Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case)
The paper is a continuation of work [15] in which the general setting for analogs of the Szegö theorem for ergodic operators was given and several interesting cases were considered. Here we extend the results of [15] to a wider class of test functions and symbols which determine the Szegö-type asymp...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Журнал математической физики, анализа, геометрии |
|---|---|
| Datum: | 2018 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Englisch |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2018
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145879 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) / L. Pastur, M. Shcherbina // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2018. — Т. 14, № 3. — С. 362-388. — Бібліогр.: 29 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1862582268841689088 |
|---|---|
| author | Pastur, L. Shcherbina, M. |
| author_facet | Pastur, L. Shcherbina, M. |
| citation_txt | Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) / L. Pastur, M. Shcherbina // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2018. — Т. 14, № 3. — С. 362-388. — Бібліогр.: 29 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Журнал математической физики, анализа, геометрии |
| description | The paper is a continuation of work [15] in which the general setting for analogs of the Szegö theorem for ergodic operators was given and several interesting cases were considered. Here we extend the results of [15] to a wider class of test functions and symbols which determine the Szegö-type asymptotic formula for the one-dimensional Schrödinger operator with ergodic random potential. We show that in this case the subleading term of the formula is given by a Central Limit Theorem in the spectral context, hence the term is asymptotically proportional to L¹/², where L is the length of the interval to which the Schrödinger operator is initially restricted. This has to be compared with the classical Szegö formula, where the subleading term is bounded in L, L→∞. We prove an analog of standard Central Limit Theorem (the convergence of the probability of the corresponding event to the Gaussian Law) as well as an analog of the almost sure Central Limit Theorem (the convergence with probability 1 of the logarithmic means of the indicator of the corresponding event to the Gaussian Law). We illustrate our general results by establishing the asymptotic formula for the entanglement entropy of free disordered fermions for non-zero temperature.
Ця стаття є продовженням роботи [15], де було поставлено задачу про аналог теореми Сеге для ергодичних операторiв загального вигляду та розглянуто декiлька цiкавих випадкiв. У данiй статтi ми розповсюджуємо результати [15] на ширший клас тестових функцiй та символiв, що задають формули типу Сеге для одновимiрного оператора Шредiнгера з випадковим потенцiалом. Ми доводимо, що в цьому випадку член, що по порядку є наступним пiсля головного у формулi Сеге, вiдповiдає центральнiй граничнiй теоремi у спектральному контекстi, тобто є пропорцiйним LL¹/², де L є довжиною iнтервалу, на якому ми розглядаємо оператор Шредiнгера. Цей результат слiд порiвняти з класичною формулою Сеге, де вiдповiдний член є обмеженим за L, коли L→∞. Ми доводимо аналог стандартної центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть ймовiрностi вiдповiдних подiй до гауссiвського закону), а також аналог майже напевно центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть з ймовiрнiстю 1 логарифмiчного середнього iндикатора вiдповiдної подiї до гауссiвського закону). Як iлюстрацiю нашого загального методу.
|
| first_indexed | 2025-11-26T22:57:36Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-145879 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1812-9471 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-11-26T22:57:36Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Pastur, L. Shcherbina, M. 2019-02-02T12:07:38Z 2019-02-02T12:07:38Z 2018 Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) / L. Pastur, M. Shcherbina // Журнал математической физики, анализа, геометрии. — 2018. — Т. 14, № 3. — С. 362-388. — Бібліогр.: 29 назв. — англ. 1812-9471 DOI: https://doi.org/10.15407/mag14.03.362 Mathematics Subject Classification 2000: random operators, asymptotic trace formulas, limit theorems https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145879 The paper is a continuation of work [15] in which the general setting for analogs of the Szegö theorem for ergodic operators was given and several interesting cases were considered. Here we extend the results of [15] to a wider class of test functions and symbols which determine the Szegö-type asymptotic formula for the one-dimensional Schrödinger operator with ergodic random potential. We show that in this case the subleading term of the formula is given by a Central Limit Theorem in the spectral context, hence the term is asymptotically proportional to L¹/², where L is the length of the interval to which the Schrödinger operator is initially restricted. This has to be compared with the classical Szegö formula, where the subleading term is bounded in L, L→∞. We prove an analog of standard Central Limit Theorem (the convergence of the probability of the corresponding event to the Gaussian Law) as well as an analog of the almost sure Central Limit Theorem (the convergence with probability 1 of the logarithmic means of the indicator of the corresponding event to the Gaussian Law). We illustrate our general results by establishing the asymptotic formula for the entanglement entropy of free disordered fermions for non-zero temperature. Ця стаття є продовженням роботи [15], де було поставлено задачу про аналог теореми Сеге для ергодичних операторiв загального вигляду та розглянуто декiлька цiкавих випадкiв. У данiй статтi ми розповсюджуємо результати [15] на ширший клас тестових функцiй та символiв, що задають формули типу Сеге для одновимiрного оператора Шредiнгера з випадковим потенцiалом. Ми доводимо, що в цьому випадку член, що по порядку є наступним пiсля головного у формулi Сеге, вiдповiдає центральнiй граничнiй теоремi у спектральному контекстi, тобто є пропорцiйним LL¹/², де L є довжиною iнтервалу, на якому ми розглядаємо оператор Шредiнгера. Цей результат слiд порiвняти з класичною формулою Сеге, де вiдповiдний член є обмеженим за L, коли L→∞. Ми доводимо аналог стандартної центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть ймовiрностi вiдповiдних подiй до гауссiвського закону), а також аналог майже напевно центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть з ймовiрнiстю 1 логарифмiчного середнього iндикатора вiдповiдної подiї до гауссiвського закону). Як iлюстрацiю нашого загального методу. en Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Журнал математической физики, анализа, геометрии Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) Теореми типу Сеге для одновимiрного оператора Шредiнгера з випадковим потенцiалом (гладкий випадок) Article published earlier |
| spellingShingle | Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) Pastur, L. Shcherbina, M. |
| title | Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) |
| title_alt | Теореми типу Сеге для одновимiрного оператора Шредiнгера з випадковим потенцiалом (гладкий випадок) |
| title_full | Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) |
| title_fullStr | Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) |
| title_full_unstemmed | Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) |
| title_short | Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) |
| title_sort | szegö-type theorems for one-dimensional schrödinger operator with random potential (smooth case) |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/145879 |
| work_keys_str_mv | AT pasturl szegotypetheoremsforonedimensionalschrodingeroperatorwithrandompotentialsmoothcase AT shcherbinam szegotypetheoremsforonedimensionalschrodingeroperatorwithrandompotentialsmoothcase AT pasturl teoremitipusegedlâodnovimirnogooperatorašredingerazvipadkovimpotencialomgladkiivipadok AT shcherbinam teoremitipusegedlâodnovimirnogooperatorašredingerazvipadkovimpotencialomgladkiivipadok |