Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами

Статья посвящена обзору работ, в которых построены и исследованы прямые и итерационные методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами. Рассмотренные методы построены главным образом на основе статей авторов, посвященных развитию теории...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Кибернетика и системный анализ
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Галба, Е.Ф., Сергиенко, И.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Schlagworte:	Системний аналіз
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144871
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами / Е.Ф. Галба, И.В. Сергиенко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 65–93. — Бібліогр.: 51 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144871
record_format	dspace
spelling	Галба, Е.Ф. Сергиенко, И.В. 2019-01-08T20:31:12Z 2019-01-08T20:31:12Z 2018 Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами / Е.Ф. Галба, И.В. Сергиенко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 65–93. — Бібліогр.: 51 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144871 519.61 Статья посвящена обзору работ, в которых построены и исследованы прямые и итерационные методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами. Рассмотренные методы построены главным образом на основе статей авторов, посвященных развитию теории взвешенной псевдоинверсии в направлении исследования свойств взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами. Использованы полученные и исследованные авторами разложения взвешенных псевдообратных матриц в матричные степенные ряды и произведения, предельные представления этих матриц, определения разложений взвешенных псевдообратных матриц на основе взвешенных сингулярных разложений матриц с вырожденными весами. Стаття присвячена огляду робіт, в яких побудовано і досліджено прямі та ітераційні методи обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв’язків з виродженими вагами. Розглянуті методи побудовано головним чином на основі статей авторів, присвячених розвитку теорії зваженої псевдоінверсії в напрямку дослідження властивостей зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв’язків з виродженими вагами. Використано одержані та досліджені авторами розклади зважених псевдообернених матриць в матричні степеневі ряди і добутки, граничнi представлення цих матриць, визначення розкладу зважених псевдообернених матриць на основі зважених сингулярних розкладів матриць з виродженими вагами. This paper surveys articles in which direct and iterative methods are constructed and investigated for computing weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions with singular weights. The considered methods are mainly constructed based on the authors’ articles devoted to the development of the theory of weighted pseudoinversion in the direction of investigating the characteristics of both weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions with singular weights. This article uses the following results obtained and investigated by the authors: expansions of weighted pseudoinverse matrices into matrix power series and products, limit representations of such matrices, and determination of decompositions of weighted pseudoinverse matrices based on weighted singular decompositions of matrices with singular weights. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами Методи обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв’язків з виродженими вагами Methods for computing weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions with singular weights Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами
spellingShingle	Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами Галба, Е.Ф. Сергиенко, И.В. Системний аналіз
title_short	Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами
title_full	Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами
title_fullStr	Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами
title_full_unstemmed	Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами
title_sort	методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами
author	Галба, Е.Ф. Сергиенко, И.В.
author_facet	Галба, Е.Ф. Сергиенко, И.В.
topic	Системний аналіз
topic_facet	Системний аналіз
publishDate	2018
language	Russian
container_title	Кибернетика и системный анализ
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Методи обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв’язків з виродженими вагами Methods for computing weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions with singular weights
description	Статья посвящена обзору работ, в которых построены и исследованы прямые и итерационные методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами. Рассмотренные методы построены главным образом на основе статей авторов, посвященных развитию теории взвешенной псевдоинверсии в направлении исследования свойств взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами. Использованы полученные и исследованные авторами разложения взвешенных псевдообратных матриц в матричные степенные ряды и произведения, предельные представления этих матриц, определения разложений взвешенных псевдообратных матриц на основе взвешенных сингулярных разложений матриц с вырожденными весами. Стаття присвячена огляду робіт, в яких побудовано і досліджено прямі та ітераційні методи обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв’язків з виродженими вагами. Розглянуті методи побудовано головним чином на основі статей авторів, присвячених розвитку теорії зваженої псевдоінверсії в напрямку дослідження властивостей зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв’язків з виродженими вагами. Використано одержані та досліджені авторами розклади зважених псевдообернених матриць в матричні степеневі ряди і добутки, граничнi представлення цих матриць, визначення розкладу зважених псевдообернених матриць на основі зважених сингулярних розкладів матриць з виродженими вагами. This paper surveys articles in which direct and iterative methods are constructed and investigated for computing weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions with singular weights. The considered methods are mainly constructed based on the authors’ articles devoted to the development of the theory of weighted pseudoinversion in the direction of investigating the characteristics of both weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions with singular weights. This article uses the following results obtained and investigated by the authors: expansions of weighted pseudoinverse matrices into matrix power series and products, limit representations of such matrices, and determination of decompositions of weighted pseudoinverse matrices based on weighted singular decompositions of matrices with singular weights.
issn	1019-5262
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144871
citation_txt	Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами / Е.Ф. Галба, И.В. Сергиенко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 65–93. — Бібліогр.: 51 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT galbaef metodyvyčisleniâvzvešennyhpsevdoobratnyhmatricivzvešennyhnormalʹnyhpsevdorešeniisvyroždennymivesami AT sergienkoiv metodyvyčisleniâvzvešennyhpsevdoobratnyhmatricivzvešennyhnormalʹnyhpsevdorešeniisvyroždennymivesami AT galbaef metodiobčislennâzvaženihpsevdoobernenihmatricʹízvaženihnormalʹnihpsevdorozvâzkívzvirodženimivagami AT sergienkoiv metodiobčislennâzvaženihpsevdoobernenihmatricʹízvaženihnormalʹnihpsevdorozvâzkívzvirodženimivagami AT galbaef methodsforcomputingweightedpseudoinversematricesandweightednormalpseudosolutionswithsingularweights AT sergienkoiv methodsforcomputingweightedpseudoinversematricesandweightednormalpseudosolutionswithsingularweights
first_indexed	2025-11-27T01:37:36Z
last_indexed	2025-11-27T01:37:36Z
_version_	1850791360769032192
fulltext	Å.Ô. ÃÀËÁÀ, È.Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ ÓÄÊ 519.61 ÌÅÒÎÄÛ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ È ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÍÎÐÌÀËÜÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÐÅØÅÍÈÉ Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÂÅÑÀÌÈ Àííîòàöèÿ. Ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà îáçîðó ðàáîò, â êîòîðûõ ïîñòðîåíû è èññëå- äîâàíû ïðÿìûå è èòåðàöèîííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîá- ðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Ðàññìîòðåííûå ìåòîäû ïîñòðîåíû ãëàâíûì îáðàçîì íà îñíîâå ñòà- òåé àâòîðîâ, ïîñâÿùåííûõ ðàçâèòèþ òåîðèè âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèè â íàïðàâëåíèè èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Èñïîëü- çîâàíû ïîëó÷åííûå è èññëåäîâàííûå àâòîðàìè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ, ïðå- äåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ýòèõ ìàòðèö, îïðåäåëåíèÿ ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö íà îñíîâå âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ðàçëîæåíèé ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Êëþ÷åâûå ñëîâà: âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, âçâåøåííûå íîðìàëüíå ïñåâäîðåøåíèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, èòåðàöèîííûå ìåòîäû, ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ðàáîòå [1] âïåðâûå äàíî îïðåäåëåíèå îäíîãî èç âàðèàíòîâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö (âçâåøåííûõ îáîáùåííûõ îáðàòíûõ ìàòðèö) ñ âûðîæ- äåííûìè âåñàìè (ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñîâûìè ìàòðèöàìè). Êðîìå òîãî, îïðåäåëåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðàññìîòðåííîãî âàðèàíòà âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò- ðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Â ñòàòüÿõ [2–4] èññëåäîâàíû äðóãèå âàðèàíòû ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Îïðåäåëåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðàññìîòðåííûõ âàðèàí- òîâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, à òàêæå âçâåøåííûå íîðìàëüíûå ïñåâäîðåøåíèÿ (ðåøåíèÿ çàäà÷ ìåòîäîì âçâåøåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ìèíèìàëüíîé âçâåøåííîé íîðìîé) ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè è óñòàíîâëåíà èõ ñâÿçü ñ âçâåøåííûìè ïñåâäîîáðàòíûìè ìàòðèöàìè. Â óïîìÿíóòûõ ïóáëèêàöè- ÿõ ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé è íà èõ îñíîâå ïîñòðîåíû è èññëåäîâàíû èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøå- íèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Â ðàáîòàõ [5–8] âïåðâûå ïîëó÷åíû ðàçëè÷íûå âàðèàíòû âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âå- ñàìè. Îïðåäåëåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îäíîãî ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 65 © Å.Ô. Ãàëáà, È.Â. Ñåðãèåíêî, 2018 èç ðàññìîòðåííûõ âàðèàíòîâ âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ðàçëîæåíèé ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Íà îñíîâå âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ðàçëîæåíèé ìàò- ðèö ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåí- íûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé, à òàêæå ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ýòèõ ìàòðèö. Ïî- ñëåäíåå ïîñëóæèëî îñíîâîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåãóëÿðèçîâàííûõ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé, à òàêæå ðåãóëÿðèçîâàííûõ çàäà÷ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Â ðàáî- òå [9] èçó÷åíà âçâåøåííàÿ ïñåâäîèíâåðñèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè äëÿ îïåðà- òîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Â ðÿäå ðàáîò (íàïðèìåð, [10–12]) èññëåäî- âàëàñü ML-âçâåøåííàÿ ïñåâäîèíâåðñèÿ. Îòìåòèì ðàáîòû [13–16], â êîòîðûõ èñïîëüçóåòñÿ âçâåøåííàÿ ïñåâäîèíâåðñèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, ïðåäñòàâ- ëÿþùèìè äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû, ïðè ïîñòðîåíèè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ çàäà÷, ïàðàëëåëüíûõ àëãîðèòìîâ, îáðàáîòêå èçîáðàæåíèé. Íèæå áóäóò ðàññìîòðåíû âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû ñ âûðîæäåí- íûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûå â ðàáîòàõ [1–4]. Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ñîñòîèò èç ïÿòè ðàçäåëîâ. Â ðàçä. 1 ââîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ îáîçíà÷åíèÿ, äàíû îïðåäåëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâ- äîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè è èõ ñâÿçü ñî âçâåøåííûìè íîð- ìàëüíûìè ïñåâäîðåøåíèÿìè. Â ðàçä. 2 è 3 ðàññìîòðåíû ñîîòâåòñòâåííî ïðÿìûå è èòåðàöèîííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Â ðàçä. 4 ïðèâåäåíû ïðÿìûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâ- äîðåøåíèé. Â ðàçä. 5 ðàññìîòðåíû èòåðàöèîííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. 1. ÈÑÏÎËÜÇÓÅÌÛÅ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß È ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß. ÂÇÂÅØÅÍÍÛÅ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÅ ÌÀÒÐÈÖÛ È ÂÇÂÅØÅÍÍÛÅ ÍÎÐÌÀËÜÍÛÅ ÏÑÅÂÄÎÐÅØÅÍÈß Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÂÅÑÀÌÈ Îòìåòèì, ÷òî â äàëüíåéøåì âåçäå ïðåäïîëàãàåòñÿ âåùåñòâåííîñòü èñïîëüçóå- ìûõ ñêàëÿðîâ, âåêòîðîâ, ìàòðèö è ïðîñòðàíñòâ. Îáîçíà÷èì � n n-ìåðíîå âåê- òîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ãäå âåêòîðû — ñóòü ìàòðèöû ðàçìåðà n � 1. Ïóñòü H — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Îáîçíà÷èì � n H( ) åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé ìåòðèêè èëè ïñåâäî- åâêëèäîâî â ñëó÷àå íåîòðèöàòåëüíîé ìåòðèêè, ââåäåííîé ñêàëÿðíûì ïðîèçâå- äåíèåì ( , ) ( , )u HuH E� �� , ãäå ( , )u uE T� �� . Íîðìó (ïîëóíîðìó) â � n H( ) ââåäåì ñîîòíîøåíèåì \|\| \|\| ( , ) /� �H H u u 1 2 . Â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåí- íîé ìàòðèöû H ÷åðåç � � n nH H( ) ( )� è � � n EE n EE H H( ) ( )� �� áóäåì îáîçíà- ÷àòü ïîäïðîñòðàíñòâî âåêòîðîâ u , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ HH u EE � � � ��H H u u EE 1 2 1 2/ / , ãäå H H EE EE � ��1 2 1 2/ /( ) , E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, H EE � — ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà Ìóðà–Ïåíðîóçà ê ìàòðèöå H [17, 18]. Â äàëüíåéøåì äëÿ ìàòðèö A èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèå A A EE p p EE � �� ( ) , ãäå p — öåëîå èëè äðîáíîå ÷èñëî. Òàê êàê íóëü-ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö H , H EE � , HH EE � è H H EE 1 2 1 2/ /� ñîâïàäàþò [19], òî ïîëóíîðìû \|\| \|\|� H , \|\| \|\|� �HEE äëÿ âåêòîðîâ â � n H( ) , � n EE H( )� ñòàíîâÿòñÿ íîðìàìè â � n H( ) , � n EE H( )� . 66 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 Îïðåäåëèì íîðìó ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû [20] . Ïóñòü A m n� � � , à H m m� � � — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè ïîëîæèòåëüíî-ïîëó- îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, V n n� � � — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ èëè ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, x — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç � n . Ïðåä- ïîëàãàåì âûïîëíåíèå óñëîâèé rk HA rk A( ) ( )� , rk AV rk A( ) ( )� , ãäå rk L( ) — ðàíã ìàòðèöû L . Åñëè ìàòðèöû H è V — ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå, òî ýòè óñëîâèÿ çàâåäîìî âûïîëíÿþòñÿ. Äëÿ ìíîæåñòâà ìàòðèö A, óäîâëåòâîðÿþùèõ äàííûì óñëî- âèÿì, íîðìó ââåäåì ñîîòíîøåíèåì \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| ( ,/ A H AVx x VA HAVx HV x E E x T m n � � � � sup sup 0 1 2 0 x x x E E m n ) ( , ) / / 1 2 1 2 , (1) ãäå x n�� , à íèæíèé èíäåêñ ïðè åäèíè÷íîé ìàòðèöå îçíà÷àåò åå ïîðÿäîê. Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè íîðìà ìàòðèöû A èìååò âèä \|\| \|\| [ ( )]max /A VA HAVHV T� � 1 2 , ãäå � max ( )L — ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû L . Â [20] ïîêàçàíî, ÷òî âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ \|\| \|\|� HV , îïðåäåëåííàÿ ôîðìó- ëîé (1), ïðè âûïîëíåíèè îòìå÷åííûõ óñëîâèé ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé (îáîáùåí- íîé) ìàòðè÷íîé íîðìîé. Ïóñòü A m p� � � , B p n� � � , à H m m� � � , V n n� � � , M p p� � � — ñèììåòðè÷- íûå ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû, ïðè÷åì óäîâëåòâîðÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé: AMM AM M A EE EE � �� , MM B M MB B EE EE � �� , òîãäà (ñì. [20, 21]) èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû ìàòðèö ñîîòíîøåíèåì (1) ñëåäóåò \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\|AB A BHV HM M VEE �2 . Â [22] îïðåäåëåíû âçâåøåííàÿ íîðìà äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû, à òàêæå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ýòà íîðìà ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìàòðè÷íîé íîð- ìîé. Ïóñòü A n n� � � — ïðîèçâîëüíàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, à H n n� � � — ñèì- ìåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì rk HA rk AH rk A( ) ( ) ( )� � . Òîãäà íîðìà ìàòðèöû A îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| / / / A Ax x H AH H H x H H x EE� � � � � sup sup 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 x H x E E \|\| \|\| \|\|/ , x H n �� ( ) . Âî ìíîãèõ ðàáîòàõ îïðåäåëÿëèñü ñèììåòðèçóåìûå ìàòðèöû è èçó÷àëèñü èõ ñâîéñòâà. Ñèììåòðèçàòîðàìè â îñíîâíîì âûñòóïàþò ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåí- íûå ìàòðèöû. Â ðàáîòàõ [23–25] èçó÷àëèñü H-ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû, ãäå H ïðåäïîëàãàëàñü ñèììåòðè÷íîé íåâûðîæäåííîé çíàêîíåîïðåäåëåííîé ìàòðèöåé. Îïðåäåëèì ñèììåòðèçóåìûå ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè ñèì- ìåòðèçàòîðàìè [22]. Îïðåäåëåíèå 1. Êâàäðàòíóþ ìàòðèöó U íàçîâåì ñèììåòðèçóåìîé ñëåâà èëè ñïðàâà ñ ïîìîùüþ ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö M è N , åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî óñëîâèÿ MU U MT� , rk MU rk U( ) ( )� ; UN NU T� , rk UN rk U( ) ( )� . Îïðåäåëåíèå 2. Ìàòðèöó Q, îïðåäåëåííóþ ðàâåíñòâîì Q HQ I HT � ( ) , ãäå H — ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ (ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåí- ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 67 íàÿ) ìàòðèöà, I H( ) — ìàòðèöà èíåðöèè äëÿ H , áóäåì íàçûâàòü H-âçâåøåííîé îðòîãîíàëüíîé (ïñåâäîîðòîãîíàëüíîé). Îòìåòèì, ÷òî îñíîâíûå âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ, íà áàçå êîòîðûõ èñ- ñëåäîâàëèñü ôóíäàìåíòàëüíûå ñâîéñòâà âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, ïðèâåäåíû â ðàáîòå [26]. Â ðàáîòàõ [1–4] óñòàíîâëåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùå- ñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Ïóñòü A m n� � � , X n m� � � , à B m m� � � è C n n� � � — ñèììåòðè÷íûå ïîëî- æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûå ìàòðèöû. Òîãäà âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðè- öà äëÿ A â ðàáîòå [1] îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàòðèöà X A BC � � , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ÷åòûðåì óñëîâèÿì: AXA A� , XAX X� , ( )BAX BAXT � , ( )XAC XACT � , (2) ò.å. ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû AX è XA ñèììåòðè- çóåìûå ñîîòâåòñòâåííî ñëåâà ñèììåòðèçàòîðîì B è ñïðàâà ñèììåòðèçàòîðîì C . Êðîìå òîãî, ïîêàçàíî, ÷òî ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé (2) èìååò åäèíñòâåí- íîå ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîøå- íèÿ äëÿ ðàíãîâ ìàòðèö: rk BA rk A( ) ( )� , rk AC rk A( ) ( )� . (3) Â ðàáîòå [2] èçó÷àëàñü âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà ñ âûðîæäåííû- ìè âåñàìè, îïðåäåëåííàÿ ñèñòåìîé ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé AXA A� , XAX X� , ( )BAX BAXT � , ( )CXA CXAT � , (4) ò.å. êîãäà îáå èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû AX è XA ñèììåòðèçóåìû ñëåâà ñîîòâåòñòâåííî âûðîæäåííûìè ñèììåòðèçàòîðàìè B è C. Â ýòîé ðàáîòå óñòà- íîâëåíî, ÷òî íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé (4) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ÿâëÿþòñÿ rk BA rk A AC C A EE ( ) ( ),� �� , (5) Â ñòàòüå [3] èçó÷àëàñü âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà ñ âûðîæäåííû- ìè âåñàìè, îïðåäåëåííàÿ ñèñòåìîé ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé AXA A� , XAX X� , ( )AXB AXBT � , ( )CXA CXAT � , (6) ò.å. êîãäà èäåìïîòåíòíàÿ ìàòðèöà AX ñèììåòðèçóåìà ñïðàâà ñèììåòðèçàòî- ðîì B, à èäåìïîòåíòíàÿ ìàòðèöà XA ñèììåòðèçóåìà ñëåâà ñèììåòðèçàòîðîì C. Êðîìå òîãî, îïðåäåëåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé (6) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå B BA A EE � � , AC C A EE � � . (7) Â ðàáîòå [4] èçó÷àëàñü âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà ñ âûðîæäåííû- ìè âåñàìè, îïðåäåëåííàÿ ñèñòåìîé ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé AXA A� , XAX X� , ( )AXB AXBT � , ( )XAC XACT � , (8) ò.å. êîãäà îáå èäåìïîòåíòíûå ìàòðèöû AX è XA ñèììåòðèçóåìû ñïðàâà ñîîò- âåòñòâåííî ñèììåòðèçàòîðàìè B è C. Â ýòîé ðàáîòå îïðåäåëåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé (8) èìååò 68 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 åäèíñòâåííîå ðåøåíèå B BA A EE � � , rk AC rk A( ) ( )� . (9) Ïóñòü Ax f� , x n�� , f m�� (10) ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ) ñ ïðîèçâîëü- íîé ìàòðèöåé A m n� � � . Â ðÿäå ðàáîò óñòàíàâëèâàåòñÿ ñâÿçü ìåæäó âçâåøåííûìè ïñåâäîîáðàòíûìè ìàòðèöàìè, îïðåäåëåííûìè âûøå, è âçâåøåííûìè íîðìàëüíûìè ïñåâäîðåøåíèÿìè. Òàê, â ðàáîòå [22] ïîêàçàíî, ÷òî âåêòîð x A f BC � �� , ãäå ìàòðèöà A BC � îïðåäåëåíà óñëîâèÿìè (2), (3), ÿâëÿåòñÿ â � n EE C( )� âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíè- åì ÑËÀÓ (10) ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè B è C EE � , à èìåííî åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è: íàéòè min \|\| \|\| ( )x C Cn EE EE x � � � � � , � � � � Argmin \|\| \|\| x B n Ax f � . (11) Â ðàáîòå [2] ïîêàçàíî, ÷òî âåêòîð x A f BC � �� , ãäå ìàòðèöà A BC � îïðåäåëåíà óñëîâèÿìè (4), (5), ÿâëÿåòñÿ â � n C( ) âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì çàäà÷è (10) ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè B è C , à èìåííî åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è: íàéòè min \|\| \|\| ( )x C C n x � � � , � � � � Argmin \|\| \|\| x B n Ax f � . (12) Â ðàáîòå [3] ïîêàçàíî, ÷òî âåêòîð x A f BC � �� , ãäå ìàòðèöà A BC � îïðåäåëåíà óñëîâèÿìè (6), (7), ÿâëÿåòñÿ â � n C( ) âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ÑËÀÓ (10) ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè B EE � è C, à èìåííî åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è: íàéòè min \|\| \|\| ( )x C C n x � � � , � � � � �Argmin \|\| \|\| x B n EE Ax f � . (13) Â ðàáîòå [4] ïîêàçàíî, ÷òî âåêòîð x A f BC � �� , ãäå ìàòðèöà A BC � îïðåäåëåíà óñëîâèÿìè (8), (9), ÿâëÿåòñÿ â � n EE C( )� âçâåøåííûì íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíè- åì ÑËÀÓ (10) ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè B EE � è C EE � , à èìåííî åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è: íàéòè min \|\| \|\| ( )x C Cn EE EE x � � � � � , � � � � �Argmin \|\| \|\| x B n EE Ax f � . (14) 2. ÏÐßÌÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÂÅÑÀÌÈ Ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî ïóáëèêàöèé, ïîñâÿùåííûõ ïðÿìûì ìåòîäàì âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö Ìóðà–Ïåíðîóçà. Ìíîãèå èç íèõ ÿâëÿþòñÿ îáîáùåíèÿìè ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ, îáðàòíûõ ê íåâûðîæäåííûì ìàòðèöàì. Èçâåñòíûå ñïîñîáû âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö Ìóðà–Ïåíðîóçà îñíîâàíû íà ìàòðè÷íîé ôàêòîðèçàöèè è ìåòîäàõ îðòîãîíàëèçàöèè, ñèíãóëÿðíîì ðàçëîæåíèè ìàòðèö, ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 69 ïðåäåëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö Ìóðà–Ïåíðîóçà (ñì., íàïðè- ìåð, [19, 27–29] è ññûëêè ê íèì). Ïîýòîìó îäèí èç ïîäõîäîâ ïîñòðîåíèÿ ïðÿ- ìûõ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ìîæåò áûòü îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè ïðÿìûõ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö Ìóðà–Ïåíðîóçà, à èìåííî íà ôîðìóëàõ ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ÷åðåç ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû Ìóðà–Ïåí- ðîóçà. Â ðàáîòå [30] ïðèâåäåíû ôîðìóëû äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííîé ïñåâäîîá- ðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñàìè, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì (2), (3), ÷åðåç ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó Ìóðà–Ïåíðîóçà. Òåîðåìà 1. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà A BC � , îïðåäåëåííàÿ óñëîâè- ÿìè (2), (3), ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå A C B AC B BC EE � �� 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) � ��C C A BAC C A BT EE T1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) � �CA B B ACA B BT T EE 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) . Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. Òåîðåìà 2. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà A BC � , îïðåäåëåííàÿ óñëîâè- ÿìè (4), (5), ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå A C B AC B BC EE EE EE � � � �� 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) � �� C C A BAC C A B EE EE T EE EE EE T1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) � � � �C A B B AC A B B EE T EE T EE 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) . Òåîðåìà 3. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà A BC � , îïðåäåëåííàÿ óñëîâè- ÿìè (6), (7), ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå A C B AC B BC EE EE EE EE EE � � � � � �� 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) � �� C C A B AC C A B EE EE T EE EE EE EE T EE 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) � � � � � � � �C A B B AC A B B EE T EE EE EE T EE EE EE 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) . Òåîðåìà 4. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà A BC � , îïðåäåëåííàÿ óñëîâè- ÿìè (8), (9), ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå A C B AC B BC EE EE EE � � � �� 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) � �� C C A B AC C A BT EE EE T EE 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) � � � � � �CA B B ACA B BT EE EE T EE EE EE 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /( ) . Â ðàáîòàõ [31, 2–4] ïîëó÷åíû ñîîòâåòñòâåííî ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3); (4), (5); (6), (7); (8), (9) â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, ò.å. äîêàçàíû óòâåðæäåíèÿ. Òåîðåìà 5. Ìàòðèöà A BC � , óäîâëåòâîðÿþùàÿ (2), (3), ïðåäñòàâèìà â âèäå A CSA B BC T� � , ãäå S f A BACT� ( ) — ìíîãî÷ëåí îò ìàòðèöû A BACT âèäà S A BAC A BAC E k T k T k k� � � � �� 1 1 1 2 1[( ) ( ) ... ] , � p , p n�1, ..., , — êîýôôè- öèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà f n n n( ) ...� � � � �� 1 1 � �det[ ]�E A BACT , à � k — ïîñëåäíèé îòëè÷íûé îò íóëÿ êîýôôèöèåíò ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. 70 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 Òåîðåìà 6. Ìàòðèöà A BC � , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì (4), (5), ïðåäñòàâèìà â âèäå A C SA B BC EE T� �� , ãäå S f A BACT EE � �( ) — ìíîãî÷ëåí îò ìàòðèöû A BACT EE � âèäà S A BAC A BAC E k T EE k T EE k k� � � � �� 1 1 1 2 1[( ) ( ) ]� , � p , p n�1, ..., , — êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà f ( )� � � � � � � �� n n n T EE E A BAC1 1 ... [ ]det , à � k — ïîñëåäíèé îòëè÷íûé îò íóëÿ êîýôôèöèåíò ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. Òåîðåìà 7. Ìàòðèöà A BC � , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì (6), (7), ïðåäñòàâèìà â âèäå A C SA B BC EE T EE � � �� , ãäå S f A B ACT EE EE � � �( ) — ìíîãî÷ëåí îò ìàòðèöû A B ACT EE EE � � âèäà S A B AC A B AC k T EE EE k T EE EE k� � � �� 1 1 1 2[( ) ( ) ... ... ]� �� k E1 , � p , p n�1, ..., , — êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà f E A B ACn n n T EE EE ( ) ... [ ]� � � � � �� 1 1 det , à � k — ïîñëåäíèé îòëè÷- íûé îò íóëÿ êîýôôèöèåíò ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. Òåîðåìà 8. Ìàòðèöà A BC � , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì (8), (9), ïðåäñòà- âèìà â âèäå A CSA B BC T EE � �� , ãäå S f A B ACT EE � �( ) — ìíîãî÷ëåí îò ìàòðèöû A B ACT EE � âèäà S A B AC A B AC E k T EE k T EE k k� � � � �� 1 1 1 2 1[( ) ( ) ... ] , � p , p n�1, ..., , — êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà f ( )� � � � � � � �� n n n T EE E A B AC1 1 ... [ ]det , à � k — ïîñëåäíèé îòëè÷íûé îò íóëÿ êîýôôèöèåíò ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. Èç ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôè- öèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, ïðèâåäåííûõ â òåîðåìàõ 5–8, ñëåäóåò ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà, ïîëó÷åííîå â ðàáîòå [32]. Â [19] îïèñàíà âû÷èñëèòåëüíàÿ ïðîöå- äóðà, ïîçâîëÿþùàÿ íà îñíîâå ïðåäñòàâëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåí- ðîóçà â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ìàòðèöû A AT âû÷èñëÿòü ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó Ìóðà–Ïåíðîóçà çà ïðèåìëåìîå ÷èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé. Ñëåäîâàòåëüíî, âîçíèêàåò ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ ñîîò- âåòñòâóþùèõ ïðîöåäóð äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âû- ðîæäåííûìè âåñàìè íà îñíîâå èõ ïðåäñòàâëåíèé, ïðèâåäåííûõ â òåîðåìàõ 5–8. Â ðÿäå ðàáîò (ñì. [26] è ññûëêè ê íåé) ïîëó÷åíû ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñ- ëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè äëÿ ìàòðèö ñ ðàíãîì, ðàâíûì åäèíèöå. Òàê, ïðè rk A( ) �1 èìååì ñîîòâåòñòâåííî ñëåäóþùèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3); (4), (5); (6), (7); (8), (9): A A BAC CA B BC T T� �� [ ( )]tr 1 , A A BAC C A B BC T EE EE T� � � �� [ ( )]tr 1 , A A B AC C A B BC T EE EE EE T EE � � � � � �� [ ( )]tr 1 , A A B AC CA B BC T EE T EE � � � �� [ ( )]tr 1 , ãäå tr ( )L — ñëåä ìàòðèöû L . Âûøå îòìå÷àëîñü, ÷òî ïðÿìûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò- ðèö Ìóðà–Ïåíðîóçà òàêæå ñòðîèëèñü íà îñíîâå ïðåäåëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö Ìóðà–Ïåíðîóçà. Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), â ðàáî- òå [33] ïîëó÷åíû èõ ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 71 îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé, íà îñíîâå êîòîðûõ ïîëó÷åíû ïðåäåëü- íûå ïðåäñòàâëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäå- ëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3). Äëÿ ëþáîãî p �1 2, ,� èìååì ñëåäóþùèå ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâå- øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3): A C A BA E CA B p k k p T k T � � � � , lim ( )� � � � �� 0 1 1 , (15) A CA B AC A B E p k T k p T k � � � � , lim ( )� � � � �� 0 1 1 . Äëÿ ëþáîãî n �1 2, , ... èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåí- íûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3): A E CA BA E CA BA E BC T k n Tk k� � � � � � � � ��lim { ( ) }(( ) � � � � 0 2 2 0 1 )�1CA BT . (16) Îïðåäåëåíèå 3. Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ (15), (16) íàçâàíû â ðàáîòå [33] ìíîãî÷ëåííûìè ïðåäåëüíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Ïðè p �1 èç (15) èìååì îäíî÷ëåííûå ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåí- íûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, èññëåäîâàííûå â ðàáî- òå [21]. Ïðè p �1 , B Em� , C En� èìååì ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïñåâäîîá- ðàòíîé ìàòðèöû Ìóðà–Ïåíðîóçà, ïðåäëîæåííîå è èññëåäîâàííîå â ðàáîòå [34]. Â ñòàòüÿõ [35, 36] èññëåäîâàíû äðóãèå âèäû ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâ- äîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), ñîîòâåòñòâåííî â ìàòðè÷- íûå ñòåïåííûå ðÿäû è â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ. Îíè ìîãóò ñëóæèòü àëüòåðíàòèâîé ðàññìîòðåííûì âûøå ðàçëîæåíèÿì. Íà îñíîâå ýòèõ ðàçëîæåíèé ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè [37], îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3). Äëÿ ëþáîãî p � �1 2, , èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âçâå- øåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (2), (3): A E CA BA CA B BC k p T k T� � � �� lim ( ) � � � 1 . (17) Äëÿ ëþáîãî n � �1 2, , èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âçâå- øåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (2), (3): A E CA BA E E CA BA C BC T T k n k� � � � � � � � � �lim ( ) { ( ) }( ) � � � �1 2 0 1 � A BT . (18) Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäå- ëåííûõ óñëîâèÿìè (4) è óñëîâèÿìè B BA A EE � � , AC C A EE � � , (19) â ðàáîòàõ [5, 7] ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèç- âåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé íà îñíîâå âçâåøåííîãî ñèí- ãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö. Íà îñíîâàíèè ýòèõ ðàçëîæåíèé ïîëó÷åíû ïðå- äåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (19). Çàìå÷àíèå. Çäåñü è äàëåå âìåñòî âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (5) è (8), (9), ïðè íåîáõîäèìîñòè áóäåì ðàññìàòðè- 72 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 âàòü âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû, îïðåäåëåííûå ñîîòâåòñòâåííî óñëî- âèÿìè (4), (19) è (8), (19), ò.å. óñëîâèÿ (5) è (9) çàìåíèì áîëåå æåñòêèìè óñëîâèÿ- ìè (19). Âñå ñâîéñòâà âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëî- âèÿìè (4), (5) è (8), (9), ñïðàâåäëèâû äëÿ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (19) è (8), (19) (âî âòîðîì ñëó÷àå òàêæå èìåþò ìåñòî çàäà÷è (12) è (14), îïðå- äåëÿþùèå âçâåøåííûå íîðìàëüíûå ïñåâäîðåøåíèÿ). Òàêàÿ çàìåíà óñëîâèé â îïðåäåëåíèè âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî âçâå- øåííûå ñèíãóëÿðíûå ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ïîëó÷åíû ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (19). Äëÿ ëþáîãî p � �1 2, , (ñì. [5, 7]) èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëå- íèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (4), (19): A C A BA E C A B BC k k p EE T k EE T� � � � � � �� lim ( ) � � � 0 1 1 , (20) à äëÿ ëþáîãî n � �1 2, , èìååì A E C A BA E C A BC EE T k n EE k k� � � � � � �� lim { ( ) }(( ) � � � 0 2 2 0 1 T EE TBA E C A B� � �� ) 1 . (21) Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäå- ëåííûõ óñëîâèÿìè (8), (19), â ðàáîòå [8] íà îñíîâå âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Äëÿ ëþáîãî p � �1 2, , èìååì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåí- íîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû, îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (8), (19): A CA B A E CA B BC k k p T EE k T EE � � � � � � �� lim ( ) � � � 0 1 1 , (22) à äëÿ ëþáîãî n �1 2, , ... èìååì A E CA B A E CA B BC T EE k n T E k k� � � � � � � � ��lim { ( ) }(( ) � � � 0 2 2 0 1 E T EE A E CA B� � �� ) 1 . (23) Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, îäèí èç èçâåñòíûõ ñïîñîáîâ âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîîá- ðàòíûõ ìàòðèö Ìóðà–Ïåíðîóçà îñíîâàí íà ñèíãóëÿðíîì ðàçëîæåíèè ìàòðèö. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ìîæíî èñïîëüçîâàòü âçâåøåííûå ñèíãóëÿðíûå ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö, ïðåäëîæåí- íûå è èññëåäîâàííûå â ïóáëèêàöèÿõ [5–8]. Â öèòèðóåìûõ ðàáîòàõ íà îñíîâå âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ðàçëîæåíèÿõ ìàòðèö ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåí- íûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Â ñòàòüÿõ [6, 7] ïîëó÷åíî âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ïðè èñ- ïîëüçîâàíèè îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö. Â ýòèõ ðàáîòàõ îïðåäåëåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïîñòðîåííîãî âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Òåîðåìà 9. Ïóñòü A m n� � � è âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà (19), òîãäà: 1) äëÿ ìàòðèöû A ñóùåñòâóþò îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû U m m� � � è V n n� � � òàêèå, ÷òî U B AC V O T EE r m n 1 2 1 2 1 2 0 0 / / \|\| ( , , ..., , , ..., ) � � � �� diag � � � m r m n n m n O m \|\| , , ( , , ..., , , ..., ) , åñëè diag åñëè � � � � �1 2 0 0 n, � � �� (24) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 73 A B U V C EE T� �1 2 1 2/ /� , (25) ãäå r — ðàíã ìàòðèöû A, ñòîëáöû ìàòðèöû U — îðòîíîðìèðîâàííûå â � m E( ) ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû B AC A B EE T1 2 1 2/ /� , ñòîëáöû ìàòðèöû V — îðòîíîðìèðîâàííûå â � n E( ) ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû C A BAC EE T EE � �1 2 1 2/ / , � i , i r� �1 , , — êâàäðàòíûå êîðíè èç íåíóëåâûõ ñîáñòâåí- íûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû B AC A B EE T1 2 1 2/ /� , O k l k l� � � — íóëåâàÿ ìàòðèöà; 2) óñëîâèÿ (19) ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû A âèäà (25). Â [6, 7] ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæ- äåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (19), íà îñíîâå âçâåøåííîãî ñèí- ãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö, îïðåäåëåííîãî â òåîðåìå 9. Òåîðåìà 10. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà äëÿ A, îïðåäåëåííàÿ óñëî- âèÿìè (4), (19), èìååò ðàçëîæåíèå A C V U B BC EE EE T� � �� 1 2 1 2/ /� , (26) ãäå ìàòðèöû V , U , B, Ñ îïðåäåëåíû â òåîðåìå 9, à ìàòðèöà � EE � — ïñåâäîîá- ðàòíàÿ ìàòðèöà Ìóðà–Ïåíðîóçà ê ìàòðèöå � , îïðåäåëåííîé â òåîðåìå 9. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû A BC � íåîáõîäèìî ðàçðàáîòàòü ïðèåìëåìûå àëãî- ðèòìû âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë ìàòðèöû A , ò.å. âû÷èñëåíèÿ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö V èU , êîðíåé êâàäðàòíûõ èç ñèììåòðè÷íûõ ïîëîæèòåëü- íî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B è Ñ è êîðíåé êâàäðàòíûõ èç ïñåâäîîáðàòíûõ ïî Ìóðó–Ïåíðîóçó ê ýòèì ìàòðèöàì. Âû÷èñëåíèå ìàòðèö B EE �1 2/ è C EE �1 2/ áàçèðóåòñÿ íà ðåøåíèè ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé äëÿ ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö B è Ñ [19]. Â ðàáîòàõ [38–40] ïðåäëîæåíû ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáû÷íûõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë, èäåþ êîòîðûõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðîöåäóð âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòàõ [5, 8] ïðåäëîæåíû è èññëåäîâàíû äðóãèå âàðèàíòû âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ðàçëîæåíèé ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè íà îñíî- âå âçâåøåííûõ îðòîãîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, à òàêæå ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè íà îñíîâå ïîëó- ÷åííûõ âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ðàçëîæåíèé ìàòðèö. Íà îñíîâàíèè âçâåøåí- íûõ ñèíãóëÿðíûõ ðàçëîæåíèé ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ìîæíî îïðåäå- ëèòü âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííû- ìè âåñàìè, ïîëó÷åííîå â ðàáîòå [41]. 3. ÈÒÅÐÀÖÈÎÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÒÍÛÕ ÌÀÒÐÈÖ Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÂÅÑÀÌÈ Â ðÿäå ðàáîò ïðåäëîæåíû è èññëåäîâàíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàò- íûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäå- íèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè è îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Íà îñíîâàíèè ýòèõ ðàçëîæåíèé ïîñòðîåíû èòåðàöèîííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâ- äîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé è èòåðàöèîííûå ïðîöåññû, ïîñòðîåííûå íà îñíîâå ýòèõ ðàçëîæåíèé. Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (5), â ðàáîòå [2] ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è 74 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé: A E C A BA C A B BC k EE T k EE T� � � � �� ( ) 0 , A E E C A BA C A B BC EE T EE T k k� � � � � � � �� { ( ) }2 0 , (27) 0 2 1� � � �� [ ( )]max C A BA EE T . (28) Äëÿ ýòèõ ðàçëîæåíèé ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå îöåíêè. Òåîðåìà 11. Ïóñòü A BC � — âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëåí- íàÿ óñëîâèÿìè (4), (5), A E C A BA C A Bp k p EE T k EE T � � �, ( )� � � � �� 0 1 , p �1 2, ,� , äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî � îïðåäåëåíî â (28), òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| max{ \| \| }, / /A A BC p CB i i p EE i � � � �� 1 2 0 1 2 1 , ãäå � i — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû C A BA EE T� . Òåîðåìà 12. Ïóñòü A BC � — âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëåí- íàÿ óñëîâèÿìè (4), (5), A E E C A BA C A Bn EE T EE T k n k � � �, { ( ) }� � � � � � � �� 2 0 1 , n �1 2, ,� , äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî � îïðåäåëåíî â (28), òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| max{ \| \| }, / /A A BC n CB i i EE i n� � � �� 1 2 0 1 2 21 , ãäå � i îïðåäåëåíû â òåîðåìå 11. Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (6), (7), â ðàáîòå [3] ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé: A E C A B A C A B BC k EE T EE k EE T EE � � � � � � �� ( ) 0 , A E E C A B A C A B BC EE T EE EE T EE k k� � � � � � � � � �� { ( ) }2 0 , (29) 0 2 1� � � � �� [ ( )]max C A B A EE T EE . (30) Äëÿ ýòèõ ðàçëîæåíèé ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå îöåíêè. Òåîðåìà 13. Ïóñòü A BC � — âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëåí- íàÿ óñëîâèÿìè (6), (7), A E C A B A C A Bp k p EE T EE k EE T EE� � �, ( )� � � � � � �� 0 1 , p �1 2, ,� , ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 75 äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî � îïðåäåëåíî â (30), òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| max { \| \| }, / /A A BC p CB i i p i � � � �� 1 2 0 1 2 1 , ãäå � i — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû C A B A EE T EE � � . Òåîðåìà 14. Ïóñòü A BC � — âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëåí- íàÿ óñëîâèÿìè (6), (7), A E E C A B A C A Bn EE T EE EE T EE k n k � � �, { ( ) }� � � � � � � � � �� 2 0 1 , n �1 2, ,� , äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî � îïðåäåëåíî â (30), òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| max{ \| \| }, / /A A BC n CB i i i n� � � �� 1 2 0 1 2 21 , ãäå � i îïðåäåëåíû â òåîðåìå 13. Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (8), (9), â ðàáîòå [4] ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé: A E CA B A CA B BC k T EE k T EE � � � � �� ( ) 0 , A E E CA B A CA B BC T EE T EE k k� � � � � � � �� { ( ) }2 0 , (31) 0 2 1� � � �� [ ( )]max CA B AT EE . (32) Äëÿ ýòèõ ðàçëîæåíèé ïîëó÷åíû îöåíêè. Òåîðåìà 15. Ïóñòü A BC � — âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëåí- íàÿ óñëîâèÿìè (8), (9), A E CA B A CA Bp k p T EE k T EE� � �, ( )� � � � �� 0 1 , p �1 2, ,� , äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî � îïðåäåëåíî â (32), òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| max { \| \| }, / /A A BC p C B i i p EE i � � � �� 1 2 0 1 2 1 , ãäå � i — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû CA B AT EE � . Òåîðåìà 16. Ïóñòü A BC � — âçâåøåííàÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëåí- íàÿ óñëîâèÿìè (8), (9), A E E CA B A CA Bn T EE T EE k n k � � �, { ( ) }� � � � � � � �� 2 0 1 , n �1 2, , ... , äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî � îïðåäåëåíî â (32), òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| max{ \| \| }, / /A A BC n C B i i EE i n� � � �� 1 2 0 1 2 21 , ãäå � i îïðåäåëåíû â òåîðåìå 15. 76 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), â ðàáîòàõ [20] è [22, 42] ïîëó÷åíû ñîîòâåòñòâåííî ñëåäóþùèå ðàçëîæåíèÿ â ìàò- ðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé: A E CA BA CA B BC k T k T� � � � �� ( ) 0 , (33) A E E CA BA C A B BC T k Tk� � � � � �� { ( ) }2 0 , 0 2 1� � �� [ ( )]max CA BAT . (34) Îòìåòèì, ÷òî êðîìå óïîìÿíóòûõ ðàçëîæåíèé (27), (29), (31), (33) â ìàòðè÷- íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé ÷åòûðåõ òèïîâ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ðàáîòàõ [20, 22, 42] ïðåäëîæåíû è äðóãèå âèäû ðàçëîæåíèé. Èç îöåíîê, ïîëó÷åííûõ â òåîðåìàõ 11–16, ñëåäóåò, ÷òî ïðè ïàðàìåòðàõ � , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (28), (30), (32), íà îñíîâàíèè ïðåäëîæåííûõ ðàçëîæå- íèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäå- íèÿ ìîæíî âû÷èñëÿòü ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Ïðè÷åì ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ �, p è n. Îïòèìàëüíîå çíà÷å- íèå ïàðàìåòðà � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (ñì. [20]) � 0 � 2 1[ ( ) ( )]min * max� �L L� � , ãäå � min * ( )L — ìèíèìàëüíîå íåíóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû L (L — îäíà èç ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ â òåîðåìàõ 11–16). Âíà÷àëå ïðè ïîñòðîåíèè èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåí- íûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (5), èñïîëüçóåì ïåð- âóþ ôîðìóëó â (27), ò.å. èõ ðàçëîæåíèå â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä ñ ïîëîæè- òåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Òîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X C A B EE T 1 � �� , X X C A B E AXk k EE T k� � �� 1 1� ( ) , k � 2 3, ,� (35) Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ê A BC � ïî ôîðìóëàì (35) îïðåäåëåíà â òåîðåìå 11, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæ- äåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå (âòîðàÿ ôîðìóëà â (27)) äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðèö A BC � , îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (5), ïîëó÷èì èòåðà- öèîííûé ïðîöåññ [2] X E E C A BA C A B EE T EE T 1 � � � � �� { ( )} , (36) X X E C A BA Xk k EE T k k � � �� 1 2 1 1 ( )� , k � 2 3, ,� Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ê A BC � ïî ôîðìóëàì (36) îïðåäåëåíà â òåîðåìå 12, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëî- âèÿìè (6), (7), èñïîëüçóÿ ïåðâóþ ôîðìóëó â (29), ïîëó÷àåì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X C A B EE T EE1 � � �� , X X C A B E AXk k EE T EE k� � �� 1 1� ( ) , k � 2 3, ,� (37) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 77 Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ê A BC � ïî ñõåìå (37) îïðåäåëåíà â òåîðå- ìå 13, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííû- ìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (6), (7), â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå (âòîðàÿ ôîðìóëà â (29)) äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [3] X E E C A B A C A B EE T EE EE T EE1 � � � � � � �� { ( )} , (38) X X E C A B A Xk k EE T EE k k � � �� 1 2 1 1 ( )� , k � 2 3, ,� Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ê A BC � ïî ñõåìå (38) îïðåäåëåíà â òåîðå- ìå 14, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿ- ìè (8), (9), èñïîëüçóåì ïåðâóþ ôîðìóëó â (31) è ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X CA BT EE1 � �� , X X CA B E AXk k T EE k� � �� 1 1� ( ) , k � 2 3, ,� (39) Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ê A BC � ïî ñõåìå (39) îïðåäåëåíà â òåîðå- ìå 15, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííû- ìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (8), (9), â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå (âòîðàÿ ôîðìóëà â (31)) äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [4] X E E CA B A CA BT EE T EE1 � � � � �� { ( )} , (40) X X E CA B A Xk k T EE k k � � �� 1 2 1 1 ( )� , k � 2 3, ,� Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ê A BC � ïî ñõåìå (40) îïðåäåëåíà â òåîðå- ìå 16, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿ- ìè (2), (3), èñïîëüçóåì ïåðâóþ ôîðìóëó â (33) è ïîëó÷àåì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X CA B X X CA B E AXT k k T k0 1� � � �� , ( ), k � 0 1, ,� (41) Îöåíêó áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (41) ê A BC � óñòàíàâëèâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà (ñì. [20]). Òåîðåìà 17. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (41) ïðè �, îïðåäåëåííûì ñîîòíîøåíè- åì (34), ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| \|\| \|\|A X q A X BC k C V k BC C VEE EE � � � �� 1 1 0 , ãäå q A A CA BA BC T� � �� ( ) 1 , �( )L — ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ìàòðèöû L , V m m� � � — ïðîèçâîëüíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåí- íûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâå- äåíèå (âòîðàÿ ôîðìóëà â (33)) äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X CA BT 0 � � , X X E CA BA Xk k T k k � � �� 1 2 1 1 ( )� , k �1 2, ,� (42) 78 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 Îöåíêó áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ê A BC � ïî ñõåìå (42) óñòàíàâëèâàåò ñëåäó- þùàÿ òåîðåìà [42]. Òåîðåìà 18. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (42) ïðè ïàðàìåòðå �, îïðåäåëåííûì ñî- îòíîøåíèåì (34), ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| \|\| \|\|A X q A X BC k C V BC C VEE k EE � �� 2 0 , ãäå q è ìàòðèöà V îïðåäåëåíû â òåîðåìå 17. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëî- âèÿìè (2), (3), â ðàáîòå [42] ïðåäëîæåí è èññëåäîâàí èòåðàöèîííûé ìåòîä p-ãî ïîðÿäêà ( )p � 2 ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè X CA BT 0 � � , X X Xk k k k i i p � � � � � �1 1 1 � , � k kE AX� � , k � 0 1, ,� (43) Òåîðåìà 19. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (43) ïðè � , îïðåäåëåííûì ñîîòíîøåíè- åì (34), ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| \|\| \|\|A X q A X BC k C V p BC C VEE k EE � � � �� 1 1 0 1 , ãäå q è ìàòðèöà V îïðåäåëåíû â òåîðåìå 17. Äàëåå ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû, ïðîèçâåäåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé è ðåãóëÿðèçîâàííûå èòåðàöèîííûå ïðîöåññû âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîá- ðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûìè âåñîâûìè ìàòðèöàìè, ïîñòðîåííûå íà îñíîâå ýòèõ ðàçëîæåíèé. Äëÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäå- ëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), â ðàáîòå [33] ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòå- ïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Òåîðåìà 20. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî- æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� � � è C n n� � � , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (2), (3), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà � , 0� � �� , èìååò ìåñòî ñîîòíî- øåíèå A CA BA E CA B BC k k T k T� � � � �� 1 1 ( ) , (44) ïðè÷åì \|\| \|\| [ ( ) ] \|\| \|\| , min A A CA BA A BC p C V p T p BC CEE E � � � �� EV� , (45) ãäå A CA BA E CA B p k k p T k T � � � , ( )� � � �� 1 1 , p �1 2, ,� , V — ëþáàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, � min ( )L — ìèíèìàëüíîå íåíóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû L . Â ðàáîòå [33] òàêæå ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò- ðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå A E CA BA E CA BA E CA B BC T k T Tk k� � � � �� { ( ) }( )( )� � �2 2 0 1 (46) è îöåíêà \|\| \|\| [ ( ) ] \|\| , min * ( )A A CA BA A BC n C V T BCEE n n� � � �� 2 2 \|\| C VEE � , (47) ãäå A E CA BA E CA BA E CA n T k n T Tk k � � � � , ( ){ ( ) } ( )� � � � �� 2 2 0 1 1 B , n � �1 2, , ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 79 Â [33] ïîñòðîåíû èòåðàöèîííûå ïðîöåññû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ïîëó÷åííûõ ñîãëàñíî (44), (46). Íà îñíîâàíèè ðàçëîæå- íèÿ (44) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàò- ðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû A BC � , óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâè- ÿì (2), (3), ïîëó÷èëè èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X X CA BA E X CA Bk T k T 0 1 10� � � �� , ( ) ( )� � , k �1 2, ,� (48) Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (48) ê A BC � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (45), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Äàëåå äëÿ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå (46) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòå- ïåííîå ïðîèçâåäåíèå, íà îñíîâàíèè êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � ïîëó÷èëè èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X CA BA E CA BT T 0 1� � �( )� , (49) X X CA BA E Xk k T k k k � � �� 1 2 2 1 1 1 � �( ) ( ) , k �1 2, ,� Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (49) ê A BC � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (47), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� . Íà îñíîâàíèè âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîá- ðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, ïðåäëîæåííîãî â ðàáîòå [7], ïîëó÷åíû è èññëåäîâàíû ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ âçâå- øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (19), ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Òåîðåìà 21. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî- æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� � � è C n n� � � , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (4), (19), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä: A C A BA E C A B BC k k EE T k EE T� � � � � � �� 1 1 ( ) , (50) ïðè÷åì \|\| \|\| ( ) , * /A A BC p CB p p EE � � � �� 1 2 1 2 , (51) ãäå A C A BA E C A B p k EE T k EE T k p � � � , ( )� � � � � � � �� 1 1 , p �1 2, ,� , � — ìèíèìàëüíîå íåíóëåâîå âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû A, îïðåäåëåííîå â òåîðåìå 9. Â ðàáîòå [7] òàêæå ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò- ðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå A E C A BA E C A BA E BC EE T k EE Tk k� � � � � � �� { ( ) }( )( )� � �2 2 0 1C A B EE T� (52) è îöåíêà \|\| \|\| ( ) , * * ( ) /A A BC n CBEE n n� � � �� 1 2 1 2 2 2 , (53) ãäå A E C A BA E C A BA E n EE T k n EE Tk k � � � � , ( ){ ( ) }(� � � � � �� 2 2 0 1 )� �1C A B EE T , n � �1 2, , , � * îïðåäåëåíî â òåîðåìå 21. 80 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 Â [7] ïîñòðîåíû èòåðàöèîííûå ïðîöåññû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâ- äîîáðàòíûõ ìàòðèö, îñíîâàííûõ íà ðàçëîæåíèÿõ (50), (52). Íà îñíîâàíèè ðàçëî- æåíèÿ (50) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàò- ðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû A BC � , îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (4), (19), ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X 0 0� , X C A BA E X C A Bk EE T k EE T� � �� ( ) ( )� �1 1 , k �1 2, ,� (54) Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (54) ê A BC � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (51), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííîãî ìåòîäà â [7] òàêæå èñïîëüçóåòñÿ ðàçëîæå- íèå (52) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàò- ðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå, íà îñíîâàíèè êîòîðîãî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðè- öû A BC � , îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (4), (19), ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X C A BA E C A B EE T EE T 0 1� �� ( )� , (55) X X C A BA E Xk k EE T k k k � � �� 1 2 2 1 1 1 � �( ) ( ) , k �1 2, ,� Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (55) ê A BC � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (53), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� . Íà îñíîâàíèè âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîá- ðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, ïðåäëîæåííîãî â ðàáîòå [8], ïîëó÷åíû è èññëåäîâàíû ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ âçâå- øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (8), (19), ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Òåîðåìà 22. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî- æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� � � è C n n� � � , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (8), (19), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä: A CA B A E CA B BC k k T EE k T EE � � � � � � �� 1 1 ( ) , (56) ïðè÷åì \|\| \|\| ( ) , * /A A BC p C B p p EE � � � �� 1 2 1 2 , (57) ãäå A CA B A E CA B p k k p T EE k T EE� � � , ( )� � � � � �� 1 1 , p �1 2, ,� ; � — êîðåíü êâàä- ðàòíûé èç ìèíèìàëüíîãî íåíóëåâîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ìàòðèöû CA B AT EE � (âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû A). Â ðàáîòå [8] òàêæå ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàò- ðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (8), (19), â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå A E CA B A E CA B A E BC T EE k T EE k k� � � � � � �� { ( ) }( )( )� � �2 2 0 1CA BT EE � (58) è îöåíêà \|\| \|\| ( ) , * * ( ) /A A BC n C BEE n n� � � �� 1 2 1 2 2 2 , (59) ãäå A E CA B A E CA B A E n T EE k n T EE k k � � � � , ( ){ ( ) }(� � � � � �� 2 2 0 1 )� �1CA BT EE , n � �1 2, , ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 81 Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèé (56), (58) ïîñòðîåíû èòåðàöèîííûå ïðîöåññû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿ- ìè (8), (19). Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ (56) äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû A BC � , îïðåäåëåííîé óñëîâèÿìè (8), (19), ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X 0 0� , X CA B A E X CA Bk T EE k T EE � � �� ( ) ( )� �1 1 , k �1 2, ,� (60) Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (60) ê A BC � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (57), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ (58) äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � , îïðåäåëåííîé óñëîâè- ÿìè (8), (19), ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X CA B A E CA BT EE T EE0 1� �� ( )� , (61) X X CA B A E Xk k T EE k k k � � �� 1 2 2 1 1 1 � �( ) ( ) , k �1 2, ,� Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (61) ê A BC � îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (59), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� . Òàêèì îáðàçîì, íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèé â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòå- ëÿìè ñòåïåíåé âûøå áûëè ïîñòðîåíû ðåãóëÿðèçîâàííûå èòåðàöèîííûå ïðîöåññû âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-ïîëóîïðåäå- ëåííûìè âåñîâûìè ìàòðèöàìè. Èç îöåíîê (45), (47), (51), (53), (57) (59) ñëåäóåò, ÷òî ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ðåãóëÿðèçîâàííûõ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ çàâè- ñèò îò êîëè÷åñòâà èòåðàöèé, ïàðàìåòðà � è ïåðâîãî îòëè÷íîãî îò íóëåâîãî âçâå- øåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ÷èñëà èñõîäíîé ìàòðèöû. Î÷åâèäíî, ÷òî ïàðàìåòð � íåîá- õîäèìî ïî âîçìîæíîñòè âûáèðàòü íàèìåíüøèì. Íî åãî âåëè÷èíà ïðè óìåíüøå- íèè îãðàíè÷èâàåòñÿ íåîáõîäèìîé òî÷íîñòüþ âû÷èñëåíèÿ îáðàòíûõ ìàòðèö ê ìàòðèöàì CA BA ET � � , C A BA E EE T� � � , CA B A ET EE � � � . Ïîýòîìó âîçíèêàåò ïðîáëåìà ñîãëàñîâàíèÿ ïàðàìåòðà ðåãóëÿðèçàöèè � ñ êîëè÷åñòâîì èòåðàöèé äëÿ äîñòèæåíèÿ íåîáõîäèìîé òî÷íîñòè. Êàê îòìå÷åíî âûøå, â ðàáîòàõ [35, 36] èññëåäîâàíû äðóãèå âèäû ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), ñîîòâåòñòâåí- íî â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ. Èìååò ìåñ- òî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû [35, 26]. Òåîðåìà 23. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî- æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� � � è C n n� � � , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (2), (3), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàò- ðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû: A BC � � � � � �� ( )E CA BA CA B k T k T 1 . (62) Ðàçëîæåíèå â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ óñòàíàâëèâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [36, 26]. Òåîðåìà 24. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A m n� � �0 � , ñèììåòðè÷íûõ ïîëî- æèòåëüíî-ïîëóîïðåäåëåííûõ ìàòðèö B m m� � � è C n n� � � , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (2), (3), è äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà 0� � �� èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòå- 82 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 ïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ A BC � � � � �( ) { ( ) }( )E CA BA E E CA BA C A BT T k Tk � � �� 1 2 0 . (63) Îòìåòèì, ÷òî êðîìå ðàçëîæåíèé (62), (63) â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðî- èçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â [35, 36] ïðåäëîæåíû è äðóãèå âèäû ðàçëîæåíèé. Ðàññìîòðèì âîïðîñ ïîñòðîåíèÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ íà îñíîâàíèè ðàç- ëîæåíèé (62), (63). Âíà÷àëå èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå (62) âçâåøåííîé ïñåâäîîá- ðàòíîé ìàòðèöû â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä, íà îñíîâàíèè êîòîðîãî äëÿ âû÷èñ- ëåíèÿ A BC � ïîëó÷èëè èòåðàöèîííûé ïðîöåññ [35] X 0 0� ; X X CA Bk p k i T i p � � � � � � �1 1 � �� , (64) � � �E CA BAT� , k � 0 1, , � , p � �1 2, , Òåîðåìà 25. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (64) ïðè 0� � �� ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| \|\| \|\|( )A X q A BC k C V p k BC C VEE EE � � � �� 1 1 , (65) ãäå q A A E CA BA CA BA BC T T� � � � �� [ ( ) ] [ ( )]min 1 11 1 , � min ( )L îïðåäåëå- íî â òåîðåìå 20, V — ïðîèçâîëüíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåí- íàÿ ìàòðèöà. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ (63) âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû â ìàò- ðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå äëÿ âû÷èñëåíèÿ A BC � [36] ïîëó÷èëè èòåðàöèîííûé ïðîöåññ X E CA BA CA B X X E CA BA XT T k k T k k 0 1 1 2 1 1 � � � � �� ( ) , ( ) ( ) , (66) k �1 2, ,� Òåîðåìà 26. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (66) ïðè 0� � �� ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| \|\| \|\|A X q A BC k C V BC C VEE k EE � �� 2 , ãäå q è ìàòðèöà V îïðåäåëåíû â òåîðåìå 25. Çíà÷åíèå q çàâèñèò îò ïàðàìåòðà � è óìåíüøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì ýòîãî ïàðàìåòðà. Äëÿ óâåëè÷åíèÿ ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ (64), (66) íåîáõîäèìî âûáèðàòü � äîñòàòî÷íî áîëüøèì. Íî ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà � áóäåò âîçðàñòàòü îáóñëîâëåííîñòü ìàòðèöû E C A BAT� �� 1 , ñ êîòîðîé ñâÿçàíà òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû ê ìàòðèöå E C A BAT� �� 1 . Ïîýòîìó äëÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (64) íåîáõîäèì âûáîð ïàðàìåòðîâ � , p è îïðåäåëåíèå ÷èñëà èòåðàöèé, à äëÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (66) — âûáîð ïàðàìåòðà � è îïðåäåëåíèå ÷èñëà èòåðàöèé ïðè ïîñòðîåíèè è ðåàëèçàöèè èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ. 4. ÏÐßÌÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÍÎÐÌÀËÜÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÐÅØÅÍÈÉ Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÂÅÑÀÌÈ Îäèí èç èçâåñòíûõ ñïîñîáîâ âû÷èñëåíèÿ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé îñíî- âàí íà ñèíãóëÿðíîì ðàçëîæåíèè ìàòðèö (ñì., íàïðèìåð, [40, 43, 44]). Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñà- ìè ìîæíî èñïîëüçîâàòü âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö, ïðåä- ëîæåííîå è èññëåäîâàííîå â ðàáîòàõ [5–8], ãäå íà îñíîâå âçâåøåííûõ ñèíãó- ëÿðíûõ ðàçëîæåíèé ìàòðèö ïîëó÷åíû ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàò- ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 83 íûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Â ðàáîòàõ [7, 8] ïîëó÷åíî âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ïðè èñïîëüçîâàíèè îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö. Îïðåäåëåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñó- ùåñòâîâàíèÿ ïîñòðîåííîãî âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè (ñì. òåîðåìó 9 íàñòîÿùåé ñòàòüè). Â [40] ïðåäëîæåíû àëãîðèòìû äëÿ âû÷èñëåíèÿ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé, êîòîðûå ìîæíî èñ- ïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðîöåäóð âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, ò.å. äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ (11)–(14). Íèæå ðàññìîòðèì ðåãóëÿðèçîâàííûå çàäà÷è, ïîñòðîåííûå ñ ïîìîùüþ ìíî- ãî÷ëåííûõ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ðàáîòàõ [33, 7, 8]. Íà îñíîâå ïåðâîãî èç (15) ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîá- ðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), â ðà- áîòå [33] ïîëó÷åíà è èññëåäîâàíà ÑËÀÓ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (11) ( ) ( )CA BA E x CA BA E CA BfT p k k p T p k T� � �� 1 1 . (67) Òåîðåìà 27. Ïóñòü x � — ðåøåíèå çàäà÷è (11), x p�, — ðåøåíèå îäíîé èç ñèñòåì (67), òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà \|\| \|\| [ ( ) ] \|\| \|\|, min x x CA BA Ap C p T p BC C EEE EE m � � �� \|\| \|\|f Em , ãäå � min ( )CA BAT — ìèíèìàëüíîå íåíóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû CA BAT . Íà îñíîâå ïðåäåëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (16) âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), â ðàáîòå [33] ïîëó÷åíà è èññëåäîâàíà ÑËÀÓ äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è (11) ( ) ( )CA BA E CA BA E xT T k n k � � � � � � � �2 0 1 (68) � � � � � � {( ) }CA BA E E CA B fT T k n k k � �2 2 0 1 . Òåîðåìà 28. Ïóñòü x � — ðåøåíèå çàäà÷è (11), x n�, — ðåøåíèå îäíîé èç ñèñòåì (68); òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà \|\| \|\| [ ( ) ] \|\| \|\|, min * ( )x x CA BA An C T BC CEE n n E � � �� 2 2 E m mE Ef� \|\| \|\| , ãäå � min * ( )CA BAT îïðåäåëåíî â òåîðåìå 27. Íà îñíîâå ïðåäåëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (20) âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (19), â ðàáîòå [7] ïîëó÷åíà è èññëåäîâàíà ÑËÀÓ äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ñèñòåìû (10): ( ) ( )C A BA E x C A BA E C A EE T p m k k p EE T p m k EE � � � � � � � �� 1 1 T Bf , (69) m p� 0 1, , ..., . 84 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 Â ÷àñòíîñòè, èìååì ( ) ( )C A BA E x C A BA E C A Bf EE T p k k p EE T p k EE T� � � � � �� 1 1 ïðè m � 0, (70) ( ) ( )C A BA E x C A BA E C A Bf EE T k k p EE T k EE T� � � � � �� 1 1 1 ïðè m p� �1 , (71) x C A BA E C A Bfk k p EE T k EE T� �� 1 1 ( ) ïðè m p� . (72) Ïðè âû÷èñëåíèè ïðèáëèæåíèÿ ê âçâåøåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ïî ôîðìóëå (72) è ïðè p � 2 äëÿ ðåøåíèÿ ÑËÀÓ (71) íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü îáðàò- íóþ ìàòðèöó ê ìàòðèöå C A BA E EE T� � � . Ïðè ðåøåíèè ÑËÀÓ (70) îáðàòíàÿ ìàòðè- öà íå âû÷èñëÿåòñÿ, íî ïðè ýòîì ìîæåò óõóäøàòüñÿ îáóñëîâëåííîñòü ìàòðèöû ( )C A BA E EE T p� � � . Âîïðîñ âûáîðà ÑËÀÓ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðåøåíèÿ îäíîé èç ñèñ- òåì (69), ïî-âèäèìîìó, áóäåò çàâèñåòü íå ñòîëüêî îò îáúåìà âû÷èñëèòåëüíîé ðàáî- òû, ñêîëüêî îò âåëè÷èíû ïîãðåøíîñòè, âíîñèìîé âû÷èñëèòåëüíûì ïðîöåññîì. Èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå èç [7]. Òåîðåìà 29. Ïóñòü x � — ðåøåíèå çàäà÷è (12), x p�, — ðåøåíèå îäíîé èç ñèñòåì (69), òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà \|\| \|\| ( ) \|\| \|\|, * * x x fp C p p B � � �� 1 2 , ãäå � * — ìèíèìàëüíûé íåíóëåâîé äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû � , îïðåäå- ëåííîé â (24). Íà îñíîâå ïðåäåëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (21) âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (19), â ðàáîòå [7] ïîëó÷åíà è èññëåäîâàíà ñëåäóþùàÿ ÑËÀÓ äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâå- øåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ñèñòåìû (10): ( )C A BA E x EE T n m� �� {( ) ( ) }( )C A BA E C A BA E C EE T n m EE T n m E k k � � �1 2 2 1 E T k n A B f� � � � 0 1 , (73) m n� �0 1 1, , ..., . Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå èç [7]. Òåîðåìà 30. Ïóñòü x � — ðåøåíèå çàäà÷è (12), à x n�, — ðåøåíèå îäíîé èç ñèñòåì (73), òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà \|\| \|\| ( ) \|\| \|\|, * * ( )x x fn C B n n� � �� 1 2 2 2 , ãäå � * îïðåäåëåíî â òåîðåìå 29. Íà îñíîâå ïðåäåëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (22) âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (8), (19), â ðàáîòå [8] ïîëó÷åíà è èññëåäîâàíà ñëåäóþùåå ÑËÀÓ äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâå- øåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ñèñòåìû (10): ( ) ( )CA B A E x CA B A E CA BT EE p m k k p T EE p m k T E � � � � � � �� 1 1 E f� , (74) m p� 0 1, , ..., . ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 85 Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 31. Ïóñòü x � — ðåøåíèå çàäà÷è (14), x p�, — ðåøåíèå îäíîé èç ñèñòåì (74), òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà \|\| \|\| ( ) \|\| \|\|, * * x x fp C p p BEE EE � � �� 1 2 , ãäå � * — êîðåíü êâàäðàòíûé èç ìèíèìàëüíîãî íåíóëåâîãî ñîáñòâåííîãî çíà- ÷åíèÿ ìàòðèöû CA B AT EE � . Íà îñíîâå ïðåäåëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (23) âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (8), (19), â ðàáîòå [8] ïîëó÷åíà è èññëåäîâàíà ñëåäóþùàÿ ÑËÀÓ äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ ê âçâå- øåííîìó íîðìàëüíîìó ïñåâäîðåøåíèþ ñèñòåìû (10): ( ) {( )CA B A E x CA B A ET EE n m T EE n m k n � � � � � � � � � � �� 1 0 1 � �� 2 2 1k k CA B A E CA B fT EE n m T EE ( ) }( ) , m n� 0 1, , ..., . (75) Òåîðåìà 32. Ïóñòü x � — ðåøåíèå çàäà÷è (14), x n�, — ðåøåíèå îäíîé èç ñèñòåì (75), òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà \|\| \|\| ( ) \|\| \|\|, * * ( )x x fn C BEE n n EE � � �� 1 2 2 2 , ãäå ïàðàìåòð � * îïðåäåëåí â òåîðåìå 31. Òàêèì îáðàçîì, íà îñíîâå ìíîãî÷ëåííûõ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâå- øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè ïîëó÷åíû ðåãóëÿðèçî- âàííûå çàäà÷è äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âû- ðîæäåííûìè âåñàìè. Èç îöåíîê, ïðèâåäåííûõ â òåîðåìàõ 27–32, ñëåäóåò, ÷òî ïî- ãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ çàâèñèò îò ïàðàìåòðà � è ïåðâîãî îòëè÷íîãî îò íóëåâîãî âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî çíà÷åíèÿ ìàòðèöû. Î÷åâèäíî, ÷òî ïàðàìåòð � ñëåäóåò âûáèðàòü ïî âîçìîæíîñòè íàèìåíüøèì. Íî åãî âåëè÷èíà îãðàíè÷èâàåòñÿ ñ óìåíüøåíèåì íåîáõîäèìîé òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû îòíîñèòåëü- íî ìàòðèö CA BA ET � � , C A BA E EE T� � � , CA B A ET EE � � � . Ïîýòîìó ïðè ðåøåíèè çàäà÷ (67), (69), (74) ñòîèò ïðîáëåìà ñîãëàñîâàíèÿ ïàðàìåòðîâ �, p è m , à ïðè ðå- øåíèè çàäà÷ (68), (73), (75) — ïàðàìåòðîâ �, n è m . Ïðè ðåøåíèè ïðèêëàäíûõ çà- äà÷ èñõîäíûå äàííûå, êàê ïðàâèëî, çàäàþòñÿ ñ ïîãðåøíîñòüþ. Ñëåäîâàòåëüíî, âîçíèêàåò âîïðîñ ñîãëàñîâàíèÿ ïàðàìåòðîâ �, p , m èëè �, n , m ñ âåëè÷èíîé ïî- ãðåøíîñòè èñõîäíûõ äàííûõ îòíîñèòåëüíî ïîëó÷åíèÿ íåîáõîäèìîé òî÷íîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ðåãóëÿðèçîâàííûìè ìåòîäàìè. Ýòî îñîáåííî âàæíî, ïî- ñêîëüêó âû÷èñëåíèå ïñåâäîðåøåíèé îòíîñèòñÿ ê êëàññó íåêîððåêòíûõ çàäà÷ (íåò íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è îò èçìåíåíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ). Îäíàêî èìåþòñÿ ðàáîòû, â êîòîðûõ íà îñíîâå âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè ïðîâåäåí àíàëèç âëèÿíèÿ âîçìóùåíèé èñõîäíûõ äàííûõ íà ðåøåíèÿ çàäà÷ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè (ñì., íàïðèìåð, [45, 46]). Îòìåòèì, ÷òî ìåòîä ðåãóëÿðèçàöèè äëÿ íàõîæäåíèÿ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðå- øåíèé ÑËÀÓ è äëÿ âû÷èñëåíèÿ L-ïñåâäîðåøåíèé ïðåäëîæåí è èññëåäîâàí ñîîò- âåòñòâåííî â ìîíîãðàôèÿõ [47] è [48]. Â ðàáîòå [49] ïðåäëîæåíà ðàñøèðåííàÿ ðå- ãóëÿðèçîâàííàÿ çàäà÷à äëÿ íàõîæäåíèÿ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ÑËÀÓ. 86 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 5. ÈÒÅÐÀÖÈÎÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÍÎÐÌÀËÜÍÛÕ ÏÑÅÂÄÎÐÅØÅÍÈÉ Ñ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÛÌÈ ÂÅÑÀÌÈ Èçëîæèì ïîñòðîåííûå íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ èòåðàöèîííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Âíà÷àëå ðàññìîòðèì èòåðàöèîííûå ïðîöåññû äëÿ âû- ÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, ïîñòðîåííûå íà îñíîâå ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä âçâåøåííûõ ïñåâäî- îáðàòíûõ ìàòðèö (ïåðâàÿ ôîðìóëà â (27)), îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (5), â ðà- áîòå [2] äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (12) ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x C A Bf EE T 1 � �� , x x C A B f Axk k EE T k� � �� 1 1� ( ) , k � 2 3, ,� (76) Òåîðåìà 33. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (76) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è (12), ïðè ýòîì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| max{ \| \| }\|\| \|\|/x x fk C i i k B i � � �� 0 1 2 1 , ãäå x � — ðåøåíèå çàäà÷è (12), � i — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû C A BA EE T� , à ïàðàìåòð � îïðåäåëåí â (28). Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåí- íûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå (âòîðàÿ ôîðìóëà â (27)) äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (12) ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x E E C A BA C A Bf EE T EE T 1 � � � � �� { ( )} , (77) x x E C A BA xk k EE T k k � � �� 1 2 1 1 ( )� , k � 2 3, , ... Òåîðåìà 34. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (77) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è (12), ïðè ýòîì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| max{ \| \| }\|\| \|\|/x x fk C i i B i k� � �� 0 1 2 21 , ãäå x � è � i îïðåäåëåíû â òåîðåìå 33, à � — â (28). Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä âçâåøåííûõ ïñåâäî- îáðàòíûõ ìàòðèö (ïåðâàÿ ôîðìóëà â (29)), îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (6), (7), â ðà- áîòå [3] äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (13) ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x C A B f EE T EE1 � � �� , x x C A B f Axk k EE T EE k� � �� 1 1� ( ), k � 2 3, ,� (78) Òåîðåìà 35. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (78) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è (13), ïðè ýòîì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| max{ \| \| }\|\| \|\|/x x fk C i i k B i EE � � �� 0 1 2 1 , ãäå x � — ðåøåíèå çàäà÷è (13), � i — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû C A B A EE T EE � � , ïàðàìåòð � îïðåäåëåí â (30). Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåí- íûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå (âòîðàÿ ôîðìóëà â (29)) äëÿ ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 87 ðåøåíèÿ çàäà÷è (13) ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x E E C A B A C A B f EE T EE EE T EE1 � � � � � � �� { ( )} , (79) x x E C A B A xk k EE T EE k k � � �� 1 2 1 1 ( )� , k � 2 3, ,� Òåîðåìà 36. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (79) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è (13), ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| max \| \| } \|\| \|\|/x x fk C i i B i k EE � � �� 0 1 2 21 , ãäå x � , � i è � îïðåäåëåíû â òåîðåìå 35. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä âçâåøåííûõ ïñåâäî- îáðàòíûõ ìàòðèö (ïåðâàÿ ôîðìóëà â (31)), îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (8), (9), â ðà- áîòå [4] äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (14) ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x CA B fT EE1 � �� , x x CA B f Axk k T EE k� � �� 1 1� ( ) , k � 2 3, ,� (80) Òåîðåìà 37. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (80) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è (14), ïðè ýòîì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| max{ \| \| }\|\| \|\|/x x fk C i i k BEE i EE � � �� 0 1 2 1 , ãäå x � — ðåøåíèå çàäà÷è (14), � i — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû CA B AT EE � , ïàðàìåòð � îïðåäåëåí â (32). Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåí- íûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå (âòîðàÿ ôîðìóëà â (31)) äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (14) ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x E E CA B A CA B fT EE T EE1 � � � � �� { ( )} , (81) x x E CA B A xk k T EE k k � � �� 1 2 1 1 ( )� , k � 2 3, ,� Òåîðåìà 38. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (81) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è (14), ïðè÷åì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| max \| \| } \|\| \|\|/x x fk C i i BEE i k EE � � �� 0 1 2 21 , ãäå x � , � i è � îïðåäåëåíû â òåîðåìå 37. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä âçâåøåííûõ ïñåâäî- îáðàòíûõ ìàòðèö (ïåðâàÿ ôîðìóëà â (33)), îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), â ðà- áîòå [22] äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (11) ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x CA BfT 0 � � , x x CA B f Axk k T k� � � �1 � ( ) , k � 0 1, ,� (82) Òåîðåìà 39. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (82) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è (11), ïðè ýòîì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| \|\| \|\|x x q x xk C k CEE EE � � � �� 1 1 0 , ãäå x � — ðåøåíèå çàäà÷è (11), q A A CA BA BC T� � �� ( ) 1 , �( )L — ñïåêòðàëü- íûé ðàäèóñ ìàòðèöû L, à � îïðåäåëåí â (34). 88 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåí- íûìè âåñàìè â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå (âòîðàÿ ôîðìóëà â (33)) â ðà- áîòå [41] äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (11) ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x CA BfT 0 � � , x x E CA BA xk k T k k � � �� 1 2 1 1 ( )� , k �1 2, ,� (83) Òåîðåìà 40. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (83) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è (11), ïðè ýòîì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| \|\| \|\|x x q xk C CEE k EE � �� 2 , ãäå x � , � è q îïðåäåëåíû â òåîðåìå 39. Äàëåå ðàññìîòðèì ðåãóëÿðèçîâàííûå èòåðàöèîííûå ïðîöåññû äëÿ âû- ÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè, ïîñòðîåííûå íà îñíîâå ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ñòåïåíåé. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä (44) âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), â ðàáîòå [33] äëÿ ðå- øåíèÿ çàäà÷è (11) ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x0 0� , x CA BA E x CA Bfk T k T� � �� ( ) ( )� �1 1 , k �1 2, ,� (84) Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (84) ê ðåøåíèþ çàäà÷è (11) îïðåäåëåíà â òåîðåìå 27, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (84) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå x0 0� , � �x CA BAx x CA Bf kk T k k T� � � ��1 1 2, , ,� (85) Äëÿ ðåàëèçàöèè èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (84) äîñòàòî÷íî îäèí ðàç âû÷èñ- ëèòü îáðàòíóþ ìàòðèöó ê ìàòðèöå CA BA ET � � , à ïðè ðåàëèçàöèè èòåðàöèîííî- ãî ïðîöåññà (85) íåîáõîäèìî íà êàæäîé èòåðàöèè ðåøàòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ àë- ãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Âîïðîñ âûáîðà èòåðàöèîííîãî ìåòîäà, ïî-âèäèìîìó, áóäåò çàâèñåòü íå ñòîëüêî îò îáúåìà âû÷èñëèòåëüíîé ðàáîòû, ñêîëüêî îò âåëè÷èíû ïîãðåøíîñòè, âíîñèìîé âû÷èñëèòåëüíûì ïðîöåññîì. Îòìåòèì, ÷òî ïîëîæèâ â (85) B Em� , C En� , ïîëó÷èì èòåðàöèîííûé ïðî- öåññ, ïðåäëîæåííûé è èññëåäîâàííûé â ìîíîãðàôèè [50] ïðè ðåøåíèè íåêîððåêòíûõ çàäà÷ äëÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé è íàçâàííûé àâòîðàìè èòåðàöè- îííûì ìåòîäîì ðåãóëÿðèçàöèè. Â ðàáîòå [51] ïðåäëîæåíû è èññëåäîâàíû èòåðà- öèîííûå ìåòîäû ðåãóëÿðèçàöèè ðåøåíèÿ çàäà÷ 2-ñâÿçíîãî ïñåâäîîáðàùåíèÿ äëÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåí- íûìè âåñàìè, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâå- äåíèå (46) â ðàáîòå [33] äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (11) ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x CA BA E CA BfT T 0 1� � �( )� , (86) x x CA BA E xk k T k k k � � �� 1 2 2 1 1 1 � �( ) ( ) , k �1 2, ,� Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (86) ê ðåøåíèþ çàäà÷è (11) îïðåäåëåíà â òåîðåìå 28, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä (62) âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), â ðàáîòå [35] äëÿ ðå- ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 89 øåíèÿ çàäà÷è (11) ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x0 0� ; x x CA Bfk p k i T i p � � � � � � �1 1 � �� , � � �E CA BAT� , k � 0 1, ,� (87) Òåîðåìà 41. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (87) ñõîäèòñÿ ïðè 0� � �� ê ðåøåíèþ çàäà÷è (11), ïðè ýòîì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| \|\| \|\|( )x x q xk C p k CEE EE � � � �� 1 1 , ãäå x � — ðåøåíèå çàäà÷è (11), ïàðàìåòð q îïðåäåëåí â òåîðåìå 25. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå (63) âçâå- øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (2), (3), â ðàáîòå [36] äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (11) ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x E CA BA CA BfT T 0 1� � �� ( ) , x x E CA BA xk k T k k � � �� 1 2 1 1 ( ) ( )� , (88) k �1 2, ,� , 0� � �� . Òåîðåìà 42. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (88) ñõîäèòñÿ ïðè 0� � �� ê ðåøåíèþ çàäà÷è (11), ïðè ýòîì èìååò ìåñòî îöåíêà \|\| \|\| \|\| \|\|x x q xk C CEE k EE � �� 2 , ãäå x � — ðåøåíèå çàäà÷è (11), à ïàðàìåòð q îïðåäåëåí â òåîðåìå 25. Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä (50) âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (5), â ðàáîòå [7] äëÿ ðåøå- íèÿ çàäà÷è (12) ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x0 0� , x C A BA E x C A Bfk EE T k EE T� � �� ( ) ( )� �1 1 , k �1 2, ,� (89) Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (89) ê x � îïðåäåëåíà â òåî- ðåìå 29, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü p k� . Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ â ìàòðè÷íîå ñòåïåííîå ïðîèçâåäåíèå (52) âçâå- øåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿìè (4), (19), â ðàáîòå [7] äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (12) ïîëó÷åí èòåðàöèîííûé ïðîöåññ x C A BA E C A Bf EE T EE T 0 1� �� ( )� , (90) x x C A BA E xk k EE T k k k � � �� 1 2 2 1 1 1 � �( ) ( ) , k �1 2, ,� Îöåíêà áëèçîñòè k-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (90) ê x � îïðåäåëåíà â òåî- ðåìå 30, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü n k� . ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â ñòàòüå äàí îáçîð ðàáîò, â êîòîðûõ ïîñòðîåíû è èññëåäîâàíû ïðÿìûå è èòå- ðàöèîííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâå- øåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Îñîáîå âíèìà- íèå óäåëÿåòñÿ ïîñòðîåíèþ è èññëåäîâàíèþ ðåãóëÿðèçîâàííûõ ñèñòåì ëèíåé- íûõ óðàâíåíèé è èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ äëÿ ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷. Ðàññìîòðåííûå ìåòîäû ïîñòðîåíû ãëàâíûì îáðàçîì íà îñíîâå ñòàòåé, ïîñâÿ- ùåííûõ ïîëó÷åíèþ è èññëåäîâàíèþ ðàçëîæåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ðÿäû è ïðîèçâåäåíèÿ, à òàêæå ìíîãî÷ëåííûõ ïðåäåëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé ýòèõ ìàòðèö, ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîá- ðàòíûõ ìàòðèö â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ 90 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 ñèììåòðèçóåìûõ ìàòðèö, ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö íà îñíîâå âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ðàçëîæåíèé ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Îñòàþòñÿ îòêðûòûìè âîïðîñû ñîãëàñîâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿðèçàöèè ðåãóëÿ- ðèçîâàííûõ ëèíåéíûõ ñèñòåì, ïîñòðîåííûõ íà îñíîâå ìíîãî÷ëåííûõ ïðåäåëü- íûõ ïðåäñòàâëåíèé âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö, ñ äðóãèìè ïàðàìåò- ðàìè, îïðåäåëÿþùèìè ñòðóêòóðó ýòèõ ñèñòåì, ñîãëàñîâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ðåãó- ëÿðèçàöèè ðåãóëÿðèçîâàííûõ èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ ñ êîëè÷åñòâîì èòåðàöèé, ó÷åò âëèÿíèÿ âçâåøåííûõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë è ïîãðåøíîñòè èñõîäíûõ äàí- íûõ íà òî÷íîñòü ïîëó÷àåìûõ ðåøåíèé ïðÿìûìè è èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ward J.F., Boullion T.L., Lewis T.O. Weighted pseudoinverses with singular weights. SIAM J. Appl. Math. 1971. Vol. 21, N 3. P. 480–482. 2. Ãàëáà Å.Ô., Äåéíåêà Â.Ñ., Ñåðãèåíêî È.Â. Âçâåøåííûå ïñåâäîîáðàòíûå ìàòðèöû è âçâåøåí- íûå íîðìàëüíûå ïñåâäîðåøåíèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìà- òèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. 2009. T. 49, ¹ 8. Ñ. 1347–1363. 3. Ñåðãèåíêî È.Â., Ãàëáà Å.Ô., Äåéíåêà Â.Ñ. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Óêðà¿íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë. 2011. T. 63, ¹ 1. Ñ. 80–101. 4. Ñåðãèåíêî È.Â., Ãàëáà Å.Ô., Äåéíåêà Â.Ñ. Òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè â òåîðèè âçâåøåííîé ïñåâäîèíâåðñèè ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2011. ¹ 1. Ñ. 14–33. 5. Ãàëáà Å.Ô., Äåéíåêà Â.Ñ., Ñåðãèåíêî È.Â. Âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå è âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. 2012. T. 52, ¹ 12. Ñ. 2115–2132. 6. Ãàëáà Å.Ô., Äåéíåêà Â.Ñ., Ñåðãèåíêî È.Â. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâà- íèÿ îäíîãî èç âàðèàíòîâ âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âå- ñàìè. Äîêëàäû ÐÀÍ. 2014. T. 455, ¹ 3. Ñ. 261–264. 7. Ñåðãèåíêî È.Â., Ãàëáà Å.Ô., Äåéíåêà Â.Ñ. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâà- íèÿ âçâåøåííîãî ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Óêðà¿íñüêèé ìà- òåìàòè÷íèé æóðíàë. 2015. T. 67, ¹ 3. Ñ. 406–426. 8. Ñåðãèåíêî È.Â., Ãàëáà Å.Ô. Âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè íà îñíîâå âçâåøåííûõ îðòîãîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2015. T. 51, ¹ 4. Ñ. 28–43. 9. Corach G., Maestripieri A. Weighted generalized inverses, oblique projections, and least-squares problems. Numer. Funct. Anal. and Optimization. 2005. Vol. 26, N 6. P. 659–673. 10. Mitra S.K., Rao C.R. Projections under seminorms and generalized Moore–Penrose inverses. Linear Algebra and Appl. 1974. Vol. 9. P. 155–167. 11. Elden L. Perturbation theory for the least squares problem with linear equality constraints. SIAM J. Numer. Anal. 1980. Vol. 17, N 3. P. 338–350. 12. Elden L. A weighted pseudoinverse generalized singular values and constrained least squares problems. BIT. 1982. Vol. 22, N 4. P. 487–502. 13. Censor Y., Gordon D., Gordon R. Component averaging: An efficient iterative parallel algorithm for large and sparse unstructured problems. Parallel Comput. 2001. Vol. 27, N 6. P. 777–808. 14. Censor Y., Gordon D., Gordon R. BICAV: an inherently parallel algorithm for sparse systems with pixel-dependent weighting. IEEE Transactions on Medical Imaging. 2001. Vol. 20. P. 1050–1060. 15. Censor Y., Elfving T. Block-iterative algorithms with diagonally skaled oblique projections for the linear feasibility problem. SIAM J. Matrix. Anal. 2002. Vol. 24, N 1. P. 40–58. 16. Censor Y., Elfving T. Iterative algorithms with seminorm-induced oblique projections. Abstract Appl. Anal. 2003. N 7. P. 387–406. 17. Moore E.H. On the reciprocal of the general algebraic matrix. Abstract. Bull. Amer. Math. Soc. 1920. Vol. 26. P. 394–395. 18. Penrose R. A generalized inverse for matrices. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1955. Vol. 51, N 3. P. 406–413. 19. Àëáåðò À. Ðåãðåññèÿ, ïñåâäîèíâåðñèÿ è ðåêóððåíòíîå îöåíèâàíèå. Ìîñêâà: Íàóêà, 1977. 223 ñ. 20. Ãàëáà Å.Ô., Ìîë÷àíîâ È.Í., Ñêîïåöêèé Â.Â. Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåí- íîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 1999. ¹ 5. Ñ. 150–169. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 91 21. Ãàëáà Å.Ô., Äåéíåêà Â.Ñ., Ñåðãèåíêî È.Â. Ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîá- ðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè è ðåãóëÿðèçàöèÿ çàäà÷. Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìà- òåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. 2004. T. 44, ¹ 11. Ñ. 1928–1946. 22. Ãàëáà Å.Ô. Èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. 1999. T. 39, ¹ 6. Ñ. 882–896. 23. Lancaster P., Rozsa P. Eigenvectors of H-self-adjoint matrices. Z. Angew. Math. und Mech. 1984. Vol. 64, N 9. S. 439–441. 24. Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Indefinite linear algebra and applications. Basel; Boston; Berlin: Birkh��auser Verlag, 2005. 357 p. 25. Èêðàìîâ Õ.Ä. Îá àëãåáðàè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ êëàññîâ ïñåâäîïåðåñòàíîâî÷íûõ è Í-ñàìîñîïðÿ- æåííûõ ìàòðèö. Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. 1992. T. 32, ¹ 8. Ñ. 155–169. 26. Ñåðãèåíêî È.Â., Ãàëáà Å.Ô. Âçâåøåííàÿ ïñåâäîèíâåðñèÿ ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Êèáåðíå- òèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2016. T. 52, ¹ 5. Ñ. 56–80. 27. Nashed M. Z. Generalized inverses and applications. New York: Acad. Press, 1976. 1054 p. 28. Âààðìàíí Î. Îáîáùåííûå îáðàòíûå îòîáðàæåíèÿ. Òàëëèí: Âàëãóñ, 1988. 120 c. 29. Ben-Israel A., Greville T.N.E. Generalized inverses: Theory and applications. Second edition. New York: Springer Verlag, 2003. 420 p. 30. Ãàëáà Å.Ô. Ïðåäñòàâëåíèå âçâåøåííîé ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ÷åðåç äðóãèå ïñåâäîîáðàò- íûå ìàòðèöû. Äîïîâ³ä³ ÍÀÍ Óêðà¿íè. 1997. ¹ 4. Ñ. 12–17. 31. Ãàëáà Å.Ô. Âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Óêðà¿íñüêèé ìà- òåìàòè÷íèé æóðíàë. 1994. T. 46, ¹ 10. Ñ. 1323–1327. 32. Decell H.P. An application of the Cayley–Hamilton theorem to generalized matrix inversion. SIAM Rev. 1965. Vol. 7, N 4. P. 526–528. 33. Ãàëáà Å.Ô., Äåéíåêà Â.Ñ., Ñåðãèåíêî È.Â. Ðàçëîæåíèÿ è ìíîãî÷ëåííûå ïðåäåëüíûå ïðåäñòàâ- ëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìà- òè÷åñêîé ôèçèêè. 2007. T. 47, ¹ 5. Ñ. 747–766. 34. Broeder G.G., Charnes A. Contributions to the theory generalized inverses for matrices. ONR Res. Memo. Northwestern Univ. 1962. N 39. 35. Ñåðãèåíêî È.Â., Ãàëáà Å.Ô., Äåéíåêà Â.Ñ. Ðàçëîæåíèå â ðÿäû âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è èòåðàöèîííûå ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâå- øåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâäîðåøåíèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2006. ¹ 1. Ñ. 32–62. 36. Ñåðãèåíêî È.Â., Ãàëáà Å.Ô., Äåéíåêà Â.Ñ. Ðàçëîæåíèå âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè â ìàòðè÷íûå ñòåïåííûå ïðîèçâåäåíèÿ è èòåðàöèîííûå ìåòîäû. Óêðà¿íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë. 2007. T. 59, ¹ 9. Ñ. 1269–1290. 37. Ñåðãèåíêî È.Â., Ãàëáà Å.Ô., Äåéíåêà Â.Ñ. Ïðåäñòàâëåíèÿ è ðàçëîæåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäî- îáðàòíûõ ìàòðèö, èòåðàöèîííûå ìåòîäû è ðåãóëÿðèçàöèÿ çàäà÷. 2. Âûðîæäåííûå âåñà. Êèáåð- íåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2008. ¹ 3. Ñ. 75–102. 38. Golub G., Kahan W. Calculating the singular values and pseudoinverse of matrix. J. SIAM Numer. Anal. 1965. Ser. B2. P. 205–224. 39. Golub G., Kahan W. Least squares, singular values, and matrix approximations. Aplikace matematiku. 1968. Vol. 13. P. 44–51. 40. Golub G., Reinsch C. Singular values decompositions and least squares solutions. Numer. Math. 1970. Vol. 14. P. 403–420. 41. Ãàëáà Å.Ô. Âçâåøåííîå ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå è âçâåøåííîå ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö. Óêðà¿íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë. 1996. T. 48, ¹ 10. Ñ. 1426–1430. 42. Ãàëáà Å.Ô., Äåéíåêà Â.Ñ., Ñåðãèåíêî È.Â. Èòåðàöèîííûå ìåòîäû âûñîêèõ ñêîðîñòåé ñõîäè- ìîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçâåøåííûõ ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö è âçâåøåííûõ íîðìàëüíûõ ïñåâ- äîðåøåíèé ñ âûðîæäåííûìè âåñàìè. Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷å- ñêîé ôèçèêè. 2005. T. 45, ¹ 10. Ñ. 1731–1755. 43. Óèëêèíñîí Äæ., Ðàéíø Ê. Ñïðàâî÷íèê àëãîðèòìîâ íà ÿçûêå Àëãîë. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà. Ìîñêâà: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1976. 392 ñ. 44. Ëîóñîí ×., Õåíñîí Ð. ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Ìîñêâà: Íàóêà, 1986. 232 ñ. 45. Õèìè÷ À.Í., Íèêîëàåâñêàÿ Å.À. Àíàëèç äîñòîâåðíîñòè êîìïüþòåðíûõ ðåøåíèé ñèñòåì ëè- íåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ïðèáëèæåííî çàäàííûìè èñõîäíûìè äàííûìè. Êèáåðíå- òèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2008. ¹ 6. Ñ. 83–95. 92 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 46. Íèêîëàåâñêàÿ Å.À., Õèìè÷ À.Í. Îöåíêà ïîãðåøíîñòè âçâåøåííîãî íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøå- íèÿ ñ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè âåñàìè. Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòå- ìàòè÷åñêîé ôèçèêè. 2009. T. 49, ¹ 3. Ñ. 422–430. 47. Òèõîíîâ À.Í., Àðñåíèí Â.ß. Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. Ìîñêâà: Íàóêà, 1974. 288 ñ. 48. Ìîðîçîâ Â.À. Ðåãóëÿðíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷. Ìîñêâà: Íàóêà, 1987. 240 ñ. 49. Æäàíîâ À.È. Ìåòîä ðàñøèðåííûõ ðåãóëÿðèçîâàííûõ íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé. Æóðíàë âû÷èñ- ëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. 2012. T. 52, ¹ 2. Ñ. 205–208. 50. Âàéíèêêî Ã.Ì., Âåðåòåííèêîâ À.Þ. Èòåðàöèîííûå ïðîöåäóðû â íåêîððåêòíûõ çàäà÷àõ. Ìîñêâà: Íàóêà, 1986. 183 ñ. 51. Óâàðîâ Â.Å., Øàôèåâ Ð.À. Èòåðàöèîííûé ìåòîä ðåãóëÿðèçàöèè çàäà÷è 2-ñâÿçíîãî ïñåâäîîáðà- ùåíèÿ äëÿ îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ. Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñ- êîé ôèçèêè. 2006. T. 46, ¹ 10. Ñ. 1735–1743. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 22.05.2017 ª.Ô. Ãàëáà, ².Â. Ñåðã³ºíêî ÌÅÒÎÄÈ ÎÁ×ÈÑËÅÍÍß ÇÂÀÆÅÍÈÕ ÏÑÅÂÄÎÎÁÅÐÍÅÍÈÕ ÌÀÒÐÈÖÜ ² ÇÂÀÆÅÍÈÕ ÍÎÐÌÀËÜÍÈÕ ÏÑÅÂÄÎÐÎÇÂ’ßÇÊ²Â Ç ÂÈÐÎÄÆÅÍÈÌÈ ÂÀÃÀÌÈ Àíîòàö³ÿ. Ñòàòòÿ ïðèñâÿ÷åíà îãëÿäó ðîá³ò, â ÿêèõ ïîáóäîâàíî ³ äîñë³äæåíî ïðÿì³ òà ³òåðàö³éí³ ìåòîäè îá÷èñëåííÿ çâàæåíèõ ïñåâäîîáåðíåíèõ ìàòðèöü ³ çâàæåíèõ íîðìàëüíèõ ïñåâäîðîçâ’ÿçê³â ç âèðîäæåíèìè âàãàìè. Ðîçãëÿíóò³ ìåòîäè ïîáóäîâàíî ãîëîâíèì ÷èíîì íà îñíîâ³ ñòàòåé àâòîð³â, ïðèñâÿ÷åíèõ ðîçâèòêó òåîð³¿ çâàæåíî¿ ïñåâäî³íâåðñ³¿ â íàïðÿìêó äîñë³äæåííÿ âëàñòèâîñ- òåé çâàæåíèõ ïñåâäîîáåðíåíèõ ìàòðèöü ³ çâàæåíèõ íîðìàëüíèõ ïñåâäîðîç- â’ÿçê³â ç âèðîäæåíèìè âàãàìè. Âèêîðèñòàíî îäåðæàí³ òà äîñë³äæåí³ àâòîðà- ìè ðîçêëàäè çâàæåíèõ ïñåâäîîáåðíåíèõ ìàòðèöü â ìàòðè÷í³ ñòåïåíåâ³ ðÿäè ³ äîáóòêè, ãðàíè÷íi ïðåäñòàâëåííÿ öèõ ìàòðèöü, âèçíà÷åííÿ ðîçêëàäó çâàæå- íèõ ïñåâäîîáåðíåíèõ ìàòðèöü íà îñíîâ³ çâàæåíèõ ñèíãóëÿðíèõ ðîçêëàä³â ìàòðèöü ç âèðîäæåíèìè âàãàìè. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: çâàæåí³ ïñåâäîîáåðíåí³ ìàòðèö³ ç âèðîäæåíèìè âàãàìè, çâàæåí³ íîðìàëüí³ ïñåâäîðîçâ’ÿçêè ç âèðîäæåíèìè âàãàìè, ³òåðàö³éí³ ìåòî- äè, ðåãóëÿðèçîâàí³ çàäà÷³. E.F. Galba, I.V. Sergienko METHODS FOR COMPUTING WEIGHTED PSEUDOINVERSE MATRICES AND WEIGHTED NORMAL PSEUDOSOLUTIONS WITH SINGULAR WEIGHTS Abstract. This paper surveys articles in which direct and iterative methods are constructed and investigated for computing weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions with singular weights. The considered methods are mainly constructed based on the authors’ articles devoted to the development of the theory of weighted pseudoinversion in the direction of investigating the characteristics of both weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions with singular weights. This article uses the following results obtained and investigated by the authors: expansions of weighted pseudoinverse matrices into matrix power series and products, limit representations of such matrices, and determination of decompositions of weighted pseudoinverse matrices based on weighted singular decompositions of matrices with singular weights. Keywords: weighted pseudoinverse matrix with singular weights, weighted normal pseudosolution with singular weights, iterative method, regularized problem. Ãàëáà Åâãåíèé Ôåäîðîâè÷, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: e.f.galba@ukr.net. Ñåðãèåíêî Èâàí Âàñèëüåâè÷, àêàäåìèê ÍÀÍ Óêðàèíû, äèðåêòîð Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: aik@publik.icub.kiev.ua. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 93

Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами

Institution

Ähnliche Einträge