Оптимальное управление переносом лекарств из систем микроигл
Рассмотрены моделирование и оптимизация трансдермального транспорта лекарств из растворимых микроигл. Решена двумерная задача вертикального переноса растворимых препаратов через пористую среду с точечными источниками, имитирующими растворимые микроиглы. Показано, что, управляя интенсивностью и задав...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144866 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оптимальное управление переносом лекарств из систем микроигл / С.И. Ляшко, Д.А. Клюшин, В.В. Оноцкий, Н.И. Ляшко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 17–26. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144866 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1448662025-02-23T17:28:49Z Оптимальное управление переносом лекарств из систем микроигл Оптимальне керування перенесенням ліків із систем мікроголок Optimal control of drug delivery from microneedles systems Ляшко, С.И. Клюшин, Д.А. Оноцкий, В.В. Ляшко, Н.И. Кібернетика Рассмотрены моделирование и оптимизация трансдермального транспорта лекарств из растворимых микроигл. Решена двумерная задача вертикального переноса растворимых препаратов через пористую среду с точечными источниками, имитирующими растворимые микроиглы. Показано, что, управляя интенсивностью и задавая координаты источников, можно решить задачу оптимального управления трансдермальным переносом лекарств и достичь необходимой концентрации в эпидермисе с приемлемой точностью. Для решения начально-краевых задач использованы конечноразностные методы и двухшаговый симметризованный алгоритм. Розглянуто моделювання та оптимізацію трансдермального транспортування ліків з розчинних мікроголок. Розв’язано двовимірну задачу вертикального перенесення розчинних препаратів через пористе середовище з точковими джерелами, що імітують розчинні мікроголки. Показано, що, керуючи інтенсивністю і задаючи координати джерел, можна розв’язати задачу оптимального керування трансдермальним перенесенням ліків і досягнути необхідної концентрації в епідермісі з прийнятною точністю. Для розв’язання початково-крайових задач використано скінченнорізницеві методи і двокроковий симетризований алгоритм. We consider simulation and optimal control of transdermal drug transport from systems of solvable microneedles. We solve a two-dimensional problem of vertical transport of solvable drugs through a porous medium with point sources simulating solvable microneedles. It is shown that, by controlling the intensity and specifying the coordinates of the sources, the problem of optimal control of transdermal drug transport can be solved and a desired distribution of drugs in epidermis can be achieved with acceptable accuracy. To solve initial-boundary value problems, finite-difference methods and a two-step symmetrizable algorithm are used. Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Украины (тема № ДР 0116U004777) и Государственного фонда фундаментальных исследований (проект F74/24921). 2018 Article Оптимальное управление переносом лекарств из систем микроигл / С.И. Ляшко, Д.А. Клюшин, В.В. Оноцкий, Н.И. Ляшко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 17–26. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144866 517.977 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Кібернетика Кібернетика |
| spellingShingle |
Кібернетика Кібернетика Ляшко, С.И. Клюшин, Д.А. Оноцкий, В.В. Ляшко, Н.И. Оптимальное управление переносом лекарств из систем микроигл Кибернетика и системный анализ |
| description |
Рассмотрены моделирование и оптимизация трансдермального транспорта лекарств из растворимых микроигл. Решена двумерная задача вертикального переноса растворимых препаратов через пористую среду с точечными источниками, имитирующими растворимые микроиглы. Показано, что, управляя интенсивностью и задавая координаты источников, можно решить задачу оптимального управления трансдермальным переносом лекарств и достичь необходимой концентрации в эпидермисе с приемлемой точностью. Для решения начально-краевых задач использованы конечноразностные методы и двухшаговый симметризованный алгоритм. |
| format |
Article |
| author |
Ляшко, С.И. Клюшин, Д.А. Оноцкий, В.В. Ляшко, Н.И. |
| author_facet |
Ляшко, С.И. Клюшин, Д.А. Оноцкий, В.В. Ляшко, Н.И. |
| author_sort |
Ляшко, С.И. |
| title |
Оптимальное управление переносом лекарств из систем микроигл |
| title_short |
Оптимальное управление переносом лекарств из систем микроигл |
| title_full |
Оптимальное управление переносом лекарств из систем микроигл |
| title_fullStr |
Оптимальное управление переносом лекарств из систем микроигл |
| title_full_unstemmed |
Оптимальное управление переносом лекарств из систем микроигл |
| title_sort |
оптимальное управление переносом лекарств из систем микроигл |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Кібернетика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144866 |
| citation_txt |
Оптимальное управление переносом лекарств из систем микроигл / С.И. Ляшко, Д.А. Клюшин, В.В. Оноцкий, Н.И. Ляшко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 17–26. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT lâškosi optimalʹnoeupravlenieperenosomlekarstvizsistemmikroigl AT klûšinda optimalʹnoeupravlenieperenosomlekarstvizsistemmikroigl AT onockijvv optimalʹnoeupravlenieperenosomlekarstvizsistemmikroigl AT lâškoni optimalʹnoeupravlenieperenosomlekarstvizsistemmikroigl AT lâškosi optimalʹnekeruvannâperenesennâmlíkívízsistemmíkrogolok AT klûšinda optimalʹnekeruvannâperenesennâmlíkívízsistemmíkrogolok AT onockijvv optimalʹnekeruvannâperenesennâmlíkívízsistemmíkrogolok AT lâškoni optimalʹnekeruvannâperenesennâmlíkívízsistemmíkrogolok AT lâškosi optimalcontrolofdrugdeliveryfrommicroneedlessystems AT klûšinda optimalcontrolofdrugdeliveryfrommicroneedlessystems AT onockijvv optimalcontrolofdrugdeliveryfrommicroneedlessystems AT lâškoni optimalcontrolofdrugdeliveryfrommicroneedlessystems |
| first_indexed |
2025-11-24T02:38:24Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:38:24Z |
| _version_ |
1849637632261226496 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.977
Ñ.È. ËßØÊÎ, Ä.À. ÊËÞØÈÍ, Â.Â. ÎÍÎÖÊÈÉ, Í.È. ËßØÊÎ
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÅ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ ÏÅÐÅÍÎÑÎÌ ËÅÊÀÐÑÒÂ
ÈÇ ÑÈÑÒÅÌ ÌÈÊÐÎÈÃË1
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíû ìîäåëèðîâàíèå è îïòèìèçàöèÿ òðàíñäåðìàëüíîãî
òðàíñïîðòà ëåêàðñòâ èç ðàñòâîðèìûõ ìèêðîèãë. Ðåøåíà äâóìåðíàÿ çàäà÷à
âåðòèêàëüíîãî ïåðåíîñà ðàñòâîðèìûõ ïðåïàðàòîâ ÷åðåç ïîðèñòóþ ñðåäó
ñ òî÷å÷íûìè èñòî÷íèêàìè, èìèòèðóþùèìè ðàñòâîðèìûå ìèêðîèãëû. Ïîêà-
çàíî, ÷òî, óïðàâëÿÿ èíòåíñèâíîñòüþ è çàäàâàÿ êîîðäèíàòû èñòî÷íèêîâ,
ìîæíî ðåøèòü çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ òðàíñäåðìàëüíûì ïåðåíî-
ñîì ëåêàðñòâ è äîñòè÷ü íåîáõîäèìîé êîíöåíòðàöèè â ýïèäåðìèñå ñ ïðèåì-
ëåìîé òî÷íîñòüþ. Äëÿ ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ èñïîëüçîâàíû êî-
íå÷íîðàçíîñòíûå ìåòîäû è äâóõøàãîâûé ñèììåòðèçîâàííûé àëãîðèòì.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: òðàíñäåðìàëüíàÿ äèôôóçèÿ, ñèñòåìà ìèêðîèãë, ìîäåëè-
ðîâàíèå, îïòèìèçàöèÿ, òî÷å÷íûé èñòî÷íèê, ðàçíîñòíàÿ ñõåìà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Äëÿ ïðåîäîëåíèÿ âíåøíåãî ñëîÿ ýïèäåðìèñà, ïðåïÿòñòâóþùåãî òðàíñäåðìàëüíîìó
ïðîíèêíîâåíèþ ëåêàðñòâ â îðãàíèçì, ñîçäàíû ñèñòåìû ìèêðîèãë, îáåñïå÷èâàþ-
ùèå êîíòðîëèðóåìîå è áåçáîëåçíåííîå âûñâîáîæäåíèå äåéñòâóþùèõ ëåêàðñòâåí-
íûõ âåùåñòâ çà ïðîëîíãèðîâàííîå âðåìÿ [1, 2]. Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî âèäîâ
ìèêðîèãë: ñïëîøíûå, ïîëûå è ðàñòâîðèìûå. Ñïëîøíûå ìèêðîèãëû ïîêðûâàþò-
ñÿ äåéñòâóþùèìè âåùåñòâàìè ñíàðóæè è äîñòàâëÿþò ëåêàðñòâî, îáðàçîâûâàÿ
ìèêðîêàíàë; ïîëûå ìèêðîèãëû íàïîëíÿþòñÿ ëåêàðñòâåííûìè âåùåñòâàìè, êîòî-
ðûå âïðûñêèâàþòñÿ ïîä äàâëåíèåì èëè äåéñòâèåì ðàçíîñòè äàâëåíèÿ; ðàñòâîðè-
ìûå ìèêðîèãëû ïðîèçâîäÿòñÿ èç ïîëèìåðà, ìåäëåííî âûñâîáîæäàþùåãî õèìè-
÷åñêèé ïðåïàðàò [3]. Ðàñòâîðèìûå ìèêðîèãëû — íàèáîëåå ñîâðåìåííîå è ýôôåê-
òèâíîå ñðåäñòâî òðàíñäåðìàëüíîãî ââîäà ëåêàðñòâà [4–8].
Ðàññìîòðèì ïðîöåññ òðàíñäåðìàëüíîãî ïåðåíîñà ëåêàðñòâ ñ ïîìîùüþ ñèñòå-
ìû ðàñòâîðèìûõ ìèêðîèãë êàê íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó êîíâåêòèâíîé äèôôó-
çèè â èíòåðñòèöèàëüíîì ïðîñòðàíñòâå. Ó÷èòûâàÿ ðàçìåð è ãåîìåòðè÷åñêóþ ôîð-
ìó ìèêðîèãë, äàííóþ çàäà÷ó ñ÷èòàåì äâóìåðíîé, à ìèêðîèãëû èíòåðïðåòèðóåì
êàê òî÷å÷íûå èñòî÷íèêè ñ îïðåäåëåííîé èíòåíñèâíîñòüþ. Óïðàâëÿÿ èíòåíñèâ-
íîñòüþ è çàäàâàÿ êîîðäèíàòû èñòî÷íèêîâ-ìèêðîèãë, ìîæíî ðåøèòü çàäà÷ó îïòè-
ìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðîöåññîì òðàíñäåðìàëüíîãî ïåðåíîñà ëåêàðñòâà è äîñòè÷ü
åãî öåëåâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â ýïèäåðìèñå.
Ðåøåíèþ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äèôôóçèè ëåêàðñòâ, ââîäèìûõ â ýïèäåð-
ìèñ ñ ïîìîùüþ ñèñòåì ìèêðîèãë, ïîñâÿùåíî ìíîãî ðàáîò, â ÷àñòíîñòè [9–12].
Îäíàêî îíè èìåþò îäèí îáùèé íåäîñòàòîê: îïòèìèçàöèÿ ïðîöåññà ïåðåíîñà ëå-
êàðñòâ îñóùåñòâëÿåòñÿ â íèõ ýìïèðè÷åñêè — ïóòåì ïåðåáîðà íàáîðà ïàðàìåòðîâ.
Ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ òðàíñäåðìàëüíûì ïåðåíîñîì ëå-
êàðñòâà ñ ó÷åòîì êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè è òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâ ïîçâîëÿåò ïî-
ëó÷èòü ñòðîãî îáîñíîâàííîå çíà÷åíèå öåëåâîé èíòåíñèâíîñòè è îáåñïå÷èòü íåîá-
õîäèìóþ êîíöåíòðàöèþ ëåêàðñòâà â çàäàííûé ìîìåíò âðåìåíè [13–19].
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 17
1
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Óêðàèíû
(òåìà ¹ ÄÐ 0116U004777) è Ãîñóäàðñòâåííîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé (ïðîåêò
F74/24921).
© Ñ.È. Ëÿøêî, Ä.À. Êëþøèí, Â.Â. Îíîöêèé, Í.È. Ëÿøêî, 2018
ÊÎÍÂÅÊÒÈÂÍÀß ÄÈÔÔÓÇÈß ËÅÊÀÐÑÒÂÀ ÏÐÈ ÒÐÀÍÑÄÅÐÌÀËÜÍÎÌ ÏÅÐÅÍÎÑÅ
Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ òðàíñäåðìàëüíîãî ïåðåíîñà ëåêàðñòâ ïðèìåíèì ìîäåëü
Êàëëàôà–Äàñà [11].  ñîîòâåòñòâèè ñ íåé äâèæåíèå ÷àñòèö äåéñòâóþùåãî âå-
ùåñòâà â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè G T L L T� � � � �( , ) [ , ] [ , ] ( , )0 0 0 01 2 � èíòåðñòè-
öèàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà îïèñûâàåòñÿ âòîðûì çàêîíîì Ôèêà.
Ðàññìîòðèì ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ ëåêàðñòâà â òêàíè â ðåçóëüòàòå äèôôóçèè
èç ìèêðîèãë â òî÷êàõ x � âñëåäñòâèå èíúåêòèâíîãî ââåäåíèÿ. Äîïóñòèì, ÷òî êî-
îðäèíàòû îòâåðñòèé ìèêðîèãë èçâåñòíû çàðàíåå. Âêëþ÷èì â ìîäåëü òî÷å÷íûå
èñòî÷íèêè Q t Q t Q t Q tp( ) ( ( ), ( ), ... , ( ))� 1 2 è ââåäåì ñïåöèàëüíîå îáîçíà÷åíèå
� � � �( ) ( ( ), ( ), , ( ))x x r x r x rp� � � �1 2 � , ó÷èòûâàþùåå òî÷å÷íóþ ïðèðîäó èñòî÷-
íèêîâ. Òî÷êè r� îïðåäåëÿþò ðàñïîëîæåíèå èñòî÷íèêîâ ëåêàðñòâà ñ íåèçâåñòíû-
ìè ìîùíîñòÿìè Q � . Îòäåëüíûé òî÷å÷íûé èñòî÷íèê èíòåðïðåòèðóåì êàê îòäåëü-
íóþ ðàñòâîðèìóþ ìèêðîèãëó. Íåñêîëüêî èñòî÷íèêîâ ìîãóò îïèñûâàòü ïîñòóïëå-
íèå ëåêàðñòâà èç íåñêîëüêèõ ðàñòâîðèìûõ ìèêðîèãë. Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü
ìîùíîñòè Q t� ( ), � �1, p, ìèíèìèçèðóþùèå ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå
îò öåëåâîé êîíöåíòðàöèè �( , )x t , ïîëîæèâ � �S x Q t x( ) ( ) ( )� . Ðåøèì çàäà÷ó
Lu
u
t
Au S R�
�
�
� � �� � , x t T
��, 0 , (1)
�
�
�
�
�
��
�
�
�� � �
�
�
D
u
x
u u u t
x
x L
1 0
1
1
1 1
0� , ( ) , (2)
u u t u u t
x x L2 2 20 2 3� �
� �( ), ( ), (3)
u
t�
�
0
0, (4)
ãäå Au u D u� �div grad( )� , u x t( , ) — êîíöåíòðàöèÿ ðàñòâîðà ëåêàðñòâà â èí-
òåðñòèöèàëüíîì ïðîñòðàíñòâå, ã/ìîëü; � — ñêîðîñòü èíòåðñòèöèàëüíîé æèä-
êîñòè, íàïðàâëåííîé âäîëü ìèêðîèãëû, ñì/ñ; D — êîýôôèöèåíò äèôôó-
çèè, cì2/c; �S x( ) — èñòî÷íèê ëåêàðñòâ, ïîñòóïàþùèõ â òêàíü, ã/ìîëü·ñ;
�R x( ) — ôóíêöèÿ ýêñòðàâàñêóëÿðíîãî ñâÿçûâàíèÿ ëåêàðñòâà çà ñ÷åò õèìè-
÷åñêèõ ðåàêöèé, ã/ìîëü·ñ.
Ñôîðìóëèðóåì ýêâèâàëåíòíóþ çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ è áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó ( ( ))L G p
2 .
Ôóíêöèîíàë êà÷åñòâà çàïèøåì â âèäå
J Q u x t x t dxdt Q
T
� � �( ) ( ( , ) ( , )) | | | |� � ���
2
0
2
�
, (5)
ãäå Q Q t Q t Q tp� ( ( ), ( ), , ( ))1 2 �
T — âåêòîð óïðàâëåíèÿ, � � 0 — ïàðàìåòð ðå-
ãóëÿðèçàöèè. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ìèíèìèçèðóåò ôóíêöèîíàë (5):
J Q J Q
Q L G
p
� �( ) min ( )
( ( ))
�
�
2
. (6)
ÒÅÎÐÅÌÛ Î ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÈ ÐÅØÅÍÈß
Ïóñòü H — ïîïîëíåíèå ïðîñòðàíñòâà ãëàäêèõ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèÿì (1)–(4) ïî íîðìå
| | | |
,
u u u u dx
H t x
i
n
x x
i j
n
i i j
2 2 2
1
2
1
� � �
�
�
�
�
�
�
�� � �
� ��
,
18 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
H� — àíàëîãè÷íîå ïðîñòðàíñòâî ãëàäêèõ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ êðàåâûì
è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ñîïðÿæåííîé çàäà÷è. Ðàñøèðèì îïåðàòîð L íà H ïî íå-
ïðåðûâíîñòè, ó÷èòûâàÿ êðàåâûå óñëîâèÿ. Ïîëó÷èì îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå
Lu f� , (7)
ãäå f Q� �� . Âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû [14].
Òåîðåìà 1. Äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà f H �
�( ) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ñëà-
áîå ðåøåíèå çàäà÷è (7) â ñìûñëå ( , ) ,( )u L fL G
�
�� � �� �
2
� �� H , u L G 2 ( ).
Òåîðåìà 2. Ïóñòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñëàáîå ðåøåíèå çàäà-
÷è (7) è âûïîëíÿþòñÿ òàêèå óñëîâèÿ: êðèòåðèé êà÷åñòâà J L G Rp
� : ( ( ))2
1
� —
ñëàáîïîëóíåïðåðûâíûé ñíèçó ïî ñîñòîÿíèþ ñèñòåìû u x t( , ) ôóíêöèîíàë, îãðàíè-
÷åííûé ñíèçó è ñòðîãî âûïóêëûé, ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé
U L G p
� � ( ( ))2 — îãðàíè÷åííîå, çàìêíóòîå è âûïóêëîå ìíîæåñòâî â ãèëüáåðòî-
âîì ïðîñòðàíñòâå U H� � . Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå îïòèìàëüíîå óïðàâ-
ëåíèå ñèñòåìîé (1)–(4).
ÀËÃÎÐÈÒÌ
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ôóíêöèîíàë (5) è ïîëó÷èì
� � �J Q t Q t� �( ) ( ) ( )� 2 ,
ãäå �( ) ( ( , ), ( , ), , ( , ))t r t r t r tp p� � � �1 1 2 2 �
T — âåêòîð çíà÷åíèé ðåøåíèÿ ñî-
ïðÿæåííîé çàäà÷è â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ. Óðàâíåíèå Ýéëåðà äëÿ ôóíêöè-
îíàëà êà÷åñòâà ïðèîáðåòàåò òàêîé âèä:
�( ) ( )t Q t� �2 0� .
Àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è òî÷å÷íîãî îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñîñòîèò èç
òðåõ ýòàïîâ (k — íîìåð èòåðàöèè).
1. Ðåøåíèå ïðÿìîé çàäà÷è
�
�
� �
�
u
t
Au f t T
k
k k
( )
( ) ( ) , 0 , (8)
u k( ) ( )0 0� . (9)
2. Ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷è
�
�
�
� � �
���
� �
( )
( ) ( ( , ) ( , )),
k
k
t
A u x t x t t T2 0 , (10)
� ( ) ( )k T � 0. (11)
3. Âû÷èñëåíèå íîâîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ
Q Q
Q k
k k
k
k k
( ) ( )
( ) ( ) , , , ...
�
�
�
� � � �
1
1
2 0 0 1
�
�� (12)
ÐÀÇÍÎÑÒÍÀß ÑÕÅÌÀ
Íà êàæäîé èòåðàöèè ïîñëåäîâàòåëüíî ðåøàåì ïðÿìûå çàäà÷è (8), (9) äëÿ îñíîâ-
íîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ïðè ôèêñèðîâàííûõ n N�1 2, , ,� è çàäà÷è (10), (11)
äëÿ ñîïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ ïðè n N N� �, , ,1 1� ñ èñïîëüçîâàíèåì äâóõøàãî-
âîãî ñèììåòðèçîâàííîãî àëãîðèòìà (ÄÑ-àëãîðèòìà) [15]. Ðàññìîòðèì îáùèé
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 19
ñëó÷àé, êîãäà � � � � � �[ , ] [ , ] [ , ]a b a b a b Rp p
p
1 1 2 2 � — p-ìåðíûé ïàðàëëåëå-
ïèïåä. Îáëàñòü � ïîêðîåì ñåòêîé � h k kx x, , ,( , ,...� �{ 1 21 2
, , ) |, ,x t x a k hp k s k s s sp s
� � ,
t n� �, k Ms s� 0, , n N t� 0, ; h b a Ms s s s� �( ) / , s p�1, , �� 0}, êîòîðóþ ðàçîáüåì
íà äâà ïîäìíîæåñòâà: �
h
n
,
( , )
�
1 è �
h
n
,
( , )
�
2 . Ê ïåðâîìó ïîäìíîæåñòâó îòíåñåì âñå
òî÷êè ( , , ... , , ), , , ,x x x tk k p k n hp1 21 2
� � , äëÿ êîòîðûõ ( )k k k np1 2� � � �� — íå-
÷åòíîå ÷èñëî, à êî âòîðîìó — òå òî÷êè, äëÿ êîòîðûõ ( )k k k np1 2� � � �� —
÷åòíîå ÷èñëî. Ïîëîæèì k k k k ks s p� � � �1 11 2( , , , , , )� ; k k k k p� ( , , , )1 2 � . Íà
âíóòðåííèõ òî÷êàõ ñåòî÷íîãî ìíîæåñòâà �
h
n
,
( , )
�
1 1� çàäàäèì ñåìåéñòâî ðàçíîñò-
íûõ ñõåì
u u Cu Du F V
k
i n
k
i n
k
i n
k
i n
k
i n
k
i n, , , , , ,( )� � � � �1 � � , (13)
à íà âíóòðåííèõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà �
h
n
,
( , )
�
2 1� — ðàçíîñòíûõ ñõåì
u u Cu Du F V
k
i n
k
i n
k
i n
k
i n
k
i n
k
i n, , , , , ,( )� � � � �� � � �1 1 1 1 1� � . (14)
Çäåñü i — íîìåð èòåðàöèè, Cu c
u u
hk
i n
s k
s
p
k
i n
k
i n
s
s
s s,
,
, ,
�
�
�
� ��
1
1 1
2
— ðàçíîñòíàÿ àïïðîê-
ñèìàöèÿ îïåðàòîðà êîíâåêòèâíîãî ïåðåíîñà C, Cu u� div ( )� , Du k
k
i n
k
s
p
s
, � �
�
�
1
�
� �
� �
u u u
h
k
i n
k
i n
k
i n
s
s s1 1
2
2, , ,
, n N�1, , — ðàçíîñòíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ îïåðàòîðà äèô-
ôóçíîãî ïåðåíîñà D , Du D u� div grad( ),
F V
V n x x x r
k
i n
k
i n j k k p k jp, , , , ,( ) ( , , ... ) ,� � �
�1 1 1 21 2
� ïðè
0 â ïðîòèâíîì ñëó àå� .
�
�
Ðàçíîñòíûå ñõåìû äîïîëíÿþòñÿ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
u k h k h k h k M s p
k
i i
p p s s
, ( ) ( , , ..., ), , , ,0
0 1 1 2 2 0 1� � � , (15)
è êðàåâûìè óñëîâèÿìè
u k
k
i n
s
, ,� � �1 0 0 èëè k M s ps s� �, ,1 . (16)
Ðåøåíèå çàäà÷è íàõîäèì ïîñëåäîâàòåëüíî ïðè n N t� �0 1 2 1, , , ,� , èñïîëüçóÿ
âíà÷àëå ÿâíîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå (13) âî âñåõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà �
h
n
,
( , )
�
1 1� ,
à çàòåì íåÿâíîå (14) âî âñåõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà �
h
n
,
( , )
�
2 1� . Ðåøåíèåì ñ÷èòàåì
çíà÷åíèÿ, ïîëó÷åííûå íà ÷åòíûõ âðåìåííûõ øàãàõ.
Àíàëîãè÷íî äëÿ ñîïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ ðàçíîñòíûå ñõåìû ÄÑ-àëãîðèòìà
èìåþò âèä
� � � � � �
k
i n
k
i n
k
i n
k
i n
k
i nC D Z, , , , ,( )� � � � �1 , ( , , ..., ) ,, , , , ,
( , )x x x tk k p k n h
n
p1 2 1
1 1
1 2 �
� �
�
(17)
� � � � � �
k
i n
k
i n
k
i n
k
i n
k
i nC D Z, , , , ,( )� � � �� � � �1 1 1 1, (18)
( , , ... , ), , , , ,
( , )x x x tk k p k n h
n
p1 2 1
2 1
1 2 �
� �
�
,
20 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
ãäå Z u t
k
i n
k
i n i
n
, , ( )( ( ))� �2 ,
�
k
i T
s sk M s p, , , , ,� � �0 0 1 , (19)
�
k
i n
sk, ,� � �1 0 0 èëè k M s ps s� �, ,1 . (20)
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòèõ ñõåì ðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî, íà÷èíàÿ
ñ n N t� , N t �1 1, ,� .
Òåîðåìà 3. Ñõåìû ÄÑ-àëãîðèòìà (13), (14) è (17), (18) äëÿ íà÷àëüíî-êðàåâûõ
çàäà÷ (8), (9) è (10), (11) ñîîòâåòñòâåííî èìåþò ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè
O h h hp( )�2
1
2
2
2 2� � � �� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ìåòîä ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ,
ò.å. ðàçëîæåíèå ôóíêöèé u è � â ðÿä Òåéëîðà â òî÷êàõ ( , , ..., , ), , ,x x x tk k p k np1 2 2 11 2 �
è ( , , ... , , ), , ,x x x tk k p k np1 2 2 11 2 � ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷àåì ïîãðåøíîñòü àïïðîêñè-
ìàöèè ÄÑ-àëãîðèòìîâ (13)–(16) è (17)–(20)
�( , ) ( )� �h O h h hp� � � � �
1
2
2
2 2
� .
Òåîðåìà 4. Åñëè ôóíêöèÿ íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
0
( ) ( )i ðàñêëàäûâàåòñÿ
â àáñîëþòíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä Ôóðüå
u k h k h k h
k
i i
p p
, ( ) ( , , ..., )0
0 1 1 2 2� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��!
!
� �
�� �
m
m m m
q
p
s
s
p
s s
q
p
B I k h m
1 2
1 1
, ,... , exp � ,
à ïàðàìåòðû � è hs, s p�1, , ïîñòîÿííûå èëè èçìåíÿþòñÿ íå ÷àùå ÷åì ÷åðåç
÷åòíîå êîëè÷åñòâî øàãîâ, òî ÄÑ-àëãîðèòìû (13)–(16) è (17)–(20) äëÿ íà÷àëü-
íî-êðàåâûõ çàäà÷ (8), (9) è (10), (11) ñîîòâåòñòâåííî ÿâëÿþòñÿ áåçóñëîâíî
óñòîé÷èâûìè ïî íà÷àëüíûì äàííûì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
u B m m m Ii
n
m
m m m
s
p
n
p
s
p
2
1
1 21 2
�
�� !
!
�
�� , ,..., ( , , ..., )exp� � i h ms
s
p
s s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
, (21)
ãäå Bm m mp1 2, , ,�
— êîýôôèöèåíòû ðÿäà Ôóðüå (15), I � �1. Ïàðàìåòðû
� � �( , , ... , ) ( , , , ) ( , , ..., )m m m m m m m m mp p p1 2 1 1 2 2 1 2� � îïðåäåëèì òàê, ÷òîáû
ðÿä (21) ñõîäèëñÿ è åãî ãàðìîíèêè óäîâëåòâîðÿëè ñîîòâåòñòâóþùèì ðàçíîñò-
íûì óðàâíåíèÿì (13), (14) ïðè f � 0. Ãàðìîíèêè ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è,
ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ÿâíûõ è íåÿâíûõ ñõåì, îáîçíà÷èì êàê
~ ( , , , )exp
, , , , ,u B m m m I i
i j k
n
m m m
n
p s
s
p
2 1
1
2 1
1 21 2
� �
�
�
�
�� �
1
p
s sh m�
�
�
�
�
�
�
�
,
~~ ( , , , ) exp, , ,u B m m m I ii
n
m m m
n
p s
s
p
p
2 2
2
2 2
1 2
1
1 2
� �
�
� ��
�� � h ms s
�
�
�
�
�
�
�
.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 21
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ãàðìîíèê ðÿäà â (13) è (14) ïîëó÷èì
� �
2
2 2
1 2 1 2 2
2
1 2
n
p p
n
pm m m g m m m m m m� �( , , , ) ( , , , ) ( , , ..., )� � , (22)
g m m m d Ia d Iap( , ,... , ) ( )( )1 2
11 1� � � � � � , (23)
ãäå a h c h ms
s
p
s s s� �
�
�� �1
1
sin ( ), d k h h m bs
s
p
s s s� � �
�
��� �
1
2 1( cos ( )) . Ïîñêîëüêó cs � 0,
ks � 0, b� 0, íåðàâåíñòâî | ( , , , ) |g m m mp1 2 1� � âûïîëíÿåòñÿ �ms, s p�1, . Ïðè âû-
ïîëíåíèè óñëîâèÿ òåîðåìû q g m m m
m m
p
p
� �max | ( , , , ) |
,...,1
1 2 1� . Ïîäñòàíîâêà ãàðìîíèê
ðåøåíèÿ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèé (13) è (14) ïðåâðàùàåò èõ â òîæäåñòâà �m m1 2, ,�
...,mp � 0, � �1 2, ,� Óìíîæèì îáå ÷àñòè (22) íà B I i h mm m m s
s
p
s sp1 2
1
, , , exp
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Ïîñëå ñóììèðîâàíèÿ ðåçóëüòàòà ïî âñåì m m1 2, ,� , mp � 0, � �1 2, ,� óñòàíîâèì
ìàæîðàíòíóþ îöåíêó
| | ( , , ..., ) exp, , ,u B m m m Ii
n
m
m m m
s
p
n
p
s
p
2
1
1 21 2
�
�� !
!
�
�� �
� � i h ms
s
p
s s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
�
��!
!
�� !
!
� �q Bn
m m
m m m
p
p
1
1 2
�
�
| |, , , , (24)
êîòîðàÿ ïîäòâåðæäàåò ñõîäèìîñòü ðÿäà (21). Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ (21) ÿâ-
ëÿåòñÿ òî÷íûì ðåøåíèåì ñèñòåìû ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé (13), (14) ïðè f � 0.
Âîñïîëüçîâàâøèñü äèñêðåòíûì àíàëîãîì íîðìû â ïðîñòðàíñòâå L2 ( , )�� � , ïî-
ñëå îöåíèâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ äëÿ ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõå-
ìû ïîëó÷èì
| | | | ( , , , )e, , ,u B m m mn
L
m
m m m
s
p
n
p
h
s
p
2 2
1
1 2
2 1 2
�
�� !
!
�
�� �
�� xp I i h m h hs
s
p
s s�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
1 2
� �
��
��q u h q un
i
i
M
s
p
s
n
Ls
s
p
h
2 0 2
11
0 2
2
| | | | | | .
Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî óñòàíàâëèâàåò óñòîé÷èâîñòü àëãîðèòìà (13), (14) äëÿ
îäíîðîäíîé çàäà÷è (8), (9) ïî íà÷àëüíûì äàííûì. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ
óñòîé÷èâîñòü ÄÑ-àëãîðèòìà (17)–(20) äëÿ îäíîðîäíîé çàäà÷è (10), (11). Óñòîé-
÷èâîñòü ÄÑ-àëãîðèòìà äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ íåîäíîðîäíûõ çàäà÷ (8), (9) è
(10), (11) ñëåäóåò èç ñîîáðàæåíèé, ïðèâåäåííûõ â [15].
Òåîðåìà äîêàçàíà.
ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÛÉ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒ
Ïðÿìàÿ òåñòîâàÿ çàäà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïðÿìîóãîëüíîé îáëàñòè � ,
L1 10� ñì, L2 10� ñì, ñ çàâåäîìî çàäàííûìè èíòåíñèâíîñòÿìè èñòî÷íèêîâ-èãë
ñ ôèçè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè, èñïîëüçîâàííûìè â ðàáîòàõ [7, 10, 11]: 1) ïðî-
äîëæèòåëüíîñòü âû÷èñëåíèé tm � 8 ÷; 2) ïðîäîëæèòåëüíîñòü ââîäà ëåêàðñòâà
td � 4 ÷; 3) ñèñòåìà ìèêðîèãë èìååò ïðÿìîóãîëüíóþ ôîðìó ðàçìåðà 2 2� ñì,
22 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
ñõåìà ðàñïîëîæåíèÿ ìèêðîèãë ðàâíîìåðíàÿ: 4 4� ; 4) âåùåñòâî, ââîäèìîå ïîä
êîæó: ôåíòàíèë, êîýôôèöèåíò äèôôóçèè D � 9,75 � �10 8 ñì2/ñóò, ñêîðîñòü êîí-
âåêòèâíîãî ïåðåíîñà � � 0 ñì/ñ; 5) ýòàëîííîå çíà÷åíèå èíòåíñèâíîñòè êàæäîé
ìèêðîèãëû: 11,422 ìë/÷.
Âõîäíûå êîîðäèíàòû x1, x2 èñòî÷íèêîâ ìèêðîèãë çàäàíû â òàáë. 1.
Äëÿ ðåøåíèÿ ñîïðÿæåííîé çàäà÷è èñïîëüçóåòñÿ ÷èñëåííîå ðåøåíèå ïðÿìîé
çàäà÷è u, ïîëó÷åííîå íà ïðåäøåñòâóþùåì ýòàïå; öåëåâàÿ êîíöåíòðàöèÿ �( , )x t
ñîîòâåòñòâóåò ýòàëîííîìó çíà÷åíèþ èíòåíñèâíîñòè êàæäîãî èñòî÷íèêà. Ïðè
ýòîì ïðÿìàÿ çàäà÷à èìååò âèä
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
�u
t
D
u
x
u
x
Q t x ri
i
i
x
2
1
2
2
2
2
1
2
1( ) ( )� � ( )x ri
x� 2
ñ íà÷àëüíûìè è êðàåâûìè óñëîâèÿìè (2)–(4).
Ñîïðÿæåííàÿ çàäà÷à èìååò âèä
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
t
D
x x
u
2
1
2
2
2
2
2( )
ñ íà÷àëüíûìè è êðàåâûìè óñëîâèÿìè (19), (20).
Ïàðàìåòðû êîíå÷íîðàçíîñòíîãî àëãîðèòìà (ÄÑ-àëãîðèòìà): h hx x1 2
1 10� � / ,
� �1 60/ ; ïàðàìåòðû èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà: �k � 0,1, � � 0. Íà÷àëüíîå ïðèáëè-
æåíèå èíòåíñèâíîñòè èñòî÷íèêîâ: Q ( )0 5� ìë/÷.
Ýôôåêòèâíîñòü àëãîðèòìà îáóñëîâëåíà óñòðàíåíèåì íåîáõîäèìîñòè ðåøå-
íèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé íà êàæäîì èòåðàöèîííîì øàãå.
Èñïîëüçîâàíèå ÄÑ-àëãîðèòìà ñóùåñòâåííî ñîêðàùàåò âðåìÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è
èäåíòèôèêàöèè. Ïðè ýòîì òî÷íîñòü ðàçíîñòíîãî àëãîðèòìà ñîâïàäàåò ñ òî÷íîñ-
òüþ íåÿâíûõ ñõåì, à ñòîéêîñòü âûøå, ÷åì â ÿâíûõ ñõåìàõ.
 ïðîöåññå ýêñïåðèìåíòà âûïîëíåíî 100 èòåðàöèé äëÿ èäåíòèôèêàöèè
16 íåèçâåñòíûõ èñòî÷íèêîâ-ìèêðîèãë íà êîìïüþòåðå ñ ïðîöåññîðîì AMD
Athlon(tm) 64 X2 Dual Core Processor 4200+, ÷àñòîòîé 2.21 ÃÃö, îïåðàòèâíîé ïà-
ìÿòüþ 3 Ãáàéò (âðåìÿ âûïîëíåíèÿ — 99 ñ). Ðåçóëüòàòû ïîêàçàëè âûñîêóþ òî÷-
íîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (ðèñ. 1), óáûâàíèå ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà (ðèñ. 2), õîðîøåå
ïðèáëèæåíèå íàéäåííûõ èíòåíñèâíîñòåé èñòî÷íèêîâ ê ýòàëîííîìó çíà÷åíèþ
11,422 ìë/÷ (òàáë. 2). Ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå íàéäåííûõ çíà÷åíèé èíòåíñèâ-
íîñòè îò ýòàëîííûõ ñîñòàâèëî ìåíüøå 2 %.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 23
Ò à á ë è ö à 1
Íîìåð
èñòî÷íèêà
Âõîäíûå êîîðäèíàòû
èñòî÷íèêîâ Íîìåð
èñòî÷íèêà
Âõîäíûå êîîðäèíàòû
èñòî÷íèêîâ
x1 x2 x1 x2
1 30.0 30.0 9 31.0 30.0
2 30.0 30.5 10 31.0 30.5
3 30.0 31.0 11 31.0 31.0
4 30.0 31.5 12 31.0 31.5
5 30.5 30.0 13 31.5 30.0
6 30.5 30.5 14 31.5 30.5
7 30.5 31.0 15 31.5 31.0
8 30.5 31.5 16 31.5 31.5
Ñðàâíèâ ðèñ. 1 è 2, îòìåòèì, ÷òî íà
ðèñ. 2 ïîêàçàíî ïåðåðàñïðåäåëåíèå êîí-
öåíòðàöèè ðàñòâîðà ëåêàðñòâà: óìåíü-
øåíèå ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ â òî÷êàõ
èñòî÷íèêîâ è óâåëè÷åíèå çíà÷åíèÿ â èõ
îêðåñòíîñòÿõ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå ïðåäëîæåíî è îáîñíîâàíî
èñïîëüçîâàíèå äâóõøàãîâîãî ñèììåò-
ðèçîâàííîãî ðàçíîñòíîãî àëãîðèòìà
äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è èäåí-
òèôèêàöèè èíòåíñèâíîñòè òî÷å÷íûõ
èñòî÷íèêîâ-ìèêðîèãë ñ èçâåñòíûìè
êîîðäèíàòàìè. Ïðèâåäåííàÿ ìåòîäèêà ïîçâîëÿåò ïðîãíîçèðîâàòü îïòèìàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå êîíöåíòðàöèè ëåêàðñòâà, à òàêæå îáåñïå÷èâàòü íåîáõîäèìóþ
êîíöåíòðàöèþ â çàäàííûé ìîìåíò âðåìåíè.
24 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Ò à á ë è ö à 2
Íîìåð
èñòî÷íèêà
Âõîäíûå êîîðäèíàòû
èñòî÷íèêîâ
Ýòàëîííîå
çíà÷åíèå,
Q
Íîìåð
èñòî÷íèêà
Âõîäíûå êîîðäèíàòû
èñòî÷íèêîâ
Ýòàëîííîå
çíà÷åíèå,
Q
x1 x2 x1 x2
1 30.0 30.0 11.229 9 31.0 30.0 11.229
2 30.0 30.5 11.202 10 31.0 30.5 11.202
3 30.0 31.0 11.229 11 31.0 31.0 11.229
4 30.0 31.5 11.202 12 31.0 31.5 11.202
5 30.5 30.0 11.229 13 31.5 30.0 11.202
6 30.5 30.5 11.202 14 31.5 30.5 11.229
7 30.5 31.0 11.229 15 31.5 31.0 11.202
8 30.5 31.5 11.202 16 31.5 31.5 11.229
Ðèñ. 1. Ðàñïðåäåëåíèå êîíöåíòðàöèè ðàñòâîðà ëåêàðñòâà, ïîëó÷åííîå ðåøåíèåì ïðÿìîé çàäà÷è
ñ ýòàëîííîé èíòåíñèâíîñòüþ â ìîìåíòû âðåìåíè: t � 4 ÷ (à); t � 8 ÷ (á)
à á
Ðèñ. 2. Ãðàôèê óáûâàíèÿ ôóíêöèîíàëà êà-
÷åñòâà â õîäå èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà
k
log ( )1� J
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Kaushik S., Hord A.H., Denson D.D. et al. Lack of pain associated with microfabricated
microneedles. Anesth. Analg. 2001. Vol. 92. P. 502–504.
2. Sivamani R.K., Stoeber B., Wu G.C. et al. Clinical microneedle injection of methylnicotinate:
stratum corneum penetration. Skin Res. Tech. 2005. Vol. 11, N 11. P. 152–156.
3. Prausnitz M.R., Mitragotri S., Langer R. Current status and future potential of transdermal drug
delivery. Nat. Rev. Drug. Discov. 2004. Vol. 3. P. 115–124.
4. Lee J.W., Choi S.-O., Felner E.I., Prausnitz M.R. Dissolving microneedle patch for transdermal
delivery of human growth hormone. Small. 2001. Vol. 7. P. 531–539.
5. Sullivan S.P., Murthy N., Prausnitz M.R. Minimally invasive protein delivery with rapidly dissolving
polymer microneedles. Adv. Mater. 2008. Vol. 20. P. 933–938.
6. Lahiji S.F., Dangol M., Jung H. A patchless dissolving microneedle delivery system enabling rapid
and efficient transdermal drug delivery. Scientific Reports. 2015. Vol. 5. Article number: 7914.
DOI:10.1038/srep07914. URL: http://www.nature.com/articles/srep07914.
7. Ita K. Transdermal delivery of drugs with microneedles — potential and challenges. Pharmaceutics.
2015. Vol. 7, N 3. P. 90–105.
8. Kalia Y.N., Guy R.H. Modeling transdermal drug release. Adv. Drug Deliv. Rev. 2001. Vol. 48.
P. 159–172.
9. Rim J.E., Pinsky P.M., Van Osdol W.W. Finite element modeling of coupled diffusion with
partitioning in transdermal drug delivery. Ann. Biomed. Eng. 2005. Vol. 33. P. 1422–1438.
10. Al-Qallaf B., Das D.B., Mori D., Cui Z. Modelling transdermal delivery of high molecular weight
drugs from microneedle systems. Phil. Trans. R. Soc. A. 2007. Vol. 365. P. 2951–2967.
11. Al-Qallaf B., Das D.B. Optimization of square microneedle arrays for increasing drug permeability
in skin. Chemical Engineering Science. 2008. Vol. 63, N 9. P. 2523–2535.
12. Olatunji O., Das D.B., Nassehi V. Modelling transdermal drug delivery using microneedles: Effect
of geometry on drug transport behaviour. J. Pharm. Sci. 2012. Vol. 101, N 1. P. 164–175.
13. Êëþøèí Ä.À., Îíîï÷óê Þ.Í., Ëÿøêî Í.È. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è îïòèìèçàöèÿ
âíóòðèîïóõîëåâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ëåêàðñòâ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2007. ¹ 6.
C. 147–154.
14. Lyashko S.I. Generalized optimal control of linear systems with distributed parameters. Amsterdam:
Kluwer Acad. Publ., 2002. 455 p.
15. Lyashko N. I., Grishchenko A. E., Onotskii V. V. A regularization algorithm for singular controls of
parabolic systems. Cybernetics and Systems Analysis. 2006. Vol. 42, N 1. P. 75–82.
16. Lyashko S.I., Nomirovskii D.A. Generalized solutions and optimal controls in systems describing the
dynamics of a viscous stratified fluid. Differential Equations. 2003. Vol. 39, N 1. P. 90–98.
17. Lyashko S.I., Semenov V.V. On the controllability of linear distributed systems in classes of
generalized actions. Cybernetics and Systems Analysis. 2001. Vol. 37, N 1. P. 13–32.
18. Klyushin D.A., Lyashko S.I., Nomirovsky D.A., Petunin Yu.I., Semenov V.V. Generelized solutions
of operator equations and extreme elements. New York; Dordrecht; Heidelberg; London: Springer,
2012. 200 p.
19. Lyashko S.I., Klyushin D.A., Nomirovsky D.A., Semenov V.V. Identification of age — structured
contamination sources in ground water. Optimal Control of Age — Structured Populations in
Economy, Demography, and the Invironment. Boucekkline R. et al. (Eds.). London; New York:
Routledge, 2010. 295 p.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 30.06.2017
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 25
Ñ.². Ëÿøêî, Ä.À. Êëþøèí, Â.Â. Îíîöüêèé, Í.². Ëÿøêî
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÅ ÊÅÐÓÂÀÍÍß ÏÅÐÅÍÅÑÅÍÍßÌ Ë²Ê²Â ²Ç ÑÈÑÒÅÌ Ì²ÊÐÎÃÎËÎÊ
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ìîäåëþâàííÿ òà îïòèì³çàö³þ òðàíñäåðìàëüíîãî òðàí-
ñïîðòóâàííÿ ë³ê³â ç ðîç÷èííèõ ì³êðîãîëîê. Ðîçâ’ÿçàíî äâîâèì³ðíó çàäà÷ó
âåðòèêàëüíîãî ïåðåíåñåííÿ ðîç÷èííèõ ïðåïàðàò³â ÷åðåç ïîðèñòå ñåðåäîâèùå
ç òî÷êîâèìè äæåðåëàìè, ùî ³ì³òóþòü ðîç÷èíí³ ì³êðîãîëêè. Ïîêàçàíî, ùî,
êåðóþ÷è ³íòåíñèâí³ñòþ ³ çàäàþ÷è êîîðäèíàòè äæåðåë, ìîæíà ðîçâ’ÿçàòè çà-
äà÷ó îïòèìàëüíîãî êåðóâàííÿ òðàíñäåðìàëüíèì ïåðåíåñåííÿì ë³ê³â ³ äîñÿã-
íóòè íåîáõ³äíî¿ êîíöåíòðàö³¿ â åï³äåðì³ñ³ ç ïðèéíÿòíîþ òî÷í³ñòþ. Äëÿ ðîç-
â’ÿçàííÿ ïî÷àòêîâî-êðàéîâèõ çàäà÷ âèêîðèñòàíî ñê³í÷åííîð³çíèöåâ³ ìåòîäè ³
äâîêðîêîâèé ñèìåòðèçîâàíèé àëãîðèòì.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: òðàíñäåðìàëüíà äèôóç³ÿ, ñèñòåìà ì³êðîãîëîê, ìîäåëþâàí-
íÿ, îïòèì³çàö³ÿ, òî÷êîâå äæåðåëî, ð³çíèöåâà ñõåìà.
S.I. Lyashko, D.A. Klyushin, V.V. Onotskyi, N.I. Lyashko
OPTIMAL CONTROL OF DRUG DELIVERY FROM MICRONEEDLES SYSTEMS
Abstract. We consider simulation and optimal control of transdermal drug
transport from systems of solvable microneedles. We solve a two-dimensional
problem of vertical transport of solvable drugs through a porous medium with
point sources simulating solvable microneedles. It is shown that, by controlling
the intensity and specifying the coordinates of the sources, the problem of
optimal control of transdermal drug transport can be solved and a desired
distribution of drugs in epidermis can be achieved with acceptable accuracy. To
solve initial-boundary value problems, finite-difference methods and a two-step
symmetrizable algorithm are used.
Keywords: transdermal diffusion, microneedle system, simulation, optimization,
point source, microneedle, finite-difference method.
Ëÿøêî Ñåðãåé Èâàíîâè÷,
÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé êàôåäðîé Êèåâñêîãî
íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: lyashko.serg@gmail.com.
Êëþøèí Äìèòðèé Àíàòîëüåâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî,
e-mail: dokmed5@gmail.com.
Îíîöêèé Âÿ÷åñëàâ Âàëåðüåâè÷,
àññèñòåíò êàôåäðû Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî,
e-mail: vingar@ukr.net.
Ëÿøêî Íàòàëüÿ Èâàíîâíà,
êàíäèäàò òåõí. íàóê, íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû,
Êèåâ, e-mail: lyashko.serg@gmail.com.
26 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
|