Задача о тени для шаров фиксированного радиуса
Главная цель работы — решение задачи о тени для шаров фиксированного радиуса в n-мерном евклидовом пространстве. Широкий спектр таких задач исследовался в работах одного из авторов и его учеников. Эту задачу можно рассматривать как нахождение минимальных условий обеспечивающих принадлежность точки о...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2016 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145091 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача о тени для шаров фиксированного радиуса / Ю.Б. Зелинский, И.Ю. Выговская, Х.К. Дакхил // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 4. — С. 599-603. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-145091 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Зелинский, Ю.Б. Выговская, И.Ю. Дакхил, Х.К. 2019-01-14T20:41:09Z 2019-01-14T20:41:09Z 2016 Задача о тени для шаров фиксированного радиуса / Ю.Б. Зелинский, И.Ю. Выговская, Х.К. Дакхил // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 4. — С. 599-603. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 52A01, 52A30, 26B25. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145091 Главная цель работы — решение задачи о тени для шаров фиксированного радиуса в n-мерном евклидовом пространстве. Широкий спектр таких задач исследовался в работах одного из авторов и его учеников. Эту задачу можно рассматривать как нахождение минимальных условий обеспечивающих принадлежность точки обобщенно выпуклой оболочке семейства шаров фиксированного радиуса. Our main purpose is the solution of the problem of shadow for a family of balls with fixed radius in the n-dimensional Euclidean space. Many similar problems were studied in the works of one of the authors and his disciples. This problem can be considered as the establishment of minimal conditions to ensure the membership of a point to the generalized convex hull of a family of balls with fixed radius. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Задача о тени для шаров фиксированного радиуса The problem of shadow for balls with fixed radius Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Задача о тени для шаров фиксированного радиуса |
| spellingShingle |
Задача о тени для шаров фиксированного радиуса Зелинский, Ю.Б. Выговская, И.Ю. Дакхил, Х.К. |
| title_short |
Задача о тени для шаров фиксированного радиуса |
| title_full |
Задача о тени для шаров фиксированного радиуса |
| title_fullStr |
Задача о тени для шаров фиксированного радиуса |
| title_full_unstemmed |
Задача о тени для шаров фиксированного радиуса |
| title_sort |
задача о тени для шаров фиксированного радиуса |
| author |
Зелинский, Ю.Б. Выговская, И.Ю. Дакхил, Х.К. |
| author_facet |
Зелинский, Ю.Б. Выговская, И.Ю. Дакхил, Х.К. |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
The problem of shadow for balls with fixed radius |
| description |
Главная цель работы — решение задачи о тени для шаров фиксированного радиуса в n-мерном евклидовом пространстве. Широкий спектр таких задач исследовался в работах одного из авторов и его учеников. Эту задачу можно рассматривать как нахождение минимальных условий обеспечивающих принадлежность точки обобщенно выпуклой оболочке семейства шаров фиксированного радиуса.
Our main purpose is the solution of the problem of shadow for a family of balls with fixed radius in the n-dimensional Euclidean space. Many similar problems were studied in the works of one of the authors and his disciples. This problem can be considered as the establishment of minimal conditions to ensure the membership of a point to the generalized convex hull of a family of balls with fixed radius.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145091 |
| citation_txt |
Задача о тени для шаров фиксированного радиуса / Ю.Б. Зелинский, И.Ю. Выговская, Х.К. Дакхил // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 4. — С. 599-603. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zelinskiiûb zadačaotenidlâšarovfiksirovannogoradiusa AT vygovskaâiû zadačaotenidlâšarovfiksirovannogoradiusa AT dakhilhk zadačaotenidlâšarovfiksirovannogoradiusa AT zelinskiiûb theproblemofshadowforballswithfixedradius AT vygovskaâiû theproblemofshadowforballswithfixedradius AT dakhilhk theproblemofshadowforballswithfixedradius |
| first_indexed |
2025-11-24T16:08:20Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:08:20Z |
| _version_ |
1850850831307374592 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 13 (2016), № 4, 599 – 602
Задача о тени для шаров
фиксированного радиуса
Юрий Б. Зелинский, Ирина Ю.Выговская,
Хайджаа К. Дакхил
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. Главная цель работы — решение задачи о тени для
шаров фиксированного радиуса в n-мерном евклидовом пространс-
тве. Широкий спектр таких задач исследовался в работах одного из
авторов и его учеников. Эту задачу можно рассматривать как на-
хождение минимальных условий обеспечивающих принадлежность
точки обобщенно выпуклой оболочке семейства шаров фиксирован-
ного радиуса.
2010 MSC. 52A01, 52A30, 26B25.
Ключевые слова и фразы. Евклидово пространство, сфера, шар,
симплекс, многогранник, обобщенная выпуклость.
Рассмотрим в n-мерном евклидовом пространстве задачу о тени
для шаров одинакового радиуса.
Задача. Какое минимальное число попарно непересекающихся за-
мкнутых (открытых) шаров одинакового радиуса в n-мерном веще-
ственном евклидовом пространстве Rn с центрами на сфере Sn−1 и
радиуса меньшего от (не превышающего) радиуса сферы достаточно
чтобы любая прямая, проходящая через центр сферы, пересекала хо-
тя бы один из этих шаров?
Впервые аналогичная задача рассмотрена Г. Худайбергановым
[1,2]. Полностью эта задача для шаров разного радиуса решена в [3].
Различные близкие проблемы исследовались на протяжении после-
дних двух лет в работах первого автора и его учеников [4–9]. Рассма-
триваемая здесь задача формулировалась в списке открытых про-
блем на конференциях: XI Международная математическая летняя
Статья поступила в редакцию 07.12.2016
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
600 Задача о тени для шаров фиксированного радиуса
школа “Алгебра, Топология, Анализ” 1–14.08.2016 г. в Одессе и “Сов-
ременные достижения в геометрии и топологии” 12–16.09.2016 г. в
Харькове [10].
Пример 1. Впишем в сферу n-мерный правильный симплекс и в ка-
ждой его вершине разместим замкнутые шары радиуса равного по-
ловине ребра симплекса. Шары попарно касаются в средних точках
ребер симплекса. Легко проверить вычислениями, что произвольная
прямая, проходящая через центр сферы, пересекает, по крайней ме-
ре, один из этих шаров. Если же мы будем размещать в вершинах
симплекса открытые шары, то прямые, проходящие через центр сфе-
ры и средины ребер симплекса (точки касания шаров), с открытыми
шарами пересекаться не будут.
Отсюда получим следующее утверждение.
Теорема 1. n + 1-го замкнутого шара одинакового радиуса в про-
странстве Rn с центрами на сфере Sn−1 достаточно для создания
тени в центре сферы, если шары могут касаться друг друга.
Исследуем возможность решить задачу о тени для семейства от-
крытых шаров равного радиуса или семейства замкнутых попарно
не касающихся замкнутых шаров. Дальше через A обозначаем за-
мыкание множества A, а если A ⊂ S2, то через A∗ обозначим антип-
одальное к A множество (симметричное относительно центра сферы
к множеству A).
Покажем сначала, что четырех открытых шаров одинакового ра-
диуса в пространстве R3 с центрами на сфере S2 недостаточно для
создания тени в центре сферы. Предположим, что существует семей-
ство из четырех шаров решающих задачу. Выберем произвольную
пару шаров. В силу равного их радиуса существует двумерная пло-
скость L1, проходящая через центр сферы, которая разделяет эту
пару шаров. Аналогично для другой пары шаров существует двумер-
ная плоскость L2, проходящая через центр сферы, которая разделяет
вторую пару шаров. Пересечением плоскостей L1 и L2 будет прямая
l, проходящая через центр сферы и не пересекающая ни одного шара.
Отсюда в частности получается, что четырех замкнутых шаров ра-
диуса меньшего, чем
√
2/3 (половина ребра тетраэдра) недостаточно
для создания тени в центре сферы.
Теперь предположим, что существует набор из m > 4 замкнутых
шаров Bi одинакового радиуса в пространстве с центрами на сфе-
ре S2, который обеспечивает тень в центре сферы. Пусть сначала
существуют три шара, которые попарно касаются друг друга. Они
Ю. Б. Зелинский, И. Ю. Выговская, Х. К. Дакхил 601
вырезают на сфере открытый криволинейный треугольник σ, не по-
крытый шарами. Через ортоцентр этого треугольника проходит луч
из центра сферы, который не пересекает ни одного из шаров набо-
ра. Следовательно, чтобы прямая, содержащая этот луч, пересекала
один из шаров набора, антиподальный треугольник σ∗ должен быть
покрытым одним из шаров набора. Если же шары попарно не ка-
саются, то между ними существует область D большая от криволи-
нейного треугольника σ, не покрытая шарами. Антиподальную к ней
открытую область D∗ невозможно покрыть одним замкнутым шаром
или набором касающихся шаров. Поэтому, если искомый набор шаров
существует, то соседние шары должны попарно касаться и множество
S2\
m∪
i=l
Bi состоит из одинаковых открытых криволинейных попарно
непересекающихся треугольников. Антиподальная точка к ортоцен-
тру каждого из таких треугольников в силу симметрии должна быть
центром одного из шаров семейства. Поэтому центры шаров должны
быть вершинами правильного многогранника вписанного в сферу с
гранями из треугольников, причем на каждой прямой, проходящей
через центр сферы может находиться не более одной вершины мно-
гогранника. Но таких правильных многогранников кроме тетраэдра
не существует. Аналогично сводится к противоречию ситуация с на-
бором открытых шаров. Отсюда получаем следующие утверждения.
Теорема 2. Не существует набора открытых попарно непересека-
ющихся шаров равного радиуса в трехмерном вещественном евкли-
довом пространстве R3 с центрами на сфере S2 и радиуса, не пре-
вышающего радиуса сферы такого, что любая прямая, проходящая
через центр сферы, пересекала бы хотя один из этих шаров.
Теорема 3. Не существует набора из m > 4 попарно непересека-
ющихся (или касающихся) замкнутых шаров Bi шаров равного ра-
диуса в трехмерном вещественном евклидовом пространстве R3 с
центрами на сфере S2 и радиуса меньшего от радиуса сферы такого,
что любая прямая, проходящая через центр сферы, пересекала бы
хотя один из этих шаров.
Исследуем аналогичную ситуацию в случае, когда центры набора
шаров не привязаны к сфере.
Пример 2. Рассмотрим в четыре открытых шара B1, B2, B3,
B4 единичного радиуса c центрами в точках (0, 0, 1), (
√
3, 0, 0),
(−
√
3/2, 3/2, 0), (−
√
3/2,−3/2, 0) соответственно. Легко убедиться,
что произвольная прямая, проходящая через начало координат, пере-
секает, по крайней мере, один из этих шаров. Здесь шар B1 касается
602 Задача о тени для шаров фиксированного радиуса
остальных трех шаров. В силу непрерывности, существует ε > 0 та-
кое, что при смещении центра шара B1 в точку (0, 0, 1 + ε) все шары
уже попарно не касаются, но произвольная прямая, проходящая че-
рез начало координат, будет пересекать, по крайней мере, один из
замкнутых шаров B1, B2, B3, B4.
Отсюда получаем следующее утверждение.
Теорема 4. Четырех попарно непересекающихся замкнутых (от-
крытых) шаров одинакового радиуса в пространстве R3 достаточно
для создания тени в фиксированной точке.
Литература
[1] Г. Худайберганов, Об однородно-полиномиально выпуклой оболочке объедине-
ния шаров // Рукопись деп. в ВИНИТИ 21.02.1982 г., № 1772–85 Деп.
[2] Ю. Б. Зелинский, Выпуклость. Избранные главы, Працi Iнституту матема-
тики НАНУ, 92, 2012.
[3] Ю. Б. Зелинский, И. Ю. Выговская, М. В. Стефанчук, Обобщённо выпуклые
множества и задача о тени // Укр. матем. журн., 67 (2015), No. 12, 1659–
1666.
[4] Ю. Б. Зелинский, Задача о тени для семейства множеств // Збiрник праць
Iнституту математики НАНУ, 12 (2015), No. 4, 197–204.
[5] М. В. Ткачук, Т. М. Осипчук, Задача о тени для эллипсоида вращения //
Збiрник праць Iнституту математики НАНУ, 12 (2015), No. 3, 243–250.
[6] Ю. Б. Зелiнський, М. В. Стефанчук, Узагальнення задачi про тiнь // Укр.
матем. журн., 68 (2016), No. 6, 657–662.
[7] Yu. B. Zelinskii, Generalized Convex Envelopes of Sets and the Problem of
Shadow // Journal of Mathematical Sciences, 211 (2015), No. 5, 710–717.
[8] Yu. B. Zelinskii, Problem of shadow (complex case) // Advances in Mathematics:
Scientific Journal, 5 (2016), No. 1, 1–5.
[9] Yu. B. Zelinskii, The problem of the shadows // Bulletin de la societé des sci. et
letters de Lódź. Sér. Rech. Déform., 66 (2016), No. 1, 34–42.
[10] Yu. B. Zelinskii, Open topological and geometrical problems in analysis //
https://www.academia.edu/29063888/Open_topological_and_geometrical_prob-
lems_in_analysis.
Сведения об авторах
Юрий Борисович
Зелинский
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: zel@imath.kiev.ua
Ю. Б. Зелинский, И. Ю. Выговская, Х. К. Дакхил 603
Ирина Юрьевна
Выговская
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: vkirinata@gmail.com
Хайджаа
Кхудхаир Дакхил
КГУ им. Т.Г. Шевченка,
Киев, Украина
E-Mail: moonm5385@gmail.com
|