Напряженное состояние полых цилиндров c вогнутым гофрированным поперечным сечением разной кривизны
В просторовій постановці із застосуванням аналітичних методів відокремлення змінних, апроксимації функцій дискретними рядами Фур'є та чисельного методу дискретної ортогоналізації проведено дослідження впливу на напружений стан порожнистих циліндрів з поперечним перерізом у вигляді увігнутих нап...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Англійська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145146 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Напряженное состояние полых цилиндров c вогнутым гофрированным поперечным сечением разной кривизны / Я.М. Григоренко, Л.С. Рожок // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 26-33. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859808612575084544 |
|---|---|
| author | Григоренко, Я.М. Рожок, Л.С. |
| author_facet | Григоренко, Я.М. Рожок, Л.С. |
| citation_txt | Напряженное состояние полых цилиндров c вогнутым гофрированным поперечным сечением разной кривизны / Я.М. Григоренко, Л.С. Рожок // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 26-33. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | В просторовій постановці із застосуванням аналітичних методів відокремлення змінних, апроксимації функцій дискретними рядами Фур'є та чисельного методу дискретної ортогоналізації проведено дослідження впливу на напружений стан порожнистих циліндрів з поперечним перерізом у вигляді увігнутих напівгофрів, зміни кривизни, що обумовлена варіаціями радіуса рухомого кола. Результати розв'язування задачі наведено у вигляді графіків розподілу полів переміщень і напружень. Проведено аналіз отриманих результатів.
An effect of variability of curvature on the stress state of hollow cylinders is studied within the spatial statement with using the analytical methods of separation of variables, approximation of functions by the discrete Fourier series and numerical method of discrete orthogonalization. The cylinders are assumed to have the cross-sections in the form of concave semi-corrugations. The change of curvature is described as variations of the moving circle radius. The findings are shown in the form of plots of distribution of displacement and stress fields that are further analyzed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:17:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 6
26 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, № 6
Я .М . Г р и г о р е н к о 1 , Л .С . Р о ж о к 2
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПОЛЫХ ЦИЛИНДРОВ
С ВОГНУТЫМ ГОФРИРОВАННЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
РАЗНОЙ КРИВИЗНЫ
1Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; ayagrigorenko@yandex.ru;
2 Национальный транспортный университет,
ул. Суворова, 1, 01010, Киев, Украина; r.l.s@ua.fm
Abstract. An effect of variability of curvature on the stress state of hollow cylinders is
studied within the spatial statement with using the analytical methods of separation of vari-
ables, approximation of functions by the discrete Fourier series and numerical method of
discrete orthogonalization. The cylinders are assumed to have the cross-sections in the form
of concave semi-corrugations. The change of curvature is described as variations of the
moving circle radius. The findings are shown in the form of plots of distribution of dis-
placement and stress fields that are further analyzed.
Key words: noncircular hollow cylinders, stress state, discrete Fourier series, method of
discrete orthogonalization.
Введение.
Широкое применение оболочечных конструкций обусловлено интенсивным раз-
витием многих областей техники [17, 18]. На современном этапе характерным являет-
ся тенденция использования конструкций типа оболочек в условиях возрастающей
интенсивности внешних воздействий – высокое и сверхвысокое давление, экстре-
мальная температура и др.
Такие обстоятельства вынуждают все чаще прибегать к применению толстостен-
ных конструкций. В качестве примеров использования оболочек в современной тех-
нике можно указать следующие: сосуды высокого давления, двигателестроение, крио-
генная техника, защитные оболочки ядерных реакторов. Расчетная схема в виде тол-
стостенной цилиндрической оболочки применяется и для расчета различных инже-
нерных сооружений – своды, кольцевые фундаменты, напорные трубы, обделки тун-
нелей и др. [4, 5].
Расчету оболочечных конструкций посвящено значительное количество исследо-
ваний [1, 3, 6, 8]. В работах [12, 14] решение такого класса задач осуществляется с
использованием метода конечных элементов.
Однако продолжает оставаться актуальной проблема построения трехмерной тео-
рии толстостенных оболочек, а также разработка эффективных методов решения раз-
решающих уравнений такой теории для отдельных классов оболочек. Отметим, что
оболочки со сложным гофрированным поперечным сечением рассмотрены в работах
[7, 10, 15].
Данная статья является продолжением исследований напряженного состояния не-
круговых полых изотропных цилиндров. Рассмотрены цилиндры со сложным попе-
речным сечением в виде вогнутых соединенных полугофров, которое описано с по-
мощью укороченной гипоциклоиды. Задача решена в пространственной постановке с
использованием аналитического метода разделения переменных в двух координатных
направлениях и применением метода аппроксимации функций дискретными рядами
Фурье, а также численного метода дискретной ортогонализации [2].
27
§1. Постановка задачи.
Рассмотрим упругие полые цилиндры постоянной толщины, находящиеся под
действием внутреннего давления 0 sin /q q s l ( 0 constq ). Поперечное сечение
направляющей поверхности отсчета представим в параметрическом виде укорочен-
ной гипоциклоидой [13]
( ) cos cos ; ( )sin sin ,
A a A a
x A a a y A a a
a a
где А – радиус неподвижной окружности; а (а > 0) – радиус подвижной окружности;
( 1)a – расстояние до центра подвижной окружности.
Отнесем рассматриваемые цилиндры к ортогональной криволинейной системе
координат , ,s : s – длина дуги образующей; (0 2 ) – угловой параметр,
центральный угол в поперечном сечении; 1 2( ) – нормальная координата по
толщине цилиндра.
В выбранной системе координатах первую квадратичную форму запишем в виде
2 2 2 2 2
2 ( , ) ,dS ds B d d
где приняты такие обозначения:
2 2 2( , ) ( , ) ( );B B H 2 2 ( , ) 1 ;
( )
H H
R
1/2
2( ) 1 2 cos ;
A
A a
a
3/2
2
2
1 2 cos
( ) ;
2
1 cos
A
A a
a
R R
A a A a A
a a a
Н2 – параметр Ламе; R – радиус кривизны в поперечном сечении; – коэффициент
перехода от координаты дуги направляющей к угловому параметру .
На торцах цилиндра рассмотрим граничные условия типа простого опирания
0; 0; 0s u u при 0,s s l . (1.1)
Граничные условия на боковых поверхностях имеют вид
; 0; 0sq при 1 ; (1.2)
0; 0; 0s при 2 . (1.3)
В качестве исходных уравнений примем уравнения пространственной теории уп-
ругости для изотропного тела [16], а за разрешающие функции – компоненты напря-
жений , ,s и перемещений , ,su u u . После некоторых преобразований полу-
чим для трехмерной краевой задачи разрешающую систему уравнений в частных
производных шестого порядка с переменными коэффициентами в виде
2 2
1 1s
H R s B
28
2 2
2 2 2
1 1 1
;
11 1
s
uuE E
u
H R s B H R
2 2
2 2
1 1 1
1 1
s s
s
uE E
H R s s H
2 2
1 1 1 1
;
1 2 1
s
u uuE
u
R B B s
2
2 2 2 2
2 1 1 1
1
s
uuE
u
Н R B s B Н R
2
1
1 2 1
s
uuE
s B s
; (1.4)
2
2 2
1 1 1 2
;
1 1
s
u uu
u
s B H R E
2 1
s
s
uu
E s
;
2 2
2 1 1 1u u
u
E B H R
1 20 ; 0 2 ;s l
с граничными условиями (1.1) – (1.3).
§2. Метод решения.
При решении полученной краевой задачи для системы уравнений (1.4) с гранич-
ными условиями (1.1) – (1.3) применим метод разделения переменных в двух направ-
лениях – вдоль образующей и направляющей цилиндра – путем разложения соответ-
ствующих функций в ряды Фурье с использованием аппроксимации некоторых из них
дискретными рядами Фурье, а также численный метод дискретной ортогонализации.
Разделению переменных вдоль образующей способствует наличие граничных ус-
ловий на торцах цилиндра (1.1). Представим разрешающие функции и компоненты
нагрузки в виде разложений в ряды Фурье по координате s
1
, , , sin
N
n n
n
X s X s
;
0
, , , cos
N
n n
n
Y s Y s
, (2.1)
где
, , , ,X u u q ; ,s sY u ; 0n
n
s l
l
.
Ряды (2.1) подставим в разрешающую систему уравнений (1.4) и в соответствую-
щие граничные условия (1.2, 1.3); разделив переменные, получим разрешающую систе-
му дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициен-
тами, описывающих двумерную краевую задачу для каждого члена рядов (2.1) [9].
Прежде, чем производить разделение переменных вдоль направляющей цилиндра,
заменим в разрешающей системе уравнений дополнительными функциями некоторые
выражения, препятствующие разделению переменных по координате . Эти функции
29
представляют собой произведения разрешающих функций на коэффициенты, завися-
щие от двух координат и : Такая замена позволит формально представить разре-
шающую систему уравнений в виде, допускающем разделение переменных вдоль на-
правляющей, путем представления всех функций в виде разложений в ряды Фурье по
координате , т.е.
0 1
, cos ; , sin ;
K K
k k
k k
X X k Y Y k
(2.2)
1 4 6 2 3 5 7, , , , , , , ; , , , , ,j j j j
s sX u u q Y u ,
где приняты обозначения
1
2 2
1 1
; ; ; ; 1,5j
s su u u j
H R H R
;
2
2
1
; 1,2j u j
H R
; 3
2
1
; ; 1,3j s
u u
j
B
; (2.3)
4
2
1 1
; ; 1,3j
u u
j
B R
;
3
5 1
2
1
B
; 3
6 3
2
1
B
; 2
7 4
2
1
B
.
Разделив переменные, получим систему обыкновенных дифференциальных урав-
нений относительно амплитудных значений рядов Фурье (2.2) в виде (в обозначениях
разрешающих функций и компонентов нагрузки опустим индекс n, соответствующий
разложениям в ряды Фурье (2.1))
, 1 1 4 3 5
, 1, 4, 1, 4, 1,2
1
1 1
k
n s k k k n k k k
d E
d
;
, 2 2 2
, , 1, 4,2 21 2 11 1
s k
n k n s k k n k
d E E E
u
d
3
1, 6,2
;
2 11 n k k
E E
, 2 1 3
, 2, 3,2
2
2 1 2 11
k
n k k n k
d E E E
u
d
1
7, 5, 3,2
;
11 k k k
E
2
, 2 3
, , 4, 1,
1 2
1 1
k
k n s k k k
du
u
d E
; (2.4)
,
, ,
2 1s k
s k n k
du
u
d E
;
, 2 2
, 3, 2,
2 1k
k k k
du
d E
0,k K ,
30
с граничными условиями
, , , ,; 0; 0k k s k kq при 1 ; (2.5)
, , ,0; 0; 0k s k k при 2 . (2.6)
Полученную краевую задачу (2.4) – (2.6) решаем устойчивым численным методом
дискретной ортогонализации одновременно для всех k гармоник разложений в ряды
Фурье (2.3). На каждом шаге интегрирования амплитудные значения дополнительных
функций вычисляются по текущим значениям амплитуд разрешающих функций с
использованием метода аппроксимации функций дискретными рядами Фурье [11].
С учетом граничных условий, в начале интегрирования, дополнительные функции
определяются по заданным начальным значениям разрешающих функций.
§ 3. Числовые результаты и их анализ.
Проведем исследование влияния кривизны, вызванное изменением величины ра-
диуса подвижной окружности а, на напряженное состояние полых изотропных ци-
линдров с поперечным сечением в виде вогнутых полугофров (рис. 1) для двух значе-
ний их толщины. Задача решена при таких исходных данных: длина цилиндра l = 80;
толщина цилиндра h = 0,6; 0,9; радиус неподвижной окружности А = 24; радиус под-
вижной окружности а = 2; 3; 4; 6; параметр = 0,4; модуль Юнга Е = Е0 = const; ко-
эффициент Пуассона = 0,3.
Рис. 1
В местах соединения полугофров, радиус кривизны срединной поверхности при-
нимает свои максимальные абсолютные значения R =1,47; 1,99; 2,40; 3,20 для
а = 2; 3; 4; 6, соответственно. Выбор указанных толщин позволяет оставаться в преде-
лах теории оболочек средней толщины.
Результаты решения задачи представлены на рисунках в виде графиков распреде-
ления полей перемещений (рис. 2) и напряжений (рис. 3) в среднем сечении по длине
цилиндра.
На рис. 2, a – г представлены графики распределения полей перемещений u на
внутренней поверхности для четырех значений радиуса подвижной окружности по
направляющей цилиндра. Отношение величины радиуса неподвижной окружности к
величине радиуса подвижной определяет количество полугофров цилиндра. Так, для
а = 2 количество полугофров равно 12, для а = 3 – 8, для а = 4 – 6 и для а = 6 – 4, соот-
ветственно. Увеличение количества полугофров приводит к увеличению жесткости
цилиндра, что оказывает влияние на распределении перемещений.
31
Рис. 2
Максимальных значений перемещения достигают во впадинах полугофров для
цилиндров как для толщины h = 0,6, так и для h = 0,9. При этом для более тонких ци-
линдров (h = 0,6) с уменьшением количества полугофров величина перемещений воз-
растает: в 22 раза для а = 2; в 5,1 раза для а = 3; в 2,2 раза для а = 4 по сравнению с
аналогичными значениями перемещений в цилиндре при а = 6, а для более толстых
(h=0,9), соответственно, – в 16,3; 4,5; 2,2 раза.
При переходе из зоны соединения ( = 0) во впадину полугофров перемещения
возрастают примерно: в 3,5 раза для а = 2; в 4 раза для а = 3, в 7,5 – 8 раз для а = 4 и в
20 раз для а = 6. Кроме того, можно отметить, что в пределах одного значения вели-
чины радиуса подвижной окружности, увеличение толщины оказывает наибольшее
влияние на уменьшение перемещений в соответствующих сечениях для менее жест-
ких цилиндров.
На рис. 3, а, г показаны графики распределения напряжений на внутренней по-
верхности цилиндра для четырех значений радиуса подвижной окружности по на-
правляющей цилиндра.
Как видно из представленных графиков, максимальных значений напряжения
достигают в зонах соединения полугофров ( = 0), при этом при переходе из этой зо-
ны во впадину полугофров значения напряжений меняют знак на противоположный и
уменьшаются, примерно, в 4 раза для а = 2 и в 1,7 раз – для а = 6.
а
в
б
г
32
Рис. 3
При изменении толщины цилиндров абсолютные значения напряжений умень-
шаются, примерно, в 1,5 – 2, 5 раза в соответствующих сечениях для всех значений
величины радиуса подвижной окружности.
Заключение.
В пространственной постановке решена задача о напряженном состоянии полых
цилиндров с поперечным сечением в виде вогнутых соединенных полугофров, опи-
санных укороченной гипоциклоидой, в зависимости от изменения кривизны, вызван-
ной вариациями радиуса подвижной окружности.
Из анализа полученного решения следует, что изменение радиуса подвижной ок-
ружности влечет за собой изменение количества полугофров в поперечном сечении
цилиндров, что оказывает влияние на изменение их жесткости, что, в свою очередь,
существенно влияет на распределение полей перемещений и напряжений.
Р Е ЗЮМ Е . В просторовій постановці із застосуванням аналітичних методів відокремлення
змінних, апроксимації функцій дискретними рядами Фур'є та чисельного методу дискретної ортого-
налізації проведено дослідження впливу на напружений стан порожнистих циліндрів з поперечним
перерізом у вигляді увігнутих напівгофрів, зміни кривизни, що обумовлена варіаціями радіуса рухо-
мого кола. Результати розв'язування задачі наведено у вигляді графіків розподілу полів переміщень і
напружень. Проведено аналіз отриманих результатів.
а
в
б
г
33
1. Аврамов К.В., Морачковский О.К., Тонконоженко А.М., Кожарин В.Ю., Кочуров Р.Е. Полуанали-
тический метод конечных элементов для расчета напряженно-деформируемого состояния ци-
линдрических оболочек c продольными ребрами жесткости // Пробл. машиностроения. – 2014. –
17, № 1. – С. 33 – 41.
2. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений // Успехи матем. наук. – 1961. – 16, № 3. – С. 171 – 174.
3. Емельянов И.Г. Определение напряженного состояния оболочечных конструкций с применением
дискретных рядов Фурье // Вычисл. механика сплошных сред. – 2015. – 8, № 3. – С. 245 – 253.
4. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Решение трехмерных задач для толстых упругих оболочек на основе
метода отсчетных поверхностей // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2014. – № 4. – С. 54 – 64.
5. Шацький І.П., Струк А.Б. Напружений стан трубопроводу в зонах локального руйнування ґрунту //
Пробл. прочности. – 2009. – № 5. – С. 127 – 133.
6. Bespalova E.I., Urusova G.P. Stress State of Branched Shells of Revolution Subject to Transverse
Shear and Reduction // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 4. – P. 410 – 419.
7. Chernopiskii D.I. On stress-strain state in thick-walled cylindrical shells bounded by corrugated surfaces
// Strength of Materials. – 2012. – 44, N 1. – P. 40 – 52.
8. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya. Static and Dynamic Problems for Anisotropic Inhomogeneous
Shells with Variable Parameters and Their Numerical Solution (Review) // Int. Appl. Mech. – 2013. –
49, N 2. – P. 123 – 197.
9. Grigorenko Ya.M., Rozhok L.S. Applying Discrete Fourier Series to Solve Problems of the Stress State of
Hollow Noncircular Cylinders // Int. App. Mech. – 2014. – 50, N 2. – С. 105 – 127.
10. Grigorenko Ya.M., Rozhok L.S. Stress State of Hollow Cylinders With Convex Corrugated Cross
Sections // J. Math. Sci. – 2014. – 198, N 2. – P. 158 – 165.
11. Hamming R.W. Numerical Methods for Scientists and Engineers. – New-York: MG Graw-Hill, 1962. – 400 p.
12. Hart E.L., Hudramovich V.S., Ryabokon’ S.A., Samarskaya E.V. Numerical simulation of stress-strain
state for nonhomogeneous shell-type structures based on the finite element method // J. Model. and
Numer. Simul. Mater. Sci. – 2013. – 3, N 4. – P. 155 – 157.
13. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. – New-York: MG Graw-
Hill, 1961. – 720 p.
14. Popov G.Ya., Protserov Yu.S., Gonchar I.A. Exact Solution of Some Axisymmetric Problems for Elastic
Cylinders of Finite Length Taking Into Account Specific Weight // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 4.
– P. 391 – 402.
15. Semenyuk N.P., Zhukova N.B. Stability and Postcritical Behavior of Corrugated Cylindrical Panels Under
External Pressure // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 6. – P. 702 – 714.
16. Timoshenko S.P. Theory of Elasticity. – New York: MG Graw-Hill, 1934. – 452 p.
17. Zheleznov L.P., Kabanov V.V., Boiko D.V. Nonlinear deformation and stability of discretely reinforced
elliptical cylindrical shells under transverse bending and internal pressure // Russian Aeronautics (Iz
VUZ) – 2014. – 57, N 2. – P. 118 – 126.
18. Zheng M., Zhao Y., Teng H., Hu J., Yu L. Elastic Limit Analysis for Elliptical and Circular Tubes
Under Lateral Tension // Arab. J. Sci. and Eng. – 2015. – 40, N 6. – P. 1727 – 1732.
Поступила 16.03.2016 Утверждена в печать 05.07.2016
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-145146 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-07T15:17:42Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Григоренко, Я.М. Рожок, Л.С. 2019-01-16T18:22:07Z 2019-01-16T18:22:07Z 2016 Напряженное состояние полых цилиндров c вогнутым гофрированным поперечным сечением разной кривизны / Я.М. Григоренко, Л.С. Рожок // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 26-33. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145146 В просторовій постановці із застосуванням аналітичних методів відокремлення змінних, апроксимації функцій дискретними рядами Фур'є та чисельного методу дискретної ортогоналізації проведено дослідження впливу на напружений стан порожнистих циліндрів з поперечним перерізом у вигляді увігнутих напівгофрів, зміни кривизни, що обумовлена варіаціями радіуса рухомого кола. Результати розв'язування задачі наведено у вигляді графіків розподілу полів переміщень і напружень. Проведено аналіз отриманих результатів. An effect of variability of curvature on the stress state of hollow cylinders is studied within the spatial statement with using the analytical methods of separation of variables, approximation of functions by the discrete Fourier series and numerical method of discrete orthogonalization. The cylinders are assumed to have the cross-sections in the form of concave semi-corrugations. The change of curvature is described as variations of the moving circle radius. The findings are shown in the form of plots of distribution of displacement and stress fields that are further analyzed. en Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Напряженное состояние полых цилиндров c вогнутым гофрированным поперечным сечением разной кривизны Stress State of Hollow Cylinders with a Concave Corrugated Cross-Section of Different Curvature Article published earlier |
| spellingShingle | Напряженное состояние полых цилиндров c вогнутым гофрированным поперечным сечением разной кривизны Григоренко, Я.М. Рожок, Л.С. |
| title | Напряженное состояние полых цилиндров c вогнутым гофрированным поперечным сечением разной кривизны |
| title_alt | Stress State of Hollow Cylinders with a Concave Corrugated Cross-Section of Different Curvature |
| title_full | Напряженное состояние полых цилиндров c вогнутым гофрированным поперечным сечением разной кривизны |
| title_fullStr | Напряженное состояние полых цилиндров c вогнутым гофрированным поперечным сечением разной кривизны |
| title_full_unstemmed | Напряженное состояние полых цилиндров c вогнутым гофрированным поперечным сечением разной кривизны |
| title_short | Напряженное состояние полых цилиндров c вогнутым гофрированным поперечным сечением разной кривизны |
| title_sort | напряженное состояние полых цилиндров c вогнутым гофрированным поперечным сечением разной кривизны |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145146 |
| work_keys_str_mv | AT grigorenkoâm naprâžennoesostoâniepolyhcilindrovcvognutymgofrirovannympoperečnymsečeniemraznoikrivizny AT rožokls naprâžennoesostoâniepolyhcilindrovcvognutymgofrirovannympoperečnymsečeniemraznoikrivizny AT grigorenkoâm stressstateofhollowcylinderswithaconcavecorrugatedcrosssectionofdifferentcurvature AT rožokls stressstateofhollowcylinderswithaconcavecorrugatedcrosssectionofdifferentcurvature |