О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн в упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости
Рассматривается задача о распространении нормальных волн в предварительно деформированном упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости. Исследование проводится на основе трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для
 сжимае...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2019 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2019
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/150464 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн в упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости / А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 1. — С. 23-32. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860008398530019328 |
|---|---|
| author | Багно, А.М. |
| author_facet | Багно, А.М. |
| citation_txt | О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн в упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости / А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 1. — С. 23-32. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рассматривается задача о распространении нормальных волн в предварительно деформированном упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости. Исследование проводится на основе трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для
сжимаемого и несжимаемого упругих полупространств, а также трехмерных линеаризованных уравнений
Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости. Применяются постановка задачи и подход, основанные на
использовании представлений общих решений линеаризованных уравнений для упругого тела и жидкости.
Получены дисперсионные уравнения, описывающие распространение гармонических волн в гидроупругих
системах. Построены дисперсионные кривые нормальных волн в широком диапазоне частот. Проанализировано влияние конечных начальных деформаций упругого полупространства и толщины слоя идеальной
сжимаемой жидкости на фазовые скорости гармонических волн. Показано, что влияние начальных деформаций упругого полупространства на параметры волнового процесса связано со свойствами локализации
волн. Предложен критерий существования нормальных волн в гидроупругих волноводах. Развитый подход
и полученные результаты позволяют установить для волновых процессов пределы применимости моделей,
основанных на различных вариантах теории малых начальных деформаций и классической теории упругости для твердого тела. Численные результаты представлены в виде графиков и дан их анализ.
Розглянуто задачу про поширення нормальних хвиль у попередньо деформованому пружному півпросторі, що взаємодіє з шаром ідеальної стисливої рідини. Дослідження проведено на основі тривимірних лінеаризованих рівнянь теорії пружності скінченних деформацій для стисливого та нестисливого пружних
півпросторів і тривимірних лінеаризованих рівнянь Ейлера для ідеальної стисливої рідини. Застосовані
постановка задачі та підхід, засновані на використанні представлень загальних розв'язків лінеаризованих
рівнянь для пружного тіла та рідини. Отримані дисперсійні рівняння, які описують поширення гармонічних хвиль у гідропружних системах. Побудовано дисперсійні криві нормальних хвиль у широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив скінченних початкових деформацій пружного півпростору та товщини
шару ідеальної стисливої рідини на фазові швидкості гармонічних хвиль. Показано, що вплив початкових
деформацій пружного півпростору на параметри хвильового процесу пов'язаний з властивостями локалізації хвиль. Запропоновано критерій існування нормальних хвиль у гідропружних хвилеводах. Розвинутий підхід і отримані результати дозволяють встановити для хвильових процесів межі застосування
моделей, заснованих на різних варіантах теорії малих початкових деформацій та класичній теорії пружності для твердого тіла. Чисельні результати представлені у вигляді графіків і дано їх аналіз.
The problem of propagation of normal waves in a pre-deformed elastic half-space that interacts with the layer of
an ideal compressible fluid is considered. The study is conducted on the basis of the three-dimensional linearized
equations of elasticity theory for finite deformations in the compressible and incompressible elastic half-spaces
and on the basis of the three-dimensional linearized Euler equations for an ideal compressible fluid. The problem
formulation and the approach based on the utilization of representations of general solutions of the linearized
equations for elastic solid and fluid are applied. The dispersion equations, which describe the propagation
of harmonic waves in hydroelastic systems, are obtained. The dispersion curves for normal waves over a wide
range of frequencies are constructed. The effects of finite initial deformations of the elastic half-space and the
thickness of the layer of an ideal compressible fluid on the phase velocities of harmonic waves are analyzed. It is
shown that the influence of initial deformations of the elastic half-space on the wave process parameters is associated
with the localization properties of waves. A criterion for the existence of the normal waves in hydroelastic
waveguides is proposed. The approach developed and the results obtained make it possible to establish, for the
wave processes, the limits of applicability of the models based on different versions of the theory of small initial
deformations and the classical elasticity theory for a solid body. The numerical results are presented in the form
of graphs, and their analysis is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:40:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
23ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 1
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МЕХАНІКА
Проблема описания полного спектра распространяющихся акустических волн в упруго-
жидкостных волноводах, анализа их дисперсионных характеристик, а также поведения их
как в длинноволновом, так и в коротковолновом диапазонах частотного спектра относится
к классическим задачам механики [1]. Закономерности распространения этих волн широко
используются в различных областях науки и техники. Значительное практическое исполь-
зование акустических волн ставит задачу более полного учета реальных свойств сред. К ним
относятся начальные напряжения. Созданные целенаправленно, или, возникшие в резуль-
тате технологических операций при изготовлении, они оказывают существенное влияние
© А.М. Багно, 2019
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.01.023
УДК 539.3
А.М. Багно
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: alexbag2016@gmail.com
О влиянии конечных начальных деформаций
на фазовые скорости нормальных волн
в упругом полупространстве, взаимодействующем
со слоем идеальной сжимаемой жидкости
Представлено академиком НАН Украины А. Н. Гузем
Рассматривается задача о распространении нормальных волн в предварительно деформированном упру-
гом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости. Исследование про-
водится на основе трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для
сжимаемого и несжимаемого упругих полупространств, а также трехмерных линеаризованных уравнений
Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости. Применяются постановка задачи и подход, основанные на
использовании представлений общих решений линеаризованных уравнений для упругого тела и жидкости.
Получены дисперсионные уравнения, описывающие распространение гармонических волн в гидроупругих
системах. Построены дисперсионные кривые нормальных волн в широком диапазоне частот. Проанализи-
ровано влияние конечных начальных деформаций упругого полупространства и толщины слоя идеальной
сжимаемой жидкости на фазовые скорости гармонических волн. Показано, что влияние начальных дефор-
маций упругого полупространства на параметры волнового процесса связано со свойствами локализации
волн. Предложен критерий существования нормальных волн в гидроупругих волноводах. Развитый подход
и полученные результаты позволяют установить для волновых процессов пределы применимости моделей,
основанных на различных вариантах теории малых начальных деформаций и классической теории упруго-
сти для твердого тела. Численные результаты представлены в виде графиков и дан их анализ.
Ключевые слова: нормальные волны, дисперсия волн, сжимаемые и несжимаемые упругие полупростран-
ства, слой идеальной сжимаемой жидкости, начальные напряжения.
24 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 1
А.М. Багно
на волновые процессы. Рассмотренные задачи и результаты, полученные с учетом действия
начальных напряжений, приведены в [2, 3].
В настоящей работе для исследования распространения акустических волн в системе,
состоящей из слоя жидкости и упругого полупространства, подверженного большим (ко-
нечным) начальным деформациям, привлекаются модели предварительно напряженного
тела и покоящейся идеальной сжимаемой жидкости. При этом используются трехмерные
линеаризованные уравнения теории упругости конечных деформаций для упругого тела
и трехмерные линеаризованные уравнения Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости.
В качестве подхода выбраны постановки задач и метод, основанные на применении пред-
ставлений общих решений линеаризованных уравнений движения упругого тела и жид-
кости, предложенные в работах [4—9].
Постановка задачи. Рассмотрим задачу о распространении акустических волн в гид-
роупругой системе, состоящей из слоя идеальной сжимаемой жидкости и упругого по-
лупространства, подверженного большим (конечным) начальным деформациям. Решение
получим с привлечением трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости ко-
нечных деформаций для твердого тела и линеаризованных уравнений Эйлера для жидко-
сти, находящейся в состоянии покоя [4—9].
Затем рассмотрим такие динамические процессы в гидроупругой системе, при кото-
рых возникающие дополнительные деформации, т.е. возмущения деформаций значительно
мень ше начальных. Исследуем гармонические волновые процессы малой амплитуды. При
этом примем, что упругое тело находится в начальном состоянии.
Предположим, что изотропное нелинейно-упругое твердое тело, упругий потенциал ко-
торого является произвольной дважды непрерывно-дифференцируемой функцией ком-
понент тензора деформаций Грина, занимает объем 1 ,z−∞ < < ∞ 2 0,z−∞ < � 3z−∞ < < ∞ и
контактирует со слоем идеальной сжимаемой жидкости, заполняющей объем: 1 ,z−∞ < < ∞
20 z h� � , 3 .z−∞ < < ∞ Примем, что внешние силы, действующие на указанные среды, рас-
пределены равномерно вдоль оси Oz3. В этом случае задача является плоской и можно ог-
раничиться изучением процесса распространения волн в плоскости Oz1z2. Следовательно,
указанная задача сводится к решению системы уравнений гидроупругости при следующих
граничных условиях:
21 0 0zQ = = ;
2 22 0 2 0z zQ P= == ;
22 0z hP = = ;
2 2
2
2 0 0z z
u
v
t= =
∂
=
∂
. (1)
Воспользуемся постановками задач гидроупругости для тел с начальными напряжени-
ями и идеальной жидкости, а также представлениями общих решений из работ [4—9]. Далее
исследуем волновые процессы в предварительно деформированных сжимаемых и несжи-
маемых упругих телах, взаимодействующих с идеальной жидкостью, начальное состояние
которых является однородным. В случае однородного напряженно-деформированного со-
стояния для плоского случая общие решения имеют вид [4—9]:
1) несжимаемые упругие тела
2
1
1
1 2
u
z z
∂ χ
= −
∂ ∂
;
2
1 1
2 1 1 2 2 12
1
u q q
z
− − ∂= λ λ χ
∂
;
25ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 1
О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн...
− − −⎧ ∂⎪ ⎡ ⎤= λ λ λ + − λ λ + μ⎨ ⎣ ⎦ ∂⎪⎩
2
1 1 2 2 0 1
1 1 1 1 11 11 1 2 1 2 12 12 2
1
( )p q a s q q a
z
2 2
2 2 0
2 1 12 22 12 2
22
( )s
zz t
⎫∂ ∂ ∂⎪+λ λ μ + −ρ χ⎬ ∂∂ ∂ ⎪⎭
;
2) сжимаемые упругие тела
2
2
1
1 2
u
z z
∂ χ
= −
∂ ∂
;
2 0 2 2 02 2
1 11 11 2 1 12 22
2 2 2 2 2 0 2
2 12 12 1 1 1 11 11 2
( ) ( )
( ) ( )
a s s
u
a z a s z
⎡λ + λ λ μ +∂ ∂= +⎢
λ +μ ∂ λ λ + ∂⎢⎣
2
22 2 0 2
1 1 11 11( )a s t
⎤ρ ∂− χ⎥
λ λ + ∂ ⎥⎦
;
3) идеальная сжимаемая жидкость
2
3
1
1
v
z t
∂ χ
=
∂ ∂
;
2
3
2
2
v
z t
∂ χ
=
∂ ∂
,
где введенные функции iχ являются решениями следующих уравнений:
1) несжимаемые упругие тела
4 2 2 04 4 4
2 2 1 12 22
4 4 2 2 0 4 2 2 0 2 2
1 1 1 2 12 11 2 1 2 12 11 1
( )
( ) ( )
q s
z q s z s z t
⎡ λ λ μ +∂ ∂ ρ ∂+ − +⎢
∂ λ λ μ + ∂ λ λ μ + ∂ ∂⎢⎣
1 2 0 1 2 0 4
1 2 2 22 22 1 2 1 11 11 1 2 12 12
2 2 2 0 1 2 2
1 2 2 12 11 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( )
( )
q q a s q q a s a
s q q z z
− −
− −
λ + + λ + − λ λ +μ ∂+ −
λ λ λ μ + ∂ ∂
2 2 4
2 2
14 2 2 0 2 2
1 1 2 12 11 2
0
( )
q
q s z t
⎤λ ρ ∂− χ =⎥
λ λ μ + ∂ ∂ ⎥⎦
; 1
i iq −= λ ; 1 2 1λ λ = ;
2) сжимаемые упругие тела
2 2 0 2 2 02 2 2 2 2
2 1 12 22 2 2 22 22
2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2
1 1 1 11 11 2 1 1 11 11 1 1 2 12 11 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
s a s
z a s z a s t z s z
⎡⎛ ⎞ ⎛λ λ μ + λ λ +∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂+ − + −⎢⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ λ λ + ∂ λ λ + ∂ ∂ λ λ μ + ∂⎢⎝ ⎠ ⎝⎣
4 22 4
2 12 12
22 2 0 2 2 0 2 0 2 2
1 1 12 11 1 11 11 2 12 11 1 2
( )
0
( ) ( ) ( )
a
s t a s s z z
⎞ ⎤λ +μρ ∂ ∂− − χ =⎟ ⎥⎟λ λ μ + ∂ λ + λ μ + ∂ ∂ ⎥⎠ ⎦
;
3) идеальная сжимаемая жидкость
2 2 2
32 2 2 2
1 2 0
1
0
z z a t
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − χ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
.
Здесь и выше: iu — компоненты вектора смещений упругого тела u ; iv — составляющие
вектора возмущений скорости жидкости v ; iQ и iP — составляющие напряжений, соот-
ветственно, в упругом теле и жидкости; ρ — плотность материала упругого полупростран-
ства; 0ρ и 0a — плотность и скорость звука в жидкости в состоянии покоя; iλ — удлинения
упругого тела в направлениях координатных осей; ija , ijμ — величины, определяемые из
26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 1
А.М. Багно
уравнений состояния и зависящие от вида упругого потенциала [10, 11, 14]; 0
ііs — начальные
напряжения.
Для анализа распространения возмущений, гармонически изменяющихся во времени,
решения системы уравнений определяем в классе бегущих волн
2 1( )exp[ ( )]j jX z i kz tχ = −ω ( 1, 3)j = ,
где k — волновое число; ω — круговая частота; 2 1i = − .
В дальнейшем для каждой из гидроупругих систем решаем две задачи Штурма—Лиу-
вилля на собственные значения для уравнений движения упругого тела и жидкости, а также
находим соответствующие собственные функции. После подстановки решений в гранич-
ные условия (1) получаем однородные системы линейных алгебраических уравнений от-
носительно произвольных постоянных. Исходя из условия существования нетривиальных
решений этих систем, получаем дисперсионные уравнения. Для упруго-жидкостной систе-
мы, упругое полупространство которой из несжимаемого материала дисперсионное соот-
ношение имеет вид
λ ρ μ μ ρ ω =0
0 0det ( , , , , , , , , , ) 0lm i ij ij ii se c a s a h c ( , 1, 4)l m = . (2)
Для упруго-жидкостной системы, упругое полупространство которой из сжимаемого
материала, аналогичное уравнение будет таким:
λ ρ μ μ ρ ω =0
0 0det ( , , , , , , , , , ) 0lm i ij ij ii se c a s a h c ( , 1, 4)l m = . (3)
В уравнениях (2) и (3) с — фазовая скорость мод в гидроупругой системе; h — толщина
слоя жидкости; sc ( 2
sc = μ ρ ) — скорость волны сдвига в материале упругого тела; μ — мо-
дуль сдвига материала упругого тела.
Отметим, что полученные дисперсионные уравнения (2) и (3) не зависят от формы уп-
ругого потенциала и получены для несжимаемых и сжимаемых упругих тел, подверженных
большим (конечным) начальным деформациям. Они являются наиболее общими и из них
можно получить соотношения для ряда частных случаев [см. работы 1, 2, 3, 12, 13].
Задачи, рассмотренные в рамках модели, учитывающей начальные напряжения, приве де-
ны в [2—7, 12, 13]. Если положить 0 0ііs = , 1iλ = , то получим равенства для основа тельно ис-
следованных в рамках классической теории упругости волн Рэлея и Стоунли—Шольте [1].
Числовые результаты. В дальнейшем дисперсионные уравнения (2) и (3) решаем чис-
ленно. При этом расчеты проводим для трех гидроупругих систем. Первая состоит из эла-
стичной резины и воды. Механические параметры этой системы выбираем следующими: уп-
ругое полупространство — 1200ρ = кг/м3, 61,2 10μ = ⋅ Па; слой жидкости — 0 1000ρ = кг/м3,
0 1459,5а = м/с, 0 0 46,153442.sa a c= = Этот гидроупругий волновод характеризуется тем,
что материал упругого полупространства (резина) является несжимаемым, податливым и
мягким. Вторая система состоит из оргстекла и воды. Она характеризуется следующими
параметрами: упругое полупространство — 1160ρ = кг/м3, 93,96 10λ = ⋅ Па, 91,86 10μ = ⋅ Па;
слой жидкости — 0 1000ρ = кг/м3, 0 1459,5а = м/с, 0 0 1,152595.sa a c= = У этого волновода
материал упругого полупространства (оргстекло) является сжимаемым и жестким. Третья
27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 1
О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн...
система представляет собой волновод из стали и воды. При этом параметры выбираем та-
кими: упругое полупространство — 7800ρ = кг/м3, 109,26 10λ = ⋅ Па, 107,75 10μ = ⋅ Па; жид-
кость — 0 1000ρ = кг/м3, 0 1459,5а = м/с, 0 0,463021a = . Этот волновод отличается тем,
что материал упругого полупространства (сталь) относится к разряду сжимаемых и более
жестких, чем оргстекло.
Заметим, что уравнения (2) и (3) выведены без введения каких-либо дополнительных
ограничений к виду функции упругого потенциала, поэтому они справедливы для упру гих по-
тенциалов произвольной формы. В данной работе при численном решении уравнения (2)
для описания упругих свойств резины применялся потенциал Трелоара [5, 6, 10, 11]. Для
оргстекла и стали использовался потенциал Мурнагана, зависящий от трех алгебраических
инвариантов тензора деформаций Грина [5, 6, 12—14]. При рассмотрении конкретных при-
меров и численного решения уравнения (3) учитывалось то обстоятельство, что оргстекло и
сталь не разрушаясь не допускают больших деформаций и поэтому коэффициенты уравне-
ний состояния ija и ijμ определяли в рамках линейного акустического приближения [14].
Результаты вычислений в виде графиков представлены на рис. 1—3.
Графики (рис. 1), полученные для гидроупругой системы, состоящей из полупростран-
ства резины (податливый материал) и слоя воды, иллюстрируют характер влияния пред-
варительного сжатия ( λ =1 0,8 ) на фазовые скорости поверхностных волн в упруго-жид-
кост ной системе. Это графики зависимости безразмерных величин фазовых скоростей по-
верх ностных волн c ( sc c c= ) от безразмерной величины толщины жидкого слоя (частоты)
h ( sh h c= ω ). Дисперсионная кривая, соответствующая гидроупругому волноводу при от-
сутствии начальных деформаций ( 1 1λ = ) представлена на рис. 1, а, дисперсионная кривая,
полученная для системы, упругое полупространство которой подвержено начальному сжа-
тию ( 1 0,8λ = ) — на рис. 1, б.
Результаты численных расчетов для упруго-жидкостной системы, состоящей из орг-
стекла (жесткий материал) и воды, представлены на рис. 2. График зависимости безраз-
мерной величины фазовой скорости поверхностной волны c от безразмерной величины
толщины жидкого слоя (частоты) h при отсутствии начальных напряжений построен на
рис. 2, а. Влияние начального растяжения ( 0
11 0,004σ = ) на скорость поверхностной волны в
упруго-жидкостной системе иллюстрирует график на рис. 2, б, представляющий зависи-
Рис. 1
28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 1
А.М. Багно
мость относительного изменения величины фазовой скорости сε ( ( )с с с cε σ= − , сσ —
фазовая скорость волны в гидроупругой системе, упругое полупространство которой под-
вержено начальным напряжениям; с — фазовая скорость нормальной волны в системе при
отсутствии начальных деформаций) от толщины жидкого слоя (частоты) h .
На рис. 3 приведены результаты численных расчетов для упруго-жидкостной системы,
состоящей из стали (более жесткий материал) и воды. Зависимости безразмерных величин
фазовых скоростей мод c от безразмерной величины толщины жидкого слоя (частоты) h
при отсутствии начальных напряжений даны на рис. 3, а. Влияние предварительного рас-
тяжения ( 0
11 0,004σ = ) на скорости нормальных волн в упруго-жидкостной системе иллю-
стрируют графики на рис. 3, б. Здесь представлены зависимости относительных изменений
величин фазовых скоростей мод сε от толщины жидкого слоя (частоты) h .
Для наглядности на рис. 1; 2, а и 3, а штриховыми линиями обозначены асимптотики, к
которым стремятся значения фазовых скоростей нормальных волн при стремлении толщи-
ны слоя жидкости h к бесконечности.
Анализ числовых результатов. Из графиков рис. 1, а следует, что в гидроупругой сис-
теме, упругое полупространство которой из податливого материала, распространяется
лишь одна поверхностная волна. Величина ее фазовой скорости стремится к величине ско-
рости поверхностной волны Рэлея Rc ( 0,955312R R sc c c= = при 1 1λ = и 0,709557Rc =
при 1 0,8λ = ) при стремлении частоты (толщины слоя жидкости) h к нулю ( 0h → ). При
стремлении частоты (толщины слоя жидкости) h к бесконечности ( h →∞ ) значение фа-
зовой скорости этой волны стремится к величине скорости поверхностной волны Стоунли
stc ( 0,859257st st sc c c= = при 1 1λ = и 0,650184stc = при 1 0,8λ = ). Нетрудно видеть, что
начальное сжатие ( 1 0,8λ = ) приводит к понижению фазовой скорости этой волны.
Как и в случае податливого материала, для гидроупругой системы, состоящей из упру-
гого полупространства из жесткого материала (оргстекло) и воды (см. рис. 2), также харак-
терно распространение только одной поверхностной волны, значение фазовой скорости ко-
торой изменяется от величины скорости волны Рэлея Rc ( 0,933557Rc = ) при 0h → до
скорости волны Стоунли stc ( 0,7717101stc = ) при h →∞ . При этом начальное растяжение
( 0
11 0,004σ = ) приводит к увеличению ее фазовой скорости.
Рис. 2
29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 1
О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн...
Графики, приведенные на рис. 3, показывают, что в упруго-жидкостной системе с уп-
ругим полупространством из стали (более жесткий материал) распространяется множество
нормальных волн, количество которых зависит от рассматриваемого интервала частот (тол-
щин жидкого слоя) h . Нетрудно видеть, что на промежутке 0 10h� � существует семь
мод. При этом скорость моды 1 изменяется от значения скорости поверхностной волны
Рэлея Rc ( 0,923007Rc = ) при 0h → до скорости волны Стоунли stc ( 0,462886stc = ) при
h →∞ . Скорости всех мод высокого порядка изменяются от скорости волны сдвига в упру-
гом теле sc при 0h → до скорости волны звука в жидкости 0a ( 0 0,463021a = ) при h →∞ .
При этом начальное растяжение ( 0
11 0,004σ = ) приводит к увеличению величин фазовых
скоростей всех квазилэмбовских мод (см. рис. 3, б).
Особенности волновых процессов в гидроупругих волноводах. Анализ дисперсион-
ных уравнений (2) и (3) показал, что условием, позволяющим определять количество волн,
распространяющихся в гидроупругой системе, является соотношение между скоростями
волны звука в жидкости и волны сдвига в материале упругого тела. При 0 sa c> в системе
упругое полупространство — жидкий слой возникает одна поверхностная волна. Скорость
ее c при возрастании толщины слоя жидкости (частоты) h изменяется от значения ско-
рос ти волны Рэлея Rc до значения скорости волны Стоунли stc . Если же соотношение меж-
ду механическими параметрами компонентов гидроупругого волновода удовлетворяет
условию sca <0 , то возникает множество мод, распространяющихся в упруго-жидкостной
системе. Из полученного графического материала видно, что для систем с податливым и
слабо жестким упругим полупространством имеет место sca >0 . При этом в этих гидроупру-
гих волноводах распространяется одна поверхностная волна (см. рис. 1 и 2). В случае более
жесткого материала при sca <0 возникает множество мод высокого порядка (см. рис. 3).
Особенности влияния начальных напряжений на фазовые скорости волн в гидро-
упругих волноводах. Из рис. 1 и 2 следует, что начальное сжатие ( 1 0,8λ = ) понижает, а
начальное растяжение ( 0
11 0,004σ = ) повышает фазовые скорости поверхностных волн, рас-
пространяющихся в одномодовых волноводах. Нетрудно видеть (см. рис. 1, б и 2, б), что
начальные напряжения оказывают влияние на величину скорости поверхностной волны на
протяжении всего частотного диапазона. Обусловлено это свойствами локализации волны.
Рис. 3
30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 1
А.М. Багно
Как показано в работе [15], движения этой волны происходят не только в жидкости, но и в
приповерхностной области упругого полупространства. Этим и вызвано влияние началь-
ных напряжений на значение фазовой скорости этой поверхностной волны на всем частот-
ном интервале.
Анализ графиков, представленных на рис. 3, б, позволяет заключить, что начальное рас-
тяжение ( 0
11 0,004σ = ) упругого полупространства из стали также повышает значения фа-
зовых скоростей всех мод. При этом, как видно из графиков, наибольшее влияние оно ока-
зывает на фазовые скорости мод, в основном, в окрестности частот их зарождения. Кроме
того, воздействие начального растяжения проявляется в изменении критических частот и
конфигурации дисперсионных кривых мод, а также в смещении их в коротковолновую
часть спектра. С ростом частоты (толщины жидкого слоя) влияние предварительных де-
формаций на скорости мод ослабевает. Связано это с локализационными свойствами нор-
мальных волн, распространяющихся в гидроупругой системе с более жестким полупро-
странством [15]. Вызвано это тем, что с увеличением толщины жидкого слоя волновые дви-
жения низшей моды локализуются в жидкости, а мод высокого порядка смещаются от
поверхностей слоя в его толщу и распространяются со скоростью волны звука в жидкости.
Это приводит к тому, что в высокочастотной части спектра воздействие упругого полу-
пространства на скорости мод ослабевает, а также уменьшается влияние на них начальных
напряжений.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. Москва: Наука, 1981. 288 с.
2. Bagno A.M., Guz A.N. Elastic waves in pre-stressed bodies interacting with a fluid (survey). Int. Appl. Mech.
1997. 33, № 6. P. 435—463.
3. Guz A. N., Zhuk A. P., Bagno A. M. Dynamics of elastic bodies, solid particles, and fluid parcels in a compressible
viscous fluid (review). Int. Appl. Mech. 2016. 52, № 5. P. 449—507.
4. Guz A. N. Aerohydroelasticity problems for bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech. 1980. 16, № 3.
P. 175—190.
5. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. В 2 т. Киев: Наук. думка, 1986. Т. 2. 536 с.
6. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями: 2 части. Saarbrucken:
LAP LAMBERT Academic Publishing, 2016. Ч. 2. 505 с.
7. Гузь А.Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости. Киев: А.С.К., 1998. 350 с.
8. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid. Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2009. 428 p.
9. Гузь А.Н. Введение в динамику сжимаемой вязкой жидкости. Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic
Publishing RU, 2017. 244 с.
10. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при всестороннем сжатии. Киев: Наук. думка, 1979. 144 с.
11. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наук. думка, 1973. 272 с.
12. Babich S.Y., Guz A.N., Zhuk A.P. Elastic waves in bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech. 1979. 15, № 4.
P. 277—291.
13. Жук А.П. Волны Стоунли в среде с начальными напряжениями. Прикл. механика. 1980. 16, № 1.
С. 113—116.
14. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И. Введение в акустоупругость. Киев: Наук. думка, 1977. 152 с.
15. Багно А.М. О локализации поверхностных волн в слое идеальной сжимаемой жидкости, взаимодей-
ствующем с упругим полупространством. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 1. С. 22—28. doi: https://
doi.org/10.15407/dopovidi2018.01.022
Поступило в редакцию 09.01.2018
31ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 1
О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн...
REFERENCES
1. Viktorov, I. A. (1981). Sound surface waves in solids. Moscow: Nauka (in Russian).
2. Bagno, A. M.& Guz, A. N. (1997). Elastic waves in pre-stressed bodies interacting with a fluid (survey). Int.
Appl. Mech., 33, No. 6, pp. 435-463.
3. Guz, A. N., Zhuk, A. P. & Bagno, A. M. (2016). Dynamics of elastic bodies, solid particles, and fluid parcels in
a compressible viscous fluid (review). Int. Appl. Mech., 52, No. 5, pp. 449-507.
4. Guz, A. N. (1980). Aerohydroelasticity problems for bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech., 16, No. 3,
pp. 175-190.
5. Guz, A. N. (1986). Elastic waves in bodies with initial stresses. In 2 v. Kiev: Naukova Dumka (in Russian).
6. Guz, A. N. (2016). Elastic waves in bodies with initial (residual) stresses. 2 parts. Saarbrucken: LAP
LAMBERT Academic Publishing (in Russian).
7. Guz, A. N. (1998). Dynamics of compressible viscous fluid. Kiev: A.C.K. (in Russian).
8. Guz, A. N. (2009). Dynamics of compressible viscous fluid. Cambridge: Cambridge Scientific Publishers.
9. Guz, A. N. (2017). Introduction to dynamics of compressible viscous fluid. Saarbrucken: LAP LAMBERT
Academic Publishing RU (in Russian).
10. Guz, A. N. (1979). Stability of elastic bodies under hydrostatic pressure. Kiev: Naukova Dumka (in Russian).
11. Guz, A. N. (1973). Stability of elastic bodies under finite deformations. Kiev: Naukova Dumka (in Russian).
12. Babich, S. Y., Guz, A. N. & Zhuk, A. P. (1979). Elastic waves in bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech.,
15, No. 4, pp. 277-291.
13. Zhuk, A. P. J. (1980). Stoneley wave in a medium with initial stresses. J. Appl. Mech., 16, No. 1, pp. 113-116
(in Russian).
14. Guz, A. N., Makhort, F. G. & Guscha, O. I. (1977). Introduction in acoustoelasticity. Kiev: Naukova Dumka
(in Russian).
15. Bagno, A. M. (2018). On the localization of surface waves in the layer of an ideal compressible fluid interacting
with the elastic half-space. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., No. 1, pp. 22-28 (in Russian). doi: https://doi.
org/10.15407/dopovidi2018.01.022
Received 09.01.2018
О.М. Багно
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: alexbag2016@gmail.com
ПРО ВПЛИВ СКІНЧЕННИХ ПОЧАТКОВИХ ДЕФОРМАЦІЙ
НА ФАЗОВІ ШВИДКОСТІ НОРМАЛЬНИХ ХВИЛЬ У ПРУЖНОМУ ПІВПРОСТОРІ,
ЩО ВЗАЄМОДІЄ З ШАРОМ ІДЕАЛЬНОЇ СТИСЛИВОЇ РІДИНИ
Розглянуто задачу про поширення нормальних хвиль у попередньо деформованому пружному півпросто-
рі, що взаємодіє з шаром ідеальної стисливої рідини. Дослідження проведено на основі тривимірних лі-
неаризованих рівнянь теорії пружності скінченних деформацій для стисливого та нестисливого пружних
півпросторів і тривимірних лінеаризованих рівнянь Ейлера для ідеальної стисливої рідини. Застосовані
постановка задачі та підхід, засновані на використанні представлень загальних розв'язків лінеаризованих
рівнянь для пружного тіла та рідини. Отримані дисперсійні рівняння, які описують поширення гармоніч-
них хвиль у гідропружних системах. Побудовано дисперсійні криві нормальних хвиль у широкому діапа-
зоні частот. Проаналізовано вплив скінченних початкових деформацій пружного півпростору та товщини
шару ідеальної стисливої рідини на фазові швидкості гармонічних хвиль. Показано, що вплив початкових
деформацій пружного півпростору на параметри хвильового процесу пов'язаний з властивостями лока-
лізації хвиль. Запропоновано критерій існування нормальних хвиль у гідропружних хвилеводах. Розви-
нутий підхід і отримані результати дозволяють встановити для хвильових процесів межі застосування
моделей, заснованих на різних варіантах теорії малих початкових деформацій та класичній теорії пруж-
ності для твердого тіла. Чисельні результати представлені у вигляді графіків і дано їх аналіз.
Ключові слова: нормальні хвилі, дисперсія хвиль, стисливі та нестисливі пружні півпростори, шар ідеальної
стисливої рідини, початкові напруження.
32 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 1
А.М. Багно
O.M. Bahno
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: alexbag2016@gmail.com
ON THE EFFECT OF FINITE INITIAL DEFORMATIONS
ON THE PHASE VELOCITIES OF NORMAL WAVES IN THE ELASTIC HALF-SPACE
INTERACTING WITH THE LAYER OF AN IDEAL COMPRESSIBLE FLUID
The problem of propagation of normal waves in a pre-deformed elastic half-space that interacts with the layer of
an ideal compressible fluid is considered. The study is conducted on the basis of the three-dimensional linearized
equations of elasticity theory for finite deformations in the compressible and incompressible elastic half-spaces
and on the basis of the three-dimensional linearized Euler equations for an ideal compressible fluid. The prob-
lem formulation and the approach based on the utilization of representations of general solutions of the line-
arized equations for elastic solid and fluid are applied. The dispersion equations, which describe the propagation
of harmonic waves in hydroelastic systems, are obtained. The dispersion curves for normal waves over a wide
range of frequencies are constructed. The effects of finite initial deformations of the elastic half-space and the
thickness of the layer of an ideal compressible fluid on the phase velocities of harmonic waves are analyzed. It is
shown that the influence of initial deformations of the elastic half-space on the wave process parameters is associ-
ated with the localization properties of waves. A criterion for the existence of the normal waves in hydroelastic
waveguides is proposed. The approach developed and the results obtained make it possible to establish, for the
wave processes, the limits of applicability of the models based on different versions of the theory of small initial
deformations and the classical elasticity theory for a solid body. The numerical results are presented in the form
of graphs, and their analysis is given.
Keywords: normal waves, dispersion of waves, compressible and incompressible elastic half-spaces, layer of an
ideal compressible fluid, initial stresses.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-150464 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:40:46Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Багно, А.М. 2019-04-07T11:52:56Z 2019-04-07T11:52:56Z 2019 О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн в упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости / А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 1. — С. 23-32. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.01.023 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/150464 539.3 Рассматривается задача о распространении нормальных волн в предварительно деформированном упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости. Исследование проводится на основе трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для
 сжимаемого и несжимаемого упругих полупространств, а также трехмерных линеаризованных уравнений
 Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости. Применяются постановка задачи и подход, основанные на
 использовании представлений общих решений линеаризованных уравнений для упругого тела и жидкости.
 Получены дисперсионные уравнения, описывающие распространение гармонических волн в гидроупругих
 системах. Построены дисперсионные кривые нормальных волн в широком диапазоне частот. Проанализировано влияние конечных начальных деформаций упругого полупространства и толщины слоя идеальной
 сжимаемой жидкости на фазовые скорости гармонических волн. Показано, что влияние начальных деформаций упругого полупространства на параметры волнового процесса связано со свойствами локализации
 волн. Предложен критерий существования нормальных волн в гидроупругих волноводах. Развитый подход
 и полученные результаты позволяют установить для волновых процессов пределы применимости моделей,
 основанных на различных вариантах теории малых начальных деформаций и классической теории упругости для твердого тела. Численные результаты представлены в виде графиков и дан их анализ. Розглянуто задачу про поширення нормальних хвиль у попередньо деформованому пружному півпросторі, що взаємодіє з шаром ідеальної стисливої рідини. Дослідження проведено на основі тривимірних лінеаризованих рівнянь теорії пружності скінченних деформацій для стисливого та нестисливого пружних
 півпросторів і тривимірних лінеаризованих рівнянь Ейлера для ідеальної стисливої рідини. Застосовані
 постановка задачі та підхід, засновані на використанні представлень загальних розв'язків лінеаризованих
 рівнянь для пружного тіла та рідини. Отримані дисперсійні рівняння, які описують поширення гармонічних хвиль у гідропружних системах. Побудовано дисперсійні криві нормальних хвиль у широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив скінченних початкових деформацій пружного півпростору та товщини
 шару ідеальної стисливої рідини на фазові швидкості гармонічних хвиль. Показано, що вплив початкових
 деформацій пружного півпростору на параметри хвильового процесу пов'язаний з властивостями локалізації хвиль. Запропоновано критерій існування нормальних хвиль у гідропружних хвилеводах. Розвинутий підхід і отримані результати дозволяють встановити для хвильових процесів межі застосування
 моделей, заснованих на різних варіантах теорії малих початкових деформацій та класичній теорії пружності для твердого тіла. Чисельні результати представлені у вигляді графіків і дано їх аналіз. The problem of propagation of normal waves in a pre-deformed elastic half-space that interacts with the layer of
 an ideal compressible fluid is considered. The study is conducted on the basis of the three-dimensional linearized
 equations of elasticity theory for finite deformations in the compressible and incompressible elastic half-spaces
 and on the basis of the three-dimensional linearized Euler equations for an ideal compressible fluid. The problem
 formulation and the approach based on the utilization of representations of general solutions of the linearized
 equations for elastic solid and fluid are applied. The dispersion equations, which describe the propagation
 of harmonic waves in hydroelastic systems, are obtained. The dispersion curves for normal waves over a wide
 range of frequencies are constructed. The effects of finite initial deformations of the elastic half-space and the
 thickness of the layer of an ideal compressible fluid on the phase velocities of harmonic waves are analyzed. It is
 shown that the influence of initial deformations of the elastic half-space on the wave process parameters is associated
 with the localization properties of waves. A criterion for the existence of the normal waves in hydroelastic
 waveguides is proposed. The approach developed and the results obtained make it possible to establish, for the
 wave processes, the limits of applicability of the models based on different versions of the theory of small initial
 deformations and the classical elasticity theory for a solid body. The numerical results are presented in the form
 of graphs, and their analysis is given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн в упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости Про вплив скінченних початкових деформацій на фазові швидкості нормальних хвиль у пружному півпросторі, що взаємодіє з шаром ідеальної стисливої рідини On the effect of finite initial deformations on the phase velocities of normal waves in the elastic half-space interacting with the layer of an ideal compressible fluid Article published earlier |
| spellingShingle | О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн в упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости Багно, А.М. Механіка |
| title | О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн в упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости |
| title_alt | Про вплив скінченних початкових деформацій на фазові швидкості нормальних хвиль у пружному півпросторі, що взаємодіє з шаром ідеальної стисливої рідини On the effect of finite initial deformations on the phase velocities of normal waves in the elastic half-space interacting with the layer of an ideal compressible fluid |
| title_full | О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн в упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости |
| title_fullStr | О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн в упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости |
| title_full_unstemmed | О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн в упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости |
| title_short | О влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн в упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости |
| title_sort | о влиянии конечных начальных деформаций на фазовые скорости нормальных волн в упругом полупространстве, взаимодействующем со слоем идеальной сжимаемой жидкости |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/150464 |
| work_keys_str_mv | AT bagnoam ovliâniikonečnyhnačalʹnyhdeformaciinafazovyeskorostinormalʹnyhvolnvuprugompoluprostranstvevzaimodeistvuûŝemsosloemidealʹnoisžimaemoižidkosti AT bagnoam provplivskínčennihpočatkovihdeformacíinafazovíšvidkostínormalʹnihhvilʹupružnomupívprostoríŝovzaêmodíêzšaromídealʹnoístislivoírídini AT bagnoam ontheeffectoffiniteinitialdeformationsonthephasevelocitiesofnormalwavesintheelastichalfspaceinteractingwiththelayerofanidealcompressiblefluid |