Численное моделирование дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики в рамках моделей с несингулярным ядром
Построены неклассические математические модели для описания дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики насыщенных солевыми растворами грунтовых сред, основанные на понятии дробной производной Капуто–Фабрицио. Поставлены соответствующие краевые задачи для системы дробно-дифференц...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144848 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Численное моделирование дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики в рамках моделей с несингулярным ядром / В.М. Булавацкий, В.А. Богаенко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 26–37. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144848 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1448482025-02-09T20:31:54Z Численное моделирование дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики в рамках моделей с несингулярным ядром Чисельне моделювання дробово-диференційної фільтраційно-консолідаційної динаміки в рамках моделей з несингулярним ядром Numerical simulation of fractional-differential filtration-consolidation dynamics within the framework of models with non-singular kernel Булавацкий, В.М. Богаенко, В.А. Системний аналіз Построены неклассические математические модели для описания дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики насыщенных солевыми растворами грунтовых сред, основанные на понятии дробной производной Капуто–Фабрицио. Поставлены соответствующие краевые задачи для системы дробно-дифференциальных уравнений фильтрации и солепереноса. Разработана методика их численного решения, изложен подход к распараллеливанию вычислений. Приведены результаты численных экспериментов по моделированию динамики изучаемого процесса. Побудовано некласичні математичні моделі для опису дробово-диференційної фільтраційно-консолідаційної динаміки насичених сольовими розчинами грунтових середовищ, які базуються на понятті дробової похідної Капуто–Фабріціо. Поставлено відповідні крайові задачі для системи дробово-диференційних рівнянь фільтрації та солепереносу. Розроблено методику їхнього чисельного розв’язання, описано підхід до розпаралелювання обчислень. Наведено результати чисельних експериментів з моделювання динаміки досліджуваного процесу. Non-classical mathematical models to describe the fractional-differential filtration-consolidation dynamics of soil media saturated with saline solutions are constructed based on the concept of the fractional derivative of Caputo–Fabrizio. The corresponding boundary-value problems for the system of fractional- differential equations of filtration and salt transfer are posed, the technique for their numerical solution is developed, an approach to the parallelization of computations is presented and the results of numerical experiments on modeling the dynamics of the process are given. 2018 Article Численное моделирование дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики в рамках моделей с несингулярным ядром / В.М. Булавацкий, В.А. Богаенко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 26–37. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144848 517.9: 519.6 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Булавацкий, В.М. Богаенко, В.А. Численное моделирование дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики в рамках моделей с несингулярным ядром Кибернетика и системный анализ |
| description |
Построены неклассические математические модели для описания дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики насыщенных солевыми растворами грунтовых сред, основанные на понятии дробной производной Капуто–Фабрицио. Поставлены соответствующие краевые задачи для системы дробно-дифференциальных уравнений фильтрации и солепереноса. Разработана методика их численного решения, изложен подход к распараллеливанию вычислений. Приведены результаты численных экспериментов по моделированию динамики изучаемого процесса. |
| format |
Article |
| author |
Булавацкий, В.М. Богаенко, В.А. |
| author_facet |
Булавацкий, В.М. Богаенко, В.А. |
| author_sort |
Булавацкий, В.М. |
| title |
Численное моделирование дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики в рамках моделей с несингулярным ядром |
| title_short |
Численное моделирование дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики в рамках моделей с несингулярным ядром |
| title_full |
Численное моделирование дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики в рамках моделей с несингулярным ядром |
| title_fullStr |
Численное моделирование дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики в рамках моделей с несингулярным ядром |
| title_full_unstemmed |
Численное моделирование дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики в рамках моделей с несингулярным ядром |
| title_sort |
численное моделирование дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики в рамках моделей с несингулярным ядром |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144848 |
| citation_txt |
Численное моделирование дробно-дифференциальной фильтрационно-консолидационной динамики в рамках моделей с несингулярным ядром / В.М. Булавацкий, В.А. Богаенко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 26–37. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT bulavackiivm čislennoemodelirovaniedrobnodifferencialʹnoifilʹtracionnokonsolidacionnoidinamikivramkahmodeleisnesingulârnymâdrom AT bogaenkova čislennoemodelirovaniedrobnodifferencialʹnoifilʹtracionnokonsolidacionnoidinamikivramkahmodeleisnesingulârnymâdrom AT bulavackiivm čiselʹnemodelûvannâdrobovodiferencíinoífílʹtracíinokonsolídacíinoídinamíkivramkahmodeleiznesingulârnimâdrom AT bogaenkova čiselʹnemodelûvannâdrobovodiferencíinoífílʹtracíinokonsolídacíinoídinamíkivramkahmodeleiznesingulârnimâdrom AT bulavackiivm numericalsimulationoffractionaldifferentialfiltrationconsolidationdynamicswithintheframeworkofmodelswithnonsingularkernel AT bogaenkova numericalsimulationoffractionaldifferentialfiltrationconsolidationdynamicswithintheframeworkofmodelswithnonsingularkernel |
| first_indexed |
2025-11-30T12:57:55Z |
| last_indexed |
2025-11-30T12:57:55Z |
| _version_ |
1850220191039881216 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9: 519.6
Â.Ì. ÁÓËÀÂÀÖÊÈÉ, Â.À. ÁÎÃÀÅÍÊÎ
×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÄÐÎÁÍÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ
ÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÎ-ÊÎÍÑÎËÈÄÀÖÈÎÍÍÎÉ ÄÈÍÀÌÈÊÈ
 ÐÀÌÊÀÕ ÌÎÄÅËÅÉ Ñ ÍÅÑÈÍÃÓËßÐÍÛÌ ßÄÐÎÌ
Àííîòàöèÿ. Ïîñòðîåíû íåêëàññè÷åñêèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äëÿ îïèñà-
íèÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé ôèëüòðàöèîííî-êîíñîëèäàöèîííîé äèíàìèêè
íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ãðóíòîâûõ ñðåä, îñíîâàííûå íà ïîíÿòèè
äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ôàáðèöèî. Ïîñòàâëåíû ñîîòâåòñòâóþùèå êðà-
åâûå çàäà÷è äëÿ ñèñòåìû äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ôèëüòðàöèè
è ñîëåïåðåíîñà. Ðàçðàáîòàíà ìåòîäèêà èõ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ, èçëîæåí
ïîäõîä ê ðàñïàðàëëåëèâàíèþ âû÷èñëåíèé. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåí-
íûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïî ìîäåëèðîâàíèþ äèíàìèêè èçó÷àåìîãî ïðîöåññà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, äèíàìèêà ôèëüòðàöèîí-
íî-êîíñîëèäàöèîííûõ ïðîöåññîâ, äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíûå ìàòåìàòè÷åñ-
êèå ìîäåëè, ìîäåëè ñ íåñèíãóëÿðíûì ÿäðîì, êðàåâûå çàäà÷è, êîíå÷íî-ðàç-
íîñòíûå ðåøåíèÿ, ðàñïàðàëëåëèâàíèå âû÷èñëåíèé.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ðÿäå ðàáîò, â ÷àñòíîñòè â [1–5], íà îñíîâå îáîáùåíèÿ ôèëüòðàöèîííîãî çà-
êîíà Äàðñè äëÿ ñëó÷àÿ ó÷åòà ÿâëåíèÿ õèìè÷åñêîãî îñìîñà
u k
H
x
C
x
x � �
�
�
�
�
�
� , (1)
ãäå ux — ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè, H p� / � — èçáûòî÷íûé íàïîð, p — ïîðîâîå
äàâëåíèå, � — óäåëüíûé âåñ æèäêîñòè, k — êîýôôèöèåíò ôèëüòðàöèè, C —
êîíöåíòðàöèÿ ñîëåé â æèäêîé ôàçå, � — êîýôôèöèåíò õèìè÷åñêîãî îñìîñà [4],
ïîñòðîåíû è èçó÷åíû ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè ïî-
ðèñòûõ (ãðóíòîâûõ) ñðåä, íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè. Ïðîñòåéøàÿ èç
óêàçàííûõ ìîäåëåé îñíîâàíà íà ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé [4]:
�
�
�
�
�
�
�
�
H
t
C
H
x
C
x
� �
2
2
2
2
, (2)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
C
t
d
C
x
u
C
x
x
2
2
, (3)
ãäå d — êîýôôèöèåíò êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè, � — ïîðèñòîñòü ñðåäû, C� —
êîýôôèöèåíò êîíñîëèäàöèè [6, 7], � � �� C k/ , ux — ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè ñî-
ëåâîãî ðàñòâîðà, îïðåäåëÿåìàÿ ñîãëàñíî (1).
 ñëîæíûõ ãîðíî-ãåîëîãè÷åñêèõ óñëîâèÿõ ïðîòåêàíèÿ ôèëüòðàöèîííî-êîí-
ñîëèäàöèîííûõ ïðîöåññîâ ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà èõ äèíàìèêó ìîãóò èìåòü
ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíûå ýôôåêòû (â ÷àñòíîñòè, ýôôåêòû ïàìÿòè è ïðîñòðàí-
ñòâåííûõ êîððåëÿöèé), ó÷åò êîòîðûõ ïðè èñïîëüçîâàíèè êëàññè÷åñêîãî ïîäõîäà
çàòðóäíèòåëåí. Ýôôåêòèâíûé ïîäõîä â îïèñàíèè ïðîöåññîâ ïåðåíîñà â ñèñòåìàõ,
äëÿ êîòîðûõ âàæåí ó÷åò íåëîêàëüíèõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ñâîéñòâ, ñâÿ-
çàí ñ ïðèìåíåíèåì ïðè ìîäåëèðîâàíèè äèíàìèêè ýòèõ ïðîöåññîâ àïïàðàòà èí-
òåãðî-äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íåöåëîãî ïîðÿäêà [8–11]. Òàê, íàïðèìåð, â ðàáîòå [12]
ïîñòðîåíà è èññëåäîâàíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, îïèñûâàþùàÿ äðîáíî-äèôôå-
ðåíöèàëüíóþ êîíñîëèäàöèîííóþ äèíàìèêó íàñûùåííîé ñîëåâûì ðàñòâîðîì
ãðóíòîâîé ñðåäû. Ýòà ìîäåëü îñíîâàíà íà ñèñòåìå óðàâíåíèé ñ äðîáíûìè
ïðîèçâîäíûìè Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà
26 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
© Â.Ì. Áóëàâàöêèé, Â.À. Áîãàåíêî, 2018
D H C
H
x
C
x
t
( )�
� ��
�
�
�
�
�
2
2
2
2
, (4)
� �D C d
C
x
u
C
x
t x
( ) �
�
�
�
�
�
2
2
, (5)
ãäå Dt
( )� — îïåðàòîð äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà [8–11] ïîðÿäêà �
( )0 1� �� , à îáîçíà÷åíèÿ âñåõ îñòàëüíûõ âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â ñîîòíîøåíèÿ
(4), (5), ñîâïàäàþò ñ ïðèâåäåííûìè âûøå. Ðÿä äðóãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé,
îïèñûâàþùèõ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíóþ êîíñîëèäàöèîííóþ äèíàìèêó íàñû-
ùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ïîðèñòûõ ñðåä, ïðåäñòàâëåíû â [13–15]. Ïðè ýòîì
íàëè÷èå ñèíãóëÿðíèõ ÿäåð â óðàâíåíèÿõ ìîäåëåé ñ äðîáíûìè ïðîèçâîäíûìè Êà-
ïóòî–Ãåðàñèìîâà îïðåäåëåííûì îáðàçîì çàòðóäíÿåò ôèçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ
ïîëó÷àåìûõ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ êðàåâûõ çàäà÷ òåîðèè êîíñîëèäàöèè
è ïðèâîäèò ê íåîïðàâäàííîìó óñëîæíåíèþ àëãîðèòìîâ ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè èõ
ðåøåíèé.  çíà÷èòåëüíîé ìåðå ëèøåííûì óêàçàííûõ íåäîñòàòêîâ ïðåäñòàâëÿåòñÿ
ïðåäëîæåííûé â [16, 17] ïîäõîä, ñîãëàñíî êîòîðîìó ìîäåëèðîâàíèå ôèëüòðàöè-
îííîé äèíàìèêè â ïîðèñòèõ ñðåäàõ âûïîëíÿåòñÿ â ðàìêàõ äðîáíî-äèôôåðåíöè-
àëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ íåñèíãóëÿðíûì ÿäðîì (â ÷àñòíîñòè, ñ èñïîëü-
çîâàíèåì ïîíÿòèÿ ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ôàáðèöèî [18]). Äàëåå îí ïðèìåíÿåòñÿ
ïðè ïîñòðîåíèè äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé êîíñîëèäà-
öèîííîé äèíàìèêè íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ãðóíòîâûõ ñðåä. Äëÿ ïî-
ñòðîåííûõ íåêëàññè÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîëó÷å-
íû ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ ôèëüòðàöèîííî-êîíñîëèäàöèîííûõ çàäà÷ áåç ó÷åòà ñâîé-
ñòâà ïîëçó÷åñòè ãðóíòîâîãî ñêåëåòà óïëîòíÿåìîãî ìàññèâà è ñ åãî ó÷åòîì.
Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè èçó÷àåìîãî ïðî-
öåññà. Îáñóæäàþòñÿ íåêîòîðûå àñïåêòû ðàñïàðàëëåëèâàíèÿ âè÷èñëåíèé.
Îñíîâûâàÿñü íà ðåçóëüòàòàõ ðàáîòû [18], ïðåäâàðèòåëüíî ââåäåì â ðàññìîò-
ðåíèå äâóõïàðàìåòðè÷åñêóþ ïðîèçâîäíóþ Êàïóòî–Ôàáðèöèî îò ôóíêöèè H x t( , )
ïî ïåðåìåííîé t
CF
t
t
D H x t
H t
d
� �
� �
�
�
�
,
( , )
( )
exp�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
1
1 1
0
, (6)
ãäå ïàðàìåòð � — ïîðÿäîê ïðîèçâîäíîé ( )0 1� �� , � — äåéñòâèòåëüíûé ïîëî-
æèòåëüíûé ïàðàìåòð. Îòñþäà ïðè � �1 ïîëó÷àåì îáùåïðèíÿòîå îïðåäåëåíèå
ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ôàáðèöèî, ïðåäëîæåííîå â [18].
Äàëåå áóäåì èñõîäèòü èç ñëåäóþùåãî îáîáùåíèÿ êëàññè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
íåðàçðûâíîñòè ôèëüòðàöèîííîãî ïîòîêà:
�
�
� �
u
x
k
C
D H x tx CF
t
�
� �, ( , ) 0, (7)
ãäå CF
tD � �, — îïåðàòîð äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ôàáðèöèî âèäà (6).
Îòìåòèì, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, ïðè � �� �1 1, èç ñîîòíîøåíèÿ (7) ïîëó÷àåì
êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè âèäà [6]
�
�
�
�
�
�
u
x
k
C
H
t
x
�
0.
Èç (7) ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (1) èìååì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äëÿ íàïîðà:
CF
tD H x t C
H
x
C
x
� �
� �, ( , ) �
�
�
�
�
�
2
2
2
2
( )0 1� �� . (8)
Àíàëîãè÷íî, ñ ó÷åòîì ñîîòâåòñòâóþùåãî äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîãî îáîáùå-
íèÿ çàêîíà Ôèêà, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ êîíöåíòðàöèè â âèäå
�
� �CF
t xD C x t d
C
x
u
C
x
* ,
( , ) �
�
�
�
�
�
2
2
( )0 1� ��� . (9)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 27
Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà óðàâíåíèé (8), (9), ñîñòàâëÿþùàÿ îñíîâó íîâîé äðîá-
íî-äèôôåðåíöèàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè
íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ïîðèñòûõ ñðåä, áàçèðóåòñÿ íà óðàâíåíèÿõ,
íå ñîäåðæàùèõ ñèíãóëÿðíûõ ÿäåð. Îòìåòèì, ÷òî ïðè � � �, ,� � �1 1 èç (8), (9)
ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé âèäà (2), (3) äëÿ ìîäåëè ôèëüòðàöèîííîé êîíñî-
ëèäàöèè â êëàññè÷åñêîé ïîñòàíîâêå [1–5].
 ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîé íåêëàññè÷åñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äðîá-
íî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ äèíàìèêà íåðàâíîâåñíîãî âî âðåìåíè ôèëüòðàöèîí-
íî-êîíñîëèäàöèîííîãî ïðîöåññà â íàñûùåííîé ñîëåâûì ðàñòâîðîì ãðóíòîâîé
ñðåäå â ñëó÷àå, íàïðèìåð, ìàññèâà êîíå÷íîé ìîùíîñòè l ñ ïðîíèöàåìûìè ãðàíè-
öàìè îïèñûâàåòñÿ â îáëàñòè � � � � �{ }( , ) : ,x t x l t0 0 ñèñòåìîé óðàâíåíèé (8), (9)
ïðè ñëåäóþùèõ êðàåâûõ óñëîâèÿõ:
H t H l t H x H( , ) , ( , ) , ( , )0 0 0 0 0� � � , (10)
C t C C l t C x( , ) , ( , ) , ( , )0 0 0 00� � � , (11)
ãäå H 0 — íà÷àëüíîå çíà÷åíèå èçáûòî÷íîãî íàïîðà â ìàññèâå, C0 — çàäàííîå
çíà÷åíèå êîíöåíòðàöèè ñîëåé íà âõîäå ôèëüòðàöèîííîãî ïîòîêà.
Ðàññìîòðèì áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå è ïàðàìåòðû, îïðåäåëÿåìûå ðàâåí-
ñòâàìè
� � � � � � � � � �
� � �
x
x
l
t
t
H
H
H
C
C
C
C
C
l
C
l H
d
, , , , ,
,
�
�
�
��
�
�
0 0
2
0
2
0
� � � � �
d
l
u
k H
l
C
l
� �
�
��
2
0
2
0
2
, , .
(12)
Ïåðåõîäÿ â ñîîòíîøåíèÿõ (8)–(11) ê íîâûì ïåðåìåííûì ñîãëàñíî ôîðìó-
ëàì (12) è îïóñêàÿ â äàëüíåéøåì çíàê «øòðèõ» íàä áåçðàçìåðíûìè âåëè÷èíà-
ìè, ïîëó÷àåì â îáëàñòè ( , ) ( , )0 1 0� � êðàåâóþ çàäà÷ó
CF
tD H x t C
H
x
C
x
�
� �( , ) �
�
�
�
�
�
2
2
2
2
( )0 1� �� , (13)
� �
�CF
tD C x t d
C
x
u
H
x
C
x
C
x
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( , )
2
2
( )0 1� ��� , (14)
H t H t H x( , ) , ( , ) , ( , )0 0 1 0 0 1� � � , (15)
C t C t C x( , ) , ( , ) , ( , )0 1 1 0 0 0� � � , (16)
ãäå CF
t
t
D u t u t d�
�
�
�
( ) ( ) exp ( )�
�
� �
�
�
�
�
�
�
1
1 1
0
— äðîáíàÿ ïðîèçâîäíàÿ â ñìûñ-
ëå îïðåäåëåíèÿ Êàïóòî–Ôàáðèöèî [18] ïîðÿäêà � .
×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÄÐÎÁÍÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ
ÊÎÍÑÎËÈÄÀÖÈÎÍÍÎÉ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÍÀÑÛÙÅÍÍÎÃÎ
ÑÎËÅÂÛÌ ÐÀÑÒÂÎÐÎÌ ÌÀÑÑÈÂÀ ÊÎÍÅ×ÍÎÉ ÌÎÙÍÎÑÒÈ
 ÐÀÌÊÀÕ ÍÅÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÎÄÅËÈ
Äàëåå êðàòêî èçëàãàåòñÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿ ìåòîäèêà ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåí-
íîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (13)–(16).
Ðàññìîòðèì ñåòî÷íóþ îáëàñòü
h i j ix t x ih i m� � � �{( , ): ( , ),0 1 t j j nj � � ( , )0 },
ãäå h, — øàãè ñåòêè ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïåðåìåííîé è âðåìåíè ñîîòâåòñòâåí-
íî. Íà îñíîâå ìîíîòîííîé ðàçíîñòíîé ñõåìû Ñàìàðñêîãî [19] ïîñòàâèì â ñî-
îòâåòñòâèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ñèñòåìó ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé, çàïèñûâàå-
ìóþ â ñòàíäàðòíûõ îáîçíà÷åíèÿõ â âèäå
� t xx xxH C H C( )
� �
�
� �� � ( )0 1� �� , (17)
28 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
� � � �
�� t xx x xC C C C
( )
� � �� � � �� � ( )0 1� ��� , (18)
ãäå
� �
d
R
, R
h
d
� �1
2
| |�
, � � �� � �
1
2
( | | ), � �� �uH C
x x
0 0. (19)
Ïðè ýòîì â ñîîòíîøåíèÿõ (17), (18) îïåðàòîð � t
( )� îáîçíà÷àåò äèñêðåòíûé
àíàëîã äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ôàáðèöèî ïîðÿäêà �, îïðåäåëÿåìûé ñî-
îòíîøåíèåì
� t k
j
t k
k
j
u c u( ) ( )
,
�
�
�
�
�
0
, (20)
ãäå
u
u u
c e e bt k
k k
b
k
j b j k
,
( ) ( )
, ( ), ,�
�
� � � �
�
� � �
1 1
1
�
�
�
�
� �
1� �
.
Îòìåòèì, ÷òî â êëàññå äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé ñïðàâåäëèâà îöåíêà CF
tD u� �
� �� t u O( ) ( )� .
Ðàñïèñûâàÿ â ñîîòíîøåíèÿõ (17), (18) ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíîñòíûå îïåðà-
òîðû ñ ó÷åòîì (20) è ïðèâîäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ñâîäèì çàäà÷ó ê ðåøåíèþ ñëåäó-
þùèõ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:
AH SH AH F
i
j
i
j
i
j
i
j
�
� �
�
�� � �
1
1 1
1
1 ( , , , )i m j n� �1 0 , (21)
~ ~ ~ ~
A C S C B C Fi
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
�
� �
�
�� � �
1
1 1
1
1 ( , , , )i m j n� �1 0 , (22)
ãäå
A
C
c h
S A� � ��
�
2
1
2, , F
H H
i
j
k
j i
k
i
k
k
j
�
�
�
�
�
�
�
( )
1
0
1
� � � �
�
� �
�
��
�c h
C C C
H
i
j
i
j
i
j i
j
2 1
1 1
1
12( ) ,
~
( )A
h hi
j i
j
i
j� �
�
�
�
�1 �
� ,
~
( )B
h hi
j i
j
i
j� �
�
�
�
�1 �
� ,
~ ~ ~
*
S
c
A Bi
j
i
j
i
j� � �
�
� ,
~ ( )F c
C C C
i
j
k
j i
k
i
k
i
j
k
j
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
1
0
1
, c e
b
�
�
��
�
�� �
�1
1( ) ,
b e
k
j b j k
�
�
�
�� �
�
� ��
�
�
�
1
, ~ ( ) ( )
. (23)
Ïðè j � 0 ñóììû â (23) ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè íóëþ.
Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ñèñòåì (21), (22) òðåõòî÷å÷íûå è ýôôåêòèâíî ðåøà-
þòñÿ ìåòîäîì ïðîãîíêè [19]. Ïðîãîíî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ èìåþò âèä
H H C Ci
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
�
� �
�
�
�
� �
�
�
� � � �1
1 1
1
1
1
1 1
1
1
� � � �, ~ ~ j ( , , , )i m j n� �1 0 ,
à ïðîãîíî÷íûå êîýôôèöèåíòû âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
�
�
i
j
i
j
A
S A
�
�
�
1
, � � �
i
j
i
j
i
j i
jF
A� �
� �
�
�
�
1 1
( , , , )i m j n� �1 0 ,
~
~
~ ~ ~
,�
�
i
j i
j
i
j
i
j
i
j
B
S A
�
�
�
1
~
~
~ (
~ ~ ~
)�
�
�
i
j i
j
i
j i
j
i
j
i
j
B
A F
�
�� �
1
1 ( , , , )i m j n� �1 0 .
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòàðòîâûõ çíà÷åíèé ïðîãîíî÷íûõ êîýôôèöèåíòîâ èñïîëüçó-
åì êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå àíàëîãè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Òîãäà ïîëó÷àåì
� � � �
1 1 1 1
0 0 1 0j j j j j n, ~ , ,
~
( , )� � � � .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 29
Îòìåòèì, ÷òî óñòîé÷èâîñòü ìåòîäà ïðîãîíêè äëÿ ñèñòåì (21), (22) âûòåêàåò èç
ôàêòà äèàãîíàëüíîãî ïðåîáëàäàíèÿ â ìàòðèöàõ êîýôôèöèåíòîâ ýòèõ ñèñòåì àë-
ãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
ÐÀÑÏÀÐÀËËÅËÈÂÀÍÈÅ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ ÍÀ ÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÐÀÕ
Âû÷èñëèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ òðåõäèàãîíàëü-
íûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ) (21), (22), ïîëó÷àåìûõ
â ðåçóëüòàòå äèñêðåòèçàöèè çàäà÷è, ëèíåéíî çàâèñèò îò íîìåðà øàãà ïî âðåìåíè,
÷òî îáóñëîâëèâàåò íåîáõîäèìîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé ïðè
ðåøåíèè ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ íà áîëüøèõ âðåìåííûõ ïðîìåæóòêàõ.
 ýòîì ñëó÷àå ýôôåêòèâíî ïðèìåíåíèå ãðàôè÷åñêèõ ïðîöåññîðîâ (GPU), òàê
êàê áîëüøàÿ ÷àñòü âðåìåíè ïðè ðåøåíèè çàäà÷è òðàòèòñÿ íà íåçàâèñèìûå îïåðà-
öèè îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé âåêòîðîâ ïðàâûõ ÷àñòåé ÑËÀÓ.
Àëãîðèòì ïðîâåäåíèÿ ðàñ÷åòîâ ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ áëîêîâ îïåðàöèé:
� âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ è ýëåìåíòîâ âåêòîðîâ ïðà-
âûõ ÷àñòåé ÑËÀÓ ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèÿì (23);
� ðåøåíèå ÑËÀÓ.
Îïåðàöèè â ïðåäåëàõ ïåðâîãî áëîêà íåçàâèñèìû îäíà îò äðóãîé â ñëó÷àå îò-
ñóòñòâèÿ îáùåãî äîñòóïà ê ïàìÿòè. Ýôôåêòèâíîé ðåàëèçàöèåé ýòèõ îïåðàöèé íà
GPU ÿâëÿåòñÿ ñõåìà, â êîòîðîé îäèí ïîòîê îáðàáàòûâàåò îäèí ýëåìåíò âåêòîðà
áåç îáúåäèíåíèÿ ïîòîêîâ â ãðóïïû.
Äëÿ ðåøåíèÿ òðåõäèàãîíàëüíûõ ÑËÀÓ èñïîëüçîâàíà ðåàëèçàöèÿ GPU-àëãî-
ðèòìà ïàðàëëåëüíîé öèêëè÷åñêîé ðåäóêöèè, îïèñàííàÿ â [20]. Ïðè ðåøåíèè
ÑËÀÓ ñ ïðèìåíåíèåì öåíòðàëüíîãî ïðîöåññîðà (CPU) èñïîëüçîâàëñÿ îïèñàííûé
àëãîðèòì ìåòîäà ïðîãîíêè.
Ïðè ïðîâåäåíèè âû÷èñëåíèé îáìåí äàííûìè ìåæäó ïàìÿòüþ öåíòðàëüíîãî
è ãðàôè÷åñêîãî ïðîöåññîðîâ âûïîëíÿåòñÿ ïðè èíèöèàëèçàöèè âû÷èñëåíèé è ïî-
ëó÷åíèè èõ ðåçóëüòàòîâ.
Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèÿ äðîáíûõ ïðîèçâîäíûõ CF
t
CF
tD H D C� �
, � íà òåêóùåì
øàãå ïî âðåìåíè òðåáóåò õðàíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ íà ïðåäûäóùèõ âðå-
ìåííûõ øàãàõ. Ýòî ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè ðàñøèðåíèÿ áëîêà ïàìÿòè, âûäå-
ëåííîãî äëÿ õðàíåíèÿ òàêèõ äàííûõ íà GPU. Â ðåàëèçîâàííîé ñõåìå ðàçìåð áëî-
êà ïàìÿòè óâåëè÷èâàåòñÿ âäâîå ïðè åãî ïîëíîì çàïîëíåíèè.
Âðåìÿ ïðîâåäåíèÿ âû÷èñëåíèé ïàðàëëåëüíûì àëãîðèòìîì íà j-ì øàãå ïî
âðåìåíè áåç ó÷åòà îáìåíîâ äàííûìè ìåæäó ïàìÿòüþ öåíòðàëüíîãî è ãðàôè÷åñ-
êîãî ïðîöåññîðîâ îöåíèâàåì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
T N j k
N
k N P k k j k
N
1 1 2 2 3 4 5 210 2
2 2
( , ) log ( / ) log� �
�
�
�
� � �
�
�
�
, (24)
ãäå k1 — âðåìÿ, çàòðà÷èâàåìîå íà âñïîìîãàòåëüíûå îïåðàöèè ïî çàïóñêó GPU-
ÿäåð (kernel), k2 — êîýôôèöèåíò áûñòðîäåéñòâèÿ GPU, k3 — êîýôôèöèåíò
ñëîæíîñòè îïåðàöèé âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ýëåìåíòîâ ìàòðèö ÑËÀÓ, k4 — êîýô-
ôèöèåíò ñëîæíîñòè âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé âåêòîðà ïðàâîé ÷àñòè ÑËÀÓ, k5 — êî-
ýôôèöèåíò ñëîæíîñòè ïðîâåäåíèÿ âû÷èñëåíèé íà îäíîé èòåðàöèè àëãîðèòìà ïà-
ðàëëåëüíîé öèêëè÷åñêîé ðåäóêöèè, P — êîëè÷åñòâî ñêàëÿðíûõ ïðîöåññîðîâ
â GPU, N — êîëè÷åñòâî óçëîâ ñåòêè.
 ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîãî àëãîðèòìà âðåìÿ ðàáîòû ìîæíî îöåíèòü êàê
T N j k N k k j k2 6 3 4 7( , ) ( )� � � , (25)
ãäå k6 — êîýôôèöèåíò áûñòðîäåéñòâèÿ öåíòðàëüíîãî ïðîöåññîðà, k7 — êîýô-
ôèöèåíò ñëîæíîñòè âû÷èñëåíèÿ ðåøåíèÿ ÑËÀÓ ìåòîäîì ïðîãîíêè.
Àëãîðèòìû äëÿ GPU ïðîãðàììíî ðåàëèçîâàíû ñ ïðèìåíåíèåì òåõíîëîãèè
OpenCL. Âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû ïî ðåøåíèþ çàäà÷ ðàçíîé ðàçìåðíîñòè
ñ èñïîëüçîâàíèåì CPU è GPU ïðîâîäèëèñü íà îäíîì óçëå êëàñòåðà ÑÊÈÒ-4
Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.
30 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
Çàâèñèìîñòü ðåçóëüòàòîâ âû÷èñëåíèé îò íîìåðà øàãà ïî âðåìåíè äëÿ ðàç-
ëè÷íûõ ðàçìåðîâ ñåòêè è ñîîòâåòñòâóþùèå îöåíêè ñîãëàñíî (24) è (25) ïîêàçà-
íû íà ðèñ. 1, 2. Íà ðèñ. 1 ïðèâåäåíî ôàêòè÷åñêîå âðåìÿ t ðàáîòû CPU-àëãîðèòìà
(êðèâûå 1, 2, 3) è åãî îöåíêà (êðèâûå 1', 2', 3') íà øàãàõ j ïî âðåìåíè (1, 1' —
N � 50000; 2, 2' — N � 25000; 3, 3' — N �10000), íà ðèñ. 2 — ôàêòè÷åñêîå âðå-
ìÿ t ðàáîòû GPU-àëãîðèòìà (êðèâûå 1, 2, 3) è åãî îöåíêà (êðèâûå 1', 2', 3') íà
âðåìåíí�õ øàãàõ j (1, 1' — N � 50000; 2, 2' — N � 25000; 3, 3' — N �10000).
Âðåìÿ ðàáîòû GPU-àëãîðèòìà îöåíèâàëîñü äëÿ P �1000. Ðåçóëüòàòû òåñòè-
ðîâàíèÿ ïîêàçàëè àäåêâàòíîñòü îöåíîê (24) è (25).
Óñêîðåíèå S , îáåñïå÷èâàþùååñÿ GPU-àëãîðèòìîì ïî ñðàâíåíèþ ñ CPU-àë-
ãîðèòìîì â çàâèñèìîñòè îò íîìåðà øàãà j ïî âðåìåíè, ïðîèëëþñòðèðîâàíî íà
ðèñ. 3. Êàê âèäíî èç ïîëó÷åííûõ äàííûõ, îíî ëèíåéíî âîçðàñòàåò, ÷òî îáóñëîâ-
ëèâàåò âûñîêóþ ýôôåêòèâíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ GPU ïðè ìîäåëèðîâàíèè ðàñ-
ñìàòðèâàåìûõ ïðîöåññîâ íà áîëüøèõ âðåìåíí�õ èíòåðâàëàõ.
Ñóììàðíîå óñêîðåíèå S ïðè ïðîâåäåíèè âû÷èñëåíèé íà 600 øàãàõ ïî âðåìå-
íè äëÿ GPU-àëãîðèòìà â çàâèñèìîñòè îò ðàçìåðà N ñåòêè ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.
Âðåìÿ, çàòðà÷èâàåìîå GPU-àëãîðèòìîì íà âñïîìîãàòåëüíûå îïåðàöèè, ñóùåñò-
âåííî ñíèæàåò åãî áûñòðîäåéñòâèå íà íåáîëüøèõ ñåòêàõ. Ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìå-
ðà ñåòêè óñêîðåíèå ñòàíîâèòñÿ ïîñòîÿííûì è çàâèñèò òîëüêî îò êîëè÷åñòâà è
áûñòðîäåéñòâèÿ ñêàëÿðíûõ ïðîöåññîðîâ GPU.
ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒΠÏÎ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÞ
ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÊÎÍÑÎËÈÄÀÖÈÎÍÍÎÃÎ ÏÐÎÖÅÑÑÀ
×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè ïîëåé èçáûòî÷íûõ ôèëüòðàöèîííûõ íà-
ïîðîâ è ïîëåé êîíöåíòðàöèé ñîãëàñíî ðàññìàòðèâàåìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäå-
ëè âûïîëíåíî îòíîñèòåëüíî áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ, îïðåäåëÿåìûõ ñîîòíî-
øåíèÿìè (12) äëÿ âõîäíûõ äàííûõ èç ðàáîò [4, 21]. Íåêîòîðûå èç ïîëó÷åííûõ
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 31
Ðèñ. 1 Ðèñ. 2
t �102, ìñ
j
1
2
1'
2'
3'
3
t �102, ìñ
j
1'
1
2
2'
3 3'
Ðèñ. 3 Ðèñ. 4
S
j
S
N
ïðè ýòîì ðåçóëüòàòîâ ãðàôè÷åñêè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 5–10. Íà ðèñ. 5 ïðèâå-
äåíû ãðàôèêè íàïîðíîé ôóíêöèè ïðè � �� � � 0 85, äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷å-
íèé áåçðàçìåðíîé âðåìåííîé ïåðåìåííîé t (1 — t � 01, ; 2 — t � 0 3, ; 3 —
t � 0 5, ; 4 — t � 0 6, ; 5 — t � 0 7, ). Íà ðèñ. 6 ïîêàçàíà ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèíàìè-
êà ïîëåé êîíöåíòðàöèé â òå æå ìîìåíòû âðåìåíè. Ãðàôèêè íàïîðíîé ôóíêöèè
â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè t � 0 05, äëÿ ðàçëè÷íûõ ïîðÿäêîâ äðîá-
íîé ïðîèçâîäíîé (1 — � �1; 2 — � � 0 9, ; 3 — � � 0 8, ; 4 — � � 0 7, ; 5 —
� � 0 6, ; � �� � ) ïðèâåäåíû íà ðèñ. 7. Ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàôèêè ôóíêöèè êîí-
öåíòðàöèè ïîêàçàíû íà ðèñ. 8. Àíàëîãè÷íûå êðèâûå äëÿ íàïîðîâ è êîíöåíòðà-
öèé â áîëåå ïîçäíèé ìîìåíò âðåìåíè t � 0 5, ïðèâåäåíû íà ðèñ. 9 è 10.
Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ñëåäóþùèå
âûâîäû îá îñîáåííîñòÿõ äèíàìèêè ïîëåé ôèëüòðàöèîííûõ äàâëåíèé è êîíöåíòðà-
öèé â ïðîöåññå êîíñîëèäàöèè ìàññèâîâ, íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè.
1.  ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè
íàáëþäàþòñÿ ÿâëåíèÿ ðàññåèâàíèÿ ïåðâîíà÷àëüíîãî èçáûòî÷íîãî ïîðîâîãî äàâ-
ëåíèÿ (ðèñ. 5, 7, 9), à òàêæå âîçðàñòàíèÿ êîíöåíòðàöèè ñîëåé â ïîðîâîì ðàñòâîðå
(ðèñ. 6, 8, 10), ÷òî àäåêâàòíî îòîáðàæàåò èçâåñòíóþ ôèçè÷åñêóþ êàðòèíó ïðîöåñ-
ñà êîíñîëèäàöèè íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ïîðèñòûõ ñðåä [4, 5, 21].
2. Óìåíüøåíèå ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé ïîðÿäêîâ äðîáíûõ ïðîèçâîäíûõ � , ��
ïðèâîäèò ê óñêîðåíèþ ïðîöåññà ðàññåèâàíèÿ ïîëåé èçáûòî÷íûõ íàïîðîâ â ìàñ-
ñèâå (ðèñ. 7, 9) è óñêîðåííîìó âîçðàñòàíèþ êîíöåíòðàöèè ñîëåâîãî ðàñòâîðà
â òî÷êàõ ôèëüòðàöèîííîé îáëàñòè (ðèñ. 8, 10) ïî ñðàâíåíèþ ñ îïèñàíèåì äèíà-
ìèêè ïðîöåññà â ðàìêàõ îáùåïðèíÿòûõ (ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûå îáîçíà÷åíû
íîìåðîì 1 íà ðèñ. 7–10) ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, èçó÷åííûõ â [1–5, 21].
Òàêèì îáðàçîì, óñêîðåíèå äèíàìèêè ìîäåëèðóåìûõ ïðîöåññîâ â ðàìêàõ ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé íåêëàññè÷åñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ôèëüòðàöèîííîé êîíñî-
32 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
Ðèñ. 5 Ðèñ. 6
H
x
C
x
1
2
3
5
4
5
1
2
3
4
Ðèñ. 7
x
H
1 2
3
4
5
Ðèñ. 8
5
4
3
2
1
C
x
ëèäàöèè ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî äàííàÿ ìîäåëü îïèñûâàåò èçó÷àåìûå
ïðîöåññû â ñóïåðäèôôóçèîííîì [10] ïðèáëèæåíèè.
ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÄÐÎÁÍÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÊÎÍÑÎËÈÄÀÖÈÎÍÍÎÉ
ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÍÀÑÛÙÅÍÍÛÕ ÑÎËÅÂÛÌÈ ÐÀÑÒÂÎÐÀÌÈ ÌÀÑÑÈÂÎÂ
 ÓÑËÎÂÈßÕ Ó×ÅÒÀ ÔÀÊÒÎÐÀ ÏÎËÇÓ×ÅÑÒÈ
Ðàñïðîñòðàíèì íà ñëó÷àé ó÷åòà ÿâëåíèÿ ïîëçó÷åñòè ðàçâèòûé âûøå ïîäõîä
ê ìîäåëèðîâàíèþ äèíàìèêè ôèëüòðàöèîííî-êîíñîëèäàöèîííûõ ïðîöåññîâ
â íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ãðóíòîâûõ ñðåäàõ íà îñíîâå äðîáíî-äèô-
ôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè ñ íåñèíãóëÿðíûì ÿäðîì.
Êàê èçâåñòíî, ñêåëåò ãðóíòîâîãî ìàññèâà ìîæåò îáëàäàòü ñâîéñòâàìè ïîëçó-
÷åñòè, ò.å. ñïîñîáíîñòüþ äåôîðìèðîâàòüñÿ âî âðåìåíè ïðè ïîñòîÿííûõ íàïðÿæå-
íèÿõ [6, 7].  ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðèåé íàñëåäñòâåííîé ëèíåéíîé ïîëçó÷åñòè èçìåíå-
íèå êîýôôèöèåíòà ïîðèñòîñòè âî âðåìåíè ïðåäñòàâèì â ñëåäóþùåì âèäå [22, 23]:
e t e t t d
t
( ) ( ) ( ) ( , ) ( , )� � �
�
��0 0 0
0
�
�
, (26)
ãäå e t( ) — êîýôôèöèåíò ïîðèñòîñòè ãðóíòà, �( )t — ñóììà ãëàâíûõ íàïðÿæå-
íèé â ñêåëåòå,
( , )t — âåëè÷èíà èçìåíåíèÿ êîýôôèöèåíòà ïîðèñòîñòè ê ìî-
ìåíòó âðåìåíè t îò åäèíè÷íîé íàãðóçêè, ïðèëîæåííîé â ìîìåíò âðåìåíè .
Ñîãëàñíî [6, 7, 22, 23] èìååì
�
( , ) [ ]
( )
t a a e
t� � � � �
0 1 1 1 . (27)
Çäåñü a0 — ïàðàìåòð ìãíîâåííîé äåôîðìàöèè, a1 1, � — ïàðàìåòðû ïîëçó÷åñ-
òè, îïðåäåëÿåìûå ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïóòåì (� 1 õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü íà-
ðàñòàíèÿ äåôîðìàöèé ïîëçó÷åñòè [6, 23]).
 îäíîìåðíîì ñëó÷àå óïëîòíåíèÿ ñëîÿ ãðóíòà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé
íàãðóçêîé èíòåíñèâíîñòè q � const â ïðåäïîëîæåíèÿõ îñíîâíîé ðàñ÷åòíîé ìîäå-
ëè Ôëîðèíà [23] èìååì � �� � � �q p q H . Òîãäà èç ñîîòíîøåíèÿ (26) ñ ó÷å-
òîì (27) ïîëó÷àåì
�
�
�
�
�
�
�
��
� �e
t
a
p
t
a
p
e d
t
t
0 1 1
0
1�
� ( )
. (28)
Ñîãëàñíî [6, 23] îñíîâíîå óðàâíåíèå êîíñîëèäàöèè òðåõôàçíîé ñðåäû çàïèñû-
âàåòñÿ â âèäå
�
�
� �
�
�
� �
�
�
�
e
t
e
p
t
e
u
x
x�( ) ( )1 1 0, (29)
ãäå � — êîýôôèöèåíò îáúåìíîé ñæèìàåìîñòè ãàçîâîé êîìïîíåíòû, e — ñðåä-
íåå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ïîðèñòîñòè, ux — ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè. Òàêèì
îáðàçîì, èç (29) ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (28) èìååì [6, 23]
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
��
� �H
t
a
a e
H
e d
C
k
u
x
t
t x1 1
0 0
1
01
�
�
� �
( )
( )
, (30)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 33
Ðèñ. 10Ðèñ. 9
5
4
3
2
1
H
x x
C
1 2
3
4
5
ãäå C
e k
a e
�
� �
�
�
� �
( )
[ ( )]
1
10
— êîýôôèöèåíò êîíñîëèäàöèè. Ó÷èòûâàÿ â (30) ñî-
îòíîøåíèå äëÿ ñêîðîñòè ôèëüòðàöèè â âèäå (1), îêîí÷àòåëüíî íàõîäèì
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �H
t
a
a e
H
e d C
H
x
C
t
t1 1
0 0
2
2
2
1
1
�
�
��
�
( )
( )
�x 2
, (31)
ãäå � � �� C k/ .
Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (31) — îñíîâíîå îïðåäåëÿþùåå óðàâ-
íåíèå äëÿ íàïîðà â ðàññìàòðèâàåìîé äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé
ìîäåëè êîíñîëèäàöèè ãðóíòîâûõ ñðåä ñ ó÷åòîì îñìîòè÷åñêèõ ÿâëåíèé è ôàêòîðà
ïîëçó÷åñòè ñêåëåòà. Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ íàñûùåííîñòè ìàññèâà òîëüêî ÷èñòîé âî-
äîé (áåç ó÷åòà îñìîòè÷åñêèõ ÿâëåíèé) äàííîå óðàâíåíèå ëåãêî ìîæíî ïðåîáðàçî-
âàòü â äèôôåðåíöèàëüíîå, îäíàêî óæå áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíí�é ïåðå-
ìåííîé [6, 23]. Âîçíèêàþùèå ïðè ýòîì ïðîáëåìû ïîëó÷åíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî íà-
÷àëüíîãî óñëîâèÿ, íåîáõîäèìîãî äëÿ êîððåêòíîé ïîñòàíîâêè ñîîòâåòñòâóþùèõ
êîíñîëèäàöèîííûõ êðàåâûõ çàäà÷ è ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè óêàçàííîãî óñëî-
âèÿ, íåòðèâèàëüíû. Â ñâÿçè ñ ýòèì äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ðàññìàòðèâàåìûõ
ïðîöåññîâ â äàëüíåéøåì èñïîëüçóåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî óðàâíåíèå (31).
Ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ
�
�
� �
�
�
� ��1
1
01 1
0 1 0�
�
�
� �
� � �
( )
,
( )
( , )�
a
a e
,
ïåðåïèøåì (31) â âèäå
�
�
� �
�
�
�
�
�
H
t
D H x t C
H
x
C
x
CF
t��
� �
� �, ( , )
2
2
2
2
, (32)
ãäå CF
tD � �, — îïåðàòîð äâóõïàðàìåòðè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ôàáðè-
öèî [18], îïðåäåëÿåìûé ñîãëàñíî (6).
Ñîõðàíÿÿ ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå äëÿ êîíöåíòðàöèè ñîëåâîãî ðàñòâîðà
â âèäå (9), ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé
ìîäåëè ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ãðóíòî-
âûõ ñðåä ñ ó÷åòîì ïîëçó÷åñòè ñêåëåòà, ñîñòîÿùóþ èç óðàâíåíèé (32), (9). Ñîãëàñíî
äàííîé ìîäåëè êîíñîëèäàöèîííàÿ äèíàìèêà ìàññèâà êîíå÷íîé ìîùíîñòè l ñ ïðîíè-
öàåìûìè ãðàíèöàìè îïèñûâàåòñÿ â îáëàñòè � ñèñòåìîé óðàâíåíèé (32), (9) ñ êðàå-
âûìè óñëîâèÿìè (10), (11). Â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ, îïðåäåëÿåìûõ ñîîòíîøå-
íèÿìè (12), ñîîòâåòñòâóþùàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à çàïèøåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå (çíàê
«øòðèõ» íàä áåçðàçìåðíûìè âåëè÷èíàìè îïóùåí):
�
�
� �
�
�
�
�
�
H
t
D H x t C
H
x
C
x
CF
t��
�
� �( , )
2
2
2
2
( )0 1� �� , (33)
� �
�CF
tD C x t d
C
x
u
H
x
C
x
C
x
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( , )
2
2
( )0 1� ��� , (34)
H t H t H x( , ) , ( , ) , ( , )0 0 1 0 0 1� � � , (35)
C t C t C x( , ) , ( , ) , ( , )0 1 1 0 0 0� � � . (36)
Êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿ ìåòîäèêà ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çà-
äà÷è (33)–(36) êðàòêî ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
Ðàññìîòðèì ñåòî÷íóþ îáëàñòü
h íà îñíîâå ìîíîòîííîé ðàçíîñòíîé ñõåìû
Ñàìàðñêîãî [19] è ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êðàåâîé çàäà÷å ñèñòåìó ðàçíîñòíûõ
óðàâíåíèé
H H C H Ct t xx xx� � �� �
�
� ��( )
� � ( )0 1� �� , (37)
� � � �
�� t xx x xC C C C
( )
� � �� � � �� � ( )0 1� ��� , (38)
ãäå ñîõðàíåíû îáîçíà÷åíèÿ (19), (20).
34 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
Ðàñïèñûâàÿ â ñîîòíîøåíèÿõ (37), (38) ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíîñòíûå îïåðà-
òîðû è ïðèâîäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ñâîäèì çàäà÷ó ê ðåøåíèþ ñèñòåì ëèíåéíûõ àë-
ãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé âèäà (21), (22), ãäå ýëåìåíòû ìàòðèö êîýôôèöèåíòîâ
ñèñòåì è âåêòîðîâ ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè (23), çà èñêëþ-
÷åíèåì âåëè÷èí S Fi
j, , êîòîðûå â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèä
F
H H
c h
C C Ci
j
k
j i
k
i
k
i
j
i
j
i
j�
�
� � �
�
�
� �
�
�
� �
�
�( ) (
1
2 1
1 1
1
12 )
( )
�
�
�
�
�
k
j
i
jH
0
1 1 ��
,
S A�
�
�
1
2
��
, �� � �� � �a a e1 0 1/ [ ( )].
Äàëüíåéøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèé ñèñòåì ðàçíîñòíûõ
óðàâíåíèé ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò ñ èçëîæåííûì ïîäõîäîì ïðè ðåøåíèè çàäà-
÷è (13)–(16).
ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÎÃÎ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß ÄÈÍÀÌÈÊÈ
ÊÎÍÑÎËÈÄÀÖÈÎÍÍÎÃÎ ÏÐÎÖÅÑÑÀ
×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè ïîëåé èçáûòî÷íûõ íàïîðîâ è êîíöåíòðà-
öèé â ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîé êîíñîëèäàöèîííîé ìîäåëè ñ ó÷åòîì ôàêòîðà ïî-
ëçó÷åñòè âûïîëíåíî, êàê è âûøå, äëÿ âõîäíûõ äàííûõ èç ðàáîò [4, 21] îòíîñè-
òåëüíî áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ, îïðåäåëÿåìûõ ñîîòíîøåíèÿìè (12). Íåêîòî-
ðûå èç ïîëó÷åííûõ ïðè ýòîì ðåçóëüòàòîâ ãðàôè÷åñêè ïðåäñòàâëåíû íà
ðèñ. 11–13. Íà ðèñ. 11 ïðèâåäåíû ãðàôèêè íàïîðíîé ôóíêöèè äëÿ ìîäåëè
(îïðåäåëÿåìîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé (13), (14)) áåç ó÷åòà ïîëçó÷åñòè ãðóíòîâîãî
ñêåëåòà (êðèâûå 1–3) è äëÿ ìîäåëè (îñíîâàííîé íà ñèñòåìå (33), (34)) ñ ó÷åòîì
ôàêòîðà ïîëçó÷åñòè (êðèâûå 1'– 3') ïðè � �� �� 0 85, è ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ
áåçðàçìåðíîé ïåðåìåííîé t (1, 1' — t � 0,1; 2, 2' — t � 0,5; 3, 3' — t � 0,9).
Íà ðèñ. 12 ïîêàçàíû ãðàôèêè ðàçíîñòè C C1 2� êîíöåíòðàöèé â ìîäåëÿõ áåç ó÷åòà
ïîëçó÷åñòè ãðóíòîâîãî ñêåëåòà è ñ ó÷åòîì
ýòîãî ÿâëåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ãåîìåòðè-
÷åñêîé ïåðåìåííîé x äëÿ ôèêñèðîâàííûõ
çíà÷åíèé áåçðàçìåðíîé âðåìåííîé ïåðå-
ìåííîé t (1, 1' — t � 0,1; 2, 2' — t � 0,5;
3, 3' — t � 0,9; � �� �� 0,85).
Íà ðèñ. 13 ïðèâåäåíû ãðàôèêè íà-
ïîðíîé ôóíêöèè â ìîäåëè áåç ó÷åòà ïî-
ëçó÷åñòè (êðèâûå 1–3) è ñ ó÷åòîì ïîëçó-
÷åñòè ãðóíòîâîãî ñêåëåòà (êðèâûå 1'– 3')
â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè
t � 0 05, äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïîðÿä-
êà äðîáíûõ ïðîèçâîäíûõ (1, 1' — � �1;
2, 2' — � � 0,8; 3, 3' — � � 0,6; � �� � ).
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 35
Ðèñ. 11
3
1
H
x
1'
2
2'
3'
Ðèñ. 12
3
1
C C1 2�
x
2
Ðèñ. 13
3
2
1
H
x
1'
2'
3'
Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ñëåäóþ-
ùèå âûâîäû.
1. Ó÷åò ôàêòîðà ëèíåéíîé ïîëçó÷åñòè ãðóíòîâîãî ñêåëåòà â ðàññìàòðèâàå-
ìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðèâîäèò ê óñêîðåííîìó ðàññåèâàíèþ ïîëåé èçáû-
òî÷íûõ íàïîðîâ ïî ñðàâíåíèþ ñî ñëó÷àåì åãî îòñóòñòâèÿ (ðèñ. 11). Îòíîñèòåëüíî
ïîëåé êîíöåíòðàöèé ñîëåâîãî ðàñòâîðà â ðàñ÷åòàõ íàáëþäàëèñü íåçíà÷èòåëüíûå
îòêëîíåíèÿ C C1 2� âåëè÷èí êîíöåíòðàöèé, ïîëó÷åííûõ ñîãëàñíî ðàçëè÷íûì ìî-
äåëÿì (áåç ó÷åòà è ñ ó÷åòîì ïîëçó÷åñòè ãðóíòîâîãî ñêåëåòà), ïðè÷åì àáñîëþòíàÿ
âåëè÷èíà ðàçíîñòè C C1 2� è åå çíàê çàâèñÿò îò êîîðäèíàòû ðàññìàòðèâàåìîé òî÷-
êè â ôèçè÷åñêîé ïëîñêîñòè è ñîîòâåòñòâóþùåãî ìîìåíòà âðåìåíè t (ðèñ. 12).
2. Êàê è â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ ôàêòîðà ïîëçó÷åñòè (êðèâûå 1–3 íà ðèñ. 13),
ó÷åò äàííîãî ôàêòîðà (êðèâûå 1'– 3' íà òîì æå ðèñóíêå) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî
ñ óìåíüøåíèåì âåëè÷èí ïîðÿäêîâ äðîáíûõ ïðîèçâîäíûõ èìååò ìåñòî óñêîðåíèå
ïðîöåññà ðàññåèâàíèÿ ïîëåé èçáûòî÷íûõ íàïîðîâ â ìàññèâå.
Òàêèì îáðàçîì, îñíîâàííàÿ íà ïîíÿòèè äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ôàá-
ðèöèî êîíñîëèäàöèîííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñ íåñèíãóëÿðíûì ÿäðîì, ó÷è-
òûâàþùàÿ ôàêòîð ïîëçó÷åñòè ãðóíòîâîãî ñêåëåòà, òàêæå îáëàäàåò îò÷åòëèâî âû-
ðàæåííûìè ïðèçíàêàìè ìîäåëè ñ ñóïåðäèôôóçèîííûìè ñâîéñòâàìè.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ äðîáíî-äèôôåðåíöè-
àëüíîé ôèëüòðàöèîííî-êîíñîëèäàöèîííîé äèíàìèêè äåôîðìèðóåìûõ ãðóíòîâûõ
ñðåä â óñëîâèÿõ íàñûùåííîñòè èõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè. Äëÿ òåîðåòè÷åñêîãî îïè-
ñàíèÿ îñîáåííîñòåé äèíàìèêè òàêèõ ñðåä ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü íåêëàññè÷åñ-
êèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñ íåñèíãóëÿðíûì ÿäðîì, áàçèðóþùèåñÿ íà ïîíÿòèè
äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ôàáðèöèî [18]. Íà îñíîâå äàííîãî ïîäõîäà ðàçðàáî-
òàíà ìåòîäèêà ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè
íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ìàññèâîâ êîíå÷íîé ìîùíîñòè êàê â ñëó÷àå îò-
ñóòñòâèÿ, òàê è ïðè íàëè÷èè ôàêòîðà ïîëçó÷åñòè. Ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåí-
íûõ ýêñïåðèìåíòîâ, îáñóæäàþòñÿ âîïðîñû ðàñïàðàëëåëèâàíèÿ âû÷èñëåíèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Zhou Y., Rajapakse R.K., Graham J. A coupled thermo-poroelastic model with thermo-osmosis and
thermal-filtration. International Journal of Solids and Structures. 1998. Vol. 35, N 35. P. 4659–4683.
2. Kaczmarek M., Huekel T. Chemo-mechanical consolidation of clays: analytical solution for a linearized
one-dimensional problem. Transport in Porous Media. 1998. Vol. 32. P. 49–74.
3. Chassemi A., Diek A. Linear chemo-poroelasticity for swelling shales: theory and application.
Journal Petroleum Sciences Engeneering. 2003. Vol. 38. P. 199–211.
4. Âëàñþê À.Ï., Ìàðòèíþê Ï.Ì. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ êîíñîë³äàö³¿ ãðóíò³â ó ïðîöåñ³ ô³ëüò-
ðàö³¿ ñîëüîâèõ ðîç÷èí³â. гâíå: Âèä-âî ÓÄÓÂÃÏ, 2004. 211 ñ.
5. Áóëàâàöüêèé Â.Ì., Êðèâîíîñ Þ.Ã., Ñêîïåöüêèé Â.Â. Íåêëàñè÷í³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ïðîöåñ³â
òåïëî- òà ìàñîïåðåíîñó. Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2005. 283 ñ.
6. Èâàíîâ Ï.Ë. Ãðóíòû è îñíîâàíèÿ ãèäðîòåõíè÷åñêèõ ñîîðóæåíèé. Ìîñêâà: Âûñø. øê., 1991. 447 ñ.
7. Çàðåöêèé Þ.Ê. Òåîðèÿ êîíñîëèäàöèè ãðóíòîâ. Ìîñêâà: Íàóêà, 1967. 270 ñ.
8. Podlubny I. Fractional differential equations. New York: Acad. Press, 1999. 341 p.
9. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential
equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p.
10. Ó÷àéêèí Â.Â. Ìåòîä äðîáíûõ ïðîèçâîäíûõ. Óëüÿíîâñê: Àðòèøîê, 2008. 512 ñ.
11. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order.
Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. Carpinteri A., Mainardi F. (Eds.). Wien:
Springer-Verlag, 1997. P. 223–276.
12. Áóëàâàöêèé Â.Ì. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ãåîèíôîðìàòèêè äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè ëîêàëüíî-íåðàâ-
íîâåñíûõ ãåîôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 2011. ¹ 6. Ñ. 76–83.
13. Bulavatsky V.M., Krivonos Yu.G. Mathematical modeling in the geoinformation problem of the
dynamics of geomigration under space-time nonlocality. Cybernetics and Systems Analysis. 2012.
Vol. 48, N 4. P. 539–546.
36 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
14. Áóëàâàöêèé Â.Ì. Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè íåêîòîðûõ ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíûõ ãåîìèãðàöè-
îííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâå äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîèíôîðìàöèîííîé ìîäåëè. Ïðîáëå-
ìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 2013. ¹ 6. Ñ. 103–111.
15. Bulavatsky V.M. Fractional differential mathematical models of the dynamics of nonequilibrium
geomigration processes and problems with nonlocal boundary conditions. Cybernetics and Systems
Analysis. 2014. Vol. 50, N 1. P. 81–89.
16. Atangana A., Alkahtani B. New model of groundwater flowing within a confine aquifer: application
of Caputo–Fabrizio derivative. Arabian Journal of Geosciences. 2015. Vol. 9, N 1. P. 1–6.
17. Atangana A., Baleanu D. Caputo–Fabrizio derivative applied to groundwater flow within confined
aquifer. Journal of Engineering Mechanics. 2016. D 4016005.
18. Caputo M., Fabrizio M. A new definition of fractional derivative without singular kernel. Progress
Fractional Differentiation and Applications. 2015. Vol. 1, N 2. P. 73–85.
19. Ñàìàðñêèé À.À. Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì. Ìîñêâà: Íàóêà, 1977. 656 ñ.
20. Zhang Y., Cohen J., Owens J.D. Fast tridiagonal solvers on the GPU. Proc. of the 15th ACM
SIGPLAN Symp. on Principles and Practice of Parallel Programming (PPoPP 2010), Jan. 9–14,
2010, Bangalore, India. P. 127–136.
21. Âëàñþê À.Ï., Ìàðòèíþê Ï.Ì. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ êîíñîë³äàö³¿ ãðóíò³â ïðè ô³ëüòðàö³¿
ñîëüîâèõ ðîç÷èí³â â íå³çîòåðì³÷íèõ óìîâàõ. гâíå: Âèä-âî ÍÓÂÃÏ, 2008. 416 ñ.
22. Àðóòþíÿí Í.Õ. Íåêîòîðûå âîïðîñû òåîðèè ïîëçó÷åñòè. Ìîñêâà; Ëåíèíãðàä: Ãîñòåõèçäàò,
1952. 324 ñ.
23. Ôëîðèí Â.À. Îñíîâû ìåõàíèêè ãðóíòîâ. Ìîñêâà: Ãîññòðîéèçäàò, 1961. Ò. 2. 544 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 12.04.2017
Â.Ì. Áóëàâàöüêèé, Â.Î. Áîãàºíêî
×ÈÑÅËÜÍÅ ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÄÐÎÁÎÂÎ-ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÉÍί
Ô²ËÜÒÐÀÖ²ÉÍÎ-ÊÎÍÑÎ˲ÄÀÖ²ÉÍί ÄÈÍÀ̲ÊÈ Â ÐÀÌÊÀÕ
ÌÎÄÅËÅÉ Ç ÍÅÑÈÍÃÓËßÐÍÈÌ ßÄÐÎÌ
Àíîòàö³ÿ. Ïîáóäîâàíî íåêëàñè÷í³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ äëÿ îïèñó äðîáî-
âî-äèôåðåíö³éíî¿ ô³ëüòðàö³éíî-êîíñîë³äàö³éíî¿ äèíàì³êè íàñè÷åíèõ ñîëüî-
âèìè ðîç÷èíàìè ãðóíòîâèõ ñåðåäîâèù, ÿê³ áàçóþòüñÿ íà ïîíÿòò³ äðîáîâî¿
ïîõ³äíî¿ Êàïóòî–Ôàáð³ö³î. Ïîñòàâëåíî â³äïîâ³äí³ êðàéîâ³ çàäà÷³ äëÿ ñèñòå-
ìè äðîáîâî-äèôåðåíö³éíèõ ð³âíÿíü ô³ëüòðàö³¿ òà ñîëåïåðåíîñó. Ðîçðîáëåíî
ìåòîäèêó ¿õíüîãî ÷èñåëüíîãî ðîçâ’ÿçàííÿ, îïèñàíî ï³äõ³ä äî ðîçïàðàëåëþ-
âàííÿ îá÷èñëåíü. Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ÷èñåëüíèõ åêñïåðèìåíò³â ç ìîäåëþ-
âàííÿ äèíàì³êè äîñë³äæóâàíîãî ïðîöåñó.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ, äèíàì³êà ô³ëüòðàö³éíî-êîí-
ñîë³äàö³éíèõ ïðîöåñ³â, äðîáîâî-äèôåðåíö³éí³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³, ìîäåë³
ç íåñèíãóëÿðíèì ÿäðîì, êðàéîâ³ çàäà÷³, ñê³í÷åííî-ð³çíèöåâ³ ðîçâ’ÿçêè, ðîç-
ïàðàëåëþâàííÿ îá÷èñëåíü.
V.M. Bulavatsky, V.O. Bohaienko
NUMERICAL SIMULATION OF FRACTIONAL-DIFFERENTIAL FILTRATION-CONSOLIDATION
DYNAMICS WITHIN THE FRAMEWORK OF MODELS WITH NON-SINGULAR KERNEL
Abstract. Non-classical mathematical models to describe the fractional-differential
filtration-consolidation dynamics of soil media saturated with saline solutions are
constructed based on the concept of the fractional derivative of Caputo–Fabrizio.
The corresponding boundary-value problems for the system of fractional-
differential equations of filtration and salt transfer are posed, the technique for
their numerical solution is developed, an approach to the parallelization of
computations is presented and the results of numerical experiments on modeling
the dynamics of the process are given.
Keywords: mathematical modeling, dynamics of filtration-consolidation processes,
fractional-differential mathematical models, models with non-singular kernel,
boundary-value problems, finite difference solutions, parallelization of
computations.
Áóëàâàöêèé Âëàäèìèð Ìèõàéëîâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè
èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: v_bulav@ukr.net.
Áîãàåíêî Âñåâîëîä Àëåêñàíäðîâè÷,
êàíäèäàò òåõí. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ
Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: sevab@ukr.net.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 37
|