Развитие и приложение метода Коши–Пуассона в эластодинамике слоя и уравнение Тимошенко
Рассмотрено обобщение метода Коши–Пуассона на n-мерное евклидово пространство и его приложение к построению гиперболических аппроксимаций высокого порядка. В евклидовом пространстве введены ограничения на производные. Рассмотрено гиперболическое вырождение по параметрам и приведена его реализация в...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2018 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144873 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Развитие и приложение метода Коши–Пуассона в эластодинамике слоя и уравнение Тимошенко / И.Т. Селезов // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 106–115. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860246113194344448 |
|---|---|
| author | Селезов, И.Т. |
| author_facet | Селезов, И.Т. |
| citation_txt | Развитие и приложение метода Коши–Пуассона в эластодинамике слоя и уравнение Тимошенко / И.Т. Селезов // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 106–115. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Рассмотрено обобщение метода Коши–Пуассона на n-мерное евклидово пространство и его приложение к построению гиперболических аппроксимаций высокого порядка. В евклидовом пространстве введены ограничения на производные. Рассмотрено гиперболическое вырождение по параметрам и приведена его реализация в виде необходимых и достаточных условий. В качестве частного случая четырехмерного евклидова пространства с сохранением операторов до шестого порядка получено обобщенное гиперболическое уравнение поперечных колебаний пластин с коэффициентами, зависящими только от числа Пуассона. Это уравнение включает как частные случаи все известные уравнения Бернулли–Эйлера, Кирхгофа, Релея, Тимошенко. Отмечено нетривиальное построение Тимошенко уравнения изгибных колебаний балки и соответствие с теорией Коссера как развития исследований Максвелла и Эйнштейна о распространении возмущений с конечной скоростью в сплошной среде.
Розглянуто узагальнення методу Коші–Пуасона на n-вимірний евклідів простір і його застосування до побудови гіперболічних апроксимацій високого порядку. В евклідовому просторі введено обмеження на похідні. Розглянуто гіперболічное виродження за параметрами і наведено його реалізацію у вигляді необхідних і достатніх умов. Як окремий випадок чотиривимірного евклідового простору зі збереженням операторів до шостого порядку отримано узагальнене гіперболічне рівняння поперпчних коливань пластин з коефіцієнтами, залежними тільки від числа Пуасона. Це рівняння включає як окремі випадки всі відомі рівняння Бернулі–Ейлера, Кірхгофа, Релея, Тимошенка. Відзначено нетривіальну побудову рівняння Тимошенка згинних коливань балки як розвиток досліджень Максвела і Ейнштейна про поширення збурень із скінченною швидкістю в суцільному середовищі та відповідність до теорії Косера.
We consider a generalization of the Cauchy–Poisson method to an n-dimensional Euclidean space and its application to the construction of hyperbolic approximations. In Euclidean space, constraints on derivatives are introduced. The principle of hyperbolic degeneracy in terms of parameters is formulated and its implementation in the form of necessary and sufficient conditions is given. As a particular case of a 4-dimensional space with preserving operators up to the 6th order and dimensioning, a generalized hyperbolic equation is obtained for bending vibrations of plates with coefficients depending only on the Poisson number. As special cases, this equation includes all the well-known equations of Bernoulli–Euler, Kirchhoff, Rayleigh, and Timoshenko. As a development of Maxwell’s and Einstein’s research on the propagation of perturbations with finite velocity in a continuous medium, the Tymoshenko’s non-trivial construction of the equation for bending vibrations of a beam is noted.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:36:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.3
È.Ò. ÑÅËÅÇÎÂ
ÐÀÇÂÈÒÈÅ È ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ ÌÅÒÎÄÀ ÊÎØÈ–ÏÓÀÑÑÎÍÀ
 ÝËÀÑÒÎÄÈÍÀÌÈÊÅ ÑËÎß È ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÒÈÌÎØÅÍÊÎ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíî îáîáùåíèå ìåòîäà Êîøè–Ïóàññîíà íà n-ìåðíîå
åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî è åãî ïðèëîæåíèå ê ïîñòðîåíèþ ãèïåðáîëè÷åñêèõ
àïïðîêñèìàöèé âûñîêîãî ïîðÿäêà. Â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ââåäåíû
îãðàíè÷åíèÿ íà ïðîèçâîäíûå. Ðàññìîòðåíî ãèïåðáîëè÷åñêîå âûðîæäåíèå ïî
ïàðàìåòðàì è ïðèâåäåíà åãî ðåàëèçàöèÿ â âèäå íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ
óñëîâèé.  êà÷åñòâå ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ÷åòûðåõìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàí-
ñòâà ñ ñîõðàíåíèåì îïåðàòîðîâ äî øåñòîãî ïîðÿäêà ïîëó÷åíî îáîáùåííîå
ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèé ïëàñòèí ñ êîýôôèöèåí-
òàìè, çàâèñÿùèìè òîëüêî îò ÷èñëà Ïóàññîíà. Ýòî óðàâíåíèå âêëþ÷àåò êàê
÷àñòíûå ñëó÷àè âñå èçâåñòíûå óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè–Ýéëåðà, Êèðõãîôà, Ðå-
ëåÿ, Òèìîøåíêî. Îòìå÷åíî íåòðèâèàëüíîå ïîñòðîåíèå Òèìîøåíêî óðàâíå-
íèÿ èçãèáíûõ êîëåáàíèé áàëêè è ñîîòâåòñòâèå ñ òåîðèåé Êîññåðà êàê ðàç-
âèòèÿ èññëåäîâàíèé Ìàêñâåëëà è Ýéíøòåéíà î ðàñïðîñòðàíåíèè âîçìóùå-
íèé ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ â ñïëîøíîé ñðåäå.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìåòîä Êîøè–Ïóàññîíà, åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî,
ýëàñòîäèíàìèêà, óïðóãèé ñëîé.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ìîäåëèðîâàíèå âîëíîâûõ ïðîöåññîâ â ðåàëüíûõ êèáåðíåòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ,
à èìåííî ìîäåëèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â âûðîæäåííûõ ãèïåðáîëè÷åñ-
êèõ ñèñòåìàõ òàê, ÷òîáû ñîõðàíÿëàñü êîíå÷íîñòü ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîç-
ìóùåíèé, ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè èññëåäîâàíèÿ âûðîæäåííûõ îïåðàòîðîâ.
Ïîñòðîåíèå ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ðåàëüíûå ÿâëåíèÿ ðàñ-
ïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ, ÿâëÿåòñÿ âàæíîé ïðîáëåìîé.
Òàêîå ìîäåëèðîâàíèå âïåðâûå èññëåäîâàë Ìàêñâåëë [1]. Ïðîàíàëèçèðîâàâ ïðî-
öåññ ìîäåëèðîâàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, Ìàêñâåëë â îòëè÷èå îò òðàäèöè-
îííîé ìîäåëè Áîëüöìàíà [2] ïîêàçàë êîíå÷íîñòü ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîç-
ìóùåíèé â ãàçå. Ïîñòðîåíèå ãèïåðáîëè÷åñêèõ ìîäåëåé êàê ðàçâèòèå èññëåäîâà-
íèé Ìàêñâåëëà ðåàëèçîâàë Ýíøòåéí [3] è ïðè èññëåäîâàíèè ãðàâèòàöèîííûõ
âîëí ðàçâèë Âåáåð [4].  2017 ã. Íîáåëåâñêóþ ïðåìèþ ïîëó÷èëè ó÷åíûå Áåððè
Áýððèø, Êèï Òîðí è Ðàéíåð Âàéññ çà ìíîãîëåòíèå èññëåäîâàíèÿ, â ðåçóëüòàòå
êîòîðûõ ýêñïåðèìåíòàëüíî îïðåäåëåíà ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ãðàâèòàöèîí-
íûõ âîëí. Îòìåòèì, ÷òî ìíîãî÷èñëåííûå ïîïûòêè îáíàðóæåíèÿ ãðàâèòàöèîí-
íûõ âîëí ïðåäïðèíèìàëèñü, åùå íà÷èíàÿ îò Ýíøòåéíà.
 äàëüíåéøåì áûëî ìíîãî îáîáùåíèé ïðè ïîñòðîåíèè ìîäåëåé, îïèñûâàþ-
ùèõ ðàñïðîñòðàíåíèå òåïëà, äèôôóçèè è äð. [5]. Oòìåòèì òàêæå èññëåäîâàíèå,
êàñàþùååñÿ èíúåêöèè ìåäèöèíñêîãî ïðåïàðàòà â òêàíü, ãäå ïðåäñòàâëåíî íîâîå
îáîáùåíèå äèôôóçèîííîãî óðàâíåíèÿ â ãèïåðáîëè÷åñêîå [6].
Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ïî ñóùåñòâó, ïàðàáîëè÷åñêèé îïåðàòîð âòî-
ðîãî ïîðÿäêà, ïðåäñêàçàâøèé ðàñïðîñòðàíåíèå âîçìóùåíèé ñ áåñêîíå÷íîé ñêî-
ðîñòüþ, îáîáùàëñÿ â ãèïåðáîëè÷åñêèé îïåðàòîð òàêæå âòîðîãî ïîðÿäêà, îäíàêî
îïèñûâàþùèé ðàñïðîñòðàíåíèå âîçìóùåíèé ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ.
 ðàáîòàõ [7, 8] ïðåäëîæåí ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è ýëàñòîäèíàìèêè äëÿ ñëîÿ
ðàçëîæåíèåì ïî ìàëîé òîëùèííîé êîîðäèíàòå. Ýòî ïîíèæàåò ðàçìåðíîñòü çàäà÷è
íà åäèíèöó, ò.å. ñâîäèò òðåõìåðíóþ çàäà÷ó ê äâóõìåðíîé. Íà n-ìåðíîå åâêëèäîâî
ïðîñòðàíñòâî ìåòîä îáîáùåí â [9]. Ïðåäñòàâëåííîå ðàíåå èññëåäîâàíèå â n-ìåð-
106 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
© È.Ò. Ñåëåçîâ, 2018
íîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâåâå òðåáóåò ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé
ïðè âûðîæäåíèè ïî ìàëûì ïàðàìåòðàì.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåäñòàâëåíî îáîáùåíèå ìåòîäà Êîøè–Ïóàññîíà íà
n-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî R n è ââåäåíî îãðàíè÷åíèå íà ïðîèçâîäíûå. Ðàñ-
ñìîòðåíî ãèïåðáîëè÷åñêîå âûðîæäåíèå è ïîñòðîåíèå ãèïåðáîëè÷åñêèõ àïïðîêñè-
ìàöèé áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà.  ÷àñòíîì ñëó÷àå ïðè n � 4 ïðèâåäåíî ïîñòðîåíèå
âîëíîâûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ óïðóãîãî ñëîÿ. Ýòà àïïðîêñèìàöèÿ áî-
ëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùèõ èññëåäîâàíèé, âõîäÿùèõ â íåå êàê
÷àñòíûå ñëó÷àè. Ïðåäñòàâëåíî óðàâíåíèå Òèìîøåíêî èçãèáíûõ êîëåáàíèé áàëêè
êàê íåòðèâèàëüíîå îáîáùåíèå êëàññè÷åñêîé òåîðèè ñïëîøíûõ ñðåä.
ÎÁÎÁÙÅÍÈÅ ÌÅÒÎÄÀ ÊÎØÈ–ÏÓÀÑÑÎÍÀ ÍÀ n-ÌÅÐÍÎÅ ÅÂÊËÈÄÎÂÎ
ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ R
n
 åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R n ñ êîîðäèíàòàìè x q , q n�1, , ðàññìàòðèâàåòñÿ
ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, ïðåäñòàâëåííàÿ êîíå÷íîé ñèñòåìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, äëÿ êîòîðîé ñòàâèòñÿ êðàåâàÿ çàäà÷à â îáëàñ-
òè �� [ , ]0 X m , X m � 0, îãðàíè÷åííîé ãèïåðïîâåðõíîñòÿìè x hs s� � , hs � 0 (èí-
äåêñ s ôèêñèðîâàí): � � � �
� � �{x R x x x x xn s s n: ( , , , , , , ) ,1 2 1 1 1
� �
x n � 0, �
h x hs s s}.
Ïîëàãàåì, ÷òî ãèïåðïîâåðõíîñòè x hs s� � óäàëåíû îò ñðåäèííîé ãèïåðïî-
âåðõíîñòè x s � 0 è ðàññìàòðèâàåòñÿ ðàçëîæåíèå îòíîñèòåëüíî x s � 0. Îïèñàí ñëó-
÷àé, êîãäà íà ãèïåðïîâåðõíîñòÿõ x hs s� � çàäàíû óñëîâèÿ.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìîäåëü çàâèñèò îò êîíå÷íîãî ÷èñëà � ïàðàìåòðîâ �r ,
r �1, �. Ôîðìàëüíî òàêóþ ìîäåëü ìîæíî çàäàòü êàê ñèñòåìó k äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ p-ãî ïîðÿäêà ñ k íåèçâåñòíûìè ui
( , )i k�1 è n àðãóìåíòàìè [10]
F x x u u u u ui
n
k k n
P
( , , ; , , ; , , ; ... , ,, , ,
1
1 1 1 1 1 1� � � ��
���
ðàç
uk n n
P
, ; , ..., )�
���
ðàç
� ��1 �
� P x xi
n( , , )1
� â îáëàñòè � . (1)
Çàäàåòñÿ ñèñòåìà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà ãèïåðïîâåðõíîñòÿõ x hs s� � , x hs s�
f x x u u u uj
n
k k n n
P
( , , ; , , ; , ..., ; , , ), ,
1
1 1 1 1� � ��
���
ðàç
� �� |
x h js s Q
��
�� , j k p� �1, ( ). (2)
 (1), (2) èíäåêñ ïîñëå çàïÿòîé îáîçíà÷àåò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî ñîîòâåòñòâóþ-
ùåé êîîðäèíàòå, â îáùåì ñëó÷àå p n� , Fl çàâèñèò îò âñåõ âîçìîæíûõ ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ äî p-ãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî, ïîëîæåíèå ãèïåðïîâåðõíîñòè ìîæåò
çàâèñåòü îò ui è èõ ïðîèçâîäíûõ. Ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (l), (2) ñîñòîèò â îïðå-
äåëåíèè ôóíêöèé ui , ïðåîáðàçóþùèõ óðàâíåíèÿ (1) â òîæäåñòâà, è â âûáîðå èç
ìíîæåñòâà ýòèõ ôóíêöèé òàêèõ, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (2).
Ïðåäïîëîæåíèå î ìàëîñòè ïàðàìåòðîâ. Ïàðàìåòðû �� ïðåäïîëàãàþòñÿ ìàëû-
ìè ���1.  ðåçóëüòàòå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü âûðîæäåíèå ïî ïàðàìåòðàì � ��1, ,�
è çàäà÷ó ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü: óìåíüøåíèå ïîðÿäêà ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé, ÷àñòè÷íàÿ äåêîìïîçèöèÿ è ò.ä. Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îòî-
áðàæåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ èç R n â R n�1.
Îòêëîíåíèÿ ãèïåðïîâåðõíîñòåé x hs s� � îò ãèïåðïîâåðõíîñòè x s � 0 ïðåäïî-
ëàãàþòñÿ òàêæå ìàëûìè. Èçìåíåíèå ôóíêöèé âäîëü ãèïåðïîâåðõíîñòè x s � 0 õà-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 107
ðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíîé l. Òîãäà �0 1�
h
l
s
� . Âåëè÷èíà 2h ïðåäïîëàãàåòñÿ êî-
íå÷íîé ïîëîæèòåëüíîé 2 0h � �finite . Åñëè âåëè÷èíà l ðàâíà äëèíå âîëíû �, ò.å.
l � � , òî â ãèïåðáîëè÷åñêîì îïåðàòîðå ýòî ñîîòâåòñòâóåò âûõîäó íà õàðàêòåðèñ-
òèêó, îïðåäåëÿåìóþ ãëàâíîé ÷àñòüþ îïåðàòîðà.
Îãðàíè÷åíèå íà ïðîèçâîäíûå.  îòëè÷èå îò [9] ââîäèòñÿ îãðàíè÷åíèå íà
êëàññ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ. Ïðîèçâîäíûå êîìïîíåíò, ïàðàëëåëüíûõ
ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè ãèïåðñëîÿ, äîëæíû áûòü ÷åòíûìè uk s, ïðè s � 2 4, ,� ,
÷òî ñóæàåò êëàññ ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷.  ñëó÷àå íå÷åòíûõ ïðîèçâîäíûõ uk n,
ïðè k s� ïîëå ìîæåò ïðîíèêàòü âíóòðü ñëîÿ è ðàçëîæåíèÿ áóäóò íåïðèãîäíû.
Ðàçëîæåíèå â ðÿä êàê ïîíèæåíèå ðàçìåðíîñòè çàäà÷è. Ïðè ðàññìîòðåíèè
çàäà÷è ýëàñòîäèíàìèêè â ðàçìåðíîì âèäå äëÿ ñëîÿ Êîøè è Ïóàññîí ïðåäïîëàãàëè
ìàëîñòü òîëùèíû ñëîÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïëàíàðíûì ðàçìåðîì. Ïðè îáîáùåíèè íà
åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ýòî óñëîâèå îòìå÷àëîñü ðàíåå êàê èçìåíåíèå èñêîìûõ
ôóíêöèé âäîëü ãèïåðïîâåðõíîñòè, ïðåâûøàþùåå èõ èçìåíåíèå âäîëü íîðìàëè.
Ðàçëîæåíèå ïîëåâûõ ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû ïî êîîðäèíàòå s îòíîñè-
òåëüíî ñðåäèííîé ãèïåðïîâåðõíîñòè ïðèâîäèò ê âûðîæäåííîé çàäà÷å îïðåäåëå-
íèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäîâ, çàâèñÿùèõ òåïåðü òîëüêî îò n�1 êîîðäèíàòû
u t x x x u t x x x x xi
n n
ik
s s n s k( , , ..., , ) ( , , , , , , )( )2 1 2 1� �� � �
k�
�
1
.
Òàêèì îáðàçîì ðàçìåðíîñòü çàäà÷è ïîíèæåíà íà 1.
 ýòîì ñëó÷àå ðàçëîæåíèÿ ñïðàâåäëèâû äëÿ ëþáîãî ïîëÿ, õàðàêòåðèçóåìîãî
ãëàäêèìè (áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûìè) ôóíêöèÿìè òàê, ÷òîáû ñóùåñòâîâà-
ëè ñõîäÿùèåñÿ ðàçëîæåíèÿ. Ïðè ôîðìàëüíîì ïîñòðîåíèè ðåøåíèé ìîæíî ñòðî-
èòü ðàçëîæåíèÿ â ñòåïåííûå ðÿäû ïî íîðìàëè ê êîîðäèíàòíîé ëèíèè, ïðåäïîëà-
ãàÿ, ÷òî èñêîìûå ôóíêöèè èç êëàññà C .
ÃÈÏÅÐÁÎËÈ×ÅÑÊÎÅ ÂÛÐÎÆÄÅÍÈÅ È ÊÎÍÅ×ÍÎÑÒÜ ÑÊÎÐÎÑÒÈ
ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈß ÂÎÇÌÓÙÅÍÈÉ
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (1) è ãðà-
íè÷íûå óñëîâèÿ (2) ïðåäñòàâëåíû êàê ñóììà ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ÷àñòåé
ñ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì L áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà p, ÷åì ïîðÿäîê p1 íåëè-
íåéíîãî îïåðàòîðà [11]
a x x
u
x x
ilq
n
q
l
n n
( , , ; , , )
( ) ( )
1
1 1 1
� �
�
� �� � �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� , , ; , , ; , , ;F x x u u
u
x
u
x
i
n
k
l k
n
1
1 1
� � �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
2
1 2
1
1 1
1
1 1
u
x x
u
x
u
x
l
p
l
p
p
k
n p
, ; , , , ,
( ) ( )
� � �� �� �
� Pi â îáëàñòè � , i k�1, , l k�1, ,
q n� � � �� � �1 2 � , q p�1, , p p1 1 1� �, ( ), (3)
�
�
�
�
� �
�b x x
u
x x
ilq
n
q
l
n n
( , , ; , , )
( ) ( )
1
1 1 1
� �
�
� �� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� , , ; , ...; ... ; , ,
( )
f x x u
u
x
i
n
p
k
n p
1
1
2
2 1� �� ��
�
�
� �
�
x h
j
s s
Q ,
j p k� � , q p� �1 1, ( ), p p2 1 2� �, ( ), l k�1, . (4)
108 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Ñèñòåìó óðàâíåíèé (3), (4) ïðè �r � 0 áóäåì íàçûâàòü âûðîæäåííîé. Åñëè
ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (3) ïðè âûðîæäåíèè ïî
ïàðàìåòðàì îñòàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé, òî òàêîå âûðîæäåíèå áóäåì íàçûâàòü ãè-
ïåðáîëè÷åñêèì.
Ïðè âûðîæäåíèè ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ ðàçëè÷íîãî òèïà. Âîçìîæíû òðè
ñëó÷àÿ: âûðîæäåíèå ê óðàâíåíèÿì ãèïåðáîëè÷åñêîãî, ïàðàáîëè÷åñêîãî èëè ñìå-
øàííîãî òèïà. Âîïðîñ ëèøü â òîì, êàêîå èç íèõ ïðàâèëüíîå. Ñîãëàñíî ïðèíöèïó
ãèïåðáîëè÷åñêîãî âûðîæäåíèÿ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó íåîáõîäèìî, ÷òîáû èñõîäíàÿ
ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ñèñòåìà âûðîæäàëàñü òàêæå â ãèïåðáîëè÷åñêóþ. Èìåííî ïîýòî-
ìó òîëüêî ïðåäåëüíûå ãèïåðáîëè÷åñêèå ñèñòåìû èíòåðåñíû ñ òî÷êè çðåíèÿ êîíå÷-
íîñòè ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé è ñèììåòðèè [9].
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå [12]
L a
u
x x
F Pi ilq
q
l
n i i
n
�
�
� �
� �
1 1( ) ( )� �
�
â îáëàñòè � , t � 0,
( , ) ,i l k�1 , q n� � � �� � �1 2 � , q p�1, , (5)
b
u
x x
f Qjlq
q
l
n j
x h
j
n
s s
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
1 1( ) ( )� �
�
, j p k� � , q p� �1 1, ( ), l k�1, . (6)
Òàêèì îáðàçîì, (5) — ñèñòåìà k óðàâíåíèé p-ãî ïîðÿäêà ñ k íåèçâåñòíûìè ôóíê-
öèÿìè, êîòîðûå äîëæíû îïðåäåëÿòüñÿ êàê åå ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå ãðàíè÷-
íûì óñëîâèÿì (6) è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì â ñëó÷àå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è òàê,
÷òîáû ãàðàíòèðîâàëàñü êîððåêòíàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïåðâûé ÷ëåí â (5) — ãëàâ-
íàÿ ÷àñòü îïåðàòîðà, âòîðîé ÷ëåí Fi — ÷àñòü îïåðàòîðà.  (6) f j — îïåðàòîð áî-
ëåå íèçêîãî ïîðÿäêà, ÷åì ïåðâûé ÷ëåí. Ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñîãëàøåíèå î ñóììèðîâà-
íèè ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì, à èíäåêñû ïåðåä çàïÿòîé îáîçíà÷àþò ÷àñòíîå
äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî ñîîòâåòñòâóþùåé êîîðäèíàòå. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êîýôôè-
öèåíòû ailq è b jlq ïîñòîÿííûå, íî îíè ìîãóò çàâèñåòü îò ìàëîãî ïàðàìåòðà �r�1.
 îòëè÷èå îò óðàâíåíèé îáùåãî âèäà (1), (2) ñèñòåìó óðàâíåíèé (5) ìîæíî
êëàññèôèöèðîâàòü ïî òèïó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.
Åñëè ñèñòåìà óðàâíåíèé (5) ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà, òî â ñëó÷àå êîððåêòíî ïîñòàâ-
ëåííîé çàäà÷è Êîøè äëÿ (5), (6) â îáëàñòè� ñóùåñòâóþò ðåøåíèÿ â ôîðìå ñëàáûõ
ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ðàçðûâîâ (ðàçðûâû ïðîèçâîäíûõ ñàìîãî âûñîêîãî ïîðÿäêà
â äèôôåðåíöèàëüíîì îïåðàòîðå). Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíîñòè: â äåéñòâèòåëü-
íûõ ôèçè÷åñêèõ ñðåäàõ èëè ñèñòåìàõ ëþáîå âîçìóùåíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñ êî-
íå÷íîé ñêîðîñòüþ, îïðåäåëÿåìîé ñâîéñòâàìè ñðåäû èëè ñèñòåìû. Ñîãëàñíî ìàòå-
ìàòè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêå ïðèíöèïà êîíå÷íûõ ñêîðîñòåé ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè
ñ ïîëíîñòüþ îïðåäåëåííûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè êîíå÷íî îòíîñèòåëüíî ïðîñò-
ðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ ïðè êàæäîé ôèêñèðîâàííîé âåëè÷èíå âðåìåííîé êîîð-
äèíàòû [13]. Îòìåòèì, ÷òî ãëàâíàÿ ÷àñòü îïåðàòîðà îòâåòñòâåííà çà ðàçðåøèìîñòü
íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è ïî Êîøè–Êîâàëåâñêîé [14].
Íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü ãèïåðáîëè÷åñêèå àïïðîêñèìàöèè, ò.å. ïîñòðîèòü îòî-
áðàæåíèå èñõîäíîãî ïðîñòðàíñòâà R n
r( )� â âûðîæäåííîå ïðîñòðàíñòâî,
R Rn
r
n( )� � , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ïðåäåëüíîé êîððåêòíîñòè — áûòü ãè-
ïåðáîëè÷åñêîãî òèïà, ò.å. óñëîâèþ êîíå÷íîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìó-
ùåíèé [5, 15].  ýòîì ñëó÷àå â âûðîæäåííîì ïðîñòðàíñòâå âìåñòî ôóíêöèé u x( )
ïîÿâëÿþòñÿ íîâûå ôóíêöèè � ( )u x .
 äàëüíåéøåì ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé êîîðäèíàòíîãî âûðîæäåíèÿ
�0 2 0� �h l/ , 2h � finite. Ðàçëîæåíèå ïîëåâûõ ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû ïî âû-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 109
ðîæäåííîé êîîðäèíàòå s îòíîñèòåëüíî ñðåäèííîé ãèïåðïîâåðõíîñòè ïðèâîäèò
ê âûðîæäåííîé çàäà÷å îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäîâ, çàâèñÿùèõ òîëüêî îò
n�1 êîîðäèíàòû
u t x x x u t x x x x xi
n n
ik
s s n s k
k
( , , , , ) ( , , , , , , )( )2 1 2 1
� � �
� �
�
�
1
� . (7)
Ïîäñòàíîâêà (7) â óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (5) è ãðàíè÷íûå óñëî-
âèÿ (6) äàåò ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ èç óðàâíåíèé (5) è ìíîæåñòâî ñèñòåì
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé áåñêîíå÷íîãî ïîðÿäêà èç (6) â R n�1. Ðåêóððåíò-
íûå ñîîòíîøåíèÿ ïîçâîëÿþò âûðàçèòü âñå êîýôôèöèåíòû â âîçðàñòàþùèõ
ïðèáëèæåíèÿõ ÷åðåç íåñêîëüêî íà÷àëüíûõ.
Ñëåäóþùèé øàã — óñå÷åíèå ðàçíûìè ïóòÿìè ýòèõ áåñêîíå÷íûõ ñèñòåì ïðè
ñîõðàíåíèè ÷ëåíîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçëè÷íûì ïðàâèëàì. Ìîæíî èç ðåêóððåí-
òíûõ ñîîòíîøåíèé âûðàçèòü âñå uik â òåðìèíàõ ìèíèìàëüíîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà
èñêîìûõ ôóíêöèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷èñëó ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé. Ïîäñòàíîâêà ýòèõ ôóíêöèé â óñå÷åííûå óðàâíåíèÿ ïðèâîäèò ê ðàçðåøàþ-
ùèì óðàâíåíèÿì, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå àïïðîêñèìàöèè, ò.å. óïðî-
ùåííûå ìîäåëè. Ïðàâèëà ñîõðàíåíèÿ ÷ëåíîâ äîëæíû áûòü òàêîãî âèäà, ÷òîáû
ýòà ñèñòåìà áûëà ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà.
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå. Ãèïåðáîëè÷íîñòü îïåðàòîðà n-ãî ïîðÿäêà — íåîáõî-
äèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé
â n-ì ïðèáëèæåíèè.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè n-ãî ïîðÿäêà íóæíî ñîõðà-
íèòü â áåñêîíå÷íûõ ñèñòåìàõ âñå ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå
îïåðàòîðû äî çàäàííîãî ïîðÿäêà n. Ñîõðàíåíèå âñåõ ÷ëåíîâ îïåðàòîðà äî îïðåäå-
ëåííîãî ïîðÿäêà ïðèâîäèò ê ãëàâíîé ÷àñòè îïåðàòîðà ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà.
Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå. Êîððåêòíàÿ ïîñòàíîâêà íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà-
÷è [14] — äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîñòè ñêîðîñòè ðàñïðîñ-
òðàíåíèÿ âîçìóùåíèé.
Íàïðèìåð, ñîõðàíåíèå îïåðàòîðîâ äî ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà â n-ìåðíîì åâêëèäî-
âîì ïðîñòðàíñòâå ïðèâîäèò ê ãèïåðáîëè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè, ñîîòâåòñòâóþùåé
óðàâíåíèþ Òèìîøåíêî, íî íå ñîäåðæàùåé êîððåêòèðóþùåãî êîýôôèöèåíòà òèïà
òîëùèííîãî ñäâèãà. Ñîõðàíåíèå îïåðàòîðîâ äî øåñòîãî ïîðÿäêà ïðèâîäèò ê íîâîìó
áîëåå âûñîêîìó ïðèáëèæåíèþ — îáîáùåííîìó ãèïåðáîëè÷åñêîìó óðàâíåíèþ.
ÎÁÎÁÙÅÍÍÎÅ ÃÈÏÅÐÁÎËÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈß
ÈÇÃÈÁÍÛÕ ÂÎËÍ Â ÓÏÐÓÃÎÌ ÑËÎÅ
Ñ ó÷åòîì èçëîæåííîãî ðàíåå ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå âûðîæäåííûõ ìîäåëåé
äëÿ ñëó÷àÿ R 4 — çàäà÷ó ýëàñòîäèíàìèêè äëÿ ñëîÿ. Ñôîðìóëèðóåì ñîîòâåò-
ñòâóþùóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óïðóãîé èçîòðîïíîé ñðåäû â òåðìè-
íàõ ïåðåìåùåíèé u u u1 2 3, , , çàâèñÿùèõ îò îðòîãîíàëüíûõ êîîðäèíàò x x x1 2 3, ,
è âðåìåíè t , ñëåäóþùèì îáðàçîì: íàéòè âåêòîð-ôóíêöèþ
�
u x x x t( , , , )1 2 3 êàê
ðåøåíèå óðàâíåíèé â �� [ , ]0 T , T � 0,
! � � � ! � � � �2 1u G u P uk k k tt k( / ) ( )�
� �
, k �1 2 3, , , (8)
óäîâëåòâîðÿþùóþ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
�
�33 2 1 2
3x
q x x t
�
��
/
( , , ), �
�33 2 1 2
3x
q x x t
��
��
/
( , , ) ,
�
�3 2 1 2
3
i x ip x x t
�
��
/
( , , ), �
�3 2 1 2
3
i x ip x x t
� �
��
/
( , , ), i �1 2, , (9)
è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
uk t�
�
0
0, � �
�t k t
u
0
0, k �1 2 3, , . (10)
110 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Êîìïîíåíòû âåêòîðà ïåðåìåùåíèÿ ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ñòåïåííûõ ðÿäîâ ïî x3
u x x x t u x x t xi i( , , , ) ( , , )1 2 3 1 2 3
0
�
�
� �
�
�
, i �1 2 3, , . (11)
Ôóíêöèè ui� ïðåäïîëàãàþòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûìè ñòîëüêî ðàç, ñêîëüêî òðå-
áóåòñÿ, âñå ïðîèçâîäíûå ui� íåïðåðûâíû, à ðÿäû (11) ñõîäÿòñÿ ðàâíîìåðíî;
ìàññîâûå ñèëû Pk â äàëüíåéøåì íå ó÷èòûâàþòñÿ; � � 2h,
� � � �
! �
�
�
�
�
�
�
�
�x
e
x
e
x
e
1
1
2
2
3
3 — îïåðàòîð ãðàäèåíòà,
�
ek , k �1 2 3, , , — áàçèñíûå
âåêòîðû; � k è � t — ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî êîîðäèíàòå xk è âðåìåíè t,
! �! �!2
� �
— ëàïëàñèàí, { }� — ñèìâîë ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ. Âûðàæåíèå äëÿ
êîìïîíåíò òåíçîðà íàïðÿæåíèé èìååò âèä
� � �ik n n ik i k k iu G u u� � �, , ,( ) .
Çäåñü �ik
i k
i k
�
�
�
�
�
�
0
1
ïðè
ïðè
,
— ñèìâîë Êðîíåêåðà, G è � — ïîñòîÿííûå Ëàìå,
âûðàæàåìûå ÷åðåç ìîäóëü Þíãà E è êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà �, G E� �/ ( )2 1 � ,
� � � �� � �E / ( )( )1 1 2 .
Áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû ââîäèì ïî ôîðìóëàì, ïðèíèìàÿ â êà÷åñòâå õàðàê-
òåðíûõ òîëùèíó 2h (ì), ñêîðîñòü ñäâèãîâûõ âîëí cs (ì/c) è ïëîòíîñòü (êã/ì3 ):
u
h
uk k
" �
1
2
, ( , ) ( , )x x
h
x x1 2 1 2
1
2
" " � , t
c
h
ts" �
2
, q
G
q" �
1
, h" �
1
2
, c Gs
2 � / .
Ïðè èññëåäîâàíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí ââîäÿòñÿ áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû
l
h
l" �
1
2
— äëèíà âîëíû, c
c
cs
" � — ôàçîâàÿ ñêîðîñòü.
Îáîáùåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ïîïåðå÷íîé êîîð-
äèíàòû u w3 0� èìååò âèä (çâåçäî÷êè îïóñêàþòñÿ)
#
$
%
�
�
�
�
�
� ! !
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
! �
�
�
&
'
(
2
2 1
2 2
2
2
2
2
3
4
4t
a a
t
a
tK TM
�
� ! ! ! �
�
�
! ! �
�
�
! �
�
�
�
�
�
�b b
t
b
t
b
t
w
TMC
1
2 2 2
2
2
2
2 2
3
4
4
2
4
6
6 0
� � ! �
�
�
#
$
%
%
&
'
(
(
� ! ! �
�
�
! �
�
�
1 1
2
2
2
2 3
2 2
4
2
2
2
5
4
4
d d
t
d d
t
d
tTM
�
�
�
�
�
�
�� �
TMC
q q( ), (12)
ãäå w x t0 1( , ) — ïîïåðå÷íîå îòêëîíåíèå (ïðîãèá), t — âðåìÿ, ( )q q1 2� — ïîïå-
ðå÷íàÿ íàãðóçêà, êîýôôèöèåíòû
a1
1
6 1
�
�( )�
, a2
2
6 1
�
�
�
�
�( )
, a3
7 8
48 1
�
�
�
�
�( )
,
b1
1
120 1
�
�( )�
, b2
2
2
4 16 1
480 1
�
� �
�
� �
�( )
, b3
2
2
16 37 19
5760 1
�
� �
�
� �
�( )
, b4
2
2
64 104 41
7680 1
�
� �
�
� �
�( )
,
d1
2
8 1
�
�
�
�
�( )
, d2
1
8
� , d3
2
2
4 3
384 1
�
� �
�
� �
�( )
, d4
2
2
4 12 7
768 1
�
� �
�
� �
�( )
, d5
1
384
� .
 (12) îïåðàòîð ñ èíäåêñîì K ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèþ Áåðíóëëè–Ýéëåðà
(ðàñïðîñòðàíåí íà ïëàñòèíû Êèðõãîôîì), îïåðàòîð ñ èíäåêñîì ÒM — óðàâíåíèþ
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 111
Òèìîøåíêî (ðàñïðîñòðàíåí íà ïëàñòèíû Óôëÿíäîì è ðàçâèò Ìèíäëèíûì), óðàâ-
íåíèå Ðåëåÿ âõîäèò â îïåðàòîð ÒM ïðè a3 0� , îïåðàòîð ñ èíäåêñîì ÒÌÑ ñîîòâåò-
ñòâóåò îáîáùåííîìó óðàâíåíèþ (ïîñòðîåí àâòîðîì íàñòÿùåé ñòàòüè).
Èç ïðèâåäåííîãî àíàëèòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ ñëåäóåò êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé
óðàâíåíèå Òèìîøåíêî, íî áåç ââåäåíèÿ êîððåêòèðóþùåãî ïàðàìåòðà — êîýôôè-
öèåíòà ñäâèãà.
ÀÍÀËÈÇ ÐÀÇÐÅØÈÌÎÑÒÈ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÉ ÊÎØÈ–ÏÓÀÑÑÎÍÀ
Ïîñëå ââåäåíèÿ áåçðàçìåðíûõ âåëè÷èí, ïðåäñòàâëåííûõ ðàíåå, à òàêæå ïðîâå-
äåíèÿ ãðîìîçäêèõ è äëèííûõ âû÷èñëåíèé íàéäåíû êîýôôèöèåíòû � ik è bmn ,
êîòîðûå çàâèñÿò òîëüêî îò êîýôôèöèåíòà Ïóàññîíà �. Â äàëüíåéøåì îíè âû-
÷èñëÿëèñü ïðè � � 0.3, õàðàêòåðèçóþùåì ìíîãî ìàòåðèàëîâ. Âåëè÷èíû íàéäåí-
íûõ êîýôôèöèåíòîâ ñîñòàâëÿþò à1 � 0.238, à2 � 0.405, à3 � 0.137, b1 � 0.012,
b2 � 0.028, b3 � 0.003, b4 � 0.004.
Ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè øåñòîãî è ÷åòâåðòîãî ãèïåðáîëè÷åñêèõ
ïðèáëèæåíèé ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïîïåðå÷-
íûõ (èçãèáíûõ) âîëí â áàëêå-ïîëîñêå. Ðå-
çóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 1.
Ðàçðåøèìîñòü ïðèáëèæåíèé èññëåäîâà-
ëàñü ïîñðåäñòâîì ïîäñòàíîâêè â óðàâíåíèå
(12) ðåøåíèÿ òèïà áåãóùåé âîëíû âèäà
exp[ ( )]i kx t�
, ãäå k l� 2� / , à
�� c l2 / .
Ïîêàçàíî, ÷òî ïðèáëèæåíèå øåñòîãî ïî-
ðÿäêà èìååò îäèí äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü
â èíòåðâàëå äëèí âîëí l�[ , )0 10 (ñì. ðèñ. 1),
à ïðè l�10 èìååò òðè äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ.
Ïðèâåäåííîå ïîñòðîåíèå ãèïåðáîëè÷åñ-
êèõ ïðèáëèæåíèé äàëî âîçìîæíîñòü ïîëó-
÷èòü àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôè-
öèåíòîâ ðàçëîæåíèé â îòëè÷èå îò íåîïðåäå-
ëåííîãî êîððåêòèðóþùåãî êîýôôèöèåíòà,
õàðàêòåðèçóþùåãî òîëùèííûé ñäâèã è âõî-
äÿùåãî â óðàâíåíèå Òèìîøåíêî.
ÌÎÄÅËÜ ÒÈÌÎØÅÍÊÎ. ÍÎÂÛÉ ÂÇÃËßÄ
Ðàññìîòðèì óòî÷íåííûå óðàâíåíèÿ òèïà Òèìîøåíêî äëÿ ñòåðæíåé, ïëàñòèí è
îáîëî÷åê â ñîîòâåòñòâèè ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè èññëåäîâàíèÿìè Ìàêñâåëëà,
Ýéíøòåéíà, Ëàíäàó î ðàñïðîñòðàíåíèè âîçìóùåíèé ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ.
Ìàêñâåëë ïîñëå ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé â îáëàñòè ýëåêòðîìàãíåòèçìà
[1] âïåðâûå ïðåäñòàâèë ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí ñ êî-
íå÷íîé ñêîðîñòüþ â ãàçàõ [2] âìåñòî ïàðàáîëè÷åñêîãî, îïèñûâàþùåãî ðàñïðîñ-
òðàíåíèå âîçìóùåíèé ñ áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòüþ.
Ñ.Ï. Òèìîøåíêî [16] âïåðâûå îáîáùèë ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå ðàñïðîñ-
òðàíåíèÿ èçãèáíûõ êîëåáàíèé áàëêè íà ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå, ïðèìåíèâ
ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé ïîäõîä òàê, ÷òî íîðìàëü íå îñòàåòñÿ íîðìàëüþ ê ñðåäèí-
íîé ïîâåðõíîñòè ïðè èçãèáíûõ äåôîðìàöèÿõ áàëêè, ÷òî íå ó÷èòûâàåòñÿ ìîäåëüþ
ñïëîøíîé ñðåäû.  êëàññè÷åñêèõ ìîäåëÿõ Áåðíóëëè–Ýéëåðà, Êèðõãîôà [15], Ðå-
ëåÿ [17] íîðìàëü îñòàåòñÿ íîðìàëüþ. Ýôôåêòû Òèìîøåíêî ïðîÿâëÿþòñÿ ëîêàëü-
íî ïðè íàëè÷èè ðåçêèõ íåîäíîðîäíîñòåé, â òåîðèè âîëí ýòî êîðîòêèå âîëíû.
 ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ïðèìåíåíèå áîëåå îáùåé òåîðèè, ÷åì êëàññè÷åñêàÿ,
íàïðèìåð òåîðèè Êîññåðà [18].
112 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Ðèñ. 1. Ðàçðåøèìîñòü ãèïåðáîëè÷åñêèõ
ïðèáëèæåíèé ÷åòâåðòîãî (êðèâàÿ 1)
è øåñòîãî (êðèâàÿ 2) ïîðÿäêîâ ïðè
ðàñïðîñòðàíåíèè èçãèáíûõ âîëí â áàë-
êå-ïîëîñêå
l h/ 2
c cs/
1
2
Íèêàêèì êîððåêòèðóþùèì êîýôôèöèåíòîì íåëüçÿ
èçìåíèòü òèï äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà, ìîæíî
òîëüêî ïîäáîðîì ýòîãî êîýôôèöèåíòà ïðèáëèçèòü îïè-
ñàíèå ê ïðåäñêàçûâàåìîìó ìîäåëüþ ñïëîøíîé ñðåäû.
Îáîáùåíèå Òèìîøåíêî àíàëîãè÷íî òîìó, ÷òî èìå-
åò ìåñòî ïðè ïîñòðîåíèè è äðóãèõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ
ìîäåëåé, êîãäà ó÷èòûâàþòñÿ ýôôåêòû áîëåå âûñîêîãî
ïîðÿäêà, âûõîäÿùèå çà ðàìêè êëàññè÷åñêèõ òåîðèé.
Íàïðèìåð, â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé òåîðèè ãèïåðáî-
ëè÷åñêàÿ ìîäåëü ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà [19] îáúÿñíÿåò-
ñÿ íåðàâíîâåñíîé òåðìîäèíàìèêîé [20], ãèïåðáîëè÷åñ-
êàÿ ìîäåëü äèôôóçèè [21] ó÷èòûâàåò ñòîëêíîâåíèå ÷àñ-
òèö, à ìîäåëü ãèïåðáîëè÷åñêîé òóðáóëåíòíîñòè [22] —
ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ òóðáóëåíòíîñòè. Îòìåòèì
òàêæå ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ: Ñìîëóõîâñêîãî [23], ñòà-
òèñòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ [24], ñåäèìåíòàöèè [25].
Ïðèëîæåíèå òåîðèè Êîññåðà.  êëàññè÷åñêîé òåî-
ðèè ñïëîøíûõ ñðåä ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íà áåñêîíå÷íî
ìàëûé ýëåìåíò äåéñòâóþò ñèëû êîëëèíåàðíî (ðèñ. 2, a).
Ïðè íàëè÷èè ìîìåíòíîãî ïîëÿ (ñì. ðèñ. 2, a) åãî
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîÿâëÿþùååñÿ çà ñ÷åò íå-
êîëëèíåàðíîñòè ñèë (ñì. ðèñ. 2, á).
Êîññåðà [18] ïðåäïîëàãàë êîëëèíåàðíîñòü ñèë è
ââîäèë â ðàññìîòðåíèå ìîìåíò �. Îäíàêî â ëþáîì ñëó÷àå ýòî ìîæíî ïîíèìàòü
êàê íàðóøåíèå ñïëîøíîñòè, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèþ Òèìîøåíêî, êîãäà
íîðìàëü ê ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè íå îñòàåòñÿ íîðìàëüþ ïîñëå äåôîðìàöèè.
Òàêèì îáðàçîì, ââåäåíèå ìîìåíòíûõ íàïðÿæåíèé ìîæíî ïîíèìàòü êàê äå-
éñòâèå íåöåíòðàëüíûõ ñèë, à ýòî ÿâëÿåòñÿ íàðóøåíèåì ñïëîøíîñòè, è ïðè èçãèáå
áàëêè íîðìàëü íå îñòàåòñÿ íîðìàëüþ ê äåôîðìèðóåìîé ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè.
Òàêàÿ ñèòóàöèÿ, ïî ñóùåñòâó, ïîñòóëèðóåòñÿ ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ Òèìî-
øåíêî: íàêëîí êàñàòåëüíîé ê êðèâîé èçãèáà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå � � � �w x/
�,
ãäå
— èçãèáíàÿ äåôîðìàöèÿ, � — ñäâèãîâàÿ äåôîðìàöèÿ. Ïðè âûñîêèõ ÷àñòî-
òàõ èëè ðåçêèõ íåîäíîðîäíîñòÿõ ýòî áóäåò ïðîÿâëÿòüñÿ.
Ïðèâåäåì óðàâíåíèÿ òåîðèè Êîññåðà. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ïî-
âîðîòîì îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè Ox3 ïîëó÷èòü èç (8)–(11) ïëîñêóþ çàäà-
÷ó.  ñîîòâåòñòâèè ñ áåçðàçìåðíûìè âåëè÷èíàìè, ââåäåííûìè ðàíåå è äîïîëíåí-
íûìè ïàðàìåòðàìè Êîññåðà (çâåçäî÷êè äàëåå îïóñêàþòñÿ)
�
�" �
( )2 2h
, �
�" �
( )2 2h
, �
�" �
( )2 2h
, �
�
k
k
h
" �
( )2 2
, j
c
h
js" �
2
22( )
,
óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî âåêòîðà ïåðåìåùåíèé
�
u è âåêòîðà ïîâîðîòà
�
� èìåþò âèä
� � � � � � � � � � �
! � � ! ! � � !�!� � !� � �2 1 2u G u u utt( / ) ( )� � � � ,
( ) ( ) ( )
�
� � � � � � � ��� ! ! � � � !�!� � !� � � �2 2 4
� � � � � � � � � �
k ttu j
�
�.
Ñîãëàñíî òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ îáîáùåíèå Òèìîøåíêî ñó-
ùåñòâåííî íåòðèâèàëüíî, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå îáîáùàåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêèé
îïåðàòîð áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà (÷åòâåðòîãî, à íå âòîðîãî) â îòëè÷èå îò âñåõ
ïðåäûäóùèõ îáîáùåíèé (äèôôóçèÿ, òåïëî è äð.).
Ïðèâåäåì óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ðàñïðîñòðàíåíèå îäíîìåðíûõ âîëí,
ñëåäóþùèå èç (12) ïðè ïîâîðîòå îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè, íîðìàëüíîé
ê ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè:
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 113
Ðèñ. 2. Äåéñòâèå ñèë íà áåñ-
êîíå÷íî ìàëûé ýëåìåíò: êîë-
ëèíåàðíî (à) è íåêîëëèíå-
àðíî (á)
�
à
á
— óðàâíåíèå Áåðíóëëè–Ýéëåðà, ðàñïðîñòðàíåííîå íà ïëàñòèíû Êèðõãîôîì [15]
�
�
�
�
�
�
2
2
4
4
0
w
t
D
h
w
x
; (13)
— óðàâíåíèå Ðåëåÿ ñ ó÷åòîì èíåðöèè âðàùåíèÿ [17]
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
2
2
4
4
4
2 2
0
w
t
D
h
w
x
I
h
w
t x
; (14)
— óðàâíåíèå Òèìîøåíêî ñ ó÷åòîì ñäâèãà [16]
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
2
2
4
4 2
4
2 2 2
w
t
D
h
w
x
D
k Gh
I
h
w
t x
I
k Gs s
h
w
t
�
�
�
4
4
0. (15)
Óðàâíåíèå (15), âêëþ÷àþùåå (13) è (14), ïðåäñòàâëåíî â [16] è èçâåñòíî êàê
óðàâíåíèå Òèìîøåíêî.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïðèâåäåíî îáîáùåíèå ìåòîäà Êîøè–Ïóàññîíà íà n-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî
ñ îãðàíè÷åíèÿìè íà äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû è ìàëîñòü ïàðàìåòðîâ âûðîæäå-
íèÿ. Ïðèâåäåíû óñëîâèÿ âûðîæäåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ àïïðîêñèìàöèé è êîíå÷íîñ-
òè ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé. Ïîëó÷åíî îáîáùåííîå óðàâíåíèå ðàñ-
ïðîñòðàíåíèÿ èçãèáíûõ âîëí â ñëîå. Îòìå÷åíî óðàâíåíèå Òèìîøåíêî êàê íåòðèâè-
àëüíîå îáîáùåíèå ïàðàáîëè÷åñêîãî îïåðàòîðà áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà. Èç
ïðîâåäåííûõ èññëåäîâàíèé ñëåäóåò öåëåñîîáðàçíîñòü îáîáùåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ
ìîäåëåé â ãèïåðáîëè÷åñêèå îäíîãî ïîðÿäêà. Ïîñòðîåíèå áîëåå âûñîêèõ ãèïåðáîëè-
÷åñêèõ àïïðîêñèìàöèé íå óëó÷øàåò òî÷íîñòè îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Maxwell J.C. A dynamical theory of the electromagnetic field. 1864.
2. Maxwell J.C. On the dynamical theory of gases. Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1867. Vol. 157.
P. 49–88.
3. Einstein A. The meaning of relativity. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1950. 150 p.
4. Âåáåð Äæ. Îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè è ãðàâèòàöèîííûå âîëíû. Ìîñêâà: Èçä-âî èíîñ-
òðàííîé ëèòåðàòóðû, 1962. 272 ñ.
5. Ñåëåçîâ È.Ò., Êðèâîíîñ Þ.Ã. Âîëíîâûå ãèïåðáîëè÷åñêèå ìîäåëè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùå-
íèé. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2015. 172 ñ.
6. Selezov I.T., Kryvonos Iu.G. Modeling medicine propagation in tissue: generalized statement.
Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 4. P. 535–542. DOI: 10.1007/ s10559-017-9955-1.
7. Cauchy A.L. Sur l’equilibre et le mouvement d’une lame solide. Exercices Math. 1828. Vol. 3.
P. 245–326.
8. Poisson S.D. M�moire sur l’�quilibre et le mouvement des corps �lastiques. Mem' . Acad. Roy. Sci.
1829. Vol. 8. P. 357–570.
9. Selezov I.T. Degenerated hyperbolic approximation of the wave theory of elastic plates. Ser.
Operator Theory. Advances and Applications. Differential Operators and Related Topics. Proc. of
Mark Krein Int. Conf., Ukraine, Odessa, 18–22 August 1997. Basel (Switzerland): Birkhauser, 2000.
Vol. 117. P. 339–354.
10. Dunford N., Schwartz J.T. Linear operators. Part II. Spectral theory. Self adjoint operators in Hilbert
space. New York; London: Interscience Publishers, 1963.
11. Courant R., Hilbert D. Methods of mathematical physics. Vol. 1, 2. Interscience, New York; London, 1962.
12. Kythe P.K. Fundamental solutions for differential operators and applications. Boston: Birkhauser, 1996.
13. Êàëàøíèêîâ À.Ñ. Î ïîíÿòèè êîíå÷íîñòè ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé. Óñïåõè ìàò.
íàóê. 1979. Ò. 34, ¹ 2. Ñ. 199–200.
14. Ìèçîõàòà Ñ. Òåîðèÿ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Ìîñêâà: Ìèð, 1977. 504 ñ.
15. Kirchhoff G. ��Uber das gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe. J. Reine und
Angew. Math. 1850. Vol. 40, N 1. P. 51–58.
16. Timoshenko S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of
prismatic bar. Phil. Mag. 1921. Ser. 6. Vol. 41, N 245. P.744–746.
114 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
17. Rayleigh D. On the free vibrations of an infinite plate of homogeneous isotropic elastic matter. Proc.
London Math. Soc. 1889. Vol. 10. P. 225.
18. Cosserat E.F. Th�orie de Corps d�formables. Paris: Hermann, 1909.
19. Cattaneo C. Sulla conduzione del calore. Atti Seminario Univ. Modena. 1948. Vol. 3. P. 3–21.
20. Luikov A.V. Application of irreversible thermodynamics methods to investigation of heat and mass
transfer. Int. J. Heat Mass Transfer. 1966. Vol. 9. P. 139–152.
21. Äàâûäîâ Á.È. Óðàâíåíèå äèôôóçèè ñ ó÷åòîì ìîëåêóëÿðíîé ñêîðîñòè. Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1935.
Ò. 2, ¹ 7. Ñ. 474–475.
22. Ìîíèí À.Ñ. Î äèôôóçèè ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ. Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ãåîãð. 1955. ¹ 3.
Ñ. 234–248.
23. Davies R.W. The connection between the Smoluchowski equation and the Kramers–Chandrasekhar
equation. Phys. Review. 1954. Vol. 93, N 6. P. 1169–1171.
24. Ôîê Â.À. Ðåøåíèå îäíîé çàäà÷è òåîðèè äèôôóçèè ïî ìåòîäó êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé è ïðèëîæå-
íèå åãî ê äèôôóçèè ñâåòà. Òðóäû ÃÎÈ. 1926. Ò. 4, âûï. 34. Ñ. 1–32.
25. Selezov I. Extended models of sedimentation in coastal zone. Vibrations in Physical Systems. 2014.
Vol. 26. P. 243–250.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 05.09.2017
².Ò. Ñåëåçîâ
ÐÎÇÂÈÒÎÊ ÒÀ ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß ÌÅÒÎÄÓ ÊÎز–ÏÓÀÑÎÍÀ ÄÎ ÅËÀÑÒÎÄÈÍÀ̲ÊÈ ØÀÐÓ
ÒÀ вÂÍßÍÍß ÒÈÌÎØÅÍÊÀ
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî óçàãàëüíåííÿ ìåòîäó Êîø³–Ïóàñîíà íà n-âèì³ðíèé
åâêë³ä³â ïðîñò³ð ³ éîãî çàñòîñóâàííÿ äî ïîáóäîâè ã³ïåðáîë³÷íèõ àïðîêñè-
ìàö³é âèñîêîãî ïîðÿäêó.  åâêë³äîâîìó ïðîñòîð³ ââåäåíî îáìåæåííÿ íà
ïîõ³äí³. Ðîçãëÿíóòî ã³ïåðáîë³÷íîå âèðîäæåííÿ çà ïàðàìåòðàìè ³ íàâåäåíî
éîãî ðåàë³çàö³þ ó âèãëÿä³ íåîáõ³äíèõ ³ äîñòàòí³õ óìîâ. ßê îêðåìèé âèïàäîê
÷îòèðèâèì³ðíîãî åâêë³äîâîãî ïðîñòîðó ç³ çáåðåæåííÿì îïåðàòîð³â äî øîñòî-
ãî ïîðÿäêó îòðèìàíî óçàãàëüíåíå ã³ïåðáîë³÷íå ð³âíÿííÿ ïîïåðï÷íèõ êîëè-
âàíü ïëàñòèí ç êîåô³ö³ºíòàìè, çàëåæíèìè ò³ëüêè â³ä ÷èñëà Ïóàñîíà. Öå
ð³âíÿííÿ âêëþ÷ຠÿê îêðåì³ âèïàäêè âñ³ â³äîì³ ð³âíÿííÿ Áåðíóë³–Åéëåðà,
ʳðõãîôà, Ðåëåÿ, Òèìîøåíêà. ³äçíà÷åíî íåòðèâ³àëüíó ïîáóäîâó ð³âíÿííÿ
Òèìîøåíêà çãèííèõ êîëèâàíü áàëêè ÿê ðîçâèòîê äîñë³äæåíü Ìàêñâåëà ³
Åéíøòåéíà ïðî ïîøèðåííÿ çáóðåíü ³ç ñê³í÷åííîþ øâèäê³ñòþ â ñóö³ëüíîìó
ñåðåäîâèù³ òà â³äïîâ³äí³ñòü äî òåî𳿠Êîñåðà.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ìåòîä Êîø³–Ïóàñîíà, åâêë³ä³â ïðîñò³ð, åëàñòîäèíàì³êà,
ïðóæíèé øàð.
I.T. Selezov
DEVELOPMENT AND APPLICATION OF THE CAUCHY–POISSON METHOD
TO ELASTODYNAMICS OF LAYER
Abstract. We consider a generalization of the Cauchy–Poisson method to an
n-dimensional Euclidean space and its application to the construction of
hyperbolic approximations. In Euclidean space, constraints on derivatives are
introduced. The principle of hyperbolic degeneracy in terms of parameters is
formulated and its implementation in the form of necessary and sufficient
conditions is given. As a particular case of a 4-dimensional space with
preserving operators up to the 6th order and dimensioning, a generalized
hyperbolic equation is obtained for bending vibrations of plates with coefficients
depending only on the Poisson number. As special cases, this equation includes
all the well-known equations of Bernoulli–Euler, Kirchhoff, Rayleigh, and
Timoshenko. As a development of Maxwell’s and Einstein’s research on the
propagation of perturbations with finite velocity in a continuous medium, the
Tymoshenko’s non-trivial construction of the equation for bending vibrations of
a beam is noted.
Keywords: Cauchy–Poisson method, Euclidean space, elastodynamics, elastic layer.
Ñåëåçîâ Èãîðü Òèìîôååâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé îòäåëîì Èíñòèòóòà ãèäðîìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû,
Êèåâ, e-mail: igor.selezov@gmail.com.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 115
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144873 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:36:56Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Селезов, И.Т. 2019-01-08T20:34:49Z 2019-01-08T20:34:49Z 2018 Развитие и приложение метода Коши–Пуассона в эластодинамике слоя и уравнение Тимошенко / И.Т. Селезов // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 106–115. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144873 539.3 Рассмотрено обобщение метода Коши–Пуассона на n-мерное евклидово пространство и его приложение к построению гиперболических аппроксимаций высокого порядка. В евклидовом пространстве введены ограничения на производные. Рассмотрено гиперболическое вырождение по параметрам и приведена его реализация в виде необходимых и достаточных условий. В качестве частного случая четырехмерного евклидова пространства с сохранением операторов до шестого порядка получено обобщенное гиперболическое уравнение поперечных колебаний пластин с коэффициентами, зависящими только от числа Пуассона. Это уравнение включает как частные случаи все известные уравнения Бернулли–Эйлера, Кирхгофа, Релея, Тимошенко. Отмечено нетривиальное построение Тимошенко уравнения изгибных колебаний балки и соответствие с теорией Коссера как развития исследований Максвелла и Эйнштейна о распространении возмущений с конечной скоростью в сплошной среде. Розглянуто узагальнення методу Коші–Пуасона на n-вимірний евклідів простір і його застосування до побудови гіперболічних апроксимацій високого порядку. В евклідовому просторі введено обмеження на похідні. Розглянуто гіперболічное виродження за параметрами і наведено його реалізацію у вигляді необхідних і достатніх умов. Як окремий випадок чотиривимірного евклідового простору зі збереженням операторів до шостого порядку отримано узагальнене гіперболічне рівняння поперпчних коливань пластин з коефіцієнтами, залежними тільки від числа Пуасона. Це рівняння включає як окремі випадки всі відомі рівняння Бернулі–Ейлера, Кірхгофа, Релея, Тимошенка. Відзначено нетривіальну побудову рівняння Тимошенка згинних коливань балки як розвиток досліджень Максвела і Ейнштейна про поширення збурень із скінченною швидкістю в суцільному середовищі та відповідність до теорії Косера. We consider a generalization of the Cauchy–Poisson method to an n-dimensional Euclidean space and its application to the construction of hyperbolic approximations. In Euclidean space, constraints on derivatives are introduced. The principle of hyperbolic degeneracy in terms of parameters is formulated and its implementation in the form of necessary and sufficient conditions is given. As a particular case of a 4-dimensional space with preserving operators up to the 6th order and dimensioning, a generalized hyperbolic equation is obtained for bending vibrations of plates with coefficients depending only on the Poisson number. As special cases, this equation includes all the well-known equations of Bernoulli–Euler, Kirchhoff, Rayleigh, and Timoshenko. As a development of Maxwell’s and Einstein’s research on the propagation of perturbations with finite velocity in a continuous medium, the Tymoshenko’s non-trivial construction of the equation for bending vibrations of a beam is noted. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Развитие и приложение метода Коши–Пуассона в эластодинамике слоя и уравнение Тимошенко Розвиток та застосування методу Коші–Пуасона до еластодинаміки шару та рівняння Тимошенка Development and application of the Cauchy–Poisson method to elastodynamics of layer Article published earlier |
| spellingShingle | Развитие и приложение метода Коши–Пуассона в эластодинамике слоя и уравнение Тимошенко Селезов, И.Т. Системний аналіз |
| title | Развитие и приложение метода Коши–Пуассона в эластодинамике слоя и уравнение Тимошенко |
| title_alt | Розвиток та застосування методу Коші–Пуасона до еластодинаміки шару та рівняння Тимошенка Development and application of the Cauchy–Poisson method to elastodynamics of layer |
| title_full | Развитие и приложение метода Коши–Пуассона в эластодинамике слоя и уравнение Тимошенко |
| title_fullStr | Развитие и приложение метода Коши–Пуассона в эластодинамике слоя и уравнение Тимошенко |
| title_full_unstemmed | Развитие и приложение метода Коши–Пуассона в эластодинамике слоя и уравнение Тимошенко |
| title_short | Развитие и приложение метода Коши–Пуассона в эластодинамике слоя и уравнение Тимошенко |
| title_sort | развитие и приложение метода коши–пуассона в эластодинамике слоя и уравнение тимошенко |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144873 |
| work_keys_str_mv | AT selezovit razvitieipriloženiemetodakošipuassonavélastodinamikesloâiuravnenietimošenko AT selezovit rozvitoktazastosuvannâmetodukošípuasonadoelastodinamíkišarutarívnânnâtimošenka AT selezovit developmentandapplicationofthecauchypoissonmethodtoelastodynamicsoflayer |