñå çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, ò.å â ñëó÷àå íàðóøåíèÿ ïðåäïî-
ëîæåíèÿ êàóçàëüíîé íåîáìàí÷èâîñòè.)
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ââåäåíèå ïåðåìû÷êè Z — W äåëàåò íåêîððåêòíûìè íåðàâå-
íñòâà äëÿ �
XY
2 èç óòâåðæäåíèé 2 è 3. Â ðàâíîé ìåðå ýòè íåðàâåíñòâà ìîãóò íàðó-
øàòüñÿ â äðóãèõ ñòðóêòóðàõ (íàïðèìåð, ðèñ. 3, á, â), ãäå òàêæå âûïîëíÿåòñÿ
� ZW X; � 0. Òàêèì îáðàçîì, îäíîãî óñëîâèÿ � XY ZW; � 0 íåäîñòàòî÷íî äëÿ ãàðàí-
òèðîâàíèÿ óêàçàííûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ âåëè÷èíû �
XY
2 .
Ðàññìîòðèì ïðèìåð ìîäåëè ñ «ïåðåìû÷êîé». Âîçüìåì ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðîâ: �
1
2
� 0,2; �
2
2 0 7� , ; �
3
2
� 0,1; �
4
2
� 0,1; a �
0,7; b �
0,9; c �
0,55;
d �
0,9, g �
0,35.  òàêîé ìîäåëè ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå õàðàêòåðèñòèêè:
� XY
2
� 0,4637; � XZ
2
� 0,1228; � XW
2
� 0,316; �ZY
2
� 0,277; �
WY
2
� 0,230; �
ZW
2
� 0,1935.
Íàðóøàþòñÿ îáà îãðàíè÷åíèÿ èç óòâåðæäåíèé 2 è 3. Íåðàâåíñòâî ñóììû äèâåð-
ãåíòíûõ êîððåëÿöèé íàðóøàåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî, à íåðàâåíñòâî ìàêñèìàëüíîé
êîëëàéäåðíîé êîððåëÿöèè íàðóøàåòñÿ ãðóáî. Äèàãîíàëüíàÿ êîððåëÿöèÿ çíà÷è-
òåëüíî ïðåâûøàåò îáå êîëëàéäåðíûå êîððåëÿöèè, â ÷àñòíîñòè � �
XY ZY
2 2/ � 1,67.
Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ïðèìåðå «ïåðåìû÷êà» îòíîñèòåëüíî ñëàáàÿ (êîýôôèöèåíò g
ïî ìîäóëþ ìåíüøå âñåõ äðóãèõ êîýôôèöèåíòîâ).
Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ìîäåëè âèäà «ðîìá ñ äâóìÿ êîëëàéäåðàìè» (ðèñ. 3, ã).
 ýòîé ìîäåëè âåëè÷èíà �
XY
2 ïîä÷èíÿåòñÿ íåðàâåíñòâó, ñõîäíîìó ñ íåðàâåí-
ñòâîì èç óòâåðæäåíèÿ 3. (Íî â äàííîì ñëó÷àå íåðàâåíñòâî õàðàêòåðèçóåò êîëëàé-
äåðíûå ðåáðà, à íå äèâåðãåíòíûå.)
Óòâåðæäåíèå 4 (íåðàâåíñòâî ñóììû êîððåëÿöèé íåçàâèñèìûõ ôàêòîðîâ).
Åñëè â ãàóññîâîé ñåòè ñïðàâåäëèâî � ZW � 0 è � XY ZW; � 0, òî âûïîëíÿþòñÿ îãðà-
íè÷åíèÿ �
XY
2
� �
XZ XW
2 2
� è �
XY
2
� �
ZY WY
2 2
� .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 9
W
X
Y
Z
W
X
Y
Z
Q
R
W
X
Y
Z
R
W
X
Y
Z
Ðèñ. 3. Ìîäåëè, ãäå íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâíàÿ íåçàâèñèìîñòü Z è W ïðè óñëîâèè íà X :
òðèàíãóëèðîâàííûé ðîìá (à); ñòðóêòóðû ñ êîíôàóíäåðàìè L, Q (á) è (â); ñòðóêòóðà «ðîìá ñ äâóìÿ
êîëëàéäåðàìè» (ã)
à á â ã
W
X
Y
Z
W
X
Y
Z
QU
W
X
Y
Z
H
L
Ðèñ. 2. Ìîäåëè, ãäå íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâíàÿ íåçàâèñèìîñòü X è Y ïðè óñëîâèè íà { , }Z W :
ñòðóêòóðû ñ òðåòüèì ïóòåì ìåæäó X è Y (à) è (á); ñòðóêòóðà ñ êîíôàóíäåðàìè (â)
à á â
Äîêàçàòåëüñòâî. Ââèäó ñèììåòðèè äîñòàòî÷íî äîêàçàòü îäíî èç äâóõ íåðà-
âåíñòâ. Èç óñëîâèÿ � XY ZW; � 0 ñëåäóåò ðàâåíñòâî � �XY ZW
( )1 2
�
�
� �� � � �ZY XZ XW ZW( ) � � � �WY XW XZ ZW( )
� (ñì. äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæ-
äåíèÿ 2, ðàâåíñòâî (6)). Îòñþäà, ñ ó÷åòîì � ZW � 0, ïîëó÷àåì
� � � � �XY XZ ZY XW WY� � . (16)
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà òåðìû ïðàâîé ÷àñòè (16) — îäíîãî çíàêà. Òîãäà
ìîæíî ïåðåïèñàòü (16) â âèäå | | | | | |� � � � �XY XZ ZY XW WY� � . Âîçâåäåì îáå
÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà â êâàäðàò è ïîëó÷èì
� � � � � � � � �
XY XZ ZY XW WY XZ ZY XW WY
2 2 2 2 2 2� � � | | . (17)
Ïîñêîëüêó Z è W âçàèìíî íåçàâèñèìû, âûïîëíÿþòñÿ [16] íåðàâåíñòâà
� �
XZ XW
2 2 1� è � �
ZY WY
2 2 1� . (18)
Ïîäñòàâëÿåì � �
ZY WY
2 21
è � �
WY ZY
2 21
ñîîòâåòñòâåííî â ïåðâûé è âòî-
ðîé òåðìû ïðàâîé ÷àñòè (17) è ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
� � � � � � � � �
XY XZ WY XW ZY XZ ZY XW WY
2 2 2 2 2 2 21 1 2
�
�( ) ( ) | | . (19)
Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ (19) äàþò
� � � � � �
XY XZ XW XZ WY WY
2 2 2 2 2 21 �
( )
� � � � � � �
XW ZY ZY XZ WY XW ZY
2 2 2 21( ) ( ) . (20)
Î÷åâèäíî, ÷òî â (20) âñå ñëàãàåìûå ïðàâîé ÷àñòè (êðîìå ïåðâûõ äâóõ) îòðèöà-
òåëüíû. Îòáðàñûâàÿ îòðèöàòåëüíûå ñëàãàåìûå, ìû óñèëèâàåì íåðàâåíñòâî è
ïîëó÷àåì èòîãîâîå � � �
XY XZ XW
2 2 2
� .
Îñòàåòñÿ ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà òåðìû ïðàâîé ÷àñòè (16) — ðàçíûõ çíà-
êîâ. Áåç ïîòåðè îáùíîñòè, ïóñòü ïåðâûé òåðì áîëüøå âòîðîãî ïî ìîäóëþ. Òîãäà
îòáðàñûâàåì âòîðîé òåðì è ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî | | | |� � �XY XZ ZY . Îòñþäà
òðèâèàëüíî ñëåäóåò � �
XY XZ
2 2
.
Çàìåòèì, ÷òî èç (18) ñëåäóåò min , /{ }� �
XZ XW
2 2 1 2 è min , /{ }� �
ZY WY
2 2 1 2 .
Ïðè ýòîì îõàðàêòåðèçóåì äðóãóþ àëüòåðíàòèâíóþ ìîäåëü — öèêë ñ òðåìÿ êîëëàé-
äåðàìè. Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ìîäåëü ñî ñòðóêòóðîé, îòîáðàæåííîé íà ðèñ. 4. Â òà-
êîé ìîäåëè âñå ïåðåìåííûå èç òðîéêè H , L è U ïîïàðíî áåçóñëîâíî íåçàâèñèìû.
Êðîìå òîãî, ïåðåìåííàÿ X áåçóñëîâíî íåçàâèñèìà îò L,
ò.å. �
XL
2 0� . Àíàëîãè÷íî èìååì �
YU
2 0� è �
ZH
2 0� . Ïî-
ýòîìó âûïîëíÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå � �
XY XU
2 2 1� . Ââèäó
� XZ U; � 0 èìååì � �
XZ XU
2 2
. Ñëåäîâàòåëüíî,
� �
XY XZ
2 2 1� . Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâà
� �
XY ZY
2 2 1� è � �
XZ ZY
2 2 1� . Ñóììèðóÿ òðè ïîñëåä-
íèå íåðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì
� � �
XY XZ ZY
2 2 2 3 2� � / . (21)
10 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
L
H
X
YZ
U
Ðèñ. 4. Öèêëè÷åñêàÿ ñòðóê-
òóðà ñ òðåìÿ êîëëàéäåðàìè
Ñîïîñòàâëåíèå òðåõ íåðàâåíñòâ � �
XY XZ
2 2 1� , � �
XY ZY
2 2 1� è � �
XZ ZY
2 2 1�
äàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Óòâåðæäåíèå 5 (îãðàíè÷åíèå êîððåëÿöèé â òðåõêîëëàéäåðíîì öèêëå).  ëè-
íåéíîé ìîäåëè ñî ñòðóêòóðîé, îòîáðàæåííîé íà ðèñ. 4, ñðåäè òðåõ êîððåëÿöèé
�
XY
2 , �
XZ
2 , �
ZY
2 íàéäóòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå äâå òàêèå �
( )1
2 è �
( )2
2 , ÷òî âûïîëíÿåòñÿ
�
( )
/
1
2 1 2 è �
( )
/
2
2 1 2 .
Óòâåðæäåíèå 5 è íåðàâåíñòâî (21) ìîãóò áûòü ïîëåçíû, â ÷àñòíîñòè, êîãäà
ïåðåìåííûå H , L è U — ñêðûòûå.
ÑÓÏÅÐ-ÄÂÎÉÍÈÊÎÂÀß ÊÎÐÐÅËßÖÈß
Ñòðóêòóðà «ðîìá ñ äâóìÿ êîëëàéäåðàìè» îòíîñèòñÿ ê ïîäêëàññó «ìîíîïîòîêî-
âûõ» ãðàôîâ, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ îãðàíè÷åíèåì: ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ âåð-
øèíàìè íå ìîæåò áûòü äâóõ è áîëåå ñòðîãî îðèåíòèðîâàííûõ ïóòåé [17, 18].
Ðîìá ñ äâóìÿ êîëëàéäåðàìè — ïðîñòåéøàÿ ñòðóêòóðà ìîäåëè, ãäå ìîæåò âîç-
íèêàòü òàê íàçûâàåìàÿ «äâîéíèêîâàÿ» àññîöèàöèÿ [17] è «ñóïåð-äâîéíèêîâàÿ»
àññîöèàöèÿ [18].  êîíòåêñòå ãàóññîâûõ ñåòåé ëîãè÷íî âìåñòî òåðìèíà «àññî-
öèàöèÿ» ïîäñòàâèòü «êîððåëÿöèÿ».
Îïðåäåëåíèå 1. Â êàóçàëüíîé ãàóññîâîé ñåòè ñî ñòðóêòóðîé ìîíîïîòîêîâî-
ãî ãðàôà êîððåëÿöèÿ ìåæäó ïåðåìåííûìè X è Y íàçûâàåòñÿ ñóïåð-äâîéíèêîâîé,
åñëè X è Y íå ñâÿçàíû ðåáðîì è äëÿ êàæäîãî ðåáðà Q—T íà êàæäîì ïóòè ìåæäó
X è Y ñïðàâåäëèâî � �
XY QT
2 2
� .
Íåôîðìàëüíî, ñóïåð-äâîéíèêîâàÿ êîððåëÿöèÿ ñèëüíåå âñåõ òåõ «ðåáåðíûõ»
êîððåëÿöèé, êîòîðûå åå «ñîçäàþò». Äëÿ ãàóññîâîé ñåòè ñî ñòðóêòóðîé âèäà ðîìá
ñ äâóìÿ êîëëàéäåðàìè (ñì. ðèñ. 3, ã) âåëè÷èíà �
XY
2 ìîæåò áûòü â äâà ðàçà áîëü-
øå êàæäîé «ðåáåðíîé» êîððåëÿöèè.
Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ êàóçàëüíîé ñåòè îïðåäåëèòü ñóïåð-äâîéíèêîâóþ êîððå-
ëÿöèþ ñëîæíåå. Íåîáõîäèìî èñêëþ÷èòü èç íàáîðà äëÿ ñðàâíåíèÿ òå ñâÿçè, êîòî-
ðûå «íå ó÷àñòâóþò â ñîçäàíèè» êîððåëÿöèè � XY (èëè íå âíîñÿò çàìåòíîãî âêëà-
äà â âåëè÷èíó � XY ). Ïðåäëîæèì äâà âàðèàíòà îïðåäåëåíèÿ. Íàçîâåì ïóòü áåñ-
êîëëàéäåðíûì, åñëè îí íå ñîäåðæèò íè îäíîãî ôðàãìåíòà âèäà A C B� � .
Îïðåäåëåíèå 2à. Â êàóçàëüíîé ãàóññîâîé ñåòè êîððåëÿöèÿ ìåæäó ïåðåìåí-
íûìè X è Y íàçûâàåòñÿ ñóïåð-äâîéíèêîâîé (super-twin correlation), åñëè X è Y
íå ñâÿçàíû ðåáðîì è ñïðàâåäëèâî � �
XY QT
2 2
� äëÿ êàæäîãî ðåáðà Q—T íà êàæäîì
áåñêîëëàéäåðíîì ïóòè ìåæäó X è Y .
 ñëåäóþùåì îïðåäåëåíèè òåðìèí «áëîêèðóåò» âçÿò èç êðèòåðèÿ d-ñåïàðàöèè.
Îïðåäåëåíèå 2á. Â êàóçàëüíîé ãàóññîâîé ñåòè êîððåëÿöèÿ ìåæäó ïåðåìåííû-
ìè X è Y íàçûâàåòñÿ ñóïåð-äâîéíèêîâîé (super-twin correlation), åñëè íåðàâåíñòâî
� �
XY QT
2 2
� âûïîëíÿåòñÿ äëÿ êàæäîãî ðåáðà Q—T òàêîãî, ÷òî êàæäàÿ èç äâóõ ïåðå-
ìåííûõ Q è T áëîêèðóåò íåêîòîðûé ïóòü ìåæäó X è Y , íå îòêðûâàÿ íîâîãî ïóòè.
 ìîäåëè ñî ñòðóêòóðîé, îòîáðàæåííîé íà ðèñ. 2, â, íå íàéäåòñÿ íè îäíîé
êîððåëÿöèè, ïîäëåæàùåé ñðàâíåíèþ ñ �
XY
2 ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 2á. (Äëÿ ïîä-
õîäÿùåãî áëîêèðîâàíèÿ ïóòè ìåæäó X è Y â ýòîé ìîäåëè íåîáõîäèìî êîíäèöèî-
íèðîâàòü äâå âåðøèíû îäíîâðåìåííî.) Åñëè ïîëüçîâàòüñÿ îïðåäåëåíèåì 2à, òî
äëÿ ëþáîãî èç âûøåïðèâåäåííûõ âàðèàíòîâ ìîäåëè ñî ñòðóêòóðîé ðîìáà (áåç
äèàãîíàëüíîãî ðåáðà) ñóïåð-äâîéíèêîâàÿ êîððåëÿöèÿ îçíà÷àåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî
� � � � �
XY XZ XW ZY WY
2 2 2 2 2
� max , , ,{ }.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 11
Êðîìå òîãî, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ àíàëîãè÷íûå íåðàâåíñòâà äëÿ êîððåëÿöèé ñ ó÷àñ-
òèåì ïåðåìåííûõ Q , R, U , H , L. Âîçíèêíîâåíèå ñóïåð-äâîéíèêîâîé êîððåëÿöèè
àâòîìàòè÷åñêè îçíà÷àåò, ÷òî íàðóøàåòñÿ íåðàâåíñòâî � � �
XY ZY WY
2 2 2
max ,{ }. Ïîñ-
êîëüêó â ðîìáå ñ äâóìÿ êîëëàéäåðàìè (ñì. ðèñ. 3, ã) âîçìîæíà ñóïåð-äâîéíèêîâàÿ
êîððåëÿöèÿ, òî äëÿ ýòîé ìîäåëè àíàëîã óòâåðæäåíèÿ 2 — íåêîððåêòíûé. Îäíàêî
ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 4 âåëè÷èíà �
XY
2 íå ìîæåò ïðåâûñèòü ñóììó êâàäðàòîâ
äâóõ ñîîòâåòñòâóþùèõ êîððåëÿöèé (äëÿ ëþáîãî èç äâóõ êîëëàéäåðîâ ìîäåëè).
Íà ïåðâûé âçãëÿä ìîæåò ïîêàçàòüñÿ óäèâèòåëüíûì, ÷òî â ðîìáå ñ îäíèì
êîëëàéäåðîì ñóïåð-äâîéíèêîâàÿ êîððåëÿöèÿ íåâîçìîæíà, à â ðîìáå ñ äâóìÿ êîë-
ëàéäåðàìè — âîçìîæíà. Ýòîò ôàêò ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå
äèàãîíàëüíàÿ êîððåëÿöèÿ ôîðìèðóåòñÿ ÷åðåç öåïî÷êè ðåáåð, â òî âðåìÿ êàê âî
âòîðîì ñëó÷àå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ X è Y ôîðìèðóþòñÿ àâòîíîìíî îäíèìè
è òåìè æå ôàêòîðàìè, ïðè÷åì ðàññîãëàñîâàíèå çíà÷åíèé X è Y ìîæåò âîçíèêàòü
èñêëþ÷èòåëüíî áëàãîäàðÿ äåéñòâèþ íåçàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ «øóìà» �1, �4 .
Âîçìîæíîñòü ñóïåð-äâîéíèêîâîé êîððåëÿöèè â ðîìáå ñ äâóìÿ êîëëàéäåðàìè
îçíà÷àåò, ÷òî íåðàâåíñòâî èç òåçèñà 1 â äàííîé ìîäåëè èíîãäà íå âûïîëíÿåòñÿ.
ÎÖÅÍÊÀ ÑÏÅÖÈÔÈ×ÍÎÑÒÈ ÏÐÅÄËÎÆÅÍÍÛÕ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈÉ.
ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÀß ÑÈÌÓËßÖÈß
Îãðàíè÷åíèÿ, óñòàíîâëåííûå óòâåðæäåíèÿìè 2 è 3, äîâîëüíî æåñòêèå (ìîæíî
äàòü ïðèìåðû, ãäå îíè ïðåâðàùàþòñÿ â ðàâåíñòâà). Â òî æå âðåìÿ îíè ýôôåê-
òèâíû â òîì ñìûñëå, ÷òî ìíîãèå àëüòåðíàòèâíûå ìîäåëè íàðóøàþò ýòè îãðà-
íè÷åíèÿ. Äîñòàòî÷íî äîáàâèòü â áàçîâóþ ìîäåëü îäíó äîïîëíèòåëüíóþ ñâÿçü
(êîòîðàÿ ìåíÿåò ìàðêîâñêèå ñâîéñòâà), è âûâåäåííûå íåðàâåíñòâà ñòàíóò íå-
êîððåêòíûìè (ñì. ïðèìåð âûøå).
Ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû, â ÷àñòíîñòè, äëÿ âàëèäàöèè è
òåñòèðîâàíèÿ ìîäåëè. Ïîýòîìó âàæíî, íàñêîëüêî íåòðèâèàëüíûìè è äèñêðèìèíàòèâ-
íûìè ÿâëÿþòñÿ ïðåäëîæåííûå îãðàíè÷åíèÿ êîððåëÿöèé. (Çàìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâî
ñóììû äèâåðãåíòíûõ êîððåëÿöèé àáñîëþòíî íåýôôåêòèâíî, êîãäà � �
XZ XW
2 2 1� � .)
Æåëàòåëüíî, ÷òîáû óñòàíîâëåííûå íåðàâåíñòâà áûëè ñïåöèôè÷íû äëÿ áàçîâîé ìîäå-
ëè è íàðóøàëèñü â àëüòåðíàòèâíûõ ìîäåëÿõ, îòëè÷àþùèõñÿ äîïîëíèòåëüíûìè ñâÿçÿ-
ìè. Äëÿ îöåíêè ïîòåíöèàëüíîé ýôôåêòèâíîñòè âûâåäåííûõ îãðàíè÷åíèé (êàê êðèòå-
ðèåâ) áûëà âûïîëíåíà ñòîõàñòè÷åñêàÿ ñèìóëÿöèÿ. Êàê àëüòåðíàòèâíûå ìîäåëè áûëè
ðàññìîòðåíû ðîìá ñ «ïåðåìû÷êîé» («òðèàíãóëèðîâàííûé ðîìá», ñì. ðèñ. 3, à); ðîìá
ñ äèàãîíàëüþ (ñì. ðèñ. 2, à); ðîìá ñ äâóìÿ êîëëàéäåðàìè (ñì. ðèñ. 3, ã).
Ïàðàìåòðû ìîäåëåé ãåíåðèðîâàëèñü ñëó÷àéíî ñîãëàñíî ñëåäóþùåé ñõåìå.
È çíà÷åíèÿ äèñïåðñèé � i
2 , è çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ a b c d f, , , , , g âûáèðàëèñü
èç èíòåðâàëà 0 1� ñîãëàñíî ðàâíîìåðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Ïîìèìî îñíîâíîé ñõå-
ìû ãåíåðàöèè ïàðàìåòðîâ áûëè èñïîëüçîâàíû ìîäèôèöèðîâàííûå ñõåìû. Êîãäà
çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ïðèáëèæàåòñÿ ê íóëþ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñâÿçü ïî÷òè âû-
ðîæäàåòñÿ (ñòðóêòóðà ïåðåñòàåò áûòü ðîìáîì). ×òîáû èñêëþ÷èòü âûðîæäåíèå,
ðàññìîòðåíî ïîäìíîæåñòâî ìîäåëåé ñ «óñòîé÷èâûìè ñâÿçÿìè».  ýòî ïîäìíî-
æåñòâî ìîäåëåé ïîïàäàþò òîëüêî ñëó÷àè ñî çíà÷åíèÿìè êîýôôèöèåíòîâ ïî ìîäó-
ëþ áîëüøå 1 4/ (íî ìåíüøå 1). Òàêæå îòäåëüíî ïðîàíàëèçèðîâàíî ïîäìíîæåñòâî
ìîäåëåé ñ «óñèëåííîé äèàãîíàëüþ». Óñèëåííàÿ äèàãîíàëü îçíà÷àåò, ÷òî çíà÷å-
íèÿ êîýôôèöèåíòà f (ïî ìîäóëþ) âûáèðàëèñü èç èíòåðâàëà 1 2� .
Äëÿ êàæäîãî ïîäìíîæåñòâà ìîäåëåé áûëî ãåíåðèðîâàíî 5 ìëí âàðèàíòîâ ïà-
ðàìåòðèçàöèè. Ïîäñ÷èòàíû ÷àñòîòû ñëó÷àåâ, êîãäà íàðóøàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå
íåðàâåíñòâî è êîãäà âîçíèêàåò ñóïåð-äâîéíèêîâàÿ êîððåëÿöèÿ. Ðåçóëüòàòû
ñèìóëÿöèè ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 1.
12 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
Êàê è îæèäàëîñü, âûâåäåííûå íåðàâåíñòâà íàèáîëåå ýôôåêòèâíû äëÿ äèñ-
êðèìèíàöèè ìåæäó áàçîâîé ìîäåëüþ è ìîäåëüþ «ðîìá ñ äèàãîíàëüþ». Ãëàâíûì
èíñòðóìåíòîì äèñêðèìèíàöèè ìîäåëåé îêàçàëîñü íåðàâåíñòâî ìàêñèìàëüíîé êîë-
ëàéäåðíîé êîððåëÿöèè; îíî âûÿâëÿåò ñóùåñòâîâàíèå äèàãîíàëüíîé ñâÿçè â êàæäîì
÷åòâåðòîì ñëó÷àå (ïðè îñíîâíîé ñõåìå ãåíåðàöèè ïàðàìåòðîâ). Íåðàâåíñòâî ñóì-
ìû äèâåðãåíòíûõ êîððåëÿöèé âûÿâëÿåò òàêóþ ñâÿçü â êàæäîì ïÿòîì ñëó÷àå. Ïî-
ñêîëüêó ýòè äâà íåðàâåíñòâà àâòîíîìíû, öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü íàðóøåíèå
ëþáîãî èç íèõ êàê ñâèäåòåëüñòâî äèàãîíàëüíîé ñâÿçè. Òàêîå îáúåäèíåííîå ñâè-
äåòåëüñòâî îáíàðóæèâàåò äèàãîíàëüíóþ ñâÿçü â 36 % ñëó÷àåâ. À êîãäà àëüòåðíà-
òèâíàÿ ìîäåëü èìååò óñèëåííóþ äèàãîíàëü, òàêîå ñâèäåòåëüñòâî âûÿâëÿåò äèàãî-
íàëü â 90 % ñëó÷àåâ (èíûìè ñëîâàìè, áàçîâàÿ ìîäåëü âåðíî îòâåðãàåòñÿ â 90 %
ñëó÷àåâ). Êîãäà â ðîìáå ñ óñèëåííîé äèàãîíàëüþ ïðî÷èå ïàðàìåòðû ãåíåðèðóþò-
ñÿ ïî ñõåìå ñ óñòîé÷èâûìè ñâÿçÿìè, íàðóøåíèå êàêîãî-ëèáî íåðàâåíñòâà ïðîèñ-
õîäèò â 82 % ñëó÷àåâ.
Íåðàâåíñòâî ñóììû äèâåðãåíòíûõ êîððåëÿöèé íå ìîæåò íàðóøàòüñÿ òîëüêî
â ñòðóêòóðå ñ ÷åòûðüìÿ ñâÿçÿìè (ò.å. êîãäà íåò íè ïåðåìû÷êè, íè äèàãîíàëè). Ýòî
ïîäìíîæåñòâî ìîäåëåé îáúåäèíÿåò ìîäåëè ñ ðàçíûìè ìàðêîâñêèìè ñâîéñòâàìè —
ðîìá ñ îäíèì êîëëàéäåðîì è ðîìá ñ äâóìÿ êîëëàéäåðàìè. Èíòóèòèâíî îæèäàëîñü,
÷òî â ðîìáå ñ äèàãîíàëüþ íåðàâåíñòâà äîëæíû íàðóøàòüñÿ ÷àùå, ÷åì â ðîìáå ñ ïå-
ðåìû÷êîé. Äåéñòâèòåëüíî, îêàçàëîñü, ÷òî ýòî ïðîèñõîäèò â 10 20� ðàç ÷àùå.
Ñîïîñòàâèì ðåçóëüòàòû äëÿ «ðîìáà ñ ïåðåìû÷êîé» è «ðîìáà ñ äâóìÿ êîë-
ëàéäåðàìè». Ó íèõ áëèçêèå ïîêàçàòåëè ÷àñòîò íàðóøåíèÿ íåðàâåíñòâà ìàêñè-
ìàëüíîé êîëëàéäåðíîé êîððåëÿöèè è ÷àñòîò ñóïåð-äâîéíèêîâîé êîððåëÿöèè. Ðàç-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 13
Ò à á ë è ö à 1
Ïîäêëàññ ìîäåëè
×àñòîòû íàðóøåíèÿ íåðàâåíñòâ, %
Íåðàâåíñòâî
ìàêñèìàëüíîé
êîëëàéäåðíîé
êîððåëÿöèè
Íåðàâåíñòâî
ñóììû
äèâåðãåíòíûõ
êîððåëÿöèé
Îáà íåðàâåíñòâà
(îäíîâðåìåííî)
Ñóïåð-äâîéíè-
êîâàÿ
êîððåëÿöèÿ
Áàçîâûé ðîìá 0 0 0 0
Ðîìá ñ «ïåðåìû÷êîé» 2 0,95 0,18 0,3
Ðîìá ñ äèàãîíàëüþ 25 19,5 8,6 12**
Ðîìá ñ óñèëåííîé
äèàãîíàëüþ
81 57 48,5 61**
Ðîìá ñ «ïåðåìû÷êîé»
è ñ óñòîé÷èâûìè
ñâÿçÿìè
5,5 2 0,5 1
Ðîìá ñ äèàãîíàëüþ
è ñ óñòîé÷èâûìè
ñâÿçÿìè
19 11 3,9 9,4**
Ðîìá ñ óñèëåííîé
äèàãîíàëüþ è ñ
óñòîé÷èâûìè ñâÿçÿìè
72 38 29 48**
Ðîìá ñ äâóìÿ
êîëëàéäåðàìè
5,1(2,8)* 0 0 0,5
*Ïåðâîå ÷èñëî äàåò íàðóøåíèÿ íåðàâåíñòâà «ñëåâà» èëè «ñïðàâà» (îáúåäèíåíèå); ÷èñëî
â ñêîáêàõ äàåò íàðóøåíèå íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ôèêñèðîâàííîé ñòîðîíû.
**Ñóïåð-äâîéíèêîâàÿ êîððåëÿöèÿ â òàêèõ ìîäåëÿõ íåâîçìîæíà ïî îïðåäåëåíèþ
(ñóùåñòâóåò ðåáðî ìåæäó X è Y); äàíà ÷àñòîòà âûïîëíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ íåðàâåíñòâ.
ëè÷àþòñÿ ýòè ìîäåëè òåì, ÷òî â ðîìáå ñ äâóìÿ êîëëàéäåðàìè íåðàâåíñòâî ñóììû
äèâåðãåíòíûõ êîððåëÿöèé íèêîãäà íå íàðóøàåòñÿ, à â ðîìáå ñ «ïåðåìû÷êîé» îíî
ìîæåò íàðóøàòüñÿ (õîòÿ è ðåäêî). Ñóïåð-äâîéíèêîâàÿ êîððåëÿöèÿ ìîæåò âîçíè-
êàòü âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ ïîäêëàññàõ ìîäåëåé, çà èñêëþ÷åíèåì áàçîâîãî
ðîìáà. Ýòî ÿâëåíèå ðåäêîå. Íåðàâåíñòâî ÷àñòî íàðóøàåòñÿ òîëüêî â ìîäåëÿõ
ñ äèàãîíàëüþ.
Äëÿ ïîëíîòû êàðòèíû òàêæå áûëè ðàññìîòðåíû ìîäåëè ñ àëüòåðíàòèâíîé
ñõåìîé ãåíåðàöèè äèñïåðñèé äëÿ ïåðåìåííûõ. Çà îñíîâó âçÿòà ïîäìîäåëü «ðîìá
ñ äèàãîíàëüþ, ñ óñòîé÷èâûìè ñâÿçÿìè», íî ïàðàìåòðû � i
2 ãåíåðèðîâàëèñü èíà÷å.
Äëÿ ìîäåëåé ñ ïîíèæåííûì ðàññåÿíèåì çíà÷åíèÿ � i
2 áðàëèñü èç èíòåðâàëà
1 4 1 2/ /� . Äëÿ ìîäåëåé ñ ïîâûøåííûì ðàññåÿíèåì çíà÷åíèÿ � i
2 áðàëèñü èç èíòåð-
âàëà1 3� . Äëÿ îáîèõ âàðèàíòîâ ðåçóëüòàòû îêàçàëèñü ïî÷òè èäåíòè÷íûìè è ìàëî
îòëè÷àþòñÿ îò ðåçóëüòàòîâ äëÿ îñíîâíîé ñõåìû. Ñóïåð-äâîéíèêîâàÿ êîððåëÿöèÿ
âîçíèêàëà â 14–15 % ñëó÷àåâ, ò.å. âîçðîñëà â ïîëòîðà ðàçà. ×àñòîòà íàðóøåíèÿ
íåðàâåíñòâ âîçðîñëà ïðèáëèçèòåëüíî íà 1 %.
Íåðàâåíñòâî ñóììû ñèëüíûõ êîððåëÿöèé íàðóøàåòñÿ â ðîìáå ñ äèàãîíàëüþ
è ñ óñòîé÷èâûìè ñâÿçÿìè â 15 % ñëó÷àåâ. Òàêæå áûëà îöåíåíà ÷àñòîòà íàðóøå-
íèÿ ãèïîòåçû «äâóõ êîððåëÿöèé» â áàçîâîì ðîìáå ñ óñòîé÷èâûìè ñâÿçÿìè. Ýòà
÷àñòîòà ñîñòàâèëà 1,4 % ñëó÷àåâ.
ÏÅÐÑÏÅÊÒÈÂÛ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß
Èäåíòèôèêàöèÿ ñòðóêòóðû ìîäåëè è âûÿâëåíèå ñâÿçåé — êëþ÷åâàÿ ïðîáëåìà
ãëóáîêîãî àíàëèçà äàííûõ.  ïðîöåññå àíàëèçà èññëåäîâàòåëü äîâîëüíî ÷àñòî
ñòàëêèâàåòñÿ ñ íåïîëíîòîé èíôîðìàöèè. Ñòðóêòóðà ñâÿçåé àïðèîðè ìîæåò áûòü
íåèçâåñòíà èëè èçâåñòíà òîëüêî ÷àñòè÷íî. Çíàíèÿ î ñèñòåìå ñâÿçåé è çàâèñèìîñ-
òåé ìîãóò áûòü íåïðîâåðåííûìè è íåíàäåæíûìè, òàê ÷òî íåîáõîäèìà âåðèôè-
êàöèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ôðàãìåíòîâ ìîäåëè íà îñíîâå äàííûõ.
Äëÿ ïðîñòîé öèêëè÷íîé ìîäåëè ñ ëèíåéíûìè çàâèñèìîñòÿìè äîêàçàíî äâà
ïðîñòûõ îãðàíè÷åíèÿ òèïà íåðàâåíñòâà íà íàáîðå êîððåëÿöèé. Ââåäåíèå äîïîë-
íèòåëüíûõ ñâÿçåé â áàçîâóþ ìîäåëü äåëàåò ýòè íåðàâåíñòâà íåêîððåêòíûìè. Ïî-
ýòîìó óñòàíîâëåííûå íåðàâåíñòâà ìîãóò ñëóæèòü ñðåäñòâîì äëÿ îïðîâåðæåíèÿ
áàçîâîé ìîäåëè. Íåîáõîäèìîñòü â òàêèõ ñðåäñòâàõ âîçíèêàåò â ñèòóàöèè, êîãäà
íå âñå ïàðíûå êîððåëÿöèè äîñòóïíû àíàëèòèêó (è íåò âîçìîæíîñòè òåñòèðîâàòü
âñå ìàðêîâñêèå ñâîéñòâà).
Âñåãî â ìîäåëè ñ ÷åòûðüìÿ ïåðåìåííûìè èìååòñÿ øåñòü ïàðíûõ (îðäèíàð-
íûõ) êîððåëÿöèé. ×òîáû âû÷èñëèòü ÷àñòíóþ êîððåëÿöèþ � XY ZW; , òðåáóåòñÿ èñ-
ïîëüçîâàòü âñå øåñòü êîððåëÿöèé. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðîâåðèòü íåðàâåíñòâî ñóììû
äèâåðãåíòíûõ êîððåëÿöèé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî çíàòü òîëüêî òðè êîððåëÿ-
öèè: � XZ , � XW è � XY . ×òîáû ïîëíîñòüþ ïðîâåðèòü íåðàâåíñòâî ìàêñèìàëüíîé
êîëëàéäåðíîé êîððåëÿöèè, äîñòàòî÷íî çíàòü òðè êîððåëÿöèè: � ZY , �WY è � XY .
Äëÿ ïðîâåðêè îáîèõ íåðàâåíñòâ íóæíî çíàòü ïÿòü êîððåëÿöèé.
Âîçìîæíà ñèòóàöèÿ, êîãäà óäàåòñÿ êîíñòàòèðîâàòü óäîâëåòâîðåíèå îáîèõ
íåðàâåíñòâ íà îñíîâàíèè òîëüêî òðåõ êîððåëÿöèé. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî îáíàðó-
æèòü òîëüêî äâà ôàêòà: � �
XY XZ
2 2
è � �
XY ZY
2 2
. Çàìåòèì, ÷òî â ýòîé ñèòóàöèè
ïåðåìåííàÿ W ìîæåò îñòàâàòüñÿ àáñîëþòíî ñêðûòîé. (Ñóùåñòâóåò ñèììåòðè÷-
íûé âàðèàíò, êîãäà ñêðûòîé ìîæåò áûòü Z.)
Ðàññìîòðèì ïðîáëåìíóþ ñèòóàöèþ. Ïóñòü èçâåñòíî, ÷òî ìîäåëü èìååò
ñòðóêòóðó ðîìáà, ïðè÷åì åäèíñòâåííûì êîëëàéäåðîì â ðîìáå ÿâëÿåòñÿ
Z Y W� � . Êðîìå òîãî, äîïóñêàåòñÿ, ÷òî â ìîäåëè ìîæåò ïðèñóòñòâîâàòü îäíà
14 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
äîïîëíèòåëüíàÿ ñâÿçü (íî èçâåñòíî, êàêàÿ èìåííî — ïåðåìû÷êà èëè äèàãî-
íàëü). Ðàññìîòðèì òðè ñöåíàðèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ íàáîðîì äîñòóïíîé ýìïèðè-
÷åñêîé èíôîðìàöèè. Ïåðâûé ñöåíàðèé — èçâåñòíû ÷åòûðå êîððåëÿöèè: � XZ ,
� XW , � ZW è � XY . Èñïîëüçóÿ ïåðâûå òðè êîððåëÿöèè (èç óêàçàííûõ ÷åòûðåõ),
ìîæíî òåñòèðîâàòü ñóùåñòâîâàíèå «ïåðåìû÷êè» Z—W îáû÷íûì ñïîñîáîì. Åñëè
òåñò ïîêàçàë, ÷òî «ïåðåìû÷êà» ñóùåñòâóåò, èäåíòèôèêàöèÿ ìîäåëè çàâåðøåíà.
Åñëè «ïåðåìû÷êà» îòâåðãíóòà è, êðîìå òîãî, íàðóøàåòñÿ íåðàâåíñòâî ñóììû
äèâåðãåíòíûõ êîððåëÿöèé, òî ñëåäóåò îäíîçíà÷íûé âûâîä, ÷òî â ìîäåëè ñóùåñ-
òâóåò äèàãîíàëüíàÿ ñâÿçü. Âòîðîé ñöåíàðèé — èçâåñòíû òðè êîððåëÿöèè: � XZ ,
� XW , � XY . Ïóñòü íàðóøàåòñÿ íåðàâåíñòâî ñóììû äèâåðãåíòíûõ êîððåëÿöèé.
Òîãäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî äîïîëíèòåëüíàÿ ñâÿçü äåéñòâèòåëüíî ïðèñóò-
ñòâóåò, íî êàêàÿ èìåííî — íåèçâåñòíî. Ìîæíî òîëüêî ïîëàãàòü, ÷òî ñóùåñòâîâà-
íèå äèàãîíàëüíîé ñâÿçè ïðàâäîïîäîáíåå, ïîñêîëüêó ìîäåëè ñ òàêîé ñâÿçüþ íàðó-
øàþò íåðàâåíñòâà â 10 30� ðàç ÷àùå, ÷åì ðîìá ñ ïåðåìû÷êîé. Òðåòèé ñöåíà-
ðèé — èçâåñòíû òðè êîððåëÿöèè: � ZY , �WY è � XW . Åñëè íåðàâåíñòâî
ìàêñèìàëüíîé êîëëàéäåðíîé êîððåëÿöèè íàðóøàåòñÿ, âûâîäû ñîâïàäàþò ñ âûâî-
äàìè äëÿ ïðåäûäóùåãî ñöåíàðèÿ.
Ïîíÿòíî, ÷òî âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâ íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü êàê ïîäòâåðæäå-
íèå áàçîâîé ìîäåëè (àëüòåðíàòèâû îñòàþòñÿ âîçìîæíûìè).  òàêîì ñëó÷àå ìîæ-
íî òîëüêî ñî çíà÷èòåëüíîé óâåðåííîñòüþ ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îòñóòñòâóåò «ñèëü-
íàÿ» äèàãîíàëüíàÿ ñâÿçü. Ïðîñòîòà íàéäåííûõ îãðàíè÷åíèé — ïðåäïîñûëêà ïî-
ñòðîåíèÿ ýôôåêòèâíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ òåñòîâ. Ñïåöèàëüíûå èññëåäîâàíèÿ
ïîêàæóò, íàñêîëüêî ìîùíûå òåñòû ìîæíî ïîñòðîèòü íà îñíîâå ïðåäëîæåííûõ
íåðàâåíñòâ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Spirtes P., Richardson T., Meek C., Scheines R., Glymour C. Using path diagrams as a structural
equation modeling tool. Sociological Methods & Research. 1998. Vol. 27, Iss. 2. P. 182–225.
2. Pearl J. Causality: models, reasoning, and inference. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2000. 526 p.
3. Geiger D., Meek C. Graphical models and exponential families. Proc. of 14th Annual Conference on
Uncertainty in Artificial Intelligence. San Francisco, CA: Morgan Kaufmann, 1998. P. 156–165.
4. Tian J., Pearl J. On the testable implications of causal models with hidden variables. Proc. of the
18th Conf. on Uncertainty in Artificial Intelligence. San Francisco, CA: Morgan Kaufmann, 2002.
P. 519–527.
5. Evans R.J. Graphical methods for inequality constraints in marginalized DAGs. 22nd Workshop on
Machine Learning and Signal Processing. Santander, Spain, 2012. P. 1–6. (Preprint Archive:
1209.2978V1 [Math.St]).
6. Drton M., Sturmfels B., Sullivant S. Algebraic factor analysis: tetrads, pentads and beyond.
Probability Theory and Related Fields. 2007. Vol. 138, N 3–4. P. 463–493.
7. Bell J.S. On the Einstein–Podolsky–Rosen paradox. Physics. 1964. Vol. 1, N 3. P. 195–200.
8. Bollen K.A., Ting K. A tetrad test for causal indicators. Psychol. Methods. 2000. Vol. 5, N 1.
P. 3–22.
9. Holland P.W., Rosenbaum P.R. Conditional association and unidimensionality in monotone latent
variable models. The Annals of Statistics. 1986. Vol. 14, N 4. P. 1523–1543.
10. Pearl J., Tarsi M. Structuring causal trees. Journal of Complexity. 1986. Vol. 2, Iss. 1, P. 60–77.
11. Àíäîí Ï.²., Áàëàáàíîâ Î.Ñ. Äî â³äêðèòòÿ ëàòåíòíîãî á³íàðíîãî ôàêòîðà â ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ
êàòåãîðíîãî òèïà. Äîïîâ³ä³ ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2008. ¹ 9. Ñ. 37–43.
12. Balabanov O.S. Causal nets: analysis, synthesis and inference from statistical data: Doctor of math.
sciences thesis. V.M. Glushkov Institute of Cybernetics, Kyiv, 2014. 353 p. [in Ukrainian].
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 15
13. Balabanov O.S. On the intrinsic relations of correlations in some systems of linear structural
equations. Dopov. Nañ. akad. nauk Ukr. 2016. N 12. P. 17–21 [in Ukrainian]. URL: http://www.
dopovidi-nanu.org.ua/en/archive/2016/12.
14. Baba K., Shibata R., Sibuya M. Partial correlation and conditional correlation as measures of
conditional independence. Australian & New Zealand Journal of Statistics. 2004. Vol. 46, Iss. 4.
P. 657–664.
15. Balabanov O.S. Induced dependence, factor interaction, and discriminating between causal
structures. Cybernetics and Systems Analysis. 2016. Vol. 52, N 1. P. 8–19.
16. Kendall M.G., Stuart A. The advanced theory of statistics. Vol. 2. Inference and relationship.
New York: Hafner Publishing, 1973. 723 p.
17. Balabanov O.S. Principles and analytical tools for reconstruction of probabilistic dependency
structures in special class. Problems in Programming. 2017. N 1. P. 97–110 [in Ukrainian].
18. Balabanov O.S. Probabilistic dependency models: graphical and statistical properties. Mathematical
Machines and Systems. 2009. N 3. P. 80–97 [in Ukrainian].
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 27.07.2017
Î.Ñ. Áàëàáàíîâ
ÑÒÐÓÊÒÓÐÍÎ ÄÅÒÅÐ̲ÍÎÂÀͲ ÍÅвÂÍÎÑÒ² ÄËß ÊÎÐÅËßÖ²É Ó ÖÈÊ˲ ˲ͲÉÍÈÕ
ÇÀËÅÆÍÎÑÒÅÉ
Àíîòàö³ÿ. Ñôîðìóëüîâàíî ³ äîâåäåíî äåê³ëüêà îáìåæåíü (òèïó íåð³âí³ñòü)
äëÿ êîðåëÿö³é, ÿê³ âèïëèâàþòü ç ë³í³éíîñò³ òà ìàðêîâñüêèõ âëàñòèâîñòåé ìî-
äåë³ ç ðîìáîâèäíîþ ñòðóêòóðîþ (öèêë ñ îäíèì êîë³çîðîì). Ïðåçåíòîâàí³
íåð³âíîñò³ º ñïåöèô³÷íèìè äëÿ áàçîâî¿ ìîäåë³ é íåêîðåêòíèìè äëÿ àëüòåð-
íàòèâíèõ ìîäåëåé, ÿê³ â³äð³çíÿþòüñÿ ìàðêîâñüêèìè âëàñòèâîñòÿìè ÷åðåç íà-
ÿâí³ñòü äîäàòêîâîãî çâ’ÿçêó. Ïðàâäîïîä³áí³ñòü ïîðóøåííÿ öèõ íåð³âíîñòåé
â àëüòåðíàòèâíèõ ìîäåëÿõ îö³íþºòüñÿ ñòîõàñòè÷íîþ ñèìóëÿö³ºþ. Ïîêàçàíî,
ùî âñòàíîâëåí³ íåð³âíîñò³ êîðèñí³ äëÿ âàë³äàö³¿ ìîäåë³ â ñèòóàö³¿ íåïîâíî¿
ñïîñòåðåæóâàíîñò³.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: êîðåëÿö³ÿ, îáìåæåííÿ òèïó íåð³âí³ñòü, ñèñòåìà ë³í³éíèõ
ñòðóêòóðàëüíèõ ð³âíÿíü, ðîìáîâèäíà ñòðóêòóðà ìîäåë³, ìàðêîâñüê³ âëàñòè-
âîñò³.
O.S. Balabanov
INEQUALITY CONSTRAINTS ON CORRELATIONS, STRUCTURALLY
IMPLIED BY CYCLE OF LINEAR DEPENDENCIES
Abstract. We state and prove several simple inequality constraints on
correlations, which are entailed by linearity and Markov properties of
rhombus-like causal model (structured as cycle with one collider). The
inequalities are specific for the basic model and are likely to be violated in
alternative models, which differ in Markov properties due to existence of
additional edge (connection). Plausibility of violation of the inequalities in
alternative models is evaluated via simulation. We outline some ways by which
the inequalities can assist in the model verification under partial observability.
Keywords: correlation, inequality constraint, system of linear structural
equations, rhombus-like structure, Markov properties.
Áàëàáàíîâ Àëåêñàíäð Ñòåïàíîâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà ïðîãðàììíûõ ñèñòåì ÍÀÍ Óêðàèíû,
Êèåâ, e-mail: bas@isofts.kiev.ua.
16 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
|