Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии. 2. Случай пропорциональности девиаторов
Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии выполнена для условий, когда закон линейного деформирования можно представить в виде уравнения для сдвигов и уравнения объемного деформирования. В результате сформулированы зависимости ме...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145154 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии. 2. Случай пропорциональности девиаторов / В.П. Голуб, Б.П. Маслов, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 111-125. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859795383605002240 |
|---|---|
| author | Голуб, В.П. Маслов, Б.П. Фернати, П.В. |
| author_facet | Голуб, В.П. Маслов, Б.П. Фернати, П.В. |
| citation_txt | Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии. 2. Случай пропорциональности девиаторов / В.П. Голуб, Б.П. Маслов, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 111-125. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии выполнена для условий, когда закон линейного деформирования можно представить в виде уравнения для сдвигов и уравнения объемного деформирования. В результате сформулированы зависимости между ядрами сдвиговой и объемной ползучести при сложном напряженном состоянии и ядрами продольной и сдвиговой ползучести при одноосном растяжении и чистом кручении. В рамках выбранного подхода могут быть решены задачи расчета деформаций продольной и окружной ползучести под действием внутреннего давления и внутреннего давления с растяжением. Под действием растяжения с кручением и внутреннего давления с кручением взаимовлияние нормальных и касательных компонент на процесс ползучести не учитывается.Встановлено залежності між ядрами спадковості, що задають скалярні властивості ізотропних лінійно-в'язкопружних матеріалів за умов складного напруженого стану, та ядрами повзучості, що одержані за умов одновісного розтягу та чистого скручення. Визначальні рівняння обрано у формі, що відповідає гіпотезі пропорційності девіаторів. Розв'язано й апробовано експериментально задачі розрахунку деформацій повзучості та релаксації напружень тонкостінних трубчатих елементів за умов комбінованого навантаження розтягом із скрученням.
The relationships between heredity and creep kernels are established. The heredity kernels define the scalar properties of isotropic linearly viscoelastic materials under complex stress state. The creep kernels are obtained in conditions of uni-axial tension and pure torsion. The constitutive equations are chosen in the form that corresponds to the hypothesis proportionality of deviators. The problems of analysis of creep strains and stress relaxation of thin-wall tubular samples under combined loading by tension with torsion are solved and approved experimentally.
|
| first_indexed | 2025-12-02T12:56:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 6
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, № 6 111
В .П . Г о л у б , Б .П .Ма с л о в , П .В .Ф е р н а т и
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЯДЕР НАСЛЕДСТВЕННОСТИ ИЗОТРОПНЫХ
ЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ СЛОЖНОМ
НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ.
2. СЛУЧАЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ ДЕВИАТОРОВ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины
ул. Нестерова, 3, Киев, 03057, Украина; сreep@inmech.kiev.ua
Abstract. The relationships between heredity and creep kernels are established. The he-
redity kernels define the scalar properties of isotropic linearly viscoelastic materials under
complex stress state. The creep kernels are obtained in conditions of uni-axial tension and
pure torsion. The constitutive equations are chosen in the form that corresponds to the hy-
pothesis proportionality of deviators. The problems of analysis of creep strains and stress
relaxation of thin-wall tubular samples under combined loading by tension with torsion are
solved and approved experimentally.
Key words: linear viscoelasticity, isotropic material, complex stress state, proportional-
ity of deviators, creep kernel, relaxation kernel, thin-wall tubular sample, tension with tor-
sion.
Введение.
В наследственных теориях вязкоупругости механические свойства среды задают-
ся упругими постоянными и ядрами наследственности, включающими ядра ползуче-
сти и ядра релаксации [5, 7, 10, 11, 13, 14]. Задача идентификации ядер ползучести и
релаксации, установления связи между ядрами и определения параметров ядер со-
ставляет одну из основных задач теории вязкоупругости.
При одноосном напряженном состоянии ядра наследственности и параметры ядер
определяются непосредственно по результатам аппроксимации данных прямых изме-
рений деформаций или напряжений в процессе ползучести или релаксации функция-
ми, задающими ядра. Детальный анализ методов выбора функций, задающих ядра
наследственности, и методов определения параметров ядер линейно- и нелинейно-
вязкоупругих материалов при одноосном напряженном состоянии представлен в [2, 3,
5, 6, 11, 15].
Задача идентификации ядер наследственности и определения параметров ядер
при сложном напряженном состоянии является более сложной и сводится, как пра-
вило, к установлению зависимости между ядрами наследственности при сложном и
одноосном напряженном состояниях. Одноосное напряженное состояние реализуется
непосредственно в эксперименте и рассматривается как базовое. В качестве базовых
экспериментов чаще всего используются испытания образцов на растяжение с заме-
ром продольных и поперечных деформаций и на кручение с замером угловых дефор-
маций.
В работе [3] для изотропных линейно-вязкоупругих материалов установлена зави-
симость между ядрами сдвиговой и объемной ползучести и ядрами продольной и по-
перечной ползучести, построенными по результатам испытаний на одноосное растя-
жение. В работах [2, 8] установлена зависимость между ядрами сдвиговой и объемной
ползучести при сложном напряженном состоянии и ядрами продольной и сдвиговой
ползучести при одноосном растяжении и чистом кручении.
112
В данной работе установлена зависимость между ядрами наследственности, за-
дающими скалярные свойства изотропных линейно-вязкоупругих материалов в опре-
деляющем уравнении вида теории малых упруго-пластических деформаций, и ядрами
продольной, поперечной и сдвиговой ползучести при одноосном растяжении и чис-
том кручении.
§1. Постановка задачи.
Рассмотрим ползучесть и релаксацию напряжений изотропных однородных и не-
стареющих линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии.
Определяющие уравнения ползучести, задающие зависимость между компонентами
тензора деформаций ij , тензора напряжений ij и временем t , имеют вид
0
,1 3
( ) ( ) ( ) ( ) ;
3 2 ( )
i i
ij ij v ij ij
i
t
t t t t
t
0
2(1 )
, ( ) ( ) ( ) ;
3
t
i i i i i i
v
t t K t d
E
(1.1)
0 0 0
0
3(1 2 )
, ( ) ( ) ( ) ,
t
v v v
v
t t K t d
E
решением которых являются уравнения релаксации
0
,2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ;
3 ( ) 3
i i
ij ij ij ij v
i
t
t t t t
t
0
3
, ( ) ( ) ( ) ;
2(1 )
t
i i i i i i
E
t t R t d
v
(1.2)
0
0
, ( ) ( ) ( ) .
3(1 2 )
t
v v v v v
E
t t R t d
v
Здесь ( )v t и ,i i t – объемная деформация и интенсивность деформаций ползучести;
0 ( )t и ,i i t – среднее напряжение и интенсивность напряжений; ( )iK t и
( )vK t – ядра интенсивности ползучести и объемной ползучести; ( )iR t и ( )vR t
– ядра интенсивности релаксации и объемной релаксации; E – модуль упругости; v
– коэффициент Пуассона; i , v – реологические параметры; ij – единичная функ-
ция Кронекера.
В (1.1) и (1.2) принято, что
2 2 2 2 2 2
11 22 22 33 33 11 12 23 31
2
6
2i ; (1.3)
2 2 2 2 2 2
11 22 22 33 33 11 12 23 31
2
6
3i ; (1.4)
0 11 22 33
1
( )
3
; (1.5)
0 11 22 333v , (1.6)
113
где 11 12, , , и 11 12, , , – компоненты тензора деформаций и тензора напря-
жений, соответственно; 0 – средняя деформация.
Между ядрами ползучести и релаксации в (1.1) и (1.2) существует интегральная
связь [5, 11]
0
( ) ( ) ( ) ( )
t
R t K t K t R d , (1.7)
которая позволяет определить значения параметров одного ядра по значениям пара-
метров другого ядра.
Идентификация ядер ползучести ( )iK t и ( )vK t в (1.1) и ядер релаксации ( )iR t и
( )vR t в (1.2) осуществляется на основе двух групп базовых экспериментов на ползу-
честь при постоянных напряжениях.
Первая группа базовых экспериментов включает испытания сплошных цилиндри-
ческих образцов на ползучесть при одноосном растяжении с замером продольных и
поперечных деформаций. Одномерные модели ползучести, устанавливающие зависи-
мость между напряжениями, деформациями и временем, задаются в этом случае
уравнениями
11 11
11 11 11
0
( )
( ) ( ) ( ) ;
tt
t K t d
E E
11 22
22 22 11
0
( )
( ) ( ) ( ) ,
tv t v
t K t d
E E
(1.8)
которые при 11 const сводятся к уравнениям
11
11 11 11
0
( ) 1 ( ) ;
t
t K t d
E
11
22 22 22
0
( ) 1 ( ) .
tv
t K t d
E
(1.9)
Здесь 11( )t – одноосное растягивающее напряжение; 11( )t и 22 ( )t – продольная и
поперечная деформации, включающие упругую деформацию и деформацию ползуче-
сти; 11( )K t и 22 ( )K t – ядра продольной и поперечной ползучести; E – модуль упру-
гости; – коэффициент Пуассона; 11 и 22 – реологические параметры.
Вторая группа базовых экспериментов включает испытания сплошных цилинд-
рических образцов на ползучесть при одноосном растяжении с замером продольных
деформаций и испытания тонкостенных трубчатых образцов на ползучесть при чис-
том кручении с замером угловых деформаций. Одномерные модели ползучести, уста-
навливающие зависимость между напряжениями, деформациями и временем, задают-
ся в этом случае уравнениями
11 11
11 11 11
0
( )
( ) ( ) ( ) ;
tt
t K t d
E E
21 21
21 21 21
0
( )
( ) ( ) ( ) ,
tt
t K t d
G G
(1.10)
которые при 11 const и 21 const сводятся к уравнениям
11 21
11 11 11 21 21 21
0 0
( ) 1 ( ) ; ( ) 1 ( ) .
t t
t K t d t K t d
E G
(1.11)
114
Здесь 21( )t – касательное напряжение кручения; 21( )t – угловая деформация, вклю-
чающая упругую деформацию и деформацию ползучести; 21( )K t – ядро сдвиговой
ползучести; G – модуль сдвига; 21 – реологический параметр. Остальные обозначе-
ния совпадают с принятыми в (1.7) и (1.8).
Ядра ползучести ( )K t и релаксации ( )R t в (1.1), (1.2), (1.7) – (1.10) аппроксими-
руются дробно-экспоненциальными функциями [11]
(1 )
0
1 ( ) ( )
( )
( ) (1 )(1 )
n n
n
t
K t
t n
;
(1 )
0
1 ( ) ( )
( ) ,
( ) (1 )(1 )
n n
n
t
R t
t n
(1.12)
где и – параметры ядер ( 1 0; 0) ; [ ] – гамма-функция Эйлера.
Задача заключается в установлении зависимости между ядрами ползучести ( )iK t
и ( )vK t в (1.1) или ядрами релаксации ( )iR t и ( )vR t в (1.2), задающими скалярные
свойства линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии в
определяющих уравнениях типа уравнений малых упруго-пластических деформаций,
и ядрами продольной 11( )K t , поперечной 22 ( )K t и сдвиговой 21( )K t ползучести, за-
дающими наследственные свойства линейно-вязкоупругих материалов при одноосном
растяжении и чистом кручении.
§2. Идентификация скалярных ядер наследственности по ядрам продольной
и поперечной ползучести.
Ниже установим зависимость между ядрами ползучести и релаксации при слож-
ном напряженном состоянии и ядрами продольной и поперечной ползучести при од-
ноосном растяжении.
2.1. Компоненты и инварианты тензоров напряжений и деформаций. При од-
ноосном растяжении компоненты тензоров напряжений и деформаций записываются
в виде
11( ) 0 0
( ) 0 0 0
0 0 0
ij
t
t
и
11
22
33
( ) 0 0
( ) 0 (t) 0
0 0 ( )
ij
t
t
t
, (2.1)
где 11( )t – одноосное растягивающее напряжение; 11( )t – продольная деформация;
22 ( )t , 33 ( )t – поперечные деформации. Компоненты тензора деформаций в (2.1)
измеряются в эксперименте.
Для интенсивности напряжений ( )i t из (1.3), для интенсивности деформаций
( )i t из (1.4), для среднего напряжения 0 ( )t из (1.5) и для объемной деформации
( )v t из (1.6) с учетом (2.1), соответственно, получаем
11 11 22
0 11 v 11 22
2
( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ;
3
1
( ) ( ); ( ) ( ) 2 ( ),
3
i it t t t t
t t t t t
(2.2)
где принято, что 22 33( ) ( )t t .
2.2. Идентификация ядер интенсивности ползучести и релаксации. Зависи-
мость между ядрами интенсивности ползучести ( )iK t и ядрами продольной и попе-
речной ползучести 11( )K t и 22 ( )K t устанавливается, исходя из совместного решения
уравнений (1.1) и (1.9).
115
Из второго уравнения в (1.1) с учетом (1.9), (2.1) и (2.2) при 11( ) constt и
( ) consti t получаем соотношение
11
0
2(1 )
1 ( )
3
t
i i
v
K t d
E
11 11
11 11 22 22
0 0
2
1 ( ) 1 ( ) ,
3
t tv
K t d K t d
E E
(2.3)
из которого следует зависимость между соответствующими интегральными операто-
рами в форме
11 11 22 22
0 0 0
(1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) .
t t t
i iv K t d K t d v K t d
(2.4)
Заменяя в (2.4) переменные и пределы интегрирования
; ; при 0; 0 приt s d ds s t s t , (2.5)
дифференцируя далее обе части уравнения (2.4) по t , с учетом (2.5) и используя тео-
рему Ньютона – Лейбница [12], получаем уравнение
11 11 22 22(1 ) ( ) ( ) ( )i iv K t K t K t , (2.6)
из которого следует уравнение
11 11 22 22( ) ( )
( )
1i i
K t v K t
K t
v
, (2.7)
устанавливающее зависимость между ядром интенсивности ползучести и ядрами
продольной и поперечной ползучести.
Уравнение (2.7) позволяет рассчитывать дискретные значения ядер интенсивно-
сти ползучести ( )iK t при сложном напряженном состоянии в функции времени t .
Параметры ядер определяются по результатам аппроксимации дискретных значений
ядер выбранным для ядра аналитическим выражением.
Параметры ядер интенсивности релаксации напряжений ( )iR t в случае использо-
вания резольвентных ядер наследственности совпадают согласно (1.6) с параметрами
ядер интенсивности ползучести ( )iK t .
2.3. Идентификация ядер объемной ползучести и релаксации. Зависимость
между ядрами объемной ползучести ( )vK t и ядрами продольной и поперечной ползу-
чести 11( )K t и 22 ( )K t устанавливается также, исходя из совместного решения уравне-
ний (1.1) и (1.9).
Из третьего уравнения в (1.1) с учетом (1.5), (1.9), (2.1) и (2.2) при 11( ) constt и
0 ( ) constt получаем соотношение
11
0
(1 2 )
1 ( )
t
v v
v
K t d
E
11 11
11 11 22 22
0 0
2
1 ( ) 1 ( ) ,
t tv
K t d K t d
E E
(2.8)
из которого следует зависимость между соответствующими интегральными операто-
рами в форме
116
11 11 22 22
0 0 0
(1 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 2 1 ( )
t t t
v vv K t d K t d v K t d
. (2.9)
Дифференцируя далее обе части уравнения (2.9) по t , с учетом (2.5) и используя тео-
рему Ньютона – Лейбница [12], получаем уравнение
11 11 22 22(1 2 ) ( ) ( ) 2 ( )v vv K t K t v K t , (2.10)
из которого следует уравнение
11 11 22 22( ) 2 ( )
( )
1 2v v
K t v K t
K t
v
, (2.11)
устанавливающее зависимость между ядром объемной ползучести и ядрами продоль-
ной и поперечной ползучести.
Уравнение (2.10) позволяет рассчитывать дискретные значения ядер объемной
ползучести ( )vK t при сложном напряженном состоянии в функции времени t . Пара-
метры ядер объемной ползучести и, соответственно, объемной релаксации определя-
ются по результатам аппроксимации дискретных значений ядер выбранным для ядра
ползучести аналитическим выражением.
§3. Идентификация скалярных ядер наследственности по ядрам продольной
и сдвиговой ползучести.
Установим зависимости между ядрами ползучести и релаксации при сложном на-
пряженном состоянии и ядрами продольной и сдвиговой ползучести при одноосном
растяжении и чистом кручении, соответственно.
3.1. Компоненты и инварианты тензоров напряжений и деформаций. При одно-
осном растяжении компоненты тензоров напряжений и деформаций записываем в виде
11( ) 0 0
( ) 0 0 0
0 0 0
ij
t
t
и
11
11
11
( ) 0 0
( ) 0 ( ) 0
0 0 ( )
ij
t
t t
t
, (3.1)
а при чистом кручении – в виде
21
12
0 ( ) 0
( ) ( ) 0 0
0 0 0
ij
t
t t
и
12
21
0 ( ) 0
( ) ( ) 0 0
0 0 0
ij
t
t t
. (3.2)
Здесь 11( )t – одноосное растягивающее напряжение; 11( )t – продольная деформа-
ция растяжения; 12 ( )t , 21( )t – касательные напряжения кручения; 12 ( )t , 21( )t –
сдвиговые деформации кручения; – коэффициент Пуассона. В эксперименте изме-
ряются деформация растяжения 11( )t и угловая деформация 21 12 21( ) ( ) 2 ( )t t t .
Для интенсивности напряжений ( )i t из (1.3), для интенсивности деформаций
( )i t из (1.4), для среднего напряжения 0 ( )t из (1.5) и для объемной деформации
( )v t из (1.6) с учетом (3.1) получаем соотношения
11 11
0 11 v 11
2(1 )
( ) ( ); ( ) ( );
3
1
( ) ( ); ( ) (1 2 ) ( ),
3
i it t t t
t t t t
(3.3)
а с учетом (3.2) – соответственно, соотношения
117
21 12
0 v
2
( ) 3 ( ); ( ) ( );
3
0; ( ) 0,
i it t t t
t
(3.4)
где принято, что 22 33 11( ) ( ) ( )t t t .
3.2. Идентификация ядер интенсивности ползучести и релаксации. Из соот-
ношений (3.4) следует, что ядро интенсивности ползучести будет зависеть только от
ядра сдвиговой ползучести 21( )K t , поскольку при чистом кручении 0 ( ) 0t и,
следовательно, ( ) 0K t . Зависимость между ядрами ( )iK t и 21( )K t устанавливается,
исходя из совместного решения уравнений (1.1) и (1.11).
Из второго уравнения в (1.1) с учетом (1.11) и (3.4) получаем соотношение
21 21 21 21 21 21
0 0
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
t t
i i
v v
t K t d t K t d
E E
(3.5)
из которого следует равенство
21 21( ) ( )i iK t K t (3.6)
и, соответственно, можно принять, что
21i и 21( ) ( )iK t K t . (3.7)
В (3.5) принято, что 21 21( ) 2 ( ); / 2(1 )t t G E v .
Из соотношений (3.6) и (3.7) следует, что параметры ядер интенсивности ползуче-
сти и, соответственно, интенсивности релаксации совпадают с параметрами ядер
сдвиговой ползучести, определяемыми в эксперименте на чистое кручение.
3.3. Идентификация ядер объемной ползучести и релаксации. Зависимость
между ядрами объемной ползучести ( )vK t и ядрами продольной и сдвиговой ползу-
чести 11( )K t и 21( )K t устанавливается, исходя из совместного решения уравнений
(1.1) и (1.11).
Из первого уравнения в (1.1) для деформаций продольной ползучести 11( )t при
11 const с учетом (3.1), (3.2) и (3.3) получаем соотношение
11 11
11
0 0
2(1 ) (1 2 )
( ) 1 ( ) 1 ( )
3 3
t t
i i v v
v v
t K t d K t d
E E
, (3.8)
а с учетом первого уравнения в (1.11) и (3.7) – соотношение
11 11
11 11 21 21
0 0
11
0
2(1 )
1 ( ) 1 ( )
3
(1 2 )
1 ( ) ,
3
t t
t
v v
v
K t d K t d
E E
v
K t d
E
(3.9)
из которого следует зависимость между интегральными операторами в форме
11 11
0 0
21 21
0
1 2
1 ( ) 1 ( )
3
2(1 )
1 ( ) .
3
t t
v v
t
v
K t d K t d
v
K t d
(3.10)
118
Дифференцируя далее обе части уравнения (3.10) по t с учетом (2.5) и также ис-
пользуя теорему Ньютона – Лейбница [12], получаем уравнение
11 11 21 21
1 2 2(1 )
( ) ( ) ( )
3 3v v
v v
K t K t K t
, (3.11)
из которого следует равенство
11 11 21 213 ( ) 2(1 ) ( )
( )
1 2v v
K t v K t
K t
v
, (3.12)
устанавливающее зависимость между ядром объемной ползучести и ядрами продоль-
ной и сдвиговой ползучести при одноосном растяжении и чистом кручении.
Уравнение (3.12) позволяет рассчитывать дискретные значения ядер объемной
ползучести ( )vK t при сложном напряженном состоянии в функции времени t . Пара-
метры ядер объемной ползучести и, соответственно, объемной релаксации определя-
ются по результатам аппроксимации дискретных значений ядра объемной ползучести
выбранным для ядра аналитическим выражением.
§4. Расчет деформаций ползучести и релаксации напряжений.
Методы идентификации ядер наследственности линейно-вязкоупругих материа-
лов при сложном напряженном состоянии, изложенные в §§2 и 3, апробируются экс-
периментально на задачах расчета деформаций ползучести и релаксации напряжений
тонкостенных трубчатых образцов при комбинированном нагружении растяжением с
кручением.
4.1. Материал образцов. Упругие постоянные. Параметры ядер наследствен-
ности. В качестве объекта исследования выбраны тонкостенные трубчатые образцы
из полиэтилена высокой плотности ПЭВП с наружным диаметром 51 мм и толщиной
стенки 5 мм. Образцы были испытаны на ползучесть и на релаксацию при одноосном
растяжении, чистом кручении и комбинированном нагружении растяжением с круче-
нием. Экспериментальные данные заимствованы из [4].
Область линейности вязкоупругих свойств полиэтилена ПЭВП при сложном на-
пряженном состоянии обосновывается, исходя из соблюдения условия однородности
процесса ползучести в обобщенной системе координат « i t ».
Принимается, что материал является линейно-вязкоупругим, если функция интен-
сивности деформаций ползучести ( )iJ t
, ,,1 ,1 ,2 ,2
,1 ,2 ,
,1 ,2 ,
;; ; i q i i qi i i i i i
i j i i q
i i i q
tt t
J t J J
(4.1)
инвариантна по отношению к уровню интенсивности напряжений ,i q для нескольких
моментов времени jt , а расчетное значение квантиля статистики ,kt
*
, , ,
1
1 m
k i q j i j k
qj j j j
n n
t J t J t t
ms t s t
, (4.2)
больше его критического значения *
,kt . Здесь ,i q jJ t – значения функции интенсив-
ности деформаций ползучести в момент времени 1,jt j ; i jJ t – выборочное
среднее значение функции ,i q jJ t ; n – объем выборки (число функций интенсивно-
сти деформаций ползучести); – максимальная погрешность между значениями
,i q jJ t и i jJ t ; 1m n .
119
В соответствии с условиями (4.1) и (4.2) область линейности вязкоупругих свойств
полиэтилена высокой плотности ПЭВП ограничивается величиной i = 6,43 МПа и,
соответственно, напряжениями 11 = 5,0 МПа и 21 = 2,34 МПа.
В табл. 1 приведены значения упругих постоянных, а в табл. 2 – значения пара-
метров ядер наследственности полиэтилена ПЭВП. Значения упругих постоянных
заимствованы из [4].
Таблица 1
Материал E , МПа G , МПа B , МПа v
Полиэтилен ПЭВП 867,0 321,0 963,3 0,35
Таблица 2
Базовый эксперимент: одноосная продольная и поперечная ползучесть
11( )K t , час-1 22 ( )K t , час-1 ( )iK t ; ( )iR t , час-1 ( )vK t ; ( )vR t , час-1
11 11 11 22 22 22 i i i v v v
-0,6460 -0,1398 1,9439 -0,5158 -1,0137 3,1427 -0,6191 0,2764 2,1493 -0,6988 0,1229 1,6334
Базовый эксперимент: одноосная продольная ползучесть и сдвиговая ползучесть
11( )K t , час-1 21( )K t , час-1 ( )iK t ; ( )iR t , час-1 ( )vK t ; ( )vR t , час-1
11 11 11 21 21 21 i i i v v v
-0,6460 -0,1398 1,9439 -0,4700 -1,2467 2,0197 -0,4706 1,2402 2,0155 -0,6334 0,2971 9,1396
Значения параметров ядер наследственности определяются по результатам ап-
проксимации дискретных значений ядер ползучести дробно-экспоненциальными
функциями (1.12) по методике, изложенной в [1, 8]. Размерность коэффициентов и
– час-(1+α), а коэффициент – безразмерный.
а б
Рис. 1
Дискретные значения ядер интенсивности деформаций ползучести ( )iK t и объ-
емной ползучести ( )vK t полиэтилена ПЭВП в линейной области деформирования,
рассчитанные по уравнениям (2.7) и (2.11) и по уравнениям (3.7) и (3.12), нанесены
точками на рис. 1, а и б, соответственно (○ – расчеты по уравнениям (2.7) и (3.7); ● –
расчеты по уравнениям (2.11) и (3.12)). Линиями нанесены результаты аппроксимации
дискретных значений ядер дробно-экспоненциальными функциями (1.12).
4.2. Интенсивность деформаций ползучести. Объемная ползучесть. Методы
идентификации ядер наследственности, изложенные в разделах 2 и 3, апробируются,
прежде всего, на задачах расчета интенсивности деформаций ползучести ( )i t и де-
120
формаций объемной ползучести ( )v t . Зависимости i от t и v от t задают физиче-
ские свойства вязкоупругой среды в определяющих уравнениях (1.1).
Для интенсивности деформаций ползучести ( )i t при двухосном комбинирован-
ном нагружении растяжением с кручением и consti из (1.1) с учетом (1.3) и (1.12)
получаем уравнение
(1 )(1 )
2 2
11 21
0
( )2(1 )
( ) 3 1
3 1 (1 )(1 )
inn
i
i i
n i
tv
t
E n
, (4.3)
а для объемной деформации ( )v t с учетом (1.5) и (1.12) – уравнение
(1 )(1 )
11
0
( )1 2
( ) 1
1 (1 )(1 )
vnn
v
v v
n v
tv
t
E n
, (4.4)
где принято 2 2
11 213i ; 0 11 / 3 (здесь 11 – осевое растягивающее напряже-
ние; 21 – напряжение кручения.
Результаты расчетов интенсивности деформаций ползучести ( )i t и деформаций
объемной ползучести ( )v t тонкостенных трубчатых образцов из полиэтилена высо-
кой плотности ПЭВП при совместном нагружении одноосным растяжением и круче-
нием, выполненных по уравнениям (4.3) и (4.4) с использованием приведенных в
табл. 1 и 2 значений упругих постоянных и реологических параметров, сопоставлены
на рис. 2 с экспериментальными данными. Результаты расчетов нанесены линиями, а
экспериментальные данные – точками.
Интенсивность деформаций ползучести ( )i t (рис. 2, а) и деформаций объемной
ползучести ( )v t (рис. 2, б) рассчитаны для значений интенсивности напряжений
i = 2,28 МПа и среднего напряжения 0 = 0,59 МПа ( 11 = 1,77; 21 = 0,83 МПа) (кри-
вые 1; ○) и для значений i = 4,56 МПа и 0 = 1,18 МПа ( 11 = 3,54; 21 = 1,66 МПа) –
(кривые 2; ●).
а б
Рис. 2
Здесь и далее результаты расчетов, выполненные с использованием параметров
ядер наследственности, которые определены, исходя из соотношений (2.7) и (2.11),
нанесены штриховыми линиями, а исходя из соотношений (3.7) и (3.12) – штрих-
пунктирными линиями.
4.3. Продольная, поперечная и сдвиговая ползучесть. Решим задачу расчета де-
формаций продольной и поперечной ползучести тонкостенных трубчатых образцов
при одноосном растяжении и растяжении с кручением, а также деформаций сдвиго-
вой ползучести при чистом кручении и кручении с растяжением. Решение строится на
121
основе трехмерной модели вязкоупругости (1.1) с использованием значений упругих
постоянных и значений параметров ядер наследственности, приведенных в табл. 1 и 2.
Компоненты тензора напряжений ( )ij t при комбинированном нагружении тон-
костенных трубчатых образцов одноосным растяжением с кручением и соответст-
вующие компоненты тензора деформаций ( )ij t записываются в виде
11 21
12
0
( ) ( ) 0 0
0 0 0
ij t h t
;
11 21
12 22
33
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
0 0 ( )
ij
t t
t t t
t
, (4.5)
где 11 – одноосное растягивающее напряжение; 21 – касательное напряжение кру-
чения; 11( )t , 22 ( )t , 33 ( )t – продольная и поперечные деформации ползучести, соот-
ветственно; 21( )t – сдвиговая деформация ползучести; ( )h t – единичная функция
Хевисайда.
Для компонент тензора деформаций ползучести ( )ij t из (1.1) следует уравнение
0
( , )3 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 ( ) 3
i i
ij ij ij ij v
i
t
t t t t
t
, (4.6)
откуда для деформаций продольной ползучести 11( )t при двухосном комбинирован-
ном нагружении растяжением с кручением при 11 const и 21 const с учетом (1.3)
и (1.12) получаем уравнение
(1 )(1 )
11 11
0
2(1 )
( ) 1
3 1 (1 )(1 )
i
n n
i
i
n i
tv
t
E n
(1 )(1 )
11
0
1 2
1 ,
3 1 (1 )(1 )
v
n n
v
v
n v
tv
E n
(4.7)
а для деформаций поперечной ползучести 22 ( )t и 33 ( )t – уравнение
22 33 11( ) ( ) ( )t t v t (4.8)
и для деформаций сдвиговой ползучести 21( )t – уравнение
(1 )(1 )
21 21
0
( )1
( ) 1
2 1 (1 )(1 )
i
k
nn
i
i
n i
t
t
G n
. (4.9)
Результаты расчетов деформаций продольной 11( )t и сдвиговой 21( )t ползуче-
сти тонкостенных трубчатых образцов из полиэтилена высокой плотности ПЭВП,
выполненных по уравнениям (4.7) и (4.9) с использованием приведенных в табл. 1 и 2
значений упругих постоянных и параметров ядер наследственности, сопоставлены на
рис. 3 с экспериментальными данными. Результаты расчетов нанесены линиями, а
экспериментальные данные – точками.
Деформации продольной ползучести (рис. 3, а) и деформации сдвиговой ползуче-
сти (рис. 3, б) рассчитаны при напряжениях 11 = 1,77 МПа и 21 = 0,83 МПа) (кривые
1; ○) и при напряжениях 11 = 3,54 МПа и 21 = 1,66 МПа (кривые 2; ●).
122
а б
Рис. 3
4.4. Релаксация напряжений. Решим задачу расчета релаксации нормальных и
касательных напряжений в тонкостенных трубчатых образцах при одноосном растя-
жении, чистом кручении и растяжении с кручением. Решение строим на основе трех-
мерной модели вязкоупругости (1.2) с использованием значений упругих постоянных
и значений параметров ядер наследственности, приведенных в табл. 1 и 2.
Компоненты тензора деформаций ( )ij t и соответствующие им компоненты тен-
зора напряжений ( )ij t при комбинированном деформировании тонкостенных труб-
чатых образцов одноосным растяжением с кручением записываем в виде
11 21
12 22
33
0
( ) ( ) 0
0 0
ij t h t
;
11 21
12
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0 0
0 0 0
ij
t t
t t
, (4.10)
где все обозначения совпадают с принятыми в (4.5).
Для зависящих от времени компонент тензора напряжений ( )ij t из первого со-
отношения в (1.2) следует уравнение
0
( , )2 1
( ) ( ) ( ) ( )
3 ( ) 3
i i
ij ij ij v ij
i
t
t t t t
t
, (4.11)
откуда для нормальной компоненты 11( )t при двухосном комбинированном нагру-
жении растяжением с кручением при 11 const , 22 33 const и 21 const с уче-
том второго и третьего соотношения в (1.2) и второго соотношений в (1.12) получаем
уравнение
(1 )(1 )
11 11
0
2
( ) 1
3 1 (1 )(1 )
i
n n
i i
i
n i
t
t E
n
(1 )(1 )
11
0
1
1 ,
3 1 (1 )(1 )
v
n n
v v
v
n v
t
E
n
(4.12)
а для касательной компоненты 21( )t – уравнение
(1 )(1 )
21 21
0
( ) 2 1
1 (1 )(1 )
i
n n
i i
i
n i
t
t G
n
. (4.13)
Результаты расчетов релаксации нормальных 11( )t и касательных 21( )t напря-
жений в тонкостенных трубчатых образцах из полиэтилена ПЭВП, выполненных по
уравнениям (4.12) и (4.13) с использованием приведенных в табл. 1 и 2 значений уп-
123
ругих постоянных и параметров ядер наследственности, сопоставлены на рис. 4 с экс-
периментальными данными. Результаты расчетов нанесены линиями, а эксперимен-
тальные данные – точками.
Релаксация нормальных 11 (рис. 4, а) и касательных 21 (рис. 4, б) напряжений
рассчитана при начальных значениях деформаций 11 = 0,71 и 21 = 0,61% (кривые 1;
○) и 11 = 1,41 и 21 = 1,22% (кривые 2; ●).
§5. Анализ полученных результатов.
Эффективность сформулированных в работе методов идентификации скалярных
ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном
напряженном состоянии основана на решении задач расчета деформаций ползучести
и релаксации напряжений тонкостенных трубчатых элементов. Рассмотрено комби-
нированное нагружение трубчатых элементов растяжением с кручением. Рассчитаны
– объемная деформация ползучести, интенсивность деформаций ползучести, дефор-
мации продольной, поперечной и сдвиговой ползучести, а также релаксация осевых и
касательных напряжений. Результаты расчетов сопоставлены с экспериментальными
данными.
В целом, как это следует из данных, приведенных на рис. 2 – 4, получено вполне
удовлетворительное согласование результатов расчетов с результатами эксперимен-
тов. Максимальная погрешность при расчетах деформаций ползучести и релаксации
напряжений в линейной области не превышает 20% и получена для деформаций сдвиго-
вой ползучести 21 (см. рис. 3, б) и релаксации напряжений кручения 21 (см. рис. 4, б).
Характерно, что результаты расчетов практически не зависят от того, какая система
базовых экспериментов использована для идентификации ядер наследственности и
определения параметров ядер.
Несколько отличающимися от приведенных выше оценок представляются резуль-
таты сопоставления расчетных и экспериментальных данных объемной ползучести
(см. рис. 2, б). Как видно, расчеты, выполненные с использованием параметров ядер
объемной ползучести, полученных по ядрам продольной и поперечной ползучести
(штриховые линии), также весьма удовлетворительно согласуются с экспериментом.
Однако, в случае использования в расчетах параметров ядер объемной ползучести,
полученных по ядрам продольной и сдвиговой ползучести (штрих-пунктирные ли-
нии), погрешность между расчетными и экспериментальными данными может дости-
гать 60%. Это может быть объяснено тем обстоятельством, что в этих расчетах коэф-
фициент Пуассона принят постоянным, тогда как в действительности он зависит от
времени. В первом случае зависимость коэффициента Пуассона от времени учитыва-
ется косвенно (за счет замеров поперечных деформаций ползучести).
Приведенные на рис. 2 – 4 результаты удовлетворительного согласования расчет-
ных и экспериментальных данных получены для комбинации нормальных 11 и каса-
тельных 21 напряжений, удовлетворяющих условию линейности (4.2). Это условие
а б
Рис. 4
124
сформулировано для сложного напряженного состояния и предполагает, что при лю-
бом фиксированном времени it интенсивности деформаций ползучести ( )i t нахо-
дятся в таком же отношении друг к другу, как и интенсивности напряжений i .
Дополнительным подтверждением справедливости условия линейности (4.2) мо-
гут служить результаты сопоставления расчетных и экспериментальных значений
деформаций осевой (рис. 5, а) и сдвиговой (рис. 5, б) ползучести при уровнях нор-
мальных и касательных напряжений, не удовлетворяющих условию (4.2). Деформа-
ции осевой 11( )t и сдвиговой 21( )t ползучести были рассчитаны при напряжениях
11 = 1,77 МПа; 21 = 0,83 МПа (○) и 11 = 3,54 МПа; 21 = 1,66 МПа (●), удовлетворяю-
щих условию (4.2), а также при напряжениях 11 = 5,31 МПа; 21 = 2,49 МПа ( ) и
11 = 7,08 МПа; 21 = 3,32 МПа ( ), не удовлетворяющих условию (4.2). Максималь-
ная погрешность в первом случае не превышает, как уже отмечалось, 20%, тогда как
во втором случае она может достигать 300%.
а б
Рис. 5
а б
Рис. 6
Аналогичные оценки получены и по результатам сопоставления расчетных и
экспериментальных данных релаксации нормальных (рис. 6, а) и касательных (рис.
6, б) напряжений. Релаксация нормальных 11( )t и касательных 21( )t напряжений
рассчитана при значениях деформаций 11 = 0,71%; 21 = 0,61% (○)и 11 = 1,41%; 21 =
1,22% (●), когда удовлетворялось условие линейности (4.2), а также при значениях
деформации 11 = 2,12%; 21 = 1,84% ( ) и 11 = 2,83%; 21 = 2,45% ( ), когда условие
линейности (4.2) не выполнено. Максимальная погрешность в первом случае, как и
при сопоставлении расчетных и экспериментальных значений деформаций ползуче-
сти, не превышает 20%. Во втором случае максимальная погрешность также может
достигать 300%.
125
Заключение.
Один из эффективных методов определения параметров ядер наследственности
при сложном напряженном состоянии может быть основан на использовании соотно-
шений, устанавливающих зависимость между ядрами, задающими вязкоупругие
свойства при сложном и одномерном напряженных состояниях. Для изотропных вяз-
коупругих материалов в качестве ядер наследственности при сложном напряженном
состоянии могут быть использованы ядра интенсивности ползучести и ядра объемной
ползучести. В качестве ядер наследственности при одномерном напряженном состоя-
нии могут быть использованы ядра продольной, поперечной и сдвиговой ползучести.
Р Е ЗЮМ Е . Встановлено залежності між ядрами спадковості, що задають скалярні властивос-
ті ізотропних лінійно-в'язкопружних матеріалів за умов складного напруженого стану, та ядрами
повзучості, що отримані за умов одновісного розтягу та чистого скручення. Визначальні рівняння
обрано у формі, що відповідає гіпотезі пропорційності девіаторів. Розв’язано та апробовано експери-
ментально задачі розрахунку деформацій повзучості та релаксації напружень тонкостінних трубча-
тих елементів за умов комбінованого навантаження розтягом із скрученням.
1. Голуб В.П., Кобзарь Ю.М., Рагулина В.С. Метод определения параметров ядер наследственности
нелинейно-вязкоупругих материалов с использованием весовых функций // Теорет. и прикл. ме-
ханика. – 2009. – Вып. 46. – С. 70 – 80.
2. Ильин В.П., Мальцев Л.Е., Соколов В.Г. Расчет строительных конструкций из вязкоупругих мате-
риалов. – Ленинград: Стройиздат, 1991. – 190 с.
3. Колтунов А.А. Метод определения объемных и сдвиговых характеристик упруго-вязких наследст-
венных сред по экспериментам на одноосное растяжение (сжатие) // Механика полимеров. –
1969. – № 4. – С. 754 – 758.
4. Крегерс А.Ф., Килевич М.Р. Комплексное исследование полиэтилена высокой плотности в услови-
ях нелинейной ползучести и релаксации напряжений // Механика композитных материалов. –
1985. – № 2. – С. 195 – 201.
5. Christensen R.M. Theory of viscoelasticity. An Introduction. – New-York and London: Academic Press
Inc., 1971. – 338 p.
6. Ferry J.D. Viscoelastic properties of polymers. 2nd ed. – New-York: John Willey and Sons, 1981. – 633 p.
7. Findley W.N., Lai J.S., Onaran K. Creep and relaxation of nonlinear viscoelastic materials. – Amsterdam:
North-Holland Publishing Company, 1976. – 367 p.
8. Golub V.P., Maslov B.P., Fernati P.V. Identification of the Hereditary Kernels of Isotropic Linear Viscoe-
lastic Materials in Combined Stress State. 1. Superposition of Shear and Bulk Creep // Int. Appl. Mech.
– 2016. – 52, N2. – P. 165 – 175.
9. Golub V.P., Ragulina V.S., Fernati P.V. Determining the Parameters of the Hereditary Kernels of Nonlin-
ear Viscoelastic Isotropic Materials in Torsion // Int. App. Mech. – 2015. – 51, N 2. – P. 196 – 206.
10. Kaminsky A.A., Selivanov M.F., Chernoivan Yu.A. Initial Fracture of a Viscoelastic Isotropic Plate with
Two Collinear Cracks of Equal Length // Int. App. Mech. – 2014. – 50, N 3. – P. 310 – 321.
11. Rabotnov Y.N. Creep problems in structural members. – Amsterdam: North-Holland Publishing Com-
pany, 1969. – 822 p.
12. Rudin W. Principle of Mathematical Analysis. – New-York: McGraw-Hill Inc., 1976. – 342 p.
13. Schapery R.A. Nonlinear Viscoelastic and Viscoplastic Constitutive Equations Based on Thermodynam-
ics // Mechanics of Time-Dependent Materials. – 1997. – N 1. – P. 209 – 240.
14. Schapery R.A. Nonlinear Viscoelastic and Viscoplastic Constitutive Equations with Growing Damage
// Int. Fracture – 1999. – 97, N 1. – P. 33 – 66.
15. Ward I.M. Mechanical properties of solid polymers. – New York: Willey and Sons, 1971. – 345 p.
Поступила 10.11.2015 Утверждена в печать 05.07.2016
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-145154 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T12:56:00Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Голуб, В.П. Маслов, Б.П. Фернати, П.В. 2019-01-16T18:37:25Z 2019-01-16T18:37:25Z 2016 Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии. 2. Случай пропорциональности девиаторов / В.П. Голуб, Б.П. Маслов, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 111-125. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145154 Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии выполнена для условий, когда закон линейного деформирования можно представить в виде уравнения для сдвигов и уравнения объемного деформирования. В результате сформулированы зависимости между ядрами сдвиговой и объемной ползучести при сложном напряженном состоянии и ядрами продольной и сдвиговой ползучести при одноосном растяжении и чистом кручении. В рамках выбранного подхода могут быть решены задачи расчета деформаций продольной и окружной ползучести под действием внутреннего давления и внутреннего давления с растяжением. Под действием растяжения с кручением и внутреннего давления с кручением взаимовлияние нормальных и касательных компонент на процесс ползучести не учитывается.Встановлено залежності між ядрами спадковості, що задають скалярні властивості ізотропних лінійно-в'язкопружних матеріалів за умов складного напруженого стану, та ядрами повзучості, що одержані за умов одновісного розтягу та чистого скручення. Визначальні рівняння обрано у формі, що відповідає гіпотезі пропорційності девіаторів. Розв'язано й апробовано експериментально задачі розрахунку деформацій повзучості та релаксації напружень тонкостінних трубчатих елементів за умов комбінованого навантаження розтягом із скрученням. The relationships between heredity and creep kernels are established. The heredity kernels define the scalar properties of isotropic linearly viscoelastic materials under complex stress state. The creep kernels are obtained in conditions of uni-axial tension and pure torsion. The constitutive equations are chosen in the form that corresponds to the hypothesis proportionality of deviators. The problems of analysis of creep strains and stress relaxation of thin-wall tubular samples under combined loading by tension with torsion are solved and approved experimentally. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии. 2. Случай пропорциональности девиаторов Identification of Heredity Kernels of Isotropic Linearly Viscoelastic Materials under Complex Stress State. 2. Case of Proportionality of Deviators Article published earlier |
| spellingShingle | Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии. 2. Случай пропорциональности девиаторов Голуб, В.П. Маслов, Б.П. Фернати, П.В. |
| title | Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии. 2. Случай пропорциональности девиаторов |
| title_alt | Identification of Heredity Kernels of Isotropic Linearly Viscoelastic Materials under Complex Stress State. 2. Case of Proportionality of Deviators |
| title_full | Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии. 2. Случай пропорциональности девиаторов |
| title_fullStr | Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии. 2. Случай пропорциональности девиаторов |
| title_full_unstemmed | Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии. 2. Случай пропорциональности девиаторов |
| title_short | Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии. 2. Случай пропорциональности девиаторов |
| title_sort | идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии. 2. случай пропорциональности девиаторов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145154 |
| work_keys_str_mv | AT golubvp identifikaciââdernasledstvennostiizotropnyhlineinovâzkouprugihmaterialovprisložnomnaprâžennomsostoânii2slučaiproporcionalʹnostideviatorov AT maslovbp identifikaciââdernasledstvennostiizotropnyhlineinovâzkouprugihmaterialovprisložnomnaprâžennomsostoânii2slučaiproporcionalʹnostideviatorov AT fernatipv identifikaciââdernasledstvennostiizotropnyhlineinovâzkouprugihmaterialovprisložnomnaprâžennomsostoânii2slučaiproporcionalʹnostideviatorov AT golubvp identificationofhereditykernelsofisotropiclinearlyviscoelasticmaterialsundercomplexstressstate2caseofproportionalityofdeviators AT maslovbp identificationofhereditykernelsofisotropiclinearlyviscoelasticmaterialsundercomplexstressstate2caseofproportionalityofdeviators AT fernatipv identificationofhereditykernelsofisotropiclinearlyviscoelasticmaterialsundercomplexstressstate2caseofproportionalityofdeviators |