Устойчивость и закритическое поведение композитных цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами при внешнем давлении

Устойчивость и закритическое поведение композитных цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами при внешнем давлении

Запропоновано підхід до розв’язання задачі про нелінійне деформування ортотропних циліндричних оболонок, на поверхні яких є прогин, обмежений відрізками координатних ліній. Використовуються рівняння теорії оболонок Тимошенка – Міндліна, співвідношення асимптотичного методу Біскова – Хатчинсона, мето...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Прикладная механика
Datum:2016
Hauptverfasser: Семенюк, Н.П., Трач, В.М.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2016
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145151
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Устойчивость и закритическое поведение композитных цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами при внешнем давлении / Н.П. Семенюк, В.М. Трач // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 79-92. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-145151
record_format dspace
spelling Семенюк, Н.П.
Трач, В.М.
2019-01-16T18:32:58Z
2019-01-16T18:32:58Z
2016
Устойчивость и закритическое поведение композитных цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами при внешнем давлении / Н.П. Семенюк, В.М. Трач // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 79-92. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
0032-8243
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145151
Запропоновано підхід до розв’язання задачі про нелінійне деформування ортотропних циліндричних оболонок, на поверхні яких є прогин, обмежений відрізками координатних ліній. Використовуються рівняння теорії оболонок Тимошенка – Міндліна, співвідношення асимптотичного методу Біскова – Хатчинсона, методу неперервного продовження для розв’язку нелінійних алгебраїчних рівнянь. При розрахунку критичних навантажень і траєкторії деформування визначається кількість взаємодіючих мод, яка достатня для отримання задовільного за точністю результату. Наведено приклади розрахунку композитних оболонок с додатними та від’ємними амплітудами початкових прогинів.
An approach to solving the problem on nonlinear deformation of orthotropic cylindrical shells is proposed. It is assumed that the surface of shell has a local deflection restricted by segments of coordinate lines. The equations of the Timoshenko-Mindlin shell theory, relationships of the Byskov-Hatchinson asymptotic method, continuum extension method are used in the process of solving the nonlinear algebraic equations. While the critical loads and trajectories of deformation are evaluated, the number of interacting modes is determined that is sufficient for the satisfactory by exactness result. The examples of analysis of composite shells with positive and negative amplitudes of initial local deflections are shown.
ru
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
Прикладная механика
Устойчивость и закритическое поведение композитных цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами при внешнем давлении
Stability and Post-Buckling Behavior of Composite Cylindrical Shells with Local Imperfections under External Pressure
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Устойчивость и закритическое поведение композитных цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами при внешнем давлении
spellingShingle Устойчивость и закритическое поведение композитных цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами при внешнем давлении
Семенюк, Н.П.
Трач, В.М.
title_short Устойчивость и закритическое поведение композитных цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами при внешнем давлении
title_full Устойчивость и закритическое поведение композитных цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами при внешнем давлении
title_fullStr Устойчивость и закритическое поведение композитных цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами при внешнем давлении
title_full_unstemmed Устойчивость и закритическое поведение композитных цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами при внешнем давлении
title_sort устойчивость и закритическое поведение композитных цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами при внешнем давлении
author Семенюк, Н.П.
Трач, В.М.
author_facet Семенюк, Н.П.
Трач, В.М.
publishDate 2016
language Russian
container_title Прикладная механика
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
format Article
title_alt Stability and Post-Buckling Behavior of Composite Cylindrical Shells with Local Imperfections under External Pressure
description Запропоновано підхід до розв’язання задачі про нелінійне деформування ортотропних циліндричних оболонок, на поверхні яких є прогин, обмежений відрізками координатних ліній. Використовуються рівняння теорії оболонок Тимошенка – Міндліна, співвідношення асимптотичного методу Біскова – Хатчинсона, методу неперервного продовження для розв’язку нелінійних алгебраїчних рівнянь. При розрахунку критичних навантажень і траєкторії деформування визначається кількість взаємодіючих мод, яка достатня для отримання задовільного за точністю результату. Наведено приклади розрахунку композитних оболонок с додатними та від’ємними амплітудами початкових прогинів. An approach to solving the problem on nonlinear deformation of orthotropic cylindrical shells is proposed. It is assumed that the surface of shell has a local deflection restricted by segments of coordinate lines. The equations of the Timoshenko-Mindlin shell theory, relationships of the Byskov-Hatchinson asymptotic method, continuum extension method are used in the process of solving the nonlinear algebraic equations. While the critical loads and trajectories of deformation are evaluated, the number of interacting modes is determined that is sufficient for the satisfactory by exactness result. The examples of analysis of composite shells with positive and negative amplitudes of initial local deflections are shown.
issn 0032-8243
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145151
citation_txt Устойчивость и закритическое поведение композитных цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами при внешнем давлении / Н.П. Семенюк, В.М. Трач // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 79-92. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT semenûknp ustoičivostʹizakritičeskoepovedeniekompozitnyhcilindričeskihoboločekslokalʹnyminesoveršenstvamiprivnešnemdavlenii
AT tračvm ustoičivostʹizakritičeskoepovedeniekompozitnyhcilindričeskihoboločekslokalʹnyminesoveršenstvamiprivnešnemdavlenii
AT semenûknp stabilityandpostbucklingbehaviorofcompositecylindricalshellswithlocalimperfectionsunderexternalpressure
AT tračvm stabilityandpostbucklingbehaviorofcompositecylindricalshellswithlocalimperfectionsunderexternalpressure
first_indexed 2025-11-26T13:21:11Z
last_indexed 2025-11-26T13:21:11Z
_version_ 1850622527465848832
fulltext 2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 6 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, № 6 79 Н .П .С е м е н ю к 1 , В . М .Т р а ч 2 УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОМПОЗИТНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С ЛОКАЛЬНЫМИ НЕСОВЕРШЕНСТВАМИ ПРИ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ 1Институт механики им.С.П.Тимошенко НАН Украины, ул.Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; compos@inmech.kiev.ua 2Национальный университет водного хозяйства и природопользования, ул.Соборная, 11, 33018, Ровно, Украина; e-mail: trach-vm@ukr.net Abstract. An approach to solving the problem on nonlinear deformation of orthotropic cylindrical shells is proposed. It is assumed that the surface of shell has a local deflection re- stricted by segments of coordinate lines. The equations of the Timoshenko-Mindlin shell theory, relationships of the Byskov-Hatchinson asymptotic method, continuum extension method are used in the process of solving the nonlinear algebraic equations. While the criti- cal loads and trajectories of deformation are evaluated, the number of interacting modes is determined that is sufficient for the satisfactory by exactness result. The examples of analy- sis of composite shells with positive and negative amplitudes of initial local deflections are shown. Key words: buckling, post-buckling, imperfection, laminate shell, interaction of modes, external pressure. Введение. Известный метод оптимизации подкрепленных оболочек базируется на выборе таких жесткостей ребер и обшивки, при которых равны расчетные критические зна- чения нагрузки локального и общего выпучивания. Этот подход в настоящее время называется «наивным». Оказалось, что оболочки с совпадающими критическими на- грузками весьма чувствительны к начальным несовершенствам. В работе Бискова и Хатчинсона [12] предложен метод расчета на устойчивость подкрепленных цилинд- рических оболочек, в котором учитывается влияние на критические значения нагруз- ки взаимодействия локального и общего выпучивания при наличии начальных несо- вершенств. Метод отличается от предложенного ранее Койтером [15] тем, что он применим в случае как равных, близких, так и различных собственных значений од- нородной задачи, которая используется для определения критических нагрузок обо- лочки без несовершенств. Это позволяет применять метод и в других задачах устой- чивости оболочек с многомодальными несовершенствами [7, 8, 11, 16, 18]. В данной статье предложен подход к решению задачи о нелинейном деформиро- вании ортотропных цилиндрических оболочек, на поверхности которых имеется про- гиб, ограниченный отрезками координатных линий. При его разработке использова- ны: уравнения теории оболочек Тимошенко – Миндлина, вариант которой изложен в работах [2, 16, 19]; основные соотношения асимптотического метода Бискова – Хат- чинсона [11, 12] и метода непрерывного продолжения для решения нелинейных ал- гебраических уравнений, предложенного в работах Давиденко [4, 5, 16]. Локальный 80 прогиб задается в виде произведения двух тригонометрических функций таких, чтобы на ограничивающем контуре они равнялись нулю. Указанные произведения представ- ляются двойными тригонометрическими рядами Фурье. Каждый член такого ряда в предлагаемом варианте является собственной функцией однородной задачи, при ре- шении которой определяются критические нагрузки и формы потери устойчивости идеальных оболочек. С формальной точки зрения ряд Фурье представляет собой раз- ложение начальных несовершенств в ряд по собственным векторам невозмущенной задачи. Коэффициенты рядов равны амплитудам мод геометрических несовершенств, к исследованию взаимодействия которых сводится рассматриваемая задача. Процеду- ра определения амплитуд и их использования будет описана ниже при решении кон- кретных примеров методом Бискова – Хатчинсона. Важным в этой задаче является определение количества взаимодействующих мод, достаточного для получения удов- летворительного по точности результата. Многомодальные несовершенства оболочек из композиционных материалов, не связанные с локальными прогибами, учитывались в задачах устойчивости при обсуж- дении их влияния на критические нагрузки и характер закритического поведения в работах авторов [7, 8, 18]. Представленные ниже результаты являются дополнением и развитием ранее полученных в указанных работах. Отметим, что устойчивость изотропных оболочек с локальными прогибами, имеющими ограничения по двум координатам, исследована рядом авторов как анали- тически, так и, в основном, численными методами [3, 6, 9, 14, 11]. §1. Постановка задачи. Разрешающие уравнения. Рассмотрим слоистую цилиндрическую оболочку радиуса R с общей толщиной t и длиной L , которая нагружена системой сил, пропорциональных некоторому параметру  . Представим необходимые для проведения расчетов соотношения, используя не- линейную теорию оболочек Тимошенко – Миндлина [2, 19]. Выражение принципа виртуальных работ в этом случае принимает вид 2 11 1 22 2 12 1 21 2 0 0 L R T T T T            13 1 23 2 13 23 11 1T T T T M k           22 2 12 1 1 2 0M k M t H t t dxdy A          . (1.1) Здесь ,x y – координатные линии, совпадающие с образующей и направляющей ци- линдрической поверхности приведения; ,ij ijT M – усилия и моменты, статически эк- вивалентные действующим напряжениям. Проекции усилий на оси срединной по- верхности до деформации имеют вид * * 12 11 1 21 22 2 1 ; ;T S T T S H T R       * * 13 13 11 1 1 2 2 23 23 1 1 22 2 2( ) ( ); ( ) ( )T T T S T T S T                 . (1.2) Присутствующие здесь функции с чертой сверху обозначают углы поворота по- верхности, обусловленные имеющимися до нагружения оболочки начальными гео- метрическими несовершенствами в виде прогибов w . Введем параметры, необходимые для записи нелинейных выражений деформаций через перемещения: 1 1 1; ; ; u v w x x x            2 2 2; ; ; v w u w v y R y y R              81 1 2; ;k k x y        1 2;t t x y        . (1.3) Используя их, получаем формулы:    2 2 2 2 1 211 1 1 1 1 22 2 2 2 2 1 1 2 ; 2 ; 2 2                    212 1 2 1 2 1 1 2             ; 2 2 11 1 22 2 12 1 2 13 1 23 2; ; ; ;k k k k k t t R R                  . (1.4) Вариация работы внешних нагрузок A имеет различный вид в зависимости от характера их распределения по лицевым поверхностям или же по боковой поверхно- сти. В случае цилиндрической оболочки одним из наиболее практически интересных является вариант нагружения ее однородным внешним давлением интенсивности q . При этом имеем равенство:   2 1 2 1 2 0 0 1 L R A q u v w dxdy                  . (1.5) Полагаем, что оболочка состоит из N слоев волокнистого композита, имеющего симметричное относительно срединной поверхности строение. Соотношения упруго- сти в этом случае имеют такой вид: 1111 11 12 22T C C   ; 1122 12 22 22T C C   ; 66 12S C  ; 1313 55 23 44 23; ;T C T C   11 11 11 12 22 ;M D k D k  22 12 11 22 22M D k D k  ; 66 12H D k . (1.6) Для жесткостей ijC и ijD в (1.6) имеем формулы  2 1 1 ; N N i i i kl kl kl kl i kl i i C C D D z C       , где ,i i kl klC D – жесткости растяжения и изгиба i -го слоя, iz – поперечная координата срединной поверхности i -го слоя относительно срединной поверхности оболочки. Соотношения, составляющие основу метода Бискова – Хатчинсона [12], удобно получить в общем виде, введя обобщенные перемещения, напряжения и деформации оболочки как векторы:  , , , ,U u v w   ;  11 22 23 13 11 22 12 21, , , , , , , ,T T S T T M M M M  ;  11 22 12 23 13 11 22 1 2, , , , , , , ,k k        . При этом будем использовать компактность формулировок Будянского [10]. Если поле начальных несовершенств характеризуется вектором U , обобщенные деформации и перемещения можно представить как ( , )U U =  ( )U U U   ; ( , )U U   ( )U U U    . (1.7) Вектор напряжений для оболочки с несовершенствами  связан с вектором де- формаций ( , )U U матрицей жесткости слоистой оболочки H , т.е.  = ( , )H U U . (1.8) Выражение принципа виртуальных работ (1.1) принимает вид ( , ) ( , ) 0U U u U U U       . (1.9) 82 Уравнения (1.7) – (1.9) позволяют решать различные нелинейные задачи о дефор- мировании оболочек с начальными геометрическими несовершенствами. К приведен- ным уравнениям (1.7) – (1.9) применим метод асимптотического анализа, предложенный авторами работы [12]. Полагаем, что докритическое напряженно-деформированное со- стояние совершенной оболочки является линейным, а также, что при  =1 поля перeмещений, деформаций и напряжений характеризуются векторами 0 0 0, ,U   . Линеаризуя уравнения (1.7) – (1.9) в окрестности нагрузки бифуркации, получаем со- вокупность уравнений для определения критических значений параметра нагрузки i и соответствующих мод выпучивания iU , т.е. 0(0) 0i i i i iU U U U U             ; i iH  ; (0) 1, ..., .i iU i M    (1.10) Эти M форм ортогональны  0 0i j i jU U U U i j       . (1.11) Обозначим через i амплитуды мод выпучивания iU . Они остаются неопреде- ленными при решении однородной задачи (1.10) и могут быть получены только при решении исходной нелинейной задачи (1.7) – (1.11). Для этого вектор перемещений представим в виде асимптотического разложения 0 i i i j ijU U U U      . (1.12) Здесь и ниже принимаем правило суммирования по повторяющимся индексам. Пере- мещения Uij ортогональны к модам выпучивания: 0 0 1,..., ; 1,..., ; 1,..., .i kl i klU U U U i M k M l M         (1.13) Подставляя (1.12) в первое из выражений (1.10), получим  0 0(0) (0) (0)i i i iU U U u U U U                        0(0)i j ij i j ij ijU U U u u u U                      (0) ... 0i j k i jk ij k i jkU U U U H U U U                     . (1.14) Здесь учтено, что   1 ; 0 2ij ij ij ij i jH U U U        . (1.15) Поскольку 0 (0) (0) 0U uU        , то с учетом соотношения (1.10), выраже- ние (1.14) примет вид   0 ( ) ... 0i i i i i j ij i j k ijkU U U U L L                    (1.16) 0( ) (0) ;ij ij i j ij ijL U U U U U U U                    (0) .ijk i jk ij k i jkL U U U U H U U U                Вариационное уравнение относительно полей , ,ij ij ijU   может быть получено из (1.16), если учесть [12], что для вариаций U в этом случае справедливо условие ортогональности 83 0 0i iU U U U       . (1.17) Пренебрегая в (1.16) слагаемыми третьей и более высоких степеней i , учитывая симметрию искомых функций относительно индексов i, j, выводим уравнение  0 1 (0) 2ij ij ij i j j iU U U U U U U U U                       . (1.18) Решение уравнения (1.18) зависит от нагрузки  . Авторы метода [12] предлагают использовать в качестве  в уравнении (1.18) наименьшее из совокупности j . Од- нако вносимую при этом погрешность необходимо оценивать в зависимости от рас- сматриваемых задач. Если решены однородная (1.10) и неоднородная (1.15), (1.18) краевые задачи, относительно амплитуд i из уравнения (1.16) (где полагаем 1U U  ), получаем систему нелинейных алгебраических уравнений 1 1,...,r i j ijr i j k ijkr r r r a b r M                     , (1.19) где / 2ijr ijra A D  ; /ijr ijkrb B D  ; (1.20)  2 2 02 ; ;ijr r i j i j r r r rA U U U U D U U               1 2 2ijkr i r jk ij k r r i jk ir j k i j krB U U U U U U U U U U                  . Уравнения (1.19) могут быть использованы: для исследования нелинейного де- формирования несовершенных конструкций в докритическом состоянии; для расчета критических (предельных) нагрузок, а также для изучения закритического поведения рассматриваемых конструкций. Кроме того, система (1.19) применима в случае совпадающих, почти совпадаю- щих или существенно различающихся мод. Это свойство метода Бискова – Хатчин- сона используется ниже для разработки методики расчета устойчивости и закритиче- ского поведения слоистых композитных цилиндрических оболочек с мультимодаль- ными несовершенствами, в частности, с локальными несовершенствами, которые мо- гут быть описаны тригонометрическими рядами Фурье. §2. Решение для цилиндрических оболочек. Для многослойных цилиндрических оболочек полученные векторные соотноше- ния (1.10) – (1.20) при использовании выражений (1.1) – (1.6) преобразуем к коорди- натному виду. Линеаризованные уравнения (1.10) для цилиндрической оболочки примут такой вид:   2 11 1 1 22 2 2 13 1 0 0 2L R i i i i i iT S T S H T R                         0 12 23 2 11 11 22 22 11 1 1 1 1 i i i i i i iH k T M k M k T                 84    0 0 2 2 2 2 2 1 2 2 1 0i i i iT S dxdy              . (2.1) Вариационное уравнение (1.18) относительно переменных второго порядка в тео- рии оболочек Тимошенко – Миндлина представим в виде   2 1 1 2 2 111 22 13 0 0 2L R ij ij ij ij ij ijT S T S H T R                        0 2 11 22 12 11 123 11 22 1 ij ij ij ij ij iT M k M k H k T                  0 0 1 2 2 2 2 11 2 2 1 2 ij ij ij ij ijT S dxdy                     2 11 1 1 22 2 21 11 2 22 0 1 2 L R i ji j i i j j i o T T T T                 11 1 2 1 22 21 2 21 2 11 2 2 22 i j i j j i j i i j i j j i j iT S T S T S T S dxdy                   . (2.2) Если получены решения краевых задач (2.1) и (2.2), по формулам (1.20) опреде- ляются коэффициенты ijra и ijkrb системы уравнений (1.19). Присутствующие в выражениях (1.20) значения величин D , ijrA и ijkrB находим с помощью таких формул: 2 11, 1, 12, 1, 22, 2, 21, 2, 13, 13, 23, 23, 0 0 R L r r r r r r r r r r r rD T T T T T T               11, 11, 22, 22, 12,r r r r rM k M k Hk dxdy    ;     2 11, 1, 1, 1, 1, 22, 2, 2, 2, 2, 0 0 2 2 R L ijr i j r j r i j r j rA T T                     2 11, 1, 1, 1, 1, 22, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 0 0 2 2 2 R L ijkr i j kr j kr i j kr j kr i j kr j krB T T S                          11, 1, 1, 1, 1, 22, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1,i jk r jk r i jk r jk r i jk r jk rT T S                       11, 1, 1, 1, 1, 22, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1,r i jk i jk r i jk i jk r i jk ij kT T S                       11, 1, 1, 1, 1, 22, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1,ri j k j k ri j k j k ri j k k jT T S dxdy                   . (2.3)    1, 2, 2, 1, 11, 1, 1, 1, 1,2 i j r j r r i j i jS T               22, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, ;r i j i j r i j i jT S dxdy                  11, 1, 1, 1, 1, 22, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2,ij k r k r ij k r k r ij k r k rT T S                  85 Локальный прогиб цилиндрической поверхности задаем в виде функции двух пе- ременных ,x y , совпадающих в некоторой локальной области поверхности приведе- ния с осями координат глобальной системы  0 ,x L R y R      , где L –длина образующей цилиндра; 2 R – длина направляющей. Локальная область ограничена контуром 1 1 1 1 1,L x L l y y y      . Начальный прогиб в указанной области пред- ставляем в виде  1 1 1 sin cos 2 x L y w l y     . (2.4) Так как амплитуда каждой функции в выражении (2.4) равна единице, то ампли- туда начального прогиба w равна  . Решение возмущенной задачи будем искать в виде тригонометрических рядов Фурье, учитывая, что тригонометрические функции являются собственными для однородной задачи (2.1). Определим  1 1 1 sin sinm m x L m x B l L    ; 1 1 1 1 2 cos sinm L L B L l l              ; (2.5)    1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 sin sin sin sin 2 L l L L l L                        ;    1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 cos cos cos cos 2 L l L L l L                        ; 1 2 1 1 ; m m l L l L         . Так как 1 1;y R y R   , то 0 1 1 cos cos cos 2 2 n n y A A n y        , где 2 21 0 1 12 1 2 ; cos / 2nA A n n                . Используя указанные разложения, начальный прогиб представим в виде двойного ряда Фурье 1, 0,1, sin cosm n m n m x w B A n L        . (2.6) Из коэффициентов двумерной матрицы m nB A образуем одномерный вектор с компонентами i таким образом, что 1 2 3 ... m         . Ниже в примерах расчета показано, как согласуются волновые числа ,m n мод выпучивания совершенных оболочек с аналогичными числами тригонометрических функций рядов Фурье. 86 Применим представленную методику для расчета слоистых цилиндрических обо- лочек при внешнем давлении. В качестве разрешающих функций используем пере- мещения. Предварительно приведем разрешающую систему к безразмерному виду [1, 2]. В этом случае параметр нагрузки  11/qR C t  . При решении однородной задачи (2.1) перемещения представляем в виде тригонометрических рядов, каждый член ко- торых удовлетворяет условиям шарнирного закрепления торцов: , cos cos ;i i m n m iu A l n  , sin sin ;i i m n m iv B l n  , sin cos ;i i m n m iw C l n  i ,D cos cos ;i m n m il n   , sin sini i m n m iE l n   (2.7)  / ;ml m R L / ; /x R y R   . Систему однородных алгебраических уравнений относительно амплитудных ко- эффициентов получим, подставив (2.7) в (2.1). Путем перебора параметров волнооб- разования m и n определяем спектр собственных значений i и соответствующих им собственных векторов, нормированных таким образом, что , 1i m nC i  . Решение системы уравнений (2.2) с учетом вида их правых частей представим в виде     4,1 ,2cos cos cosij ij ij i j i jk k k u A n n A n n l        ;    ,1 ,2sin sin sinij ij ij i j i j kk k k v B n n B n n l        ;    ,1 ,2cos cos sinij ij ij i j i j kk k k w C n n C n n l        ;    ,1 ,2cos cos cosij ij ij i j i j kk k k D n n D n n l         ;    ,1 ,2sin sin sinij ij ij i j i j kk k k E n n E n n l         . (2.8) Для решения системы (1.19) при начальном значении параметра нагрузки  ис- пользуем метод Ньютона – Канторовича. Рассматриваем пошаговую процедуру уве- личения нагрузки. Полученное решение на i-м шаге используем в качестве начального значения при следующем  1i  -м шаге. Для построения решения в тех точках, где якобиан системы (1.19) равен нулю, используем метод непрерывного продолжения 87 [4, 5]. Вводим вектор X размерности  1M  с компонентами  1,..., , T M   . Систе- ма (1.19) в этом случае может быть записана в компактном виде    0 1,...,rF X r M  . (2.9) Дифференцируя (2.7) по параметру s, соответствующему продвижению вдоль кривой равновесных состояний, получаем систему M линейных однородных уравне- ний для 1M  неизвестных, т.е. 1 , 1 0 1,..., M j r j j d F r M ds     , (2.10) где , r r j i F J F           – матрица Якоби системы (2.9). Ранг J M    в регулярных и предельных точках. Решение системы (2.10) представим в виде задачи Коши  , dX ort J Q ds  с начальным условием  0 0X s X . Операция  ,ort J Q , разработанная в [4], обозначает процесс ортогонализации векторов-строк матрицы J и определения орта, дополняющего исходный базис до базиса размерности  1M  . В качестве начального значение  0X s используем ре- шение, вычисленное по методу Ньютона – Канторовича при s  . Описанная про- цедура соответствует методу непрерывного продолжения [5]. Она оказалась весьма эффективной при решении многих нелинейных задач [8, 11 – 13, 16, 18]. §3. Результаты расчета и их анализ. Используя изложенную методику расчета, исследуем некоторые особенности не- линейного деформирования цилиндрических оболочек из композитов при наличии геометрических несовершенств в виде локальных прогибов с положительной и отри- цательной амплитудой. Полагаем, что оболочка состоит из 10 элементарных слоев армированного волокнами стеклопластика. В приведенных ниже примерах расчета принимаем характерную для практики по- следовательность распределения направлений армирования по толщине: 0º, 45º, 90º, 135º, 180º, -180º, -135º, -90º, -45º, 0º. Механические характеристики слоев материала (стеклопластика), вычисленные по формулам [2] при содержании эпоксидного свя- зующего 0,38, следующие: 1E = 0,43415·107 MПa; 2E = 0,11338·106 MПa; 12G  0,52888 ·105 MПa; 13G = 0,52888·105 MПa ; 23G = 0,42830·105 MПa; 1 = 0,28266. Рассмотрено два варианта геометрических параметров оболочек. В первом из них оболочки – средней длины и тонкие ( / 2, / 0,01,L R t R  1 / 0,5,L L  1 / 0,4,l L  0,01t  м), во втором – более короткие и толстые ( / 1, / 0,05L R t R  , 1 / 0,36,L L  1 / 0,1l L  , 0,05t  м). Если задать одинаковыми пределы изменяемости волновых па- раметров ,m n в выражениях mn и mn , то получим две матрицы mn    и mn    . Ка- ждому собственному значению ,m n будет соответствовать амплитуда несовершенства ,m n . Однако использовать систему (1.19) с учетом всей совокупности указанных величин не имеет смысла. Ввиду очень большого различия значений ,m n и ,m n необходимо ог- раничить порядок системы (1.19). Одним из практически возможных путей реализации 88 вычислительного процесса является построение двух одномерных массивов r и i . Для первого варианта оболочек отрезки этих массивов приведены в табл. 1. Здесь же приведен столбец собственных значений i в порядке их возрастания. Различие между r и i обу- словлено несовпадением собственных форм и волновых чисел в двойном ряде (2.6). Таблица 1 r i m n i m1 n1 0,26574·10-1 0,29198·10-1 1 7 0,26574·10-1 1 7 0,26959 ·10-1 0,33623·10-1 1 6 0,26959·10-1 1 6 0,30539·10-1 0,24506·10-1 1 8 0,30539·10-1 1 8 0,36548·10-1 0,19754·10-1 1 9 0,36548·10-1 1 9 0,39758·10-1 0,37578·10-1 1 5 0,39758·10-1 1 5 0,43824·10-1 0,15139·10-1 1 10 0,43824·10-1 1 10 0,54895·10-1 0,24331·10-1 2 9 0,52064·10-1 1 11 0,57323·10-1 0,18647·10-1 2 10 0,54895·10-1 2 9 0,58306·10-1 0,30184·10-1 2 8 0,57323·10-1 2 10 0,62907·10-1 0,13348·10-1 2 11 0,58306·10-1 2 8 0,73992·10-1 0,35962·10-1 2 7 0,61129·10-1 1 12 0,99746·10-1 0,40877·10-1 1 4 0,62907·10-1 2 11 0,11889 0,41413·10-1 2 6 0,70431·10-1 2 12 0,24308 0,46285·10-1 2 5 0,70946·10-1 1 13 0,36048 0,12959·10-1 5 8 0,73992·10-1 2 7 В табл. 1 приняты следующие обозначения: r – значения критических параметров, вычисленных в два этапа: на первом – из коэффициентов матрицы mn получаем три одномерных массива таких, что в первом содержатся расположенные в порядке убывания коэффициенты указанной матрицы, а второй и третий содержат значения волновых чисел ,m n , соответственно; на втором этапе – определяем массив чисел mn при значениях m, n из второго и третьего столбцов. Коэффициенты массива r , расположенные в порядке возрастания, обра- зуют первый столбец табл. 1; i – значения коэффициентов рядов Фурье для несовершенств; i – значения критических параметров идеальной оболочки; m, n – это волновые параметры функций рядов Фурье; m1, n1 – волновые параметры собственных функций исходной однородной задачи. Точность результатов, получаемых при решении системы уравнений (1.19), зависит от максимального значения индекса r, определяющего также количество коэффици- ентов в столбцах табл. 1. Выбрать значение числа r можно не только по сходимости вычисляемых критиче- ских нагрузок, но и по близости равновесных кривых при увеличении этого числа. Кривые равновесных состояний (траекторий), приведенные на рис. 1, получены для первого варианта оболочек. На этом рисунке по оси абсцисс отложены отношения прогибов к толщине при 0  и  1 1 / 2 /L l R   , а по оси ординат – значение * /r c   , где c – мини- мальное из совокупности значений i . Прогибы вычисляем с помощью отрезка ряда 89 для w в разложениях (2.8). Числа возле этих кривых обозначают максимальные значения индекса r , определяющего ко- личество уравнений в системе (1.19). Важным моментом, который следует отметить, является то, что при увеличе- нии порядка уравнений (1.19) кривые сближаются, хотя сходимость не является равномерной. При r = 18 и r = 21 они совпадают. Этот факт учитывался при построении графиков, приведенных на рис. 2, а, б, которые получены в той же точке при 0  и  1 1 / 2 /L l R   . Вычисления произведены при удер- жании в системе (1.19) 18-ти уравнений. Равновесные кривые на рис. 2, а, б по- лучены для первого варианта геометри- ческих параметров оболочек, имеющих начальный прогиб с положительной (вмятины) и отрицательной (выпучины) амплитудой, соответственно. На этих рисунках числа возле кри- вых равны значениям параметра  . Ум- ноженные на этот параметр числа во втором столбце табл. 1 определяют зна- чение амплитуды несовершенства mn с соответствующими волновыми числами. В скобках возле указанных чисел приве- дены относительные величины предель- ных нагрузок. Для второго варианта оболочек от- резки этих массивов приведены в табл. 2. Обозначения имеющихся в ней величин такие же, как и в табл. 1. Равновесные кривые для этой обо- лочки приведены на рис. 3, а, б. В этом варианте при расчете учтено также 18 форм несовершенств, которые взаимо- действуют. Это количество устанавливалось путем увеличения r до стабилизации результатов. Различие между рис. 3, а и б обусловлено тем, что кривые на первом из них получены для оболочек с вмятинами, на втором – с выпучинами. На всех приведенных рисунках равновесные траектории построены без учета линейного члена в разложениях (1.12). Сравнивая предельные значения нагрузок при вогнутых и выпуклых начальных прогибах, отметим, что начальные несовершенства обоих видов оказывают отрица- тельное влияние на устойчивости оболочек. При этом вмятины приводят к более существенному снижению критических на- грузок, чем выпучины. Весьма различаются равновесные кривые по виду при началь- ных выпуклых и вогнутых локальных прогибах. Как можно отметить по характеру кривых на рис. 2, а и рис. 3, а, вершины проги- бов с положительной амплитудой перемещаются к центру оболочки при росте давле- 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,0 0,2 0,4 0,6 w *  * 23 15 18, 21 Рис. 1 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,0 0,4 0,8 w * * 2 (0,377) 3 (0,293) 1 (0,550) 0,5 (0,733) 0,01 (0,997) а -0,24 -0,16 -0,08 0,00 0,0 0,4 0,8 w *  * -2 (0,524) -3 (0,416) -1 (0,675) -0,5 (0.846) -0,01 (0,997) б Рис. 2 90 ния как в докритическом состоянии, так и в закритическом. Иной характер кривых на рис. 2, б и рис. 3, б. Таблица 2 r i m n i m1 n1 0,12283 0,12772·10-1 1 6 0,12283 1 6 0,13899 0,15001·10-1 1 5 0,12550 1 7 0,21177 0,16914·10-1 1 4 0,13542 1 8 0,49835 0,18384·10-1 1 3 0,13899 1 5 0,16507·10 0,10947·10-1 4 6 0,14828 1 9 0,19286·10 0,19309·10-1 1 2 0,16221 1 10 0,23102·10 0,12857·10-1 4 5 0,17631 1 11 0,35395·10 0,14497·10-1 4 4 0,19008 1 12 0,38861·10 0,12550·10-1 6 6 0,20325 1 13 0,54913·10 0,14740·10-1 6 5 0,21177 1 4 0,62049·10 0,15756·10-1 4 3 0,21569 1 14 0,84433·10 0,16620·10-1 6 4 0,22734 1 15 0,11992·102 0,19625·10-1 1 1 0,23816 1 16 0,13732·102 0,16549·10-1 4 2 0,24819 1 17 0,14786·102 0,18064·10-1 6 3 0,25744 1 18 Несмотря на то, что давление направлено к центру, вершины прогибов с отрица- тельной амплитудой до прощелкива- ния перемещаются в противополож- ную сторону. В критической точке происходит резкий поворот направления кривых к центру. Такое поведение вершины про- гиба при увеличении нагрузки объ- ясняется взаимодействием совер- шенной части оболочки и той ее части, которая находится в началь- ном деформированном состоянии. В обоих случаях передаваемые от оболочки моменты изгибают указанный участок, что приводит к отмеченным перемещениям вершины начального прогиба. Заключение. Результаты данной статьи свиде- тельствуют, что асимптотический ме- тод Бискова – Хатчинсона может быть использован для исследования нели- нейного деформирования, включая определение предельных нагрузок, ортотропных цилиндрических обо- 0,0 0,4 0,8 1,2 0,0 0,4 0,8 w * * 3 (0,479) 1 (0,756) 2 (0,560) 0,5 (0,885) 0,01 (0,996) a -0,4 0,0 0,4 0,0 0,4 0,8 w*  * -2 (0,630) -3 (0,517) 1 (0,794) -0,5 (0,907) -0,01 (996) б Рис. 3 91 лочек с локальными начальными несовершенствами в виде прогибов малых участков поверхности. Несовершенства подобного рода описываются двойными тригономет- рическими рядами Фурье. Коэффициенты рядов равны амплитудам мод несовер- шенств, к исследованию взаимодействия которых сводится рассматриваемая задача. На основании анализа сходимости полученных результатов установлено, что при вычислениях в этих рядах следует учитывать ограниченное количество членов. При этом, как следует из приведенных в табл. 1 и 2 волновых чисел, выполняется условие применимости метода Бискова – Хатчинсона [12] относительно длины волн взаимодействующих мод. На числовых примерах установлено: 1) начальные прогибы (как вогнутые, так и выпуклые) уменьшают критические значения интенсивности давления, причем больше в первом случае; 2) существуют значительные различия в нелинейном де- формировании оболочек с положительными и отрицательными амплитудами началь- ных прогибов. Р Е ЗЮМ Е . Запропоновано підхід до розв’язання задачі про нелінійне деформування ортотроп- них циліндричних оболонок, на поверхні яких є прогин, обмежений відрізками координатних ліній. Ви- користовуються рівняння теорії оболонок Тимошенка – Міндліна, співвідношення асимптотичного ме- тоду Біскова – Хатчинсона, методу неперервного продовження для розв’язку нелінійних алгебраїчних рівнянь. При розрахунку критичних навантажень і траєкторії деформування визначається кількість вза- ємодіючих мод, яка достатня для отримання задовільного за точністю результату. Наведено приклади розрахунку композитних оболонок с додатними та від’ємними амплітудами початкових прогинів. 1. Баженов В.А., Семенюк Н.П., Трач В.М. Нелінійне деформування, стійкість і закритична поведінка анізотропних оболонок. – К.: Каравела, 2010. – 352 с. 2. Ванин Г.Л., Семенюк Н.П. Устойчивость оболочек из композиционных материалов с несовершен- ствами. – К.: Наук. думка, 1987. – 200с. 3. Гавриленко Г.Д., Красовский Л.П. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек с одиночной локальной вмятиной // Проблемы прочности. – 2004. – № 3. – С. 52 – 58. 4. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолже- ния решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого тела. – М.: Наука, – 1988. – 232 с. 5. Давыденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения нелинейных уравнений // Докл. АН СССР. – 1953. – 88, № 4. – С. 196 – 206. 6. Сахаров А.С., Кислоокий В.Н., Киричевский В.В., Альтенбах И., Габберт У., Данкерт Ю., Кепплер Х., Кочык З. Метод конечных элементов в механике твердых тел. – К.: Вища шк., Лейпциг: Фах- бухферлаг, 1982. – 480 с. 7. Семенюк Н.П., Жукова Н.Б. Устойчивость, закритическое поведение и оптимизация оболочек из композитных материалов // Механика композитных материалов. – 1991. – № 1. – С. 132 – 137. 8. Семенюк Н.П., Жукова Н.Б. Влияние взаимодействия форм выпучивания на оптимальные проекты слоистых цилиндрических оболочек из композитов // Механика композитных материалов. – 1993. – 29, № 3. – С. 355 – 360. 9. Amazigo J.C., Fraser W.B. Buckling under External Pressure of Cylindrical Shells with Dimple Shaped Initial Imperfections // Int .J. Solids Structures. – 1971. – 7, N 8 – P. 883 – 900. 10. Budiansky B. Theory of Buckling and Post-bucking Behavior of Elastic Structures // Adv. Appl. Mech. – 1974. – 14. – P. 2 – 65. 11. Byskov E. Mode Interaction in Structures an Overview // Proc. CD-ROM of the Sixth World Congress of Computational Mechanics, Tsinghua University, China (September 2004). 12. Byskov E., Hutchinson J.W. Mode interaction in axially stiffened cylindrical shells // AIAA J. – 1977. – 16, N 7. – P. 941 – 948. 92 13. Elishakoff I. Probabilistic resolution of the twenties century conundrum in elastic stability //Thin-Walled Structures. – 2012. – 59. – P. 35 – 57. 14. Gotsulyak E.A., Prusov D.E., Aranchii N.E. Stability of Geоmetrically Imperfect General-View Shells // Int. Appl. Mech. – 2000. – 36, N 11. – P. 1476 – 1481. 15. Koiter W.T. General theory of mode interaction in stiffened plate and shell structures // Report WTHD 91. Holland, Delft University of Technology, 1976. 16. Kolakovsky Z. On certain aspects of global and local buckling modes in thin-walled colum-beams // Mechnika theoreticzna i stosowna. – 1994. – 2.32. – P. 409 – 427. 17. Semenyuk N.P. Nonlinear Deformationof Shell Loaded with Finite Angles of Rotation and Low Elasto- plastic Strains // Int. Appl. Mech.. – 2015. – 51, N 2. – P. 149 – 158. 18. Semenyuk N.P., Zhukova N.B. Two methods for Calculating the Stability of Shells with Single-Mode and Multymode Imperfections // Int. Appl. Mech. – 1996. – 32, N 1. – P. 20 – 24. 19. Semenyuk N.P., Trach V.M., Zhukova N.B. The Theory of Stability of Cylindrical Composite Shells Re- visited // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 4. – P. 449 – 460. Поступила 22.09.2015 Утверждена в печать 05.07.2016

Ähnliche Einträge