Деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi
В данiй роботi розглядаються задачi, пов’язанi з вiдшуканням мiнiмального числа системи куль, якi створюють тiнь у фiксованiй точцi багатовимiрного евклiдового простору Rⁿ. В данной работе рассматриваются задачи, связанные с отысканием минимального количества шаров, которые создают тень в фиксирован...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145114 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi / Т.М. Осипчук // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2017. — Т. 31. — С. 109-116. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-145114 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Осипчук, Т.М. 2019-01-15T18:46:05Z 2019-01-15T18:46:05Z 2017 Деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi / Т.М. Осипчук // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2017. — Т. 31. — С. 109-116. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1683-4720 MSC: 32F17, 52A30. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145114 513.83 В данiй роботi розглядаються задачi, пов’язанi з вiдшуканням мiнiмального числа системи куль, якi створюють тiнь у фiксованiй точцi багатовимiрного евклiдового простору Rⁿ. В данной работе рассматриваются задачи, связанные с отысканием минимального количества шаров, которые создают тень в фиксированной точке многомерного евклидова пространства Rⁿ. Problems, related to the determination of the minimal number of balls that generate a shadow at a fixed point in the multi-dimensional Euclidean space Rⁿ, are considered in present work. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України Деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi Некоторые замечания о системах шаров, создающих тень в точке Some remarks about systems of balls generating shadow at a point Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi |
| spellingShingle |
Деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi Осипчук, Т.М. |
| title_short |
Деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi |
| title_full |
Деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi |
| title_fullStr |
Деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi |
| title_full_unstemmed |
Деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi |
| title_sort |
деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi |
| author |
Осипчук, Т.М. |
| author_facet |
Осипчук, Т.М. |
| publishDate |
2017 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Некоторые замечания о системах шаров, создающих тень в точке Some remarks about systems of balls generating shadow at a point |
| description |
В данiй роботi розглядаються задачi, пов’язанi з вiдшуканням мiнiмального числа системи куль, якi створюють тiнь у фiксованiй точцi багатовимiрного евклiдового простору Rⁿ.
В данной работе рассматриваются задачи, связанные с отысканием минимального количества шаров, которые создают тень в фиксированной точке многомерного евклидова пространства Rⁿ.
Problems, related to the determination of the minimal number of balls that generate a shadow at a fixed point in the multi-dimensional Euclidean space Rⁿ, are considered in present work.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145114 |
| citation_txt |
Деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi / Т.М. Осипчук // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2017. — Т. 31. — С. 109-116. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT osipčuktm deâkizauvažennâprosistemikulʹâkistvorûûtʹtinʹvtočci AT osipčuktm nekotoryezamečaniâosistemahšarovsozdaûŝihtenʹvtočke AT osipčuktm someremarksaboutsystemsofballsgeneratingshadowatapoint |
| first_indexed |
2025-11-26T01:42:57Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:42:57Z |
| _version_ |
1850605582188281856 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Працi IПММ НАН України. 2017. Том 31
UDK 513.83
c⃝2017. Т. М. Осiпчук
ДЕЯКI ЗАУВАЖЕННЯ ПРО СИСТЕМИ КУЛЬ,
ЯКI СТВОРЮЮТЬ ТIНЬ В ТОЧЦI
В данiй роботi розглядаються задачi, пов’язанi з вiдшуканням мiнiмального числа системи куль,
якi створюють тiнь у фiксованiй точцi багатовимiрного евклiдового простору Rn. Тут вираз “набiр
куль створює тiнь в точцi” означає, що кожна пряма, яка проходить через задану точку, пере-
тинає хоча б одну кулю з набору. В роботi встановлено новi властивостi системи неперетинних
куль з центрами на сферi, що створюють тiнь в довiльнiй фiксованiй точцi внутрiшностi сфери
у просторi R3. А також, побудовано систему з n + 1 неперетинних куль з рiвними радiусами у
просторi Rn, n ≥ 3, якi створюють тiнь у фiксованiй точцi простору.
MSC: 32F17, 52A30.
Ключовi слова: задача про тiнь, система куль, сфера, елiпсоїд обертання, область, багато-
вимiрний дiйсний евклiдовий простiр.
1. Вступ.
У 1982 роцi Г. Худайбергановим [1] була поставлена задача про тiнь.
Нехай x фiксована точка у багатовимiрному дiйсному евклiдовому просторi
Rn. Скажемо, що кулi {Bi : i ∈ N} в Rn, якi не мiстять x, створюють в цiй точцi
тiнь, якщо довiльна пряма, що проходить через точку x, перетинає хоча б одну
кулю з набору. Тодi задача про тiнь може бути сформульована наступним чином:
знайти мiнiмальне число вiдкритих (замкнених) та попарно неперетинних куль
у просторi Rn з центрами на сферi Sn−1 та радiусами меншими радiуса сфери,
якi не мiстять центр сфери та створюють в ньому тiнь.
Задачу про тiнь в такому формулюваннi будемо називати класичною. Тут i
надалi, пiд сферою Sn−1 будемо розумiти множину всiх точок простору Rn, якi
знаходяться на однаковiй вiдстанi вiд деякої фiксованої точки простору [2].
Класична задача про тiнь була розв’язана Г. Худайбергановим при n = 2: було
показано, що для кола на площинi достатньо двох кругiв [1]. Там же було зроблено
припущення про те, що i для випадку при n > 2 мiнiмальне число таких куль рiвне
n. Вона також цiкава з точки зору опуклого аналiзу тим, що є частковим випад-
ком питання про належнiсть точки узагальнено опуклiй оболонцi сiм’ї компактних
множин [3].
В [3] Ю. Зелiнський довiв, що для n = 3 трьох куль не достатньо, разом з тим,
чотири кулi вже будуть створювати тiнь в центрi сфери. Там же встановлено,
що для загального випадку у просторi Rn, для довiльного n ≥ 3, мiнiмальною
кiлькiстю є n+1 куля. Таким чином, класична задача про тiнь повнiстю розв’язана.
Розглянемо наступнi задачi, близькi до класичної задачi про тiнь.
Задача 1. Знайти мiнiмальне число вiдкритих (замкнених) та попарно непе-
ретинних куль у просторi Rn з центрами на сферi Sn−1 та радiусами меншими
109
Т. М. Осiпчук
радiуса сфери, якi не мiстять фiксовану точку всерединi сфери та створюють в
цiй точцi тiнь.
Задача 2. [4] Знайти мiнiмальне число вiдкритих (замкнених) та попарно
неперетинних куль з рiвними радiусами у просторi Rn, якi не мiстять фiксовану
точку простору та створюють в цiй точцi тiнь.
В данiй роботi доводяться двi теореми, якi частково розв’язують посталенi
задачi.
Теорема 1. Нехай S2(r) сфера з центром в нулi та радiусрм r у просторi R3.
Позначимо через n(x) найменше число вiдкритих куль, що не перетинаються,
з центрами на сферi S2(r) i таких, що не мiстять фiксовану точку x ∈ R3 та
створюють в цiй точцi тiнь. Тодi n(x) = 3, для кожної точки x ∈ R3 такої, що
0 ≤ |x| ≤ 7
9r.
Теорема 2. Нехай n(x) найменше число вiдкритих (замкнених) та попарно
неперетинних куль з однаковими радiусами i таких, що не мiстять фiксовану
точку x ∈ Rn, n ≥ 3, та створюють в цiй точцi тiнь. Тодi n(x) ≤ n+ 1.
В [5, 6, 8] зроблено огляд цiлої низки результатiв, аналогiчних до класичної
задачi про тiнь, та їх узагальнень, отриманих Ю. Б. Зелiнським та його учнями.
У наступному роздiлi зроблено огляд тих результатiв, якi також частково да-
ють розв’язок задач 1, 2, та тих, якi розв’язують деякi iншi задачi про тiнь. Цi
результати будуть сформульованi як леми, оскiльки в межах даної роботи вони є
допомiжними та використовуються для доведення теорем 1, 2.
2. Допомiжнi результати.
Наступний приклад дає один iз способiв побудови системи з n+1 кулi iз задачi
1, якi створюють тiнь в центрi сфери.
Приклад 1. [3] Якщо у сферу вписати правильний n-вимiрний симплекс (див.
[2]) та розмiстити у його вершинах замкненi кулi з радiусами, величини яких дорiв-
нюють половинi довжини ребра симплекса, то ця система куль створить тiнь в
центрi сфери. Однак, кулi будуть попарно дотикатись одна одної, що протирiчить
умовi задачi 1. Нехай a — половина довжини ребра симплекса. Для досить малого
ε > 0 розглянемо систему куль, що складається з n+1 кулi, величини раiусiв яких,
вiдповiдно, дорiвнюють a+ε, a−ε/2, a−ε/22, a−ε/23, . . ., a−ε/2n. Розмiстимо цi
кулi так, щоб вони дотикались одна одної, а їх центри утворювали симплекс, який,
очевидно, незначно вiдрiзняється вiд правильного. Тодi через центри цих куль про-
ходить єдина сфера, в центрi якої вiдкритi кулi з тими ж радiусами створюють
тiнь. Якщо вихiднi замкненi кулi трiшки зменшити, то, в силу неперервностi, такi
кулi також будуть створювати тiнь в центрi сфери.
У [7, 8] розглядаються задачi про тiнь для куль у просторах R2, R3 з центрами,
розташованими на iнших поверхнях.
110
Деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi
Лемма 1. [7] Нехай задано видовжений елiпсоїд обертання з великою пiввiс-
сю b та малою a i нехай n(x0) найменше число попарно неперетинних вiдкритих
куль, з центрами на заданому елiпсоїдi, якi не мiстять його центр x0 та ство-
рюють в x0 тiнь. Тодi,
1) n(x0) = 3, якщо b/a > 2
√
2;
2) n(x0) > 3, якщо b/a ≤ 2
√
2.
Наступна лема дає розв’язок задачi про тiнь для кругiв з центрами, розмiщени-
ми на довiльнiй замкненiй кривiй на площинi, а також оцiнку зверху мiнiмального
числа куль, що створюють тiнь в точцi, з центрами на довiльнiй замкненiй поверхнi
у просторi R3.
Лемма 2. [8] Нехай задано деяку обмежену область D ⊂ R3
(
D ⊂ R2
)
i нехай
n(x) найменше число попарно неперетинних вiдкритих чи замкнених куль, з цен-
трами на ∂D, якi не мiстять фiксовану точку x ∈ D та створюють в точцi x
тiнь. Тодi n(x) ≤ 4 (n(x) = 2).
Для її доведення застосовується наступна лема, яка в данiй роботi буде вико-
ристана також.
Лемма 3. [8] Нехай задано двi вiдкритi (замкненi) кулi {Bi = B(ri)}, i = 1, 2,
у просторi Rn, якi не перетинаються, з центрами на сферi Sn−1(r) та радiусами
r2 ≤ r1 < r. Тодi кожна куля, гомотетична кулi B2 вiдносно центра сфери, з
коефiцiєнтом гомотетiї k2, не перетинає кожну кулю, гомотетичну кулi B1
вiдносно центра сфери, з коефiцiєнтом гомотетiї k1, якщо k2 ≥ k1.
В [9] розглядається задача про тiнь для деякого набору куль з вiльно розташо-
ваними центрами. Наступна лема дає оцiнку знизу для числа неперетинних куль
у просторi Rn, якi не мiстять фiксовану точку простору та створюють в нiй тiнь.
Лемма 4. [9] Нехай n(x) найменше число вiдкритих (замкнених) та попарно
неперетинних куль, якi не мiстять фiксовану точку x ∈ Rn, n ≥ 2, та створю-
ють в цiй точцi тiнь. Тодi n(x) = n.
В [4] ставиться задача про тiнь для набору куль з вiльно розташованими цен-
трами, але з рiвними радiусами i будується приклад з чотирьох вiдкритих (замкне-
них) та попарно неперетинних куль {Bi}, i = 1, 4, однакового радiуса у просторi
R3, якi створюють тiнь у фiксованiй точцi x ∈ R3 \∪iBi. Таким чином встановлена
наступна
Лемма 5. [4] Нехай n(x) найменше число вiдкритих (замкнених) та попарно
неперетинних куль з однаковими радiусами i таких, що не мiстять фiксовану
точку x ∈ R3 та створюють в цiй точцi тiнь. Тодi n(x) ≤ 4.
Неважко показати (в тому числi способом, запропонованим у доведеннi теореми
2, що для випадку простору R2, мiнiмальною кiлькiстю є двi кулi. В роботi [10]
доведено, що нiякi три попарно неперетиннi, замкненi (вiдкритi) кулi з рiвними
111
Т. М. Осiпчук
радiусами у просторi R3 не створюють тiнь у фiксованiй точцi простору по-за
кулями. Таким чином, встановлено, що чотири є мiнiмальною кiлькiстю вказаних
куль у просторi R3.
3. Доведення теорем 1 та 2.
У наступному прикладi запропоновано один iз способiв побудови системи з
трьох вiдкритих куль, центри яких розташовано на видовженому елiпсоїдi обер-
тання з вiдношенням великої пiвосi до малої b/a > 2
√
2, i таких, що створюють
тiнь в центрi елiпсоїда.
Приклад 2. Спочатку розглянемо елiпсоїд з вiдношенням b/a = 2
√
2 та набiр
вiдкритих куль Bi, i = 1, 3, заданих наступним чином.
Якщо центр першої кулi B1 з радiусом, рiвним малiй пiвосi a, розмiстити в
основi цiєї пiвосi, тодi вiдкритою залишиться тiльки площина Σ, дотична до кулi
B1 в центрi елiпсоїда. Розглянемо кулi, дотичнi до першої та з центрами на лiнiї
обертання малої пiвосi. Неважко показати, що, якщо центр такої кулi прямує до
точки, дiаметрально протилежної до центу кулi B1, тодi кут, який ця куля закриває
для прямих, що проходять через центр елiпсоїда в площинi Σ, прямує до свого
максимального значення π/2. Третя куля B3, дотична до першої B1 та з центром
в основi великої пiвосi b = 2
√
2a, також закриває кут
φ = 2arcsin
(√
a2 + (b)2 − a
b
)
= π/2.
Рис. 1
112
Деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi
Далi розглянемо елiпсоїд, центр та мала пiввiсь якого спiвпадають з центром
та малою пiввiссю попереднього елiпсоїда, а велика пiввiсь b′ > b. Для таких елiп-
соїдiв побудуємо систему вiдкритих куль B′
i, i = 1, 3, наступним чином.
B′
1 ≡ B1.
Куля B′
3 дотикається до кулi B′
1, а її центр знаходиться в основi великої пiвосi
b′. Тодi B′
3 закриває кут φ(b′) для прямих, що проходять через центр елiпсоїда в
площинi Σ, такий що
sin
φ(b′)
2
=
√
a2 + (b′)2 − a
b′
.
Оскiльки
d(sinφ(b′)/2)
db′
=
1√
a2 + (b′)2
−
√
a2 + (b′)2 − a
(b′)2
=
=
1√
a2 + (b′)2
−
(√
a2 + (b′)2 − a
)(√
a2 + (b′)2 + a
)
(b′)2
(√
a2 + (b′)2 + a
) =
=
1√
a2 + (b′)2
− 1√
a2 + (b′)2 + a
> 0
i φ(b) = π/2, тодi φ(b′) > π/2 для b′ > b.
Нарештi, центр кулi B′
2, яка дотикається до B′
1, розмiстимо на лiнiї обертання
малої пiвосi так, щоб кут, який вона закриває в площинi Σ був бiльший π−φ(b′).
Доведення теореми 1. Зафiксуємо точку x внутрiшностi сфери S2(x0, r)
на вiдстанi h > (7/9)r вiд її центра x0, рис. 2. Побудуємо видовжений елiпсоїд
обертання з центром в точцi x, великою пiввiссю b = h+ r, розмiщеною на прямiй,
що проходить через точку x i центр сфери x0, та малою пiввiссю a =
√
r2 − h2.
Тодi неважко переконатись в тому, що для такого елiпсоїда вiдношення b/a > 2
√
2.
Система iз трьох куль, розмiщених в точках перетину сфери з елiпсоїдом так, як це
зроблено в прикладi 2, є шуканою, оскiльки, за лемою 4, не можливо побудувати
систему куль, з кiлькiстю менше трьох куль, якi створюють тiнь в довiльнiй точцi
сфери. �
Для центра сфери задача про тiнь розв’язана в [3]. Для решти точок всере-
динi сфери n(x) ≤ 4 за лемою 2. Питання про те, чи для таких точок n(x) = 4,
залишається вiдкритим.
Доведення теореми 2. Зафiксуємо деяку точку x ∈ Rn, 2 < n < ∞, та
побудуємо систему з n + 1 кулi {Bi = B(ri)}, i = 1, . . . , n + 1, з радiусами ri,
як у прикладi 1, розмiщенi на сферi з центром в точцi x. Нехай, без обмеження
загальностi, r1 > . . . > ri > ri+1 > . . . > rn+1.
113
Т. М. Осiпчук
Рис. 2
До кожної кулi Bi застосуємо, вiдповiдно, гомотетiю з коефiцiєнтом ki = r1/ri.
Тодi kn+1 > . . . > ki+1 > ki > . . . > k1 i отримана система складається з куль одна-
кового радiуса, рiвного r1. За лемою 3, отриманi кулi попарно не перетинаються i,
за побудовою, не мiстять точку x та створюють в нiй тiнь. �
Таким чином, лему 5 узагальнено на простiр Rn довiльної скiнченної розмiр-
ностi n ≥ 3.
На даний момент залишається вiдкритим питання про те, чи справедливо, що
в загальному випадку n(x) = n + 1. Очевидно лише те, що згiдно з лемою 4, це
число не може бути меньше n.
Цитована лiтература
1. Худайберганов Г. Об однородно-полиномиально выпуклой оболочке объединения шаров //
Рукопись деп. в ВИНИТИ 21.02.1982 г. № 1772 – 85 Деп.
2. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. – Москва: Наука, 1966. – 668 с.
3. Зелинский Ю.Б., Выговская И.Ю., Стефанчук М.В. Обобщённо выпуклые множества и за-
дача о тени // Укр. мат. журн. – 2015. – Т. 67, № 12. – С. 1658–1666.
4. Зелинский Ю.Б., Выговская И.Ю., Дакхил Х.К. Задача о тени для шаров фиксированного
радиуса // Укр. мат. вiсник. — 2016. – Т. 13, № 4. – С. 599–603.
114
Деякi зауваження про системи куль, якi створюють тiнь в точцi
5. Зелинский Ю.Б. Обобщенно выпуклые оболочки множеств и задача о тени // Укр. мат. вiс-
ник. – 2015. – Т. 12, № 2. – С. 278–289.
6. Зелинский Ю.Б. Варiацiї до задачi про “тiнь” // Зб. праць Iн-ту математики НАН України.
– 2017. – Т. 14, № 1. – С. 163–170.
7. Ткачук М.В., Осiпчук Т.М. Задача о тени для эллипсоида вращения // Зб. праць Iн-ту ма-
тематики НАНУ. – 2015. – T. 12, № 4. – С. 246–253.
8. Осипчук Т.М., Ткачук М.В. Задача о тени для областей в евклидовых пространствах // Укр.
мат. вiсник. – 2016. – Т. 13, № 4. – С. 278–289.
9. Зелинский Ю.Б. Задача о тени для семейства множеств // Зб. праць Iн-ту математики НАНУ.
– 2015. – T. 12, № 3. – С. 197–204.
10. Дакхiл Х.К. Задачi про тiнь та вiдображення постiйної кратностi // Рукопис дис. канд. фiз.-
мат. наук / Iнститут математики НАН України. – Київ, 2017.
References
1. Khudaiberganov, G. (1982). On the homogeneous polynomially convex hull of a union of balls. M.:
VINITI, Manuscr.dep. 21.02.1982, No 1772–85 dep. (in Russian).
2. Rozenfeld, B.A. (1966). Multi-dimensional spaces. M.: Nauka (in Russian).
3. Zelinskii, Y.B., Stefanchuk, M.V., Vyhovskaya, I.Y. (2015). Generalized convex sets and the
problem of shadow. Ukr. Mat. J., 67, No. 12, pp. 1658–1666 (in Russian).
4. Zelinskii, Y.B., Vyhovskaya, I.Y., Dakhil, H.K. (2016). The problem of shadow for balls with fixed
radius. Ukr. mat. vestnik, 13, No. 4, pp. 599–603 (in Russian).
5. Zelinskii, Y.B. (2015). Generally convex hulls of sets and problem of shadow. Ukr. mat. vestnik,
12, No. 2, pp. 278–289 (in Russian).
6. Zelinskii, Y.B. (2017). Variations to the problem of “shadow”. Zbirn. Prats Inst. Mat. NANU, 14,
No. 1, pp. 163–170 (in Ukrainian).
7. Tkachuk, M.V., Osipchuk, T.M. (2015). The problem of shadow for ellipsoid of revolution. Zbirn.
Prats Inst. Mat. NANU, 12, No. 4, pp. 246–253 (in Russian).
8. Osipchuk, T.M., Tkachuk, M.V. (2016). The problem of shadow for domains in Euclidean spaces.
Ukr. mat. vestnik, 13, No. 4, pp. 278–289 (in Russian).
9. Dakhil, H.K. (2017). The shadow problems and mappings of fixed multiplicity. Manuscr. thesis /
Inst. of Math. of NASU. Kyiv (in Ukrainian).
10. Zelinskii, Y.B. (2015). Problem of shadow for family of sets. Zbirn. Prats Inst. Mat. NANU, 12,
No. 3, pp. 197–204 (in Russian).
T. M. Osipchuk
Some remarks about systems of balls generating shadow at a point.
Problems, related to the determination of the minimal number of balls that generate a shadow at a
fixed point in the multi-dimensional Euclidean space Rn, are considered in present work. Here, the
statement “a system of balls generate shadow at a point” means that any line passing through the
point intersects at least one ball of the system. New properties of pairwise-disjoint balls centered on
the sphere in space R3, not containing a fixed point inside of the sphere, and generating shadow at
the point are established. And a system of n+ 1 pairwise-disjoint balls with equal radii in Rn, n ≥ 3,
that do not contain a fixed point of the space and generate shadow at the point is constructed in the
work.
Keywords: problem of shadow, system of balls, sphere, ellipsoid of revolution, domain, multi-dimen-
sional real Euclidean space.
115
Т. М. Осiпчук
Т. М. Осипчук
Некоторые замечания о системах шаров, создающих тень в точке.
В данной работе рассматриваются задачи, связанные с отысканием минимального количества
шаров, которые создают тень в фиксированной точке многомерного евклидова пространства Rn.
Здесь выражение “набор шаров создает тень в точке” означает, что любая прямая, проходящая
через заданную точку, пересекает хотя бы один шар из набора. В работе установлены новые
свойства системы непересекающихся шаров с центрами на сфере, которые создают тень в про-
извольной фиксированной точке внутренности сферы в пространстве R3. А также, построено
систему из n+1 непересекающегося шара с равными радиусами в пространстве Rn, n ≥ 3, кото-
рые создают тень в фиксированной точке пространства.
Ключевые слова: задача о тени, система шаров, сфера, эллипсоид вращения, область, мно-
гомерное действительное евклидово пространство.
Iнститут математики Нацiональної академiї наук України, Київ,
Україна
osipchuk.tania@gmail.com
Отримано 05.12.2017
116
|