Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi
Знайденi умови розв’язку, а також конструкцiя узагальненого оператора Грiна лiнiйної крайової задачi для матричної iнтегрально-диференцiальної системи типу Фредгольма з виродженим ядром. Актуальнiсть вивчення теорiї крайових задач для лiнiйних iнтегрально-диференцiальних рiвнянь пов’язана з численни...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2017 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145118 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi / С.М. Чуйко, А.С. Чуйко, В.О. Чечетенко // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2017. — Т. 31. — С. 151-162. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-145118 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Чуйко, С.М. Чуйко, А.С. Чечетенко, В.О. 2019-01-15T18:55:53Z 2019-01-15T18:55:53Z 2017 Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi / С.М. Чуйко, А.С. Чуйко, В.О. Чечетенко // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2017. — Т. 31. — С. 151-162. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1683-4720 MSC: 34B15. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145118 517.9 Знайденi умови розв’язку, а також конструкцiя узагальненого оператора Грiна лiнiйної крайової задачi для матричної iнтегрально-диференцiальної системи типу Фредгольма з виродженим ядром. Актуальнiсть вивчення теорiї крайових задач для лiнiйних iнтегрально-диференцiальних рiвнянь пов’язана з численними застосуваннями в задачах механiки, аеродинамiки, вiдновлення параметрiв, а також теорiї коливань. Для розв’язання матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi застосованi оригiнальнi умови розв’язностi, а також конструкцiя загального розв’язку матричного рiвняння типу Сильвестра. Найдены условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина линейной краевой задачи для матричной интегрально-дифференциальной системы типа Фредгольма с вырожденным ядром. Актуальность изучения теории краевых задач для линейных интегрально-дифференциальных уравнений связана с многочисленными приложениями в задачах механики, аэродинамики, восстановление параметров, а также теории колебаний. Для решения матричной интегрально-дифференциальной краевой задачи применены оригинальные условия разрешимости, а также конструкция общего решения матричного уравнения типа Сильвестра The conditions of solvability and construction of the generalized Green operator of the linear boundary value problem for a matrix integral-differential system of the Fredholm type with a degenerate kernel were found. The current interest of studying the theory of boundary value problems for linear integraldifferential equations is associated with numerous applications in problems of mechanics, aerodynamics, recovery of parameters, and also the theory of oscillations. The original solvability conditions and construction of a general solution of the Sylvester type matrix equation were used to solve the matrix integral-differential boundary value problem. Роботу виконано за фiнансової пiдтримки МОН України (номер державної реєстрацiї 0115U003182). ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi Оператор Грина матричной интегрально-дифференциальной задачи Green’s operator of a matrix integral-differential boundary value problem Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi |
| spellingShingle |
Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi Чуйко, С.М. Чуйко, А.С. Чечетенко, В.О. |
| title_short |
Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi |
| title_full |
Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi |
| title_fullStr |
Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi |
| title_full_unstemmed |
Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi |
| title_sort |
оператор грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi |
| author |
Чуйко, С.М. Чуйко, А.С. Чечетенко, В.О. |
| author_facet |
Чуйко, С.М. Чуйко, А.С. Чечетенко, В.О. |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Оператор Грина матричной интегрально-дифференциальной задачи Green’s operator of a matrix integral-differential boundary value problem |
| description |
Знайденi умови розв’язку, а також конструкцiя узагальненого оператора Грiна лiнiйної крайової задачi для матричної iнтегрально-диференцiальної системи типу Фредгольма з виродженим ядром. Актуальнiсть вивчення теорiї крайових задач для лiнiйних iнтегрально-диференцiальних рiвнянь пов’язана з численними застосуваннями в задачах механiки, аеродинамiки, вiдновлення параметрiв, а також теорiї коливань. Для розв’язання матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi застосованi оригiнальнi умови розв’язностi, а також конструкцiя загального розв’язку матричного рiвняння типу Сильвестра.
Найдены условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина линейной краевой задачи для матричной интегрально-дифференциальной системы типа Фредгольма с вырожденным ядром. Актуальность изучения теории краевых задач для линейных интегрально-дифференциальных уравнений связана с многочисленными приложениями в задачах механики, аэродинамики, восстановление параметров, а также теории колебаний. Для решения матричной интегрально-дифференциальной краевой задачи применены оригинальные условия разрешимости, а также конструкция общего решения матричного уравнения типа Сильвестра
The conditions of solvability and construction of the generalized Green operator of the linear boundary value problem for a matrix integral-differential system of the Fredholm type with a degenerate kernel were found. The current interest of studying the theory of boundary value problems for linear integraldifferential equations is associated with numerous applications in problems of mechanics, aerodynamics, recovery of parameters, and also the theory of oscillations. The original solvability conditions and construction of a general solution of the Sylvester type matrix equation were used to solve the matrix integral-differential boundary value problem.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145118 |
| citation_txt |
Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi / С.М. Чуйко, А.С. Чуйко, В.О. Чечетенко // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2017. — Т. 31. — С. 151-162. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT čuikosm operatorgrinamatričnoíintegralʹnodiferencialʹnoíkraiovoízadači AT čuikoas operatorgrinamatričnoíintegralʹnodiferencialʹnoíkraiovoízadači AT čečetenkovo operatorgrinamatričnoíintegralʹnodiferencialʹnoíkraiovoízadači AT čuikosm operatorgrinamatričnoiintegralʹnodifferencialʹnoizadači AT čuikoas operatorgrinamatričnoiintegralʹnodifferencialʹnoizadači AT čečetenkovo operatorgrinamatričnoiintegralʹnodifferencialʹnoizadači AT čuikosm greensoperatorofamatrixintegraldifferentialboundaryvalueproblem AT čuikoas greensoperatorofamatrixintegraldifferentialboundaryvalueproblem AT čečetenkovo greensoperatorofamatrixintegraldifferentialboundaryvalueproblem |
| first_indexed |
2025-11-26T03:17:47Z |
| last_indexed |
2025-11-26T03:17:47Z |
| _version_ |
1850609976939118592 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Працi IПММ НАН України. 2017. Том 31
UDK 517.9
c⃝2017. С. М. Чуйко, О. С. Чуйко, В. О. Чечетенко
ОПЕРАТОР ГРIНА МАТРИЧНОЇ
IНТЕГРАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI
Знайденi умови розв’язку, а також конструкцiя узагальненого оператора Грiна лiнiйної крайо-
вої задачi для матричної iнтегрально-диференцiальної системи типу Фредгольма з виродженим
ядром. Актуальнiсть вивчення теорiї крайових задач для лiнiйних iнтегрально-диференцiальних
рiвнянь пов’язана з численними застосуваннями в задачах механiки, аеродинамiки, вiдновлення
параметрiв, а також теорiї коливань. Для розв’язання матричної iнтегрально-диференцiальної
крайової задачi застосованi оригiнальнi умови розв’язностi, а також конструкцiя загального
розв’язку матричного рiвняння типу Сильвестра.
У роботi суттєво використовується апарат псевдообернення (за Муром–Пенроузом) мат-
риць [1], конструкцiї узагальнених операторiв Грiна, побудованi в роботах А. М. Самойленка
i О. А. Бойчука [1] та методи розв’язання матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра, побудо-
ванi в роботах О. А. Бойчука, С. А. Кривошеї [6] та С. М. Чуйка [7, 12].
Запропонованi умови розв’язку, а також конструкцiя узагальненого оператора Грiна крайо-
вої задачi для матричної iнтегрально-диференцiальної системи типу Фредгольма з виродженим
ядром узагальнюють умови розв’язку i конструкцiю узагальненого оператора Грiна iнтегрально-
диференцiальної крайової задачi [2, 8], а також матричної крайової задачi [9]. Крiм того, аналогiч-
нi умови розв’язку, а також конструкцiя узагальненого оператора Грiна матричної iнтегрально-
диференцiальної системи типу Фредгольма з виродженим ядром можуть бути отриманi для
аналогiчної крайової задачi в абстрактних просторах [1, 10]. Запропонована схема дослiдження
крайових задач матричної iнтегрально-диференцiальної системи типу Фредгольма з виродженим
ядром (1) аналогiчно [8] може бути перенесена на нелiнiйнi iнтегрально-диференцiальнi системи
типу Фредгольма з виродженим ядром, а також аналогiчно [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17] – на матричнi
крайовi задачi для iнтегрально-диференцiальних систем типу Фредгольма з виродженим ядром,
що мiстять диференцiально-алгебраїчний оператор. З iншого боку, у разi нерозв’зностi матричнi
крайовi задачi для iнтегрально-диференцiальних систем типу Фредгольма з виродженим ядром
можуть бути регуляризованi аналогiчно [18, 19].
MSC: 34B15.
Ключовi слова: оператор Грiна, матрична iнтегрально-диференцiальна система, крайова за-
дача.
1. Постановка задачi.
Дослiджуємо задачу про побудову розв’язку [1, 2]
Z(t) ∈ D2
α×β [a; b] := D2[a; b]⊗ Rα×β , Z ′(t) ∈ L2
α×β [a; b] := L2[a; b]⊗ Rα×β
матричної iнтегрально-диференцiальної системи типу Фредгольма з вирожденим
ядром
Z ′(t) = Φ(t)
∫ b
a
[
A(s)Z(s) +B(s)Z ′(s)
]
Ψ(t) ds+ F (t), (1)
Роботу виконано за фiнансової пiдтримки МОН України (номер державної реєстрацiї
0115U003182).
151
С. М. Чуйко, О. С. Чуйко, В. О. Чечетенко
пiдпорядкованої крайовiй умовi
LZ(·) = A, A ∈ Rµ×ν . (2)
Тут
Φ(t) ∈ L2
α×γ [a; b], A(t), B(t) ∈ L2
γ×α[a; b], Ψ(t) ∈ L2
β×β[a; b], F (t) ∈ L2
α×β [a; b];
LZ(·) – лiнiйний обмежений матричний функцiонал:
LZ(·) : D2
α×β[a; b] → Rµ×ν .
Взагалi кажучи, припускаємо α, β, γ, µ, ν ∈ N – довiльнi натуральнi числа. Мат-
рична крайова задача (1), (2) узагальнює традицiйнi постановки задач для iнте-
грально-диференцiальної системи типу Фредгольма [1, 2]. Розв’язок матричної
iнтегрально-диференцiальної системи (1) представимо у виглядi
Z(t) =
∫ t
a
Φ(s)C0Ψ(s) ds+ C1 + F(t), F(t) :=
∫ t
a
F (s) ds,
де
C0 :=
∫ b
a
[
A(s)Z(s) +B(s)Z ′(s)
]
ds ∈ Rγ×β , C1 ∈ Rα×β
– невiдомi сталi матрицi, для знаходження яких приходимо до матричного рiвнян-
ня типу Сильвестра [3]
C0 −
∫ b
a
A(t)
∫ t
a
Φ(s)C0Ψ(s) ds dt−
∫ b
a
A(t)C1 dt−
∫ b
a
A(s)Φ(s)C0Ψ(s) ds = B; (3)
тут
B :=
∫ b
a
[
A(s)F(s) +B(s)F (s)
]
ds ∈ Rγ×β
– стала матриця.
2. Узагальнений оператор Грiна задачi Кошi.
Визначимо оператор [3]
A = MB : Rm×n → Rm·n,
як оператор, який ставить у вiдповiднiсть матрицi B ∈ Rm×n вектор-стовпець
MB ∈ Rm·n, складений з n стовпцiв матрицi B, а також обернений оператор
M−1A : Rm·n → Rm×n,
який ставить у вiдповiднiсть вектору A ∈ Rm·n матрицю B ∈ Rm×n. Позначимо
Θ(j) ∈ Rγ×β , j = 1, 2, ... , β · γ – природний базис [4] простору Rβ×γ , а також
Ξ(j) ∈ Rα×β , j = 1, 2, ... , α · β
152
Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi
– природний базис простору Rα×β , при цьому задача про знаходженя розв’язку
рiвняння (1) приводить до задачi про знаходженя векторiв ξ ∈ Rβγ и ζ ∈ Rαβ ,
компоненти яких визначають розкладання матриць
C0 =
β·γ∑
j=1
Θ(j)ξj , C1 =
α·β∑
j=1
Ξ(j)ζj , ξj , ζj ∈ R1, c :=
(
ξ
ζ
)
∈ Rαβ+βγ .
У нових позначеннях, рiвняння (3) набуває вигляду
Dc = MB, D := [ D0; D1 ], (4)
де
D0 :=
[
D(j)
0
]β·γ
j=1
∈ Rβ·γ×β·γ , D(j)
0 := MΘ(j) −
∫ b
a
A(s)Φ(s)Θ(j)Ψ(s) ds −
−M
∫ b
a
A(t)
∫ t
a
Φ(s)Θ(j)Ψ(s) ds dt,
а також
D0 :=
[
D(j)
0
]α·β
j=1
∈ Rβ·γ×α·β , D(j)
1 := −M
∫ b
a
A(t)Ξ(j) dt
– сталi матрицi. Позначимо PD∗ ∈ Rβγ×βγ i PD ∈ R(α+γ)β×(α+γ)β матрицi-ортопроектори:
PD∗ : Rβγ → N(D∗), PD : Rαβ+βγ → N(D∗).
За умови [1, 3, 14]
PD∗MB = 0 (5)
загальний розв’язок рiвняння (4)
c = D+MB + PDρcρ, cρ ∈ Rρ
визначає загальний розв’язок
C0 = C0(B) + C0(cρ), C0(B) := M−1
[
ξ(B)
]
, C0(cρ) := M−1
[
ξ(cρ)
]
,
C1 = C1(B) + C1(cρ), C1(B) := M−1
[
ζ(B)
]
, C1(cρ) := M−1
[
ζ(cρ)
]
матричного рiвняння типу Сильвестра (3); тут
ξ(B) :=
(
Iβγ O
)
D+MB, ξ(cρ) :=
(
Iβγ O
)
PDρcρ,
ζ(B) :=
(
O Iαβ
)
D+MB, ζ(cρ) :=
(
O Iαβ
)
PDρcρ;
153
С. М. Чуйко, О. С. Чуйко, В. О. Чечетенко
матриця PDρ ∈ R(α+γ)β×ρ складена з ρ лiнiйно незалежних стовпцiв матрицi-
ортопроектора PD.
Лемма. За умови (5) загальний розв’язок
Z(t, cρ) =W (t, cρ) +K
[
F (s)
]
(t), cρ ∈ Rρ
задачi Кошi Z(a) = C1(cρ) для рiвняння (1) визначає узагальнений оператор Грiна
матричної задачi Кошi
K
[
F (s)
]
(t) :=
∫ t
a
Φ(s)C0(B)Ψ(s) ds+ C1(B) + F(t);
тут
W (t, cρ) := C1(cρ) +
∫ t
a
A(s)Φ(s)C0(cρ)Ψ(s) ds, cρ ∈ Rρ
– загальний розв’язок задачi Кошi Z(a) = 0 для однорiдної частини рiвняння (1).
3. Узагальнений оператор Грiна iнтегрально-диференцiальної край-
ової задачi.
Позначимо
Θ(j)
ρ ∈ Rρ, j = 1, 2, ... , ρ
– природний базис простору Rρ. Пiдставляючи розв’язок рiвняння (1) у крайову
умову (2), приходимо до задачi про зноходження розв’язку
cρ =
ρ∑
j=1
Θ(j)
ρ ξj ∈ Rρ, ξj ∈ R1, j = 1, 2, ... , ρ
матричного рiвняння типу Сильвестра [3, 6, 7]
LW (·, cρ) + LK
[
F (s)
]
(·) = A ∈ Rµ×ν . (6)
В критичному випадку (PQ∗ ̸= 0) за умови (5) i [3, 7]
PQ∗
d
M
{
A− LK
[
F (s)
]
(·)
}
= 0 (7)
розв’язок матричного рiвняння (5) визначає вектор cρ = cρ(cr) + cρ(A, F ), де
cρ(A, F ) := Q+M
{
A− LK
[
F (s)
]
(·)
}
, cρ(cr) := PQrcr, cr ∈ Rr.
154
Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi
Тут PQ∗− (µ · ν × µ · ν)− матриця-ортопроектор PQ∗ : Rµ·ν → N(Q∗), де
Q :=
[
Qi
]ρ
j=1
∈ Rµ·ν×ρ, Qj := M
{
LM−1
[
W (·,Θ(j)
ρ )
]}
, j = 1, 2, ... , ρ;
матриця PQr складена з r лiнiйно-незалежних стовпцiв (ρ × ρ)− матрицi-орто-
проектора PQ; матриця PQ∗
d
складена з d лiнiйно незалежних рядкiв матрицi-
ортопроектора PQ∗ . Таким чином, в критичному випадку, за умови (5) i (7) роз-
в’язок матричної iнтегрально-диференцiальної системи типу Фредгольма з вирод-
женим ядром (1), що задовольняє крайовiй умовi (2)
Z(t, cr) =W (t, cr) +G
[
F (s);A
]
(t), cr ∈ Rr
визначає узагальнений оператор Грiна
G
[
F (s);A
]
(t) :=W (t, cρ(A, F )) +K
[
F (s)
]
(t)
i загальний розв’язок однорiдної частини крайової задачi (1), (2)
W (t, cr) := C1(cρ(cr)) +
∫ t
a
A(s)Φ(s)C0(cρ(cr))Ψ(s) ds;
тут
W (t, cρ(A, F )) := C1(cρ(A, F )) +
∫ t
a
A(s)Φ(s)C0(cρ(A, F ))Ψ(s) ds.
Таким чином, доведена наступна достатня умова розв’язностi матричної iнтеграль-
но-диференцiальної системи типу Фредгольма з виродженим ядром (1), що задо-
вольняє крайовiй умовi (2).
Теорема. В критичному випадку (PQ∗ ̸= 0) за умови (5) i (7), розв’язок мат-
ричної iнтегрально-диференцiальної системи типу Фредгольма з виродженим яд-
ром (1), який задовольняє крайовiй умовi (2)
Z(t, cr) =W (t, cr) +G
[
F (s);A
]
(t), cr ∈ Rr
визначає узагальнений оператор Грiна
G
[
F (s);A
]
(t) :=W (t, cρ(A, F )) +K
[
F (s)
]
(t)
i загальний розв’язок однорiдної частини крайової задачi (1), (2)
W (t, cr) := C1(cρ(cr)) +
∫ t
a
A(s)Φ(s)C0(cρ)Ψ(s) ds;
155
С. М. Чуйко, О. С. Чуйко, В. О. Чечетенко
тут
W (t, cρ(A, F )) := C1(cρ(A, F )) +
∫ t
a
A(s)Φ(s)C0(cρ(A, F ))Ψ(s) ds,
– загальний розв’язок однорiдної частини крайової задачi (1), (2) та
K
[
F (s)
]
(t) :=
∫ t
a
Φ(s)C0(B)Ψ(s) ds+ C1(B) + F(t);
– узагальнений оператор Грiна матричної задачi Кошi Z(a) = 0 для лiнiйної
матричної iнтегрально-диференцiальної системи типу Фредгольма з виродже-
ним ядром (1).
Знайденi умови розв’язностi (5) i (7), а також конструкцiя узагальненого опе-
ратора Грiна крайової задачi для матричної iнтегрально-диференцiальної системи
типу Фредгольма з виродженим ядром (1), (2) узагальнюють традицiйнi резуль-
тати для нетеровых крайових задач [1, 2].
Приклад 1. Вимогам доведеної теореми задовольняє задача про побудову 2π-
перiодичних розв’язкiв матричної iнтегрально-диференцiальної системи
Z ′(t) = Φ(t)
∫ b
a
[
A(s)Z(s) +B(s)Z ′(s)
]
Ψ(t) ds+ F (t), (8)
де
A(t) :=
(
cos t sin t 0
0 0 0
)
, Φ(t) :=
cos t − sin t
sin t cos t
0 0
, Ψ(t) :=
(
cos t sin t
− sin t cos t
)
,
B(t) :=
(
cos t sin t 0
0 cos t sin t
)
, F (t) :=
sin t 0
cos t sin t
0 cos t
.
Позначимо
Ξ1 :=
1 0
0 0
0 0
, Ξ2 :=
0 0
1 0
0 0
, ... , Ξ6 :=
0 0
0 0
0 1
природний базис простору R3×2, а також
Θ1 :=
(
1 0
0 0
)
, Θ2 :=
(
0 0
1 0
)
, ... , Θ4 :=
(
0 0
0 1
)
природний базис простору R2×2; при цьому
D =
1 π −π 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
π 0 1 π 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
, PD∗ =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
,
156
Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi
крiм того
PD =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
PDρ =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
.
Оскiльки PD∗ = 0, то умова (5) виконана. Матрицi
C0(B) =
(
0 π
π 0
)
, C0(cρ) =
(
0 0
0 0
)
,
C1(B) =
0 0
0 0
0 0
, C1(cρ) =
c1 c4
c2 c5
c3 c6
визначають загальний розв’язок
W (t, cρ) = C1(cρ), cρ ∈ R6
задачi Кошi Z(0) = 0 для однорiдної частини рiвняння (8), а також узагальнений
оператор Грiна матричної задачi Кошi
K
[
F (s)
]
(t) =
1− cos t− π sin2 t π cos t sin t
(1 + π cos t) sin t 1− cos t+ π sin2 t
0 sin t
.
Оскiльки Q = 0, A = 0 i LK[F (s)](·) = 0, то умова (7) виконана, при цьому
розв’язок матричної iнтегрально-диференцiальної системи типу Фредгольма з ви-
родженим ядром, який задовольняє крайовiй умовi (8)
Z(t, cr) =W (t, cr) +G
[
F (s);A
]
(t), cr ∈ R6
визначає узагальнений оператор Грiна
G
[
F (s);A
]
(t) = K
[
F (s)
]
(t)
i загальний розв’язок W (t, cr) = C1(cρ) однорiдної частини крайової задачi (8).
157
С. М. Чуйко, О. С. Чуйко, В. О. Чечетенко
У некритичному випадку (PQ∗ = 0) умова (7) виконується для будь-яких неод-
норiдностей крайової задачi (1), (2), при цьому розв’язок матричної iнтегрально-
диференцiальної системи типу Фредгольма з виродженим ядром (1), який задо-
вольняє крайовiй умовi (2) визначає наступне твердження.
Наслiдок. У некритичному випадку (PQ∗ = 0) за умови (5) розв’язок мат-
ричної iнтегрально-диференцiальної системи типу Фредгольма з виродженим яд-
ром (1), який задовольняє крайовiй умовi (2)
Z(t, cr) =W (t, cr) +G
[
F (s);A
]
(t), cr ∈ Rr
визначає узагальнений оператор Грiна
G
[
F (s);A
]
(t) :=W (t, cρ(A, F )) +K
[
F (s)
]
(t)
та загальний розв’язок однорiдної частини крайової задачi (1), (2)
W (t, cr) := C1(cρ(cr)) +
∫ t
a
A(s)Φ(s)C0(cρ)Ψ(s) ds.
Приклад 2. Вимогам доведеного наслiдку задовольняє задача про побудову
антиперiодичних розв’язкiв матричної iнтегрально-диференцiальної системи (8).
Загальний розв’язок W (t, cρ), cρ ∈ R6 задачi Кошi Z(0) = 0 для однорiдної
частини рiвняння (8), а також узагальнений оператор Грiна матричної задачi Кошi
K[F (s)](t) були знайденi в прикладi 1. Оскiльки Q = 2 I6, A = 0 i LK[F (s)](·) = 0,
то єдиний розв’язок
Z(t) = G
[
F (s);A
]
(t)
матричної iнтегрально-диференцiальної системи типу Фредгольма з виродженим
ядром, який задовольняє крайовiй умовi Z(0)+Z(2π) = 0, визначає узагальнений
оператор Грiна
G
[
F (s);A
]
(t) = K
[
F (s)
]
(t)
антиперiодичної крайової задачi (8).
Запропонованi умови розв’язку, а також конструкцiя узагальненого операто-
ра Грiна крайової задачi (1), (2) для матричної iнтегрально-диференцiальної си-
стеми типу Фредгольма з виродженим ядром (1) узагальнюють умови розв’язку
i конструкцiю узагальненого оператора Грiна iнтегрально-диференцiальної край-
ової задачi [2, 8], а також матричної крайової задачi [9]. Крiм того, аналогiчнi
умови розв’язку, а також конструкцiя узагальненого оператора Грiна матричної
iнтегрально-диференцiальної системи типу Фредгольма з виродженим ядром (1)
158
Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi
можуть бути отриманi для аналогiчної крайової задачi в абстрактних просторах
[1, 10]. Запропонована схема дослiдження крайових задач матричної iнтегрально-
диференцiальної системи типу Фредгольма з виродженим ядром (1) аналогїчно
[8] може бути перенесена на нелiнiйнi iнтегрально-диференцiальнi системи ти-
пу Фредгольма з виродженим ядром, а також аналогiчно [11, 12, 13, 14, 15, 16,
17] — на матричнi крайовi задачi для iнтегрально-диференцiальних систем типу
Фредгольма з виродженим ядром, що мiстять диференцiально-алгебраїчний опе-
ратор. З iншого боку, у разi нерозв’зностi матричнi крайовi задачi для iнтегрально-
диференцiальних систем типу Фредгольма з виродженим ядром можуть бути ре-
гуляризованi аналогiчно [18, 19].
Цитована лiтература
1. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value
problems (2-th edition). – Berlin; Boston: De Gruyter, 2016. – 298 p.
2. Самойленко А.М., Бойчук О.A., Кривошея С.А. Крайовi задачi для систем лiнiйних iнтегро-
диференцiальних рiвнянь типу Фредгольма з виродженим ядром // Укр. мат. журн. – 1996.
– 48, № 11. – С. 1576–1579.
3. Чуйко С.М. О решении линейных матричных уравнений // Вiсник Харкiвського нацiональ-
ного унiверситету iменi В.Н. Каразiна. Серiя: Математика, прикладна математика i механiка.
– 2015. – 29. – C. 27–33.
4. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука. – 1984. – 318 с.
5. Chuiko S.M. A generalized matrix differential-algebraic equation // Journal of Mathematical
Sciences (N.Y.). – 2015. – 210, № 1. – P. 9–21.
6. Boichuk A.A., Krivosheya S.A. Criterion of the solvability of matrix equations of the Lyapunov
type // Ukrainian Mathematical Journal. – 1998. – 50, № 8. – P. 1162–1169.
7. Чуйко С.М. О решении обобщенного матричного уравнения Сильвестра // Чебышевский
сборник. – 2015. – 16, вып. 1. – С. 52–66.
8. Boichuk A.A., Holovats’ka I.A. Boundary-value problems for systems of integrodifferential equa-
tions // Journal of Mathematical Sciences. – 2014. – 203, № 3. – P. 306–321.
9. Boichuk A.A., Krivosheya S.A. A Critical Periodic Boundary Value Problem for a Matrix Riccati
Equation // Differential Equations. – 2001. – 37, № 4. – P. 464–471.
10. Chuiko S.M. On solvability of linear matrix boundary-value problem // Journal of Mathematical
Sciences. – 2018. – 230, № 5. – P. 799–801.
11. Campbell S.L. Singular Systems of differential equations. – San Francisco–London–Melbourne:
Pitman Advanced Publishing Program. – 1980. – 178 p.
12. Chuiko S.M. The Green’s operator of a generalized matrix linear differential-algebraic boundary
value problem // Siberian Mathematical Journal. – 2015. — 56, № 4. – P. 752–760.
13. Boichuk A.A., Pokutnyi A.A., Chistyakov V.F. Application of perturbation theory to the solvabi-
lity analysis of differential algebraic equations // Computational Mathematics and Mathematical
Physics. – 2013. – 53, № 6. – P. 777–788.
14. Chuiko S.M. A generalized matrix differential-algebraic equation // Journal of Mathematical
Sciences (N.Y.). – 2015. – 210, № 1. – P. 9–21.
15. Chuiko S.M. Generalized Green Operator of Noetherian boundary-value problem for matrix
differential equation // Russian Mathematics. – 2016. – 60, № 8. – P. 64–73.
16. Chuiko S.M. Nonlinear matrix differential-algebraic boundary value problem // Lobachevskii
Journal of Mathematics. – 2017. – 38 (2). – P. 236–244.
17. Chuiko S.M. On the solvability of a matrix boundary-value problem // Journal of Mathematical
Sciences. – 2018. – 232, № 5. – P. 794–798.
18. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1986. –
288 с.
159
С. М. Чуйко, О. С. Чуйко, В. О. Чечетенко
19. Chuiko S.M. On the regularization of a matrix differential-algebraic boundary-value problem //
Journal of Mathematical Sciences. – 2017. – 220, № 5. – P. 591–602.
References
1. Boichuk, A. A., Samoilenko, A. M. (2016). Generalized inverse operators and Fredholm boundary-
value problems (2-th edition). Berlin; Boston: De Gruyter.
2. Samoylenko, A.M., Boychuk, O.A., Krivosheya, S.A. (1996). Krayovi zadachi dlya sistem liniynih
integro-diferentsialnih rivnyan tipu Fredgolma z virodzhenim yadrom. Ukr. mat. zhurn., 48,
No. 11, pp. 1576–1579 (in Ukrainian).
3. Chuiko, S.M. (2015). O reshenii lineynyih matrichnyih uravneniy // Visnik Harkivskogo natsional-
nogo universitetu imeni V.N. Karazina. Seriya: Matematika, prikladna matematika i mehanika,
29, pp. 27–33 (in Russian).
4. Voevodin, V.V., Kuznetsov, Yu.A. (1984). Matritsyi i vyichisleniya. Moscow: Nauka (in Russian).
5. Chuiko, S.M. (2015). A generalized matrix differential-algebraic equation. Journal of Mathematical
Sciences (N.Y.), 210, No. 1, pp. 9–21.
6. Boichuk, A.A., Krivosheya, S.A. (1998). Criterion of the solvability of matrix equations of the
Lyapunov type. Ukrainian Mathematical Journal, 50, No. 8, pp. 1162–1169.
7. Chuiko, S.M. (2015). O reshenii obobschennogo matrichnogo uravneniya Silvestra. Chebyishevskiy
sbornik, 16, No. 1. pp. 52–66 (in Russian).
8. Boichuk, A.A., Holovats’ka, I.A. (2014). Boundary-value problems for systems of integrodifferential
equations. Journal of Mathematical Sciences. 203, No. 3, pp. 306–321.
9. Boichuk, A.A., Krivosheya, S.A. (2001). A Critical Periodic Boundary Value Problem for a Matrix
Riccati Equation. Differential Equations. 37, No. 4, pp. 464–471.
10. Chuiko, S.M. (2018). On solvability of linear matrix boundary-value problem. Journal of Mathema-
tical Sciences. 230, No. 5, pp. 799–801.
11. Campbell, S.L. (1980). Singular Systems of differential equations. San Francisco, London, Melbour-
ne: Pitman Advanced Publishing Program.
12. Chuiko, S.M. (2015). The Green’s operator of a generalized matrix linear differential-algebraic
boundary value problem. Siberian Mathematical Journal. 56, No. 4. pp. 752–760.
13. Boichuk, A.A., Pokutnyi, A.A., Chistyakov, V.F. (2013). Application of perturbation theory
to the solvability analysis of differential algebraic equations. Computational Mathematics and
Mathematical Physics. 53, No. 6, pp. 777–788.
14. Chuiko, S.M. (2015). A generalized matrix differential-algebraic equation. Journal of Mathematical
Sciences (N.Y.). 210, No. 1, pp. 9–21.
15. Chuiko, S.M. (2016). Generalized Green Operator of Noetherian boundary-value problem for
matrix differential equation. Russian Mathematics. 60, No. 8. pp. 64–73.
16. Chuiko, S.M. (2017). Nonlinear matrix differential-algebraic boundary value problem. Lobachevskii
Journal of Mathematics. 38 (2), pp. 236–244.
17. Chuiko, S.M. (2018). On the solvability of a matrix boundary-value problem. Journal of Mathema-
tical Sciences, 232, No. 5, pp. 794–798.
18. Tihonov, A.N., Arsenin, V.Ya. (1986). Metodyi resheniya nekorrektnyih zadach. Moscow: Nauka
(in Russian).
19. Chuiko, S.M. (2017). On the regularization of a matrix differential-algebraic boundary-value
problem. Journal of Mathematical Sciences. 220, No. 5, pp. 591–602.
S. M. Chuiko, O. S. Chuiko, V. O. Chechetenko
Green’s operator of a matrix integral-differential boundary value problem.
The conditions of solvability and construction of the generalized Green operator of the linear boundary
value problem for a matrix integral-differential system of the Fredholm type with a degenerate kernel
160
Оператор Грiна матричної iнтегрально-диференцiальної крайової задачi
were found. The current interest of studying the theory of boundary value problems for linear integral-
differential equations is associated with numerous applications in problems of mechanics, aerodynamics,
recovery of parameters, and also the theory of oscillations. The original solvability conditions and
construction of a general solution of the Sylvester type matrix equation were used to solve the matrix
integral-differential boundary value problem. In this work a pseudo-inversion apparatus (by Moore–
Penrose) of the matrix [1], the construction of generalized Green operators constructed in the works of
A. M. Samoilenko and O. A. Boichuck [1] and methods for solving the Lyapunov and Sylvester matrix
equations constructed in the work of O. A. Boichuk, S. A. Krivosheya [6] and S. M. Chuiko [7, 12]
are basically used. The proposed conditions of solvability and construction of a generalized Green
operator of the boundary value problem for the matrix integral-differential system of the Fredholm
type with a degenerate kernel, generalize the conditions of solvability and construction of a generalized
Green operator of the integral-differential boundary value problem [2, 8], and of the matrix boundary
value problem [9]. In addition, similar conditions of solvability, and construction of a generalized Green
operator of a matrix integral differential system of the Fredholm type with a degenerate kernel, can
be obtained for a similar boundary value problem in abstract spaces [1, 10]. The proposed scheme of
studying the boundary value problems of the matrix integral differential system of the Fredholm type
with a degenerate kernel (1) [8] can be transferred analogously to nonlinear integral-differential systems
of the Fredholm type degenerate kernel, and similarly [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17] can be transferred on
matrix boundary value problems for integral-differential systems of the Fredholm type with degenerate
kernel containing differential-algebraic operator. On the other hand, in case of unsolvability of matrix
boundary value problems for integral-differential systems of the Fredholm type with a degenerate
kernel can be analogously regularized [18, 19].
Keywords: Green’s operator, matrix integral-differential system, boundary value problem.
С. М. Чуйко, А. С. Чуйко, В. А. Чечетенко
Оператор Грина матричной интегрально-дифференциальной задачи.
Найдены условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина линейной
краевой задачи для матричной интегрально-дифференциальной системы типа Фредгольма с вы-
рожденным ядром. Актуальность изучения теории краевых задач для линейных интегрально-
дифференциальных уравнений связана с многочисленными приложениями в задачах механики,
аэродинамики, восстановление параметров, а также теории колебаний. Для решения матричной
интегрально-дифференциальной краевой задачи применены оригинальные условия разрешимо-
сти, а также конструкция общего решения матричного уравнения типа Сильвестра. В работе
существенно используется аппарат псевдообращения (по Муру–Пенроузу) матриц [1], конструк-
ции обобщенных операторов Грина, построенные в работах А. М. Самойленко и А. А. Бойчу-
ка [1] и методы решения матричных уравнений Ляпунова и Сильвестра, построенные в работах
А. А. Бойчука, С. А. Кривошеи [6] и С. М. Чуйко [7, 12]. Предложенные условия разрешимости, а
также конструкция обобщенного оператора Грина краевой задачи для матричной интегрально-
дифференциальной системы типа Фредгольма с вырожденным ядром обобщают условия раз-
решимости и конструкцию обобщенного оператора Грина интегрально-дифференциальной кра-
евой задачи [2, 8], а также матричной краевой задачи [9]. Кроме того, аналогичные условия
разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина матричной интегрально-
161
С. М. Чуйко, О. С. Чуйко, В. О. Чечетенко
дифференциальной системы типа Фредгольма с вырожденным ядром могут быть получены для
аналогичной краевой задачи в абстрактных пространствах [1, 10]. Предложенная схема иссле-
дования краевых задач матричной интегрально-дифференциальной системы типа Фредгольма
с вырожденным ядром (1) аналогично [8] может быть перенесена на нелинейные интегрально-
дифференциальные системы типа Фредгольма с вырожденным ядром, а также аналогично [11,
12, 13, 14, 15, 16, 17] – на матричные краевые задачи для интегрально-дифференциальных систем
типа Фредгольма с вырожденным ядром, содержащие дифференциально-алгебраический опера-
тор. С другой стороны, в случае неразрешимости матричные краевые задачи для интегрально-
дифференциальных систем типа Фредгольма с вырожденным ядром могут быть регуляризованы
аналогично [18, 19].
Ключевые слова: оператор Грина, матричная интегрально-дифференциальная система, кра-
евая задача.
Донбаський державний педагогiчний унiверситет, Слов’янськ
chujko-slav@inbox.ru
Отримано 19.12.17
162
|