Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией

Рассмотрены теоретические положения проектирования разнотемповых дискретных систем прогнозирования и минимизации изменяющихся максимальных условных дисперсий выходных координат одномерных и многомерных процессов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования, а выходных координа...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автор:	Романенко, В.Д.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2007
Теми:	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/14620
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией / В.Д. Романенко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2007. — № 2. — С. 115-130. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859809942517579776
author	Романенко, В.Д.
author_facet	Романенко, В.Д.
citation_txt	Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией / В.Д. Романенко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2007. — № 2. — С. 115-130. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	Рассмотрены теоретические положения проектирования разнотемповых дискретных систем прогнозирования и минимизации изменяющихся максимальных условных дисперсий выходных координат одномерных и многомерных процессов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования, а выходных координат и управляющих воздействий — с большими. Динамика процессов в стохастической среде представлена моделями авторегрессии и скользящего среднего, моделями авторегрессии и скользящего среднего с дополнительным входным сигналом с разнотемповой дискретизацией. Theoretical principles of designing multirate discrete systems for prognostication and minimization of the variables of maximal conditional dispersions are considered for output coordinates of one and multidimensional processes under discretization of input disturbances with small periods of sampling and output coordinates and control signals with large periods of sampling. The dynamics of processes is represented by the models of autoregression and a sliding mean as well as of autoregression and a sliding mean with additional input control signal of multirate discritization. Розглянуто теоретичні положення проектування різнотемпових дискретних систем прогнозування і мінімізації змінних максимальних умовних дисперсій вихідних координат одновимірних і багатовимірних процесів при дискретизації вхідних збурень з малими періодами квантування, а вихідних координат і керуючих впливів — з великими. Динаміку процесів у стохастичному середовищі описано моделями авторегресії і ковзного середнього, моделями авторегресії і ковзного середнього з додатковим вхідним сигналом із різнотемповою дискретизацією.
first_indexed	2025-12-07T15:19:03Z
format	Article
fulltext	 В.Д. Романенко, 2007 Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 2 115 TIДC НОВІ МЕТОДИ В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ, ІНФОРМАТИЦІ ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ УДК 62-50 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ И МИНИМИЗАЦИЯ ДИСПЕРСИЙ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ С РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ В.Д. РОМАНЕНКО Рассмотрены теоретические положения проектирования разнотемповых дис- кретных систем прогнозирования и минимизации изменяющихся максималь- ных условных дисперсий выходных координат одномерных и многомерных процессов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования, а выходных координат и управляющих воздействий — с боль- шими. Динамика процессов в стохастической среде представлена моделями авторегрессии и скользящего среднего, моделями авторегрессии и скользяще- го среднего с дополнительным входным сигналом с разнотемповой дискрети- зацией. ВВЕДЕНИЕ В работах [1, 2] описана методика прогнозирования условных дисперсий на основе использования математических моделей авторегрессии (АР) или ав- торегрессии и скользящего среднего (АРСС) с однотемповой дискретизаци- ей входных возмущений и выходных координат. Эта методика заключается в следующем. Пусть динамика процесса описана моделью АРСС (2, 1) [ ] [ ] [ ] δξξ +−++−+−= 01002010 )1()()2()1()( TkbkTTkyaTkyakTy , (1) где { } 0)( 0 =kTM ξ , { } 2 0 2 )( ξσξ =kTM ; [ ]{ } 0)()( 00 =− TlkykTM ξ , 0>l ( M — оператор математического ожидания). Тогда известный алгоритм прогнозирования условной дисперсии последовательности { })( 0kTy выпол- няется на основе рекуррентной процедуры. 1. Определение условного математического ожидания для последова- тельности { })( 0kTy { } [ ] [ ] [ ] δξ +−+−+−=− 01020101 )1()2()1()( TkbTkyaTkyakTyM k . (2) 2. Вычисление условной дисперсии для последовательности { })( 0kTy { } [ ] [ ]{ }=−−=− 0000 2 1 )2(,)1()(var)( TkyTkykTykTM k ξ В.Д. Романенко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 2 116 [ ][{ [ ]−−−−−= − 020101 )2()1()( TkyaTkyakTyM k [ ] ] } )(ˆ)1( 0 22 01 kTTkb ξδξ =−−− . (3) 3. Вычисление ряда условных дисперсий на основе выражений (2), (3) [ ] [ ] [ ] [ ]{ }0000 2 )3(,)2()1(var)1(ˆ TkyTkyTkyTk −−−=−ξ , [ ] [ ] [ ] [ ]{ }0000 2 )4(,)3()2(var)2(ˆ TkyTkyTkyTk −−−=−ξ , [ ] [ ] [ ] [ ]{ }0000 2 )5(,)4()3(var)3(ˆ TkyTkyTkyTk −−−=−ξ , ------------------------------------------------------------------------------ [ ] [ ] [ ] [ ]{ }0000 2 )2(,)1()(var)(ˆ TqkyTqkyTqkyTqk −−−−−=−ξ . 4. Построение математической модели динамики условных дисперсий на основе данных вычисленного ряда условных дисперсий путем примене- ния метода наименьших квадратов (МНК) в виде АР ( q ) [ ] [ ] [ ] )()(ˆˆ)2(ˆˆ)1(ˆˆ)(ˆ 00 2 0 2 20 2 10 2 kTvTqkTkTkkT q +−++−+−= ξαξαξαξ  ,(4) где )( 0kTv — процесс дискретного белого шума с нулевым средним. 5. Выполнение прогнозирования условной дисперсии (3) на основе мо- дели (4) на один период квантования 0T [ ] [ ]0 2 0 2 20 2 10 2 )1(ˆˆ...)1(ˆˆ)(ˆˆ)1(ˆ TqkTkkTTk q +−++−+=+ ξαξαξαξ . (5) Поскольку модель (4) может быть построена при условии, что { } const)(var ≠ky , то уравнение (4) называется авторегрессионным условно гетероскедастическим (АРУГ). Приведенный алгоритм дает возможность прогнозировать условную дисперсию (5) только на один базовый период квантования 0T . Пример 1. Однотемповая модель АР(2,0) имеет вид =)( 0kTy [ ] [ ] )()2()1( 00201 kTTkyaTkya ξ+−+−= , где коэффициенты равняются 2726,11 =a ; 3328,02 −=a . На рис. 1 приведен переходной процесс выходной координаты )( 0kTy при подаче на вход дискретного белого шума )( 0kTξ , где видно, что в спек- тре переходного процесса преобладают составляющие низкой частоты. Это было отмечено в работе [3] для процессов первого порядка. На рис. 2 показаны результаты вычисления и прогнозирования услов- ной дисперсии, полученные на основе цифрового моделирования приведен- ного выше алгоритма. Видны сильные выбросы условной дисперсии в опре- деленные дискретные моменты времени. В то же время на некоторых участках (от 40 до 65 отсчетов) вычисляемая на основе (3) и прогнозируемая посредством (5) условная дисперсия изменяется незначительно. Это объяс- няется тем, что для вычисления условной дисперсии (3) используется вы- борка всего из трех отсчетов выходной координаты. Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 2 117 Таким образом, вычисленная на основе (3) условная дисперсия не мо- жет характеризовать максимальные условные дисперсии, которые возмож- ны на определенном интервале развития процесса. Следовательно, приве- денный выше известный алгоритм прогнозирования условных дисперсий (2)–(5) нельзя применять для прогнозирования рисков. y(kT0) kT0 Рис. 1. График изменения выходной координаты для модели АРСС 10 20 30 40 50 60 70 80 90 kT0 )(ˆ 0 2 kTξ )])1(ˆ 0 2 [ Tk +ξ Рис. 2. Графики вычисления ( ) и прогнозирования ( ) условной дисперсии В.Д. Романенко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 2 118 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Выходные координаты многих финансовых и социально-экономических процессов можно измерить только в дискретные моменты времени с увели- ченными периодами квантования 0mTh = ( m — целое число, большее еди- ницы) по сравнению с малыми периодами 0T при дискретизации входных возмущающих воздействий [4]. В связи с этим для описания динамики дан- ных процессов необходимы дискретные математические модели в стохасти- ческой среде с разнотемповой дискретизацией. Поэтому первой задачей яв- ляется разработка методики прогнозирования максимальных выборочных условных дисперсий гетероскедастических процессов при переменной вы- борке с дискретизацией выходных координат с увеличенными периодами квантования 0mTh = и входных координат с малым базовым периодом квантования 0T . При этом предполагается вычислять и прогнозировать по рекуррентной процедуре не условную дисперсию с минимальной ограни- ченной выборкой согласно (2)–(5), а максимальную условную дисперсию на некотором интервале дискретного времени, так называемом «окне», вели- чина которого при вычислении максимальной условной дисперсии изменя- ется от h до hpmax . Наибольшую величину «окна» hpmax целесообразно выбирать равной наибольшей постоянной времени процесса. Например, для примера 1 согласно рис. 1 постоянная времени или максимальная величина «окна» равняется приблизительно 040T или mh /40 . Вторая задача — это разработка процедуры минимизации обобщенной дисперсии на основе моделей авторегрессии и скользящего среднего с дополнительным входным управляющим воздействием с разнотемповой дискретизацией, известной как модель ARMAX. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МАКСИМАЛЬНОЙ ВЫБОРОЧНОЙ УСЛОВНОЙ ДИСПЕРСИИ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ С ОДНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ При изменяющейся дисперсии максимальное ее значение необходимо вы- числять на некотором переменном промежутке времени 0Tlt = (переменной выборке). При этом выборка будет перемещаться вперед с каждым перио- дом 0T и дисперсия будет пересчитываться на каждом периоде квантования. Пусть динамика стационарного процесса описана моделью (1). Тогда выборочное условное математическое ожидание выходной координаты на протяжении выборки l будет определяться следующим образом: [ ] [ ]{ [ ]+−+−=∑ +−= − 0201 1 01 )2()1(1)(1 TkyaTkya l iTyM l k lki i [ ] [ ] ( )[ ]+−++−+−+ 010201 ...)2()1( TlkyaTkbTkb ξξ ( )[ ] [ ] [ ] }δξξ lTlkbTlkbTlkya +−−+−+−−+ 020102 )1()(1 . (6) Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 2 119 Выборочная условная дисперсия { }0(lTy вычисляется по формуле [ ] [ ] [ ]{ }=−−− 0000 )(,...,)2(,)1((var TlkyTkyTkykTy [ ] 2 1 1 010 )(1)(1 ∑ ∑ +−= +−= −         −= k lki k lki i iTyM l iTy l . (7) Для вычисления максимальной выборочной условной дисперсии необ- ходимо использовать скользящую длину «окна» 0max00min TllTTl ≤≤ . При каждом l в указанном диапазоне с дискретностью в один период квантова- ния 0T определяется выборочная условная дисперсия на основе (7) и выби- рается ее максимальное значение при определенном значении выборки l . [ ] [ ]{ [ ]}00000 2 max )(...,,)2(,)1()(varsup)( maxmin TlkyTkyTkykTykT lll −−−= ≤≤ ∧ ξ . (8) Максимальное значение выборки maxl устанавливается из расчета пост0max TTl = , где постT — постоянная времени процесса, определяющая его инерционность. Для прогнозирования максимальной выборочной условной дисперсии необходимо разработать ее динамическую модель. Для этого на основе (6)–(8) строится ряд: 1) [ ] [ ]{ [ ] [ ]}0000 2 max )1(,...,)2()1(varsup)1( maxmin TlkyTkyTkyTk lll −−−−=− ≤≤ ∧ ξ ; 2) [ ] [ ]{ [ ] [ ]}0000 2 max )2(,...,)3()2(varsup)2( maxmin TlkyTkyTkyTk lll −−−−=− ≤≤ ∧ ξ ; ------------------------------------------------------------------------------------------- N) [ ] [ ] [ ]{ ...,)1()(varsup)( 000 2 max maxmin TqkyTqkyTqk lll −−−=− ≤≤ ∧ ξ [ ]}0)(..., Tlqky −− . (9) На основе построенного ряда (8), (9) по МНК разрабатывается матема- тическая модель динамики максимальной выборочной дисперсии в виде АР ( q ) [ ] [ ]0 2 max0 2 max10 2 max )(ˆ)1(ˆ)( TqkTkkT q −++−= ∧∧∧ ξαξαξ  . (10) Тогда на основе модели (10) выполняется прогнозирование на один пе- риод 0T максимальной выборочной условной дисперсии [ ] [ ]0 2 max0 2 max10 2 max )1(ˆ...)(ˆ)1( TqkkTTk q +−++=+ ∧∧∧ ξαξαξ . Рекуррентная процедура прогнозирования (6) – (10) повторяется на ка- ждом периоде квантования. В.Д. Романенко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 2 120 РАЗНОТЕМПОВЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Разнотемповая модель с удвоенной частотой при 02Th = Исходная однотемповая модель АРСС(2, 2) имеет вид δξαα +++=++ −−−− )()1()()1( 0 2 2 1 10 2 2 1 1 kTzbzbkTyzz , (11) где { })( 0kTξ — последовательность возмущений в виде дискретного белого шума с нулевым средним, а параметр δ определяет уровень процесса. Ре- куррентная процедура преобразования исходной модели (11) в разнотемпо- вую при дискретизации выходной координаты y с периодом квантования 02Th = выполнена на основе методики [4]. Для этого модель (11) предста- вим в разностной форме [ ] [ ] ++−−−−= )()2()1()( 002010 kTTkyTkykTy ξαα [ ] [ ] δξξ +−+−+ 0201 )2()1( TkbTkb . (12) На основе рекуррентной процедуры [4] получена обобщенная разно- темповая модель при 02Th = в разностной форме +         +            −   +            −   =          hkhkyahkyahky 2 2 2 1 22 21 ξ +      −   +      −   +      −   + 030201 3 2 2 22 ThkcThkcThkc ξξξ 004 4 2 aThkc +      −   + ξ , (13) где     2 k — целое число от деления номера дискретного отсчета k на 2. Коэффициенты этой модели равняются: ( )2 2 11 2αα −=a ; 2 22 α−=a ; 111 α−= bc ; )( 22112 bbc ++−= αα ; )( 21123 bbc αα −= ; 224 bc α= ; =0a δαα )1( 21 +−= . Координаты           hky 2 разнотемповой модели (13) и )( 0kTy исходной модели (11) будут совпадать в узловых точках отсчета hk     2 . На основе предложенной методики [4] модель (13) можно преобразовать в разнотем- повую модель при 04Th = . Разнотемповая модель с утроенной частотой при 03Th = При дискретизации выходной координаты y с периодом квантования 03Th = исходная однотемповая модель (11) на основе методики [4] преоб- Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 2 121 разуется к разнотемповой модели АРСС, представленной в разностной фор- ме +         +            −   ′+            −   ′=          hkyhkyahkyahky 3 2 3 1 33 21 ξ +      −   ′+      −   ′+      −   ′+ 030201 3 3 2 33 ThkcThkcThkc ξξξ 0060504 6 3 5 3 4 3 aThkcThkcThkc ′+      −   ′+      −   ′+      −   ′+ ξξξ , (14) где     3 k — целое число от деления номера дискретного отсчета k на 3. Коэффициенты этой модели равны: )3( 21 3 11 ααα +−=′a ; 3 22 α−=′a ; )( 111 α−=′ bc ; )( 2211 2 12 bbc +−−−=′ ααα ; )( 2112211 2 13 bbbc ααααα −−−=′ ; )( 222 2 1121 2 24 bbbc ααααα −+−=′ ; )( 1 2 22215 bbc ααα +−=′ ; 2 2 26 bc α=′ ; =′0a δαααααα )1( 2121 2 2 2 1 +−−−+= . На основе предложенной методики [4] модель (14) можно преобразо- вать в разнотемповую с удвоенной частотой при 06Th = или с утроенной частотой при 09Th = и т.д. В общем случае для исходной однотемповой модели АРСС (2, 2) типа (11) разнотемповая модель при 0mTh = будет иметь следующий вид: +         +            −   ′′+            −   ′′=          h m kh m kyah m kyah m ky ξ21 21 0020201 22 amTh m kcTh m kcTh m kc m ′′+      −   ′′++      −   ′′+      −   ′′+ ξξξ  .(15) ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МАКСИМАЛЬНОЙ ВЫБОРОЧНОЙ УСЛОВНОЙ ДИСПЕРСИИ ОДНОМЕРНОГО ПРОЦЕССА НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ С РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ Динамика стационарного процесса описана моделью (15) с разнотемповой дискретизацией при 0mTh = . Выборочное условное математическое ожида- ние выходной координаты на протяжении «окна» ph будет равно [ ] { +            −   ′′+            −   ′′=∑     +−   = − h m kyah m kya p ihyM p m k p m ki i 211)(1 21 1 1 +            −   ++      −   ′′++      −   ′′+ hp m kyamTh m kcmTh m kc mm 1020 2  ξξ В.Д. Романенко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 2 122 +      −      +−   ′′+            −−   ′′+ 02 11 mThp m kchp m kya mξ     ′′+      −      +−   ′′+ 002 21 apmThph m kc mξ . (16) Выборочная условная дисперсия на интервале ph вычисляется по формуле =                     −                −              hp m kyh m kyh m ky ,,1var  [ ]∑ ∑     +−   =     +−   = −             −= m k p m ki m k p m ki i ihyM p ihy p 1 2 1 1 )(1)(1 . (17) Максимальное значение выборочной условной дисперсии определяется при изменении p в интервале max1 pp ≤≤ на основе выражений (16) и (17) =                     −                −              ≤≤ hp m kyh m kyh m ky pp ,,1varsup max1           = ∧ h m k2 maxξ , (18) где maxp устанавливается на основе постmax Thp = . Для прогнозирования максимальной выборочной условной дисперсии строится ряд             −    ∧ h m k 1 2 maxξ ,             −                −    ∧∧ h m kh m k µξξ 2 max 2 max ,,2  . (19) Динамическая модель максимальной выборочной условной дисперсии разрабатывается путем аппроксимации по МНК ряда (18), (19) +            −   ′=          ∧ ∧ ∧ h m kh m k 1 2 max1 2 max ξαξ          +            −   ′++            −   ′+ ∧ ∧ ∧ ∧ h m kvh m kh m k µξαξα µ 2 max 2 max1 2  , (20) где           h m kv — процесс дискретного белого шума с нулевым средним. По аналогии с (4) уравнение (20) называется авторегрессионным, условно гете- роскедастическим. Тогда прогнозирование максимальной выборочной ус- Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 2 123 ловной дисперсии на один период квантования 0mTh = выполняется на ос- нове разработанной модели (20) +         ′=            +    ∧ ∧ ∧ h m kh m k 2 max1 2 max 1 ξαξ             +−   ′++            −   ′+ ∧ ∧ ∧ ∧ h m kh m k 11 2 max 2 max2 µξαξα µ . (21) Пример 2. Разнотемповая модель (14) при 03Th = имеет вид +         +            −   −            −   +−=          hkhkyhkyhky 3 2 3 1 3 )3( 3 3 221 3 1 ξαααα −−+      −   −−−      −   −+ 211 2 10211 2 1011 (2 3 )( 3 )( αααξαααξα bThkbThkb       −   +      −   −+      −   − 01 2 20121 2 2012 5 3 4 3 )(3 3 ) ThkbThkbThkb ξαξαααξα , где коэффициенты равны: 2726,11 −=α ; 3328,02 =α ; 5,01 −=b . На основе (17), (18) выполнено вычисление максимальной выборочной условной дисперсии и ее прогнозирование на основе (21), результаты кото- рых показаны на рис. 3. hk     3           hk 3 2 maxξ̂                 + h k 1 3 2 maxξ̂ hk     3 Рис. 3. Графики вычисления (—) и прогнозирования (—) максимальной выбороч- ной условной дисперсии В.Д. Романенко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 2 124 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МАКСИМАЛЬНЫХ ВЫБОРОЧНЫХ УСЛОВНЫХ ДИСПЕРСИЙ МНОГОМЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ С РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ Многомерная модель АРСС с разнотемповой дискретизацией представлена в виде [4] =                           − − − )( )( )( )(00 0)(0 00)( 222 111 1 1 222 1 111 nnnnnn hry hry hry zA zA zA                    +                           = −−− −−− −−− n a a a kT kT kT zCzCzC zCzCzC zCzCzC nnnnn n n 0 0 0 0 02 01 11 2 1 1 1 2 1 22 1 22 1 1 1 12 1 11 2 1 )( )( )( )()()( )()()( )()()(      ξ ξ ξ . (22) При этом соотношение периодов квантования для дискретных отсчетов выходных координат будет следующее: 0Tmh ii = , ( ni ...,,2,1= ), (23) где im — целое число, большее единицы. Тогда соотношение операторов обратного сдвига im i zz −− =1 , (24) где 1−z — оператор обратного сдвига на один период квантования 0T ; 1− iz — оператор обратного сдвига на один период ih . Структура полиномов в модели (22) имеет вид 1 1 1 1)( −− += iiii zazA i , (25) i ijiijij m mij zczczczc −−−− ++++= ...1)( 2 2 1 1 1 , (26) ni ...,,2,1= , nj ...,,2,1= . При этом i a0 — смещение i -й выходной коорди- наты, равное ср )1( iii yA . Разнотемповую модель (22) можно представить в разностной форме для каждой выходной координаты ++         −      +               +                 −      −=               ...1 01111 1 Th m kch m kh m kyah m ky i i i i i i ii i i ii ξξ ...021201 21 +         −      +               +         −      + Th m kch m kTmh m kc i i i i ii i m ii ξξξ ......... 01022 +         −      +               ++         −      + Th m kch m kTmh m kc i i ni i nii i m niii ξξξ Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 2 125 inii aTmh m kc ii i nm 00... +         −      + ξ ( ni ...,,2,1= ). (27) Выборочное условное математическое ожидание выходной координаты iy на протяжении «окна» ii hp будет равно [ ] +                     −      −=∑ −       +−      = i i i i iiil m k p m kli h m kya p hlyM p ii i i i i 11)(1 11 1 ++         −      + ...011 Tmh m kc ii i m ii ξ ...... 00 −         −      ++         −      + Tmh m kcTmh m kc ii i nmii i jm iniiji ξξ ...1... 01 +         −        +−      +                 −      − Tmhp m kchp m kya iii i jmii i i ijii ξ ...1... 011 +         −        +−      + Tmhp m kc iii i m ii ξ     +         −        +−      + iini apTmhp m kc iiii i nm 001... ξ . (28) На интервале ii hp можно вычислить выборочную дисперсию =                         −                      −                    ii i ii i ii i i hp m kyh m kyh m ky ,,1var  [ ] 2 1 11 )(1)(1             ∑−∑= −       +−      =       +−      = iiil m k p m kli iii m k p m kli hlyM p hly p i i i i i i i i i . (29) Максимальное значение выборочной условной дисперсии при max 1 ii pp ≤≤ определяется по формулам (28), (29) согласно =                     −                          −                    ≤≤ ii i ii i ii i i pp hp m kyh m kyh m ky ii ,...,1varsup max1               = ∧ i i i h m k2 max ξ . (30) В.Д. Романенко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 2 126 Для построения модели динамики максимальной выборочной условной дисперсии по i -му каналу на основе (28) – (30) строится ряд                 −                      −      ∧∧ i i ii i i h m kh m k ηξξ 22 maxmax ,...,1 . По аналогии с (20), (21) при помощи МНК формируется модель дина- мики в виде АР(η ) и выполняется прогнозирование максимальной выборо- чной дисперсии по i -му каналу на один период квантования 0Tmh ii = . МИНИМИЗАЦИЯ ДИСПЕРСИЙ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ Исходная разнотемповая модель ARMAX (2, 2, 2) при 0mTh = имеет вид +            −   ′+            −   +            −   =          h m kubh m kyah m kyah m ky 121 121 ...22 02012 +      −   ′+      −   ′+         +            −   ′+ Th m kcTh m kch m kh m kub ξξξ 002 2... amTh m kc m ′+      −   ′+ ξ , (31) где u — управлющее воздействие, которое изменяется в дискретные мо- менты времени hi . Выберем критерий оптимальности в виде обобщенной дисперсии [5]                  +            +   =            +   Ι h m kurh m kyMh m k 22 11 . (32) Запишем модель (31) со смещением вперед на один период квантова- ния h +         ′+            −   +         =            +    h m kubh m kyah m kyah m ky 121 11 ...111 012 +      −      +   ′+            +   +            −   ′+ Th m kch m kh m kub ξξ 002 21... amTh m kc m +      −      +   ′+ ξ . Подставим это выражение в критерий (32) +         ′+                 −   +               =            +   Ι h m kubh m kyah m kyaM m k 121 11 Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 2 127 ...111 012 +      −      +   ′+            +   +            −   ′+ Th m kch m kh m kub ξξ              +     +      −      +   ′+ h m kruamTh m kc m 2 2 002 21... ξ . (33) В момент времени h m k     все отсчеты переменных, входящие в (33), из- вестны за исключением           h m ku ,             +    h m k 1ξ , ...1 0       −      +    Th m kξ       −−      +    0)1(1... Tmh m kξ . Поэтому при определении математического ожидания критерий оптимальности (33) можно разделить на детерминиро- ванную и стохастическую части     +         ′+            −   +         =            +   Ι h m kubh m kyah m kyah m k 121 11 ...1 012 +      −      ′+         ′+            −   ′+ + Th m kch m kch m kub mm ξξ    +         +         +           −      ′+ h m kyah m kurmTh m kc m 1 2 2 02 2... ξ +         ′+            −   ′+         ′+            −   + h m kch m kubh m kubh m kya mξ11 212 +                 +                 −   ′++         −   ′+ + h m kMmTh m kcTh m kc mm 1... 0201 ξξξ +           −−      +   ++      −      +   ′+ − 0101 )1(1...1 Tmh m kcTh m kc m ξξ     +      −      +   ′+            +   + ...11 01 Th m kch m kM ξξ 2 01 )1(1...           −−      +   ′+ − Tmh m kcm ξ . (34) Выполним минимизацию детерминированной части критерия             +   Ι h m k 1 по управляющему воздействию           h m ku В.Д. Романенко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 2 128 +         ′     +            −   +         =          ∂             +   Ι∂ h m kubh m kyah m kya h m ku h m k 121 12 1 ...1 012 +         −   ′+         ′+            −   ′+ + Th m kch m kch m kub mm ξξ 02... 102 =         +′              −   ′+ h m krubmTh m kc mξ . (35) Из полученного уравнения определяется оптимальное управляющее воздействие, минимизирующее обобщенную дисперсию (32) −            −   ′−            −       −         − +′ ′ =          h m kubh m kyah m kya rb b h m ku 11 ])[( 2212 1 1              −   ′−−      −   ′−         ′− + 0201 ... mTh m kcTh m kch m kc mmm ξξξ . Пример 3. Исходная модель ARMAX с разнотемповой дискретизацией координат при 03Th = имеет вид +            −   ′+            −   +            −   =          hkubhkyahkyahky 1 3 2 3 1 33 121 +      −   ′+      −   ′+         +            −   ′+ 01201112 2 333 2 3 ThkcThkchkhkub ξξξ +      −   ′+      −   ′+ 014013 4 3 3 3 ThkcThkc ξξ       −   ′+      −   ′+ 016015 6 3 5 3 ThkcThkc ξξ , (36) где коэффициенты 33,31 −=a ; 0369,02 =a ; 907,01 =′b ; 418,02 =′b ; 3726,01 =′c ; 34,02 =′c ; 653,03 =′c ; 013,04 −=′c ; 015,05 −=′c ; 022,06 =′c . Используя критерий оптимальности (32)                  +            +   =            +   Ι hkruhkyMhk 3 1 3 1 3 22 , (37) на основе алгоритма (33)–(35) синтезирован оптимальный закон управле- ния, который минимизирует обобщенную дисперсию (37) −            −   ′−                 −   −         − + ′ =          hkubhkyahkya rb bhku 1 3 1 33)(3 2212 1 1 Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 2 129          −   ′−      −   ′−      −   ′−         ′− 0605043 3 3 2 333 ThkcThkcThkchkc ξξξξ . (38) На рис. 4 приведены результаты моделирования. На первом графике показано изменяющееся и прогнозированное значение максимальной услов- ной дисперсии координаты           hky 3 для неуправляемого процесса (36), когда вместо управляющих воздействий             −    hku 1 3 ,             −    hku 2 3 по- давались возмущения типа «белого» шума             −    hk 1 32ξ ,             −    hk 2 32ξ . На втором графике показано изменение и прогнозирование максимальной выборочной дисперсии координаты y при управляемом процессе согласно закону управления (38). Из графиков видно существенное уменьшение дис- персии при оптимальном управлении процессом. ВЫВОДЫ 1. Установлено, что условная дисперсия гетероскедастических процес- сов, которая определяется на основе минимальной выборки, не может ха- Рис. 4. Графики моделирования максимальной условной дисперсии при разнотем- повой дискретизации: 1 — прогнозируемая дисперсия без управления; 2 — вычис- ляемая дисперсия без управления; 3 — вычисляемая дисперсия с управлением; 4 — прогнозируемая дисперсия с управлением 20 60 100 140 180 220 260 300 340 [k/3]h 0 0,02 0,06 0,10 0,14 0,18 0,22 0,26 0,30 0,34 0,38           h k y 3 1 2 4 3 В.Д. Романенко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 2 130 рактеризовать в каждый момент дискретного времени максимальную услов- ную дисперсию выходной координаты процесса. 2. На основе моделей авторегрессии и скользящего среднего разрабо- тана методика прогнозирования максимальных выборочных условных дис- персий на один базовый период квантования 0T при переменной выборке и однотемповой дискретизации координат. 3. Предложены модели авторегрессии и скользящего среднего с дис- кретизацией входных координат с малым периодом квантования 0T , а вы- ходных координат — с увеличенными периодами 0mTh = . 4. Описана методика прогнозирования максимальных выборочных ус- ловных дисперсий гетероскедастических процессов на один увеличенный период квантования 0mTh = на основе моделей авторегрессии и скользяще- го среднего с разнотемповой дискретизацией при переменной выборке входных и выходных координат. 5. Разработан алгоритм минимизации обобщенной дисперсии на осно- ве разнотемповых моделей авторегрессии и скользящего среднего с допол- нительным входным управляющим воздействием (модель ARMAX). ЛИТЕРАТУРА 1. Бідюк П.І. Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2003. — № 3. — С. 88 – 110. 2. Hamilton J.D. Time series analysis. — Prinseton University Press. — 1994. — 799 р. 3. Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. — М.: Мир, 1974. — Вып. 1. — 406 с. 4. Романенко В.Д. Прогнозирование динамических процессов на основе матема- тических моделей временных рядов с разнотемповой дискретизацией // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2005. — № 2. — С. 23 – 41. 5. Изерман Р. Цифровые системы управления. — М.: Мир, 1984. — 541 с. Поступила 21.11.2006 НОВІ МЕТОДИ В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ, ІНФОРМАТИЦІ ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией В.Д. Романенко Введение Постановка задачи Прогнозирование максимальной выборочной условной дисперсии на основе моделей с однотемповой дискретизацией разнотемповые ДИСКРЕТНЫЕ математическиЕ моделИ Разнотемповая модель с удвоенной частотой при Разнотемповая модель с утроенной частотой при ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МАКСИМАЛЬНОЙ ВЫБОРОЧНОЙ УСЛОВНОЙ ДИСПЕРСИИ ОДНОМЕРНОГО ПРОЦЕССА НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ С РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МАКСИМАЛЬНЫХ ВЫБОРОЧНЫХ УСЛОВНЫХ ДИСПЕРСИЙ МНОГОМЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ С РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ Минимизация дисперсий гетероскедастических процессов при разнотемповой дискретизации ВыВОДЫ Рис. 1. График изменения выходной координаты для модели АРСС Рис. 2. Графики вычисления ( ) и прогнозирования ( ) условной дисперсии Рис. 3. Графики вычисления (—) и прогнозирования (—) максимальной выборочной условной дисперсии Рис. 4. Графики моделирования максимальной условной дисперсии при разнотемповой дискретизации: 1 — прогнозируемая дисперсия без управления; 2 — вычисляемая дисперсия без управления; 3 — вычисляемая дисперсия с управлением; 4 — прогнозируемая дисперсия...
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-14620
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1681–6048
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T15:19:03Z
publishDate	2007
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
record_format	dspace
spelling	Романенко, В.Д. 2010-12-27T13:25:56Z 2010-12-27T13:25:56Z 2007 Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией / В.Д. Романенко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2007. — № 2. — С. 115-130. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/14620 62-50 Рассмотрены теоретические положения проектирования разнотемповых дискретных систем прогнозирования и минимизации изменяющихся максимальных условных дисперсий выходных координат одномерных и многомерных процессов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования, а выходных координат и управляющих воздействий — с большими. Динамика процессов в стохастической среде представлена моделями авторегрессии и скользящего среднего, моделями авторегрессии и скользящего среднего с дополнительным входным сигналом с разнотемповой дискретизацией. Theoretical principles of designing multirate discrete systems for prognostication and minimization of the variables of maximal conditional dispersions are considered for output coordinates of one and multidimensional processes under discretization of input disturbances with small periods of sampling and output coordinates and control signals with large periods of sampling. The dynamics of processes is represented by the models of autoregression and a sliding mean as well as of autoregression and a sliding mean with additional input control signal of multirate discritization. Розглянуто теоретичні положення проектування різнотемпових дискретних систем прогнозування і мінімізації змінних максимальних умовних дисперсій вихідних координат одновимірних і багатовимірних процесів при дискретизації вхідних збурень з малими періодами квантування, а вихідних координат і керуючих впливів — з великими. Динаміку процесів у стохастичному середовищі описано моделями авторегресії і ковзного середнього, моделями авторегресії і ковзного середнього з додатковим вхідним сигналом із різнотемповою дискретизацією. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией Prognostication and minimization of heteroscedastic processes dispersion using models with multirate discretization Прогнозування і мінімізація дисперсій гетероскедастичних процесів на основі моделей із різнотемповою дискретизацією Article published earlier
spellingShingle	Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией Романенко, В.Д. Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
title	Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией
title_alt	Prognostication and minimization of heteroscedastic processes dispersion using models with multirate discretization Прогнозування і мінімізація дисперсій гетероскедастичних процесів на основі моделей із різнотемповою дискретизацією
title_full	Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией
title_fullStr	Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией
title_full_unstemmed	Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией
title_short	Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией
title_sort	прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией
topic	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
topic_facet	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/14620
work_keys_str_mv	AT romanenkovd prognozirovanieiminimizaciâdispersiigeteroskedastičeskihprocessovnaosnovemodeleisraznotempovoidiskretizaciei AT romanenkovd prognosticationandminimizationofheteroscedasticprocessesdispersionusingmodelswithmultiratediscretization AT romanenkovd prognozuvannâímínímízacíâdispersíigeteroskedastičnihprocesívnaosnovímodeleiízríznotempovoûdiskretizacíêû

Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией

Репозитарії

Схожі ресурси