Рекуррентные соотношения для двуканальных систем с эрланговским временем обслуживания
Предложен метод исследования систем обслуживания M/Es/2/m, M/Es/2/∞, в том числе систем с применением случайного отбрасывания заявок. Получены рекуррентные соотношения для вычисления стационарного распределения числа заявок в системе и стационарных характеристик. Построенные алгоритмы проверены на и...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144877 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Рекуррентные соотношения для двуканальных систем с эрланговским временем обслуживания / Ю.В. Жерновый // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 151–159. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-144877 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Жерновый, Ю.В. 2019-01-08T20:45:14Z 2019-01-08T20:45:14Z 2018 Рекуррентные соотношения для двуканальных систем с эрланговским временем обслуживания / Ю.В. Жерновый // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 151–159. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144877 519.21 Предложен метод исследования систем обслуживания M/Es/2/m, M/Es/2/∞, в том числе систем с применением случайного отбрасывания заявок. Получены рекуррентные соотношения для вычисления стационарного распределения числа заявок в системе и стационарных характеристик. Построенные алгоритмы проверены на имитационных моделях, созданных с помощью инструментальных средств GPSS World . Запропоновано метод дослідження систем обслуговування M/Es/2/m, M/Es/2/∞, в тому числі систем із застосуванням випадкового відкидання замовлень. Отримано рекурентні співвідношення для обчислення стаціонарного розподілу кількості замовлень у системі та стаціонарних характеристик. Побудовані алгоритми перевірено на імітаційних моделях, створених за допомогою інструментальних засобів GPSS World. We propose a method of studying M/Es/2/m, M/Es/2/∞ queueing systems including the case of random dropping of customers. Recurrence relations are obtained for computing the stationary distribution of the number of customers in a system and its steady-state characteristics. The developed algorithms are tested on examples using simulation models constructed with the help of the GPSS World tools. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Рекуррентные соотношения для двуканальных систем с эрланговским временем обслуживания Рекурентні співвідношення для двоканальних систем с ерлангівським часом обслуговування Recurrence relations for two-channel queuing systems with erlangian service times Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Рекуррентные соотношения для двуканальных систем с эрланговским временем обслуживания |
| spellingShingle |
Рекуррентные соотношения для двуканальных систем с эрланговским временем обслуживания Жерновый, Ю.В. Системний аналіз |
| title_short |
Рекуррентные соотношения для двуканальных систем с эрланговским временем обслуживания |
| title_full |
Рекуррентные соотношения для двуканальных систем с эрланговским временем обслуживания |
| title_fullStr |
Рекуррентные соотношения для двуканальных систем с эрланговским временем обслуживания |
| title_full_unstemmed |
Рекуррентные соотношения для двуканальных систем с эрланговским временем обслуживания |
| title_sort |
рекуррентные соотношения для двуканальных систем с эрланговским временем обслуживания |
| author |
Жерновый, Ю.В. |
| author_facet |
Жерновый, Ю.В. |
| topic |
Системний аналіз |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Рекурентні співвідношення для двоканальних систем с ерлангівським часом обслуговування Recurrence relations for two-channel queuing systems with erlangian service times |
| description |
Предложен метод исследования систем обслуживания M/Es/2/m, M/Es/2/∞, в том числе систем с применением случайного отбрасывания заявок. Получены рекуррентные соотношения для вычисления стационарного распределения числа заявок в системе и стационарных характеристик. Построенные алгоритмы проверены на имитационных моделях, созданных с помощью инструментальных средств GPSS World .
Запропоновано метод дослідження систем обслуговування M/Es/2/m, M/Es/2/∞, в тому числі систем із застосуванням випадкового відкидання замовлень. Отримано рекурентні співвідношення для обчислення стаціонарного розподілу кількості замовлень у системі та стаціонарних характеристик. Побудовані алгоритми перевірено на імітаційних моделях, створених за допомогою інструментальних засобів GPSS World.
We propose a method of studying M/Es/2/m, M/Es/2/∞ queueing systems including the case of random dropping of customers. Recurrence relations are obtained for computing the stationary distribution of the number of customers in a system and its steady-state characteristics. The developed algorithms are tested on examples using simulation models constructed with the help of the GPSS World tools.
|
| issn |
1019-5262 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/144877 |
| citation_txt |
Рекуррентные соотношения для двуканальных систем с эрланговским временем обслуживания / Ю.В. Жерновый // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 151–159. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT žernovyiûv rekurrentnyesootnošeniâdlâdvukanalʹnyhsistemsérlangovskimvremenemobsluživaniâ AT žernovyiûv rekurentníspívvídnošennâdlâdvokanalʹnihsistemserlangívsʹkimčasomobslugovuvannâ AT žernovyiûv recurrencerelationsfortwochannelqueuingsystemswitherlangianservicetimes |
| first_indexed |
2025-11-24T04:37:27Z |
| last_indexed |
2025-11-24T04:37:27Z |
| _version_ |
1850843044346068992 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Þ.Â. ÆÅÐÍÎÂÛÉ
ÐÅÊÓÐÐÅÍÒÍÛÅ ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈß ÄËß ÄÂÓÊÀÍÀËÜÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Ñ ÝÐËÀÍÃÎÂÑÊÈÌ ÂÐÅÌÅÍÅÌ ÎÁÑËÓÆÈÂÀÍÈß
Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåí ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ
M E ms/ / /2 , M Es/ / /2 � , â òîì ÷èñëå ñèñòåì ñ ïðèìåíåíèåì ñëó÷àéíîãî
îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê. Ïîëó÷åíû ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ
ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå è ñòàöèîíàðíûõ õà-
ðàêòåðèñòèê. Ïîñòðîåííûå àëãîðèòìû ïðîâåðåíû íà èìèòàöèîííûõ ìîäåëÿõ,
ñîçäàííûõ ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ GPSS World.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äâóêàíàëüíàÿ ñèñòåìà îáñëóæèâàíèÿ, ýðëàíãîâñêîå âðåìÿ
îáñëóæèâàíèÿ, ñëó÷àéíîå îòáðàñûâàíèå çàÿâîê, ìåòîä ôèêòèâíûõ ôàç, ðå-
êóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ, ñòàöèîíàðíûå õàðàêòåðèñòèêè.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ ñ ýðëàíãîâñêèìè ðàñïðåäåëåíèÿìè,
â ÷àñòíîñòè ñèñòåìû M E ns/ / / � , ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ôèêòèâíûõ ôàç, ðàçðà-
áîòàííûé À.Ê. Ýðëàíãîì [1]. Äëÿ ýðëàíãîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïîðÿäêà s âðå-
ìåíè îáñëóæèâàíèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êàæäàÿ çàÿâêà ïîñëåäîâàòåëüíî ïðî-
õîäèò s ôàç îáñëóæèâàíèÿ, äëèòåëüíîñòè êîòîðûõ ðàñïðåäåëåíû ïî ïîêàçà-
òåëüíûì çàêîíàì ñ ïàðàìåòðàìè � � �1 2, , ,� s.
Ó÷åò ôàç òðåáóåò ôèêñàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîñòîÿíèé è ïðèâîäèò ê óâåëè-
÷åíèþ ãðîìîçäêîñòè îïèñàíèÿ ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè ôàçîâî-
ãî òèïà. Íåïîñðåäñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿò-
íîñòåé ñîñòîÿíèé ìîæåò îêàçàòüñÿ íåâîçìîæíûì ââèäó áîëüøîé ðàçìåðíîñòè ìàò-
ðèöû êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû. Íàèáîëåå öåëåñîîáðàçåí àëãîðèòìè÷åñêèé ïîäõîä,
ïðåäïîëàãàþùèé ïîëó÷åíèå ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé ëèáî â âèäå ðåêóððåíòíûõ
ôîðìóë, ëèáî â âèäå ìàòðè÷íî-ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé è àëãîðèòìîâ. Ìàòðè÷-
íî-ãåîìåòðè÷åñêèé ïîäõîä, ïðåäëîæåííûé â [2–4], îñíîâàí íà ïðåäâàðèòåëüíîì
àíàëèçå ðåøàåìîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî îíà ðàçáèâàåòñÿ íà
ïîäñèñòåìû ìåíüøåãî ïîðÿäêà, ñâÿçàííûå ìåæäó ñîáîé ðåêóððåíòíûìè çàâèñè-
ìîñòÿìè. Åñëè ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ýòèõ ïîäñèñòåì óäàåòñÿ îáðàòèòü, òî âñëå-
äñòâèå èõ ðåêóððåíòíîé ñâÿçàííîñòè ìîæíî ïîëó÷èòü ðåêóððåíòíûå ôîðìóëû
â ìàòðè÷íîì èëè ñêàëÿðíîì âèäå äëÿ ðåøåíèé èñõîäíîé ñèñòåìû.
Ðàçðàáîòàííûé â [5–7] ìàòðè÷íûé ðåêóððåíòíî-èòåðàöèîííûé ìåòîä ðåøå-
íèÿ âåêòîðíî-ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé áàëàíñà ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè äëÿ
ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè ôàçîâîãî òèïà èìååò ðÿä íåäîñòàòêîâ:
âûïîëíåíèå óñëîâèé ñõîäèìîñòè èòåðàöèé ïðèâîäèò ê äîïîëíèòåëüíûì òðåáîâà-
íèÿì, ïðåäúÿâëÿåìûì ê ìàòðèöàì ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè, à íàëè÷èå
ñàìèõ èòåðàöèé óâåëè÷èâàåò âðåìÿ ñ÷åòà.
Öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû — ïîñòðîåíèå ðåêóððåíòíûõ àëãîðèòìîâ äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìàõ îáñëóæèâàíèÿ
M E ms/ / /2 , M Es/ / /2 � êàê ñòàíäàðòíûõ, òàê è â ñèñòåìàõ ñ ïðèìåíåíèåì ñëó-
÷àéíîãî îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê. Ñëó÷àéíîå îòáðàñûâàíèå çàÿâîê èñïîëüçóåòñÿ
â ñèñòåìàõ îáñëóæèâàíèÿ â öåëÿõ ïðåäîòâðàùåíèÿ ïåðåãðóçîê è ñîñòîèò â òîì,
÷òî êàæäàÿ ïîñòóïàþùàÿ çàÿâêà ìîæåò áûòü îòáðîøåíà ñ îïðåäåëåííîé âåðîÿò-
íîñòüþ, çàâèñÿùåé îò äëèíû î÷åðåäè â ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ çàÿâêè, äàæå åñëè
áóôåð åùå ïîëíîñòüþ íå çàïîëíåí [8–12]. Ïðåäëàãàåìûé ìåòîä îñíîâàí íà èñ-
ïîëüçîâàíèè ïðÿìûõ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé, ñëåäóþùèõ íåïîñðåäñòâåííî
èç óðàâíåíèé ñèñòåìû äëÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé.  îòëè÷èå îò ðåêóð-
ðåíòíî-èòåðàöèîííîãî ìåòîäà îí íå ñîäåðæèò èòåðàöèé, à â îòëè÷èå îò ìàò-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 151
� Þ.Â. Æåðíîâûé, 2018
ðè÷íî-ãåîìåòðè÷åñêîãî ïîäõîäà íå ïðåäïîëàãàåò ïðåäâàðèòåëüíûõ ïðåîáðàçî-
âàíèé ðåøàåìîé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Àíàëîãè÷íûé ïîäõîä èñïîëüçîâàëñÿ ðàíåå
â [11, 12], ãäå ðàçðàáîòàíû ðåêóððåíòíûå àëãîðèòìû äëÿ ñèñòåì M E m/ / /2 2 ,
M E/ / /2 2 � , M E m/ / /2 3 è M E/ / /2 3 � è òàêèõ æå ñèñòåì ñî ñëó÷àéíûì îò-
áðàñûâàíèåì çàÿâîê.
ÑÈÑÒÅÌÀ M E ms/ / /2 ÑÎ ÑËÓ×ÀÉÍÛÌ ÎÒÁÐÀÑÛÂÀÍÈÅÌ ÇÀßÂÎÊ
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó M E ms/ / /2 , ãäå m — ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî çàÿâîê, êîòîðûå
îäíîâðåìåííî ìîãóò íàõîäèòüñÿ â î÷åðåäè. Âõîäÿùèé ïîòîê çàÿâîê ïðîñòåéøèé,
ò.å. èíòåðâàëû âðåìåíè ìåæäó ìîìåíòàìè ïîñòóïëåíèÿ ñîñåäíèõ ïî âðåìåíè çàÿ-
âîê — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïîêàçàòåëüíî ðàñïðåäåëåííûå ñ ïàðà-
ìåòðîì �. Âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ êàæäîé çàÿâêè ðàñïðåäåëåíî ñîãëàñíî îáîáùåí-
íîìó çàêîíó Ýðëàíãà ïîðÿäêà s, ò.å. ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó s íåçàâèñèìûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïîêàçàòåëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñ ïàðàìåòðàìè � � �1 2, , ,� s.
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû: s0 — â ñèñòåìå
íåòó çàÿâîê; sk ij( ) — â ñèñòåìå èìååòñÿ k çàÿâîê ( )1 2� � �k m , äâå îáñëóæèâàå-
ìûå çàÿâêè ïðåáûâàþò íà i-é è j-é ôàçàõ îáñëóæèâàíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ( ,1 � �i s
i j s� � ). Ñîñòîÿíèÿ s j1 0( ) ( )1 � �j s ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó ðàáîòàþùåìó êàíàëó
j-é ôàçû îáñëóæèâàíèÿ. Ïóñòü p0 è pk ij( ) — ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè ïðåáû-
âàíèÿ ñèñòåìû â ñîñòîÿíèÿõ s0 è sk ij( ) ñîîòâåòñòâåííî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â öåëÿõ ïðåäîòâðàùåíèÿ ïåðåãðóçîê â ñèñòåìå îáñëóæè-
âàíèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîå ïðîðåæèâàíèå âõîäÿùåãî ïîòîêà çàÿâîê â çàâè-
ñèìîñòè îò äëèíû î÷åðåäè. Ïóñòü f k� ( ) — çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòè ïîòîêà
çàÿâîê, ïîëó÷åííîãî ïîñëå ïðîðåæèâàíèÿ, îò ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå k. Ñ÷èòàåì,
÷òî èíòåíñèâíîñòü îñòàåòñÿ íåèçìåííîé äëÿ êàæäîãî èç ñîñòîÿíèé s
k ij( )
ïðè
ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè k, ò.å. f k
k
k mk
�
�
�
( )
, , ;
, .
�
�
� � �
�
�
1 2
3 1
Ïðîðåæèâàíèå âõîäÿùåãî ïîòîêà çàÿâîê ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ ïóòåì ñëó-
÷àéíîãî îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê ñîãëàñíî ïðàâèëó: åñëè â ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ çàÿâ-
êè ÷èñëî çàÿâîê â ñèñòåìå îáñëóæèâàíèÿ ðàâíî k m
�{2 }, , ,3 2� (ðàññìàòðèâàå-
ìàÿ íå ó÷èòûâàåòñÿ), òî çàÿâêà ïðèíèìàåòñÿ íà îáñëóæèâàíèå ñ âåðîÿòíîñòüþ � k
(0 1� �� k , � m� �2 0) è ïîëó÷àåò îòêàç (îòáðàñûâàåòñÿ) ñ âåðîÿòíîñòüþ 1� � k .
Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò ÷àñòíûé ñëó÷àé ýòîé ñòðàòåãèè, ôèêñèðóÿ ïîðîãîâîå çíà-
÷åíèå h ( )4 � �h m è ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî � k �1 ïðè 3 1� � �k h è � � �k � � �( )0 1
äëÿ h k m� � �1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ 0 1� �� k , ãäå k — ÷èñëî çàÿâîê â ñèñ-
òåìå â ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ çàÿâêè, èíòåíñèâíîñòü ïðîñòåéøåãî ïîòîêà çàÿâîê,
ïðèíèìàåìûõ íà îáñëóæèâàíèå, ñîñòàâëÿåò � ��k k� .
Ñ÷èòàÿ, ÷òî p pj j1 0 1 1( ) ( )� ( )1 � �j s , äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿò-
íîñòåé ñèñòåìû M E ms/ / /2 cî ñëó÷àéíûì îòáðàñûâàíèåì çàÿâîê ïîëó÷àåì
ñèñòåìó óðàâíåíèé:
� � �� �p ps s0 1 0 0( ) ;
� � � � �( ) ( ) ( )� � � �1 1 01 0 2 1 0p p ps s ;
� � � � � � �� �( ) , –( ) ( ) ( , )� � � �j j s js j jp p p j s1 0 2 1 1 0 1 0 2 1;
� � � � �� �( ) ( ) ( ) ( , )� � � �s s s ss s sp p p1 0 2 1 1 0 12 0 ;
� � � � � �� �( ( ) ) ( )( ) ( ) ( )f k p f k p pk k s k s� �� �2 1 01 11 1 11 1 1 , 2 1� � �k m ;
� � � �� �2 1 01 2 11 1 11� �p f m pm m( ) ( )( ) ;
� � � � � � �� �( ( ) ) ( )( ) ( ) ( )f k p f k p pk k s k s� �� � �1 2 12 1 12 1 21
� �2 01 11� pk ( ) , 2 1� � �k m ;
� � � � � �� � �( ) ( )( ) ( ) ( )� � ��1 2 2 12 1 12 1 2 111 2 0p f m p pm m m ;
� � � � � � �� �( ( ) ) ( )( ) ( ) ( )f k p f k p pj k j k j s k js� �� � �1 1 1 1 11
152 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
� � � � �� �� j k jp k m1 1 1 0 2 1( , ) , , 3 1� �j s– ;
� � � � � �� � � � �( ) ( )( ) ( ) ( , )� � ��1 2 1 1 1 1 2 1 11 0j m j m j j m jp f m p p , 3 � �j s ;
� � � � � � �� �( ( ) ) ( )( ) ( ) ( )f k p f k p ps k s k s s k ss� �� � �1 1 1 1 11 2
� �� ��s k sp1 1 1 0( , ) , 2 1� � �k m ;
� � � � � �� � � � �( ) ( )( ) ( ) ( , )� � ��1 2 1 1 1 1 2 1 11 0s m s m s s m sp f m p p ;
� � � �� �( ) ( ) ( , )� � �2 02 1 2 1i ii i i ip p , 2 � �i s;
� � � � � �� � � � �( ) ( , ) ( ) ( , )� � � � �i i i i i ii i i ip p p1 2 1 2 1 2 1 12 0, 2 1� �i s– ;
� � � � � �� � � �( ) ( ) ( , ) ( , )� � � � �i j ij i i j j i jp p p2 1 2 1 1 2 1 0, 2 2� �i s– , i j s� � �2 ;
� � � � � �� � �( ( ) ) ( )( ) ( ) ( , )f k p f k p pi k ii k ii i k i i� �� �2 1 01 1 1 , 3 1� � �k m , 2 � �i s;
� � � � �� � � � �2 1 02 1 1 2 1� ��i m ii m ii i m i ip f m p p( ) ( ) ( , )( ) , 2 � �i s ;
� � � � � �� � � �( ( ) ) ( )( , ) ( , )f k p f k p pi i k i i k i i i k� �� � �1 1 1 11 2 ( )ii �
� �� � �� i k i ip1 1 1 0( , ) , 3 1� � �k m , 2 1� �i s– ;
� � � � �� � � � � �( ) ( )( , ) ( , ) (� � ��i i m i i m i i i m ip f m p p1 2 1 1 1 21 2 i) �
� � � �� � � �� i m i ip i s1 2 1 1 0 2 1( , ) , – ;
� � � � � �� � �( ( ) ) ( )( ) ( ) ( , )f k p f k p pi j k ij k ij i k i j� �� � �1 1 1 1 �
� � � � �� �� j k i jp k m1 1 0 3 1( , ) , , 2 2� �i s– , i j s� � �2 ;
� � � � � �� � � � �( ) ( )( ) ( ) ( , )� � ��i j m ij m ij i m i jp f m p p2 1 1 2 11
� � � � � � � �� � �� j m i jp i s i j s1 2 1 0 2 2 2( , ) , , ; (1)
p p pj
j
s
k ij
j i
s
i
s
k
m
0 1 0
1 12
2
1� � �
� ���
�
( ) ( ) . (2)
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ
�
�
�
i
i
� , 1 � �i s; �
�
�
i
i�
1
, 1 � �i s;
g k
k
k mk
�
�
�
( )
, , ;
, ;
�
�
� � �
�
�
1
1
1 2
3 1
�
�
�
k
k
1
1
� , 3 1� � �k m ;
~
( )
( )
p
p
p
k ij
k ij
�
0
, 1 2� � �k m , 1 � �i s, i j s� � ;
~
( )p pk is ki� , 2 2� � �k m , 1 � �i s,
ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (1) íàõîäèì:
~
( )p s s1 0 � � , ~ ( )( )p ps1 01
1
1 21
1
1
�
�
�
�
� � ,
~ ( ~ )( ) ( , )p p pj
j
j j s j1 0
1
1 1 0 1 2
1
�
�
�� �
� �
� � , 2 1� �j s– ;
~
( )
( ( )~ )( ) ( ) ,p
g k
g k p pk k s k11 1 11 1 1
1
2
1�
�
� �� �
�
� � , 2 1� � �k m ;
~ ( ) ~ ;( ) ( )p
g m
pm m� ��
�
2 11 1 11
1
2
�
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 153
~
( )
( ( )~ ~
( ) ( ) ( )p
g k
g k p p pk k k s k12
2
1 12 11
1
1
1 2�
� �
� � ��
�
�
�
� �1 2, ), 2 1� � �k m ;
~ ( ( )~ ~ )( ) ( ) ( )p g m p pm m m� � ��
�
� �2 12
2
1 12 2 11
1
1
1 2
�
� ;
~
( )
( ( )~ ~
( ) ( ) ( ,p
g k
g k p pk j
j
k j j k j1 1 1 1 1 1
1
1
1�
� �
� �� � �
�
�
�
� ) �
� � � ��� s k jp k m1 2 1, ), , 3 1� �j s– ;
~ ( ( )~ ~ )( ) ( ) ( , )p g m p pm j
j
m j j m j� � � � ��
�
� �2 1 1 1 1 2 1 1
1
1
1
�
�� , 3 1� �j s– ;
~ ~ , –( ) ( , )p p i sii
i
i
i i2
1
1
2 1
2
2 1�
�
� ��
�
�
� �
;
~
( )
( ( )~ ~
( ) ( ) ( , )p
g k
g k p pk ii
i
k ii i k i i�
�
� �� � �
1
2
1 1 1 1
�
�
�
� ) , 3 1� � �k m , 2 1� �i s– ;
~ ( ( )~ ~ )( ) ( ) ( , )p g m p pm ii
i
m ii i m i i� � � � �� � �2 1 1 2 1
1
2
1
�
�� , 2 1� �i s– ;
~ ( ~ ~
( , ) ( ) ( , )p p pi i
i i
i ii i i i2 1
1 1
2 1 2 1 1
1
2�
�
� � ��
� �
�
� � �
� � ) , 2 2� �i s– ;
~ ( ~ ~ )( ) ( , ) ( , )p p pij
i j
i i j j i j2
1
1 2 1 1 2 1
1
�
� �
�� � � �
� � �
� � , 2 3� �i s– , i j s� � �2 1– ;
~
( )
( ( )~ ~
( , ) ( , )p
g k
g k pk i i
i i
k i i i�
�
� ��
� �
� �1
1
1 1
1
1 2
�
�
� �
� pk ii( ) �
� � � �� � �� i k i ip k m1 1 1 3 1~ ),( , ) , 2 2� �j s– ;
~ ( ( )~ ~
( , ) ( , )p g m p pm i i
i i
m i i i m� �
�
� � ��
�
� �2 1
1
1 1 2
1
1 2
� �
�� ( )ii �
� � �� � � �� i m i ip i s1 2 1 1 2 2~ ), –( , ) ;
~
( )
( ( )~ ~
( ) ( ) ( ,p
g k
g k p pk ij
i j
k ij i k i�
� �
� �� � �
1
1 1 1 1
�
�
� �
� j) �
� � � �� �� j k i jp k m1 1 3 1~ ),( , ) , 2 3� �i s– , i j s� � �2 1– ;
~ ( ( )~ ~
( ) ( ) ( , )p g m p pm ij
i j
m ij i m i j� � � � ��
�
� �2 1 1 2 1
1
1
� �
�� �
� � �� � �� j m i jp i s1 2 1 2 3~ ), –( , ) , i j s� � � �2 1. (3)
Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ (3) ïîçâîëÿþò âû÷èñëÿòü ñòàöèîíàðíûå âåðîÿò-
íîñòè ~
( )pk ij â âèäå ëèíåéíûõ ôóíêöèé îò ïàðàìåòðîâ p k m i ski ( , )2 2 1� � � � �
â ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:
~
( )p s1 0 ; ~
( )p j1 0 , 1 1� �j s– ; ~
( )pk 11 , 2 2� � �k m ; ~ ,( )p k mk 12 2 2� � � ;
~ , ~ , , ~
( ) ( ) ( , )p p pk k k s13 14 1 1� � , 2 1� � �k m ; ~
( )pm j� 2 1 , 3 1� �j s– ;
~
( )pk 22 , 2 2� � �k m ; ~
( )p j2 2 , 3 1� �j s– ; ~
( )pk 23 , 3 2� � �k m ;
~ , ~ , , ~
( ) ( ) ( , )p p pk k k s24 25 2 1� � , 3 1� � �k m ; ~
( )pm j� 2 2 , 4 1� �j s– ;
~
( )pk 33 , 2 2� � �k m ; ~
( )p j2 3 , 4 1� �j s– ; ~
( )pk 34 , 3 2� � �k m ;
154 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
~
( )pk 35 , ~ , , ~
( ) ( , )p pk k s36 3 1� � , 3 1� � �k m ; ~
( )pm j� 2 3 , 5 1� �j s– ;
����������������������
~
( )pk ii , 2 2� � �k m ; ~
( )p ij2 , i j s� � �1 1– ; ~
( , )pk i i�1 , 3 2� � �k m ;
~ , ~ , , ~
( , ) ( , ) ( , )p p pk i i k i i k i s� � �2 3 1� , 3 1� � �k m ; ~
( )pm ij� 2 , i j s� � �2 1– ;
����������������������
~
( , )pk s s� �2 2 , 2 2� � �k m ; ~
( , )pk s s� �2 1 , 3 2� � �k m ;
~
( , )pk s s� �1 1 , 2 2� � �k m .
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ pki ( , )2 2 1� � � � �k m i s èñ-
ïîëüçóåì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç s m( )�1 óðàâíåíèé
� � � � � � �� �( ( ) ) ( )( ) ( ) ( )f k p f k p ps k s k s s k ss� �� � �1 1 1 1 11 2
� � � � �� ��s k sp k m1 1 1 0 2 1( , ) , ;
� � � � � �� � � � �( ) ( )( ) ( ) ( , )� � ��1 2 1 1 1 1 2 1 11 0s m s m s s m sp f m p p ;
� � � �� �( ) ( ) ( , )� � �2 02 1 2 1s ss s s sp p ;
� � � � �� � � � � � �( ) ( , ) ( , ) ( ,� � � � �s s s s s s s s sp p p1 2 1 1 2 1 1 2 2 22 s) � 0 ;
� � � � � �� � � �( ) ( ) ( , ) ( , )� � � � �i s is i i s s i sp p p2 1 2 1 1 2 1 0 , 2 2� �i s– ;
� � � � � �� � �( ( ) ) ( )( ) ( ) ( , )f k p f k p ps k ss k ss s k s s� �� �2 1 01 1 1 , 3 1� � �k m ;
� � � � �� � � � �2 1 02 1 1 2 1� ��s m ss m ss s m s sp f m p p( ) ( ) ( , )( ) ;
� � � � � �� � � � �( ( ) ) ( )( , ) ( , )f k p f k ps s k s s k s s s� �� � �1 1 1 1 11 2 pk s s( , )� � �1 1
� � � � �� ��s k s sp k m2 2 0 3 1( , ) , ;
� � � � �� � � � � � �( ) ( )( , ) ( , )� � ��s s m s s m s s s mp f m p p1 2 1 1 1 1 21 2 ( , )s s� � �1 1
� �� � ��s m s sp2 2 2 0( , ) ;
� � � � � �� � �( ( ) ) ( )( ) ( ) ( , )f k p f k p pi s k is k is i k i s� �� � �1 1 1 1 �
� � � � �� ��s k i sp k m1 1 0 3 1( , ) , , 2 2� �i s– ;
� � � � � �� � � � �( ) ( )( ) ( ) ( , )� � ��i s m is m is i m i sp f m p p2 1 1 2 11
� � � � �� � ��s m i sp i s1 2 1 0 2 2( , ) , . (4)
Óðàâíåíèÿ (4), êàê è óðàâíåíèå
� � � � �� �( ) ( ) ( ) ( , )� � � �s s s ss s sp p p1 0 2 1 1 0 12 0 ,
íå ïðèìåíÿëèñü äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñîîòíîøåíèé (3).
Èñïîëüçóÿ óñëîâèå íîðìèðîâêè (2), îïðåäåëÿåì ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè
ïî ôîðìóëàì
p p pj
j
s
k ij
j i
s
i
s
k
m
0 1 0
1 12
2
1� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� ���
�
~ ~
( ) ( )
�1
, p p pk k� 0
~ , 1 2� � �k m ;
~ ~
( )p p j
j
s
1 1 0
1
�
�
; ~ ~
( )p pk k ij
j i
s
i
s
�
��
1
, 2 2� � �k m ,
ãäå pk — ñòàöèîíàðíàÿ âåðîÿòíîñòü íàëè÷èÿ â ñèñòåìå k çàÿâîê.
Ñòàöèîíàðíûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû M E ms/ / /2 ñî ñëó÷àéíûì îòáðàñû-
âàíèåì çàÿâîê, à èìåííî ñðåäíåå ÷èñëî çàÿâîê â ñèñòåìå E( )C , ñðåäíþþ äëèíó
î÷åðåäè E( )Q , âåðîÿòíîñòü îáñëóæèâàíèÿ ïîñòóïèâøåé çàÿâêè (îòíîñèòåëüíóþ
ïðîïóñêíóþ ñïîñîáíîñòü ñèñòåìû) Psv è ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ E( )W , íàõî-
äèì ïî ôîðìóëàì
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 155
E E E
E
P
( ) , ( ) ( ) , ( )
( )
C kp Q k p W
Q
k
k
m
k
m
k� � � �
�
�
�
�
1
2
3
2
2
� sv
,
Psv �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( ( ) )
,
2 1 10 1
1
1
p p
ii
s
.
(5)
Ôîðìóëà äëÿ Psv ïîëó÷åíà êàê îòíîøåíèå ñðåäíåãî ÷èñëà çàÿâîê, îáñëóæåí-
íûõ çà åäèíèöó âðåìåíè, ê èíòåíñèâíîñòè ïîòîêà ïîñòóïàþùèõ çàÿâîê.
Åñëè ñëó÷àéíîå îòáðàñûâàíèå çàÿâîê íå ïðèìåíÿåòñÿ, ò.å. ðàññìàòðèâàåòñÿ
ñòàíäàðòíàÿ ñèñòåìà M E ms/ / /2 , òî â óðàâíåíèÿõ (1), (4) è ñîîòíîøåíèÿõ (3),
(5) íåîáõîäèìî ïîëîæèòü
f k g k k m pm� �� �( ) , ( ) , ;� � � � � � � �1 21 1 1Psv .
ÑÈÑÒÅÌÛ ÁÅÇ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈß ÍÀ ÄËÈÍÓ Î×ÅÐÅÄÈ
Äëÿ ñèñòåìû M Es/ / /2 � íå èìååòñÿ îãðàíè÷åíèÿ íà äëèíó î÷åðåäè, ïîýòîìó
äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê äîëæíî âûïîë-
íÿòüñÿ óñëîâèå � �� 2 .  ñëó÷àå ïðèìåíåíèÿ ñëó÷àéíîãî îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê
ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðîÿòíîñòè � k îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî ïðàâèëó: 0 1� �� k
äëÿ 3 1� � �k h
~
è � �k � �
~
1 ïðè k h�
~
, ãäå
~
h � 4. Òîãäà äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå �� �
~
� 2 .
Îòûñêàíèå ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé p kk ( )� 0
äëÿ ñèñòåì áåç îãðàíè÷åíèÿ íà äëèíó î÷åðåäè ñâîäèòñÿ ê èñïîëüçîâàíèþ ïîëó-
÷åííûõ ðàíåå ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé m. ×èñëî
N m� �2 âûáèðàåì íàñòîëüêî áîëüøèì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü îäíî (èëè êàæäîå)
èç óñëîâèé, çàäàþùèõ òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé. Ýòè
óñëîâèÿ ìîæíî çàäàòü, íàïðèìåð, â âèäå
E E E E( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )C C Q QN N N N� � � �� �1 1 1 2� � . (6)
Çäåñü � �1 2, — ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, çàäàþùèå òðåáóåìóþ òî÷íîñòü âû÷èñëå-
íèé, E( ) ( )C N è E( ) ( )Q N — ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòå-
ðèñòèê E( )C è E( )Q , âû÷èñëåííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñ-
òåé p k Nk N( ) ( );0 � � pk N( ) — ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ñòàöèîíàðíîé âåðîÿò-
íîñòè pk , ïîëó÷åííîå â ðåçóëüòàòå óñå÷åíèÿ áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû óðàâíåíèé
äëÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé.
Åñëè ñëó÷àéíîå îòáðàñûâàíèå çàÿâîê íå ïðèìåíÿåòñÿ, òî (6) ìîæíî çàìåíèòü
óñëîâèåì
�
�
�� � � �( ( ) )( ) ( )2 1 0 1p pN N , (7)
ñëåäóþùèì èç óðàâíåíèÿ áàëàíñà � �( ( ) )2 1 0 1� � �p p , ñïðàâåäëèâîãî äëÿ ñèñ-
òåì îáñëóæèâàíèÿ áåç ïîòåðü çàÿâîê.
ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ
Ðàññìîòðèì ïðèìåðû îïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê ñëåäóþùèõ ñèñ-
òåì îáñëóæèâàíèÿ: M E/ / /3 2 � , M E/ / /5 2 � , M Eh / / /5 2 � , M E/ / /10 2 10,
M Eh / / /10 2 10, èíäåêñ h óêàçûâàåò íà ñèñòåìû ñî ñëó÷àéíûì îòáðàñûâàíèåì
çàÿâîê (ïðèìåíÿåòñÿ ñòðàòåãèÿ ñ ôèêñèðîâàííûì ïîðîãîâûì çíà÷åíèåì h).
Çàäàäèì ïàðàìåòðû ïîêàçàòåëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé: � � 0 8. äëÿ ñèñòåì
M E/ / /3 2 � è M E/ / /5 2 �, � �1 äëÿ ñèñòåìû M Eh / / /5 2 � è � �1 2. äëÿ ñèñòåì
M E/ / /10 2 10, M Eh / / /10 2 10. Äëÿ ðàñïðåäåëåíèé Ýðëàíãà ïîëîæèì: �1 1� ,
�2 1 5� . , �3 3� ( / / / )M E3 2 � , � i � 2 5. , 1 5� �i ( / / /M E5 2 � , M Eh / / / )5 2 � ;
� i � 5, 1 10� �i ( / / /M E10 2 10, M Eh / / / )10 2 10 . Äëÿ ñèñòåìû M Eh / / /10 2 10 ïî-
ëîæèì: h � 5 , � k �1 ïðè 3 1� � �k h è � �k � � 0 8. äëÿ h k� � 11. Äëÿ ñèñòåìû
M Eh / / /5 2 � âåðîÿòíîñòè � k çàäàäèì ñîãëàñíî ïðàâèëó: � k �1 äëÿ 3 1� � �k h
è � �k � �
~
.0 8 ïðè k h� � 8.
156 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé pk è ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ
ñèñòåì M E/ / /3 2 �, M E/ / /5 2 � , M Eh / / /5 2 � , M E/ / /10 2 10, M Eh / / /10 2 10,
íàéäåííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé, ïîëó÷åííûõ â íàñòîÿ-
ùåé ðàáîòå, ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 1–3. Çäåñü òàêæå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû âû÷èñ-
ëåíèé, ðåàëèçîâàííûõ ñ ïîìîùüþ èìèòàöèîííûõ ìîäåëåé ïåðå÷èñëåííûõ ñèñ-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 157
Ò à á ë è ö à 1
k
Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé pk
M E/ / /3 2 � M E/ / /5 2 � M Eh / / /5 2 �
Ðåêóððåíòíûé
ìåòîä
GPSS
World
Ðåêóððåíòíûé
ìåòîä
GPSS
World
Ðåêóððåíòíûé
ìåòîä
GPSS
World
0 0.107863 0.107851 0.105818 0.105674 0.028609 0.028676
1 0.184273 0.184498 0.188364 0.188245 0.066508 0.066483
2 0.174770 0.175434 0.188103 0.189168 0.089283 0.089211
3 0.139766 0.140118 0.150642 0.150181 0.098813 0.099310
4 0.105300 0.105057 0.110232 0.109749 0.101983 0.102443
5 0.077663 0.077834 0.077922 0.077417 0.102823 0.103105
6 0.056858 0.056728 0.054438 0.054282 0.103327 0.104044
7 0.041522 0.041007 0.037901 0.038106 0.101389 0.101116
8 0.030298 0.030199 0.026364 0.026618 0.090648 0.091187
9 0.022103 0.021731 0.018336 0.018722 0.065648 0.064937
10 0.016122 0.015969 0.012753 0.013044 0.045915 0.045056
11 0.011760 0.011806 0.008870 0.009094 0.031981 0.031495
12 0.008578 0.008498 0.006169 0.006058 0.022250 0.021863
13 0.006257 0.006086 0.004290 0.004254 0.015476 0.015600
14 0.004564 0.004230 0.002984 0.002894 0.010763 0.010645
15 0.003329 0.003083 0.002075 0.001922 0.007486 0.007425
20 0.000687 0.000792 0.000338 0.000395 0.001218 0.001178
30 0.000029 0.000053 0.000009 0.000010 0.000032 0.000033
40 1.249�10�6 0.000003 2.367�10�7 0.000000 8.544�10�7 0.000001
Ò à á ë è ö à 2
k
Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé pk
M E/ / /10 2 10 M Eh / / /10 2 10
Ðåêóððåíòíûé ìåòîä GPSS World Ðåêóððåíòíûé ìåòîä GPSS World
0 0.001865 0.001844 0.008138 0.007916
1 0.005772 0.005594 0.025212 0.024909
2 0.010656 0.010692 0.046448 0.046143
3 0.016321 0.016115 0.071745 0.071826
4 0.023458 0.023517 0.099747 0.100429
5 0.033117 0.032945 0.122541 0.123736
6 0.046574 0.046523 0.116957 0.116592
7 0.065413 0.065241 0.109099 0.108310
8 0.092139 0.092325 0.101503 0.101355
9 0.128131 0.128026 0.093835 0.093712
10 0.188662 0.189233 0.089480 0.089595
11 0.217266 0.217091 0.072571 0.072770
12 0.170626 0.170854 0.042723 0.042706
òåì îáñëóæèâàíèÿ äëÿ çíà÷åíèÿ âðåìåíè ìîäåëèðîâàíèÿ t �106 . Èìèòàöèîííûå
ìîäåëè ïîñòðîåíû ñ ïðèìåíåíèåì èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ GPSS World [13].
Ïðè âû÷èñëåíèè ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé pk
çíà÷åíèå N âûáèðàëîñü íàñòîëüêî áîëüøèì, ÷òîáû äëÿ ñèñòåì M E/ / /3 2 � è
M E/ / /5 2 � âûïîëíÿëîñü óñëîâèå (7) ïðè � � �10 7 , à äëÿ ñèñòåìû M Eh / / /5 2 � —
óñëîâèÿ (6) ïðè � �1 2
610� � � . Ïîëó÷åííûå ìèíèìàëüíûå çíà÷åíèÿ N äëÿ ýòèõ
ñèñòåì ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 49, 43 è 51.
Àíàëèçèðóÿ ðåçóëüòàòû, ïðåäñòàâëåííûå â òàáë. 3, âèäèì, ÷òî óïðàâëåíèå
èíòåíñèâíîñòüþ âõîäÿùåãî ïîòîêà ïóòåì ñëó÷àéíîãî îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê
ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óìåíüøèòü ñðåäíþþ äëèíó î÷åðåäè ïðè íåçíà÷èòåëüíîì
ñíèæåíèè ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòè ñèñòåìû. Òàê, ñðåäíÿÿ äëèíà î÷åðåäè â ñèñ-
òåìå M Eh / / /10 2 10 íà 35.4% ìåíüøå, ÷åì â ñèñòåìå M E/ / /10 2 10, à ñíèæåíèå
îòíîñèòåëüíîé ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòè ñîñòàâëÿåò âñåãî 1.6%.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ôèêòèâíûõ ôàç ïîñòðîåíû ðåêóððåí-
òíûå àëãîðèòìû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê
â ñèñòåìàõ òèïà M E ms/ / /2 ñ ýðëàíãîâñêèì ðàñïðåäåëåíèåì âðåìåíè îáñëó-
æèâàíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà s � 2, âêëþ÷àÿ ñëó÷àè m � � è ñèñòåì ñî ñëó-
÷àéíûì îòáðàñûâàíèåì çàÿâîê. Ïðåäëàãàåìûé ðåêóððåíòíûé ìåòîä íå ñîäåð-
æèò èòåðàöèé è ïîäãîòîâèòåëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ÷òî ïîçâîëÿåò ñîêðàòèòü
îáúåì âû÷èñëåíèé ïî ñðàâíåíèþ ñ èçâåñòíûìè ìåòîäàìè. Èñïîëüçîâàíèå ïî-
ëó÷åííûõ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé äàåò âîçìîæíîñòü ñîêðàòèòü ÷èñëî ðåøà-
åìûõ óðàâíåíèé äëÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé ñ ( )( ( )) /s s m� � �1 2 1 2 äî s m( )�1 .
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Brockmeyer E., Halstrom H.L., Jensen A. The life and works of A.K. Erlang. Copenhagen: Danish
Academy of Technical Sciences, 1948. 275 p.
2. Neuts M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models. Baltimore: The John’s Hopkins
University Press, 1981. 390 p.
3. Áî÷àðîâ Ï.Ï., Ïå÷èíêèí À.Â. Òåîðèÿ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. Ìîñêâà: ÐÓÄÍ, 1995. 529 c.
4. Áî÷àðîâ Ï.Ï., Ëèòâèí Â.Ã. Ìåòîäû àíàëèçà è ðàñ÷åòà ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ðàñ-
ïðåäåëåíèÿìè ôàçîâîãî òèïà. Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1986. ¹ 5. Ñ. 5–23.
5. Takahashi Y., Takami Y. A numerical method for the steady-state probabilities of a GI G c/ /
queueing system in a general class. J. Oper. Res. Soc. Japan. 1976. Vol. 19, N 2. P. 147–157.
6. Ðûæèêîâ Þ.È. Ðåêóððåíòíûé ðàñ÷åò ìíîãîêàíàëüíûõ ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ ñ íåîãðàíè÷åí-
íîé î÷åðåäüþ. Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1985. ¹ 6. Ñ. 88–93.
158 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Ò à á ë è ö à 3
Ñèñòåìà Ìåòîä
Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê
E( )C E( )Q E( )W Psv
M E/ / /3 2 �
Ðåêóððåíòíûé 3.592 1.992 2.490 1.000
GPSS World 3.595 1.995 2.493 1.000
M E/ / /5 2 �
Ðåêóððåíòíûé 3.329 1.729 2.162 1.000
GPSS World 3.330 1.729 2.161 1.000
M Eh / / /5 2 �
Ðåêóððåíòíûé 5.964 4.088 4.357 0.938
GPSS World 5.957 4.081 4.351 0.939
M E/ / /10 2 10
Ðåêóððåíòíûé 9.287 7.297 7.331 0.829
GPSS World 9.291 7.301 7.335 0.829
M Eh / / /10 2 10
Ðåêóððåíòíûé 6.673 4.714 4.814 0.816
GPSS World 6.674 4.715 4.813 0.816
7. Ðûæèêîâ Þ.È. Àëãîðèòì ðàñ÷åòà ìíîãîêàíàëüíîé ñèñòåìû ñ ýðëàíãîâñêèì îáñëóæèâàíèåì.
Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1980. ¹ 5. Ñ. 30–37.
8. Chydzin�ski A. Nowe modele kolejkowe dla wezlow sieci pakietowych. Gliwice: Pracownia
Komputerowa Jacka Skalmierskiego, 2013. 286 s.
9. Tikhonenko O., Kempa W.M. Queue-size distribution in M/G/1-type system with bounded capacity
and packet dropping. Communications in Computer and Information Science. 2013. Vol. 356.
P. 177–186.
10. Zhernovyi Yu., Kopytko B., Zhernovyi K. On characteristics of the M G m M G� �/ / / and / /1 1
queues with queue-size based packet dropping. J. of Applied Mathematics and Computational
Mechanics. 2014. Vol. 13, N 4. P. 163–175.
11. Æåðíîâûé Ê.Þ. Îïðåäåëåíèå ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê äâóõêàíàëüíûõ ñèñòåì ñ ýðëàí-
ãîâñêèì ðàñïðåäåëåíèåì âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2017.
Ò. 53, ¹ 1. Ñ. 108–121.
12. Æåðíîâûé Þ.Â., Æåðíîâûé Ê.Þ. Îïðåäåëåíèå ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê òðåõêàíàëüíûõ
ñèñòåì ñ ýðëàíãîâñêèì ðàñïðåäåëåíèåì âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé
àíàëèç. 2017. Ò. 53, ¹ 2. Ñ. 134–145.
13. Zhernovyi Yu. Creating models of queueing systems using GPSS World: Programs, detailed
explanations and analysis of results. Saarbrucken: LAP Lambert Academic Publishing, 2015. 220 p.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 30.01.2017
Þ.Â. Æåðíîâèé
ÐÅÊÓÐÅÍÒͲ Ñϲ²ÄÍÎØÅÍÍß ÄËß ÄÂÎÊÀÍÀËÜÍÈÕ ÑÈÑÒÅÌ
Ñ ÅÐËÀÍòÂÑÜÊÈÌ ×ÀÑÎÌ ÎÁÑËÓÃÎÂÓÂÀÍÍß.
Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä äîñë³äæåííÿ ñèñòåì îáñëóãîâóâàííÿ
M E ms/ / /2 , M Es/ / /2 �, â òîìó ÷èñë³ ñèñòåì ³ç çàñòîñóâàííÿì âèïàäêîâî-
ãî â³äêèäàííÿ çàìîâëåíü. Îòðèìàíî ðåêóðåíòí³ ñï³ââ³äíîøåííÿ äëÿ îá÷èñ-
ëåííÿ ñòàö³îíàðíîãî ðîçïîä³ëó ê³ëüêîñò³ çàìîâëåíü ó ñèñòåì³ òà ñòàö³îíàð-
íèõ õàðàêòåðèñòèê. Ïîáóäîâàí³ àëãîðèòìè ïåðåâ³ðåíî íà ³ì³òàö³éíèõ ìî-
äåëÿõ, ñòâîðåíèõ çà äîïîìîãîþ ³íñòðóìåíòàëüíèõ çàñîá³â GPSS World.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: äâîêàíàëüíà ñèñòåìà îáñëóãîâóâàííÿ, åðëàíã³âñüêèé ÷àñ
îáñëóãîâóâàííÿ, âèïàäêîâå â³äêèäàííÿ çàìîâëåíü, ìåòîä ô³êòèâíèõ ôàç, ðå-
êóðåíòí³ ñï³ââ³äíîøåííÿ, ñòàö³îíàðí³ õàðàêòåðèñòèêè.
Yu.V. Zhernovyi
RECURRENCE RELATIONS FOR TWO-CHANNEL QUEUING SYSTEMS
WITH ERLANGIAN SERVICE TIMES
Abstract. We propose a method of studying M E ms/ / /2 , M Es/ / /2 �
queueing systems including the case of random dropping of customers.
Recurrence relations are obtained for computing the stationary distribution of the
number of customers in a system and its steady-state characteristics. The
developed algorithms are tested on examples using simulation models
constructed with the help of the GPSS World tools.
Keywords: two-channel queueing systems, Erlangian service times, random
dropping of customers, fictitious phase method, recurrence relations, steady-state
characteristics.
Æåðíîâûé Þðèé Âàñèëüåâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû Ëüâîâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Èâàíà
Ôðàíêî, e-mail: yu.zhernovyi@lnu.edu.ua.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 159
|