Неканоническое спектральное разложение случайных функций тяговых напряжения и тока в системах электрического транспорта
В статье предложено адаптированное к системам электрического транспорта неканоническое разложение случайных процессов тяговых напряжений и токов. Выполнено численное представление случайной функции напряжения на токоприемниках электровозов ВЛ8 и ДЭ1....
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут технічних проблем магнетизму НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Електротехніка і електромеханіка |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/148791 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Неканоническое спектральное разложение случайных функций тяговых напряжения и тока в системах электрического транспорта / Н.А. Костин, О.Г. Шейкина // Електротехніка і електромеханіка. — 2015. — № 1. — С. 68–71. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-148791 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1487912025-02-09T15:17:03Z Неканоническое спектральное разложение случайных функций тяговых напряжения и тока в системах электрического транспорта Non-canonical spectral decomposition of random functions of the traction voltage and current in electric transportation systems Костин, Н.А. Шейкина, О.Г. Електричний транспорт В статье предложено адаптированное к системам электрического транспорта неканоническое разложение случайных процессов тяговых напряжений и токов. Выполнено численное представление случайной функции напряжения на токоприемниках электровозов ВЛ8 и ДЭ1. В статті запропоновано адаптоване до систем електричного транспорту неканонічне розкладання випадкових процесів тягових напруг і струмів. Виконано чисельне представлення випадкової функції напруги на струмоприймачах електровозів ВЛ8 і ДЕ1. The paper proposes the non-canonical spectral decomposition of random functions of the traction voltages and currents. This decomposition is adapted for the electric transportation systems. The numerical representation is carried out for the random function of voltage on the pantograph of electric locomotives VL8 and DE1. 2015 Article Неканоническое спектральное разложение случайных функций тяговых напряжения и тока в системах электрического транспорта / Н.А. Костин, О.Г. Шейкина // Електротехніка і електромеханіка. — 2015. — № 1. — С. 68–71. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 2074-272X DOI: https://doi.org/10.20998/2074-272X.2015.1.13 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/148791 621.333.41 ru Електротехніка і електромеханіка application/pdf Інститут технічних проблем магнетизму НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Електричний транспорт Електричний транспорт |
| spellingShingle |
Електричний транспорт Електричний транспорт Костин, Н.А. Шейкина, О.Г. Неканоническое спектральное разложение случайных функций тяговых напряжения и тока в системах электрического транспорта Електротехніка і електромеханіка |
| description |
В статье предложено адаптированное к системам электрического транспорта неканоническое разложение случайных процессов тяговых напряжений и токов. Выполнено численное представление случайной функции напряжения
на токоприемниках электровозов ВЛ8 и ДЭ1. |
| format |
Article |
| author |
Костин, Н.А. Шейкина, О.Г. |
| author_facet |
Костин, Н.А. Шейкина, О.Г. |
| author_sort |
Костин, Н.А. |
| title |
Неканоническое спектральное разложение случайных функций тяговых напряжения и тока в системах электрического транспорта |
| title_short |
Неканоническое спектральное разложение случайных функций тяговых напряжения и тока в системах электрического транспорта |
| title_full |
Неканоническое спектральное разложение случайных функций тяговых напряжения и тока в системах электрического транспорта |
| title_fullStr |
Неканоническое спектральное разложение случайных функций тяговых напряжения и тока в системах электрического транспорта |
| title_full_unstemmed |
Неканоническое спектральное разложение случайных функций тяговых напряжения и тока в системах электрического транспорта |
| title_sort |
неканоническое спектральное разложение случайных функций тяговых напряжения и тока в системах электрического транспорта |
| publisher |
Інститут технічних проблем магнетизму НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Електричний транспорт |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/148791 |
| citation_txt |
Неканоническое спектральное разложение случайных функций тяговых напряжения и тока в системах электрического транспорта / Н.А. Костин, О.Г. Шейкина // Електротехніка і електромеханіка. — 2015. — № 1. — С. 68–71. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Електротехніка і електромеханіка |
| work_keys_str_mv |
AT kostinna nekanoničeskoespektralʹnoerazloženieslučajnyhfunkcijtâgovyhnaprâženiâitokavsistemahélektričeskogotransporta AT šejkinaog nekanoničeskoespektralʹnoerazloženieslučajnyhfunkcijtâgovyhnaprâženiâitokavsistemahélektričeskogotransporta AT kostinna noncanonicalspectraldecompositionofrandomfunctionsofthetractionvoltageandcurrentinelectrictransportationsystems AT šejkinaog noncanonicalspectraldecompositionofrandomfunctionsofthetractionvoltageandcurrentinelectrictransportationsystems |
| first_indexed |
2025-11-27T07:28:17Z |
| last_indexed |
2025-11-27T07:28:17Z |
| _version_ |
1849927674107002880 |
| fulltext |
Електричний транспорт
68 ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2015. №1
© Н.А. Костин, О.Г. Шейкина
УДК 621.333.41
Н.А. Костин, О.Г. Шейкина
НЕКАНОНИЧЕСКОЕ СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
ТЯГОВЫХ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА В СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
ТРАНСПОРТА
В статті запропоновано адаптоване до систем електричного транспорту неканонічне розкладання випадкових про-
цесів тягових напруг і струмів. Виконано чисельне представлення випадкової функції напруги на струмоприймачах
електровозів ВЛ8 і ДЕ1. Бібл. 15, табл. 1, рис. 3.
Ключові слова: струм, напруга, випадкова функція, системи електричного транспорту, розкладання величини.
В статье предложено адаптированное к системам электрического транспорта неканоническое разложение случай-
ных процессов тяговых напряжений и токов. Выполнено численное представление случайной функции напряжения
на токоприемниках электровозов ВЛ8 и ДЭ1. Библ. 15, табл. 1 рис. 3.
Ключевые слова: ток, напряжение, случайная функция, системы электрического транспорта, разложение величины.
Введение. Электровозы, мотор-вагоны электро-
поездов и метрополитенов, а также трамваи и трол-
лейбусы вместе с подсистемами тягового электро-
снабжения являются мощными системами различных
видов электрического транспорта. Их силовые тяго-
вые цепи, будучи несинусоидальными параметриче-
скими, не могут быть проанализированы классиче-
скими методами теоретической электротехники. Не-
обходима разработка специфических подходов к ана-
лизу их функционирования.
Постановка задачи. Теоретические и экспери-
ментальные исследования электромагнитных процес-
сов в устройствах систем электрического транспорта
немыслимы не только без знания, но и правильного
оперирования и использования тяговых напряжений и
токов в них. Сложность и трудоемкость таких иссле-
дований обусловлена тем, что и напряжения U(t), и
токи I(t) в системах электротранспорта являются слу-
чайными процессами, причем нередко нестационар-
ными, характеризующимися резкими непрерывными
колебаниями во времени (рис. 1).
а
б
Рис. 1. Временные реализации напряжения на токоприемнике:
а – электровозов ВЛ8; б – электровозов ДЭ1
И поэтому чаще всего расчеты осуществляют по
средним или действующим значениям электрических
величин, что, естественно, влечет за собой сущест-
венные ошибки в результатах исследований.
Особенно задача усложняется, если рассматрива-
ются процессы в нелинейных устройствах и тем более
переходные процессы, когда приходится формулировать
задачу стохастическими интегро-дифференциальными
уравнениями. В этой связи для получения результатов
достаточной точности актуальной является задача
разработки методов представления (разложения)
случайных функций напряжения и тока.
Методы исследования. Как известно [1-3], лю-
бую случайную функцию X(t) (в нашей задаче U(t) или
I(t)) можно рассматривать как некоторую абстрактную
функцию, зависящую от двух переменных: времени t и
индекса опыта z, т.е. X(t) = x(t, z). При каждом фикси-
рованном значении времени, т.е. при некотором tk,
выполняя "сечение" всех реализаций функции X(t),
получаем систему случайных величин, а при каждом
фиксированном значении аргумента z получаем неко-
торую детерминированную функцию xz(t), называемую
реализацией случайного процесса X(t). Таким образом,
представляется возможным рассматривать случайную
функцию либо как множество случайных величин,
либо как множество реализаций (детерминированных
функций). Так как методы вычисления вероятностных
характеристик случайных величин хорошо разработа-
ны [3], то в настоящее время задача разложения слу-
чайных функций, как правило, решается путем их
представления в форме детерминированных функций
случайных величин. Основанием для такой замены
является теорема, согласно которой для любой случай-
ной функции X(t), непрерывной в интервале (a, b),
справедливо разложение [4]:
1
)(
)()(
j j
j
j
t
VtxtX , (1)
где Vj – взаимно некоррелированные случайные вели-
чины, обладающие нулевыми математическими ожи-
даниями и единичными дисперсиями; λj и φj(t) – соб-
ственные числа и собственные функции интегрально-
го уравнения:
ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2015. №1 69
b
a
xj dtttKt )(),()( ,
где Kx – корреляционная функция случайной функции
X(t).
В теории анализа точности нелинейных систем
[1, 4-11] существует ряд методов, широко распро-
страненных в практике и использующих представле-
ние (1). Это метод обобщенных рядов Фурье, метод
Карунена, метод Котельникова, представления при
помощи интерполяционных полиномов и др. Но наи-
более распространены канонические разложения Пу-
гачева [1]. Все эти методы обладают одним общим
серьезным недостатком [7]: для достаточно точного
представления случайной функции требуется исполь-
зовать большое количество случайных величин, что,
во-первых, затрудняет расчеты даже с помощью ЭВМ
и, во-вторых, не дает возможности разработать про-
стые, пригодные для практического использования,
методы оценки погрешности расчетов даже в преде-
лах корреляционной теории статистического анализа
нелинейных систем [5, 9-11].
Более эффективным, по нашему мнению, являет-
ся метод неканонических разложений, изложенный в
[7, 8]. Его преимущество перед другими, упомянуты-
ми выше, методами заключается в том, что количест-
во случайных величин в разложении X(t) не превыша-
ет трех. Согласно этому методу любую квазистацио-
нарную случайную функцию X(t) можно представить
абсолютно точно в пределах корреляционной теории
в форме:
tttmtX x cossin)()( 21 , (2)
где mx(t) = M[X(t)] – математическое ожидание этой
случайной функции, величина считается известной;
λ1, λ2, ω – независимые случайные величины с пара-
метрами: M[λ1]=0; M[λ2]=0; D[λ1]=D[λ2]=Dx (где
Dx – дисперсия соответствующей функции X(t)).
Законы распределения λ1 и λ2 произвольны,
а плотность распределения случайной величины ω
определяется по найденной спектральной плотности
Sx(ω) процесса X(t) как:
x
x
D
tS
tf
)(
)( . (3)
В свою очередь, для определения Sx(ω) необхо-
димо нахождение корреляционной функции Kx(τ) по
полученным экспериментальным поляризациям X(t),
так как известно [1-4],
deKS j
xx )(
2
1
)( . (4)
Результаты численных расчетов разложения
напряжения на токоприемниках электровозов.
Используя изложенный метод и экспериментальные
данные и практические расчетные подходы, приве-
денные в работах [12-15], построим разложения слу-
чайных процессов напряжения U(t) на токоприемни-
ках электровозов ВЛ8 и ДЭ1. Тогда, согласно (2),
квазистационарные случайные процессы U(t) (рис. 1)
представим выражением:
tttmtU U cossin)()( 21 . (5)
Вероятностные характеристики процесса U(t), в
том числе, математическое ожидание mU и дисперсия
DU, для обоих электровозов приведены в табл. 1.
Таблица 1
Вероятностные
характеристики
mU,
В
DU,
В2
σU,
В
AS,
от.ед.
Ex,
от.ед.
ВЛ8 3288 44940 212 0,28 0,01
Тип электровоза
ДЭ1 3262 47090 217 0,18 1,1
На рис. 2 приведены графики корреляционных
функций KU(τ) напряжений на токоприемниках элек-
тровозов, из которых, в частности, вытекает сле-
дующее:
1. Функция корреляции стремится к нулю с возрас-
танием τ, следовательно, квазистационарный случай-
ный процесс напряжения U(t) обладает эргодическим
свойством;
2. Знакопеременный характер KU(τ) свидетельству-
ет о наличии в структуре процесса напряжения пе-
риодической составляющей;
3. Сравнительно медленное затухание колебаний
корреляционной функции указывает на сохранение
связи между значениями напряжения при значитель-
ных величинах τ;
4. Отрицательные значения функции корреляции
подчеркивают тот факт, что положительным отклоне-
ниям напряжения в данный момент времени t1 соот-
ветствуют преимущественно отрицательные отклоне-
ния его в другой момент времени t2 и наоборот.
а
б
Рис.2. Корреляционные функции напряжения на
пантографе: электровоза ВЛ8 (а); электровоза ДЭ1 (б)
Характер изменения экспериментальных зависи-
мостей KU(τ) (рис. 2) позволяет аппроксимировать их
выражением:
eDK UU )( , (6)
где αU – коэффициент затухания; τ– интервал времени
между двумя сечениями случайного процесса U(t);
DU – дисперсия функции U(t).
При этом значения параметров функции KU(τ)
составили: для электровоза ВЛ8 – DU = 44940 В2 ,
70 ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2015. №1
αU = 0,0025 с1; для электровоза ДЭ1 – DU = 47090 В2 ,
αU = 0,009 с1.
Подставив (6) в (4) и выполнив интегрирование,
получим общее выражение спектральной плотности
случайной функции напряжения:
)(
)(
2
)(
22
U
UU
U
U
U
D
deK
D
S U . (7)
Подставив в (7) приведенные выше значения DU
и αU, получим конкретные выражения функций спек-
тральной плотности напряжения:
для электровоза ВЛ8:
261025,6
78,35
)(
US , В2с; (8)
для электровоза ДЭ1:
261081
97,134
)(
US , В2с. (9)
Графики спектральных плотностей SU(ω), по-
строенные по выражениям (8) и (9), представлены на
рис. 3.
а
б
Рис. 3. Спектральные плотности напряжения
на токоприемнике: электровозов ВЛ8 (а), ДЭ1(б)
Тогда, согласно (3), законы распределения слу-
чайной величины ω, примут вид:
для ВЛ8:
26
4
1025,6
1096,7
)(
f ; (10)
для ДЭ1:
26
4
1081
1066,28
)(
f . (11)
Дисперсии случайных величин λ1 и λ2 соответст-
венно электровозам составят: 44949 В2 и 47090 В2.
В конечном итоге, искомые разложения функций
напряжения на токоприемниках электровозов ВЛ8 и
ДЭ1 представляют собой выражение (5), в котором
математическое ожидание mU(t) и дисперсии величин
λ1, λ2 приведены в таблице, а законы распределения
величины ω представлены выражениями (10) и (11).
Выводы.
1. Изложенный метод неканонических разложений
случайных процессов позволяет представлять случай-
ные функции электрических величин несложными
выражениями, содержащими не более трех случайных
величин.
2. Метод в полной мере применим и к разложению
тяговых токов, которые можно принять квазистацио-
нарными, если считать реализацией случайной функ-
ции множество ее колебаний.
3. Так как методы анализа систем на основе теории
случайных величин развиты значительно сильнее, то
представление тяговых напряжений и токов выраже-
ниями функциями со случайными величинами значи-
тельно упрощает анализ электромагнитных процессов
в устройствах систем электрического транспорта.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пугачев В.С. Теория случайных функций и ее примене-
ние к задачам автоматического управления. – М.: Физмат-
гиз, 1960. – 883 с.
2. Лившиц Н.А., Пугачев В.С. Вероятностный анализ
систем автоматического управления. В 2-х томах. – М.:
Советское радио, 1963. – Т. 1 – 482 с., Т. 2 – 895 с.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. –
576 с.
4. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных
функций. – М.: Наука, 1968. – 463 с.
5. Казаков И.Е. Доступов Б.Г. Статистическая динамика
нелинейных автоматических систем. – Москва: Гос. изд.
физ.-мат. лит-ры, 1962. – 331 с.
6. Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процес-
сов. – М.: Советское радио, 1965. – 206 с.
7. Чернецкий В.И. Анализ точности нелинейных систем
управления. – М.: Машиностроение, 1968. – 246 с.
8. Статистические методы в проектировании нелинейных
систем автоматического управления. Под ред. д.т.н., проф.
Б.Д. Доступова. – М.: Машиностроение, 1970. – 407 с.
9. Kuo F.F. Freeny S.L. Hildert transforms and modulation
theory. – Proc. NEC, 1962, no.18, pp. 61-68.
10. Dunkan D.B. Response of linear time-dependent systems to
random inputs. J. Phys., May 1963, no.24, pp. 47-52.
11. Казаков И.Е. Статистическая динамика систем с пере-
менной структурой. – М.: Наука, 1977. – 416 с.
12. Костин Н.А., Шейкина О.Г. Коэффициент реактивной
мощности электрического транспорта постоянного тока //
Технічна електродинаміка. Темат. вип. "Силова електроніка
та енергоефективність". – 2008. – Ч. 4. – С. 72-75.
13. Костин Н.А., Саблин О.И. Методы корреляционно-
спектрального анализа напряжения на токоприемнике и
тягового тока электрического транспорта // Материалы кон-
ференции "Проблемы и перспективы развития железнодо-
рожного транспорта". – Днепропетровск, 2009. – С. 130-131.
14. Саблин О.И. Повышение эффективности электропо-
требления электроподвижного состава постоянного тока:
дисс. ... канд. техн. наук. / Днепропетровск, 2009. – 191 с.
15. Mykolay Kostin. Statistics and probability analysis of volt-
age on the pantograph of DC electric locomotive in the recu-
peration mode // Warsaw Przeglad Elektrotechniczny, 2013,
no.2a, pp. 273-275.
REFERENCES
1. Pugachev V.S. Teoriia sluchainykh funktsii i ee primenenie
k zadacham avtomaticheskogo upravleniia [Theory of random
ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2015. №1 71
functions and its application to problems of automatic control].
Moscow, Fizmatgiz Publ., 1960. 883 p. (Rus).
2. Livshits N.A., Pugachev V.S. Veroiatnostnyi analiz sistem
avtomaticheskogo upravleniia. V 2-kh tomakh [Probabilistic
analysis of automatic control systems. In 2 volumes]. Moscow,
Sovetskoe radio Publ., 1963. Vol.1, 482 p., Vol.2, 895 p. (Rus).
3. Venttsel' E.S. Teoriia veroiatnostei [Probability theory].
Moscow, Nauka Publ., 1969. 576 p. (Rus).
4. Sveshnikov A.A. Prikladnye metody teorii sluchainykh
funktsii [Applied methods of the theory of random functions].
Moscow, Nauka Publ., 1968. 463 p. (Rus).
5. Kazakov I.E., Dostupov B.G. Statisticheskaia dinamika
nelineinykh avtomaticheskikh sistem [Statistical dynamics of
nonlinear circuit and system]. Moscow, State Publ. of physics &
mathematics literature, 1962. 331 p. (Rus).
6. Dech R. Nelineinye preobrazovaniia sluchainykh protsessov
[Nonlinear transformations of random processes]. Moscow,
Sovetskoe radio Publ., 1965. 206 p. (Rus).
7. Chernetskii V.I. Analiz tochnosti nelineinykh sistem uprav-
leniia [Analysis of the accuracy of nonlinear control system].
Moscow, Mashinostroenie Publ., 1968. 246 p. (Rus).
8. Dostupov B.D. Statisticheskie metody v proektirovanii
nelineinykh sistem avtomaticheskogo upravleniia [Statistical
methods in designing of nonlinear systems of automatic con-
trol]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1970. 407 p. (Rus).
9. Kuo F.F. Freeny S.L. Hildert transforms and modulation
theory. Proc. NEC, 1962, no.18, pp. 61-68.
10. Dunkan D.B. Response of linear time-dependent systems to
random inputs. J. Phys., May 1963, no.24, pp. 47-52.
11. Kazakov I.E. Statisticheskaia dinamika sistem s peremennoi
strukturoi [Statistical dynamics of systems with variable struc-
ture]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 416 p. (Rus).
12. Kostin N.A. Power Factor electric vehicles DC. Tekhnichna
elektrodynamika. Tem. vypusk "Silova elektronіka i energoefektivnіst"
– Technical electrodynamics. Special Issue "Power electronics
& energy efficiency", 2008, Part 4, pp. 72-75. (Rus).
13. Kostin N.A., Sablin O.I. Methods of correlation and spectral
analysis of the voltage across the current collector and the
torque current electric vehicles. Materialy konferentsii
"Problemy i perspektivy razvitiia zheleznodorozhnogo trans-
porta" [Proceedings of the conference "Problems and prospects
of railway transport development"]. Dnepropetrovsk, 2009, pp.
130-131. (Rus).
14. Sablin O.I. Povyshenie effektivnosti elektropotrebleniia elek-
tropodvizhnogo sostava postoiannogo toka. Diss. kand. techn.
nauk [Improving the efficiency of energy consumption of electric
rolling stock DC. Cand. tech. sci. diss.]. Dnepropetrovsk, 2009.
191 p. (Rus).
15. Mykolay Kostin. Statistics and probability analysis of volt-
age on the pantograph of DC electric locomotive in the recu-
peration mode. Przeglad Elektrotechniczny, 2013, no.2a, pp.
273-275.
Поступила (received) 02.12.2014
Костин Николай Александрович1, д.т.н., проф.,
Шейкина Ольга Григорьевна1, к.т.н., доц.,
1 Днепропетровский национальный университет
железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна,
49010, Днепропетровск, ул. Лазаряна, 2,
тел/phone +38 056 3731537, e-mail: shog73@mail.ru
N.A. Kostin1, O.G. Sheikina1
1 Dnipropetrovsk National University of Railway Transport
named after academician V. Lazaryan,
2, Lazaryan Str., Dnipropetrovsk, 49010, Ukraine.
Non-canonical spectral decomposition of random functions
of the traction voltage and current in electric transportation
systems.
The paper proposes the non-canonical spectral decomposition
of random functions of the traction voltages and currents. This
decomposition is adapted for the electric transportation systems.
The numerical representation is carried out for the random
function of voltage on the pantograph of electric locomotives
VL8 and DE1. References 15, table 1, figures 3.
Key words: current, voltage, random, electric transportation
systems, decomposition of value.
|