Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля
Ряд задач автоматического управления, в частности, синхронизация траекторий, задача слежения (tracking) связаны с синтезом алгоритмов управления динамическими системами, которые представляют собой совокупность связанных между собой активных подсистем. В работе рассмотрена задача синхронизации колеба...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145111 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля / Н.В. Жоголева, В.Ф. Щербак // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2017. — Т. 31. — С. 71-80. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860176129963327488 |
|---|---|
| author | Жоголева, Н.В. Щербак, В.Ф. |
| author_facet | Жоголева, Н.В. Щербак, В.Ф. |
| citation_txt | Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля / Н.В. Жоголева, В.Ф. Щербак // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2017. — Т. 31. — С. 71-80. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| description | Ряд задач автоматического управления, в частности, синхронизация траекторий, задача слежения (tracking) связаны с синтезом алгоритмов управления динамическими системами, которые представляют собой совокупность связанных между собой активных подсистем. В работе рассмотрена задача синхронизации колебаний для двух осцилляторов Ван дер Поля, связанных линейной упругой связью. Предполагается, что одна из подсистем зависит от внешнего управляющего воздействия. Приведено решение задачи в виде обратной связи по состоянию. Во многих практических приложениях теории управления полный вектор состояния системы неизвестен, а измерению доступны лишь некоторые функции переменных состояния - выходы системы. Поэтому основная цель работы – изучить возможность решения исходной задачи с помощью управления, в котором состояние системы заменено на его оценку, полученную с помощью наблюдателя. Построен нелинейный наблюдатель, гарантирующий получение экспоненциальных оценок неизвестных компонент фазового вектора. Показано, что исходное управление совместно с уравнениями наблюдателя решает задачу синхронизации.
В роботi розглянуто задачу синхронiзацiї коливань для двох осциляторiв Ван дер Поля, пов’язаних лiнiйним пружнiм зв’язком.
In this paper, the oscillation synchronization problem is considered for two Van der Pol oscillators coupled by a linear elastic connection.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:00:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Працi IПММ НАН України. 2017. Том 31
УДК 531.38
c⃝2017. Н. В. Жоголева, В. Ф. Щербак
СИНХРОНИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ
ОСЦИЛЛЯТОРОВ ВАН ДЕР ПОЛЯ
Ряд задач автоматического управления, в частности, синхронизация траекторий, задача слеже-
ния (tracking) связаны с синтезом алгоритмов управления динамическими системами, которые
представляют собой совокупность связанных между собой активных подсистем. В работе рас-
смотрена задача синхронизации колебаний для двух осцилляторов Ван дер Поля, связанных
линейной упругой связью. Предполагается, что одна из подсистем зависит от внешнего управля-
ющего воздействия. Приведено решение задачи в виде обратной связи по состоянию. Во многих
практических приложениях теории управления полный вектор состояния системы неизвестен, а
измерению доступны лишь некоторые функции переменных состояния - выходы системы. Поэто-
му основная цель работы – изучить возможность решения исходной задачи с помощью управле-
ния, в котором состояние системы заменено на его оценку, полученную с помощью наблюдателя.
Построен нелинейный наблюдатель, гарантирующий получение экспоненциальных оценок неиз-
вестных компонент фазового вектора. Показано, что исходное управление совместно с уравнени-
ями наблюдателя решает задачу синхронизации.
MSC: 34A60, 34D20, 34N05.
Ключевые слова: синхронизация, нелинейный наблюдатель, инвариантные соотношения, ос-
циллятор Ван дер Поля.
1. Введение.
В данной статье изучается возможность использования принципа разделения
[1] в задаче синхронизации колебаний двух неидентичных осцилляторов Ван дер
Поля. Рассматривается ведуще–ведомая (master–slave) схема соединения осцилля-
торов. Предполагается, что ведомая подсистема зависит от внешнего управляюще-
го воздействия, осцилляторы связаны посредством линейной упругой связи, кроме
того фазовый вектор известен не полностью. Такого рода системы во многих прак-
тических приложениях физики, биологии используются в качестве приближенной
модели нелинейных циклических процессов, имеющих, вне зависимости от началь-
ных условий, устойчивый предельный цикл [2]. В частности [3–5], определение
характеристик и синхронизация колебаний для таких систем по результатам из-
мерения выходных сигналов в реальном масштабе времени является актуальной
проблемой многих медико-биологических исследований. Нелинейный наблюдатель
определения асимптотических оценок состояния и идентификатор параметров для
системы связанных осцилляторов Ван дер Поля предложены в работе [6].
В начале статьи сформулирована задача синхронизации для рассматриваемой
системы и приведено ее решение в виде обратной связи по состоянию. Целью ра-
боты является поиск синхронизирующего управления в виде обратной связи по
оценке состояния. Такая постановка актуальна, поскольку во многих практиче-
ских приложениях теории управления типичной является ситуация, когда пол-
71
Н. В. Жоголева, В. Ф. Щербак
ный вектор состояния системы неизвестен, а измерению доступны лишь некоторые
функции переменных состояния – выходы системы. В этом случае можно попы-
таться использовать управление, которое получается из обратной связи заменой
состояния системы на его оценку, полученную с помощью построение наблюдате-
ля – специальной динамической системы, состояние которой с течением времени
приближается (асимптотически или экспоненциально) к состоянию исходной си-
стемы. Возникает вопрос о том, будет ли полученное таким образом управление
в виде обратной связи по оценке состояния решением исходной задачи. В теории
управления, в частности в задаче стабилизации динамических систем, подобные
вопросы составляет содержание известного принципа разделения [1].
В работе для решения задачи наблюдения использован аппарат метода инвари-
антных соотношений, который разработан в аналитической механике для поиска
точных решений задач динамики твердого тела [7]. Сама схема синтеза вспомо-
гательных инвариантных соотношений для построения нелинейного наблюдателя
описана в [8]. В соответствии с этим способом для рассматриваемой системы по-
строен некоторый аналог нелинейного наблюдателя, который обеспечивает получе-
ние экспоненциальных оценок фазового вектора. Установлено, что использование
в управлении вместо состояния системы его оценки при одновременном решении
задач наблюдения и синхронизации приводит к локальному решению рассматри-
ваемой задачи.
2. Синхронизации движения осцилляторов Ван дер Поля.
Рассмотрим уравнения движения двух осцилляторов Ван дер Поля, связанных
линейной упругой связью, при этом один из них является управляемым
ẋ1 = x2, ẋ2 = −ω1
2x1 + µ1(1− x21)x2 + α(x1 − x3),
ẋ3 = x4, ẋ4 = −ω2
2x3 + µ2(1− x23)x4 + β(x1 − x3) + u.
(1)
Здесь u – управление, переменные x1, x3 обозначают отклонения осцилляторов
от положения равновесия x1 = x3 = 0 в отсутствии управления, x2, x4 – соответ-
ствующие скорости этих отклонений, коэффициенты µ1, µ2 характеризует демпфи-
рование. Случай µ1 = µ2 = 0 соответствует колебаниям без трения двух связанных
гармонических осцилляторов с собственными частотами ω1, ω2, соответственно.
Системы вида (1) возникают во многих физических, медико-биологических
и других прикладных исследованиях в качестве упрощенной динамической моде-
ли сложных колебаний, имеющих предельный цикл. Различают модели с одно-
направленной связью, когда один из параметров α или β равен нулю, и модели,
учитывающие взаимное влияние активных подсистем. Если упругая связь являет-
ся механической, то выполняться равенство α = −β.
Предполагается, что выход системы (1) задан функциями
y1 = x1, y2 = x3, (2)
72
Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля
т.е. значения отклонений x1(t), x3(t) в процессе движения известны как функции
времени. Кроме того, будем считать, что колебания при используемом далее управ-
лении происходят в некоторой ограниченной области D фазового пространства
D = {(x1, x2, x3, x4) : x21 + x22 + x23 + x24 ≤M2} ⊆ R4.
Рассмотрим задачу управляемой синхронизации движений подсистем системы
(1) по известной информации. В качестве таковой будем использовать функции (2),
а также любые значения выражений, полученных с использований только лишь
значений функций выхода. В частности, далее будем считать известными решения
задачи Коши для любой систем дифференциальных уравнений
ż = F (z, y1, y2), z(0) = z0 ∈ Rn, (3)
которые ограничены и определены для t ∈ [0,∞).
Задача 1. Найти закон управления u(z(t), x1(t), x3(t)), при котором решения
подсистем системы (1) асимптотически стремятся друг к другу, т.е.
lim
t→∞
(x1(t)− x3(t)) = 0, lim
t→∞
(x2(t)− x4(t)) = 0.
Введем обозначения для отклонений соответствующих компонент фазовых век-
торов каждого из осцилляторов
e1(t) = x1(t)− x3(t), e2(t) = x2(t)− x4(t).
Отметим, что величина e1(t) является известной функцией времени, поэтому она
может быть использована как аргумент при синтезе закона управления, в отличие
от переменной e2(t), значения которой неизвестны.
Перейдем от переменных x3, x4 к переменным e1, e2. С учетом сделанных обо-
значений уравнения (1) могут быть переписаны в виде
ẋ1 = x2, ẋ2 = R11 +R12x2,
ė1 = e2, ė2 = R21 +R22x2 +R23e2 − u,
(4)
коэффициенты которой зависят от известных величин x1(t), x3(t):
R11 = −ω1
2x1 + αe1, R12 = µ1(1− x21), R21 = µ1(1− x21)− µ2(1− x23),
R22 = ω2
2x1 − ω1
2x3 + (α− β)e1, R23 = µ2(1− x23).
(5)
Для решения задачи 1 достаточно синтезировать управление u, обеспечиваю-
щее асимптотическое стремление к нулю отклонений e1(t), e2(t). Если бы все ком-
поненты фазового вектора системы (1) были известными, то таким управлением,
в частности, могло бы быть выражение
u = R21 +R22x2 +R23e2 − γ1e1 − γ2e2, (6)
73
Н. В. Жоголева, В. Ф. Щербак
где γ1, γ2 – некоторые постоянные.
Действительно, в этом случае подсистема системы (4), описывающий откло-
нение траекторий осцилляторов, становится системой однородных линейных диф-
ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
ė1 = e2,
ė2 = γ1e1 + γ2e2.
(7)
Характеристическое уравнение системы (7) имеет вид
λ2 − γ2λ− γ1 = 0. (8)
Выбрав постоянные γ1, γ2 из условия: корни λ1, λ2 этого уравнения имеют раз-
личные отрицательные действительные части, получаем, что закон управления
(6) обеспечивает экспоненциальное стремление к нулю отклонений с показателем
затухания λ∗ = min(|Reλ1|, |Reλ2|).
3. Нелинейный наблюдатель.
Изучим возможность применения закона управления (6) в случае неполной
информации о движении. А именно, используем в формуле (6) вместо значений
переменных x2, e2 их оценки, полученные в результате решения следующей задачи
наблюдения:
Задача 2. Найти асимптотически точные оценки значения компонент x2(t),
e2(t) фазового вектора системы (4) по информации об x1(t), x3(t).
Задачу наблюдения будем решать с помощью метода синтеза инвариантных
соотношений [6]. Соответствующая схема состоит во введении конечных связей
между известными и неизвестными переменными и последующем динамическим
расширением исходных уравнений таким образом, чтобы эти связи стали инвари-
антными соотношениями для расширенной системы дифференциальных уравне-
ний.
Согласно такому подходу на первом шаге представим неизвестные компоненты
фазового вектора системы (6) в виде:
e2 = Φ(e1) + η1, η̇1 = v1(η1, η2, x1, e1),
x2 = Ψ(x1) + η2, η̇2 = v2(η1, η2, x1, e1).
(9)
Отметим, что в результате такого представления исходная система (4) рас-
ширена двумя (по числу неизвестных) дифференциальными уравнениями относи-
тельно переменных η1, η2. Далее будем предполагать, что подлежащие синтезу и
неопределенные пока функции Φ,Ψ, v1, v2 должны будут удовлетворять следую-
щим ограничениям:
– функции Φ,Ψ дифференцируемы и ограниченны в рассматриваемой области;
– правые части вспомогательных дифференциальных уравнений v1, v2 удовле-
творяют условиям, достаточным для продолжимости их решений на интервал
t ∈ [0,∞).
74
Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля
Обозначив невязку от соответствующих соотношений через ε1, ε2, в общем слу-
чае имеем:
e2 = Φ(e1) + η1 + ε1, x2 = Ψ(x1) + η2 + ε2. (10)
Дифференцируя эти равенства, получаем, что дифференциальные уравнения для
отклонений ε1, ε2, при условии, что вспомогательные функции v1, v2 равны
v1 = R21 +R22(Ψ + η2) + (R23 − Φ′
e1)(Φ + η1)− u,
v2 = R11 +R12(Ψ + η2)−Ψ′
x1(Ψ + η2),
(11)
имеют вид
ε̇1 = −(R23 − Φ′
e1)ε1 +R22ε2,
ε̇2 = (R12 −Ψ′
x1)ε2,
(12)
Уравнения (12) допускают тривиальное решение ε1 = ε2 = 0. Следовательно,
соотношения
e2 = Φ(e1) + η1, x2 = Ψ(x1) + η2,
с учетом (11), для некоторых решений системы (4) выполняются тождественно.
Отметим, что это утверждение верно для любых дифференцируемых функций
Φ(e1),Ψ(x1) и любого допустимого управления u, при которых решения вспомога-
тельных дифференциальных уравнений существуют.
На втором шаге определим свободные функции Φ(e1),Ψ(x1) из условий асимп-
тотической устойчивости тривиального решения ε1 = ε2 = 0. Пусть
R12 −Ψ′
x1 = −λ, R23 − Φ′
e1 = λ,
где λ – некоторая положительная постоянная. С учетом обозначений (11) перепи-
шем эти равенства:
Ψ′
x1 = µ1(1− x21) + λ, Φ′
e1 = µ2(1− x23) + λ, (13)
В качестве функций, которые удовлетворяют последним соотношениям возьмем
Ψ(x1) = (µ1 + λ)x1 + µ1
x31
3
, Φ(e1) = [µ2(1− x23) + λ]e1. (14)
Таким образом, можно утверждать, что при выбранных Φ(e1),Ψ(x1), ошибки
ε1(t), ε2(t), возникающие при определении неизвестных x2(t), e2(t) по формулам
(10), удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
ε̇1 = −λε1 +R22ε2,
ε̇2 = −λε2,
(15)
Покажем, что нулевое решение (15) при некоторых λ становится асимптоти-
чески устойчивым. Для этого рассмотрим в качестве функции Ляпунова положи-
тельно определенную функцию
V =
1
2
(ε21 + ε22)
75
Н. В. Жоголева, В. Ф. Щербак
и оценим ее производную, взятую в силу системы (15)
dV
dt
= −λ(ε21 + ε22) +R22ε1ε2 ≤
(
−λ+
|R22|
2
)
(ε21 + ε22).
В соответствии со сделанным ранее предположением амплитуды колебаний ос-
цилляторов Ван дер Поля ограничены. Пусть
R∗ = sup
t∈[0,∞)
|R22| = sup
t∈[0,∞)
|µ1(1− x21)− µ2(1− x23)|.
Тогда, при λ > R∗ функция V становится отрицательно определенной, что явля-
ется достаточным условием для асимптотической устойчивости нулевого решения
(15).
В итоге, мы получили соотношения, которые решают задачу наблюдения неиз-
вестных компонент фазового вектора исходной системы (4)
e2 = [µ2(1− x23) + λ]e1 + η1 + ε1, x2 = (µ1 + λ)x1 + µ1
x3
3
+ η2 + ε2, (16)
где правые части дифференциальных уравнений относительно η1, η2 определены
формулами (11). При этом оценки (16) являются экспоненциальными, так как
εi(t) = O(exp{(R∗ − λ)t}), i = 1, 2. (17)
4. Синхронизация по выходу.
Используем в законе управления (6) вместо переменных x2, e2 их приближен-
ные оценки x̂2, ê2, вычисленные по формулам
x̂2 = Ψ(x1) + η2, ê2 = Φ(e1) + η1,
т.е. x̂2 = x2 − ε2, ê2 = e2 − ε1. В результате применения управления (6) с такими
аргументами в дифференциальных уравнениях для отклонений траекторий двух
осцилляторов (7) возникают ошибки: e1(t) + δ1(t), e2(t) + δ2(t). Соответствующие
возмущения удовлетворяют уравнениям:
δ̇1 = δ2,
δ̇2 = γ1δ1 + γ2δ2 −R23ε1 −R22ε2.
(18)
Отметим, что при наличии возмущений формально задача синхронизации не
имеет решения, поскольку тривиальное решение δ1 = δ2 = 0 не удовлетворяет
системе (18).
В общем же случае, при одновременном решении задач наблюдения и синхро-
низации, уравнения для отклонений имеют вид
δ̇1 = δ2,
δ̇2 = γ1δ1 + γ2δ2 −R23ε1 −R22ε2,
ε̇1 = −λε1 +R22ε2,
ε̇2 = −λε2.
(19)
76
Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля
Последняя система линейных дифференциальных уравнений допускает триви-
альное решение δ1 = δ2 = ε1 = ε2 = 0. Поэтому одновременное решение задачи на-
блюдения и синхронизации может, в принципе, решить задачу 1. В частности, для
этого достаточно выбрать параметры γ1, γ2, λ из условий асимптотической устой-
чивости положения равновесия системы (19). Для формирование ограничений на
выбор этих параметров воспользуемся теоремой [9].
Теорема. Пусть для системы линейных дифференциальных уравнений с по-
стоянными коэффициентами ẋ = Ax выполнено:
а) каждое решение системы стремится к нулю при t→ ∞;
б) в системе ż = Az + f(z) вектор функция f(z) непрерывна в некоторой
окрестности z = 0;
в) ∥f(z)∥
∥z∥ → 0 при z → 0.
Тогда каждое решение z(t, z0), z(0, z0) = z0 стремится к нулю для достаточно
малых ∥z0∥.
Введем в рассмотрение векторы δ = (δ1, δ2)
T , ε = (ε1, ε2)
T , z = (δT , εT )T , где T
означает операцию транспонирования. Матрица A и вектор-функция f(z) в нашем
случае имеют вид
A =
0 1 0 0
γ1 γ2 0 0
0 0 −λ 0
0 0 0 −λ
, f =
0
−R23ε1 −R22ε2
R22ε2
0
.
Очевидно, что условия а) и б) теоремы выполнены. Действительно, все соб-
ственные значения матрицы A имеют отрицательные действительные части, а
функция f(z) является линейной однородной функцией z. Рассмотрим теперь
условие в). В качестве нормы вектора будем использовать сумму абсолютных ве-
личин всех его компонент. Тогда
∥z∥ = |δ1|+ |δ2|+ |ε1|+ |ε2|, ∥f(z)∥ = |R23ε1 −R22ε2|+ |R22ε2|.
Оценим выражение ∥f(z)∥
∥z∥ . Пусть M некоторая положительная константа, кото-
рая мажорирует максимальные значения ограниченных функций |R23|, |R22|. Име-
ем:
∥f(z)∥
∥z∥
=
|R23ε1 −R22ε2|+ |R22ε2|
∥z∥
≤ |R23||ε1|+ 2|R22||ε2|
∥z∥
≤ 2M
∥ε∥
∥ε∥+ ∥δ∥
.
Для выполнения условия в) теоремы, достаточно выбрать параметры γ1, γ2, λ
так, чтобы
lim
t→∞
∥ε∥
∥δ∥
= 0. (20)
В соответствии с (17), норма числителя этого частного ∥ε∥ = O(exp{(R∗ − λ)t}).
Следовательно, в случае экспоненциального стремления к нулю величины ∥δ∥, ее
показатель затухания должен быть строго меньше λ−R∗.
77
Н. В. Жоголева, В. Ф. Щербак
Чтобы выполнить это условие достаточно потребовать, чтобы коэффициенты
γ1, γ2 характеристического уравнения (8) были таковы, что
0 < λ∗ = min(|Reλ1|, |Reλ2|) < λ−R∗. (21)
Действительно, система дифференциальных уравнений (19) является каскад-
ной, переменные ε не зависят δ и их значения могут быть рассмотрены как внеш-
нее воздействие на подсистему, состоящей из первых двух уравнений (19). Общее
решение этой подсистемы имеет вид
δ(t) = ∆(t)δ0 +
∫ t
0
∆(t− τ)f1(τ)dτ, δ(0) = δ0, (22)
где ∆ – матрица фундаментальных решений системы линейных однородных урав-
нений (7), имеющая собственные значения λ1, λ2, а внешнее воздействие задано
вектор-функцией f1(t) = (0, −R23(t)ε1(t)−R22(t)ε2(t))
T .
Поскольку показатель затухания первого слагаемого (22) удовлетворяет нера-
венству (21), то вне зависимости от второго слагаемого (22) показатель затухания
их суммы эту величину может только лишь уменьшить. Следовательно, условие в)
теоремы выполнено и тривиальное решение системы (19) обладает свойством ло-
кальной асимптотической устойчивости. Тем самым установлено, что отклонения
траекторий двух осцилляторов ∥e+δ∥ при достаточно малых начальных значениях
∥δ∥, ∥ε∥ стремятся к нулю с ростом t.
В итоге можно сформулировать следующее
Утверждение. Пусть постоянные γ1, γ2, λ таковы, что выполнено неравен-
ство (21). Тогда управление
u = −γ1e1 +R22(Ψ(x1) + η2) + (R23 − γ2)(Φ(e1) + η1) +R21, (23)
где
Ψ(x1) = (µ1 + λ)x1 + µ1
x31
3
, Φ(e1) = [µ2(1− x23) + λ]e1,
а переменные η1, η2 – произвольное решение задачи Коши для системы дифферен-
циальных уравнений
η̇1 = R21 +R22(Ψ + η2) + (R23 − Φ′
e1)(Φ + η1)− u,
η̇2 = R11 +R12(Ψ + η2)−Ψ′
x1(Ψ + η2),
решает, по крайней мере, локально, Задачу 1 для системы (4).
Как уже было отмечено, система (19) имеет каскадную структуру, из вида
которой следует, что решение задачи наблюдения не зависит от решения задачи
синхронизации. Поэтому, с целью уменьшения начального значения ∥z(0)∥, задачу
можно разбить на два этапа. На первом из них начать решать задачу наблюдения
при произвольном допустимом управлении, например, при u = 0, обеспечивая тем
самым малость значений ∥ε∥. На втором этапе, начиная с некоторого момента
78
Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля
времени, принятого далее за начальный момент, начинать решать одновременно
Задачу 1 и Задачу 2 с управлением (23).
Цитированная литература
1. Freeman R. Global internal stabilizability does not imply global external stabilizability for small
sensor disturbances // IEEE Transactions on Automatic. Control. – 1995. – V. 40, № 12. – P. 2119–
2122.
2. Кузнецов А.П., Селиверстова Е.С., Трубецков Д.И., Тюрюкина Л.В. Феномен уравнения ван
дер Поля // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. – 2014. – Т. 22, № 4. – С. 3–42.
3. Grudzinski K., Zebrowski J.J. Modeling cardiac pacemakers with relaxation oscillators // Physica
A 336. – 2003. – P. 153–162.
4. Bernardo D.D., Signorini M. G., Cerutti S. A model of two non-linear coupled oscillators for the
study of heartbeat dynamics. // Int. J. Bifurcation Chaos. – 1998. – 8. – P. 1975–1985.
5. Brandt M.E., Wang G., Shih H-T. Feedback control of a nonlinear dual-oscillator heartbeat model.
– Bifurcation Control. – Eds. G. Chen, D. J. Hill, X. Yu. – Springer. –2003. – P. 265–273.
6. Жоголева Н.В., Щербак В.Ф. Идентификация характеристик осцилляторных сетей // Вiсник
Харкiвського нацiонального унiверситету iм. В.Н. Каразiна. – Том 84. – 2016.– C. 22–30.
7. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений //
Механика твердого тела. — 1974. -– Вып. 6. – C. 15–24.
8. Жоголева Н.В., Щербак В.Ф. Синтез дополнительных соотношений в обратных задачах управ-
ления // Труды ИПММ НАН Украины. – 2015. – T. 29.– C. 69–76.
9. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. – М.: Издательство
иностранной литературы, 1954. – 216 с.
References
1. Freeman, R. (1995). Global internal stabilizability does not imply global external stabilizability for
small sensor disturbances. IEEE Transactions on Automatic. Control, 40, № 12, pp. 2119–2122.
2. Kuznetsov, A.P., Seliverstova, E.S., Trubetskov, D.I., Tyuryukina, L.V. (2014). The phenomenon
of van der Pol’s equation. Izvestiya Vuzov. Prikladnaja nelinejnaja dynamika, 22, № 4, pp. 3–42
(in Russian).
3. Grudzinski, K., Zebrowski, J.J. (2003). Modeling cardiac pacemakers with relaxation oscillators,
Physica A 336, pp. 153–162.
4. Bernardo, D.D., Signorini, M. G., Cerutti, S. (1998). A model of two non-linear coupled oscillators
for the study of heartbeat dynamics. Int. J. Bifurcation Chaos, 8, pp. 1975–1985.
5. Brandt, M.E., Wang, G., Shih, H-T. (2003). Feedback control of a nonlinear dual-oscillator heartbeat
model. Bifurcation Control. Eds. G. Chen, D. J. Hill, X. Yu. pringer, pp. 265–273.
6. Zhogoleva, N.V., Shcherbak, V.F. (2016). Identification of oscillator networks characteristics. Visnyk
Kharkivskgo nacional’nogo universitetu im. V.N. Karazina, 84, pp. 22–30 (in Russian).
7. Kharlamov, P.V. (1974). On invariant relations of a system of differential equations. Mehanika
tverdogo tela, is. 6, pp. 15–24 (in Russian).
8. Zhogoleva, N.V., Shcherbak, V.F. (2015). Synthesis of additional relations in inverse control problems,
Trudy IPMM NAN Ukrainy, 29, pp. 69–76 (in Russian).
9. Bellman, R. (1954). The theory of stability of solutions of differential equations. M.: Izdatel’stvo
inostrannoj literatury, pp. 216 (in Russian).
N. V. Zhogoleva, V. F. Shcherbak
Synchronization of oscillations for coupled Van der Pol oscillators.
A number of automatic control tasks, in particular, the synchronization of trajectories, the tracking
79
Н. В. Жоголева, В. Ф. Щербак
task, control by a reference system are associated with the synthesis of control algorithms for dynamic
cascade systems, which are a set of interconnected active subsystems. In this paper, the oscillation
synchronization problem is considered for two Van der Pol oscillators coupled by a linear elastic
connection. It is assumed that the driven subsystem depends on the external control action, in addition,
the phase vector is not fully known. On the first step the solution of the problem of synchronization
in the form of state feedback is written. The aim of the work is to find the synchronizing control in
the form of feedback on the state estimation. Such a formulation is relevant, since for many practical
applications of control theory, a typical situation is when the complete state vector of the system
is unknown and only some of the functions of the state variables – the outputs of the system are
accessible to measurement. One can try to use the control law obtained from feedback by replacing
the state with its estimate obtained by observer – a special dynamical system whose state eventually
approaches (asymptotically or exponentially) to the state of the original system. In this case a question
arises whether such control will be solving the synchronization problem. In mathematical control
theory, in particular for the stabilization problem of dynamical systems, similar questions constitute
the content of the known principle of separation. For the observation problem solving the apparatus
of the method of synthesis of auxiliary invariant relations for constructing a nonlinear observer was
used. In accordance with this approach a nonlinear observer is constructed for the system under
consideration, which ensures the exponential estimates of the phase vector. It is further shown that
the use in the control law instead of the state of the system of its evaluation under simultaneously
solving the problems of observation and synchronization leads to the solution of the problem under
consideration.
Keywords: synchronization, nonlinear observer, invariant relations, Van der Pol oscillator.
Н. В. Жоголева, В. Ф. Щербак
Синхронiзацiя коливань зв’язаних осциляторiв Ван дер Поля.
Ряд задач автоматичного управлiння, зокрема, синхронiзацiя траєкторiй, стеження (tracking) за
еталоною системою тощо пов’язанi з синтезом алгоритмiв керування динамiчними системами, якi
представляють собою сукупнiсть пов’язаних мiж собою активних пiдсистем. В роботi розглянуто
задачу синхронiзацiї коливань для двох осциляторiв Ван дер Поля, пов’язаних лiнiйним пружнiм
зв’язком. Передбачається, що одна з пiдсистем залежить вiд зовнiшнього керування. Наведено
рiшення задачi синхронiзацiї для вихiдної системи у виглядi зворотного зв’язку за станом. У
багатьох практичних додатках теорiї управлiння повний вектор стану системи є невiдомим, а
вимiру доступнi лише деякi функцiї змiнних стану - виходи системи. Тому основний змiст роботи
– вивчити можливiсть використання закону керування, в якому стан системи замiнено на його
оцiнку, отриману за допомогою спостерiгача. Побудований нелiнiйний спостерiгач, який гарантує
отримання експоненцiйних оцiнок невiдомих компонент фазового вектора. Показано, що одноча-
сне рiшення задач спостереження та синхронiзацiї вирiшує вихiдну задачу.
Ключовi слова: синхронiзацiя, нелiнiйний спостерiгач, iнварiантнi спiввiдношення, осциля-
тор Ван дер Поля.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Славянск
zhogoleva.nadia@gmail.com, scherbakvf@ukr.net
Получено 05.09.17
80
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-145111 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:00:16Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Жоголева, Н.В. Щербак, В.Ф. 2019-01-15T18:38:51Z 2019-01-15T18:38:51Z 2017 Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля / Н.В. Жоголева, В.Ф. Щербак // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2017. — Т. 31. — С. 71-80. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 MSC: 34A60, 34D20, 34N05. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145111 531.38 Ряд задач автоматического управления, в частности, синхронизация траекторий, задача слежения (tracking) связаны с синтезом алгоритмов управления динамическими системами, которые представляют собой совокупность связанных между собой активных подсистем. В работе рассмотрена задача синхронизации колебаний для двух осцилляторов Ван дер Поля, связанных линейной упругой связью. Предполагается, что одна из подсистем зависит от внешнего управляющего воздействия. Приведено решение задачи в виде обратной связи по состоянию. Во многих практических приложениях теории управления полный вектор состояния системы неизвестен, а измерению доступны лишь некоторые функции переменных состояния - выходы системы. Поэтому основная цель работы – изучить возможность решения исходной задачи с помощью управления, в котором состояние системы заменено на его оценку, полученную с помощью наблюдателя. Построен нелинейный наблюдатель, гарантирующий получение экспоненциальных оценок неизвестных компонент фазового вектора. Показано, что исходное управление совместно с уравнениями наблюдателя решает задачу синхронизации. В роботi розглянуто задачу синхронiзацiї коливань для двох осциляторiв Ван дер Поля, пов’язаних лiнiйним пружнiм зв’язком. In this paper, the oscillation synchronization problem is considered for two Van der Pol oscillators coupled by a linear elastic connection. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля Синхронiзацiя коливань зв’язаних осциляторiв Ван дер Поля Synchronization of oscillations for coupled Van der Pol oscillators Article published earlier |
| spellingShingle | Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля Жоголева, Н.В. Щербак, В.Ф. |
| title | Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля |
| title_alt | Синхронiзацiя коливань зв’язаних осциляторiв Ван дер Поля Synchronization of oscillations for coupled Van der Pol oscillators |
| title_full | Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля |
| title_fullStr | Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля |
| title_full_unstemmed | Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля |
| title_short | Синхронизация колебаний связанных осцилляторов Ван дер Поля |
| title_sort | синхронизация колебаний связанных осцилляторов ван дер поля |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145111 |
| work_keys_str_mv | AT žogolevanv sinhronizaciâkolebaniisvâzannyhoscillâtorovvanderpolâ AT ŝerbakvf sinhronizaciâkolebaniisvâzannyhoscillâtorovvanderpolâ AT žogolevanv sinhronizaciâkolivanʹzvâzanihoscilâtorivvanderpolâ AT ŝerbakvf sinhronizaciâkolivanʹzvâzanihoscilâtorivvanderpolâ AT žogolevanv synchronizationofoscillationsforcoupledvanderpoloscillators AT ŝerbakvf synchronizationofoscillationsforcoupledvanderpoloscillators |