Задача о параметрических колебаниях резервуара нецилиндрической формы с жидкостью со свободной поверхностью

Досліджено нелінійну динаміку механічної системи "резервуар - рідина з вільною поверхнею" для узагальненої задачі Фарадея у випадку резервуара нециліндричної форми. На відміну від класичної постановки задачі Фарадея в системі допускається додатковий ступінь свободи - можливість поперечного...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Константинов, А.В., Лимарченко, О.С., Мельник, В.Н., Семенова, И.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2016
Schriftenreihe:	Прикладная механика
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145148
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Задача о параметрических колебаниях резервуара нецилиндрической формы с жидкостью со свободной поверхностью / А.В. Константинов, О.С. Лимарченко, В.Н. Мельник, И.Ю. Семенова // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 49-57. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-145148
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1451482025-02-09T09:35:23Z Задача о параметрических колебаниях резервуара нецилиндрической формы с жидкостью со свободной поверхностью Problem on Parametric Oscillations of a Reservoir of Non-Cylindrical Shape with a Free Surface Liquid Константинов, А.В. Лимарченко, О.С. Мельник, В.Н. Семенова, И.Ю. Досліджено нелінійну динаміку механічної системи "резервуар - рідина з вільною поверхнею" для узагальненої задачі Фарадея у випадку резервуара нециліндричної форми. На відміну від класичної постановки задачі Фарадея в системі допускається додатковий ступінь свободи - можливість поперечного руху резервуару в горизонтальній площині; також резервуар може виконувати вертикальні гармонічні коливання як за заданим законом (як в класичній задачі Фарадея), так і під дією вертикальної сили. Розглянуто випадок параметричних коливань вільної поверхні рідини для резервуарів нециліндричної форми. Показано, що за наявності додаткового ступеня свободи динамічні процеси в системі розвиваються як сукупність параметричного резонансу і вимушених коливань. В цьому випадку система може здйснювати нелінійні коливання як за рахунок кінематичних збурень, так і за рахунок динамічного збудження (сили). Встановлено вплив нахилу стінок резервуара на розвиток параметричних коливань. A nonlinear dynamics of mechanical system “reservoir – liquid with free surface” is considered for the generalized Faraday problem in the case of reservoir of cylindrical shape. In contrast to the classical statement of Faraday problem, an additional degree of freedom is assumed in the system – a possibility of reservoir transverse motion in the horizontal plane. Second, additionally, the reservoir can undergo the vertical harmonic oscillations both by a given law (like the classical Faraday problem) and under action of the vertical force. Third, a case of parametric oscillations of liquid free surface is considered for reservoirs of non-cylindrical shape. It is shown that in the presence of an additional degree of freedom the dynamical processes in the system are developed as some aggregate of parametric resonance and forced oscillations. In this case, the system can oscillate nonlinearly both owing to kinematic perturbations and dynamical (force) excitation. It is established also how the inclinations of reservoir walls effect a development of parametric oscillations. 2016 Article Задача о параметрических колебаниях резервуара нецилиндрической формы с жидкостью со свободной поверхностью / А.В. Константинов, О.С. Лимарченко, В.Н. Мельник, И.Ю. Семенова // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 49-57. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145148 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Досліджено нелінійну динаміку механічної системи "резервуар - рідина з вільною поверхнею" для узагальненої задачі Фарадея у випадку резервуара нециліндричної форми. На відміну від класичної постановки задачі Фарадея в системі допускається додатковий ступінь свободи - можливість поперечного руху резервуару в горизонтальній площині; також резервуар може виконувати вертикальні гармонічні коливання як за заданим законом (як в класичній задачі Фарадея), так і під дією вертикальної сили. Розглянуто випадок параметричних коливань вільної поверхні рідини для резервуарів нециліндричної форми. Показано, що за наявності додаткового ступеня свободи динамічні процеси в системі розвиваються як сукупність параметричного резонансу і вимушених коливань. В цьому випадку система може здйснювати нелінійні коливання як за рахунок кінематичних збурень, так і за рахунок динамічного збудження (сили). Встановлено вплив нахилу стінок резервуара на розвиток параметричних коливань.
format	Article
author	Константинов, А.В. Лимарченко, О.С. Мельник, В.Н. Семенова, И.Ю.
spellingShingle	Константинов, А.В. Лимарченко, О.С. Мельник, В.Н. Семенова, И.Ю. Задача о параметрических колебаниях резервуара нецилиндрической формы с жидкостью со свободной поверхностью Прикладная механика
author_facet	Константинов, А.В. Лимарченко, О.С. Мельник, В.Н. Семенова, И.Ю.
author_sort	Константинов, А.В.
title	Задача о параметрических колебаниях резервуара нецилиндрической формы с жидкостью со свободной поверхностью
title_short	Задача о параметрических колебаниях резервуара нецилиндрической формы с жидкостью со свободной поверхностью
title_full	Задача о параметрических колебаниях резервуара нецилиндрической формы с жидкостью со свободной поверхностью
title_fullStr	Задача о параметрических колебаниях резервуара нецилиндрической формы с жидкостью со свободной поверхностью
title_full_unstemmed	Задача о параметрических колебаниях резервуара нецилиндрической формы с жидкостью со свободной поверхностью
title_sort	задача о параметрических колебаниях резервуара нецилиндрической формы с жидкостью со свободной поверхностью
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2016
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145148
citation_txt	Задача о параметрических колебаниях резервуара нецилиндрической формы с жидкостью со свободной поверхностью / А.В. Константинов, О.С. Лимарченко, В.Н. Мельник, И.Ю. Семенова // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 49-57. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT konstantinovav zadačaoparametričeskihkolebaniâhrezervuaranecilindričeskojformysžidkostʹûsosvobodnojpoverhnostʹû AT limarčenkoos zadačaoparametričeskihkolebaniâhrezervuaranecilindričeskojformysžidkostʹûsosvobodnojpoverhnostʹû AT melʹnikvn zadačaoparametričeskihkolebaniâhrezervuaranecilindričeskojformysžidkostʹûsosvobodnojpoverhnostʹû AT semenovaiû zadačaoparametričeskihkolebaniâhrezervuaranecilindričeskojformysžidkostʹûsosvobodnojpoverhnostʹû AT konstantinovav problemonparametricoscillationsofareservoirofnoncylindricalshapewithafreesurfaceliquid AT limarčenkoos problemonparametricoscillationsofareservoirofnoncylindricalshapewithafreesurfaceliquid AT melʹnikvn problemonparametricoscillationsofareservoirofnoncylindricalshapewithafreesurfaceliquid AT semenovaiû problemonparametricoscillationsofareservoirofnoncylindricalshapewithafreesurfaceliquid
first_indexed	2025-11-25T07:12:25Z
last_indexed	2025-11-25T07:12:25Z
_version_	1849745469737009152
fulltext	2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 6 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, № 6 49 А .В .К о н с т а н т и н о в 1 , О .С .Ли м а р ч е н к о 2 , В .Н .Ме л ь н и к 2 , И . Ю .С е м е н о в а 2 ЗАДАЧА О ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ РЕЗЕРВУАРА НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ С ЖИДКОСТЬЮ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 1Институт математики НАН Украины, ул. Терещенковская, 3, 01601, Киев, Украина; e-mail: akonst.im@mail.ru; 2Киев. нац. ун-т им. Т.Г.Шевченко, просп. Глушкова, 4е, 01033, Киев, Украина; e-mail: olelim2010@yahoo.com Abstract. A nonlinear dynamics of mechanical system “reservoir – liquid with free sur- face” is considered for the generalized Faraday problem in the case of reservoir of cylindri- cal shape. In contrast to the classical statement of Faraday problem, an additional degree of freedom is assumed in the system – a possibility of reservoir transverse motion in the hori- zontal plane. Second, additionally, the reservoir can undergo the vertical harmonic oscilla- tions both by a given law (like the classical Faraday problem) and under action of the verti- cal force. Third, a case of parametric oscillations of liquid free surface is considered for res- ervoirs of non-cylindrical shape. It is shown that in the presence of an additional degree of freedom the dynamical processes in the system are developed as some aggregate of paramet- ric resonance and forced oscillations. In this case, the system can oscillate nonlinearly both owing to kinematic perturbations and dynamical (force) excitation. It is established also how the inclinations of reservoir walls effect a development of parametric oscillations. Key words: nonlinear dynamics, combined motion, generalized Faraday problem, pa- rametric resonance, effect of inclinations of reservoir walls. Введение. Задача о параметрическом резонансе механической системы «резервуар – жид- кость со свободной поверхностью» практически всегда рассматривается для случая цилиндрического резервуара, совершающего заданное движение в вертикальном на- правлении. В последнее время постановки задач о параметрических колебаниях в сис- теме «резервуар – жидкость» усложнились за счет рассмотрения движения с дополни- тельными степенями свободы: допускается горизонтальное и наклонное движение ре- зервуара, а также задача рассматривается в совместной постановке [1, 2]. В тоже вре- мя задача Фарадея для случая резервуаров нецилиндрической формы до недавнего времени не исследована, хотя во многих практически важных случаях резервуары имеют нецилиндрическую форму [10, 11]. Смена формы резервуара имеет двоякое значение. Во-первых, меняется наклон стенок и площадь плоской части дна, что пред- ставляется особо важным при вертикальных движениях системы. Во-вторых, форма резервуара определяет величину отношения подвижной части жидкости к общей. Из- вестно, что при колебаниях жидкости только незначительная часть объема жидкости у свободной поверхности движется активно, тогда как амплитуды движения в донной части сильно убывают с ростом глубины. Если в цилиндре объем донной части жид- кости велик, то в резервуарах нецилиндрической формы он значительно меньше (на- пример, в перевернутом конусе он в три раза меньше чем в цилиндре такого же ра- 50 диуса у свободной поверхности как и в конусе), что предопределяет существенно больший вклад подвижности жидкости в формирование процессов при учете совме- стного характера движения резервуара с жидкостью [1, 2, 8 – 12]. Как уже было показано [1] для случая цилиндрического резервуара, исследование задачи в совместной постановке приводит к значительно более сложным эффектам и, прежде всего, к смещению проявления эффектов по частоте. Причем для резервуаров в форме тел вращения с формой, сужающейся ко дну, такое смещение частот будет более существенным по сравнению со случаем цилиндра [10, 11]. По сравнению со случаем классической постановки задачи Фарадея о развитии параметрических колебаний жидкости со свободной поверхностью [3 – 7] предложе- ны следующие обобщения: рассмотрен резервуар в форме усеченного конуса (рассмотрено несколько вариан- тов, когда размер дна менялся от точки до случая днища цилиндра); наряду со случаем, когда резервуар движется вертикально по заданному гармони- ческому закону, рассмотрен случай строго вертикального движения резервуара под действием силы, меняющейся по гармоническому закону; принята возможность движения резервуара в горизонтальном направлении. Исследование проведено на основе нелинейной динамической модели совместно- го движения резервуара и жидкости, в которой в отличие от большинства современ- ных подходов, не применяется гипотеза о возможности пренебрежения колебаниями на собственных частотах системы (анализ показал, что учет колебаний свободной по- верхности жидкости на собственных и комбинационных частотах является опреде- ляющим для большинства динамических эффектов, включая сам факт возможности выхода системы на режим установившихся колебаний). Исследование выполнено на основе многомодовой модели (10 форм колебаний свободной поверхности жидкости) совместного движения жидкости и резервуара [10]. При этом существенное внимание уделено выполнению условий разрешимости краевой задачи Неймана для потенциала скоростей жидкости, что позволило построить решения, которые с высокой точно- стью удовлетворяют условиям непротекания на стенках жидкости не только под сво- бодной поверхность в невозмущенном состоянии, но и на гребнях волн над уровнем невозмущенной свободной поверхности. 1. Объект исследования и математическая модель. Рассмотрим резервуар в форме перевернутого учесенного конуса, частично за- полненный жидкостью. Резервуар полагается абсолютно твердым телом, которое движется поступательно; жидкость считаем идеальной, несжимаемой, однородной, а ее начальное движение безвихревым. В классической постановке задачи Фарадея ре- зервуар совершает только вертикальные движения по заданному гармоническому за- кону ptH zz cos , а в обобщенной задаче Фарадея резервуар может также переме- щаться поступательно в горизонтальной плоскости вдоль поперечной оси OY. Кроме того, рассмотрено обобщение задачи Фарадея, когда резервуар движется только вер- тикально под действием силы, а также с возможностью поступательного движения в горизонтальной плоскости вдоль оси OY. Поступательные перемещения резервуара вдоль осей OZ и OY задаются переменными yz  , , соответственно; pH z , – ампли- туда и частота внешнего параметрического воздействия, zF – функция внешней вер- тикальной силы. Величина внешней вертикальной силы zF подбирается таким обра- зом, чтобы обеспечить резервуару такое же ускорение вдоль оси OZ, как и в случае классической задачи Фарадея. Согласно методу работы [10], математическая модель системы “резервуар – жид- кость со свободной поверхностью“ в резервуаре нецилиндрической формы строится на основе вариационного принципа Гамильтона – Остроградского 51 = 0, I где 2 1 = , t t I Ldt при этом функция Лагранжа задается в классической форме Гамильтона – Остроград- ского как разность между кинетической и потенциальной энергией 2 2 2 2 3 1 1 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 2T T F z S L d M M M g g H dS F                         где  – плотность жидкости;  – область, занимаемая жидкостью; dzrdrdd  = – элемент объема в цилиндрических координатах, причем ось Oz направлена противо- положно вектору ускорения свободного падения g  , а система координат неподвижно связана с резервуаром;  – потенциал скоростей жидкости;  – возмущение свобод- ной поверхности жидкости по отношению к невозмущенной свободной поверхности некапиллярной жидкости; S – поперечное сечение цилиндрического резервуара; H – глубина жидкости в резервуаре; resM – масса резервуара; liqM – масса жидкости; },,{ zyx   — вектор перемещения резервуара; F  – главный вектор внешних сил, действующих на стенки резервуара; z i r i r i          3213 1 =   ,       r i r i 1 = 212  . Основная идея решения задачи в вариационной постановке заключается в сведе- нии описания задачи к минимальному числу независимых переменных, описывающих движение резервуара с жидкостью, т.е. фактически требуется построить разложения искомых переменных, удовлетворяющие всем кинематическим граничным условиям. Так как безвихревое движение идеальной однородной несжимаемой жидкости полно- стью определяется движением ее границ, возмущения свободной поверхности жидко- сти  и радиус-вектор перемещения резервуара )(t полностью характеризуют дви- жение объема жидкости и поэтому потенциал скоростей жидкости  следует считать зависимой переменной. Нелинейная краевая задача динамики ограниченного объема жидкости со свобод- ной поверхностью в отличие от цилиндрического случая содержит сложности при решении, связанные с тем, что область определения формы возмущенной поверхно- сти изменяется во времени и не совпадает с невозмущенной свободной поверхностью. Поэтому для описания движения жидкости и по аналогии с работами [2, 10] вводится недекартова параметризация области, занимаемой жидкостью  , т. е. )(zf r  ; H z  . (1) Здесь )(zfr  – уравнение образующей полости, заданное в цилиндрической систе- ме координат; H – глубина полости, а 0z совпадает с невозмущенной свободной поверхностью жидкости 0S . В параметрах  ,  ,  , которые вводятся вместо ци- линдрической системы координат, область, занимаемая жидкостью, принимает ци- линдрическую форму ],1,0[ ]2,0[   , а в невозмущенном состоянии   [ 1,0] . Поэтому уравнение свободной поверхности жидкости в возмущенном со- стоянии можно представить в виде, разрешенном относительно  , т. е. 1 ( , , ).t H     52 Следуя методике работ [2, 10], разложения искомых переменных представим в виде ( ) ( ) ( );i i i i r t a T          )(),(0  ii i i Tb , (2) причем 0 0 1 ( ) .i i i i f z H f                       Условие разрешимости исходной задачи Неймана для потенциала скоростей  заключается в выполнении граничных условий непротекания: через боковые стенки 0 в невозмущенном состоянии; через возмущенную свободную поверхность S и через продолжение боковой поверхности  , до которого может достигать жидкость на гребнях волн, 0 0 S d d dS n n n                  . (3) Выполнение этих кинематических по своей природе условий разрешимости (3) следует производить независимо для каждой поверхности и с высокой точностью. Ес- ли граничные условия на стенах в невозмущенном состоянии удовлетворяются на ос- нове решения линейной задачи, то для выполнения условий на свободной поверхно- сти необходимо удовлетворять нелинейным соотношениям   0 2 1 2 0 0 0 0 ( ) 0 H V V V d d f H d H d d                             – для определения величины  и 0 0 0 0 2 2 2 1 1 f t f z zf f                                 , при ),,( 1 t H   для уточненного выполнения граничного условия на свободной поверхности жидко- сти и исключения нелинейной зависимости между потенциалом скоростей и возму- щениями свободной поверхности жидкости. Для удовлетворения граничному усло- вию на продолжении боковой границы  применяется метод вспомогательной об- ласти [10], который позволил построить координатные функции для большинства практически важных резервуаров (цилиндр, усеченный конус, гиперболоид, парабо- лоид, эллипсоид) с точностью до 510 на поверхности 0 и с точностью 310 на продолжении боковой границы  . Условия на свободной поверхности удовлетво- рялись с точностью до кубических членов. На основе разработанного метода, базируюшегося на идеях аналитической меха- ники, вариационных методов математической физики и асимптотических методов не- линейной механики, построена [2, 10, 11] математическая модель механической сис- темы “резервуар нецилиндрической формы – жидкость со свободной поверхностью“ минимальной размерности, позволяющая исследовать поступательные движения ме- ханической системы при различных видах кинематического возмущения и динамиче- ского возбуждения. Эта модель представляет собой систему нелинейных обыкновен- ных дифференциальных уравнений второго порядка относительно независимых па- раметров ia – коэффициентов разложений в ряд возмущений свободной поверхности 53 жидкости  по формам колебаний свободной поверхности i и i – компонент век- тора перемещений центра невозмущенной свободной поверхности жидкости относи- тельно некоторой неподвижной системы отсчета            kj irjkkj j irjjir i i VaaVaVa , 321            kji rijkkji ji rijji i riir UaaaUaaUaU ,, 4 , 321    kji ijkrkji ji ijrji VaaaVaa ,, 3 , 2  (4)            kji ijkrkji ji irjji i iri UaaaUaaUa ,, 4 , 3*2       2 3 4 , , , 3 2 1,2,... ; 2i ir i j ijr i j k ijkr i i j i j k g a W a a W a a a W r N                                       i j kj ijkkjijjii liqrez UaaUaUa MM , 321 )( (5) 2 3 0 , 2 . ( ) ( ) i j ij k ijk i j kres liq res liq F gz a a U a U M M M M                   Система (4) – (5) включает в себя 3 N уравнений ( N – число рассматриваемых форм колебаний жидкости) и описывает динамику совместного движения резервуара и жидкости при различных видах кинематического возмущения и динамического воз- буждения. Уравнения (4) описывают динамику амплитуд ia форм колебаний свобод- ной поверхности жидкости, а уравнения (5) – динамику поступательного движения резервуара i , однако эти уравнения взаимозависимы и включают силы взаимодейст- вия между компонентами механической системы. Совокупность коэффициентов, входящих в уравнения (4) – (5), определяет свойст- ва рассматриваемой механической системы и особенности проявления в ней внутрен- них линейных и нелинейных связей. Эти коэффициенты определяются через квадра- туры от решения краевой задачи по определению форм колебаний свободной поверх- ности жидкости для произвольного числа форм колебаний жидкости [10]. 2. Обобщение классической задачи Фарадея для случая колебаний жидкости в баке в форме усеченного конуса. Все численные примеры выполнены для случаев усеченного конического резер- вуара на основе расчетной схемы работ [2, 10] при учете десяти форм колебаний жид- кости и в рамках нелинейной модели, принимающей во внимание совместный харак- тер движения резервуара и жидкости со свободной поверхностью. 54 Прежде всего рассмотрим случай неклассической задачи Фарадея для случая на- чальных возмущений жидкости по оси Ox с амплитудами 0,02; 0,05; 0,08; 0,1 для усе- ченных конических резервуаров с радиусами днищ 0;R  0,25;R  0,5;R  0,75;R  1,00R  (заметим, что первый вариант соответствует неусеченному конусу, а последний вариант – цилиндру). Рассмотрена задача, когда система приводится в движениe вертикальной силой, частота которой в два раза больше собственной частоты по первой форме, а амплиту- да силы принималась равной половине веса системы. Результаты исследований при- ведены в таблице, где представлены максимумы наблюдаемых волн и время их про- явления. Таблица максимумов R=0 R=0,25 R=0,5 R=0,75 R=1 )0(2a max maxt max maxt max maxt max maxt max maxt 0,02 0,105 48,42 0,1094 46,7 0,1101 43,17 0,112 40,25 0,1149 38,12 0,05 0,1074 26,36 0,1118 24,38 0,1126 22,54 0,1146 22,63 0,1165 21,44 0,08 0,1188 14,31 0,1216 13,22 0,1226 12,21 0,1242 13,02 0,125 12,33 0,1 0,1303 10,31 0,1326 9,51 0,1334 8,78 0,1347 9,83 0,1356 7,75 Анализ табличных данных позволяет сделать следующие выводы. Независимо от амплитуды начальных возмущений в системе устанавливаются подобные предельные волны, при этом чем больше начальное возмущение в системе, тем меньше времени требуется на выход на предельную волну. Если обратить внимание на влияние накло- на стенок и площади днища на величины предельных волн, то видно, что максималь- ные волны развиваются в случае цилиндрического резервуара, когда площадь днища максимальна, а отклонение формы резервуара от цилиндрической минимально. Такая зависимость монотонна и в случае неусеченного конуса (площадь днища ноль, наклон стенок по сравнению с цилиндрической формой максимален) амплитуда предельной волны минимальна. В целом зависимость предельных волн от наклона стенок резер- вуара является достаточно слабой (отличия не превышают 10% для рассматриваемых случаев). Типичные картины волн представлены на рис. 1, 2 (рис. 1 соответствует случаю обратного конуса, а рис. 2 – случаю цилиндра; в обоих случаях принималось начальное возмущение по первой антисимметричной форме с амплитудой 0,1 радиуса свободной поверхности). При этом заметен эффект модуляции колебаний, который в классической задаче Фарадея не проявляется и обусловлен фактором совместности движения резервуара с жидкостью при возбуждении движения силой, приложенной к резервуару в вертикальном направлении. Рис. 1 Рис. 2 55 Рассмотрим также случай развития колебаний на свободной поверхности в резер- вуаре конической формы при заданных вертикальных движениях резервуара, однако для случая, когда резервуар может совершать совместные движения в горизонтальном направлении, обусловленные взаимодействием жидкости со стенками резервуара. Для сравнения рассмотрим случай, когда движение резервуара в поперечном на- правлении исключается (классическая задача Фарадея). В обоих случаях начальное возмущение по первой форме принимается с амплитудой 0,025, а вертикальные коле- бания системы происходят с амплитудой 0.01 на удвоенной собственной частоте ко- лебаний по первой антисимметричной форме. Важно отметить, что для классической и неклассической постановок задач частоты колебаний будут отличаться. Так, собст- венная частота колебаний по первой форме в классической задаче Фарадея будет 3,13209 Гц (совпадает с парциальной частотой), тогда как частота совместных коле- баний жидкости со свободной поверхностью по первой форме с учетом совместности движения жидкости и резервуара будет 5,36356 Гц (для случая, когда масса резервуа- ра равно 13,8% от массы жидкости). Изменение частот происходит более чем в 1,7 ра- за. Соответственно, параметрические резонансы происходят для классической и не- классической задач Фарадея на разных частотах. Результаты определения роста ам- плитуды колебаний жидкости на стенке резервуара во времени для классической и неклассической задач Фарадея представлены на рис. 3 и 4, соответственно. Рис. 3  T Рис. 4 56 3a T Рис. 5 Отметим, что в случае классической задачи Фарадея рост возмущений жидкости на стенке резервуара происходит с огибающей, меняющейся монотонно. В тоже вре- мя в случае неклассической задачи изменение амплитуд колебаний жидкости на стен- ке происходит при наличии существенной модуляции. Анализ изменения амплитуды осесимметричной формы 3a как показателя степени нелинейности процессов также значительно отличается (pис. 5). Если для классической задачи Фарадея амплитуда 3a также меняется монотонно, то в неклассической варианте задачи Фарадея с уче- том совместности движения жидкости и несущего тела характер изменения 3a слож- нее. Так, в моменты времени между 32 и 40 сек происходит увеличение амплитуд ко- лебаний на свободной поверхности и 3a растет. Такой рост 3a отображает нелиней- ность профилей волн, когда высота гребня волны превышает глубину впадины. Таким образом, в неклассическом варианте задачи Фарадея сильнее и раньше во времени проявляются нелинейные эффекты. Заметим также, что эффекты совместности дви- жения в системе «резервуар – жидкость со свободной поверхностью» для случая ко- нического резервуара проявляются существеннее, чем для случая цилиндрического резервуара. Это обусловлено тем, что в коническом резервуаре зона малоподвижной жидкости у дна значительно меньше, чем в случае цилиндрического резервуара. В модели системы это связано с изменением величины коэффициента 1 rU  , определяю- щего меру взаимосвязи движения по форме колебаний r (в данном случае первой ан- тисимметричной формы) с параметром поступательного движения резервуара. Выводы. В работе исследована нелинейная динамика механической системы «резервуар – жидкость со свободной поверхностью» в обобщенной задаче Фарадея, когда рассмот- рены резервуары нецилиндрической формы с разными наклонами стенок, а также в систему вносилась дополнительная степень свободы – возможность поступательного движения резервуара в горизонтальной плоскости за счет колебаний свободной по- верхности жидкости. В отличие от классического случая, когда движение резервуара принято задан- ным, задача рассмотрена в совместной постановке. Показано, как наклон стенок влия- ет на рост амплитуды волн на поверхности жидкости в режиме параметрического ре- зонанса. Исследован также случай обобщенной задачи Фарадея для конического ре- зервуара, совершающего заданные вертикальные и совместные с жидкостью горизон- тальные движения. Установлено значительное (до 1,7 раз) изменение частот проявле- 57 ния параметрического резонанса, обусловленных совместностью движения компо- нент системы (для случая обратного конуса такое увеличение частоты значительно больше, чем в случае цилиндрического резервуара, где объем жидкости у дна сущест- венно больше) и более раннее и существенное проявление нелинейных эффектов взаимодействия по сравнению с классическим вариантом задачи Фарадея. Р Е ЗЮМ Е . Досліджено нелінійну динаміку механічної системи "резервуар – рідина з вільною поверхнею" для узагальненої задачі Фарадея у випадку резервуара нециліндричної форми. На відміну від класичної постановки задачі Фарадея, в системі допускається додатковий ступінь свободи – мож- ливість поперечного руху резервуару в горизонтальній площині; також резервуар може виконувати вертикальні гармонічні коливання як за заданим законом (як в класичній задачі Фарадея), так і під ді- єю вертикальної сили. Розглянуто випадок параметричних коливань вільної поверхні рідини для ре- зервуарів нециліндричної форми. Показано, що при наявності додаткового ступеня свободи динаміч- ні процеси в системі розвиваються як сукупність параметричного резонансу і вимушених коливань. В цьому випадку система може здйснювати нелінійні коливання як за рахунок кінематичних збурень, так і за рахунок динамічного збудження (сили). Встановлено вплив нахилу стінок резервуара на роз- виток параметричних коливань. 1. Константінов О.В., Лимарченко О.С. Узагальнена задача Фарадея про рух резервуару з рідиною // Фіз.-матем. моделювання та інформац. технології. – 2012. – Вип. 16. – С. 76 – 85. 2. Лимарченко О.С., Ясинский В.В. Нелинейная динамика конструкций с жидкостью. – К.: НТТУ КПИ, 1997. – 338 с. 3. Ibrahim R.A. Liquid Sloshing Dynamics. – Cambridge: Cambridge University Press, 2005. – 970 p. 4. Ibrahim R. Recent advances in physics of fluid paranetric sloshing and related problems // J. of Fluid Engineering. – September 2015. – 135. – P. 090801-1 – 090801-52. 5. Ikeda T. Autoparametric Resonances in Elastic Structures Carrying Two Rectangular Tanks Partially Filled with Liquid // J. Sound and Vibr. // 2007. – 302, N 4 – 5. – P. 657 – 682. 6. Ikeda T., Murakami Sh. Nonlinear Vibrations of Elastic Structures Containing a Cylindrical Liquid Tank under Vertical Excitation // J. Syst. Design and Dynam. – 2008. – 2, N 3. – P. 822 – 836. 7. Ikeda T., Murakami Sh., Ushio Sh. Nonlinear Parametric Vibrations of Elastic Structures Containing Two Cylindrical Liquid-Filled Tanks // J. Syst. Design and Dynam. – 2009. – 3, N 1. – P. 120 – 134. 8. Kubenko V.D., Koval’chuk P.S. Modeling the Nonlinear Interaction of Standing and Traveling Bending Waves in Fluid-Filled Cylindrical Shells Subject to Internal Resonances // Int. Appl. Mech. – 2015. – 50, N 3. – P. 353 – 364. 9. Kubenko V.D., Koval’chuk P.S. Stability and Nonlinear Vibrations of Closed Cylindrical Shells Inter- acting with a Fluid Flow (Review) // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 1. – P. 12 – 63. 10. Limarchenko O.S. Peculiarities of application of perturbation techniques in problems of nonlinear os- cuillations of liquid with a fre surface in cavities of non-cylindrical shape // Укр. матем. журн. – 2007. – 59, № 1. – P. 44 – 70. 11. Limarchenko O.S., Semenova I.Yu. Nonlinear wave generation on a fluid in a moving parabolic tank // Int. Appl. Mech. – 2011. – 46, N 8. – P. 864 – 868. 12. Limarchenko O.S., Tkachenko R.V. Influence of Spring Attachment on the Dynamics of a Fluid-Filled Cylindrical Tank on a Moving Platform // Int. Appl. Mech. – 2015. – 50, N 3. – P. 289 – 294. Поступила 28.12.2015 Утверждена в печать 05.07.2016

Задача о параметрических колебаниях резервуара нецилиндрической формы с жидкостью со свободной поверхностью

Institution

Ähnliche Einträge