О решении третьей однородной краевой задачи деформирования трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием при всестороннем растяжении
За допомогою методу розвинення шуканих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра спільно з методом збурення форми границі одержано розв'язок задачі про напружений стан необмеженої трансверсально-ізотропної пластини з криволінійним (не круговим) отвором. Пластина перебуває під дією рівном...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2016
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145149 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О решении третьей однородной краевой задачи деформирования трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием при всестороннем растяжении / И.Ю. Хома, О.Г. Дашко // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 58-70. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859742306015379456 |
|---|---|
| author | Хома, И.Ю. Дашко, О.Г. |
| author_facet | Хома, И.Ю. Дашко, О.Г. |
| citation_txt | О решении третьей однородной краевой задачи деформирования трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием при всестороннем растяжении / И.Ю. Хома, О.Г. Дашко // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 58-70. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | За допомогою методу розвинення шуканих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра спільно з методом збурення форми границі одержано розв'язок задачі про напружений стан необмеженої трансверсально-ізотропної пластини з криволінійним (не круговим) отвором. Пластина перебуває під дією рівномірного всебічного розтягу на нескінченності, а на поверхні отвору задано нульові значення нормального переміщення і дотичних напружень. Наведено числові результати та надано їх аналіз.
A solution of the problem on the stress state of infinite transversely isotropic plate with curvilinear (non-circular) hole is obtained using the method of expanding the unknown functions into the Fourier series by Legendre functions together with the boundaryshape perturbation method. It is assumed that the plate is uniformly tensed at infinity and the normal displacement and tangential stresses are zero on the hole surface. The numerical data are analyzed.
|
| first_indexed | 2025-12-01T18:20:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 6
58 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, № 6
И .Ю .Х о м а , О . Г .Д аш к о
О РЕШЕНИИ ТРЕТЬЕЙ ОДНОРОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С
КРИВОЛИНЕЙНЫМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИ ВСЕСТОРОННЕМ РАСТЯЖЕНИИ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: reolog@inmech.kiev.ua
Abstract. A solution of the problem on the stress state of infinite transversely isotropic
plate with curvilinear (non-circular) hole is obtained using the method of expanding the un-
known functions into the Fourier series by Legendre functions together with the boundary-
shape perturbation method. It is assumed that the plate is uniformly tensed at infinity and the
normal displacement and tangential stresses are zero on the hole surface. The numerical data
are analyzed.
Key words: infinite transversely isotropic plate, stress state, curvilinear (non-circular)
hole, elliptical hole, quadratic hole, triangular hole.
Введение.
Изучению концентрации напряжений около отверстий в нетонких пластинах по-
священы многие публикации [7, 10, 18 – 21, 24 и др.]. На рассмотрении этого класса
задач апробируются разные подходы и методы: методы однородных решений [11, 13],
асимптотический [8], конечно-элементный [22, 23], разложения по толщине [1, 16]. В
работах [6, 15] изложена методика решения задач о напряженном состоянии нетонких
трансверсально-изотропных пластин с криволинейными (некруговыми) отверстиями.
В основу решения положен метод разложения искомых функций в ряды Фурье по по-
линомам Лежандра координаты толщины [1, 9, 12] и метод возмущения формы гра-
ницы [2, 5]. Изложенным способом в [17] получено решение задачи о распределении
напряжений около криволинейного (эллиптического, квадратного и треугольного) от-
верстия в трансверсально-изотропной пластине, находящейся в поле равномерного
всестороннего растяжения, при условии свободного от внешних усилий контура.
Ниже рассмотрена аналогичная задача о равномерном растяжении неограничен-
ной пластины с криволинейным отверстием, на контуре которого заданы однородные
(нулевые) условия для нормального смещения и касательных напряжений, т.е. один
из возможных вариантов третьей краевой задачи теории упругости [3].
§1. Постановка задачи. Основные уравнения и соотношения.
Примем, что пластина толщиной 2h ( consth ) отнесена к декартовой системе
координат ix ( 1,2,3i ), причем 1 2,x x принадлежат серединной плоскости S , совпа-
дающей с плоскостью изотропии, а 3 ,x h h . Пластина, рассматриваемая как трех-
мерное тело, ослаблена некруговой цилиндрической полостью ,L h h , кривая L
которой незначительно отличается от окружности радиуса R . На поверхности полос-
ти заданы нулевые значения для нормального перемещения и касательных напряже-
ний, а на бесконечности пластина находится под действием равномерного всесторон-
него растяжения.
59
Для решения задачи воспользуемся методом разложения искомых функций в ря-
ды Фурье по полиномам Лежандра kP и методом возмущения формы границы.
Представим, следуя [1, 15], компоненты вектора перемещений 1 2 3, ,ju x x x и тензора
напряжений 1 2 3, ,ij x x x в виде
1 2 3 1 2 3
0
, , , , , ,
N
k k
j ij j ij k
k
u x x x x x x u x x P
, (1.1)
где 1 2( , )x x x S ; 1
3 1,1h x ; k
ju x ; k
ij x – коэффициенты разложений,
именуемые ниже моментами (номер момента соответствует порядку полинома Ле-
жандра); N – натуральное число, которое примем четным 2N n ( 0,1,...,n ).
Относительно моментов напряжений ( )k
ij , как функций двух независимых пере-
менных, получаем [15] систему уравнений
( ) 1 ( ) ( )
3
0
2 1 0
K
k k k
j jj
s
k h f
1,2,3; 0,j k N . (1.2)
Здесь x 1,2 ; 1 2K k ; символ K обозначает целую часть числа
K ; ( )k
jf – свободные члены, содержащие заданные значения напряжений 3 j и 3 j
на плоских гранях 3x h . Соотношения упругости для анизотропного тела имеют вид
( ) ( )k k
ij ijlm lmc , (1.3)
где ijlmc – упругие постоянные, удовлетворяющие условиям симметрии [4]; ( )k
im –
моменты деформаций, определяемые равенствами
( ) ( )k k
j ju 1,2 ;
( ) 1 ( 2 1)
3
0
2 1
kN
k k s
jj
s
k h u
1,2,3j . (1.4)
В приведенных равенствах 1 2kN N k (по повторяющимся индексам под-
разумевается суммирование, причем греческие буквы принимают значения 1, 2, а ла-
тинские – 1, 2, 3).
Если внести значения функций (1.3), (1.4) в равенства (1.2) и принять напряжения
3 j = 3 j =0, то получим однородную систему уравнений относительно моментов век-
тора перемещений. Для трансверсально-изотропной пластины она распадается на две
группы уравнений, описывающих, соответственно, симметричное и кососимметрич-
ное (по отношению к срединной плоскости S ) деформирование пластины. При сим-
метричном деформировании система уравнений имеет вид [14]
2 12 2 21 ( ) 1 ( )
66 12 66 442 1 3 2
1
4 1 0
n
sk k sk k
s s
s
c u c c e k h u c h u
1,2; 0,k n ;
2 1 2 121 ( ) 1 ( )
44 333 2 2 1 3
0
4 1 0
n
k ssk k
s s
s
c u k h e c h u
1,k n , (1.5)
60
где – оператор Лапласа; (2 ) (2 )k ke u ;
44
2 1
13
,1 ;
, ;
k
s
c s k
c k s n
13
2
44
,0 ;
, ;
k
s
c s k
c k s n
( )
2 1
k
s , ( )
2
k
s – абсолютные константы:
2 1
2 1 ,1 ;
2 1 , ;
k
s
s s s k
k k k s n
2
2 1 ,1 ;
2 1 , );
k
s
s s s k
k k k s n
11 12 66, ,...,c c c – упругие постоянные, определяемые формулами
2
11 1c e E d ; 2
12c e E d ; 13 1c E d ;
2
33 1c E ed ; 44c G ; 66 2 1c G E ; 21 1 2d e .
Здесь e E E ; , и E , E – коэффициенты Пуассона и модули упругости в
плоскости изотропии и нормальной к ней плоскости; G – поперечный модуль сдвига.
Общее аналитическое решение системы уравнений (1.5) в комплексной форме
имеет вид [14]
2
0 * (0)
66
1
( ) ( ) ( )
n
z ll
l
c u z z z z h a V
κ ;
2
2 * 2 (2) (2)
66 2
1 1
( )
n n
z l s z sl
l s
c u h z h a V ih b W
κ ;
2
2 (2 ) (2 )
66
1 1
n n
k k k
z l s z sl
l s
c u h a V ih b W
2,k n ; (1.6)
2
1 * (1)
66 13
1
( ) ( )
n
ll
l
c u h z z c V
κ ;
2
(2 1) (2 1)
66 3
1
n
k k
ll
l
c u c V
2,k n ; (2 ) (2 ) (2 )
1 2
k k ku u iu ,
где z , z – произвольные голоморфные функции; lV и sW – метагармониче-
ские функции, удовлетворяющие равенствам
2 0l l lV k h V ; 2 0s s sW h W , (1.7)
в которых параметрами lk и s являются корни соответствующих характеристиче-
ских уравнений; (2 )k
la , (2 )k
sb , (2 1)k
lc – безразмерные константы;
* 66
1 11
2
1
c
c c
; * 13 66
1
1 11 33
2c c
c c c
;
*
* 1
2
2
3
κ
;
2
13
11 33
1
c
c
c c
; 66
1
11
c
c c
c
.
При симметричном деформировании трансверсально-изотропной пластины урав-
нения состояния (1.3) в комплексной форме представим таким образом:
61
(2 ) (2 ) (2 ) 1 (2 1)
12 66 1311 22 3
1
2 4 1
n
k k k s
s k
c c e k c h u
;
(2 ) (2 ) (2 ) (2 )
6611 22 122 4k k k k
zi c u ; (2 ) (2 ) 1 (2 1)
13 3333 3
1
4 1
n
k k s
s k
c e k c h u
0,k n ;
(2 1) (2 1) (2 1) (2 1) 1 (2 )
4413 23 32 4 1
n
k k k k s
z
s k
c u k h u
1,k n . (1.8)
С учетом значений функций (1.6), соотношения (1.8) примут вид
2
(0) (0) 1 (0)
11 22
1
4 ( ) ( ) 2
n
ll
l
z z h d V
;
2
(0) 1 (0)
33 3
1
n
ll
l
h d V
;
2
(0) (0) (0) (0) 2
11 22 12
1
2 4
n
z ll
l
i z z z h a V
;
2
(2) (2) (2) (2) 2 (2) 2
211 22 12
1 1
2 4 ( )
n n
z l s z sl
l s
i h h z a V i b W
κ ;
2
(2 ) (2 ) 1 (2 )
11 22
1
2
n
k k k
ll
l
h d V
;
2
(2 ) 1 (2 )
33 3
1
n
k k
ll
l
h d V
1,k n ; (1.9)
2
(2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 2 (2 ) 2
11 22 12
1 1
2 4
n n
k k k k k
z l s z sl
l s
i h a V i b W
2,k n ;
2
(2 1) (2 1) (2 1)
1 1
2
n n
k k k
z l s z sl
l s
p V i q W
1,k n ,
где 2k
ld , 2 1k
lp , 2 1k
sq – постоянные, определяемые равенствами
(2 ) (2 ) 13 (2 1)12 66
166 66
4 1
2
n
k k s
ll l l
s k
k cc c
d a k c
c c
;
(2 ) (2 ) 33 (2 1)13
3
166 66
4 1
2
n
k k s
ll l l
s k
k cc
d a k c
c c
;
(2 1) (2 1) (2 )44
66
2 4 1
2
n
k k s
l l l
s k
c
p c k a
c
;
(2 1) 44 (2 )
66
4 1
2
n
k l
s s
l k
k c
q b
c
.
Введем полярную систему координат ,r и воспользуемся формулами преобразования
(2 ) (2 ) (2 ) 2 (2 ) (2 ) (2 )
11 22 122 2k k k i k k k
rr ri e i
;
(2 ) (2 ) (2 ) (2 )
11 22
k k k k
rr ; (2 1) (2 1) (2 1)
3 3
k k i k
r i e
; (1.10)
62
(2 ) (2 ) (2 )k k i k
ru iu e u
.
Отсюда получаем необходимые выражения для краевых условий соответствующих
задач. В частности, для сформулированной третьей краевой задачи имеем равенства
(2 ) (2 )
66 66Rek k i
rc u c u e
; (2 1) (2 1)
3 Rek k i
r e
;
(2 ) 2 (2 ) (2 ) (2 )
11 11 112 Im 2k i k k k
r e i
. (1.11)
Для бесконечной области S , ограниченной кривой L , голоморфные функции
z , z примем в виде
1
n
n
n
z z a z
;
1
n
n
n
z z b z
, (1.12)
где na , nb – произвольные постоянные; , – константы, определяемые напряже-
ниями, заданными на бесконечности, т.е.
(0) (0)
11 22
1
4
; (0) (0) (0)
22 11 12
1
2
4
i .
При равномерном всестороннем растяжении пластины – (0) (0)
11 22 p ; (0)
12 0
и, следовательно, 2p ; 0 .
Вид метагармонических функций mV и sW зависит от значений корней
характеристических уравнений, которые могут быть действительными и
комплексными. Так, если 1k и 2k – отрицательный и положительный вещественные
корни, а 3k и 4k – комплексно-сопряженные корни, то
1
1 1
in
n n
n
V A Y rR x e
; 1
2 2
in
n n
n
V B K rR x e
;
(1) 1
3 3
in
n n
n
V C H rR x e
; (2) 1
4 2
in
n n
n
V D H rR x e
, (1.13)
где 1
1nY rR x , 1
2nK rR x , (1) 1
3nH rR x , (2) 1
4nH rR x – циллиндрические
функции Неймана, Макдональда, Ханкеля первого и второго рода, m mx Rl h ,
1 1l k , 2 2l k , 3 3l k , 4 3l l ; nA , nB , nC , nD – произвольные постоянные.
Аналогичный вид имеют метагармонические функции sW (здесь использованы
цилиндрические функции, затухающие на бесконечности).
Для однородных условий (1.11) следует, что
(2 ) , 0k
r r R
u r
; (2 ) , 0k
r r R
r
0,k n ;
(2 1)
3 , 0k
r r R
r
1,k n . (1.14)
Отсюда, учитывая формулы (1.6), (1.9), (1.11) и значения функций (1.12), (1.13),
получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных констант.
По полученным функциям определим составляющие компонент напряжений в окре-
стности кругового отверстия.
63
§2. Пластина с криволинейным отверстием.
Пусть пластина ослаблена некруговым отверстием, контур L которого незначи-
тельно отличается от кругового контура радиуса R и описывается уравнениями [5]
1 cos cosx R m ; 2 sin sinx R m , (2.1)
где m – целое положительное число; – малый параметр. При определенных значе-
ниях m и получаем отверстия соответствующей формы: эллиптическое, квадрат-
ное и треугольное с закругленными углами. Функцию, конформно отображающую
внешнюю область единичного круга на бесконечную область, ограниченную кривой
(2.1), задаем формулой
1z x iy R f . (2.2)
Здесь 1x x R , 2y x R , iz re , ie , mf ; x и y – безразмерные де-
картовы координаты; и – ортогональные криволинейные координаты.
Поскольку криволинейная система координат , , повернута на некоторый
угол относительно полярной системы 3, ,r x вокруг общей оси 1
3h x , то
имеют место аналогичные (1.10) формулы преобразования
(2 ) (2 ) (2 ) 2 (2 ) (2 ) (2 )2 2k k k i k k k
rr ri e i
;
(2 ) (2 ) (2 ) (2 )k k k k
rr ; (2 ) (2 )
33
k k
0,k n ; (2.3)
(2 1) (2 1) (2 1) (2 1)
3 3
k k i k k
ri e i
1,k n ;
(2 ) (2 ) (2 ) (2 )k k i k k
ru iu e u iu
,
где ( ) ( ) ( , )k m
i j i j ( , , ,i j ), ( ) ( ) ( , )k k
ij ij r ( , , ,3i j r ).
Согласно (2.2), связь между переменными ,r и , устанавливается равенствами
r ;
Im
arctg
Re
, (2.4)
а экспонента ie определяется формулой [5]
ie
. (2.5)
Основные уравнения (1.7) в переменных , с учетом равенств (2.4) будут слож-
ны, и получить их точное решение не представляется возможным. Поэтому, следуя [2,
5], решение задачи определим в виде рядов по положительным степеням малого па-
раметра , т.е.
( ) ( , ), ,k k
i j i j
;
( ) ( , ), ,k k
j ju u
. (2.6)
Пользуясь равенствами (2.3), необходимо и их правые части представить в виде
рядов по степеням параметра . Произвольные скалярные функции ( )Ф ( , )k r (в
частности, компоненты тензора напряжений и вектора перемещений), согласно [5],
представляем в виде ряда
64
( ) ( )1
Ф , Ф ,
!
k p k
p
p
r L
p
, (2.7)
где pL – операторы вида
0 1L ; 1L f f ; 2 2 2 2
2 2L f f f f ;…,
причем
2 i i
e
; 2 i i
e
;
экспонента ie из (2.5) раскладывается таким образом:
2
2
1 1 21 , , 2 , ...
2
ie i q q iq (2.8)
2 2 2 2 2
1 22 4
1 1
, Im ; , Im
2
q f f q f f
.
Учитывая разложения (2.6) – (2.8), из равенств (2.3) после ряда преобразований и
приравнивания выражений при одинаковых степенях параметра получим соотношения
(2 , ) (2 , ) ( ) (2 , ) (2 , )
1
0
k k j k j k j
rr
j
; (2 , ) ( ) (2 , )
1 33
0
k j k j
j
;
(2 , ) (2 , ) (2 , ) ( ) (2 , ) (2 , ) (2 , )
2
0
2 2k k k j k j k j k j
rr r
j
i i
; (2.9)
(2 1, ) (2 1, ) ( ) (2 1, ) (2 1, )
3 3 3
0
k k j k j k j
r
j
i i
;
(2 , ) (2 , ) ( ) (2 , ) (2 , )
3
1
k k j k j k j
r
j
u iu u iu
,
где ( )l
p – операторы следующего вида:
(0) 1p 1,2,3p ; (1)
11 L ; (1)
1 12 2L iq ; (1)
1 13 L iq ;
(2)
21
1
2
L ; (2) 21
2 1 1 1 22 2 2 2L q i q L q ; (2) 2
2 1 1 1 23
1
2
L q i q L q .
Напряжения, фигурирующие в правых частях равенств (2.9), представляются ана-
логичными (1.9), (1.10) формулами, в которых проведена формальная замена пере-
менных z , z на переменные , (или же переменных r , на , ).
Отсюда получаем выражения для краевых условий, которые записываем таким же
способом, как и для пластины с круговым отверстием. Следовательно, для рассматри-
ваемой задачи имеем
(2 , )
1
, 0ku
; (2 , )
1
, 0k
0,k n ;
(2 1, )
3 1
, 0k
1,k n . (2.10)
Таким образом, в каждом из приближений приходим к решению задачи для кру-
гового отверстия.
65
§3. Численные исследования. Анализ результатов.
Численные исследования напряженного состояния около криволинейных отвер-
стий в неограниченной трансверсально-изотропной пластине проведены при равно-
мерном всестороннем растяжении ёё на бесконечности. Расчеты выполнены для эл-
липтического, квадратного и треугольного отверстий. Параметры , m и R рассматри-
ваемых отверстий приняты такими, как в работе [5, с. 124, 128, 132]. Для эллиптического
отверстия 1m , a b a b , 2R a b , где a и b – полуоси эллипса.
Проведенные исследования распределения напряжений показали, что все напря-
жения принимают свои максимальные значения на краевой поверхности отверстия
( 1 ) в точках, соответствующих серединной ( 0 ) либо граничным ( 1 )
плоскостям пластины и монотонно изменяются на отрезках [ 1,0] и [0,1] .
p p 33 p
a b
1-е прибл. 2-е прибл. 1-е прибл. 2-е прибл. 1-е прибл. 2-е прибл.
1,0 0 1,3 1,3 0,7 0,7 0 0
0 1,3609 1,3663 0,7071 0,6930 0,0097 0,0082
1,1
1 1,3515 1,3584 0,6931 0,6814 -0,0003 -0,0002
0 1,4152 1,4348 0,7115 0,6641 0,0177 0,0123
1,2
1 1,3974 1,4221 0,6873 0,6455 -0,0005 -0,0003
0 1,4654 1,5057 0,7163 0,6187 0,0237 0,0137
1,3
1 1,4400 1,4905 0,6825 0,5964 -0,0007 -0,0003
0 1,5113 1,5773 0,7205 0,5611 0,0301 0,0129
1,4
1 1,4788 1,5614 0,6784 0,5377 -0,0008 -0,0002
0 1,5536 1,6487 0,7243 0,4945 0,0349 0,0105
1,5
1 1,5146 1,6334 0,6750 0,4724 -0,0010 0
В таблице приведены для первого и второго приближений значения нормальных
p , окружных p и поперечных 33 p напряжений на контуре отверстия
( 1 ) при 0 в точках на срединной ( 0 ) и граничной ( 1 ) плоскостях пла-
стины в зависимости от отношения полуосей эллипса a b . Упругие постоянные при-
няты такими: 0,35 ; 0,25 ; 1,25E E ; 2,5E G . Как видно из таблицы, до-
минирующими являются нормальные напряжения . Они незначительно изменя-
ются по толщине пластины и монотонно возрастают с увеличением отношения a b .
а
66
б в
Рис. 1
Для квадратного отверстия с закругленными углами: 3m ; 1 9 ; 0,9R a ;
где 2 a – диагональ квадрата. Численные расчеты были проведены при значении
упругих констант 0,3 ; 0,25 ; 1,5E E ; 2,5E G . На рис. 1, а, б, в пред-
ставлены кривые изменения нормальных p , окружных p и нормальных
поперечных 33 p напряжений в точке 1 , 4 (точка А), соответственно,
на срединной (кривая 1) и граничной (кривая 2) плоскостях пластины в зависимости от
отношения a h .
а б
Рис. 2
Как видно из графиков, максимальных значений напряжения в исследуемой точке
достигают на срединной плоскости пластины ( 0 ). С увеличением параметра a h
напряжения и на срединной плоскости уменьшаются, а на граничной – воз-
растают. Нормальные поперечные напряжения 33 на граничной плоскости почти ну-
левые и монотонно убывают, приближаясь к нулю на срединной плоскости.
Представленные на рис. 2, а, б кривые характеризуют изменения и по
контуру отверстия ( 0 2 ) на срединной (кривая 1) и граничной (кривая 2) плос-
костях пластины. Нормальные напряжения наибольшее значение принимают на
67
срединной плоскости в точке 1 , 4 . Кольцевые напряжения в этой точке на
граничной плоскости имеют минимальные значения.
а
б в
Рис. 3
Треугольное отверстие с закругленными углами описывается уравнениями (2.1), в ко-
торых 2m ; 1 4 ; 08 15R h , где 0h – высота правильного треугольника. Численные
расчеты были проведены при значении упругих констант 0,3 ; 0,25 ; 1,5E E ;
2,5E G . На рис. 3 а, б, в изображены графики изменения нормальных p , окруж-
ных p и поперечных 33 p напряжений в зависимости от относительной толщины
0h h в точке 1 , 9 (точка В), соответственно, на срединной (кривая 1) и гранич-
ной (кривая 2) плоскостях пластины. Как видно из рисунков, максимальных значений нор-
мальные напряжения достигают на граничной плоскости ( 1 ) и минимальных – на
срединной. С уменьшением относительной толщины пластины напряжения на гра-
ничной плоскости в исследуемой точке убывают, а на срединной – возрастают, стремясь к
общему значению. Выравнивание напряжений характерно и для . Нормальные попе-
речные напряжения 33 монотонно убывают, приближаясь к нулю.
На рис. 4, а – в представлены графики изменения напряжений , и 33 по
контуру треугольного отверстия ( 0 2 3 ), соответственно, на срединной (кри-
вая 1) и граничной (кривая 2) плоскостях пластины.
68
а б
в
Рис. 4
На рис. 5, а, б, в показано монотонное изменение напряжений по толщине пла-
стины для треугольного отверстия в точке 1 , 6 (точка С).
а
б в
Рис. 5
69
Рис. 6
Влияние упругих констант на величину нормальных поперечных напряжений 33 в
точке 0 ; 1 ; 0 (точка D) показано на рис. 6. Графики характеризуют зависимость
33 от отношения модулей упругости E E при двух значениях коэффициента Пуассона
0,2 и 0,4 . Кривые 1 соответствуют первому приближению, а кривые 2 – второму.
Таким образом, из проведенных исследований следует, что в рассмотренной
третьей однородной краевой задаче доминирующими являются радиальные напряже-
ния. Коэффициент их концентрации зависит от формы отверстия и упругих постоян-
ных материала. Так, в рассмотренных примерах в случае треугольного отверстия он
достигает четырех единиц.
Р Е ЗЮМ Е . Методом розвинення шуканих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра спі-
льно з методом збурення форми границі отримано розв'язок задачі про напружений стан необмеженої
трансверсально-ізотропної пластини з криволінійним (не круговим) отвором. Пластина перебуває під
дією рівномірного всебічного розтягу на нескінченності, а на поверхні отвору задано нульові значен-
ня нормального переміщення і дотичних напружень. Приведено числові результати та дано їх аналіз.
1. Векуа И.Н. Теория тонких пологих оболочек переменной толщины // Тр. Тбилис. матем. ин-та.
– 1965. – 30. – С. 3 – 103.
2. Гузь О.М. Про наближений метод визначення концентрації напружень навколо криволінійних
отворів в оболонках // Прикл. механіка. – 1962. – 8, № 6. – С. 605 – 612.
3. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башенейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математиче-
ской теории упругости и термоупругости. – Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1968. – 627 с.
4. Сулим Г. Т. Основи математичної теорії термопружної рівноваги деформівних твердих тіл з тонкими вклю-
ченнями. – Львів: Дослідно-видавничий центр НТШ, 2007. – 716 с.
5. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, В.Н. Чехов и др. – К.:
Наук. думка, 1980. – 686 с. – (Методы расчета оболочек: В 5-ти т.; Т. 1).
6. Хома І., Дашко О. Про напружений стан трансверсально ізотропної пластини з еліптичною циліндри-
чною порожниною // Зб. наук. праць «Теоретичні основи будівництва». – 2012. – 20. – P. 269 – 276.
7. Abbas Ibrahim A. Fractional Order GN Model on Thermoelastic Interaction in an Infinite Fibre-
Reinforced Anisotropic Plate Containing a Circular Hole // J. Comput. and Theor. Nanosci. –2014.
– 11, N 2. – P. 380 – 384.
70
8. Burniston E. E. On the Extension of an Infinite Elastic Plate Containing an Axisymmetric Hole // J. Appl.
Mech. – 1972. – 39, N 2. – P. 507 – 512.
9. Cicala P. Sulla teoria elastica della plate soltile // Giorngenio Civile. – 1959. – 97, N 4. – P. 238 – 256.
10. Darwish F., Gharaibeh M., Tashtoush G. A Modified Equation for the Stress Concentration Factor in
Countersunk Holes // Eur. J. Mech. A/Solids. – 2012. – 36. – P. 94 – 103.
11. Fil’stinskii L.A., Kovalev U.D. Vensel E.S. Solution of the Elastic Boundary Value Problem for a Layer
with Tunnel Stress Raisers // Int. J. Solids and Struct. – 2002. – 39. – P. 6385 – 6402.
12. Fellers J.I., Soler A.I. Approximate Solution of the Finite Cylinder Problem Using Legendre Polynomi-
als // AIAA J. – 1970. – 8, N 11. – P. 2037 – 2042.
13. Folias E.S., Wang J.S. On the Three-Dimensional Stress Fields around a Circular Hole in a Plate of Arbi-
trary Thickness // Comput. Mech. – 1990. – 6, N 5. – P. 379 – 391.
14. Khoma I.Yu. Representation of the Solution of the Equilibrium Equations for Non-Thin Transversely Iso-
tropic Plates // J. of Math. Scie. – 2000. – 101, N 6. – P. 3577 – 3584.
15. Khoma I.Yu. Tension of a Nonthin Transversely Isotropic Plate with a Noncircular Cylindrical Cavity
// Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 11. – P. 1285 – 1297.
16. Khoma I.Yu. Analytical Solution of the Equilibrium Equations for Nonthin Electroelastic Transversely
Isotropic Plates Polarized through the Thickness // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 4. – P. 430 – 445.
17. Khoma I.Yu., Dashko O.G. Stress State of a Nonthin Transversely Isotropic Plate with a Curved Hole
// Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 4. – Р. 461 – 473.
18. Maksimyuk V.A., Storozhuk E.A., Chernyshenko I.S. Stress-Strain State of Flexible Orthotropic Cylindri-
cal Shell with a Reinforced Circular Hole // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 4. – Р. 425 – 433.
19. Markenscoff X. Stress amplification in the neighborhood of an eccentric large hole in a strip in tension
// ZAMP. – 2000. – 51, N 4. – P. 550 – 554.
20. Rezaeepazhand J., Jafari M. Stress concentration in metallic plates with special shaped cutout // Int. J.
Mech. Sci. – 2010. – 52, N 1. – P. 96 – 102.
21. Sternberg E. Three-Dimensional Stress Constraint in the Theory of Elasticity // Appl. Mech. Rev. – 1958.
– 11, N 1. – P. 1 – 4.
22. Yang Zh. The Stress and Strain Concentrations of an Elliptical Hole in an Elastic Plate of Finite Sub-
jected to Tensile Stress // Int. J. Fract. – 2009. – 155. – P. 43 – 44.
23. Yang Zh., Kim Ch-Boo, Chjo Ch., Beom N.G. The Concentration of Stress and Strain in Finite Thickness
Elastic Plate Containing a Circular Hole // Int. J. Solids and Struct. – 2008. – 45. – P. 713 – 731.
24. Youngdahl C. K., Sternberg E. Three-Dimensional Stress Concentration Around a Cylindrical Hole in a
Semi-Infinite Elastic Body // J. Appl. Mech. – 1966. – 33, N 4. – P. 855 – 865.
Поступила 17.12.2015 Утверждена в печать 05.07.2016
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-145149 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T18:20:18Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Хома, И.Ю. Дашко, О.Г. 2019-01-16T18:27:20Z 2019-01-16T18:27:20Z 2016 О решении третьей однородной краевой задачи деформирования трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием при всестороннем растяжении / И.Ю. Хома, О.Г. Дашко // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 58-70. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145149 За допомогою методу розвинення шуканих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра спільно з методом збурення форми границі одержано розв'язок задачі про напружений стан необмеженої трансверсально-ізотропної пластини з криволінійним (не круговим) отвором. Пластина перебуває під дією рівномірного всебічного розтягу на нескінченності, а на поверхні отвору задано нульові значення нормального переміщення і дотичних напружень. Наведено числові результати та надано їх аналіз. A solution of the problem on the stress state of infinite transversely isotropic plate with curvilinear (non-circular) hole is obtained using the method of expanding the unknown functions into the Fourier series by Legendre functions together with the boundaryshape perturbation method. It is assumed that the plate is uniformly tensed at infinity and the normal displacement and tangential stresses are zero on the hole surface. The numerical data are analyzed. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика О решении третьей однородной краевой задачи деформирования трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием при всестороннем растяжении On Solution of the Third Homogeneous Boundary Problem of Deformation of a Transversally Isotropic Plate with Curvilinear Hole under Omni-Directional Tension Article published earlier |
| spellingShingle | О решении третьей однородной краевой задачи деформирования трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием при всестороннем растяжении Хома, И.Ю. Дашко, О.Г. |
| title | О решении третьей однородной краевой задачи деформирования трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием при всестороннем растяжении |
| title_alt | On Solution of the Third Homogeneous Boundary Problem of Deformation of a Transversally Isotropic Plate with Curvilinear Hole under Omni-Directional Tension |
| title_full | О решении третьей однородной краевой задачи деформирования трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием при всестороннем растяжении |
| title_fullStr | О решении третьей однородной краевой задачи деформирования трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием при всестороннем растяжении |
| title_full_unstemmed | О решении третьей однородной краевой задачи деформирования трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием при всестороннем растяжении |
| title_short | О решении третьей однородной краевой задачи деформирования трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием при всестороннем растяжении |
| title_sort | о решении третьей однородной краевой задачи деформирования трансверсально-изотропной пластины с криволинейным отверстием при всестороннем растяжении |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145149 |
| work_keys_str_mv | AT homaiû orešeniitretʹeiodnorodnoikraevoizadačideformirovaniâtransversalʹnoizotropnoiplastinyskrivolineinymotverstiemprivsestoronnemrastâženii AT daškoog orešeniitretʹeiodnorodnoikraevoizadačideformirovaniâtransversalʹnoizotropnoiplastinyskrivolineinymotverstiemprivsestoronnemrastâženii AT homaiû onsolutionofthethirdhomogeneousboundaryproblemofdeformationofatransversallyisotropicplatewithcurvilinearholeunderomnidirectionaltension AT daškoog onsolutionofthethirdhomogeneousboundaryproblemofdeformationofatransversallyisotropicplatewithcurvilinearholeunderomnidirectionaltension |