Полиэдральные когерентные меры риска при неточных сценарных оценках
Применение полиэдральных когерентных мер риска расширено на случай неточных сценарных оценок случайных величин. Рассмотрены проблемы оптимизации при неопределенности, охватывающие широкий класс задач стохастического программирования и робастной оптимизации. Показано, как в линейном случае они сводят...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144872 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Полиэдральные когерентные меры риска при неточных сценарных оценках / В.С. Кирилюк // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 94–105. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144872 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1448722025-02-23T20:12:48Z Полиэдральные когерентные меры риска при неточных сценарных оценках Поліедральні когерентні міри ризику з неточними сценарними оцінками Polyhedral coherent risk measures in the case of imprecise scenario estimates Кирилюк, В.С. Системний аналіз Применение полиэдральных когерентных мер риска расширено на случай неточных сценарных оценок случайных величин. Рассмотрены проблемы оптимизации при неопределенности, охватывающие широкий класс задач стохастического программирования и робастной оптимизации. Показано, как в линейном случае они сводятся к задачам линейного программирования. Рассмотрены задачи оптимизации портфеля по соотношению вознаграждение–риск. Застосування поліедральних когерентних мір ризику розповсюджено на випадок неточних сценарних оцінювань випадкових величин. Розглянуто проблеми оптимізації з невизначеностю, що охоплюють широкий клас задач стохастичного програмування та робастної оптимізації. Показано, як в лінійному випадку вони зводяться до задач лінійного програмування. Розглянуто задачі оптимізації портфеля за співвідношенням винагорода–ризик. Polyhedral coherent risk measures are extended to the case of imprecise scenario estimates of random variables. Optimization problems under uncertainty are considered that cover a wide class of stochastic programming and robust optimization problems. It is shown how they are reduced to linear programming problems in the linear case. Problems of portfolio optimization by the reward-to-risk ratio are considered. 2018 Article Полиэдральные когерентные меры риска при неточных сценарных оценках / В.С. Кирилюк // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 94–105. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144872 519.21 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Кирилюк, В.С. Полиэдральные когерентные меры риска при неточных сценарных оценках Кибернетика и системный анализ |
| description |
Применение полиэдральных когерентных мер риска расширено на случай неточных сценарных оценок случайных величин. Рассмотрены проблемы оптимизации при неопределенности, охватывающие широкий класс задач стохастического программирования и робастной оптимизации. Показано, как в линейном случае они сводятся к задачам линейного программирования. Рассмотрены задачи оптимизации портфеля по соотношению вознаграждение–риск. |
| format |
Article |
| author |
Кирилюк, В.С. |
| author_facet |
Кирилюк, В.С. |
| author_sort |
Кирилюк, В.С. |
| title |
Полиэдральные когерентные меры риска при неточных сценарных оценках |
| title_short |
Полиэдральные когерентные меры риска при неточных сценарных оценках |
| title_full |
Полиэдральные когерентные меры риска при неточных сценарных оценках |
| title_fullStr |
Полиэдральные когерентные меры риска при неточных сценарных оценках |
| title_full_unstemmed |
Полиэдральные когерентные меры риска при неточных сценарных оценках |
| title_sort |
полиэдральные когерентные меры риска при неточных сценарных оценках |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144872 |
| citation_txt |
Полиэдральные когерентные меры риска при неточных сценарных оценках / В.С. Кирилюк // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 94–105. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT kirilûkvs poliédralʹnyekogerentnyemeryriskaprinetočnyhscenarnyhocenkah AT kirilûkvs políedralʹníkogerentnímíririzikuznetočnimiscenarnimiocínkami AT kirilûkvs polyhedralcoherentriskmeasuresinthecaseofimprecisescenarioestimates |
| first_indexed |
2025-11-24T23:51:35Z |
| last_indexed |
2025-11-24T23:51:35Z |
| _version_ |
1849717734019956736 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Â.Ñ. ÊÈÐÈËÞÊ
ÏÎËÈÝÄÐÀËÜÍÛÅ ÊÎÃÅÐÅÍÒÍÛÅ ÌÅÐÛ ÐÈÑÊÀ ÏÐÈ ÍÅÒÎ×ÍÛÕ
ÑÖÅÍÀÐÍÛÕ ÎÖÅÍÊÀÕ
Àííîòàöèÿ. Ïðèìåíåíèå ïîëèýäðàëüíûõ êîãåðåíòíûõ ìåð ðèñêà ðàñøèðåíî
íà ñëó÷àé íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ îöåíîê ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ðàññìîòðåíû
ïðîáëåìû îïòèìèçàöèè ïðè íåîïðåäåëåííîñòè, îõâàòûâàþùèå øèðîêèé
êëàññ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è ðîáàñòíîé îïòèìèçàöèè.
Ïîêàçàíî, êàê â ëèíåéíîì ñëó÷àå îíè ñâîäÿòñÿ ê çàäà÷àì ëèíåéíîãî ïðî-
ãðàììèðîâàíèÿ. Ðàññìîòðåíû çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ ïî ñîîòíîøå-
íèþ âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïîëèýäðàëüíàÿ êîãåðåíòíàÿ ìåðà ðèñêà, conditional
value-at-risk, ñïåêòðàëüíàÿ êîãåðåíòíàÿ ìåðà ðèñêà, íåòî÷íûå îöåíêè, ëèíåéíîå
ïðîãðàììèðîâàíèå, îïòèìèçàöèÿ ïîðòôåëÿ, ñîîòíîøåíèå âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ðàáîòàõ [1–4] ðàññìàòðèâàëñÿ ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ïîëèýäðàëüíûõ êîãå-
ðåíòíûõ ìåð ðèñêà (ÏÊÌÐ), ïðåäíàçíà÷åííûé äëÿ îöåíêè ðèñêà â çàäà÷àõ
îïòèìèçàöèè ñî ñëó÷àéíûìè (íåîïðåäåëåííûìè) ïàðàìåòðàìè.
 òåðìèíîëîãèè [5] ñèòóàöèè, â êîòîðûõ âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå òà-
êèõ ïàðàìåòðîâ èçâåñòíî, íàçûâàþòñÿ óñëîâèÿìè ðèñêà, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå —
óñëîâèÿìè íåîïðåäåëåííîñòè. Ðèñêè ðàçëè÷íûõ ïðîöåññîâ, êàê ïðàâèëî, îáóñëîâëå-
íû èõ íåîïðåäåëåííîñòÿìè, äîïóñêàþùèìè íåáëàãîïðèÿòíûå (âïëîòü äî íàèõóä-
øèõ) èñõîäû. Ïî ñóòè, îíè îòðàæàþò îöåíêè ðåàëèçàöèè ïåññèìèñòè÷åñêèõ ñöå-
íàðèåâ ðàçâèòèÿ ñîáûòèé â âèäå óùåðáà, ïîòåðü è ïð. Ñóùåñòâóþò ðàçíûå ñïîñî-
áû ïîñòðîåíèÿ òàêèõ îöåíîê. Îíè ìîãóò îïèñûâàòüñÿ ñðåäíèìè èëè
ìàêñèìàëüíûìè ïîòåðÿìè ëèáî íåêîòîðûìè äðóãèìè ôóíêöèÿìè [6–9].
Îáû÷íî â ïðèëîæåíèÿõ äîñòóïíà ëèøü ÷àñòè÷íàÿ èíôîðìàöèÿ î ðàñïðåäå-
ëåíèÿõ ñëó÷àéíûõ (íåîïðåäåëåííûõ) ïàðàìåòðîâ, ïîñêîëüêó äàæå íàëè÷èå áîëü-
øîãî íàáîðà ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ íå ãàðàíòèðóåò çíàíèÿ èõ âåðîÿòíîñòíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ. Çíàíèå ïðîøëîãî íå îçíà÷àåò òî÷íîé èíôîðìàöèè î áóäóùèõ
ñîáûòèÿõ, ïîýòîìó áóäóùåå âñåãäà ñîäåðæèò íåîïðåäåëåííîñòè. Èç òàêèõ ñîîá-
ðàæåíèé àïïàðàò ÏÊÌÐ âíà÷àëå ââîäèëñÿ äëÿ èçâåñòíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðå-
äåëåíèé [1], à çàòåì ðàçâèâàëñÿ íà ñëó÷àé íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñ-
òåé [2–4], êîãäà äîñòóïíû òîëüêî èõ íèæíèå è âåðõíèå îöåíêè.
Ïðè ìîäåëèðîâàíèè âîçìîæíû ñèòóàöèè, êîãäà íåèçâåñòíû ñöåíàðíûå çíà-
÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ ïàðàìåòðîâ — îïðåäåëåíû òîëüêî èõ îöåíêè. Ê òîìó æå ýòî
ìîæåò äîïîëíÿòüñÿ íåòî÷íûìè ñöåíàðíûìè âåðîÿòíîñòÿìè.
 äàííîé ðàáîòå àïïàðàò ÏÊÌÐ ðàçâèâàåòñÿ íà ñëó÷àé íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ
îöåíîê ñëó÷àéíûõ (íåîïðåäåëåííûõ) âåëè÷èí. Ýòî ïîçâîëÿåò ìîäèôèöèðîâàòü
ðÿä ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ñ åãî ïðèìåíåíèåì äëÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè, íà
áîëåå øèðîêèé êëàññ íåîïðåäåëåííîñòåé.
1. ÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈÈ È ÏÐÈÌÅÐÛ ÏÊÌÐ
Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , )� � P0 çàäàíà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
(ñ.â.) X R: � � . Â [6] äëÿ îöåíêè ðèñêà ñ.â. X ôèíàíñîâîãî ïîòîêà ââåäåíî
ïîíÿòèå êîãåðåíòíîé ìåðû ðèñêà (ÊÌÐ), êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
�( ) [ ]:X E X P QP� � �sup{ }, (1)
94 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
� Â.Ñ. Êèðèëþê, 2018
ãäå EP [. ] — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïî âåðîÿòíîñòíîé ìåðå P, à Q — íåêîòî-
ðîå âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ìåð. Òàêàÿ ìåðà èíòåðïðåòè-
ðóåò ïîòåíöèàëüíûå ïîòåðè ñëó÷àéíîãî ïîòîêà X , îïèñûâàåìûå âåëè÷èíîé (�X ).
Åñëè ñ.â. X õàðàêòåðèçóåò çàòðàòû, óáûòêè, ñòîèìîñòè è äðóãèå âåëè÷èíû,
óïîðÿäî÷èâàåìûå ïî ïðåäïî÷òåíèþ «÷åì ìåíüøå, òåì ëó÷øå», òî â ÊÌÐ èñïîëü-
çóåòñÿ ïîäîáíîå ïðåäñòàâëåíèå, íî áåç èçìåíåíèÿ çíàêà ïðè ñ.â.:
�( ) [ ]:X E X P QP� �sup{ }. (2)
Êîíñòðóêöèÿ (2) ïðèìåíÿåòñÿ â çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè, â êîòîðûõ â êà÷åñòâå
êðèòåðèåâ è îãðàíè÷åíèé èñïîëüçóþòñÿ ôóíêöèè ìèíèìóìîâ, ïîñêîëüêó ýòî
îçíà÷àåò èìåííî òàêîé ïîðÿäîê ïðåäïî÷òåíèé. Åñëè ïðåäïî÷òåíèå çàìåíÿåòñÿ
ïðîòèâîïîëîæíûì, òî â êà÷åñòâå ìåðû ðèñêà öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü
ïðåäñòàâëåíèå (1).
Êîíå÷íóþ äèñêðåòíî ðàñïðåäåëåííóþ (ä.ð.) ñ.â. X ìîæíî ïðåäñòàâèòü êîíå÷-
íûì íàáîðîì ñöåíàðíûõ çíà÷åíèé x x xn� ( , , )1 � ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âåðîÿòíîñ-
òÿìè p p pn0 1
0 0� ( , , )� . Â [1] ââåäåíî ïîíÿòèå ïîëèýäðàëüíîé ÊÌÐ (ÏÊÌÐ),
â êîòîðîì ê îïèñàíèþ (1) (èëè (2)) äëÿ ä.ð.ñ.â. äîïîëíèòåëüíî ïîñòóëèðîâàëàñü
ìíîãîãðàííîñòü (ïîëèýäðàëüíîñòü) ìíîæåñòâà Q, ò.å. åãî ïðåäñòàâëåíèå â âèäå
Q p Bp c p�
{ }: , 0 , (3)
ãäå B è c — ìàòðèöà è âåêòîð ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåðíîñòåé.
Ñëåäóÿ [3], ðàçäåëèì îïèñàíèå ìíîæåñòâà Q èç (3) íà ñòàíäàðòíóþ è ñîäåð-
æàòåëüíóþ ÷àñòè. Ïðåäñòàâèì ìàòðèöó B è âåêòîð c êàê
B
B
B
ñ
ñ
ñ
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
��
0
1
0
1
, , (4)
ãäå B0 è ñ0 , îïèñûâàþùèå íåðàâåíñòâà (3), ÿâëÿþòñÿ ñòàíäàðòíûìè:
B0
1 1
1 1
�
� �
�
�
�
�
��
�
�
, c0
1
1
�
�
�
�
�
�
�� , (5)
à B1 è ñ1 îïèñûâàþò ñîäåðæàòåëüíóþ ÷àñòü â ñîîòíîøåíèè (4), êîòîðàÿ,
ñîáñòâåííî, è îïðåäåëÿåò ìåðó ðèñêà â ôîðìå (2)–(5).
Íàëè÷èå ñòàíäàðòíîé ÷àñòè â âèäå B0 è ñ0 ñâÿçàíî ñ îïèñàíèåì â (3) ñòàí-
äàðòíîãî óñëîâèÿ äëÿ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé pii
n �
�� 1
1
, ïðåäñòàâëåííîãî â (5)
äâóìÿ íåðàâåíñòâàìè: pii
n
�� 1
1
è � �
�� pii
n
1
1
.
Ïðèâåäåì ïðèìåðû ÏÊMÐ.
Ïðèìåð 1. Ñðåäíèå ïîòåðè. Òîãäà E X Q pP0 0[ ]: � { }.
Ïðèìåð 2. Ìàêñèìàëüíûå ïîòåðè (íàèõóäøèé ñëó÷àé). Òîãäà Q — ìíîæåñ-
òâî âñåõ âîçìîæíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ìåð, ïîýòîìó â åãî îïèñàíèè îòñóòñòâóåò ñî-
äåðæàòåëüíàÿ ÷àñòü â âèäå B1 è c1.
Ïðèìåð 3. Ñðåäíåå íà õâîñòå ðàñïðåäåëåíèÿ, èëè conditional value-at-risk
(CVaR) [7]. Äëÿ CVaR X� ( ) ìàòðèöà B1 è âåêòîð c1 èìåþò âèä
B I c p1 1 0
1
1
� �
�
, ,
�
â êîòîðîì I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, p0 — âåêòîð ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 95
Ïðèìåð 4. Ñïåêòðàëüíàÿ êîãåðåíòíàÿ ìåðà ðèñêà (SCRM) [8]. Äëÿ SCRM
ìàòðèöà B1 è âåêòîð c1 îïèñûâàþòñÿ êàê
B I1 � , c pi
ii
n
1
1
0
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
ãäå � i è � i äëÿ ñöåíàðèåâ i n� �1, , è ñïåêòðà �(. ) îïðåäåëÿþòñÿ èç íàáîðà
ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîîòíîøåíèé [3].
Ïðèìåð 5. Ïðåäñòàâëåíèå Êóñóîêè èíâàðèàíòíûõ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ÊÌÐ
(KRRM) [9]. Äëÿ KRRM ìàòðèöà B1 è âåêòîð c1 èìåþò âèä
B I1 � , c p
n
i
ii
n
1
1
0
1 1
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�max
( , , )� �
�
�� �
.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî â îïèñàíèÿõ ìåð èç ïðèìåðîâ 1 è 3–5 èìååòñÿ âåêòîð
ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé p0 , ò.å. ìíîæåñòâî Q, îïðåäåëÿþùåå ìåðó ðèñêà â (2),
çàâèñèò îò èñõîäíîé âåðîÿòíîñòíîé ìåðû.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé, êîãäà ìîäåëèðóþòñÿ
ñöåíàðèè áóäóùèõ ñîáûòèé ñ ðàñïðåäåëåíèåì ïî íèì çíà÷åíèé ñ.â., íî èõ âåðîÿò-
íîñòè p0 íå îïðåäåëÿþòñÿ, à ëèøü îöåíèâàþòñÿ ñíèçó è ñâåðõó. Äëÿ òàêèõ ñèòóà-
öèé àïïàðàò ÏÊÌÐ èñïîëüçóåò òàê íàçûâàåìûå ðîáàñòíûå êîíñòðóêöèè ìåð ðèñêà.
Îòìå÷åííàÿ çàâèñèìîñòü ìíîæåñòâà Q îò p0 â êîíñòðóêöèè (2) ïîçâîëÿåò
èíòåðïðåòèðîâàòü åãî êàê íåêîòîðîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå (ì.î.) Q(. ) ,
îïðåäåëÿþùåå ìåðó ðèñêà. Ýòî ïîçâîëÿåò ñòðîèòü ÏÊÌÐ â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ
òî÷íîé èíôîðìàöèè î âåêòîðå ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé p0 .
Åñëè èçâåñòíî, ÷òî p0 ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó, ò.å. p U P0 � , òî
ìîæíî ïîñòðîèòü ìåðó ðèñêà, ó÷èòûâàþùóþ óâåëè÷åíèå ðèñêà (ïîòåíöèàëüíûõ
ïîòåðü) çà ñ÷åò íåîïðåäåëåííîñòè, îáóñëîâëåííîé ìíîæåñòâîì U P . Äëÿ ýòîãî ïî
èñõîäíîé ìåðå ðèñêà � 0 âèäà (2) è ìíîæåñòâó U P ñòðîèòñÿ åå ðîáàñòíàÿ
êîíñòðóêöèÿ [2]
� �0, ( ) [ ]: ( )U P PP
X E X P Q U� �sup{ }, (6)
ãäå Q U Q pP
p UP
( ) ( )�
�
�
�
�
�
�
�
co 0
0
� , Q(. ) — ì.î. èñõîäíîé ìåðû � 0 (. ) , co — âûïóê-
ëàÿ çàìêíóòàÿ îáîëî÷êà.
Âîîáùå ãîâîðÿ, ïîñòðîåíèå �
�0,UP
â âèäå (6) ïî èñõîäíîé ìåðå � 0 â ôîð-
ìå (2) íå ÿâëÿåòñÿ òðèâèàëüíîé çàäà÷åé [2]. Íî îíà çíà÷èòåëüíî óïðîùàåòñÿ ïðè
íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòÿõ, êîãäà p0 îöåíèâàåòñÿ ñíèçó è ñâåðõó íåêîòî-
ðûìè âåêòîðàìè pl è pu . Òîãäà ìíîæåñòâî U P èìååò âèä
U p p p p p pP i l u
i
n
�
�
�
�
�
�
�
��
�: , ,0 1
1
.
 ýòîì ñëó÷àå ðîáàñòíûìè êîíñòðóêöèÿìè äëÿ ìåð èç ïðèìåðîâ 1–5 ÿâëÿþòñÿ
ÏÊÌÐ, îïèñûâàåìûå â ôîðìå (2)–(5) ñî ñëåäóþùèìè àòðèáóòàìè [3].
Ïðèìåð 1'. Äëÿ ñðåäíèõ ïîòåðü:
B
I
I
1 �
��
�
�
�
�� , c
p
p
l
u
1 �
��
�
�
�
�� .
96 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Ïðèìåð 2'. Äëÿ ìàêñèìàëüíûõ ïîòåðü B1 è c1 îòñóòñòâóþò.
Ïðèìåð 3'. Äëÿ CVaR� : B I1 � , c
pu
1
1
�
��
.
Ïðèìåð 4'. Äëÿ SCRM: B I1 � , c pi
ii
n
u1
11
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, ãäå � i è � i îïðåäåëÿþòñÿ
èç íàáîðà ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîîòíîøåíèé [3].
Ïðèìåð 5'. Äëÿ KRRM: B I1 � , c p
n
i
ii
n
u1
11 1
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�max
( , , )� �
�
�� �
.
2. ÑËÓ×ÀÉ ÍÅÒÎ×ÍÛÕ ÑÖÅÍÀÐÍÛÕ ÎÖÅÍÎÊ
Äîïóñòèì, èçâåñòíû íå ñöåíàðíûå çíà÷åíèÿ ñ.â., à òîëüêî èõ íèæíèå è âåðõíèå
îöåíêè. Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , )� � P0 ñ.â. X îïèñûâàåòñÿ
ñâîèìè èçìåðèìûìè (ñëó÷àéíûìè) íèæíèìè X l è âåðõíèìè X u îöåíêàìè êàê
X U X� , ãäå
U X X X XX l u( ) ( ): ( ) ( ) ( )� � � � �� { }, ��� ï.â.
Íàçîâåì òàêóþ ñèòóàöèþ ñëó÷àåì íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ îöåíîê ñ.â. Ïîêà-
æåì, ÷òî â íåé ìîæíî èñïîëüçîâàòü àïïàðàò ÏÊÌÐ, êîòîðûé ñëåäóåò ïðèìåíÿòü
äëÿ îöåíîê X u è X l ñ.â. X .
Ââåäåì ñîîòâåòñòâåííî íèæíèé, âåðõíèé è âçâåøåííûé âàðèàíòû ÏÊÌÐ.
 ñëó÷àå, êîãäà â êà÷åñòâå ÏÊÌÐ èñïîëüçóåòñÿ êîíñòðóêöèÿ (2), îáîçíà÷èì
íèæíþþ, âåðõíþþ è âçâåøåííóþ ÏÊÌÐ ñ.â. X ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� �l
P Q Y U
P
P Q
P l lX E Y E X X
X
( ) [ ] [ ] ( )� � �
� � �
sup inf sup { } ,
� �u
P Q Y U
P
P Q
P u uX E Y E X X
X
( ) [ ] [ ] ( )� � �
� � �
sup sup sup { } ,
� � �� ( ) [ ] ( ) [ ]X E Y E Y
p Q Y U
P
Y U
P
px x
� � � �
� � �
sup { inf sup } sup1
�
� �
Q
P l uE X X{ }[ ( ) ]� �1 .
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå X X Xl u� � �� � �( )1 , èìååì
� ��
� �( ) { [ ]} ( )X E X X
p Q
P� �
�
sup .
Äëÿ êîíñòðóêöèè (1), ó÷èòûâàÿ ñìåíó çíàêà ïðè X , ñîîòâåòñòâóþùèå âàðè-
àíòû ÏÊÌÐ îïèñûâàåì êàê
� l
p Q
P uX E X( ) [ ]� �
�
sup{ }, � u
p Q
P lX E X( ) [ ]� �
�
sup{ },
� �
�( ) [ )]( )X E X
p Q
P� �
�
�sup{ }1 .
Ñëåäîâàòåëüíî, â ñëó÷àå íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ îöåíîê ïîëó÷èì íåñêîëüêî âà-
ðèàíòîâ ìåðû ðèñêà (íèæíþþ, âåðõíþþ è âçâåøåííóþ), êîòîðûå ìîæíî èñ-
ïîëüçîâàòü äëÿ îöåíêè ðèñêà â çàâèñèìîñòè îò êîíòåêñòà çàäà÷è.
Çàìå÷àíèå 1. Ïóñòü ñ.â. X îöåíèâàåòñÿ íåêîòîðûìè ìíîæåñòâàìè (íå îáÿçà-
òåëüíî èíòåðâàëàìè), ò.å. X U X( ) ( )� � �� �, � ï.â., ãäå U X
R: � � 2 — íåêîòî-
ðîå èçìåðèìîå ì.î. U X ( )� .  òàêîì ñëó÷àå âåëè÷èíû � �l u(. ), (. ) îïðåäåëÿþòñÿ
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 97
àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó:
� l
P Q Y U
PX E Y
X
( ) [ ]�
� �
sup inf , � u
P Q Y U
PX E Y
X
( ) [ ]�
� �
sup sup ,
� � �� ( ) [ ] ( ) [ ]X E Y E Y
p Q Y U
P
Y U
P
x x
� � �
� � �
sup { inf sup }1 ,
îäíàêî ïðè ýòîì óñëîæíÿåòñÿ ïîèñê âíóòðåííèõ ýêñòðåìóìîâ.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé êîìáèíàöèè íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ îöåíîê ñ.â. è íå-
òî÷íûõ âåðîÿòíîñòåé. Òîãäà ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (6) ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ðîáàñòíûå êîíñòðóêöèè � l (. ) , � u (. ) , � � (. ) â ñëåäóþùåì âèäå:
� �
�0,
( ) [ ] : ( ) , , ,
U
j
P j P
P
X E X P Q U j l u� � �sup{ } .
Åñëè äîñòóïíà èíôîðìàöèÿ òîëüêî î ìíîæåñòâå ðàçáðîñà çíà÷åíèé ñ.â. X ,
ò.å. X U( )� � , ãäå U U X�
��
�
� ï.â.
� ( ), îöåíêè ìåðû ðèñêà � l (. ) è � u (. ) ñâîäÿòñÿ
ñîîòâåòñòâåííî ê ñëó÷àÿì íàèìåíüøåãî è íàèáîëüøåãî ðèñêà íåçàâèñèìî îò ì.î. Q.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî â ñèòóàöèè íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ îöåíîê ñ.â. âîçíèêàåò
íåñòðîãèé ÷àñòè÷íûé (ðåôëåêñèâíûé, àíòèñèììåòðè÷íûé è òðàíçèòèâíûé) ïîðÿ-
äîê «
», ñâÿçàííûé ñ èõ èñõîäíûì ïðåäïî÷òåíèåì. Íàïðèìåð, äëÿ ïðåäïî÷òåíèÿ
«÷åì ìåíüøå, òåì ëó÷øå» îí îïðåäåëÿåòñÿ êàê
X Y X Y X Yl l u u
� ( ) ( )& ( ) ( )� � � � ï.â.
 ñëó÷àå îáðàòíîãî èñõîäíîãî ïðåäïî÷òåíèÿ íåðàâåíñòâà äëÿ îöåíîê çíà÷åíèé
ñ.â. çàìåíÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè.
×àñòè÷íûé ïîðÿäîê «
�», îïðåäåëÿåìûé ñ ïîìîùüþ ÏÊÌÐ �(. ) â âèäå
X Y X Y X Yl l u u
� � � � � �( ) ( )& ( ) ( ) ,
çà ñ÷åò ñîîòâåòñòâóþùåé ñìåíû çíàêà ïðè ñ.â. ó÷èòûâàåò îáà âàðèàíòà èñõîä-
íûõ ïðåäïî÷òåíèé è îêàçûâàåòñÿ ñëàáåå ïðåäûäóùåãî ïîðÿäêà â ñëåäóþùåì
ñìûñëå: X Y X Y
�
� . Î÷åâèäíî, ÷òî îáðàòíàÿ èìïëèêàöèÿ, âîîáùå ãîâî-
ðÿ, íåâåðíà.
Åñëè ïðèìåíÿåì äëÿ îöåíèâàíèÿ ðèñêà ñ.â. X âåëè÷èíû � l (. ) è � u (. ) , òî
ôàêòè÷åñêè èñïîëüçóåì ïîðÿäîê «
�».
3. ÇÀÄÀ×È ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ Ñ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅÌ ÏÊÌÐ
Êàê èçâåñòíî èç [10], øèðîêèé êëàññ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
(ÑÏ) è ðîáàñòíîé îïòèìèçàöèè (ÐÎ) ìîæíî ñ ïðèìåíåíèåì ÏÊÌÐ ñâåñòè
ê îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷å
� 0 0( ( , )) min ,f x x� �
� i i if x( ( , ))� 0 , i m�1, ,� , x M� , (7)
ãäå � i (. ) , i m� 0 1, , , ,� — ÏÊÌÐ âèäà (2)–(5), êîòîðûå ñòðîÿòñÿ ïî ñ.â.
f xi ( , )� , i m� 0 1, , ,� . Ïðè ýòîì ïåðåõîä îò îäíîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è ê äðóãîé
äîñòèãàåòñÿ â (7) èñïîëüçîâàíèåì ñîîòâåòñòâóþùåé ÏÊÌÐ. Òåõíè÷åñêè ýòî ðå-
àëèçóåòñÿ âûáîðîì â (4) íåîáõîäèìûõ ìàòðèöû B1 è âåêòîðà c1.
 ñëó÷àå íåòî÷íûõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ îöåíèâàíèÿ ðèñêà ìîæíî âîñïîëüçî-
âàòüñÿ ðîáàñòíûìè âàðèàíòàìè ìåð èç ïðèìåðîâ 1'–5'. Òîãäà ìåðû � i (. ) ,
i m� 0 1, , ,� , â (7) ïîíèìàþòñÿ â ýòîì ñìûñëå.
98 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Çàäà÷à (7) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðóþ ìèíèìàêñíóþ ïîñòàíîâêó, â êîòî-
ðîé âíóòðåííèé ìàêñèìóì ïîðîæäàåòñÿ êîíñòðóêöèåé ìåðû ðèñêà. Ïîèñê åå ðå-
øåíèé çíà÷èòåëüíî óïðîùàåòñÿ, êîãäà ýòè ôóíêöèè ëèíåéíû ïî x [10].
 ñëó÷àå íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ îöåíîê ñ.â. ìîæíî ïðèìåíèòü êîíñòðóêöèè
îïèñàííûõ ðàíåå âàðèàíòîâ ÏÊÌÐ: � l X( ), � u X( ), � � ( )X . Åñëè èñïîëüçóåòñÿ
ïîðÿäîê «
�» èç ðàçä. 2, òî ïðèìåíèì � l X( ) è � u X( ). Òîãäà àíàëîã (7) èìååò
âèä äâóõêðèòåðèàëüíîé çàäà÷è
�
�
0 0
0 0
u
l
f x
f x
( ( , ))
( ( , ))
min ,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �i
u
i i
uf x i m( ( , )) , , ,� �1 � ,
� �i
l
i i
lf x i m( ( , )) , , ,� �1 � , x M� ,
ðåøåíèå êîòîðîé íóæíî âûáèðàòü íà ìíîæåñòâå åå ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ âàðè-
àíòîâ. Îòìåòèì î÷åâèäíîñòü óñëîâèé 0 � �i
l
i
u , i m�1, ,� .
Îäíèì èç ïðîñòûõ ïðèåìîâ äëÿ ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ ïîñòàíîâîê ÿâëÿåòñÿ
ñâîðà÷èâàíèå êðèòåðèåâ â ñêàëÿð ñ ïîìîùüþ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ, ò.å.
ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è:
�� � �
0 0 0 01u lf x f x( ( , )) ( ) ( ( , )) min� � � � � ,
� �i
u
i i
uf x i m( ( , )) , , ,� �1 � ,
� �i
l
i i
lf x i m( ( , )) , , ,� �1 � , x M� .
Èçìåíÿÿ ñîîòíîøåíèå âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ ïîäáîðîì ïàðàìåòðà ��[ , ]0 1 ,
ïîëó÷àåì òî èëè èíîå ïàðåòî-îïòèìàëüíîå ðåøåíèå.
Ìîæíî òàêæå îïòèìèçèðîâàòü îäèí èç êðèòåðèåâ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà
âòîðîé:
�
0 0
u f x( ( , )) min� � ,
� �i
u
i i
uf x i m( ( , )) , , ,� �1 � , (8)
� �i
l
i i
lf x i m( ( , )) , , ,� � 0 � , x M� ,
�
0 0
l f x( ( , )) min� � ,
� �i
u
i i
uf x i m( ( , )) , , ,� � 0 � , (9)
� �i
l
i i
lf x i m( ( , )) , , ,� �1 � , x M� .
 ñëó÷àå ëèíåéíûõ ïî x ôóíêöèé f x i mi ( , ) , , ,� � 0 � , ýòè ïðîáëåìû ìîæíî
ñâåñòè ê íåêîòîðûì çàäà÷àì ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (ËÏ), êàê ýòî áûëî
ñäåëàíî â [10] äëÿ çàäà÷è (7).
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü f x l x ai i i( , ) ( ), ( )� � �� � � � , i m� 0, ,� , ãäå ñ.â. li ( )�
è ai ( )� , i m� 0, ,� , ðàñïðåäåëåííûå ïî n ñöåíàðèÿì ( , , )� �1 � n , îöåíèâàþòñÿ
ñâåðõó è ñíèçó âåëè÷èíàìè li
u ( )� , ai
u ( )� è li
l ( )� , ai
l ( )� ñîîòâåòñòâåííî.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 99
Îáîçíà÷èì
L
l l
l l
i
u
i
u
ik
u
i
u
n ik
u
n
�
�
�
�
�
�1 1 1
1
( ) ( )
( ) ( )
� �
� �
�
� � �
�
�
�
�
, a
a
a
i
u
i
u
i
u
n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( )
( )
�
�
1
� , i m� 0, ,� ,
L
l l
l l
i
l
i
l
ik
l
i
l
n ik
l
n
�
�
�
�
�
�1 1 1
1
( ) ( )
( ) ( )
� �
� �
�
� � �
�
�
�
�
, a
a
a
i
l
i
l
i
l
n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( )
( )
�
�
1
� , i m� 0, ,� .
Ñ ó÷åòîì êîíñòðóêöèè ÏÊÌÐ çàäà÷è (8) è (9) îïèñûâàåì ñîîòâåòñòâåííî êàê
max , : minp
u u
xL x a p p Q{ }� � � � �
0 0 0 ,
max , : , , ,p i
u
i
u
i i
uL x a p p Q i m{ }� � � � �� 1 � , (10)
max , : , , ,p i
l
i
l
i i
lL x a p p Q i m{ }� � � � �� 0 � , x M R k� ,
max , : minp
l l
xL x a p p Q{ }� � � � �
0 0 0 ,
max , : , , ,p i
l
i
l
i i
lL x a p p Q i m{ }� � � � �� 1 � , (11)
max , : , , ,p i
u
i
u
i i
uL x a p p Q i m{ }� � � � �� 0 � , x M R k� ,
ãäå � �i
u
i
l
0, i m� 0, ,� , — íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå âåëè÷èíû.
Ïóñòü, êàê è ðàíåå, êàæäîå ïîëèýäðàëüíîå ìíîæåñòâî Qi , i m� 0, ,� , â êîíñòðóê-
öèè ìåðû � i (. ) ïðåäñòàâëåíî â ôîðìå (3) ñîîòâåòñòâåííî ìàòðèöåé Bi è âåêòîðîì ci :
Q p B p c p i mi i i�
�{ }: , , , ,0 0 � .
Òåîðåìà 1. Åñëè çàäà÷è (10) è (11) ñîâìåñòíû, èõ îïòèìàëüíûìè ðåøåíèÿìè
ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êîìïîíåíòû x ðåøåíèé ( , , , , , , )v v v v xl
m
l u
m
u
0 0
� � ñëå-
äóþùèõ çàäà÷ ËÏ:
min , ,
( ,..., , ,..., , )v v v v x
u
u u
l
m
l u
m
u c v
B v L
0 0
0 0
0 0 0
� �
� �T x a
c v i m
B v L x a i
u
i i
u
i
u
i i
u
i
u
i
u
� � �
� � �
0
1
1
,
, , , , ,
, , ,
� �
�
T m
c v i m
B v L x a i m
x
i i
l
i
l
i i
l
i
l
i
l
,
, , , , ,
, , , ,
� � �
� � �
�
� 0
0
�
�
T
M v v i mi
l
i
u, , , , , ,
�0 0 0 �
min , ,
( ,..., , ,..., , )v v v v x
l
l l
l
m
l u
m
u c v
B v L
0 0
0 0
0 0 0
� �
� �T x a
c v i m
B v L x a i
l
i i
l
i
l
i i
l
i
u
i
l
� � �
� � �
0
1
1
,
, , , , ,
, , ,
� �
�
T m
c v i m
B v L x a i m
x
i i
u
i
u
i i
u
i
u
i
u
,
, , , , ,
, , , ,
� � �
� � �
�
� 0
0
�
�
T
M v v i mi
l
i
u, , , , , ,
�0 0 0 �
à çíà÷åíèÿ ïî ôóíêöèÿì â ðåøåíèÿõ çàäà÷ ñîâïàäàþò.
100 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1 èç [10].
Ïîäñòàâëÿÿ â ïîëó÷åííûå çàäà÷è ËÏ ðàçëè÷íûå âàðèàíòû ñîäåðæàòåëüíûõ ÷àñ-
òåé ìàòðèö è âåêòîðîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ÏÊÌÐ, ìîæíî òåõíîëîãè÷íî ðåøàòü
çàäà÷è âèäà (10), (11) äëÿ âñåãî êëàññà ÏÊÌÐ.
Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ çàäà÷ó îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ ïî ñîîò-
íîøåíèþ äîõîäíîñòü–ðèñê. Îòìåòèì, ÷òî ïî ñîäåðæàòåëüíûì ñîîáðàæåíèÿì äëÿ
ïîñòðîåíèÿ ÏÊÌÐ èñïîëüçóåòñÿ êîíñòðóêöèÿ (1), (3)–(5).
Ïóñòü èìååòñÿ k ôèíàíñîâûõ èíñòðóìåíòîâ, íàçûâàåìûõ êîìïîíåíòàìè
ïîðòôåëÿ, ðàñïðåäåëåíèå äîõîäíîñòè êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ ìàòðèöåé H ðàçìåðà
n k! , ãäå j-é ñòîëáåö îïèñûâàåò ðàñïðåäåëåíèå j-é êîìïîíåíòû. Âåêòîð
u u uk� ( , , )1 � , îïèñûâàþùèé ñòðóêòóðó ïîðòôåëÿ ïðè ui
k
1
1� � , ui
0,
i k�1, ,� , ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïåðåìåííàÿ. Íåîáõîäèìî íàéòè ñòðóêòóðó ïîðòôå-
ëÿ u, îïòèìèçèðóþùóþ åãî ñîâîêóïíûé ðåçóëüòàò ïî ñîîòíîøåíèþ äîõîä-
íîñòü–ðèñê.
Ïðè èçâåñòíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ, êðîìå ìàòðèöû ðàñïðåäåëåíèé ïðè-
áûëüíîñòè êîìïîíåíò ïî ñöåíàðèÿì H , èçâåñòåí òàêæå âåêòîð ñöåíàðíûõ âå-
ðîÿòíîñòåé p0 . Â òàêèõ óñëîâèÿõ èìååì äâå ñâÿçàííûå ïîñòàíîâêè çàäà÷: ìèíè-
ìèçàöèþ ÏÊÌÐ ïîðòôåëÿ ïðè ãàðàíòèðîâàííîé ñðåäíåé ïðèáûëüíîñòè è ìàêñè-
ìèçàöèþ ñðåäíåé äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà ÏÊÌÐ.
Îáîçíà÷èì äîïóñòèìîå çíà÷åíèå îæèäàåìîé äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ E HuP0
[ ]
êàê �0 , âûáðàííóþ ÏÊÌÐ — �( )Hu , äîïóñòèìîå çíà÷åíèå ÏÊÌÐ ïîðòôåëÿ — � 0 .
Òîãäà òàêèå çàäà÷è ôîðìóëèðóþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî â âèäå
min ( ),
, ,
[ ] ,
�
�
Hu
u u
E Hu
i
n
i
p
�
� 1 0
1
0
0
max [ ],
, ,
( ) .
E Hu
u u
Hu
p
i
n
i
0
1 0
1
0
�
�
� �
(12)
 ñëó÷àå íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé â [3] ïî èñõîäíîé ìåðå �(. ) è
ìíîæåñòâó íåîïðåäåëåííîñòè U P â ñîîòâåòñòâèè ñ (6) ñòðîèëèñü ðîáàñòíûå âà-
ðèàíòû ìåð ðèñêà � �, (. )UP
, à â êà÷åñòâå ðîáàñòíîãî àíàëîãà îæèäàåìîé äîõîä-
íîñòè èñïîëüçîâàëàñü ôóíêöèÿ âîçíàãðàæäåíèÿ
r X E X P UP P( ) min [ ]:� �{ },
ãäå U P â ñëó÷àå íåòî÷íûõ âåðîÿòíîñòåé ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ôîðìå ïðîñòîãî ïî-
ëèýäðàëüíîãî ìíîæåñòâà, îïèñàííîãî ðàíåå. Òîãäà èìååì
r X E X P QP( ) min [ ] :� �{ },
ãäå Q îïèñûâàåòñÿ â ôîðìå (3) ñî ñëåäóþùèìè àòðèáóòàìè:
B
I
I
c
p
p
l
u
�
��
�
�
�
�� �
��
�
�
�
��, .
Ðîáàñòíûå âàðèàíòû çàäà÷ ìèíèìèçàöèè ÏÊÌÐ ïîðòôåëÿ ïðè åãî ãàðàíòè-
ðîâàííîé ôóíêöèè âîçíàãðàæäåíèÿ r0 è ìàêñèìèçàöèè ôóíêöèè âîçíàãðàæäåíèÿ
ïîðòôåëÿ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà ÏÊÌÐ óðîâíåì � 0 èìåþò âèä
min ( ),
, ,
[ ] ,
,� � U
i
n
i
p
Hu
u u
r Hu r
�
� 1 0
1
0
max [ ],
, ,
( ) .
r Hu
u u
Hu
i
n
i
Up
�
� 1 0
1
0� ��
(13)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 101
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ ïðè íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ îöåí-
êàõ. Ìàòðèöà Í ðàñïðåäåëåíèé äîõîäíîñòè êîìïîíåíò ôèíàíñîâûõ èíñòðóìåí-
òîâ ïî ñöåíàðèÿì íåèçâåñòíà, à îïðåäåëåíû òîëüêî åå âåðõíèå è íèæíèå îöåíêè,
ïðåäñòàâëåííûå ñîîòâåòñòâåííî ìàòðèöàìè H l è H u , ò.å. H rij i j
n k�
� �
{ }
1 1,
, ïîýëå-
ìåíòíî îöåíèâàåòñÿ ìàòðèöàìè H rl
ij
l
i j
n k�
� �
{ }
1 1,
, è H ru
ij
u
i j
n k�
� �
{ }
1 1,
, , ãäå
r r r i n j kij
l
ij ij
u � �, , , , , ,1 1� � .
Òîãäà àíàëîãàìè ïðîáëåì (12) ñ èñïîëüçîâàíèåì íèæíèõ è âåðõíèõ îöåíîê
ÏÊÌÐ è ñðåäíåé äîõîäíîñòè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå çàäà÷è:
min ( ),
, ,
( ) ,
[ ] ,
�
� �
�
H u
u u
H u
E H u
E
u
i
n
i
l l
p
u u
p
�
� 1 0
1
0
00
0
[ ] ,H ul l
�
0
min ( ),
, ,
( ) ,
[ ] ,
�
� �
�
H u
u u
H u
E H u
E
l
i
n
i
u u
p
u u
p
�
� 1 0
1
0
00
0
[ ] ,H ul l
�
0
(14)
max [ ],
, ,
[ ] ,
( ) ,
E H u
u u
E H u
H u
p
u
i
n
i
p
l l
l l
0
0
1 0
1
0
0
�
�
�
� �
�( ) ,H uu u �
0
max [ ],
, ,
[ ] ,
( ) ,
E H u
u u
E H u
H u
p
l
i
n
i
p
u u
l l
0
0
1 0
1
0
0
�
�
�
� �
�( ) ,H uu u �
0
(15)
â êîòîðûõ � �
0 0
j j j l u, , ,� , ñîîòâåòñòâåííî îãðàíè÷åíèÿ ñíèçó íà ñðåäíþþ äî-
õîäíîñòü è îãðàíè÷åíèÿ ñâåðõó íà ìåðó ðèñêà.
Åñëè ñëó÷àé íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ îöåíîê äîïîëíÿåòñÿ íåòî÷íûìè âåðîÿò-
íîñòÿìè, òî â êà÷åñòâå ìåðû ðèñêà èñïîëüçóåì ðîáàñòíóþ êîíñòðóêöèþ
� � UP
(. ), à â êà÷åñòâå ñðåäíåé äîõîäíîñòè — ôóíêöèþ âîçíàãðàæäåíèÿ r(. ).
Òîãäà àíàëîãàìè ïðîáëåì (13) ñ ïðèìåíåíèåì âåðõíèõ è íèæíèõ îöåíîê ÏÊÌÐ è
ôóíêöèè âîçíàãðàæäåíèÿ r(. ) ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå çàäà÷è:
min ( ),
, ,
( ) ,
( )
,
,
�
� �
�
�
U
u
i
n
i
U
l l
u
p
p
H u
u u
H u
r H u r
�
� 1 0
1
0
0
0
u
l lr H u r
,
( ) ,
min ( ),
, ,
( ) ,
( )
,
,
�
� �
�
�
U
l
i
n
i
U
u u
u
p
p
H u
u u
H u
r H u r
�
� 1 0
1
0
0
0
u
l lr H u r
,
( ) ,
(16)
max ( ),
, ,
( ) ,
( ) ,,
r H u
u u
r H u r
H u
u
i
n
i
l l
U
l l
P
�
� 1 0
1
0
0
� �
�
�
� �U
u u
P
H u( ) ,
0
max ( ),
, ,
( ) ,
( ) ,,
r H u
u u
r H u r
H u
l
i
n
i
u u
U
l l
P
�
� 1 0
1
0
0
� �
�
�
� �U
u u
P
H u( ) ,
0
(17)
â êîòîðûõ r j l uj j
0 0
, , ,� � , ñîîòâåòñòâåííî îãðàíè÷åíèÿ ñíèçó íà ôóíêöèþ âîç-
íàãðàæäåíèÿ è îãðàíè÷åíèÿ ñâåðõó íà ìåðó ðèñêà.
102 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Óòî÷íèì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ìàòðèö B è âåêòîðîâ c èç îïèñàíèÿ ïîëèýäðàëü-
íûõ ìíîæåñòâ â âèäå (3): Br è cr — äëÿ ôóíêöèé âîçíàãðàæäåíèÿ r(. ); B � è c� —
äëÿ ðîáàñòíûõ âàðèàíòîâ ìåð ðèñêà � � UP
(. ).
Òåîðåìà 2. Åñëè ïðîáëåìû (16), (17) ñîâìåñòíû, èõ îïòèìàëüíûìè ïîðòôå-
ëÿìè ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êîìïîíåíòû u ðåøåíèé ( , , , , )v v w w ul u l u ñëåäóþ-
ùèõ çàäà÷ ËÏ:
min , ,
,
,
( , , , , )v v w w u
l
l l
u u
l u l u c v
B v H u
c v
� �
� �
� �
�
�
� �
T 0
0
,
,
, ,
,
,
� �
� � � �
� �
� � �
B v H u
c w r
B w H u
c w
u u
r
l l
r
l l
r
u
�
T
T
0
0
0
�
� �
�
�
r
B w H u
u u
v v w w
u
r
u u
i
n
l u l u
0
1
0
1 0
0 0 0 0
,
,
, ,
, , , ,
T
min , ,
,
,
( , , , , )v v w w u
u
u u
l l
l u l u c v
B v H u
c v
� �
� �
� �
�
�
� �
T 0
0
,
,
, ,
,
,
� �
� � � �
� �
� � �
B v H u
c w r
B w H u
c w
l l
r
l l
r
l l
r
u
�
T
T
0
0
0
�
� �
�
�
r
B w H u
u u
v v w w
u
r
u u
i
n
l u l u
0
1
0
1 0
0 0 0 0
,
,
, ,
, , , ,
T
max , ,
,
,
( , , , , )v v w w u r
l
r
l l
l
l u l u c w
B w H u
c v
� � �
� �
� �
T 0
0� � l
l l
u u
u u
r
u
B v H u
c v
B v H u
c w
,
,
, ,
,
,
� �
� �
� �
� � � �
�
�
�
�
T
T
0
0
0
r
B w H u
u u
v v w w
u
r
u u
i
n
l u l u
0
1
0
1 0
0 0 0 0
,
,
, ,
, , , ,
� �
�
�
T
max , ,
,
,
( , , , , )v v w w u r
u
r
u u
l
l u l u c w
B w H u
c v
� � �
� �
� �
T 0
0� � l
l l
u u
u u
r
l
B v H u
c v
B v H u
c w
,
,
, ,
,
,
� �
� �
� �
� � � �
�
�
�
�
T
T
0
0
0
r
B w H u
u u
v v w w
l
r
l l
i
n
l u l u
0
1
0
1 0
0 0 0 0
,
,
, ,
, , , .
� �
�
�
T
Óòâåðæäåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü ïðèìåíåíèåì òåîðåìû 1, à òàêæå ñ ïîìîùüþ
äîêàçàòåëüñòâà, àíàëîãè÷íîãî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 3 èç [3].
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî çàäà÷è (14), (15) — ÷àñòíûå ñëó÷àè çàäà÷ (16), (17), ïî-
ýòîìó èõ ñâåäåíèå ê çàäà÷àì ËÏ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñëåäñòâèå òåîðåìû 2.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè çàäà÷è (14), (15) ñîâìåñòíû, èõ îïòèìàëüíûìè ïîðòôåëÿìè
ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êîìïîíåíòû ðåøåíèé ( , , )v v ul u ñëåäóþùèõ çàäà÷ ËÏ:
min , ,
,
, ,
( , , )v v u
l
l l
u u
u u
l u c v
B v H u
c v
B v H
� �
� �
� �
� �
T
T
0
0
�
u
p H u
p H u
u u
v v
u u
l l
i
n
l u
� �
� �
�
�
0
1 0
0
0 0
0 0
1
,
,
,
, ,
,
T
T
�
�
0,
min , ,
,
, ,
( , , )v v u
u
u u
l l
l l
l u c v
B v H u
c v
B v H
� �
� �
� �
� �
T
T
0
0
�
u
p H u
p H u
u u
v v
u u
l l
i
n
l u
� �
� �
�
�
0
1 0
0
0 0
0 0
1
,
,
.
, ,
,
T
T
�
�
0,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 103
max ( ) , ,
,
, ,
( , , )v v u
u
u l
l l
l u H p u
B v H u
c v
B
� �
� �
� �
�
T
T
T
0
0
0
�
v H u
c v
p H u
u u
v
l l
u u
l l
i
n
l
�
� �
� �
�
�
0
1 0
0
0
0 0
1
,
, ,
,
, ,
,
�
�T
v u
0,
max ( ) , ,
,
, ,
( , , )v v u
l
l l
l l
l u H p u
B v H u
c v
B
� �
� �
� �
�
T
T
T
0
0
0
�
v H u
c v
p H u
u u
v
l l
u u
u u
i
n
l
�
� �
� �
�
�
0
1 0
0
0
0 0
1
,
, ,
,
, ,
,
�
�T
v u
0.
Îòìåòèì, ÷òî ïðè èçâåñòíîì âåêòîðå p0 ðàçìåðíîñòü ïîëó÷åííûõ çàäà÷ ËÏ
ñóùåñòâåííî (íà 4n, ãäå n — êîëè÷åñòâî ñöåíàðèåâ) íèæå, ÷åì ïðè íåòî÷íûõ ñöå-
íàðíûõ âåðîÿòíîñòÿõ.
Çàìå÷àíèå 2. Èíîãäà â çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ öåëåñîîáðàçíî èñ-
ïîëüçîâàòü íå îäíó, à íåñêîëüêî ìåð ðèñêà.  ýòîì ñëó÷àå íåñëîæíî ìîäèôèöè-
ðîâàòü ôîðìóëèðîâêè êàê èñõîäíûõ ïîñòàíîâîê çàäà÷, òàê è ñîîòâåòñòâóþùèõ
èì çàäà÷ ËÏ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå îïèñàíî èñïîëüçîâàíèå àïïàðàòà ÏÊÌÐ ïðè íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ
îöåíêàõ ñ.â., ÷òî ïîçâîëÿåò ðàñøèðèòü óñëîâèÿ íåîïðåäåëåííîñòè äëÿ åãî ïðè-
ìåíèìîñòè. Òàêèìè óñëîâèÿìè, ïîìèìî ñëó÷àåâ èçâåñòíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ðàñ-
ïðåäåëåíèé è íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé, ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àè íåòî÷íûõ
ñöåíàðíûõ îöåíîê, à òàêæå êîìáèíàöèè íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ îöåíîê è íåòî÷-
íûõ âåðîÿòíîñòåé.
Ðàññìîòðåíû ïðîáëåìû îïòèìèçàöèè ñ èñïîëüçîâàíèåì ÏÊÌÐ, îõâàòûâàþ-
ùèå øèðîêèé êëàññ çàäà÷ ÑÏ è ÐÎ. Ïîêàçàíî, êàê â ëèíåéíîì ñëó÷àå îíè ñâîäÿò-
ñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì çàäà÷àì ËÏ, ÷òî ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî èõ ðåøàòü.  êà-
÷åñòâå ïðèëîæåíèÿ ðàññìîòðåíû ïðîáëåìû îïòèìèçàöèè ïîðòôåëåé ïî ñîîòíî-
øåíèþ âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Êèðèëþê Â.Ñ. Î êëàññå ïîëèýäðàëüíûõ êîãåðåíòíûõ ìåð ðèñêà. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé
àíàëèç. 2004. ¹ 4. Ñ. 155–167.
2. Êèðèëþê Â.Ñ. Ïîëèýäðàëüíûå êîãåðåíòíûå ìåðû ðèñêà è îïòèìèçàöèÿ èíâåñòèöèîííîãî
ïîðòôåëÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2008. ¹ 2. Ñ. 120–133.
3. Êèðèëþê Â.Ñ. Ïîëèýäðàëüíûå êîãåðåíòíûå ìåðû ðèñêà è îïòèìàëüíûå ïîðòôåëè ïî ñîîòíî-
øåíèþ âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2014. Ò. 50, ¹ 5. C. 85–103.
4. Êèðèëþê Â.Ñ. Òåîðèÿ îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè, îïòèìàëüíûå ïîðòôåëè è ïîëèýäðàëüíûå êîãå-
ðåíòíûå ìåðû ðèñêà. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2014. Ò. 50, ¹ 6. Ñ. 63–72.
5. Knight F.H. Risk, uncertainty and profit. Boston: Houghton Miffin, 1921. 381 p.
6. Artzner P., Delbaen F., Eber J.M., Heath D. Coherent measures of risk. Mathematical Finance.
1999. Vol. 9, N 3. P. 203–228.
7. Rockafellar R.T., Uryasev S. Optimization of Conditional Value-at-Risk. Journal of Risk. 2000.
Vol. 2, N 3. P. 21–41.
8. Acerbi C. Spectral measures of risk: a coherent representation of subjective risk aversion. J. Banking
& Finance. 2002. Vol. 26, N 7. P. 1505–1518.
104 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
9. Kusuoka S. On law invariant coherent risk measures. Kusuoka S., Maruyama T. (Eds.). Advances in
Mathematical Economics. Tokyo: Springer, 2001. Vol. 3. P. 83–95.
10. Êèðèëþê Â.Ñ. Ìåðû ðèñêà â çàäà÷àõ ñòîõàñòè÷åñêîé è ðîáàñòíîé îïòèìèçàöèè. Êèáåðíåòèêà
è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2015. Ò. 51, ¹ 6. C. 46–59.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 09.06.2017
Â.Ñ. Êèðèëþê
ÏÎ˲ÅÄÐÀËÜͲ ÊÎÃÅÐÅÍÒͲ ̲ÐÈ ÐÈÇÈÊÓ Ç ÍÅÒÎ×ÍÈÌÈ ÑÖÅÍÀÐÍÈÌÈ ÎÖ²ÍÊÀÌÈ
Àíîòàö³ÿ. Çàñòîñóâàííÿ ïîë³åäðàëüíèõ êîãåðåíòíèõ ì³ð ðèçèêó ðîçïîâñþä-
æåíî íà âèïàäîê íåòî÷íèõ ñöåíàðíèõ îö³íþâàíü âèïàäêîâèõ âåëè÷èí. Ðîç-
ãëÿíóòî ïðîáëåìè îïòèì³çàö³¿ ç íåâèçíà÷åíîñòþ, ùî îõîïëþþòü øèðîêèé
êëàñ çàäà÷ ñòîõàñòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ òà ðîáàñòíî¿ îïòèì³çàö³¿. Ïîêàçàíî,
ÿê â ë³í³éíîìó âèïàäêó âîíè çâîäÿòüñÿ äî çàäà÷ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ.
Ðîçãëÿíóòî çàäà÷³ îïòèì³çàö³¿ ïîðòôåëÿ çà ñï³ââ³äíîøåííÿì âèíàãîðîäà–ðèçèê.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ïîë³åäðàëüíà êîãåðåíòíà ì³ðà ðèçèêó, conditional
value-at-risk, ñïåêòðàëüíà êîãåðåíòíà ì³ðà ðèçèêó, íåòî÷í³ îö³íêè, ë³í³éíå
ïðîãðàìóâàííÿ, îïòèì³çàö³ÿ ïîðòôåëÿ, ñï³ââ³äíîøåííÿ âèíàãîðîäà–ðèçèê.
V.S. Kirilyuk
POLYHEDRAL COHERENT RISK MEASURES IN THE CASE OF IMPRECISE SCENARIO
ESTIMATES
Abstract. Polyhedral coherent risk measures are extended to the case of
imprecise scenario estimates of random variables. Optimization problems under
uncertainty are considered that cover a wide class of stochastic programming
and robust optimization problems. It is shown how they are reduced to linear
programming problems in the linear case. Problems of portfolio optimization by
the reward-to-risk ratio are considered.
Keywords: polyhedral coherent risk measure, conditional value-at-risk, spectral
coherent risk measure, imprecise estimate, linear programming, portfolio
optimization, reward-to-risk ratio.
Êèðèëþê Âëàäèìèð Ñåìåíîâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ
Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: vlad00@ukr.net.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 105
|