О трехмерных интегральных математических моделях динамики толстых упругих плит

Розв’язано комплекс задач з побудови тривимірного поля пружних динамічних зміщень точок плоскої пружної плити з довільною гранично-торцевою поверхнею. Припускається, що граничний стан плити задано через силові збурюючі фактори або функцію вектора зміщень. Розв’язки задач побудовано на базі класичних...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Кибернетика и системный анализ
Date:	2018
Main Author:	Стоян, В.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Subjects:	Системний аналіз
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144852
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О трехмерных интегральных математических моделях динамики толстых упругих плит / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 68–77. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860262168532877312
author	Стоян, В.А.
author_facet	Стоян, В.А.
citation_txt	О трехмерных интегральных математических моделях динамики толстых упругих плит / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 68–77. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Кибернетика и системный анализ
description	Розв’язано комплекс задач з побудови тривимірного поля пружних динамічних зміщень точок плоскої пружної плити з довільною гранично-торцевою поверхнею. Припускається, що граничний стан плити задано через силові збурюючі фактори або функцію вектора зміщень. Розв’язки задач побудовано на базі класичних рівнянь Ляме просторової теорії пружності за умови їхнього середньоквадратичного узгодження з наявними зовнішнь одинамічними спостереженнями за станом плити. Оцінено точність такого узгодження. Сформульовано умови однозначності розв’язання розглядуваних задач. Решен комплекс задач по построению трехмерного поля упругих динамических смещений точек плоской упругой плиты с произвольной гранично-торцевой поверхностью. Предполагается, что граничное состояние плиты задано через силовые возмущающие факторы или функцию вектора смещений. Решение задач построено на базе классических уравнений Ляме пространственной теории упругости при его среднеквадратическом согласовании с имеющимися внешнединамическими наблюдениями за состоянием плиты. Выполнена оценка точности указанного согласования. Сформулированы условия однозначности решения рассматриваемых задач. The complex of problems related to constructing three-dimensional field of elastic dynamic displacement of flat elastic plate with arbitrary boundary-edge surface is solved. It is assumed that boundary condition of the plate is given in terms of powerful perturbation factors or displacement vector function. Problems solutions are based on classical Lame equations of spatial theory of elasticity under root meen-square consistency of the solution with corresponding external-dynamic observations of the plate. The accuracy of such consistency is estimated. The uniqueness conditions for the solution of the considered problems are formulated.
first_indexed	2025-12-07T18:57:13Z
format	Article
fulltext	УДК 517.95:419.86:539.3 В.А. СТОЯН О ТРЕХ МЕР НЫХ ИН ТЕГ РАЛЬ НЫХ МА ТЕ МА ТИ ЧЕС КИХ МО ДЕ ЛЯХ ДИ НА МИ КИ ТОЛ СТЫХ УПРУГИХ ПЛИТ Аннотация. Ре шен ком плекс за дач по по стро е нию трех мер но го поля упру - гих ди на ми чес ких сме ще ний то чек плос кой упру гой пли ты с про из воль ной гра нич но-тор це вой по вер хнос тью. Пред по ла га ет ся, что гра нич ное со сто я ние пли ты за да но че рез си ло вые воз му ща ю щие фак то ры или функ цию век то ра сме ще ний. Ре ше ние за дач по стро е но на базе клас си чес ких урав не ний Ляме про стра нствен ной те о рии упру гос ти при его сред нек вад ра ти чес ком со гла со - ва нии с име ю щи ми ся внеш не ди на ми чес ки ми на блю де ни я ми за со сто я ни ем пли ты. Вы пол не на оцен ка точ нос ти ука зан но го со гла со ва ния. Сфор му ли ро - ва ны усло вия од но знач нос ти ре ше ния рас смат ри ва е мых за дач. Клю че вые сло ва: прос тра нствен но рас пре де лен ные ди на ми чес кие сис те мы, про стра нствен ные за да чи те о рии упру гос ти, псев до ин вер сия, тол стые упру - гие пли ты. ВВЕ ДЕ НИЕ Исследова ния упру го-де фор ми ру е мо го со сто я ния ме ха ни чес ких ко нструк ций типа «плас ти на», «пли та», «об олоч ка» ве дут ся в те че ние мно гих лет. Проб ле мы по стро е ния про стых и над еж ных ма те ма ти чес ких мо де лей ди на ми ки ука зан ных об ъ ек тов ре ша лись [1] при су щес твен ном ис поль зо ва нии их вы рож ден нос ти по од ной из ге о мет ри чес ких раз мер нос тей. Как пра ви ло, рас смат ри ва лись двух мер - ные мо де ли с ап прок си ма ци ей кар ти ны ди на ми чес ких сме ще ний сре дин ной по - вер хнос ти об ъ ек та на всю тол щи ну со глас но ме ха ни чес ким, ге о мет ри чес ким и чис то ма те ма ти чес ким ги по те зам раз но го рода. В ра бо тах [2–4] пред ло же на по - лут рех мер ная мо дель ди на ми ки тол стых упру гих плас тин и плит, ко то рая опи - сы ва ет ся двух мер ны ми диф фе рен ци аль ны ми урав не ни я ми, па ра мет ри чес ки за - ви си мы ми от по пе реч ной ко ор ди на ты. Мо дель по стро е на на осно ва нии клас си - чес ких трех мер ных урав не ний Ляме пу тем их ин тег ри ро ва ния по вы рож ден ной по пе реч ной ко ор ди на те. Интег раль ный эк ви ва лент диф фе рен ци аль ной ма те ма ти - чес кой мо де ли [4], пред ло жен ный в [5], по зво ля ет ре шить ряд пря мых [6] и об - рат ных [7, 8] за дач ди на ми ки тол стых упру гих плит, на хо дя щих ся, в час тнос ти, в усло ви ях не пол но ты ин фор ма ции об их на чаль но-кра е вом со сто я нии. Кро ме того, по стро е на функ ция по пе реч ных ди на ми чес ких сме ще ний, ко то рая, яв ля ясь точ ным ре ше ни ем слож ных диф фе рен ци аль ных урав не ний мо де ли, в со от ве т - ствии со сред нек вад ра ти че с ким кри те ри ем со гла су ет ся с на чаль но-кра е вы ми на - блю де ни я ми за со сто я ни ем пли ты. Сог лас но это му кри те рию име ю щи е ся на - блю де ния за пли той мо де ли ро ва лись с по мощью сис те мы дис крет но и не пре - рыв но опре де лен ных функ ций, ко то рые по сво ей при ро де со от ве тство ва ли фик тив ным мас со вым си лам, опре де лен ным вне про стра нствен ной об лас ти пли - ты и при от ри ца тель ных зна че ни ях вре мен ной ко ор ди на ты. При зна чи тель ном уве ли че нии тол щи ны пли ты (ког да она мо жет рас смат ри вать ся как трех мер ное тело) не об хо ди ма ма те ма ти чес кая мо дель, ко то рая по зво ли ла бы опи сы вать за - ви си мость поля ди на ми чес ких сме ще ний то чек пли ты не толь ко от про стра н - ствен но рас пре де лен ных сил, но и от си ло вых воз му ще ний, име ю щих мес то на вер хней, ни жней и тор це вой по вер хнос тях пли ты. Та кие ма те ма ти чес кие мо де ли по зво ли ли бы при ис сле до ва нии ди на ми ки не пол но на блю да е мых тол - стых упру гих плит до пол нить об ъ ем но опре де лен ные мо де ли ру ю щие функ ции по вер хнос тно за дан ны ми. Ука зан ные ма те ма ти чес кие мо де ли ди на ми ки тол - стых упру гих плит по стро е ны ниже по сле псев до об ра ще ния трех мер ных урав - не ний Ляме [9] про стра нствен ной те о рии упру гос ти. 68 ISSN 1019-5262. Кибернетика и системный анализ, 2018, том 54, № 2 © В.А. Стоян, 2018 ТРЕХ МЕР НОЕ РЕ ШЕ НИЕ ДИ НА МИ КИ ТОЛ СТЫХ УПРУ ГИХ ПЛИТ ПРИ ЗА ДАН НОЙ ВНЕШ НЕ ДИ НА МИ ЧЕС КОЙ СИ ЛО ВОЙ ОСТА НОВ КЕ Рас смот рим от не сен ную к де кар то вой сис те ме ко ор ди нат ( , , )x y z упру гую пли ту, гра нич ные по вер хнос ти z h  2 ко то рой вмес те с тор це вой по вер хно - стью ( , , )x y z на хо дят ся под вли я ни ем ди на ми чес ких (t — вре мя) внеш не воз - му ща ю щих фак то ров f x y t f x y t f x y t f x y t   ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))1 2 3 T , f x y t f x y t f x y t f x y t   ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))1 2 3 T , f s f s f s f s   ( ) ( ( ), ( ), ( )) 1 2 T , со став ля ю щие f i  , f i  , f i  ( , )i 1 3 ко то рых при s t ( , ) ( , , , )x y z t на прав - ле ны по осям Ox Oy Oz, , со от ве тствен но. До пол ни тель но бу дем пред по ла гать на ли чие про стра нствен но рас пре де лен ных си ло вых фак то ров f s f s f s f s( ) ( ( ), ( ), ( )) col 1 2 3 с по ко ор ди нат ны ми со став ля ю щи ми f si ( ) ( , )i 1 3 . Пос тро им ди на ми чес кие за ви си мос ти век то ра u s u s u s u s( ) ( ( ), ( ), ( )) col 1 2 3 ди на ми чес ких сме ще ний u si ( ) ( , )i 1 3 то чек пли ты в на прав ле нии ко ор ди нат - ных осей Ox Oy Oz, , от ука зан ных выше внеш не ди на ми чес ких воз му ща ю щих фак то ров. При этом бу дем по ла гать, что u s u s u s u s u s( ) ( ) ( ) ( ) ( )       (1) при u s ( ) , u s ( ) , u s ( ) , u s ( ) , со от ве тству ю щих воз му ще ни ям f s( ) , f s ( ) , f s ( ) , f s ( ) со от ве тствен но. За да ча по стро е ния век тор-функ ции u s( ) бу дет ре ше на, если бу дут на й де ны мат рич ные функ ции G s s  ( ), G s s ( ), G s s ( ), G s s ( ) , ко то рые дей ствие мас со вых и по вер хнос тных воз му ща ю щих фак то ров, име ю щих мес то в про стра нствен но-вре мен ных точ ках s t S T S T      ( , ) [ , ] 0 00 , s x y h t S z h T S                ( , , , ) [ , ] 2 2 00 0 , s x y h t S z h T S                      , , , [ , ] 2 2 00 0 , s t T S    ( , ) [ , ] 0 0 (здесь S 0 — про стра нствен ная об ласть тела пли ты, а  — ее тор це вая по вер х - ность), пе ре да ют в точ ку s S T 0 . При ре ше нии за да чи бу дем ис хо дить из трех мер ных урав не ний Ляме [9] про стра нствен ной те о рии упру гос ти и для удо бства за пи шем их в виде L u s f ss( ) ( ) ( )  . (2) Здесь L s( )  (3)                 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )           2 2 2 2 2 2 x y z t x y x z                  y x y z x t y z z x ( ) ( ) ( ) ( ) (          2 2 2 2 2     ) ( ) ( )                     z y z x y t2 2 2 2 2 ISSN 1019-5262. Кибернетика и системный анализ, 2018, том 54, № 2 69 70 ISSN 1019-5262. Кибернетика и системный анализ, 2018, том 54, № 2 явля ет ся мат рич ным диф фе рен ци аль ным опе ра то ром, в ко то ром  — удель ная плот ность ма те ри а ла пли ты, а  и  — кон стан ты Ляме, ко то ры ми ха рак те ри зу - ют ся упру гие сво йства ма те ри а ла тела,         s t x y z t( , ) ( , , , ) — век тор час тных про из вод ных по про стра нствен ным ко ор ди на там x y z, , и вре ме ни t. Опре де ляя со став ля ю щие u s ( ), u s ( ), u s ( ), u s ( ) в (1) со от но ше ни я ми u s G s s f s ds S T      ( ) ( ) ( ) 0 , u s G s s f s dx dy dt S             ( ) ( ) ( ) 0 , (4) u s G s s f s dx dy dt S             ( ) ( ) ( ) 0 , u s G s s f s d dt S       ( ) ( ) ( )      0  , де ла ем вы вод, что пред став лен ная со глас но (1) век тор-функ ция u s( ) бу дет удов лет во рять [11] урав не нию (2), со гла со ван но му с по вер хнос тно-тор це вы ми на груз ка ми f s f s f s   ( ), ( ), ( )  так, что L u ss( ) ( )  f s s S f s s x y h t S f s T( ) ; ( ) ( , , , ) ; ( ) при при при        0 02   s S         0 (5) при G s s G s s s S T      ( ) ( ) 0 , G s s G s s s S        ( ) ( ) 0 , (6) G s s G s s s S  ( ) ( )      0 и L G s s s ss( ) ( ) ( )      , (7) где  ( ) ( ( ), , )s s s s i    diag  1 3 ,     ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s x x y y z z t t           , а ( )x x  , ( )y y  , ( )z z  , ( )t t  — -функ ции Ди ра ка, для ко то рых име ют мес то ин тег раль ные пред став ле ния вида   ( ) ( )t t i e di t t        1 2 (здесь i — мни мая еди ни ца). Ре ше ни ем (7) бу дет мат рич ная функ ция G s s E p q s s L p q dpdq i i ( ) ( , , ) ( , ) ,          1 16 4 (8) где p p ( 1, p2 , p3 ) , dp dp dp dp 1 2 3 , E p q s s e p x x p y y p z z q t( , , ) ( ( ) ( ) ( ) (             diag 1 2 3 t ) , i 1 3, ). За ме тим, что из ре ше ний (8) урав не ния (7), по стро ен ных [10] с при ме не ни ем ин тег раль ных вы че тов клас си чес кой те о рии функ ции ком плек сной пе ре мен ной, в (6) дол жны фи гу ри ро вать толь ко не пре рыв ные функ ции, удов лет во ря ю щие усло ви ям сим мет рич нос ти по ар гу мен ту и за ту ха ю щие на бес ко неч нос ти. С уче том (6), (8) с по мощью со от но ше ний (1), (4) мо жет быть по стро е но поле упру гих ди на ми чес ких сме ще ний то чек про из воль ной тол щи ны упру гой пли ты без огра ни че ний, свя зан ных с ге о мет ри ей ее бо ко вой по вер хнос ти, для слу ча ев, ког да об ъ ем ные и по вер хнос тно-тор це вые си ло вые воз де йствия на нее за да ны сис - те мой не пре рыв но опре де лен ных век тор-функ ций f s( ) , f s ( ) , f s ( ) . По лу чен - ное ре ше ние так же име ет мес то при усло вии, что эти функ ции за да ны в по до б - лас тях гра нич ных и тор це вых по вер хнос тей. В этом слу чае ин тег ри ро ва ние в (4) вы пол ня ет ся по этим по до блас тям. Пос тро ен ное ре ше ние мо жет быть ис поль зо ва но даже для слу ча ев, ког да внеш не ди на ми чес кие воз му ща ю щие фак то ры опре де ле ны сис те мой век то ров f f m Mm col( , , )1 , f f m Mm    col( , , )1 , f f m Mm    col( , , )1 зна че ний f f s m M f f s m Mm m m m      ( ) ( , ), ( ) ( , )1 1 , f f sm m    ( ) ( , )m M 1  век тор-функ ций f s( ) , f s ( ) , f s ( ) в точ ках s Sm T 0 , s Sm   0 , s Sm   0 . В этом слу чае со став ля ю щие u s ( ) , u s ( ) , u s ( ) век тор-функ ции (1) опре де - лим со от но ше ни я ми: u s G s s fm m M m   ( ) ( ) 1 , u s G s s fm m M m        ( ) ( ) 1 , (9) u s G s s fm m M m      ( ) ( )    1 . При этом, как и выше, со глас но [11] L u s f m Ms s s m m ( ) ( ) ( , )    1 , L u s f m Ms s s m m ( ) ( ) ( , )       1 , L u s f m Ms s s m m ( ) ( ) ( , )      1 . МА ТЕ МА ТИ ЧЕС КОЕ МО ДЕ ЛИ РО ВА НИЕ ТРЕХ МЕР НОЙ ЗА ДА ЧИ ДИ НА МИ КИ ТОЛ СТЫХ УПРУ ГИХ ПЛИТ, НА БЛЮ ДА Е МЫХ ПО ПО ВЕР ХНОС ТНО-ТОР ЦЕ ВЫМ СМЕЩЕНИЯМ Пос та нов ка за дач и про бле мы их ре ше ния. Рас смот рим за да чу по стро е ния опре де лен ной со глас но (2) век тор-функ ции u s( ) со сто я ния рас смат ри ва е мой выше упру гой пли ты тол щи ны 2h для слу чая, ког да внеш не ди на ми чес кие на - блю де ния за ее со сто я ни ем за да ны не си ло вы ми век тор-функ ци я ми f s( ) , f s ( ) , f s ( ) , а ли ней но пре об ра зо ван ны ми функ ци я ми ди на ми чес ких сме - ще ний по вер хнос тно-гра нич ных то чек пли ты, ко то рые в об щем слу чае опре - де лим со от но ше ни я ми: L u s U s i Ii s s S i      ( ) ( ) ( ) ( , ) 0 1 , (10) L u s U s i Ii s s S i    ( ) ( ) ( ) ( , )    0 1 , (11) ISSN 1019-5262. Кибернетика и системный анализ, 2018, том 54, № 2 71 в ко то рых L i Ii s   ( ) ( , )1 , L i Ii s  ( ) ( , ) 1 — мат рич ные ли ней ные диф фе - рен ци аль ные опе ра то ры, а U s i Ii  ( ) ( , )1 , U s i Ii  ( ) ( , )1 — за дан ные трех мер ные век тор-функ ции. Рас смот рим так же слу чай дис крет ных на блю де ний за со сто я ни ем пли ты, ко - то рые по ана ло гии с (10), (11) за пи шем в виде: L u s U i I j Ji s s s S ij ij            ( ) ( ) ( , , , ) 0 1 1 , (12) L u s U i I j Ji s s s S ij ij       ( ) ( ) ( , , , )      0 1 1 , (13) где U i I j Jij    ( , , , )1 1 , U i I j Jij   ( , , , ) 1 1 — за дан ные зна че ния. За ме тим, что здесь ни ка кие огра ни че ния на ко ли чес тво I I ,  со от но ше ний (10)–(13), на ко ли чес тво J J ,  то чек, ко то рым они со от ве тству ют, а также на век тор-функ ции U s i Ii  ( ) ( , )1 , U s i Ii  ( ) ( , )1 (кро ме их ин тег ри ру е мос ти в об лас ти опре де ле ния ар гу мен та) не налагаются. Это при во дит к не кор рек тно - сти в по ста нов ке за да чи по стро е ния век тор-функ ции u s( ) , опре де лен ной со глас - но (2), в силу чего она ре ша ет ся так, что бы ре ше ние урав не ния (2) удов лет во ря - ло по вер хнос тно-гра нич ным усло ви ям (10), (11) и (12), (13) со глас но кри те ри ям 1 1 2 0          \|\| ( ) ( ) ( ) \|\|L u s U s dsi s i Si I \|\| ( ) ( ) ( ) \|\|L u s U s dsi s i Si I          0 1 2      \|\| ( ) ( ) ( ) \|\| min ( ) L u s U s dsi s i S u si I     0 2 1 , (14) 2 2 11             \|\| ( ) ( ) \|\| \|\| (L u s U Li s s s ij j J i I i ij s s s j J ij i I u s U ij ) ( ) \|\|          1 2 1        \|\| ( ) ( ) \|\| min ( ) L u s Ui s s s ij j J i I u sij     2 11 (15) со от ве тствен но. При ре ше нии за дач (2), (10), (11) и (2), (12), (13) со глас но (14), (15) ис ко - мую век тор-функ цию u s( ) со сто я ния рас смат ри ва е мой пли ты опре де ля ем со от - но ше ни я ми (1), (4) и (1), (9), в ко то рых вектор-функ ции f s ( ) , f s ( ) и век то ры f  , f  их зна че ний в точ ках s S m Mm    0 1( , ), s Sm   0 ( , )m M 1 , s Sm   0 ( , )m M1  бу дем счи тать не из вес тны ми и в силу (14), (15) опре де лим их так, что бы 1  min f , (16) 2  min f , (17) 2  min ( )f s , (18) где f f f f  col ( , , ) , f s f s f s f s( ) ( ( ), ( ), ( ))  col  . Ре ше ние за дач (16)–(18) рас смот рим далее. 72 ISSN 1019-5262. Кибернетика и системный анализ, 2018, том 54, № 2 Задача (16). Исходя из структуры функционала 1, заключаем, что решение задачи (16) определяется среднеквадратическим обращением системы функциональных уравнений, полученных после подстановки (1), (9) в (2). Обозначая U s U s( ) (( ( ) col , s S U s s S U s s S     0 0 0), ( ( ), ), ( ( ), ))  , A s L s L s L sG G G( ) ( ( ), ( ), ( ))  col  при U s U s L u si i s      ( ) ( ( ) ( ) ( )col , i I 1, ) , U s U s L u si i s   ( ) ( ( ) ( ) ( ))   col , i I1, ) , L s L G s G i s   ( ) ( ( ) ( )col , i I 1, ) ( )s S  0 , L s L G sG i s  ( ) ( ( ) ( )) col , i I1, ) ( )s S   , G s G s G s G s( ) ( ( ), ( ), ( ))  str  , G s G s s m Mm      ( ) ( ( ), , )str 1 , G s G s s m Mm    ( ) ( ( ), , )  str 1 эту сис те му за пи шем в виде A s f U s( ) ( ) , (19) где век тор f и точ ки s m Mm  ( , )1 , s m Mm  ( , )1 опре де ле ны выше. Решением (19) таким, что \|\| ( ) ( ) \|\| min ( ) A s f U s ds f     2 (здесь и да лее зна ком ( ) об озна че но ин тег ри ро ва ние по об лас ти опре де ле ния поды нтег раль ной функ ции), бу дет [11] f P A P PU  2 2 2 *   , (20) где зна ком об озна че на опе ра ция псев до об ра ще ния мат ри цы P L s L s ds L s L s ds LG G S G G S G2 0 0          [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [T T    ( )] ( )s L s dsG S T 0  ,      col ( ),  при про из воль ных 3M  -, 3M  -, 3M  -мерном век то рах    , , , тож дес т - вен но рав ных нулю, если det P2 0 , а A L s U s ds L s U s ds LU G S G S G         [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ (T T 0 0  s U s ds S )] ( )T   0  . Из соотношения (20) f P A P PU      2 2 2  , (21) f P A P PU      2 2 2  при col ( , , ) P P P P2 2 2 2    . ISSN 1019-5262. Кибернетика и системный анализ, 2018, том 54, № 2 73 С учетом найденных в (21) векторов f f ,  соотношениями (1), (9) определим искомую согласно (14) вектор-функцию u s( ) состояния точек рассматриваемой плиты при условии, что состояние ее гранично-торцевых поверхностей наблюдается согласно (10), (11). Найденная таким образом вектор-функция u s( ) , точно удовлетворяя [11] уравнению (2) динамики плиты, согласуется с наблюдениями (10), (11) за ней с точностью 2 1 1 0         min min [ ( )] ( ) [ ( )] ( )u s f S U s U s ds U s U  T T ( )s ds S 0      [ ( )] ( ) U s U s ds A P A S U U    T T 0 2 . Задача (17). Как и при решении предыдущей задачи, искомую вектор-функцию u s( ) состояния рассматриваемой плиты представим соотношениями (1), (9), неизвестные вектора f f f , ,  в которых определим из системы линейных алгебраических уравнений, полученной после подстановки (1), (9) в (12), (13). Обозначая U U U U  col ( , , ) , A L L LG G G  col ( , , ) , при U U L u s j i J i Iij i s s sij             col ((( ( ) ( ) ), , ), , )1 , U U L u s j i J i Iij i s s sij             col ((( ( ) ( ) ), , ), , )1 , L L G s j i J i IG i s s sij          col (( ( ) ( ) ), , ), , )1 , L L G s j i J i IG i s s sij           col (( ( ) ( ) ), , ), , )1 , s i I j J s i I j Jij ij      ( , , , ), ( , , , )1 1 1 1   и G s( ), опре де лен ных выше, эту сис те му за пи шем в виде Af U . (22) Решением (22) таким, что \|\| \|\| minAf U f  2 , является [11] век тор f A P U A P A  T T 1 1 *   , где          col ( , , )R R RM M M  — про из воль ный 3 ( )M M M    -мер ный век тор, тож дес твен но рав ный нулю, если det ( )A AT  0 . Отсю да f L P U L P A G G       T 1 1  , (23) f L P U L P AG G      T 1 1  , где P AA L L L AG G G1    T , ( , , ) при 74 ISSN 1019-5262. Кибернетика и системный анализ, 2018, том 54, № 2 L L L LG G G G       col ( , , ) , L L L LG G G G      col ( , , ), L L G sG i s s s Sij           col (( ( ) ( ) 0 , j J i I  1 1, ), , ) , L L G sG i s s s Sij           col (( ( ) ( ) 0 , j J 1, ), i I 1, ), L L G sG i s s s Sij          col (( ( ) ( ) 0 , j J 1, ), i I 1, ), L L G s G i s s s Sij          col (( ( ) ( ) 0 , j J1, ) , i I1, ) , L L G sG i s s s Sij           col (( ( ) ( ) 0 , j J1, ) , i I1, ) . Учи ты вая, что век тор-функ ция (1), за пи сан ная с уче том (9), (23), удов лет во - ря ет урав не нию (2) [11] при лю бых f , точ ность ре ше ния за да чи опре де лим величиной 2 2 2 2 1 1     min min \|\| \|\| ( ) u s f Af U U U U P P U  T T . За да ча (18). При ре ше нии за да чи (18) в от ли чие от двух пред ы ду щих за дач ис ко мую век тор-функ цию u s( ) опре де лим со от но ше ни я ми (1), (4), в ко то рых вы - ра же ния для не из вес тных век тор-функ ций f s f s ( ), ( ) по лу ча ем из сис те мы ли - ней ных ин тег раль ных урав не ний, по лу чен ных в ре зуль та те под ста нов ки (1), (4) в (12), (13). Вво дя в рас смот ре ние в до пол не ние к опре де лен но му выше век то ру U век - тор-функ цию f s f s s S f s s S f s s S ( ) ( ), ( ), ( ),                     0 0 0     и мат рич ную функ цию A s A s A s A s( ) ( ( ), ( ), ( ))  str  при A s L G s s j J i I L i s ij i          ( ) ((( ( ) ( ), , ), , ), (( col 1 1              ( ) ( ), , ), , ), (( ( ) ( s ij i s ij G s s j J i I L G s s 1 1  ), , ), , )) ( ) ,j J i I s S   1 1 0   A s L G s s j J i I L i s ij i   ( ) ((( ( ) ( ), , ), , ), ((       col 1 1         ( ) ( ), , ), , ), (( ( ) ( s ij i s ij G s s j J i I L G s s      1 1 ), , ), , )) ( )j J i I s S  1 1 0    и s i I j J s i I j Jij ij      ( , , , ), ( , , , )1 1 1 1   , опре де ле ных выше, эту сис те - му за пи шем в виде A s f s ds U( ) ( ) ( )    . (24) Ре ше ни ем сис те мы (24) та ким, что A s f s ds U f s ( ) ( ) min ( ) ( )     2 , ISSN 1019-5262. Кибернетика и системный анализ, 2018, том 54, № 2 75 является [11] век тор-функ ция f s A s P U s A s P A( ) ( ) ( ) ( )*   T T  , (25) в ко то рой P A s A s ds A s A s ds A s S S          [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )]T T T 0 0  S A s ds 0   ( ) , A A s s ds A s s ds A s S S            [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )]T T 0 0  T S s ds 0    ( ) ,    ( ) (( ( ), ), ( ( ), ), ( ( ), )s s s S s s S s s S      col 0 0 0   ), а    ( ), ( ), ( )s s s — про из воль ные ин тег ри ру е мые в об лас ти из ме не ния сво их ар гу мен тов трех мер ные век тор-функ ции, тож дес твен но рав ные нулю, если lim ( ) ( ) , , N i j i j i j N A s A s        det T 1 0 при усло вии, что точ ки s i N s j Ni j( , ), ( , ) 1 1 вы бра ны в со от ве тствии с об - лас тью опре де ле ния эле мен тов мат рич ной функ ции A s( ). Из со от но ше ния (25) с уче том струк ту ры мат рич ной функ ции A s( ) находим f s A s P U s A s P A     ( ) ( ) ( ) ( )   , f s A s P U s A s P A   ( ) ( ) ( ) ( )     . Тог да из со от но ше ний (1), (4) по лу ча ем ис ко мую со глас но (2), (12), (13), (18) век тор-функ цию u s( ), ко то рая, точ но удов лет во ряя урав не нию (2), со гла су ет ся с на блю де ни я ми (12), (13) с точ нос тью 2 2 2   min min ( ) ( ) u s f s U U U PP U  T T . ЗАКЛЮЧЕНИЕ В на сто я щей статье решен комплекс слож ней ших за дач ди на ми ки тол стых упру гих плит, не имев ших ре шения до сих пор. За да чи сфор му ли ро ва ны и ре ше - ны в трех мер ной по ста нов ке для плос ких упру гих плит про из воль ной тол щи ны с про из воль ной ге о мет ри ей бо ко вой по вер хнос ти. Исход ны ми для по ста нов ки и ре - ше ния рас смот рен ных за дач яв ля ют ся трех мер ные урав не ния Ляме, до пол нен ные по вер хнос тны ми и гра нич ны ми усло ви я ми про из воль но го со дер жа ния, без огра - ни че ний на их ко ли чес тво. Рас смот ре ны слу чаи, ког да внеш не ди на ми че ское со - сто я ние пли ты за да ет ся сис те мой по вер хнос т но-гра нич ных си ло вых фак то ров, а так же ли ней но пре об ра зо ван ной функ ци ей ди на ми чес ких сме ще ний по вер хнос - тно-гра нич ных то чек пли ты. Рас смот ре ны слу чаи, ког да внеш не ди на ми чес кие воз му ще ния за да ны не пре рыв но и дис крет но. В та ких по ста нов ках за да чи по - стро е ния трех мер но го поля упру гих ди на ми чес ких сме ще ний то чек пли ты не кор - рек тны с ма те ма ти чес кой точ ки зре ния и не мо гут быть ре ше ны ни ме то да ми клас си чес кой ма те ма ти ки, ни чис лен ны ми ме то да ми. В дан ной статье век - тор-функ ция про стра нствен ных ди на ми чес ких сме ще ний то чек пли ты по стро е на так, что она, яв ля ясь точ ным ре ше ни ем клас си чес ких урав не ний Ляме, со гла су ет - ся с внеш не ди на ми чес ки ми на блю де ни я ми за по вер хнос тно-гра нич ным со сто я ни - ем пли ты в со от ве тствии со сред нек вад ра ти чес ким кри те ри ем. Получена оцен ка точ нос ти ука зан но го со гла со ва ния и за пи са ны усло вия од но знач нос ти по стро ен - ных ре ше ний. Прак ти чес кая ре а ли за ция ко неч ных ма те ма ти чес ких со от но ше ний по каж дой из рас смот рен ных за дач про ста и не вы хо дит за пред е лы клас си чес - кой ли ней ной ал геб ры и чис лен ных ме то дов ин тег ри ро ва ния. 76 ISSN 1019-5262. Кибернетика и системный анализ, 2018, том 54, № 2 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Не миш Ю.Н., Хома Ю.И. Нап ря жен но-де фор ми ру е мое со сто я ние не тон ких об оло чек и плас - тин. Трех мер ная те о рия (Обзор). Прик лад ная ме ха ни ка. 1991. Т. 27, № 11. С. 3–27. 2. Сто ян В.А. Про за сто су ван ня сим волічно го ме то ду А.І. Лур’є в еласто ди наміці тов стих плит. ДАН УРСР. Сер. А. 1972. № 10. С. 927–931. 3. Сто ян В.А. Об ал го рит ме по стро е ния по лут рех мер ных диф фе рен ци аль ных урав не ний элас то - ди на мич ных тол стых плит. Прик лад ная ме ха ни ка. 1976. Т. 12, № 7. С. 39–44. 4. Сто ян В.А., Двир ни чук К.В. К по стро е нию диф фе рен ци аль ной мо де ли по пе реч ных ди на ми чес ких сме ще ний тол сто го упру го го слоя. Проб ле мы управ ле ния и ин фор ма ти ки. 2012. № 4. С. 74–83. 5. Сто ян В.А., Двир ни чук К.В. Об ин тег раль ной мо де ли по пе реч ных ди на ми чес ких сме ще ний тол сто го упру го го слоя. Проб ле мы управ ле ния и ин фор ма ти ки. 2013. № 1. С. 70–82. 6. Сто ян В.А, Двир ни чук К.В. О ма те ма ти чес ком мо де ли ро ва нии трех мер но го поля по пе реч ных ди на ми чес ких сме ще ний тол стых упру гих плит. Ки бер не ти ка и сис тем ный ана лиз. 2013. № 6. С. 58–72. 7. Сто ян В.А., Двир ни чук К.В. О ма те ма ти чес ком мо де ли ро ва нии за дач управ ле ния ди на ми кой тол стых упру гих плит. I. Управ ле ние при не пре рыв но за дан ном же ла е мом со сто я нии. Ки бер - не ти ка и сис тем ный ана лиз. 2014. Т. 50, № 3. С. 70–96. 8. Сто ян В.А., Двир ни чук К.В. О ма те ма ти чес ком мо де ли ро ва нии за дач управ ле ния ди на ми кой тол стых упру гих плит. II. Управ ле ние при дис крет но за дан ном же ла е мом со сто я нии. Ки бер не - ти ка и сис тем ный ана лиз. 2015. Т. 51, № 2. С. 117–133. 9. Лурье А.И. Прос тра нствен ные за да чи те о рии упру гос ти. Мос ква: Гос те хиз дат, 1955. 492 с. 10. Сто ян В.А., Двірни чук К.В. До по бу до ви інтег раль но го еквіва лен ту лінійних ди фе ренціаль - них мо де лей. До повіді НАН Украї ни. 2012. № 9. С. 36–43. 11. Сто ян В.А. Ма те ма тич не мо де лю ван ня лінійних, квазілінійних і нелінійних ди намічних сис - тем. Київ: ВПЦ «Київський універ си тет», 2011. 319 с. Надійшла до редакції 22.02.2017 В.А. Сто ян ПРО ТРИВИМІРНІ ІНТЕГРАЛЬНІ МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ДИНАМІКИ ТОВСТИХ ПРУЖНИХ ПЛИТ Анотація. Роз в’я за но ком плекс за дач з по бу до ви три вимірно го поля пруж них ди намічних зміщень то чок плос кої пруж ної пли ти з довільною гра нич но-тор це - вою по вер хнею. При пус кається, що гра нич ний стан пли ти за да но че рез си лові збу рю ючі фак то ри або функцію век то ра зміщень. Роз в’яз ки за дач по бу до ва но на базі кла сич них рівнянь Ляме про сто ро вої теорії пруж ності за умо ви їхньо го се ред ньок вад ра тич но го узгод жен ня з на яв ни ми зовнішньо ди намічни ми спос те - ре жен ня ми за ста ном пли ти. Оцінено точність та ко го узгод жен ня. Сфор муль о - ва но умо ви од но знач ності роз в’я зан ня роз гля ду ва них за дач. Клю чові сло ва: про сто ро во роз поділені ди намічні сис те ми, про сто рові за - дачі теорії пруж ності, псев доінверсія, товсті пружні пли ти. V.А. Stoyan THREE-DI MEN SIONAL IN TE GRAL MATH E MAT I CAL MOD ELS OF THE DY NAM ICS OF THICK ELAS TIC PLATES Abstract. The complex of problems related to constructing three-dimensional field of elastic dynamic displacement of flat elastic plate with arbitrary boundary-edge surface is solved. It is assumed that boundary condition of the plate is given in terms of powerful perturbation factors or displacement vector function. Problems solutions are based on classical Lame equations of spatial theory of elasticity under root meen-square consistency of the solution with corresponding external-dynamic observations of the plate. The accuracy of such consistency is estimated. The uniqueness conditions for the solution of the considered problems are formulated. Keywords: spatially distributed dynamical systems, spatial problems of elasticity theory, pseudoinversion, thick elastic plates. Стоян Владимир Антонович, доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры Киевского национального университета имени Тараса Шевченко, e-mail: v_a_stoyan@ukr.net. ISSN 1019-5262. Кибернетика и системный анализ, 2018, том 54, № 2 77
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144852
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1019-5262
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:57:13Z
publishDate	2018
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Стоян, В.А. 2019-01-05T19:24:54Z 2019-01-05T19:24:54Z 2018 О трехмерных интегральных математических моделях динамики толстых упругих плит / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 68–77. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144852 517.95:419.86:539.3 Розв’язано комплекс задач з побудови тривимірного поля пружних динамічних зміщень точок плоскої пружної плити з довільною гранично-торцевою поверхнею. Припускається, що граничний стан плити задано через силові збурюючі фактори або функцію вектора зміщень. Розв’язки задач побудовано на базі класичних рівнянь Ляме просторової теорії пружності за умови їхнього середньоквадратичного узгодження з наявними зовнішнь одинамічними спостереженнями за станом плити. Оцінено точність такого узгодження. Сформульовано умови однозначності розв’язання розглядуваних задач. Решен комплекс задач по построению трехмерного поля упругих динамических смещений точек плоской упругой плиты с произвольной гранично-торцевой поверхностью. Предполагается, что граничное состояние плиты задано через силовые возмущающие факторы или функцию вектора смещений. Решение задач построено на базе классических уравнений Ляме пространственной теории упругости при его среднеквадратическом согласовании с имеющимися внешнединамическими наблюдениями за состоянием плиты. Выполнена оценка точности указанного согласования. Сформулированы условия однозначности решения рассматриваемых задач. The complex of problems related to constructing three-dimensional field of elastic dynamic displacement of flat elastic plate with arbitrary boundary-edge surface is solved. It is assumed that boundary condition of the plate is given in terms of powerful perturbation factors or displacement vector function. Problems solutions are based on classical Lame equations of spatial theory of elasticity under root meen-square consistency of the solution with corresponding external-dynamic observations of the plate. The accuracy of such consistency is estimated. The uniqueness conditions for the solution of the considered problems are formulated. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз О трехмерных интегральных математических моделях динамики толстых упругих плит Про тривимірні інтегральні математичні моделі динаміки товстих пружних плит Three-dimensional integral mathematical models of the dynamics of thick elastic plates Article published earlier
spellingShingle	О трехмерных интегральных математических моделях динамики толстых упругих плит Стоян, В.А. Системний аналіз
title	О трехмерных интегральных математических моделях динамики толстых упругих плит
title_alt	Про тривимірні інтегральні математичні моделі динаміки товстих пружних плит Three-dimensional integral mathematical models of the dynamics of thick elastic plates
title_full	О трехмерных интегральных математических моделях динамики толстых упругих плит
title_fullStr	О трехмерных интегральных математических моделях динамики толстых упругих плит
title_full_unstemmed	О трехмерных интегральных математических моделях динамики толстых упругих плит
title_short	О трехмерных интегральных математических моделях динамики толстых упругих плит
title_sort	о трехмерных интегральных математических моделях динамики толстых упругих плит
topic	Системний аналіз
topic_facet	Системний аналіз
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144852
work_keys_str_mv	AT stoânva otrehmernyhintegralʹnyhmatematičeskihmodelâhdinamikitolstyhuprugihplit AT stoânva protrivimírnííntegralʹnímatematičnímodelídinamíkitovstihpružnihplit AT stoânva threedimensionalintegralmathematicalmodelsofthedynamicsofthickelasticplates

О трехмерных интегральных математических моделях динамики толстых упругих плит

Institution

Similar Items