Аnalysis of the non-stationary model of coupled oscillators with inductive coupling
The model of coupled oscillators plays an important role in modern physics. It is used for description of various processes: from oscillations of atoms in solid states to electromagnetic oscillations in slow-wave structures. The model with “short-range coupling” is the most widely used, for which...
Saved in:
| Published in: | Вопросы атомной науки и техники |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/147295 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Аnalysis of the non-stationary model of coupled oscillators with inductive coupling / M.I. Ayzatsky, K.Yu. Kramarenko // Вопросы атомной науки и техники. — 2018. — № 3. — С. 86-90. — Бібліогр.: 9 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859800654743076864 |
|---|---|
| author | Ayzatsky, M.I. Kramarenko, K.Yu. |
| author_facet | Ayzatsky, M.I. Kramarenko, K.Yu. |
| citation_txt | Аnalysis of the non-stationary model of coupled oscillators with inductive coupling / M.I. Ayzatsky, K.Yu. Kramarenko // Вопросы атомной науки и техники. — 2018. — № 3. — С. 86-90. — Бібліогр.: 9 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Вопросы атомной науки и техники |
| description | The model of coupled oscillators plays an important role in modern physics. It is used for description of various
processes: from oscillations of atoms in solid states to electromagnetic oscillations in slow-wave structures. The
model with “short-range coupling” is the most widely used, for which a separate oscillator is coupled with two adjacent ones only. There are two main types of oscillators coupling: “capacitive” (“electric”, “power”) and “inductive”
(“magnetic”, “inertial”). In the first case, the coupling is proportional to the amplitudes of oscillations in the adjacent
cells, in the second one – to the second derivative of these amplitudes. For numerical study of dynamics of a system
that can be described by a model of coupled oscillators with an "inductive" coupling, it is necessary to find explicit
expressions for the second derivatives of the amplitudes. To find these expressions, we propose to use the methods
of solving of difference equations. The results of the analysis of this method are given in the paper.
Модель зв'язаних осциляторів відіграє важливу роль у сучасній фізиці. Її використовують для опису різноманітних процесів: від коливань атомів у твердих тілах до електромагнітних коливань в уповільнюючих
структурах. Найбільш широко використовують модель з «ближнім зв'язком», коли конкретний осцилятор
зв'язаний тільки з двома сусідніми. Існує два основних види зв'язку осциляторів: «електричний» («ємнісний», «силовий») і «магнітний» («індуктивний», «інерційний»). У першому випадку зв'язок є пропорційним
амплітудам коливань у сусідніх комірках, у другому – другій похідній цих амплітуд. При чисельному дослідженні динаміки системи, яка описується моделлю зв'язаних осциляторів з індуктивним зв'язком, необхідно
знайти явні вирази для других похідних амплітуд. Для знаходження цих виразів у даній роботі пропонується
використовувати методи розв'язання різницевих рівнянь. Приводяться результати аналізу даного методу.
Модель связанных осцилляторов играет важную роль в современной физике. Она используется для описания различных процессов: от колебаний атомов в твердых телах до электромагнитных колебаний в замедляющих структурах. Наиболее широко используется модель с «ближней связью», когда конкретный осциллятор связан только с двумя соседними. Существует два основных вида связи осцилляторов: «электрическая» («емкостная», «силовая») и «магнитная» («индуктивная», «инерционная»). В первом случае связь пропорциональна амплитудам колебаний в соседних ячейках, во втором – второй производной этих амплитуд.
При численном исследовании динамики системы, описываемой моделью связанных осцилляторов с индуктивной связью, необходимо найти явные выражения для вторых производных амплитуд. Для нахождения
этих выражений в данной работе предлагается использовать методы решения разностных уравнений. Приводятся результаты анализа данного метода.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:12:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2018. №3(115) 86
ANALYSIS OF THE NON-STATIONARY MODEL OF COUPLED
OSCILLATORS WITH INDUCTIVE COUPLING
M.I. Ayzatsky, K.Yu. Kramarenko
National Science Center “Kharkov Institute of Physics and Technology”, Kharkov, Ukraine
E-mail: kramer@kipt.kharkov.ua
The model of coupled oscillators plays an important role in modern physics. It is used for description of various
processes: from oscillations of atoms in solid states to electromagnetic oscillations in slow-wave structures. The
model with “short-range coupling” is the most widely used, for which a separate oscillator is coupled with two adja-
cent ones only. There are two main types of oscillators coupling: “capacitive” (“electric”, “power”) and “inductive”
(“magnetic”, “inertial”). In the first case, the coupling is proportional to the amplitudes of oscillations in the adjacent
cells, in the second one – to the second derivative of these amplitudes. For numerical study of dynamics of a system
that can be described by a model of coupled oscillators with an "inductive" coupling, it is necessary to find explicit
expressions for the second derivatives of the amplitudes. To find these expressions, we propose to use the methods
of solving of difference equations. The results of the analysis of this method are given in the paper.
PACS: 29.20.Ej
INTRODUCTION
The model of coupled oscillators plays an important
role in modern physics. It is used for description of var-
ious processes: from oscillations of atoms in solid states
to electromagnetic oscillations in slow-wave structures.
The model of coupled oscillators (for slow-wave struc-
tures the term “coupled resonators” is often used) is
very simple. An equation for each oscillator contains the
oscillator amplitude, multiplied by the square of the
resonant frequency, second derivative of the oscillator
amplitude and coupling terms which are proportional to
the amplitudes of the neighbouring oscillators multi-
plied by coupling coefficients. The model with “short-
range coupling” (nearest neighbouring coupling), when
each oscillator in the chain is coupled with two adjacent
ones only, is used most widely. There are two main
types of oscillators coupling: "capacitive" (“electric”,
“power”) and "inductive" (“magnetic”, “inertial”).
For using the numerical methods in investigation of
the non-stationary (transient) behaviour of the coupled
oscillators, each equation for complex amplitude must
contain only one second derivative of the oscillator am-
plitudes. This condition is automatically fulfilled for the
chain of electrically coupled oscillators, because in this
case the coupling terms contain the amplitudes of
neighbouring oscillators. When oscillators in the chain
are coupled magnetically, the coupling terms contain the
second derivatives of the amplitudes of neighbouring
oscillators and in one equation we have several second
derivatives. Direct use of numerical methods is impos-
sible in this case. If the coupling coefficients are small,
these second derivatives of the amplitudes of neighbour-
ing oscillators can be replaced by the amplitudes multi-
plied by the square of the resonant frequency. But the
issue of using the numerical methods in general case has
not been clarified so far [1 - 5].
We propose a method of solving this problem. The
results of using this method are given for two systems:
an infinite chain of magnetically-coupled cells and the
backward travelling wave (BTW) structure.
1. INFINITE CHAIN OF OSCILLATORS
Let’s consider an infinite chain of lossless magneti-
cally coupled oscillators
1
. The chain is described by the
following system of the second-order differential equa-
tions
2 2 2
2 1 1
0 ,2 2 2
1 2 ( )n n n
n n p
d A d A d A
A F t
dt dt dt
. (1)
Here
nA is the amplitude of the n -th oscillator;
0
is the oscillator resonant frequency (all the oscillators
are identical); is the coupling coefficient; n ,
( )F t is external force that acts on the p-th oscillator.
For the case ( ) 0F t and the time dependence of
the amplitudes as exp( )i t , the solution of the infinite
system (1) can be written as
0
n
nA A , (2)
where is the solution of a characteristic equation
2 2
02
2
1 2
1 0
. (3)
By introducing
2
2
n
n
d A
x
dt
, (4)
the system (1) can be rewritten as follows:
2
1 1 0 ,1 2 ( )n n n n n px x x A F t . (5)
This is an inhomogeneous second-order difference
equation with constant coefficients. The Green’s func-
tion solution of this equation is
2
0 ( )n n k k n p
k
x X A X F t
, (6)
where
1
1
2
1
, ,
1 2 1
, ,
1 2 1
n k
n k n k
g
n k
g
X
g
n k
g
(7)
2
1
1 2 1 2
1
2 2
g
. (8)
1
For example, magnetic coupling in slow-wave disk-loaded
structures is realized through holes or slots out of disk axis.
ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2018. №3(115) 87
For small ( 1 )
1g .
Using the definition for
nx , we can write
2
2
1 02
2
0 1 1
1
1 2 1
( ) .
n
n
n pk
n k n k
k
d A
g A
dt
g A A g F t
(9)
The system of equations (1) and the system of equa-
tions (9) describe the same object: the infinite chain of
identical magnetically coupled oscillators.
It can be shown that the homogeneous system of
equations (9) has the solution of the form (2) with the
same characteristic multiplier .
It is useful to pay attention on several characteristic
features of the system of equations (9).
Analysis of this system shows that instead of mag-
netic neighbouring coupling (“short connection”) in the
system (1) we obtained the electrically coupled oscilla-
tors with “long connection” (each oscillator is connect-
ed with all the others).
The external force that acts on the p -th oscillator in
the chain of oscillators with magnetic neighbouring
coupling transformed into the force that acts on all ele-
ments of the chain.
If we can formulate the rule for truncating the sum,
the system of equation (9) is suitable to carry out the
numerical analysis of non-stationary behaviour of the
oscillator chain with magnetic coupling. As for small
( 1 )
1g , then for 1 we can expect that
the sum in the system (9) converges and can be truncat-
ed
1 1
1 1
cM
k k
n k n k n k n k
k k
g A A g A A
. (10)
Bellow, on the example of the backward travelling
wave section, we shall show that the sum in the system
(9) really converges and the number of couplings
cM
that should be taken into account is determined by the
value of .
2. BACKWARD TRAVELLING WAVE
STRUCTURE
Let’s consider the N cells of disk-loaded waveguide
(Fig. 1). The coupling between cells is magnetic, so the
coupling slots (or holes) are located at the disks periph-
ery.
Fig. 1. Backward traveling wave structure
Considered structure is described by the following
set of N equations
2 2 2
1 1 2 1 1 1
12 2 2
1
2 2 2
0 1
2 2 2
2
1
2
2 2 2
1
2 2 2
1 0,
1 2
0,
1
2
,
pp
n n
n
p
n
N N N
N
p
N N N N N
p N p N
d A d A dA
A
Q dd d
d A d A
A
d d
d A
d
d A d A
A
d d
dA dU
Q d Q d
(11)
where U is the amplitude of input RF pulse; An is the
amplitude of electric field in the nth cell, pt ,
p
is the operating frequency;
1 and
N are the eigen
frequencies of the couplers;
0 is the eigen frequency
of the cells, is the coupling coefficient;
sinN N p NQ , 1 1 1sin pQ , is
the phase advance per cell.
For the time dependence of the amplitudes and ex-
ternal signal as exp( )i t on the basis of the system
(11) the parameters of resonators and its coupling were
chosen to provide the phase shift between resonators
4 / 5 at the operating frequency pf 2856 MHz.
Moreover, the couplers parameters were chosen to pro-
vide the absence of reflections from terminal cells at
this frequency [6, 7].
Denoting 2 2
n nd A d x we can rewrite the set of
equations (11) in the following form
2
1 1 1 1
1 2 1 2
1
2
0
1 1 2
1
2
2
1 ,
1 2 ,
1
2
.
pp
n n n n
p
N N
N N N N N N
N
p N p Np
dA
x x A
Q d
x x x A
x x
dA dU
A
Q d Q d
(12)
By analogy with the infinite structure, the solution of
the system of equations (12) can be expressed through
the Green’s function
2 2
1 1 1 1
,1 12 2
1
2 1
0
,2
2
2
, 2
2
.
n
n
pp
N
n k k
kp
N N N N N N
n N N
p N p Np
d A dA
X A
Q dd
X A
dA dU
X A
Q d Q d
(13)
Here the matrix X is the Green’s function of the
system (12)
ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2018. №3(115) 88
1, 2, 1,
, 1, 1, ,
, 1, ,
1 ,
1 2 ,
1 ,
k k k
n k n k n k n k
N k N k N k
X X
X X X
X X
(14)
where 1 k N .
In general case all elements of the matrix X are
nonzero and the system (13) describes the interaction of
individual resonators with all the other ones. Using in
the system (13) truncated matrix X instead of the
Green’s function X , we can restrict the number of in-
teracting resonators. For example, for the matrix
1,1 1,2 1,3
2,1 2,2 2,3 2,4
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5
4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5,3 5,4 5,5 5,6 5,7
0 0 0 0 ...
0 0 0 ...
0 0 ...
0 0 ...
0 0 ...
..........................................................
X X X
X X X X
X X X X X
X
X X X X X
X X X X X
(15)
each resonator is coupled with the four neighboring
ones
2
. For convenience, we shall mark the case when
each resonator is coupled with the two neighboring ones
as
cM 1, when each resonator is coupled with the four
neighboring ones as
cM 2, when each resonator is
coupled with the six neighboring ones as
cM 3 and so
on. The case of interacting of individual resonators with
all the other ones we shall mark as
cM N .
We used the Runge-Kutta method to find approxi-
mate solution of the system (13). As an input signal we
used the wave front of the type
sin , 0 ,
2( )
1, .
p pi t
p
p
t
t t
tU t e
t t
(16)
0 1000 2000 3000 4000 5000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/ 2
ab
s(
U
)
3,42
1
Fig. 2. The time dependence of the input (1) and output
amplitudes (2 Mc=1; 3 Mc=2; 4 Mc=N), = 0.02
2
Except for the terminal resonators
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
/ 2
ab
s(
U
re
f)
2 3,4
Fig. 3. The time dependence of the reflected signal
(2 Mc=1; 3 Mc=2; 4 Mc= N), = 0.02
0 20 40 60 80 100
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
cell number
4,5
3
Fig. 4. Deviation from a predetermined phase
distribution (3 Mc=2; 4 Mc=3; 5 Mc=N),
= 0.02, = 2π13000
0 500 1000 1500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/ 2
ab
s(
U
)
1
2 3,4,5
Fig. 5. The time dependence of the input (1) and output
amplitudes (2 Mc=1;3 Mc=2; 4 Mc=3; 5 Mc=N),
= 0.06
The time dependence of the input and output ampli-
tudes for the structure with 4 / 5 and N = 100 is
shown in Fig. 2 ( = 0.02, /g gv c
-0.03), Fig. 5 ( = 0.06, /g gv c -0.073) and Fig. 8
( = 0.2, /g gv c -0.17). The time dependence of
the amplitude of the reflected signal is shown in
Figs. 3, 6, 9 for the same parameters. Deviations of
phase distributions from a predetermined one
( n n ) for the same values of and /g gv c
are shown in Fig. 4 ( = 2π13000), Fig. 7 ( = 2π5000),
and Fig. 10 ( = 2π2200).
ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2018. №3(115) 89
0 1000 2000 3000 4000 5000
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
/ 2
a
b
s(
U
re
f)
4,5
3
Fig. 6. The time dependence of the reflected signal
(3 – Mc=2; 4 Mc=3; 5 Mc=N), = 0.06
0 20 40 60 80 100
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
cell number
5
6
4
Fig. 7. Deviation from a predetermined phase distribution
(4 Mc=3; 5 Mc=4; 6 Mc=N), = 0.06, = 2π5000
0 200 400 600 800 1000 1200
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/ 2
ab
s(
U
)
1
2 3
4,5
Fig. 8. The time dependence of the input (1) and output
amplitudes (2 Mc=1; 3 Mc=2; 4 Mc=3;
5 Mc=N), = 0.2
0 500 1000 1500 2000
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
/ 2
ab
s(
U
re
f)
3
54
Fig. 9. The time dependence of the reflected signal
(3 – Mc=2; 4 – Mc=3; 5 – Mc=N), = 0.2
0 20 40 60 80 100
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
cell number
6
7
8
Fig. 10. Deviation from a predetermined phase distribu-
tion (6 Mc=5; 7 Mc=6; 8 Mc=N), = 0.2,
= 2π2200
Phase oscillations in Figs. 4, 7, 10 indicate that due
to reflections from couplers there is no completely
steady state at the specified time.
Presented results show that the transients in the
chain of magnetically coupled oscillators are sensitive
to a mathematical model that used for numerical simula-
tion. Especially strong influence of the value of cou-
pling and the number of coupled resonators is observed
for phase distributions (see Figs. 4, 7, 10). Also the in-
fluence of coupling characteristics on the reflected sig-
nal can not be neglected. It is important for developing
methods for tuning couplers and resonators [8, 9].
CONCLUSIONS
For numerical study of dynamics of a system that
can be described by a model of coupled oscillators with
an "inductive" coupling, we proposed to use the meth-
ods of solving of difference equations. Based on this
approach we analysed the influence of the value of cou-
pling and the number of coupling resonators on the
characteristics of transients in the chain of magnetically
coupled oscillators. It was shown that the transients in
this chain are sensitive to a mathematical model that
used for numerical simulation.
REFERENCES
1. T. Nishikawa. Beam Loading Effects in Standing
Wave Linacs // Proc. of the Linear Accel. Conf.
1966, p. 294-302.
2. E.A. Knapp. Resonantly Coupled Standing Wave
Accelerator Structures for Electron and Proton Linac
Applications // IEEE Trans. Nucl. Sci. NS-16, 1969,
p. 329-337.
3. G.R. Swain, L.D. Scott. Calculation of the Transient
Response of Long Chains of Slightly Lossy Coupled
Resonators // IEEE Trans. Nucl. Sci. NS-17, 1970,
p. 10-13.
4. H. Henke, M. Filtz. Envelope Equations for Transi-
ents in Linear Chains of Resonators // Proc. of Par-
ticle Accel. Conf. 1993, p. 901-903.
5. L.M. Young, S. Nath. Effect of Transients on the
Beam in the Superconducting Supercollider (SSC)
Coupled-Cavity Linac // Proc. of the Linear Accel.
Conf. 1992, p. 208-210.
6. D.H. Whittum. Introduction to Electrodynamics for
Microwave Linear Accelerators // S.I. Kurokawa,
ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2018. №3(115) 90
M. Month, S. Turner (Eds). Frontiers of Accelerator
Technology. World Scientific Publishing Co. Pte.
Ltd., 1999.
7. M.I. Ayzatsky. A novel approach to the synthesis of
the electromagnetic field distribution in a chain of
coupled resonators // arXiv:1709.00842, 2017, p. 1-
20.
8. T. Khabiboulline, V. Puntus, M. Dohlus, et al. A
new tuning method for traveling wave structures //
Proc. of Particle Accel. Conf. 1995, p. 1666-1668.
9. M.I. Ayzatskiy, V.V. Mytrochenko. Electromagnetic
fields in nonuniform disk-loaded waveguides //
Problems of Atomic Science and Technology. Series
“Nuclear Physics Investigations”. 2016, № 3, p. 3-
10; // arXiv:1503.05006, 2015, p. 1-19.
Article received 02.03.2018
АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
С ИНДУКТИВНОЙ СВЯЗЬЮ
Н.И. Айзацкий, Е.Ю. Крамаренко
Модель связанных осцилляторов играет важную роль в современной физике. Она используется для опи-
сания различных процессов: от колебаний атомов в твердых телах до электромагнитных колебаний в замед-
ляющих структурах. Наиболее широко используется модель с «ближней связью», когда конкретный осцил-
лятор связан только с двумя соседними. Существует два основных вида связи осцилляторов: «электриче-
ская» («емкостная», «силовая») и «магнитная» («индуктивная», «инерционная»). В первом случае связь про-
порциональна амплитудам колебаний в соседних ячейках, во втором – второй производной этих амплитуд.
При численном исследовании динамики системы, описываемой моделью связанных осцилляторов с индук-
тивной связью, необходимо найти явные выражения для вторых производных амплитуд. Для нахождения
этих выражений в данной работе предлагается использовать методы решения разностных уравнений. При-
водятся результаты анализа данного метода.
АНАЛІЗ НЕСТАЦІОНАРНОЇ МОДЕЛІ ЗВ'ЯЗАНИХ ОСЦИЛЯТОРІВ
З ІНДУКТИВНИМ ЗВ'ЯЗКОМ
М.І. Айзацький, К.Ю. Крамаренко
Модель зв'язаних осциляторів відіграє важливу роль у сучасній фізиці. Її використовують для опису різ-
номанітних процесів: від коливань атомів у твердих тілах до електромагнітних коливань в уповільнюючих
структурах. Найбільш широко використовують модель з «ближнім зв'язком», коли конкретний осцилятор
зв'язаний тільки з двома сусідніми. Існує два основних види зв'язку осциляторів: «електричний» («ємніс-
ний», «силовий») і «магнітний» («індуктивний», «інерційний»). У першому випадку зв'язок є пропорційним
амплітудам коливань у сусідніх комірках, у другому – другій похідній цих амплітуд. При чисельному дослі-
дженні динаміки системи, яка описується моделлю зв'язаних осциляторів з індуктивним зв'язком, необхідно
знайти явні вирази для других похідних амплітуд. Для знаходження цих виразів у даній роботі пропонується
використовувати методи розв'язання різницевих рівнянь. Приводяться результати аналізу даного методу.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-147295 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-6016 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-07T15:12:55Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ayzatsky, M.I. Kramarenko, K.Yu. 2019-02-14T07:43:43Z 2019-02-14T07:43:43Z 2018 Аnalysis of the non-stationary model of coupled oscillators with inductive coupling / M.I. Ayzatsky, K.Yu. Kramarenko // Вопросы атомной науки и техники. — 2018. — № 3. — С. 86-90. — Бібліогр.: 9 назв. — англ. 1562-6016 PACS: 29.20.Ej https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/147295 The model of coupled oscillators plays an important role in modern physics. It is used for description of various processes: from oscillations of atoms in solid states to electromagnetic oscillations in slow-wave structures. The model with “short-range coupling” is the most widely used, for which a separate oscillator is coupled with two adjacent ones only. There are two main types of oscillators coupling: “capacitive” (“electric”, “power”) and “inductive” (“magnetic”, “inertial”). In the first case, the coupling is proportional to the amplitudes of oscillations in the adjacent cells, in the second one – to the second derivative of these amplitudes. For numerical study of dynamics of a system that can be described by a model of coupled oscillators with an "inductive" coupling, it is necessary to find explicit expressions for the second derivatives of the amplitudes. To find these expressions, we propose to use the methods of solving of difference equations. The results of the analysis of this method are given in the paper. Модель зв'язаних осциляторів відіграє важливу роль у сучасній фізиці. Її використовують для опису різноманітних процесів: від коливань атомів у твердих тілах до електромагнітних коливань в уповільнюючих структурах. Найбільш широко використовують модель з «ближнім зв'язком», коли конкретний осцилятор зв'язаний тільки з двома сусідніми. Існує два основних види зв'язку осциляторів: «електричний» («ємнісний», «силовий») і «магнітний» («індуктивний», «інерційний»). У першому випадку зв'язок є пропорційним амплітудам коливань у сусідніх комірках, у другому – другій похідній цих амплітуд. При чисельному дослідженні динаміки системи, яка описується моделлю зв'язаних осциляторів з індуктивним зв'язком, необхідно знайти явні вирази для других похідних амплітуд. Для знаходження цих виразів у даній роботі пропонується використовувати методи розв'язання різницевих рівнянь. Приводяться результати аналізу даного методу. Модель связанных осцилляторов играет важную роль в современной физике. Она используется для описания различных процессов: от колебаний атомов в твердых телах до электромагнитных колебаний в замедляющих структурах. Наиболее широко используется модель с «ближней связью», когда конкретный осциллятор связан только с двумя соседними. Существует два основных вида связи осцилляторов: «электрическая» («емкостная», «силовая») и «магнитная» («индуктивная», «инерционная»). В первом случае связь пропорциональна амплитудам колебаний в соседних ячейках, во втором – второй производной этих амплитуд. При численном исследовании динамики системы, описываемой моделью связанных осцилляторов с индуктивной связью, необходимо найти явные выражения для вторых производных амплитуд. Для нахождения этих выражений в данной работе предлагается использовать методы решения разностных уравнений. Приводятся результаты анализа данного метода. en Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Динамика пучков Аnalysis of the non-stationary model of coupled oscillators with inductive coupling Аналіз нестаціонарної моделі зв'язаних осциляторів з індуктивним зв'язком Анализ нестационарной модели связанных осцилляторов с индуктивной связью Article published earlier |
| spellingShingle | Аnalysis of the non-stationary model of coupled oscillators with inductive coupling Ayzatsky, M.I. Kramarenko, K.Yu. Динамика пучков |
| title | Аnalysis of the non-stationary model of coupled oscillators with inductive coupling |
| title_alt | Аналіз нестаціонарної моделі зв'язаних осциляторів з індуктивним зв'язком Анализ нестационарной модели связанных осцилляторов с индуктивной связью |
| title_full | Аnalysis of the non-stationary model of coupled oscillators with inductive coupling |
| title_fullStr | Аnalysis of the non-stationary model of coupled oscillators with inductive coupling |
| title_full_unstemmed | Аnalysis of the non-stationary model of coupled oscillators with inductive coupling |
| title_short | Аnalysis of the non-stationary model of coupled oscillators with inductive coupling |
| title_sort | аnalysis of the non-stationary model of coupled oscillators with inductive coupling |
| topic | Динамика пучков |
| topic_facet | Динамика пучков |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/147295 |
| work_keys_str_mv | AT ayzatskymi analysisofthenonstationarymodelofcoupledoscillatorswithinductivecoupling AT kramarenkokyu analysisofthenonstationarymodelofcoupledoscillatorswithinductivecoupling AT ayzatskymi analíznestacíonarnoímodelízvâzanihoscilâtorívzínduktivnimzvâzkom AT kramarenkokyu analíznestacíonarnoímodelízvâzanihoscilâtorívzínduktivnimzvâzkom AT ayzatskymi analiznestacionarnoimodelisvâzannyhoscillâtorovsinduktivnoisvâzʹû AT kramarenkokyu analiznestacionarnoimodelisvâzannyhoscillâtorovsinduktivnoisvâzʹû |