Динамика упругих тел, твердых и жидких частиц в сжимаемой вязкой жидкости (обзор)

Наведено результати лінеаризації основних співвідношень в'язкої стисливої рідини стосовно до теорії малих коливань або рухів твердих тіл в ній і до теорії поширення малих збурень у пружних тілах, що взаємодіють із рідиною. Запропоновано загальні розв'язки рівнянь лінеаризованої теорії. Роз...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Прикладная механика
Дата:	2016
Автори:	Гузь, А.Н., Жук, А.П., Багно А.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2016
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145128
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Динамика упругих тел, твердых и жидких частиц в сжимаемой вязкой жидкости (обзор) / А.Н. Гузь, А.П. Жук, А.М. Багно // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 3-77. — Бібліогр.: 202 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860026585129680896
author	Гузь, А.Н. Жук, А.П. Багно А.М.
author_facet	Гузь, А.Н. Жук, А.П. Багно А.М.
citation_txt	Динамика упругих тел, твердых и жидких частиц в сжимаемой вязкой жидкости (обзор) / А.Н. Гузь, А.П. Жук, А.М. Багно // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 3-77. — Бібліогр.: 202 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Прикладная механика
description	Наведено результати лінеаризації основних співвідношень в'язкої стисливої рідини стосовно до теорії малих коливань або рухів твердих тіл в ній і до теорії поширення малих збурень у пружних тілах, що взаємодіють із рідиною. Запропоновано загальні розв'язки рівнянь лінеаризованої теорії. Розглянуто результати досліджень хвилевих процесів у гідропружніх системах, які виконано із застосуванням тривимірних лінеаризованих теорій пружності за скінченних деформацій та в'язкої стисливої рідини. Наведено результати досліджень поширення акустичних хвиль різних типів у хвилеводах з плоскими та круговими циліндричними поверхнями контакту пружних і рідких середовищ, а також вплив на них великих (скінченних) початкових деформацій та в'язкості й стисливості рідини. Наведено огляд досліджень руху об'єктів у стисливих ідеальній та в'язкій рідинах під дією радіаційних сил, які зумовлені акустичним полем. Акцент зроблено на роботах, в яких використано метод, що грунтується на розв'язуванні задач гідродинаміки стисливої рідини, в якій знаходяться тверді частинки, з наступним обчисленням сил, діючих на частинки. Радіаційна сила визначається як стала складова гідродинамічної сили. Числові результати досліджень наведено у вигляді графіків та надано їх аналіз. The results of linearization of the basic relationships for the viscous compressible fluid relative to the theory of small vibrations or motions of solid bodies in this fluid as well as the theory of propagation of small perturbations in elastic bodies that interact with the fluid are shown. The general solutions of equations of the linearized theory are presented. The results of studying the wave processes in the hydro-elastic systems are considered that are carried out with using the three-dimensional linearized theory of elasticity for finite deformations and theory of viscous compressible fluid. The results of studying the propagation of acoustic waves of different types in the waveguides with plane and circular cylindrical surfaces of contact of elastic and fluid media as well as influence on acoustic waves of the large (finite) initial deformations, viscosity and compressibility of fluid are given. The review of study of objects in the compressible perfect and viscous fluids under action of radiation forces due to the acoustic field is carried out. The emphasis is placed on the works, in which the method is used that is based on solving the problems of hydromechanics of compressible fluid with solid particles with following evaluation of forces acting on these particles. The radiation force is determined as the constant component of hydrodynamical force. The numerical results of studies are given in the form of plots that further are analyzed.
first_indexed	2025-12-07T16:50:26Z
format	Article
fulltext	2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 5 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, № 5 3 А .Н . Г у з ь , А .П .Жу к , А .М . Б а г н о ДИНАМИКА УПРУГИХ ТЕЛ, ТВЕРДЫХ И ЖИДКИХ ЧАСТИЦ В СЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ (ОБЗОР) Инcтитут механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. П. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: zhuk@inmech.kiev.ua Abstract. The results of linearization of the basic relationships for the viscous compressi- ble fluid relative to the theory of small vibrations or motions of solid bodies in this fluid as well as the theory of propagation of small perturbations in elastic bodies that interact with the fluid are shown. The general solutions of equations of the linearized theory are presented. The results of studying the wave processes in the hydro-elastic systems are considered that are carried out with using the three-dimensional linearized theory of elasticity for finite deformations and theory of viscous compressible fluid. The results of studying the propagation of acoustic waves of different types in the waveguides with plane and circular cylindrical surfaces of contact of elastic and fluid media as well as influence on acoustic waves of the large (finite) initial deformations, viscosity and compressibility of fluid are given. The review of study of objects in the compressible perfect and viscous fluids under action of radiation forces due to the acoustic field is carried out. The emphasis is placed on the works, in which the method is used that is based on solving the problems of hydromechanics of com- pressible fluid with solid particles with following evaluation of forces acting on these particles. The radiation force is determined as the constant component of hydrodynamical force. The numerical results of studies are given in the form of plots that further are analyzed. Key words: three-dimensional linearized theory, viscous compressible fluid, elastic compressible and incompressible body, initial stress, radiation force, acoustic field, particle, harmonic wave. Введение. Динамика жидкости совместно с взаимодействующими с ней твердыми и деформи- руемыми телами является одной из фундаментальных и классических проблем механи- ки, физики и прикладной математики. Конкретные результаты, полученные при иссле- довании этой проблемы, имеют существенное прикладное значение для различных за- дач естествознания и техники, включая и новейшие технологические процессы. В настоящее время исследования динамического поведения твердых и упругих тел в вязкой жидкости проведены, в основном, в рамках модели несжимаемой вязкой жидкости. Имеются лишь отдельные публикации, в которых приведены результаты, полученные с применением более общей модели, учитывающей вязкость и сжимае- мость жидкой среды. Обзор работ, посвященных этим исследованиям, выполнен в [31, 76, 78, 91, 95, 171]. Анализ полученных результатов показал, что несмотря на важность исследуемой динамической задачи, вопросы малых колебаний и движений твердых и упругих тел в сжимаемой вязкой жидкости, а также при взаимодействии их с вязкой жидкой средой изучены недостаточно полно. В данной работе дан обзор результатов, полученных в рамках трехмерной линеари- зированной теории при исследовании движения и взаимодействия в жидкости твердых частиц, а также при исследовании распространения волн малой амплитуды в упругих телах, взаимодействующих с вязкой сжимаемой жидкостью. В первом разделе приведены линеаризированные соотношения для покоящейся вязкой сжимаемой жидкости для случая нестационарных и гармонических малых 4 движений (колебаний). При этом использовано точное выражение для определения полной производной от вектора скорости. Применительно к линеаризированной тео- рии для покоящейся сжимаемой вязкой жидкости приведена установленная аналогия с конкретной реологической моделью деформируемого твердого тела. Представлены общие решения основных соотношений линеаризированной теории вязкой сжимае- мой жидкости. При этом выражения для них получены через скалярный и векторный потенциалы. Приведены также уравнения, из которых эти потенциалы определяются. Показано, что посредством предельных переходов из предложенных общих решений следуют известные общие решения для более простых моделей жидкости (несжимае- мая вязкая, сжимаемая и несжимаемая идеальная жидкость). Отметим, что разработка новой техники и развитие промышленности требуют при решении современных и важных задач привлечения теорий, более полно охватываю- щих свойства реальных упругих и жидких сред. В связи с этим весьма актуальным является при исследовании волновых процессов привлечение моделей предваритель- но напряженного тела и вязкой сжимаемой жидкости. Целесообразность рассмотре- ния современных задач в рамках указанного подхода обусловлена также тем, что при замене дифференциальных уравнений, содержащих члены, учитывающие начальные напряжения и вязкость жидкости, упрощенными соотношениями, не охватывающими эти свойства, настолько меняется структура дифференциальных уравнений, что мно- гие реально наблюдаемые явления становятся недоступными даже для чисто качест- венного исследования, а получаемые в рамках приближенных моделей количествен- ные результаты не удовлетворяют все возрастающим требованиям точности. В связи с этим представляет определенный теоретический и прикладной интерес проведение исследований волновых процессов в гидроупругих системах с привлечением для твердого тела уравнений трехмерной линеаризированной теории упругости конечных деформаций и для вязкой сжимаемой жидкости – трехмерных линеаризированных уравнений Навье – Стокса. Указанные вопросы освещены в разделе 2 данного обзора. Во втором разделе обсуждаются результаты исследования волновых процессов в гидроупругих волноводах с плоскими и криволинейными поверхностями раздела сред. Рассмотрены постановки и метод решения основных классов задач аэрогидро- упругости для сжимаемых и несжимаемых упругих тел, подверженных большим (ко- нечным) начальным деформациям и взаимодействующих с вязкой сжимаемой жидко- стью. Приведены и дан анализ графиков, полученных в результате численного реше- ния дисперсионных уравнений для ряда конкретных задач и отражающих влияние вязкой сжимаемой жидкости, а также начальных напряжений на величины фазовых скоростей, коэффициентов затухания и дисперсию нормальных волн. В третьем разделе дан анализ результатов исследований проблемы взаимодейст- вия акустической волны с твердыми и гибкими частицами, находящимися в сжимае- мой (вязкой и идеальной) жидкости, мерой которого являются радиационные (сред- ние во времени) силы. Радиационные силы обусловлены независимыми от времени радиационными напряжениями, возникающими в акустическом поле. В отличие от давления они характеризуются тензорной величиной [162, 163], следовательно, по тензору напряжения можно определить компоненты вектора силы, действующей на единичную площадку тела, как внутреннее произведение тензора напряжения и орта нормали к площадке. В случае скалярного давления такой зависимости нет. Однако, по установившейся в акустической литературе традиции для обозначения этой век- торной величины все же используется термин «радиационное давление» [48, 137, 145]. В появлении радиационных напряжений при прохождении акустической волны основную роль играет изменение среднего по времени потока импульса в некотором объеме жидкости (в литературе описана полемика, связанная с вопросами о «импуль- се» и о «потоке импульса» в волнах различных типов [48, 137, 145]). Изменения эти определяются эффектами второго порядка, обусловленными рассеянием звука на пре- пятствии, поглощением звука при его прохождении через среду и т.д. Поэтому радиа- ционное давление есть квадратичная величина относительно переменных акустичес- кого поля. В лагранжевых координатах давление звукового излучения определяется как среднее во времени значение звукового давления на поверхность препятствия. В связи с этим линейное приближение в случае гармонической волны при вычисле- нии звукового давления оказывается недостаточным, так как в этом приближении 5 звуковое давление является периодической функцией времени [136] и усредненное по времени за период волны равно нулю. Поэтому при вычислении звукового давления в жидкости необходимо учитывать эффекты второго порядка, обусловленные отклонением профиля волны в окрестности препятствия от гармонического закона изменения во вре- мени. Радиационное давление существенно изменяет движение твердой частицы, нахо- дящейся в жидкости. В результате его действия частица получает однонаправленное перемещение в пространстве, занятом жидкостью. При наличии в жидкости нескольких частиц интерференция первичной и отраженных от частиц волн создает акустическое поле сложной структуры, которое определяет действие на частицы различных по вели- чине и направлению радиационных сил, что обусловливает относительный дрейф час- тиц. Это обстоятельство широко используется для интенсификации многих технологи- ческих процессов, основанных на применении акустического воздействия [147, 152]. Различают два вида радиационного давления звука [48, 49, 137, 141]: рэлеевское и ланжевеновское или ланжевен-бриллюэновское. К рэлеевскому давлению относятся случаи распространения волн, при которых отсутствует взаимодействие звукового поля с невозмущенной средой. Эти случаи характерны для замкнутых объемов, когда масса среды, в которой происходят колебания, остается неизменной. Соответствую- щим примером является рассмотренный Рэлеем случай плоских стоячих волн между двумя неподвижными плоскими твердыми поверхностями. Выражение для рэлеевского давления звука зависит от коэффициента, учитывающего нелинейные свойства среды. В случаях, для которых характерно ланжевеновское давление звука, имеет место взаимодействие акустического поля с невозмущенной звуком средой, которая оказы- вает влияние на величину среднего во времени давления. Соответствующими этому случаю будут волновые процессы, в которых волны затухают на бесконечности. Ана- лизу ланжевеновского давления звука в одномерных звуковых полях посвящены ра- боты [48, 144, 161, 179 и др.]. В обзоре обсуждаются результаты проведенных в Институте механики им. С.П.Тимо- шенко НАН Украины исследований взаимодействия акустических волн с твердыми и гибкими частицами, находящимися в вязкой и идеальной неограниченной и ограни- ченной жидкостях, мерой которых являются радиационные силы. 1. Основные соотношения линеаризированной теории сжимаемой вязкой жидкости. Для адекватного описания динамики твердых и упругих тел в жидкости необходи- мо использовать соответствующие модели жидкости, поскольку модели твердого или упругого тела предопределены исходной постановкой конкретной проблемы. Модель сжимаемой вязкой жидкости является наиболее общей из классических моделей жид- кости, так как она призвана объединить свойство сжимаемости, которое в рамках иде- альной сжимаемой жидкости позволяет описать волновой характер распространения возмущений, и свойство вязкости, которое в рамках модели несжимаемой вязкой жидкости позволяет описать затухание динамических процессов. В случае примене- ния модели вязкой жидкости для описания динамики твердых и упругих тел в жидко- сти наиболее полную информацию можно получить при применении уравнений На- вье – Стокса. Однако, в этом случае при решении соответствующих задач возникают существенные математические трудности, которые преодолеваются в настоящее вре- мя в каждом конкретном случае с привлечением современных численных методов и компьютеров (ЭВМ). Существует класс проблем для вязкой жидкости, когда уравне- ния Навье – Стокса могут быть существенно упрощены. Это случаи динамических процессов, когда возмущения являются малыми и можно произвести последовательную линеаризацию уравнений Навье – Стокса с учетом точного выражения для полной производной от вектора скорости по времени; эти случаи также полностью соответствуют теории малых колебаний механических систем с учетом обычно принятой в механике терминологии. В монографии [144] рассматриваемый случай трактуется как движение объекта в жидкости, когда амплитуда колебаний объекта значительно меньше его размера. Таким образом, к вышеуказанному классу проблем относятся вопросы дина- мики (малых колебаний или движений) твердых тел в сжимаемой вязкой жидкости и вопросы о распространении малых возмущений (распространение волн малой ампли- туды) в упругих телах, взаимодействующих со сжимаемой вязкой жидкостью. 6 Для получения основных соотношений в наиболее простой и компактной форме при описании движения сплошной среды применительно к различным ее моделям используют различные координаты. В механике жидкости и газа применяют эйлеровы координаты и эйлеров способ описания движения, а в механике деформируемого твердого тела обычно используют лагранжевы координаты и лагранжев способ опи- сания движения. В связи с этим при исследовании совместных движений жидкости, газа, деформируемых и твердых тел возникает вопрос о выборе координат, при по- мощи которых основные соотношения указанной связанной (общей) задачи можно было бы представить также в простой форме. Отмеченная проблема решается наибо- лее успешно, если применительно к рассматриваемому классу задач можно ввести общие координаты, которые применительно к жидкости или газу переходят в эйлеро- вы координаты и которые применительно к деформируемому телу переходят в ла- гранжевы координаты. В рамках вышеизложенных соображений при линеаризированной постановке в [75, 76, 78] рассмотрены вопросы об отождествлении специальным образом выбран- ных лагранжевых и эйлеровых координат применительно к динамике жидкости (в том числе и сжимаемой вязкой жидкости) и деформируемых тел для следующих классов задач: покоящаяся жидкость и упругое тело без начальных напряжений; движущаяся жидкость при однородном потоке «на бесконечности» и упругое тело без начальных напряжений; покоящаяся жидкость и упругое тело с начальными напряжениями; движущаяся жидкость при однородном потоке «на бесконечности» и упругое тело с начальными напряжениями. В механике вязкой жидкости, основываясь на статистической механике необра- тимых процессов, полагают, что тензор напряжений можно разложить на два слагае- мых: тензор консервативных напряжений и тензор вязких (диссипативных) напряже- ний. Обычно это – сумма давления и тензора вязких напряжений. При установлении определяющих соотношений для жидкостей принимают, что тензор вязких напряже- ний является функцией тензора скоростей деформации. В дальнейшем будем предпо- лагать, что вязкие напряжения и скорости деформации связаны между собой линей- ными соотношениями (справедлив закон Навье – Стокса). Определяющее уравнение для таких жидкостей имеет следующий вид [75, 171]: ˆˆ ˆ( ) 2p E e        v , (1.1) где p – давление в жидкости; v – скорость частицы жидкости; Ê – единичный тензор; ̂ и ê – тензоры напряжений и скоростей деформации;  и  – кинематический и динамический коэффициенты вязкости. В рассматриваемых исследованиях жидкость принимается нетеплопроводной, а протекающие в ней процессы медленноразвивающимися, в результате чего коэффи- циент объемной вязкости принимался равным нулю [75] 1 3 0       . Это рав- носильно тому, что давление p определяется как среднее нормальное напряжение в покоящейся вязкой сжимаемой жидкости. При решении задач о адиабатическом дви- жении сжимаемой вязкой жидкости используют уравнения движения, которые с уче- том (1.1) принимают такой вид [75, 144]: ( ) ( ) ( ) ;p t                    v v v v v (1.2) уравнение неразрывности   0 t       v (1.3) и уравнение состояния для случая нетеплопроводной жидкости  p p    , (1.4) 7 где  – плотность жидкости. Приведенные уравнения гидромеханики нелинейные. Для задач, которые рассмотрены ниже, принимаются предположения, что исследуе- мые движения и процессы имеют характер малых возмущений некоторых состояний равновесия или основного движения, считающихся известными. Принимая тогда ис- комые функции в качестве величин первого порядка и отбрасывая слагаемые, содер- жащие величины второго порядка и выше, соотношения (1.2) – (1.4) можно записать в виде линейных уравнений [64, 75] 0 ( ) ( ) 0;p t                v v v (1.5) 0 0; t       v (1.6)  p p  . (1.7) Определяющее уравнение (1.1) после упрощений имеет следующий вид [75]: ˆˆ ˆ( ) 2 ;p E e        v ˆ2 ( ) .Te    v v (1.8) При исследовании малых колебаний жидкости около положения равновесия в качест- ве замыкающего уравнения можно принять уравнение 2 0 p a     . (1.9) Соотношения (1.5) – (1.9) представляют линеаризированную теорию вязкой сжимае- мой нетеплопроводной жидкости. В них 0 и 0a – плотность и скорость звука для жидкости в равновесном состоянии; p и  – возмущения давления и плотности в жидкости; 0p p p   , 0     . Представления общих решений уравнений гидродинамики вязкой сжимаемой жидкости, впервые полученные в работе [64], имеют следующий вид: ;  v Ψ div 0;  Ψ Ψ (1.10) 0( 2 ) ;p t             (1.11) 0 2 2 0 0 2 , ta a              (1.12) где скалярный  и векторный Ψ потенциалы удовлетворяют уравнениям 2 2 2 2 0 0 2 1 1 0; o ta a t                      (1.13) 0 t         Ψ . (1.14) В приведенных соотношениях 0    – кинематический коэффициент вязкости. Наряду с линеаризацией основных соотношений гидромеханики проводят линеа- ризацию и граничных условий. В случае движения твердого тела в жидкости линеари- зация граничных условий возможна при малых смещениях тела относительно некото- рого положения. В этом случае граничные условия на поверхности движущегося тела сносятся по нормали к поверхности тела в указанном состоянии покоя. Для вязкой сжимаемой жидкости на поверхности S тела должны выполняться условия прилипания. Это значит, что в случае неподвижного тела вектор скорости (1.10) равен нулю. Сво- 8 бодное тело под действием гидродинамических сил будет находиться в состоянии движения [67, 77]. Для него условия прилипания имеют следующий вид: ;Sv v ,S   v u ω r (1.15) где u и Sv – векторы скорости соответственно центра инерции и произвольной точки поверхности S тела; ω – вектор мгновенной угловой скорости вращения тела; r – радиус-вектор произвольной точки поверхности S тела относительно центра инерции. Величины u и ω определяются из уравнений движения твердого тела под действием гидродинамических сил и моментов ˆ ;r S dS F N ˆ( ) .r S S dS  M r N (1.16) Для составления уравнений движения твердого тела в жидкости используется тео- рема о движении центра масс и теорема моментов: 2 1 2 ;r d V d t   u F ,r d dt  L M (1.17) где V и 1 – объем и плотность тела;  1 V dV  L r ω r – кинематический момент твердого тела при движении тела относительно подвижной системы координат. 2. Волны в предварительно напряженных упругих телах, взаимодействую- щих с вязкой сжимаемой жидкостью. В большинстве работ результаты для предварительно деформированных упругих тел, взаимодействующих с жидкостью, получены, в основном, в рамках подхода, ос- нованного на использовании для тел с начальными напряжениями упрощенных при- кладных двумерных теорий, а для жидкости – моделей идеальной или вязкой несжи- маемой жидкой среды. Однако этот подход имеет существенные недостатки, которые в значительной ме- ре проявляются в задачах динамики. Введение дополнительных упрощающих гипотез сильно сужает область применимости полученных результатов. Подход, лишенный этих недостатков и основанный на использовании уравнений трехмерной линеаризированной теории упругости конечных деформаций для твердых тел и трехмерных линеаризированных уравнений Навье – Стокса для вязкой сжимае- мой жидкости, был впервые предложен в работах [57 – 59, 62 – 68, 71 – 79, 168, 170, 171]. Указанный подход является более общим и позволяет значительно полнее опи- сывать волновые процессы в реальных гидроупругих системах. В связи с этим в дальнейшем сосредоточим внимание лишь на исследованиях, выполненных в рамках указанного подхода, ориентируясь, в основном, на работы, выполненные в Институте механики им. С.П. Тимошенко Национальной академии наук Украины. 2.1. Постановка трехмерных задач гидроупругости для тел с начальными напря- жениями и вязкой сжимаемой жидкости. В публикациях [55 – 73, 75, 76, 78, 79] сформулирована общая постановка задач о взаимодействии сжимаемых и несжимае- мых упругих тел, подверженных большим (конечным) предварительным деформаци- ям, с покоящейся вязкой сжимаемой жидкой средой. В этих работах также предложен метод исследования и представлены основные соотношения линеаризированной теории аэрогидроупругости для тел с начальными напряжениями и вязкой сжимаемой жидкости. Следуя этому методу, относительно свойств упругих тел предположим, что они являются изотропными гиперупругими средами с произвольной структурой упругого потенциала. Функция, описывающая упругий потенциал нелинейно-упругого тела, может быть любой произвольной дважды непрерывно-дифференцируемой функцией компонент тензора деформаций Грина. Примем также, что жидкая среда, которая на- ходится в состоянии покоя, является ньютоновской и имеет произвольную вязкость. При этом, следуя Мизесу, тепловые эффекты не учитываются. В работах рассмотрены 9 только такие динамические процессы в гидроупругих системах, при которых, возни- кающие дополнительные деформации, т.е. возмущения деформаций, значительно меньше начальных деформаций. Введенные допущения позволяют применять соотношения линеаризированной теории упругости для упругих тел, а малость возмущений – использовать линеаризи- рованные уравнения Навье – Стокса для вязкой сжимаемой жидкости. Такая поста- новка дает возможность исследовать влияние начальных напряжений в упругом теле и вязкости жидкой среды на величины параметров, характеризующих волновой про- цесс: фазовую скорость распространения возмущений, коэффициенты затухания мод, частоты зарождения и дисперсию волн, а также и другие. При этом рассмотрен общий случай, когда начальное состояние определяется в рамках теории больших (конеч- ных) деформаций. Модели, основанные на различных вариантах теории малых на- чальных деформаций; на уравнениях приближенных прикладных двумерных теорий как для предварительно напряженных, так и для тел без начальных деформаций; на линейных соотношениях классической теории упругости; приближенные модели для жидкости являются частными случаями рассмотренных в указанных работах и сле- дуют из него при введении дополнительных упрощающих предположений. Показано, что с учетом введенных допущений в рамках принятых моделей систе- ма исходных соотношений линеаризированной теории аэрогидроупругости для тел с начальными напряжениями, взаимодействующими с вязкой сжимаемой жидкой сре- дой, имеет вид [55 – 73, 75, 76, 78, 79, 168, 170, 171]: 1) сжимаемые упругие тела – 2 2 2 0,ij j i u z z t                    1;kz V 0 ;j i ij u Q N z          1 2 3 ;i ij ij            1 2 3 ;      2) несжимаемые упругие тела – 2 2 2 0;ij j i i f u q z z zt                      1;kz V 0;j ij i u q z     1;kz V 0 ;j i ij ij u Q N q f z               ;ij i ij      ;ij i ijq q 1 2 3 1;    3) вязкая сжимаемая жидкость – * * 0 1 1 ( ) 0; 3 p t              v v v 2;kz V 0 1 0; t       v 2 0 ; p a     0 const;a  2;kz V * 2 . 3 ji ij ij ij j i vv p p z z                 v При этом специфику взаимодействия упругих и жидких сред отражают динамические 0;j ij iQ p N kz S и кинематические 10 , t    u v kz S условия, задаваемые на поверхности контакта упругих тел и жидкости S . Введенные здесь тензоры ,ij ij и ijq зависят от вида начального состояния и типа упругого потенциала материала твердого тела. Выражения для вычисления составляющих этих тензоров приведены в работе [61]. Там же предложены упроще- ния для различных вариантов теории малых начальных деформаций. Представленные уравнения для упругих тел записаны в лагранжевых координатах iz начального состояния и справедливы как при однородных, так и неоднородных деформациях. В дальнейшем исследованы гармонические волновые процессы малой амплитуды в упругих телах, находящихся в начальном состоянии. В отличие от твердых тел ра- венства для жидкой среды записаны в эйлеровых координатах, введенных в естест- венном состоянии жидкости. Следует отметить, что начальное состояние упругого тела при рассмотрении гидроупругой задачи является естественным состоянием по отношению к жидкой среде и системе в целом. Заметим, что поскольку исследуем распространение малых возмущений, то, как показано в первом разделе, в этом случае подходы Эйлера и Лагранжа в описании поведения сред совпадают. Поэтому далее не введены различия между лагранжевыми и эйлеровыми координатами и характерные для нелинейных задач трудности при записи граничных условий при указанных двух подходах не возникают. В дальнейшем исследованы волновые процессы в предвари- тельно деформированных сжимаемых и несжимаемых упругих телах, взаимодейст- вующих с вязкой сжимаемой жидкостью, начальное состояние которых является одно- родным. При этом перемещения в начальном состоянии определяются выражениями 0 1( 1) ;j j j ju z   const,j  гдe j – коэффициенты удлинений вдоль координатных осей. В случае однородного начального напряженно-деформированного состояния для сжимаемых и несжимае- мых упругих тел получены общие решения в [57 – 59, 71, 72, 75, 79, 168, 170]. Для предварительно деформированных сжимаемых тел эти представления при- нимаем в виде 2 1 2 1 2 1 3 ;u z z z         2 1 2 2 1 2 3 ;u z z z          1kz V ; 2 2 1 3 1133 1313 1111 1 3113 22 2 3 ( )u z t                       2 2 2 1 1 1 12 2 12213 0; ;kz V z t                 2 2 2 2 1111 1331 3333 31132 2 1 2 1 3 12 2 2 2 1111 1331 1111 13313 3 3z z z t                                                    2 4 24 1111 1331 0; t           1kz V ; const ;ij  0 1 2 3 (1 )( ) ;i j i j ij ij i ij i j j i ij j a s                                             11 31132 1 1221 ;       1 2 3333 31132 2 2,3 1111 1331 ;g g                   2 1111 1331 1111 3333 1331 3113 1133 13132 ( ) .g                      В случае несжимаемых упругих тел решения имеют вид 2 1 2 1 2 2 3 ; x x u z z z        2 1 2 2 1 2 3 ; x x u z z z         3 1 2 ,u x  1kz V 2 2 2 1 1 12 2 12213 0 ;x z t               const ;ij  1;kz V 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 22 2 2 2 13313 3 3 0;x z z z t                                        1;kz V 0(1 )( ) ;i j ij i j ij i ij i j j i ij j a s                                          2 3113 1 1221 ;      1 2 2 2 3113 2,3 1331 ;m m             1331 3333 1111 1133 13132 2( );m            2 2 1 2 2 1 2 . z z          Представления общих решений линеаризированных уравнений гидродинамики покоящейся ньютоновской вязкой сжимаемой жидкости, записанные через скалярный и векторный потенциалы, полученные в первом разделе, имеют следующий вид [62 – 65, 71, 72, 75, 76, 78, 171]: ( Ф ), t      v Ψ 2;kz V * 0 4 Ф, 3 p t         2;kz V * * * 0 2 00 2 Ф, ta              2kz V * 2 2 2 2 0 0 4 1 1 Ф 0, 3 ta a t                  2;kz V * 0, t       Ψ 2;kz V 2 2 2 2 2 2 1 2 3 ; z z z             * * 0 ;    * 2 ; 3    1, .0,ij i j i j    Здесь и ниже введены следующие обозначения: u – вектор смещений в упругом теле;  – плотность материала упругого тела; ijа и ij – коэффициенты уравнений со- стояния упругих тел; 0s – начальные напряжения; v – вектор возмущения скорости 12 жидкой среды; p и  – возмущения соответственно давления и плотности жидко- сти; 0 и 0a – плотность и скорость звука в жидкости, находящейся в состоянии по- коя;  и  – динамический и кинематический коэффициенты вязкости жидкой среды; 1V – объем, занимаемый упругим телом; 2V – объем, занимаемый жидкостью; S – поверхность контакта сред. Заметим, что применяемые решения являются наиболее общими и из них, как ча- стные случаи при введении дополнительных упрощающих предположений, следуют решения, справедливые для более простых моделей упругих и жидких сред, часть из которых использована ранее другими исследователями. В работах приведены также: предельные переходы, которые необходимо совер- шить; частные случаи сред и соответствующие им модели, которые в результате этого могут быть получены из рассматриваемого общего подхода. Представленная система уравнений, по существу, исчерпывает в рамках трехмер- ной линеаризированной теории постановку задач гидроупругости для упругих тел с однородными начальными деформациями и покоящейся ньютоновской вязкой сжи- маемой жидкой средой без учета тепловых эффектов. При этом, как частные случаи, имеют место более простые модели жидкости (несжимаемая вязкая, идеальная сжи- маемая и идеальная несжимаемая жидкие среды) и упругого тела (различные вариан- ты теории малых начальных деформаций, классическая теория упругости, приклад- ные двумерные теории как для предварительно деформированных, так и для тел без начальных напряжений). Заметим, что для упругих тел приведенные соотношения относительно возмуще- ний являются линейными, но в то же время величины начального состояния, входя- щие в них, определяются из общих нелинейных уравнений. В связи с этим, несмотря на то, что основные соотношения приведены в координатах начального деформиро- ванного состояния iz и все величины отнесены к размерам тела в этом состоянии (по- этому общая постановка задач гидроупругости для сред с начальными напряжениями в координатах iz по форме аналогична формулировке линейных задач классической теории гидроупругости), имеются и существенные различия, которые относятся к структуре входящих в нее уравнений и граничных условий. В рамках указанных моделей и с учетом введенных допущений в ряде работ по- лучено решение конкретных задач. 2.2 Волновые процессы в гидроупругих системах с плоскими границами раздела сред. 2.2.1. Волны Стоунли на границе раздела предварительно напряженных упругих и вязких сжимаемых жидких полупространств. Исследованию закономерностей распространения поверхностных волн вдоль гра- ницы контакта предварительно деформированных сжимаемых и несжимаемых упру- гих и вязких сжимаемых жидких полупространств посвящены публикации [9, 12, 28, 30, 31, 71, 72, 75, 79, 80, 171, 190 и др.]. Интерес к указанным задачам вызван возможностью возникновения в гидроупругих системах такой структуры эффектов резонансного свойства, приводящих к существова- нию волн, локализующихся в окрестности поверхности раздела сред. Влияние начальных деформаций на фазовые скорости поверхностных волн Стоунли при взаимодействии уп- ругого тела с идеальной жидкой средой исследовано в статьях [3, 11, 31, 71, 72, 75, 79, 106, 107 и др.]. В работах [9, 12, 28, 30, 31, 71, 72, 75, 79, 80, 171, 190 и др.] рассмот- рены волны такого типа с учетом начальных напряжений и вязкости жидкости. 2.2.1.1. Сжимаемое упругое тело и вязкая сжимаемая жидкость. Задача для сжимаемого упругого и вязкого сжимаемого жидкого полупространств характеризу- ется следующими динамическими 2 21 0 1 0 ;z zQ P   2 22 0 2 0z zQ P   (2.1) и кинематическими 13 2 2 1 1 0 0 ;z z u v t     2 2 2 2 0 0z z u v t     (2.2) граничными условиями. Далее применяются представления общих решений, которые для рассматриваемо- го плоского случая имеют вид [57, 62 – 65, 71, 72, 75, 79] 2 1 1 1 2 ; x u z z      2 0 2 2 2 0 2 2 1 11 11 2 1 12 22 2 12 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 12 12 1 1 1 11 11 2 1 1 11 11 ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) a s s u x a z a s z a s t                             22 32 1 1 2 ; xx v z t z t       22 32 2 2 1 xx v z t z t        , где введенные потенциалы ix определяются из следующих уравнений [57, 62 – 65, 71, 72, 75, 79]: 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 1 12 22 2 2 22 22 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 1 1 1 11 11 2 1 1 11 11 1 1 2 12 11 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s a s z a s z a s t z s z                                    4 22 4 2 12 12 12 2 0 2 2 0 2 0 2 2 1 2 12 11 1 11 11 2 12 11 1 2 ( ) 0; ( ) ( )( ) a x s t a s s z z                       2 2 2 22 2 2 2 2 0 1 2 0 4 1 1 0; 3 x ta z z a t                       2 2 * 32 2 1 2 0.x t z z                  Далее параметры, характеризующие процесс распространения поверхностных волн, определяем в классе бегущих волн, выбираемых в виде  2 1( ) exp ( )j jx X z i kz t  , 1,3j  , где k ( k i   ) – волновое число;  – коэффициент затухания;  – кру- говая частота 2( 1).i   Заметим, что принятый в данной работе класс гармонических волн, являясь наи- более простым и удобным в теоретических исследованиях, не ограничивает общности полученных результатов, поскольку линейная волна произвольной формы, как из- вестно, может быть представлена посредством гармонических составляющих. Ниже приведены решения двух задач Штурма – Лиувилля на собственные значе- ния для уравнений движения жидкости и упругого тела, а также определены соответ- ствующие собственные функции. После подстановки решений в граничные условия (2.1) и (2.2) получена система линейных однородных алгебраических уравнений отно- сительно произвольных постоянных. Исходя из условия существования нетривиаль- ного решения этой системы получено дисперсионное уравнение 0 * 0 0det ( , , , , , , , , , , ) 0lm ij ij iie c a s a        ( , 1, 4).l m  (2.3) Дисперсионное равенство (2.3) является более общим и из него при введении допол- нительных предположений следуют соотношения, описывающие параметры волн для ряда частных случаев волновых процессов и более простых моделей упругих и жид- ких сред, часть из которых рассмотрена ранее другими исследователями [43, 45, 46]. Совершены предельные переходы и приведены характеристические выражения, которые в результате этого следуют из (2.3) и справедливы для моделей вязкой не- сжимаемой, идеальной сжимаемой и несжимаемой жидкостей, а также при отсутствии 14 жидкой среды, как для предварительно деформированных, так и для тел без началь- ных напряжений. Отметим, что при выводе уравнения (2.3) налагалось единственное ограничение на функцию, описывающую упругий потенциал. Это условие ее дважды непрерывно-дифференцируемости. Какие-либо другие дополнительные требования к виду функции не предъявлялись и поэтому уравнение (2.3) имеет общий характер и справедливо для предварительно напряженных сжимаемых тел, упругие свойства ко- торых описываются упругими потенциалами произвольной формы. Показано, что при устремлении коэффициента вязкости жидкости  и начальных напряжений 0 iis к нулю дисперсионное уравнение (2.3) переходит в известное характеристическое соот- ношение Стоунли [43, 45, 46, 197], а, если дополнительно положить и плотность жид- кой среды равной нулю, то (2.3) перейдет в соотношение, впервые полученное Рэлеем [41, 43, 45, 151, 193]. Отметим, что оба эти характеристические уравнения в настоя- щее время основательно исследованы применительно к сейсмологии в рамках класси- ческой теории упругости и гидродинамики идеальной жидкости. Далее дисперсионное уравнение (2.3) для общего случая решено численно. При этом принято, что упругая полуплоскость загружена в направлении оси 1oz . При та- кой загрузке нет аналогии между линеаризированной и линейной задачами и поэтому результаты для предварительно деформированных тел не могут быть получены из решений соответствующей линейной задачи [68, 169]. В результате вычислений для жестких сжимаемых материалов (органическое стекло), упругие свойства которых описываются трехинвариантным упругим потенциалом Мурнагана, получены зави- симости величин фазовых скоростей и коэффициентов затухания поверхностных волн от начальных напряжений. При этом числовые результаты получены для жидкостей (воды и глицерина), контактирующих с органическим стеклом. Анализ полученных графиков показал, что начальные напряжения 0 11 (  0 0 11 1 11 2 3 ,s     где  – мо- дуль сдвига в упругом теле без начальных напряжений), повышают величины фазо- вых скоростей c ( sc c с , sc   ) и уменьшают величины коэффициентов за- тухания  ( ,sk  где sk – волновое число волны сдвига в материале упругого тела) поверхностных волн, а влияние вязкости жидкости имеет обратный характер. Полученные численно зависимости фазовой скорости c и коэффициента затуха- ния  поверхностных волн Стоунли от безразмерной скорости звука в жидкости 0a , приведены в работах [9, 12, 72, 75, 79]. Заметим, что 0 ,a равное отношению скорости волны звука в жидкости к скорости волны сдвига в бесконечном упругом теле ( 0 0 sa a с ), характеризует сжимаемость жидкой среды. Поэтому указанные зависимости иллюстрируют влияние сжимаемости жидкости на параметры поверхностных волн. Общей закономерностью, характерной для величин скорости и коэффициентов затухания волн Стоунли как в случае воды, так и глицерина, является существенное их изменение при увеличении сжимаемости (уменьшении 0a ) жидкостей. При 0a , стремящемся к «бесконечности», получаем случай вязкой несжимаемой жидкой среды. Таким образом, приведенный анализ позволяет предположить, что при рассмотрении волновых процессов в гидроупругих системах, состоящих из сжимаемых упругих тел и жидкости, применение модели несжимаемой жидкой среды может привести к полу- чению весьма неточных количественных результатов. 2.2.1.2. Несжимаемое упругое тело и вязкая сжимаемая жидкость. В отличие от жестких сжимаемых тел высокоэластичные несжимаемые материалы типа каучука и резины допускают, не разрушаясь, большие начальные деформации. Исследование влияния конечных начальных деформаций на параметры волнового процесса является актуальным и представляет определенный интерес. Такая задача рассмотрена в рабо- тах [11, 30, 31, 38, 72, 75, 79, 190]. 15 Далее применяются представления общих решений линеаризированных уравне- ний для несжимаемых тел, взаимодействующих с вязкой сжимаемой жидкостью, ко- торые для рассматриваемого плоского случая имеют вид [58, 62 – 65, 71, 72, 75, 79] 2 1 1 1 2 u z z      ; 2 1 1 2 1 1 2 2 12 1 u q q z        ; 2 1 1 2 2 0 1 1 1 1 1 11 11 1 2 1 2 12 12 2 1 ( )p q a s q q a z                   2 2 2 2 0 2 1 12 22 12 2 22 ( )s zz t               ; 22 32 1 1 2 ; xx z t z t         22 32 2 2 1 xx v z t z t        , где введенные потенциалы 1 , 2x и 3x определяются из следующих уравнений [58, 62 – 65, 71, 72, 75, 79]: 4 4 2 2 0 4 4 2 2 1 12 22 4 4 2 2 0 4 2 2 0 2 2 1 1 1 2 12 11 2 1 2 12 11 1 ( ) ( ) ( ) q s z q s z s z t                         1 2 0 1 2 0 4 1 2 2 22 22 1 2 1 11 11 1 2 12 12 2 2 2 0 1 2 2 1 2 2 12 11 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) q q a s q q a s a s q q z z                         2 2 4 2 2 14 2 2 0 2 2 1 1 2 12 11 2 0; ( ) q q s z t              2 2 2 22 2 2 2 2 0 1 2 0 4 1 1 0; 3 x ta z z a t                       2 2 * 32 2 1 2 0.x t z z                  Для высокоэластичного несжимаемого предварительно напряженного упругого по- лупространства, взаимодействующего с вязкой сжимаемой жидкостью, методом, ана- логичным для сжимаемого материала, получено дисперсионное уравнение, имеющее следующий вид:  * 0 0det , , , , , , , , 0lm ij ij ie c a a       ( , 1,4l m  ). (2.4) Отметим, что дисперсионное соотношение (2.4) является, как и в предыдущей за- даче, также более общим и из него (при введении дополнительных упрощающих пред- положений) следуют характеристические уравнения, описывающие параметры волн для ряда частных случаев волновых процессов и более простых моделей упругих и жид- ких сред, часть из которых рассмотрена ранее другими исследователями. В дальнейшем равенство (2.4) решено численно для высокоэластичных несжи- маемых тел, упругие свойства которых описываются упругим потенциалом Трелоара [55, 56, 61, 69 – 72, 75, 79]. В результате вычислений получены зависимости величин фазовых скоростей волн Рэлея и Стоунли от начальных деформаций для гидроупру- гих систем, идеальная жидкая среда которых характеризуется различной плотностью и скоростью звука. Исследованы также особенности влияния вязкости жидкости и конечных предварительных деформаций на величины фазовых скоростей и коэффи- циентов затухания поверхностных волн. Из полученного графического материала следует, что при сжатии и 1 0,54  (бо- лее точное значение равно 1 0,543694  ), т. е. при уменьшении длины высокоэла- 16 стичного несжимаемого тела на 46% величина фазовой скорости поверхностной вол- ны Рэлея Rc ( R R sc c c ) обращается в нуль. Это свидетельствует о том, что в усло- виях плоского напряженно-деформированного начального состояния для высокоэла- стичного несжимаемого неогуковского тела при 1 0,54  возникает явление поверх- ностной неустойчивости. Отмечено, что это значение совпадает с ранее полученным в теории устойчивости [55, 56, 61, 69 – 72, 75, 79] и соответствует значению параметра критического укорочения кр . Анализ числовых результатов также показал, что для гидроупругой системы величина фазовой скорости поверхностной волны Стоунли stc ( st st sc c c ) обращается в нуль при сжатии упругого полупространства равном 1 0,543695  , т. е. для упруго-жидкостной системы поверхностная неустойчивость наступает несколько раньше. Из анализа графиков также следует, что вязкая жидкость так же, как и идеальная, способствует возникновению поверхностной неустойчивости гидроупругой системы при меньшем сжатии упругого тела. Таким образом, развитая линеаризированная теория волн применительно к высокоэластичным несжимаемым телам позволяет исследовать волновые процессы не только в общем и ряде частных случаев, но и возможность и условия возникновения явления поверхностной неустой- чивости упругого тела и гидроупругой системы. 2.2.2. Волновые процессы в предварительно напряженных упругих полупростран- ствах, взаимодействующих со слоем вязкой сжимаемой жидкости. Исследованию закономерностей распространения возмущений в упругом полу- пространстве, взаимодействующем с жидким слоем, которые также относятся к числу основных типов поверхностных волн, посвящены работы [13 – 16, 31, 33, 34]. Харак- терным отличием гидроупругих волноводов такой структуры является то, что в фор- мировании поля в них весьма существенную роль играет не только взаимодействие волн с границей контакта упругих и жидких сред, но и наличие свободной поверхно- сти и их взаимовлияние. В указанных работах было проведено исследование закономерностей распростране- ния поверхностных волн такого типа с учетом начальных напряжений и вязкости жид- кости. Для данной задачи, характеризующейся следующими граничными условиями: 21 0;z hP   22 0;z hP   2 21 0 1 0 ;z zQ P   2 22 0 2 0 ;z zQ P   2 2 1 1 0 0 ;z z u v t     2 2 2 2 0 0z z u v t     с использованием предложенного подхода были получены дисперсионные уравнения, которые для сжимаемых тел имеют вид 0 * 0 0det ( , , , , , , , , ) 0lm ij ij ii sb c a s a h c      ( , 1, 6),l m  а для несжимаемых, соответственно – * 0 0det ( , , , , , , , , ) 0lm ij ij i sb c a a h c       ( , 1, 6).l m  Показано, что эти уравнения являются наиболее общими и из них при введении дополнительных упрощающих предположений следуют соотношения, описывающие параметры волн для ряда частных случаев волновых процессов и более простых мо- делей упругих и жидких сред, часть из которых рассмотрено ранее другими исследо- вателями. В дальнейшем дисперсионные уравнения для общего случая были решены чис- ленно. Получены результаты вычислений для сжимаемых и несжимаемых упругих полупространств, взаимодействующих со слоем вязкой сжимаемой жидкости, харак- теризующейся различной плотностью и скоростью звука в ней. При проведении кон- кретных численных экспериментов принято, что упругие свойства жестких сжимае- мых тел описываются трехинвариантным упругим потенциалом Мурнагана, а высо- коэластичных несжимаемых – потенциалом Трелоара. 17 2.2.2.1. Сжимаемые упругие тела и вязкая сжимаемая жидкость. В работах [13 – 15, 31, 34] приведены дисперсионные кривые для жидких сред, характеризующихся разной скоростью звука. Анализ полученных графиков показал, что сжимаемость жидкой среды при взаимодействии жидкости с сжимаемым упругим телом оказывает существенное влияние на дисперсионные свойства волнового процесса. При этом с увеличением сжимаемости жидкости возрастает число распространяющихся мод и весьма существенно изменяются величины их фазовых скоростей. Это свидетельству- ет о том, что применение в расчетах гидроупругих волноводов, состоящих из сжи- маемых упругих материалов и жидкого слоя, модели несжимаемой жидкой среды, может привести к получению весьма неточных как количественных, так и качествен- ных результатов. Исследовано влияние начального растяжения ( 0 11 0,004  ) на величины фазовых скоростей поверхностных волн. Анализ полученных графиков показал, что несмотря на то, что расщепление единственной поверхностной волны, характерной для сжимаемого упругого полупространства, на множество мод связано с наличием слоя жидкости, тем не менее существующие начальные напряжения в упругом теле оказывают влияние на все моды. Влияние предварительных деформаций особенно значительно на фазовые скорости мод в окрестности частот их зарождения. С увеличением частоты (толщины жидкого слоя) влияние начальных напряжений уменьшается. При этом величины фазо- вых скоростей мод высокого порядка, начиная со второй, асимптотически стремятся к скорости волны звука в жидкой среде и влияние упругого тела ослабевает. Получены также зависимости, отражающие особенности влияния вязкости жид- кости, толщины жидкого слоя и начальных напряжений на величины фазовых скоро- стей и коэффициентов затухания поверхностных волн. При этом рассматривались материалы двух типов: сталь и органическое стекло. Сравнительный анализ результа- тов для стали и оргстекла показал, что в отличие от волн Стоунли, возникающих при любых соотношениях между параметрами упругих и жидких сред, явление расщепле- ния единственной поверхностной волны Рэлея, характерной для упругого полупро- странства на множество мод, обусловленное слоем жидкости, имеет место лишь то- гда, когда скорость волны сдвига в упругом полупространстве превышает величину скорости волны звука в жидкости [33, 34]. В противном случае в системе распростра- няется лишь одна волна, скорость которой монотонно уменьшается от величины ско- рости волны Рэлея до величины скорости волны Стоунли. Полученные числовые ре- зультаты показывают, что начальные напряжения, вязкость жидкости, ее плотность и скорость звука в ней оказывают влияние на частоты зарождения волн, а также на ве- личины фазовых скоростей мод в окрестности этих частот. 2.2.2.2. Несжимаемые упругие тела и вязкая сжимаемая жидкость. Влияние больших (конечных) начальных деформаций и вязкости жидкости на распространение волн исследовано в работе [16]. При этом были получены зависимости фазовых скоро- стей c мод от толщины вязкого жидкого слоя h ( sh h c ) как для предварительно сжатого ( 1 0,8  ), так и для растянутого ( 1 1,5  ) несжимаемого полупространства. Также построены графики зависимостей ( )f h  , отражающие влияние начальных напряжений на величины коэффициентов затухания волн. 2.2.3. Волновые процессы в предварительно напряженном упругом слое, находя- щемся на вязком сжимаемом жидком полупространстве. Для такого класса волн обзор работ и анализ результатов, полученных в рамках классической теории упругости с привлечением модели идеальной жидкости, приве- ден в статьях и монографических изданиях [41, 43, 45, 53, 54]. Вместе с тем, как уже отмечалось, ряд факторов, присущих реальным средам и способных оказать сущест- венное влияние на волновой процесс, не может быть описан классической теорией упругости и гидродинамикой идеальной жидкой среды. 18 Исследованию закономерностей распространения нормальных волн в упругом слое, взаимодействующем с вязким сжимаемым жидким полупространством, которые также относятся к числу основных типов акустических волн, посвящены работы [31, 37, 39, 71, 72, 75, 79, 81]. Характерным отличием гидроупругих волноводов такой структуры является то, что в формировании поля в них весьма существенную роль играет не только взаимодействие волн с границей контакта упругих и жидких сред, но и наличие свободной поверхности твердого слоя и их взаимовлияние. В указанных работах проведено исследование закономерностей распространения нормальных волн такого типа с учетом начальных напряжений, а также вязкости и сжимаемости жидкости. Для данной задачи, характеризующейся следующими динамическими 21 0,z hQ   22 0,z hQ   2 21 0 1 0 ,z zQ P   2 22 0 2 0z zQ P   и кинематическими 2 2 1 1 0 0 ,z z u v t     2 2 2 2 0 0z z u v t     граничными условиями, получены дисперсионные уравнения, ко- торые для сжимаемых тел имеют вид 0 * 0 0det ( , , , , , , , , ) 0lm ij ij ii sэ c a s a h c      ( , 1, 6)l m  , а для несжимаемых, соответственно – * 0 0det ( , , , , , , , ,lm ij ij iэ c a a     ) 0sh c  ( , 1, 6).l m  Заметим, что они имеют более общий характер и из них при введении дополни- тельных упрощающих предположений следуют соотношения, описывающие парамет- ры мод для ряда частных случаев волновых процессов и более простых моделей упру- гих и жидких сред, часть из которых рассмотрены ранее другими исследователями [41, 43, 45, 53, 54]. Оба эти дисперсионные уравнения (для общего случая) решены численно. Получены зависимости, отражающие влияние скорости звука в жидкости, ее плотности и вязкости, а также начальных напряжений и толщины упругого слоя на величины фазовых скоростей и коэффициентов затухания квазилэмбовских волн. Построены также графики зависимостей относительного изменения величин фазо- вых скоростей мод c от толщины упругого слоя (частоты) h , иллюстрирующие ха- рактер влияния предварительного растяжения ( 0 11 0,004  ) на величины фазовых ско- ростей нормальных волн. Анализ графиков показал, что влияние начальных напряже- ний ( 0 11 0,004  ) тесно связано со сжимаемостью жидкой среды. Для менее сжимае- мых жидкостей ( 0 2000a  м/с) наличие начальных напряжений приводит к уменьше- нию величин фазовых скоростей высших мод в окрестности частот (толщин) их зарож- дения. В дальнейшем, с ростом толщины упругого слоя (частоты) предварительные де- формации повышают фазовую скорость. Анализ также показал, что в гидроупругих волноводах указанной структуры существуют моды определенных номеров и частот, на величины фазовых скоростей которых начальные напряжения не оказывают влияния. Отметим, что эта, качественно новая закономерность, отсутствующая в случае распро- странения волн в неограниченных и полуограниченных телах, впервые была обнаруже- на и описана в работе [98] для упругого слоя, невзаимодействующего с жидкостью. Исследовано также воздействие вязкой жидкости на закономерности волнового процесса. При этом были получены зависимости безразмерных величин фазовых ско- ростей волн c от безразмерной величины толщины упругого слоя h . Сравнение рас- положения дисперсионных кривых, полученных ранее для упругого слоя, находяще- гося в вакууме [98], с графиками, характерными для гидроупругой системы, показало, что наличие вязкой сжимаемой жидкости приводит к смещению критических частот волн. Было показано, что движения в модах, распространяющихся в упругом слое, начиная с четвертой для жесткого материала, с возрастанием толщины удаляются от поверхностей и локализуются в его толще. Это является основным фактором, приво- дящим к ослаблению влияния вязкости жидкости на фазовые скорости и к уменьше- 19 нию величин коэффициентов затухания этих мод. В противоположность модам высо- кого порядка движения в моде 1 с возрастанием толщины устремляются к границе раздела сред. При этом мода 1 становится квазиповерхностной волной типа Стоунли. Этим объясняется характер влияния вязкости жидкости, проявляющийся в уменьше- нии величин фазовых скоростей и увеличением коэффициентов затухания этой моды. Движения в квазиповерхностной моде 2 (волна типа Рэлея) в случае системы с упру- гим слоем из жесткого материала с ростом толщины, распространяясь в упругом слое, устремляются к поверхности раздела сред. Этим обусловлено влияние вязкости жид- кости на кинематические характеристики этой моды во всем диапазоне частот. Получены также зависимости коэффициентов затухания мод  от толщины слоя h . При этом особенностью их поведения является значительный рост затухания первой моды при ее зарождении. Для высших мод характерным является первоначальное увеличение коэффициентов затухания после возникновения волн, а затем, с ростом толщины слоя, существенное уменьшение их величин. Из анализа результатов, полученных в упомянутых работах, следует, что в случае сжимаемых упругих тел, взаимодействующих с жидкой средой, сжимаемость жидко- сти весьма существенно сказывается на волновых свойствах гидроупругого волново- да. Показано, что с ростом толщины упругого слоя (частоты) уменьшаются коэффи- циенты затухания высших мод. Увеличение вязкости жидкости приводит к уменьше- нию величин фазовых скоростей и росту коэффициентов затухания волн. Влияние вязкости жидкого полупространства на фазовые скорости волн при взаи- модействии с предварительно деформированным несжимаемым упругим слоем ис- следовалось в работах [31, 39, 71, 72, 75, 79]. При этом были получены зависимости относительного изменения величин фазовых скоростей мод c ( ( )i v ic c c c  , ic – скорость волн при взаимодействии упругого слоя с идеальной жидкой средой; vc – скорость волн в системе «упругий слой – вязкая жидкость») от толщины упругого слоя (частоты) h . Также получены графики, отражающие влияние частоты (толщины упругого слоя) h , вязкости жидкости  и предварительных деформаций 1 на ве- личины коэффициентов затухания различных мод. Анализ графиков показал, что с ростом частоты (толщины упругого слоя) снижа- ется проявление вязкости жидкой среды, приводящее к уменьшению коэффициентов затухания и величин фазовых скоростей высших мод. Для высокоэластичного несжимаемого неогуковского упругого слоя, взаимодей- ствующего с жидким полупространством, показано также, что в случае тонкого слоя совместное влияние вязкости жидкости и начальных напряжений, в основном, сказы- вается на низшей изгибной моде и с ростом предварительных деформаций это влия- ние увеличивается. Скорость этого изменения наибольшая в окрестности изгибной формы потери устойчивости. 2.2.4. Волновые процессы в системе «предварительно напряженный упругий слой – вязкий сжимаемый жидкий слой». Особенность распространения возмущений в гидроупругом волноводе указанной структуры обусловлена наличием в упругом теле и жидкости граничных поверхно- стей. Это значительно усложняет картину волнового поля в нем. Причиной этого является то, что в формировании поля в гидроупругой системе весьма существенную роль играет не только взаимодействие продольных и попереч- ных волн с границей упругого тела, контактирующей с жидкой средой, но и наличие свободных поверхностей и их взаимовлияние. Взаимодействие волн на граничных поверхностях приводит к возникновению в гидроупругой системе волн, распростра- няющихся с дисперсией. Волны, распространяющиеся в указанной упруго-жидкостной системе, относятся к числу обобщений основательно исследованных основных типов поверхностных волн: Рэлея, Стоунли, Лява и Лэмба. Обзор работ и анализ результатов, полученных в рамках классической теории упругости и модели идеальной сжимаемой жидкости, приведены в [41, 43, 45]. Вместе с тем, значительное практическое использование по- 20 верхностных волн требует учета свойств, которые присущи реальным средам. Это вызвано также тем, что отмеченные свойства, способные оказать существенное влия- ние на волновой процесс, не могут быть описаны в рамках классической теории гид- роупругости. К числу таких факторов относятся начальные напряжения в упругом теле, а также вязкость и сжимаемость жидкости. Рассмотренные задачи и результаты, полученные с учетом этих свойств, приведены в [17 – 25]. Для данной задачи, характеризующейся следующими динамическими и кинема- тическими 2 21 0 1 0 ;z zQ P   2 22 0 2 0 ;z zQ P   2 21 0;z hQ   2 22 0;z hQ   2 11 0;z hP   2 12 0;z hP   2 2 1 1 0 0 ;z z u v t     2 2 2 2 0 0z z u v t     граничными условиями, получено дисперсионное уравнение, которое имеет вид 0 0 0 1 2det ( , , , , , , , , , ) 0lm ij ij ii s sr c a s а h c h c       ( , 1, 8).l m  Отмечено, что оно имеют более общий характер и из него при введении дополни- тельных упрощающих предположений следуют соотношения, описывающие парамет- ры мод для ряда частных случаев волновых процессов и более простых моделей упру- гих и жидких сред, часть из которых рассмотрена ранее другими исследователями [41, 43, 45, 143, 182, 198]. В дальнейшем это дисперсионное уравнение для общего случая решено численно. При этом для упругого тела использован трехинвариантный потенциал Мурнагана [71, 72, 74, 100, 101, 170, 172, 173]. Получены зависимости, от- ражающие влияние вязкости жидкости, а также начальных напряжений и толщин уп- ругого слоя и жидкости на величины фазовых скоростей и коэффициентов затухания квазилэмбовских волн. Числовые расчеты проведены для двух гидроупругих систем. Первая (органическое стекло – вода) характеризовалась следующими параметрами: упругий слой – 31160 кг/м ;  93,96 10 Па;   91,86 10 Па;   93,91 10 Па;a    97,02 10 Па;b    91,41 10 Паc    [98, 100, 101, 172, 173]; слой жидкости – 3 0 1000 кг/м ;  0 1459,5м/с;а  * 0,001;  0 0 1,152595.sa a c  Вторая система представляла собой волновод из стали марки 09Г2С и воды. При этом параметры вы- бирались такими: упругий слой – 7800 м/с;  109,26 10 Па;   107,75 10 Па;   9319 10 Па;a    9303 10 Па;b    978,4 10 Паc    [98, 100, 101, 172, 173]; слой жидкости – 3 0 1000 кг/м ;  0 1459,5м/с;а  0 0 0,463021.sa a c  Результаты вычислений представлены на рис. 2.1 – 2.30. На рис. 2.1 – 2.14 приведены результаты численных расчетов для упруго- жидкостной системы, состоящей из органического стекла и воды. На рис. 2.1 показаны дисперси- онные кривые для гидроупругого волновода, отражающие зависимо- сти безразмерных величин фазовых скоростей мод c ( sc c с ) от без- размерной величины толщины упру- гого слоя 2h ( 2 2 sh h c ) для тол- стого вязкого сжимаемого жидкого слоя с толщиной 1h ( 1 1 sh h c ), равной 20, и * 0,001  при отсут- ствии начальных деформаций. Рис. 2.1 21 На рис. 2.2 – 2.5 приведены зависимости безразмерных величин коэффициентов затухания мод  ( ,s sk k  – волновое число волны сдвига в материале упругого слоя) от безразмерной величины толщины упругого слоя 2h для слоя вязкой жидкос- ти с толщиной 1h , равной 20, и * 0,001  при отсутствии начальных деформаций. Характер влияния предварительного растяжения ( 0 11 0,004  ) на скорости нор- мальных волн в упруго-жидкостной системе иллюстрируют графики на рис. 2.6 – 2.8, где представлены зависимости относительных изменений величин фазовых скоростей с ( ( )с с с c   , с – фазовая скорость мод в предварительно напряженном слое, с – фазовая скорость нормальных волн в упругом слое при отсутствии начальных деформаций) от толщины упругого слоя 2h . На этих рисунках представлены кри- вые для гидроупругого волновода, толщи- на вязкого жидкого слоя которого 1h рав- няется 20 и * 0,001  . Рис. 2.4 Рис. 2.5 Рис. 2.3 Рис. 2.7 Рис. 2.6 Рис. 2.8 Рис. 2.2 22 Характер влияния предварительного растяжения ( 0 11 0,004  ) на коэффици- енты затухания мод в упругом слое, взаи- модействующем со слоем вязкой сжимае- мой жидкости, иллюстрируют графики на рис. 2.9 – 2.11, на которых представлены зависимости относительных изменений величин коэффициентов затухания мод  (   ,       – коэффициенты затухания мод в гидроупругой системе, упругий слой которой подвержен начальным деформациям,  – коэффициенты зату- хания мод в гидроупругой системе при отсутствии начальных деформаций) от без- размерной величины толщины упругого слоя 2h . На этих рисунках представлены дисперсионные кривые для гидроупругого волновода, толщина жидкого слоя которо- го 1h равна 20 и * 0,001  . Характер влияния вязкости жидкости ( * 0,001  ) на скорости мод в гидроуп- ругой системе иллюстрируют графики на рис. 2.12 – 2.14, где представлены за- висимости относительных изменений ве- личин фазовых скоростей мод c (c  ( )i v ic c c  , ic – фазовая скорость волн в гидроупругой системе с идеальной жид- костью; vc – фазовая скорость мод в сис- теме с вязкой жидкостью) от безразмерной величины толщины упругого слоя 2h . На этих рисунках представлены графики для гидро- упругого волновода, толщина вязкого жидкого слоя которого 1h равна 20 и * 0,001  . Рис. 2.9 Рис. 2.10 Рис. 2.11 Рис. 2.12 Рис. 2.13 Рис. 2.14 23 Графики для гидроупругой системы, которые приведены на рис. 2.1, показывают, что при росте толщины упругого слоя 2h скорость первой моды стремится к скорости волны Стоунли stc ( 0,769121st st sc c с  ) снизу, а скорость второй моды – к скорости волны Рэлея Rc ( 0,933558R R sc c c  ) сверху. Заметим, что квазиповерхностная мода 1 при выбранных механических параметрах системы 0 1,152595 0,933558Ra c   , распространяясь вдоль границы контакта сред, локализуется, преимущественно, в приповерхностной области твердого тела [46]. Квазирэлеевская мода 2 распространя- ется вдоль свободной поверхности упругого слоя. Фазовые скорости всех последую- щих мод высокого порядка стремятся к скорости волны сдвига в материале упругого тела sc . При этом с ростом толщины они локализуются в толще упругого слоя [45]. Отметим, что наличие жидкости приводит к увеличению числа нормальных квази- лэмбовских волн в гидроупругой системе. При этом возникающие низшие моды име- ют нулевые частоты запирания. Из графического материала, представленного на рис. 2.2 – 2.5, непосредственно следует, что для всех мод существуют упругие слои определенной толщины, при ко- торых моды распространяются как с наименьшим, так и с наибольшим затуханием. С ростом толщины упругого слоя для квазилэмбовских мод (кроме первой) характерно уменьшение их величин коэффициентов затухания и общего влияния вязкой жидко- сти на них. Из графиков, приведенных на рис. 2.6 – 2.8, следует, что начальное растяжение упругого слоя ( 0 11 0,004  ) приводит к повышению фазовых скоростей мод 1 – 7. Скорости всех высших мод 8 – 15 в окрестности толщин упругих слоев, при которых они зарождаются, становятся меньше соответствующих скоростей в слое без началь- ных напряжений. Нетрудно видеть, что для мод, начиная с восьмой и дальше для всех последующих, существуют упругие слои определенных толщин, при которых предва- рительные деформации не влияют на их фазовые скорости. В рассматриваемом здесь случае гидроупругой системы с толстым жидким слоем для каждой моды 8 – 10 име- ются упругие слои трех таких толщин. Для следующих нормальных волн высокого порядка существуют упругие слои пяти таких толщин. Из графиков, приведенных на рис. 2.9 – 2.11, следует, что для мод, начиная со второй и дальше для всех последующих, существуют толщины упругого слоя, при которых предварительное растяжение ( 0 11 0,004  ) не влияет на их коэффициенты затухания. Из графического материала, представленного на рис. 2.12 – 2.14, непосредственно следует, что для всех мод существуют упругие слои определенных толщин, при кото- рых влияние вязкости жидкости на фазовые скорости мод является минимальным и небольшим. Вместе с тем в случае толстого жидкого слоя для ряда мод существуют упругие слои определенных толщин, при которых влияние вязкости жидкости на фа- зовые скорости этих мод значительно. С возрастанием толщины упругого слоя общей закономерностью для всех мод, начиная со второй, является уменьшение влияния вязкости жидкого слоя на величины их фазовых скоростей. Графический материал результатов чис- ленных вычислений для гидроупругой си- стемы «сталь – вода» представлен на ри- сунках 2.15 – 2.30. На рис. 2.15 – 2.17 приведены диспер- сионные кривые для гидроупругого волно- вода, отражающие зависимости безразмер- ных величин фазовых скоростей мод c от безразмерной величины толщины упругого слоя 2h для толстого слоя вязкой жидкости Рис. 2.15 24 ( * 0,001  ) с толщиной 1h , равной 20, при отсутствии начальных деформаций. При этом на рис. 2.15 приведены дисперсионные кривые для первых 10 мод. Дисперсион- ные кривые для мод с 11 по 23 показаны на рис. 2.16 и 2.17. На рис. 2.18 – 2.22 приведены зависимости безразмерных величин коэффициентов зату- хания мод  от безразмерной величины толщины упругого слоя 2h для слоя вязкой жид- кости с толщиной 1h , равной 20, и * 0,001  при отсутствии начальных деформаций. Характер влияния предварительного растяжения ( 0 11 0,004  ) на скорости нор- мальных волн в гидроупругой системе, ил- люстрируют графики на рис. 2.23 – 2.26, где представлены зависимости относительных изменений величин фазовых скоростей с от толщины упругого слоя 2h . На этих рисунках приведены кривые для гидроуп- ругого волновода, толщина жидкого слоя которого 1h равняется 20 и * 0,001  . Рис. 2.16 Рис. 2.17 Рис. 2.18 Рис. 2.19 Рис. 2.20 Рис. 2.21 Рис. 2.22 25 Зависимости относительных изменений величин фазовых скоростей с от толщи- ны упругого слоя 2h при действии начального растяжения ( 0 11 0,004  ) для мод 1, 7 – 10 приведены на рис. 2.23. Влияние начальных напряжений на скорости мод со вто- рой по шестую отражают графики на рис. 2.24. Зависимости относительных измене- ний величин фазовых скоростей с мод 11 – 24 от толщины упругого слоя представ- лены на рис. 2.25 и 2.26. Рис. 2.23 Рис. 2.24 Рис. 2.25 Рис. 2.26 Рис. 2.27 Рис. 2.29 Рис. 2.30 Рис. 2.28 26 Характер влияния предварительного растяжения ( 0 11 0,004  ) на коэффициенты затухания мод в упругом слое, взаимодействующем со слоем вязкой сжимаемой жид- кости, иллюстрируют графики на рис. 2.27 – 2.30, на которых представлены зависи- мости относительных изменений величин коэффициентов затухания мод  от без- размерной величины толщины упругого слоя 2h . На этих рисунках приведены дис- персионные кривые для гидроупругого волновода, толщина жидкого слоя которого 1h равна 20 и * 0,001  . Графический материал для гидроупругой системы, приведенный на рис. 2.15, по- казывает, что при возрастании толщины упругого слоя 2h скорость первой моды стремится снизу к скорости волны Стоунли stc ( 0,461819stc  ), которая несколько меньше скорости волны звука в жидкой среде 0a ( 0 0,463021a  ). Величины фазовых скоростей мод 2 – 10 стремятся к скоростям волн, величины которых больше скоро- сти звуковой волны в жидкости 0a ( 0 0,463021a  ), но меньше скорости квазирэлеев- ской волны Rc ( 0,923008Rc  ). Характерной особенностью дисперсионных кривых этих нормальных волн является наличие у них нулевых частот запирания. Кроме того, по мере уменьшения длины волны и удаления от частот запирания они становятся практически бездисперсионными. Из графиков рис. 2.16 следует, что скорость моды 13 с увеличением толщины уп- ругого слоя стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,923008Rc  ) снизу, а фазовая скорость моды 14 – к скорости волны Рэлея Rc сверху. Фазовые скорости всех после- дующих мод высокого порядка с возрастанием толщины стремятся к скорости волны сдвига в материале упругого тела sc (рис. 2.16 и 2.17). Из графического материала, представленного на рис. 2.18 – 2.22, непосредственно следует, что для всех мод существуют упругие слои определенной толщины, при ко- торых моды распространяются как с наименьшим, так и с наибольшим затуханием. С ростом толщины упругого слоя для квазилэмбовских мод, начиная с 13, характерно уменьшение их величин коэффициентов затухания и общего влияния вязкой жидко- сти на них. Из графиков, приведенных на рис. 2.23 – 2.26, следует, что начальное растяжение упругого слоя ( 0 11 0,004  ) приводит к повышению фазовых скоростей мод 1 – 10. Скорости всех высших мод 11 – 24 в окрестности толщин упругих слоев, при которых они зарождаются, становятся меньше скоростей соответствующих волн в слое без начальных напряжений. Как видно, для второй моды, а также для мод, начиная с 11, и дальше для всех последующих, существуют толщины упругого слоя, при которых предварительное деформирование не влияет на их фазовые скорости. В рассматри- ваемом здесь случае гидроупругой системы с толстым жидким слоем ( 1 20h  ) для второй моды, а также для каждой моды 11 – 24 имеются упругие слои одной такой толщины. Из графиков, приведенных на рис. 2.27 – 2.30, следует, что для всех мод сущест- вуют толщины упругого слоя, при которых предварительное растяжение ( 0 11 0,004  ) не влияет на их коэффициенты затухания. 2.2.4.1. Влияние вязкости жидкости на дисперсию квазилэмбовских волн в гидро- упругих волноводах. В гидроупругом волноводе жидкость для ряда мод вызывает изменение критиче- ских частот, смещение дисперсионных кривых в длинноволновую часть спектра, из- менение их конфигурации, а также появление новых мод. Это приводит к тому, что в окрестности толщин, при которых моды зарождаются, влияние жидкости на величины их фазовых скоростей становится значительным. 27 Влияние вязкости жидкости связано с ее взаимодействием со смещениями, возни- кающими в упруго-жидкостной системе при распространении волновых возмущений. В тех точках мод, где преобладающими являются сдвиговые смещения на границе раздела сред, влияние вязкости наибольшее и величины коэффициентов затухания, а также относительные изменения величин скоростей принимают максимальное значе- ние. В точках волны с малыми поверхностными сдвиговыми смещениями, соответст- венно, и влияние вязкости наименьшее. Как отмечалось ранее, моды высокого поряд- ка распространяются с фазовыми скоростями, стремящимися с ростом толщины к скорости волны сдвига в материале упругого тела. При этом с возрастанием толщины, как известно [45], в них преобладают поперечные смещения, амплитуда которых на поверхностях слоя стремится к нулю по сравнению с их амплитудами в толще слоя, т.е. движения в модах высокого порядка смещаются от поверхности внутрь слоя и локализуются в его толще. Следствием этого является уменьшение влияния вязкости жидкости на фазовые скорости и коэффициенты затухания этих мод с возрастанием толщины упругого слоя в коротковолновой части спектра. 2.2.4.2. Особенности влияния начальных напряжений на дисперсию квазилэмбовс- ких волн в гидроупругих волноводах. Как показано в работе [98], в упругом волноводе, невзаимодействующем с жидко- стью, начальные растяжения вызывают изменение частот зарождения мод и смещение их дисперсионных кривых. Это приводит к тому, что в окрестности критических час- тот величины фазовых скоростей мод в предварительно деформированном слое могут быть как меньше, так и больше величин фазовых скоростей соответствующих мод в теле без начальных напряжений. Этим обусловлено также то, что в упругом волново- де появляются частоты (толщины), при которых начальные напряжения не оказывают влияния на величины фазовых скоростей ряда нормальных волн Лэмба. В гидроупругих волноводах предварительное деформирование (растяжение) вы- зывает изменение критических частот и сдвиг дисперсионных кривых в длинноволно- вую часть спектра, приводящее к появлению для ряда квазилэмбовских мод упругих слоев определенных толщин, при которых начальные напряжения не оказывают влияния на величины их фазовых скоростей. В гидроупругой системе «оргстекло – вода» начальное растяжение ( 0 11 0,004  ) вызывает смещение дисперсионных кривых мод в длинноволновую часть спектра и изменение их конфигурации. Масштаб этих изменений зависит от номера моды. Для мод более высокого порядка эти изменения становятся более значительными. Это приводит к тому, что для низших мод существует по одному упругому слою с толщи- ной, при которой их фазовые скорости не зависят от начального растяжения. У мод более высокого порядка количество упругих слоев с такими толщинами возрастает. В случае гидроупругой системы «сталь – вода» предварительное растяжение так- же приводит к сдвигу дисперсионных кривых в длинноволновую часть спектра и из- менению их конфигурации. В отличие от оргстекла и воды в этой гидроупругой сис- теме начальное растяжение ( 0 11 0,004  ) приводит к «растягиванию» дисперсионных кривых мод. Поэтому у мод, начиная с 16 моды и дальше для всех последующих мод высокого порядка, независимо от их номера имеется по одному упругому слою с тол- щиной, при которой их фазовые скорости не зависят от предварительного деформи- рования. 2.2.4.3. Локализационные свойства низших мод в гидроупругих волноводах. Графики, приведенные на рис. 2.1, для упруго-жидкостной системы «органиче- ское стекло – вода» показывают, что в гидроупругом волноводе при увеличении тол- щины упругого слоя 2h скорость первой моды 1, распространяющейся вдоль границы контакта сред, стремится к скорости волны Стоунли stc ( 0,769121stc  ) снизу. Отно- сительно поведения этой моды в коротковолновой части спектра необходимо отме- тить следующее. Как известно [46], фазовая скорость и структура волны Стоунли при взаимодействии твердого и жидкого полупространств зависят от механических пара- 28 метров гидроупругой системы и определяются соотношением между скоростью вол- ны звука в жидкости и скоростью волны Рэлея в твердом полупространстве. В рас- сматриваемом волноводе, как отмечено ранее, механические параметры гидроупругой системы «оргстекло – вода» таковы, что скорость распространения звуковой волны в жидкости 0a ( 0 1,152595a  ) больше скорости квазирэлеевской волны Rc ( 0,933558Rc  ). Согласно работе [46], это приводит к тому, что в коротковолновой части спектра глубина проникновения квазиповерхностной моды 1 в упругое тело больше глубины проникновения в жидкость. Поэтому мода 1, распространяясь вдоль границы контакта сред, локализуется, преимущественно, в приповерхностной области упругого слоя. Скорость моды 2, распространяющейся в упругом слое вдоль его сво- бодной границы, стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,933558Rc  ) сверху. Ско- рости всех мод высокого порядка стремятся к скорости волны сдвига в материале твердого тела sc . При этом с ростом толщины упругого слоя, как указано выше, эти моды локализуются в его толще [45]. Таким образом, анализ показывает, что в данной упруго-жидкостной системе низшие моды проникают в твердое тело и так же, как и моды более высокого порядка, распространяются в упругом слое. Этим объясняется влияние начальных напряжений на фазовые скорости всех мод. При этом упругий слой является определяющим в формировании волнового поля и основным волноводом, по которому распространя- ются волновые возмущения и осуществляется перенос большей части энергии волн. Графики, приведенные на рис. 2.15 – 2.17 для упруго-жидкостной системы «сталь – вода», показывают, что в гидроупругом волноводе при увеличении толщины упру- гого слоя 2h скорость первой моды 1, распространяющейся вдоль границы контакта сред, стремится к скорости волны Стоунли stc ( 0,461819stc  ) снизу. При этом в рассматриваемом случае механические параметры гидроупругой системы «сталь – вода» таковы, что скорость распространения звуковой волны в жидкости 0a ( 0 0,463021a  ) меньше скорости квазирэлеевской волны Rc ( 0,923008Rc  ). Со- гласно работы [46], это приводит к тому, что в коротковолновой части спектра глуби- на проникновения квазиповерхностной моды 1 в жидкость значительно больше глу- бины проникновения в упругое тело. Поэтому мода 1, распространяясь вдоль границы контакта сред, локализуется, преимущественно, в приповерхностной области жидкого слоя. Это относится и к модам 2 – 12, которые также распространяются в жидкости. Вследствие того, что ни одна из низших мод не проникает в твердое тело, поверхность упругого слоя, граничащая с жидкостью, остается свободной от них. Эту область зани- мает мода 13. Скорость этой моды, распространяющейся вдоль границы контакта сред в приповерхностной области упругого слоя, стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,923008Rc  ) снизу, как и в случае твердого слоя, невзаимодействующего с жидко- стью. Скорость моды 14, распространяющейся в упругом слое вдоль его свободной гра- ницы, стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,923008Rc  ) сверху. Скорости всех мод более высокого порядка стремятся к скорости волны сдвига в материале твердого тела sc и, как указано выше, их движения локализуются в толще упругого слоя. Таким образом, анализ показывает, что в данной упруго-жидкостной системе не только первая мода, но и низшие моды 2 – 12, возникающие в результате взаимодей- ствия упругого слоя с жидким слоем, не проникают в твердое тело и распространяются вдоль границы контакта сред, преимущественно, в приповерхностной области жидкости. Этим объясняется незначительное влияние упругого слоя и начальных напряжений на фазовые скорости, а также дисперсию этих мод. Все остальные моды более высокого порядка, как отмечалось ранее, распространяются в упругом слое в его толще. В этом случае волноводами для распространения нормальных волн и переноса волновой эне- ргии служат как упругий, так и жидкий слои. 29 Отметим также, что наличие жидкого слоя приводит к появлению новых нормаль- ных волн. Возникающие моды имеют нулевые частоты запирания. Воздействие жидко- сти проявляется в изменении критических частот и конфигурации дисперсионных кри- вых, а также в смещении их в длинноволновую часть спектра. Жидкость оказывает влияния на распределение мод среди сред. Локализация низших мод в системе «слой жидкости – упругий слой» зависит от механических параметров гидроупругой системы. Основным критерием распределения низших нормальных волн в средах является соот- ношение между величинами скоростей волны звука в слое жидкости и квазирэлеевской волны, распространяющейся вдоль свободной поверхности упругого слоя. 2.3. Волновые процессы в гидроупругих волноводах с цилиндрическими поверх- ностями раздела упругих и вязких сжимаемых жидких сред. Интерес к таким объектам обусловлен широким использованием гидроупругих волноводов с такой геометрией на практике. В связи с этим возникает насущная необ- ходимость в теоретическом исследовании влияния таких факторов как геометрия, кривизна, толщина стенок полого цилиндра, начальные напряжения, наличие жидко- сти и ее свойств, а также типа симметрии движений на параметры волновых процес- сов. Трехмерная линеаризированная теория аэрогидроупругости для тел с начальны- ми напряжениями и вязкой сжимаемой жидкости позволяет это сделать. Отметим, что в последние годы с этой целью в ряде работ [5 – 8, 10, 26, 27, 29, 31, 32, 35, 62, 63, 66, 71, 72, 75, 82, 99, 155, 171] получила дальнейшее развитие линеари- зированная теория аэрогидроупругости для тел с начальными напряжениями, создан- ная и предложенная в работах [55 – 66, 69 – 79, 168 – 171] применительно к решению пространственных динамических задач о распространении малых возмущений в предварительно деформированных сжимаемых и несжимаемых полых цилиндрах, содержащих вязкую сжимаемую покоящуюся жидкость. Для данной задачи, характеризующейся следующими динамическими 0r r R hQ    ; 0r R hQ    ; 0z r R hQ    ; r r R h rr r R hQ P    ; r R h r r R hQ P     ; z r R h rz r R hQ P    и кинематическими r r R h r r R h u v t        ; r R h r R h u v t         ; z r R h z r R h u v t        граничными условиями, используя предложенный подход, получены дисперсионные уравнения, которые для сжимаемых материалов имеют вид [8, 29, 71, 72, 75]  0 * 0 0det , , , , , , , , , 0lm ij ij iiT c a s a h      ( , 1, 9l m  ), а для несжимаемых [26, 27, 71, 72, 75, 79], соответственно –  * 0 0det , , , , , , , , , 0lm ij ij iT c a a h       ( , 1,9l m  ). Заметим, что эти соотношения являются наиболее общими и из них при введении дополнительных упрощающих предположений следуют уравнения, описывающие параметры мод для ряда частных случаев волновых процессов и более простых моде- лей упругих и жидких сред, часть из которых рассматривалась ранее другими иссле- дователями. 2.3.1. Частные случаи. 2.3.1.1. Волны в изотропной оболочке, заполненной вязкой сжимаемой жидко- стью (модель Кирхгофа – Лява). Частным случаем общей задачи является задача о распространении нормальных волн в изотропной цилиндрической оболочке, запол- ненной вязкой сжимаемой жидкостью. Такая задача в рамках двумерной оболочечной модели Кирхгофа – Лява с использованием предложенного подхода была рассмотрена в работах [66, 71, 72, 75, 99]. При этом было получено дисперсионное уравнение, ко- торое с учетом гипотез Кирхгофа – Лява имеет вид: 30 det 0lm  ( , 1, 3l m  ), (2.5) где элементы детерминанта ij определяются следующими выражениями: 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 (1 ) ; 12 m m h n i k h Eh EhR R                    2 12 1 22 (1 ) ;m m n i EhR       2 13 1 3 (1 ) ;m m i k i R Eh        2 21 2 12 (1 ) ;m m n i EhR         2 2 2 2 22 2 1 1 2 k n h EhR            2 2 2 (1 ) ;m m i Eh        2 23 2 3 1 (1 ) ; 2 m m n i k i R Eh           2 31 3 1 (1 ) ;m m ik i R Eh          2 32 3 2 1 (1 ) ; 2 m m nik i R Eh          2 2 2 2 2 33 3 32 (1 ) (1 ) (1 ) m m n h i k Eh EhR                ( 1, 3).m  Здесь введены такие обозначения:  и E – коэффициент Пуассона и модуль Юнга материала оболочки; R и h – радиус кривизны срединной поверхности и толщина оболочки. Дисперсионное уравнение (2.5) описывает распространение неосесимметричных волн в круговой цилиндрической оболочке, заполненной покоящейся вязкой сжимае- мой жидкостью. Из этого соотношения при определенных условиях можно получить ряд ранее исследованных, а также неисследованных частных случаев. В работах [66, 71, 72, 75, 99] совершены предельные переходы, подробно рас- смотрены и приведены дисперсионные уравнения для следующих частных случаев более простых моделей жидкости и мод движения гидроупругой системы: несжимае- мая вязкая жидкость; сжимаемая идеальная жидкость; несжимаемая идеальная жид- кость; крутильные колебания и осесимметричные волны. Показано, что для волн кручения в случае малой вязкости при * 2( ) 1R    аналитические выражения для фазовой скорости и коэффициента затухания с точностью до  имеют следующий вид:  1 01 ( ) (2 2 ) ,c R h      0 . 2 2 R h      Заметим, что при исследовании волн кручения в случае взаимодействия упругих тел с вязкой жидкостью результаты для сжимаемой и несжимаемой жидкости будут совпадать. Это связано с тем, что при распространении волн кручения сжатие вязкой жидкой среды не происходит и параметры, характеризующие сжимаемость жидкости, в уравнения не входят. Отметим, что осесимметричная задача рассмотрена в работе [160]. При этом под- робно обсуждался лишь случай длинноволнового приближения. 2.3.1.2. Волны в ортотропной оболочке, заполненной вязкой сжимаемой жидкостью (модель С.П. Тимошенко). Частным случаем общей задачи является также задача о распространении нормальных волн в ортотропной цилиндрической оболочке, запол- ненной вязкой сжимаемой жидкостью. Такая задача в рамках двумерной оболочечной модели, в которой учитываются сдвиговые деформации (гипотезы С.П. Тимошенко) с использованием предложенного подхода рассмотрена в работах [31, 35, 71, 72, 75, 82, 99, 153]. 31 Для данного волнового процесса было получено дисперсионное уравнение, кото- рое имеет вид det 0ij  ( , 1, 5),i j  (2.6) где элементы определителя ij определяются по следующим формулам [99]: 2 2 21 2 1 11 2 1 1 12 2 01 ;m m b b n b i b b kc            1 12 2 1 2 2 0 1 1 m m b i b n k              ; 12 1 13 1 3 0 m m b i b i c k      ; 2 14 2 ; b n    1 15 1 ib c     ; 1 21 2 2 1 2 0 1 1 ;m m b i b n k               2 2 22 1 22 1 2 2 22 2 0 ;m m b b i b b n kc            1 23 12 2 3 0 (1 ) m m i n b i b c k        ; 2 24 2 ; b   25 34 35 42 43 53 0                ; 12 1 31 3 1 0 m m b i b i c k      ; 1 32 12 3 2 0 (1 ) ;m m i n b i b c k       2 2 2 1 1 33 1 3 32 0 m m b b i b n kc         ; 1 41 1 b i c     ; 2 0 44 12(1 ) 12 in k b c    ; 2 2 2 20 1 1 45 1 2 1 ; 12 k b b b n c              2 51 2 b n   ; 2 52 2 b   ; 2 2 2 20 2 54 1 2 2 2 ; 12 k b b b n c                2 0 55 121 . 12 i nk b c     Здесь производится суммирование по m от 1 до 3, а также введены обозначения: 12 12 21(1 )n nb E G    ; 13 12 21(1 ), 1,2n nE k G n     ; 12 1 21 2 12b b b   ; 0 2k h a ; ij , iE и ijG – коэффициенты Пуассона, модули Юнга и модули сдвига материала оболочки; a и 2h – радиус срединной поверхности и толщина оболочки; k – коэф- фициент сдвига, вводимый в теории оболочек, построенной с привлечением гипотезы Тимошенко [99]. Заметим, что это дисперсионное соотношение в рамках выбранной модели также имеет более общий характер. Из него при введении дополнительных упрощающих предположений, следуют уравнения, описывающие параметры мод для ряда частных случаев волновых процессов и более простых моделей упругих и жидких сред (вязкая несжимаемая жидкость, идеальная жидкость, пустая оболочка, крутильные моды, осе- симметричные и неосесимметричные волны, изотропная оболочка, модель Кирхгофа – Лява). В монографиях [71, 72, 75, 99] рассмотрены указанные частные случаи, со- вершены необходимые предельные переходы и получены соответствующие диспер- сионные уравнения. Отметим также, что отдельные частные случаи рассмотрены ра- нее другими исследователями. Дисперсионное уравнение (2.6) для общего случая решено численно. При этом числовые результаты были получены для изотропных и ортотропных боропластико- вых оболочек, заполненных глицерином и водой. Исследовалось влияние параметров 32 и свойств оболочек (инерции вращения, деформации сдвига, ортотропии, коэффициента Пуассона) и жидкости (вязкости, сжимаемости, плотности), а также типов симметрии движений (крутильные, осесимметричные, неосесимметричные) на закономерности рас- пространения продольных волн (дис- персию, фазовые скорости, коэффици- енты затухания). При этом получено большое количество числовых резуль- татов, которые представлены в работах [35, 71, 72, 75, 82, 99, 153] в виде мно- гочисленных графиков. Из них следует, что результаты, получаемые в рамках модели, не учи- тывающей сдвиг, будут для первой моды завышенными, для второй моды – совпадать, а третья мода вообще не мо- жет быть определена. Это согласуется с физическими представлениями о дан- ном процессе, так как увеличение мо- дуля сдвига 13G эквивалентно увели- чению жесткости материала оболочки, приводящему к повышению значений скоростей волн. Третью моду можно получить лишь на основании уравне- ний теории оболочек, построенной с использованием гипотез С.П. Тимо- шенко. Анализ показал, что для более полного качественного и количест- венного исследования волновых про- цессов в ортотропных оболочках, а также в изотропных оболочках, мате- риал которых имеет пониженную сдвиговую жесткость, необходимо привлекать модели, основанные на использовании уравнений, учитываю- щих деформации поперечного сдвига и инерцию вращения. На рис. 2.31, 2.32 приведены ре- зультаты исследования влияния де- формации сдвига и инерции вращения на дисперсионные кривые системы «ортотропная оболочка – вязкая жид- кость». Частотно-фазовые характери- стики для этого случая представлены на рис. 2.31. Зависимости коэффициен- тов затухания от частоты приведены на рис. 2.32. Штрих-пунктирной лини- ей на рис. 2.31 показаны участки дис- персионных кривых для гидроупругой системы, которые при отсутствии жидкости соединяются и превращают- ся в третью дисперсионную кривую, характерную для «пустой» оболочки. Численное исследование влияния де- формации сдвига и инерции вращения Рис. 2.31 Рис. 2.32 33 на характеристики гидроупругого волно- вода показало, что, если пренебречь этими факторами, то части дисперсионных кри- вых, обозначенные на рис. 2.31 штрих- пунктирной линией, будут отсутствовать. Частотно-фазовые кривые в этой области будут совпадать со сплошными линиями (участки соединения обозначены штрихо- выми линиями). Кроме того, при 13G  наблюдается также увеличение значений фазовых скоростей первой мо- ды и мод высших порядков по сравнению с системой, учитывающей деформацию сдвига (штриховые линии на рис. 2.31 соответствуют случаю 1 13 2,6E G  ). Так, при уменьшении 1 13E G в 20 раз фазовая скорость седьмой моды при частоте 4  увеличивается на 20%, а первой – на 45%. Этот результат, по-видимому, подтверждает тот факт, что для исследо- вания волновых процессов в оболочках, изготовленных из материала с пониженной сдвиговой жесткостью, заполненных вязкой жидкостью, весьма желательно использо- вать уравнения движения, полученные с привлечением модели, основанной на ги- потезе С.П. Тимошенко. Как и в случае распространения осе- симметричных волн в системе «оболочка – жидкость», так и в общем случае неосе- симметричных ( 1n  ) мод наличие в обо- лочке жидкой среды существенно изме- няет качественную картину расположе- ния дисперсионных кривых. На рис. 2.33 представлены графики зависимостей ( )c f  для оболочки с жидкостью при 2n  (сплошные линии отвечают боро- пластиковой оболочке, заполненной гли- церином). Видно, что наличие вязкой жидкости приводит к значительному рос- ту числа мод, первые 14 из которых пред- ставлены на этом рисунке. Зависимости коэффициентов затуха- ния  от частоты  для случая 2n  приведены на рис. 2.34 (сплошные ли- нии). При этом для 2n  в отличие от осесимметричных волн монотонный рост величин коэффициентов затухания мод с частотой наблюдается только для первой моды. Для всех последующих мод в зави- симости от значения частоты  имеются как интервалы монотонного возрастания  , так и интервалы монотонного убыва- ния  при ее изменении. Рис. 2.33 Рис. 2.34 34 На рис. 2.33 и 2.34 показано также влияние коэффициента Пуассона на поведение частотно-фазовых кривых. Здесь графики, обозначенные штриховыми линиями, по- лучены при 12 0,28  и 21 0,1  . Отметим, что в упомянутых работах исследовано также влияние ряда других па- раметров оболочек, жидкости и типов симметрии движений на закономерности вол- новых процессов в гидроупругих системах. Эти зависимости получены численно и представлены в виде многочисленных графиков. 2.3.1.3. Волны в предварительно деформированных упругих цилиндрах, содержа- щих идеальную сжимаемую жидкость (трехмерная линеаризированная теория). Ча- стным случаем является также волновой процесс в предварительно напряженных сжимаемых и несжимаемых полых цилиндрах, заполненных идеальной жидкостью. Такая задача в рамках трехмерной линеаризированной теории рассмотрена в работах [5 – 7, 10, 26, 29, 31, 71, 72, 75, 99, 155]. При этом получены дисперсионные уравнения для сжимаемых и несжимаемых полых упругих цилиндров, подверженных большим (конечным) начальным деформа- циям и заполненным идеальной сжимаемой жидкостью. 2.3.1.3.1. Сжимаемые упругие тела и идеальная сжимаемая жидкость. Волновой процесс в предварительно напряженных сжимаемых полых цилиндрах, заполненных идеальной сжимаемой жидкостью, рассмотрен в работах [6, 7, 10, 29, 31, 71, 72, 75, 99, 155]. Исследовано распространение волн как в тонкостенных ( 0,05h h R  ), так и в толстостенных ( 0,75h  ) полых цилиндрах как содержащих, так и не содержащих идеальную сжимаемую жидкость. Рассмотрены цилиндры из жестких сжимаемых материалов типа стали, упругие свойства которых описаны трехинвариантным упру- гим потенциалом Мурнагана. Показано, что жидкость оказывает заметное влияние на дисперсионную картину, в основном, в случае тонкостенных полых цилиндров. На Рис. 2.35 Рис. 2.36 35 рис. 2.35 и 2.36 приведены зависимости безразмерных величин фазовых скоростей c ( sc c c , 2 sc   – скорость волны сдвига в материале незагруженного тела) от величины безразмерной частоты  ( sR c  ) для тонкостенных цилиндров с тол- щиной 0,05.h  При этом на рис. 2.35 представлены дисперсионные кривые для полого цилиндра без жидкости. Сравнение графиков, приведенных на рисунках 2.35 и 2.36, показывает, что наличие жидкости приводит к значительному увеличению количества мод, рас- пространяющихся в гидроупругой системе. В отличие от жидкости начальные напряжения влияют на величины фазовых скоро- стей мод как в случае тонкостенных, так и толстостенных цилиндров преимущественно в области частот их зарождения. Изменение относительных скоростей c различных мод в зависимости от изменения частоты  в предварительно сжатых ( 0 33 0,004   ) толстостенных полых цилинд- рах толщиной 0,75h  , заполненных жид- кой средой, показано на рис. 2.37 и 2.38. Из графиков следует, что для указанных гидро- упругих волноводов, как и в случае цилинд- ров без жидкости, возможно существование мод определенных номеров и частот, на ве- личины фазовых скоростей которых началь- ные напряжения не оказывают влияния. Влияние предварительных деформаций и жидкости на явление «обратной волны» в полом сжимаемом цилиндре, заполненном покоящейся идеальной жидкой средой, ис- следовано в работах [7, 31, 71, 72, 75, 79]. Как известно [54, 31, 71, 72, 75, 148], «об- ратной» волной названо волновое движение в упругом теле, распространяющееся с группо- вой и фазовой скоростями противоположных знаков, по аналогии с модами, имеющими место в определенных электромагнитных волноводах. Отметим, что впервые возможность воз- никновения таких волн была обоснована Г. Лэмбом при рассмотрении им волновых про- цессов в некоторых одномерных средах [182]. Позднее при изучении прохождения волн через кристаллические решетки Л. Ман- дельштамом [146] было обращено внимание на наличие областей частот, при которых моды распространяются с отрицательной групповой скоростью. В дальнейшем это яв- ление было подробно исследовано в упругих слоях [198], пластинах и сплошных цилинд- рах [186]. Возможность распространения нормальных волн с аномальной дисперсией в цилиндре с жидкостью обсуждалась в рабо- тах [7, 31, 72, 75, 140]. Отметим, что в приведенных выше работах [54, 146, 182, 186, 198] рассмотрение указанно- го явления проведено в рамках классической теории упругости без учета влияния начальных напряжений. Вместе с тем, получение количе- ственной информации необходимо для воз- Рис. 2.37 Рис. 2.38 36 можности реального продолжения диспер- сионных кривых после прохождения ими точек пересечения ветвей различных се- мейств при изучении частотных спектров, а также при исследовании неустановив- шихся волновых процессов в волноводах разной структуры, подверженных предва- рительным деформациям. С учетом жидкости и начальных на- пряжений явление «обратной» волны в гидроупругих волноводах исследовано в работах [7, 31, 72, 75]. Результаты численного решения транс- цендентного дисперсионного уравнения приведены на рис. 2.39 и рис. 2.40. Здесь представлены зависимости ( )f k  для толстостенного полого цилиндра с безраз- мерной толщиной стенки ,h равной 0,75, заполненного идеальной сжимаемой жид- костью. Из графиков, приведенных в указан- ных работах, а также представленных на рисунках 2.39 и 2.40, следует, что явление «обратной волны» (участок ВА кривой 3 на рис. 2.39) носит пространственный ха- рактер и существует только для толсто- стенных полых цилиндров как содержащих, так и не содержащих жидкость. Установ- лено, что в тонкостенных полых цилиндрах, заполненных жидкой средой, распростра- нение волн происходит без аномальной дисперсии и явление «обратной волны» для них не наблюдается. Показано (рис. 2.40), что для сжимаемого жесткого полого цилиндра из низколегированной стали марки 09Г2С, упругие свойства материала которой описыва- ются трехинвариантным упругим потенциалом Мурнагана, осевое сжатие ( 0 33 0,004   ) и жидкость повышают величину фазовой скорости «обратной волны». 2.3.1.3.2. Несжимаемые упругие тела и идеальная сжимаемая жидкость. Влия- ние больших (конечных) начальных деформаций на величины фазовых скоростей осесимметричных продольных волн, распространяющихся в высокоэластичных рези- ноподобных несжимаемых полых цилин- драх, заполненных покоящейся идеальной сжимаемой жидкостью, исследовано в работах [5, 26, 27, 31, 71, 72]. На рис. 2.41 показаны зависимости 3( )c f  для случая, когда /h h R  0,002 , а / sR c   0,1 . Кривая 1 (первая мода) получена для полого цилин- дра без жидкости. Линии 2 (вторая мода) и 3 (первая мода) отражают влияние на- чальных деформаций на величины фазовых скоростей в системе «оболочка – жид- кость». Графики, представленные на этом рисунке, соответствуют случаю распро- странения низкочастотных волн в тонко- стенной оболочке, содержащей жидкую среду. Графики на рис. 2.42 получены при Рис. 2.39 Рис. 2.40 Рис. 2.41 37 18  и 0,1h  . Закономерности поведения низших мод (кривые 1 и 2 на рис. 2.42) обу- словлены увеличением податливости мате- риала цилиндра при сжатии ( 3 1  ) и умень- шением ее при растяжении ( 3 1  ). Харак- тер поведения величин фазовых скоростей третьей, четвертой и всех высших мод связан с тем, что при повышении 3 происходит сни- жение частот запирания, приводящее к неко- торому уменьшению скоростей осесиммет- ричных продольных волн, а дальнейший рост скоростей вызван уменьшением податливос- ти стенок цилиндра вследствие растяжения. Из графиков, приведенных в упомянутых работах, а также представленных на рис. 2.41 и 2.42, следует, что начальные деформации оказывают существенное влияние на частоты зарождения мод, а также на величины фазовых скоростей волн в окрестности этих частот. 2.3.1.4. Волны в предварительно напря- женных упругих средах с цилиндрическими полостями, содержащими вязкую сжимае- мую жидкость (трехмерная линеаризированная теория). Частными случаями явля- ются также волновые процессы в предварительно деформированных сжимаемых и несжимаемых бесконечных телах с цилиндрическими полостями, заполненными вяз- кой сжимаемой покоящейся жидкостью. Заметим, что впервые такая задача в более простой постановке (в рамках класси- ческой теории упругости и гидродинамики идеальной жидкости) была рассмотрена M.A. Biot [159]. Указанные задачи в пространственной постановке в рамках трехмерной линеари- зированной теории, учитывающей начальные напряжения в упругом теле, а также вязкость и сжимаемость жидкой среды, рассмотрены в работах [31, 72, 75]. Для дан- ных задач получены дисперсионные соотношения, которые для сжимаемых материа- лов имеют вид  0 * 0 0det , , , , , , , , , 0lm ij ij iiH c a s a R      ( , 1, 6),l m  (2.7) а для несжимаемых –  * 0 0det , , , , , , , , , 0lm ij ij iH c a a R       ( , 1, 6).l m  (2.8) Заметим, что эти уравнения являются более общими и из них, как частные случаи, следуют характеристические соотношения, справедливые для более простых волно- вых процессов и моделей упругих и жидких сред, часть из которых рассмотрена ранее другими исследователями. Дисперсионные уравнения (2.7) и (2.8) решены численно для случая высокочастотных волн. Влияние начальных напряжений для жидкостей, характеризующихся различной сжимаемостью, иллюстрируют графики на рис. 2.43 и 2.44. Все числовые результаты получены для сжимаемого упругого тела, предварительно растянутого вдоль оси ци- линдрической полости oz ( 0 0 33 33 / 0,004    ). При этом принято, что упругие свойства материала сжимаемого тела описываются трехинвариантным упругим по- тенциалом Мурнагана. На рис. 2.43 показаны зависимости относительного изменения величин фазовых ско- ростей c от безразмерной величины скорости распространения звука в жидкости 0a . Кривая 1 соответствует системе «органическое стекло – вода», а 2 – «оргстекло – глицерин». Рис. 2.42 38 Зависимости относительных изме- нений коэффициентов затухания   ( ) /      от безразмерной ско- рости звука в жидкости 0a показаны на рис. 2.44. Здесь левая ось ординат со- ответствует системе «органическое стекло – вода» (кривая 1), а правая – системе «оргстекло – глицерин» (кривая 2). Из графиков, изображенных на рис. 2.43 и 2.44, видно, что с уменьшением сжимаемости жидкой среды влияние начальных напряжений возрастает. Это соответствует соображениям физиче- ского характера. Для глицерина это влияние более значительное, чем для воды. Кроме того, наличие точек пере- сечения графиков с осью абсцисс (рис. 2.44) показывает, что в гидроупругих волноводах указанной структуры воз- можно, при определенных значениях сжимаемости жидкости, существование волн, величины коэффициентов затуха- ния которых не зависят от начальных напряжений. Результаты вычислений, приведен- ные в указанных работах, отражают влияние сжимаемости и вязкости жид- кости на величины фазовых скоростей и коэффициентов затухания высокочас- тотных волн. Из них следует, что умень- шение сжимаемости жидкой среды при- водит к увеличению фазовой скорости и снижению величин коэффициентов за- тухания высокочастотных волн. Решение дисперсионного уравнения (2.8) для гидроупругого волновода из несжи- маемого материала в случае высокочастотных волн также осуществлялось численно. При этом расчеты проведены для высокоэластичного резиноподобного тела, упругие свойства которого описывались упругим потенциалом Трелоара. Параметры сред вы- бирали следующими: упругое тело – 62,5 10E   Па, 1200  кг/м3; жидкость – 0 1000  кг/м3, 0 1459,5a  м/с, * 0,00002  . Результаты вычислений представлены на рис. 2.45 и 2.46. Графики, приведенные на рис. 2.45, отражают влияние предвари- тельного сжатия на величину фазовой скорости c высокочастотной волны. Для срав- нения на этом рисунке представлена кривая высокочастотной квазирэлеевской волны, обозначенная Rc , полученная для полости, не содержащей жидкость. В работах исследовано также влияние больших (конечных) предварительных де- формаций на коэффициенты затухания высокочастотных волн. Из анализа, получен- ных результатов (рис. 2.46), следует, что при сжатиях, близких к потере поверхност- ной устойчивости упругих тел, происходит значительное возрастание величины ко- эффициента затухания волны. Из графиков, приведенных на рис. 2.45, следует, что при сжатии и 3 равном 0,44, величины фазовых скоростей высокочастотных волн как в чисто упругом, так и в гидро- упругом волноводах, обращаются в нуль. Это свидетельствует о том, что для высоко- эластичных несжимаемых неогуковских тел как взаимодействующих, так и невзаимо- Рис. 2.43 Рис. 2.44 39 действующих с жидкостью, в условиях пространственного напряженно-деформиро- ванного начального состояния явление поверхностной неустойчивости возникает при осевом сжатии и 3 равном 0,44. Кроме того, сравнительный анализ для плоского и пространственного случаев показывает, что поверхностная неустойчивость при одно- осном сжатии для пространственных волноводов возникает при более сильных на- чальных деформациях ( 3 0,44  ), чем для плоских тел ( 1 0,54  ). Заметим, что ука- занные значения 1 и 3 совпадают с ранее полученными в теории трехмерной ус- тойчивости и соответствуют величинам параметров критического укорочения [55, 56, 61, 69, 70]. Это свидетельствует о том, что развитая трехмерная линеаризированная теория волн применительно к высокоэластичным несжимаемым упругим телам по- зволяет как в плоском, так и в пространственных случаях, определять значения пара- метров критического укорочения, при которых возникает явление поверхностной не- устойчивости упругих тел и гидроупругих систем. 2.3.1.5. Волны в предварительно напряженном сплошном цилиндре, находящемся в вязкой сжимаемой жидкости (трехмерная линеаризированная теория). С исполь- зованием представлений общих решений задач аэрогидроупругости для тел с началь- ными напряжениями в рамках трехмерной линеаризированной теории в работах [62, 63, 66, 72, 75] рассмотрена внешняя волновая задача. 2.3.1.5.1. Волны кручения в круговом цилиндре, находящемся в вязкой сжимаемой жидкости (трехмерная линеаризированная теория). Анализу закономерностей рас- пространения крутильных мод в сплошном круговом цилиндре, помещенном в вяз- кую сжимаемую покоящуюся жидкую среду, посвящены работы [62, 63, 66, 72, 75]. Определяя решения в классе бегущих волн вида 1 0 1 3( ) exp[ ( )];AZ r i kz t    0 1 3( )exp[ ( )],BJ r i kz t    где 0J – функция Бесселя I рода нулевого порядка; (1,2) 0H – функции Ханкеля; (1) 0 1 10( ) ( )Z r H r  при 1Im 0  и (2) 0 1 10( ) ( )Z r H r  при 1Im 0  , в результате обычной процедуры после ряда преобразований получено сле- дующее дисперсионное соотношение: * 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 1 12 1 2 1 1 1[ ( ) ( ) ( ) ( )] 0.i Z J J Z              (2.9) Здесь введены обозначения: 1 1 ;R  1 1 .R  В работах [62, 63, 72, 75] уделено внимание рассмотрению частных случаев, кото- рые следуют из общей постановки. При этом подробно рассмотрены следующие ча- стные случаи. Цилиндр в вакууме. Для указанной задачи получено дисперсионное уравнение, которое для 1  имеет вид 1 2 * * 3 1 12 1 2 1( ) 0J      . (2.10) Рис. 2.45 Рис. 2.46 40 Обозначив через m m -й – корень уравнения 2 ( ) 0,mJ   после ряда преобразо- ваний для определения фазовой скорости распространения m -й моды кручения в ци- линдре, находящемся в вакууме, получено следующее аналитическое выражение: 2 2 2 4 1 1 2 1 12( ) .m s mc c R R        Цилиндр в жидкости (приближенное решение). Учитывая разложение в ряд функций Бесселя I рода в виде    2* * * 1 1 1 0 ( 1) ( ) 2 2 !( )! kn k n k J k n k         были получены следующие аналитические выражения для фазовой скорости и коэф- фициента затухания:  2 1 0 3 11 ( ) 2 ;sc c      2 0 1 3 12 . sc        (2.11) Цилиндр в жидкости (более строгое решение). Решение в виде (2.11) получено в результате разложения функций Бесселя, входящих в дисперсионное соотношение (2.9), в ряды, ограничиваясь при этом только первыми членами. Таким способом оп- ределено лишь одно значение скорости, хотя уравнение (2.9) дает возможность опре- делять скорости всех мод, как это видно на примере волнового процесса в цилиндре, находящемся в вакууме (2.10). В работах [63, 72, 75] получены аналитические выра- жения для определения величин фазовой скорости и коэффициента затухания m -й моды, которые имеют вид 2 0 3 1 1 2 ( ) 1 ; 2 ( ) m m s m J c c D D J               2 0 3 1 1 2 ( ) . 2 ( ) m m s m J c J       2.3.1.5.2. Продольные волны в предварительно напряженном сплошном цилиндре, находящемся в идеальной жидкости. Закономерности распространения осесиммет- ричных продольных мод в несжимаемом сплошном цилиндре, подверженном началь- ным деформациям и погруженным в идеальную сжимаемую жидкую среду, исследо- вались в работах [32, 75]. Для цилиндра, загруженного вдоль оси oz , было получено следующее дисперсионное соотношение: det 0ij  ( , 1, 3).i j  (2.12) Решение уравнения (2.12) осуществлялось численно. При этом предполагалось, что упругие свойства высокоэластичного, резиноподобного, несжимаемого материала описаны упругим потенциалом Трелоара. Получены зависимости безразмерной вели- чины фазовой скорости c от безразмерной величины частоты  для предварительно сжатого ( 3 0,8  ) и растянутого ( 3 1,5  ) цилиндров. Исследовано также влияние больших (конечных) начальных деформаций на величины фазовых скоростей волн различной длины. При этом показано, что для волн с частотой близкой к частоте за- рождения, характерно увеличение значений фазовых скоростей как при сжатии ( 3 1  ), так и растяжении ( 3 1  ) высокоэластичного цилиндра. Моды, распростра- няющиеся с частотами, значительно отличающимися от критических, имеют иную закономерность изменения величины фазовой скорости от начальной деформации. Для них характерно уменьшение скорости при сжатии ( 3 1  ) и рост ее при растяже- нии ( 3 1  ). Показано, что жидкая среда понижает величины фазовых скоростей мод. Заметим также, что обзор исследований распространения различных типов волн в предварительно деформированных упругих телах, невзаимодействующих с жидкостью, выполненных с привлечением линеаризированной теории, приведен в [3, 59, 71, 72, 79]. Анализ и систематизация многочисленных результатов, полученных также по ря- ду других направлений, охватывающих широкий спектр теоретических и эксперимен- тальных исследований особенностей влияния начальных напряжений на поведение упругих тел, выполнены в обзорных статьях [3, 59, 168, 170, 173]. 41 Отметим, что в этом разделе рассмотрены лишь некоторые результаты исследова- ний волновых процессов в гидроупругих системах. При отборе материала отдавалось предпочтение только тем, которые были получены в рамках трехмерной линеаризи- рованной теории и учитывали наличие начальных напряжений в упругих телах, а также вязкость и сжимаемость жидкой среды. 3. Действие давления звукового излучения в жидкости на твердые и жидкие частицы. Исследования при распространении звуковой волны в жидкости движения и взаи- модействия твердых частиц, а также капель жидкости с другими свойствами, имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Эти исследования проводились по сле- дующим трем направлениям: одиночная частица в жидкости под действием акустиче- ского давления; взаимодействие двух частиц в жидкости, обусловленное распростра- няющейся волной; движение совокупности большого числа частиц при колебаниях несущей среды. В последнем случае использованы многофазные подходы [47]. Вы- полненные по этим направлениям исследования и обзоры с анализом методов и полу- ченных результатов приведены в работах [2, 40, 47, 147, 152 и др.]. Следует отметить, что определенный технологический интерес представляет изу- чение движения твердых частиц и капель жидкости под действием постоянного во времени радиационного давления [147, 152], называемого также давлением звукового излучения. Вычисление радиационной силы, обусловленной действующим на препят- ствие давлением акустического излучения, усложняется в случае препятствия конеч- ных размеров. В связи с тем, что давление акустического излучения определяется звуковым полем, сформированным в результате интерференции первичной и рассеян- ной волн, оно зависит от формы препятствия – для определения отраженной от пре- пятствия волны необходимо решить задачу о рассеянии падающей волны на препят- ствии. При ее решении необходимо принимать во внимание ряд обстоятельств: пере- мещение частицы, колеблющейся под действием акустической волны; форму частицы и ее размеры по сравнению с длиной волны; свойства среды и границы пространства, в котором волна распространяется, а также ряд других условий. В связи с этим при решении указанной задачи исследователями вводились различные упрощающие зада- чу ограничения: предположение о нетеплопроводности жидкости, о малых линейных размерах частицы по сравнению с длиной волны и величиной ее амплитуды, исполь- зование модели несжимаемой жидкости и другие. Принимаемые при исследовании указанные ограничения позволяют использовать различные подходы, которые упрощают решение задачи рассеяния на частице па- дающей звуковой волны и последующее вычисление действующей на нее гидродина- мической силы [139]. Постоянная составляющая гидродинамической силы (сила ра- диационного давления) вычисляется усреднением ее по периоду волны. Результаты одного из первых исследований действия радиационной силы на сфе- рическую частицу в идеальной жидкости опубликованы в работе [180], в которой приведены формулы для вычисления радиационных сил, действующих на сферу в поле стоячей и бегущей плоских звуковых волн. В работе установлено, что радиаци- онная сила в поле стоячей звуковой волны имеет пространственную периодичность с периодом, равным длине полуволны, и по величине больше, чем в случае бегущей волны. Выражение для радиационной силы было использовано при составлении уравнения дрейфа малой сферы в поле стоячей волны. На основе решения этого урав- нения исследован характер движения частицы. Для вычисления давления в звуковой волне с точностью до квадратичных слагае- мых используется также обобщенный интеграл Бернулли [200, 1]. Радиационная сила представлена интегралом по поверхности сферической частицы от давления, среднего по периоду звукового поля. В ряде работ [144, 199] применен метод, при котором величина радиационной си- лы определяется из условия, что эта сила равна среднему по времени потоку импульса через замкнутую поверхность, окружающую частицу. Возможность выбора поверхно- сти, окружающей сферическую частицу, на произвольно большом расстоянии от ее центра (рассмотрена идеальная жидкость), позволила авторам отказаться от решения задачи рассеяния, воспользовавшись асимптотическими выражениями для рассеянной 42 волны. Аналогичный подход для вычисления радиационной силы, действующей на сферическую частицу в идеальной жидкости был использован в работах [136, 154, 195 и др.]. В более общей постановке (с учетом сжимаемости частицы) эта же задача рас- смотрена в работах [50, 184] для произвольного акустического поля. В этих работах потенциал рассеянной на сфере волны представлен в виде ряда по мультиполям, а коэффициенты в разложении определены из решения задачи потенциального обтека- ния сферы потоком несжимаемой жидкости. Метод определения радиационной силы, основанный на вычислении среднего во времени импульса, обобщен в [104, 199, 165] на случай вязкой жидкости. Радиацион- ная сила принята равной интегралу от усредненного по периоду волны тензора плот- ности потока импульса, взятому по произвольной поверхности, охватывающей части- цу. Вычисление средней силы проведено в квадратичном приближении для случая твердой закрепленной сферической частицы, малого по сравнению с длиной волны радиуса. Авторы установили, что учет вязкости приводит к значительному увеличе- нию силы радиационного давления на частицу. В работе [102] при вычислении радиационной силы, действующей на закреплен- ную сферическую частицу, учтено акустическое течение, развивающееся около час- тицы в акустических полях большой интенсивности и оказывающее влияние на вели- чину радиационной силы. В связи с этим автор предложил различать понятия «сред- няя во времени» и «радиационная» сила. Для вычисления средней во времени силы применялся метод, основанный на определении полного потока импульса через дос- таточно удаленную замкнутую поверхность, окружающую сферическую частицу. Ре- шение задачи проведено в квадратичном приближении для случая сферической час- тицы, малого по сравнению с длиной волны радиуса. Авторам известна только одна робота [141], в которой исследование взаимодейст- вия двух частиц проведено на основе радиационных сил. В работе рассмотрена сис- тема из двух неподвижных близкорасположенных в идеальной жидкости частиц, раз- меры и расстояние между которыми приняты малыми по сравнению с длиной волны. Для определения возмущения давления в жидкости использован обобщенный инте- грал Бернулли. При этом рассеяние предполагалось однократным и волновое поле в окрестности частицы представлено как суперпозиция первичной волны без учета со- седней частицы и волны, рассеянной на соседней частице. К определению этой волны фактически и была сведена задача. Потенциал рассеянного поля представлен в виде ряда по сферическим волновым функциям, в котором сохранены только первые три слагаемые. Постоянные коэффициенты в разложении определены из граничных усло- вий на поверхностях сфер. Для записи потенциалов на поверхностях сфер использо- ваны разложения их в ряды Тейлора в окрестности центров сфер. Продолжающиеся на протяжении многих лет публикации в научных изданиях ра- бот по данной тематике [44, 103, 138, 156 – 158, 167, 178, 185 – 190,196 и др.] свиде- тельствуют о неослабевающем интересе исследователей к ней. Цель данного обзора – представить работы, выполненные в Институте механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины, посвященные исследованиям радиационных сил, в которых используется модель кусочно-однородной среды при строгом удовлетворении всем граничным ус- ловиям. При этом учитываются инерционные члены в уравнениях движения среды, используется модель сжимаемой жидкости, а длины волн могут быть сопоставимы с расстояниями между объектами в жидкости и размерами самих объектов. 3.1. Вязкая жидкость. Постановка задач и основные соотношения. В настоя- щем разделе приведены основные соотношения, используемые при исследовании действия давления акустического излучения на твердые и гибкие частицы в сжимае- мой вязкой жидкости при распространении акустической волны. Используется под- ход, при котором постоянная во времени (радиационная) сила, действующая в аку- стическом поле на объект в жидкости, отфильтровывается осреднением по времени результирующей силы, обусловленной действием жидкости на объект. В связи с этим при вычислении напряжений в жидкости необходимо принимать во внимание вели- чины второго порядка малости относительно параметров звукового поля, не обра- щающиеся в нуль при осреднении по времени, т. е. исходить из нелинейных соотно- шений гидромеханики. В работах [85, 86, 108] предложен метод вычисления акусти- 43 ческого давления в сжимаемой вязкой жидкости с точностью до слагаемых величин второго порядка относительно числа Маха, исходя из потенциала поля скоростей, оп- ределенного из уравнений, полученных с такой же точностью из нелинейных соотно- шений гидродинамики. При этом упрощение нелинейных соотношений проведено применительно к волновым движениям жидкости в предположении, что возмущения слабо затухают на расстояниях порядка длины волны и величины диссипативных ко- эффициентов имеют порядок амплитуд относительных возмущений давления и плот- ности [150]. В результате полученное с точностью до слагаемых второго порядка со- отношение для вычисления возмущений давления в сжимаемой вязкой жидкости при прохождении акустической волны [85] имеет следующий вид:   2 * * * 20 0 02 2 0 0 0 2 1 2 22 p t t ta a                             , (3.1) где 0 – плотность жидкости в состоянии равновесия;  и  – динамический и кинематический коэффициенты вязкости; 0a – адиабатическая скорость звука, а по- лученное с той же точностью уравнение для определения потенциала  имеет такой вид: * * 2 2 2 2 0 0 0 2 1 1 0 ta a t                     . (3.2) Полученное уравнение (3.2) совпадает с соответствующим уравнением линеари- зированной теории сжимаемой вязкой жидкости (1.13). Наличие в жидкости, в кото- рой распространяется акустическая волна, твердого тела приводит за счет отражен- ных волн к появлению дополнительного волнового поля. В вязкой жидкости оно име- ет потенциальную и вихревую компоненты. Искомое напряжение в жидкости опреде- ляется волновым полем, представляющим интерференцию известной первичной и неизвестных рассеянных на теле волн. Потенциалы этих волн определяются из реше- ния задачи рассеяния первичной волны на теле (частице). Так как потенциал  пер- вичной волны удовлетворяет линейному уравнению (3.2), для определения потенциа- лов рассеянных волн достаточно ограничиться решением линейной дифракционной задачи рассеяния, воспользовавшись линеаризированной теорией сжимаемой вязкой жидкости [171]. В этой теории потенциалы  и Ψ , описывающие движение жидко- сти, являются решениями уравнений (1.13) и (1.14). Потенциалы используются для вычисления поля скоростей v (1.10) и поля тензора напряжений ̂ (1.8). В математической постановке задача рассеяния состоит в получении решений уравнений (1.13) и (1.14), удовлетворяющих граничным условиям на поверхности S объекта в жидкости S V v (3.3) и условиям на бесконечности. Для вычисления скорости SV точек поверхности S объекта применен метод составления уравнений его движения в жидкости (1.17), при котором используется теорема о движении центра масс и теорема моментов относи- тельно подвижного центра. В соответствии с линеаризованной теорией [64, 67, 75, 76] давление в жидкости в этом случае вычисляется по формуле (1.11), а сила, действую- щая на объект в жидкости, равна поверхностному интегралу от внутреннего произве- дения тензора напряжений (1.8) и орта нормали N к поверхности S объекта, т.е. ˆ S dS F N . (3.4) Определением потенциалов поля скоростей с использованием линеаризированной теории сжимаемой вязкой жидкости завершается первый этап решения задачи. На втором этапе решения задачи вычисляется с точностью до величин второго порядка 44 сила, действующая на объект в жидкости (3.4). При этом давление p в выражении для тензора напряжений ̂ (1.8) необходимо вычислять теперь по формуле (3.1). По- стоянное во времени слагаемое силы F (радиационная сила) определяется усредне- нием ее за период звукового поля. При вычислении средней силы в случае свободного объекта учитывается его пе- ремещение в колебательном движении в жидкости, так как учет изменения положения объекта в пространстве приводит к появлению в (3.1) слагаемых, имеющих такой же порядок, какой имеют второе, третье и четвертое слагаемые. Это связано с тем, что частную производную по времени от скалярного потенциала  необходимо вычис- лять в неподвижной системе координат, относительно которой рассматривается дви- жение объекта при определении потенциала поля скоростей. В системе координат, связанной (из-за необходимости удовлетворять граничным условиям) с движущимся объектом, эту производную необходимо вычислять по формуле [108] S d t dt       V . (3.5) Завершающим этапом исследования является изучение движения объекта в жид- кости под действием постоянной (радиационной) силы. В работе [118] установлена аналогия между задачей о малых гармонических ко- лебаниях сжимаемой вязкой жидкости, описываемых линеаризированной теорией, и задачей о стационарном состоянии гармонических колебаний линейного вязкоупруго- го твердого тела [42] (другая интересная аналогия установлена в [68]). На основе этой аналогии задача рассеяния первичной волны в сжимаемой вязкой жидкости может быть сформулирована как задача рассеяния изотермической волны в линейном вязко- упругом твердом теле. Это обстоятельство позволило при определении потенциалов поля скоростей в сжимаемой вязкой жидкости воспользоваться подходами, разрабо- танными в механике деформируемого твердого тела [84] для решения задач дифрак- ции упругих волн в многосвязных телах. В математической постановке задача дифракции в этом случае сведена к поиску решения уравнений 2 0;L L   2 0  X X , (3.6) удовлетворяющих граничным условиям u U (3.7) и условиям на бесконечности. Вектор u поля смещений в твердом теле удовлетворяет уравнению , ,L    u X X 0 (3.8) а U – вектор смещения точек поверхности S жесткого тела (объекта в жидкости). В (3.6)  и  – комплексные волновые числа     2 0 2 ; Im 0;i i             * 2 0 ( ); Im 0.i       Здесь ( )i  и ( )i  – комплексные модули [42, 142]. При решении задач дифракции компоненты тензора напряжений определяются соотношениями          * , , 2 , ,ij k ij nn k ij kx t i x t i x t         (3.9) которые используются при составлении уравнений движения жесткого тела в вязко- упругой твердой среде .ij j S m N dS U (3.10) 45 Переход к потенциалам поля скоростей в сжимаемой вязкой жидкости определя- ется следующими соотношениями: , L t     t    X Ψ . (3.11) Предложенные подходы использованы для решения конкретных задач [94, 95]. 3.2. Действие радиационной силы на одиночный объект в вязкой жидкости. В основном исследованы случаи действия радиационных сил на одиночные объ- екты, находящихся в поле плоской акустической волны  0 3expA i кx t     , (3.12) распространяющейся вдоль оси 3ox выбранной системы координат 1 2 3ox x x . В качест- ве объектов, находящихся в вязкой жидкости, рассмотрены цилиндр и сфера, соответ- ственно цилиндрически и сферически изотропные, и сферическая капля жидкости с отличными от окружающей жидкости свойствами. В случае цилиндра направление распространения волны принималось перпендикулярным к оси цилиндра. При опре- делении потенциалов поля скоростей постановка задачи рассеяния первичной волны на свободном объекте в жидкости формулировалась как в рамках линеаризированной теории сжимаемой вязкой жидкости [87, 108, 109, 115, 175], так и на основе теории линейной вязкоупругости [118, 121, 125]. Затухание волны учитывалось введением комплексного волнового числа 1k ik   . Случай свободной сферической частицы изучен в работах [87, 108, 109, 175]. По- тенциалы отраженных от сферы волн, являющиеся решениями уравнений движения вязкой жидкости, представлены обобщенными рядами Фурье по сферическим волно- вым функциям. Коэффициенты в разложениях в ряды определены из бесконечной сис- темы линейных алгебраических уравнений, полученных при удовлетворении гранич- ным условиям на поверхности свободной сферы. Вычисление радиационной силы про- ведено как в длинноволновом приближении [87, 108, 109, 175], так и на основе строгих решений [125], полученных с помощью компьютера. В длинноволновом приближении ( 1ka   ) использованы асимптотические представления для сферических функций малого аргумента, а жидкость принималась маловязкой ( 2 0( ) 1a        ), в результате для вычисления радиационной силы, действующей на сферу радиуса a , получено следующее соотношение:   3 02 2 ;w idF F f        2 2 13 14 1 , (2 ) f        (3.13) в котором первое слагаемое равно радиаци- онной силе, приведенной в [180] для случая сферы в идеальной жидкости 2 2 6 0 2 2 1 (1 ) 92 . (2 ) idF A         (3.14) Второе слагаемое в (3.13) учитывает влияние вязкости на величину радиационной силы. При выводе выражения (3.13) принят только первый член в разложениях по пара- метру  , поэтому влияние вязкости на сред- нюю силу удалось охарактеризовать отно- шением  . Параметр  имеет критическое значение 5 11p  , при котором учет вяз- Рис. 3.1 46 кости максимально уменьшает радиационную силу (рис. 3.1). Существуют значения  , при которых учет вязкости не оказывает влияния на величину этой силы. Характер воздействия акустической волны на сферу в пропаноле ( 0 785,4  кг/м 3 , 0 1247a  м/с), исследованный на основе результатов численных расчетов, показан на рис. 3.2 и 3.3. На рис. 3.2 результаты расчетов приведены для жидкости без учета ( 1 0  ) и с учетом вязкости ( 2   0,004кг (м с)  ), а на рис. 3.3 – для жидко- сти с различными значениями динамического коэффициента вязкости (1 0,0046кг/(м с))   ; (2 0,00239кг (м с)   . При этом плотность потока энергии принята равной 2175,5Вт/мI  , что соответствует умеренной мощности из- лучателя. Учет вязкости приводит к значительному увеличению радиационной силы. В отличие от случая идеальной жидкости [180] направление ее действия на сферу в вязкой жидкости зависит от параметра 0   и может как совпадать с направле- нием распространения волны ( 1,2)  , так и быть ему противоположным ( 0,8)  . Аналогичное явление наблюдается при падении звукового луча на границу раздела двух жидкостей. Направление прогиба поверхности раздела, обусловленное действием радиационной силы, не зависит от направления распространения луча, а всегда направ- лено в сторону жидкости, имеющей меньшую плотность акустической энергии [48]. Задача о действии в сжимаемой вязкой жидкости радиационной силы на сфериче- скую каплю идеальной жидкости рассмотрена в работе [96]. Наличие в вязкой жидко- сти капли жидкости с другими свойствами является причиной появления дополни- тельного (отраженного от капли) волнового поля, которое имеет потенциальную и вихревую компоненты. Первый этап предполагает для определения потенциалов до- полнительного волнового поля решение линейной задачи рассеяния волны (3.12) на жидкой сфере. В рассматриваемой осесимметричной задаче потенциалы потенциальной d и вихревой d компонент дополнительного волнового поля удовлетворяют уравнени- ям линеаризированной теории сжимаемой вязкой жидкости (1.13) и (1.14). Потенциал скорости жидкости в капле  удовлетворяет уравнению (акустическое приближение) 2 2 2 0 1 0 a t       . (3.15) Под действием падающей волны жидкая сфера испытывает периодические сжатия и разрежения. При формулировке граничных условий на поверхности сферы предпо- лагается, что амплитуда колебаний по- верхности капли очень мала, поэтому можно принять радиус капли consta  Рис. 3.3 Рис. 3.2 47 (для жидкой сферы такое предположение оправдано). Также не будем учитывать влияние на сферу давления поверхностного натяжения. Тогда граничные условия на поверхности жидкой сферы можно сформулировать следующим образом. При пере- ходе через поверхность сферы нормальные составляющие скорости жидкостей и нор- мальные напряжения в жидкостях являются непрерывными величинами, а касатель- ные напряжения равны нулю. На бесконечности потенциалы рассеянных волн удов- летворяют условиям излучения Зоммерфельда. Внутри капли волновые возмущения жидкости ограничены. Определение потенциалов полей скорости во внешней вязкой жидкости d , d и  в идеальной жидкости капли состоит в получении решений многосвязной задачи для уравнений (1.13), (1.14) и (3.15), удовлетворяющих граничным условиям, задан- ным на поверхности жидкой сферы, на бесконечности и в центре сферы. Решения уравнений получены методом разделения переменных в сферической системе коор- динат в виде обобщенных рядов Фурье по сферическим волновым функциям. Коэф- фициенты в разложениях потенциалов в ряды определены методом редукции из бес- конечной системы алгебраических уравнений, полученной при удовлетворении гра- ничным условиям. На втором и третьем этапах решения задачи рассматривался случай жидкости ма- лой вязкости. Радиационная сила вычислена осреднением по периоду первичной вол- ны гидродинамической силы   3 2 3 0 ˆ 2 cos sin sinx rr r S F ds a d              e n , (3.16) действующей со стороны внешней вязкой жидкости на сферическую каплю идеаль- ной жидкости вдоль оси 3ox . В (3.16) n – единичная нормаль к поверхности S жид- кой сферы. На поверхности жидкой сферы компонента r тензора напряжений ̂ (3.16) равна нулю. При этом в выражении для тензора напряжений (1.8) давление p следует определять с точностью до слагаемых второго порядка из соотношения (3.1). Задача о действии радиационной (средней) силы на свободный твердый цилиндр исследована в [115, 121, 176]. Потенциалы отраженных от цилиндра волн, являющиеся решениями линеаризированных уравнений движения вязкой жидкости, представлены обобщенными рядами Фурье по цилиндрическим волновым функциям. Коэффициенты в разложениях в ряды определены из бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, полученных при удовлетворении граничным условиям на поверхности ци- линдра, методом редукции. Решение задачи получено как в длинноволновом прибли- жении для слабовязкой жидкости [115], так и на основе строгих решений [121], тре- бующих применения компьютера. В первом случае использованы асимптотические представления цилиндрических функций для малых значений аргумента. Радиационная сила, действующая на длине цилиндра, равной его радиусу, представляется выражением 2 3 0 2 ( ) ; 4w idF F A       2 2 1 8 7 , (1 )         (3.17) где idF равно радиационной силе, дей- ствующей на цилиндр в идеальной жид- кости. Функция ( )  характеризует влияние параметра  на величину сред- ней силы. Ее график представлен на рис. 3.4. Как и в случае сферы с увеличением значения  учет вязкости приводит к увеличению средней силы для цилиндра, Рис. 3.4 48 который легче жидкости. Для цилиндра, который тяжелее жидкости, существует критическое значение параметра  , кото- рое совпадает с его критическим значением кр для сферы. В рамках длинноволнового приближения учет вязкости при 1,0  не изменяет величину радиационной си- лы, действующей на сферу и цилиндр в случае идеальной жидкости. На рис. 3.5 и 3.6 приведены результаты численных расчетов радиационной силы для цилиндра в пропаноле при плотности потока энергии в первичной волне 2175,5Вт/мI  . На рис. 3.5 приведены результаты расчетов для жидкости без учета (1 0)  и с уче- том вязкости (2 0,0046кг/(м с))   , а на рис. 3.6 – для жидкости с различными значениями динамического коэффициента вязкости ( 1 0,0046 кг/(м с)   ; 2 0,00239 кг/(м с)   ). Из анализа гра- фиков на рис. 3.5 и 3.6 следует, что ха- рактер влияния вязкости на величину ра- диационной (средней во времени) силы аналогичен случаю сферы. 3.3. Действие радиационной силы на систему двух объектов в вязкой жидко- сти. При распространении акустической волны в жидкости, содержащей несколько твердых объектов из-за интерференции падающей и отраженных волн происходит взаимное нарушение их полей обтекания. Поэтому силы воздействия жидкости на соседние объекты, а также и постоянные слагаемые этих сил (радиационные силы) будут различны. В результате под дейст- вием радиационных сил свободные объек- ты будут совершать относительное пере- мещение (дрейф), которое приводит к из- менению расстояния между ними. При произвольном расположении объектов в жидко- сти фундаментальное значение имеет взаимодействие именно двух объектов. В качест- ве конкретных объектов рассмотрены системы двух сферических и двух цилиндриче- ских частиц. Действие плоской акустической волны (3.12) на систему двух твердых сфериче- ских частиц исследовано в работе [127]. Рассмотрен случай, когда волна распростра- няется вдоль линии, проходящей через центры сферически изотропных свободных частиц № 1 и № 2. На первом этапе при определении потенциалов отраженных волн решение задачи рассеяния первичной волны на системе двух сферических частиц проведено на основе теории линейной вязкоупругости [42, 142]. Для решения уравне- ний движения использован метод разделения переменных в сферической системе коор- динат. Для этого с каждой частицей связывалась локальная сферическая система коор- динат. Потенциалы отраженных от частиц волн, являющиеся решениями уравнений Рис. 3.5 Рис. 3.6 49 (3.6) в соответствующих локальных системах координат, представлены в виде обоб- щенных рядов Фурье по сферическим волновым функциям. Постоянные коэффициен- ты в разложениях потенциалов в ряды определены из решения бесконечных систем алгебраических уравнений, полученных при удовлетворении граничным условиям на поверхностях частиц, методом редукции. При этом для записи потенциалов в каждой из локальных сферических систем координат использованы теоремы сложения сфе- рических волновых функций. Граничные условия сформулированы, как требование равенства на поверхности сферы переме- щения частиц среды и частиц поверхно- сти твердой сферы. В результате симмет- рии волнового поля относительно оси, про- ходящей через центры сфер, силы, дейст- вующие на сферы, направлены вдоль этой оси. Перемещения сфер определены интег- рированием их уравнений движения (1.17). Радиационные силы вычислены осредне- нием по времени сил, действующих на сферические частицы и определенных с точностью до величин второго порядка. Были исследованы системы двух сфер одинаковых и различных радиусов при их возможном расположении в системе от- носительно направления распространения волны. На рис. 3.7 – 3.9 показан характер взаи- модействия сфер в акустическом поле, оп- ределяемый действующими на них средни- ми во времени силами. Вычисления прове- дены для сфер, находящихся в пропаноле, при плотности потока энергии в первичной волне 2175,5Вт/мI  (измеренном в точке на линии центров, равноудаленной от цен- тров сфер). Радиус сфер во всех случаях принят равным 0,001мa  . Кривые 1, 2 на рис. 3.7 и 3.8 характеризуют действие средней во времени силы соответственно на сферы № 1 и № 2. Кривая 3 относит- ся к одиночной сфере. Динамический коэффициент вязкости принят равным * 0,0046кг/(м с)   . В зависимости от значения параметра  средняя во време- ни сила, действующая на каждую из сфер, изменяется как по величине, так и по на- правлению. В рассмотренном диапазоне частот средние силы увеличиваются с увеличением частоты. При значении па- раметра 1,2  действие второй сферы на первую (отклонение кривой 1 от кри- вой 3) более существенно, чем действие первой сферы на вторую (отклонение кри- вой 2 от кривой 3). При значении пара- метра 0,8  средние силы изменяют направление действия. При 1,2  сфера Рис. 3.7 Рис. 3.8 Рис. 3.9 50 № 1 подталкивает сферу № 2 и они расходятся, при 0,8  сфера № 1 притягивает сферу № 2 и сферы сближаются. На рис. 3.9 приведены кривые, характеризующие действие средней во времени си- лы на сферу № 2 в зависимости от частоты, динамического коэффициента вязкости  и параметра 0   . Средняя во времени сила вычислена при 0,0046кг/(м с)   (кривые 1) и при * 0.00239кг/(м с)   (кривые 2). В более вязкой жидкости акустичес- кая волна создает большую по величине среднюю силу, направление которой зависит от параметра  . При 1,2  и 1,1  средняя сила направлена в сторону распро- странения волны. При 0,9  и 0,8  средняя во времени сила имеет направление, противоположное направлению волнового вектора. В работах [89, 122, 126] исследовано действие плоской акустической волны (3.12) на систему двух свободных параллельных и цилиндрически изотропных круговых цилиндров № 1 и № 2. Рассмотрен случай расположения цилиндров один за другим вдоль направления распространения волны. При этом цилиндры принимались как одинаковых радиусов, так и различных – при возможных относительно волнового вектора расположениях их в системе. При определении потенциалов рассеянных волн использована как линеаризованная теория сжимаемой вязкой жидкости [89], так и теория линейной вязкоупругости [122, 126]. Сформулированные задачи решены чис- ленно на компьютере. На первом этапе решения задачи при определении потенциалов рассеянных волн использован метод разделения переменных в цилиндрических системах координат. Для этого с каждым цилиндром связывалась локальная цилиндрическая система ко- ординат. Потенциалы отраженных волн, являющиеся решениями уравнений движения среды в соответствующих локальных системах координат, представлены в виде обобщенных рядов Фурье по цилиндрическим волновым функциям. Постоянные ко- эффициенты в разложениях потенциалов в ряды определены из бесконечных систем алгебраических уравнений, полученных при удовлетворении граничным условиям на поверхностях цилиндров, методом редукции. При этом для записи потенциалов в ка- ждой из локальных цилиндрических систем координат использованы теоремы сложе- ния цилиндрических волновых функций. Граничные условия сформулированы как требование равенства на поверхности цилиндра перемещения частиц среды и частиц по- верхности цилиндра. Перемещения цилиндров в среде определены интегрированием их уравнений движения (1.17). Радиационные силы вычислены осреднением по времени сил, действующих на цилиндры, и определенных с точностью до величин второго порядка. Были исследованы системы двух цилиндрических частиц одинаковых и различ- ных радиусов при их возможном расположении в системе относительно направления распространения волны. Кривые на рис. 3.10, 3.11 иллюстрируют зависимость взаимодействия цилиндров от частоты  и параметра  , обусловленного радиационными силами. Представлен- ные результаты расчетов радиационных сил относятся к цилиндрам в пропаноле при плотности потока энергии в волне 2175,5Вт/мI  (измеренной в срединной плоско- сти системы цилиндров, перпендикулярной плоскости их осей). При этом средняя сила вычислена для длины цилиндра, равной его радиусу, который для обоих цилинд- ров принят равным 0,001a  м. Кривые 1 и 2 относятся, соответственно, к цилиндрам № 1 и № 2, а кривая 3 характеризует среднюю силу, действующую на одиночный ци- линдр. Во всех случаях * 0,0046 кг/(м с)   . В рассмотренном диапазоне частот для случая, представленного на рис. 3.10, действие первого цилиндра на второй (отклоне- ние кривой 2 от кривой 3) более существенно, чем действие второго цилиндра на пер- вый (отклонение кривой 1 от кривой 3). Изменение параметра  (на рис. 3.11 1,2  ) существенно влияет на характер взаимодействия цилиндров. При 0,8  (рис. 3.10) цилиндры имеют тенденцию удаляться, а при 1,2  (рис. 3.11) – сближаться. В пер- 51 вом случае второй цилиндр отталкивается первым, а во втором – притягивается. В зависимости от параметра  средняя сила, действующая на первый цилиндр, изменяет- ся как по величине, так и по направлению. На рис. 3.12 приведены результаты ис- следований влияния вязкости жидкости на величину средней силы, которая вычислена при * 0,0046кг/(м с)   (кривые 1 и 2) и при * 0,00239 кг/(м с)   (кривые 1 и 2  ). Цифра у кривой указывает на номер цилиндра. Анализ поведения кривых показывает, что в более вяз- кой жидкости при равных условиях акустиче- ская волна создает большую по величине сред- нюю во времени (радиационную) силу. 3.4. Идеальная жидкость. Основные соотношения и постановка задач. Пред- ложенный в [85, 86, 108] метод для определения средних сил в вязкой сжимаемой жидкости после предельных переходов ( * 0, 0   ) в соответствующих уравнени- ях применим к случаю идеальной жидкости [88, 110 – 114, 116, 119, 120, 123, 124 и др.]. В результате предельного перехода формула (3.1) принимает следующий вид:   2 20 0 02 0 1 22 p t ta              , (3.18) что соответствует полученной ранее с такой же точностью для вычисления возмуще- ний давления в идеальной жидкости в работе [180]. На первом этапе исследования задача рассеяния волны на объекте формулируется в акустическом приближении, при котором потенциалы  первичной и рассеянных волн должны быть решениями уравнения 2 2 2 0 1 0 a t       . (3.19) Рис. 3.12 Рис. 3.11 Рис. 3.10 52 Соотношение (3.4) для вычисления гидродинамической силы принимает вид S p dS F N , (3.20) в котором давление p в звуковой волне при определении перемещения объекта вычис- ляется по формуле 0p t      . (3.21) Для составления граничных условий на поверхности свободного объекта скорости частиц его поверхности определяются при решении уравнения движения объекта в жидкости под действием силы (3.20) S m p dS V N . (3.22) Здесь m – масса объекта; V – вектор скорости объекта; p – давление в жидкости (3.21); N – орт нормали к поверхности S объекта. На втором этапе вычисляется гидродинамическая сила (3.20) с учетом величин второго порядка (3.18). Постоянная составляющая гидродинамической силы (радиа- ционная сила) на третьем этапе определяется осреднением (3.20) по времени. 3.5. Действие радиационной силы на одиночный объект в идеальной жидкости. В качестве объектов, находящихся в жидкости, рассматривались круговой цилиндр, сфера и сферическая капля жидкости. В работе [112] действие радиационной силы на свободный круговой цилиндр исследовано при распространении акустической волны  0 3expA i k x t     (3.23) перпендикулярно осевой линии цилиндра. Потенциал отраженной от цилиндра волны, являющийся решением уравнения (3.19), представлен в виде обобщенного ряда Фурье по цилиндрическим волновым функциям. Постоянные коэффициенты в разложении в ряд определены из решения бесконечной системы линейных алгебраических уравне- ний, которая получена при удовлетворении граничным условиям на поверхности сво- бодного цилиндра. Система алгебраических уравнений является регулярной и имеет единственное решение, которое находится численно методом редукции. Радиацион- ная сила вычислена осреднением по времени выражения (3.20) при условии, что дав- ление p в волне определяется соотношением (3.18), в котором  суммарный потен- циал первичной и рассеянной на цилиндре волн. В результате радиационная сила, действующая на единицу длины цилиндра, определяется выражением 23 22 7 0 2 2 2 2 2 0 1 1 2 2(1 )8A F a                  23 2 2 2 1 ( 1) n n n n n              . (3.24) В (3.24) a – радиус цилиндра; 0   – отношение плотности жидкости к плотности материала цилиндра; k – волновое число первичной волны; A – амплиту- да волны. Выражение (3.24) получено в предположении, что тело цилиндрически изо- тропно. В длинноволновом приближении ( 1ka   ) в результате использования асимптотических представлений для цилиндрических функций малого аргумента со- отношение (3.24) преобразовано к виду 2 2 2 5 70 2 4 (1 ) ( ). 8 (1 ) A F O a             (3.25) 53 Из (3.25) следует, что радиационная си- ла существенно зависит от параметра . Для малых значений  радиационная сила принимает минимальное значение при 3,0.  На рис. 3.13 приведены графики зависимости величины 2 310F A   от параметра  , построенные на основе рас- четов, проведенных по формуле (3.24) для цилиндра в воде ( 3 3 0 10 кг м  ). Радиаци- онная сила, действующая на цилиндр, уве- личивается с ростом частоты и существенно зависит от параметра  . При 0,2  ра- диационную силу можно с достаточной точностью вычислять по формуле (3.25). В работе [116] исследован случай, когда свободный цилиндр находится в поле пло- ской стоячей акустической волны, потенци- ал которой      0 1 exp ( ) exp ( ) 2 A i k l x t i k l x t         . (3.26) Начало системы координат oxyz находится на оси цилиндра на расстоянии l от выбранной неподвижной плоскости отсчета. Радиационная сила, действующая на единицу длины цилиндрически изотропного цилиндра, определяется соотношением 2 3 5 0 3 sin(2 ) ( ), 4 (1 ) F A kl O a         (3.27) которое получено в длинноволновом приближении [40]. Радиационная сила (3.27) имеет пространственную периодичность с периодом, равным половине длины волны, и действует на более легкий цилиндр ( 3  ) в направлении к узлам поля скоростей, а на более плотный цилиндр ( 3  ) – в направлении к пучностям поля скоростей. В (3.27) l – расстояние от неподвижной плоскости отсчета. Уравнение движения цилиндра под действием радиационной силы (3.27) приво- дится к уравнению, описывающему движение нелинейного осциллятора 2 sin 0;n   2 ;kl   2 2 4 2 (3 ) . 2(1 ) n A k       (3.28) Характерно, что радиус цилиндра не влияет на колебательный процесс. Для более плотного цилиндра 2 0n  положениями устойчивого равновесия в его усредненном по времени движении являются пучности поля скоростей. Период колебаний цилинд- ра относительно них определяется выражением 1 22 0 2 2(1 ) ( ). (3 ) T K v              (3.29) Для более легкого цилиндра 2 0n  положениями устойчивого равновесия в его среднем по времени движении являются узлы поля скоростей. Цилиндр совершает колебательное движение относительно них с периодом Рис. 3.13 54 1 22 0 2 2(1 ) ( ). ( 3) T K v              (3.30) В (3.29) и (3.30)  – длина волны; 0v – амплитуда поля скоростей; ( )K  – полный эллиптический интеграл первого рода; 0sin ( )kx  ; 0x – максимальное расстояние ци- линдра соответственно от узла или пучности поля скоростей (амплитуда в его среднем по времени колебательном движении). Период T колебаний в случае (3.29) имеет минимум. Действие радиационного давления звука на малый рассеиватель, движущийся в однородном и изотропном поле, исследовано в работе [105]. В работе [128] сформу- лирована задача определения радиационной силы, действующей на твердую сферу в потоке жидкости. Предполагается, что идеальная сжимаемая жидкость находится в баротропном движении с функцией давления 0P . Поток направлен вдоль оси 3о непод- вижной декартовой системы координат 1 2 3o   , а V ,  и p – соответственно, его скорость, плотность и давление в жидкости на бесконечности. Рассмотрен случай на- личия в жидкости сферической частицы радиуса R , которая со скоростью U также движется вдоль оси 3o . Наличие сферы в потоке обусловливает его неоднородность. Если связать со сферой систему координат 1 1 2 3o x x x (оси 3o и 1 3o x совпадают), то параметры неоднородного потока скорость u , плотность  и давление p в под- вижной системе координат определяются при решении задачи обтекания сферы ста- ционарным потоком, который на бесконечности имеет скорость   u V U . Величи- ны p и  связаны уравнением Тэйта. При распространении акустической волны величины , u и p получают малые приращения , v и p , соответственно, которые характеризуют колебания частиц жидкости относительно устойчивого состояния возмущенного потока. При условии, что движение жидкости, вызванное акустическим полем, также потенциальное  v , (3.31) получено уравнение для потенциала  акустического поля в потоке, который обте- кает твердую сферу, движущуюся в жидкости, т.е. имеем 2 2 2 02 ( ) ( ln ) 0. d d a P c dtdt          u (3.32) Здесь a – локальная скорость распространения малых возмущений относительно по- тока жидкости. Для стационарного баротропного потока имеем формулу 2 0P a     u u . (3.33) Для определения давления p с точностью до величин второго порядка получено уравнение   2 2 2 2 1 1 2 2 p u t t tc                           u  2 2 23 2 ( ) 2 u u t            u , (3.34) в которой опущены слагаемые, обращающиеся в нуль при осреднении по времени. При отсутствии потока и неподвижной сфере ( 00, ,p p u 0   ) соотношение (3.34) принимает вид (3.18). 55 Параметры возмущенного потока, входящие в уравнения (3.32) и (3.34), определя- ются при решении задачи потенциального обтекания сферы жидкостью, которая на бесконечности имеет скорость u . Потенциалы как первичной 0 , так и отраженной от сферы волн должны удовлетворять уравнению (3.32). Потенциал d отраженной от сферы волны определяется при решении задачи дифракции первичной волны на сфере при условии, что компонента rv скорости на ее поверхности и потенциал d на беско- нечности равны нулю. Сила радиационного давления на сферу отфильтровывается осреднением по времени гидродинамической силы (3.20) при условии, что давление p вычисляется по формуле (3.34), в которой потенциал 0 d    определяется как результат интерференции первичной и вторичной волн. В работе [130, 131] на основе подхода, разработанного для твердых частиц, ис- следовано действие акустического излучения на сферическую каплю жидкости ра- диуса a , отличную по своим механическим характеристикам от внешней жидкости, в которой распространяется акустическая волна (3.23). Предполагается, что обе жидко- сти – идеальные. На первом этапе исследования формулируется задача дифракции волны (3.23) на сферической капле. Потенциалы d и d отраженной от капли вол- ны и волны внутри капли являются решениями уравнения (3.19), которые находятся методом разделения переменных в сферической системе координат, связанной с кап- лей. Они записываются в виде обобщенных рядов Фурье по сферическим волновым функциям. Постоянные коэффициенты в разложениях потенциалов в ряды определя- ются методом редукции из бесконечной системы линейных алгебраических уравне- ний, полученных при удовлетворении граничных условий на поверхности капли: не- прерывности нормальной составляющей скорости и давления при переходе через по- верхность. Детально исследован случай, когда радиус сферы мал по сравнению с дли- ной акустической волны. В этом случае используется асимптотическое представление для функций ( )nj w и ( )nh w при малом значении аргумента. В результате на третьем этапе решения задачи получено выражение, определяющее радиационную силу, дей- ствующую в звуковой волне на жидкую сферу 2 6 8 0 2 1 ( 10) 4(1 ) ( ) , 27 2xF A k O             (3.35) в котором xF – проекция радиационной силы на волновой вектор k (направленный вдоль оси ox ); 0 – плотность внешней жидкости в равновесном состоянии; 0 0   ; 0 – плотность жидкости капли; 1ka   ;    * 23 3k       ;  и  – адиабатические модули объемной упругости внешней жидкости и жидкости капли. В работе [96] проведен детальный анализ полученных результатов, основанный на численных исследованиях. Рассмотрено два случая: а) плотность жидкости капли меньше плотности окружающей жидкости ( 1  ); б) плотность жидкости капли бо- льше плотности окружающей жидкости ( 1  ). В первом случае рассматривалась капля этилового спирта в воде. Во втором случае – капля воды в этиловом спирте. Графики зависимости от параметра ka величины радиационной силы, действующей на каплю, представлены на рис. 3.14 и рис. 3.15 кривыми 1 – 1. Кривая 2 на этих рисунках соответствует случаю твердой сферической частицы. Укажем, что значение параметра 3ka   соответствует резонансу пульсационных колебаний жидкой сферической капли. Отметим при этом, что выражение для радиационной силы (3.35) получено при условии, что значение ka по величине отличается от 3  . В этом случае в движе- нии капли преобладают осцилляционные колебания. При анализе поведения кривих на графиках можно отметить следующие явления качественного характера: 56 1) при переходе параметра ka через резонансное для соответствующей капли его значение направление действия радиационной силы на каплю меняется на противопо- ложное (кривые 1 – 1 на рис. 3.14, 3.15); 2) направление действия радиационной силы на каплю зависит от величины 0 0   . Укажем на характерные особенности действия радиационной силы на сферичес- кую каплю. 1. При приближении значения параметра ka к резонансному значению пульсаци- онных колебаний жидкой сферы ( 1,21ka  в первом случае, рис. 3.14, и 2,48ka  во втором случае, рис. 3.15) радиационная сила возрастает (кривые 1 – 1 на рис. 3.14, 3.15). 2. В случае, когда механические свойства жидкости капли не отличаются от свойств окружающей жидкости ( 1, 0k   ) радиационная сила равна нулю. 3. В случае твердой сферической частицы направление действия радиационной силы не зависит от величины  и совпадает с направлением распространения акусти- ческой волны (кривая 2 на рис. 3.14, 3.15). Ее значение монотонно возрастает при увеличении частоты волны. В работах [134, 202] исследовано действие радиационной силы на твердую сфе- рическую частицу, закрепленную на оси цилиндрической полости, заполненной иде- альной сжимаемой жидкостью. Рассмотрен случай распространения вдоль полости плоской акустической волны, описываемой потенциалом  0 expA i kz t     , (3.36) который удовлетворяет линейному волновому уравнению (3.19). Ось оz прямоуголь- ной системы координат с началом в центре сферы направлена вдоль оси цилиндриче- ской полости. Исследование проведено на основе подхода, который изложен выше для случая свободной частицы. Волновое поле в цилиндрической полости формируется первич- ной волной (3.36) и волнами, отраженными от поверхности сферы sph и от поверх- ности полости cyl . На первом этапе – определении этих потенциалов, на основе ме- тода, предложенного в [181], решена линейная многосвязная задача рассеяния волны (3.36) на сфере и на цилиндрической полости. Задача решена методом разделения пе- ременных в сферической системе координат. Потенциал sph искомой волны, рассе- янной на сфере, представлен в виде обобщенного ряда Фурье по сферическим волно- вым функциям Рис. 3.14 Рис. 3.15 57  1 0 ( , ) ( ) (cos ),sph n n n n r A h r P        (3.37) а потенциал отраженной от поверхности цилиндрической полости волны в виде инте- грала   2 2 0( , ) ( ) ,i z cylФ z B J e d          (3.38) где 0 ( )J x – цилиндрическая функция Бесселя нулевого порядка;  – угловая частота;  – здесь радиальная координата цилиндрической системы координат; ( )B  – неиз- вестная плотность;  – постоянная разделения. В выражениях (3.37) и (3.38) опущен множитель  exp i t , а входящие в них величины обезразмерены. Для удовлетворения граничным условиям на цилиндрической и на сферической поверхностях используются в выражениях для потенциалов волн разложения сферичес- ких волновых функций по цилиндрическим и наоборот [181]. Неизвестные постоянные в разложениях потенциалов волн в ряды определены при решении линейной беско- нечной системы алгебраических уравнений, полученных при удовлетворении гранич- ным условиям, методом редукции. Полученные на первом этапе решения задачи по- тенциалы, в соответствии с принятым методом исследования, использованы при оп- ределении давления в жидкости с точностью до величин второго порядка (3.18) и при вычислении гидродинамической силы (3.20), действующей на сферическую частицу. Ее постоянная составляющая (радиационная сила) получена осреднением по времени. Исследование характера действия радиационной силы на твердую сферическую частицу в круговой цилиндрической полости, заполненной жидкостью, проведено численно в безразмерных величинах. В качестве нормировочных параметров исполь- зованы параметры сжимаемой жидкости (воды): скорость звука 0 1500a  м/c, плот- ность 31000кг м  . Рассмотрена плоская акустическая волна (3.36) с плотностью потока энергии 2175,5Вт мI  , что соответствует умеренной мощности излучения, при котором длина волны 0,038 м,  а скорость частиц жидкости порядка 0,015 м/c. Графики изменения безразмерных значений радиационной силы, вычис- ленной на втором этапе решения задачи, представлены на рис. 3.16 – 3.19. Сплошной линией показана зависимость от безразмерной частоты 0 0a ( 0 – радиус цилинд рической полости) величины радиационной силы, действующей на сферическую час- тицу в круговой цилиндрической полости и определенной при безразмерном давле- нии 2 0( )p a . Штриховой линией – при тех же условиях для случая сферической час- 0 2 4 6 0,01 0,005 0 F 1010 r0=0,1 Рис. 3.16 0 2 4 6 -4 -2 0 2 4 F 1010 r0=0,4 Рис. 3.17 58 тицы, находящейся в безграничной жидкости. Результаты, представленные на рисун- ках, свидетельствуют о немонотонном характере зависимости величины радиацион- ной силы от частоты. При определенных значениях частоты  ( 4, 7   ) про- исходит резкое изменение величины радиационной силы, свойственное для всех раз- меров сферической частицы. Отмечены характерные особенности воздействия радиационной силы на сфериче- скую частицу, которые следуют из анализа графиков: – если на частицу в безграничной жидкости действует радиационная сила, направ- ленная в сторону распространения волны и монотонно возрастающая с увеличением частоты, то для частицы в цилиндрической полости характер зависимости радиацион- ной силы от частоты существенно усложняется, что определяется усложнением ди- фракционного поля внутри цилиндра; – в зависимости от частоты радиационная сила для частицы в полости, в отличие от случая частицы в неограниченной жидкости, может быть направлена как в сторону распространения акустической волны, так и в противоположную сторону; – в окрестности некоторых частот изменение величины радиационной силы имеет характер, близкий к резонансному: на графиках зависимости радиационной силы от частоты в окрестностях резонансных частот появляются максимумы. Очевидно резо- нансные частоты являются собственными частотами механической системы: заполнен- ная жидкостью жесткая цилиндрическая полость с твердой сферической частицей [181]. В статье [135] рассмотрена задача о действии радиационной силы на сферическую каплю жидкости в цилиндрической полости, заполненной жидкостью с другими ме- ханическими свойствами. При постановке задачи в отличие от случая твердой сфери- ческой частицы граничные условия на поверхности сферической капли требуют не- прерывности как нормальных составляющих скоростей частиц жидкости капли и внешней к ней жидкости, так и непрерывности давлений в жидкостях. Потенциал 1( , )r  , который описывает волновое движение в капле, принят в следующем виде: 1 0 ( , ) ( ) (cos ),n n n n r C j r P        (3.39) где 0 1c c  – отношение скорости звука в жидкости, в которой находится капля, к скорости звука в жидкости капли. Выражение (3.39) записано в безразмерном виде. Для решения задачи использован подход, который был применен для случая твердой сферической частицы, расположенной в заполненной жидкостью цилиндрической полости [202]. В результате исследования получено выражение для вычисления ра- диационной силы, действующей на сферическую каплю жидкости в заполненной жидкостью с другими свойствами цилиндрической полости. 0 2 4 6 -10 0 10 20 30 40 F 1010 r0=0,8 Рис. 3.19 0 2 4 6 -10 0 10 20 30 40 F 1010 r0=0,6 Рис. 3.18 59 3.6. Действие радиационной силы на систему двух объектов в идеальной жид- кости. При наличии большого числа частиц в жидкости возникает проблема опреде- ления их взаимовлияния, обусловленного при распространении акустической волны возникающими радиационными силами. Если положения погруженных в жидкость частиц случайны, а среднее расстояние между ближайшими соседями велико по срав- нению с линейными размерами частиц, наиболее важными взаимодействиями будут взаимодействия между парами частиц, оказавшимися близко одна от другой. Группы из трех или большего числа близко расположенных частиц будут встречаться значи- тельно реже. В связи с этим, изучение взаимодействия именно двух частиц, одиноч- ных в большом объеме жидкости, имеет фундаментальное значение. Поэтому имеется большое число работ как теоретического, так и экспериментального характера, по- священных исследованию взаимодействия двух частиц в поле звуковой волны. В этих работах линейные размеры частиц принимаются малыми по сравнению с амплитудой колебания среды и длиной волны. Поэтому в этом случае принимается допущение об однонаправленном установившемся (квазистационарном) режиме обтекания частиц несжимаемой жидкостью, которое приводит к возникновению гидродинамических сил. Эти силы используются для объяснения взаимодействия частиц. В случае боль- ших чисел Рейнольдса – это силы Бернулли. В случае малых чисел Рейнольдса ис- пользуют подходы, основанные на рассмотрении гидродинамических сил Стокса и Озеена. При таких подходах к решению задачи в уравнениях движения жидкости инерционные члены не учитываются или учитываются частично. В ряде исследова- ний [139] взаимодействие частиц в звуковом поле низкой частоты объясняется воз- никновением сил Бъеркнесса, которые появляются между частицами, колеблющимися с различными скоростями в несжимаемой идеальной жидкости. В реферируемых работах рассмотрегны системы из двух свободных сферических и из двух свободных цилиндрических тел. Исследовано их взаимодействие, обуслов- ленное радиационными силами. Для решения поставленных задач использован под- ход, рассмотренный выше. На первом этапе решения задачи при определении потен- циалов рассеянных на объектах волн применена линейная теория распространения волн (3.19). В результате при определении потенциалов поля скоростей использовался принцип суперпозиции. Для решения задач рассеяния применен метод разделения переменных в цилиндрической (сферической) системе координат [149]. С каждым объектом связывалась соответствующая локальная цилиндрическая (сферическая) система координат, в которой потенциалы волн представлены обобщенными рядами Фурье, соответственно, по цилиндрическим (сферическим) волновым функциям. Ко- эффициенты в разложениях потенциалов в ряды определяются из решения бесконеч- ных систем линейных алгебраических уравнений, которые получены при удовлетво- рении граничным условиям на поверхности каждого объекта. При этом скорости час- тиц поверхности объектов определены при решении уравнений движения объекта (3.22) под действием силы (3.20), в которой давление задавалось соотношением (3.21). Для записи граничных условий на каждом из объектов в локальной системе коорди- нат использованы теоремы сложения соответствующих волновых функций [149, 84]. Полученные системы уравнений являются регулярными и в силу этого имеют единст- венное решение, которое получено численно методом редукции. Заданная степень точности обеспечена путем сравнения результатов для последовательно возрастаю- щего числа уравнений. Такой подход использован при решении многих задач о взаи- модействии объектов с жидкостью [166, 174, 181]. Полученные на первом этапе ре- шения задачи потенциалы волн использованы для определения давления в жидкости с точностью до величин второго порядка (3.18), вычисления сил на втором этапе, дей- ствующих на тела в жидкости (3.20), и определения их постоянных составляющих (радиационных сил) на третьем этапе, а также исследование движения тел под дейст- вием радиационных сил. В случае системы двух свободных сферически изотропных твердых сфер характер действия на них радиационных сил изучен в работах [88, 110, 111, 117, 123, 129]. В случае распространения волны (3.23) вдоль линии центров сфер (волновой век- тор принимался направленным от сферы 1 к сфере 2) предполагалось, что радиусы сфер могут быть как равными [88, 110, 117], так и различными [123] при возможных схемах расположения таких сфер в системе. В силу симметрии волнового поля радиа- 60 ционные силы, действующие на каждую из сфер, направлены вдоль линии их цен- тров. Выражения для этих сил в замкнутом виде удалось получить для случая 1ka   , 1kl  ( l – расстояние между центрами сфер радиуса a ) в результате использования асимптотических представлений для сферических функций малого и соответственно большого аргументов:       2 2 2 6 0 2 2 1 1 92 2 F A         ; (3.40)          1 2 2 6 0 5 4 sin 2 2 9 2 kl F F A kl         . (3.41) Здесь: 0 s   ; 0 – плотность жидкости; s – плотность материала s -й сферы ( 1,2s  ). Соотношение (3.40) и соотношение (3.41) при условии kl  полностью совпа- дают с (3.14), полученным в [180] для одиночной сферы. Второе слагаемое в (3.41) представляет осредненную по времени силу воздействия второй сферы на первую. Она обусловлена волной, отраженной от второй сферы. Первая сфера не воздействует на вторую, поскольку в случае длинных волн (рассматриваемое здесь приближение) энергия, рассеянная на сфере, направлена навстречу падающей волне. Если второе слагаемое в (3.41) положительно, то первая сфера притягивается второй, если отрица- тельно – отталкивается. На рис. 3.20 показаны кривые зависимо- сти величины     1 2 410f F F   Н от параметра  для двух одинаковых сфер ра- диуса a в воде (1 0,1ka  , 10kl  ; 2 ka  0,112, 11,2kl  ) при распростра- нении плоской волны (3.23) единичной ам- плитуды. При изменении частоты или плотности сфер характер взаимодействия существенно изменяется. На рис. 3.21 – 3.24 приведены результаты расчетов радиационных сил для системы двух сфер в пропаноле (при 0  ), полученные на компьютере без ограничений на длину волны, радиусы сфер и на расстояние между ними. При этом первичная волна характери- зуется амплитудой 4 20,918 10 м /cA   . Сила воздействия i -й сферы на j -ю ijF { , 1,2i j  } определена как разность радиа- ционной силы, действующей в акустиче- ском поле на j -ю сферу в системе двух сфер, и радиационной силы, действующей в акустическом поле на одиночную j -ю сфе- ру. В результате взаимодействия сферы имеют тенденцию к сближению или удале- нию (рис. 3.21, 3.22). На рис. 3.23 построе- ны кривые зависимости величины Рис. 3.20 Рис. 3.21 61    1 2F F F   от параметра 1ka для следующих систем из двух сфер радиусов 1a и 2a : 1 2 11 , 0,8 ;a a a  12 ,a 2 1;a a 1 2 13 , 1,2a a a  при 14l a . Силы взаимо- действия существенно зависят от размеров сфер и от их ориентации в системе относи- тельно направления распространения волны. Результаты расчетов радиационных сил в зависимости от расстояния между цен- трами сферических частиц приведены на рис. 3.24. Кривые 1 и 2 относятся соответст- венно к первой и второй сферам в системе. Действие радиационной силы на одиночную сферу характеризуется кривой 3. Анализ кривых обнаруживает наличие в акустичес- ком поле зон притяжения и отталкивания частиц, устойчивых и неустойчивых границ раздела этих зон. Случай распространения плоской волны перпендикулярно к линии центров системы из двух сфер одинаковых радиусов a , рас- положенных на расстоянии l , рассмотрен в работах [111, 129]. Задача решена в длин- новолновом приближении ( 1ka  ) для случая достаточно удаленных сфер ( 1kl  ). Выражения для радиационных сил получены в замкнутом виде. Их проекции на прямую, проходящую через центры сфер, имеют следующий вид:    1 2 6 0 sin2 9 kl F A kl   ;    2 1F F  . (3.42) Радиационные силы (3.42) не зависят от параметра 0 /   . Это обусловлено тем, что в рассматриваемом случае смещение сфер в колебательном движении вдоль линии их центров пренебрежимо мало. Радиационные силы уменьшаются с увеличе- нием расстояния между сферами. На расстояниях, кратных длине полуволны, они равны Рис. 3.24 Рис. 3.22 Рис. 3.23 62 нулю. Характер изменения величины радиационных сил свидетельствует о существовании в волновом поле зон, в которых сферы притягиваются или отталкиваются в направлении, перпен- дикулярном волновому вектору. На границах зон сферы образуют, соответ- ственно, устойчивую или неустойчи- вую пару. Характер движения сфер под действием радиационных сил (3.42) исследован в [129]. На рис. 3.25 приведен фазовый портрет системы двух сферических частиц, полученный для конкретного примера. В зависимости от расстояния сфер до положения устойчивого равновесия они либо разбегаются в противоположных направлениях (фазовые траекто- рии 1, 2), либо колеблются относительно положений равновесия (фазовые траектории 4). Область колебательных движений отделяет- ся от области разбегания сепаратрисой 3. Задача о действии радиационных сил на систему из двух параллельных цилиндриче- ски изотропных круговых цилиндров, распо- ложенных один за другим на расстоянии l вдоль направления распространения плоской акустической волны (3.23), решена в [113, 119, 124]. Использован подход, аналогичный случаю двух сферических тел. Рассмотрена система двух свободных твердых цилиндров одинаковых радиусов a , а также системы двух цилиндров различных радиусов при их возможном расположении в системе. Изуче- ны случаи переменного расстояния l между цилиндрами при постоянной частоте и слу- чаи фиксированного расстояния l между ними при изменении частоты. В длинноволновом приближении ( 1ka  ) для достаточно удаленных цилиндров ( 1kl  ) в результате использования асимптотических представлений для цилиндрических функций малого и соответственно большого аргумен- тов для радиационных сил получены выра- жения в замкнутом виде:  1 ;F F f       2 3 2 501 sin 2 cos 2 4(1 ) A f kl kl kl        ; (3.43)   5 2 2 3 2 0 1 . 4(1 ) F F A kl       (3.44) В (3.43) и (3.44) F обозначает радиационную силу, действующую на одиноч- ный цилиндр (3.25). Силы взаимодействия представлены вторыми слагаемыми. На рис. 3.26 показан характер действия второго цилиндра на первый в воде при прохож- дении волны единичной амплитуды длиною 0,1м  при условии, что / 0,016a   . Сила воздействия имеет осциллирующий характер и существенно зависит от пара- метра  , частоты и расстояния l между цилиндрами. При изменении частоты (длины волны) она изменяется как по величине, так и по направлению. Рис. 3.25 Рис. 3.26 63 На рис. 3.27 – 3.29 приведены результаты расчетов радиационных сил для цилин- дров в пропаноле (при * 0  ), полученные на компьютере без ограничений на отно- шения длины волны к радиусам цилиндров и к расстояниям между ними. При этом акустическая волна характеризуется амплитудой 4 20,9 10 м /cA   (рис. 3.27, 3.28) или плотностью потока энергии 2175,5 Вт/мI  и частотой (рис. 3.29). На рис. 3.27 кривые 1 и 2 относятся соот- ветственно к первому и ко второму цилинд- рам, имеющим одинаковые радиусы, а кри- вая 3 – к одиночному цилиндру. Второй ци- линдр притягивает первый. При этом сила притяжения зависит от расстояния l между цилиндрами. Более сложный характер взаи- модействия параллельных цилиндров пред- ставлен на рис. 3.28, на котором приведены результаты исследований двух систем, со- стоящих из цилиндров различных радиусов ( 1a и 2a ). Кривая 1 относится к первому цилиндру системы № 1 ( 1 21,0 ; 1,3ka ka  ), а кривая 2 – ко второму цилиндру системы № 2 ( 1 1,3ka  ; 2 1,0ka  ). Кривая 3 характе- ризует радиационную силу, действующую на одиночный цилиндр при 1,0.ka  Взаимо- действие цилиндров существенно изменяет радиационные силы, действующие на каж- дый из цилиндров (отклонения кривых 1 и 2 от кривой 3). Наличие цилиндров различных радиусов усложняет картину зависимости радиационных сил от расстояния: цилиндры могут не только сближаться, но и удаляться. При изменении частоты цилиндры имеют тенденцию как к быстрому, так и к медлен- ному сближению (рис. 3.29). Эта тенденция характеризуется величиной отклонения кри- вых 1 и 2, которые относятся соответственно к первому и ко второму цилиндрам и опре- деляют радиационные силы, действующие на эти цилиндры. Кривая 3 характеризует ра- диационную силу, действующую на одиноч- ный цилиндр. Отклонения кривых 1 и 2 от кривой 3 представляют взаимовлияние ци- линдров. С ростом частоты взаимовлияние цилиндров увеличивается. Случай распространения плоской аку- стической волны перпендикулярно плоско- сти осевых линий системы из двух свобод- ных параллельных цилиндров одинакового радиуса a , расположенных на расстоянии l , рассмотрен в работе [113]. Использовался подход, аналогичный случаю двух сфер. Вы- числение радиационных сил проведено в длинноволновом приближении для доста- точно удаленных цилиндров. В результате Рис. 3.28 Рис. 3.27 Рис. 3.29 64 получены следующие выражения для радиационных сил:       2 5 1 3 2 0 sin cos 8x A F kl kl kl      ; (3.45)       2 5 1 3 2 0 sin cos 8y A F F kl kl kl       ; (3.46)    2 1 x xF F  ;    2 1 y yF F . (3.47) Здесь  s xF  1,2s  – проекция на ось оx радиационной силы, действующей на s - й цилиндр (ось оx расположена в плоскости осей цилиндров и направлена перпенди- кулярно к оси цилиндра № 2);  s yF – проекция радиационной силы на ось оy , па- раллельную волновому вектору. В (3.46) F – радиационная сила, действующая на одиночный цилиндр при тех же условиях [3.25]. Из (3.45) – (3.47) следует, что цилиндры не взаимодействуют при значительном удалении ( kl  ), а также и в случае, когда длина волны  и расстояние l между осями цилиндров связаны соотношениями 2 / 3 / 4l n   . При выполнении соотно- шения 2 / 1 / 4l n   взаимодействие цилиндров максимально. В этом случае радиа- ционные силы сближают цилиндры при n четном и удаляют при n нечетном. Везде n предполагается достаточно большим. Как и в случае двух сфер, силы взаимодейст- вия не зависят от параметра 0 /   . Методы, предложенные для решения задач о действии в акустическом поле ра- диационных сил на систему двух объектов, используются и при решении задачи о действии радиационной силы на тело у плоской границы жидкости [92, 93]. В [132, 133. 177] изучен характер действия радиационной силы, обусловленной распростра- няющейся перпендикулярно к плоской стенке звуковой волной (3.36), на свободную сферическую частицу радиуса a , расположенную на расстоянии l от стенки. В рас- сматриваемом случае волновое поле формируется в результате интерференции пер- вичной волны и волн, отраженных от стенки и рассеянных на сфере. На первом этапе решения задачи при определении потенциалов акустического поля задаются гранич- ные условия на поверхности сферы и на плоской границе жидкости. При решении линейной задачи о рассеянии акустической волны на сферической частице и отраже- нии рассеянной на сфере волны от плоской границы жидкости используется метод мнимых изображений. В результате указанная задача сводится к задаче о рассеянии волны на двух сферических частицах и формулируется как задача определения по- тенциалов отраженных волн в сферической системе координат. Искомые потенциалы волн представлены обобщенными рядами Фурье по сферическим волновым функци- ям, постоянные коэффициенты в которых подлежат определению. Рассмотрен случай, когда 1ka   и 1kl   . В этом случае при решении бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов, по- лученных при удовлетворении граничных условий, используются асимптотические представления для сферических функций и их производных малых и больших аргу- ментов. На втором этапе определенные потенциалы акустического поля используются для вычисления акустического давления в жидкости и гидродинамической силы, дей- ствующей на сферу. Ее постоянное слагаемое (радиационная сила, полученная осред- нением по времени гидродинамической силы), имеет следующий вид: 1 2 3 5 0 8 1 sin ( ). 3 2zF A O           (3.48) 65 Исследован характер движения под действием радиационной силы (3.48) сфери- ческой частицы, которая в момент времени t находится в точке с координатой z . Уравнение ее движения принимает такой вид:     2 2 3 02 8 1 sin 2 3 2 d z m m A z d t         , (3.49) где 3 14 3m R  – масса сферической частицы; 3 02 3m R   – ее присоединенная масса; 0 1   . В рамках принятого в исследовании приближения установлено, что радиационная сила (3.49) не действует на взвешенную в жидкости ( 1)  сферичес- кую частицу. Радиационная сила равна нулю также на определенных расстояниях nz от плоской границы (положениях равновесия). При этом положения устойчивого рав- новесия для случаев 1  являются положениями неустойчивого равновесия для случаев 1  и наоборот. Возле положений устойчивого равновесия частицы колеблются. Тяжелые частицы ( 1  ) по сравнению с легкими частицами ( 1  ) имеют больший период T при одинаковых амплитудах колебания. В работах [97, 83] изучен характер действия радиационной силы на твердый ци- линдр, расположенный параллельно плоской стенке на расстоянии  от нее. Для ре- шения задачи использован подход, разработанный для твердой сферической частицы у плоской границы жидкости. Задача сформулирована для случая падения плоской акустической волны на стенку под произвольным углом  . При решении линейной задачи о рассеянии акустической волны на твердом цилиндре и отражении рассеянной на нем волны от плоской границы жидкости используется метод мнимых изображений. В результате указанная задача сведена к задаче о рассеянии волны на двух цилиндри- ческих телах и формулируется как задача определения потенциалов отраженных волн в цилиндрической системе координат. Искомые потенциалы волн представлены обоб- щенными рядами Фурье по цилиндрическим волновым функциям, постоянные коэф- фициенты в которых подлежат определению. Рассмотрен случай длинных волн, когда 1ka   и 1k   . В [97] получены выражения для проекций радиационной силы на ось, перпендикулярную плоской границе и на параллельную ей. Под действи- ем составляющей радиационной силы, перпендикулярной плоской границе,   2 50 sin 2 cos (1 )cos3 2cos (( ) ) (1 )xF A k O ka a             (3.50) цилиндр совершает движения, описываемые уравнением нелинейного осциллятора. При этом период его колебаний увеличивается с увеличением угла падения  и су- щественно зависит от параметра  , длины волны и амплитуды скорости частиц жид- кости. В [83] задача решена численно для случая, когда цилиндр радиуса 0,005мa  находится в пропаноле и плотность потока энергии в волне составляет 2175,5Вт/мI  . Наиболее существенно на компоненты ра- диационной силы влияет величина расстоя- ния  от цилиндра до плоскости границы жидкости и величина угла  падения зву- ковой волны на границу. На рис. 3.30 пока- заны кривые, характеризующие зависи- мость составляющей радиационной силы, перпендикулярной плоскости границы, от этих параметров. Для малых значений  эта зависимость имеет сложный характер. Рис. 3.30 66 Заключение. В рассмотренных работах осуществлена разработка математических моделей и методов исследования динамики упругих тел, твердых и жидких частиц в вязкой жидкости, основанных на линеаризированных теориях сжимаемой вязкой жидкости и упругих тел с начальными напряжениями. Основные научные результаты приведенных исследований заключаются в сле- дующем. 1. Получены линеаризированные соотношения для движущейся и покоящейся вязкой сжимаемой жидкости в случае нестационарных и гармонических малых дви- жений (колебаний). 2. Построены общие решения трехмерных уравнений линеаризированной теории вязкой сжимаемой жидкости, выражения для которых получены через скалярный и век- торный потенциалы. Приведены уравнения, из которых эти потенциалы определяются. 3. Получены представления общих решений в прямоугольной, круговой цилиндри- ческой и сферической системах координатах, что позволяет исследовать динамическое взаимодействие жидких и упругих тел такой формы с вязкой сжимаемой жидкостью. 4. Показано, что посредством предельных переходов из предложенных общих решений следуют известные общие решения для более простых моделей жидкости (несжимаемая вязкая, сжимаемая и несжимаемая идеальная жидкость). 5. Дана постановка и предложен метод исследования динамики твердых тел в сжимаемой жидкой среде при действии акустических волн, распространения возму- щений в упругих цилиндрических оболочках, заполненных вязкой сжимаемой жидко- стью, а также волновых процессов в упругих телах с начальными напряжениями, взаимодействующими с вязкой сжимаемой жидкостью. 6. Дана постановка и решены основные классы задач эластокинетики о распро- странении волн Рэлея, Стоунли, Лэмба, а также квазиповерхностных, продольных и крутильных мод в ряде гидроупругих систем (жидкое и упругое полупространства, жидкий слой и упругое полупространство, упругий слой и жидкое полупространство, упругий и жидкий слои, оболочка и полый цилиндр, содержащие жидкость, беско- нечное тело с цилиндрической полостью, заполненной вязкой сжимаемой жидкостью, сплошной цилиндр, находящийся в жидкости) с учетом начальных напряжений, вяз- кости и сжимаемости жидкой среды. 7. Применяя подход, основанный на использовании представлений общих реше- ний линеаризированных задач аэрогидроупругости для тел с однородными начальны- ми деформациями и покоящейся вязкой сжимаемой жидкости, получены дисперсион- ные соотношения в общем виде, инвариантном относительно различных форм упру- гого потенциала и справедливые для произвольных сжимаемых и несжимаемых мате- риалов. Проведены исследования основных классов задач, выполнены численные вы- числения и на их основе выявлены новые свойства, закономерности и механические эффекты, характерные для изучаемых волновых процессов и обусловленные взаимо- влиянием полей начальных напряжений и динамических напряжений, а также взаи- модействием упругого тела с вязкой жидкой средой. Основные результаты заключаются в следующем: а) показано, что в гидроупругих волноводах, состоящих из упругих тел и сжимаемой вязкой жидкости, в отличие от идеальных систем, распространяются волны, характери- зующиеся затуханием, которые при устремлении коэффициента вязкости к нулю перехо- дят в нормальные волны в гидроупругой системе с идеальной сжимаемой жидкостью; б) проиллюстрировано, что исследование закономерностей распространения кру- тильных мод в оболочечных гидроупругих волноводах возможно лишь с привлечени- ем модели вязкой жидкости. При этом вязкая жидкая среда оказывает существенное влияние на параметры волнового процесса и порождает волны, распространяющиеся с демпфированием; в) установлено, что вязкость жидкости и начальные напряжения оказывают суще- ственное влияние на частоты зарождения волн, а также на величины фазовых скоро- стей мод в окрестности этих частот; 67 г) обнаружено, что при взаимодействии сжимаемых упругих тел с жидкостью с увеличением сжимаемости жидкой среды возрастает число распространяющихся мод и весьма существенно изменяются величины их фазовых скоростей и коэффициентов затухания. Отмечено также, что применение при расчетах волновых процессов моде- ли несжимаемой жидкости может привести к получению весьма неточных как коли- чественных, так и качественных результатов; д) выявлены нормальные волны определенных длин, на величины фазовых скоростей и коэффициентов затухания которых начальные напряжения не оказывают влияния; е) показана возможность существования мод определенных номеров и частот, на величины фазовых скоростей которых вязкость жидкости не оказывает влияния; ж) показано, что наличие жидкого слоя приводит к появлению новых квазилэм- бовских волн. Возникающие моды имеют нулевые частоты запирания. Воздействие жидкости проявляется в изменении критических частот и конфигурации дисперсион- ных кривых, а также в смещении их в длинноволновую часть спектра; з) установлено, что локализация низших мод в системе «слой жидкости – упругий слой» зависит от механических параметров гидроупругой системы. Основным крите- рием распределения низших нормальных волн в средах является соотношение между величинами скоростей волны звука в слое жидкости и квазирэлеевской волны, рас- пространяющейся вдоль свободной поверхности упругого слоя; и) показано, что влияние вязкости жидкости связано с ее взаимодействием со смещениями, возникающими в упруго-жидкостной системе при распространении волновых возмущений. В тех точках мод, где преобладающими являются сдвиговые смещения на границе раздела сред, влияние вязкости наибольшее и величины коэф- фициентов затухания, а также относительные изменения величин скоростей, прини- мают максимальное значение; к) показано, что с возрастанием толщины упругого слоя уменьшается влияние вяз- кости жидкого слоя на фазовые скорости и коэффициенты затухания всех (кроме пер- вой) квазилэмбовских мод в коротковолновой части спектра гидроупругого волновода; л) показано, что развитая трехмерная линеаризированная теория волн примени- тельно к высокоэластичным несжимаемым упругим телам позволяет как в плоском, так и в пространственных случаях определять значения параметров критического укорочения, при которых возникает явление поверхностной неустойчивости упругих тел и гидроупругих систем. 8. Получена информация количественного и качественного характера, которая да- ет возможность для волновых процессов определять погрешности, вносимые при ис- пользовании упрощенных теорий и более простых моделей упругих и жидких сред, а также оценивать пределы применимости результатов, полученных с привлечением приближенных прикладных двумерных теорий, линейной классической теории упру- гости и моделей вязкой несжимаемой или идеальной жидкости. 9. Исследованы проблемы взаимодействия акустической волны c объектами, на- ходящимися в сжимаемой (вязкой и идеальной) жидкости, мерой которого являются радиационные (средние во времени) силы, которые включают: а) постановку в общей форме задач о вычислении средних во времени сил и сил взаимодействия между объектами (без ограничений на длину волны и размеры объек- тов) и разработку методов их решения; б) решение отдельных классов задач для твердых и гибких частиц конкретной формы (сферической частицы, цилиндрической частицы, системы двух сферических частиц, системы двух цилиндрических частиц) при различных направлениях распро- странения относительно систем частиц плоской акустической волны; в) выявление новых механических эффектов, обусловленных взаимодействием объектов в акустическом поле и вязкостью несущей жидкости. 10. Для сжимаемой вязкой жидкости разработан метод вычисления напряжений в звуковой волне, основанный на использовании упрощенной, применительно к волно- вым движениям жидкости, системы исходных нелинейных уравнений гидромеханики, в которых сохранены как нелинейные, так и диссипативные слагаемые. В результате получено выражение, позволяющее вычислить напряжение в сжимаемой вязкой жид- 68 кости с точностью до слагаемых величин второго порядка по числу Маха, исходя из потенциалов поля скоростей жидкости, определенных с такой же точностью из ли- неаризированных уравнений гидромеханики. Радиационная (постоянная составляю- щая гидродинамической силы) сила, действующая на тело, определяется как средняя по периоду волны величина поверхностного интеграла от внутреннего произведения тензора напряжений в жидкости и орта нормали к поверхности твердого тела. 11. Для сжимаемой вязкой жидкости, течение которой описывается принятой в рассмотренных работах системой линеаризированных уравнений гидромеханики, ус- тановлена аналогия с линейным вязкоупругим твердым телом, которое при изменении объема ведет себя как тело Фойгта, а при изменении формы – как тело Ньютона. Ус- тановленная аналогия позволяет задачу о малых гармонических колебаниях сжимае- мой вязкой жидкости свести к задаче о стационарном состоянии гармонических коле- баний вязкоупругого твердого тела. Это дает возможность при определении потен- циалов поля скоростей жидкости свести задачу рассеяния акустической волны на сво- бодных твердых частицах в сжимаемой вязкой жидкости к задаче дифракции изотер- мической гармонической волны расширения в вязкоупругой твердой среде на абсо- лютно жестких телах. Такой подход позволил использовать методы, развитые в меха- нике деформируемого твердого тела для решения задач дифракции упругих волн в многосвязных областях. 12. Разработанный в реферируемых работах подход позволяет исследовать пове- дение систем твердых частиц в сжимаемой вязкой жидкости без ограничений на от- ношения длины волны к размерам частиц и к расстояниям между ними. 13. Выполнены предельные переходы в соответствующих выражениях для вязкой жидкости при стремлении коэффициентов вязкости к нулю, что позволило разрабо- танный подход использовать для случая идеальной сжимаемой жидкости. 14. Аналитические решения в замкнутом виде получены при условии, что разме- ры твердой частицы значительно меньше длины акустической волны. В случае систе- мы двух твердых частиц такое решение получено для идеальной жидкости при усло- вии, что размеры частиц малы по сравнению с длиной волны, которая, в свою оче- редь, мала по сравнению с расстояниями между частицами. Сравнение результатов расчетов, полученных численно и по приближенным формулам, позволяет определить области изменения параметров жидкости, твердых частиц и звуковой волны, в кото- рых с достаточной точностью можно использовать приближенные формулы для рас- чета средних во времени сил. 15. Выполнен анализ полученных численно и по приближенным формулам ре- зультатов исследований характера действия средних во времени сил на одиночные твердые частицы и системы двух таких частиц в идеальной и вязкой жидкостях при распространении акустической волны. В результате обнаружены новые механические эффекты, наиболее важные из которых сводятся к следующему: а) средняя во времени сила, действующая на твердую частицу в жидкости, суще- ственно зависит от отношения плотности жидкости к плотности материала час- тицы и увеличивается с ростом частоты; б) при одной и той же частоте средняя во времени сила, действующая на твердую частицу в сжимаемой вязкой жидкости, существенно зависит от величины динамиче- ского коэффициента вязкости. В более вязкой жидкости акустическая волна создает большую по величине среднюю во времени силу. Величина этой силы на несколько по- рядков превосходит значение радиационной силы, действующей на частицу при тех же условиях в идеальной жидкости; в) в отличие от идеальной жидкости в сжимаемой вязкой жидкости направление действующей на частицу средней во времени силы зависит от величины отношения плотности жидкости к плотности материала частицы; г) свободные частицы, расположенные в жидкости вдоль направления распро- странения акустической волны, находятся под действием средних во времени сил, которые при постоянной частоте в зависимости от расстояния между частицами изменяются как по величине, так и по направлению. В связи с этим в акустическом поле возникают области притяжения, в которых средние во времени силы сближают 69 частицы, и области отталкивания, в которых частицы под действием этих сил удаля- ются. На границах раздела областей притяжения и отталкивания система частиц обра- зует устойчивую или неустойчивую пару; д) на систему двух свободных частиц, расположенных в жидкости перпендику- лярно направлению распространения звуковой волны, средние во времени силы дей- ствуют как вдоль направления распространения волны, так и перпендикулярно это- му направлению. Силы, действующие на частицы перпендикулярно направлению рас- пространения волны, уменьшаются с увеличением расстояния между ними. Они не являются монотонными функциями расстояния, а изменяются по величине и по на- правлению. В результате возникают области притяжения и отталкивания частиц; е) в случае жидкой капли направление действия радиационной силы зависит от отношения плотности жидкости капли к плотности окружающей жидкости. В окрест- ности резонансной частоты пульсационных колебаний капли радиационная сила уве- личивается и при переходе частоты звуковой волны через резонансную частоту меня- ет направление; ж) в зависимости от частоты радиационная сила для частицы в полости, в отли- чие от случая частицы в неограниченной жидкости, может быть направлена как в сто- рону распространения акустической волны, так и в противоположную сторону. В ок- рестности некоторых частот изменение величины радиационной силы имеет характер, близкий к резонансному. В рассмотренных работах предложен подход, который включает постановку в общей форме задачи о действии средней во времени силы на твердые частицы и раз- работан метод ее решения, что позволяет исследовать поведение частиц в акустиче- ском поле независимо от отношений длины волны к размерам частиц и к расстоянию между ними. В связи с этим полученные результаты могут быть использованы при оценке результатов исследований, выполненных на основе подходов, использующих упрощающие предположения. Отметим, что в настоящей работе рассмотрены лишь некоторые результаты ис- следований динамики упругих тел, твердых и жидких частиц в сжимаемой вязкой жидкости. При отборе материала отдавалось предпочтение только тем, которые были получены в рамках трехмерной линеаризированной теории, учитывающей вязкость и сжимаемость жидкой среды, а также наличие начальных напряжений в упругих телах. При этом более подробно обсуждались результаты, полученные в Институте механи- ки имени С.П. Тимошенко Национальной академии наук Украины за последние годы. Р Е ЗЮМ Е . Наведено результати лінеаризації основних співвідношень в’язкої стисливої рідини стосовно до теорії малих коливань або рухів твердих тіл в ній і до теорії поширення малих збурень в пружних тілах, що взаємодіють із рідиною. Представлено загальні розв’язки рівнянь лінеаризованої теорії. Розглянуто результати досліджень хвилевих процесів у гідропружніх системах, які виконано із застосуванням тривимірних лінеаризованих теорій пружності при скінченних деформаціях та в’язкої стисливої рідини. Наведено результати досліджень поширення акустичних хвиль різних типів в хвиле- водах з плоскими та круговими циліндричними поверхнями контакту пружних та рідких середовищ, а також вплив на них великих (скінченних) початкових деформацій та в’язкості й стисливості рідини. Наведено огляд досліджень руху об’єктів у стисливих ідеальній та в’язкій рідинах під дією радіа- ційних сил, які обумовлені акустичним полем. Акцент зроблено на роботах, в яких використано метод, що ґрунтується на розв’язуванні задач гідродинаміки стисливої рідини, в якій знаходяться тверді частинки, з наступним обчисленням сил, діючих на частинки. Радіаційна сила визначається як стала складова гідродинамічної сили. Числові результати досліджень наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз. 1. Алексеев В.Н. К вопросу о радиационной силе давления звука на сферу // Акуст. журнал. – 1983. – 29, № 2. – С. 129 – 136. 2. Альтберг В. О давлении звуковых волн и об абсолютных измерениях силы звука // ЖРФХО, часть физич. – 1903. – № 35. – С. 459 – 474. 3. Бабич С.Ю., Гузь А.Н., Жук А.П. Упругие волны в телах с начальными напряжениями // Прикл. механика. – 1979. – 15, № 4. – С. 3 – 23. 70 4. Бабич С.Ю., Жук А.П. К теории волн Стонли на цилиндрической границе раздела жидкости и предварительно деформированного тела // Докл. АН УССР. – 1981, сер. А. – № 7. – С. 36 – 39. 5. Багно А.М. О распространении малых возмущений в системе предварительно напряженный не- сжимаемый цилиндр – жидкость // Прикл. механика.– 1980. – 16, № 6. – С. 40 – 45. 6. Багно А.М. О распространении продольных волн в предварительно напряженном сжимаемом ци- линдре, содержащем жидкость // Прикл. механика. – 1980. – 16, № 8. – С. 24 – 29. 7. Багно А.М. К вопросу о влиянии начальных напряжений на «обратную волну» в системе предвари- тельно напряженный сжимаемый цилиндр – жидкость // Прикл. механика. – 1983. – 19, № 3. – С. 66 – 70. 8. Багно А.М. К вопросу о влиянии начальных напряжений на распространение волн в сжимаемом цилиндре с вязкой сжимаемой жидкостью // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 4. – С. 103 – 110. 9. Багно А.М. Влияние вязкой сжимаемой жидкости на распространение волн Стоунли на границе раздела твердой и жидкой сред // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 6. – С. 70 – 74. 10. Багно А.М. О влиянии жидкости на скорости осесимметричных волн в предварительно деформи- рованном сжимаемом цилиндре // Гидромеханика. – 1984. – вып. 50. – С. 34 – 36. 11. Багно А.М. Влияние конечных деформаций на скорости волн Стоунли в высокоэластичном не- сжимаемом полупространстве, взаимодействующем с идеальной жидкостью // Прикл. механика. – 1985. – 21, № 6. – С. 116 – 119. 12. Багно А.М. Влияние начальных напряжений на поверхностные волны в системе предварительно деформированное сжимаемое тело – вязкая сжимаемая жидкость // Прикл. механика. – 1986. – 22, № 6. – С. 32 – 36. 13. Багно А.М. Влияние начальных напряжений на скорости поверхностных волн в сжимаемом полу- пространстве, взаимодействующем с идеальным жидким слоем // Прикл. механика. – 1989. – 25, № 1. – С. 113 – 117. 14. Багно А.М. Влияние начальных напряжений на волновой процесс в упругом сжимаемом полупро- странстве, взаимодействующем с вязким жидким слоем // Докл. АН УССР, сер. А. – 1989. – № 8. – С. 22 – 25. 15. Багно А.М. Волны в предварительно деформированном упругом полупространстве, взаимодейст- вующим со слоем вязкой сжимаемой жидкости / Всесоюзный симпозиум «Взаимодействие аку- стических волн с упругими телами» (Таллинн, 26 – 27 октября 1989): Тезисы докладов. – Тал- линн, 1989. – С. 22 – 25. 16. Багно А.М. Влияние конечных деформаций на волновой процесс в несжимаемом полупространст- ве, несущем слой вязкой жидкости // Докл. АН УССР. Сер.А. – 1990. – № 7. – С. 36 – 40. 17. Багно О.М. Поширення хвиль у попередньо деформованому стисливому пружному шарі, який взаємодіє з шаром ідеальної стисливої рідини // Вісник Київ. націон. ун-т ім. Т. Шевченка. Серія: фіз.-матем. науки. – 2014. – № 3. – С. 22 – 27. 18. Багно О.М. Хвильовий процес у стисливому пружному шарі, що взаємодіє з шаром в'язкої рідини // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій: збірник наукових праць / Дніпро- петровський національний університет. – Дніпропетровськ: Ліра, 2014. – Вип. 23. – С. 27 – 39. 19. Багно О.М. Хвилі у попередньо деформованому стисливому пружному шарі, який взаємодіє з шаром в'язкої стисливої рідини // Вісник Київ. націон. ун-т ім. Т. Шевченка. Серія: фіз.–матем. науки. – 2014. – № 4. – С. 63 – 68. 20. Багно О.М. О дисперсии волн в упругом слое, несущем вязкий жидкий слой // Доп. НАН України. – 2015. – № 5. – С. 40–46. 21. Багно А.М. О частотном спектре нормальных волн в предварительно напряженном сжимаемом слое, взаимодействующем со слоем идеальной жидкости // Доп. НАН України. – 2015. – № 6. – С. 30 – 36. 22. Багно А.М. О волнах Лэмба в системе: слой идеальной жидкости – упругий слой // Доп. НАН України. – 2015. – № 7. – С. 39 – 46. 23. Багно А.М. О локализации квазилэмбовских волн в системе слой идеальной жидкости – упругий слой // Доп. НАН України. – 2016. – № 2. – С. 38 – 46. 24. Багно А.М. О квазилэмбовских волнах в системе слой идеальной жидкости – сжимаемый упругий слой с начальными напряжениями // Доп. НАН України. – 2016. – № 3. – С. 38 – 47. 71 25. Багно А.М. О влиянии вязкой жидкости на квазилэмбовские волны в упругом слое, взаимодейст- вующем с жидким слоем // Доп. НАН України. – 2016. – № 4. – С. 41 – 48. 26. Багно А.М., Гузь А.Н. Исследование влияния жидкости на распространение продольных волн в предварительно напряженном цилиндре из несжимаемого материала // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1980. – № 9. – С. 39 – 42. 27. Багно А.М., Гузь А.Н. О распространении волн в предварительно напряженном несжимаемом цилиндре, содержащем вязкую сжимаемую жидкость // Механика композитных материалов. – 1982. – № 2. – С. 349 – 355. 28. Багно А.М., Гузь А.Н. О распространении малых возмущений в системе: предварительно напря- женное сжимаемое твердое тело – вязкая сжимаемая жидкость // Изв. АН СССР. Механика твер- дого тела. – 1983. – № 1. – С. 167 – 170. 29. Багно А.М., Гузь А.Н. Влияние начальных напряжений на скорости волн в полом цилиндре с жид- костью // Прикл. механика. – 1986. – 22, № 3. – С. 15 – 19. 30. Багно А.М., Гузь А.Н. Волны Стоунли на границе контакта предварительно напряженного несжи- маемого твердого полупространства и вязкой сжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1987. – № 3. – С. 107 – 110. 31. Багно А.М., Гузь А.Н. Упругие волны в предварительно напряженных телах, взаимодействующих с жидкостью (Обзор) // Прикл. механика. – 1997. – 33, № 6. – С. 3 – 39. 32. Багно А.М., Гузь А.Н., Ефремов В.И. Влияние начальных деформаций на распространение волн в несжимаемом цилиндре, находящемся в идеальной жидкости // Прикл. механика. – 1994. – 30, № 8. – С. 31 – 34. 33. Багно А.М., Гузь А.Н., Щурук Г.И. Влияние начальных деформаций на скорость волн в предвари- тельно напряженном несжимаемом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной жидкости // Прикл. механика. – 1988. – 24, № 6. – С. 68 – 73. 34. Багно А.М., Гузь А.Н., Щурук Г.И. Волны в жидком вязком слое, находящемся на упругом полу- пространстве // Прикл. механика. – 1990. – 26, № 4. – С. 3 – 7. 35. Багно А.М., Гузь А.Н., Щурук Г.И. Особенности неосесимметричного волнового процесса в орто- тропной оболочке типа С.П.Тимошенко, содержащей вязкую жидкость // Прикл. механика. – 1990. – 26, № 12. – С. 22 – 28. 36. Багно А.М., Гузь А.Н., Щурук Г.И. Волны в упругом предварительно напряженном сжимаемом слое, взаимодействующим с идеальной жидкостью // Прикл. механика. – 1994. – 30, № 2. – С. 3 – 10. 37. Багно А.М., Гузь А.Н., Щурук Г.И. Влияние вязкости жидкости на волны в упругом предваритель- но деформированном сжимаемом слое, взаимодействующем с жидкой средой // Прикл. механи- ка. – 1994. – 30, № 9. – С. 3 – 8. 38. Багно А.М., Кошман В.П. Влияние конечных начальных деформаций на скорости волн Рэлея в несжимаемом полупространстве // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1983. – № 9. – С. 18 – 20. 39. Багно О.М., Щурук Г.І. Особливості хвильового процесу в системі пружний шар – в’язка рідина // Доп. АН України. Матем., природознав., техн. науки. – 1993. – № 9. – С. 52 – 56. 40. Басмат А.С., Гузь А.Н., Жук А.П. Волновые и нестационарные движения твердых тел в сжимаемой вязкой жидкости / В кн.: Динамика тел, взаимодействующих со средой / Под ред А.Н. Гузя – К.: Наук. думка, 1991. – С. 6-52. 41. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. К проблеме анализа динамических свойств слоистого полупро- странства // Акуст. журнал. – 2014. – 60, № 5. – С. 492 – 504. 42. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. – М.: Мир, 1965. – 428 с. 43. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. – М.: Наука, 1989. – 416 с. 44. Весницкий А.И., Уткин Г.А. Движение тела вдоль струны под действием сил волнового давления // Докл. АН СССР. – 1988. – 302, № 2. – С. 278 – 280. 45. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. – М.: Наука, 1981. – 288 с. 46. Волькенштейн М.М., Левин В.М. Структура волны Стоунли на границе вязкой жидкости и твер- дого тела // Акуст. журнал. – 1988. – 34, № 4. – С. 608 – 615. 47. Ганиев Р.Ф., Украинский Л.Е. Динамика частиц при воздействии вибраций. – К.: Наук. думка, 1975. – 168 с. 48. Гольдберг З.А. Давление звука / В кн.: Мощные ультразвуковые поля / Под ред Л.Д. Розенберга. – М.: Наука, 1968. – С. 49-86. 72 49. Гольдберг З.А., Наугольных К.А. О рэлеевском давлении звука // Акуст. журнал. – 1963. – 9, № 1. – С. 28 – 31. 50. Горьков Л.П. О силах, действующих на малую частицу в акустическом поле в идеальной жидкости // Докл. АН СССР. – 1961. – 140, № 1. – С. 88 – 91. 51. Гринченко В.Т., Комиссарова Г.Л. Распространение волн в полом упругом цилиндре с жидкостью // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 1. – С. 21 – 26. 52. Гринченко В.Т., Комиссарова Г.Л. Свойства нормальных неосесимметричных волн в толстостен- ном цилиндре, заполненном жидкостью // Прикл. механика. – 1988. – 24, № 10. – С. 15 – 20. 53. Гринченко В.Т., Комиссарова Г.Л. Поверхностные волны в системе упругий слой на жидком по- лупространстве // Акустичний вісник. – 2005. – 8, № 4. – С. 38 – 45. 54. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. – К.: Наук. думка, 1981. – 284 с. 55 .Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. – К.: Наук. думка, 1971. – 270 с. 56. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. – К.: Наук. думка, 1973. – 272 с. 57. Гузь А.Н. О представлении общих решений линеаризованной теории упругости сжимаемых тел // Докл. АН УССР. Сер. А.– 1975. – № 8. – С. 700 – 703. 58. Гузь А.Н. О представлении общих решений линеаризированной теории упругости несжимаемых тел // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1975. – № 12. – С. 1092 – 1095. 59. Гузь А.Н. О линеаризированной теории распространения упругих волн в телах с начальными на- пряжениями // Прикл. механика. – 1978. – 14, № 4. – С. 3 – 32. 60. Гузь А.Н. О волнах Лява в телах с начальными напряжениями // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1978. – № 12. – С. 1092 – 1095. 61. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при всестороннем сжатии. – К.: Наук. думка, 1979. – 144 с. 62. Гузь А.Н. О задачах гидроупругости для вязкой жидкости и упругих тел с начальными напряже- ниями // Докл. АН СССР. – 1980. – 251, № 2. – С. 305 – 308. 63. Гузь А.Н. О задачах аэрогидроупругости для тел с начальными напряжениями // Прикл. механика. – 1980. – 16, № 3. – С. 3 – 21. 64. Гузь А.Н. О представлении решений линеаризированных уравнений Стокса – Навье // Докл. АН СССР. – 1980. – 253, № 4. – С. 825 – 827. 65. Гузь А.Н. О представлении решений линеаризированных уравнений Стокса – Навье для движу- щейся жидкости // Докл. АН СССР. – 1980. – 255, № 5. – С. 1066 – 1068. 66. Гузь А.Н. Распространение волн в цилиндрической оболочке с вязкой сжимаемой жидкостью // Прикл. механика. – 1980. – 16, № 10. – С. 10 – 20. 67. Гузь А.Н. Динамика твердых тел в сжимаемой вязкой жидкости (покоящаяся жидкость) // Прикл. механика. – 1981. – 17, № 3. – С. 3 – 22. 68. Гузь А.Н. Об одной аналогии в механике сплошной среды // Докл. АН СССР. –1982. – 263, № 3. – С. 563 – 565. 69. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. – К.: Наук. думка, 1983. – 296 с. 70. Гузь А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. – К.: Вища шк., 1986. – 511 с. 71. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 1. Общие вопросы. – К.: Наук. думка, 1986. – 376 с. 72. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т.2. Закономерности распростра- нения. – К.: Наук. думка, 1986.– 536 с. 73. Гузь А.Н. Проблемы гидроупругости для сжимаемой вязкой жидкости // Прикл. механика. – 1991. – 27, № 1. – С. 3 – 15. 74. Гузь А.Н. Упругие волны в сжимаемых материалах с начальными напряжениями и неразрушаю- щий ультразвуковой метод определения двухосных остаточных напряжений // Прикл. механика. – 1994. – 30, № 1. – С. 3 – 17. 75. Гузь А.Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости. – К.: А.С.К., 1998. – 350 с. 76. Гузь А.Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости (обзор). I // Прикл. механика. – 2000. – 36, № 1. – С. 25 – 52. 77. Гузь А.Н. О необходимых и достаточных условиях описания движения объектов в вязкой жидко- сти при акустических воздействиях // Прикл. механика. – 2000. – 36, № 2. – С. 64 – 71. 73 78. Гузь А.Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости (обзор). II // Прикл. механика. – 2000. 36, № 3. – С. 3 – 30. 79. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. – К.: А.С.К., 2004. – 672 с. 80. Гузь А.Н., Багно А.М. Волны Стоунли на границе раздела упругого полупространства с началь- ными напряжениями и вязкой жидкости // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 12. – С. 3 – 7. 81. Гузь А.Н., Багно А.М. Влияние начальных напряжений на скорости волн в предварительно дефор- мированном сжимаемом слое, контактирующим с жидким полупространством // Докл. Акад. на- ук СССР. – 1993. – 329, № 6. – С. 715 – 717. 82. Гузь А.Н., Багно А.М., Щурук Г.И. Осесимметричные упругие волны в ортотропной цилиндриче- ской оболочке, содержащей вязкую сжимаемую жидкость // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1989. – № 9. – С. 41 – 46. 83. Гузь О.М., Геращенко Н.В., Жук О.П. Дія акустичної хвилі на циліндричну частинку, розташовану близько твердої плоскої межі // Доп. НАН України. – 1996. – № 2. – С. 52 – 56. 84. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. – К.: Наук. думка, 1972. – 254 с. 85. Гузь А.Н., Жук А.П. О гидродинамических силах, действующих в акустическом поле в вязкой жидкости // Докл. АН СССР. – 1982. – 266, № 1. – С. 32 – 35. 86. Гузь А.Н., Жук А.П. О нелинейных задачах теории малых колебаний частиц в вязкой сжимаемой жидкости / Тр. IX Международ. конф. по нелинейным колебаниям. Приложение методов теории нелинейных колебаний в механике, физике, электронике, биологии. – К.: Наук. думка, 1984. – 3. – С. 85 – 88. 87. Гузь А.Н., Жук А.П. О силах, действующих на сферическую частицу в звуковом поле в вязкой жидкости // Докл. АН СССР. – 1984. – 274, № 6. – С. 1313 – 1316. 88. Гузь А.Н., Жук А.П. Гидродинамическое взаимодействие двух сферических частиц в идеальной жидкости в поле звуковой волны // Докл. АН СССР. – 1984. – 279, № 3. – С. 566 – 570. 89. Гузь А.Н., Жук А.П. О движении двух параллельных цилиндров в вязкой жидкости в поле акусти- ческой волны // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1990. – № 6. – С. 158 – 164. 90. Гузь А.Н., Жук А.П. Воздействие акустической волны на твердые частицы в жидкости / Сб.ст.: Не- линейные задачи динамики машин.– М.: Ин-т машиноведения, РАН – 1992. – С. 43 – 52. 91. Гузь А.Н., Жук А.П. Динамика твердых частиц в жидкости при воздействии акустического поля. Модель кусочно-однородной среды. (Обзор) // Прикл. механика. – 1993. – 29, № 5. – С. 3 – 20. 92. Гузь А.Н., Жук А.П. Динамика частиц возле плоской границы в радиационном поле акустической волны // Прикл. механика. – 1999. – 35, № 10. – С. 74 – 79. 93. Гузь А.Н., Жук А.П. Движение твердой частицы в окрестности плоской границы жидкости в поле средних сил акустической волны // Проблемы механики. Сборник статей к 90-летию со дня рож- дения А.Ю. Ишлинского. – М.: Физматлит, 2003. – С. 342 – 349. 94. Гузь А.Н., Жук А.П. О движении твердых частиц в жидкости при действии акустической волны. Механизм радиационного давления // Прикл. механика. – 2004. – 40, №3. – С. 11 – 34. 95. Гузь А.Н., Жук А.П. О движении твердых частиц в жидкости при действии акустического поля / Успехи механики в 6-ти томах. Под редакцией А.Н.Гузя. Том 5. – К.: «Литера ЛТД», 2009. – 752 с. – С. 144 – 166. 96. Гузь А.Н., Жук А.П. Действие радиационного излучения в вязкой жидкости на сферическую кап- лю идеальной жидкости // Прикл. механика.– 2014. –50, № 6. – С. 3 – 11. 97. Гузь О.М., Жук О.П., Геращенко Н.В. Про рух циліндра біля твердої плоскої межі в радіаційному полі звукової хвилі // Доп. НАН України. – 1994. – № 11. – С. 61 – 65. 98. Гузь А.Н., Жук А.П., Махорт Ф.Г. Волны в слое с начальными напряжениями. – К.: Наук. думка, 1976. – 104 с. 99. Гузь А.Н., Маркуш Ш., Пуст Л. и др. Динамика тел, взаимодействующих со средой / Под ред. А.Н.Гузя. – К.: Наук. думка, 1991. – 392 с. 100. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И. Введение в акустоупругость. – К.: Наук. думка, 1977. – 152 с. 101. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И., Лебедев В.К. Основы ультразвукового неразрушающего метода определения напряжений в твердых телах. – К.: Наук. думка, 1974. – 108 с. 102. Данилов С.Д. Средняя сила, действующая на малую сферу в поле бегущей волны в вязкой жид- кости // Акуст. журнал. – 1985. – 31, № 1. – С. 45 – 49. 74 103. Данилов С.Д., Миронов М.А. Одномерное моделирование средних сил в акустике // Акуст. жур- нал. – 1984. – 30, № 3. – С. 306 – 309. 104. Данилов С.Д., Миронов М.А. О силе радиационного давления, действующей на малую частицу в звуковом поле // Акуст. журнал. – 1984. – 30, № 6. – С. 467 – 473. 105. Данилов С.Д., Миронов М.А. Сила радиационного давления звука на малый рассеиватель, дви- жущийся в однородном и изотропном поле // Акуст. журнал. – 1990. – 36, № 1. – С. 21 – 24. 106. Жук А.П. Волны Стонли в среде с начальными напряжениями // Прикл. механика. – 1980. – 16, № 1. – С. 113 – 116. 107. Жук О.П. Хвилі Стонлі на границі поділу рідини і попередньо напруженого тіла // Доп. АН УРСР, сер. А. – 1980. – № 4. – С. 36 – 40. 108. Жук А.П. Взаимодействие твердой частицы со звуковой волной в вязкой жидкости // Прикл. механика. – 1983. – 19, № 11. – С. 92 – 99. 109. Жук А.П. Исследование средней гидродинамической силы, действующей на сферическую части- цу в звуковом поле в вязкой жидкости // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 1. – С. 126 – 127. 110. Жук А.П. Гидродинамическое взаимодействие сферических частиц, обусловленное звуковой волной, распространяющейся вдоль линии центров // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 9. – С. 111 – 116. 111. Жук А.П. Гидродинамическое взаимодействие двух сферических частиц, обусловленное звуко- вой волной, распространяющейся перпендикулярно линии центров // Прикл. механика. – 1985. – 21, № 3. – С. 110 – 116. 112. Жук А.П. Радиационная сила, действующая на цилиндрическую частицу в звуковом поле // Прикл. механика. – 1986. – 22, № 7. – С. 103 – 108. 113. Жук А.П. Взаимодействие двух параллельных цилиндров, расположенных один за другим вдоль направления распространения звуковой волны // Прикл. механика. – 1987. – 23, № 8. – С. 89 – 95. 114. Жук А.П. Взаимодействие двух параллельных цилиндров при распространении звуковой волны перпендикулярно плоскости осевых линий // Прикл. механика. – 1987. – 23, № 11. – С. 105 – 111. 115. Жук А.П. Взаимодействие твердого цилиндра со звуковой волной в вязкой жидкости // Прикл. механика. – 1988. – 24, № 1. – С. 107 – 114. 116. Жук А.П. О движении цилиндра в радиационном поле стоячей звуковой волны // Прикл. механи- ка. – 1989. – 25, № 3. – С. 123 – 126. 117. Жук А.П. Взаимодействие двух сферических тел в идеальной жидкости при прохождении аку- стической волны // Докл. АН УССР. Серия А. – 1989. – № 5. – С. 30 – 33. 118. Жук А.П. О применимости теории вязкоупругости при решении задач взаимодействия акустиче- ской волны с твердыми телами в вязкой жидкости // Докл. АН УССР. – Сер. А. – 1989. – № 6. – С. 35 – 38. 119. Жук А.П. Взаимодействие двух параллельных круговых цилиндров в идеальной жидкости при прохождении акустической волны // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1989. – № 8. – С. 28 – 32. 120. Жук А.П. Взаимодействие двух тел в идеальной жидкости при прохождении плоской акустиче- ской волны / Тез. докл.: Всесоюзный симпозиум «Взаимодействие акустических волн с упруги- ми телами» (Таллинн, 26 – 27 октября 1989). – Таллинн, 1989. – С. 92 – 95. 121. Жук А.П. Исследование взаимодействия акустической волны с цилиндром в вязкой жидкости на основе теории вязкоупругости // Докл. АН УССР. – Сер. А. – 1990. – № 3. – С. 49 – 52. 122. Жук А.П. Исследование на основе теории вязкоупругости взаимодействия в вязкой жидкости двух параллельных цилиндров при прохождении акустической волны // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1990. – № 4. – С. 42 – 45. 123. Жук А.П. Действие акустической волны на систему двух сферических тел в идеальной жидкости // Прикл. механика. – 1990. – 26, № 5. – С. 102 – 108. 124. Жук А.П. Действие акустической волны на систему двух параллельных круговых цилиндров в идеальной жидкости // Прикл. механика. – 1991. – 27, № 1. – С. 117 – 123. 125. Жук А.П. Исследование взаимодействия акустической волны со сферической частицей в вязкой жидкости на основе теории вязкоупругости // Докл. АН УССР. – 1991. – № 2. – С. 30 – 34. 126. Жук А.П. Исследование взаимодействия акустической волны в вязкой жидкости с двумя цилин- драми, расположенными параллельно // Прикл. механика. – 1991. – 27, № 3. – С. 108 – 115. 127. Жук А.П. Исследование воздействия акустической волны на систему двух сфер в вязкой жидко- сти // Прикл. механика. – 1993. – 29, № 2. – С. 110 – 116. 75 128. Жук О.П. Про визначення дії радіаційної сили на тверду кулю в потоці рідини // Доп. НАН України. – 2000. – № 7. – С. 50 – 54. 129. Жук О.П. Рух системи твердих частинок в радіаційному полі акустичної хвилі // Вісник Київ. Націон. ун-т ім. Т. Шевченка. Серія: фізико-математичні науки. – 2001. – № 5. – С. 275 – 279. 130. Жук А.П. Действие акустического излучения на сферическую каплю жидкости // Прикл. механи- ка. –2007. – 43, № 7. – С.26 – 34. 131. Жук О.П. Рух сферичної краплі рідини під дією радіаційної сили акустичного поля // Доп. НАН України. – 2007. – № 7. – С. 55–59. 132. Жук О.П. Дія радіаційних сил звукового поля на сферичну частинку в околі плоскої межі рідини // Доп. НАН України. – 2008. – №7. – С. 71 – 76. 133. Жук А.П. Динамика сферической частицы у плоской границы жидкости при действии радиаци- онных сил акустического поля // Прикл. механика. – 2008. – 44, № 11. – С. 30 – 44. 134. Жук О.П., Кубенко В.Д., Жук Я.О. Про радіаційну силу плоскої акустичної хвилі, яка діє на твер- де сферичне тіло в заповненій рідиною циліндричній порожнині // Доп. НАН України. – 2012. – № 9. – С.48 – 54. 135. Жук А.П., Кубенко В.Д., Жук Я.А. Действие акустического излучения на жидкую сферу в запол- ненной жидкостью круговой цилиндрической полости // Прикл. механика. –2013. – 49, № 5. – С. 3 –15. 136. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. – М.: Наука, 1966. – 519 с. 137. Зарембо Л.К., Тимошенко В.И. Нелинейная акустика. – М.: Изд-во МГУ, 1984. – 104 с. 138. Зинин П.В., Левин В.М., Лобкис О.И., Маэв Р.Г. Силы радиационного давления в фокальной об- ласти акустического микроскопа // Акуст. журнал. – 1986. – 32, № 6. – С. 785 – 790. 139. Каневский И.Н. Постоянные силы, возникающие в звуковом поле. Обзор // Акуст. журнал. – 1961. – 7, № 1. – С. 3 – 17. 140. Комиссарова Г.Л. К решению задачи о распространении упругих волн в цилиндре с жидкостью // Прикл. механика. – 1990. – 26, № 8. – С. 25 – 29. 141. Красильников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. – М.: Наука, 1984. – 340 с. 142. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. – М.: Мир, 1974. – 338 с. 143. Кузнецов С.В. Волны Лэмба в анизотропных пластинах (обзор) // Акуст. журнал. – 2014. – 60, № 1. – С. 90 – 100. 144. Ландау Л.Д., Лившиц В.М. Теоретическая физика, т. 6: Гидродинамика. – М.: Наука, 1986. – 736 с. 145. Мак-Интайр М. Миф о «волновом импульсе» // Современная гидродинамика. Успехи и пробле- мы: Сб. статей / Под редакцией Дж. Бэтчелор, Г. Моффат. – М.: Мир, 1984. – С. 454 – 476. 146. Мандельштам Л. Групповая скорость в кристаллической решетке // Журн. эксперим. и теор. физики. – 1945. – 15, вып. 9. – С. 475 – 478. 147. Медников В.П. Акустическая коагуляция и осаждение аэрозолей. – М.: Изд-во АН СССР, 1963. – 264 с. 148.Микер Т., Мейтцлер А. Волноводное распространение в протяженных цилиндрах и пластинах. – М.: Мир, 1966, 1, Ч. А. – С. 140 – 203. 149. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: В 2-х томах. – М.: Иностр. лит., 1960. – 2, – 886 с. 150. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. – М.: Наука, 1975. – 287 с. 151. Стрэтт Д.В. (Лорд Рэлей). Теория звука, том II. – М.: Гостехиздат, 1955. – 476 с. 152. Широкова Н.Л. Коагуляция аэрозолей / В кн.: Физические основы ультразвуковой технологии. Т.3 / Под ред.Л.Д. Розенберга.– М.: Наука, 1970. – 688 с. 153. Щурук Г.И. Волны кручения в цилиндрической оболочке с вязкой сжимаемой жидкостью // Прикл. механика. – 1983. – 19, № 4. – С. 117 – 121. 154. Avatani J. Studies on acoustic radiation pressure // J. Acoust. Soc. America. – 1955. – 27, N 2. – P. 278 – 286. 155. Bagno A. Propagation of waves in pre – stressed elastic cylinders, containing liquid // Proc. Int. conf. EAHE. «Engineering aerohydroelasticity». Prague – Dezember 5 – 8, 1989. – 2. – P. 180 – 184. 156. Bayer R.T. Radiation pressure – the history of mislabeled fluid // J. Acoust. Soc. America. – 1978. – 63. – P. 1025 – 1030. 157. Bayer R.T. Radiation pressure in a sound wave // Amer. J. Phys. – 1950. – 18. – P. 25. 158. Beissner K. Acoustic radiation pressure in the near field // J. Sound Vibr. – 1984. – 93, N 4. – P. 537 – 548. 159. Biot M.A. Propagation of elastic waves in a cylindrical bare containing a fluid // J. Appl. Phys. – 1952. – 23, N 9. – P. 997 – 1005. 76 160. Бранков Г., Рачев А., Петров В. Разпространение на пульсова вълна с отчитане началната на- прегнататост на артериалните съдове // Биомеханика. – 1974. кн.1. – С. 17 – 26. 161. Borgnis F.E. Theory of acoustic radiation pressure // Rev. Mod. Phys. – 1953. – 25, N 3. – P. 653 – 664. 162. Brillouin L. Sur les tensions de radiation // Ann. de Physique. – 1925. – 10, N 4. – P. 528 – 586. 163. Brillouin L. Les pressions de radiation et leur aspect tensorial // J. Phys. et radium. – 1956. – 17, N 5. – P. 370. 164. Cai F., Meng L., Pan Y., Zheng H. Computation of the acoustic radiation force using the finite- difference time-domain method // J. Acoust. Soc. Am. – 2010. – 128. – P. 1617 – 1622. 165. Doinnikov A. Radiation force due to a spherical sound field on a rigid sphere in a viscous fluid // J. Acoust. Soc. America. – 1994. – 96, N 5. – P. 3100 – 3105. 166. Dzyuba V.V., Kubenko V.D. Axisymmetric Interaction Problem for a Sphere Pulsating Inside an Elastic Cylindrical Shell Filled with and Immersed Into a Liquid // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 10. – P. 1210 – 1219. 167. Fisher K.A., Miles R. Modeling the acoustic radiation force in microfluidic chambers // J. Acoust . Soc. Am. – 2008. – 123. – P. 1862 – 1865. 168. Guz A.N. On Linearized Problems of Elasticity Theory // Int. Appl. Mech. – 1970. – 6, N 2. – P. 109 – 116. 169. Guz A.N. Analogies Between Linearized and Linear Elasticity Theory Problems for Homogeneous Initial States // Int. Appl. Mech. – 1972. – 8, N 5. – P. 549 – 552. 170. Guz A.N. Elastic Waves in Bodies with Initial (Residual) Stresses // Int. Appl. Mech. –2002. – 38, N 1. – P. 23 – 59. 171. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid. – Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2009. – 428 p. 172. Guz A.N. On the foundations of the ultrasonic non-destructive determination of stresses in near-the- surface layers of materials. Review // J. Phys. Science and Application. – 2011. – 1, N 1, June. – P. 1 – 15. 173. Guz A.N. Ultrasonic Nondestructive Method for Stress Analysis of Structural Members and Near- Surface Layers of Materials: Focus on Ukrainian Research (Review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 3. – P. 231 – 252. 174. Guz A.N ., Kubenko V.D., Babaev A.E. Dynamics of Shell Systems Interacting with a Liquid // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 3. – P. 260 – 301. 175. Guz A.N ., Zhuk A.P. On nonlinear interaction of solid particles with a sound wave in viscous liquid // IUTAM Symp., Tallin, ESSR, 1982 / Berlin, Springer Verlag, 1983. – P. 365 – 378. 176. Guz A.N ., Zhuk A.P. The Dynamics of Rigid Bodies Near the Wall in a Compressible Viscous Fluid under the Action of Acoustic Waves / A.N.Cuz. Dynamics of Compressible Viscous Fluid / An Interna- tional Series of Scientific Monographs, Textbooks and Lecture Notes «Stability, Oscillations and Optimi- zation of System». – Cambridge Scientific Publishers, 2009. / Appendix II. – P. 367 – 395. 177. Guz A.N ., Zhuk A.P. Dynamics of a rigid cylinder near a plane boundary in the radiation field of an acoustic wave // Journal of Fluids and Structures. – 2009. – 25. – P. 1206 – 1212. 178. Hazegava T., Ochi M., Matsuzava K. Acoustic radiation force on a solid elastic sphere in a spherical wave field // J. Acoust. Soc. America. – 1981. – 69. – P. 937 – 943. 179. Herray E.M.J. Experimental studies on acoustic radiation pressure // J. Acoust. Soc. America. – 1955. – 25, N 5. – P. 981 – 896. 180. King L.V. On the acoustic radiation pressure on sphere // Proc. Roy. Soc. Ser. A. –1934. – 147, N 861. – P. 212 – 240. 181. Kubenko V.D., Dzyuba V. V. Diffraction of a plane acoustic wave by a rigid sphere in a cylindrical cavity: an axisymmetric problem // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 4. – P. 424 – 437. 182. Lamb H. On waves in an elastic plate // Proc. Roy. Soc. Lond. A. – 1917. – 93, N 648. – P. 114 – 128. 183. Maidanik G. Acoustical radiation pressure due to in cident plane progressive waves on spherical objects // J. Acoust. Soc. America. – 1957. – 29, N 6. – P. 738 – 742. 184. Maidanik G. Torques due to acoustical radiation pressure // J. Acoust. Soc. America. – 1958. – 30, N 7. – P. 620. 185. Marston P.L. Radiation force of a belicoidal Bessel beam on a sphere // J. Acoust. Soc. Am. – 2009. – 125. – P. 3539 – 3547. 186. Meitzler A.H. Backward – wave transmission of stress pulses in elastic cylinders and plates // J. Acoust. Soc. Amer. – 1965. – 38, N 5. – P. 835 – 842. 187. Olsen H., Romberg W., Wergeland H. Radiation force on bodies in a sound field // J. Acoust. Soc. America. – 1958. – 30, N 1. – P. 69 – 76. 77 188. Olsen H., Wergeland H., Westervelt P.J. Acoustic radiation force // J. Acoust. Soc. America. – 1958. – 30, N 7. – P. 633 – 638. 189. O'Neyl H.T. Theory of focusing radiation // J. Acoust. Soc. America. – 1949. – 21. – P. 516 – 526. 190. Ottenio M., Destrade M, Ogden R.W. Acoustic waves at the interface of a pre-stressed incompressible elastic solid and a viscous fluid // Int. J. of Non-Linear Mech. – 2007. – 42, N 2. – P. 310–320. 191. Pochhammer L. Uber die Fortpflanzungeschwindigkeiten Schwingungen in einem unbergrawzten iso- tropen Kreiscylinder // J. Reine und Angew. Math. – 1876. – 81, N 4. – S. 324 – 336. 192. Rayleigh J.W. On waves propagated along the plane surface of an elastic solid // Proc. Lond. Math. Soc. – 1885/1886. – 17, N 253. – P. 4 – 11. 193. Rayleigh (Strutt J.W.). On the momentum and pressure of gaseous vibrations and on the connexion with virial theorem // Phil. Mag. – 1905. – 10, N 47. – P. 364 – 374. 194. Silva G.T. An expression for the radiation force exerted by an acoustic beam with arbitrary wavefront // J. Acoust. Soc. America. –2011. – 130. – P. 3541 – 3544. 195. Smith W.E. Average radiation – pressure forces produced by sound fields // Austral. J. Phys. –1964. – 17, N 3. – P. 389. 196. Smith W.E. Radiation pressure forces in terms of impedance, admittance and scattering matrices // J. Acoust. Soc. America. – 1965. – 37, N 5. – P. 932. 197. Stoneley R. The elastic waves at the interface of separation of two solids // Proc. Roy. Soc. Lond. A. – 1924. – 106, N 732. – P. 416 – 429. 198. Tolstoy I., Usdin E. Wave propagation in elastic plates: low and high mode dispersion // J. Acoust. Soc. America. – 1957. – 29, N 1. – P. 37 – 42. 199. Westervelt P.J. Acoustic radiation pressure // J. Acoust. Soc. America. – 1957. – 29, N 1. – P. 26 – 29. 200. Yosioka K., Kawasima Y. Acoustic radiation pressure on compressible sphere // Acoustic. – 1955. – 5, N 3. – P. 167 – 173. 201. Zhuk A.P. Interaction of solid bodies immersed in liquid in the acoustic wave field // Proc. Int. conf. EANE «Engineering aero-hydroelasticity». Prague, 1989. – 2. – P. 310 – 315. 202. Zhuk A.P., Kubenko V.D., Zhuk Ya.A. Acoustic radiation force on a spherical particle in a fluid – filled cavity // J. Acoust. Soc. America. – 2012. – 132 (4). – P. 2189 – 2197. Поступила 08.06.2015 Утверждена в печать 05.07.2016
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-145128
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0032-8243
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T16:50:26Z
publishDate	2016
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
record_format	dspace
spelling	Гузь, А.Н. Жук, А.П. Багно А.М. 2019-01-16T12:31:13Z 2019-01-16T12:31:13Z 2016 Динамика упругих тел, твердых и жидких частиц в сжимаемой вязкой жидкости (обзор) / А.Н. Гузь, А.П. Жук, А.М. Багно // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 5. — С. 3-77. — Бібліогр.: 202 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145128 Наведено результати лінеаризації основних співвідношень в'язкої стисливої рідини стосовно до теорії малих коливань або рухів твердих тіл в ній і до теорії поширення малих збурень у пружних тілах, що взаємодіють із рідиною. Запропоновано загальні розв'язки рівнянь лінеаризованої теорії. Розглянуто результати досліджень хвилевих процесів у гідропружніх системах, які виконано із застосуванням тривимірних лінеаризованих теорій пружності за скінченних деформацій та в'язкої стисливої рідини. Наведено результати досліджень поширення акустичних хвиль різних типів у хвилеводах з плоскими та круговими циліндричними поверхнями контакту пружних і рідких середовищ, а також вплив на них великих (скінченних) початкових деформацій та в'язкості й стисливості рідини. Наведено огляд досліджень руху об'єктів у стисливих ідеальній та в'язкій рідинах під дією радіаційних сил, які зумовлені акустичним полем. Акцент зроблено на роботах, в яких використано метод, що грунтується на розв'язуванні задач гідродинаміки стисливої рідини, в якій знаходяться тверді частинки, з наступним обчисленням сил, діючих на частинки. Радіаційна сила визначається як стала складова гідродинамічної сили. Числові результати досліджень наведено у вигляді графіків та надано їх аналіз. The results of linearization of the basic relationships for the viscous compressible fluid relative to the theory of small vibrations or motions of solid bodies in this fluid as well as the theory of propagation of small perturbations in elastic bodies that interact with the fluid are shown. The general solutions of equations of the linearized theory are presented. The results of studying the wave processes in the hydro-elastic systems are considered that are carried out with using the three-dimensional linearized theory of elasticity for finite deformations and theory of viscous compressible fluid. The results of studying the propagation of acoustic waves of different types in the waveguides with plane and circular cylindrical surfaces of contact of elastic and fluid media as well as influence on acoustic waves of the large (finite) initial deformations, viscosity and compressibility of fluid are given. The review of study of objects in the compressible perfect and viscous fluids under action of radiation forces due to the acoustic field is carried out. The emphasis is placed on the works, in which the method is used that is based on solving the problems of hydromechanics of compressible fluid with solid particles with following evaluation of forces acting on these particles. The radiation force is determined as the constant component of hydrodynamical force. The numerical results of studies are given in the form of plots that further are analyzed. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Динамика упругих тел, твердых и жидких частиц в сжимаемой вязкой жидкости (обзор) Dynamics of Elastic Bodies, Solid and Fluid Particles in a Compressible Fluid (Review) Article published earlier
spellingShingle	Динамика упругих тел, твердых и жидких частиц в сжимаемой вязкой жидкости (обзор) Гузь, А.Н. Жук, А.П. Багно А.М.
title	Динамика упругих тел, твердых и жидких частиц в сжимаемой вязкой жидкости (обзор)
title_alt	Dynamics of Elastic Bodies, Solid and Fluid Particles in a Compressible Fluid (Review)
title_full	Динамика упругих тел, твердых и жидких частиц в сжимаемой вязкой жидкости (обзор)
title_fullStr	Динамика упругих тел, твердых и жидких частиц в сжимаемой вязкой жидкости (обзор)
title_full_unstemmed	Динамика упругих тел, твердых и жидких частиц в сжимаемой вязкой жидкости (обзор)
title_short	Динамика упругих тел, твердых и жидких частиц в сжимаемой вязкой жидкости (обзор)
title_sort	динамика упругих тел, твердых и жидких частиц в сжимаемой вязкой жидкости (обзор)
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145128
work_keys_str_mv	AT guzʹan dinamikauprugihteltverdyhižidkihčasticvsžimaemoivâzkoižidkostiobzor AT žukap dinamikauprugihteltverdyhižidkihčasticvsžimaemoivâzkoižidkostiobzor AT bagnoam dinamikauprugihteltverdyhižidkihčasticvsžimaemoivâzkoižidkostiobzor AT guzʹan dynamicsofelasticbodiessolidandfluidparticlesinacompressiblefluidreview AT žukap dynamicsofelasticbodiessolidandfluidparticlesinacompressiblefluidreview AT bagnoam dynamicsofelasticbodiessolidandfluidparticlesinacompressiblefluidreview

Динамика упругих тел, твердых и жидких частиц в сжимаемой вязкой жидкости (обзор)

Репозитарії

Схожі ресурси