Сигнальные пары и их применение
Введено понятие сигнальной пары и рассмотрены основные способы его применения. Показано, в частности, что сигнальные пары можно подвергать преобразованиям, которые подобны хорошо известным преобразованиям из элементарной теории вероятностей. С помощью таких преобразований можно строить новые простра...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Системні дослідження та інформаційні технології |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/14608 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Сигнальные пары и их применение / Н.Н. Дидук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 2. — С. 128-143. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-14608 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-146082025-02-09T09:40:06Z Сигнальные пары и их применение Signal pairs and their applications Сигнальні пари та їх використання Дидук, Н.Н. Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Введено понятие сигнальной пары и рассмотрены основные способы его применения. Показано, в частности, что сигнальные пары можно подвергать преобразованиям, которые подобны хорошо известным преобразованиям из элементарной теории вероятностей. С помощью таких преобразований можно строить новые пространства неопределенности, пригодные для описания сложных типов неопределенности, таких, например, как поливероятностныйтип. Рассмотрены примеры. A notion of a signal pair is introduced, and the main ways of its application are considered. In particular, it is demonstrated that signal pairs may be subjected to transformations similar to the well known ones in the elementary probability theory. By using the transformations, one can construct new uncertainty spaces which are able to describe complex types of uncertainty, e.g., a polyprobability type. Some relative examples are considered. Впроваджено поняття сигнальної пари і розглянуто основні способи його застосування. Зокрема показано, що сигнальні пари можна піддавати перетворенням, які подібні до добре відомих перетворень з елементарної теорії ймовірностей. За допомогою таких перетворень можна будувати нові простори невизначеності, які здатні описувати складні типи невизначеності, наприклад, такі, як поліймовірнісний тип. Розглянуто приклади. 2008 Article Сигнальные пары и их применение / Н.Н. Дидук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 2. — С. 128-143. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/14608 519.7 ru Системні дослідження та інформаційні технології application/pdf Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень |
| spellingShingle |
Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Дидук, Н.Н. Сигнальные пары и их применение Системні дослідження та інформаційні технології |
| description |
Введено понятие сигнальной пары и рассмотрены основные способы его применения. Показано, в частности, что сигнальные пары можно подвергать преобразованиям, которые подобны хорошо известным преобразованиям из элементарной теории вероятностей. С помощью таких преобразований можно строить новые пространства неопределенности, пригодные для описания сложных типов неопределенности, таких, например, как поливероятностныйтип. Рассмотрены примеры. |
| format |
Article |
| author |
Дидук, Н.Н. |
| author_facet |
Дидук, Н.Н. |
| author_sort |
Дидук, Н.Н. |
| title |
Сигнальные пары и их применение |
| title_short |
Сигнальные пары и их применение |
| title_full |
Сигнальные пары и их применение |
| title_fullStr |
Сигнальные пары и их применение |
| title_full_unstemmed |
Сигнальные пары и их применение |
| title_sort |
сигнальные пары и их применение |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/14608 |
| citation_txt |
Сигнальные пары и их применение / Н.Н. Дидук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 2. — С. 128-143. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT diduknn signalʹnyeparyiihprimenenie AT diduknn signalpairsandtheirapplications AT diduknn signalʹníparitaíhvikoristannâ |
| first_indexed |
2025-11-25T10:17:40Z |
| last_indexed |
2025-11-25T10:17:40Z |
| _version_ |
1849757124441145344 |
| fulltext |
Н.Н. Дидук, 2008
128 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2
TIДC
НОВІ МЕТОДИ В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ,
ІНФОРМАТИЦІ ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 519.7
СИГНАЛЬНЫЕ ПАРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Н.Н. ДИДУК
Введено понятие сигнальной пары и рассмотрены основные способы его при-
менения. Показано, в частности, что сигнальные пары можно подвергать пре-
образованиям, которые подобны хорошо известным преобразованиям из эле-
ментарной теории вероятностей. С помощью таких преобразований можно
строить новые пространства неопределенности, пригодные для описания
сложных типов неопределенности, таких, например, как поливероятностный
тип. Рассмотрены примеры.
Введенное в статье понятие сигнальной пары представляет собой результат
параллельного расширения на все типы неопределенности двух понятий:
распределения вероятностей, заданного на (дискретном) множестве X , и
переходного распределения вероятностей с множества X на (дискретное)
множество Y . Цель статьи — построение с помощью сигнальных пар новой
ветви общего аппарата неопределенности.
1. ПОНЯТИЕ СИГНАЛЬНОЙ ПАРЫ
В изложении используются следующие объекты: 1) два дискретных (не бо-
лее чем счетной мощности) множества X и Y ; 2) пространство неопреде-
ленности (ПН) вида ( )S,X [1, с. 129]; 2) информационный канал (в даль-
нейшем — просто канал) V над парой алфавитов ),( YX (т.е. канал
перехода от множества X к множеству Y ) [2, разд. 2 и 3]. Напомним также,
что множество всех критериев свертывания (КС) по множеству X обозна-
чается )(XT , а множество всех каналов над парой алфавитов ),( YX обо-
значается ),( YXV
Определение 1. )(XT∈SПусть заданы: КС и замкнутый канал
),( YXV∈V [2, разд. 3]. Тогда пару вида ( )VS, будем называть сигнальной
парой (СП) над парой алфавитов ),( YX . Множества X и Y будем назы-
вать соответственно входным и выходным алфавитами сигнальной пары
( )VS, .
Сразу же предложим здесь три возможных способа применения сиг-
нальных пар. Во-первых, СП
■
( )VS, может рассматриваться как фрагмент мо-
Сигнальные пары и их применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 129
дели системы связи, где критерий S (или соответствующее ему ПН ( )S,X )
является описанием источника сообщений, а V — описание канала связи.
Опираясь на эту интерпретацию, мы дальше так и будем говорить, что S
есть источник, а V — канал сигнальной пары ( )VS, (а иногда источником
будем называть также ПН ( )S,X ).
Во-вторых, СП ( )VS, может рассматриваться как описание фрагмента
задачи принятия решений (без указания множества решений и функции по-
терь). В этой задаче необходимость в принятии решения возникает на фоне
исходной ситуации неопределенности, описываемой пространством ( )S,X .
Но условия задачи допускают возможность перед принятием решения про-
вести некое наблюдение, которое может помочь принятию правильного ре-
шения путем уменьшения степени неопределенности ситуации. Полное опи-
сание условий проведения наблюдения может состоять из ответов на
несколько самостоятельных вопросов. Например, таких: 1) каков характер
ситуации неопределенности, касающейся результата наблюдения (т.е. точки
множества Y ), в зависимости от неизвестного состояния природы (т.е. точ-
ки множества X ); 2) какова стоимость наблюдения (которая может зави-
сеть от неизвестного состояния природы); 3) каковы дополнительные убыт-
ки (которые могут зависеть от результата наблюдения) и т.п. Ответы на все
вопросы такого рода могут быть отражены путем соответствующего выбора
канала V сигнальной пары ( )VS, . Так что при описании задачи принятия
решений канал V сигнальной пары ( )VS, может рассматриваться как полное
описание условий наблюдения.
Наконец, еще один способ применения сигнальных пар вида ( )VS, мо-
жет состоять в том, чтобы рассматривать последние просто как строитель-
ный материал, позволяющий конструировать способы описания ситуаций
неопределенности более сложных типов по сравнению с ситуацией, описы-
ваемой пространством ( )S,X . Далее более подробно рассмотрим именно
этот последний способ применения сигнальных пар.
Для получения первоначального представления о том, что именно по-
нимается под использованием сигнальных пар в роли строительного мате-
риала, достаточно обратиться к элементарной теории вероятностей. Дейст-
вительно, нетрудно построить теоретико-вероятностный аналог понятия
сигнальная пара, а затем рассмотреть известные в теории вероятностей пре-
образования. Вероятностным аналогом сигнальной пары ( )VS, над парой
алфавитов ),( YX будет пара вида ),( sp , где p — распределение вероятно-
стей (РВ) на множестве X , а s — переходное распределение (ПР) с множе-
ства X на множество Y . А известный аппарат комбинирования элементов
пары ),( sp позволяет построить из нее два новых распределения вероятно-
стей: 1) двумерное РВ на произведении YX× множеств X и Y ; и
2) одномерное РВ на множестве Y . Ниже мы сначала опишем оба эти спо-
соба построения новых РВ, а затем покажем, как построить аналогичные
способы комбинирования элементов сигнальных пар.
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 130
2. ПОНЯТИЯ КОМПОЗИЦИИ И СВЕРТКИ ДЛЯ РВ
Множество всех РВ на множестве X обозначается )(XP [1, с. 130]. Мно-
жество всех ПР с множества X на множество Y будем обозначать
),( YXS . Как видно из выражения (1) статьи [2], всякое ПР ),( YXs S∈
может быть представлено в виде семейства
)( |)|( Xxxss ∈= • , (1)
каждый элемент которого )|( xs • есть РВ на множестве Y (т.е. ∈• )|( xs
)(YP∈ ). А так как всякое семейство является функцией (для представления
которой используется особый язык семейств), соотношение ),( YXs S∈
равносильно утверждению, что s есть отображение множества X в )(YP .
Следовательно, ),( YXS есть множество всех отображений X в )(YP , т.е.
имеем соотношение
XYYX ))((),( PS = . (2)
Пусть теперь задана пара ),( sp такая, что )(Xp P∈ и ),( YXs S∈ .
Построим два новых РВ: 1) (двумерное) распределение
)|()(),( xysxpyxsp df ⋅= ◊ YX× (3)
на произведении множеств YX× и 2) (одномерное) распределение
)|()(* xysxpysp
Xx
df ⋅∑
∈
= ◊Y (4)
на множестве Y .
Определение 2. Для любых )(Xp P∈ и ),( YXs S∈
sp
распределения
вероятностей и sp* (характеризуемые дефинициями (3) и (4)) будем
называть соответственно композицией и сверткой пары ),( sp . ■
В силу дефиниций (3) и (4) вероятность ),( yxsp совместного выпаде-
ния пары ),( yx элементов Xx∈ и Yy∈ имеет вид
)|()(),( xysxpyxsp ⋅= , (5)
а вероятность )(* ysp элемента Yy∈ — вид
)|()()(* xysxpysp
Xx
⋅∑
∈
= . (6)
Сравнение же соотношений (5) и (6) дает для каждого Yy∈ следующее ра-
венство:
),()(* yxspysp
Xx
∑
∈
= . (7)
Сигнальные пары и их применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 131
spКомпозицию и свертку sp* пары ),( sp дальше будем использо-
вать в качестве образца для получения аналогичных понятий композиции и
свертки сигнальных пар вида ( )VS, .
3. КОМПОЗИЦИИ И СВЕРТКИ СИГНАЛЬНЫХ ПАР
Пусть заданы: КС )(XT∈S (по множеству X ) и (замкнутый) канал
),( YXV∈V (над парой алфавитов ),( YX ). Иначе говоря, задана СП вида
( )VS, . В работе [2, разд. 2] было принято соглашение, что всякий канал
),( YXV∈V может быть представлен в виде семейства
)( | Xxx
df ∈= VV , (8)
где xV для каждого Xx∈ есть КС по множеству Y (ввиду замкнутости ка-
нала V).
Начнем с построения композиции сигнальной пары ( )VS, . Пусть задана
некоторая (двуместная) функция YXh ×
+∈R . Из функции h , определенной на
множестве YX× , можно с помощью канала V получить (ввиду (8)) сле-
дующую (одноместную) функцию 1h , определенную на множестве X :
),(1 yxh
x
xh
Yydf ∈
= V ◊ X . (9)
Так как по условию каждый КС xV , входящий в состав канала V, явля-
ется нормальным (т.е. сохраняет нуль) [2, разд. 2, определение 1], значение
),()(1 yxh
x
xh
Yy∈
=V (10)
функции 1h для каждого Xx∈ удовлетворяет неравенству 0)(1 ≥xh [2,
разд. 2]. Таким образом, функция 1h принадлежит множеству X
+R ,
S
и к ней,
следовательно, можно применить КС (по множеству X ) из СП ( )VS, . Ре-
зультат будет таким:
),()( 1 yxh
x
h
YyXx ∈∈
= VSS . (11)
Определение 3. ( )VS,Пусть задана сигнальная пара над парой алфави-
тов ),( YX . Композицией сигнальной пары ( )VS, будем называть (двумер-
ное) ПН вида ( )VS,YX× , а иногда — КС VS этого пространства, характе-
ризуемый дефиницией
),( yxh
x
h
Yydf Xx ∈∈
= VSVS ◊ YX 5
+R . ■ (12)
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 132
Из дефиниции (12) следует, что для каждой функции YXh ×
+∈R имеет
место
),()( yxh
x
h
YyXx ∈∈
= VSVS . (13)
Аналогично можно прийти к определению понятия свертки СП ( )VS, .
Пусть задана функция Yg +∈R . Из функции g , определенной на множестве
Y , можно с помощью канала V получить функцию 1g , определенную на
множестве X :
)(1 gxg x
df V= ◊ X . (14)
Ввиду нормальности каждого КС xV , для любого Xx∈ значение
)()()(1 yg
x
gxg
Yy
x
∈
== VV (15)
функции 1g удовлетворяет неравенству 0)(1 ≥xg . Таким образом, функция
1g принадлежит множеству X
+R , S и к ней можно применить КС из СП
( )VS, :
)()( 1 gg x
Xx
VS S
∈
= . (16)
Определение 4. ( )VS,Пусть задана сигнальная пара над парой алфави-
тов ),( YX . Сверткой сигнальной пары ( )VS, будем называть ПН вида
( )VS*,Y , а иногда — КС VS∗ этого пространства, характеризуемый дефи-
ницией
)(* gg x
Xxdf VVS S
∈
= ◊ Y
+R . ■ (17)
Из дефиниции (17) следует, что для каждой функции Yg +∈R имеет
место
)()()(* yg
x
gg
YyXx
x
Xx ∈∈∈
== VSS VVS . (18)
Таким образом, найдены два способа комбинирования элементов СП
( )VS, , в результате применения которых получаются: 1) (двумерное) ПН ви-
да ( )VS,YX× , названное композицией СП ( )VS, ; и 2) (одномерное) ПН ви-
да ( )VS*,Y , названное сверткой СП ( )VS, . Теперь необходимо показать, что
эти новые понятия композиции и свертки действительно являются расшире-
ниями соответствующих понятий композиции и свертки пар вида ),( sp .
Иначе говоря, нужно показать, что выполняется требование преемственно-
сти в развитии аппарата неопределенности, которое было сформулировано
в работе [3, разд. 3].
Сигнальные пары и их применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 133
4. ВЫПОЛНЕНИЕ ТРЕБОВАНИЯ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ
Как показано в работах [3, 4], для проверки выполнения требования преем-
ственности достаточно применить новый аппарат к вероятностному типу
неопределенности.
Итак, пусть задана пара ),( sp , )(Xp P∈где и ),( YXs S∈ . Факти-
чески задание пары ),( sp равносильно заданию ,( p∑СП вида ∑s ) , где
p∑ )( , pX ∑— КС шенноновского пространства [1, с. 130], а ∑s
,( p∑
— шен-
ноновский канал [2, разд. 1]. Сигнальную пару ∑s )
),( sp
тоже будем назы-
вать шенноновской. Наша задача сводится к тому, чтобы сравнить компо-
зицию и свертку пары с композицией и сверткой шенноновской СП
,( p∑ ∑s ) .
Теорема. )(Xp P∈Для любых и ),( YXs S∈ имеют место равенства
p∑ ∑s sp ∑= *p∑, ∑s sp *
∑= ,
sp ∑
(19)
где и sp *
∑ — критерии свертывания шенноновских пространств
)( , spYX ∑× и )( , spY ∗∑ , соответствующих композиции sp и свертке
sp* пары ),( sp . ■
Доказательство.
sp ∑
Докажем сначала первое равенство из (19). КС
шенноновского пространства )( , spYX ∑× характеризуется (по
аналогии с выражением (1) из работы [1]) следующим условием: для каждой
(двуместной) функции YXh ×
+∈R должно выполняться равенство
),()(
),(
yxsphsp
YXyx
∑
∈
=∑
⊙ ),( yxh , (20)
откуда ввиду (5) получим
)()( xphsp
Xx
∑
∈
=∑ ⊙ )|( xys
Yy
∑
∈
⊙ ),( yxh . (21)
Дальнейшие же элементарные преобразования выражения (21) дают
)()( xphsp
Xx
∑
∈
=∑ ⊙ ),()|(),()|( yxhxspyxhxs
YyXxYy ∈∈∈
•• ∑∑=∑ . (22)
С другой стороны, ввиду дефиниции (12) КС p∑ ∑s имеет вид
p∑ ∑s ),()|( yxhxsph
YyXx ∈∈
•∑∑= ◊ YX 5
+R . (23)
Сравнение выражений (22) и (23) показывает, что имеет место первое из ра-
венств (19).
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 134
Второе из равенств (19) доказывается аналогично. Так, КС sp *
∑
шенноновского пространства )( , spY ∗∑ характеризуется следующим усло-
вием: для каждой функции Yg +∈R должно выполняться равенство
)(*)(
*
yspgsp
Yy
∑
∈
=∑ ⊙ )(yg , (24)
откуда ввиду (7) нетрудно получить выражение
),()(
*
yxspgsp
YyXx
∑∑
∈∈
=∑ ⊙ )()|()( ygxspyg
YyXx ∈∈
•∑∑= . (25)
С другой стороны, ввиду дефиниции (17) КС *p∑ ∑s имеет вид
*p∑ ∑s )()|( ygxsph
YyXx ∈∈
•∑∑= ◊ Y
+R . (26)
Сравнение выражений (25) и (26) показывает, что имеет место второе из ра-
венств (19).
Теорема доказана. ■
5. СВЯЗЬ СВЕРТОК С КОМПОЗИЦИЯМИ
Существование некой связи между свертками и композициями не вызывает
сомнений — достаточно сравнить выражения (13) и (18) или просто взгля-
нуть на выражение (7). Сейчас мы хотим выяснить характер этой связи. Для
этого рассмотрим сначала известный из теории вероятностей метод по-
строения маргинальных РВ (или иначе — проекций) по заданному на произ-
ведении двух множеств двумерному распределению вероятностей.
Итак, пусть на произведении YX× множеств X и Y задано дву-
мерное РВ )( YX×∈Pπ . Первой и второй проекцией
)( YX×∈Pπ
распределения
называются следующие два РВ соответственно на множестве
X и на множестве Y :
),(pr1 yxx
Yy
ππ ∑
∈
= ◊ X , (27)
),(pr2 yxy
Xx
ππ ∑
∈
= ◊Y . (28)
Пусть теперь заданы: РВ )(Xp P∈ (на множестве X ) и ПР
),( YXs S∈ (с X на Y ). Тогда, поскольку композиция sp пары ),( sp
есть двумерное РВ на произведении YX× , с помощью выражений (27) и
(28) можно найти первую и вторую проекции распределения sp . Сопоста-
вив выражения (7) и (28), приходим к выводу, что интересующая нас связь
между сверткой и композицией пары ),( sp имеет следующий простой вид:
Сигнальные пары и их применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 135
)(pr* 2 spsp = . (29)
Сразу возникает вопрос о характере связи между сверткой VS∗ и компози-
цией VS сигнальной пары ( )VS, . Можно ли эту связь выразить с помощью
соотношения, аналогичного (29)? Для ответа на этот вопрос пришлось бы
сначала построить понятие проекции для двумерных ПН. Однако эта задача
уже была решена в работе [5, разд. 9]. Так что здесь имеется возможность
просто взять готовый результат.
Итак, пусть задано некоторое двумерное ПН )( , WYX× вида (где W —
КС по произведению YX× ). Тогда можно построить два новых (одномер-
ных) ПН )( 1pr, WX и )( 2pr, WY , где критерии W1pr и W2pr характеризуются
следующими условиями: для любых двух функций Xf +∈R и Yg +∈R вы-
полняются равенства
)()(pr
),(
1 xff
YXyx ×∈
= WW , (30)
)()(pr
),(
2 ygg
YXyx ×∈
= WW .
( )VS,
(31)
Если теперь посмотреть сначала на выражения (13) и (18), а затем — на (31),
то станет ясно, что для сигнальной пары имеет место равенство
)(pr* 2 VSVS = , (32)
аналогичное равенству (29). Таким образом, мы выяснили характер связи
между свертками и композициями сигнальных пар (и показали одновремен-
но, что смысл этой связи при переходе от вероятностного типа неопреде-
ленности к общему случаю совершенно не изменился).
6. СИГНАЛЬНЫЕ ПАРЫ С ФИКТИВНЫМИ КАНАЛАМИ
Рассмотрим теперь СП над парой алфавитов ),( YX вида ( )VS, такую, что
канал V является фиктивным [2, разд. 5, пример 8]. Фиктивность канала V
означает, что он имеет вид
)( | Xx∈= TV , (33)
где T — реализатор канала V, представляющий собой КС по множеству Y .
Построим композицию VS сигнальной пары ( )VS, с таким каналом V. То-
гда ввиду выражения (13) для каждой (двуместной) функции YXh ×
+∈R мо-
жем написать
),()( yxhh
YyXx ∈∈
= TSVS . (34)
Полученное выражение (34) выглядит довольно странно. В самом деле,
его правая часть не содержит буквы V, которая имеется в левой части, а
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 136
вместо нее содержит букву T (которой в левой части нет). Это означает, что
правая часть выражения (34) фактически описывает некоторую конструк-
цию, скорее, из элементов пары ( )TS, , чем из элементов пары ( )VS, . Это на-
блюдение можно узаконить с помощью следующего определения.
Определение 5. ( )S,X Пусть заданы два ПН и ( )T,Y , причем про-
странство ( )T,Y является нормальным. ( )S,X Произведением пространств
и ( )T,Y (взятых в указанном порядке) будем называть (двумерное) ПН вида
( )TS×× ,YX , КС TS× которого характеризуется дефиницией
),( yxhh
Yydf Xx ∈∈
=× TSTS ◊ YX×
+R . ■
)( , pX ∑
(35)
Рассмотрим вопрос о том, насколько согласуется такое понятие произ-
ведения двух ПН с известным понятием произведения двух РВ. С этой це-
лью применим понятие произведения ПН к двум шенноновским простран-
ствам и )( , qY ∑ (где )(Xp P∈ и )(Yq P∈ ). Найдем КС
qp ∑×∑ двумерного пространства )( , qpYX ∑×∑× . Ввиду выражения (35)
для каждой функции YXh ×
+∈R получим
)()()( yqxphqp
YyXx
∑∑
∈∈
⋅=∑×∑ ⊙ ),( yxh . (36)
С другой стороны, двумерное РВ )( YXqp ×∈× P , представляющее
собой произведение распределений p и q , есть, очевидно, функция сле-
дующего вида:
)()(),( yqxpyxqp df ⋅=× ◊ YX× . (37)
Следовательно, соответствующее распределению qp× двумерное шенно-
новское пространство )( , qpYX ×∑× описывается выражением
)()()( yqxphqp
YyXx
⋅∑∑
∈∈
=×∑ ⊙ ),( yxh , (38)
имеющим место для каждой функции YXh ×
+∈R . Сравнение же выражений
(36) и (38) позволяет убедиться, что имеет место равенство =∑×∑ qp
qp×∑= , которое и означает согласованность понятия произведения двух
ПН с понятием произведения двух РВ.
7. ПРИМЕРЫ КОМБИНИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Ввиду того что, как мы видели, описания композиции и свертки одной и той
же СП имеют очень много общего, здесь мы не будем (за исключением од-
ного случая) рассматривать параллельные примеры сверток и композиций.
Сигнальные пары и их применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 137
1. Свертка бесструктурного источника и шенноновского канала.
Рассмотрим СП над парой алфавитов ),( YX вида ,( XSUP ∑ )s XSUP, где —
КС бесструктурного ПН )( , XX SUP [1, с. 131], ∑s
s
— шенноновский канал, а
— ПР с X на Y . И пусть задана функция Yg +∈R . Тогда, как следует из
выражения (18), результат *XSUP ∑ )(gs применения свертки *XSUP ∑s
g
к
функции должен иметь вид
*XSUP ∑s )|()()|()( supsup xysygxsg
YyXxYyXx
∑
∈∈∈∈
=∑= • ⊙ )(yg . (39)
2. Свертка шенноновского источника и канала Заде. Теперь рас-
смотрим комбинацию, которую с некоторой натяжкой можно было бы счи-
тать обратной к рассмотренной выше. Пусть заданы: РВ )(Xp P∈ (на
множестве X ) и переходная функция принадлежности )( |)|( Xxx ∈= •λλ с
множества X на множество Y [2, выражение (10)]. Это значит, что мы име-
ем СП над парой алфавитов ),( YX вида ,( p∑ SUPλ ) , где
SUPλ )( |)|( Xxx ∈= ⋅λSUP
[там же, выражение (12)]. И пусть задана функция Yg +∈R . Тогда, как следу-
ет из выражения (18), результат *p∑ SUP )(gλ
*p∑
применения свертки
SUPλ g к функции должен иметь вид
*p∑ SUPλ )()( xpg
Xx
∑
∈
= ⊙ =
∈
• )()|( ygx
Yy
λSUP
)(xp
Xx
∑
∈
= ⊙ )|(sup xy
Yy
λ
∈
⊙ )(yg . (40)
3. Свертка СП с идеальным каналом. Построим теперь свертку сиг-
нальной пары вида ( )1,S (состоящей из произвольного КС S и идеального
канала 1 ) над парой алфавитов ),( XX . Для всякой функции Xf +∈R со-
гласно выражению (18) получим
)()(* yf
x
f
XyXx ∈∈
= 11 SS . (41)
А в силу выражения (22) из работы [2, разд. 5] можно написать
)()()( xffyf
x x
Xy
==
∈
11 . (42)
Таким образом, мы получили вывод, что для каждой функции Xf +∈R
имеет место равенство
)()()(* fxff
Xx
SS S ==
∈
1 , (43)
из которого следует, что выполняется равенство SS =∗1 .
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 138
4. Композиция СП с идеальным каналом. Построим теперь компози-
цию той же сигнальной пары вида ( )1,S над парой алфавитов ),( XX . Для
всякой функции XXh ×
+∈R ввиду (13) можно написать
),()( yxh
x
h
XyXx ∈∈
= 11 SS . (44)
Для того чтобы раскрыть выражение (44), двуместную функцию h
представим в виде семейства одноместных функций. С этой целью для каж-
дого Xx∈ зададим одноместную функцию xh (определенную на множест-
ве X ) следующего вида:
),( yxhyh dfx = ◊ X . (45)
Ввиду (45) для любых Xyx ∈, имеем равенство )(),( yhyxh x= , из которого
в силу соотношения (22) из работы [2] следует, что для каждого Xx∈ име-
ет место
),()()()(),( xxhxhhyh
x
yxh
x
xxx
x
XyXy
====
∈∈
111 . (46)
Поэтому вместо (44) окончательно получим
),()( xxhh
Xx∈
= SS 1 . (47)
Заметим, что в построенном таким образом двумерном ПН
( )1S,XX× все точки XXyx ×∈, такие, что xy ≠ , образуют область без-
различия этого пространства. Кроме того, выражения (47) и (43) полностью
разъясняют характерные особенности функционирования идеального
канала 1 .
8. КОММЕНТАРИИ
Хорошо известно, что взятый за образец теоретико-вероятностный аппарат
композиций и сверток для пар вида ),( sp (где )(Xp P∈ и ),( YXs S∈ ) не
позволяет выйти за рамки вероятностного типа неопределенности. Поэтому
здесь стоит специально подчеркнуть, что предложенный аппарат компози-
ций и сверток сигнальных пар вида ( )VS, (где )(XT∈S и ),( YXV∈V ) дает
возможность получать комбинированные пространства неопределенности
совершенно новых типов (не сводящихся ни к типу критерия S, ни к типу
канала V). То же самое можно сказать и о возникшем как бы попутно аппа-
рате для построения произведений ( )TS×× ,YX двух ПН ( )S,X и ( )T,Y .
Это значит, что предложенный аппарат позволяет резко увеличить раз-
нообразие тех типов неопределенности, которые могут быть формализованы
(и получить тем самым доступ ко всему математическому инструментарию
теории неопределенности). Как уже отмечалось, наряду с (уже освоенными)
Сигнальные пары и их применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 139
простейшими типами неопределенности могут существовать и более слож-
ные типы, формализация которых становится возможной благодаря аппара-
ту сверток, композиций и произведений. Легко также понять, что этот аппа-
рат можно применять больше одного раза (так как комбинированные КС,
такие как VS∗ , VS и TS× , могут снова использоваться в качестве источни-
ков сигнальных пар и порождать таким образом новые свертки, композиции
и произведения). Причем очевидно, что при увеличении числа таких ступе-
ней комбинирования разнообразие новых более сложных пространств неоп-
ределенности будет очень быстро расти.
Нужно еще специально подчеркнуть, что все без исключения комбини-
рованные ПН, которые можно построить с помощью предложенного аппа-
рата сверток, композиций и произведений, ничем «не хуже» любых других
пространств в том смысле, что к ним можно применять все общие резуль-
таты теории неопределенности.
Так, например, в силу теоремы 1 из работы [6, разд. 2] все пространства
неопределенности (значит, и комбинированные тоже) обладают энтропией,
а следовательно, удовлетворяют основной теореме кодирования [там же,
теорема 4]. Далее, если комбинированное ПН является информационным [7,
определение 6], то для него определена информационная функция. Иначе
говоря, каждой его точке поставлено в соответствие некоторое количество
информации [там же, определение 7]. Каждое информационное пространст-
во (и комбинированное тоже) ввиду наличия у него информационной функ-
ции обладает кроме энтропии еще одной интегральной характеристикой —
мерой неопределенности (которая обычно отличается от энтропии) [там же,
определение 8]. А это значит, что для информационных пространств спра-
ведлива также усиленная теорема кодирования [там же, с. 78].
+R
Но это — не все. Так, каждое ПН (комбинированное или нет) обладает
так называемой шкалой (шкала представляет собой функцию, отображаю-
щую в R [8, разд. 1]. Особо интересны свойства пространств, у которых
шкала является инъекцией. Такие пространства названы усредняющими [там
же, разд. 3]. Они допускают построение своих равномерных версий [там же,
разд. 6], а кроме того, каждое такое пространство характеризует некоторое
специфическое понятие среднего значения функции [там же, разд. 4] (откуда
и название усредняющие ПН). Таким образом, в качестве побочного резуль-
тата, связанного с появлением аппарата сверток, композиций и произведе-
ний, мы получили аппарат для построения большого количества новых ти-
пов понятия среднего.
Специального внимания заслуживает аппарат сверток сигнальных пар,
отличающийся от аппарата композиций и произведений тем, что приводит к
повышению уровня сложности результата без нарастания размерностей.
Эта особенность позволяет использовать свертки для формализации ситуа-
ций неопределенности, имеющих как бы внутреннюю иерархическую
структуру. Одним из наиболее важных примеров этого рода является поли-
вероятностный тип неопределенности, описание которого дается ниже.
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 140
9. ПОНЯТИЕ ПОЛИВЕРОЯТНОСТНОЙ СИТУАЦИИ
До сих пор широко распространена одна довольно забавная иллюзия. Мно-
гие, в том числе и специалисты по теории вероятностей, думают, что ко
всем ситуациям неопределенности, имеющим вероятностную природу,
можно применять аппарат теории вероятностей. Поливероятностные ситуа-
ции являются простейшим очевидным опровержением этого мнения. Опи-
сываются такие ситуации следующим образом.
Предположим, известно, что из множества (которое предполагается
дискретным) всех возможных состояний природы выбрано (но результат
выбора остался неизвестным) некоторое состояние в результате жеребьев-
ки, которая управлялась конкретным распределением вероятностей. Таким
образом, ситуация неопределенности, касающаяся неизвестного состояния
природы, явно имеет вероятностную природу. Однако отсюда еще не сле-
дует, что она является вероятностной ситуацией, т.е. такой, к которой мож-
но применить математический аппарат теории вероятностей! Действитель-
но, затруднение состоит в том, что о распределении, которое управляло
упомянутой жеребьевкой, имеются лишь неполные или косвенные сведения
(например, известна система ограничений, которым оно должно удовлетво-
рять) или же сведения вообще отсутствуют. Наиболее универсальный спо-
соб описания ситуаций этого типа состоит в явном указании некоторого
множества РВ, которому гарантированно принадлежит неизвестное рас-
пределение, управлявшее жеребьевкой. Такие ситуации мы и называем по-
ливероятностными.
Говоря точнее, ситуация неопределенности на дискретном множестве
X называется поливероятностной ситуацией, если она характеризуется
(исчерпывающим образом) заданием некоторого (непустого) множества
распределений вероятностей )(XQ P⊂ (при заранее оговоренном условии,
что фактически действующее в этой ситуации РВ принадлежит множе-
ству Q ) Q. Это определение подразумевает, что кроме множества , к кото-
рому принадлежит действующее РВ, об описываемой поливероятностной
ситуации неизвестно больше ничего. Так, например, не предполагается, что
на множестве Q задана какая-либо структура (вероятностный закон, поря-
док и т.п.).
Заметим, что согласно предложенному определению в объем понятия
поливероятностная ситуация включаются два крайних частных случая:
1) обычная вероятностная ситуация, т.е. такая, что }{qQ = , где q есть
действующее РВ; 2) ситуация полной неизвестности, т.е. такая, что
)(XQ P⊂ .
10. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПОЛИВЕРОЯТНОСТНЫХ СИТУАЦИЙ
Теперь мы покажем, как можно погрузить поливероятностные ситуации
неопределенности в пространства неопределенности. Сначала предполо-
жим, что множество Q (характеризующее поливероятностную ситуацию)
Сигнальные пары и их применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 141
дискретно. Подчеркнем сразу, что предположение о дискретности множест-
ва Q (которое, очевидно, исключает возможность равенства )(XQ P= ) в
дальнейшем будет снято. Поскольку определение поливероятностных си-
туаций предполагает отсутствие на множестве Q какой бы то ни было
структуры, наиболее естественно предположить, что на множестве Q имеет
место именно бесструктурная ситуация неопределенности. Таким образом,
согласно нашему погружению бесструктурных ситуаций [1, с. 131], на мно-
жестве Q можно построить ПН )( , QQ SUP , где КС QSUP имеет вид
)(sup qgg
Qq
dfQ
∈
= SUP ◊ Q
+R (48)
(верхняя грань берется в множестве R ).
Рассмотрим теперь канал
∑Q )( | Qqqdf ∈∑= (49)
над парой алфавитов ),( XQ , ассоциированный с вероятностями из Q [2,
разд. 5, выражение 17]. Поскольку канал ∑Q является замкнутым, можем
образовать сигнальную пару ,( QSUP ∑Q )
),( XQ
(над той же парой алфавитов
) и построить ее свертку по образцу выражения (17), которую обо-
значим )(Q :
*Qdf SUP=)(Q ∑Q )(sup ff q
Qq
∑=
∈
◊ X
+R . (50)
В результате мы получили новое ПН вида )( , )(QX . Заметим, что ввиду
(50) и выражения (2) из работы [2] для каждой функции Xf +∈R имеет ме-
сто
)()( sup xqf
XxQq
∑
∈∈
=)(Q ⊙ )(xf . (51)
Это новое ПН )( , )(QX и предлагается здесь в качестве формализации
поливероятностной ситуации, характеризуемой множеством распределений
)(XQ P⊂ . Причем, принятое выше допущение о дискретности множества
Q не является необходимым для существования пространства )( , )(QX и,
следовательно, это допущение можно снять. Действительно, можно пока-
зать, что в выражении (51) верхняя грань будет существовать независимо от
того, какова функция Xf +∈R и каково множество )(XQ P⊂ . Поэтому не
исключен также случай )(XQ P= .
В честь М. Бонгарда, который, по-видимому, первый не только обратил
внимание на практическую важность поливероятностных ситуаций неопре-
деленности, но и попытался создать для таких ситуаций математический
аппарат [9, 10], пространства вида )( , )(QX (где Q — произвольное под-
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 142
множество множества )(XP ) мы будем называть пространствами Бон-
гарда.
Подчеркнем снова, что на пространства Бонгарда (так же, как и на все
остальные ПН, получаемые с помощью аппарата сверток, композиций и
произведений) распространяется весь математический аппарат, а также все
общие результаты теории неопределенности. Заметим еще, что математиче-
ский аппарат, предложенный М. Бонгардом для поливероятностных ситуа-
ций, довольно близок к тому, который получится в результате применения
общего аппарата неопределенности к пространствам Бонгарда.
Ввиду того что поливероятностные ситуации представляют собой чрез-
вычайно важный с практической точки зрения тип неопределенности, про-
странства Бонгарда в дальнейшем подлежат очень пристальному изучению
(поскольку каждый частный случай чреват собственными специфическими
проблемами; типичная из таких проблем — нахождение практичного метода
вычисления энтропии).
ВЫВОДЫ
1. Введено новое понятие сигнальная пара, которое может использо-
ваться несколькими способами: а) как фрагмент модели системы связи;
б) как часть описания задачи принятия решений; в) как строительный мате-
риал, используемый для конструирования способов описания сложных ти-
пов неопределенности.
2. Построен еще один фрагмент общего аппарата неопределенности,
содержащий преобразования сигнальных пар — свертку, композицию и
произведение, — аналогичные хорошо известным из элементарной теории
вероятностей преобразованиям распределений вероятностей.
3. С помощью аппарата сверток построен класс пространств неопреде-
ленности (пространства Бонгарда), которые позволяют формализовать си-
туации неопределенности поливероятностного типа. Предложенное таким
образом погружение поливероятностных ситуаций в пространства неопре-
деленности позволит применять к ним общий математический аппарат не-
определенности, который подобен (не по форме, но по смыслу) существую-
щему аппарату для вероятностных ситуаций.
4. Этот результат имеет особое значение ввиду того, что, хотя поливе-
роятностные ситуации встречаются в практических задачах очень часто, ра-
бота с ними наталкивается на следующие трудности. Они не являются веро-
ятностными ситуациями в обычном смысле — к ним неприменим аппарат
теории вероятностей (а также и аппарат теории информации). С целью сде-
лать все же возможным решение практических задач поливероятностные
ситуации чаще всего заранее (т.е. еще до начала решения задачи) «прибли-
зительно» подменяют обычными вероятностными ситуациями (например,
путем якобы «усреднения»). Предложенное здесь погружение поливероят-
ностных ситуаций позволит отказаться от подобной практики некорректно-
го решения задач.
Сигнальные пары и их применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 143
ЛИТЕРАТУРА
1. Дидук Н.Н. Пространства неопределенности и изоморфизм // Системні
дослідження та інформаційні технології. — 2002. — № 4. — С. 128–143.
2. Дидук Н.Н. Информационные каналы как развитие представлений о каналах
связи // Там же. — 2007. — № 1. — С. 129–141.
3. Дидук Н.Н. Прообразы пространств неопределенности. Простые подпростран-
ства // Там же. — 2005. — № 1. — С. 127–142.
4. Дидук Н.Н. Решение задачи ограничения пространств неопределенности // Там
же. — 2006. — № 1. — С. 106–118.
5. Дидук Н.Н. Система морфизмов для пространств неопределенности и ее при-
менение // Там же. — 2003. — № 1. — С. 34–47.
6. Дидук Н.Н. Свойства дискретных пространств неопределенности. Уточнение
основной теоремы кодирования // Кибернетика и системный анализ. —
1994. — № 1. — С. 14–24.
7. Дидук Н.Н. Информационные пространства. Понятия собственной информации
и неопределенности // Кибернетика. — 1986. — № 4. — С. 74–80.
8. Дидук Н.Н. Понятие шкалы пространства неопределенности и его применение
// Системні дослідження та інформаційні технології. — 2004. — № 3. —
С. 115–127.
9. Бонгард М.М. О понятии «полезная информация» // Проблемы кибернетики.
Вып. 9. — М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1963. — С. 71–102.
10. Бонгард М.М. Проблема узнавания. — М.: Наука, 1967. — 320 с.
Поступила 21.07.2006
НОВІ МЕТОДИ В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ, ІНФОРМАТИЦІ ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
1. ПОНЯТИЕ СИГНАЛЬНОЙ ПАРЫ
2. ПОНЯТИЯ КОМПОЗИЦИИ И СВЕРТКИ ДЛЯ РВ
3. КОМПОЗИЦИИ И СВЕРТКИ СИГНАЛЬНЫХ ПАР
4. ВЫПОЛНЕНИЕ ТРЕБОВАНИЯ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ
5. СВЯЗЬ СВЕРТОК С КОМПОЗИЦИЯМИ
6. СИГНАЛЬНЫЕ ПАРЫ С ФИКТИВНЫМИ КАНАЛАМИ
7. ПРИМЕРЫ КОМБИНИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
8. КОММЕНТАРИИ
9. ПОНЯТИЕ ПОЛИВЕРОЯТНОСТНОЙ СИТУАЦИИ
10. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПОЛИВЕРОЯТНОСТНЫХ СИТУАЦИЙ
ВЫВОДЫ
|