Преобразование Дарбу с параметром обобщенных матриц Якоби
В работе построена факторизация J = UL монической обобщенной матрицы Якоби J на верхнетреугольную и нижнетреугольную блочные матрицы U и L специального вида. При этом показано, что данная факторизация J = UL зависит от свободного вещественного параметра d(∊ R). В качестве основного результата доказа...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2016 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145075 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Преобразование Дарбу с параметром обобщенных матриц Якоби / И.М. Ковалёв // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 3. — С. 298-323. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-145075 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ковалёв, И.М. 2019-01-14T18:47:18Z 2019-01-14T18:47:18Z 2016 Преобразование Дарбу с параметром обобщенных матриц Якоби / И.М. Ковалёв // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 3. — С. 298-323. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 47B36; 47B50; 42C05; 15A23 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145075 В работе построена факторизация J = UL монической обобщенной матрицы Якоби J на верхнетреугольную и нижнетреугольную блочные матрицы U и L специального вида. При этом показано, что данная факторизация J = UL зависит от свободного вещественного параметра d(∊ R). В качестве основного результата доказано, что матрица J⁽d⁾ = LU также является обобщенной матрицей Якоби. Матрица J⁽d⁾ называется преобразованием Дарбу с параметром d матрицы J. Получен аналог формулы Геронимуса для полиномов первого рода матрицы J⁽d⁾, найдены формулы, связывающие m-функции матриц J и J⁽d⁾. A monic generalized Jacobi matrix J is factorized into upper and lower triangular two-diagonal block matrices of special forms so that J = UL. It is shown that such factorization depends on a free real parameter d(∈ R). As the main result, it is shown that the matrix J⁽d⁾ = LU is also a monic generalized Jacobi matrix. The matrix J⁽d⁾ is called the Darboux transform of J with parameter d. An analog of the Geronimus formula for polynomials of the first kind of the matrix J⁽d⁾ is proved, and the relations between m-functions of J and J⁽d⁾ are found. Автор признателен В.А. Деркачу за постановку задачи и многочисленные обсуждения. This work was supported by Volkswagen Stiftung grant and grants of Ministry of Education and Science of Ukraine (project numbers 0115U000136, 0115U000556). ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Преобразование Дарбу с параметром обобщенных матриц Якоби Darboux transformation with parameter of generalized Jacobi matrices Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Преобразование Дарбу с параметром обобщенных матриц Якоби |
| spellingShingle |
Преобразование Дарбу с параметром обобщенных матриц Якоби Ковалёв, И.М. |
| title_short |
Преобразование Дарбу с параметром обобщенных матриц Якоби |
| title_full |
Преобразование Дарбу с параметром обобщенных матриц Якоби |
| title_fullStr |
Преобразование Дарбу с параметром обобщенных матриц Якоби |
| title_full_unstemmed |
Преобразование Дарбу с параметром обобщенных матриц Якоби |
| title_sort |
преобразование дарбу с параметром обобщенных матриц якоби |
| author |
Ковалёв, И.М. |
| author_facet |
Ковалёв, И.М. |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Darboux transformation with parameter of generalized Jacobi matrices |
| description |
В работе построена факторизация J = UL монической обобщенной матрицы Якоби J на верхнетреугольную и нижнетреугольную блочные матрицы U и L специального вида. При этом показано, что данная факторизация J = UL зависит от свободного вещественного параметра d(∊ R). В качестве основного результата доказано, что матрица J⁽d⁾ = LU также является обобщенной матрицей Якоби. Матрица J⁽d⁾ называется преобразованием Дарбу с параметром d матрицы J. Получен аналог формулы Геронимуса для полиномов первого рода матрицы J⁽d⁾, найдены формулы, связывающие m-функции матриц J и J⁽d⁾.
A monic generalized Jacobi matrix J is factorized into upper and lower triangular two-diagonal block matrices of special forms so that J = UL. It is shown that such factorization depends on a free real parameter d(∈ R). As the main result, it is shown that the matrix J⁽d⁾ = LU is also a monic generalized Jacobi matrix. The matrix J⁽d⁾ is called the Darboux transform of J with parameter d. An analog of the Geronimus formula for polynomials of the first kind of the matrix J⁽d⁾ is proved, and the relations between m-functions of J and J⁽d⁾ are found.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145075 |
| citation_txt |
Преобразование Дарбу с параметром обобщенных матриц Якоби / И.М. Ковалёв // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 3. — С. 298-323. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevim preobrazovaniedarbusparametromobobŝennyhmatricâkobi AT kovalevim darbouxtransformationwithparameterofgeneralizedjacobimatrices |
| first_indexed |
2025-11-26T10:07:42Z |
| last_indexed |
2025-11-26T10:07:42Z |
| _version_ |
1850618482889064448 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 13 (2016), № 3, 298 – 323
Преобразование Дарбу с параметром
обобщенных матриц Якоби
Иван М. Ковалёв
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. В работе построена факторизация J = UL мониче-
ской обобщенной матрицы Якоби J на верхнетреугольную и нижне-
треугольную блочные матрицы U и L специального вида. При этом
показано, что данная факторизация J = UL зависит от свободного
вещественного параметра d(∈ R). В качестве основного результата
доказано, что матрица J(d) = LU также является обобщенной ма-
трицей Якоби. Матрица J(d) называется преобразованием Дарбу с
параметром d матрицы J. Получен аналог формулы Геронимуса для
полиномов первого рода матрицы J(d), найдены формулы, связыва-
ющие m-функции матриц J и J(d).
2010 MSC. 47B36; 47B50; 42C05; 15A23.
Ключевые слова и фразы. Преобразование Дарбу, обобщенная
матрица Якоби,m-функция, ортогональные полиномы, формулы Ге-
ронимуса.
1. Введение
Пусть s = {sj}∞j=0 — это последовательность действительных чи-
сел и пусть S — это линейный функционал, заданный на линейной
оболочке
P = span
{
λj : j ∈ Z+ := N ∪ {0}
}
равенством
S(λj) = sj , j ∈ Z+. (1.1)
Функционал S называется квази–дефинитным, если главные мино-
ры ганкелевой матрицы (si+k)
n
i,k=0 невырождены для любого n ∈ Z+
Статья поступила в редакцию 15.08.2016
This work was supported by Volkswagen Stiftung grant and grants of Ministry of
Education and Science of Ukraine (project numbers 0115U000136, 0115U000556).
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
И. М. Ковалёв 299
(см. [4]). С функционалом S ассоциирована последовательность мо-
нических полиномов {Pj(λ)}∞j=0, которая ортогональна относительно
функционала S и удовлетворяет трёхчленному рекуррентному соо-
тношению
λPj(λ) = Pj+1(λ) + cjPj(λ) + bjPj−1(λ), j ∈ Z+,
где bj , cj ∈ R, bj ̸= 0, b0 = s0 и начальным условиям
P−1(λ) = 0 и P0(λ) = 1.
Матрица
J =
c0 1
b1 c1 1
b2 c2
. . .
. . . . . .
называется монической матрицей Якоби, ассоциированной с функци-
оналом S.
Пусть C[λ] — множество комплекснозначных полиномов. Опреде-
лим преобразования линейного функционала S по формулам
S1(p) = S(λp), p ∈ C[λ],
S2(p) = S
(
p(λ) − p(0)
λ
)
+ dp(0), p ∈ C[λ] и d ∈ R. (1.2)
Последовательности полиномов {P (p)
j (λ)}∞0 и {P (d)
j (λ)}∞0 , ассоцииро-
ванные с линейными функционалами S1 и S2, соответствуют пре-
образованиям Кристоффеля и Геронимуса от {Pj(λ)}∞0 , (см. [10, 11,
17]).
В случае, когда S — квази–дефинитный функционал и Pj(0) ̸= 0,
j ∈ N, в работе [4] была построена факторизация J = LU мони-
ческой матрицы Якоби J на нижне– и верхне–треугольные двух-
диагональные матрицы, такие что матрица J (p) = UL также является
монической матрицей Якоби и соответствует функционалу S1. Пре-
образование J = LU → J (p) = UL называют преобразованием Дарбу
матрицы Якоби J . Аналогично, в случае квази–дефинитного функци-
онала S матрица J допускает факторизацию J = UL на верхне– и
нижнетреугольные двух-диагональные матрицы U и L, однако такая
факторизация осуществляется не однозначно и зависит от параме-
тра d ∈ R. При этом матрица J (d) = LU также является монической
300 Преобразование Дарбу с параметром...
матрицей Якоби и соответствует функционалу S2. Преобразование
J = UL → J (d) = LU называют преобразование Дарбу матрицы
Якоби J с параметром d.
В работе [6] результаты [4] были распространены на тот случай,
когда условие квази–дефинитности на линейный функционал S не
было выполнено. При этом преобразование Дарбу от матрицы J при-
надлежит классу обобщенных матриц Якоби, введенному в [7].
Преобразование Дарбу без параметра в классе обобщённых ма-
триц Якоби было рассмотрено в [9, 13]. В настоящей работе изучае-
тся преобразование Дарбу с параметром в классе обобщённых матриц
Якоби. Показано, что любая обобщённая матрица Якоби J допускает
UL− факторизацию J = UL, где U и L верхнетреугольная и нижне-
треугольная двух-диагональные блочные матрицы, соответственно.
Основной результат работы Теорема 3.8 состоит в том, что пре-
образование Дарбу с параметром d обобщенной матрицы Якоби J,
определяемое равенством J(d) := LU , также является обобщённой
матрицей Якоби и соответствует функционалу S2, вида (1.2). Кро-
ме того, в Теореме 4.1 и Теореме 5.1 найдены формулы, связываю-
щие m–функцию и полиномы первого рода исходной матрицы J с
m–функцией и полиномами первого рода преобразованной матрицы
J(d).
Эта работа состоит из следующих частей. В параграфе 2 при-
ведены необходимые сведения из [7] и [13] об обобщенных матрицах
Якоби. В параграфе 3 изучается преобразование Дарбу с параметром
обобщенной матрицы Якоби. Аналог преобразования Геронимуса ор-
тогональных полиномов, соответствующих обобщённой матрице Яко-
би, получен в параграфе 4. Формулы связи между m–функциями и
функционалами, ассоциированными с матрицами J и J(d), найдены в
параграфе 5. В параграфе 6 обобщается результат параграфов 3, 4, 5
на случай преобразования Дарбу со сдвигом для обобщенной матри-
цы Якоби. В параграфе 7, приведён пример преобразования Дарбу с
параметром для обобщённой матрицы Якоби.
2. Обобщённые матрицы Якоби
Пусть N (s) — это множество нормальных индексов nj ∈ N после-
довательности s = {sj}∞j=0, определяемое условиями
Dnj := det
s0 · · · snj−1
· · · · · · · · ·
snj−1 · · · s2nj−2
̸= 0.
И. М. Ковалёв 301
Заметим, что sn1−1 это первый нетривиальный момент, т.е. sn1−1 ̸= 0,
а sk = 0 для всех k < n1 − 1. К примеру, если n1 = 1, то s0 ̸= 0.
По последовательности s можно построить полиномы первого и
второго рода, определяемые по формулам (см. [1, 6, 7])
Pnj (λ) = 1
Dnj
det
s0 s1 · · · snj
· · · · · · · · · · · ·
snj−1 snj · · · s2nj−1
1 λ · · · λnj
,
Qnj (λ) = St
(
Pnj (λ)−Pnj (t)
λ−t
)
, j ∈ N.
Как было показано в [7], полиномы Pnj иQnj являются решениями
следующей системы разностных уравнений (см. [7])
bjynj−1(λ) − pj(λ)ynj (λ) + ynj+1(λ) = 0, (2.1)
где b0 = sn1−1, n−1 = −1, n0 = 0, с начальными условиями
P−1(λ) ≡ 0, P0(λ) ≡ 1, и Q−1(λ) ≡ −1, Q0(λ) ≡ 0, (2.2)
в которой bj ∈ R\{0}, а pj(λ) = λℓj +p
(j)
ℓj−1λ
ℓj−1+. . .+p
(j)
1 λ+p
(j)
0 — это
некоторые монические полиномы степени ℓj = nj+1 − nj , называемые
порождающими полиномами обобщённой матрицы Якоби J, j ∈ Z+.
Разностные уравнения (2.1) изучались ранее в работах [15] и [16].
С системой (2.1) ассоциирована обобщенная матрица Якоби J
(ОМЯ) (см. [6, 7]), определяемая формулой
J =
Cp0 D0
B1 Cp1 D1
. . . . . . . . .
, (2.3)
где диагональные блоки Cpj — это сопровождающие матрицы к по-
рождающим полиномам pj(λ) (см. [14])
Cpj =
0 1 · · · 0
...
. . . . . .
...
0 · · · 0 1
−p
(j)
0 −p
(j)
1 · · · −p
(j)
ℓj−1
∈ Cℓj×ℓj , (2.4)
блоки Dj , Bj+1 — это ℓj × ℓj+1 и ℓj+1 × ℓj матрицы, соответственно,
вида
Dj =
0 0 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · 0
1 0 · · · 0
, Bj+1 =
0 0 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · 0
bj+1 0 · · · 0
, j ∈ Z+. (2.5)
302 Преобразование Дарбу с параметром...
Здесь Bj+1 — это ненулевые матрицы, т.к. bj+1 ∈R\{0} , j ∈ Z+.
Замечание 2.1. Матрицу J, определённую равенствами (2.3)–(2.5),
называют ОМЯ, ассоциированной с линейным функционалом S.
Иногда, J называют ОМЯ, ассоциированной с последовательностью
{sj}∞j=0 или с системой (2.1), что подчеркивает связь с полиномами
pj(λ) и числами bj+1, j ∈ Z+.
Определим для произвольных i, j ∈ Z+ усеченную ОМЯ
J[i,j] =
Cpi Di
Bi+1 Ci+1
. . .
. . . . . . Dj−1
Bj Cpj
, i ≤ j.
Связь между полиномами первого и второго рода с усеченными
ОМЯ была получена в [7] (в классическом случае см. [3, 7.1.2])
Pnj (λ) = det(λ− J[0,j−1]) и Qnj (λ) = sn1−1det(λ− J[1,j−1]).
Рассмотрим пространство Понтрягина (ℓ2[0,nj−1], [·, ·]), т.е. линей-
ное пространство ℓ2[0,nj−1] снабженное индефинитным скалярным прои-
зведением (см. [2, стр. 84])
[x, y] = (G[0,j−1]x, y)ℓ2
[0,nj−1]
, x, y ∈ ℓ2[0,nj−1],
гдеG[0,j−1]=diag(G0, . . . , Gj−1) и матрицыGi определены формулами
Gi = sn1−1
p
(i)
1 · · · p
(i)
ℓi−1 1
... ··· ···
p
(i)
ℓi−1 ···
1 0
−1
, i = 0, . . . , j − 1. (2.6)
Как показано в [7] матрица J[0,j−1] задаёт симметрический опера-
тор в
(
ℓ2[0,nj−1], [·, ·]
)
.
Определение 2.2. m–функция матрицы J[0,j−1] определяется ра-
венством
m[0,j−1](λ) = [(JT[0,j−1] − λ)−1e0, e0], (2.7)
где e0 =
(
1 0 . . . 0
)T – это nj × 1 вектор.
И. М. Ковалёв 303
Как показано в [7, Proposition 2.5] функция m[0,j−1](λ) имеет вид
m[0,j−1](λ) = −sn1−1
det(λ− J[1,j−1])
det(λ− J[0,j−1])
= −
Qnj (λ)
Pnj (λ)
(2.8)
и допускает следующее асимптотическое разложение
m[0,j−1](λ) = −s0
λ
− s1
λ2
− · · · −
s2nj−2
λ2nj−1 + o
(
1
λ2nj−1
)
, (2.9)
где числа sk удовлетворяют соотношениям
sk =
[(
JT[0,j−1]
)k
e0, e0
]
, k ≤ 2nj − 2.
Замечание 2.3. m-функция m[0,j−1](λ) является функцией Вейля
симметрического оператора, определённого в [8], [5, Предложение
3.12], как сужение J[0,j−1] на множество векторов в ℓ2[0,nj−1] орто-
гональных к e0. В классическом случае формула (2.7) встречается
в [12].
3. Преобразование Дарбу с параметром обобщённой
матрицы Якоби
В этом параграфе, рассмотрим преобразование Дарбу с параме-
тром d обобщенной матрицы Якоби J. Для этого воспользуемся бло-
чно нижнетреугольной и верхнетреугольной матрицами L и U , соо-
тветственно,
L =
Iℓ0 0
L1 Iℓ1
. . .
. . . . . .
и U =
U0 D0
0 U1
. . .
. . . . . .
, (3.1)
где Iℓj и диагональные блоки Uj — это матрицы порядка ℓj × ℓj
Uj =
0 1 0 · · · 0
0 0 1
. . .
...
...
...
. . . . . . 0
0 0 · · · 0 1
−Sj −p
(j)
1 · · · −p
(j)
ℓj−2 −p
(j)
ℓj−1
, Sj ̸= 0, (3.2)
304 Преобразование Дарбу с параметром...
блоки Lj+1 и Dj — матрицы размера ℓj+1 × ℓj и ℓj × ℓj+1, соответ-
ственно
Lj+1 =
Sj − p
(j)
0 0 · · · 0
0 0 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 0
и Dj =
0 0 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · 0
1 0 · · · 0
, (3.3)
где Sj − p
(j)
0 ̸= 0 для любого j ∈ Z+.
Замечание 3.1. Если ℓj = 1 для некоторого j ∈ Z+, то
Iℓj = (1) и Uj = (−Sj).
Если ℓj = ℓj+1 = 1 для некоторого j ∈ Z+, то
Lj+1 = (Sj − p
(j)
0 ) и Dj = (1).
Говорят, что ОМЯ J допускает UL–факторизацию, если J пред-
ставима в виде J = UL, где L и U определены по формулам (3.1)–
(3.3).
Определение 3.2. Пусть {Pnj (λ)}∞j=0 — последовательность по-
линомов 1–го рода относительно линейного функционала S, пусть
S0 ∈ R — некоторый параметр. Рассмотрим последовательность
полиномов {P̂nj (λ)}∞j=0, удовлетворяющей рекуррентным соотноше-
ниям
P̂nj+1(λ) = p̂j(λ)P̂nj (λ) − bjP̂nj−1(λ), P̂−1(λ) ≡ 0, P̂0(λ) ≡ 1,
(3.4)
где полиномы p̂j(λ) определены равенствами
p̂0(λ) = p0(λ) − S0 и p̂j(λ) = pj(λ) для любого j ∈ N.
Последовательность {P̂nj (λ)}∞j=0 называют последовательностью
ко-рекурсивных полиномов с параметром S0, ассоциированных с ли-
нейным функционалом S.
В случае квази–дефинитного функционала S, ко–рекурсивные
полиномы P̂nj (λ) были рассмотрены впервые в [4].
Лемма 3.3. Пусть J — ОМЯ, ассоциированная с линейным фун-
кционалом S, и пусть ℓj := nj+1 − nj ≥ 1, j ∈ Z+, где n0 = 0
и {nj}∞j=1 — множество нормальных индексов последовательности
И. М. Ковалёв 305
{sj}∞j=0. Пусть S0 ∈ R\{0} есть некоторый параметр, удовлетворя-
ющий условиям
−Sj+1(Sj − p
(j)
0 ) = bj+1 и Sj − p
(j)
0 ̸= 0, j ∈ Z+. (3.5)
Тогда матрица J допускает UL факторизацию
J = UL (3.6)
вида (3.1)–(3.3) с параметром S0. Обратно, если J допускает фа-
кторизацию (3.6), то последовательность {sj}∞j=0 удовлетворяет
соотношениям (3.5).
Существует бесконечное множество параметров S0 ∈ R\{0},
для которых выполнены соотношения (3.5).
Доказательство. Рассмотрим произведение UL
UL =
U0 +D0L1 D0
U1L1 U1 +D1L2 D1
U2L2 U2 +D2L3
. . .
. . . . . .
,
где DjLj+1 и Uj+1Lj+1 это ℓj×ℓj и ℓj+1×ℓj матрицы, соответственно,
DjLj+1=
0 0 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · 0
Sj−p
(j)
0 0 · · · 0
,
Uj+1Lj+1=
0 0 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · 0
−Sj+1(Sj−p
(j)
0 ) 0 · · · 0
.
Тогда получаем, что Uj +DjLj+1 это ℓj × ℓj матрицы вида
Uj +DjLj+1 =
0 1 0 · · · 0
0 0 1
. . .
...
...
...
. . . . . . 0
0 0 · · · 0 1
−p
(j)
0 −p
(j)
1 · · · −p
(j)
ℓj−2 −p
(j)
ℓj−1
, j ∈ Z+.
306 Преобразование Дарбу с параметром...
Сравнивая произведение UL с матрицей J в (2.3), получаем
−Sj+1(Sj − p
(j)
0 ) = bj+1 для любого j ∈ Z+
Следовательно произведение UL равно J тогда и только тогда, когда
условия (3.5) выполнены, т.е ОМЯ J допускает UL–факторизацию
вида (3.1)–(3.3).
Лемма 3.4. Пусть J — ОМЯ ассоциированная с линейным функци-
оналом S. Пусть S0 ∈ R\{0}, J допускает UL–факторизацию вида
(3.1)–(3.3) и пусть P̂nj (λ) — ко-рекурсивные полиномы, ассоцииро-
ванные с функционалом S и параметром S0. Тогда
P̂nj (0) =
j−1∏
i=0
(p
(i)
0 − Si), для любого j ∈ N. (3.7)
Доказательство. Докажем данную лемму по индукции.
1) При j = 1 получим
P̂n1(0) = p̂0(0)P̂0(0) − b0P̂−1(0) = p̂0(0) = p0(0) − S0 = p
(0)
0 − S0,
P̂n2(0) = p̂1(0)P̂n1(0) − b1P̂0(0) = p
(1)
0 (p
(0)
0 − S0) − S1(p
(0)
0 − S0)
= (p
(0)
0 − S0)(p
(1)
0 − S1).
2) Пусть предположение индукции верно для (j − 1)-го шага:
P̂n(j−1)
(0) =
j−2∏
i=0
(p
(i)
0 − Si). (3.8)
Тогда из (3.4), (3.5) и (3.8) получим
P̂nj (0) = p̂j−1(0)P̂n(j−1)
(0) − bj−1P̂n(j−2)
(0)
= p
(j−1)
0
j−2∏
i=0
(p
(i)
0 −Si)−Sj−1(p
(j−2)
0 −Sj−2)
j−3∏
i=0
(p
(i)
0 −Si) =
j−1∏
i=0
(p
(i)
0 −Si).
Итак, формула (3.7) справедлива для любого j ∈ N.
Следствие 3.5. Пусть ОМЯ J, ассоциированная с линейным фун-
кционалом S, допускает UL–факторизацию вида (3.1)–(3.3) и пусть
P̂nj (λ) — ко-рекурсивные полиномы, ассоциированные с функциона-
лом S и параметром S0 ∈ R\{0}. Тогда
P̂nj+1(0) = (−1)j−klj . . . lj−kP̂nj−k(0), k ≤ j и j, k ∈ Z+.
И. М. Ковалёв 307
Теорема 3.6. Пусть J — ОМЯ, ассоциированная с линейным фун-
кционалом S, ℓj := nj+1 − nj ≥ 1, j ∈ Z+, где n0 = 0 и {nj}∞j=1 —
это множество нормальных индексов последовательности {sj}∞j=0.
Пусть матрицы L и U определены формулами (3.1)–(3.3) и P̂nj (λ)
∞
j=0
— последовательность ко–рекурсивных полиномов, ассоциированных
с функционалом S и параметром S0 ∈ R\{0}. Тогда J допускает
UL–факторизацию вида (3.1)–(3.3) тогда и только тогда, когда
P̂nj (0) ̸= 0 для любого j ∈ Z+. (3.9)
Определение 3.7. Пусть J — ОМЯ, ассоциированная с линейным
функционалом S, с параметром S0 ∈ R\{0} и пусть S0 = − sn1−1
d ,
пусть J допускает UL–факторизацию вида (3.6), (3.1)–(3.3). Тогда
матрица
J(d) = LU
называется преобразованием Дарбу с параметром d обобщённой ма-
трицы Якоби J. Причина введения данного параметра d будет выя-
снена позже, см. Теорему 5.1.
Теорема 3.8. Пусть J — ОМЯ, ассоциированная с линейным фун-
кционалом S, S0 ∈ R\{0} и J = UL её UL–факторизация вида (3.1)–
(3.3). Тогда матрица J(d) = LU — обобщённая матрица Якоби.
Доказательство. Рассмотрим произведение LU
LU =
U0 D0
L1U0 L1D0 + U1
. . .
. . . . . .
.
Из (3.1)–(3.3), получаем, что
Lj+1Uj =
0 Sj − p
(j)
0 0 · · · 0
0 0 0 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 0
, если ℓj ≥ 2;
(
−Sj(Sj − p
(j)
0 )
)
, если ℓj = 1,
Lj+1Dj =
0 · · · 0
...
. . .
...
0 · · · 0
, если ℓj ≥ 2;
(
Sj − p
(j)
0 0 . . . 0
)
, если ℓj = 1.
308 Преобразование Дарбу с параметром...
Введем в рассмотрение матрицы Kj (j ∈ Z+):
K0=
(
U0 D0
L1U0 L1D0+U1
)
, Kj=
(
LjDj−1+Uj Dj
Lj+1Uj Lj+1Dj+Uj+1
)
.
В зависимости от того, какие значения принимают ℓj и ℓj+1, получаем
(i) ℓj = ℓj+1 = 1. Тогда:
a) Если j = 0, то K0 имеет вид
K0 =
(
−S0 1
−S0(S0 − p
(0)
0 ) S0 − p
(0)
0 − S1
)
.
b) Если j ̸= 0 и ℓj−1 = 1, то Kj имеет представление
Kj =
(
Sj−1 − p
(j−1)
0 − Sj 1
−Sj(Sj − p
(j)
0 ) Sj − p
(j)
0 − Sj+1
)
.
Случай, когда все ℓj = 1, был рассмотрен в [4].
c) Если ℓj−1 ≥ 2, то Kj имеет вид
Kj =
(
−Sj 1
−Sj(Sj − p
(j)
0 ) Sj − p
(j)
0 − Sj+1
)
.
(ii) ℓj = 1, ℓj+1 ≥ 2. Тогда:
a) Если ℓj−1 = 1, то Kj имеет представление
Kj =
Sj−1 − p
(j−1)
0 − Sj 1
−Sj(Sj − p
(j)
0 ) Sj − p
(j)
0 Dj
Aj Cq(j)
,
где блоки Aj ∈ C(ℓj−1)×1 и Dj ∈ C1×(ℓj−1) имеют следующий вид
Aj =
(
0 . . . 0 −Sj+1
)T и Dj =
(
1 0 . . . 0
)
,
Cq(j) — это сопровождающая матрица к полиному q(j)(λ) :=
p(j)(λ)−p
(j)
0
λ .
b) Если ℓj−1 ≥ 2, то Kj следующего вида
Kj =
−Sj 1
−Sj(Sj − p
(j)
0 ) Sj − p
(j)
0 Dj
Aj Cq(j)
,
где блоки Aj , Dj , Cq(j)− определены так же, как и в подпункте a).
(iii) ℓj ≥ 2, ℓj+1 = 1. Тогда:
И. М. Ковалёв 309
a) Если ℓj−1 ≥ 2, то Kj имеет вид
Kj =
0 Dj
Aj Cq(j) DT
j
Bj −Sj+1
,
где блоки Aj , Cq(j) , Dj — определены так же, как и в пункте (ii) a),
блок Bj ∈ C1×(ℓj−1) и имеет вид
Bj =
(
Sj − p
(j)
0 0 . . . 0
)
.
b) Если ℓj−1 = 1, то Kj имеет представление
Kj =
Sj−1 − p
(j−1)
0 Dj
Aj Cq(j) DT
j
Bj −Sj+1
,
где блоки Aj , Bj , Cq(j) , Dj — определены так же, как и в подпункте
a).
(iv) ℓj ≥ 2, ℓj+1 ≥ 2. Тогда
a) Если ℓj−1 = 1, то Kj имеет вид
Kj =
Sj−1 − p
(j−1)
0 Dj
Aj Cq(j) DT
j
Bj 0 Dj+1
Aj+1 Cq(j+1)
,
где Aj , Aj+1, Bj , Cq(j) , Cq(j+1) , Dj , Dj+1 — определены так же, как в
(iii).
b) Если ℓj−1 ≥ 2, то Kj имеет следующее представление
Kj =
0 Dj
Aj Cq(j) DT
j
Bj 0 Dj+1
Aj+1 Cq(j+1)
,
где Aj , Aj+1, Bj , Cq(j) , Cq(j+1) , Dj , Dj+1 — определены так же, как в
(iii).
В силу (i)–(iv) J(d) = LU — обобщенная матрица Якоби.
Замечание 3.9. Если J — моническая матрица Якоби (т.е. ℓj = 1
для всех j ∈ Z+), то UL–факторизация вида (3.1)–(3.3) совпадает с
UL–факторизацией в [4, Section 2].
Замечание 3.10. Если преобразованная матрица J(d) является клас-
сической матрицей Якоби, то UL–факторизация вида (3.1)–(3.3) сов-
падает с факторизацией в [6, Section 3].
310 Преобразование Дарбу с параметром...
4. Преобразование полиномов 1–го рода
В этом параграфе, изучим, как преобразуются полиномы 1–го ро-
да, при преобразовании Дарбу с параметром d обобщенной матрицы
Якоби J. Для этого, воспользуемся следующим соотношением между
ОМЯ J и полиномами 1–го рода Pnj (λ). Положим
P(λ) =
(
P0(λ), P1(λ), . . . , Pnj (λ), . . .
)T
где Pnj+k(λ) = λkPnj (λ) и 0 ≤ k < nj+1 − nj .
Тогда систему (2.1)–(2.2) можно переписать в следующем виде
JP(λ) = λP(λ). (4.1)
Аналогично (4.1), определим полиномы 1–го рода для ОМЯ J(d) ра-
венством
J(d)P(d)(λ) = λP(d)(λ), (4.2)
где P(d)(λ) =
(
P
(d)
0 (λ), P
(d)
1 (λ), . . .
)T
.
Теорема 4.1. Пусть d ∈ R\{0} некоторый параметр, такой что
условие (3.9) имеет место при S0 = − sn1−1
d , пусть J — ОМЯ и
пусть J = UL её UL–факторизация вида (3.1)–(3.3). Пусть J(d) =
LU преобразование Дарбу с параметром d матрицы J. Тогда поли-
номы 1–го рода матрицы J(d), вычисляются по формулам
P
(d)
0 (λ) ≡ 1, P
(d)
nj+k
(λ) = λkPnj (λ) 0 < k < ℓj , j ∈ Z+,
P
(d)
nj (λ) = Pnj (λ) +
(
Sj−1 − p
(j−1)
0
)
Pnj−1(λ) j ∈ N,
. (4.3)
Доказательство. Определим полиномы P
(d)
j (λ) равенствами
P(d)(λ) = LP(λ), j ∈ Z+. (4.4)
Тогда из (4.4), вытекают формулы (4.3), а именно
P
(d)
0 (λ) = P0(λ), . . . , P
(d)
ℓ0−1(λ) = λℓ0−1P0(λ), . . . ,
P
(d)
n1 (λ) = Pn1(λ) +
(
S0 − p
(0)
0
)
P0(λ), . . . , P
(d)
n1+1(λ) = λPn1(λ), . . . ,
P
(d)
n1+ℓ1−1(λ) = λℓ1−1Pn1(λ), . . . , P
(d)
n2 (λ)
= Pn2(λ) +
(
S1 − p
(1)
0
)
Pn1(λ), . . .
И. М. Ковалёв 311
Более того, справедливо соотношение (4.2), т.к.
J(d)P(d)(λ) = LUP(d)(λ) = LULP(λ)
= LJP(λ) = λLP(λ) = λP(d)(λ).
Таким образом, полиномы P
(d)
j (λ), определяемые формулой (4.3)
для всех j ∈ Z+, есть полиномы 1–го рода для матрицы J(d) = LU .
Замечание 4.2. Если J — моническая матрица Якоби (т.е. ℓj = 1
для всех j ∈ Z+ ), то формулы
P
(d)
0 (λ) ≡ 1, P
(d)
i (λ) = Pi(λ) +
(
Si−1 − p
(i−1)
0
)
Pi−1(λ) i ∈ N
есть формулы Геронимуса для полиномов Pi(λ) (см. [18, (3.9)], [10]).
Предложение 4.3. Пусть d ∈ R\{0} некоторый параметр, такой
что условие (3.9) имеет место при S0 = − sn1−1
d , пусть J = UL
и J(d) = LU обобщенные матрицы Якоби, где L и U определены в
(3.1)–(3.3). Пусть монические полиномы {P (d)
j (x)}∞j=0 ассоциированы
с матрицей J(d). Тогда
P
(d)
ni (0) =
i−1∏
k=0
Sk для любого i ∈ N. (4.5)
Более того, если ℓj ≥ 2, то
P
(d)
nj+k
(0) = 0, k = 1, ℓj − 1 и j ∈ Z+.
Доказательство. (i) Пусть ℓk = 1, k = 0, i− 1 и i ∈ N.
Вычисляем
P
(d)
ni (0) = det
(
−J
(d)
[0,i−1]
)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
S0 −1
S0(S0 − p
(0)
0 ) −S0 + p
(0)
0 + S1
. . .
. . . . . . −1
Si−2(Si−2 − p
(i−2)
0 ) −Si−2 + p
(i−2)
0 + Si−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
умножаем h+ 1–ую строку на (−Sh + p
(h)
0 ) и прибавляем к (h+ 2)–ой
строке, h = 0, i− 2, получаем
P
(d)
ni (0) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
S0 −1
0 S1
. . .
...
. . . . . . −1
0 · · · 0 Si−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
i−1∏
k=0
Sk. (4.6)
312 Преобразование Дарбу с параметром...
(ii) Пусть ℓk ≥ 2, k = 0, i− 1 и i ∈ N. В силу [13, Леммы 2.3]
P
(d)
ni (0) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −1
S0 p
(0)
ℓ0−1 −1
p
(0)
0 − S0 0 −1
S1 p
(1)
ℓ1−1
. . .
. . . . . . −1
p
(i−2)
0 − Si−2 0 −1
0 Si−1 p
(i−1)
ℓi−1−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Разлагая данный определитель по строке, которая имеет только один
элемент равный −1 и другие равные 0, получаем (4.6).
(iii) Пусть ℓm = 1 и ℓp ≥ 2, m = 0, h− 1, p = h, i− 1 и h, i ∈ N.
Через n обозначим число ℓp. Тогда P (d)
ni (0) = det
(
−J
(d)
[0,i+n−1]
)
. По [13,
Лемме 2.3] и используя (i)–(ii), получаем (4.5).
(iv) Пусть ℓm ≥ 2 и ℓp = 1, m = 0, h− 1, p = h, i− 1 и h, i ∈ N.
Через n обозначим число ℓm. Тогда P
(d)
ni (0) = det
(
−J
(d)
[0,i+n−1]
)
. В
силу (i)–(ii) и [13, Леммы 2.3], формула (4.5) имеет место.
(v) Рассматриваем общий случай, т.е. ℓk– произвольные при (k =
0, i− 1) и пусть n число ℓk ≥ 2 . Тогда P
(d)
ni (0) = det
(
−J
(d)
[0,i+n−1]
)
.
Пользуясь (i)–(iv), получаем формулу (4.5).
Более того, если ℓj ≥ 2, то P (d)
nj+k
(λ) = λkPnj (λ) (см. Теорему 4.1),
т.е. P (d)
nj+k
(0) = 0 при j ∈ Z+ и k = 1, ℓj − 1.
В следующем утверждении, приведены обратные соотношения
для полиномов P(λ) и P(d)(λ).
Теорема 4.4. Пусть d ∈ R\{0} некоторый параметр, такой что
условие (3.9) имеет место при S0 = − sn1−1
d , пусть J – ОМЯ и пусть
J = UL её UL–факторизация вида (3.1)–(3.3). Пусть J(d) = LU —
преобразование Дарбу с параметром d матрицы J. Тогда
P(λ) =
1
λ
UP(d)(λ). (4.7)
Доказательство. В силу (4.4), P(d)(λ) = LP(λ). Тогда
UP(d)(λ) = ULP(λ) = JP (λ) = λP(λ). (4.8)
Итак, (4.7) — доказано.
И. М. Ковалёв 313
Следствие 4.5. Если J — моническая матрица Якоби (т.е. ℓj =
1 для любого j ∈ Z+), то справедлива формула Кристоффеля для
монических полиномов P (d)
j (λ) (см. [17, Теорема 3.2.2])
Pj(λ) =
1
λ
(
P
(d)
j+1(λ) −
P
(d)
j+1(0)
P
(d)
j (0)
P
(d)
j (λ)
)
для всех j ∈ Z+. (4.9)
Доказательство. По Теореме 4.4, P(λ) = 1
λUP(d)(λ), т.е.
Pj(λ) =
P
(d)
j+1(λ) − SjP
(d)
j (λ)
λ
j ∈ Z+
и в силу Предложения 4.3, имеем Sj =
P
(d)
j+1(0)
P
(d)
j (0)
, j ∈ Z+.Следовательно,
справедлива формула Кристоффеля (4.9).
Следствие 4.6. (ср. [13]) Пусть J — ОМЯ, такая что p
(j)
1 = . . . =
p
(j)
ℓj−1 = 0 для всех j ∈ Z+. Тогда
Pnj−1(λ) = 1
λ
(
P
(d)
nj (λ) −
P
(d)
nj (0)
P
(d)
nj−1
(0)
P
(d)
nj−1
(λ)
)
j ∈ N,
Pnj+k(λ) = λkP
(d)
nj (λ), 0 ≤ k ≤ ℓj − 2 and j ∈ Z+
(4.10)
есть специальный случай формулы Кристоффеля для полиномов
P
(d)
j (λ).
Доказательство. Формула (4.10) следует из Предложения 4.3 и Те-
оремы 4.4.
5. Преобразования m–функции и функционала S
В этом параграфе изучим, как связаны между собой m–функции
матриц J и J(d), как преобразуются функционал S и последователь-
ность s = {sj}∞j=0 при преобразовании Дарбу с параметром.
Теорема 5.1. Пусть d ∈ R\{0} некоторый параметр, такой что
условие (3.9) имеет место при S0 = − sn1−1
d , пусть J — это ОМЯ
и пусть J = UL её UL — факторизация вида (3.1)–(3.3), соответ-
ствующая параметру S0. Пусть m(λ), m(d)(λ) — это m–функции
Вейля матриц J and J(d) = LU , соответственно. Тогда
m
(d)
[0,j+n−1](λ) = −d
λ
+
m[0,j−1](λ)
λ
z→̂∞, (5.1)
314 Преобразование Дарбу с параметром...
где n — это количество индексов ℓh, таких что ℓh ≥ 2 (h = 0, j − 1).
Более того, матрица J(d) ассоциирована с последовательностью
s(d) = {s(d)j }∞j=0, где s
(d)
j вычисляются по формулам
s
(d)
0 = d и s
(d)
j = sj−1 j ∈ N.
Доказательство. Пусть матрицы G[0,j−1] и G̃[0,j+n−1] определены
формулой (2.6) для матриц J[0,j−1] и J
(d)
[0,j+n−1], соответственно, где
n — это количество индексов ℓh, таких что ℓh ≥ 2 (h = 0, j − 1). Усе-
ченные матрицы L[0,j−1] и U[0,j−1] определены аналогичным образом
по формуле (3.1). Отметим, что для любого j ∈ N
LT[0,j−1]e0 = e0, U[0,j−1]G̃[0,j+n−1]e0 = G[0,j−1]e0 = sn1−1eℓ0−1. (5.2)
Тогда полагая A := J
(d)
[0,j+n−1], имеем
λm
(d)
[0,j+n−1](λ) = λ
[(
AT − λ
)−1
e0, e0
]
= − [e0, e0] +
[
AT
(
AT−λ
)−1
e0, e0
]
=−s(d)0 +
(
e0,
(
A− λ
)−1
AG̃[0,j+n−1]e0
)
= −s
(d)
0 +
(
e0,
(
L[0,j−1]U[0,j−1] − λ
)−1
L[0,j−1]sn1−1eℓ0−1
)
.
Учитывая равенства (5.2), получим
λm
(d)
[0,j+n−1](λ) = −s
(d)
0 +
(((
J[0,j−1]
)T − λ
)−1
e0, G[0,j−1]e0
)
= −d +m[0,j−1](λ).
(5.3)
Таким образом, из (5.3) получаем (5.1). В силу асимптотического ра-
зложения (2.9) для m[0,j−1](λ), получаем
m
(d)
[0,j+n−1](λ) = −d
λ
− s0
λ2
− s1
λ3
− · · · −
s2nj−2
λ2nj
+ o
(
1
λ2nj
)
= −s
(d)
0
λ
− s
(d)
1
λ2
− · · · −
s
(d)
2nj−1
λ2nj
+ o
(
1
λ2nj
)
.
Следовательно, ОМЯ J(d) ассоциирована с последовательностью
чисел {s(d)j }∞j=0, где s
(d)
0 = d и s
(d)
j = sj−1 для любого j ∈ N.
И. М. Ковалёв 315
Следствие 5.2. Пусть d ∈ R\{0} некоторый параметр, такой что
условие (3.9) имеет место при S0 = − sn1−1
d , пусть J — ОМЯ ассо-
циированная с функционалом S и моментом s0, и пусть J = UL её
UL– факторизация вида (3.1)–(3.3), соответствующая параметру
S0. Тогда матрица J(d) = LU ассоциирована c линейным функцио-
налом
S(d)(p(λ)) := S
(
p(λ) − p(0)
λ
)
+ dp(0), p(λ) ∈ C[λ]. (5.4)
Доказательство. В силу Теоремы 5.1, матрица J(d) = LU ассоцииро-
вана с последовательностью s(d) = {s(d)j }∞j=0, где s(d)0 = d и s
(d)
j = sj−1
для любого j ∈ N. Тогда
S(d)(1) = s
(d)
0 и S(d)(λj) = s
(d)
j = sj−1 = S
(
λj
λ
)
, j > 1.
(5.5)
В силу (5.5) и линейности функционалов S(d) и S, получаем (5.4).
По Теореме 5.1, матрица J(d) = LU ассоциирована с последова-
тельностью s(d) = {sj−1}∞j=0, где s−1 = d. Определим N (s(d)) мно-
жество нормальных индексов последовательности s(d), следующим
образом
N (s(d))=
{
n
(d)
j : D
(d)
n
(d)
j
̸= 0
}
,D
(d)
n
(d)
j
= det
s−1 · · · s
n
(d)
j −2
· · · · · · · · ·
s
n
(d)
j −2
· · · s
2n
(d)
j −3
.
Предложение 5.3. Пусть N (s) — множество нормальных инде-
ксов ассоциированных с матрицей J и пусть J = UL её UL — фа-
кторизация вида (3.1)–(3.3). Тогда множество нормальных индексов
N (s(d)) матрицы J(d) = LU имеет вид
N (s(d)) = N (s) ∪ {nj + 1 : j ∈ N, ℓj ≥ 2} ∪ {1}.
Доказательство. Пусть число n — это количество индексов ℓh, таких
что ℓh ≥ 2 (h = 0, j − 1). Тогда
(i) 1 ∈ N (s(d)), т.к. s(d)0 = d (см. Теорему 5.1).
(ii) По Теореме 4.1, P
(d)
nj (λ) = Pnj (λ) +
(
Sj−1 − p
(j−1)
0
)
Pnj−1(λ).
316 Преобразование Дарбу с параметром...
С другой стороны
P
(d)
nj (λ) = det
(
λ− J
(d)
[0,j+n−1]
)
=
1
D
(d)
nj
det
s−1 s0 · · · snj−1
· · · · · · · · · · · ·
snj−2 snj−1 · · · s2nj−2
1 λ · · · λnj
.
В силу Предложения 4.3, P (d)
nj (0) = S0 · . . . · Sj−1 = (−1)nj+2
D
(d)
nj
Dnj , сле-
довательно D
(d)
nj ̸= 0, т.е. nj ∈ N (s(d)).
(iii) Пусть ℓj ≥ 2, тогда P (d)
nj+1(λ) = λPnj (λ) (см. Теорему 4.1) и
P
(d)
nj+1(λ) = det
(
λ− J
(d)
[0,j+n]
)
=
1
D
(d)
nj+1
det
s−1 s0 · · · snj
· · · · · · · · · · · ·
snj−1 snj · · · s2nj−1
1 λ · · · λnj+1
.
Из Предложения 4.3, P (d)
nj+1(0) = (−1)nj+3
D
(d)
nj+1
Dnj+1 = 0. В силу, того, что
ℓj ≥ 2, получаем, что (nj + 1) ̸∈ N (s) и Dnj+1 = 0, следовательно
D
(d)
nj+1 ̸= 0, т.е. (nj + 1) ∈ N (s(d)).
Следствие 5.4. Если в условиях Предложения 5.3 ℓj = nj+1−nj ≥ 2,
где n0 = 0 и для всех j ∈ Z+, то
N (s(d)) = {1, n1, n1 + 1, n2, . . .} .
Следствие 5.5. Если в условиях Предложения 5.3 N (s) = N, то
N (s(d)) = N.
Предложение 5.6. Пусть J — ОМЯ и пусть J(d) — её преобразо-
вание Дарбу с параметром d. Тогда
dP
(d)
nj (λ)Pnj (λ) = λQ
(d)
nj (λ)Pnj (λ) −Qnj (λ)P
(d)
nj (λ). (5.6)
Доказательство. В силу представления (2.8)
m[0,j−1](λ) = −
Qnj (λ)
Pnj (λ)
и m
(d)
[0,j+n−1](λ) = −
Q
(d)
nj (λ)
P
(d)
nj (λ)
и Теоремы 5.1, получаем (5.6).
И. М. Ковалёв 317
6. Преобразование Дарбу со сдвигом
В этом параграфе будут рассмотрены преобразования Дарбу с па-
раметром со сдвигом аргумента на α ∈ R для преобразованных поли-
номов (функционала). Для этого используется блочно диагональная
матрица Aα специального вида.
Заменяя λ на λ+ α в (2.1) и (2.2), получаем систему разностных
уравнений для всех j ∈ Z+
bjynj−1(λ+ α) − pj(λ+ α)ynj (λ+ α) + ynj+1(λ+ α) = 0 (b0 = sn1−1).
(6.1)
Решением системы (6.1) являются полиномы Pnj (λ+α) с начальными
условиями
Pn−1(λ+ α) ≡ 0 и Pn0(λ+ α) ≡ 1.
Определим P̃nj (λ) := Pnj (λ+ α) и p̃j(λ) := pj(λ+ α).
Лемма 6.1. Пусть J — ОМЯ, ассоциированная с линейным функци-
оналом S и пусть
Aα = diag
(
Cp0 − Cp̃0 ,Cp1 − Cp̃1 , . . .
)
, (6.2)
где Cpj и Cp̃j — сопровождающие матрицы монических полиномов
pj(λ) и p̃j(λ), соответственно. Тогда J−Aα — ОМЯ, ассоциирован-
ная с линейным функционалом
S̃(p(λ)) := S(p(λ− α)), p ∈ C[λ]. (6.3)
Более того, если s̃ — последовательность определяемая функциона-
лом S̃ с помощью (1.1), то множество нормальных индексов N (s̃)
совпадает с множеством нормальных индексов N (s) и {P̃nj (λ)}∞j=0 –
это последовательность полиномов 1–го рода для матрицы J−Aα,
которая ортогональна относительно линейного функционала S̃.
Доказательство. В силу (2.4) и (6.2), получаем, что матрица
J−Aα =
Cp̃0 D0
B1 Cp̃1 D1
. . . . . . . . .
это ОМЯ, ассоциированная с порождающими полиномами p̃j и чи-
слами bj . Следовательно, система (6.1) ассоциирована с матрицей
J − Aα. Равенство (6.3) выполнено и N (s) = N (s̃). В силу того, что
P̃nj (λ) = Pnj (λ + α) и выполнено (6.3), получаем, что {P̃nj (λ)}∞j=0 –
это последовательность полиномов 1–го рода для матрицы J − Aα,
которая ортогональна относительно линейного функционала S̃.
318 Преобразование Дарбу с параметром...
Теорема 6.2. Пусть α ∈ R. Тогда ОМЯ J − Aα допускает UL–
факторизацию вида (3.1)–(3.3)
T = J−Aα = UL
и соответствующее преобразование Дарбу с параметром dT (d)= LU,
ассоциировано с линейным функционалом
S̃(d) (p(λ)) =
(
1
λ
S̃
)
(p(λ)) + dp(0). (6.4)
Более того, если ñ
(d)
j — нормальные индексы и p̃
(d)
j (λ) — порождаю-
щие полиномы матрицы T (d) и
A(d)
α = diag
(
C
p
(d)
0
− C
p̃
(d)
0
,C
p
(d)
1
− C
p̃
(d)
1
, . . .
)
, (6.5)
где C
p̃
(d)
j
и C
p
(d)
j
сопровождающие матрицы к полиномам p̃
(d)
j (λ) и
p
(d)
j (λ) := p̃
(d)
j (λ− α), соответственно, то ОМЯ
J(d)α = LU +A(d)
α (6.6)
ассоциирована с линейным функционалом
S(d)
α (p(λ)) = S
(
p(λ) − p(α)
λ− α
)
+ dp(α). (6.7)
Доказательство. По Лемме 6.1, T = J−Aα — ОМЯ и из Теоремы 3.6
T допускает UL–факторизацию вида (3.1)–(3.3), т.е. T = UL. По Тео-
реме 3.8 T (d) = LU — ОМЯ. Из (6.5), получаем, что J
(d)
α = LU+A
(d)
α —
ОМЯ. Соотношение (6.4) следует из Следствия 5.2 и соотношение
(6.7) следует из Леммы 6.1 и (6.4), т.е.
S
(d)
α (p(λ)) = S̃(d) (p(λ+ α)) =
(
1
λS̃
)
(p(λ+ α)) + dp(α)
= S̃
(
p(λ+α)−p(α)
λ
)
+dp(α) = S
(
p(λ)−p(α)
λ−α
)
+dp(α).
Теорема 6.3. Предполагаем, что условия Теоремы 6.2 выполнены.
Пусть Pnj (λ) и P
(d)
n
(d)
j
(λ) полиномы 1–го рода для матриц J и
J
(d)
α = LU +A
(d)
α , соответственно. Тогда
P
(d)
0 (λ) ≡ 1, P
(d)
nj+k
(λ) = λkPnj (λ) 0 < k < ℓj и j ∈ Z+,
P
(d)
nj (λ) = Pnj (λ) +
(
Sj−1 − p(j−1)(α)
)
Pnj−1(λ) j ∈ N.
(6.8)
И. М. Ковалёв 319
Доказательство. Как известно, ОМЯ J ассоциирована с системой
разностных уравнений (2.1). По Лемме 6.1 T = J − Aα = UL —
ассоциирована с системой разностных уравнений (6.1) и по Теореме
6.2 T (d) = LU — ассоциирована со следующей системой разностных
уравнений
b
(d)
j y
ñ
(d)
j−1
(λ) − p̃
(d)
j (λ)y
ñ
(d)
j
(λ) + y
ñ
(d)
j+1
(λ) = 0 j ∈ Z+. (6.9)
Решения системы (6.9) — есть полиномы P̃
(d)
ñ
(d)
j
(λ) и по Теореме 4.1
P̃
(d)
nj−1(λ) = λkPnj (λ+ α) 0 < k < ℓj и j ∈ Z+,
P̃
(d)
nj (λ) = Pnj (λ+ α) +
(
Sj−1 − p̃
(j−1)
0
)
Pnj−1(λ+ α) j ∈ N.
(6.10)
Можем переписать второе соотношение (6.10) в виде
P̃
(d)
nj (λ) = Pnj (λ+ α) +
(
Sj−1 − p̃(j−1)(0)
)
Pnj−1(λ+ α). (6.11)
С другой стороны, матрица J
(d)
α = LU + A
(d)
α ассоциирована с
системой разностных уравнений для всех j ∈ Z+
b
(d)
j y
n
(d)
j−1
(λ− α) − p̃
(d)
j (λ− α)y
n
(d)
j
(λ− α) + y
n
(d)
j+1
(λ− α) = 0, (6.12)
где b
(d)
0 = d и n
(d)
j−1 = ñ
(d)
j−1. Решением системы (6.12) являются поли-
номы
P
(d)
n
(d)
j
(λ) := P̃
(d)
n
(d)
j
(λ− α) j ∈ Z+. (6.13)
В силу (6.1)
p̃(j)(0) = p(j)(α) для всех j ∈ Z+ (6.14)
и подставляя (6.13)–(6.14) в (6.10)–(6.11), получаем (6.8).
7. Пример
В качестве примера, рассмотрим монические полиномы Чебышё-
ва–Эрмита {Hk(λ)}∞k=0 и исследуем преобразование Дарбу с параме-
тром d и со сдвигом α обобщённой матрицы Якоби J ассоциированной
с последовательностью {Hk(λ
3)}∞k=0.
Пусть s = {sj}∞j=0 последовательность, ассоциированная с мерой
e−λ
2
dλ на R, т.е.
s0 =
√
π, s2j =
√
π
2j
(2j − 1)!! и s2j−1 = 0, j ∈ N.
320 Преобразование Дарбу с параметром...
Тогда соответствующие рекуррентные соотношения для полино-
мов Чебышёва–Эрмита примут вид
λHj(λ) = Hj+1(λ) +
j
2
Hj−1(λ), для j ∈ N
и соответствующие полиномы 1–го рода совпадут с моническими по-
линомами Чебышёва–Эрмита
Hj(λ) =
(−1)j
2j
eλ
2 dj
dλj
(
e−λ
2
)
для всех j ∈ Z+, (7.1)
ортогональными в L2(R, w(λ)) с весовой функцией w(λ) = e−λ
2 .
Полагая в (7.1) λ := λ3, получаем последовательность монических
полиномов {Hj(λ
3)}∞j=0, которые удовлетворяют следующим рекур-
рентным соотношениям
λ3Hj(λ
3) = Hj+1(λ
3) +
j
2
Hj−1(λ
3) j ∈ N.
Таким образом, последовательность {Hj(λ
3)}∞j=0 — это последова-
тельность полиномов 1–го рода ассоциированных со следующей ОМЯ
J =
Cp0 D0
B1 Cp1
. . .
. . . . . .
,
где блоки имеют следующую структуру
Cpj =
0 1 0
0 0 1
0 0 0
, Dj =
0 0 0
0 0 0
1 0 0
, Bj+1 =
0 0 0
0 0 0
j+1
2 0 0
, j ∈ Z+.
Введём следующую блочную диагональную матрицу
Aα = diag
(
Cp0 − Cp̃0 , Cp1 − Cp̃1 , . . .
)
, (7.2)
где Cp̃j — сопровождающие матрицы к моническим полиномам
p̃j(λ) := pj(λ+ α) = λ3 + 3αλ2 + 3α2λ+ α3.
Тогда по Теореме 6.2, ОМЯ T = J−Aα допускает UL–факторизацию
с параметром d (т.е. T = UL), где факторизационные матрицы L и
И. М. Ковалёв 321
U определены формулой (3.1), блоки Iℓj , Dj , Lj+1, Uj имеют вид (см.
(3.2)–(3.3))
Iℓj =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
и Lj+1 =
Sj−α3 0 0
0 0 0
0 0 0
,
Dj =
0 0 0
0 0 0
1 0 0
и Uj =
0 1 0
0 0 1
−Sj 3α2 3α
,
(7.3)
где S0 ∈ R\{0}, Sj−α3 ̸= 0 и Sj+1
(
Sj − α3
)
= − bj+1 для всех j ∈ Z+.
Тогда T (d) = LU и
T (d) =
C̃0
0 D0,0
B1,0 C̃1
0 D0,1
B1,1 C̃0
1
. . .
. . . . . .
,
где блоки имеют следующую структуру
C̃1
j =
(
0 1
−3α2 −3α
)
, Dj,1 =
(
0
1
)
, Bj+1,0 =
(
0
−Sj
)
,
Bj+1,1 =
(
Sj − α3 0
)
, C̃0
j = (0), Dj,0 =
(
1 0
)
, j ∈ Z+.
Матрицы C̃0
j , C̃
1
j — сопровождающие матрицы к моническим по-
линомам ã0j , ã
1
j , соответственно. Более того,
ã0j (λ) = λ и ã1j (λ) = λ2 + 3αλ+ 3α2, j ∈ Z+.
Определяя полиномы
a0j (λ) := ã0j (λ− α) = λ− α и a1j (λ) := ã1j (λ− α) = λ2 + αλ+ α2,
получаем сопровождающие матрицы C0
j , C1
j монических полиномов
a0j (λ) и a1j (λ), соответственно, где
C0
j =
(
α
)
и C1
j =
(
0 1
−α2 −α
)
, j ∈ Z+.
Тогда можем определить A
(d)
α = diag
(
C0
0 − C̃0
0, C1
0 − C̃1
0, . . .
)
и по Теореме 6.2 преобразование Дарбу с параметром d ОМЯ J со
322 Преобразование Дарбу с параметром...
сдвигом α имеет вид (см. (6.6))
J(d)α = T (d) +A(d)
α =
C0
p0 D0,0
B1,0 C1
p0 D0,1
B1,1 C0
p1
. . .
. . . . . .
.
Пусть Aα — диагональная блочная матрица, определённая в (7.2).
Тогда ОМЯ J−Aα допускает факторизацию J−Aα = UL (3.1), (7.3).
Следовательно, преобразование Дарбу J
(d)
α имеет вид
J(d)α −A(d)
α = LU.
Поэтому последовательность моментов s(d) = {s(d)j }∞j=0, ассоции-
рованная с матрицей J
(d)
α , имеет вид
s
(d)
0 = d, s
(d)
3j+1 = αds
(d)
3j , s
(d)
3j+2 = αds
(d)
3j+1,
s
(d)
3(j+1) = sj + αds
(d)
3j+2 для всех j ∈ Z+.
По Теореме 6.3, полиномы 1–го рода {P (d)
j (λ)}∞j=0, ассоциирован-
ные с матрицей J(d) вычисляются по формулам
P
(d)
0 (λ) ≡ 1, P
(d)
3j+k(λ) = λkHj(λ
3), k = 1, 2 и j ∈ Z+,
P
(d)
3j (λ) = Hj(λ
3) +
(
Sj−1 − α3
)
Hj−1(λ
3), j ∈ N.
Acknowledgements
Автор признателен В.А. Деркачу за постановку задачи и много-
численные обсуждения.
Литература
[1] N. I. Akhiezer, The classical moment problem, Edinburgh, 1965.
[2] T. Ya. Azizov, I. S. Iokhvidov, Foundations of the theory of linear operators in
spaces with an indefinite metric, Nauka, Moscow, 1986.
[3] Ju. M. Berezanskii, Expansions in Eigenfunctions of self-adjoint Operators, Kiev,
1968.
[4] M. I. Bueno, F. Marcellán, Darboux transformation and perturbation of linear
functionals // Linear Algebra Appl., 384 (2004), 215–242.
[5] M. Derevyagin, V. Derkach, On convergence of Pade approximants for generalized
Nevanlinna functions // Trans. Moscow Math. Soc., 68 (2007), 133–182.
[6] M. Derevyagin, V. Derkach, Darboux transformations of Jacobi matrices and Padé
approximation // Linear Algebra Appl., 435 (2011), 3056–3084.
И. М. Ковалёв 323
[7] M. Derevyagin, V. Derkach, Spectral problems for generalized Jacobi matrices //
Linear Algebra Appl., 382 (2004), 1–24.
[8] V. A. Derkach, M. M. Malamud, The extension theory of hermitian operators and
the moment problem // J. Math. Sci., 73 (1995), 141–242.
[9] V. A. Derkach, I. Kovalyov, On a class of generalized Stieltjes continued fracti-
ons // Methods Funct. Anal. Topology, 21 (2015), 315–335.
[10] Ya. L. Geronimus, On the polynomials orthogonal with respect to a given number
sequence // Zap. Mat. Otdel. Khar’kov. Univers. i Nil Mat. i Mehan., 17 (1940),
3–18.
[11] Ya. L. Geronimus, On the polynomials orthogonal with respect to a given number
sequence and a theorem by W. Hahn // Izv. Akad. Nauk SSSR, 4 (1940), 215–228.
[12] F. Gesztesy, B. Simon, m-functions and inverse spectral analysis for finite and
semi-infinite Jacobi matrices // Journal d’Analyse Math., 73 (1997), 267–297.
[13] I. Kovalyov, The Darboux transformation of generalized Jacobi matrices //
Methods of Funct. Anal. and Topology, 20 (2014), 301–320.
[14] P. Lancaster, Theory of Matrices, New York, 1969.
[15] A. Magnus, Certain continued fractions associated with the Padé table // Math.
Zeitschr, 78 (1962), 361–374.
[16] F. Peherstorfer, Finite perturbations of orthogonal polynomials // J. Comput.
Appl. Math., 44 (1992), 275–302.
[17] G. Szegö, Orthogonal Polynomials, AMS, 1975.
[18] A. Zhedanov, Rational spectral transformations and orthogonal polynomials // J.
Comput. Appl. Math., 85 (1997), 67–86.
Сведения об авторах
Иван Михайлович
Ковалёв
Национальный педагогический
университет им. М. П. Драгоманова,
Киев, Украина
E-Mail: i.m.kovalyov@gmail.com
|