Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности
Рассмотрена задача оптимизации инвестиционного портфеля в условиях неопределенности. Предложена математическая модель нечеткомножественной оптимизации портфеля и предложен алгоритм ее решения с использованием методов нелинейного программирования. Проведен сравнительный анализ оптимального портфеля д...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/14614 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности / Ю.П. Зайченко, М. Есфандиярфард // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 2. — С. 59-76. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860041393249976320 |
|---|---|
| author | Зайченко, Ю.П. Есфандиярфард, М. |
| author_facet | Зайченко, Ю.П. Есфандиярфард, М. |
| citation_txt | Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности / Ю.П. Зайченко, М. Есфандиярфард // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 2. — С. 59-76. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Рассмотрена задача оптимизации инвестиционного портфеля в условиях неопределенности. Предложена математическая модель нечеткомножественной оптимизации портфеля и предложен алгоритм ее решения с использованием методов нелинейного программирования. Проведен сравнительный анализ оптимального портфеля для нечеткой множественной модели и задачи Марковитца. На примере курсов акций Московской фондовой биржи показано, что эти решения принципиально различаются. Дана интерпретация полученных результатов.
The problem of investment portfolio optimization under uncertainty is considered. A mathematical model of this problem is elaborated, and an algorithm of its solution using a nonlinear programming is proposed. The experimental investigation of the approach proposed has been carried out, and comparison of the optimal portfolios obtained by the fuzzy and Markovitz models was performed. By the example of the Moscow Stock Exchange, it is shown that the solutions are quite different. The interpretation of the ressults obtained is presented.
Розглянуто задачу оптимізації інвестиційного портфеля за умов невизначеності. Розроблено математичну модель нечітко-множинної оптимізації портфеля і запропоновано алгоритм її розв’язання із використанням методів нелінійного програмування. Проведено порівняльний аналіз оптимального портфеля для нечіткої множинної моделі та задачі Марковитца. На прикладі курсів акцій Московської фондової біржи показано,що ці рішення принципово відрізняються. Наведено інтерпретацію одержаних результатів.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:56:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ю.П. Зайченко, М. Есфандиярфард, 2008
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 59
TIДC
ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ ПРОБЛЕМИ
ІНТЕЛЕКТУАЛЬНИХ СИСТЕМ ПІДТРИМКИ
ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 519.8
ОПТИМИЗАЦИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Ю.П. ЗАЙЧЕНКО, М. ЕСФАНДИЯРФАРД
Рассмотрена задача оптимизации инвестиционного портфеля в условиях неоп-
ределенности. Предложена математическая модель нечетко-множественной
оптимизации портфеля и предложен алгоритм ее решения с использованием
методов нелинейного программирования. Проведен сравнительный анализ оп-
тимального портфеля для нечеткой множественной модели и задачи Марко-
витца. На примере курсов акций Московской фондовой биржи показано, что
эти решения принципиально различаются. Дана интерпретация полученных
результатов.
ВВЕДЕНИЕ
Портфельный анализ существует, пожалуй, столько же, сколько люди заду-
мываются о принятии рациональных решений, связанных с использованием
ограниченных ресурсов. Однако момент возникновения портфельного ана-
лиза можно датировать довольно точно — это выход в 1952 г. пионерской
работы Гарри Марковитца [1]. Предложенная в ней модель, достаточно про-
стая по существу, позволила уловить основные черты финансового рынка с
точки зрения инвестора и дала ему инструмент для выработки рациональ-
ных инвестиционных решений.
Центральной проблемой в теории Марковитца является выбор портфе-
ля, т. е. набора операций. При этом в оценке как отдельных операций, так и
их портфелей учитываются два важнейших фактора: доходность и риск опе-
раций, а также их портфелей. Риск при этом получает количественную оце-
нку. Существенным моментом в теории оказывается учет взаимных корре-
ляционных зависимостей между доходностями операций. Именно он
позволяет проводить эффективную диверсификацию портфеля, приводя-
щую к значительному снижению риска портфеля по сравнению с риском
включенных в него операций. Наконец, количественная характеристика ос-
новных инвестиционных показателей позволяет ставить и решать задачу
выбора оптимального портфеля в виде задачи квадратичной оптимизации.
Однако прокатившиеся по всему миру рыночные кризисы 1997–1998 и
2000–2001 гг., принесшие только американским инвесторам убытки в
10 триллионов долларов, показали, что существующие теории оптимизации
фондовых портфелей и прогнозирования фондовых индексов себя исчерпа-
ли и необходима существенная ревизия методов фондового менеджмента.
Ю.П. Зайченко, М. Есфандиярфард
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 60
Таким образом, из-за явной недостаточности имеющихся научных ме-
тодов управления финансовыми активами потребовалась разработка прин-
ципиально новой теории управления финансовыми системами, функ-
ционирующими в условиях существенной неопределенности, в которой
использовалась теория нечетких множеств, заложенная около полувека на-
зад в фундаментальных работах Лофти Заде.
Цель настоящей работы — исследование и анализ качественно нового
подхода к управлению фондовым портфелем, основанного на применении
теории нечетких множеств, а также разработка реализующих данный под-
ход алгоритмов и сравнение результатов их применения с результатами, по-
лученными при использовании классических вероятностных методов.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим фондовый портфель из N компонентов и его ожидаемое
поведение на интервале времени [ ]T,0 . Каждая из компонент портфеля
Ni ,...,1= характеризуется своей финансовой доходностью ir .
Держатель фондового портфеля (частный вкладчик, инвестиционная
компания, взаимный фонд) управляет своими инвестициями, руководству-
ясь определенными соображениями, например, с одной стороны, инвестор
старается максимизировать доходность, с другой — фиксирует предельно
допустимый риск неэффективности своих инвестиций. Примем капитал ин-
вестора равным 1. Задача оптимизации фондового портфеля заключается в
нахождении вектора долевого ценового распределения бумаг в портфеле
{ }ixx = , Ni ,1= , максимизирующего доход инвестора при заданном уровне
риска (очевидно, что ∑
−
=
N
i
ix
1
1 , 0≥ix ).
ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ МАРКОВИТЦА
Пусть портфель содержит N типов ценных бумаг, каждая из которых ха-
рактеризуется пятью параметрами:
1) начальной ценой 0iW одной бумаги перед помещением ее в порт-
фель;
2) числом бумаг in в портфеле;
3) начальными инвестициями 0iS в данный портфельный сегмент, при-
чем
iii nWS 00 = ; (1)
4) среднеожидаемой доходностью бумаги ir ;
5) ее стандартным отклонением iσ от значения ir .
Делается основное допущение: случайная величина доходности бумаги
имеет нормальное распределение с первым начальным моментом ir и вто-
рым центральным моментом iσ . Это распределение не обязательно должно
Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 61
быть нормальным, но из условий винеровского случайного процесса нор-
мальность вытекает автоматически.
Сам портфель характеризуется следующими параметрами:
• суммарным объемом портфельных инвестиций S ;
• долевым ценовым распределением бумаг в портфеле { }ix , причем
для исходного портфеля выполняется
S
S
x i
i
0= , ∑
=
=
N
i
ix
1
1 , Ni ,1= ; (2)
• корреляционной матрицей }{ ijρ , коэффициенты которой характери-
зуют связь между доходностями i -й и j -й бумаг.
Если 1−=ijρ , то это означает полную отрицательную корреляцию, ес-
ли 1=ijρ — имеет место положительная корреляция. Всегда выполняется
1=ijρ , так как ценная бумага положительно коррелирует сама с собой.
Таким образом, портфель описан системой статистически связанных
случайных величин с нормальными законами распределения. Тогда, соглас-
но теории случайных величин, ожидаемая доходность портфеля r находит-
ся по формуле
∑
=
=
N
i
ii rxr
1
, (3)
а стандартное отклонение портфеля
2
1
1 1
= ∑∑
= =
N
i
N
j
jiijji xx σσρσ . (4)
Задача управления таким портфелем: определить вектор }{ ixx =
Ni ,1= , максимизирующий целевую функцию r вида (3) при заданном ог-
раничении на уровень риска σ , оцениваемый (4).
Найдем такой вектор
{ }ixx = Ni ,1= , 0≥ix ,
что
max→r , (5)
Mσσ ≤= const , (6)
1
1
=∑
=
N
i
ix , (7)
где Mσ — риск бумаги с максимальной среднеожидаемой доходностью.
Если задаваться различным уровнем ограничений по σ , то можно по-
лучить зависимость максимальной доходности от σ вида
)(maxmax σrr = . (8)
Ю.П. Зайченко, М. Есфандиярфард
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 62
Выражение (8), именуемое эффективной границей портфельного
множества, в координатах риск–доходность является кусочно-парабо-
лической вогнутой функцией без разрывов. Правой точкой границы являет-
ся точка, соответствующая случаю, когда в портфеле оказывается одна бу-
мага с максимальной среднеожидаемой доходностью.
СЛАБЫЕ СТОРОНЫ ЧЕТКОЙ МОДЕЛИ МАРКОВИТЦА
В процессе практического применения модели Марковитца выяснились ее
недостатки:
1. Гипотеза о нормальности распределений доходности на практике не
подтверждается.
2. Стационарность ценовых процессов также не всегда имеется на
практике.
3. Наконец, риск активов рассматривается как дисперсия (стандартное
отклонение) цен бумаг от ожидаемого значения, т. е. снижение доходности
бумаг по отношению к ожидаемому значению и увеличение доходности по
отношению к среднему считаются совершенно одинаковыми.
Хотя, на самом деле, для собственника бумаг эти события совсем не-
одинаковы.
Именно эти слабые стороны теории Марковитца обусловливают необ-
ходимость применения принципиально нового подхода к определению оп-
тимального инвестиционного портфеля.
ПРИМЕНЕНИЕ МНОЖЕСТВЕННОГО ПОДХОДА
Основные принципы и идея метода
1. Риск портфеля — это не его волатильность, а возможность того, что
ожидаемая доходность окажется ниже некоторой предварительно установ-
ленной величины.
2. Корреляция активов в портфеле не рассматривается и не учитывается.
3. Доходность каждого актива — не случайное число, а нечеткое. Ана-
логично ограничение на предельно низкий уровень доходности может быть
как «обычным» вещественным, так и нечетким числом произвольного вида.
Таким образом, мы сводим неопределенность двух источников информации
(среднюю доходность и волатильность актива) в один (расчетный коридор
доходности или цены).
Оптимизация портфеля в такой постановке может означать (в частном
случае) требование максимизировать ожидаемую доходность портфеля в
точке времени T при фиксированном уровне риска портфеля. Доходность
ценной бумаги по завершении срока владения ожидаемо равна r и находит-
ся в расчетном диапазоне. Для i -й ценной бумаги
ir — ожидаемая доходность;
1ir — нижняя граница доходности;
2ir — верхняя граница доходности;
( )iiii rrrr 21 ,,= — доходность, треугольное нечеткое число.
Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 63
Тогда доходность по портфелю
==== ∑∑∑
===
N
i
ii
N
i
ii
N
i
ii rxrrxrrxrr
1
2max
11
1min ;; , (9)
где ix — вес i -гo актива в портфеле, причем
1
1
=∑
=
N
i
ix , 10 ≤≤ ix . (10)
Критическим уровнем доходности портфеля на момент T может быть
нечеткое число треугольного вида ( )*
2
**
1
* ;; rrrr = .
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ ИНВЕСТИЦИОННОГО
ПОРТФЕЛЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ АППАРАТА НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Рассмотрим оценку риска портфельных инвестиций [2, 3]. На рис. 1 показа-
ны функции принадлежности (ФП) доходности r и критериального значе-
ния *r .
Точка с ординатой 1α — правая точка пересечения двух функций при-
надлежности. Выберем произвольный уровень принадлежности α и опре-
делим соответствующие интервалы ],[ 21 rr и ],[ *
2
*
1 rr . При 1αα > , *
21 rr >
интервалы не пересекаются, степень риска неэффективности равна нулю.
Уровень 1α — верхняя граница зоны риска. При 10 αα ≤≤ интервалы пе-
ресекаются.
На рис. 2 показано фазовое пространство r и ,*r где заштрихованная
область — это область неэффективной доходности r , определяющая зону
риска. Ее площадь
Рис. 1. Вид функции принадлежности r и *r
r1 –1 –0,8 –0,6 –0,4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 –0,2
*, rr
r2 1
µr
µr*
α1
α
0,4
0,6
0,2
0,8
1
*
2
*
1 rr
Ю.П. Зайченко, М. Есфандиярфард
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 64
≥−−
<≤<
−
−−−
><−
−+−
≥≥>
−
≥
=
,при)()(
,,при
2
)(
)()(
,,при)(
2
)()(
,;при
2
)(
,при0
*
1212
*
1
*
2
*
222
*
11
2*
12
12
*
1
*
2
*
22
*
111
*
2
1
*
21
*
1
*
22
*
11
*
2
2
1
*
2
*
21
rrrrrr
rrrrr
rr
rrrr
rrrrrr
rrrr
rrrrr
rr
rr
Sα (11)
где αS — площади заштрихованной области.
Так как все реализации ),( *rr при заданном уровне принадлежности α
равновозможны, то степень риска )(αϕ — геометрическая вероятность со-
бытия попадания точки ),( *rr в зону неэффективного распределения капи-
тала
)()(
)(
12
*
1
*
2 rrrr
S
−−
= ααϕ , (12)
итоговое значение степени риска неэффективности портфеля
( ) .
1
0
ααϕβ
α
d∫= (13)
Когда критерий эффективности определен четко уровнем *r , то пре-
дельный переход при **
2 rr → ; **
1 rr →
>
∈≤≤
−
−
<
=
.при1
,]1;0[;при
)(
)(
,при0
)(
2
*
2
*
1
12
1
*
1
*
rr
rrr
rr
rr
rr
ααϕ (14)
Рис. 2. Фазовое пространство ),( *rr
Зона
неэффективных
активов
Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 65
Для оценки риска необходимы два значения обратной функции (рис. 3):
1) )( 1
1 αµ −
r : *r , *~r ; 2) )0(1−
rµ , minr , maxr .
r~ — наиболее ожидаемое значение степени доходности портфеля,
риск β имеет вид [2–4]
( )
( )
≥
<≤
−
−
+−−
≤≤
−
−
+
<
=
,при1
,~при1ln
1
1)1(1
,~при1ln
1
1
,при0
max
*
max
*
1
1
1
*
min1
1
1
min
*
rr
rrrR
rrrR
rr
α
α
α
α
α
α
β (15)
где
≥
<
−
−
=
;при1
,при
max
*
max
*
minmax
min
*
rr
rr
rr
rr
R (16)
≥
<<
−
−
=
<≤
−
−
<
=
.при0
,~при~
,~при1
,~при~
,при0
max
*
max
*
max
*
max
*
*
min
min
min
*
min
*
1
rr
rrr
rr
rr
rr
rrr
rr
rr
rr
α (17)
Степень риска β принимает значения от 0 до 1. Каждый инвестор мо-
жет задать отрезок неприемлемых значений риска, а также сам выполнить
описание соответствующих нечетких подмножеств, задав функции принад-
лежности )(* βµ .
α1
0 2 0,9 2,5
Рис. 3. Пример четкого критерия эффективности
Ю.П. Зайченко, М. Есфандиярфард
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 66
МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ДОХОДНОСТЬЮ ПОРТФЕЛЯ
Для того чтобы определить структуру портфеля, который обеспечит макси-
мальную доходность при заданном уровне риска, требуется решить сле-
дующую задачу:
{ } { }const max,|опт =→= βrxx , (18)
где r и β определяются из формул (15)–(17), компоненты вектора x удов-
летворяют (10).
Нетрудно заметить, что (17) можно записать так:
≥
<≤
−
−
≤
−
−
<
=
.при0
,~при~
,при~
,при0
max
*
max
*
max
*
max
*
min
min
min
*
min
*
1
rr
rrr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
α (19)
Учитывая, что доходность портфеля
==== ∑∑∑
===
N
i
ii
N
i
ii
N
i
ii rxrrxrrxrr
1
2
1
max
1
1min ;~~; ,
где ( )iii rrr 21 ,~, — доходность i -й ценной бумаги, получаем задачу оптими-
зации (20)–(22) [2–4, 6]
max~~
1
→=∑
=
i
N
i
i rxr , (20)
const=β , (21)
∑
=
=≥=
N
i
ii Nixx
1
,1,0,1 . (22)
При варьировании уровня риска β целесообразно рассмотреть сле-
дующие три случая.
1. 0=β .
Из (15) следует, что этот случай возможен, когда ∑
=
<
N
i
ii rxr
1
1
* .
Тогда получаем задачу линейного программирования (23)–(25).
max~~
1
→=∑
=
i
N
i
i rxr , (23)
∑
=
≤
N
i
ii rrx
1
*
1 , (24)
Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 67
∑
=
=
N
i
ix
1
1, 0≥ix , Ni ,1= . (25)
Найденный в результате решения задачи (23)–(25) вектор }{ ixx = ,
Ni ,1= , и есть искомой структурой оптимального для данного уровня риска
портфеля.
2. 1=β .
Из (15) следует, что этот случай возможен, когда ∑
=
≥
N
i
ii rxr
1
2
* .
Тогда получаем задачу линейного программирования
max~~
1
→=∑
=
i
N
i
i rxr , (26)
∑
=
≤
N
i
ii rrx
1
*
2 , (27)
∑
=
=
N
i
ix
1
1, 0≥ix , Ni ,1= . (28)
Найденный в результате решения задачи (26)–(28) вектор }{ ixx = ,
Ni ,1= , и есть искомой структурой оптимального для данного уровня риска
портфеля.
3. 10 << β .
Из (15) следует, что этот случай возможен, когда ∑∑
==
≤≤
N
i
ii
N
i
ii rxrrx
1
*
1
1
~
либо ∑∑
==
≤≤
N
i
ii
N
i
ii rxrrx
1
2
*
1
~ .
А. Пусть ∑∑
==
≤≤
N
i
ii
N
i
ii rxrrx
1
*
1
1
~ . Тогда с использованием (15)–(17) зада-
ча (20)–(22) сводится к задаче нелинейного программирования
max~~
1
→=∑
=
i
N
i
i rxr , (29)
β=
−
−
−+
−
− ∑∑
∑
∑∑
∑∑
==
=
==
==
N
i
ii
N
i
ii
N
i
iiN
i
ii
N
i
iiN
i
ii
N
i
ii rxrx
rrx
rrxrxr
rxrx
1
1
1
1
*
1
*
1
1
*
1
1
1
2
~
~
ln~1 ,(30)
∑
=
≤
N
i
ii rrx
1
*
1 , (31)
Ю.П. Зайченко, М. Есфандиярфард
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 68
∑
=
>
N
i
ii rrx
1
*~ , (32)
∑
=
=
N
i
ix
1
1, 0≥ix , Ni ,1= . (33)
Б. Пусть ∑∑
==
≤≤
N
i
ii
N
i
ii rxrrx
1
2
*
1
~ . Тогда задача (20)–(22) сводится к задаче
нелинейного программирования
max~~
1
→=∑
=
i
N
i
i rxr , (34)
×
−∑∑
==
N
i
ii
N
i
ii rxrx
1
1
1
2
1
β=
−
−
−−
−×
∑∑
∑
∑∑
==
=
==
N
i
ii
N
i
ii
N
i
iiN
i
ii
N
i
ii
rxrx
rxr
rxrrxr
1
1
1
2
1
*
1
*
1
1
*
~
ln~ , (35)
∑
=
>
N
i
ii rrx
1
*
2 , (36)
∑
=
≤
N
i
ii rrx
1
*~ , (37)
∑
=
=
N
i
ix
1
1, 0≥ix , Ni ,1= . (38)
Для решения задач (29)–(33) и (34)–(38) применялся R-алгоритм ми-
нимизации недифференцируемых функций [14]. Пусть обе задачи (29)–(33)
и (34)–(38) разрешимы. Тогда структуре искомого оптимального портфеля
будет отвечать вектор { }ixx = , Ni ,1= — решение той из задач (29)–(33),
(34)–(38), значение целевой функции которой будет больше.
АНАЛИЗ И СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ, ПОЛУЧЕННЫХ
С ПРИМЕНЕНИЕМ МОДЕЛЕЙ МАРКОВИТЦА И НЕЧЕТКО-
МНОЖЕСТВЕННОГО МЕТОДА
Пусть фондовый портфель состоит из пяти компонентов. При этом порт-
фель, который обеспечивает максимальную доходность при заданном поль-
зователем уровне риска 0,05, содержит акции только двух компаний: Мос-
Энерго (48,5%) и Татнфт (51,5%).
Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 69
Задаваясь различными уровнями ограничений по σ (риск портфеля),
получаем эффективную границу портфельного множества — зависимость
максимальной доходности от риска )(maxmax σrr = .
Построим эффективную границу по точкам пользователя или же по де-
сяти автоматически сгенерированным точкам.
Для сравнительного анализа исследуемых методов оптимизации фон-
дового портфеля использованы реальные данные по курсу акций компании
РАО ЕЭС России (EERS2) и ОАО Газпром (GASP), взятые за период с фев-
раля 2000 г. по май 2006 г.
В модели Марковитца ожидаемая доходность акции рассчитывается
как математическое ожидание { }rMm = и риск актива рассматривается как
дисперсия величины ожидаемой доходности ( )[ ]22 rmM −=σ , т.е. как уро-
вень изменчивости ожидаемых доходов.
В нечетко-множественном методе, исходя из ситуации на фондовом
рынке:
• доходность акций EERS2 — в расчетном коридоре [–1,0; 3,9], наибо-
лее ожидаемое значение доходности 2,1%;
• доходность акций GASP — в расчетном коридоре [–4
Пусть критическая доходность портфеля составляет 3,5%, т.е. порт-
фельные инвестиции, приносящие доход ниже 3,5% , считаются неэффек-
тивными.
Ожидаемая доходность оптимальных портфелей, полученных с помо-
щью модели Марковитца, выше, чем доходность оптимальных портфелей,
полученных с помощью нечетко-множественного метода потому, что в мо-
дели Марковитца расчет ожидаемой доходности акций основывается на по-
казателях за прошедшие периоды и слабо учитывается ситуация на фондо-
вом рынке в момент принятия решения инвестором. Поскольку доходность
акций EERS2 и GASP до июля 2006 г. была намного выше нынешней, мо-
дель Марковитца дает неоправданно высокую оценку.
В нечетко-множественном методе доходность каждого актива — это
нечеткое число. Ее ожидаемое значение рассчитывается уже не из стати-
стических данных за длительный интервал времени, а исходя из состояния
рынка в момент принятия решения инвестором. Таким образом, в рассмат-
риваемом случае ожидаемая доходность портфеля не слишком высока.
Структура оптимального портфеля, которая получится в результате
применения названных выше методов, для одних и тех же уровней риска
тоже различна.
Зависимости ожидаемой доходности от степени риска портфеля, полу-
ченные указанными методами, практически противоположны. Причина
cocтоит в различном понимании уровня риска портфеля.
В нечетко-множественном методе под риском понимается ситуация,
когда ожидаемая доходность портфеля ниже заданного критического уров-
ня. Со снижением ожидаемой доходности возрастает риск того, что доход от
портфельных инвестиций окажется меньше критического значения.
,1; 5,7], наибо-
лее ожидаемое значение доходности 4,8%.
Ю.П. Зайченко, М. Есфандиярфард
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 70
В модели Марковитца риск рассматривается как «степень колеблемо-
сти» ожидаемого дохода по портфелю, причем как в сторону уменьшения,
так и увеличения, что противоречит здравому смыслу. Различное понимание
уровня риска портфеля является также причиной различия зависимостей
степени риска от доли той или иной акции в портфеле, полученной разными
методами.
В акции EERS2 с ростом доли низкодоходной бумаги в портфеле, даже
несмотря на то, что расчетный коридор по EERS2 более узок, чем по
GASP, падает ожидаемая доходность портфеля в общем и растет риск не-
эффективности портфельного выбора.
Уровень же изменчивости ожидаемых доходов для акций EERS2, исхо-
дя из данных 2000 – 2006 гг., намного ниже, чем для акций GASP. Поэтому
в модели Марковитца, который рассматривает его как риск портфельных
инвестиций, с увеличением доли акций EERS2 риск снижается.
Аналогичным образом объясняется различие между полученными раз-
ными методами графиками зависимости степени риска портфеля от доли
акций GASP.
С точки зрения нечетко-множественного подхода, чем больше доля ак-
ций GASP в портфеле, тем меньше риск того, что эффективность фондовых
инвестиций окажется ниже критического уровня, составляющего в нашем
случае 3,5%.
С точки зрения модели Марковитца, среднеквадратическое отклонение
от среднего значения для акций GASP довольно велико, поэтому с ростом
их доли риск портфеля возрастает. Это приводит к тому, что часто доля
высокодоходных активов в фондовом портфеле, полученном с помощью
модели Марковитца, неоправданно мала.
Согласно модели Марковитца, благодаря корреляции между активами,
можно получить портфель с уровнем риска меньше волатильности наименее
рисковой бумаги.
Вложив 96% капитала в акции EERS2 и 4% в GASP, инвестор получает
портфели с ожидаемой доходностью 2,4% и степенью риска 0,19. Одна-
ко инвестиции с ожидаемой доходностью 2,4% в нашей нечетко-
множественной модели считаются неэффективными. Если же задать крити-
ческое значение ожидаемой доходности портфеля равным 2,4%, то риск не-
эффективных инвестиций тоже автоматически снизится.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Для сравнительного анализа исследуемых методов оптимизации фондового
портфеля были использованы данные по курсу акций компаний EERS2 и
GASP, взятые за период с февраля 2000 г. по май 2006 г. Данные получены
из архивов Московской фондовой биржи (МФБ).
Рассмотрим нечетко-множественную модель. Из ситуации на фондовом
рынке сделаем следующие выводы:
• доходность акций EERS2 — в расчетном коридоре [–1,0; 3,9], наибо-
лее ожидаемое значение доходности 2,1%;
Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 71
• доходность акций GASP — в расчетном коридоре [–4
Пусть критическая доходность портфеля задается нечетким числом с
параметрами [3,0; 3,5; 4,0]. Задание критического уровня доходности порт-
феля в виде нечеткого числа отражает неуверенность инвестора в величине
дохода через заданный период времени.
Нечетко-множественный метод дал нам результаты, приведенные в
табл. 1–3.
,1; 5,7], наибо-
лее ожидаемое значение доходности 4,8%.
Т а б л и ц а 1 . Треугольная ФП
EERS2 GASP
Доход-
ность
портфеля
Нижняя
граница
Верхняя
граница
Заданный
уровень
риска
Риск
полученного
портфеля
0,4104 0,5896 4,03051 –1,1645 4,95457 0,55 0,55000004
0,6323 0,3677 3,73956 0,39456 4,56952 0,60 0,60000013
0,7253 0,2147 3,25545 0,98567 4,41491 0,65 0,64999999
0,7545 0,2555 3,527643 1,26584 4,34897 0,70 0,70000007
0,7833 0,2167 3,484655 1,42589 4,29367 0,75 0,75000000
0,8345 0,1255 3,399487 1,84564 4,25784 0,80 0,79999998
0,8734 0,1266 3,334893 2,04578 4,14457 0,82 0,82000006
Т а б л и ц а 2 . Гауссовская ФП
EERS2 GASP
Доход-
ность
портфеля
Нижняя
граница
Верхняя
граница
Заданный
уровень
риска
Риск полу-
ченного
портфеля
0,4213 0,5797 4,09324 –1,0667 4,97356 0,55 0,54999999
0,6398 0,3612 3,74755 0,41678 4,58745 0,60 0,60000007
0,7301 0,2699 3,59846 1,34922 4,41975 0,65 0,65000000
0,7576 0,2424 3,52903 1,29867 4,35873 0,70 0,70000003
0,7873 0,2127 3,50015 1,43972 4,30021 0,75 0,75000010
0,8389 0,1611 3,41324 1,92563 4,25564 0,80 0,80000002
0,8776 0,1224 3,34254 2,13456 4,16567 0,82 0,82000001
Т а б л и ц а 3 . Колоколообразная ФП
EERS2 GASP
Доход-
ность
портфеля
Нижняя
граница
Верхняя
граница
Заданный
уровень
риска
Риск
полученного
портфеля
0,4214 0,5886 4,09497 –1,0786 4,97765 0,55 0,55000000
0,6397 0,3703 3,74743 0,41273 4,58878 0,60 0,59999989
0,7235 0,2765 3,59951 1,34926 4,42433 0,65 0,65000100
0,8064 0,1936 3,52985 1,29456 4,36784 0,70 0,70000007
0,7578 0,2462 3,51432 1,43456 4,32054 0,75 0,75000002
0,8190 0,1910 3,43476 1,93345 4,26574 0,80 0,79999999
0,8807 0,1193 3,34455 2,13457 4,16567 0,82 0,82000008
Ю.П. Зайченко, М. Есфандиярфард
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 72
Как видно из табл. 1–3 и рис. 4, структура и значения ожидаемой
доходности для оптимальных портфелей, найденных с применением разных
функций принадлежности параметров, отличаются несущественно. Это по-
зволяет судить, во-первых, о корректности построенных моделей, а, во-
вторых, о значении выбора ФП для выраженных нечетко доходностей цен-
ных бумаг и критического уровня доходности. Исключением является слу-
чай, когда сумма вкладываемого в акции капитала чрезвычайно высока и
даже очень малые порядки от нее составляют значительную величину капи-
тала.
Рассмотрим случай, когда критический уровень доходности портфеля
задается четким числом. Результаты расчета оптимального портфеля приве-
дены в табл. 4.
Т а б л и ц а 4 . Треугольная ФП, четкий критический уровень доходно-
сти 3,5%
EERS2 GASP Доходность
портфеля
Нижняя
граница
Верхняя
граница
Заданный
уровень
риска
0,4214 0,5886 4,12345 –1,0847 4,99988 0,55
0,6397 0,3703 3,78746 0,48756 4,74359 0,60
0,7235 0,2765 3,93478 1,19373 4,58366 0,65
0,8064 0,1936 3,65685 1,39487 4,48523 0,70
0,7578 0,2462 3,52734 1,42589 4,39645 0,75
0,8190 0,1910 3,41276 1,94567 4,30007 0,80
0,8807 0,1193 3,39846 2,12356 4,19836 0,82
Сравнив результаты табл. 4 с данными табл. 1, полученными для тре-
угольной ФП параметров и нечеткого критического уровня доходности [3,0;
3,5; 4,0], можно сделать вывод о том, что в этом случае доходность опти-
мального портфеля несколько ниже, чем при четком значении, поскольку
выгодными считаются также портфельные инвестиции, ожидаемая доход-
ность которых попадает в интервал от наименьшего левого значения крити-
ческой доходности до наиболее ожидаемого.
Рис. 4. Зависимость ожидаемой доходности от степени риска портфеля, полученно-
го для треугольной ФП
0,5 0,6 0,55 0,9 0,65 0,8 0,75
5,5
4,5
3,5
2,5
1,5
0,5
- 0
–1,5
Верхняя граница ожидаемой доходности
Нижняя граница
Уровень риска
Д
ох
од
но
ст
ь
по
рт
фе
ля
Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 73
То же наблюдается и для функции принадлежности гауссовского и ко-
локолообразного вида.
Рассмотрим другой пример.
Пусть инвестиционный портфель состоит из акций трех российских
компаний, так называемых «голубых фишек»: ОАО «ГМК Норильский ни-
кель» (ГМКНник), ОАО «Мобильные телесистемы» (МТС), ОАО «Сургут-
нефтегаз».
В табл. 5 приведены данные о доходности акций в период с января по
май 2006 г., которые были получены с сайта Московской межбанковской
валютной биржи (ММВБ).
Т а б л и ц а 5 . Доходность акций на ММВБ
ГМКНник МТС Сургутнефтегаз
7,248776 9,683646 11,035432
8,049567 12,08452 10,094762
8,135762 11,00965 13,398224
8,893875 12,48531 17,584875
7,953982 11,19587 13,530822
7,945093 11,72653 10,398697
8,154398 10,33497 10,535983
8,235453 12,29823 9,8359845
7,934764 9,824734 9,94573598
7,993747 12,02653 13,9976690
Исходя из ситуации на фондовом рынке, можно сделать следующие
выводы:
• доходность акций ГМКНник — в расчетном коридоре [7,2; 8,9], наи-
более ожидаемое значение доходности 8,0%;
• доходность акций МТС — в расчетном коридоре [9,5; 12,5], наибо-
лее ожидаемое значение доходности 14,0%;
• доходность акций «Сургутнефтегаз» — в расчетном коридоре [9,6;
17,6], наиболее ожидаемое значение доходности 12,0%.
Пусть критическая доходность портфеля составляет [10,0; 11,0; 12,0],
т.е. портфельные инвестиции, приносящие доход ниже 10,0%, считаются
вообще неэффективными.
Для гауссовской и колоколообразной ФП параметры функций взяты
таким образом, чтобы соответствующие функции полезности принимали
отличные от нуля значения на аналогичных интервалах, и значения наибо-
лее ожидаемой доходности (для которых 1)( =rµ ) тоже совпадали. Лишь в
этом случае можно сравнивать результаты, полученные при использовании
разных ФП.
Нечетко-множественным методом получены результаты, приведенные
на рис. 5–7 для разных видов функций принадлежности.
Наблюдаемая картина абсолютно аналогична описанному ранее приме-
ру. Т.е., доходность оптимальных портфелей, полученных с применением
гауссовской и колоколообразной ФП немного выше, чем в случае треуголь-
ной ФП, что наглядно иллюстрируют графики на рис. 5–7.
Ю.П. Зайченко, М. Есфандиярфард
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 74
Однако, как и в предыдущем примере, различия в полученных ре-
зультатах достаточно малы, особенно между моделями, использующими
гауссовскую и колоколообразную ФП. Поэтому, по-видимому, в боль-
0,5 0,6 0,55 0,9 0,65 0,8 0,75
Верхняя граница ожидаемой доходности
Нижняя граница
Уровень риска
Д
ох
од
но
ст
ь
Рис. 5. Зависимость ожидаемой доходности от степени риска портфеля, полученно-
го для треугольной ФП
0,5 0,6 0,55 0,9 0,65 0,8 0,75
Верхняя граница ожидаемой доходности
Нижняя граница
Рис. 6. Зависимость ожидаемой доходности от степени риска портфеля, полученно-
го для гауссовской ФП
Д
ох
од
но
ст
ь
0,5 0,6 0,55 0,9 0,65 0,8 0,75
Верхняя граница ожидаемой доходности
Нижняя граница
Уровень риска
Д
ох
од
но
ст
ь
Рис. 7. Зависимость ожидаемой доходности от степени риска портфеля, полученно-
го для колоколообразной ФП
Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 2 75
шинстве случаев не играет роли, какая ФП параметров используется при
построении нечеткой модели портфеля ценных бумаг.
ВЫВОДЫ
Приведены результаты исследования в области фондового менеджмента.
Рассмотрена модель Марковитца как одна из наиболее широко применяе-
мых в данной области и относительно недавно возникший нечетко-
множественный подход к портфельной оптимизации. Получена основанная
на нечетко-множественном подходе математическая модель для нахождения
структуры оптимального инвестиционного портфеля, лишенная большинст-
ва недостатков классических вероятностных моделей.
На основании теории нечетких множеств разработан алгоритм оптими-
зации фондового портфеля, а также программное обеспечение на языке про-
граммирования C++ для работы в среде Builder C++6.0.
Исследование и сравнительный анализ модели Марковитца и нечетко-
множественного метода определения оптимальной структуры фондового
портфеля показали следующее:
1. Структуры оптимального портфеля и показатели его ожидаемой до-
ходности, получаемые с помощью модели Марковитца и нечетко-
множественного метода, кардинально отличаются.
2. С уменьшением объема выборки исходных данных о доходности ак-
тивов модель Марковитца дает более «правдоподобные» результаты. Одна-
ко слишком малая выборка неприемлема, так как не может дать полного
представления о рассматриваемых параметрах.
3. Поскольку отклонение ожидаемой доходности как в большую, так и
в меньшую сторону рассматривается в модели Марковитца как риск, то за-
висимости ожидаемой доходности от уровня риска портфеля, полученные с
помощью модели Марковитца и нечетко-множественного метода, противо-
положны.
4. По указанной выше причине достаточно часто доля высокодоходных
активов в структуре портфеля, полученного с помощью модели Марковит-
ца, неоправданно мала.
5. Различия в доходности оптимальных портфелей, полученных с при-
менением треугольной, гауссовской и колоколообразной ФП, в приведен-
ных результатах достаточно малы. Особенно малы между моделями, ис-
пользующими гауссовскую и колоколообразную ФП.
Таким образом, в результате исследований установлены недостатки
модели Марковитца. Особенно не оправдывает себя применение этой моде-
ли к фондовым рынкам таких стран, как Россия и Украина, где статистиче-
ская однородность с течением времени не сохраняется.
ЛИТЕРАТУРА
1. Marrkowitw H.M. Portfolio Selection // Journal Finance. — March 1952. —
P. 79–91.
Ю.П. Зайченко, М. Есфандиярфард
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 2 76
2. Недосекин А.О. Методологические основы моделирования финансовой дея-
тельности с использованием нечетко-множественных описаний: Автореф.
дис. докт. эконом. наук. — СПб., 2003. — 50 с.
3. Система оптимизации фондового портфеля. — http://www.sbs.ru/index.
asp7objectID=1863&lang=rus.
4. Недосекин А.О. Система оптимизации фондового портфеля от Сименс Бизнес
Сервисез // Банковские технологии. — 2003. — № 5. — http://www.finansy.
ru/publ/fin/004. htm.
5. Недосекин А.О. Применение теории нечетких множеств к задачам управления
финансами. Разд. 3 // Аудит и финансовый анализ. — 2000. — № 2. —
http://www.cfin.ru/press/afa/2000-2/08-3.shtml.
6. Недосекин А.О. Оптимизация бизнес-портфеля корпорации. — http://sedok.
narod.ru/s_files/2003/Art_070303.doc.
7. International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing in Economics and Fi-
nance FSSCEF 2004. — http://www.ifel.ra/fsscef2006/2004/FSSCEFl.pdf.
8. Оценка эффективности инвестиционных проектов / П.Л. Виленский,
В.Н. Лившиц, Е.Р. Орлова, С.А. Смоляк. — М.: Дело, 1998. — С. 120 с.
9. Смоляк С.А. Учет специфики инвестиционных проектов при оценке их эффек-
тивности // Аудит и финансовый анализ. — 1999. — №3. — С. 64–72.
10. Недосекин А.О. Монотонные портфели и их оптимизация // Аудит и финансо-
вый анализ. — 2002. — № 2. — http://sedok.narod.ru/ s files/PF Article 4.zip.
11. Проект «Финансовый портал в Интернете». — http://www.finport.ru.
12. Московская фондовая биржа. — http://www.mse.ru.
13. Шор Н.З. Задачі оптимального проектування надійних мереж. — Київ: Наук.
думка. — 2005. — 229 c.
Поступила 21.05.2007
http://www.sbs.ru/index�
http://sedok/�
http://sedok.narod.ru/�
ОПТИМИЗАЦИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ в условиЯХ неопределенности
Ю.П. Зайченко, М. Есфандиярфард
Введение
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ МАРКОВИТЦА
СЛАБЫЕ СТОРОНЫ ЧЕТКОЙ МОДЕЛИ МАРКОВИТЦА
ПРИМЕНЕНИЕ МНОЖЕСТВЕННОГО ПОДХОДА
Основные принципы и идея метода
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ АППАРАТА НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ДОХОДНОСТЬЮ ПОРТФЕЛЯ
АНАЛИЗ И СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ, ПОЛУЧЕННЫХ С ПРИМЕНЕНИЕМ МОДЕЛЕЙ МАРКОВИТЦА И НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННОГО МЕТОДА
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ВЫВОДЫ
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-14614 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:56:02Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зайченко, Ю.П. Есфандиярфард, М. 2010-12-27T12:56:13Z 2010-12-27T12:56:13Z 2008 Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности / Ю.П. Зайченко, М. Есфандиярфард // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 2. — С. 59-76. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/14614 519.8 Рассмотрена задача оптимизации инвестиционного портфеля в условиях неопределенности. Предложена математическая модель нечеткомножественной оптимизации портфеля и предложен алгоритм ее решения с использованием методов нелинейного программирования. Проведен сравнительный анализ оптимального портфеля для нечеткой множественной модели и задачи Марковитца. На примере курсов акций Московской фондовой биржи показано, что эти решения принципиально различаются. Дана интерпретация полученных результатов. The problem of investment portfolio optimization under uncertainty is considered. A mathematical model of this problem is elaborated, and an algorithm of its solution using a nonlinear programming is proposed. The experimental investigation of the approach proposed has been carried out, and comparison of the optimal portfolios obtained by the fuzzy and Markovitz models was performed. By the example of the Moscow Stock Exchange, it is shown that the solutions are quite different. The interpretation of the ressults obtained is presented. Розглянуто задачу оптимізації інвестиційного портфеля за умов невизначеності. Розроблено математичну модель нечітко-множинної оптимізації портфеля і запропоновано алгоритм її розв’язання із використанням методів нелінійного програмування. Проведено порівняльний аналіз оптимального портфеля для нечіткої множинної моделі та задачі Марковитца. На прикладі курсів акцій Московської фондової біржи показано,що ці рішення принципово відрізняються. Наведено інтерпретацію одержаних результатів. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Теоретичні та прикладні проблеми інтелектуальних систем підтримки прийняття рішень Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности Investment portfolio optimization under uncertainty Оптимізація інвестиційного портфеля за умов невизначеності Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности Зайченко, Ю.П. Есфандиярфард, М. Теоретичні та прикладні проблеми інтелектуальних систем підтримки прийняття рішень |
| title | Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности |
| title_alt | Investment portfolio optimization under uncertainty Оптимізація інвестиційного портфеля за умов невизначеності |
| title_full | Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности |
| title_fullStr | Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности |
| title_full_unstemmed | Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности |
| title_short | Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности |
| title_sort | оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности |
| topic | Теоретичні та прикладні проблеми інтелектуальних систем підтримки прийняття рішень |
| topic_facet | Теоретичні та прикладні проблеми інтелектуальних систем підтримки прийняття рішень |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/14614 |
| work_keys_str_mv | AT zaičenkoûp optimizaciâinvesticionnogoportfelâvusloviâhneopredelennosti AT esfandiârfardm optimizaciâinvesticionnogoportfelâvusloviâhneopredelennosti AT zaičenkoûp investmentportfoliooptimizationunderuncertainty AT esfandiârfardm investmentportfoliooptimizationunderuncertainty AT zaičenkoûp optimízacíâínvesticíinogoportfelâzaumovneviznačeností AT esfandiârfardm optimízacíâínvesticíinogoportfelâzaumovneviznačeností |