Об устранении особенностей классов Орлича-Соболева
Изучается локальное поведение замкнуто-открытых дискретных отображений классов Орлича–Соболева в Rⁿ; n ≥ 3. Установлено, что указанные отображения f имеют непрерывное продолжение в изолированную точку x₀ границы области D \ {x₀}; как только их внутренняя дилатация порядка p ∊ (n - 1, n] имеет мажора...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний вісник |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145076 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об устранении особенностей классов Орлича-Соболева / Е.А. Севостьянов, Р.Р. Салимов, Е.А. Петров // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 3. — С. 324-349. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-145076 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Севостьянов, Е.А. Салимов, Р.Р. Петров, Е.А. 2019-01-14T18:49:34Z 2019-01-14T18:49:34Z 2016 Об устранении особенностей классов Орлича-Соболева / Е.А. Севостьянов, Р.Р. Салимов, Е.А. Петров // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 3. — С. 324-349. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. Primary 30C65; Secondary 30C62, 31A15, 32U20. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145076 Изучается локальное поведение замкнуто-открытых дискретных отображений классов Орлича–Соболева в Rⁿ; n ≥ 3. Установлено, что указанные отображения f имеют непрерывное продолжение в изолированную точку x₀ границы области D \ {x₀}; как только их внутренняя дилатация порядка p ∊ (n - 1, n] имеет мажоранту класса FMO (конечного среднего колебания) в указанной точке и, кроме того, предельные множества отображения f в x₀ и на ∂D не пересекаются. Другим достаточным условием возможности непрерывного продолжения указанных отображений является расходимость некоторого интеграла. We study the local behavior of closed-open discrete mappings of the Orlicz–Sobolev classes in Rⁿ; n ≥ 3. It is proved that the indicated mappings have continuous extensions to an isolated boundary point x₀ of a domain D \ {x₀}, whenever its inner dilatation of order p ∈ (n − 1, n] has FMO (finite mean oscillation) at this point and, in addition, the limit sets of f at x₀ and on ∂D are disjoint. Another sufficient condition for the possibility of continuous extension can be formulated as a condition of divergence of a certain integral. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Об устранении особенностей классов Орлича-Соболева On the removal of singularities of the Orlicz–Sobolev classes Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об устранении особенностей классов Орлича-Соболева |
| spellingShingle |
Об устранении особенностей классов Орлича-Соболева Севостьянов, Е.А. Салимов, Р.Р. Петров, Е.А. |
| title_short |
Об устранении особенностей классов Орлича-Соболева |
| title_full |
Об устранении особенностей классов Орлича-Соболева |
| title_fullStr |
Об устранении особенностей классов Орлича-Соболева |
| title_full_unstemmed |
Об устранении особенностей классов Орлича-Соболева |
| title_sort |
об устранении особенностей классов орлича-соболева |
| author |
Севостьянов, Е.А. Салимов, Р.Р. Петров, Е.А. |
| author_facet |
Севостьянов, Е.А. Салимов, Р.Р. Петров, Е.А. |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On the removal of singularities of the Orlicz–Sobolev classes |
| description |
Изучается локальное поведение замкнуто-открытых дискретных отображений классов Орлича–Соболева в Rⁿ; n ≥ 3. Установлено, что указанные отображения f имеют непрерывное продолжение в изолированную точку x₀ границы области D \ {x₀}; как только их внутренняя дилатация порядка p ∊ (n - 1, n] имеет мажоранту класса FMO (конечного среднего колебания) в указанной точке и, кроме того, предельные множества отображения f в x₀ и на ∂D не пересекаются. Другим достаточным условием возможности непрерывного продолжения указанных отображений является расходимость некоторого интеграла.
We study the local behavior of closed-open discrete mappings of the Orlicz–Sobolev classes in Rⁿ; n ≥ 3. It is proved that the indicated mappings have continuous extensions to an isolated boundary point x₀ of a domain D \ {x₀}, whenever its inner dilatation of order p ∈ (n − 1, n] has FMO (finite mean oscillation) at this point and, in addition, the limit sets of f at x₀ and on ∂D are disjoint. Another sufficient condition for the possibility of continuous extension can be formulated as a condition of divergence of a certain integral.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145076 |
| citation_txt |
Об устранении особенностей классов Орлича-Соболева / Е.А. Севостьянов, Р.Р. Салимов, Е.А. Петров // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 3. — С. 324-349. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT sevostʹânovea obustraneniiosobennosteiklassovorličasoboleva AT salimovrr obustraneniiosobennosteiklassovorličasoboleva AT petrovea obustraneniiosobennosteiklassovorličasoboleva AT sevostʹânovea ontheremovalofsingularitiesoftheorliczsobolevclasses AT salimovrr ontheremovalofsingularitiesoftheorliczsobolevclasses AT petrovea ontheremovalofsingularitiesoftheorliczsobolevclasses |
| first_indexed |
2025-11-27T05:50:13Z |
| last_indexed |
2025-11-27T05:50:13Z |
| _version_ |
1850803417141739520 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 13 (2016), № 3, 324 – 349
Об устранении особенностей
классов Орлича–Соболева
Евгений А. Севостьянов, Руслан Р. Салимов,
Евгений А. Петров
(Представлена В.Я. Гутлянским)
Аннотация. Изучается локальное поведение замкнуто-открытых
дискретных отображений классов Орлича–Соболева в Rn, n > 3.
Установлено, что указанные отображения f имеют непрерывное про-
должение в изолированную точку x0 границы области D \ {x0}, как
только их внутренняя дилатация порядка p ∈ (n − 1, n] имеет ма-
жоранту класса FMO (конечного среднего колебания) в указанной
точке и, кроме того, предельные множества отображения f в x0 и
на ∂D не пересекаются. Другим достаточным условием возможности
непрерывного продолжения указанных отображений является расхо-
димость некоторого интеграла.
2010 MSC. Primary 30C65; Secondary 30C62, 31A15, 32U20.
Ключевые слова и фразы. Модули семейств кривых и поверхно-
стей, отображения с ограниченным и конечным искажением, классы
Соболева и Орлича–Соболева, устранение изолированных особенно-
стей.
1. Введение
В настоящей заметке исследуется некоторый подкласс отображе-
ний с конечным искажением, активно изучаемых в последнее время
рядом авторов (см., напр., [1–6] и [7]). Всюду далее D — область в Rn,
n > 2, m — мера Лебега в Rn и dist (A,B) — евклидово расстояние
между множествами A и B в Rn, d(x, y) := |x − y|, d(C) — евклидов
диаметр множества C ⊂ Rn,
B(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| < r} , Bn := B(0, 1) ,
S(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| = r} , Sn−1 := S(0, 1) ,
Статья поступила в редакцию 15.09.2016
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов, Е. А. Петров 325
A(r1, r2, x0) = {x ∈ Rn : r1 < |x− x0| < r2} ,
ωn−1 обозначает площадь единичной сферы Sn−1 в Rn, Ωn — объём
единичного шара Bn в Rn, Rn := Rn ∪ {∞}. В дальнейшем всюду
символом Γ(E,F,D) мы обозначаем семейство всех кривых γ : [a, b] →
Rn, которые соединяют множества E и F в D, т.е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F
и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b). Запись f : D → Rn предполагает, что
отображение f непрерывно в D.
В дальнейшем Hk — нормированная k-мерная мера Хаусдорфа в
Rn, 1 6 k 6 n, J(x, f) = det f ′(x) — якобиан отображения f в то-
чке x, где f ′(x) — матрица Якоби отображения f в точке x. Здесь и
далее предельным множеством отображения f относительно мно-
жества E ⊂ Rn называется множество
C(f,E) :=
{
y ∈ Rn : ∃x0 ∈ E : y = lim
m→∞
f(xm), xm → x0
}
.
Отображение f : D → Rn называется сохраняющим границу ото-
бражением (см. [8, разд. 3, гл. II]), если выполнено соотношение
C(f, ∂D) ⊂ ∂f(D). Отображение f : D → Rn называется дискре-
тным, если прообраз f−1 (y) каждой точки y ∈ Rn состоит толь-
ко из изолированных точек. Отображение f : D → Rn называется
открытым, если образ любого открытого множества U ⊂ D являе-
тся открытым множеством в Rn. Отметим также, что в случае если
f : D → Rn открыто и дискретно, то замкнутость отображения f
эквивалентна тому что f сохраняет границу (см. [8, теорема 3.3]).
Пусть U – открытое множество, U ⊂ Rn, u : U → R – некоторая фун-
кция, u ∈ L 1
loc(U). Предположим, что найдётся функция v ∈ L 1
loc(U),
такая что
∫
U
∂φ
∂xi
(x)u(x)dm(x) = −
∫
U
φ(x)v(x)dm(x) для любой фун-
кции φ ∈ C 0
1 (U). Тогда будем говорить, что функция v является
обобщённой производной первого порядка функции u по переменной
xi и обозначать символом: ∂u
∂xi
(x) := v. Функция u ∈ W 1,1
loc (U), если u
имеет обобщённые производные первого порядка по каждой из пере-
менных в U, которые являются локально интегрируемыми в U.
Пусть G — открытое множество в Rn. Отображение f : G → Rn
принадлежит классу Соболева W 1,1
loc (G), пишут f ∈W 1,1
loc (G), если все
координатные функции f = (f1, . . . , fn) обладают обобщёнными ча-
стными производными первого порядка, которые локально интегри-
руемы в G в первой степени. Отображение f : D → Rn называется
отображением с конечным искажением, если f ∈W 1,1
loc (D) и для не-
которой функции K(x) : D → [1,∞) выполнено условие ∥f ′ (x) ∥n 6
K(x) · |J(x, f)| при почти всех x ∈ D, где ∥f ′(x)∥ = max
h∈Rn\{0}
|f ′(x)h|
|h|
326Об устранении особенностей классов Орлича–Соболева
(см. [1, п. 6.3, гл. VI]. Полагаем l (f ′(x)) = min
h∈Rn\{0}
|f ′(x)h|
|h| . Отме-
тим, что для отображений с конечным искажением и произвольного
p > 1 корректно определена и почти всюду конечна так называемая
внутренняя дилатация KI,p(x, f) отображения f порядка p в точке
x, определяемая равенствами
KI,p(x, f) =
|J(x,f)|
l(f ′(x))p , J(x, f) ̸= 0,
1, f ′(x) = 0,
∞, в остальных случаях .
(1.1)
Пусть φ : [0,∞) → [0,∞) — неубывающая функция, f ∈ W 1,1
loc . Бу-
дем говорить, что f : D → Rn принадлежит классу W 1,φ
loc , пишем
f ∈W 1,φ
loc , если
∫
G
φ (|∇f(x)|) dm(x) <∞ для любой компактной подо-
бласти G ⊂ D, где |∇f(x)| =
√
n∑
i=1
n∑
j=1
(
∂fi
∂xj
)2
. Класс W 1,φ
loc называется
классом Орлича–Соболева. Рассмотрим следующую задачу:
пусть x0 ∈ D и f : D \ {x0} → Rn — отображение класса
W 1,φ
loc (D \ {x0}) с конечным искажением, тогда при каких услови-
ях отображение f может быть продолжено по непрерывности в
точку x0?
Ответ на этот вопрос в случае, когда отображение f является го-
меоморфизмом был найден нами несколько ранее (см. [9, теорема 5] и
[2, теорема 9.3]). Стремясь усилить этот результат, в настоящей статье
мы рассматриваем более широкий класс замкнуто-открытых дискре-
тных отображений. Ниже будет показано, что для указанного клас-
са заключение о непрерывном продолжении в изолированную точку
границы также верно, по крайней мере, в случае выполнения следую-
щего дополнительного условия: C(f, x0) ∩C(f, ∂D) = ∅. Разумеется,
произвольные гомеоморфизмы удовлетворяют требованиям замкну-
тости, дискретности, открытости, а также указанному ограничению
на предельные множества. С другой стороны, легко указать примеры
негомеоморфных замкнуто-открытых дискретных отображений, для
которых также C(f, x0) ∩ C(f, ∂D) = ∅. Таковым, например, явля-
ется отображение с ограниченным искажением, называемое «закру-
чиванием вокруг оси» и задаваемое в цилиндрических координатах
в виде fm(x) = (r cosmφ, r sinmφ, x3, . . . , xn), x = (x1, . . . , xn) ∈ Bn,
r = |z|, φ = arg z, z = x1 + ix2, m ∈ N. (Здесь x0 = 0). Не лишним
будет отметить, что в произвольной меньшей области указанное ото-
бражение fm при некотором m уже не замкнуто. Скажем, это отно-
сится к области G := B(e1/2, 1/2) ⊂ Bn, e1 = (1, 0, . . . , 0), где условие
Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов, Е. А. Петров 327
C(f, z0) ∩ C(f, ∂G) = ∅ также может нарушаться для некоторой то-
чки zm ∈ G и больших m. Другой простой пример негомеоморфного
замкнуто-открытого дискретного отображения, для которого ограни-
чение C(f, x0) ∩ C(f, ∂D) = ∅ выполняется, может быть дан в виде
f(z) = zn, z ∈ B2 ⊂ C, где x0 := 0.
Сформулируем главный результат настоящей заметки.
Теорема 1.1. Пусть n > 3, D — ограниченная область в Rn, n−1 <
α 6 n, x0 ∈ D, тогда каждое открытое, дискретное и замкнутое
ограниченное отображение f : D \{x0} → Rn класса W 1,φ
loc (D \{x0}) с
конечным искажением такое, что C(f, x0) ∩ C(f, ∂D) = ∅, продол-
жается в точку x0 непрерывным образом до отображения f : D →
Rn, если
∞∫
1
(
t
φ(t)
) 1
n−2
dt <∞ (1.2)
и, кроме того, найдётся функция Q ∈ L1
loc(D), такая что
KI,α(x, f) 6 Q(x)
при почти всех x ∈ D и при некотором ε0 > 0, ε0 < dist(x0, ∂D),
для достаточно малых ε > 0 выполнено условие
ε0∫
ε
dt
t
n−1
α−1 q
1
α−1
x0
(t)
< ∞,
кроме того, выполнено следующее условие расходимости интеграла:
ε0∫
0
dt
t
n−1
α−1 q
1
α−1
x0 (t)
= ∞ . (1.3)
Здесь qx0(r) := 1
ωn−1rn−1
∫
|x−x0|=r
Q(x) dHn−1 обозначает среднее ин-
тегральное значение функции Q над сферой S(x0, r). В частности,
заключение теоремы 1.1 является верным, если
qx0(r) = O
((
log
1
r
)n−1
)
при r → 0.
Замечание 1.1. Условие (1.2) принадлежит Кальдерону и исполь-
зовалось для решения задач несколько иного плана (см. [10]).
328Об устранении особенностей классов Орлича–Соболева
При p = n = 2 заключение теоремы 1.1 можно несколько уси-
лить. Для этой цели введём следующие обозначения. Для компле-
кснозначной функции f : D → C, заданной в области D ⊂ C, име-
ющей частные производные по x и y при почти всех z = x + iy,
полагаем ∂f = fz = (fx + ify) /2 и ∂f = fz = (fx − ify) /2. Пола-
гаем µ(z) = µf (z) = fz/fz, при fz ̸= 0 и µ(z) = 0 в противном
случае. Указанная комплекснозначная функция µ называется ком-
плексной дилатацией отображения f в точке z. Максимальной ди-
латацией отображения f в точке z называется следующая функция:
Kµf (z) = Kµ(z) = 1+|µ(z)|
|1−|µ (z)|| . Заметим, что J(f, z) = |fz|2 − |fz|2, где
J(f, z) := det f ′(z), что может быть проверено прямым подсчётом
(см., напр., [11, пункт C, гл. I]). Кроме того, заметим, что KI(z, f) =
Kµ(z).
Теорема 1.2. Пусть z0 ∈ D ⊂ C, a, b ∈ C, a ̸= b, тогда каждое
открытое дискретное отображение f : D \ {z0} → C \ {a∪ b} класса
W 1,1
loc с конечным искажением продолжается в точку z0 непрерыв-
ным образом до отображения f : D → C, если найдётся функция
Q ∈ L1
loc(D), такая что Kµ(z) 6 Q(z) при почти всех z ∈ D и при
некотором ε0 > 0, ε0 < dist(z0, ∂D), выполнено следующее условие ра-
сходимости интеграла (1.3), где qz0(r) := 1
2πr
∫
|z−z0|=r
Q(z) dH1 — сре-
днее интегральное значение функции Q над окружностью S(z0, r).
В частности, заключение теоремы 1.2 является верным, если
qz0(r) = O
(
log
1
r
)
при r → 0.
2. Вспомогательные сведения, основные леммы
и доказательство теоремы 1.1
Доказательство основного результата статьи опирается на неко-
торый аппарат, суть которого излагается ниже (см., напр., [2]). На-
помним некоторые определения, связанные с понятием поверхности,
интеграла по поверхности, а также модулей семейств кривых и по-
верхностей.
Пусть ω — открытое множество в Rk := Rk∪{∞}, k = 1, . . . , n−1.
Непрерывное отображение S : ω → Rn будем называть k-мерной
поверхностью S в Rn. Число прообразов N(y, S) = cardS−1(y) =
card {x ∈ ω : S(x) = y}, y ∈ Rn будем называть функцией кратности
поверхности S. Другими словами, N(y, S) — кратность накрытия то-
чки y поверхностью S. Пусть ρ : Rn → R+ – борелевская функция,
Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов, Е. А. Петров 329
в таком случае интеграл от функции ρ по поверхности S определяе-
тся равенством:
∫
S
ρ dA :=
∫
Rn
ρ(y)N(y, S) dHky. Пусть Γ — семейство
k-мерных поверхностей S. Борелевскую функцию ρ : Rn → R+ будем
называть допустимой для семейства Γ, сокр. ρ ∈ adm Γ, если∫
S
ρk dA > 1 (2.1)
для каждой поверхности S ∈ Γ. Пусть p > 1, тогда p-модулем семей-
ства Γ назовём величину
Mp(Γ) = inf
ρ∈admΓ
∫
Rn
ρp(x) dm(x) .
Заметим, что p-модуль семейств поверхностей, определённый таким
образом, представляет собой внешнюю меру в пространстве всех k-
мерных поверхностей (см. [12]). Говорят, что некоторое свойство P
выполнено для p-почти всех поверхностей области D, если оно име-
ет место для всех поверхностей, лежащих в D, кроме, быть может, не-
которого их подсемейства, p-модуль которого равен нулю. При p = n
приставка «p-» в словах «p-почти всех...», как правило, опускается. В
частности, говорят, что некоторое свойство выполнено для p-почти
всех кривых области D, если оно имеет место для всех кривых, лежа-
щих в D, кроме, быть может, некоторого их подсемейства, p-модуль
которого равен нулю.
Будем говорить, что измеримая по Лебегу функция ρ : Rn → R+
p-обобщённо допустима для семейства Γ k-мерных поверхностей S
в Rn, сокр. ρ ∈ extp adm Γ, если соотношение (2.1) выполнено для p-
почти всех поверхностей S семейства Γ. Обобщённый p-модуль Mp(Γ)
семейства Γ определяется равенством
Mp(Γ) = inf
∫
Rn
ρp(x) dm(x) ,
где точная нижняя грань берётся по всем функциям ρ ∈ extp adm Γ.
Очевидно, что при каждом p ∈ (0,∞), k = 1, . . . , n − 1, и каждо-
го семейства k-мерных поверхностей Γ в Rn, выполнено равенство
Mp(Γ) = Mp(Γ).
Следующий класс отображений представляет собой обобщение
квазиконформных отображений в смысле кольцевого определения по
Герингу ( [13]) и отдельно исследуется (см., напр., [2, глава 9]). Пусть
p > 1, D и D ′ — заданные области в Rn, n > 2, x0 ∈ D \ {∞} и
330Об устранении особенностей классов Орлича–Соболева
Q : D → (0,∞) — измеримая по Лебегу функция. Будем говорить,
что f : D → D ′ — нижнее Q-отображение в точке x0 относительно
p-модуля, как только
Mp(f(Σε)) > inf
ρ∈extp admΣε
∫
D∩A(ε,r0,x0)
ρp(x)
Q(x)
dm(x) (2.2)
для каждого кольца A(ε, r0, x0), r0 ∈ (0, d0), d0 = sup
x∈D
|x − x0|, где
Σε обозначает семейство всех пересечений сфер S(x0, r) с областью
D, r ∈ (ε, r0). Примеры таких отображений несложно указать (см.
теорему 2.3 ниже).
Отметим, что выражения «почти всех кривых» и «почти всех по-
верхностей» в отдельных случаях могут иметь две различные интер-
претации (в частности, если речь идёт о семействе сфер, то «почти
всех» может пониматься как относительно множества значений r, так
и p-модуля семейства сфер, рассматриваемого как частный случай се-
мейства поверхностей). Следующее утверждение вносит некоторую
ясность между указанными интерпретациями и может быть установ-
лено полностью по аналогии с [2, лемма 9.1].
Лемма 2.1. Пусть p > 1, x0 ∈ D. Если некоторое свойство P име-
ет место для p-почти всех сфер D(x0, r) := S(x0, r)∩D, где «почти
всех» понимается в смысле модуля семейств поверхностей и, кроме
того, множество E = {r ∈ R : P имеет место для S(x0, r) ∩D}
измеримо по Лебегу, то P также имеет место для почти всех сфер
D(x0, r) относительно линейной меры Лебега по параметру r ∈ R.
Обратно, пусть P имеет место для почти всех сфер D(x0, r) :=
S(x0, r) ∩ D относительно линейной меры Лебега по r ∈ R, тогда
P также имеет место для p-почти всех поверхностей D(x0, r) :=
S(x0, r) ∩D в смысле модуля семейств поверхностей.
Следующее утверждение облегчает проверку бесконечной серии
неравенств в (2.2) и может быть установлено аналогично доказатель-
ству [2, теорема 9.2] (см. также [6, теорема 6.1]).
Лемма 2.2. Пусть D, D ′ ⊂ Rn, x0 ∈ D \ {∞} и Q : D → (0,∞) —
измеримая по Лебегу функция. Отображение f : D → D ′ является
нижним Q-отображением относительно p-модуля в точке x0, p >
n − 1, тогда и только тогда, когда Mp(f(Σε)) >
r0∫
ε
dr
||Q||s(r) ∀ ε ∈
(0, r0) , r0 ∈ (0, d0), d0 = sup
x∈D
|x − x0|, s = n−1
p−n+1 , где, как и выше, Σε
обозначает семейство всех пересечений сфер S(x0, r) с областью D,
Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов, Е. А. Петров 331
r ∈ (ε, r0), ∥Q∥s(r) =
( ∫
D(x0,r)
Qs(x) dA
) 1
s
— Ls-норма функции Q над
сферой D(x0, r) = {x ∈ D : |x− x0| = r} = D ∩ S(x0, r).
Пусть G — открытое множество в Rn и I = {x ∈ Rn : ai <
xi < bi, i = 1, . . . , n} — открытый n-мерный интервал. Отображение
f : I → Rn принадлежит классу ACL (абсолютно непрерывно на ли-
ниях), если f абсолютно непрерывно на почти всех линейных сегмен-
тах в I, параллельных координатным осям. Отображение f : G→ Rn
принадлежит классу ACL вG, когда сужение f |I принадлежит клас-
су ACL для каждого интервала I, I ⊂ G.
Напомним, что конденсатором называют пару E = (A, C) , где
A — открытое множество в Rn, а C — компактное подмножество
A. Ёмкостью конденсатора E порядка p > 1 называется следую-
щая величина: cappE = capp (A, C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u(x)|p dm(x), где
W0(E) = W0 (A, C) — семейство неотрицательных непрерывных фун-
кций u : A→ R с компактным носителем в A, таких что u(x) > 1 при
x ∈ C и u ∈ ACL. Здесь, как обычно, |∇u| =
(
n∑
i=1
(∂iu)2
)1/2
. Следую-
щее утверждение имеет важное значение для доказательства многих
результатов настоящей работы (см. [14, предложение 10.2, гл. II]).
Предложение 2.1. Пусть E = (A, C) — произвольный конденсатор
в Rn и пусть ΓE — семейство всех кривых вида γ : [a, b) → A таких,
что γ(a) ∈ C и |γ|∩(A \ F ) ̸= ∅ для произвольного компакта F ⊂ A.
Тогда cappE = Mp(ΓE).
Следующие важные сведения, касающиеся ёмкости пары мно-
жеств относительно области, могут быть найдены в работе В. Циме-
ра [15]. Пусть G — ограниченная область в Rn и C0, C1 — непересека-
ющиеся компактные множества, лежащие в замыкании G. Полагаем
R = G \ (C0 ∪C1) и R ∗ = R ∪C0 ∪C1, тогда p-ёмкостью пары C0, C1
относительно замыкания G называется величина Cp[G,C0, C1] =
inf
∫
R
|∇u|p dm(x), где точная нижняя грань берётся по всем функци-
ям u, непрерывным в R ∗, u ∈ ACL(R), таким что u = 1 на C1 и
u = 0 на C0. Указанные функции будем называть допустимыми для
величины Cp[G,C0, C1]. Мы будем говорить, что множество σ ⊂ Rn
разделяет C0 и C1 в R ∗, если σ ∩ R замкнуто в R и найдутся непе-
ресекающиеся множества A и B, являющиеся открытыми в R ∗ \ σ,
такие что R ∗ \σ = A∪B, C0 ⊂ A и C1 ⊂ B. Пусть Σ обозначает класс
всех множеств, разделяющих C0 и C1 в R ∗. Для числа p′ = p/(p− 1)
332Об устранении особенностей классов Орлича–Соболева
определим величину
M̃p′(Σ) = inf
ρ∈ãdmΣ
∫
Rn
ρ p
′
dm(x) ,
где запись ρ ∈ ãdm Σ означает, что ρ — неотрицательная борелевская
функция в Rn такая, что∫
σ∩R
ρdHn−1 > 1 ∀σ ∈ Σ .
Заметим, что согласно результата Цимера
M̃p ′(Σ) = Cp[G,C0, C1]
−1/(p−1) , (2.3)
см. [15, теорема 3.13] при p = n и [16, с. 50] при 1 < p < ∞. Заметим
также, что согласно результата Шлыка
Mp(Γ(E,F,D)) = Cp[D,E, F ] , (2.4)
см. [17, теорема 1].
Напомним, что отображение f : X → Y между пространствами с
мерами (X,Σ, µ) и (Y,Σ ′, µ ′) обладает N -свойством (Лузина), если
из условия µ(S) = 0 следует, что µ ′(f(S)) = 0. Следующее вспомога-
тельное утверждение получено в работе [9] (см. теорема 1 и следствие
2).
Предложение 2.2. Пусть D — область в Rn, n > 3, φ : (0,∞) →
(0,∞) — неубывающая функция, удовлетворяющая условию (1.2).
Тогда:
1) Если f : D → Rn — непрерывное открытое отображение клас-
са W 1,φ
loc (D), то f имеет почти всюду полный дифференциал в D;
2) Любое непрерывное отображение f ∈ W 1,φ
loc обладает N -свой-
ством относительно (n − 1)-мерной меры Хаусдорфа, более того,
локально абсолютно непрерывно на почти всех сферах S(x0, r) с цен-
тром в заданной предписанной точке x0 ∈ Rn. Кроме того, на почти
всех таких сферах S(x0, r) выполнено условие Hn−1(f(E)) = 0, как
только |∇f | = 0 на множестве E ⊂ S(x0, r). (Здесь «почти всех»
понимается относительно линейной меры Лебега по параметру r).
Для отображения f : D → Rn, множества E ⊂ D и y ∈ Rn, опре-
делим функцию кратности N(y, f, E) как число прообразов точки y
во множестве E, т.е.
N(y, f, E) = card {x ∈ E : f(x) = y} ,
Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов, Е. А. Петров 333
N(f,E) = sup
y∈Rn
N(y, f, E) . (2.5)
Обозначим через Jn−1f(a) величину, означающую (n−1)-мерный яко-
биан отображения f в точке a (см. [18, раздел 3.2.1]). Предположим,
что отображение f : D → Rn дифференцируемо в точке x0 ∈ D
и матрица Якоби f ′(x0) невырождена, J(x0, f) = det f ′(x0) ̸= 0.
Тогда найдутся системы векторов e1, . . . , en и ẽ1, . . . , ẽn и положи-
тельные числа λ1(x0), . . . , λn(x0), λ1(x0) 6 . . . 6 λn(x0), такие что
f ′(x0)ei = λi(x0)ẽi (см. [19, теорема 2.1 гл. I]), при этом,
|J(x0, f)| = λ1(x0) . . . λn(x0), ∥f ′(x0)∥ = λn(x0) ,
l(f ′(x)) = λ1(x0) , (2.6)
KI,p(x0, f) =
λ1(x0) · · ·λn(x0)
λp1(x0)
, (2.7)
см. [19, соотношение (2.5), разд. 2.1, гл. I]. Числа λ1(x0), . . . λn(x0)
называются главными значениями, а вектора e1, . . . , en и ẽ1, . . . , ẽn —
главными векторами отображения f ′(x0).Из геометрического смысла
(n− 1)-мерного якобиана, а также первого соотношения в (2.6) выте-
кает, что
λ1(x0) · · ·λn−1(x0) 6 Jn−1f(x0) 6 λ2(x0) · · ·λn(x0) , (2.8)
в частности, из (2.8) следует, что Jn−1f(x0) положителен во всех тех
точках x0, где положителен якобиан J(x0, f).
Следующие две леммы несут в себе основную смысловую нагруз-
ку данной заметки. Первое из них впервые установлено для случая
гомеоморфизмов в работе [20] (см. теорему 2.1).
Лемма 2.3. Пусть D — область в Rn, n > 3, φ : (0,∞) → (0,∞) —
неубывающая функция, удовлетворяющая условию (1.2). Если n > 3
и p > n − 1, то каждое открытое дискретное отображение f :
D → Rn с конечным искажением класса W 1,φ
loc такое, что N(f,D) <
∞, является нижним Q-отображением относительно p-модуля в
каждой точке x0 ∈ D при
Q(x) = N(f,D) ·K
p−n+1
n−1
I,α (x, f),
α := p
p−n+1 , где внутренняя дилатация KI,α(x, f) отображения f
в точке x порядка α определена соотношением (1.1), а кратность
N(f,D) определена вторым соотношением в (2.5).
334Об устранении особенностей классов Орлича–Соболева
Доказательство. Заметим, что f дифференцируемо почти всюду
ввиду предложения 2.2. Пусть B — борелево множество всех точек
x ∈ D, в которых f имеет полный дифференциал f ′(x) и J(x, f) ̸= 0.
Применяя теорему Кирсбрауна и свойство единственности аппрокси-
мативного дифференциала (см. [18, пункты 2.10.43 и 3.1.2]), мы ви-
дим, что множество B представляет собой не более чем счётное объе-
динение борелевских множеств Bl, l = 1, 2, . . . , таких, что сужения
fl = f |Bl являются билипшицевыми гомеоморфизмами (см., напр.,
[18, пункты 3.2.2, 3.1.4 и 3.1.8]). Без ограничения общности, мы мо-
жем полагать, что множества Bl попарно не пересекаются. Обозна-
чим также символом B∗ множество всех точек x ∈ D, в которых f
имеет полный дифференциал, однако, f ′(x) = 0.
Ввиду построения, множество B0 := D \ (B
∪
B∗) имеет лебего-
ву меру нуль. Следовательно, по [2, теорема 9.1], Hn−1(B0 ∩ Sr) = 0
для p-почти всех сфер Sr := S(x0, r) с центром в точке x0 ∈ D, где
«p-почти всех» следует понимать в смысле p-модуля семейств поверх-
ностей. По лемме 2.1 также Hn−1(B0 ∩ Sr) = 0 при почти всех r ∈ R.
По предложению 2.2 и из условия Hn−1(B0 ∩ Sr) = 0 для почти
всех r ∈ R вытекает, что Hn−1(f(B0 ∩ Sr)) = 0 для почти всех r ∈ R.
По этому предложению также Hn−1(f(B∗ ∩ Sr)) = 0, поскольку f —
отображение с конечным искажением и, значит, ∇f = 0 почти всюду,
где J(x, f) = 0.
Пусть Γ — семейство всех пересечений сфер Sr, r ∈ (ε, r0), r0 <
d0 = sup
x∈D
|x−x0|, с областью D (здесь ε — произвольное фиксирован-
ное число из интервала (0, r0)). Для заданной функции ρ∗ ∈ adm f(Γ),
ρ∗ ≡ 0 вне f(D), полагаем ρ ≡ 0 вне B,
ρ(x) : = ρ∗(f(x))
(
|J(x, f)|
l(f ′(x))
) 1
n−1
при x ∈ B .
Учитывая соотношения (2.6) и (2.8),
|J(x, f)|
l(f ′(x))
> Jn−1f(x) . (2.9)
Пусть D ∗
r ∈ f(Γ), D ∗
r = f(D ∩ Sr). Заметим, что D ∗
r =
∞∪
i=0
f(Sr ∩
Bi)
∪
f(Sr ∩B∗) и, следовательно, для почти всех r ∈ (ε, r0)
1 6
∫
D ∗
r
ρn−1
∗ (y)dA∗ 6
∞∑
i=0
∫
f(Sr∩Bi)
ρn−1
∗ (y)N(y, f, Sr∩Bi)dHn−1y (2.10)
Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов, Е. А. Петров 335
+
∫
f(Sr∩B∗)
ρn−1
∗ (y)N(y, f, Sr ∩B∗)dHn−1y .
Учитывая доказанное выше, из (2.10) мы получаем, что
1 6
∫
D ∗
r
ρn−1
∗ (y)dA∗
6
∞∑
i=1
∫
f(Sr∩Bi)
ρn−1
∗ (y)N(y, f, Sr ∩Bi)dHn−1y (2.11)
для почти всех r ∈ (ε, r0). Рассуждая покусочно на Bi, i = 1, 2, . . . ,
ввиду [18, 1.7.6 и теорема 3.2.5] и (2.9) мы получаем, что∫
Bi∩Sr
ρn−1 dA =
∫
Bi∩Sr
ρn−1
∗ (f(x))
|J(x, f)|
l(f ′(x))
dA
=
∫
Bi∩Sr
ρn−1
∗ (f(x)) · |J(x, f)|
l(f ′(x))Jn−1f(x)
· Jn−1f(x) dA
>
∫
Bi∩Sr
ρn−1
∗ (f(x)) · Jn−1f(x) dA
=
∫
f(Bi∩Sr)
ρn−1
∗ N(y, f, Sr ∩Bi)dHn−1y (2.12)
для почти всех r ∈ (ε, r0). Из (2.11) и (2.12) вытекает, что
ρ ∈ ext adm Γ.
Замена переменных на каждом Bl, l = 1, 2, . . . , (см., напр., [18,
теорема 3.2.5]) и свойство счётной аддитивности интеграла приводят
к оценке ∫
D
ρp(x)
K
p−n+1
n−1
I,α (x, f)
dm(x) 6
∫
f(D)
N(f,D) · ρ p∗ (y) dm(y) ,
α := p
p−n+1 , что и завершает доказательство.
Замечание 2.1. Заключение леммы 2.3 при n = 2 остаётся спра-
ведливым для классов Соболева W 1,1
loc при аналогичных условиях, за
исключением дополнительного условия Кальдерона (1.2). Чтобы в
этом убедиться, необходимо повторить доказательство этой леммы
при n = 2, где необходимо учесть наличие N -свойства указанных
336Об устранении особенностей классов Орлича–Соболева
отображений на почти всех окружностях, что обеспечивается свой-
ством ACL для произвольных классов Соболева (см. [21, теорема 1,
п. 1.1.3, § 1.1, гл. I]).
Имеет место следующее утверждение (см. [22, лемма 3.11] и [14,
лемма 2.6, гл. III] при p = n и [23, лемма 1] при p ̸= n).
Предложение 2.3. Пусть n−1 < p 6 n, D — ограниченная область
в Rn, тогда для каждого a > 0 существует положительное число
δ > 0 такое, что capp (D, C) > δ, где C — произвольный континуум
в D такой что d(C) > a.
Аналог следующей леммы в случае гомеоморфизмов доказан в
монографии [2, теорема 9.3] (см. также работу [24, теорема 4.1]).
Лемма 2.4. Пусть n > 2, D — ограниченная область в Rn, p ∈[
n, n+ 1
n−2
)
, x0 ∈ D и Q : D → (0,∞) — измеримая по Лебегу
функция такая, что при некотором ε0 > 0, ε0 < dist(x0, ∂D) и до-
статочно малых ε > 0 выполнено условие
ε0∫
ε
dt
t
n−1
α−1 q̃
1
α−1
x0
(t)
< ∞, кроме
того, выполнено условие
ε0∫
0
dt
t
n−1
α−1 q̃
1
α−1
x0 (t)
= ∞ , (2.13)
где α = p
p−n+1 , q̃x0(r) := 1
ωn−1rn−1
∫
|x−x0|=r
Q
n−1
p−n+1 (x) dHn−1 обозна-
чает среднее интегральное значение функции Q
n−1
p−n+1 (x) над сфе-
рой S(x0, r). Тогда каждое ограниченное открытое, дискретное и за-
мкнутое в области D \ {x0} нижнее Q-отображение f : D \ {x0} →
Rn относительно p-модуля продолжается в точку x0 непрерывным
образом до отображения f : D → Rn, если C(f, x0) ∩ C(f, ∂D) = ∅.
Доказательство. Не ограничивая общности рассуждений, мы мо-
жем считать, что x0 = 0 и f(D \ {0}) ⊂ Bn. Предположим про-
тивное, а именно, что отображение f не может быть продолжено
по непрерывности в точку x0 = 0. Тогда найдутся две последова-
тельности xj и x ′
j , принадлежащие D \ {0} , xj → 0, x ′
j → 0, та-
кие, что |f(xj) − f(x ′
j)| > a > 0 для всех j ∈ N. Можно считать,
что xj и x ′
j лежат внутри шара B(0, r0), r0 := dist (0, ∂D). Пола-
гаем rj = max
{
|xj |, |x ′
j |
}
, lj = min
{
|xj |, |x ′
j |
}
. Соединим точки xj
и x ′
j замкнутой кривой, лежащей в B(0, rj) \ {0} . Обозначим эту
Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов, Е. А. Петров 337
кривую символом Cj и рассмотрим конденсатор Ej = (D \ {0} , Cj)
(не ограничивая общности, можно считать, что все точки x ∈ Cj
удовлетворяют неравенству |x| > lj). В силу открытости и непре-
рывности отображения f, пара f(Ej) также является конденсато-
ром. Поскольку f — открытое, дискретное и замкнутое отображение,
∂f(D \ {0}) = C(f, ∂D) ∪ C(f, 0).
Рассмотрим при rj < r < r0 проколотый шар G1 := B(0, r) \
{0}. Заметим, что Cj — компактное подмножество G1, тогда f(Cj) —
компактное подмножество f(G1).
Ввиду открытости f имеет место включение ∂f(G1) ⊂ C(f, 0) ∪
f(S(0, r)). Действительно, если y0 ∈ ∂f(G1), то для некоторой после-
довательности yk ∈ f(G1) имеем: yk → y0. Тогда yk = f(xk), xk ∈ G1.
Поскольку G1 ограничено, то можно считать, что xk → x0 ∈ G1.
Осталось заметить, что случай, когда x0 — внутренняя точка G1 не-
возможен, поскольку в этом случае f(xk) → f(x0), где f(x0) — вну-
тренняя точка f(G1), что противоречит выбору yk. Тогда x0 ∈ ∂G1 =
{0}∪S(0, r), что и доказывает включение ∂f(G1) ⊂ C(f, 0)∪f(S(0, r)).
Тогда ввиду замкнутости и открытости отображения f множество
∂f(G1) \ C(f, 0) является замкнутым в Rn.
Отсюда вытекает, что множество σ := ∂f(G1) \ C(f, 0) отделяет
f(Cj) от C(f, ∂D) в f(D \ {0}) ∪ C(f, ∂D). Действительно,
f(D\{0})∪C(f, ∂D) = f(G1)∪σ∪
(
(f(D \ {0}) ∪ C(f, ∂D)) \ f(G1)
)
,
каждое из множеств A := f(G1) и B := (f(D\{0})∪C(f, ∂D))\f(G1)
открыто в топологии пространства f(D \ {0})∪C(f, ∂D), A∩B = ∅,
C0 := f(Cj) ⊂ A и C1 := C(f, ∂D) ⊂ B.
Полагаем α := p
p−n+1 . Поскольку σ ⊂ f(S(0, r)), ввиду (2.3) и (2.4)
Mα(Γ(f(Cj), C(f, ∂D), f(D \ {0}))) 6 1
M
n−1
p−n+1
p (f(Σr))
, (2.14)
где Σr — семейство сфер S(0, r), r ∈ (rj , r0). С другой стороны, из
леммы 2.2 и условия расходимости интеграла (2.13) вытекает, что
M
n−1
p−n+1
p (f(Σr)) → ∞ при j → ∞. В таком случае, из (2.14) следует,
что при j → ∞
Mα(Γ(C(f,D), f(Cj), f(D \ {0}))) → 0 . (2.15)
Аналогичную процедуру проделаем относительно предельного мно-
жества C(f, 0). Именно, заметим, что Cj — компакт в G2 := D\B(0, ε)
338Об устранении особенностей классов Орлича–Соболева
для произвольного ε ∈ (0, lj). Тогда ввиду непрерывности f множе-
ство f(Cj) является компактным подмножеством f(G2) и, в частно-
сти, ∂f(G2) ∩ f(Cj) = ∅. Далее, заметим, что
∂f(G2) ⊂ C(f, ∂D) ∪ f(S(0, ε)) . (2.16)
Полагаем θ := ∂f(G2) \ C(f, ∂D) и заметим, что θ является замкну-
тым, поскольку имеет место соотношение (2.16) и, кроме того,
C(f, ∂D)∩f(S(0, ε)) = ∅ ввиду замкнутости отображения f в D\{0}.
Кроме того, заметим, что θ отделяет C3 := f(Cj) и C4 := C(f, 0) в
f(D \ {0}) ∪ C(f, 0). Действительно,
f(D \ {0}) ∪ C(f, 0) = f(G2) ∪ θ ∪
(
(f(D \ {0}) ∪ C(f, 0)) \ f(G2)
)
,
A = f(G2) и B =
(
(f(D \ {0}) ∪ C(f, 0)) \ f(G2)
)
открыты в тополо-
гии пространства f(D \ {0}) ∪ C(f, 0), A ∩B = ∅, C3 := f(Cj) ⊂ A и
C4 := C(f, 0) ⊂ B.
Как и прежде, полагаем α := p
p−n+1 . Так как θ ⊂ f(S(0, ε)), ввиду
(2.3) и (2.4) получаем:
Mα(Γ(f(Cj), C(f, 0), f(D \ {0}))) 6 1
M
n−1
p−n+1
p (f(Θε))
, (2.17)
где Θε — семейство сфер S(0, ε), ε ∈ (0, lj). С другой стороны, из
леммы 2.2 и условия расходимости интеграла (2.13) вытекает, что
M
n−1
p−n+1
p (f(Θε)) = ∞. В таком случае, из (2.17) следует, что
Mα(Γ(C(f, 0), f(Cj), f(D \ {0}))) = 0 . (2.18)
Заметим, что ввиду предложения 2.1 и полуаддитивности модуля
смейств кривых (см. [25, разд. 6, гл. I]), при j → ∞ из (2.15) и (2.18)
вытекает, что
capα f(Ej) 6
6Mα(Γ(C(f, 0), f(Cj), f(D \ {0})))+ (2.19)
+Mα(Γ(C(f, ∂D), f(Cj), f(D \ {0}))) → 0 .
С другой стороны, заметим, что при сделанных ограничениях на p,
величина α также удовлетворяет условию n > α > n − 1. В таком
случае, по предложению 2.3 capαf(Ej) > δ > 0 при всех натуральных
j, что противоречит (2.19). Лемма доказана.
Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов, Е. А. Петров 339
Доказательство теоремы 1.1. По лемме 2.3 отображение f в каждой
точке x0 ∈ D является нижним Q-отображением относительно p-
модуля в каждой точке x0 ∈ D при Q(x) = N(f,D) · K
p−n+1
n−1
I,α (x, f),
α := p
p−n+1 (т.е., p = α(n−1)
α−1 ), где внутренняя дилатация KI,α(x, f)
отображения f в точке x порядка α определена соотношением (1.1),
а кратность N(f,D) определена вторым соотношением в (2.5). Заме-
тим, что, поскольку α ∈ (n − 1, n], то также p ∈
[
n, n+ 1
n−2
)
. Тогда
необходимое заключение вытекает из леммы 2.4, а также того факта,
что максимальная кратность N(f,D) замкнутого открытого дискре-
тного отображения f конечна (см., напр., [26, лемма 3.3]).
Теперь отдельно исследуем случай n = 2. Для этой цели напом-
ним, что отображение f : D → Rn называется кольцевым Q-отобра-
жением в точке x0 ∈ D (см. [2, 3]), если соотношение
M (f (Γ (S1, S2, A))) 6
∫
A
Q(x) · ηn(|x− x0|) dm(x)
выполнено для любого кольца A = A(r1, r2, x0), 0 < r1 < r2 < r0 :=
dist (x0, ∂D), и для каждой измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞]
такой, что
r2∫
r1
η(r)dr > 1. Отметим, что кольцевые Q-гомеоморфизмы
продолжаются по непрерывности в изолированные граничные точки,
причём продолженное отображение также является гомеоморфизмом
(см. [27, лемма 4 и теорема 4]).
Доказательство теоремы 1.2. Пусть f — отображение из условия
теоремы, тогда, в частности, f ∈ W 1,1
loc , f — конечного искажения в
D \ {z0}, кроме того, f дискретно и открыто. Тогда согласно пред-
ставлению Стоилова [28, п. 5 (III), гл. V], f = φ◦g, где g — некоторый
гомеоморфизм, а φ — аналитическая функция. Заметим, что тогда
также g ∈W 1,1
loc и, кроме того, g имеет конечное искажение.
Действительно, множество точек ветвления Bφ ⊂ g(D\{z0}) фун-
кции φ состоит только из изолированных точек (см. [28, пункты 5 и
6 (II), гл. V]). Следовательно, g(z) = φ−1 ◦f локально, вне множества
g−1 (Bφ) . Ясно, что множество g−1 (Bφ) также состоит из изолиро-
ванных точек, следовательно, g ∈ ACL(D \ {z0}) как композиция
аналитической функции φ−1 и отображения f ∈W 1,1
loc (D \ {z0}).
Покажем, что g ∈ W 1,1
loc (D \ {z0}). Для этой цели, поскольку g ∈
ACL(D \ {z0}), нам достаточно показать, что |∂g| ∈ L1
loc(D \ {z0})
и |∂g| ∈ L1
loc(D \ {z0}) (см. [21, теоремы 1 и 2, п. 1.1.3]). Пусть да-
лее µf (z) означает комплексную дилатацию функции f(z), а µg(z) —
340Об устранении особенностей классов Орлича–Соболева
комплексную дилатацию g. Согласно [11, (1), п. C, гл. I] для почти
всех z ∈ D \ {z0} получаем:
fz = φz(g(z))gz, fz = φz(g(z))gz , (2.20)
µf (z) = µg(z) =: µ(z), Kµf (z) = Kµg(z) := Kµ(z) = 1+|µ|
|1−|µ|| . Таким
образом, Kµ(z) ∈ L1
loc(D\{z0}). Поскольку f — конечного искажения,
из (2.20) немедленно следует, что g также конечного искажения и при
почти всех z ∈ D \ {z0} выполнены соотношения |∂g| 6 |∂g| + |∂g| =
K
1/2
µ (z)(|J(f, z)|)1/2, откуда по неравенству Гёльдера |∂g| ∈ L1
loc(D \
{z0}) и |∂g| ∈ L1
loc(D \ {z0}). Следовательно, g ∈ W 1,1
loc (D \ {z0}) и g
имеет конечное искажение.
В таком случае, g продолжается до гомеоморфизма g : D → C
ввиду [27, лемма 4 и теорема 4]. Тогда φ продолжается по непре-
рывности в точку g(z0) области g(D) ввиду классической теоремы
Пикара, что и доказывает теорему.
3. Некоторые следствия и замечания
Ещё один важный результат, относящийся к устранению особен-
ностей классов Орлича–Соболева, касается функций конечного сре-
днего колебания (см. [2] и [29]).
В дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное ут-
верждение (см., напр., [2, лемма 7.4, гл. 7] и [30, лемма 2.2]) при p = n
и [31, лемма 2.2] при p ̸= n.
Предложение 3.1. Пусть x0 ∈ Rn, Q(x) — измеримая по Лебегу
функция, Q : Rn → [0,∞], Q ∈ L1
loc(Rn). Полагаем
A := A(r1, r2, x0) = {x ∈ Rn : r1 < |x− x0| < r2}
и η0(r) = 1
Ir
n−1
p−1 q
1
p−1
x0
(r)
, где I := I = I(x0, r1, r2) =
r2∫
r1
dr
r
n−1
p−1 q
1
p−1
x0
(r)
и
qx0(r) := 1
ωn−1rn−1
∫
|x−x0|=r
Q(x) dHn−1 — среднее интегральное значе-
ние функции Q над сферой S(x0, r). Тогда
ωn−1
Ip−1
=
∫
A
Q(x) ·ηp0(|x−x0|) dm(x) 6
∫
A
Q(x) ·ηp(|x−x0|) dm(x) (3.1)
для любой измеримой по Лебегу функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой,
что
r2∫
r1
η(r)dr = 1.
Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов, Е. А. Петров 341
Будем говорить, что локально интегрируемая функция φ : D →
R имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈ D, пишем φ ∈
FMO(x0), если
lim sup
ε→0
1
Ωnεn
∫
B(x0, ε)
|φ(x) − φε| dm(x) <∞ ,
где φε = 1
Ωnεn
∫
B(x0, ε)
φ(x) dm(x). Как известно, Ωnε
n = m(B(x0, ε)).
Имеет место следующая
Теорема 3.1. Пусть n > 3, D — ограниченная область в Rn, n−1 <
α 6 n, x0 ∈ D, тогда каждое открытое, дискретное и замкнутое
ограниченное отображение f : D \{x0} → Rn класса W 1,φ
loc (D \{x0}) с
конечным искажением такое, что C(f, x0) ∩ C(f, ∂D) = ∅, продол-
жается в точку x0 непрерывным образом до отображения f : D →
Rn, если выполнено условие (1.2) и, кроме того, найдётся функция
Q ∈ L1
loc(D), такая что KI,α(x, f) 6 Q(x) при почти всех x ∈ D и
Q ∈ FMO(x0).
Доказательство. Достаточно показать, что условие Q ∈ FMO(x0)
влечёт расходимость интеграла (1.3), поскольку в этому случае не-
обходимое заключение будет следовать из теоремы 1.1. Заметим, что
для функций класса FMO в точке x0∫
ε<|x|<e0
Q(x+ x0) dm(x)(
|x| log 1
|x|
)n = O
(
log log
1
ε
)
(3.2)
при ε → 0 и для некоторого e0 > 0, e0 6 dist (0, ∂D) . При ε0 <
r0 := dist (0, ∂D) полагаем ψ(t) := 1
(t log 1
t )
n/α , I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψ(t)dt >
log
log 1
ε
log 1
ε0
и η(t) := ψ(t)/I(ε, ε0). Заметим, что
ε0∫
ε
η(t)dt = 1, кроме того,
из соотношения (3.2) вытекает, что
1
Iα(ε, ε0)
∫
ε<|x|<ε0
Q(x+ x0) · ψα(|x|) dm(x) 6 C
(
log log
1
ε
)1−α
→ 0
(3.3)
при ε→ 0. Из соотношений (3.1) и (3.3) вытекает, что интеграл вида
(1.3) расходится, что и требовалось установить.
Следующее утверждение справедливо только при α ̸= n.
342Об устранении особенностей классов Орлича–Соболева
Теорема 3.2. Пусть n > 3, D — ограниченная область в Rn, α ∈
(n−1, n), x0 ∈ D, тогда каждое открытое, дискретное и замкнутое
ограниченное отображение f : D \{x0} → Rn класса W 1,φ
loc (D \{x0}) с
конечным искажением такое, что C(f, x0) ∩ C(f, ∂D) = ∅, продол-
жается в точку x0 непрерывным образом до отображения f : D →
Rn, если выполнено условие (1.2) и, кроме того, найдётся функция
Q ∈ L1
loc(D), такая что KI,α(x, f) 6 Q(x) при почти всех x ∈ D и
Q ∈ Lsloc(Rn) при некотором s > n
n−α .
Доказательство. Можно считать, что x0 = 0. Зафиксируем прои-
звольным образом 0 < ε0 < ∞ и положим G := B(0, ε0), ψ(t) := 1/t.
Заметим, что указанная функция ψ удовлетворяет неравенствам 0 <
I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψ(t)dt < ∞. Покажем также, что в этом случае выпол-
нено соотношение∫
A(ε,ε0,0)
Q(x) · ψα(|x|) dm(x) = o (Iα(ε, ε0)) . (3.4)
Применяя неравенство Гёльдера, будем иметь∫
ε<|x−b|<ε0
Q(x)
|x− b|α
dm(x)
6
∫
ε<|x−b|<ε0
1
|x− b|αq
dm(x)
1
q ∫
G
Qq
′
(x) dm(x)
1
q′
, (3.5)
где 1/q + 1/q′ = 1. Заметим, что первый интеграл в правой части
неравенства (3.5) может быть подсчитан непосредственно. Действи-
тельно, пусть для начала q′ = n
n−α (и, следовательно, q = n
α .) Ввиду
теоремы Фубини будем иметь:∫
ε<|x−b|<ε0
1
|x− b|αq
dm(x) = ωn−1
ε0∫
ε
dt
t
= ωn−1 log
ε0
ε
.
В обозначениях леммы 2.4 мы будем иметь, что при ε→ 0
1
Iα(ε, ε0)
∫
ε<|x−b|<ε0
Q(x)
|x− b|α
dm(x)
6 ω
α
n
n−1∥Q∥
L
n
n−α (G)
(
log
ε0
ε
)−α+α
n → 0 ,
Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов, Е. А. Петров 343
что влечёт выполнение соотношения (3.4).
Пусть теперь q′ > n
n−α (т.е., q = q′
q′−1). В этом случае
∫
ε<|x−b|<ε0
1
|x− b|αq
dm(x) = ωn−1
ε0∫
ε
t
n− αq′
q′−1
−1
dt
6 ωn−1
ε0∫
0
t
n− αq′
q′−1
−1
dt =
ωn−1
n− αq′
q′−1
ε
n− αq′
q′−1
0 ,
и, значит,
1
Iα(ε, ε0)
∫
ε<|x−b|<ε0
Q(x)
|x− b|α
dm(x)
6 ∥Q∥Lq′ (G)
(
ωn−1
n− αq′
q′−1
ε
n− αq′
q′−1
0
) 1
q (
log
ε0
ε
)−α
,
что также влечёт выполнение соотношения (3.4). Положим теперь
в (3.1) η(t) = ψ(t)/I(r1, r2). Тогда из (3.1) немедленно следует, что
r2∫
r1
dr
r
n−1
α−1 q
1
α−1
x0
(r)
→ ∞ при r1 → 0. В таком случае, заключение данной
теоремы вытекает из теоремы 1.1.
Теперь рассмотрим некоторые примеры. Заметим, прежде все-
го, что производная ∂f
∂e (x0) = lim
t→+0
f(x0+te)−f(x0)
t отображения f по
направлению e ∈ Sn−1 в точке его дифференцируемости x0 может
быть вычислена по правилу: ∂f∂e (x0) = f ′(x0)e. Таким образом, путём
прямого вычисления можно убедиться в справедливости следующего
утверждения.
Предложение 3.2. Пусть отображение f : B(0, p) → Rn имеет
вид
f(x) =
x
|x|
ρ(|x|) ,
где функция ρ(t) : (0, p) → R непрерывна и дифференцируема почти
всюду. Тогда f также дифференцируемо почти всюду, при этом, в
каждой точке x0 дифференцируемости отображения f в качестве
главных векторов ei1 , . . . , ein и ẽi1 , . . . , ẽin можно взять (n − 1) ли-
нейно независимых касательных векторов к сфере S(0, r) в точке x0,
где |x0| = r, и один ортогональный к ним вектор в указанной точке.
344Об устранении особенностей классов Орлича–Соболева
Соответствующие главные растяжения (называемые, соответ-
ственно, касательными растяжениями и радиальным растяжени-
ем) равны λτ (x0) := λi1(x0) = . . . = λin−1(x0) = ρ(r)
r и λr(x0) := λin =
ρ ′(r), соответственно.
Отметим, что для главных растяжений λik , k ∈ 1, 2, . . . , n, мы
намеренно использовали двойную индексацию, поскольку, как мы
условились выше, конечную последовательность λi, i ∈ 1, 2, . . . , n мы
предполагаем возрастающей по i : λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λn. Естествен-
но, что в фиксированной точке x0 радиальные растяжения λi1(x0) =
. . . = λin−1(x0) = ρ(r)
r могут быть не больше касательного растяжения
λin = ρ ′(r), и наоборот.
Следующее утверждение показывает, что в условиях теорем 1.1
и 3.1 требования на функцию Q нельзя, вообще говоря, заменить
условием Q ∈ Lp ни для какого (сколь угодно большого) p > 0 и
для любой неубывающей функции φ(t). Для простоты рассмотрим
случай, когда D = Bn, n > 3.
Теорема 3.3. Пусть φ : [0,∞) → [0,∞) — произвольная неубыва-
ющая функция. Для каждого p > 1 и n − 1 < β 6 n существуют
функция Q : Bn → [1,∞], Q(x) ∈ Lp(Bn) и равномерно ограничен-
ный гомеоморфизм g : Bn \ {0} → Rn, g ∈ W 1,φ
loc (Bn \ {0}), имеющий
конечное искажение, такой что KI,β(x, f) 6 Q(x), при этом, g не
продолжается по непрерывности в точку x0 = 0.
Доказательство. Рассмотрим следующий пример. Зафиксируем чи-
сла p > 1 и α ∈ (0, n/p(n− 1)) . Можно считать, что α < 1 в силу
произвольности выбора p. Зададим гомеоморфизм g : Bn \ {0} → Rn
следующим образом: g(x) = 1+|x|α
|x| · x. Заметим, что отображение g
переводит шар D = Bn в кольцо D ′ = B(0, 2)\Bn, при этом, C(g, 0) =
Sn−1 (отсюда вытекает, что g не имеет предела в нуле). Заметим, что
g ∈ C1(Bn \ {0}), в частности, g ∈W 1,1
loc .
Далее, в каждой точке x ∈ Bn \ {0} отображения g : Bn \ {0} →
Rn вычислим внутреннюю дилатацию отображения g в точке x по-
рядка β, воспользовавшись правилом (2.7). Поскольку g имеет вид
g(x) = x
|x|ρ(|x|), прямым подсчётом соответствующих производных
по направлению можно убедиться, что в качестве главных векторов
ei1 , . . . , ein и ẽi1 , . . . , ẽin можно взять (n − 1) линейно независимых
касательных векторов к сфере S(0, r) в точке x0, где |x0| = r, и
один ортогональный к ним вектор в указанной точке. Соответству-
ющие главные растяжения (называемые, соответственно, касатель-
ными растяжениями и радиальным растяжением) равны λτ (x0) :=
Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов, Е. А. Петров 345
λi1(x0) = . . . = λin−1(x0) = ρ(r)
r и λr(x0) := λin = ρ ′(r), соответствен-
но.
Согласно сказанному,
λτ (x) =
|x|α + 1
|x|
, λr(x) = α|x|α−1, l(g ′(x)) = α|x|α−1 ,
∥g ′(x)∥ =
|x|α + 1
|x|
, |J(x, g)| =
(
|x|α + 1
|x|
)n−1
· α|x|α−1
и KI,β(x, g) = c(α) · (1+|x|α)n−1
|x| (α−1)(β−1)+n−1 . Заметим, что если G — прои-
звольная компактная область в Bn \ {0}, то ∥g ′(x)∥ 6 c(G) < ∞,
кроме того, нетрудно видеть, что |∇g(x)| 6 n1/2 · ∥g ′(x)∥ при почти
всех x ∈ Bn \ {0}. Тогда ввиду неубывания функции φ выполнено:∫
G
φ(|∇g(x)|)dm(x) 6 φ(n1/2c(G)) · m(G) < ∞, т.е., g ∈ W 1,φ(G). За-
метим, что отображение g имеет конечное искажение, поскольку его
якобиан почти всюду не равен нулю; кроме того, KI,β(x, g) = c(α) ·
(1+|x|α)n−1
|x| (α−1)(β−1)+n−1 . Полагаем: Q = (1+|x|α)n−1
|x| (α−1)(β−1)+n−1 , тогда Q(x) 6 C
|x|α(n−1) .
Таким образом, получаем:∫
Bn
(Q(x))p dm(x) 6 Cp
∫
Bn
dm(x)
|x|pα(n−1)
= Cp
1∫
0
∫
S(0,r)
dA
|x|pα(n−1)
dr = ωn−1C
p
1∫
0
dr
r(n−1)(pα−1)
. (3.6)
Хорошо известно, что интеграл I :=
1∫
0
dr
rγ сходится при γ < 1. Та-
ким образом, интеграл в правой части соотношения (3.6) сходится,
поскольку показатель степени γ := (n − 1)(pα − 1) удовлетворяет
условию γ < 1 при α ∈ (0, n/p(n − 1)). Отсюда вытекает, что Q(x) ∈
Lp(Bn).
Следующее утверждение содержит в себе заключение о том, что
условие (1.3) является не только достаточным, но в некотором смысле
и необходимым условием возможности непрерывного продолжения
отображения в изолированную граничную точку.
Теорема 3.4. Пусть φ : [0,∞) → [0,∞) — произвольная неубыва-
ющая функция, и n − 1 < α 6 n и 0 < ε0 < 1. Для каждой изме-
римой по Лебегу функции Q : Bn → [1,∞], Q ∈ Lloc(Bn), такой,
346Об устранении особенностей классов Орлича–Соболева
что
ε0∫
0
dt
t
n−1
α−1 q
1
α−1
0 (t)
< ∞, найдётся ограниченное отображение f ∈
W 1,φ
loc (Bn \ {0}) с конечным искажением, которое не может быть
продолжено в точку x0 = 0 непрерывным образом, при этом, KI,α(x, f) 6
Q̃(x) п.в., где Q̃(x) — некоторая измеримая по Лебегу функция, та-
кая что
q̃0(r) :=
1
ωn−1rn−1
∫
S(0,r)
Q̃(x)dHn−1 = q0(r)
для почти всех r ∈ (0, 1).
Доказательство. Сначала рассмотрим случай α = n. Определим
отображение f : Bn \ {0} → Rn следующим образом: f(x) = x
|x|ρ(|x|),
где ρ(r) = exp
{
−
1∫
r
dt
tq
1/(n−1)
0 (t)
}
. Заметим, что f ∈ ACL и отобра-
жение f дифференцируемо почти всюду в Bn \ {0}. Ввиду техники,
изложенной перед формулировкой леммы 2.3,
∥f ′(x)∥ =
exp
{
−
1∫
|x|
dt
tq
1/(n−1)
0 (t)
}
|x|
, l(f ′(x)) =
exp
{
−
1∫
|x|
dt
tq
1/(n−1)
0 (t)
}
|x|q1/(n−1)
0 (|x|)
и |J(x, f)| =
exp
{
−n
1∫
|x|
dt
tq
1/(n−1)
0 (t)
}
|x|nq1/(n−1)
0 (|x|)
. Заметим, что J(x, f) ̸= 0 при почти
всех x, значит, f — отображение с конечным искажением. Кроме того,
отметим, что φ(|∇f(x)|) ∈ L1
loc(Bn \{0}), поскольку ∥f ′(x)∥ локально
ограничена в Bn\{0}, а φ — неубывающая функция. Путём непосред-
ственных вычислений убеждаемся, что KI(x, f) = q0(|x|). Полагаем
Q̃(x) := q0(|x|), тогда будем иметь, что q̃0(r) = q0(r) для почти всех
r ∈ (0, 1). Наконец, заметим, что отображение f не продолжается по
непрерывности в точку x0 = 0 ввиду условия
ε0∫
0
dt
tq
1
n−1
0 (t)
<∞.
Теперь рассмотрим случай α ∈ (n−1, n). Определим отображение
f : Bn \ {0} → Rn следующим образом: f(x) = x
|x|ρ(|x|), где
ρ(x) =
1 +
n− α
α− 1
1∫
|x|
dt
t
n−1
α−1 q
1
α−1
0 (t)
α−1
α−n
.
Заметим, что f ∈ ACL и отображение f дифференцируемо почти
всюду в Bn \ {0}. Ввиду техники, изложенной перед формулировкой
Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов, Е. А. Петров 347
леммы 2.3,
∥f ′(x)∥ =
1 +
n− α
α− 1
1∫
|x|
dt
t
n−1
α−1 q
1
α−1
0 (t)
α−1
α−n
· 1
|x|
,
l(f ′(x)) =
1 +
n− α
α− 1
1∫
|x|
dt
t
n−1
α−1 q
1
α−1
0 (t)
n−1
α−n
· 1
|x|
n−1
α−1 q
1
α−1
0 (|x|)
и
J(x, f) =
1 +
n− α
α− 1
1∫
|x|
dt
t
n−1
α−1 q
1
α−1
0 (t)
(n−1)α
α−n
· 1
|x|n−1+n−1
α−1 q
1
α−1
0 (|x|)
.
Заметим, что J(x, f) ̸= 0 при почти всех x, значит, f — отображе-
ние с конечным искажением. Кроме того, отметим, что φ(|∇f(x)|) ∈
L1
loc(Bn \ {0}), поскольку ∥f ′(x)∥ локально ограничена в Bn \ {0}, а φ
– неубывающая функция. Путём непосредственных вычислений убе-
ждаемся, чтоKI(x, f) = q0(|x|).Полагаем Q̃(x) := q0(|x|), тогда будем
иметь, что q̃0(r) = q0(r) для почти всех r ∈ (0, 1). Наконец, заметим,
что отображение f не продолжается по непрерывности в точку x0 = 0
ввиду условия
ε0∫
0
dt
t
n−1
α−1 q
1
α−1
0 (t)
<∞.
Литература
[1] T. Iwaniec, G. Martin, Geometrical Function Theory and Non-Linear Analysis,
Oxford, Clarendon Press, 2001.
[2] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in Modern Mapping
Theory, New York: Springer Science + Business Media, LLC, 2009.
[3] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Mappings with finite length
distortion // J. d’Anal. Math., 93 (2004), 215–236.
[4] V. Ya. Gutlyanskii, V. I. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, The Beltrami Equati-
on: A Geometric Approach, Developments in Mathematics, vol. 26., New York
etc.: Springer, 2012.
[5] V.Ya. Gutlyanskĭi, A. Golberg, On Lipschitz continuity of quasiconformal mappi-
ngs in space // J. d’ Anal. Math., 109 (2009), 233–251.
[6] A. Golberg, R. Salimov, Topological mappings of integrally bounded p-moduli //
Ann. Univ. Buchar. Math. Ser., 3(LXI) (2012), No. 1, 49–66.
[7] Р.Р. Салимов, О кольцевых Q-отображениях относительно неконформного
модуля // Дальневост. матем. журн., 14 (2014), No. 2, 257–269.
348Об устранении особенностей классов Орлича–Соболева
[8] M. Vuorinen, Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in
n-space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1. Math. Dissertationes, 11 (1976), 1–44.
[9] Д.А. Ковтонюк, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов, К теории
классов Орлича–Соболева // Алгебра и анализ, 25 (2013), No. 6, 50–102.
[10] A.P. Calderon, On the differentiability of absolutely continuous functions, Riv.
Math. Univ. Parma, 2 (1951), 203–213.
[11] Л. Альфорс, Лекции по квазиконформным отображениям, Москва, Мир,
1969.
[12] B. Fuglede, Extremal length and functional completion // Acta Math., 98 (1957),
171–219.
[13] F.W. Gehring, Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer.
Math. Soc., 103 (1962), 353–393.
[14] S. Rickman, Quasiregular mappings, Results in Mathematic and Related Areas
(3), 26, Berlin, Springer-Verlag, 1993.
[15] W.P. Ziemer, Extremal length and conformal capacity // Trans. Amer. Math.
Soc., 126 (1967), No. 3, 460–473.
[16] W.P. Ziemer, Extremal length and p-capacity // Michigan Math. J., 16 (1969),
43–51.
[17] В.А. Шлык, О равенстве p-емкости и p-модуля // Сиб. матем. журн., 34
(1993), No. 6, 216–221.
[18] Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Москва, Наука, 1987.
[19] Ю.Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным искаже-
нием, Новосибирск, Наука, 1982.
[20] D. Kovtonuyk,V. Ryazanov, New modulus estimates in Orlicz-Sobolev classes //
Annals of the University of Bucharest (mathematical series), 5(LXIII) (2014),
131–135.
[21] В.Г. Мазья, Пространства Соболева, Ленинград, Издательство ленинград-
ского университета, 1985.
[22] O. Martio, S. Rickman, Väisälä J., Distortion and singularities of quasiregular
mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1, 465 (1970), 1–13.
[23] Е.А. Севостьянов, О некоторых свойствах обобщённых квазиизометрий с
неограниченной характеристикой // Укр. матем. ж., 63 (2011), No. 3, 385–
398.
[24] Д.А. Ковтонюк, В.И. Рязанов, К теории нижних Q-гомеоморфизмов // Укр.
матем. вестник, 5 (2008), No. 2, 159–184.
[25] J. Väisälä, Lectures on n–Dimensional Quasiconformal Mappings, Lecture Notes
in Math., 229, Springer–Verlag, Berlin etc., 1971.
[26] O. Martio, U. Srebro, Periodic quasimeromorphic mappings // J. Analyse Math.,
28 (1975), 20–40.
[27] Т.В. Ломако, О распространении некоторых обобщений квазиконформных
отображений на границу // Укр. матем. ж., 61 (2009), No. 10, 1329–1337.
[28] С. Стоилов, Лекции о топологических принципах теории аналитических
функций, Москва, Наука, 1964.
[29] А. Игнатьев,В. Рязанов, Конечное среднее колебание в теории отображе-
ний // Укр. матем. вестник, 2 (2005), No. 3, 395–417.
Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов, Е. А. Петров 349
[30] В.И. Рязанов, Е.А. Севостьянов, Равностепенно непрерывные классы коль-
цевых Q-гомеоморфизмов // Сиб. матем. ж., 48 (2007), No. 6, 1361–1376.
[31] Р.Р. Салимов, Об оценке меры образа шара // Сиб. матем. журн., 53 (2012),
No. 4, 920–930.
Сведения об авторах
Евгений
Александрович
Севостьянов
Житомирский государственный
университет имени Ивана Франко,
Житомир, Украина
E-Mail: esevostyanov2009@mail.ru
Руслан Радикович
Салимов
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: ruslan623@yandex.ru
Евгений
Александрович
Петров
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины,
Славянск, Украина
E-Mail: eugeniy.petrov@gmail.com
|