Интенсивность космических лучей на начальной стадии солнечной вспышки
Распространение солнечных космических лучей в межпланетном пространстве рассмотрено на основе решения уравнения Фоккера — Планка в малоугловом приближении. Источник частиц предполагался мгновенным и точечным. Исследовано пространственно-временное распределение концентрации быстрых частиц на анизотро...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кинематика и физика небесных тел |
|---|---|
| Дата: | 2018 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Головна астрономічна обсерваторія НАН України
2018
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/149696 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Интенсивность космических лучей на начальной стадии солнечной вспышки / Ю.И. Фёдоров // Кинематика и физика небесных тел. — 2018. — Т. 34, № 1. — С. 3-20. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860001299153551360 |
|---|---|
| author | Фёдоров, Ю.И. |
| author_facet | Фёдоров, Ю.И. |
| citation_txt | Интенсивность космических лучей на начальной стадии солнечной вспышки / Ю.И. Фёдоров // Кинематика и физика небесных тел. — 2018. — Т. 34, № 1. — С. 3-20. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кинематика и физика небесных тел |
| description | Распространение солнечных космических лучей в межпланетном пространстве рассмотрено на основе решения уравнения Фоккера — Планка в малоугловом приближении. Источник частиц предполагался мгновенным и точечным. Исследовано пространственно-временное распределение концентрации быстрых частиц на анизотропной фазе вспышки солнечных космических лучей. Также рассмотрен случай продолжительной инжекции частиц в межпланетную среду.
Поширення сонячних космічних променів у міжпланетному середовищі розглянуто на основі розв'язку рівняння Фоккера — Планка у малокутовому наближенні. Джерело частинок вважалось миттєвим і точковим. Досліджено просторово-часовий розподіл концентрації швидких частинок на анізотропній фазі спалаху сонячних космічних променів. Також розглянуто випадок тривалої інжекції частинок у міжпланетне середовище.
A changes of the behavior with depth of the aerosol and the gas scattering components of the effective optical depth in the profiles of 887, 864, 842, 727 and 619 nm spectral absorption bands of atmospheric methane has been received. A model of homogeneous spherical aerosol particles was in use.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:36:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÀß ÔÈÇÈÊÀ
ÓÄÊ 523.9-72
Þ. È. Ôå äî ðîâ
Ãëàâ íàÿ àñ òðî íî ìè ÷åñ êàÿ îá ñåð âà òî ðèÿ Íà öè î íàëü íîé àêà äå ìèè íàóê Óêðàèíû
óë. Àêàäåìèêà Çà áî ëîò íî ãî 27, Êè åâ, 03143
fedorov@mao.kiev.ua
Èíòåíñèâíîñòü êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé íà íà÷àëüíîé
ñòàäèè ñîëíå÷íîé âñïûøêè
Ðàñ ïðîñ òðà íå íèå ñî ëíå÷ íûõ êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó ÷åé â ìåæ ïëà íåò íîì
ïðî ñòðà íñòâå ðàñ ñìîò ðå íî íà îñíî âå ðå øå íèÿ óðàâ íå íèÿ Ôîê êå ðà —
Ïëàí êà â ìà ëî óã ëî âîì ïðè áëè æå íèè. Èñòî÷ íèê ÷àñ òèö ïðåä ïî ëà ãàë ñÿ
ìãíî âåí íûì è òî ÷å÷ íûì. Èññëå äî âà íî ïðî ñòðà íñòâåí íî-âðå ìåí íîå
ðàñ ïðå äå ëå íèå êîí öåí òðà öèè áûñ òðûõ ÷àñ òèö íà àíè çîò ðîï íîé ôà çå
âñïûø êè ñî ëíå÷ íûõ êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó ÷åé. Òàê æå ðàñ ñìîò ðåí ñëó÷àé
ïðîäîëæèòåëüíîé èíæåêöèè ÷àñòèö â ìåæïëàíåòíóþ ñðåäó.
Êëþ ÷å âûå ñëî âà: êîñ ìè ÷åñ êèå ëó÷è, êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå, äèô ôó -
çèÿ, ìàã íèò íûå ïîëÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïðî öåññ ðàñ ïðîñ òðà íå íèÿ êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó ÷åé (ÊË) â ìåæ ïëà íåò íîé
ñðå äå ÿâ ëÿ åò ñÿ îä íîé èç ôóí äà ìåí òàëü íûõ ïðî áëåì ñî âðå ìåí íîé àñ -
òðî ôè çè êè, òàê êàê ïðåä ñòàâ ëÿ åò ñî áîé ïðè ìåð âçà è ìî äå éñòâèÿ çà ðÿ -
æåí íûõ ÷àñ òèö âû ñî êîé ýíåð ãèè ñ òóð áó ëåí òíû ìè ýëåê òðî ìàã íèò íû -
ìè ïî ëÿ ìè, ïå ðå íî ñè ìû ìè ïëàç ìîé ñî ëíå÷ íî ãî âåò ðà. Èññëå äî âà íèå
ñî ëíå÷ íûõ êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó ÷åé (ÑÊË) âàæ íî äëÿ èç ó÷å íèÿ ïðî öåñ ñîâ
óñ êî ðå íèÿ ÷àñ òèö â îá ëàñ òè ñî ëíå÷ íîé âñïûø êè è êî ðî íå, âû õî äà
áûñ òðûõ ÷àñ òèö èç ñî ëíå÷ íîé àò ìîñ ôå ðû è èõ ðàñ ïðîñ òðà íå íèÿ â
ìåæ ïëàíåòíîì ïðî ñòðà íñòâå. Ýíåð ãå òè ÷åñ êèå ñïåê òðû ðå ëÿ òè âè ñò -
ñêèõ ïðî òî íîâ, ðå ãèñ òðè ðó å ìûå íà íà çåì íûõ äå òåê òî ðàõ ÊË è êîñ ìè -
÷å ñ êèõ àï ïà ðà òàõ, ñî äåð æàò èí ôîð ìà öèþ îá óñêî ðå íèè ÷àñ òèö è èõ
ýíåð ãå òè ÷åñ êèõ ðàñ ïðå äå ëå íè ÿõ âáëè çè ïî âåð õíîñ òè Ñîëíöà [12, 28,
29].
Ñîë íå÷ íûå êîñ ìè ÷åñ êèå ëó ÷è ìî ãóò âû çû âàòü çíà ÷è òåëü íîå ïî âû -
øå íèå ðà äè à öè îí íî ãî ôî íà â îêî ëî çåì íîì êîñ ìè ÷åñ êîì ïðî ñòðà íñò -
3
ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ
È ÔÈÇÈÊÀ
ÍÅÁÅÑÍÛÕ
ÒÅË òîì 34 ¹ 1 2018
© Þ. È. ÔÅ ÄÎ ÐÎÂ, 2018
4
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ
âå è âåð õíèõ ñëî ÿõ çåì íîé àò ìîñ ôå ðû, ÷òî ïðåä ñòàâ ëÿ åò îïàñ íîñòü
äëÿ êîñ ìî íàâ òîâ è ýêè ïà æåé àâè à ëàé íå ðîâ, îñî áåí íî ïðè ïî ëå òàõ â
ïî ëÿð íûõ îá ëàñ òÿõ, âëè ÿòü íà ðà áî òó áîð òî âûõ ýëåê òðî ííûõ óñò -
ðîéñòâ [9, 12, 28]. Íà ðÿ äó ñ ýëåê òðî ìàã íèò íû ìè ïî ëÿ ìè è ïî òî êà ìè
÷àñ òèö ïëàç ìû ñî ëíå÷ íî ãî âåò ðà, ÑÊË ÿâ ëÿ þò ñÿ îäíèì èç êîì ïî íåí -
òîâ, ôîð ìè ðó þ ùèõ êîñ ìè ÷åñ êóþ ïî ãî äó. Ðå ëÿ òè âè ñòñêèå ÷àñ òè öû
ÑÊË äîñ òè ãà þò îðáè òû Çåì ëè ðàíü øå, ÷åì ìåæ ïëà íåò íàÿ óäàð íàÿ
âîë íà, ñî ïðî âîæ äà þ ùàÿ ñî ëíå÷ íóþ âñïûø êó. Ïî ý òî ìó ÑÊË ÷àñ òî
îêà çû âà þò ñÿ ïðåäâåñòíèêàìè ìîùíûõ ìàãíèòíûõ áóðü è ÿâëÿþòñÿ
âàæ íûì ñðåäñòâîì ïðîãíîçà ìàãíèòîñôåðíûõ ñî áû òèé [9, 28].
Çàðÿæåííûå ÷àñòèöû âûñîêèõ ýíåðãèé, êîòîðûå ãåíåðèðóþòñÿ âî
âðåìÿ ñàìûõ ìîùíûõ ñîëíå÷íûõ âñïûøåê, ðåãèñòðèðóþòñÿ íàçåìíû -
ìè äåòåêòîðàìè ÊË. Äàííûå ìèðîâîé ñåòè íåéòðîííûõ ìîíèòîðîâ
ñâè äåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî óñëîâèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÑÊË â ìåæïëà -
íåòíîé ñðåäå ìîãóò ñóùåñòâåííî èçìåíÿòüñÿ îò ñîáûòèÿ ê ñîáûòèþ.
Âî âðåìÿ íåêîòîðûõ âñïûøåê ÑÊË óðîâåíü òóðáóëåíòíîñòè ìåæïëà -
íåò íîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ îêàçûâàåòñÿ íèçêèì, ðàññåÿíèå áûñòðûõ
÷àñ òèö íà ìàãíèòíûõ íåîäíîðîäíîñòÿõ îñëàáëåíî, à òðàíñïîðòíûé
ïðî áåã ÊË ñðàâíèì ñ ðàññòîÿíèåì äî èñòî÷íèêà ÷àñòèö. Äëÿ òàêèõ
ñîáûòèé ÑÊË èìååò ìåñòî áûñòðîå óâåëè÷åíèå èíòåíñèâíîñòè ÊË, à
óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö îêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííî àíèçîòðîï -
íûì. Íà íà÷àëüíîé ôàçå òàêèõ âñïûøåê ÑÊË ÷àñòèöû ïðèõîäÿò â
òî÷êó íàáëþäåíèÿ â âèäå óçêîãî, íàïðàâëåííîãî ïîòîêà. Àíèçîòðîï -
íûå ïðîòîííûå ñîáûòèÿ õàðàêòåðèçóþòñÿ èìïóëüñíûì âñïëåñêîì èí -
òåí ñèâíîñòè ÊË íà íà÷àëüíîé ôàçå âñïûøêè. Ê ïîäîáíûì âñïûøêàì
ÑÊË îòíîñÿòñÿ, íàïðèìåð, ñîáûòèÿ 16 ôåâðàëÿ 1984 ã. [11], 22 îêòÿáðÿ
1989 ã. [19], 24 ìàÿ 1990 ã. [15], 20 ÿíâàðÿ 2005 ã. [12, 29, 32]. Ñîáûòèå
ÑÊË 20 ÿíâàðÿ 2005 ã. ÿâëÿåòñÿ ñàìûì ìîùíûì çà ïîñëåäíèå ïîëâåêà
è õàðàêòåðèçóåòñÿ íàëè÷èåì àíèçîòðîïíîãî ïîòîêà ðåëÿòèâèñòñêèõ
÷àñ òèö íà íà÷àëüíîé ôàçå âñïûøêè [9, 12, 27, 29]. Îòìåòèì, ÷òî
äèôôóçèîííîå îïèñàíèå ðàñ ïðîñòðàíåíèÿ ÊË âî âðåìÿ àíèçîòðîïíûõ
ñî áûòèé ñòàíîâèòñÿ íåêîð ðåêò íûì, è íåîáõîäèìî ïîëüçîâàòüñÿ êèíå -
òè ÷åñêèì óðàâíåíèåì, îïè ñûâàþùèì ðàñïðîñòðàíåíèå çàðÿæåí íûõ
÷àñ òèö âûñîêèõ ýíåðãèé â ìåæïëàíåòíûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ [3, 8, 16].
 ðÿ äå ðà áîò ðàñ ïðîñ òðà íå íèå ÊË â ìåæ ïëà íåò íîé ñðå äå ðàñ ñìàò -
ðè âà ëîñü íà îñíî âà íèè êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ Áî ëüöìà íà [19, 20,
24—26, 33, 34]. Ðàñ ñå ÿ íèå ÊË íà íå îäíî ðîä íîñ òÿõ ìàã íèò íî ãî ïî ëÿ â
äàí íîì ñëó ÷àå ïðåä ñòàâ ëå íî èí òåã ðà ëîì ñòîë êíî âå íèé, ñî îò âå òñòâó -
þ ùèì ðàñ ñå ÿ íèþ ÷àñ òèö íà ïðî èç âîëü íûå (â òîì ÷èñ ëå çíà ÷è òåëü íûå)
óãëû. Ïå ðå íîñ ÊË â ìåæ ïëà íåò íîé ñðå äå èñ ñëå äî âàí íà îñ íî âå êè íå -
òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ Ôîê êå ðà — Ïëàí êà â ðà áî òàõ [3, 5, 7, 16, 23, 25,
31]. Êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå Ôîê êå ðà — Ïëàí êà ñî îò âå òñòâó åò ìíî -
ãîê ðàò íî ìó ðàñ ñå ÿ íèþ ÷àñ òèö íà ìà ëûå óãëû, à ñî îò âå òñòâó þ ùèé èí -
òåã ðàë ñòîë êíî âå íèé îïè ñû âà åò äèô ôó çèþ ÊË â èì ïó ëüñíîì ïðî ñòðà -
íñòâå. Â ðà áî òàõ [3, 5, 16] ðàñ ñìîò ðå íî ðàñ ïðîñ òðà íå íèå ÊË â ìåæ ïëà -
íåò íîé ñðå äå ïðè íà ëè ÷èè ñèëü íî ãî ðå ãó ëÿð íî ãî ìàã íèò íî ãî ïî ëÿ.
×àñ òè öû ïðåä ïî ëà ãà þò ñÿ äâè æó ùè ìè ñÿ ïðå è ìó ùåñ òâåí íî âäîëü
ñðåä í å ãî ìàã íèò íî ãî ïî ëÿ (ìà ëûå çíà ÷å íèÿ ïèò÷-óãëà q), à èõ ðàñ ñå ÿ -
íèå ïðè âçà è ìî äå éñòâèè ñ ìàã íèò íû ìè íå îäíî ðîä íîñ òÿ ìè ïðî èñ õî -
äèò íà íå áîëü øîé óãîë. Ðå øå íèå êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ Ôîê êå ðà
— Ïëàí êà âî âòî ðîì ïðè áëè æå íèè ïî óãëó q ïî ëó ÷å íî â ðà áî òàõ [9,
31]. Ïðîñ òðà íñòâåí íî-âðå ìåí íîå ðàñ ïðå äå ëå íèå ÑÊË â àíè çîò ðîï íûõ
ïðî òîí íûõ ñî áû òè ÿõ èñ ñëå äî âà ëîñü êàê íà îñíî âà íèè ðå øå íèÿ êè íå -
òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ Ôîê êå ðà — Ïëàí êà [7], òàê è êè íå òè ÷åñ êî ãî
óðàâ íå íèÿ Áî ëüöìà íà [21]. ×èñ ëåí íîå ðå øå íèå êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ -
íå íèÿ Ôîê êå ðà — Ïëàí êà ïî ëó ÷å íî, íàïðèìåð, â ðàáîòàõ [2, 14, 17,
30].
 íà ñòî ÿ ùåé ðà áî òå ðàñ ñìîò ðå íî ðàñ ïðîñ òðà íå íèå ÑÊË â ìåæ ïëà -
íåò íîé ñðå äå íà îñíî âà íèè êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ Ôîê êå ðà —
Ïëàí êà, îïè ñû âà þ ùå ãî ìíî ãîê ðàò íîå ðàñ ñå ÿ íèå ÷àñ òèö íà ìà ëûå
óãëû. Ðàñ ñìîò ðå íî äèô ôó çè îí íîå ïðè áëè æå íèå, ñïðà âåä ëè âîå íà
ìàñ øòàáàõ âðå ìåí, çíà ÷è òåëü íî ïðå âû øà þ ùèõ õà ðàê òåð íîå âðå ìÿ
ñòîë ê íî âå íèé. Íà îñíî âå ðå øå íèÿ êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ, ñî îò âå ò -
ñò âó þ ùå ãî ðàñ ñå ÿ íèþ ÷àñ òèö íà ìà ëûå óãëû, ðàñ ñìîò ðå íà íà ÷àëü íàÿ
ôà çà àíè çîò ðîï íîé âñïûø êè ÑÊË. Ïî ëó ÷åí íîå ðå øå íèå ïðè ìå íè ìî
íà ðàñ ñòî ÿ íè ÿõ îò èñ òî÷ íè êà ÷àñ òèö, ìåíü øèõ òðàíñ ïîð òíî ãî ïðî áå ãà
ÊË. Ïî ëó ÷åí îá ðàç Ëàï ëà ñà ôóíê öèè ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË, ïðî à íà ëè çè -
ðî âà íî ïðî ñòðà íñòâåí íî-âðå ìåí íîå ðàñïðåäåëåíèå êîíöåíòðàöèè
ÑÊË íà íà÷àëüíîé ñòàäèè âñïûøêè. Ðàññìîòðåí ñëó÷àé ïðî äîë æè -
òåëü íîé èíæåêöèè áûñòðûõ ÷àñòèö â ìåæïëàíåòíóþ ñðåäó.
ÊÈÍÅÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ
Áó äåì èñ õî äèòü èç êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ, îïè ñû âà þ ùå ãî ðàñ ïðîñ -
òðà íå íèå çà ðÿ æåí íûõ ÷àñ òèö âû ñî êîé ýíåð ãèè â ìåæ ïëà íåò íûõ ìàã -
íèò íûõ ïî ëÿõ [3, 16, 22, 33]:
¶
¶
+
¶
¶
-
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
+
f
t
f
r r
f f
Qu q
u
q
q
u
q q
q
q
cos sin
sin
sin
2L
, (1)
ãäå f r t( , , )q — ôóíê öèÿ ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË, q — óãîë ìåæ äó âåê òî ðîì
ñêî ðîñ òè ÷àñ òè öû v è ðà äè àëü íûì íà ïðàâ ëå íè åì, L — òðàíñ ïîð òíûé
ïðî áåã ÊË. Ïåð âûé ÷ëåí â ïðà âîé ÷àñ òè êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ (1)
îïè ñû âà åò ïðî öåññ ðàñ ñå ÿ íèÿ ÷àñ òèö íà íå îäíî ðîä íîñ òÿõ ìàã íèò íî ãî
ïîëÿ. Ïðåä ïî ëà ãà åì, ÷òî ôóíê öèÿ ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË çà âè ñèò îò åäè -
íñòâåí íîé ïðî ñòðà íñòâåí íîé êî îð äè íà òû r.  ïðà âóþ ÷àñòü êè íå òè -
÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ âõî äèò ìãíî âåí íûé èñ òî÷ íèê ÷àñ òèö Q, ðàñ ïî ëî -
æåí íûé â íà ÷à ëå êî îð äè íàò:
Q
r t
r
=
d d d q
p q
( ) ( ) ( )
sin8 2 2
. (2)
Ââå äåì áåç ðàç ìåð íûå ïå ðå ìåí íûå
r t
u
= =
r t
L L
, . (3)
5
ÈÍÒÅÍÑÈÂÍÎÑÒÜ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ ÍÀ ÍÀ×ÀËÜÍÎÉ ÑÒÀÄÈÈ
Òà êèì îá ðà çîì, ðàñ ñòî ÿ íèå áó äåò èç ìå ðÿòü ñÿ â äëè íàõ ïðî áå ãà ÊË
L, à âðå ìÿ — â õà ðàê òåð íûõ âðå ìå íàõ ðàñ ñå ÿ íèÿ L / u. Â áåç ðàç ìåð íûõ
ïå ðå ìåí íûõ êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå (1) ïðèîáðåòàåò âèä
¶
¶
+
¶
¶
-
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
+
f f f f
Q
t
q
r
q
r q q q
q
q
cos
sin
sin
sin
1
2
. (4)
ÄÈÔÔÓÇÈÎÍÍÎÅ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ
Ïóñòü âðå ìÿ, ïðî øåä øåå ïî ñëå èí æåê öèè ÷àñ òèö, çíà ÷è òåëü íî ïðå âû -
øà åò õà ðàê òåð íîå âðå ìÿ ìåæ äó ñòîë êíî âå íè ÿ ìè L / u, à ðàñ ñìàò ðè âà å -
ìûå ïðî ñòðà íñòâåí íûå ìàñ øòà áû âå ëè êè ïî ñðàâ íå íèþ ñ òðàíñ ïîð -
òíûì ïðî áå ãîì L.  ýòîì ñëó ÷àå ôóíê öèÿ ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË áëèç êà ê
èçî òðîï íîé, è äëÿ îïè ñà íèÿ ðàñ ïðîñ òðà íå íèÿ ÷àñ òèö ìîæ íî âîñ ïîëü -
çî âàòü ñÿ äèô ôó çè îí íûì ïðè áëè æå íè åì. Ïðåä ñòà âèì ôóíê öèþ ðàñ -
ïðå äå ëå íèÿ ÊË â âèäå ðàç ëî æå íèÿ ïî ñôå ðè ÷åñ êèì ãàð ìî íè êàì, îãðà -
íè ÷èâ øèñü òîëü êî ïåð âûì ÷ëå íîì ðàç ëî æå íèÿ:
f r t N r t j r t( , , ) ( , ) ( , )cosq
p u
q= +
ì
í
î
ü
ý
þ
1
4
3
, (5)
ãäå
N r t d f r t d f r t( , ) ( , , ) ( , , )sin= =ò òW q p q q q
p
2
0
(6)
— êîí öåí òðà öèÿ ÷àñ òèö. Èíòåã ðè ðî âà íèå â ïðà âîé ÷àñ òè óðàâ íå íèÿ
(6) ïðî âî äèò ñÿ ïî óãëàì âåê òî ðà ñêî ðîñ òè ÷àñ òè öû. Àíèçîòðîïèÿ
óãëî âî ãî ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÷àñ òèö ïðî ïîð öè î íàëü íà ïî òî êó ÷àñ òèö, êî -
òî ðûé èìå åò âèä
j r t d f r t( , ) ( , , )sin= òpu q q q
p
0
2 . (7)
Óìíî æèâ êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå (1), (2) íà sinq è ïðî èí òåã ðè ðî -
âàâ ïî óãëó q, ïî ëó ÷èì óðàâíåíèå
¶
¶
+
¶
¶
=
N
t r r
r j
r t
r
1
42
2
2
d d
p
( ) ( )
, (8)
ïðåä ñòàâ ëÿ þ ùåå ñî áîé çà êîí ñî õðà íå íèÿ ÷èñ ëà ÷àñ òèö. Ñîã ëàñ íî
óðàâ íå íèþ (8) èç ìå íå íèå ÷èñ ëà ÷àñ òèö â åäè íè öå îá ú å ìà îá óñëîâ ëå íî
íà ëè ÷è åì ïî òî êà ÊË j r t( , ), êî òî ðûé èìå åò ðà äè àëü íîå íà ïðàâ ëå íèå.
Óìíî æèâ êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå íà sin2q è ïðî èí òåã ðè ðî âàâ ïî óãëó
q, ïî ëó ÷èì óðàâ íå íèå äëÿ ïî òî êà ÊË. Åñëè ïðå íåá ðå÷ü ïðî èç âîä íîé
ïî âðå ìå íè îò ïî òî êà ÷àñ òèö, ó÷åñòü, ÷òî âðå ìÿ t çíà ÷è òåëü íî ïðå âîñ -
õî äèò õà ðàê òåð íîå âðå ìÿ ðàñ ñå ÿ íèÿ ÊË (t >> L / u), è îãðà íè ÷èòü ñÿ
ëèøü äâó ìÿ ÷ëå íà ìè ðàç ëî æå íèÿ ôóíê öèè ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË ïî ñôå -
ðè ÷åñ êèì ãàð ìî íè êàì (5), ïî ëó ÷èì ñëå äó þ ùåå âû ðà æå íèå äëÿ ïî òî êà
÷àñ òèö:
6
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ
j
N
r
= -
¶
¶
k , (9)
ãäå
k
u
=
L
3
(10)
— êî ýô ôè öè åíò äèô ôó çèè ÊË.
Ïîä ñòà âèì âû ðà æå íèå äëÿ ïî òî êà ÊË (9) â óðàâ íå íèå íå ïðå ðûâ -
íîñ òè (8) è ïå ðåé äåì ê áåç ðàç ìåð íûì ïå ðå ìåí íûì (3). Â ðå çóëü òà òå
ïî ëó ÷èì óðàâíåíèå äèôôóçèè ÊË:
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
N N
t r r
r
r
d r d t
p r
1
3 42
2
3 2
( ) ( )
L
. (11)
Ïðè ìå íèâ ïðå îá ðà çî âà íèå Ëàï ëà ñà
N d N( , ) exp( ) ( , )r w t wt r t= -
¥
ò
0
, (12)
ïî ëó ÷èì ñëå äó þ ùåå óðàâ íå íèå äëÿ îá ðà çà Ëàï ëà ñà êîí öåí òðà öèè ÷àñ -
òèö N ( , )r w :
-
¶
¶
¶
¶
+ =
1
3
3
42
2 2
3r r
r
r
wr
d r
p
N
N
( )
L
. (13)
Ðå øå íèå ýòî ãî óðàâ íå íèÿ èìå åò âèä
N C( , )
exp( )
r w
r w
r
=
- 3
. (14)
Ïîñ òî ÿí íóþ âå ëè ÷è íó C ìîæ íî íà é òè, ïðî èí òåã ðè ðî âàâ óðàâ íå -
íèå (13) ïî êî îð äè íà òå r. Ïî ëó ÷èì ñî îò íî øå íèå äëÿ îá ðà çà Ëàï ëà ñà
êîí öåí òðà öèè ÷àñ òèö:
N ( , )
exp( )
r w
p
r w
r
=
-3
4
3
3L
. (15)
Îáðà çó Ëàï ëà ñà (15) ñî îò âå òñòâó åò ñëå äó þ ùåå âû ðà æå íèå äëÿ
êîí öåí òðà öèè ÊË [1]:
N ( , ) exp
/
r t
pt
r
t
=
æ
è
ç
ö
ø
÷ -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
1
8
3 3
43
3 2 2
L
. (16)
 ïå ðå ìåí íûõ r, t êîí öåí òðà öèÿ ÊË èìå åò âèä
N r t
t
r
t
( , ) exp
/
=
æ
è
ç
ö
ø
÷ -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
1
8
1
4
3 2 2
pk k
. (17)
Íà ðèñ. 1 ïðåä ñòàâ ëå íà çà âè ñè ìîñòü êîí öåí òðà öèè ÊË (16) îò áåç -
ðàç ìåð íîé êî îð äè íà òû â ðàç ëè÷ íûå ìî ìåí òû âðå ìå íè. Ñïëîø íàÿ
êðè âàÿ ñî îò âå òñòâó åò ìî ìåí òó âðå ìå íè t = 1, øòðè õî âàÿ — t = 1.5, à
ïóíêòèðíàÿ îïèñûâàåò ïðî ñòðà íñòâåí íîå ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÷àñ òèö â ìî -
7
ÈÍÒÅÍÑÈÂÍÎÑÒÜ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ ÍÀ ÍÀ×ÀËÜÍÎÉ ÑÒÀÄÈÈ
ìåíò âðå ìå íè t = 2. Ñ òå ÷å íè åì âðå ìå íè ìàê ñè ìàëü íîå çíà ÷å íèå êîí -
öåí òðà öèè ÊË, êî òî ðîå èìå åò ìåñ òî â íà ÷à ëå êî îð äè íàò, óìåíü øà åò ñÿ,
à ïðî ñòðà íñòâåí íîå ðàñ ïðå äå ëå íèå ÊË ðàñ øè ðÿ åò ñÿ. Êîí öåí òðà öèÿ
ÊË ìî íî òîí íî óìåíü øà åò ñÿ ñ óâå ëè ÷å íè åì êî îð äè íà òû r, à îá ú åì
ïðî ñòðà íñòâà, çà íè ìà å ìûé ÷àñ òè öà ìè, óâå ëè ÷è âà åò ñÿ. Îòìå òèì, îäíà -
êî, ÷òî êîí öåí òðà öèÿ ÊË îêà çû âà åò ñÿ îò ëè÷ íîé îò íó ëÿ â òîé îá ëàñ òè
ïðî ñòðà íñòâà, êó äà ÷àñ òè öû åùå íå äîë æíû áû ëè ïî ïàñòü â ñè ëó êî -
íå÷ íîñ òè èõ ñêî ðîñ òè (ðèñ. 1). Íàï ðè ìåð, â ìî ìåíò âðå ìå íè t = 1 â îá -
ëàñ òè ïðî ñòðà íñòâà r > 1 êîí öåí òðà öèÿ ÊË N îêà çû âà åò ñÿ îò ëè÷ íîé îò
íó ëÿ (ðèñ. 1).  òî æå âðå ìÿ, åñ ëè ïî ñëå ìãíî âåí íîé èí æåê öèè ÷àñ òèö
ñî ñêî ðîñ òüþ u â òî÷ êå r = 0, t = 0 ïðî øëî âðå ìÿ t, òî ïðî ñòðà íñòâåí íàÿ
îá ëàñòü r t> u äîë æíà áûòü íå äîñ òóï íà äëÿ ÷àñ òèö.
Äàí íîå îá ñòî ÿ ò å ëü ñòâî ïðè ñó ùå äèô ôó çè îí íî ìó îïè ñà íèþ ïðî -
öåñ ñà ðàñ ïðîñ òðà íå íèÿ ÷àñ òèö è îá óñëîâ ëå íî ïðè áëè æå íè ÿ ìè, ñäå -
ëàí íû ìè ïðè âû âî äå óðàâ íå íèÿ äèô ôó çèè ÊË. Îòìå òèì, ÷òî ïðè èñ -
ñëå äî âà íèè ðàñ ïðîñ òðà íå íèÿ ÷àñ òèö íà îñíî âå êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå -
íèÿ ïî äî áíûõ ïðî òè âî ðå ÷èé íå âîç íè êà åò.
ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÍÀ ÌÀËÛÅ ÓÃËÛ. ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ q << 1
Ðàñ ñìîò ðèì ðå øå íèå êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ â ñëó ÷àå ðàñ ñå ÿ íèÿ
÷àñ òèö íà ìà ëûå óãëû. Ïðåä ïî ëî æèì, ÷òî íà ïðàâ ëå íèå äâè æå íèÿ ÷àñ -
òè öû ìàëî îò ëè ÷à åò ñÿ îò ðà äè àëü íî ãî q << 1.  äàí íîì ïðè áëè æå íèè
êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå (4) ïðè îá ðå òà åò âèä [3, 7, 16]
¶
¶
+
¶
¶
-
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
+
~ ~ ~ ~
( ) ( ) ( )f f f f
t r
q
r q q q
q
q
d r d t d q
p
1
2 8 2 3L r q2
. (18)
Áó äåì èñ êàòü ðå øå íèå êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ (18) â âèäå [3]
~
( , , ) ( , ) ( )f fr t q r q d t r= - . (19)
Ôóí êöèÿ f ( , )r q óäîâ ëåò âî ðÿ åò óðàâ íå íèþ
¶
¶
-
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
+
f f f
r
q
r q q q
q
q
d r d q
p r q
1
2 8 2 3 2
( ) ( )
L
. (20)
8
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ
Ðèñ. 1. Ïðîñ òðà íñòâåí íàÿ çà âè ñè -
ìîñòü êîí öåí òðà öèè ÷àñ òèö â ðàç ëè÷ -
íûå ìî ìåí òû âðå ìå íè. Äèô ôó çè îí -
íîå ïðè áëè æå íèå. Ñïëîø íàÿ êðè âàÿ
— t = 1, øòðè õî âàÿ — t = 1.5, ïóí -
êòèð íàÿ — t = 2
Ïå ðåé äåì ê íî âûì ïå ðå ìåí íûì
h r x qr= =
1
3
3 , . (21)
Çà ïè øåì óðàâ íå íèå (20) â íî âûõ ïå ðå ìåí íûõ:
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
+
f f
h x x
x
x
d h d x
p x
1
2 8 2 3
( ) ( )
L
. (22)
Âû ïîë íèâ ïðå îá ðà çî âà íèå Ëàï ëà ñà
f d f( , ) exp( ) ( , )w x h wh h x= -
¥
ò
0
, (23)
ïî ëó ÷èì óðàâ íå íèå
x
x
x
x
wx
p
xd x
¶
¶
¶
¶
- + =
f
f2
1
4
02
2 3L
( ) . (24)
Ñäå ëàâ çà ìå íó ïå ðå ìåí íîé
x = x w2 , (25)
ïðè õî äèì ê ìî äè ôè öè ðî âàí íî ìó óðàâ íå íèþ Áåñ ñå ëÿ äëÿ îá ðà çà Ëàï -
ëà ñà ôóíê öèè ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË f x( , )w :
¶
¶
¶
¶
- +
x
x
f
x
xf
xd
p
( )
4 2 3L
, (26)
ðå øå íèå êî òî ðî ãî èìå åò âèä
f x CK x( ) ( )= 0 , (27)
ãäå K x0 ( ) — ôóíê öèÿ Ìàê äî íàëü äà. Ïîñ òî ÿí íóþ âå ëè ÷è íó C ìîæ íî
íà é òè, ïðî èí òåã ðè ðî âàâ óðàâ íå íèå (26) ïî ïå ðå ìåí íîé x:
dxxf x
0
2 3
1
4
¥
ò =( )
p L
. (28)
Ó÷è òû âàÿ ñî îò íî øå íèå [4]
dxxK x0
0
1
¥
ò =( ) , (29)
ïî ëó ÷à åì ñëå äó þ ùåå âû ðà æå íèå äëÿ îá ðà çà Ëàï ëà ñà ôóíê öèè ðàñ ïðå -
äå ëå íèÿ ÊË:
f K( , ) ( )w x
p
x w=
1
4
2
2 3 0
L
. (30)
Âû ïîë íÿÿ îá ðàò íîå ïðå îá ðà çî âà íèå Ëàï ëà ñà [1] è ïðè íè ìàÿ âî
âíè ìà íèå ñî îò íî øå íèå (19), ïî ëó ÷à åì ñëå äó þ ùåå âû ðà æå íèå äëÿ
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÊË:
9
ÈÍÒÅÍÑÈÂÍÎÑÒÜ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ ÍÀ ÍÀ×ÀËÜÍÎÉ ÑÒÀÄÈÈ
~
( , , ) exp ( )f r t q
p r
q
r
d t r= -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ -
3
8
3
22 3 3
2
L
. (31)
 ïå ðå ìåí íûõ r, t äàí íàÿ ôîð ìó ëà ïðè îá ðå òà åò âèä
~
( , , ) exp ( )f r t
r r
t rq
p
q
d u= -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ -
3
8
3
22 3
2L L
. (32)
Îòìå òèì, ÷òî â ðàñ ñìàò ðè âà å ìîì ïðè áëè æå íèè (q << 1) âñå ÷àñ òè -
öû, èñ ïó ùåí íûå ìãíî âåí íûì òî ÷å÷ íûì èñ òî÷ íè êîì, â ìî ìåíò âðå ìå -
íè t íà õî äÿò ñÿ íà ñôå ðå ðà äè ó ñà r t= u . Ñîã ëàñ íî ôîð ìó ëå (32) óãëî âîå
ðàñ ïðå äå ëå íèå ÑÊË íà ðàí íåé ñòà äèè âñïûø êè èìå åò ãà óñ ñîâ âèä,
ïðè ÷åì êâàä ðàò ñðåä íå ãî óãëà ðàñ ñå ÿ íèÿ ÷àñ òèö óâå ëè ÷è âà åò ñÿ ïðî -
ïîð öè î íàëü íî âðå ìå íè, ïðî øåä øå ìó ïî ñëå èõ èí æåê öèè.
Åñëè òðàíñ ïîð òíûé ïðî áåã ÊË çíà ÷è òåëü íî ïðå âîñ õî äèò ðàñ ñòî ÿ -
íèå äî èñ òî÷ íè êà ÷àñ òèö r, òî ôóíê öèÿ ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË (32) èìå åò
ðåç êèé ìàê ñè ìóì â òî÷ êå q = 0.  äàí íîì ñëó ÷àå êîí öåí òðà öèÿ ÊË (6)
îïè ñû âà åò ñÿ ïðè áëè æåí íûì ñî îò íî øå íè åì
N r t d f r t( , ) ( , , )= ò2
0
p qq q
p
. (33)
Âåð õíèé ïðåä åë â ôîð ìó ëå (33) ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåí äî áåñ -
êî íå÷ íîñ òè, òàê êàê ó÷è òû âà åò ñÿ òîëü êî ðàñ ñå ÿ íèå íà ìà ëûå óãëû q <<
1. Èñïîëü çî âàâ ñî îò íî øå íèå (32), ïî ëó ÷èì ñëå äó þ ùåå âû ðà æå íèå äëÿ
êîí öåí òðà öèè ÷àñ òèö:
N r t
t r
r
( , )
( )
=
-d u
p4 2
. (34)
Òà êèì îá ðà çîì, ïðè ðàñ ñå ÿ íèè íà ìà ëûå óãëû ÷àñ òèöû, äâè æó -
ùèå ñÿ ïðå è ìó ùåñ òâåí íî â ðà äè àëü íîì íà ïðàâ ëå íèè, ðàñ ïî ëî æå íû íà
ñôå ðå ðà äè ó ñà r t= u , à èõ êîí öåí òðà öèÿ óìåíü øà åò ñÿ îá ðàò íî ïðîïîð -
öè î íàëüíî êâàäðàòó âðåìåíè, ïðîøåäøåìó ñ ìîìåíòà èõ èíæåêöèè.
ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÍÀ ÌÀËÛÅ ÓÃËÛ. ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ q2 1<<
Ðàñ ñìîò ðèì ðàñ ïðîñ òðà íå íèå ÷àñ òèö â ñëå äó þ ùåì ïðè áëè æå íèè ïî
óãëó ìåæ äó íà ïðàâ ëå íè åì äâè æå íèÿ ÷àñ òè öû è ðà äè àëü íûì íà ïðàâ ëå -
íè åì. Ïðåä ïî ëî æèì, ÷òî âû ïîë íÿ åò ñÿ óñëî âèå q 2 1<< .  êè íå òè ÷åñ -
êîì óðàâ íå íèè (1) çà ìå íèì âå ëè ÷è íó sinq íà q, à cos q — íà 1 22- q / . Â
ðàñ ñìàò ðè âà å ìîì ïðè áëè æå íèè êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå (1) ïðè îá ðå -
òà åò âèä
¶
¶
+ -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
¶
¶
-
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
+
f
t
f
r r
f f r
u
q u
q
q
u
q q
q
q
d d
1
2 2
2
L
( ) ( ) ( )t
r
d q
p q8 2 2
. (35)
Çà ïè øåì êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå (35) â áåç ðàç ìåð íûõ ïå ðå ìåí -
íûõ:
10
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ
¶
¶
+ -
¶
¶
-
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
+
f f f f
t
h
r
h
r h h
h
h
d r d t d h
p r
( )
( ) ( ) ( )
1
2
8 2 3L 2
, (36)
ãäå
h
q
=
2
2
. (37)
Ââå äåì íî âóþ ïå ðå ìåí íóþ
z t r= - (38)
è çà ïè øåì êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå (36) â íî âûõ ïå ðå ìåí íûõ, óäåð æè -
âàÿ ïåð âûå íå èñ ÷å çà þ ùèå ÷ëå íû [7]:
h
z r
h
r h h
h
h
d r d z d h
p r
¶
¶
+
¶
¶
-
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
+
f f f f2
8 2 3 2
( ) ( ) ( )
L
. (39)
Îòìå òèì, ÷òî â îò ëè ÷èå îò êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ (20), â óðàâ -
íå íèè (39) åñòü ñëà ãà å ìîå, ïðî ïîð öè î íàëü íîå ïðî èç âîä íîé ïî ïå ðå -
ìåí íîé z (38). Òà êîé ïîä õîä ïî çâî ëÿ åò ïî ëó ÷èòü âðå ìåí íîé ïðî ôèëü
èí òåí ñèâ íîñ òè ÑÊË, êî òî ðûé îò ëè ÷à åò ñÿ îò èì ïó ëüñíî ãî âñïëåñ êà
èí òåí ñèâ íîñ òè ÷àñ òèö â ìî ìåíò âðå ìå íè t r= / u, ðàññìîòðåííîãî â
ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ñòàòüè.
Âû ïîë íèâ ïðå îá ðà çî âà íèå Ëàï ëà ñà
f d f( , , ) exp( ) ( , , )r w h z wz r z h= -
¥
ò
0
, (40)
ïî ëó ÷èì ñëå äó þ ùåå óðàâ íå íèå äëÿ îá ðà çà Ëàï ëà ñà ôóíê öèè ðàñ ïðå -
äå ëå íèÿ ÊË:
hw
r
h
r h h
h
h
d r d h
p r
f
f f f
+
¶
¶
-
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
+
2
8 2 3 2
( ) ( )
L
. (41)
Ïîñëå çà ìåíû ïå ðå ìåí íîé
x hr= 2 (42)
óðàâ íå íèå (41) ïðè íè ìà åò âèä
xw
r r
r
x
x
x
d r d x
p2
2
2 38
f
f f
+
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
+
( ) ( )
L
. (43)
Ðå øå íèå óðàâ íå íèÿ (43) èùåì â âèäå [7]
f f( , )
~
( , ) ( )r x r x r= Q , (44)
ãäå Q( )x — åäè íè÷ íàÿ ôóíê öèÿ Õå âè ñàé äà.
Ôóí êöèÿ
t
f ( , )r x óäîâ ëåò âî ðÿ åò óðàâ íå íèþ
xw
r r
r
x
x
x2
2~
~
f
f f
+
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
t
. (45)
è ãðà íè÷ íî ìó óñëî âèþ
11
ÈÍÒÅÍÑÈÂÍÎÑÒÜ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ ÍÀ ÍÀ×ÀËÜÍÎÉ ÑÒÀÄÈÈ
~
( , ) ( )f r x
p
d x= =0
1
8 2 3L
. (46)
Èùåì ðå øå íèå óðàâ íå íèÿ (45) â âè äå
t
f h g( , ) ( )exp( ( ) )r x r r x= , (47)
ãäå g( )r è h( )r — íî âûå íå èç âåñ òíûå ôóíê öèè. Ïîä ñòà âèâ ôóíê öèþ
~
f
(47) â óðàâ íå íèå (45), ïî ëó ÷à åì ñëå äó þ ùóþ ñèñ òå ìó óðàâ íå íèé
¶
¶
- + =
g
g
r
r
w
r
2
2
0, (48)
1 2
h
h
g
¶
¶
=
r
r . (49)
Óðàâ íå íèå (48) ïðåä ñòàâ ëÿ åò ñî áîé óðàâ íå íèå Ðèê êàòè. Ïðè ïî ìî -
ùè çà ìå íû ôóíêöèè
w d g( ) exp ( )r rr r= -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ò
2 (50)
óðàâ íå íèå (48) ïðè âî äèò ñÿ ê ëè íåé íî ìó äèô ôå ðåí öè àëü íî ìó óðàâ íå -
íèþ âòî ðî ãî ïî ðÿä êà:
¶
¶
-
¶
¶
- =
2
2
2
0
w w
w
r r r
w . (51)
Ôóí êöèÿ g( )r ìî æåò áûòü âû ÷èñ ëå íà ñî ãëàñ íî ñî îò íî øå íèþ
g
w
w
( )
( )
( )
r
r r
r
r
= -
¶
¶
1
2
. (52)
Èùåì ðå øå íèå óðàâ íå íèÿ (51) â âè äå
w C( ) ( )/r r r= 3 2F . (53)
Äëÿ ôóíê öèè F ïî ëó ÷èì ñëå äó þ ùåå óðàâ íå íèå:
r
r
r
r
wr2
2
2
29
4
0
¶
¶
+
¶
¶
- +
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
F F
F , (54)
ðå øå íèå êî òî ðî ãî èìå åò âèä
F( ) ( )/r r w= I 3 2 , (55)
ãäå I x3 2/ ( ) — ìî äè ôè öè ðî âàí íàÿ ôóíê öèÿ Áåñ ñå ëÿ. Ôóí êöèÿ w( )r (53)
ïðè îá ðå òà åò âèä
w C I( ) ( )/
/r r r w= 3 2
3 2 . (56)
Ôóí êöèÿ I x3 2/ ( ) ìî æåò áûòü âû ðà æå íà ÷å ðåç ýëå ìåí òàð íûå ôóíê -
öèè [6]. Òà êèì îá ðà çîì, ïðè õî äèì ê ñëå äó þ ùå ìó ñî îò íî øå íèþ äëÿ
ôóíê öèè w:
12
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ
w
C
( ) { ( ) ( )}
/
r
w
r w r w r w= -
3 2
ch sh . (57)
Ïðî èí òåã ðè ðî âàâ ñî îò íî øå íèå (49), ïðè õî äèì ê âû ðà æå íèþ
h d g( ) exp ( )r rr r=
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ò
2 . (58)
Ïðè íè ìàÿ âî âíè ìà íèå ôîð ìó ëó (50), óäà åò ñÿ ïî ëó ÷èòü ñî îò íî øå -
íèå
h
w
( )
( )
r
r
=
1
. (59)
Òà êèì îá ðà çîì, ôóíê öèþ ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË (47) ìîæ íî ïðåä ñòà -
âèòü â âèäå
t
f
w w
w
( , )
( )
exp
( )
( )
r x
r r r
r
r
x= -
¶
¶
æ
è
ç
ö
ø
÷
1 1
2
. (60)
Çà ïè øåì âû ðà æå íèå äëÿ ôóíê öèè ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË (60) â ñëó ÷àå
âû ïîë íå íèÿ íå ðà âå íñòâà r << 1 (âáëè çè íà ÷à ëà êîîðäèíàò)
t
f
C
( , ) expr x
r r
x= -
æ
è
ç
ö
ø
÷
3 3
3 2
. (61)
Ïðî èí òåã ðè ðî âàâ óðàâ íå íèå (46) ïî ïå ðå ìåí íîé x, ïî ëó ÷èì ñî îò -
íî øå íèå äëÿ îïðå äå ëå íèÿ ïî ñòî ÿí íîé C:
C = 8 2 3p L . (62)
Ó÷è òû âàÿ (62), ïî ëó ÷èì ñëå äó þ ùåå âû ðà æå íèå äëÿ ôóíê öèè w
(57):
w( ) { ( ) ( )}
/
r
p
w
r w r w r w= -
8 2 3
3 2
L
ch sh . (63)
Ïðî èç âîä íàÿ ýòîé ôóíê öèè ïî ïðî ñòðà íñòâåí íîé ïå ðå ìåí íîé
èìå åò âèä
¶
¶
=
w( ) ( )r
r
p r
r w
w
8 2 3L
sh
. (64)
Ïî ëó ÷åí íûå ñî îò íî øå íèÿ ïî çâî ëÿ þò çà ïè ñàòü âû ðà æå íèå äëÿ îá -
ðà çà Ëàï ëà ñà ôóíê öèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÊË:
~
( , , )
( ) ( )
/
f r q w
w
p r w r w r w
=
-
´
3 2
2 38
1
L ch sh
´ -
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷exp
( )
( ) )
rw r w
r w r w r w
qsh
ch sh(
2
2
. (65)
13
ÈÍÒÅÍÑÈÂÍÎÑÒÜ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ ÍÀ ÍÀ×ÀËÜÍÎÉ ÑÒÀÄÈÈ
 äàí íîé ðà áî òå îãðà íè ÷èì ñÿ ðàñ ñìîò ðå íè åì ïðî ñòðà íñòâåí -
íî-âðå ìåí íî ãî ðàñ ïðå äå ëå íèÿ êîí öåí òðà öèè N ÷àñ òèö (33). Ñîã ëàñ íî
ôîð ìó ëå (60) ïî ëó ÷èì
N
w
d
w
w
( , )
( , )
exp
( , )
( ,
r w
p
r w
h
r w
r w
r
h= -
¶
¶
æ
è
ç
ö
ø
÷
¥
ò
2 1
0
. (66)
Âû ïîë íèâ èí òåã ðè ðî âà íèå, ïî ëó ÷èì
N
w
( , )
( , )
r w
p
r w
r
=
¶
¶
2
, (67)
ãäå ïðî èç âîä íàÿ ôóíê öèè w ïî ïðî ñòðà íñòâåí íîé ïå ðå ìåí íîé r óäîâ -
ëåò âî ðÿ åò ñî îò íî øå íèþ (64). Òà êèì îá ðà çîì, îá ðàç Ëàï ëà ñà êîí öåí -
òðà öèè ÊË èìå åò âèä
N ( , )
( )
r w
w
p r r w
=
4 3L sh
. (68)
Îáðàò íîå ïðå îá ðà çî âà íèå Ëàï ëà ñà äà åò ñÿ ôîðìóëîé
N
i
d N
L
( , ) ( , )exp( )r z
p
w r w wz= ò
1
2
, (69)
ãäå ïå ðå ìåí íàÿ z îïðå äå ëå íà ñî îò íî øå íè åì (38), à èí òåã ðè ðî âà íèå â
ôîð ìó ëå (69) ïðî âî äèò ñÿ ïî ïðÿ ìîé L, ïà ðàë ëåëü íîé ìíè ìîé îñè è
ðàñ ïî ëî æåí íîé â ïðà âîé ïî ëóï ëîñ êîñ òè êîì ïëåê ñíîé ïå ðå ìåí íîé w.
Çàì êíåì êîí òóð èí òåã ðè ðî âà íèÿ äó ãîé áåñ êî íå÷ íî áîëü øî ãî ðà -
äè ó ñà, ðàñ ïî ëî æåí íîé â ëå âîé ïî ëóï ëîñ êîñ òè êîì ïëåê ñíîé ïå ðå ìåí -
íîé w. Îòìå òèì, ÷òî èí òåã ðàë ïî ýòîé äó ãå ðà âåí íó ëþ. Èíòåã ðè ðî âà -
íèå ïî çà ìêíó òî ìó êîí òó ðó, ñî ñòî ÿ ùå ìó èç ïðÿ ìîé L è äó ãè áåñ êî íå÷ -
íî áîëü øî ãî ðà äè ó ñà, ñâî äèò ñÿ ê âû ÷èñ ëå íèþ âû ÷å òîâ â îñî áûõ òî÷ -
êàõ ôóíê öèè N ( , )r w (68). Êîð íè çíà ìå íà òå ëÿ ôóíê öèè N ( )w (68) ðàñ -
ïî ëî æå íû íà îò ðè öà òåëü íîé ÷àñ òè äå éñòâè òåëü íîé îñè â òî÷êàõ
w
p
r
n
n
= -
2 2
2
, (70)
à îá ðàç Ëàï ëà ñà êîí öåí òðà öèè ÊË íà äå éñòâè òåëü íîé îñè êîì ïëåê -
ñíîé ïå ðå ìåí íîé w èìå åò âèä
N ( , )
| |
sin( | |)
r w
w
p r r w
=
4 3L
. (71)
Âû ÷èñ ëèâ âû ÷å òû ïîä ûí òåã ðàëü íîé ôóíê öèè â òî÷ êàõ wn (70), è
ó÷è òû âàÿ ñî îò íî øå íèå (38) äëÿ ïå ðå ìåí íîé z, ïî ëó ÷èì ñëå äó þ ùåå
âû ðà æå íèå äëÿ êîíöåíòðàöèè ÊË
N n
nn
n
( , ) ( ) exp ( )r t
p
r
p
r
t r= - - -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
+
=
¥
å
2
1
3 4
1
1
2
2 2
2L
. (72)
 ïå ðå ìåí íûõ r, t êîí öåí òðà öèÿ ÊË (72) èìå åò âèä
14
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ
N r t
r
n
n
r
t rn
n
( , ) ( ) exp ( )= - - -
æ
è
çç
ö
ø
÷+
=
¥
å
p p
u
L
L
2
1
4
1
1
2
2 2
2 ÷. (73)
Íà ðèñ. 2 ïðåä ñòàâ ëå íî ïðî ñòðà íñòâåí íîå ðàñ ïðå äå ëå íèå êîí öåí -
òðà öèè ÊË (72) â ðàç ëè÷ íûå ìî ìåí òû âðå ìå íè. Çíà ÷å íèÿ ïà ðà ìåò ðà t
ïðèâåäå íû ó ñî îò âå òñòâó þ ùèõ êðè âûõ. Â ìî ìåíò âðå ìå íè t êîí öåí -
òðà öèÿ ÊË ðàâ íà íó ëþ â ïðî ñòðà íñòâåí íîé îá ëàñ òè r > t (ðèñ. 2). Â ìî -
ìåíò âðå ìå íè t âñå ÷àñ òè öû íà õî äÿò ñÿ âíóò ðè ñôå ðû r t= u ïðè ÷åì,
êîí öåí òðà öèÿ ÊË ìàê ñè ìàëü íà âáëè çè ãðà íè öû îá ëàñ òè, çà íÿ òîé ÷àñ -
òè öà ìè. Ìàê ñè ìàëü íîå çíà ÷å íèå êîí öåí òðà öèè ÊË óìåíü øà åò ñÿ ñ òå -
÷å íè åì âðå ìå íè, à ïðî ñòðà íñòâåí íàÿ îá ëàñòü, çà íÿ òàÿ ÷àñ òè öà ìè, ðàñ -
øè ðÿ åò ñÿ (ðèñ.2).
Çà âè ñè ìîñòü êîí öåí òðà öèè ÊË îò âðå ìå íè ïðåä ñòàâ ëå íà íà ðèñ. 3.
Çíà ÷å íèÿ áåç ðàç ìåð íîé êî îð äè íà òû r ïðè âå äå íû ó ñî îò âå òñòâó þ ùèõ
êðè âûõ. Ñïëîø íûå êðè âûå ñî îò âå òñòâó þò êè íå òè ÷åñ êî ìó ðàñ ñìîò ðå -
íèþ ïðî öåñ ñà ðàñ ïðîñ òðà íå íèÿ ÊË, êîã äà êîí öåí òðà öèÿ ÷àñ òèö óäîâ -
ëåò âî ðÿ åò ñî îò íî øå íèþ (72). Ïóí êòèð íûå êðè âûå íà ðèñ. 3 ïðåä ñòàâ -
ëÿ þò êîí öåí òðà öèþ ÊË (16), ïî ëó ÷åí íóþ â ðàì êàõ äèô ôó çè îí íî ãî
ïðè áëè æå íèÿ.  îò ëè ÷èå îò ðå çóëü òà òîâ äèô ôó çè îí íî ãî ïðè áëè æå -
íèÿ, ïðè êè íå òè ÷åñ êîì ïîä õî äå ÷àñ òè öû â òî÷ êå r ïî ÿâ ëÿ þò ñÿ â ìî -
ìåíò âðå ìå íè t = r, à çà òåì êîí öåí òðà öèÿ ÊË áûñ òðî óâå ëè ÷è âà åò ñÿ äî
ìàê ñè ìàëü íî ãî çíà ÷å íèÿ (ðèñ. 3). Ìàê ñè ìóì êîí öåí òðà öèè ÊË îêà çû -
15
ÈÍÒÅÍÑÈÂÍÎÑÒÜ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ ÍÀ ÍÀ×ÀËÜÍÎÉ ÑÒÀÄÈÈ
Ðèñ. 2. Ïðîñ òðà íñòâåí íàÿ çà âè -
ñè ìîñòü êîí öåí òðà öèè ÷àñ òèö â
ðàç ëè÷ íûå ìî ìåí òû âðå ìå íè.
Ðå øå íèå êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå -
íèÿ
Ðèñ. 3. Çà âè ñè ìîñòü êîí öåí òðà -
öèè ÷àñ òèö îò âðå ìå íè
âà åò ñÿ òåì áîëü øèì, ÷åì ìåíü øå ðàñ ñòî ÿ íèå äî ìãíî âåí íî ãî èñ òî÷ íè -
êà ÷àñ òèö. Ïîñ ëå äîñ òè æå íèÿ ìàê ñè ìàëü íî ãî çíà ÷å íèÿ êîí öåí òðà öèÿ
ÊË áûñ òðî óìåíü øà åò ñÿ ñî âðå ìå íåì. Îòìå òèì, ÷òî ðàñ ñìàò ðè âà å ìîå
ïðè áëè æå íèå ñî îò âå òñòâó åò ðàñ ñå ÿ íèþ ÷àñ òèö íà ìà ëûå óãëû è ñïðà -
âåä ëè âî äëÿ âðå ìå íè t, êî òî ðîå ìåíü øå, ÷åì õà ðàê òåð íîå âðå ìÿ ðàñ ñå -
ÿ íèÿ ÊË L / u. Åñëè t >> r, òî ïðè âå äåí íîå ðàñ ñìîò ðå íèå îêà çû âà åò ñÿ
íå êîð ðåê òíûì, íî ìîæ íî âîñ ïîëü çî âàòü ñÿ ðå çóëü òà òà ìè äèô ôó çè îí -
íî ãî ïðè áëè æå íèÿ. Âèä íî, ÷òî ïðè áîëü øèõ çíà ÷å íè ÿõ ïóí êòèð íûå
êðè âûå, êî òî ðûå ñî îò âå òñòâó þò êîí öåí òðà öèè ÊË â äèô ôó çè îí íîì
ïðè áëè æå íèè, ðàñ ïî ëî æå íû âû øå ñî îò âå òñòâó þ ùèõ ñïëîø íûõ êðè -
âûõ (ðèñ. 3).
ÄËÈÒÅËÜÍÀß ÈÍÆÅÊÖÈß ×ÀÑÒÈÖ
Ýêñïå ðè ìåí òàëü íûå äàí íûå, ïî ëó ÷åí íûå íà ìè ðî âîé ñåòè íå é òðîí -
íûõ ìî íè òî ðîâ è íà êîñ ìè ÷åñ êèõ àï ïà ðà òàõ, ñâè äå ò åëüñòâó þò î ïðî -
äîë æè òåëü íîé èí æåê öèè ÑÊË â ìåæ ïëà íåò íîå ïðî ñòðà íñòâî. Äëè -
òåëü íîñòü èí æåê öèè â ìåæ ïëà íåò íîå ìàã íèò íîå ïîëå ÷àñ òèö, óñêî ðåí -
íûõ âî âðå ìÿ ñî ëíå÷ íûõ âñïû øåê, ñó ùåñ òâåí íî èç ìå íÿ åò ñÿ îò ñî áû -
òèÿ ê ñî áû òèþ. Äëÿ ðå ëÿ òè âè ñòñêèõ ïðî òî íîâ äëè òåëü íîñòü èí æåê öèè
ñî ñòàâ ëÿ åò îò ïî ðÿä êà ìè íó òû äî íå ñêîëü êèõ äå ñÿò êîâ ìè íóò [10, 11,
18, 32]. Íà äëè òåëü íûé õà ðàê òåð èñ ïóñ êà íèÿ ÑÊË óêà çû âà åò òàê æå âå -
ëè ÷è íà àíè çîò ðî ïèè, êî òî ðàÿ îñòà åò ñÿ çíà ÷è òåëü íîé íà ïðî òÿ æå íèè
ðÿäà ïðî òîí íûõ ñî áû òèé [10, 11, 18].
Ïðè äëè òåëü íîé èí æåê öèè ÷àñ òèö íå îá õî äè ìî âîñ ïîëü çî âàòü ñÿ
èíûì âû ðà æå íè åì äëÿ èñ òî÷ íè êà ÷àñ òèö Q, êî òî ðûé ñî äåð æèò ñÿ â
ïðà âîé ÷àñ òè êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ (1). Ìãíî âåí íûé èñ òî÷ íèê ÊË
(2) ïðî ïîð öè î íà ëåí äåëü òà-ôóíê öèè îò âðå ìå íè. Çà ìå íèì âå ëè ÷è íó
d( )t íå êî òî ðîé ôóíê öèåé âðå ìå íè j( )t , êî òî ðàÿ îïè ñû âà åò âðå ìåí íîé
ïðî ôèëü èí æåê öèè ÑÊË.
Òà êèì îá ðà çîì, èñ òî÷ íèê ÷àñ òèö ïðè ìåò ñëå äó þ ùèé âèä:
Q
r t
r
=
d j d q
p q
( ) ( ) ( )
8 2 2
, (74)
ïðè ÷åì ôóíê öèÿ èí æåê öèè ÊË óäîâ ëåò âî ðÿ åò ñî îò íî øå íèþ
dt t
0
1
¥
ò =j( ) . (75)
Ïðè âû ïîë íå íèè äàí íî ãî óñëî âèÿ âî âðå ìÿ âñïûø êè èñ ïóñ êà åò ñÿ
ñòîëü êî æå ÷àñ òèö, ÷òî è ïðè èõ ìãíî âåí íîé èí æåê öèè, îäíà êî èñ ïóñ -
êà íèå ÷àñ òèö ïðî èñ õî äèò çà êî íå÷ íîå âðå ìÿ.
Ïðè ïðî äîë æè òåëü íîé èí æåê öèè ÷àñ òèö êîí öåí òðà öèþ ÑÊË ìîæ -
íî âû ÷èñ ëèòü êàê ñâåð òêó êîí öåí òðà öèè ÊË, ñî îò âå òñòâó þ ùåé ìãíî -
âåí íî ìó èñ òî÷ íè êó ÷àñ òèö, è ôóíê öèè j( )t , îïðå äå ëÿ þ ùåé âðå ìåí íîé
ïðî ôèëü èí æåê öèè. Â áåç ðàç ìåð íûõ ïå ðå ìåí íûõ êîí öåí òðà öèÿ ÊË
èìå åò âèä
16
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ
~
( , ) ( , ) ( )N d Nr t x r x j t x
r
t
= -ò , (76)
ãäå âå ëè ÷è íà N ñî îò âå òñòâó åò êîí öåí òðà öèè ÊË ïðè ìãíî âåí íîé èí -
æåê öèè ÷àñ òèö.
Ðàñ ñìîò ðèì èñ òî÷ íèê ÊË, èí òåí ñèâ íîñòü êî òî ðî ãî óìåíü øà åò ñÿ
ñî âðå ìå íåì ïî ýêñ ïî íåí öè àëü íî ìó çà êî íó. Òà êî ìó èñ òî÷ íè êó ñî îò -
âå òñòâó åò ôóíêöèÿ èíæåêöèè
j( ) expt
t
t
tin in
= -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
1
, (77)
ãäå tin — õà ðàê òåð íîå âðå ìÿ èí æåê öèè.
Íà ðèñ. 4 ïðè âå äå íà çà âè ñè ìîñòü êîí öåí òðà öèè ÊË îò âðå ìå íè
ïðè äëè òåëü íîé èí æåê öèè ÷àñ òèö (76). Çíà ÷å íèÿ êîí öåí òðà öèè ÊË
ïðè âå äå íû â òî÷ êå r = 1, ò. å. íà ðàñ ñòî ÿ íèè îä íî ãî òðàíñ ïîð òíî ãî ïðî -
áå ãà îò èñ òî÷ íè êà ÑÊË. Çíà ÷å íèÿ áåç ðàç ìåð íî ãî âðå ìå íè èí æåê öèè
÷àñ òèö (t uin int= / L) ïðè âå äå íû ó ñî îò âå òñòâó þ ùèõ êðè âûõ. Øòðèõî -
âàÿ êðè âàÿ ñî îò âå òñòâó åò èì ïó ëüñíîé èí æåê öèè ÷àñ òèö. Îòìå òèì, ÷òî
äëÿ ÷àñ òèö, äâè æó ùèõ ñÿ ñî ñêî ðîñ òüþ, áëèç êîé ê ñêî ðîñ òè ñâå òà, è
òðàíñ ïîð òíûì ïðî áå ãîì 0.1 à. å., ïà ðà ìåò ðó t in = 1 ñî îò âå ò ñò âó åò õà -
ðàê òåð íàÿ äëè òåëü íîñòü èí æåê öèè ÑÊË tin = 0.5 ìèí, à åñ ëè L = 1 à. å.,
òî ïðè t in = 1 õà ðàê òåð íîå âðå ìÿ èí æåê öèè ÷àñ òèö ñî ñòàâ ëÿ åò îêî ëî 30
ìèí. Åñëè áåç ðàç ìåð íîå âðå ìÿ èí æåê öèè ÊË îêà çû âà åò ñÿ çíà ÷è òåëü íî
ìåíüøèì åäè íèöû (íà ïðè ìåð t in = 0.01), òî âðå ìåí íîé ïðî ôèëü èí -
òåí ñèâ íîñ òè ÑÊË â òî÷ êå r = L ìà ëî îò ëè ÷à åò ñÿ îò âðå ìåí íî ãî ïðî ôè -
ëÿ èí òåí ñèâ íîñ òè ÑÊË ïðè ìãíî âåí íîì èñ òî÷ íè êå ÷àñ òèö. Ïðè óâå ëè -
÷å íèè äëè òåëü íîñ òè èí æåê öèè ìàê ñè ìóì èí òåí ñèâ íîñ òè ÊË óìåíü -
øà åò ñÿ è ñäâè ãà åò ñÿ â îá ëàñòü áî ëåå ïî çäíèõ âðå ìåí, à çà âè ñè ìîñòü
êîí öåí òðà öèè ÊË îò âðå ìå íè ñòà íî âèò ñÿ ïëàâ íîé (ðèñ. 4). Íàï ðè ìåð,
êðè âàÿ, ñî îò âå òñòâó þ ùàÿ çíà ÷å íèþ ïà ðà ìåò ðà t in = 1, õà ðàê òå ðè çó åò -
ñÿ îò ñó òñòâè åì ðåç êî ãî ìàê ñè ìó ìà è ìåä ëåí íûì èç ìå íå íè åì êîí öåí -
òðà öèè ÊË ñî âðå ìå íåì, â îò ëè ÷èå îò êðè âûõ, èë ëþñ òðè ðó þ ùèõ âðå -
ìåí íóþ çà âè ñè ìîñòü êîí öåí òðà öèè ÷àñ òèö ïðè ìå íåå äëè òåëü íîé èõ
èí æåê öèè (ðèñ. 4). Ïðè ýòîì ìàê ñè ìàëü íîå çíà ÷å íèå êîí öåí òðà öèè
ÊË â òî÷ êå r = 1 ïðè t in = 1 îêà çû âà åò ñÿ íà ïî ðÿ äîê ìåíüøèì, ÷åì ñî -
îò âå òñòâó þ ùåå çíà ÷å íèå ïðè èì ïó ëüñíîé èí æåê öèè ÷àñ òèö.
17
ÈÍÒÅÍÑÈÂÍÎÑÒÜ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ ÍÀ ÍÀ×ÀËÜÍÎÉ ÑÒÀÄÈÈ
Ðèñ. 4. Çà âè ñè ìîñòü êîí öåí -
òðà öèè ÷àñ òèö îò âðå ìå íè ïðè
èõ äëè òåëü íîé èí æåê öèè
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ðàñ ñìîò ðå íî ðàñ ïðîñ òðà íå íèå ÑÊË â ìåæ ïëà íåò íîé ñðå äå íà îñíî âå
êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ, îïè ñû âà þ ùå ãî ðàñ ñå ÿ íèå ÷àñ òèö íà ìà ëûå
óãëû. Äàí íîå ìà ëî óã ëî âîå ïðè áëè æå íèå ïðè ìå íè ìî, åñëè ðàñ ñòî ÿ íèå
äî èñ òî÷ íè êà ÷àñ òèö íå ïðå âû øà åò âå ëè ÷è íó òðàíñ ïîð òíî ãî ïðî áå ãà
ÊË. Ïî êà çà íî, ÷òî â ïåð âîì ïðè áëè æå íèè ïî ìà ëî ìó óãëó q óãëî âîå
ðàñ ïðå äå ëå íèå ÑÊË èìå åò ãà óñ ñîâ âèä, à âñå ÷àñ òè öû, èñ ïó ùåí íûå
ìãíî âåí íûì òî ÷å÷ íûì èñ òî÷ íè êîì â íà ÷àëü íûé ìî ìåíò âðå ìå íè, â
ìî ìåíò t íà õî äÿò ñÿ íà ñôå ðå ðà äè ó ñîì r t= u .
Âî âòî ðîì ïðè áëè æå íèè ïî óãëó q ïî ëó ÷å íî âû ðà æå íèå äëÿ îá ðà çà
Ëàï ëà ñà ôóíê öèè ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË è ñî îò íî øå íèå, îïè ñû âà þ ùåå
ïðî ñòðà íñòâåí íî-âðå ìåí íîå ðàñ ïðå äå ëå íèå êîí öåí òðà öèè ÷àñ òèö.
Ïî êà çà íî, ÷òî â ìî ìåíò âðå ìå íè t ÷àñ òè öû, èí æåê òè ðî âàí íûå ìãíî -
âåí íûì èñ òî÷ íè êîì, íà õî äÿò ñÿ âíóò ðè ñôå ðû ðà äè ó ñîì r t= u , ïðè ÷åì
êîí öåí òðà öèÿ ÊË ìàê ñè ìàëü íà âáëè çè ãðà íè öû îá ëàñ òè, çà íÿ òîé ÷àñ -
òè öà ìè.  äàí íîé òî÷ êå ïðî ñòðà íñòâà ÷àñ òè öû ïî ÿâ ëÿ þò ñÿ â ìî ìåíò
âðå ìå íè t, èõ êîí öåí òðà öèÿ áûñ òðî óâåëè÷èâàåòñÿ è áûñ òðî óìåíü øà -
åò ñÿ ïî ñëå äîñ òè æå íèÿ ìàê ñè ìàëü íî ãî çíà ÷å íèÿ. Òà êèì îá ðà çîì, íà
íà ÷àëü íîé ñòà äèè àíè çîò ðîï íîé âñïûø êè ÑÊË èìå åò ìåñ òî ðåç êèé
âñïëåñê èí òåí ñèâ íîñ òè ÷àñ òèö.
Òàê æå ðàñ ñìîò ðåí ñëó ÷àé ïðî äîë æè òåëü íîé èí æåê öèè ÑÊË â
ìåæ ïëà íåò íóþ ñðå äó. Ïî êà çà íî, ÷òî ïðè óâå ëè ÷å íèè äëè òåëü íîñ òè
èí æåê öèè ìàê ñè ìóì èí òåí ñèâ íîñ òè ÑÊË â äàí íîé òî÷ êå ïðî ñòðà í ñò -
âà óìåíü øà åò ñÿ è íà ñòó ïà åò ïî çäíåå, à âðå ìåí íîé ïðî ôèëü èí òåí ñèâ -
íîñ òè ÊË ñòàíîâèòñÿ áîëåå ïëàâíûì.
Àâòîð áëà ãî äà ðèò Á. À. Øà õî âà çà ïîëåçíîå îá ñóæ äå íèå.
1. Àáðàìîâèö Ì., Ñòè ãàí È. Ñïðà âî÷ íèê ïî ñïå öè àëü íûì ôóíê öè ÿì. Ì.: Íà ó êà,
1979. 832 ñ.
2. Áà çè ëåâ ñêàÿ Ã. À., Ãî ëûí ñêàÿ Ð. Ì. Î ðàñ ïðîñ òðà íå íèè ñî ëíå÷ íûõ êîñ ìè ÷åñ êèõ
ëó ÷åé â ìåæ ïëà íåò íîé ñðå äå ñ ó÷å òîì àäè à áà òè ÷åñ êîé ôî êó ñè ðîâ êè. Ãå î ìàã íå -
òèçì è àý ðî íî ìèÿ. 1989. 29. ¹ 2. Ñ. 204—209.
3. Ãàëü ïå ðèí Á. À., Òîï òû ãèí È. Í., Ôðàä êèí À. À. Ðàñ ñå ÿ íèå ÷àñ òèö ìàã íèò íû ìè íå -
îäíî ðîä íîñ òÿ ìè â ñèëü íîì ìàã íèò íîì ïîëå. Æóðí. ýêñ ïå ðèì. è òåîð. ôèç.
1971. 60. ¹ 3. Ñ. 972.
4. Ãðàä øòåéí È. Ñ., Ðû æèê È. Ì. Òàá ëè öû èí òåã ðà ëîâ, ñóìì, ðÿ äîâ è ïðî èç âå äå íèé.
Ì., 1963. 1108 ñ.
5. Äîð ìàí Ë. È., Êàö Ì. Å. Î ôëóê òó à öè ÿõ èí òåí ñèâ íîñ òè ñî ëíå÷ íûõ êîñ ìè ÷åñ êèõ
ëó ÷åé. Òð. 5-ãî Ëå íèí ãðàä ñêî ãî ìåæ äó íà ðîä íî ãî ñå ìèíà ðà. Ë.: ÔÒÈ, 1973. Ñ.
311—321.
6. Íè êè ôî ðîâ À. Ô., Óâà ðîâ Â. Á. Ñïå öè àëü íûå ôóíê öèè ìà òå ìà òè ÷åñ êîé ôè çè êè.
Ì.: Íà ó êà, 1978. 320 ñ.
7. Òîï òû ãèí È. Í. Î âðå ìåí íîé çà âè ñè ìîñ òè èí òåí ñèâ íîñ òè êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó ÷åé íà
àíè çîò ðîï íîé ñòà äèè ñî ëíå÷ íûõ âñïû øåê. Ãå î ìàã íå òèçì è àý ðî íî ìèÿ. 1972.
12. ¹ 6. C. 989—995.
8. Òîï òû ãèí È. Í. Êîñ ìè ÷åñ êèå ëó÷è â ìåæ ïëà íåò íûõ ìàã íèò íûõ ïî ëÿõ. Ì.: Íà ó êà,
1983. 304 ñ
18
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ
9. Bieber J. W., Clem J., Evenson P., et al. Gi ant ground level en hance ment of rel a tiv is tic
so lar pro tons on 2005 Jan u ary 20. Astrophys. J. 2013. 771. 52 (13 p.).
10. Bieber J. W., Earl J. A., Green G., et al. In ter plan e tary pitch-an gle scat ter ing and co ro -
nal trans port of so lar en er getic par ti cles: New in for ma tion from Helios. J. Geophys.
Res. 1980. 85. N A5. P. 213.
11. Bieber J. W., Evenson P. A., Pomerantz M. A. Fo cus ing ani so tropy of so lar cos mic
rays. J. Geophys. Res. 1986. 91. N A8. P. 8713.
12. Bombardieri D. J., Duldig M. L., Hum ble J. E., Mi chael K. J. On im proved model for
rel a tiv is tic so lar pro ton ac cel er a tion ap plied to the 2005 Jan u ary 20 and ear lier
events. Astrophys. J. 2008. 682. P. 1315—1327.
13. Cramp J. L., Duldig M. L., Fluckiger E. O., Hum ble J. E., Shea M. A., Smart D. F. The
Oc to ber 22, 1989 so lar cos mic ray en hance ment: An anal y sis of the ani so tropy and
spec tral char ac ter is tic. J. Geophys. Res. 1997. 102. P. 24237—24248.
14. Danos R. J., Fiege J. D., Shalchi A. Nu mer i cal analisis of the Fokker-Planck equa tion
with adi a batic fo cus ing: Iso tro pic pitch an gle scat ter ing. Astrophys. J. 2013. 772. 35
(12 p.).
15. Debrunner H., Lock wood J. A., Ryan J. M. The so lar flare event on 1990 May 24: Ev i -
dence for two sep a rate par ti cle ac cel er a tions. Astrophys. J. 1992. 387. N 1.
P. L51—L54.
16. Dorman L. I., Katz M. E. Cos mic ray ki net ics in space. Space Sci. Rev. 1977. 70. P.
529—575.
17. Droge W., Kartavych Y. Y., Klecker B., Kovaltsov G. A. Anisotropic three-di men -
sional fo cused trans port of so lar en er getic par ti cles in the in ner heliosphere.
Astrophys. J. 2010. 709. P. 912—919.
18. Duggal S. P. Rel a tiv is tic so lar cos mic rays. Rev. Geophys. Space Phys. 1979. 17. N 5.
P. 1021—1058.
19. Fedorov Yu. I., Shakhov B. A. So lar cos mic rays in ho mo ge neous mag netic field. Proc.
23rd In tern. Cos mic Ray Conf. — Cal gary, 1993. Vol. 3. P. 215—218.
20. Fedorov Yu. I., Shakhov B. A., Stehlik M. Non-dif fu sive trans port of cos mic rays in
ho mo ge neous reg u lar mag netic fields. Astron. and Astrophys. 1995. 302. N 2. —P.
623—634.
21. Fedorov Yu. I., Stehlik M., Kudela K., Kassavicova J. Non-dif fu sive par ti cle pulse
trans port: Ap pli ca tion to an anisotropic so lar GLE. So lar Phys. 2002. 208. N 2. —P.
325—334.
22. Gleeson L. J., Webb G. M. En ergy changes of cos mic rays in the in ter plan e tary re gion.
Astrophys. and Space Sci. 1978. 58. N 1. P. 21—39.
23. Kagashvili E. Kh., Zank G. P., Lu J. Y., Droge W. Trans port of en er getic charged par ti -
cles. 2. Small-an gle scat ter ing. J. Plasma Phys. 2004. 70, part 5. P. 505—532.
24. Kota J. Co her ent pulses in the dif fu sive trans port of charged par ti cles. Astrophys. J.
1994. 427. N 2. P. 1035—1040.
25. Lu J. Y., Zank J. P., Rankin R., Marchand R. The trans port of charged par ti cles in a
flow ing me dium. Astrophys. J. 2002. 576. P. 574—586.
26. Lu J. Y., Zank G. P., Webb G. M. Nu mer i cal so lu tion of the time-de pend ent ki netic
equa tion for anisotropic pitch-an gle scat ter ing. Astrophys. J. 2001. 550. P. 34—51.
27. McCracken K. G., Moraal H., Stoker P. H. In ves ti ga tion of the mul ti ple-com po nent
struc ture of the 20 Jan u ary 2005 cos mic ray ground level en hance ment. J. Geophys.
Res. 2008. 113. A1202 (18 p.).
28. Miroshnichenko L. I. So lar cos mic rays. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., Neth er lands,
2001. 480 p.
29. Plainaki C., Belov A., Mavromichalaki H., Yanke V. Mod el ing ground level en hance -
ment: Event of 20 Jan u ary 2005. J. Geophys. Res. 2007. 112. A 04102 (16 p).
19
ÈÍÒÅÍÑÈÂÍÎÑÒÜ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ ÍÀ ÍÀ×ÀËÜÍÎÉ ÑÒÀÄÈÈ
30. Ruffolo D. Ef fect of adi a batic de cel er a tion on the fo cused trans port of so lar cos mic
rays. Astrophys. J. 1995. 442. N 2. P. 861—874.
31. Shakhov B. A., Stehlik M. The Fokker-Planck equa tion in the sec ond or der pitch an gle
ap prox i ma tion and its ex act so lu tion. J. Quant. Spectrosc. and Radiat. Trans fer.
2003. 78. P. 31—39.
32. Simnett G. M. The tim ing of rel a tiv is tic pro ton ac cel er a tion in the Jan u ary 2005 flare.
Astron. and Astrophys. 2006. 445. P. 715—724.
33. Webb G. M., Pantazopolou M., Zank G. P. Mul ti ple scat ter ing and the BGK Boltzmann
equa tion. J. Phys. A Math. Gen. 2000. 33. P. 3137—3160.
34. Zank G. P., Lu J. Y., Rise W. K. M., Webb G. M. Trans port of en er getic charged par ti -
cles in a ran dom mag netic field. Part 1. Large an gle scat ter ing. J. Plasma Phys. 2000.
64. P. 507.
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 07.06.2017
Þ. ². Ôå äî ðîâ
Ãîëîâíà àñòðîíîì³÷íà îáñåðâàòîð³ÿ
Íàö³îíàëüíî¿ àêàäå쳿 íàóê Óêðà¿íè, Êè¿â, Óêðà¿íà
²ÍÒÅÍÑÈÂͲÑÒÜ ÊÎÑ̲×ÍÈÕ ÏÐÎÌÅͲ ÍÀ ÏÎ×ÀÒÊÎÂ²É ÑÒÀ IJ¯
ÑÎÍß×ÍÎÃÎ ÑÏÀËÀÕÓ
Ïî øè ðåí íÿ ñî íÿ÷ íèõ êîñì³÷íèõ ïðî ìåí³â ó ì³æïëà íåò íî ìó ñå ðå äî âèù³ ðîç ãëÿ íó òî
íà îñíî â³ ðîç â'ÿç êó ð³âíÿí íÿ Ôîê êå ðà — Ïëàí êà ó ìà ëî êó òî âî ìó íà áëè æåíí³. Äæå -
ðå ëî ÷àñ òè íîê ââà æà ëîñü ìèòòºâèì ³ òî÷ êî âèì. Äîñë³äæå íî ïðî ñ òî ðî âî-÷à ñî âèé
ðîç ïîä³ë êîí öåí òðàö³¿ øâèä êèõ ÷àñ òè íîê íà àí³ çî òðîïí³é ôàç³ ñïà ëà õó ñî íÿ÷ íèõ
êîñ ì³÷íèõ ïðî ìåí³â. Òà êîæ ðîç ãëÿ íó òî âè ïà äîê òðè âà ëî¿ ³íæåêö³¿ ÷àñ òè íîê ó ì³æ -
ïëà íåò íå ñå ðå äî âè ùå.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: êîñ ì³ ÷í³ ïðîìåí³, ê³íåòè÷íå ð³â íÿííÿ, äèôóç³ÿ, ìàãí³òí³ ïîëÿ.
Yu. I. Fedorov
Main Astronomical Observatory
of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv
THE COSMIC RAY INTENSITY ON THE INITIAL STAGE
OF THE SOLAR FLARE
The propagation of solar cosmic rays in the interplanetary space is considered based on the
solution of Fokker-Planck equation in the small-angle approximation. The particle source
is assumed to be instantaneous and point-like. The spatial and temporal distributions of
energetic particle density during the anisotropic phase of solar cosmic ray enhancement are
studied. The prolonged particle injection in the interplanetary medium is also discussed.
Keywords: cosmic rays, kinetic equation, diffusion, magnetic fields.
20
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-149696 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0233-7665 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:36:07Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Головна астрономічна обсерваторія НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Фёдоров, Ю.И. 2019-03-02T09:00:21Z 2019-03-02T09:00:21Z 2018 Интенсивность космических лучей на начальной стадии солнечной вспышки / Ю.И. Фёдоров // Кинематика и физика небесных тел. — 2018. — Т. 34, № 1. — С. 3-20. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. 0233-7665 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/149696 523.9-72 Распространение солнечных космических лучей в межпланетном пространстве рассмотрено на основе решения уравнения Фоккера — Планка в малоугловом приближении. Источник частиц предполагался мгновенным и точечным. Исследовано пространственно-временное распределение концентрации быстрых частиц на анизотропной фазе вспышки солнечных космических лучей. Также рассмотрен случай продолжительной инжекции частиц в межпланетную среду. Поширення сонячних космічних променів у міжпланетному середовищі розглянуто на основі розв'язку рівняння Фоккера — Планка у малокутовому наближенні. Джерело частинок вважалось миттєвим і точковим. Досліджено просторово-часовий розподіл концентрації швидких частинок на анізотропній фазі спалаху сонячних космічних променів. Також розглянуто випадок тривалої інжекції частинок у міжпланетне середовище. A changes of the behavior with depth of the aerosol and the gas scattering components of the effective optical depth in the profiles of 887, 864, 842, 727 and 619 nm spectral absorption bands of atmospheric methane has been received. A model of homogeneous spherical aerosol particles was in use. ru Головна астрономічна обсерваторія НАН України Кинематика и физика небесных тел Космическая физика Интенсивность космических лучей на начальной стадии солнечной вспышки Інтенсивність космічних променів на початковій стадії сонячного спалаху About determination of the vertical structure of aerosol component in the atmosphere of Saturn Article published earlier |
| spellingShingle | Интенсивность космических лучей на начальной стадии солнечной вспышки Фёдоров, Ю.И. Космическая физика |
| title | Интенсивность космических лучей на начальной стадии солнечной вспышки |
| title_alt | Інтенсивність космічних променів на початковій стадії сонячного спалаху About determination of the vertical structure of aerosol component in the atmosphere of Saturn |
| title_full | Интенсивность космических лучей на начальной стадии солнечной вспышки |
| title_fullStr | Интенсивность космических лучей на начальной стадии солнечной вспышки |
| title_full_unstemmed | Интенсивность космических лучей на начальной стадии солнечной вспышки |
| title_short | Интенсивность космических лучей на начальной стадии солнечной вспышки |
| title_sort | интенсивность космических лучей на начальной стадии солнечной вспышки |
| topic | Космическая физика |
| topic_facet | Космическая физика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/149696 |
| work_keys_str_mv | AT fedorovûi intensivnostʹkosmičeskihlučeinanačalʹnoistadiisolnečnoivspyški AT fedorovûi íntensivnístʹkosmíčnihpromenívnapočatkovíistadíísonâčnogospalahu AT fedorovûi aboutdeterminationoftheverticalstructureofaerosolcomponentintheatmosphereofsaturn |