Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме пуассоновой аппроксимации
Исследована асимптотическая диссипативность дограничной нормированной стохастической эволюционной системы в эргодической марковской среде, существенно влияющей на поведение граничного процесса. Досліджено асимптотичну дисипативність дограничної нормованої стохастичної еволюційної системи в ергодично...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144849 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме пуассоновой аппроксимации / И.В. Самойленко, Я.М. Чабанюк, А.В. Никитин // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 38–44. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144849 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Самойленко, И.В. Чабанюк, Я.М. Никитин, А.В. 2019-01-05T19:17:12Z 2019-01-05T19:17:12Z 2018 Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме пуассоновой аппроксимации / И.В. Самойленко, Я.М. Чабанюк, А.В. Никитин // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 38–44. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144849 519.21+62 Исследована асимптотическая диссипативность дограничной нормированной стохастической эволюционной системы в эргодической марковской среде, существенно влияющей на поведение граничного процесса. Досліджено асимптотичну дисипативність дограничної нормованої стохастичної еволюційної системи в ергодичному марковському середовищі, яка суттєво впливає на поведінку граничного процесу. The authors analyze asymptotic dissipation of pre-limit normalized stochastic evolution system in ergodic Markov environment, which significantly influences the behavior of the limiting process. Работа выполнена при поддержке гранта Президента Украины (проект 0117U007015 Государственного фонда фундаментальных исследований). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме пуассоновой аппроксимации Асимптотична дисипативність випадкових процесів з імпульсним збуренням у схемі пуассонової апроксимації Asymptotic dіssipation for random processes with impulse perturbation in the Poisson approximation scheme Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме пуассоновой аппроксимации |
| spellingShingle |
Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме пуассоновой аппроксимации Самойленко, И.В. Чабанюк, Я.М. Никитин, А.В. Системний аналіз |
| title_short |
Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме пуассоновой аппроксимации |
| title_full |
Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме пуассоновой аппроксимации |
| title_fullStr |
Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме пуассоновой аппроксимации |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме пуассоновой аппроксимации |
| title_sort |
асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме пуассоновой аппроксимации |
| author |
Самойленко, И.В. Чабанюк, Я.М. Никитин, А.В. |
| author_facet |
Самойленко, И.В. Чабанюк, Я.М. Никитин, А.В. |
| topic |
Системний аналіз |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Асимптотична дисипативність випадкових процесів з імпульсним збуренням у схемі пуассонової апроксимації Asymptotic dіssipation for random processes with impulse perturbation in the Poisson approximation scheme |
| description |
Исследована асимптотическая диссипативность дограничной нормированной стохастической эволюционной системы в эргодической марковской среде, существенно влияющей на поведение граничного процесса.
Досліджено асимптотичну дисипативність дограничної нормованої стохастичної еволюційної системи в ергодичному марковському середовищі, яка суттєво впливає на поведінку граничного процесу.
The authors analyze asymptotic dissipation of pre-limit normalized stochastic evolution system in ergodic Markov environment, which significantly influences the behavior of the limiting process.
|
| issn |
1019-5262 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144849 |
| citation_txt |
Асимптотическая диссипативность случайных процессов с импульсным возмущением в схеме пуассоновой аппроксимации / И.В. Самойленко, Я.М. Чабанюк, А.В. Никитин // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 38–44. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT samoilenkoiv asimptotičeskaâdissipativnostʹslučainyhprocessovsimpulʹsnymvozmuŝeniemvshemepuassonovoiapproksimacii AT čabanûkâm asimptotičeskaâdissipativnostʹslučainyhprocessovsimpulʹsnymvozmuŝeniemvshemepuassonovoiapproksimacii AT nikitinav asimptotičeskaâdissipativnostʹslučainyhprocessovsimpulʹsnymvozmuŝeniemvshemepuassonovoiapproksimacii AT samoilenkoiv asimptotičnadisipativnístʹvipadkovihprocesívzímpulʹsnimzburennâmushemípuassonovoíaproksimacíí AT čabanûkâm asimptotičnadisipativnístʹvipadkovihprocesívzímpulʹsnimzburennâmushemípuassonovoíaproksimacíí AT nikitinav asimptotičnadisipativnístʹvipadkovihprocesívzímpulʹsnimzburennâmushemípuassonovoíaproksimacíí AT samoilenkoiv asymptoticdíssipationforrandomprocesseswithimpulseperturbationinthepoissonapproximationscheme AT čabanûkâm asymptoticdíssipationforrandomprocesseswithimpulseperturbationinthepoissonapproximationscheme AT nikitinav asymptoticdíssipationforrandomprocesseswithimpulseperturbationinthepoissonapproximationscheme |
| first_indexed |
2025-11-26T01:42:56Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:42:56Z |
| _version_ |
1850605575938768896 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21+62
È.Â. ÑÀÌÎÉËÅÍÊÎ, ß.Ì. ×ÀÁÀÍÞÊ, À.Â. ÍÈÊÈÒÈÍ
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÀß ÄÈÑÑÈÏÀÒÈÂÍÎÑÒÜ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ
ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ Ñ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÌ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈÅÌ
 ÑÕÅÌÅ ÏÓÀÑÑÎÍÎÂÎÉ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ�
Àííîòàöèÿ. Èññëåäîâàíà àñèìïòîòè÷åñêàÿ äèññèïàòèâíîñòü äîãðàíè÷íîé
íîðìèðîâàííîé ñòîõàñòè÷åñêîé ýâîëþöèîííîé ñèñòåìû â ýðãîäè÷åñêîé ìàð-
êîâñêîé ñðåäå, ñóùåñòâåííî âëèÿþùåé íà ïîâåäåíèå ãðàíè÷íîãî ïðîöåññà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèññèïàòèâíîñòü, ìàðêîâñêèé ïðîöåññ, ãåíåðàòîð, ïóàññî-
íîâà àïïðîêñèìàöèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Âàæíûì ñâîéñòâîì äåòåðìèíèðîâàííûõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâî èõ äèññèïà-
òèâíîñòè, èçó÷åíèåì êîòîðîãî çàíèìàëèñü, â ÷àñòíîñòè, Ð.Ç. Õàñüìèíñêèé è
Â.À. Ïëèññ. Ïîíÿòèå äèññèïàòèâíîñòè äåòåðìèíèðîâàííîé ñèñòåìû â ìàòåìà-
òè÷åñêèõ òåðìèíàõ ââåëè Í. Ëåéìíñîí, Ð. Ðåéññèã, Ã. Ñàíñîíñ è Ð. Êîíòè.
T. Éîøèçàâà ïðåäëîæèë èçó÷àòü ñâîéñòâà äèññèïàòèâíîñòè ñèñòåì ñ èñïîëüçî-
âàíèåì óñòîé÷èâîñòè ïî Ëÿïóíîâó, â ðàáîòàõ Ð.Ç. Õàñüìèíñêîãî ðàññìàòðèâà-
åòñÿ äèññèïàòèâíîñòü ñòîõàñòè÷åñêîé ñèñòåìû ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâîéñòâ
ôóíêöèè Ëÿïóíîâà äåòåðìèíèðîâàííîé ñèñòåìû.
Àíàëèç àñèìïòîòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ ýâîëþöèé ñ âëèÿíèåì,
êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ýðãîäè÷åñêèì ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì, ïðîâå-
äåí â [1–3].  ÷àñòíîñòè, ðàññìîòðåíà óñòîé÷èâîñòü, ñõîäèìîñòü ê òî÷êå ðàâíîâå-
ñèÿ è àñèìïòîòè÷åñêàÿ íîðìàëüíîñòü òàêèõ ïðîöåññîâ.
Òàêèì îáðàçîì, àêòóàëåí àíàëèç äèññèïàòèâíîñòè äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ
ñ ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè â ñõåìå ñåðèé ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì [4–6]. Ñëó-
÷àéíûå ïðîöåññû ñ ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè ïîçâîëÿþò ðàññìîòðåòü áîëåå
øèðîêèé êëàññ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ñ òî÷êè çðåíèÿ ðàçðàáîòêè ìåòîäîâ
ìîäåëèðîâàíèÿ è àíàëèçà òàêèõ ñèñòåì.
 ðàáîòå [7] èçó÷åí âîïðîñ îá àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè ñòîõàñòè÷åñêîé
ýâîëþöèîííîé ñèñòåìû â ýðãîäè÷åñêîé ìàðêîâñêîé ñðåäå. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðåäåëü-
íûé ïðîöåññ
�
u t( ) îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
du t C u t a dt dt d
R
� � �
( ) [ ( ( )) ~ ] ~ ( , )� � � � v v� .
Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêàåò ðÿä âîïðîñîâ î òîì, êàê ïîâåäåíèå ïðåäåëüíîãî
ïðîöåññà çàâèñèò îò äîïðåäåëüíîé íîðìèðîâàííîé ñòîõàñòè÷åñêîé ýâîëþöèîí-
íîé ñèñòåìû â ýðãîäè÷åñêîé ìàðêîâñêîé ñðåäå.  íàñòîÿùåé ðàáîòå èçó÷àåòñÿ
âîïðîñ àñèìïòîòè÷åñêîé äèññèïàòèâíîñòè äîïðåäåëüíîé ñèñòåìû â ñõåìå
ïóàññîíîâîé àïïðîêñèìàöèè.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ýâîëþöèîííàÿ ñèñòåìà â ýðãîäè÷åñêîé ìàðêîâñêîé ñðåäå çàäà-
åòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì [8]
du t C u t x t dt d t� � �� �( ) ( ( ), ( / )) ( )� � , u t� ( ) �R , (1)
38 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
�Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ãðàíòà Ïðåçèäåíòà Óêðàèíû (ïðîåêò 0117U007015 Ãîñóäàðñòâåííîãî
ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé).
� È.Â. Ñàìîéëåíêî, ß.Ì. ×àáàíþê, À.Â. Íèêèòèí, 2018
ãäå u t� ( ) — ñëó÷àéíàÿ ýâîëþöèÿ, t � 0; � 0 — ìàëûé ïàðàìåòð ñåðèé; C u( , )
�
�C d2 ( )R — ôóíêöèÿ ðåãðåññèè; x t( ) — ðàâíîìåðíî ýðãîäè÷åñêèé ìàðêîâ-
ñêèé ïðîöåññ â ñòàíäàðòíîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ( , )X X , êîòîðûé îïðåäåëåí
ãåíåðàòîðîì [1]
Q� � �( ) ( ) ( , )[ ( ) ( )]x q x P x dy y x
X
� �� (2)
íà áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå B X( ) âåùåñòâåííîçíà÷íûõ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé
�( )x ñ ñóïðåìóì-íîðìîé | | | | max | ( )|� ��
�x X
x [2].
Ñòîõàñòè÷åñêîå ÿäðî P x B( , ), x X� , B �X, îïðåäåëÿåò ðàâíîìåðíî ýðãîäè-
÷åñêóþ âëîæåííóþ öåïü Ìàðêîâà x xn n� ( )� , n � 0, ñî ñòàöèîíàðíûì ðàñïðåäåëå-
íèåì �( )B , B �X. Ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå �( )B , B �X, ìàðêîâñêîãî ïðî-
öåññà x t( ), t � 0, îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì [2]
� �( ) ( ) ( )dx q x q dx� , q dx q x
X
� � �( ) ( ).
Îáîçíà÷èì R0 ïîòåíöèàëüíûé îïåðàòîð ãåíåðàòîðà Q èç (2), êîòîðûé îïðå-
äåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì [4]: R0
1� � � �� �( )Q , ãäå �� � �( ) ( ) ( ) ( )x dy y x
X
� � 1 — ïðî-
åêòîð íà ïîäïðîñòðàíñòâî NQ � �{ }� �: Q 0 íóëåé îïåðàòîðà Q.
ÈÌÏÓËÜÑÍÛÉ ÏÐÎÖÅÑÑ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈÉ
Èìïóëüñíûé ïðîöåññ âîçìóùåíèé (ÈÏÂ) � � ( )t , t � 0, â ïóàññîíîâîé ñõåìå àï-
ïðîêñèìàöèè çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
� � �� �( ) ( , ( / ))t ds x s
t
� �
0
,
(3)
ãäå ñåìåéñòâî ïðîöåññîâ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè � � ( , )t x , t � 0, x X� ,
îïðåäåëÿåòñÿ ãåíåðàòîðàìè
� �� � � � ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( , )x v dv x
R
� � ��
�
1
, x X� , (4)
è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ïóàññîíîâîé àïïðîêñèìàöèè (äåòàëüíåå ñì. [3], [7]).
Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ïðåäåëüíàÿ ýâîëþöèÿ ñèñòåìû (1) îïðåäåëÿåòñÿ ðåøå-
íèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
du t C u t a dt dt d
R
� � �
( ) [ � ( ( )) ] ~ ( , )� � � � v v� ,
ãäå ñäâèã
� �
C u a( ) � îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâàìè
�
C u dx C u x
X
( ) ( ) ( , )� � � ,
�
a dx a x
X
� � �( ) ( ).
Ñêà÷êè ïðîöåññà îïðåäåëÿþòñÿ ìåðîé, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
E~( , )
~
( )� dt d dt dv v�
0 ,
~
( ) ( ) ( , )
0 0v dx v x
X
� � � ,
C( ) ( ) ( , ) ( )x u C u x u� �� � .
Îòìåòèì, ÷òî
1
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( , )x a x v v dv x
R
� � � � �
� �
�
� �
� �
� .
2SSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 39
Òåîðåìà 1. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà V u d( ) ( )�C R3 ñèñòåìû
du
dt
u�
( ), (5)
ãäå
( ) ( )u C u a� �
� �
, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
Ñ1: | ( ) ( )| ( )
u x R V u M V u1
0 1
�
L � , M1 0 ;
Ñ2: | ( ) ( ) ( )| ( )
u ux R x V u M V u1
0
1
2� , M 2 0 ;
Ñ3: | ( ) ( ) ( )| ( )
u x R x V u M V u1
0 3C � , M 3 0 ;
Ñ4: | ( ) ( )| ( )C x R V u M V u0 4
�
L � , M 4 0 ;
Ñ5: | ( ) ( ) ( )| ( )C x R x V u M V uu0
1
5
� , M 5 0 ;
Ñ6: | ( ) ( ) ( )| ( )C Cx R x V u M V u0 6� , M 6 0 .
Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
( ) ( ) ( )u V u c V u� � � 1 , (6)
| |( , ) ( )v v2
0 3
d x c x
R
� � , (7)
ãäå c1 0 , c2 0 è c dx c x
X
3 3 0� � �( ) ( ) .
Òîãäà ñèñòåìà (1) àñèìïòîòè÷åñêè äèññèïàòèâíà.
Ëåììà 1. Ãåíåðàòîð òðåõêîìïîíåíòíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà u t� ( ), x t( / )� ,
� � ( , )t x , t � 0, èìååò ïðåäñòàâëåíèå
L Q�
�� � � �( ) ( , ) ( , , ) ( ) ( , , )x w x u w x x u w x� � ��1
� �C( ) ( , , ) ( ) ( , , )x u w x x u w xu� ��
, (8)
ãäå
w x� ( ) — ãåíåðàòîð ñåìåéñòâà ïðîöåññîâ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè (3),
äåéñòâóþùèé ïî ïåðåìåííîé w, à
u x� ( ) — ýêâèâàëåíòíûé ïðåäûäóùåìó ãåíå-
ðàòîð ñåìåéñòâà ïðîöåññîâ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè (3), äåéñòâóþùèé
ïî ïåðåìåííîé u.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ãåíåðàòîð ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà íà âîçìóùåííîé
òåñò-ôóíêöèè îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ [6]
L� � � �� �( ) ( , , ) lim [ ( , , )x u w x u w x
t t t
� �
� � � �� � � ��0
1
E
� �� �( , , )| ( )u w x u t u, � � ( )t w� , x t x( / ) ]� � .
 óñëîâíîì ìàòåìàòè÷åñêîì îæèäàíèè ïðèáàâèì è âû÷òåì � � �( , , )u w x
t t� �� � :
E[ ( , , ) ( , , )| ( ) , ( ) , (� � �� � � � �u w x u w x u t u t w x
t t t� � � � � �� � � t x/ ) ]� � �
� � �� � � � �E[ ( , , ) ( , , )]� �� � � � �u w x u w x
t t t t t� � � � �
� �� �E[ ( , , ) ( , , )]� �� �u w x u w x
t t� � .
Ðàçëîæåíèå u
t� �
� èìååò âèä
u u C u x w o
t� � � � �� � � �� ( , ) ( ) .
40 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïîäñòàâèì â ïåðâîå ñëàãàåìîå óñëîâíîãî ìàòåìàòè-
÷åñêîãî îæèäàíèÿ
E[ ( , , ) ( , , )]� �� � � � �u w x u w x
t t t t t� � � � �� �� � � � �
� � � � �� � � �E[ ( ( , ) ( ), , ) ( , ,� �� � �u Ñ u x w o w x u w x
t t t t
� � � � � � �
� )] �
� � �� � � �E[ ( , , ) ( , , )]� �� � � �z w w x u w x
t t t t
� � � � � ,
ãäå z u Ñ u x o� � �( , ) ( )� � .
 ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè ïðèáàâèì è âû÷òåì � � �( , , )z w x
t t� �� � :
E[ ( , , ) ( , , )]� �� � � � �u w x u w x
t t t t t� � � � �� �� � � � �
� � � �� � � �E[ ( , , ) ( , , )]� �� � � �z w w x z w x
t t t t
� � � � �
� �� � � �E[ ( , , ) ( , , )]� �� � � �z w x u w x
t t t t� � � � .
Ïîñêîëüêó ãåíåðàòîð
u x� ( ) èìååò âèä
�
�
�
u x u w x u u w x u w x� � � �( ) ( , , ) lim ( [ ( , , ) ( , , )])� � �
�0
1
E ,
äëÿ ïðåäåëà ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ïîëó÷èì
lim [ ( , , ) ( , , )]
� � � � ��
�
� � � � �� � �
0
1
E � �� � � �z w w x z w x
t t t t u
� �( ) ( , , )x u w x .
Ðàçëîæèì � � �( , , )z w x
t t� �� � ïî ôîðìóëå Òýéëîðà
� � �( ( , ) ( ), , )u C u x o w x
t t
� � �� �� � � �
� � � � �� � � �� �� � � �( , , ) ( , , )( ( , ) ( ))u w x u w x C u x o
t t t t� � � � � � o( )� .
Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå E[ ( , , ) ( , , )]� �� � � �z w x u w x
t t t t� � � ��� � � � ïîëó÷åííîå
ðàçëîæåíèå, èìååì
lim [ ( , , ) ( , , )]
� � � � ��� � � � �� �
0
1
E � �� � � �z w x u w x
t t t t
� � � �
� � � �lim [ ( ( , ) ( ), , ) ( ,
� � � ��
� �
0
1
E � �� � �u C u x o w x u w
t t t
, )]x
t� ��
�
� � �
� � � � �lim [ ( , , ) ( , , )( ( ,
� � � � ��0
1
E � �� � � �u w x u w x C u
t t t t
x o) ( ))� �� �
� � �� �o u w x
t t
( ) ( , , )]� � �� � �
� � � � �
� � �lim [ ( , , )( ( , ) ( )) ( )]
� � ��
� � �
0
1
E � � �u w x C u x o o C
t t
( , ) ( , , )u x u w x�� .
Àíàëîãè÷íî èç ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ãåíåðàòîðà
w x� ( ) è î÷åâèäíîãî ñîîòíîøå-
íèÿ äëÿ ãåíåðàòîðà ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà lim [ ( , ) ( , )]
� ��� � � �
0
1
E � ��w x w x
t
� �� �1Q ( , )w x èìååì
lim [ ( , , ) ( , , )]
� � ��� � � � �
0
1
E � �� �u w x u w x
t t
� � �
� � � � �lim [ ( , , ) ( , , ) ( , ,
� � � ��0
1
E � � �� � �u w x u w x u w x
t t t t �
� �) ( , , )]� �u w x
2SSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 41
� � �
� � � �lim [ ( , , ) ( , , )]
� � � ��0
1
E � �� � �u w x u w x
t t t
� � �
� �lim [ ( , , ) ( , , )]
� ��0
1
E � ��u w x u w x
t
w x u w x u w x� � � �( ) ( , , ) ( , , )� �1Q .
Îòñþäà L� ( )x èìååò âèä (8).
Ñëåäñòâèåì ëåììû 2 èç [7] ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ ëåììà.
Ëåììà 2. Ãåíåðàòîð (8) äîïóñêàåò àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå
L Q� � � �( ) ( , , ) ( , , )x u w x u w x� ��1
� � � �
u x u w x u u w x x u w x x1 1( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( )� � � � �
�C ( , )w x ,
ãäå
C( ) ( ) ( , ) ( )u u C u x u� �� � ,
à îñòàòî÷íûé ÷ëåí | | ( ) ( , , )| |� �� x u w x � 0 ïðè � ��
�0 3, ( , , ) ( )u w RC .
Óñå÷åííûé ãåíåðàòîð
L Q0
1 1� � � � �( ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )x u w x u w x x u w xu� � ��
� �C( ) ( , , ) ( ) ( , , )u u x x u w x� �
1 . (9)
Ëåììà 3. Ðåøåíèå ïðîáëåìû ñèíãóëÿðíîãî âîçìóùåíèÿ äëÿ îïåðàòîðà
L0
� ( )x íà âîçìóùåííîé òåñò-ôóíêöèè
� � ��� ( , , ) ( , ) ( , , )u w x u w u w x� � 1
(10)
îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
L L0
� � �� � �� �( ) ( , , ) ( , ) ( ) ( , )x u w x u w x u w� �
�
,
ãäå
�� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x x R x R x x R x xu u u u u� � � �
1
0
1
0
1 1
0
1�
L C ) ( )R xw0
1
�
� � � � �C C C C C( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x R L x R x x R x x R xu w0 0
1
0 0
1�
(11)
� � � �
w w u w w wx R x R x x R x x R1
0
1
0
1 1
0
1
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�
L C 1 ( )x .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèì (10) â (9):
L 0
1
1
1� �� � � �� �( ) ( , , ) [ ( , ) ( , , )] ( )[ (x u w x u w u w x x uu� � �� Q
, ) ( , , )]w u w x� ���1
� � � �C( )[ ( , ) ( , , )] ( )[ ( , ) ( , , )]x u w u w x x u w u w xw� �� � ��1
1
1
�
� � � � ��� � � � �
1
1
1Q Q C( , ) [ ( , , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )u w u w x x u w x u wu
1 ( ) ( , )]x u w� �
� � �� � � �[ ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , )]
u wx u w x x u w x x u w x1
1 1
1
1C .
Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëüíîãî îïåðàòîðà
�
L�( , )u w íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïðè
� � 0 âûïîëíÿëîñü óñëîâèå Q�( , )u w � 0, ò.å. ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæàëà íóëü-ïðî-
ñòðàíñòâó îïåðàòîðà Q. Òîãäà
�
L� � � �( , ) ( , , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )u w u w x x u w x u w xu w� � � �Q C1
1 1
�( , )u w ,
îòêóäà èìååì
Q C� �1
1 1( , , ) [ ( ) ( ) ( )] ( , )u w x x x x u wu w� � � �
�
L
.
Ñoãëàñíî óñëîâèþ ðàçðåøèìîñòè äëÿ ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ èìååì
� � ��
�Q C� �1
1 10( , , ) ( ) ( ) ( )] ( , )u w x x x x u wu w� � � � �
�
L .
42 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
Òàêèì îáðàçîì,
�
L� � � �( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )u w x u w x u w x u wu w� � ��
� �
1 1C ,
� �1 0
1 1( , , ) [ ( ) ( ) ( )] ( , )u w x R x x x u wu w� � � �
�
L
C .
Îòñþäà ïîëó÷èì, ÷òî ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå
� � � � [ ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , )]
u x u w x x u w x x u w x1
1 1
1
1� � �C
� � � � � ��[ ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) [ (
u u w ux R x x x x R x1
0
1 1
0
1� �
L LC C ) ( ) ( )]� � �C x xw
1
� � � �
w u wx R x x x u w1
0
1 1( ) [ ( ) ( ) ( )]] ( , )
�
L C � .
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÒÅÎÐÅÌÛ 1
Ââèäó âûïîëíåíèÿ óñëîâèé Ñ1–Ñ6 òåîðåìû 1 ñïðàâåäëèâà îãðàíè÷åííîñòü
îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà (11)
| | ( ) ( )| |�� x V u �
� � �| ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
u u u ux R V u x R x V u x R x V1
0
1
0
1 1
0
�
L C u x R x V uu w) ( ) ( ) ( )� �
1
0
1
� � � �C C C C C( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x R V u x R x V u x R x V u xu0 0
1
0
�
L
R x V uw0
1
( ) ( ) �
� � �
w w u wx R V u x R x V u x R x V u1
0
1
0
1 1
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
�
L C ) ( ) ( ) ( )|� �
w wx R x V u1
0
1
� � � � � �M V u M x V u M V u M V u M x V u M V u1 2 3 4 5 6( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
îòêóäà
| | ( ) ( )| | ( )�� x V u MV u� , (12)
ãäå M M M M M M M� � � � � �1 2 3 4 5 6 .
Èç óòâåðæäåíèÿ ëåììû 3, âûðàæåíèÿ (12) è âûïîëíåíèÿ óñëîâèé ìîäåëüíîé
òåîðåìû [1] èìååì ñëàáóþ ñõîäèìîñòü
( ( ), ( )) ( ( ), ( )),u t t u t t� �� � �� � 0.
Ïóñòü òåïåðü
d V u
du
( ) ( )1
— ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà, âû÷èñëåííàÿ
âäîëü òðàåêòîðèè ñèñòåìû (4). Òàê êàê ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü
óñëîâèþ Ëèïøèöà
| ( ) ( )| | |V u V u K u u2 1 2 1� � � ,
ãäå K ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, òî âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå
d V u
du
dV u
du
K a d dt
R
( ) ( ) ( )
[
~
( )]
1
2
0� � � �
�
v v
.
Çäåñü
dV u
du
( )
— ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà, âû÷èñëåííàÿ âäîëü òðàåêòî-
ðèè äåòåðìèíèðîâàííîé ñèñòåìû (5),
~
( ) ( ) ( , )
0 0d dx dv x
X
v � � � .
Ñîãëàñíî óñëîâèÿì (6) è (7) òåîðåìû ïîëó÷èì
d V u
du
c V u K c c dt
( ) ( )
( ) [ ]| |
1
1 2 3� � � �
�
.
Çíà÷èò,
V u V u c t K c c c t s ds
t
( ) ( ) [ ] ( )� � � � ��0 1 2 3 1
0
exp{ }+ exp{ }
�
.
Îòñþäà ñëåäóåò îöåíêà
P u t R
V u
V u
R
u d
{ }
R
| ( )|
( )
inf ( )
, � � �
�
.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà (4) ÿâëÿåòñÿ äèññèïàòèâíîé.
2SSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 43
Èç âûïîëíåíèÿ óñëîâèé ìîäåëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû [1] è äèññèïàòèâíîñòè
ïðåäåëüíîãî ïðîöåññà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà (1) àñèìïòîòè÷åñêè äèññèïàòèâíà.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïðè îïðåäåëåíèè ãåíåðàòîðà ïðåäåëüíîãî ïðîöåññà ñòàíîâèòñÿ ÿñíûì, ÷òî
äàííûé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ ïóàññîíîâûì, ÷òî â ñâîþ î÷åðåäü ïîçâîëÿåò ïîëó-
÷èòü óñëîâèÿ äèññèïàòèâíîñòè ïðåäåëüíîé ýâîëþöèè, à òàêæå àñèìïòîòè÷åñ-
êóþ äèññèïàòèâíîñòü íà÷àëüíîãî ïðîöåññà èç ñõîäèìîñòè åãî ê ïðåäåëüíîìó.
Âàæíûì óñëîâèåì äèññèïàòèâíîñòè ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîñòü âòîðûõ ìîìåíòîâ
ìåðû ñêà÷êîâ äîïðåäåëüíîãî ïðîöåññà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Korolyuk V.S., Korolyuk V.V. Stochastic models of systems. Dordrecht: Kluwer, 1999. 185 p.
2. Koroliuk V.S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. Singapore: World Scientific, 2005.
330 p.
3. Koroliuk V.S., Limnios N., Samoilenko I.V. Levy and Poisson approximations of switched stochastic
systems by a semimartingale approach. Comptes Rendus Mathematique. 2016. Vol. 354. P. 723–728.
4. Nikitin A.V., Khimka U.T. Asymptotics of normalized control with Markov switchings. Ukrainian
Mathematical Journal. 2017. Vol. 68, N 8. P. 1252–1262.
5. Nikitin A.V. Asymptotic properties of a stochastic diffusion transfer process with an equilibrium point of
a quality criterion. Cybernetics and Systems Analysis. 2015. Vol. 51, N 4. P. 650–656.
6. ×àáàíþê ß.Ì. Àïðîêñèìàöiÿ äèôóçiéíèì ïðîöåñîì â ñõåìi óñåðåäíåííÿ. Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2004.
¹ 12. Ñ. 35–40.
7. Ñàìîéëåíêî È.Â., ×àáàíþê ß.Ì., Íèêèòèí À.Â., Õèìêà Ó.Ò. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñî ñòî-
õàñòè÷åñêèìè ìàëûìè äîáàâêàìè â óñëîâèÿõ ïóàññîíîâîé àïïðîêñèìàöèè. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåì-
íûé àíàëèç. 2017. Ò. 53, ¹ 3. Ñ. 93–99.
8. Ñåìåíþê Ñ.À., ×àáàíþê ß.Ì. Còîõàñòè÷íi åâîëþöiéíi ñèñòåìè ç iìïóëüñíèìè çáóðåííÿìè. Âiñí. Íàöiî-
íàëüíîãî óí-òó «Ëüâiâñüêà ïîëiòåõíiêà». Ñåð. Ôiçèêî-ìàòåìàòè÷íi íàóêè. 2009. Âèï. 660, ¹ 660. Ñ. 56–60.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 12.04.2017
².Â. Ñàìîéëåíêî, ß.Ì. ×àáàíþê, À.Â. ͳê³ò³í
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÍÀ ÄÈÑÈÏÀÒÈÂͲÑÒÜ ÂÈÏÀÄÊÎÂÈÕ ÏÐÎÖÅÑ²Â Ç ²ÌÏÓËÜÑÍÈÌ
ÇÁÓÐÅÍÍßÌ Ó ÑÕÅ̲ ÏÓÀÑÑÎÍÎÂί ÀÏÐÎÊÑÈÌÀÖ²¯
Àíîòàö³ÿ. Äîñë³äæåíî àñèìïòîòè÷íó äèñèïàòèâí³ñòü äîãðàíè÷íî¿ íîðìîâàíî¿
ñòîõàñòè÷íî¿ åâîëþö³éíî¿ ñèñòåìè â åðãîäè÷íîìó ìàðêîâñüêîìó ñåðåäîâèù³,
ÿêà ñóòòºâî âïëèâຠíà ïîâåä³íêó ãðàíè÷íîãî ïðîöåñó.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: äèñèïàòèâí³ñòü, ìàðêîâñüêèé ïðîöåñ, ãåíåðàòîð, ïóàññîíî-
âà àïðîêñèìàö³ÿ.
I.V. Samoilenko, Y.M. Chabanyuk, A.V. Nikitin
ASYMPTOTIC D²SSIPATION FOR RANDOM PROCESSES WITH IMPULSE PERTURBATION
IN THE POISSON APPROXIMATION SCHEME
Abstract. The authors analyze asymptotic dissipation of pre-limit normalized
stochastic evolution system in ergodic Markov environment, which significantly
influences the behavior of the limiting process.
Keywords: dissipativity, Markov process, generator, Poisson approximation.
Ñàìîéëåíêî Èãîðü Âàëåðüåâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà
èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: isamoil@i.ua.
×àáàíþê ßðîñëàâ Ìèõàéëîâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû Ãîñóäàðñòâåííîãî Óíèâåðñèòåòà Ëþáëèíñêàÿ
Ïîëèòåõíèêà (Politechika Lubelska), Ëþáëèí, Ðåñïóáëèêà Ïîëüøà, e-mail: yaroslav.chab@gmail.com.
Íèêèòèí Àíàòîëèé Âëàäèìèðîâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà
èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: nikitin2505@gmail.com.
44 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
|