Узагальнена інтерстріпація функцій двох змінних
Наведено огляд наявних методів відновлення пошкоджених зображень. Описано оператори інтерстріпації для відновлення зображень у разі, якщо інформація є відомою лише на системі смуг, паралельних осям координат, з криволінійними границями, розташованими під довільним кутом, з врахуванням шуму на відоми...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2018 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144876 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Узагальнена інтерстріпація функцій двох змінних / О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Славік // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 141–150. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859719303949975552 |
|---|---|
| author | Литвин, О.М. Литвин, О.О. Славік, О.В. |
| author_facet | Литвин, О.М. Литвин, О.О. Славік, О.В. |
| citation_txt | Узагальнена інтерстріпація функцій двох змінних / О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Славік // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 141–150. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Наведено огляд наявних методів відновлення пошкоджених зображень. Описано оператори інтерстріпації для відновлення зображень у разі, якщо інформація є відомою лише на системі смуг, паралельних осям координат, з криволінійними границями, розташованими під довільним кутом, з врахуванням шуму на відомих смугах. Проведено експеримент для порівняння роботи методів з відомими аналогами.
Представлен обзор существующих методов восстановления поврежденных изображений. Приведены операторы интерстрипации для восстановления изображений в случае, если информация известна лишь на системе полос, параллельных осям координат, с криволинейными границами, расположенных под произвольным углом, с учетом шума на известных полосах. Проведен эксперимент для сравнения работы методов с известными аналогами.
An overview of existing inpainting methods for recovering damaged images is given. The interstripation operators for image restoration are given for the case when information is known only on a system of strips that are parallel to the coordinate axes, have curvilinear boundaries, are arranged at arbitrary angles, and take into account noise in known strips. An experiment was conducted to compare the operation of the methods with world analogues.
|
| first_indexed | 2025-12-01T08:43:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Î.Ì. ËÈÒÂÈÍ, Î.Î. ËÈÒÂÈÍ, Î.Â. ÑËÀ²Ê
ÓÇÀÃÀËÜÍÅÍÀ ²ÍÒÅÐÑÒвÏÀÖ²ß ÔÓÍÊÖ²É ÄÂÎÕ Ç̲ÍÍÈÕ
Àíîòàö³ÿ. Íàâåäåíî îãëÿä íàÿâíèõ ìåòîä³â â³äíîâëåííÿ ïîøêîäæåíèõ çîá-
ðàæåíü. Îïèñàíî îïåðàòîðè ³íòåðñòð³ïàö³¿ äëÿ â³äíîâëåííÿ çîáðàæåíü
ó ðàç³, ÿêùî ³íôîðìàö³ÿ º â³äîìîþ ëèøå íà ñèñòåì³ ñìóã, ïàðàëåëüíèõ îñÿì
êîîðäèíàò, ç êðèâîë³í³éíèìè ãðàíèöÿìè, ðîçòàøîâàíèìè ï³ä äîâ³ëüíèì êó-
òîì, ç âðàõóâàííÿì øóìó íà â³äîìèõ ñìóãàõ. Ïðîâåäåíî åêñïåðèìåíò äëÿ
ïîð³âíÿííÿ ðîáîòè ìåòîä³â ç â³äîìèìè àíàëîãàìè.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: çîáðàæåííÿ, äâîâèì³ðíèé ñèãíàë, â³äíîâëåííÿ çîáðàæåíü,
³íòåðñòð³ïàö³ÿ.
ÂÑÒÓÏ
Ó ðîáîòàõ [1–4] ïðîâåäåíî äîñë³äæåííÿ îïåðàòîð³â ³íòåðñòð³ïàö³¿ (â³ä àíãë.
inter — ì³æ, â³ä àíãë. stripe — ñìóãà) ôóíêö³é äâîõ çì³ííèõ, òîáòî â³äíîâëåí-
íÿ ö³º¿ ôóíêö³¿ ì³æ ñèñòåìîþ ñìóã, ÿêùî ³íôîðìàö³ÿ ïðî öþ ôóíêö³þ º â³äî-
ìîþ ëèøå â òî÷êàõ çàçíà÷åíèõ ñìóã. Îòðèìàíî ðåçóëüòàòè, ÿê³ ìîæíà âèêî-
ðèñòîâóâàòè òàêîæ äëÿ â³äíîâëåííÿ ïîøêîäæåíèõ ôàéë³â, ùî ì³ñòÿòü ãðàô³÷íó
³íôîðìàö³þ. Íàïðèêëàä, ï³ä ÷àñ ïåðåäàâàííÿ ìåðåæåþ ôàéëè ìîæóòü áóòè ïî-
øêîäæåí³ âíàñë³äîê ïîìèëîê ó ïåðåäàâàíí³ äàíèõ àáî ïåðåâàíòàæåííÿ ìåðåæ³.
Ïîòðåáà â îö³íö³ ñïðàâæí³õ çíà÷åíü âòðà÷åíèõ ï³êñåë³â âèíèêຠó á³ëüøîñò³
âèïàäê³â ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ öèôðîâîãî îáðîáëåííÿ çîáðàæåíü àáî, íàïðèêëàä,
ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ îáðîáëåííÿ àðõ³âíèõ äîêóìåíò³â ó ôîðì³ çîáðàæåíü,
ùî ìàþòü ð³çíîìàí³òí³ ñïîòâîðåííÿ (ïîäðÿïèíè, ïëÿìè, ïèë, íåïîòð³áí³ íàïè-
ñè, ë³í³¿ çãèíó òîùî). Òîìó àêòóàëüíèì º ðîçðîáëåííÿ ìåòîä³â â³äíîâëåííÿ
çîáðàæåííÿ â òèõ éîãî ÷àñòèíàõ, äå ³íôîðìàö³ÿ ç òèõ ÷è ³íøèõ ïðè÷èí º
â³äñóòíüîþ àáî º íåïîâí³ñòþ â³äîìîþ.
ÀÍÀË²Ç Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÍÈÕ ÄÆÅÐÅË
Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó â³äíîâëåííÿ ïîøêîäæåíèõ îáëàñòåé çîáðàæåííÿ ç âèêîðèñ-
òàííÿì ³íôîðìàö³¿ ç â³äîìèõ ä³ëÿíîê çîáðàæåííÿ. Ïîçíà÷èìî G ìíîæèíó ï³ê-
ñåë³â ó íåâ³äîì³é îáëàñò³, à G — ìíîæèíó êîðåêòíèõ ï³êñåë³â.
Á³ëüø³ñòü ìåòîä³â â³äíîâëåííÿ çîáðàæåíü ìîæíà óìîâíî ïîä³ëèòè íà òàê³
ãðóïè [6]:
� òåêñòóðí³;
� øàáëîíí³;
� íà îñíîâ³ ð³âíÿíü ó ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ;
� ã³áðèäí³;
� øâèäê³ íàï³âàâòîìàòè÷í³.
Òåêñòóðí³ ìåòîäè â³äíîâëåííÿ çîáðàæåíü. Ó ìåòîäàõ ö³º¿ ãðóïè äëÿ çàïîâ-
íåííÿ íåâ³äîìî¿ îáëàñò³ G áåçïîñåðåäíüî âèêîðèñòîâóþòü ï³êñåë³ ç â³äîìî¿ îáëàñò³
çîáðàæåííÿ G [5]. Ãîëîâíà â³äì³íí³ñòü ì³æ òåêñòóðíèìè ìåòîäàìè ïîëÿãຠó çàáåç-
ïå÷åí³ íåïåðåðâíîñò³ íà ìåæ³ îáëàñò³ �G . Òàê, íàïðèêëàä, ó [6] âèêîðèñòàíî ìàð-
êîâñüê³ âèïàäêîâ³ ïîëÿ (Markov random field) äëÿ ìîäåëþâàííÿ ëîêàëüíîãî ðîç-
ïîä³ëó íåâ³äîìèõ ï³êñåë³â, ïðè öüîìó äëÿ â³äøóêàííÿ íåâ³äîìèõ çíà÷åíü çíàõîäÿòü
ïîä³áíó îáëàñòü ç G , à â ðîáîò³ [7] çàïðîïîíîâàíî àëãîðèòì «çøèâàííÿ» íåâåëèêèõ
ä³ëÿíîê çîáðàæåííÿ (image guilting). Ó [8] íàâåäåíî àëãîðèòì ïàðàìåòðè÷íîãî ñèíòå-
çó òåêñòóð, ÿêèé çàáåçïå÷óº ñèíòåç òåêñòóðè ç óðàõóâàííÿì ö³ëüîâî¿ òåêñòóðè.
Ó [9] çàïðîïîíîâàíî ìåòîä òåêñòóðíîãî ñèíòåçó, ÿêèé äຠçìîãó ãåíåðóâàòè òåêñòó-
ðó çà ð³çíèõ óìîâ ÿñêðàâîñò³. Ó ðîáîò³ [10] íàâåäåíî àëãîðèòì â³äíîâëåííÿ çîáðà-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 141
© Î.Ì. Ëèòâèí, Î.Î. Ëèòâèí, Î.Â. Ñëàâ³ê, 2018
æåííÿ íà îñíîâ³ àíàë³çó òà ñèíòåçó òåêñòóð, çã³äíî ç ÿêèì çîáðàæåííÿ ñïî÷àòêó
äîñë³äæóþòü ìåòîäîì àíàë³çó ãîëîâíèõ êîìïîíåíò (Principal Component Analysis),
à ïîò³ì ç âèêîðèñòàííÿì ìåòîäó âåêòîðíîãî êâàíòóâàííÿ (Vector Quantization) â îá-
ëàñò³ G çíàõîäÿòü íåâ³äîì³ çíà÷åííÿ. Çàïðîïîíîâàí³ ìåòîäè òåêñòóðíîãî â³äíîâëåí-
íÿ çîáðàæåííÿ â³äð³çíÿþòüñÿ ñïîñîáîì â³äíîâëåííÿ ð³çíèõ êîëüîð³â, ³íòåíñèâíîñò³,
ãðà䳺íòà ³ íàâ³òü ñòàòèñòè÷íèõ õàðàêòåðèñòèê.
Øàáëîíí³ ìåòîäè â³äíîâëåííÿ çîáðàæåíü. Îñíîâíà ³äåÿ ôóíêö³îíóâàííÿ àë-
ãîðèòì³â öüîãî êëàñó ´ðóíòóºòüñÿ íà ïðèïóùåíí³ ïðî íàÿâí³ñòü ïîâòîðþâàíèõ ôðàã-
ìåíò³â äàíèõ íà çîáðàæåíí³, ÿê³ çàçâè÷àé íàçèâàþòü øàáëîíàìè. ³äíîâëåííÿ îá-
ëàñò³ G çä³éñíþºòüñÿ ÷àñòèíàìè øëÿõîì êîï³þâàííÿ çíà÷åíü ÿñêðàâîñò³ ç íàéá³ëüø
ñõîæîãî øàáëîíó. Ó ðîáîò³ [11] çàïðîïîíîâàíî àëãîðèòì çàïîâíåííÿ íåâ³äîìî¿ îá-
ëàñò³ íàéá³ëüø ñõîæèìè ôðàãìåíòàìè ç â³äîìî¿ îáëàñò³ G. Ðîçì³ð ôðàãìåíòà ìîæå
çì³íþâàòèñü çàëåæíî â³ä õàðàêòåðèñòèê çîáðàæåííÿ.  [12] çàïðîïîíîâàíî ³òå-
ðàö³éíèé àëãîðèòì çàïîâíåííÿ îáëàñò³ G, ÿêèé äຠçìîãó çä³éñíèòè àïðîêñèìàö³þ
íåâ³äîìèõ îáëàñòåé ³ êîìïîíóâàííÿ ôðàãìåíò³â çîáðàæåííÿ. Îñîáëèâå ì³ñöå ïîñ³äàº
ðîáîòà [13], ó ÿê³é äëÿ çàïîâíåííÿ ïîøêîäæåíî¿ îáëàñò³ âèêîðèñòîâóþòü áàçó äàíèõ
çîáðàæåíü, ùî ì³ñòèòü ì³ëüéîíè çîáðàæåíü-øàáëîí³â äëÿ â³äíîâëåííÿ.
Ìåòîäè â³äíîâëåííÿ çîáðàæåíü íà îñíîâ³ ð³âíÿíü ó ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ.
Ìåòîä âïåðøå áóëî çàïðîïîíîâàíî â [14]. Çà ðàõóíîê çàïîçè÷åííÿ çíà÷íîþ ì³ðîþ
³äå¿ ðó÷íîãî ìàëþâàííÿ ³òåðàö³éíèé ïðîöåñ çàáåçïå÷óº ðîçøèðåííÿ ë³í³éíèõ
ñòðóêòóð (ðîçðèâ³â) îáëàñò³ G, ùî íàçèâàþòüñÿ ³çîôîòàìè (³sophotes), ó íåâ³äîìó îá-
ëàñòü G . Îòæå, â³äíîâëåííÿ äàíèõ îáëàñò³ G çä³éñíþºòüñÿ çà äîïîìîãîþ äàíèõ, ÿê³
º ïðèðîäíèì ïðîäîâæåííÿì ³íôîðìàö³¿, ùî ì³ñòèòüñÿ â G. Öåé ï³äõ³ä ñòàâ îñíîâîþ
ïîäàëüøèõ ðîá³ò. Íàïðèêëàä, â [15] çàïðîïîíîâàíî àëãîðèòì ïîâíî¿ âàð³àö³¿ (Total
Variational (TV)) ç âèêîðèñòàííÿì ð³âíÿííÿ Åéëåðà–Ëàãðàíæà òà àí³çîòðîïíî¿ äè-
ôó糿. Ìîäåëü â³äíîâëåííÿ TV áóëî ðîçøèðåíî äî ìîäåë³ äèôóç³éíî¿ êîðåêö³¿ êðè-
âèçíè (Curvature Driven Diffusion) [16], ÿêà ì³ñòèëà ³íôîðìàö³þ ïðî êðèâèçíó ³çîôîò,
ùî äàâàëî çìîãó á³ëüø åôåêòèâíî â³äíîâëþâàòè êðèâîë³í³éí³ ñòðóêòóðè. Ó ðî-
áîò³ [17] çàïðîïîíîâàíî ³íøèé ï³äõ³ä, ùî ´ðóíòóºòüñÿ íà ð³âíÿííÿõ ó ÷àñòèííèõ
ïîõ³äíèõ — àëãîðèòì àí³çîòðîïíî¿ âåêòîð-ðåãóëÿðèçàö³¿.
óáðèäí³ ìåòîäè â³äíîâëåííÿ çîáðàæåíü. Ç íàçâè çðîçóì³ëî, ùî ìåòîäè
öüîãî êëàñó ÿâëÿþòü ñîáîþ ïîºäíàííÿ äâîõ êëàñ³â ìåòîä³â, à ñàìå òåêñòóðíèõ
ìåòîä³â ³ ìåòîä³â íà îñíîâ³ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ó ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ.
Îñíîâíà ³äåÿ àëãîðèòìó ïîëÿãຠó òîìó, ùî ñïî÷àòêó âèä³ëÿþòü òåêñòóðíó òà
ñòðóêòóðíó ñêëàäîâó çîáðàæåííÿ, à ïîò³ì çàïîâíþþòü ¿õ ç âèêîðèñòàííÿì â³ä-
ïîâ³äíèõ àëãîðèòì³â [18–20].
Øâèäê³ íàï³âàâòîìàòè÷í³ ìåòîäè â³äíîâëåííÿ çîáðàæåíü. Íåäîë³êîì
á³ëüøîñò³ îïèñàíèõ âèùå ìåòîä³â º ¿õíÿ âèñîêà îá÷èñëþâàëüíà ñêëàäí³ñòü, òîìó
â äåÿêèõ äîñë³äæåííÿõ çàñòîñîâóþòü àëãîðèòìè äëÿ ïðèñêîðåííÿ îá÷èñëåíü.
Ó ðîáîò³ [21] íàâåäåíî ìåòîä â³äíîâëåííÿ çîáðàæåííÿ çà äîïîìîãîþ âèä³ëåíî¿
ñòðóêòóðè. Ó ìåòîä³ øâèäêîãî ïðîõîäó (Fast Marching Method (FMM)), îïèñàíî-
ìó â [22], ðîçãëÿäàþòü íåâ³äîìó îáëàñòü çîáðàæåííÿ G ÿê íàá³ð ð³âí³â òà âèêî-
ðèñòîâóþòü ¿õ äëÿ â³äíîâëåííÿ çîáðàæåííÿ.
²ÍÒÅÐÑÒвÏÀÖ²ß ÔÓÍÊÖ²É ÄÂÎÕ Ç̲ÍÍÈÕ
Ðîçãëÿíåìî á³ëüø äåòàëüíî ³íòåðñòð³ïàö³þ ì³æ ñèñòåìîþ âåðòèêàëüíèõ ³ ãîðè-
çîíòàëüíèõ ñìóã. Ââàæàºìî, ùî çîáðàæåííÿ ïîâåðõí³ � º â³äîìèì ëèøå íà
ñèñòåì³ m ( )m � 2 âåðòèêàëüíèõ ñìóã âèãëÿäó
G x y k mk k k n1 1 1 1, , [ , ] , ,� � � � � { }� � � � ,
òà íà ñèñòåì³ n ( )n � 2 ãîðèçîíòàëüíèõ ñìóã âèãëÿäó
G y x l nl l l m2 1 1 1, , [ , ] , ,� � � � � { }� � � � .
Ââåäåìî ïîçíà÷åííÿ G Gk k1
2
1, ,\� � , k m�1, , G Gl l2
2
2, ,\� � , l n�1, .
142 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Òîä³ ðåçóëüòàòîì îá’ºäíàííÿ ìíîæèí G k1, , k m�1, , òà G l2, , l n�1, , º îáëàñòü G
íåçàïîâíåíèõ ä³ëÿíîê çîáðàæåííÿ. Ó òî÷êàõ çîáðàæåííÿ G , ÿê³ íå óâ³éøëè äî G ,
çáåð³ãàºòüñÿ âñÿ íàÿâíà ³íôîðìàö³ÿ ïðî çîáðàæåííÿ.
Ââàæàºìî, ùî ïîâåðõíÿ � : ( , )z f x y� , f x y C N N( , ) ( ),� �
2 , ÿêó ìè õî÷åìî
â³äíîâèòè, º â³äîìîþ ëèøå íà çàçíà÷åíèõ âèùå ñìóãàõ, òîáòî
f x y f x y x y
k kx k k k n( , ) ( , ), ,,� �
� � � �
� � � � � � �1 1 1,
f x y f x y y x
l ly l l l m( , ) ( , ), ,,� �
� � � �
� � � � � � �2 1 1.
Ïðè öüîìó � � � �k k k k k m
� 1 1 1, , , � � � �l l l l l n
� 1 1 1, , , C N N, ( )�
2 —
êëàñ ôóíêö³é, ùî ìàþòü íåïåðåðâí³ ïîõ³äí³ f x yp q( , ) ( , ) äëÿ 0
�p q N, .
Ââåäåìî òàê³ îïåðàòîðè [2–5]:
L f x y
f x y x y
f x y
k k k n
k k
1
1 1 1
1 1
( , )
( , ), , ,
( ,
,
, ,
�
� � � �
� � � �
E ), , – ;� �k kx k m� � � �
�
�
1 1 1
L f x y
f x y y x
f x y
l l l m
l l
2
2 1 1
2 1
( , )
( , ), , ,
( ,
,
, ,
�
� � � �
� � � �
E ), , – ;� �l ly l n� � � �
�
�
1 1 1
L f x y
f x y x y G k m
f x y x
k k
l12
1 1
2
1
( , )
( , ), ( , ) , , ,
( , ), ( ,
, ,
,�
� �
y G l n
f x y x y G
l
k l
) , , ,
( , ), ( , ) ,
,
, , ,
� �
�
�
�
�
�
2
1 2
1
E
äå
E E E E E1 2 1 1 2 1 1 1 2 1, , , , , , , , , , ,( , ) [k l k k l l k k l lf x y � � ] ( , )f x y ,
E1 1
0
1
0
1, ,
( , )
, ,
( , )( , ) [ ( , ) ( ) ( ,k k
s
k k s
s
kf x y f y x f � � �� y xk s
s
N
) ( )], ,� 2 1
0
�
� ,
E 2 1
0
1
0
, ,
( , )
, ,
( , )( , ) [ ( , ) ( ) ( ,l l
p
l l p
p
lf x y f x y f x � � �� 1 2 1
0
) ( )], ,� l p
p
N
y
�
� ,
� 1
1 1
, , ( ) ( )
( )
!
(k s
j
j k
m
j
N k
s
j
j k
m
x x x
x x
s
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
� �1/ x x j
N
x
N s
k
�
�
�
�
��
� �
)
( )
1
,
� 2
1 1
, , ( ) ( )
( )
!
(l p
i
i l
n
i
N l
p
i
i l
n
y y y
y y
p
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
� �1/ y yi
N
y
N p
l
�
�
�
�
��
� �
)
( )
1
.
Òóò îïåðàòîðè E1 1, , ( , )k k f x y , E 2 1, , ( , )l l f x y òà E1 2, , , ( , )k l f x y — öå îïåðàòîðè
äâîâèì³ðíî¿ åðì³òîâî¿ ³íòåðïîëÿö³¿, � 1, , ( )k s x òà � 2, , ( )l p y — ïîë³íîìè Åðì³òà.
Ó òîìó ðàç³, ÿêùî ³íôîðìàö³ÿ º â³äîìîþ ëèøå íà ñèñòåì³ ãîðèçîíòàëüíèõ
ñìóã, ïîâåðõíÿ z L f x y� 2 ( , ) º íàáëèæåíîþ ìàòåìàòè÷íîþ ìîäåëëþ ïîâåðõí³ �,
ÿêà íà êîæí³é ç³ ñìóã G l nl2 1, , ,� , òî÷íî â³äòâîðþº ïîâåðõíþ, à ì³æ ñìóãàìè çîá-
ðàæóº ïîâåðõíþ çà äîïîìîãîþ îïåðàòîðà E 2 1, , ( , )l l f x y , l n� �1 1, . Àíàëîã³÷íî
äëÿ âèïàäêó âåðòèêàëüíèõ ñìóã ïîâåðõíÿ z L f x y� 1 ( , ) º íàáëèæåíîþ ìàòåìàòè÷-
íîþ ìîäåëëþ ïîâåðõí³ �, ÿêà íà êîæí³é ç³ ñìóã G k mk1 1, , ,� , òî÷íî â³äíîâëþº
ïîâåðõíþ, à ì³æ ñìóãàìè çîáðàæóº ïîâåðõíþ çà äîïîìîãîþ îïåðàòîðà
E1 1, , ( , )k k f x y , k m� �1 1, . Ó òîìó ðàç³, êîëè ³íôîðìàö³ÿ ïðî ïîâåðõíþ º â³äîìîþ
íà ñèñòåì³ âçàºìíî ïåðïåíäèêóëÿðíèõ ñìóã, íàáëèæåíîþ ìàòåìàòè÷íîþ ìîäåë-
ëþ ïîâåðõí³ � º ïîâåðõíÿ z L f x y� 12 ( , ).
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 143
Íàâåäåí³ âèùå îïåðàòîðè ³íòåðñòð³ïàö³¿ îïèñàíî äëÿ ôóíêö³é äâîõ çì³ííèõ,
ÿê³ ìàþòü íåïåðåðâí³ ïîõ³äí³ äî ïîðÿäêó N âêëþ÷íî, ³ íàçèâàþòüñÿ îïåðàòîðàìè
³íòåðñòð³ïàö³¿ òèïó Åðì³òà. Ó ðàç³ îáðîáëåííÿ äâîâèì³ðíèõ ñèãíàë³â çàñòîñîâó-
þòü îïåðàòîðè ³íòåðñòð³ïàö³¿ òèïó Ëàãðàíæà äëÿ N � 0:
E1 1
1
1
1
1
, , ( , ) ( , )k k
k
k k
k
k
k k
f x y
x
f y
x
f
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
� �
( , )� k y ,
E 2 1
1
1
1
1
, , ( , ) ( , )l l
l
l l
l
l
l l
f x y
y
f x
y
f
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
� �
( , )x l� ,
E E E E E1 2 1 1 2 1 1 1 2 1, , , , , , , , , , ,( , ) [k l k k l l k k l lf x y � � ] ( , )f x y �
�
�
�
�
�
x
f y
x
f yk
k k
k
k
k k
k
�
� �
�
�
� �
�
1
1
1
1
( , ) ( , )
�
�
�
�
�
y
f x
y
f xl
l l
l
l
l l
l
�
� �
�
�
� �
�
1
1
1
1
( , ) ( , )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x y
f
x yk
k k
l
l l
k l
k
k k
�
� �
�
� �
� �
�
� �
�
1 1
1 1
1
( , ) l
l l
k lf
�
�1
1
1
� �
� �( , )
�
�
�
�
�
�
�
�
x y
f
x yk
k k
l
l l
k l
k
k k
�
� �
�
� �
� �
�
� �
1
1 1
1
1
1
( , )
�
�
�
� �
� �l
l l
k lf1
1
( , ).
²ÍÒÅÐÑÒвÏÀÖ²ß Ç² ÇÃËÀÄÆÓÂÀÍÍßÌ ØÓÌÓ ÂÕ²ÄÍÎÃÎ ÑÈÃÍÀËÓ
ßêùî ó ãðàô³÷íèõ ôàéëàõ îêð³ì ïîøêîäæåíèõ îáëàñòåé º òàêîæ øóìè íà
â³äîìèõ ä³ëÿíêàõ çîáðàæåííÿ, òî âèêîðèñòàííÿ ³íòåðñòð³ïàö³¿ íàïðÿìó ìîæå
äàòè õèáí³ ðåçóëüòàòè. Òîìó äëÿ óíèêíåííÿ öüîãî çàì³ñòü òî÷íîãî çíà÷åííÿ íà
ãðàíèö³ îáëàñò³ ïîòð³áíî âèêîðèñòîâóâàòè äåÿêå ñåðåäíº çíà÷åííÿ [23, 24]:
� 1 1
1 1 0
1
1
1 1
, ,
, ,
( , )
( , )
( , )
(
, ,
k k
k k p
w x y
f x y
w x y
f
k k
�
�
� � k p y� , ),
� 2 1
1 1 0
1
1
1 1
, ,
, ,
( , )
( , )
( , )
(
, ,
k k
k k p
w x y
f x y
w x y
f
k k
�
�
� � k p y 1 , ),
� 3 1
2 1 0
1
1
2 1
, ,
, ,
( , )
( , )
( , )
(
, ,
l l
l l r
w x y
f x y
w x y
f
l l
�
�
� x rl, )� � ,
� 4 1
2 1 0
1
1
2 1
, ,
, ,
( , )
( , )
( , )
(
, ,
l l
l l r
w x y
f x y
w x y
f
l l
�
�
� x rl, )� 1 ,
äå w x y x xk k k k1 1 1, , ( , ) min ( , ) � � �� � , w x y y yl l l l2 1 1, , ( , ) min ( , ) � � �� � .
Ó öüîìó ðàç³ îïåðàòîðè ³íòåðñòð³ïàö³¿ ìàþòü âèãëÿä [24, 25]:
E1 1
1
1 1
1
, , , ,( , ) ( , )k k
k
k k
k k
k
k
f x y
x
f x y
x
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� k
k k f x y
1
2 1� , , ( , ),
E 2 1
1
3 1
1
, , , ,( , ) ( , )l l
l
l l
l l
l
l
f x y
y
f x y
y
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� l
l l f x y
1
4 1� , , ( , ),
E E E E E1 2 1 1 2 1 1 1 2 1, , , , , , , , , , ,( , ) [k l k k l l k k l lf x y � � ] ( , )f x y �
�
�
�
�
�
x
f x y
x
fk
k k
k k
k
k k
k k
�
� �
�
� �1
1 1
1
1
2 1� �, , , ,( , ) (x y
y
f x yl
l l
l l, ) ( , ), ,
�
�
�
� �1
3 1�
144 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
�
�
�
�
�
�
�
y
f x y
x yl
l l
l l
k
k k
l
l
�
� �
�
� �
�
� �
1
1
4 1
1 1
� , , ( , )
l
k k l l f x y� �1 1 3 1, , , , ( , ) �
�
�
�
�
�
�
x y
f x yk
k k
l
l l
k k l l
�
� �
�
� �1
1
1
1 1 4 1� �, , , , ( , )
�
�
�
�
�
�
x y
f x yk
k k
l
l l
k k l l
�
� �
�
� �
1
1 1
2 1 3 1� �, , , , ( , )
�
�
�
�
�
x y
f x yk
k k
l
l l
k k l l
�
� �
�
� �
1
1
1
1
2 1 4 1� �, , , , ( , ).
Íà ðèñ. 1 íàâåäåíî ïðèêëàä â³äíîâëåííÿ çîáðàæåííÿ ïîâåðõí³ îïåðàòîðîì
³íòåðñòð³ïàö³¿ ç³ çãëàäæóâàííÿì øóìó âõ³äíîãî ñèãíàëó.
²ÍÒÅÐÑÒвÏÀÖ²ß ÍÀ ÑÈÑÒÅ̲ ÑÌÓà ²Ç ÊÐÈÂÎ˲ͲÉÍÈÌÈ ÌÅÆÀÌÈ
Ââàæàºìî, ùî çîáðàæåííÿ ïîâåðõí³ � º â³äîìèì ëèøå íà ñèñòåì³ m m( )� 2
âåðòèêàëüíèõ ñìóã âèãëÿäó
G y x y y k mk k k n1 1 1 1, ( ) ( ), [ , ] , ,� � � � � { }� � � � ,
òà íà ñèñòåì³ n n( )� 2 ãîðèçîíòàëüíèõ ñìóã âèãëÿäó
G x y x x l nl l l m2 1 1 1, ( ) ( ), [ , ] , ,� � � � � { }� � � � ,
òîáòî, ìåæ³ â³äîìèõ îáëàñòåé çîáðàæåííÿ — öå äåÿê³ êðèâ³. Ó öüîìó ðàç³ îïå-
ðàòîðè ³íòåðñòð³ïàö³¿ ìàþòü òàêèé âèãëÿä [25]:
E1 1
1
1, , ( , )
( )
( ) ( )
( ( ), )k k
k
k k
kf x y
x y
y y
f y y
x
�
�
�
��
� �
�
�
� �
�k
k k
k
y
y y
f y y
�
1
1
( )
( ) ( )
( ( ), ),
E 2 1
1
1, , ( , )
( )
( ) ( )
( , ( ))l l
l
l l
lf x y
y x
x x
f x x
y
�
�
�
��
� �
�
�
� �
�l
l l
l
x
x x
f x x
�
1
1
( )
( ) ( )
( , ( )),
E E E E E1 2 1 1 2 1 1 1 2 1, , , , , , , , , , ,( , ) [k l k k l l k k l lf x y � � ] ( , )f x y �
�
�
�
�
�
x y
y y
f y y
x y
y
k
k k
k
k
k
�
� �
�
�
� �
( )
( ) ( )
( ( ), )
( )
( )1
1
1
k
k
y
f y y
1 ( )
( ( ), )�
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 145
Ðèñ. 1. Ðåçóëüòàòè â³äíîâëåííÿ ïîøêîäæåíîãî çîáðàæåííÿ ìåòîäîì ³íòåðñòð³ïàö³¿ ç³ çãëàäæó-
âàííÿì øóìó âõ³äíîãî ñèãíàëó: ïîøêîäæåíå çîáðàæåííÿ (à); â³äíîâëåíå çîáðàæåííÿ (á)
à á
�
�
�
�
y x
x x
f x x
y x
x
l
l l
l
l
l
�
� �
�
�
� �
( )
( ) ( )
( , ( ))
( )
( )1
1
1
l
l
x
f x x
�
1 ( )
( , ( ))�
�
�
�
�
�
x y
y y
y x
x x
f yk
k k
l
l l
k
�
� �
�
� �
�
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ( )
1 1
1 , ( ))� l x �1
�
�
�
�
�
x y
y y
y x
x x
fk
k k
l
l l
k
�
� �
�
� �
�
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( (
1
1
1
1 y xl), ( ))� �
�
�
�
�
�
x y
y y
y x
x x
f yk
k k
l
l l
k
�
� �
�
� �
�1
1 1
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ( ), ( ))� l x �1
�
�
�
�
�
x y
y y
y x
x x
fk
k k
l
l l
k
�
� �
�
� �
�1
1
1
1
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ( y xl), ( ))� .
Íà ðèñ. 2 íàâåäåíî ïðèêëàä â³äíîâëåííÿ çîáðàæåííÿ ïîâåðõí³ îïåðàòîðîì
³íòåðñòð³ïàö³¿ íà ñèñòåì³ ñìóã ç êðèâîë³í³éíèìè ìåæàìè.
²ÍÒÅÐÑÒвÏÀÖ²ß ÍÀ ÑÈÑÒÅ̲ ÑÌÓÃ, ÐÎÇÒÀØÎÂÀÍÈÕ Ï²Ä ÄβËÜÍÈÌ ÊÓÒÎÌ
Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó â³äíîâëåííÿ ïîøêîäæåíîãî çîáðàæåííÿ äåÿêî¿ ïîâåðõí³ �.
Ââàæàºìî, ùî çîáðàæåííÿ ïîâåðõí³ º â³äîìèì ëèøå íà ñèñòåì³ ðîçòàøîâàíèõ
ï³ä äîâ³ëüíèì êóòîì m m( )� 2 ñìóã òàêîãî âèãëÿäó:
G x y x y x y x y k mk k k
� � � � �{ }( , ) : ( , ) , ( , ) , ,, ,� �1 2 1 ,
äå � � � �1 1 1 1, , , ,( , )k k k kx y x y� � òà � � � �2 2 2 2, , , ,( , )k k k kx y x y� � — ïðÿì³,
ÿê³ îáìåæóþòü ñìóãó. Ïðè öüîìó � � � �
1
2
1
2
2
2
2
2 1 1
, , , ,
, ,
k k k k
k m � � � .
Ïîâåðõíÿ � : ( , )z f x y� , f x y C N N( , ) ( ),� �
2 , ÿêó ìè õî÷åìî â³äíîâèòè,
ââàæàºòüñÿ â³äîìîþ ëèøå íà çàçíà÷åíèõ ñìóãàõ, òîáòî
f x y f x y x y G k m
G k k
k
( , ) ( , ), ( , ) , ,� � �� 1 .
Íåõàé A { A }k l k l k lk l k l k l k l m, ,, ( , ) ( , ) : ; ; , ,�� � � � � �� � 1 — òî÷êè ïåðå-
òèíó ïðÿìèõ �k òà �l , ÿê³ º ìåæàìè k-¿ òà l-¿ ñìóã â³äïîâ³äíî.
Ââåäåìî îïåðàòîð
�
�
m
k k
m k
f x y
f x y x y G k m
f x y x y G
( , )
( , ), ( , ) , , ,
( , ), ( , )
*
�
� �
�
1
* , , ,k m�
�
�
1
146 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Ðèñ. 2. Ðåçóëüòàòè â³äíîâëåííÿ ïîøêîäæåíîãî çîáðàæåííÿ ìåòîäîì ³íòåðñòð³ïàö³¿ íà ñèñòåì³
ñìóã ³ç êðèâîë³í³éíèìè ìåæàìè: ïîøêîäæåíå çîáðàæåííÿ (à); â³äíîâëåíå çîáðàæåííÿ (á)
à á
äå
� �m
i
i k l
k l
i
i k l
m
k l
f x y
x y
f x y( , )
( , )
( )
( , )
,
,
,
( , )
�
�
�
�
�
�
� A1�
� .
Îïåðàòîð � k l f x y, ( , ) — îïåðàòîð ³íòåðñòð³ïàö³¿ ì³æ k-þ òà l-þ ñìóãàìè [26]:
� k l
l
k k
kf x y
x y
x y
f x x y y x y
x
, ( , )
( , )
( , )
( ( , ), ( , ))
( ,
� � �� �
P
y
x y
f x x y y x yl l
)
( , )
( ( , ), ( , ))
P
� � ,
P( , ) ( , )x y x yk
k
m
�
�
� �
1
; � k k kx y x x y x y x y y( , ) ( ( , ) ) ( ( , ) )� � �� �2 2 ,
x x y
y x
k
k k
k k k
k
� �
�
( , ) /
� �
� � �
� , y x y
y x
k
k k
k k k
k
� �
� �
( , ) /
� �
� � �
� ,�k
k k
k k
�
�
� �
� �
.
Ôàêòè÷íî, x x yk
� ( , ) òà y x yk
� ( , ) — öå êîîðäèíàòè òî÷êè íà k-é ñìóç³ ç íàé-
ìåíøîþ â³äñòàííþ â³ä òî÷êè ( , )x y ç íåâ³äîìî¿ îáëàñò³, � k x y( , ) — â³äñòàíü â³ä
òî÷êè ( , )x y äî k-¿ ïðÿìî¿, P( , )x y — ñóìà â³äñòàíåé äî êîæíî¿ ³ç ñìóã.
Ïîâåðõíÿ z f x ym� � ( , ) º íàáëèæåíîþ ìàòåìàòè÷íîþ ìîäåëëþ îñâ³òëåíîñò³
ïîâåðõí³ �, ÿêà íà êîæí³é ³ç ñìóã Gk
* , k m�1, , òî÷íî â³äíîâëþº ïîâåðõíþ, à ì³æ
ñìóãàìè çîáðàæóº ïîâåðõíþ çà äîïîìîãîþ îïåðàòîðà � m f x y( , ), ïðè öüîìó
ôóíêö³ÿ �m
N Nf x y C( , ) ( ),� �
2 .
Íà ðèñ. 3 íàâåäåíî ïðèêëàä â³äíîâëåííÿ çîáðàæåííÿ çà äîïîìîãîþ îïåðàòî-
ðà ³íòåðñòð³ïàö³¿ íà ñèñòåì³ ñìóã, ðîçòàøîâàíèõ ï³ä äîâ³ëüíèì êóòîì.
²ÍÒÅÐÑÒвÏÀÖ²ß ÍÀ ÑÈÑÒÅ̲ ÐÎÇÒÀØÎÂÀÍÈÕ Ï²Ä ÄβËÜÍÈÌ ÊÓÒÎÌ ÑÌÓÃ
Ç ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍÍßÌ ²ÍÔÎÐÌÀÖ²¯ ÏÐÎ ÐÎÇÐÈÂÈ ÍÀ ÇÎÁÐÀÆÅÍͲ
Íàâåäåìî àëãîðèòì â³äíîâëåííÿ çîáðàæåííÿ ïîâåðõí³, ³íôîðìàö³ÿ ïðî ÿêó º
â³äîìîþ ëèøå íà ñèñòåì³ ïåðåòèííèõ ñìóã, ðîçòàøîâàíèõ ï³ä äîâ³ëüíèì êó-
òîì, ç âèêîðèñòàííÿì äîäàòêîâî¿ ³íôîðìàö³¿ ïðî ðîçðèâè íà çîáðàæåí³ [27].
Êðîê 1. Íà êîæí³é ³ç ñìóã øóêàþòü ðîçðèâè ïåðøîãî ðîäó â³ä ôóíêö³¿, ùî
îïèñóº ïîâåðõíþ. Äëÿ öüîãî ìîæíà ñêîðèñòàòèñÿ ìåòîäàìè, îïèñàíèìè
â [28, 29]. Ðåçóëüòàòîì òàêî¿ îïåðàö³¿ º íàá³ð ñåãìåíò³â S i , i n�1, , çîáðàæåííÿ íà
êîæí³é ³ç ñìóã.
Êðîê 2. Âèêîíóþòü íàáëèæåííÿ ìåæ � � �S x yi i� ( , ) 0, i n�1, , îòðèìàíèõ
ñåãìåíò³â çà äîïîìîãîþ ïîë³íîì³â k-ãî ( )k � 2 ñòåïåíÿ ç âèêîðèñòàííÿì òî÷îê
ðîçðèâó â³äïîâ³äíîãî ñåãìåíòà.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 147
Ðèñ. 3. Ðåçóëüòàòè â³äíîâëåííÿ ïîøêîäæåíîãî çîáðàæåííÿ ìåòîäîì ³íòåðñòð³ïàö³¿ íà ñèñòåì³ ñìóã,
ðîçòàøîâàíèõ ï³ä äîâ³ëüíèì êóòîì: ïîøêîäæåíå çîáðàæåííÿ (à); â³äíîâëåíå çîáðàæåííÿ (á)
à á
Êðîê 3. Øóêàþòü ïðîäîâæåííÿ êîæíîãî ñåãìåíòà íà ³íø³é ñìóç³. Äëÿ öüîãî çíà-
õîäÿòü òî÷êè ïåðåòèíó îòðèìàíèõ ìåæ ñåãìåíò³â ó íåâ³äîì³é îáëàñò³. Ïðè öüîìó, ÿêùî
òàê³ òî÷êè ïåðåòèíó º, ââàæàþòü, ùî îáèäâ³ ìåæ³ íàëåæàòü îäíîìó ñåãìåíòó, ³ öåé ñåã-
ìåíò ðîçì³ùóºòüñÿ íà ê³ëüêîõ ñìóãàõ îäíî÷àñíî. ßêùî òàêèõ òî÷îê íåìàº, ââàæàþòü,
ùî ñåãìåíò ðîçì³ùóºòüñÿ ëèøå íà îäí³é ñìóç³, ³ éîãî ìåæ³ íå ïåðåòèíàþòü æîäíó ³íøó
ñìóãó. Öåé ïðîöåñ àâòîìàòè÷íîãî îá’ºäíàííÿ ñåãìåíò³â ìîæíà çàì³íèòè ïðîöåñîì
øòó÷íîãî îá’ºäíàííÿì ñåãìåíò³â çà äîïîìîãîþ ¿õ çàäàííÿ â ðó÷íîìó ðåæèì³.
148 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Ðèñ. 4. Ðåçóëüòàò â³äíîâëåííÿ ïîøêîäæåíîãî çîáðàæåííÿ îïåðàòîðàìè ³íòåðñòð³ïàö³¿ íà ñèñòåì³
ñìóã, ðîçòàøîâàíèõ ï³ä äîâ³ëüíèì êóòîì, ç âðàõóâàííÿì ñòðóêòóðè çîáðàæåííÿ: ïîøêîäæåíå
çîáðàæåííÿ (à); â³äíîâëåíå çîáðàæåííÿ áåç âðàõóâàííÿ ñòðóêòóðè çîáðàæåííÿ (á); â³äíîâëåíå
çîáðàæåííÿ ³ç âðàõóâàííÿì ñòðóêòóðè çîáðàæåííÿ (â)
à á â
Ðèñ. 5. Ðåçóëüòàòè â³äíîâëåííÿ ïîøêîäæåíîãî çîáðàæåííÿ Goldhill: ïîøêîäæåíå çîáðàæåííÿ (à);
â³äíîâëåííÿ çà äîïîìîãîþ òåêñòóðíîãî ìåòîäó [10] (á); â³äíîâëåííÿ çà äîïîìîãîþ FMM
ìåòîäó [22] (â); â³äíîâëåííÿ çà äîïîìîãîþ îïåðàòîðà ³íòåðñòð³ïàö³¿ (ã)
à á
ãâ
Êðîê 4. Çàñòîñîâóþòü îïåðàòîð ³íòåðñòð³ïàö³¿ � p r f x y, ( , ) äëÿ â³äíîâëåííÿ
çîáðàæåííÿ ïîâåðõí³ äëÿ êîæíîãî ç ñåãìåíò³â S i , i n�1, , ÿêèé ïåðåòèíຠp-òó òà
r-òó ñìóãè, p r m, ,�1 .
Íàâåäåìî ïðèêëàä â³äíîâëåííÿ çîáðàæåííÿ îïåðàòîðîì ³íòåðñòð³ïàö³¿ ç âèêîðèñ-
òàííÿì äîäàòêîâî¿ ³íôîðìàö³¿ ïðî ðîçðèâè íà â³äîìèõ ä³ëÿíêàõ çîáðàæåííÿ (ðèñ. 4).
Íà ðèñ. 5 íàâåäåíî ðåçóëüòàò â³äíîâëåííÿ ïîøêîäæåíîãî òåñòîâîãî çîáðà-
æåííÿ Goldhill ç âèêîðèñòàííÿì ñó÷àñíèõ ìåòîä³â â³äíîâëåííÿ çîáðàæåíü ó ïî-
ð³âíÿíí³ ç îïåðàòîðàìè ³íòåðñòð³ïàö³¿.
ÂÈÑÍÎÂÊÈ
Ìåòîä ³íòåðñòð³ïàö³¿, îïèñàíèé ó [1–4], ìîæíà â³äíåñòè äî êëàñó øàáëîííèõ
ìåòîä³â.
Ó ö³é ðîáîò³ çàïðîïîíîâàíî óçàãàëüíåííÿ ìåòîäó ³íòåðñòð³ïàö³¿ [23–27] ç ìå-
òîþ ï³äâèùåííÿ ÿêîñò³ â³äíîâëåííÿ ôóíêö³¿.
Ðîçãëÿíóò³ ìåòîäè ìîæíà çàñòîñîâóâàòè äëÿ â³äíîâëåííÿ óðàæåíèõ ä³ëÿíîê
ïîøêîäæåíèõ çîáðàæåíü, ÿêå º àêòóàëüíîþ çàäà÷åþ ó ð³çíîìàí³òíèõ ïðèêëàäíèõ
ãàëóçÿõ ³ ïîòðåáóº ïîäàëüøèõ äîñë³äæåíü.
ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ
1. Ëèòâèí Î.Ì., Ìàò⺺âà Ñ.Þ., Ìåæóºâ Â.². Ìåòàìîäåëü äëÿ ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ ïîâåðõí³
ò³ëà íà îñíîâ³ äàíèõ ðàä³îëîêàö³¿. Óïðàâëÿþùèå ñèñòåìû è ìàøèíû. 2010. ¹ 3. Ñ. 33–47.
2. Ëèòâèí Î.Ì., Ìàò⺺âà Ñ.Þ. Ìåòîä â³äíîâëåííÿ ïîâåðõí³ ì³æ ñìóãàìè çà äîïîìîãîþ ³íôîðìàö³¿ ïðî
ïîâåðõíþ íà âçàºìîïåðïåíäèêóëÿðíèõ ñìóãàõ. Óïðàâëÿþùèå ñèñòåìû è ìàøèíû. 2011. ¹ 1. Ñ. 33–41.
3. Ëèòâèí Î.Ì., Ìàò⺺âà Ñ.Þ. ²íòåðñòð³ïàö³ÿ ôóíêö³é äâîõ çì³ííèõ íà ñèñòåì³ ïåðåòåííèõ
ñìóã. Óïðàâëÿþùèå ñèñòåìû è ìàøèíû. 2013. ¹ 2. Ñ. 33–41.
4. Ëèòâèí Î.Í., Ìàòâååâà Ñ.Þ. Îáðàáîòêà àýðîêîñìè÷åñêèõ ñíèìêîâ ñ ïîìîùüþ èíòåðñòðèïà-
öèÿ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 2013. ¹ 2. Ñ. 111–124.
5. Joshua J., Darsan G. Digital inpainting techniques — a survey. International Journal of Latest
Research in Engineering and Technology. 2016. Vol. 2. P. 34–36.
6. Efros A., Leung T.K. Texture synthesis by non-parametric sampling. Proc. IEEE International
Conference on Computer Vision (ICCV’99). 1999. P. 1033–1038.
7. Efros A., Freeman W.T. Image quilting for texture synthesis and transfer. Proc. ACM Conf. Comp.
Graphics (SIGGRAPH’01). 2001. P. 341–346.
8. Heeger D.J., Bergen J.R. Pyramid-based texture analysis (synthesis). Proc. ACM Conf. Comp.
Graphics (SIGGRAPH’95). 1995. Vol. 29. P. 229–233.
9. Yamauchi H., Haber J., Seidel H. Image restoration using multiresolution texture synthesis and
image inpainting. Proc. Computer Graphics International Conference (CGI’03). 2003. P. 120–125.
10. Fang C.W., Lien J.J. Fast image replacement using multi-resolution approach. Lecture Notes in
Computer Science. 2006. Vol. 3852. P. 509–520.
11. Criminisi A., Perez P., Toyama K. Region filling and object removal by exemplar-based inpainting.
IEEE Transactions on Image Processing. 2004. Vol. 13, N 9. P. 1200–1212.
12. Drori I., Cohen-Or D., Yeshurun H. Fragment-based image completion. Proc. ACM Conf. Comp.
Graphics (SIGGRAPH’03). 2003. Vol. 22. P. 303–312.
13. Hays J., Efros A. Scene completion using millions of photographs. ACM Trasaction on Graphics —
Proc. ACM SIGGRAPH’07. 2007. Vol. 26, N 3. P. 87–94.
14. Bertalmio M., Sapiro G., Caselles V., Ballester C. Image inpainting. Proc. of ACM Conf. Comp.
Graphics (SIGGRAPH’00). 2000. P. 417–424.
15. Chan T., Shen J. Mathematical models for local deterministic inpaintings. SIAM Journal on Applied
Mathematics. 2002. Vol. 62, N 3. P. 1019–1043.
16. Chan T., Shen J. Non-texture inpainting by curvature-driven diffusions (CDD). Visual Comm. Image
Rep. 2001. Vol. 12. P. 436–449.
17. Tschumperl D., Deriche R. Vector-valued image regularization with PDE’s. Transactions on Pattern
Analysis and Machine Intelligence. 2005. Vol. 27, N 4. P. 506–517.
18. Bertalmio M, Vese L., Sapiro G., Osher S. Simultaneous structure and texture image inpainting.
Transactions on Image Processing. 2003. Vol. 12, N 8. P. 882–889.
19. Starck J.-L., Elad M., Donoho D.L. Image decomposition via the combination of sparse representation
and a variational approach. Transaction on Image Processing. 2005. Vol. 14, N 10. P. 1570–1582.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 149
20. Elad M., Starck J.-L., Donoho D., Querre P. Simultaneous cartoon and texture image inpainting
using morphological component analysis (MCA). Applied and Computational Harmonic Analysis.
2005. Vol. 19, N 3. P. 340–358.
21. Sun J., Yuan L., Jia J., Shum H. Image completion with structure propagation. Proc. ACM Conf.
Comp. Graphics (SIGGRAPH’05). 2005. Vol. 24. P. 861–868.
22. Telea A. An image in-painting technique based on the fast marching method. Journal of Graphics
Tools. 2004. Vol. 9. P. 23–34.
23. Ëèòâèí Î.Ì., Ëèòâèí Î.Î., ˳ñíèé Ã.Ä., Ñëàâ³ê Î.Â. Íîâèé ìåòîä â³äíîâëåííÿ çîáðàæåíü â çîíàõ
â³äñóòíîñò³ ïîï³êñåëüíî¿ ³íôîðìàö³¿. Óïðàâëÿþùèå ñèñòåìû è ìàøèíû. 2017. ¹ 1. Ñ. 46–58.
24. Ëèòâèí Î.Ì., Ëèòâèí Î.Î., ˳ñíèé Ã.Ä., Ñëàâ³ê Î.Â. ³äíîâëåííÿ çîáðàæåíü â çîíàõ â³äñóò-
íîñò³ ïîï³êñåëüíî¿ ³íôîðìàö³¿ ç âèêîðèñòàííÿì ³íòåðñòð³ïàö³¿ ôóíêö³é. Á³îí³êà ³íòåëåêòó.
2016. ¹ 2. Ñ. 88–93.
25. Ëèòâèí Î.Ì., Ëèòâèí Î.Î., Ñëàâ³ê Î.Â. Íàáëèæåííÿ ôóíêö³é äâîõ çì³ííèõ çà äîïîìîãîþ ¿õ
ñë³ä³â íà ñèñòåì³ íåïåðåðâíèõ ñìóã ç êðèâîë³í³éíèìè ãðàíèöÿìè. Îá÷èñëþâàëüí³ ìåòîäè ³
ñèñòåìè ïåðåòâîðåííÿ ³íôîðìàö³¿: Òåçè äîïîâ³äåé ²V íàóêîâî-òåõí³÷íî¿ êîíôåðåíö³¿ (Ëüâ³â,
28–30 âåðåñíÿ 2016). Ëüâ³â, 2016. Ñ. 21–24.
26. Ëèòâèí Î.Ì., Ñëàâ³ê Î.Â. Íàáëèæåííÿ ôóíêö³é äâîõ çì³ííèõ çà äîïîìîãîþ ¿õ ñë³ä³â íà ñèñ-
òåì³ ïåðåòèííèõ ñìóã, ðîçòàøîâàíèõ ï³ä äîâ³ëüíèì êóòîì. ³ñíèê Çàïîð³çüêîãî íàö³îíàëüíîãî
óí³âåðñèòåòó. Ô³çèêî-ìàòåìàòè÷í³ íàóêè. 2016. ¹ 2. Ñ. 175–182.
27. Ëèòâèí Î.Ì., Ñëàâ³ê Î.Â. Çàñòîñóâàííÿ óçàãàëüíåíî¿ ³íòåðñòð³ïàö³¿ ôóíêö³é äâîõ çì³ííèõ äëÿ
â³äíîâëåííÿ çîáðàæåííÿ ïîâåðõí³. ²íôîðìàòèêà òà ñèñòåìí³ íàóêè: Ìàòåð³àëè V²I² Âñåóêð-
à¿íñüêî¿ íàóêîâî-ïðàêòè÷íî¿ êîíôåðåíö³¿ çà ì³æíàðîäíîþ ó÷àñòþ (Ïîëòàâà, 16–18 áåðåçíÿ
2017 ). Ïîëòàâà, 2017. Ñ. 180–182.
28. Ëèòâèí Î.Ì., Ñëàâ³ê Î.Â. Äîñë³äæåííÿ ë³í³é ðîçðèâó ôóíêö³é äâîõ çì³ííèõ àáî ¿õ ïîõ³äíèõ
äåÿêîãî ïîðÿäêó. Ïðîáëåìè ìàøèíîáóäóâàííÿ. 2016. Ò. 19, ¹ 1. Ñ. 37–43.
29. Shrivakshan G., Chandrasekar C. A comparison of various edge detection techniques used in image
processing. International Journal of Computer Science Issues. 2012. Vol. 9. P. 269–276.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 29.06.2017
Î.Í. Ëèòâèí, Î.Î. Ëèòâèí, À.Â. Ñëàâèê
ÎÁÎÁÙÅÍÍÀß ÈÍÒÅÐÑÒÐÈÏÀÖÈß ÔÓÍÊÖÈÉ ÄÂÓÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ
Àííîòàöèÿ. Ïðåäñòàâëåí îáçîð ñóùåñòâóþùèõ ìåòîäîâ âîññòàíîâëåíèÿ ïî-
âðåæäåííûõ èçîáðàæåíèé. Ïðèâåäåíû îïåðàòîðû èíòåðñòðèïàöèè äëÿ âîññòà-
íîâëåíèÿ èçîáðàæåíèé â ñëó÷àå, åñëè èíôîðìàöèÿ èçâåñòíà ëèøü íà ñèñòåìå
ïîëîñ, ïàðàëëåëüíûõ îñÿì êîîðäèíàò, ñ êðèâîëèíåéíûìè ãðàíèöàìè, ðàñïîëî-
æåííûõ ïîä ïðîèçâîëüíûì óãëîì, ñ ó÷åòîì øóìà íà èçâåñòíûõ ïîëîñàõ. Ïðî-
âåäåí ýêñïåðèìåíò äëÿ ñðàâíåíèÿ ðàáîòû ìåòîäîâ ñ èçâåñòíûìè àíàëîãàìè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: èçîáðàæåíèå, äâóìåðíûé ñèãíàë, âîññòàíîâëåíèå èçîáðà-
æåíèé, èíòåðñòðèïàöèÿ.
O.M. Lytvyn, O.O. Lytvyn, O.V. Slavik
A GENERALIZED INTERSTRIPATION OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES
Abstract. An overview of existing inpainting methods for recovering damaged images
is given. The interstripation operators for image restoration are given for the case
when information is known only on a system of strips that are parallel to the
coordinate axes, have curvilinear boundaries, are arranged at arbitrary angles, and take
into account noise in known strips. An experiment was conducted to compare the
operation of the methods with world analogues.
Keywords: image, two-dimensional signal, inpainting, interstripation.
Ëèòâèí Îëåã Ìèêîëàéîâè÷,
äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð, çàâ³äóâà÷ êàôåäðè Óêðà¿íñüêî¿ ³íæåíåðíî-ïåäàãîã³÷íî¿ àêàäå쳿,
Õàðê³â, e-mail: academ_mail@ukr.net.
Ëèòâèí Îëåã Îëåãîâè÷,
äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðè Óêðà¿íñüêî¿ ³íæåíåðíî-ïåäàãîã³÷íî¿ àêàäå쳿, Õàðê³â,
e-mail: olegolitvin55@gmail.com.
Ñëàâ³ê Îëåêñ³é Âàëåð³éîâè÷,
àñï³ðàíò Óêðà¿íñüêî¿ ³íæåíåðíî-ïåäàãîã³÷íî¿ àêàäå쳿, Õàðê³â, e-mail: aleksey.slavik92@gmail.com.
150 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144876 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T08:43:54Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.М. Литвин, О.О. Славік, О.В. 2019-01-08T20:40:30Z 2019-01-08T20:40:30Z 2018 Узагальнена інтерстріпація функцій двох змінних / О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Славік // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 141–150. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144876 519.6 Наведено огляд наявних методів відновлення пошкоджених зображень. Описано оператори інтерстріпації для відновлення зображень у разі, якщо інформація є відомою лише на системі смуг, паралельних осям координат, з криволінійними границями, розташованими під довільним кутом, з врахуванням шуму на відомих смугах. Проведено експеримент для порівняння роботи методів з відомими аналогами. Представлен обзор существующих методов восстановления поврежденных изображений. Приведены операторы интерстрипации для восстановления изображений в случае, если информация известна лишь на системе полос, параллельных осям координат, с криволинейными границами, расположенных под произвольным углом, с учетом шума на известных полосах. Проведен эксперимент для сравнения работы методов с известными аналогами. An overview of existing inpainting methods for recovering damaged images is given. The interstripation operators for image restoration are given for the case when information is known only on a system of strips that are parallel to the coordinate axes, have curvilinear boundaries, are arranged at arbitrary angles, and take into account noise in known strips. An experiment was conducted to compare the operation of the methods with world analogues. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Узагальнена інтерстріпація функцій двох змінних Обобщенная интерстрипация функций двух переменных A generalized interstripation of functions of two variables Article published earlier |
| spellingShingle | Узагальнена інтерстріпація функцій двох змінних Литвин, О.М. Литвин, О.О. Славік, О.В. Системний аналіз |
| title | Узагальнена інтерстріпація функцій двох змінних |
| title_alt | Обобщенная интерстрипация функций двух переменных A generalized interstripation of functions of two variables |
| title_full | Узагальнена інтерстріпація функцій двох змінних |
| title_fullStr | Узагальнена інтерстріпація функцій двох змінних |
| title_full_unstemmed | Узагальнена інтерстріпація функцій двох змінних |
| title_short | Узагальнена інтерстріпація функцій двох змінних |
| title_sort | узагальнена інтерстріпація функцій двох змінних |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144876 |
| work_keys_str_mv | AT litvinom uzagalʹnenaínterstrípacíâfunkcíidvohzmínnih AT litvinoo uzagalʹnenaínterstrípacíâfunkcíidvohzmínnih AT slavíkov uzagalʹnenaínterstrípacíâfunkcíidvohzmínnih AT litvinom obobŝennaâinterstripaciâfunkciidvuhperemennyh AT litvinoo obobŝennaâinterstripaciâfunkciidvuhperemennyh AT slavíkov obobŝennaâinterstripaciâfunkciidvuhperemennyh AT litvinom ageneralizedinterstripationoffunctionsoftwovariables AT litvinoo ageneralizedinterstripationoffunctionsoftwovariables AT slavíkov ageneralizedinterstripationoffunctionsoftwovariables |