Нестационарное деформирование упругого слоя при смешанных граничных условиях

Нестационарное деформирование упругого слоя при смешанных граничных условиях

Побудовано аналітичний розв'язок плоскої задачі про дію нестаціонарного навантаження на поверхню пружного шару за умов змішаної крайової задачі: на одній границі задані нормальне напруження і дотичне переміщення (четверта крайова задача теорії пружності), на іншій - нормальне переміщення і доти...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Прикладная механика
Date:2016
Main Author: Кубенко, В.Д.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2016
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145144
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Нестационарное деформирование упругого слоя при смешанных граничных условиях / В.Д. Кубенко // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 3-25. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-145144
record_format dspace
spelling Кубенко, В.Д.
2019-01-16T18:19:41Z
2019-01-16T18:19:41Z
2016
Нестационарное деформирование упругого слоя при смешанных граничных условиях / В.Д. Кубенко // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 3-25. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
0032-8243
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145144
Побудовано аналітичний розв'язок плоскої задачі про дію нестаціонарного навантаження на поверхню пружного шару за умов змішаної крайової задачі: на одній границі задані нормальне напруження і дотичне переміщення (четверта крайова задача теорії пружності), на іншій - нормальне переміщення і дотичне напруження (друга крайова задача). Застосовано інтегральні перетворення Лапласа і Фур'є. Обернення інтегральних перетворень виконано точно за допомогою табличних співвідношень і теорем про згортки для різноманітного асортименту діючих нестаціонарних навантажень. Вирази для напруження і переміщення одержано в явному аналітичному виді. Конкретно розглянуто навантаження, прикладене до області постійних розмірів і до області, розміри якої змінюються за заданим законом. Виконані обчислення демонструють розвиток нормального напруження залежно від часу та просторових координат. Проаналізовано характерні особливості хвильових процесів.
An exact analytical solution is constructed for the plane problem on action of non-stationary load over the surface of elastic layer. The mixed boundary problem is considered, when the normal stress and tangential displacement are given on one side of layer (the fourth boundary problem of the theory of elasticity) and the tangential stress and normal displacement are given on another side of layer (the second boundary problem of the theory of elasticity). The Laplace and Fourier integral transforms are applied. The Laplace and Fourier inversions are carried out exactly using the tabulated values and convolution theorems for diverse assortment of acting non-stationary loads. The expressions for stresses and displacements are obtained in the explicit analytical form. The load is considered particularly, when it is applied over the area of constant sizes and changing by the given law sizes. The carried out computing demonstrates the progress of normal stress in dependence on time and spatial coordinates. The peculiarities of wave processes are analyzed.
ru
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
Прикладная механика
Нестационарное деформирование упругого слоя при смешанных граничных условиях
Non-Stationary Deformation of an Elastic Layer under Mixed Boundary Conditions
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Нестационарное деформирование упругого слоя при смешанных граничных условиях
spellingShingle Нестационарное деформирование упругого слоя при смешанных граничных условиях
Кубенко, В.Д.
title_short Нестационарное деформирование упругого слоя при смешанных граничных условиях
title_full Нестационарное деформирование упругого слоя при смешанных граничных условиях
title_fullStr Нестационарное деформирование упругого слоя при смешанных граничных условиях
title_full_unstemmed Нестационарное деформирование упругого слоя при смешанных граничных условиях
title_sort нестационарное деформирование упругого слоя при смешанных граничных условиях
author Кубенко, В.Д.
author_facet Кубенко, В.Д.
publishDate 2016
language Russian
container_title Прикладная механика
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
format Article
title_alt Non-Stationary Deformation of an Elastic Layer under Mixed Boundary Conditions
description Побудовано аналітичний розв'язок плоскої задачі про дію нестаціонарного навантаження на поверхню пружного шару за умов змішаної крайової задачі: на одній границі задані нормальне напруження і дотичне переміщення (четверта крайова задача теорії пружності), на іншій - нормальне переміщення і дотичне напруження (друга крайова задача). Застосовано інтегральні перетворення Лапласа і Фур'є. Обернення інтегральних перетворень виконано точно за допомогою табличних співвідношень і теорем про згортки для різноманітного асортименту діючих нестаціонарних навантажень. Вирази для напруження і переміщення одержано в явному аналітичному виді. Конкретно розглянуто навантаження, прикладене до області постійних розмірів і до області, розміри якої змінюються за заданим законом. Виконані обчислення демонструють розвиток нормального напруження залежно від часу та просторових координат. Проаналізовано характерні особливості хвильових процесів. An exact analytical solution is constructed for the plane problem on action of non-stationary load over the surface of elastic layer. The mixed boundary problem is considered, when the normal stress and tangential displacement are given on one side of layer (the fourth boundary problem of the theory of elasticity) and the tangential stress and normal displacement are given on another side of layer (the second boundary problem of the theory of elasticity). The Laplace and Fourier integral transforms are applied. The Laplace and Fourier inversions are carried out exactly using the tabulated values and convolution theorems for diverse assortment of acting non-stationary loads. The expressions for stresses and displacements are obtained in the explicit analytical form. The load is considered particularly, when it is applied over the area of constant sizes and changing by the given law sizes. The carried out computing demonstrates the progress of normal stress in dependence on time and spatial coordinates. The peculiarities of wave processes are analyzed.
issn 0032-8243
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145144
citation_txt Нестационарное деформирование упругого слоя при смешанных граничных условиях / В.Д. Кубенко // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 3-25. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT kubenkovd nestacionarnoedeformirovanieuprugogosloâprismešannyhgraničnyhusloviâh
AT kubenkovd nonstationarydeformationofanelasticlayerundermixedboundaryconditions
first_indexed 2025-11-26T01:39:39Z
last_indexed 2025-11-26T01:39:39Z
_version_ 1850603458376237056
fulltext 2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 6 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, № 6 3 В .Д .К у б е н к о НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ УПРУГОГО СЛОЯ ПРИ СМЕШАННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ Инcтитут механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: vdk@inmech.kiev.ua Abstract. An exact analytical solution is constructed for the plane problem on action of non-stationary load over the surface of elastic layer. The mixed boundary problem is con- sidered, when the normal stress and tangential displacement are given on one side of layer (the fourth boundary problem of the theory of elasticity) and the tangential stress and normal displacement are given on another side of layer (the second boundary problem of the theory of elasticity). The Laplace and Fourier integral transforms are applied. The Laplace and Fourier inversions are carried out exactly using the tabulated values and convolution theo- rems for diverse assortment of acting non-stationary loads. The expressions for stresses and displacements are obtained in the explicit analytical form. The load is considered particu- larly, when it is applied over the area of constant sizes and changing by the given law sizes. The carried out computing demonstrates the progress of normal stress in dependence on time and spatial coordinates. The peculiarities of wave processes are analyzed. Key words: elastic layer, strain state, non-stationary waves, integral transforms, mixed boundary conditions. Введение. В теории упругости различают следующие типы граничных условий (см., напри- мер, [4]): 1) задан вектор напряжения (первая краевая задача); 2) задан вектор пере- мещения (вторая краевая задача); 3) задана нормальная составляющая вектора пере- мещения и касательные составляющие вектора напряжения (третья краевая задача); 4) задана нормальная составляющая вектора напряжения и касательные составляющие вектора перемещения (четвертая краевая задача). Условиями первой краевой задачи моделируется, например, свободная граница тела, условиями второй задачи – жестко заделанный край. Два последние условия являются "смешанными". Тип граничных условий существенно влияет на возможность получения аналитического решения не- стационарной задачи. Для решения соответствующих краевых задач разработаны эффективные аналити- ческие и численно-аналитические методы, основанные, преимущественно, на примене- нии интегральных преобразованиях Лапласа по временной координате и Фурье (Ханке- ля) – по линейной. Основной трудностью при этом является проблема построения ори- гиналов, которая зависит, в первую очередь, от характера пространственно-временного распределения нагрузки на границе и типа граничных условий. Библиографию исследо- ваний нестационарных волновых процессов при действии сосредоточенных или рас- пределенных поверхностных воздействий в изотропном упругом полупространстве (полуплоскости) можно получить, например, в работах [2, 3, 12, 15]. В первую очередь следует указать монографии [5, 25], в которых изложено реше- ние ряда нестационарных задач. Перемещения точек на поверхности полупространст- ва и на оси симметрии исследовано в работах [14, 23]. Для совместного обращения преобразований применяется техника Каньяра [10] с учетом однородности изображе- ния относительно параметров преобразований. Метод перевала с первоочередным об- 4 ращением по Лапласу (при помощи теории вычетов) в работах [9, 13, 21, 22] опреде- лены перемещения и напряжения во внутренних точках полупространства при дейст- вии равномерно распределенной нагрузки ступенчатого профиля. В случае распреде- ленных подвижных нагрузок исследованы преимущественно случаи равномерного расширения границы нагруженной области и изучены перемещения точек либо на границе, либо вблизи фронтов упругих волн [6, 24]. В публикации [16] также метода- ми интегральных преобразований получено аналитическое решение нестационарной первой краевой задачи теории упругости для упругой полуплоскости, которое опре- деляет напряжение (перемещение) вдоль оси симметрии для некоторых конкретных видов нагрузки. Для нагрузки более общего вида в работе [20] предложено численно- аналитическое решение первой краевой задачи для полуплоскости, справедливое на конечном интервале времени. Наконец, в работе [17] при смешанных условиях чет- вертой краевой задачи методами интегральных преобразований и их последующим обращением с использованием теорем о свертках в замкнутой форме построено точ- ное аналитическое решение задачи для упругой полуплоскости при широком ассор- тименте нестационарных нагрузок. Перечисленные выше исследования имеют дело с полубесконечными объектами – упругим полупространством или полуплоскостью. Для таких объектов характерным является возбуждение волновых возмущений на границе и последующее беспрепятст- венное распространение упругих волн в массиве объекта. Для тела ограниченных размеров, в частности, для упругого слоя характерной особенностью волновых про- цессов, возбуждаемых на одной из границ, является многократное поочередное отра- жение возбужденных волн от каждой из границ. Тем самым в теле создается сложное деформированное состояние, изменяющееся каждый раз с приходом той или иной от- раженной волны в рассматриваемую точку. Такая задача значительно сложнее и тре- бует выработки соответствующих подходов к ее решению. В монографии [5], по- видимому, впервые дана постановка первой краевой задачи для упругого слоя и при- менены асимптотических методы исследования поведения волновых полей в дальней зоне. В работе [18] автором построено точное аналитическое решение плоской задачи о действии распределенной нестационарной нагрузки на поверхность упругого слоя в условиях, когда на граничных поверхностях заданы смешанные граничные условия: на одной из границ задана действующая нагрузка в виде нормального напряжения и касательное перемещение (четвертая краевая задача), на другой границе отсутствуют нормальное перемещение и касательное напряжение (третья задача). Числовые ре- зультаты получены для нормального напряжения. Данная публикация является развитием работы [18], содержит исправление неко- торых опечаток и посвящена в первую очередь вычислению нормального перемеще- ния (графики, описывающие развитие напряжения, также приводятся). Используется та же постановка задачи и метод решения. Применяются интегральные преобразова- ния Лапласа и Фурье. Обращение преобразований в случае постоянной или перемен- ной области действия нагрузки удается выполнить при помощи табличных соотноше- ний и теорем о свертке и получить выражение для перемещения (напряжения) в замк- нутом виде. Решение представлено в виде суммы, m-й член которой представляет m-ю отраженную волну. Удержание в решении определенного конечного количества чле- нов позволяет получить точное решение задачи с учетом необходимого числа отра- жений, которое позволяет определить характеристики волнового процесса в произ- вольной точке слоя в произвольный момент времени. Следует помнить, однако, что принятая постановка задачи исключает возможность возникновения поверхностных волн, поэтому ее использование целесообразно преимущественно при изучении вол- новых процессов в поперечном направлении. Тем не менее, построение точных ана- литических решений, пусть даже нечасто используемых в практике, кроме самостоя- тельной значимости, обеспечивает также возможность отработки с их помощью раз- личных численных и приближенных подходов, для которых тип граничных условий не оказывает влияния на способ получения решения. 5 §1. Формулировка задачи. Рассмотрим равновесие упругого слоя толщиной h, к одной из граничных поверх- ностей которого в момент времени t = 0 прикладывается нагрузка. Отнесем рассмат- риваемый объект к декартовым координатам x, z, так что ось x направлена вдоль гра- ницы слоя, к которой приложена нагрузка, ось z – в глубину слоя (рис. 1). Задача формулируется в условиях плоской деформации, т.е. предполагается, что перемеще- ния и деформации в направлении, ортогональном к плоскости поперечного сечения слоя, отсутствуют. Нормальная нагрузка Q(x, t), симметричная относительно оси z , в общем случае является функцией времени и координаты x. Рис.1 Вводятся безразмерные обозначения: ; ; ; ; u c tx z j p x z u tjR R R R     ; 2 jk jk       0 ;pc c   0 ;sc c   2 ; , , ; ; ,p sb j k x z c c             черта над которыми ни- же будет опущена. Здесь R – некоторый характерный линейный размер; плотность материала; упругие постоянные Ламе; cp , cs – соответственно, скорости распростра- нения волн расширения и волн сдвига; jk  компоненты напряженного состояния; ju  компоненты вектора перемещений. Поведение упругой среды описывается волновыми потенциалами ( , , )t z x и ( , , )t z x , которые в случае плоской задачи удовлетворяют волновым уравнениям [1] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0; 0 x z t x z t                          (1.1) и связаны с упругими перемещениями и напряжениями соотношениями , ;x zu u x z z x               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ; 2zz xzb x z x zt z z x                                          . (1.2) В качестве граничных условий при z = 0 рассмотрим смешанные условия четвер- той краевой задачи теории упругости, согласно которой на границе задано нормаль- ное напряжение; zz и отсутствует касательное перемещение ux. Примем, что на тыльной поверхности слоя (при z = h ) нормальное перемещение uz и касательное на- пряжение xz отсутствуют. Таким образом, граничные условия в принятой постановке имеют вид 6  0 0 , , 0;zz xz z Q x t u    0, 0.z xzz h z h u    (1.3) Начальные условия для потенциалов нулевые 0 0 0 0 0.t t t t t t              (1.4) Если волновые уравнения (1.1) подвергнуть преобразованию Лапласа по времени t (с учетом нулевых начальных условий) и преобразованию Фурье по координате x [7] (предполагая, что при x  потенциалы и их первые производные стремятся к ну- лю), они приобретут вид 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0; 0. LF LF LF LFs s z z                              (1.5) Здесь s – параметр преобразования Лапласа;  – параметр преобразования Фурье. Верхние индексы L и F при функциях обозначают, соответственно, изображение дан- ной функции в пространстве преобразований Лапласа и преобразований Фурье:             0 1 1 ; ; 2 L c i st L pt L c i f s L f t e f t d t f t L f s e f s ds i                             1 1 ; . 2 F Fi x F i xf L f x f x e d x f x F f f e d                      §2. Решение в изображениях. Общее решение уравнений (1.5) при нулевых начальных условиях записываем в виде         0 1 ( , , ) , , ; ( , , ) , , ; z zz z S SP PLF LF n n s z A s e A s e s z B s e B s e                                  2 2 2 2 2 2; .P s S s       (2.1) Граничные условия (1.3) в пространстве изображений по Лапласу и Фурье имеют вид     2 2 2 2 20 0 1 2 2 , ; LF LF LF LF LF zz z z b s i Q s zz                        0 0 0; LF LF LF x z z u i z             2 2 2 2 2 0.; 0. LF LF LF LF LF LF LF xz zz h z h z h z h i u i z zz                                    (2.2) Неизвестные функции        , , , , , , ,A s A s B s B s     определяем из условий (2.2), в результате чего выражения для перемещения zu и напряжения zz в про- странстве изображений по Лапласу и Фурье записываем следующим образом: 7             22 2 2 22 111 , , , ; 1 1 h zh z hh zz SP SP LF LF z SP e ee eP u s z Q s Ss e e                                        2 22 2 2 2 2 2 2 22 111 , , , 2 2 . 1 1 hz zh zz hh S S SP P LF LF zz SP e e ee e s z Q s s s e e                              (2.3) Используя разложения в степенные ряды вида    1 01 1 n n ny y      , выраже- ния (2.3) представим в виде рядов         0 , , , 1 , , ; LFLF LF LF z nnn u s z Q s U s z                0 , , , 1 , , , nLF LF LF zz n n s z Q s g s z         (2.4) где введены такие обозначения:   2 2 2 , , ; z zn nz zn n S SP PLF n P U s z e e e e s s S                         2 2 2 2 2 2 , , 1 2 2 ; z zn nz zn n S SP PLF ng s z e e e e s s                           (2.5)  2 ; 2 1 .n nz nh z z n h z     Задачу обращения интегральных преобразований выражений (2.4) выполним ни- же для нескольких видов действующей нагрузки. §3. Обращение интегральных преобразований. Фиксированная область дей- ствия нагрузки. Полагаем, что внезапно приложенная нагрузка и ее изображения по Лапласу и Фурье имеют вид              0 0 0 1 1 , ; , ; , .L LF FQ t x Q H t G x Q s x Q G x Q s Q G s s     (3.1) Здесь  H t – единичная функция Хевисайда:   1, 0; 0, 0. t H t t     Функция  G x задает характер распределения действующего напряжения вдоль оси x. Используя соотношения (2.4), (2.5), (3.1), можно представить выражения для изо- бражения напряжения и перемещения в виде, удобном для последующих манипуляций,         0 0 , , , , ; , , , , ,LF LF LF LF z zn zz zzn n n u s z u s z s z s z             (3.2) где обозначено        0, , 1 , , ; nLF F LF zn nu s z Q G U s z     8   2 2 3 3 1 1 1 , , z zz z n nn n S SP PLF nU s z e e e e s P Ss s                                 ; (3.3)        0, , 1 , , ; nLF F LF zzn ns z Q G g s z        2 2 2 2 3 3 1 , , 2 2 z zz z n nn n S SP PLF ng s z e e e e s s s                             . (3.4) Задача состоит в обращении интегральных преобразований. Если удастся опреде- лить оригинал функции  , ,LF nU s z    или , ,LF ng s z  , т.е. функцию  , ,nU t z x   или , ,ng t z x , то для получения оригинала перемещения  , ,nu t z x или напряже- ния  , ,zzn t z x можно применить свертку преобразования Фурье [7] функций  G x и  , ,nU t z x или, соответственно,  G x и  , ,ng t z x . Ниже изложена процедура об- ращения интегральных преобразований в предположении возможности перемены по- рядка обращения. 3.1. Перемещение. Обращение функции  , , ,LF nU s z  которая задана формулой (3.3), относительно преобразования Фурье выполняется при помощи табличного со- отношения [7] 2 2 1 2 2 02 2 1 1 sz e F K s x z s                                     (3.5) и известного свойства дифференцирования оригинала [7 ]       2 1 2 2 1 ; 1,2,... . m mm F m d F f f x m d x         (3.6) Здесь  nK t – модифицированная цилиндрическая функция третьего рода индекса n [8]. Для обращения преобразования Лапласа используем табличные формулы вида [7]   2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ;n n n n x zs t L K x z H t x z t x z                         2 2 2 22 2 2 2 1 0 2 2 1 ln ; nn n n t t x zx z x z L K s H t s x z                              2 2 2 2 1 12 1 n nx z x z L K s H t s                          (3.7)      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 n n n n n t t x z t t x z x z x z x z                    . 9 Инверсия преобразования Лапласа функции  , ,LF znu s z  , заданной формулой (3.3), имеет вид        0, , 1 , , . nF F F zn nu t z Q G U t z     (3.8) Если к формуле (3.8) применить свертку преобразования Фурье [7] , получим выражение      0, , ( 1) , , .n zn nu t x z Q G x U t z d         (3.9) Тогда перемещение zu можно записать в виде ряда         0 , , 1 , , . n z n n u t z x G x U z d           (3.10) Формула (3.10) служит основой для вычислений в случае нагрузки вида (3.1). За- метим, что в случае произвольной зависимости действующей нагрузки от времени вместо (3.1) используем выражение              0 0 0 1 1 , , ; , , ; , ,L LF FQ t x Q H t G t x Q s x Q G s x Q s Q G s s s     . Если ввести обозначение   1 1( , ) , ,LFG t x L F sG s   инверсию интегральных преобразований можно получить, используя свертку преобразования Фурье и свертку операционного исчисления [7]         0 0 , , , 1 , , . t n z n n u t z x G t x U z d d               (3.11) Рассмотрим часто используемый случай нагрузки, действующей в некоторой фиксированной области ,l x l   constl  , так что функция  G x в (3.1) имеет вид        G x f x H x l H x l      . Здесь  f x – некоторая четная функция, задающая распределение нагрузки в ука- занной области. Для этого случая из соотношений (3.5) – (3.10) получим перемещение zu в произвольной точке слоя в произвольный момент времени в следующем виде:            0 0 1 , , 1 , , ; , , , , ; x l n z zn zn zzn n x l u t z x u t x z u t z x Q f x u t z d                         2 2 2 2 2 2, , , , , ,zn n n n n n nu t z H t z U t z H t z U t z                         2 2 2 2 2 2, , , ,n n n n n nH t z U t z H t z U t z            . (3.12) Здесь обозначено:            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 , , ln ; 22 n n n n n nn z t t z t t z U t z zz                      10            2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 , , ln ; 22 n n n n n nn z t t z t t z U t z zz                                , ,, , , , n n n n n n z z U t z U t z       . (3.13) Если внезапно приложенная нагрузка (3.1) распределена вдоль всей оси x, то есть      0, ,Q t x Q H t f x функция uzn (t, z, x) в (3.9) имеет следующий вид:             2 2 2 2 20 0 , , , , nt z zn n n n Q u t z x H t x z f x f x U t z d                               2 2 2 2 2 0 , , nt z n n nH t x z f x f x U t z d                 (3.14)           2 2 2 2 2 0 , , nt z n n nH t x z f x f x U t z d                           2 2 2 2 2 0 , , nt z n n nH t x z f x f x U t z d                    . Здесь Un (),() заданы соотношениями (3.13). 3.2. Напряжение. Оригинал напряжения получаем посредством аналогичной процедуры. Функция  , ,LF ng s z в формуле (3.4) содержит слагаемые вида    2 2 , , s n m ZLF n k q s z e s      , (3.15) где введенные обозначения , , , nm k Z принимают следующие значения: 0,2;m  1,3;k  , ; , .n n nZ z z    Для обращения преобразования Фурье функций  , ,LF nq s z воспользуемся таб- личным соотношением  2 2 1 2 2 12 2 1 1s nz n n n z F e s K s x z x z                   (3.16) и свойством (3.6), а инверсия преобразования Лапласа реализуется на основе формул вида (3.7). В результате получаем следующие оригиналы: 2 2 2 1 1 1 2 2 12 2 1 1 1nz s n n n z L F e L K s x z s x z                                2 2 2 2 2 2 2 2 ;n n n n x z tz H t x z t x z              11 2 2 22 1 1 3 nz s L F e s                            2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 32 2 1 1 , , ; 3 nn n n n n n n n x t t x zx z x z L z R s x z z H t t x z t x z x z                                               3 5 2 2 2 22 2 2 22 1 12 2 2 2 2 2 2 3 1 , , nn n n n n x zx z x zx R s x z K s K s sx z x z                        2 2 2 2 022 2 3 1n n n x z x z K s sx z          . (3.17) Оригинал выражения 2 2 2 2 3 , nz s s e       а также выражений, содержащих nz , по- лучаем заменой в формулах (3.17), соответственно,  на  и nz на nz . Используя выражения типа (3.17), функцию  , ,ng t z x запишем в следующем виде:                           , , , ,1 , , , , , , n n n n n n n n n n n n n H t r F t z x H t r F t z x g t z x H t r F t z x H t r F t z x                         , (3.18) где обозначено:      2 22 2 2 2 2 2 2 2 64 2 2 2 32 2 , , ; nn n n n n nn n x zr x F t z x tz t r rr t r                     2 22 2 2 2 64 2 2 2 3 , , 2 ; n n n n n nn n x zx F t z x tz t r rr t r              (3.19)            , ,, , , , ; n n n n n n z z F t z x F t z x       2 2 ; 2 ; 2 1 .n n n nr x z z nh z z n h z       Инверсия преобразования Лапласа функции  , ,LF zzn s z  из формулы (3.4) имеет вид        0, , 1 , , . nF F F zzn nt z Q G g t z      (3.20) Применив к формуле (3.20) свертку преобразования Фурье [7], получим сле- дующее равенство: 12        0, , 1 , , n zzn nt z x Q G x g t z d          (3.21) и тогда напряжение zz запишем в виде ряда        0 0 , , 1 , , . n zz n n t z x Q G x g z d           (3.22) В случае произвольной зависимости действующей нагрузки от времени инверсию ин- тегральных преобразований запишем в виде свертки преобразования Фурье и свертки операционного исчисления, а именно:         0 0 , , , 1 , , . t n zz n n t x z G t x g z d d               Здесь, как и ранее, обозначено   1 1( , ) ,LFG t x L F sG s   . Из соотношений (3.21), (3.22) получаем следующее выражение для напряжения zz в произвольной точке полуплоскости  ,x z в произвольный момент времени t в случае, когда нагрузка внезапно возникает и остается постоянной в фиксированной области границы  ,l l :                                       0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , , 1 , , ; , , , , ; , , , , , , , , , . x l n zz zzn zzn zzn n x l zzn n n n n n n n n n n n n t z x t z x t z x Q f x t z d t z H t z F t z H t z F t z H t z F t z H t z F t z                                                 (3.23) Здесь функции            , ,, , , , , , 0,1,..n n n nF t z F t z n      , заданы формулами (3.19). Если зависимость нагрузки от времени в выражении (3.1) определяем некоторой функ- цией достаточно общего вида    q t H t , выражение (3.23) служит в качестве исходного, а искомое напряжение вычисляем на основе теоремы о свертке операционного исчисления         0 , , , , . t zz zzq tt x z q t x z d      (3.24) Наконец, если внезапно приложенная нагрузка (3.1) распределена вдоль всей оси x, выражение для n-го члена ряда для напряжения  , ,zzn t x z имеет вид             2 2 2 0 0 1 , , [ ] , , nt z zzn n n nt x z Q H t r f x f x F t z d                                                2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 [ ] , , [ ] , , [ ] , , . n n n t z n n n t z n n n t z n n n H t r f x f x F t z d H t r f x f x F t z d H t r f x f x F t z d                                                (3.25) 13 Функции      , , ,nF t z   заданы соотношениями (3.19). Таким образом, соотношения (3.9) – (3.11), а также (3.21) – (3.25) дают замкнутое аналитическое решение сформулированной в §1 нестационарной задачи со смешанными граничными условиями в случае произвольной зависимости действующей нагрузки от времени и ее произвольного распределения вдоль фиксированного участка границы, ко- торый является областью задания нагрузки. Вид полученных выражений показывает, что фигурирующие в них ряды составлены из последовательно отраженных от граничных по- верхностей z h и 0z  волн расширения и сдвига. При этом n-й член ряда, содержа- щий функцию ( ) ( , , )n nU t z  ( или, соответственно,    , ,n nF t z  ), соответствует n-й волне расширения, отраженной от границы 0,z  тогда как член ряда, содержащий функцию ( ) ( , , )n nU t z  (или    , ,n nF t z  ), соответствует волне расширения, n раз отразившейся от поверхности z h . Аналогичное утверждение относится к отражен- ным волнам сдвига, представленным слагаемыми с верхним индексом . Ограничивая рассмотрение конечным интервалом времени, следует ряды по n заменить конечными суммами от 0 до N, где N – число отражений, учитываемых в решении. §4. Обращение интегральных преобразований. Переменная область действия нагрузки. Как отмечалось выше, принятая постановка задачи со смешанными краевыми ус- ловиями исключает появление поверхностных волн. Поэтому ниже, рассматривая из- меняющуюся во времени область действия нагрузки, ограничимся определением ис- комых характеристик волнового процесса только в поперечном направлении, а имен- но – вдоль оси симметрии задачи. Такое ограничение позволяет для некоторых видов нестационарной нагрузки получить простое аналитическое решение путем совместно- го обращения интегральных преобразований [10]. 4.1. Постоянная скорость расширения нагрузки. Начнем с напряжения. Пред- положим, что приложенная к границе полуплоскости нагрузка  ,Q t x внезапно воз- никает и в дальнейшем распространяется по поверхности 0z  с постоянной скоро- стью k. Функция  ,Q t x и ее изображения в этом случае имеют вид         0 0 0 2 2 2 sin , ; , 2 ; , 2 .F LF Q kkt Q t x Q H kt x Q t Q Q s s k          (4.1) Тогда, согласно (2.4) и (4.1), изображение напряжения zz запишем в форме      0 2 2 2 0 1 , , 2 1 , , , nLF LF zz n n s z Q k g s z s k           где  , ,LF ng s z  задано первой строкой формул (2.5). Если записать инверсию преобразования Фурье на оси симметрии задачи  0x       0 2 2 2 00 1 , ,0 2 1 , , nL LF zz n n s z Q k g s z d s k            и выполнить замену переменной интегрирования (полагая s вещественным положи- тельным [4]) , ,s d sd     (4.2) получим в пространстве изображений по Лапласу выражение 14            0 0 2 1 , ,0 1 [ , , , , ] nL L L L L zz n n n n n s z Q k M s z M s z M s z M s z s                     2 22 22 2 2 2 11 2 2 2 2 0 0 1 2 2 , ; , 1 1 zz nn ssL L n nM s z e d M s z e d k k                              . Если в подынтегральном выражении  ,L nM s z выполнить замену переменного 2 21nz t     , в выражении  ,L nM s z – замену 2 21nz t     , и аналогичные замены выполнить для  ,L nM s z и  ,L nM s z , получим для каждого выражения формулу прямого преобразования Лапласа. Cледовательно, подынтегральное выра- жение в этой формуле является оригиналом. Если, кроме того, произвести необходи- мое интегрирование, отвечающее имеющемуся в пространстве изображений множи- телю 1 / s , получаем окончательно следующее выражение для напряжения в про- странстве оригиналов:               2 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 , ,0 1 2 2 arctan 2 2 arctan 2 arctan zz k n n n n n nn n n n n n n n n n n n t z Q t z t z H t z k k k z z t z t z H t z k k k z z t z t z H t z k k z z z H                                                                       2 2 2 2 2 222 arctan ; 2 ; 2 1 . n n n n n n n n t z t z t z k k z z z z nh z z n h z                     (4.3) Выражение (4.3) представляет в замкнутой аналитической форме распределение искомого напряжения вдоль оси z в произвольный момент времени в случае, если действующая нагрузка имеет вид (4.1), т. е. распространяется по поверхности 0z  с постоянной скоростью k и постоянной амплитудой Q0. Перемещение uz вдоль оси z определяется из (2.4), (4.1) аналогичным образом. Обращение преобразования Фурье при x=0 имеет вид 2 2 2 2 20 2 2 20 0 1 1 11 (1 ) 2 zz SPL z x e e d P Ss u Q k s sk                     . Замена переменного (4.2) под знаком интеграла приводит к следующему выражению:     2 2 2 2 2 2 2 2 1 12 2 2 2 1 2 0 2 2 0 0 1 2 2 2 2 1 1 1 (1 ) 1 1 1 12 (s, ,0) . 1 1 n n n n z z s s z z n s L z n s e e d e e s u z Q k k s                                                                      15 Выполнив под знаком интеграла инверсию преобразования Лапласа на основе из- вестной табличной формулы L-1[1/s 2 e—sb]= (t – b) H(t – b) и произведя замены пере- менной интегрирования 2 2 ,1 , , , n nZ t Z z z         , имеем окончательно         , 2 2 2 2 0 ) 2 2 0 0 1 12 1 , ,0 1 ( 1 nf t z n z n n n u t z Q k H t z t z d k                                   , 2 2 2 2 ) 2 2 0 1 11 ( 1 nf t z n nH t z t z d k                       , 2 2 2 2 2 0 ( ) 1 1 nf t z n n zt H t z d k                     , 2 2 2 2 2 0 ( ) ; 1 1 nf t z n n zt H t z d k                         2 2 22 2 2 , ; , ; 2 ; 2( 1) .n n n n nn n n t zt z f t z f t z z nh z z n h zz z            (4.4) 4.2. Переменная скорость расширения нагрузки. Если внезапно возникшая на- грузка такова, что ее область действия расширяется вдоль границы z = 0 с переменной скоростью, пропорциональной 1 / ,x функция  ,Q t x имеет вид         2 2 2 4 0 0 0 3/2 1 1 , ; , ; , . 2 x k sL LFk sQ t x Q H kt x Q s x Q e Q s Q k e s s          (4.5) После удовлетворения граничным условиям выражение для изображения напря- жения будет таким:       2 4 0 3/2 0 1 1 , , 1 , , . 2 k nLF LFs zz n n s z Q k e g s z s          Выполнив инверсию преобразования Фурье на оси z и сделав замену переменного (4.2), получаем          0 1/2 0 1 1 ( , ,0) 1 , , , , ; 2 nL L L L L zz n n n n n s z Q k R s z R s z R s z R s z s                     2 22 2 2 2 4 41 1 2 2 2 2 0 0 , 1 2 ; , 2 . z zk kn ns s L L n nR s z e d R s z e d                                   Последовательно выполняя под знаком интеграла замену переменного 2 2 2 4 1k nz t       в подынтегральном выражении  ,LR s z , и 2 2 2 4 1k nz t       в подынтегральном выражении  ,L nR s z , произведя аналогичные замены в подынтегральном выражении 16  1 ,L nR s z и  2 ,L nR s z , а также используя табличное соотношение [7]  1 1/2 sxL s e    1/2 1/2( ) ( )H t x t x     и применяя к полученным оригиналам теорему о свертке операционного исчисления, окончательно будем иметь следующее выражение для на- пряжения zz в произвольной точке оси z:          0 1 0 1 , , 0 1 ,{ t n zz n n zn k t z x Q H t z S z t                        1 1 , t n n z H t z S z t                      2 2 2 2 8 1 8 1 , , ,} t t n n n n z z H t z S z d H t z S z d k t k t                     (4.6) где приняты обозначения                     2 2 32 2 3 4 1 2 , 2 , , ; , , n n n n n T z z T z kS z T z T z                                     2 3 3 , 2 , , ; , n n n n T z z T z S z T z                        2 2 2 2 3 3 2 , 2 , ; , 4 4 , ,n n n n n n k T z k z z T z T z k z                  . Аналогично определяем перемещение, которое окончательно имеет вид          0 0 1 , ,0 1 , n t n z n n zn k u t z Q H t z t R z d                        1 , n t n n z H t z t R z d                       2 2 4 4 , , ; n n t t n n n n z z H t z R t z d H t z R t z d k k                    (4.7)                 2 ( ) 3 22 2 3 2 ,4 , 1 ( , ) ; , , n n n n n n z T z R t z T z k T z T z                              ( ) 2 3 2 3 22 ( , ) 2 , , 4 , 1 , n n n n n n T z z T z R t z T z T z k               . 17 Таким образом, в §3 при смешанных условиях на граничных поверхностях упру- гого слоя получены в замкнутом виде точные решения нестационарных задач (упру- гие перемещение и напряжение на оси симметрии задачи) в случае расширяющейся с постоянной или переменной скоростью области приложения нагрузки. §5. Числовые результаты. Предложенный подход и полученные формулы для перемещения и напряжения позволяют вычислить конкретные характеристики напряженно-деформированного состояния в произвольной точке упругого слоя для различных видов нестационарной нагрузки. Рассмотрим несколько примеров, при вычислении которых были выбраны следующие конкретные значения исходных параметров: 0 1,0; 1,0; 0,5; 1,0; 1,0.Q h l      (5.1) Пример 1. Выберем функцию Q(t,x), определяющую действующую на слой нагрузку, в виде        0, ,Q t x Q H t H x l H x l       (5.2) т. е. примем, что на отрезке x l напряжение zz внезапно возникает при t = 0 и в даль- нейшем остается постоянным во времени и на отрезке. В этом более простом случае функ- ция f(x), задающая распределение напряжения на указанном отрезке, в формуле (3.14) равна единице и для перемещения и напряжения, вместо (3.12) и (3.23), получаем формулы:        0 1 , , , , ; , , , , , x l x l zn zzn zzn zzn x l x l u t z x Q u t z d t x z t z d              (5.3) где    , , , , ,zzn zznu t z t z   заданы второй и третьей строками в (3.12) и (3.23), соот- ветственно. Для вычислений использован пакет Scilab 5.4. Ниже, рис. 2, а – в представляют перемещение, а 2, г – е – напряжение. а б 18 в г д е Рис. 2 19 На рис. 2, а упругое перемещение uz представлено как функция времени при х=0 в четырех точках оси z: z=0, z=0,5, z=0,9 и z=1 (последнее значение z использовалось для проверки выполнения соответствующего граничного условия). Интервал времени охватывает 20 отражений от границ слоя. Пиковые значения графиков отвечают мо- ментам прихода в рассматриваемую точку волны расширения, отраженной от тыль- ной границы. Можно заметить, что первое такое значение является максимальным. Рис. 2, б изображает перемещение как функцию х в сечении z=0,5 в моменты време- ни t=1, t=4, t=9 и показывают развивающуюся со временем знакопеременность рас- пределения перемещения. Напомним, что графики построены в безразмерных обо- значениях, и единице времени соответствует интервал, в течение которого волна расширения проходит толщину слоя. На рис. 2, в изображено распределение пере- мещения вдоль оси z в различные моменты времени. Как видно из графиков, ука- занное распределение близко к линейному. Рис. 2, г, д, е представляют напряжение. На рис. 2, г напряжение zz изображено как функция времени  0 20t  в сре- динном сечении слоя ( 0,5z  ) в трех точках: x=0, x=2 и x=4. На рис. 2, д напряже- ние как функция z при x=0 представлено в фиксированные моменты времени: 1) 0,65;t  2) 1,70;t  3) 2,75;t  4) 3,80;t  5) 4,85; 6) 5,9t t  . Сплошной линией изображены графики для случая, когда волна расширения движется к тыльной по- верхности z h (кривые 1, 3, 5,); пунктиром – когда волна расширения движется к лицевой поверхности 0z  (кривые 2, 4, 6). Между соседними кривыми первой группы, как и между кривыми второй группы, отличие во времени составляет 2 ин- тервала прохождения волной расширения толщины слоя. Моменты времени, для ко- торых построены графики, выбраны дробными для того, чтобы избежать слияния кривых на рисунках. Рис. 2, е показывает напряжение как функцию z в сечении x=2 в те же моменты времени, что и на рис. 2, д, так что номера кривых на обоих рисунках совпадают (кривая 1 на рис. 2, е отсутствует, так как в момент времени 0,65t  по- рожденные волны не достигают сечения x=2). Представленные графики позволяют отметить характерные особенности напря- женного состояния при распространения нестационарных волн как в направлении оси x ,так и в поперечном направлении. На оси симметрии (x=0) волна расширения обусловливает скачек напряжения в момент прихода в рассматриваемую точку. В свою очередь, волна искажения определяет лишь излом кривой напряжения. Жир- ная сплошная кривая на рис. 2, г демонстрирует множественные скачки напряжения на оси симметрии слоя (x=0) в сечении z=0,5 в моменты прихода фронта волны расширения, отраженной поочередно от тыльной и лицевой поверхности слоя. Ска- чок напряжения при каждом отражении сохраняет практически постоянное значе- ние, но его длительность во времени уменьшается с каждым последующим отра- жением (происходит как бы заострение пика напряжения). Это означает, что в ре- альной среде с обязательным присутствием вязкости материала максимальные ам- плитуды будут уменьшаться с каждым отражением. Анализ кривых на рис. 2, д, е показывает существенное различие в распределении напряжения в поперечном сечении слоя в зависимости от значения абсциссы x. Так, на оси симметрии (x=0) имеют место четко обозначенные скачки напряжения. При этом прямая (кривая 1) и первая отраженная (кривая 2) волны расширения имеют вид единичной ступень- ки, тогда как характер распределения напряжения по толщине слоя при после- дующих отражениях все больше отличается от ступенчатого вследствие влияния волны искажения и постепенного "растекания" энергии волны в направлении, пер- пендикулярном к направлению распространения волны. Скачки напряжения, ти- пичные для сечения x=0, заменяются достаточно плавным ростом напряжения в зафронтовой области в сечениях 0.x  При этом напряжение может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и соответствующие кривые группи- руются около нулевого значения. 20 Пример 2. Внезапно приложенная нагрузка распределена по границе z=0 сле- дующим образом:        0 0 02 2 2 2 1 1 1 1 1 , ; , ; , .L LF kQ t x Q H t Q s x Q Q s Q e s s kx k x k       (5.4) Такой тип нагрузки, в частности, может в определенном приближении при доста- точно малых значениях параметра k моделировать нагрузку в виде дельта-функции, которая часто фигурирует в аналогичных исследованиях. Изложенная в предыдущем пункте процедура определяет выражение (3.14) для пере- мещения и (3.20) для нормального напряжения в пространстве оригиналов, которое слу- жит исходной формулой для проведения вычислений, если функция  f x имеет вид   2 2 1 .f x x k   (5.5) Результаты вычислений на основе (3.14), (3.25) и (5.5) представлены рис. 3, а – г. Пара- метр k в формуле (5.4) выбран равным 1. Для других значений параметра k числовые ре- зультаты этого и нижеследующих примеров 3,4 (для напряжения) приведены в [18]. а б в 21 г Рис. 3 Рис. 3, а представляет перемещение как функцию времени в трех точках на оси z. Мгновенное распределение перемещения вдоль оси z в сечениях слоя при t=0,9 пока- зано на рис. 3, б. На рис. 3, в показано развитие напряжения во времени на тыльной границе (z=1) в двух точках оси x: x=0 и x=4. Рис. 3, г представляет распределение напряжения по толщине слоя (при x=0) в дискретные моменты времени 1) 3,9;t  2) 4,9; 3) 7,93; 4) 8,93; 5) 11,96; 6) 12,96.t t t t t     Как и в предыдущем примере, можно заметить образование пика (при x = 0) и его заост- рение при последовательных отражениях каждый раз в момент прихода очередного отраже- ния. При удалении от оси симметрии это явление сглаживается и амплитуда уменьшается. Кривые 1, 3, 5 на рис. 3, г построены при движении фронта волны расширения к тыль- ной границе, кривые 2, 4, 6 – к лицевой границе. Между соседними кривыми первой группы (а также между кривыми второй группы) отличие во времени составляет 4 интервала про- хождения волной расширения толщины слоя. Отметим, что при нагрузке вида (5.4) не на- блюдается скачок напряжения на фронте при движении волны к лицевой границе. Пример 3. Примем, что внезапно приложенная нагрузка расширяется вдоль гра- ницы полуплоскости с постоянной скоростью k, т.е.    0, .Q t x Q H kt x  (5.6) Тогда напряжение ( , ,0)zz t z вычисляем при помощи формулы (4.3), перемеще- ние uz(t, z, 0) – по формуле (4.4). а б 22 в г Рис. 4 Вычисленное напряжение показано на рис. 4, в как функция t в точках z=0,1; 0,5; 1,0 при значении параметра скорости k =1. Рис. 4, г представляет мгновенное распре- деление напряжения по толщине слоя на оси симметрии при том же k в моменты вре- мени 1) 0,5;t  2) 4,5;t  3) 9,5; 4) 30,5; 5) 40,5 .t t t   Можно заметить, что многократные отражения волн ведут к постепенному выравниванию напряжения по толщине слоя. Пример 4. Область действия нагрузки расширяется вдоль оси x с переменной ско- ростью, пропорциональной 1 / .x В этом случае функция  ,Q t x имеет вид    2 0, ,Q t x Q H kt x  (5.7) перемещение вдоль оси z вычисляется по формуле (4.7), напряжение – по формуле (4.6); параметр k, как и ранее, равен 1. а 23 б в г Рис. 5 Рис. 5, в представляет вычисленное напряжение как функцию времени в точках 0,5z  и 1z  . Наконец, на рис. 5, г показано напряжение как функция z в фиксиро- ванные моменты времени: 1) 0,8; 2) 1,8; 3) 2,85; 4) 3,85; 5) 4,9; 6) 5,9.t t t t t t      Сплошные кривые соответствуют движению фронта волны в сторону тыльной грани- цы, пунктирные – в сторону лицевой границы. Нагрузка (5.7) такова, что в течение некоторого начального интервала времени скорость ее распространения превосходит скорость волн расширения в среде, поэтому развитие (в отличие от предыдущего при- мера) перемещения происходит с изломами, а развитие напряжения сопровождается скачками, что можно наблюдать как в конкретных точках с течением времени (рис. 5, в), так и в конкретные моменты времени при построении графика напряжения как функ- ции глубины z (рис. 5, г). 24 Обратим внимание на существенную особенность процесса отражения упругих волн от поверхности, на которой заданы смешанные граничные условия: отраженная волна является волной того же типа, что и падающая волна. Выводы. 1. Предложен подход к исследованию нестационарных волновых процессов в уп- ругом слое при смешанных граничных условиях: условиях четвертой краевой задачи теории упругости на лицевой поверхности слоя (поверхности, к которой приложена действующая нагрузка) и условиях второй краевой задачи на тыльной поверхности. При таком выборе условий имеет место некоторое сходство с типичной задачей для слоя с заданной нагрузкой на лицевой поверхности и с жестко закрепленной тыльной поверхностью. Применяются интегральные преобразования Лапласа и Фурье, по- следовательное обращение которых с применением теорем о свертке либо исполь- зование метода Каньяра для их совместного обращения, позволяет получить иско- мое решение (перемещение, напряжение) в замкнутом аналитическом виде: в виде суммы, первый член которой представляет прямую волну, а каждый m-й член пред- ставляет волну, отраженную m раз от граничных поверхностей. Удерживая в упомя- нутой сумме конечное число членов N, получим в избранной точке значение напря- жения с учетом N отражений, справедливое на интервале времени, определяемом не- равенством  / 2 /z t Nh z    . 2. Развитый подход позволяет выполнить исследование для практически произ- вольных действующих нагрузок. В качестве примеров рассмотрены нагрузки, зависи- мость которых от времени определяется функцией Хевисайда, однако полученные ре- зультаты могут быть использованы в качестве исходных при рассмотрении других временных зависимостей. На ряде примеров исследованы особенности возникающих волновых процессов как в конкретных точках слоя, так и вдоль той или другой оси в зависимости от времени. 3. Следует помнить, что принятая формулировка граничных условий (1.3) исклю- чает, в отличие от первой краевой задачи теории упругости (задание вектора напряже- ний на границе), возникновение поверхностных волн, поэтому в данной работе основ- ной акцент сделан на исследовании волновых процессов в поперечном направлении. 4. Полезность получения точных аналитических решений рассмотренного типа состоит еще и в том, что такие решения могут служить ориентиром при разработке специализированных численных методов. Известно, что наличие больших градиентов искомых решений, таких как скачки напряжений, обусловливают трудности при по- лучении результатов численными методами с приемлемой точностью. Для отработки численных подходов, для которых тип граничных условий не оказывает существенно- го влияния на эффективность вычислений, точные решения определенных задач мо- гут оказаться весьма полезными. Р Е ЗЮМ Е . Побудовано аналітичний розв'язок плоскої задачі про дію нестаціонарного наван- таження на поверхню пружного шару в умовах змішаної крайової задачі: на одній границі задані но- рмальне напруження і дотичне переміщення (четверта крайова задача теорії пружності), на іншій – нормальне переміщення і дотичне напруження (друга крайова задача). Застосовано інтегральні пере- творення Лапласа і Фур'є. Обернення інтегральних перетворень виконано точно за допомогою таблич- них співвідношень і теорем про згортки для різноманітного асортименту діючих нестаціонарних наван- тажень. Вирази для напруження і переміщення отримано в явному аналітичному виді. Конкретно роз- глянуто навантаження, прикладене до області постійних розмірів і до області, розміри якої змінюються по заданому закону. Виконані обчислення демонструють розвиток нормального напруження в залеж- ності від часу і просторових координат. Проаналізовано характерні особливості хвильових процесів. 1. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – К.: Наук. думка, 1978. – 308 с. 2. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. – М.: Наука. Физматлит, 1995. – 352 с. 3. Механика контактных взаимодействий // Под ред. И.И.Воровича, В.М.Александрова. – М.: Физмат- гиз, 2001. – 670с. 25 4. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. – М.: Наука, 1986. – 328 с. 5. Achenbach J.D. Wave Propagation in Elastic Solids. – Amsterdam: Elsevier, 1975. – 425 p. 6. Bakker M.C., Kooij M.B.J., Verweij M.D. A knife-edge load traveling on the surface of an elastic half- space // Wave Motion. – 2012. – 49. – P. 165 – 180. 7. Bateman H., Erdelyi A. Tables of Integral Transforms: in 2 vol. V.1. – NY: McGraw-Hill Book Com. Inc. –1954. – 344 p. 8. Bateman H., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions: in 4 vol. V.1. – NY: McGraw-Hill Book Com. Inc. –1953. – 296 p. 9. Bresse L.F., Hutchins D.A. Transient generation of elastic waves in solids by a disk-shaped normal force source // J. Acoust. Soc. Аmеr. – 1989. – 86, N 2. – P. 810 – 817. 10. Cagniard L.P.E., Flinn E.A., Dix C.H. Reflection and Refraction of Progressive Seismic Waves. – NY: McGraw-Hill, 1962. – 282 p. 11. De Hoop A.T. A modification of Cagniard's method for solving seismic pulse problems// Appl. Sci. Res. Sect. B. 1960. – 8. – P. 349– 356. 12. De A., Roy A. Transient response of an elastic half space to normal pressure acting over a circular area on an inclined plane // J. Eng. Math. – 2012. – 74. – P. 119 – 141. 13. Eason G. The stresses produced in a semi-infinite solid by a moving surface force // Int. J. Eng. Sci. – 1965. – 2, N 6. – P. 581 – 609. 14. Ghosh S.C. Disturbance produced in an elastic half-space by impulsive normal pressure // Pure and Appl. Geophys. – 1970. – 80, N 1. – P. 71 – 83. 15. Kubenko V.D. Nonstationary Сontact of a Rigid Body with an Elastic Medium: Plane Problem (Review) // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 5. – P. 121 – 129. 16. Kubenko V.D Stress State of an Elastic Half-Plane under Nonstationary Loading // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 2. – P. 487 – 551. 17. Kubenko V.D. On a non-stationary load on the surface of a semiplane with mixed boundary conditions // ZAMM. – 2015. – 95, N 12. – P. 1448 – 1460. 18. Kubenko V.D. Non-stationary stress state of an elastic layer at the mixed boundary conditions// ZAMM / DOI 10.1002/zamm.201.500235(2016). 19. Kubenko V.D., Marchenko T.A. Indentation of a Rigid Blunt Indenter into an Elastic Layer: a Plane Prob- lem // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 3. – P. 286 – 295. 20. Kubenko V.D., Yanchevskii I.V. Nonstationary Load on the Surface of an Elastic Half-Strip // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 3. – P. 303 – 310. 21. Laturelle F.G. The stresses produced in an elastic half-space by a normal step loading over a circular area analytical and numerical results // Wave Motion. – 1990. – 12. – P. 107 – 127. 22. Laturelle F.G. The stresses produced in an elastic half-space by a pressure pulse applied uniformly over a circular area: role of the pulse duration // Wave Motion. – 1991. – 14. – P. 1 – 9. 23. Mitra M. Disturbance produced in an elastic half-space by impulsive normal pressure // Math. Proc. Cambr. Phil. Soc. – 1964. – 60, N. 3. – P. 683 – 696. 24. Singh S.K., Kuo J.T. Response of an elastic half-space to uniformly moving circular surface load // Trans. ASME. J. Appl. Mech. – 1970. – 37, N 1. – P. 109 – 115. 25. Verruijt A. An Introduction to Soil Dynamics. – London, NY: Springer, Dordrecht Heidelberg, 2010. – 433 p. Поступила 04.11.2015 Утверждена в печать 05.07.2016

Similar Items