Системы с предысторией и функциональная живучесть
Исследуются системы с предысторией. Дано их наиболее общее описание в виде функционально-дифференциальных включений. Рассматриваются оптимизационные задачи на основе таких включений и применение этих систем при моделировании свойств живучести. Systems with prehistory are investigated and their most...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/14604 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Системы с предысторией и функциональная живучесть / А.П. Яковлева // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 4. — С. 93-100. — Бібліогр.: 15 назв. —рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859642771625738240 |
|---|---|
| author | Яковлева, А.П. |
| author_facet | Яковлева, А.П. |
| citation_txt | Системы с предысторией и функциональная живучесть / А.П. Яковлева // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 4. — С. 93-100. — Бібліогр.: 15 назв. —рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Исследуются системы с предысторией. Дано их наиболее общее описание в виде функционально-дифференциальных включений. Рассматриваются оптимизационные задачи на основе таких включений и применение этих систем при моделировании свойств живучести.
Systems with prehistory are investigated and their most general description in the form of functional-differential inclusions is presented. The optimization problems with functional-differential inclusions and their applications to modeling viability properties are considered.
Досліджуються системи із передісторією. Надається їх найбільш загальний опис у вигляді функціонально-диференціальних включень. Розглядаються оптимізаційні задачі на основі таких включеннь та їх застосування до моделювання властивостей живучесті.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:23:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
А.П. Яковлева, 2008
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 93
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 518.9
СИСТЕМЫ С ПРЕДЫСТОРИЕЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ
ЖИВУЧЕСТЬ
А.П. ЯКОВЛЕВА
Исследуются системы с предысторией. Дано их наиболее общее описание в
виде функционально-дифференциальных включений. Рассматриваются
оптимизационные задачи на основе таких включений и применение этих
систем при моделировании свойств живучести.
ВВЕДЕНИЕ
Отметим три направления исследований проблемы живучести для систем,
динамика которых описывается функционально-дифференциальными
включениями.
1. Распространение теории необходимых условий оптимальности на
сложные объекты, представляющие собой системы с предысторией. В этих
объектах будущее определяется не только состоянием системы в настоящий
момент времени, но и историей ее развития в прошлом — предысторией,
что улучшает качество управления и тем самым повышает надежность
функционирования динамических систем.
2. Изучение систем, динамика которых описывается
дифференциальными, а также функционально-дифференциальными
включениями. К дифференциальным включениям (или дифференциальным
уравнениям с многозначной правой частью) сводятся различные задачи
управления: с обратной связью, дифференциальных игр, дифференциальных
уравнений с разрывной правой частью, а также задачи исследования
динамических систем в условиях неопределенности и т.д.
Дифференциальное включение обобщает задачу управления.
3. Выяснение условий относительно многозначных отображений,
характеризующих динамику системы и трубку живучести, при которых для
любого начального состояния системы существует хотя бы одна живучая
траектория. Техника, разработанная для обычных задач живучести,
применяется к задачам функциональной живучести для дифференциальных
включений с памятью. Указанное свойство системы моделируется на основе
теории функционально-дифференциальных включений.
Системы с предысторией и функциональная живучесть
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 94
СИСТЕМЫ С ПРЕДЫСТОРИЕЙ
При изучении систем с предысторией во многих случаях возникает
оптимизационная задача, в которой одним из ограничений является
дифференциальное включение с последствием. Это задачи планирования в
экономике, эволюционные задачи в биологии, задачи теории управления,
где правая часть — множество возможных скоростей системы, зависящее от
прошлой истории, представленной некоторой функцией, и от управления из
множества управлений.
Системы с предысторией достаточно детально изучены. Наблюдая
явления некоторый период времени, важно определить, что произойдет с
развивающейся системой в дальнейшем. Для этого нужно принимать во
внимание тот факт, что скорость изменения в физических системах зависит
не только от их состояния в настоящий момент, но и от их предыстории.
Нужно также рационально воздействовать на те процессы и явления,
которыми мы можем в определенных пределах управлять. Системы с
предысторией описываются дифференциальными включениями с
последствием или, при более общем подходе, функционально-
дифференциальными включениями.
ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ВКЛЮЧЕНИЙ С ПОСЛЕДСТВИЕМ
Рассмотрим следующее дифференциальное включение с последствием:
[ ] .const,2:,,
,))(),(,()(
10 =→××∈
−∈
τ
τ
nRnn RRRFttt
txtxtF
dt
tdx
(1)
Решением включения (1) с непрерывной начальной функцией
[ ] nRtt →− 00 ,: τϕ является такая непрерывная функция [ ] nRttx →− 10 ,: τ ,
что
1) x абсолютно непрерывна на [ ]10,tt и почти всюду выполняется
включение (1);
2) ],[),()( 00 tttttx τϕ −∈= .
Обозначим ),( τCFR множество решений включения (1) с начальной
функцией ϕ , если )()( tCt τϕ ∈ при всех ],[ 00 ttt τ−∈ , где
nRRtC 2:)( →τ —
некоторое многозначное отображение.
А теперь рассмотрим оптимизационную задачу
)},(:))((min{ 1 τCFRxtxf ∈ . (2)
В дальнейшем принимаем, что функция RRf n →: удовлетворяет
условию Липшица, многозначные отображения F , τC измеримы по t и
Системы с предысторией и функциональная живучесть
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 95
компактнозначны, F удовлетворяет условию Липшица с суммируемой
функцией τCtl ),( полунепрерывно сверху зависит от t .
При исследовании оптимизационных задач с дифференциальными
включениями стандартного вида обычно накладывались различные
дополнительные предположения типа гладкости и выпуклости на входящие
функции и множества (условия наличия локальных шатров или
выпуклости графика, липшицевой производной от опорной функции
правой части, непроверяемых избыточных условий) [1, 2]. В некоторых
работах исследовались задачи оптимизации с дифференциальными
включениями без предположений о гладкости и выпуклости [3–6].
Применялся прямой метод вариаций Л.С. Понтрягина для случая
управляемых систем с дифференциальными включениями. Использование
дифференцирования множества решений дифференциального включения по
начальным данным позволяет перейти к более простому включению в
вариациях [7–9]. Как важный элемент в исследованиях использовался метод
дифференцирования многозначных отображений. Данные результаты были
получены с применением указанного метода для случая включений с
последействием [8–10].
При дифференцировании многозначных отображений применяется
метод, согласно которому график многозначного отображения F
приближается касательным конусом, который считается графиком другого
многозначного отображения F ′ , играющего роль производной. В
зависимости от того, с помощью какого именно предела вводится
касательный конус, используется та или иная терминология. Напомним
некоторые определения касательных конусов и производных.
Пусть YXYXZ ,,×= — нормированные пространства. Множества
AXBA ;, ⊂ — замыкание множества AA int; — внутренность множества
};{inf),(; AbbaAadA ∈−= — расстояние от точки a до множества
}1:{; ≤∈= zZzSA z — единичный замкнутый шар в ),(; BAZ ρ —
хаусдорфово расстояние между множествами BA, .
)},(sup),,(sup{max),( AbdBadBA
BbAa ∈∈
=ρ .
Определение 1. Касательным конусом );( aATT к множеству A в точке
Aa∈ называется множество
δπδε
επ
<<
−
>>
+−=
0
1
00
))(();( SaAaATT .
Определение 2. Асимптотическим касательным конусом );( aATA к
множеству ZA ⊂ в точке Aa∈ называется множество
);();();( aATaATaAT TTA
∗−= ,
где }:{ ABxxBA ⊂+=−∗ .
Определенные выше конусы замкнуты, а конус );( aATA — выпуклый.
Справедливо включение );();( aATaAT TA ⊂ .
Системы с предысторией и функциональная живучесть
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 96
Определение 3. Производной многозначного отображения F в точке
Fz rg∈ по направлению x называется множество
)};rg(),(:{)()( zFTyxyxzDF T∈= . (3)
Определение 4. Производной функции RXf →: в точке fx dom0 ∈
по направлению x называется число
)))}(,(;epi(),(:{inf))(( 000 xfxfTxRxxDf T∈∈= αα .
Определение 5. Субдифференциалом функции f в точке fx dom0 ∈
называется множество
}))((,:{)( 00 XxxxDfxxxxf ∈∀≤∗∗=∂ . (4)
Теорема 1. Пусть при сделанных выше предположениях функция x~
является решением задачи (4). Тогда существуют такие абсолютно
непрерывные функции ρ и 1ρ , что
1) ;0)()),(~()( 1111 =−∂∈ ttxft ρρ
2) ))(~),(gr())(),(),(( 1 tztFTttt ∗∈ρρρ , п. в. 1 1[ , ]t t tτ∈ − ;
))(~),(gr())()(),(),(( 11 tztFTtttt ∗−∈++ τρρρρ , п. в. 0 1[ , ]t t t τ∈ − ;
3) )()()),();(()()),();(()( 11 τρρϕρϕρ ττ +=−∈− ∗∗ ttttCTtttCTt ,
п. в. 0 0[ , ], ( ) ( ( ), ( ), ( ))t t t z t x t x t x tτ τ∈ − = − � � ��� ,
где ∗T обозначается конус, сопряженный к конусу T ; T — любой
выпуклый замкнутый конус, удовлетворяющий включению
],[)),(~;gr())(~;gr( 10 ttttzFTtzFT T ∈⊂ ,
],[)),(;())(;( 00 ttttCTtCT T τϕϕ ττ −∈⊂ ;
)(tT — измеримое многозначное отображение.
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ И
ЖИВУЧЕСТЬ
Свойством живучести обладают в той или иной степени все системы со
сложной структурой. Именно живучесть позволяет системе сохраняться в
экстремальных условиях, разрушающих ее структуру, целостность, ведущих
к потере цели функционирования [11]. Сравнительный анализ известных
работ показал отсутствие единого подхода к разрешению проблемы
живучести сложных технических систем. Как правило, в каждой
практической задаче применяется свой подход, базирующийся на общих
принципах способности объекта к реконструкции в процессе
функционирования. Разработанные математические аппараты исследований
поведения так называемых живучих траекторий отражают некоторые
аспекты понятия живучести технических систем. Такие траектории хорошо
описываются в рамках теории дифференциальных игр и теории
дифференциальных включений. В некоторых работах рассматриваются
Системы с предысторией и функциональная живучесть
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 97
общие физические и математические свойства живучести как технических,
так и информационных систем, изучаются свойства живучих траекторий
[12–15].
Понятие живучести траекторий дифференциального включения
определенным образом соответствует известному в технике понятию
«живучесть», связанному с надежностью функционирования технических
систем. Траектории динамических систем являются живучими, если
удовлетворяют некоторым ограничениям, которые называются
ограничениями живучести. Они возникают из сущности изучаемой системы.
Такими ограничениями могут быть, например, соотношение баланса между
наличием некоторых ресурсов и их использованием.
Рассмотрим динамическую систему, скорость изменения которой
зависит от текущего состояния системы многозначным образом.
Математически это выражается с помощью дифференциального включения
вида
0( ) ( , ( )), (0) , [0, )x t a t x t x x t∈ = ∈ ∞ ,
где a — многозначное отображение; ),0[,2: ∞=→× CXXRa x .
Дифференциальное включение обобщает задачу управления, если
положить ),,(),( Uxtfxta = , где f — некоторая функция; U — множество
значений управления u . Задается некоторое многозначное отображение
xRP 2: → , называемое трубкой живучести, которое определяет
ограничения живучести в том смысле, что живучими будут считаться
траектории, попадающие в многозначное отображение xRP 2: → ,
0),()( ≥∈ ttPtx .
Ставится следующая задача: выяснить, при каких условиях
относительно многозначных отображений a и P для любых )0(0 Px ∈
существует хотя бы одна траектория дифференциального включения,
содержащаяся в P .
Дифференциальные уравнения и включения описывают однозначным
или многозначным образом динамику системы, в которой в каждый момент
времени скорость зависит от состояния системы только в этот момент
времени. Дифференциальные включения с памятью, называемые также
функционально-дифференциальными включениями, выражают зависимость
скорости в каждый момент времени от истории развития системы до этого
момента времени. Под функциональной живучестью подразумеваются
ограничения живучести, также зависящие от истории развития системы, т.е.
ограничения, накладываемые не только на состояние системы, но и на ее
прошлое развитие.
Техника, разработанная для обычных задач живучести, применяется к
задачам функциональной живучести с дифференциальными включениями с
памятью, что позволяет описать свойство функциональной живучести как
условие функционального касания, означающее, что для любого прошлого
состояния системы существует, по крайней мере, «скоростное касание» ко
множеству различных состояний, удовлетворяющих ограничениям
функциональной живучести.
Системы с предысторией и функциональная живучесть
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 98
Функционально-дифференциальное включение описывает связь между
скоростью системы и историей ее развития до времени 0>t следующим
образом:
),)(,()( xtTtatx ∈ п. в. ),0[ ∞∈t , (5)
где оператор T ставит в соответствие любой непрерывной функции x ее
историю xtT )( до момента времени t таким образом:
)()]()([:]0,( τττ +=−∞∈∀ txxtT . (6)
Начальные условия выражают тот факт, что история развития системы
до момента времени t=0 известна и определяется функцией C∈ϕ как
ϕ=xT )0( . (7)
Ограничения функциональной живучести записываются с помощью
требования, чтобы в любой момент времени ),0[ ∞∈t
( ) ( )T t x P t∈ . (8)
P обладает свойством живучести относительно отображения a , если
для любой начальной функции )0(P∈ϕ существует решение )(⋅x такое, что
почти всюду при 0≥t выполняются следующие соотношения [11]:
))(,()( xtTtatx ∈ ,
ϕ=xT )0( ,
)()( tPxtT ∈ , 0≥∀ t .
Для автономного случая задача живучести
))(()( xtTatx ∈ , п. в. ),0[ ∞∈t , (9)
ϕ=xT )0( , (10)
PxtT ∈)( , (11)
где CP ⊂ — замкнутое подмножество.
Считается [11], что подмножество CP ⊂ обладает свойством
живучести относительно отображения а, если для любой начальной
функции P∈ϕ существует решение )(⋅x включения (9), начинающееся на
ϕ в смысле (10) и живучее в P в смысле (11).
Обычная задача живучести является частным случаем задачи
функциональной живучести. Действительно, полагая ))0(()( yayA = и =∏
})0(:{ PyCy ∈∈= , где xXa 2: → , CP ⊂ , получаем, что вследствие (6)
))(())0()(,())(,()( txaxtTtaxtTtatx ==∈ , а также PxtTtx ∈= ))0()(()( тогда
и только тогда, когда ∏∈xtT )( .
Задача живучести с m переменными запаздывания также укладывается
в схему функциональной живучести. Рассмотрим m функций запаздывания
),0[),0[: ∞→∞τ . Дифференциальное включение с запаздывающим
Системы с предысторией и функциональная живучесть
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 99
аргументом описывается многозначным отображением x
m
XXa 2...: →××
таким образом:
)))((,...)),((()( 1 ttxttxatx mττ −−∈ .
Ограничения живучести с запаздываниями можно описать с помощью
n функций запаздывания ),0[),0[: ∞→∞ξ и многозначного отображения
x
m
XXR 2...: →×× , ),0[ ∞∈∀ t .
)))((,...)),((()( 1 ttxttxRtx mξξ −−∈ .
Эта задача укладывается в общую схему, если положить
)))((,...)),((()( 1 tytyayA nττ −−= ,
)))}((,...)),((()0(:{ 1 tytyRyCy mξξ −−∈∈=∏ .
Действительно,
=−−=∈ )))(()(,...)),(()(())(()( 1 ttxtTttxtTaxtTAtx mττ
)))((,...)),((( 1 ttxttxa mττ −−= ;
( ) ( ( ) )(0)x t T t x= .
Следовательно,
)))((,...)),((()( 1 ttxttxRtx mξξ −−∈ ,
∏∈−−∈ xtTttxttxRxtT m )())),((,...)),((()0()( 1 ξξ .
Аналогично можно убедиться, что задача живучести Вольтерра
∈ ∫
∞−
t
dssxstkatx ))(,,()( ,
∈ ∫
∞−
t
dssxstlPtx ))(,,()(
также укладывается в эту схему.
Ниже приведена теорема, которая называется теоремой
функциональной живучести и в которой указаны условия, при каких
отображения a и P определяют живучую траекторию.
Приведем понятие области функциональной живучести. Пусть задана
некоторая функция у на подмножестве CP ⊂ . Обозначим )(yK p
подмножество элементов Xv∈ таких, что 0>∀ε существует число
],0[ ε∈h и функция Cyh∈ , удовлетворяющая условиям
ϕ=nyT )0( ,
PyhT n ∈)( , (12)
Bv
h
yhy hh ε+∈
− )0()(
,
Системы с предысторией и функциональная живучесть
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 100
где 0>ε ; B — шар единичного радиуса с центром в нуле. Множество
aP dom⊂ является областью функциональной живучести для
многозначного отображения a , если y P∀ ∈ .
0)()( ≠∩ yKya p . (13)
Пусть многозначное отображение a не пусто, полунепрерывное
сверху, компактнозначно, выпуклозначно, а также линейно растет, т.е.
)1()( +≤ xCxa , const=C , yxa sup)( = , а P замкнуто. Тогда имеет
место
Теорема 2. P обладает свойством живучести тогда и только тогда,
когда оно является областью функциональной живучести, т.е. когда
выполняется соотношение (13).
ЛИТЕРАТУРА
1. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. — М.: Наука,
1980. — 320 с.
2. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и
оптимальное управление // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. —
1985.— 169. — С. 194–252.
3. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. — М.: Наука, 1988. — 280 с.
4. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и
управления. — М.: Наука, 1988. — 360 с.
5. Половинкин Е.С., Смирнов Г.В. Об одном подходе к дифференцированию
многозначных отображений // Докл. АН СССР. — 1986. — 288. — № 2. —
С. 296–301.
6. Обэн Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. — М.: Мир, 1988. —
512 с.
7. Яковлева А.П. Задача оптимального управління для диференціального
включення з післядією // Докл. АН УССР. — 1989. — № 11. — С. 70–72.
8. Jakovleva A.P. Necessary extremum conditions for differential inclusions with
aftereffect // Optimization. — 1992. — 25. — Р. 117–127.
9. Яковлева А.П. Оптимизационная задача и необходимые условия экстремума
для дифференциальных включений с последствием // Дифференциальные
уравнения. — 1992. — № 2. — С. 223–231.
10. Додонов А.Г., Кузнецова М.Г., Горбачик Е.С. Живучесть и надежность сложных
систем: Метод. пособие. — Киев: Междунар. науч.-учебн. центр, 2001. —
163 с.
11. Aubin J.-P. Viability Theory. — Boston–Bazel–Berlin: Вirkhäuser, 1991. — 543 p.
12. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир,
1984. — 421 с.
13. Додонов А.Г., Кузнецова М.Г., Горбачик Е.С. Введение в теорию живучести
вычислительных систем. — Киев: Наук. думка, 1990. — 184 с.
14. Haddad G. Monotone viable trajectories for functional differential inclusions //
Journal of Differential Equations. — 1981. — № 42. — Р. 1–24.
15. Остапенко В.В., Яковлева А.П., Шубенкова Т.А. Моделювання властивостей
живучості // В зб.: Теорія обчислень. — Київ: Ін-т кібернетики
ім. В.М. Глушкова НАН України, 1999. — С. 276–280.
Поступила 07.12.2007
Системы с предысторией и функциональная живучесть
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 101
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
Системы с предысторией и функциональная живучесть
А.П. Яковлева
ВВЕДЕНИЕ
Системы с предысторией
Оптимизационная задача для дифференциальных включений с последствием
Функционально-дифференциальные включения и живучесть
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-14604 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:23:56Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Яковлева, А.П. 2010-12-27T11:37:53Z 2010-12-27T11:37:53Z 2008 Системы с предысторией и функциональная живучесть / А.П. Яковлева // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 4. — С. 93-100. — Бібліогр.: 15 назв. —рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/14604 518.9 Исследуются системы с предысторией. Дано их наиболее общее описание в виде функционально-дифференциальных включений. Рассматриваются оптимизационные задачи на основе таких включений и применение этих систем при моделировании свойств живучести. Systems with prehistory are investigated and their most general description in the form of functional-differential inclusions is presented. The optimization problems with functional-differential inclusions and their applications to modeling viability properties are considered. Досліджуються системи із передісторією. Надається їх найбільш загальний опис у вигляді функціонально-диференціальних включень. Розглядаються оптимізаційні задачі на основі таких включеннь та їх застосування до моделювання властивостей живучесті. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Системы с предысторией и функциональная живучесть Systems with prehistory and functional viability Системи з передісторією та функціональна живучість Article published earlier |
| spellingShingle | Системы с предысторией и функциональная живучесть Яковлева, А.П. Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| title | Системы с предысторией и функциональная живучесть |
| title_alt | Systems with prehistory and functional viability Системи з передісторією та функціональна живучість |
| title_full | Системы с предысторией и функциональная живучесть |
| title_fullStr | Системы с предысторией и функциональная живучесть |
| title_full_unstemmed | Системы с предысторией и функциональная живучесть |
| title_short | Системы с предысторией и функциональная живучесть |
| title_sort | системы с предысторией и функциональная живучесть |
| topic | Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| topic_facet | Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/14604 |
| work_keys_str_mv | AT âkovlevaap sistemyspredystorieiifunkcionalʹnaâživučestʹ AT âkovlevaap systemswithprehistoryandfunctionalviability AT âkovlevaap sistemizperedístoríêûtafunkcíonalʹnaživučístʹ |