О непрерывной зависимости вероятностей неразорения от функции распределения выплат в классической модели риска
Як модель діяльності страхової компанії розглянуто модель Крамера–Лундберга. Оскільки отримати в явному вигляді розв’язок для функції ймовірності небанкрутства страхової компанії для довільного розподілу величин страхових позовів на даний момент поки що не є можливим, досліджується задача знаходженн...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2018 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144853 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О непрерывной зависимости вероятностей неразорения от функции распределения выплат в классической модели риска / В.О. Болдырева, Г.М. Шевченко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 78–84. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144853 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Болдырева, В.О. Шевченко, Г.М. 2019-01-05T19:27:10Z 2019-01-05T19:27:10Z 2018 О непрерывной зависимости вероятностей неразорения от функции распределения выплат в классической модели риска / В.О. Болдырева, Г.М. Шевченко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 78–84. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144853 519.21 Як модель діяльності страхової компанії розглянуто модель Крамера–Лундберга. Оскільки отримати в явному вигляді розв’язок для функції ймовірності небанкрутства страхової компанії для довільного розподілу величин страхових позовів на даний момент поки що не є можливим, досліджується задача знаходження оцінки збіжності початкової ймовірності небанкрутства до ймовірності, яку буде отримано після апроксимації функції розподілу величин позовів. В качестве модели деятельности страховой компании рассмотрена модель Крамера–Лундберга. Поскольку получить в явном виде решение для функции вероятности неразорения страховой компании при произвольном распределении величин страховых исков на данный момент пока не представляется возможным, рассматривается задача нахождения оценки сходимости изначальной вероятности неразорения к той, что будет получена после аппроксимации функции распределения величин исков. The Cramer–Lundberg model is considered as a model of insurance company. Since it is impossible to obtain an explicit solution for the function of non-bankruptcy probability of insurance company for an arbitrary distribution of the values of insurance claims, the authors consider the problem of estimating the convergence of the original non-bankruptcy probability to one that would be obtained by approximating the values of claim distribution function. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз О непрерывной зависимости вероятностей неразорения от функции распределения выплат в классической модели риска Про неперервну залежність імовірностей небанкрутства від функції розподілу виплат у класичній моделі ризику On the continuous dependence of non-bankruptcy probability on payment distribution function in the classical risk model Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О непрерывной зависимости вероятностей неразорения от функции распределения выплат в классической модели риска |
| spellingShingle |
О непрерывной зависимости вероятностей неразорения от функции распределения выплат в классической модели риска Болдырева, В.О. Шевченко, Г.М. Системний аналіз |
| title_short |
О непрерывной зависимости вероятностей неразорения от функции распределения выплат в классической модели риска |
| title_full |
О непрерывной зависимости вероятностей неразорения от функции распределения выплат в классической модели риска |
| title_fullStr |
О непрерывной зависимости вероятностей неразорения от функции распределения выплат в классической модели риска |
| title_full_unstemmed |
О непрерывной зависимости вероятностей неразорения от функции распределения выплат в классической модели риска |
| title_sort |
о непрерывной зависимости вероятностей неразорения от функции распределения выплат в классической модели риска |
| author |
Болдырева, В.О. Шевченко, Г.М. |
| author_facet |
Болдырева, В.О. Шевченко, Г.М. |
| topic |
Системний аналіз |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про неперервну залежність імовірностей небанкрутства від функції розподілу виплат у класичній моделі ризику On the continuous dependence of non-bankruptcy probability on payment distribution function in the classical risk model |
| description |
Як модель діяльності страхової компанії розглянуто модель Крамера–Лундберга. Оскільки отримати в явному вигляді розв’язок для функції ймовірності небанкрутства страхової компанії для довільного розподілу величин страхових позовів на даний момент поки що не є можливим, досліджується задача знаходження оцінки збіжності початкової ймовірності небанкрутства до ймовірності, яку буде отримано після апроксимації функції розподілу величин позовів.
В качестве модели деятельности страховой компании рассмотрена модель Крамера–Лундберга. Поскольку получить в явном виде решение для функции вероятности неразорения страховой компании при произвольном распределении величин страховых исков на данный момент пока не представляется возможным, рассматривается задача нахождения оценки сходимости изначальной вероятности неразорения к той, что будет получена после аппроксимации функции распределения величин исков.
The Cramer–Lundberg model is considered as a model of insurance company. Since it is impossible to obtain an explicit solution for the function of non-bankruptcy probability of insurance company for an arbitrary distribution of the values of insurance claims, the authors consider the problem of estimating the convergence of the original non-bankruptcy probability to one that would be obtained by approximating the values of claim distribution function.
|
| issn |
1019-5262 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144853 |
| citation_txt |
О непрерывной зависимости вероятностей неразорения от функции распределения выплат в классической модели риска / В.О. Болдырева, Г.М. Шевченко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 78–84. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT boldyrevavo onepreryvnoizavisimostiveroâtnosteinerazoreniâotfunkciiraspredeleniâvyplatvklassičeskoimodeliriska AT ševčenkogm onepreryvnoizavisimostiveroâtnosteinerazoreniâotfunkciiraspredeleniâvyplatvklassičeskoimodeliriska AT boldyrevavo proneperervnuzaležnístʹímovírnosteinebankrutstvavídfunkcíírozpodíluviplatuklasičníimodelíriziku AT ševčenkogm proneperervnuzaležnístʹímovírnosteinebankrutstvavídfunkcíírozpodíluviplatuklasičníimodelíriziku AT boldyrevavo onthecontinuousdependenceofnonbankruptcyprobabilityonpaymentdistributionfunctionintheclassicalriskmodel AT ševčenkogm onthecontinuousdependenceofnonbankruptcyprobabilityonpaymentdistributionfunctionintheclassicalriskmodel |
| first_indexed |
2025-11-25T07:11:52Z |
| last_indexed |
2025-11-25T07:11:52Z |
| _version_ |
1850509980393799680 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Â.Î. ÁÎËÄÛÐÅÂÀ, Ã.Ì. ØÅÂ×ÅÍÊÎ
Î ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÎÉ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ ÍÅÐÀÇÎÐÅÍÈß
ÎÒ ÔÓÍÊÖÈÈ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÂÛÏËÀÒ
 ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÎÄÅËÈ ÐÈÑÊÀ
Àííîòàöèÿ.  êà÷åñòâå ìîäåëè äåÿòåëüíîñòè ñòðàõîâîé êîìïàíèè ðàññìîò-
ðåíà ìîäåëü Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà. Ïîñêîëüêó ïîëó÷èòü â ÿâíîì âèäå ðåøå-
íèå äëÿ ôóíêöèè âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè ïðè ïðîèç-
âîëüíîì ðàñïðåäåëåíèè âåëè÷èí ñòðàõîâûõ èñêîâ íà äàííûé ìîìåíò ïîêà
íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì, ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ îöåíêè
ñõîäèìîñòè èçíà÷àëüíîé âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ ê òîé, ÷òî áóäåò ïîëó÷å-
íà ïîñëå àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí èñêîâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìîäåëü Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà, ïðîöåññ ðèñêà, ñõîäèìîñòü,
âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïðè ðàáîòå ñ ðåàëüíûìè ñòàòèñòè÷åñêèìè äàííûìè ñòðàõîâûõ êîìïàíèé èññëå-
äîâàòåëè ÷àñòî ñòàëêèâàþòñÿ ñ ïðîáëåìîé òðóäîåìêîñòè îáðàáîòêè ïîëó÷åííûõ
ýìïèðè÷åñêèõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîñêîëüêó ïðè ñáî-
ðå è ñîðòèðîâêå äàííûõ â ëþáîì ñëó÷àå âîçíèêàþò íåòî÷íîñòè, ïðèìåíåíèå
ðàçëè÷íûõ àïïðîêñèìàöèé çàêîíîìåðíî. Äëÿ àíàëèçà äàííûõ î äåÿòåëüíîñòè
ñòðàõîâûõ êîìïàíèé èñïîëüçóþò ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè. Ðàáîòû Ô. Ëóíäáåðãà
[1, 2] ñ÷èòàþòñÿ áàçîâûìè èññëåäîâàíèÿìè, ïîñâÿùåííûìè ïîñòðîåíèþ ìàòåìà-
òè÷åñêèõ ìîäåëåé ðàáîòû ñòðàõîâûõ êîìïàíèé.  íèõ ñòðàõîâàíèå ðàññìàòðèâà-
åòñÿ êàê ïðîöåññ, çàâèñÿùèé îò âðåìåíè ðàáîòû êîìïàíèè è åå êàïèòàëà.
 äàííîé ñòàòüå â êà÷åñòâå ìîäåëè ðàáîòû ñòðàõîâîé êîìïàíèè èñïîëüçóåì
êëàññè÷åñêóþ ìîäåëü ðèñêà (ìîäåëü Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà). Äèíàìèêîé êàïèòàëà
â íåé íàçûâàþò ñëó÷àéíûé ïðîöåññ
�x t x ct S t( ) ( )� � � ,
ãäå x — íà÷àëüíîå çíà÷åíèå êàïèòàëà, �x t( ) — êàïèòàë ñòðàõîâîé êîìïàíèè
â ìîìåíò âðåìåíè t, c — ñêîðîñòü ïîñòóïëåíèÿ ïðåìèé îò êëèåíòîâ, S t( ) �
�
�
�Yk
k
N t
1
( )
— ñëó÷àéíûé ïðîöåññ [3], îïðåäåëÿþùèé ñóììó âûïëà÷åííûõ êîìïà-
íèåé ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé íà âûáðàííîì îòðåçêå âðåìåíè, Y Yk1, ,� — îäè-
íàêîâî ðàñïðåäåëåííûå íåçàâèñèìûå âåëè÷èíû èñêîâ ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëå-
íèÿ F x( ), N t( ) — êîëè÷åñòâî ïîëó÷åííûõ èñêîâ, îïèñûâàåìûõ ïóàññîíîâñêèì
ïðîöåññîì ñ ïàðàìåòðîì �. Ìîìåíò, êîãäà ñóììà êàïèòàëà êîìïàíèè îïóñòèò-
ñÿ íèæå íóëÿ, íàçîâåì ðàçîðåíèåì. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà áåñêîíå÷íîì èí-
òåðâàëå âðåìåíè [ , )0 �� ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ ðàçîðèòñÿ, çà-
äàåòñÿ âûðàæåíèåì
� �( ) ( )x P t tx� � �{ ïðè íåêîòîðîì }0 0 .
Ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ � �( ) ( )x x� �1 âûðàæàåò âå-
ðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà èíòåðâàëå âðåìåíè [ , )0 �� ðàçîðåíèÿ íå ïðîèçîéäåò.
Ïîñêîëüêó èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå âåðîÿò-
íîñòü íåðàçîðåíèÿ â êëàññè÷åñêîé ìîäåëè ðèñêà
c x x x y dF y
x
� � �
� �� � �( ) ( ) ( ) ( )
0
, (1)
äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íà äàííûé ìîìåíò â ÿâíîì âèäå
78 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
� Â.Î. Áîëäûðåâà, Ã.Ì. Øåâ÷åíêî, 2018
ïîêà íåðàçðåøèìî, ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ çàäà÷à î íàõîæäåíèè åãî ïðèáëèæåí-
íîãî ðåøåíèÿ è îöåíêè ñêîðîñòè àïïðîêñèìàöèè.
ÏÐÅÄÂÀÐÈÒÅËÜÍÛÅ ÑÂÅÄÅÍÈß
Ëåììà 1 (íåðàâåíñòâî Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà) [4]. Ïóñòü óðàâíåíèå
�
c
e F y dyRy ( )
0
1
� �
� , (2)
ãäå F y F y( ) ( )� �1 , èìååò êîðåíü R � 0 (êîýôôèöèåíò Ëóíäáåðãà). Òîãäà ïðè
âñåõ x � 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
� ( )x e Rx� � . (3)
Ëåììà 2. Óðàâíåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ â êëàññè÷åñêîé ìîäåëè
ðèñêà çàïèøåì â èíòåãðàëüíîì âèäå [4]
� �
�
�( ) ( ) ( )[ ( )]x
c
x y F y dy
x
� � � �
0 1
0
. (4)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (1) â âèäå
� � �
�
�
�
�
�( ) ( ) ( ) ( )x
c
x
c
x y dF y
x
0
. (5)
Ïðîèíòåãðèðóåì ïî x îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (5) è ïîëó÷èì
� �
�
�
�
�( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )]x
c
z dz
c
z y d F y
z
� � � � �
�
�
��
�
�
�
��
0 1
00
xx
dz
�
0
� � � �
�
�
��
�
�
�
��
�
�
� �
c
z z y d F y dz
zx
( ) ( ) [ ( )]1
00
� � � � � � �
�
�
��
�
� � �
c
z z y F y z y F y dy
z
z
( ) ( )[ ( )] ( )[ ( )]1 1
0
0
�
�
�
��
�
0
x
dz
� � � � � � � �
�
� � � �
c
z F z z F z y F
x
{ ( ) ( )[ ( )] ( )[ ( )] ( )[ (0 1 1 0 1
0
y dy dz
z
)]
0
�
�
��
�
�
�
��
�
� � � � �
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
c
F z dz
c
z y F y dy
z
( ) [ ( )] ( )[ ( )]0 1 1
000
xx
dz
. (6)
Ïîìåíÿåì âî âòîðîì èíòåãðàëå â (6) ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ:
� �
�
�
�
�( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ( )x
c
F z dz
c
F y z y dz
y
x
� � � � � �
0 0 1 1�
�
��
�
�
�
��
�
00
xx
dy
� � � � � � �
�
�
�
� �
c
F z dz
c
F y x y dy
xx
( ) [ ( )] [ ( )][ ( ) ( )]0 1 1 0
00
� � �
�
�
c
x y F y dy
x
( )[ ( )] .1
0
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ �( )x óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ
� �
�
�( ) ( ) ( )[ ( )]x
c
x y F y dy
x
� � � �
0 1
0
.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 79
ÎÖÅÍÊÀ ÒÎ×ÍÎÑÒÈ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÍÅÐÀÇÎÐÅÍÈß
 ÿâíîì âèäå ðåøåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ â êëàññè÷åñêîé ìîäåëè
ðèñêà íàõîäèòñÿ òîëüêî äëÿ íåñêîëüêèõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, íàïðèìåð ýêñïîíåí-
öèàëüíîãî [5], ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ [6], ñìåñè ýêñïîíåíöèàëüíûõ ðàñïðåäåëå-
íèé [7], âûðîæäåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Â ñâÿçè ñ ýòèì ðàññìîòðèì ìîäåëü,
â êîòîðîé ðèñêè èìåþò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F y� ( ), áëèçêóþ ê F y( ) â íå-
êîòîðîì ñìûñëå (ïîäðîáíåå îáñóæäàåòñÿ äàëåå). Îäíèì èç âîçìîæíûõ âàðèàí-
òîâ ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñìåñüþ ñäâèíóòûõ ýêñïî-
íåíöèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé òàêèì îáðàçîì, ÷òî îíè áóäóò îòëè÷àòüñÿ íå áî-
ëåå ÷åì íà � â ñìûñëå ðàññòîÿíèÿ Ëåâè.  ðàáîòå [8] îáîñíîâàíî ïîñòðîåíèå
òàêîãî ïðèáëèæåíèÿ, à â [7] ïîêàçàíî èñïîëüçîâàíèå äàííîé ñìåñè äëÿ ïîëó-
÷åíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èç èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîãî, à òàêæå
ïîñòðîåíà îöåíêà ñáëèæåíèÿ ðåøåíèé.
Îñíîâíàÿ öåëü äàííîé ñòàòüè çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè îöåíêè ïðèáëèæå-
íèÿ ïîëó÷åííîé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ â ìîäåëè Êðàìåðà–Ëóíäáåð-
ãà ê èñõîäíîé, êîãäà äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èñêîâ F y( ) èñïîëüçóåòñÿ íåêî-
òîðàÿ àïïðîêñèìàöèÿ F y� ( ) [9].
Èçâåñòíî, ÷òî ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ �( )x â êëàññè÷åñêîé ìîäå-
ëè ðèñêà óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ (4). Äëÿ ïðèáëèæåííîé âåðî-
ÿòíîñòè �� ( )x èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íî:
� �
�
�� � � �( ) ( ) ( )[ ( )] .x
c
x y F y dy
x
� � � �
0 1
0
Îáîçíà÷èì ïðèáëèæåííóþ âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ � �� �( ) ( )x x� �1 ; äëÿ
óäîáñòâà òàêæå ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ F x F x( ) ( )� �1 è F x F x� �( ) ( )� �1 .
Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ òðåáîâàíèé, ò.å.
F ( )0 1� , è ïîëîæèòåëüíîñòè äîõîäà:
� F y dy c( )
0
��
� , (7)
èíà÷å ïðè ëþáîì x ïðîèçîéäåò ðàçîðåíèå ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ïîëàãàåì
òàêæå, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ (2) è (3) íåðàâåíñòâà Êðàìåðà–Ëóí-
äáåðãà (ëåììà 1).
Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíåíû ïðåäïîëîæåíèÿ (2) è (3) è äëÿ íåêîòîðîãî
��( , )0 R , ãäå R — êîýôôèöèåíò Ëóíäáåðãà, âûïîëíåíî óñëîâèå
� �� 0 e F y dy
cy�
�
�
( )
0
� �
� . (8)
Òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà òî÷íîñòè ïðèáëèæåíèÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ
| ( ) ( )| | ( ) ( )|� � � � �� � �
�x x x x K e x� � � � � ,
ãäå
��
�
�� �
� �
e F y F y dyy | ( ) ( )|
0
, K
c
e F y dyy� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
� ( )
0
1
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì óðàâíåíèå (4) ñ ïîìîùüþ îáîçíà÷åíèé âåðîÿò-
íîñòè ðàçîðåíèÿ c ó÷åòîì
�
�
( ) ( )0 1
0
� �
� �
c
F y dy.
80 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
Ïîëó÷èì
�
� �
�( ) ( ) ( ) ( )x
c
F y dy
c
x y F y dy
x
� � � �
� �
1
0 0
,
1 1 1
0 0
� � � � � �
� �
�
� �
�( ) ( ) [ ( )] ( )x
c
F y dy
c
x y F y dy
x
,
�
� �
�( ) ( ) [ ( )] ( )x
c
F y dy
c
x y F y dy
x
� � � �
� �
0 0
1 ,
�
� � �
�( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
c
F y dy
c
F y dy
c
x y F y dy
x x
� � � �
��
0 0 0
,
�
� �
�( ) ( ) ( ) ( )x
c
F y dy
c
x y F y dy
x
x
� � �
� �
0
.
Àíàëîãè÷íî èç óðàâíåíèÿ (6) èìååì
�
� �
�� � � �( ) ( ) ( ) ( )x
c
F y dy
c
x y F y dy
x
x
� � �
� �
0
.
Òîãäà
| ( ) ( )|� � �x x� �
� � � � � �
� �
�
� �� � �
c
F y F y dy x y F y dy x y F y
x
x
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
0
dy
x
0
. (9)
Ïðèáàâèâ è âû÷òÿ â (9) ïîä çíàêîì ìîäóëÿ ñëàãàåìîå
� � ( ) ( )x y F y dy
x
�
0
,
ïðîäîëæèì îöåíèâàíèå:
| ( ) ( )|� � �x x� �
� � � � � � �
� �
� �
� �� �
c
F y F y dy
c
x y x y F y dy
x
x
| ( ) ( )| | ( ) ( )| ( )
0
� � � � �
�
� �� � �
c
x y F y dy x y F y dy
x x
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
� � � � � � �
��
� �
� �� �
c
F y F y dy
c
x y x y F y dy
x
x
| ( ) ( )| | ( ) ( )| ( )
0
� � �
�
� � �
c
x y F y F y dy
x
( )| ( ) ( )|
0
. (10)
Çàìåòèì, ÷òî èç óñëîâèÿ (8) ñëåäóåò
� �( )x e x� � . (11)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 81
Äåéñòâèòåëüíî, çàìåíÿÿ ðàñïðåäåëåíèå F� òðåáîâàíèé òàêèì ðàñïðåäåëåíèåì
~
F F� �� , ÷òî
� �
�
c
e F y dyy (
~
( ))1 1
0
� �
� �
,
íå óìåíüøàåì âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, èç íåðàâåíñòâà Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà ïîëó÷èì (11).
Îáîçíà÷èì
� �
�
�� �� �
�
sup{ }
x
xe x x
0
| ( ) ( )| .
Èç (11) ñëåäóåò � � � �. Çàïèøåì ñ ïîìîùüþ (10)
� �
�
�
�
�
�
�� � � � �
�
� �
c
e F y F y dy e x y F y F
x
x
x
xsup
0
| ( ) ( )| ( )| ( ) � ( )|y dy
x
�
�
!
!
0
� � � �
"
#
$
$
�
�
e x y x y F y dy
c
e F yx
x
x
x�
�
�� �
�
| ( ) ( ) | ( ) | ( )
0 0
sup � �
�
!
!
� �
F y dy
x
� ( )|
� � � ��
e x y e F y F y dyx y y
x
�
�
�
��( ) ( ) | ( ) ( )|
0
� � � �
"
#
$
$
��
e x y x y e F y dyx y y
x
�
�
�� �( ) | ( ) ( )| ( )
0
� � � �
�
� �
�
�
��
�
�
�
�
c
e F y F y dy e x y e F
x
x
x
x y ysup
0
| ( ) ( )| ( ) |( ) ( ) ( )|y F y dy
x
�
�
!
!
"
#
$
$
�
�
0
� � � �
�
�
�
� ��
�
�
c
e x y x y e F y dy
x
x y y
x
sup
0 0
( ) | ( ) ( )| ( ) .
(12)
Äàëåå îöåíèì êàæäîå èç ïîëó÷åííûõ ñëàãàåìûõ â (12).  ñèëó (11)
sup
x
x
x
x y ye F y F y dy e x y e F y
�
� �
�� � �
0
�
�
�
�
��| ( ) ( )| ( ) | ( )( ) �
�
!
!
"
#
$
$
�
F y dy
x
� ( )|
0
� � �
��
e F y F y dyy�
� ��| ( ) ( )|
0
.
Çàìåòèì, ÷òî
e x y x yx y�
� �� �( ) | ( ) ( )|� � � � � � ,
òîãäà
sup sup
x
x y y
x
x
e x y x y e F y dy
�
�
�
� � � �
0 0 0
�
�
�
�� �( ) | ( ) ( )| ( ) � e F y dyy
x
� ( )
0
.
Îáúåäèíÿÿ ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà è ïîäñòàâëÿÿ èõ â (12), èìååì
� �� � �
��
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
c
e F y dyy
x
( )
0
, � �
�
�
�
�
c
e F y dyy
x
�
�
!
!
"
#
$
$
�
( )
0
.
82 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
Èç íåâûðîæäåííîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ òðåáîâàíèé ñëåäóåò
� ��
c
e F y dy
c
e F y dyy Ry( ) ( )
0 0
1
�� ��
� � .
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
� �
�
� �
�
� �� �
�
!
!
"
#
$
$
�
�
c
e F y dy Ky
x
( )
0
1
,
îòêóäà � �x 0
| ( ) ( )|� � �� �
�x x K e x� � � ,
÷òî è òðåáóåòñÿ äîêàçàòü.
Çàìå÷àíèå 1. Ïðåäïîëàãàÿ äîïîëíèòåëüíî, ÷òî
�� % 0, � % 0, (13)
ïîëó÷àåì ñõîäèìîñòü èñõîäíîé è ïðèáëèæåííîé âåðîÿòíîñòåé íåðàçîðåíèÿ
| ( ) ( )| | ( ) ( )|� � � � �� � �
�x x x x K e x� � � � %� 0, � % �0 .
Îòìåòèì, ÷òî â ïðåäïîëîæåíèè (13) óñëîâèå (8) àâòîìàòè÷åñêè âûïîëíåíî
äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ ïîëîæèòåëüíûõ �, ïîñêîëüêó
e F y dy e F y dy
cy y�
�
�
�
�( ) ( ) ,
0 0
0
�� ��
% � % � .
Çàìå÷àíèå 2. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âìåñòî ðàâåíñòâà (2) äîñòàòî÷íî òðåáîâàòü
âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà
�
c
e F y dyRy ( )
0
1
� �
� .
 ñâîþ î÷åðåäü, ýòî ïðåäïîëîæåíèå âûïîëíåíî äëÿ íåêîòîðîãî R � 0, åñëè
âûïîëíåíî (7) è äëÿ íåêîòîðîãî r � 0
e F y dyry ( )
0
� �
� � .
 ñëó÷àå, êîãäà âñå ýêñïîíåíöèàëüíûå ìîìåíòû òðåáîâàíèé áåñêîíå÷íû, ò.å.
� �r 0 e F y dyry ( )
0
� �
� ��,
ñ ïîìîùüþ àíàëîãè÷íûõ ðàññóæäåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêó ñëàáåå.
À èìåííî, èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ òðåáîâàíèé, óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîñòè äîõîäà (7), à òàêæå
� � �
� �
�
�
�0
0
F y dy
c
( ) .
Òîãäà | ( ) ( )| | ( ) ( )|
~~
� � � � �� � �x x x x K� � � � , ãäå
~
| ( ) ( )|�� �� �
� �
F y F y dy
0
,
~
( )K
c
F y dy� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
0
1
.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 äàííîé ðàáîòå ðàññìîòðåíà êëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü ðèñêà, îïèñûâàþùàÿ äåÿ-
òåëüíîñòü ñòðàõîâîé êîìïàíèè. Ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ êîìïàíèè
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 83
àïïðîêñèìèðîâàíà ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí
èñêîâ. Íàéäåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ïîëó÷åíà áëèçêàÿ ñõîäèìîñòü ðåøåíèé
äëÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Lundberg F.I. Approximerad Framstallning av Sannolikhetsfunktionen, II. Aterforsakring av Kollektivrisker.
Uppsala: Almqvist & Wiksell, 1903. 53 S.
2. Lundberg F. I. Forsakringsteknisk Riskutjamning. Stockholm: F. Englunds boktryckeri À. Â., 1926. 103 S.
3. Beard R.E., Pentikainen T., Pesonen E. Risk theory. The stochastic basis of insurance. 3-rd ed. London; New
York: Chapman and Hall, 1984. 408 p.
4. Ëåîíåíêî Ì.Ì., ̳øóðà Þ.Ñ., Ïàðõîìåíêî Â.Ì., ßäðåíêî Ì.É. Òåîðåòèêî-éìîâ³ðí³ñí³ òà ñòàòèñ-
òè÷í³ ìåòîäè â åêîíîìåòðèö³ òà ô³íàíñîâ³é ìàòåìàòèö³. Ê.: ²íôîðìòåõí³êà, 1995. 380 ñ.
5. Asmussen S., Albrecher H. Ruin probabilities: sec. ed. Advanced Series on Statistical Science & Applied
Probability. Singapore: World Scientific, 2010. Vol. 14. 621 p.
6. Áîíäàðåâ Á.Â., Æìûõîâà Ò.Â. Âåðîÿòíîñòü íåðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè äëÿ ìîäåëè Êðàìå-
ðà–Ëóíäáåðãà è Ã-ðàñïðåäåëåííûõ âûïëàò. Ïðèêëàäíà ñòàòèñòèêà. Àêòóàðíà òà ô³íàíñîâà ìàòå-
ìàòèêà. 2005. ¹ 1–2. C. 54–70.
7. Áîíäàðåâ Á.Â., Áîëäûðåâà Â.Î. Àïïðîêñèìàöèÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ äëÿ ìîäåëè Êðàìåðà–Ëóíäáåð-
ãà. Ïðèêëàäíà ñòàòèñòèêà. Àêòóàðíà òà ô³íàíñîâà ìàòåìàòèêà. 2012. ¹ 1. Ñ. 13–22.
8. Òûìêî À.Â. Àïïðîêñèìàöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëîæèòåëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñìåñüþ ñäâèíóòûõ
ýêñïîíåíöèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé. ³ñíèê Äîíåöüêîãî óí³âåðñèòåòó, Ñåð. À: Ïðèðîäíè÷³ íàóêè. 2006.
Âèï. 1. Ñ. 20–25.
9. Áîëäûðåâà Â.Î. Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç äåÿòåëüíîñòè ñòðàõîâûõ êîìïàíèé, êîòîðûå ðàáîòàþò íà
( , )B S -ðûíêå: äèñ. … êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê. Èí-ò êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.
Êèåâ, 2015. 152 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 13.02.2017
Â.Î. Áîëäèðºâà, Ã.Ì. Øåâ÷åíêî
ÏÐÎ ÍÅÏÅÐÅÐÂÍÓ ÇÀËÅÆͲÑÒÜ ²ÌβÐÍÎÑÒÅÉ ÍÅÁÀÍÊÐÓÒÑÒÂÀ
Â²Ä ÔÓÍÊÖ²¯ ÐÎÇÏÎIJËÓ ÂÈÏËÀÒ Ó ÊËÀÑÈ×Í²É ÌÎÄÅ˲ ÐÈÇÈÊÓ
Àíîòàö³ÿ. ßê ìîäåëü ä³ÿëüíîñò³ ñòðàõîâî¿ êîìïàí³¿ ðîçãëÿíóòî ìîäåëü Êðà-
ìåðà–Ëóíäáåðãà. Îñê³ëüêè îòðèìàòè â ÿâíîìó âèãëÿä³ ðîçâ’ÿçîê äëÿ ôóíêö³¿
éìîâ³ðíîñò³ íåáàíêðóòñòâà ñòðàõîâî¿ êîìïàí³¿ äëÿ äîâ³ëüíîãî ðîçïîä³ëó âå-
ëè÷èí ñòðàõîâèõ ïîçîâ³â íà äàíèé ìîìåíò ïîêè ùî íå º ìîæëèâèì,
äîñë³äæóºòüñÿ çàäà÷à çíàõîäæåííÿ îö³íêè çá³æíîñò³ ïî÷àòêîâî¿ éìîâ³ðíîñò³
íåáàíêðóòñòâà äî éìîâ³ðíîñò³, ÿêó áóäå îòðèìàíî ï³ñëÿ àïðîêñèìàö³¿
ôóíêö³¿ ðîçïîä³ëó âåëè÷èí ïîçîâ³â.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ìîäåëü Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà, ïðîöåñ ðèçèêó, çá³æí³ñòü,
éìîâ³ðí³ñòü áàíêðóòñòâà.
V.O. Boldyreva, G.M. Shevchenko
ON THE CONTINUOUS DEPENDENCE OF NON-BANKRUPTCY PROBABILITY
ON PAYMENT DISTRIBUTION FUNCTION IN THE CLASSICAL RISK MODEL
Abstract. The Cramer–Lundberg model is considered as a model of insurance
company. Since it is impossible to obtain an explicit solution for the function of
non-bankruptcy probability of insurance company for an arbitrary distribution of
the values of insurance claims, the authors consider the problem of estimating
the convergence of the original non-bankruptcy probability to one that would be
obtained by approximating the values of claim distribution function.
Keywords: Cramer–Lundberg model, risk process, convergence, ruin probability.
Áîëäûðåâà Âàëåðèÿ Îëåãîâíà,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû Äîíåöêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà
èìåíè Âàñûëÿ Ñòóñà, Âèííèöà, e-mail: valery.boldyreva@gmail.com.
Øåâ÷åíêî Ãåîðãèé Ìèõàéëîâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà
èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: zhoraster@gmail.com.
84 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2
|