Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування

Визначено маломасштабну пластичну зону передруйнування у точці перетину ліній мікропластичного деформування. Задачу про пластичну зону зведено до симетричної задачі теорії пружності для площини з чотирма прямими лініями розриву дотичного переміщення, які виходять з її точки. Дві з них напівнескінчен...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Доповіді НАН України
Дата:	2019
Автори:	Камінський, А.О., Кіпніс, Л.А., Поліщук, Т.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2019
Теми:	Механіка
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/150465
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування / А.О. Камінський, Л.А. Кіпніс, Т.В. Поліщук // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 1. — С. 33-39. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-150465
record_format	dspace
spelling	Камінський, А.О. Кіпніс, Л.А. Поліщук, Т.В. 2019-04-07T11:53:10Z 2019-04-07T11:53:10Z 2019 Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування / А.О. Камінський, Л.А. Кіпніс, Т.В. Поліщук // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 1. — С. 33-39. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.01.033 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/150465 539.375 Визначено маломасштабну пластичну зону передруйнування у точці перетину ліній мікропластичного деформування. Задачу про пластичну зону зведено до симетричної задачі теорії пружності для площини з чотирма прямими лініями розриву дотичного переміщення, які виходять з її точки. Дві з них напівнескінченні, а дві — скінченної довжини. Точний розв'язок задачі побудовано методом Вінера—Гопфа. Определена маломасштабная пластическая зона предразрушения в точке пересечения линий микропластического деформирования. Задача о пластической зоне сведена к симметричной задаче теории упругости для плоскости с четырьмя прямыми линиями разрыва касательного смещения, исходящими из ее точки. Две из них полубесконечные, а две — конечной длины. Точное решение задачи построено методом Винера—Хопфа. The small-scale plastic prefracture zone at the point of intersection of microplastic deformation lines is determined. The problem on the plastic zone is reduced to the symmetric problem of the theory of elasticity for a plane with four straight tangential displacement rupture lines emerging from its point. Two of them are semiinfinite, and two have a finite length. The exact solution of the problem is constructed by the Wiener—Hopf method. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування О развитии маломасштабных пластических полос из точки пересечения линий микропластического деформирования On the development of small-scale plastic strips from the point of intersection of microplastic deformation lines Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування
spellingShingle	Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування Камінський, А.О. Кіпніс, Л.А. Поліщук, Т.В. Механіка
title_short	Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування
title_full	Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування
title_fullStr	Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування
title_full_unstemmed	Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування
title_sort	про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування
author	Камінський, А.О. Кіпніс, Л.А. Поліщук, Т.В.
author_facet	Камінський, А.О. Кіпніс, Л.А. Поліщук, Т.В.
topic	Механіка
topic_facet	Механіка
publishDate	2019
language	Ukrainian
container_title	Доповіді НАН України
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
format	Article
title_alt	О развитии маломасштабных пластических полос из точки пересечения линий микропластического деформирования On the development of small-scale plastic strips from the point of intersection of microplastic deformation lines
description	Визначено маломасштабну пластичну зону передруйнування у точці перетину ліній мікропластичного деформування. Задачу про пластичну зону зведено до симетричної задачі теорії пружності для площини з чотирма прямими лініями розриву дотичного переміщення, які виходять з її точки. Дві з них напівнескінченні, а дві — скінченної довжини. Точний розв'язок задачі побудовано методом Вінера—Гопфа. Определена маломасштабная пластическая зона предразрушения в точке пересечения линий микропластического деформирования. Задача о пластической зоне сведена к симметричной задаче теории упругости для плоскости с четырьмя прямыми линиями разрыва касательного смещения, исходящими из ее точки. Две из них полубесконечные, а две — конечной длины. Точное решение задачи построено методом Винера—Хопфа. The small-scale plastic prefracture zone at the point of intersection of microplastic deformation lines is determined. The problem on the plastic zone is reduced to the symmetric problem of the theory of elasticity for a plane with four straight tangential displacement rupture lines emerging from its point. Two of them are semiinfinite, and two have a finite length. The exact solution of the problem is constructed by the Wiener—Hopf method.
issn	1025-6415
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/150465
citation_txt	Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування / А.О. Камінський, Л.А. Кіпніс, Т.В. Поліщук // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 1. — С. 33-39. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT kamínsʹkiiao prorozvitokmalomasštabnihplastičnihsmugztočkiperetinulíníimíkroplastičnogodeformuvannâ AT kípnísla prorozvitokmalomasštabnihplastičnihsmugztočkiperetinulíníimíkroplastičnogodeformuvannâ AT políŝuktv prorozvitokmalomasštabnihplastičnihsmugztočkiperetinulíníimíkroplastičnogodeformuvannâ AT kamínsʹkiiao orazvitiimalomasštabnyhplastičeskihpolosiztočkiperesečeniâliniimikroplastičeskogodeformirovaniâ AT kípnísla orazvitiimalomasštabnyhplastičeskihpolosiztočkiperesečeniâliniimikroplastičeskogodeformirovaniâ AT políŝuktv orazvitiimalomasštabnyhplastičeskihpolosiztočkiperesečeniâliniimikroplastičeskogodeformirovaniâ AT kamínsʹkiiao onthedevelopmentofsmallscaleplasticstripsfromthepointofintersectionofmicroplasticdeformationlines AT kípnísla onthedevelopmentofsmallscaleplasticstripsfromthepointofintersectionofmicroplasticdeformationlines AT políŝuktv onthedevelopmentofsmallscaleplasticstripsfromthepointofintersectionofmicroplasticdeformationlines
first_indexed	2025-11-27T01:38:46Z
last_indexed	2025-11-27T01:38:46Z
_version_	1850791432496873472
fulltext	33ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 1 Появі пластичних зон у пружнопластичному тілі, що знаходиться в умовах плоскої де- формації, передує етап деформації, на якому в тілі має місце мікропластична деформація (рух дислокацій) і воно містить численні лінії мікропластичного деформування (лінії ков- зання). Поза цими лініями матеріал тіла є лінійно-пружним. Якщо відбувся перетин лі ній мікропластичного деформування, то точка їх перетину представляє собою гострокінцевий концентратор напружень. На наступному етапі деформації біля різних гострокінцевих концентраторів напру- жень, що містяться в тілі (кінців тріщин, кутових точок), у тому числі біля точки перетину ліній мікропластичного деформування, виникають і розвиваються пластичні зони. Руй ну- вання матеріалу відбувається після розвитку в ньому цих зон. Наявність інформації про конфігурацію і розміри локальних пластичних зон дозволяє повніше описати напружено- деформований стан матеріалу біля гострокінцевих концентраторів напружень, який пере- дує руйнуванню. Визначення конфігурації і розмірів таких зон є однією з центральних проб лем механіки руйнування. Розрахункам привершинних пластичних зон в рамках моделей з лініями розриву пере- міщення у випадках, коли гострокінцевими концентраторами напружень є кінці тріщин в однорідних тілах, присвячено праці багатьох авторів [1]. Ціла низка подібних праць відно- ситься до інших кутових точок – гострокінцевих концентраторів напружень [2—5]. Точка перетину ліній мікропластичного деформування у цьому плані не досліджувалась. Резуль- © А.О. Камінський, Л.А.Кіпніс, Т.В. Поліщук, 2019 doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.01.033 УДК 539.375 А.О. Камінський 1, Л.А.Кіпніс 2, Т.В. Поліщук 2 1 Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ 2 Уманський державний педагогічний університет ім. Павла Тичини E-mail: fract@inmech.kiev.ua, polischuk_t@ukr.net Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування Представлено академіком НАН України В.Л. Богдановим Визначено маломасштабну пластичну зону передруйнування у точці перетину ліній мікропластичного де- формування. Задачу про пластичну зону зведено до симетричної задачі теорії пружності для площини з чо- тирма прямими лініями розриву дотичного переміщення, які виходять з її точки. Дві з них напівнескінченні, а дві — скінченної довжини. Точний розв’язок задачі побудовано методом Вінера—Гопфа. Ключові слова: маломасштабна пластична зона передруйнування, перетин ліній мікропластичного де- формування, лінії розриву дотичного переміщення, метод Вінера—Гопфа. 34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 1 А.О. Камінський, Л.А.Кіпніс, Т.В. Поліщук тати таких досліджень можуть бути використані при вивченні одного з дислокаційних ме- ханізмів зародження тріщин — механізму Коттрелла [6]. Згідно з механізмом Коттрелла тріщина зароджується при перетині ліній мікропластичного деформування. Нижче дано розв’язок симетричної задачі про визначення маломасштабної пластичної зони передруйнування біля точки перетину ліній мікропластичного деформування в рам- ках моделі з двома лініями розриву дотичного переміщення. Постановка задачі. У рамках симетричної задачі розглянемо однорідне ізотропне тіло, яке знаходиться в умовах плоскої деформації. Тіло вважається таким, що у ньому біля го- строкінцевих концентраторів напружень розвиваються пластичні зони, оточені лінійно- пружним матеріалом. Нехай на етапі деформації, який передує появі пластичних зон, тіло містить лінії мікропластичного деформування, що перетинаються в точці О (рис. 1, де 2 π < α < π ). Поза такими лініями матеріал тіла є лінійно-пружним. Лінію мікропластич- ного деформування моделюватимемо лінією розриву дотичного переміщення, на якій до- тичне напруження дорівнює заданій сталій матеріалу o sτ , що характеризує мікропластичну деформацію тіла ( o sτ — границя мікротекучості на зсув). Згідно з загальними положеннями про поведінку напружень біля кутових точок пруж- них тіл [7] точка О представляє гострокінцевий концентратор напружень зі степеневою осо- бливістю. Суми головних членів розвинень напружень в асимптотичні ряди при 0r → є розв’язком відповідної задачі теорії пружності (задача К) для площини з напівнескінчен- ними лініями розриву, який породжується єдиним у смузі 1 Re 0− < λ < коренем 0λ ∈ ] 1; 0[− її характеристичного рівняння cos2 cos2( 1) ][sin 2( 1) ( ) ( 1)sin 2 ]α − λ + α λ + π −α − λ + α + [cos2 cos2( 1) ( )][sin 2( 1) ( 1)sin 2 ] 0+ α − λ + π −α λ + α + λ + α = . Мають місце формули ( 0r → ) 0 0 1( , ) ( ) cos2 ( , ), sin 2 o sr C r C f rλ θ τ σ θ = Σ θ + + θ+ θ α 0 0 2 1 0 3 ( , ) ( ) sin 2 ( , ), sin 2 ( , ) ( ) cos2 ( , ), sin 2 o s r o s r r CT r f r r C r C f r λ θ λ τ τ θ = θ + θ+ θ α τ σ θ = Σ θ + − θ+ θ α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 2)[sin ( )cos sin( 2) ( )cos( 2) ] (0 ), ( ) ( 2)[sin( 2) cos( 2)( ) sin cos ( )] ( ), λ + λ π −α λ θ − λ + π −α λ + θ θ α⎧ Σ θ = ⎨ λ + λ + α λ + π −θ − λ α λ π −θ α θ π⎩ � � � � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin ( )sin ( 2)sin( 2) ( )sin( 2) (0 ), ( ) sin sin ( ) ( 2)sin( 2) sin( 2) ( ) ( ), T λ λ π −α λ θ − λ + λ + π −α λ + θ θ α⎧ θ = ⎨λ λ α λ π −θ − λ + λ + α λ + π −θ α θ π⎩ � � � � 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ( 2)sin( 2)( )cos( 2) ( 2)sin ( )cos (0 ), ( ) ( 2)sin cos ( ) ( 2)sin( 2) cos( 2)( ) ( ) λ + λ + π −α λ + θ − λ − λ π −α λ θ θ α⎧ Σ θ = ⎨ λ − λ α λ π −θ − λ + λ + α λ + π −θ α θ π⎩ � � � � 35ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 1 Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування ( 1, 2, 3( , ) 0f r θ → при 0r → ). Сталі С і 0С потрібно визначати з розв’язку кожної конкрет- ної задачі теорії пружності, яка зображена на рис. 1. Зі зростанням зовнішнього навантаження біля точки О — гострокінцевого концентра- тора напружень виникає і розвивається пластична зона передруйнування. Вивчатимемо лише початкову стадію розвитку пластичної зони, коли її розмір значною мірою менший, ніж довжина ліній мікропластичного деформування та розміри тіла (маломасштабна плас- тична зона передруйнування). Тоді вона буде мати вигляд пари вузьких смужок, що вихо- дять з точки О [8]. Переважні деформації в пластичній зоні передруйнування розвиваються за механіз мом зсуву. Тому вузьку пластичну смужку-зону моделюватимемо прямою лінією розриву дотич- ного переміщення, на якій дотичне напруження дорівнює границі текучості на зсув o s sτ >> τ (модель смуг пластичності [1]). Залежність ( )T θ якісно зображено на рис. 2 (найбільше значення функції менше, ніж мо дуль найменшого значення). Беручи до уваги вигляд цієї залежності і використовуючи критерій максимальних дотичних напружень, приходимо до висновку, що пластична зона буде розвиватись усередині більшого кута між лініями мікропластичного деформування. Зна чен ням α , що дорівнюють 100; 110; 120; 130; 140; 150; 160; 170 град, відповідають зна- чен ня кута β нахилу пластичної смужки до лінії мікропластичного деформування, що до- рів нюють 50,1; 55,4; 60,7; 66,2; 71,7; 77,1; 82,2; 86,7 град. Як видно, пластична смужка роз- виває ться майже по бісектрисі кута α . Ставиться задача визначення довжини l плас- тичних смужок. З урахуванням малості пластичної зони передруйнування приходимо до плоскої ста- тичної симетричної задачі теорії пружності для однорідної ізотропної площини, з точки якої виходять чотири прямі лінії розриву дотичного переміщення (рис. 3). Дві з них напівнескін- ченні, а дві — скінченної довжини. При 0r → суми головних членів розвинень напружень в асимптотичні ряди є розв’язком аналогічної задачі без ліній розриву скінченної довжини (розв’язком задачі К, про який йшлося вище). Довільні сталі С і 0С , що входять до вказано- го розв’язку, вважаються заданими. Вони характеризують інтенсивність зовнішнього поля і повинні визначатись з розв’язку кожної конкретної зовнішньої задачі, яку зображено на рис. 1. Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 36 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 1 А.О. Камінський, Л.А.Кіпніс, Т.В. Поліщук Крайові умови задачі теорії пружності, що розглядається (див. рис. 3), мають такий вигляд: , 0, 0, ;o r r suθ θ θ θθ = β 〈σ 〉 = 〈τ 〉 = 〈 〉 = τ = τ (1) , 0, 0; , 0, 0r ru uθ θ θ θθ = β −α τ = = θ = π −α +β τ = = ; 0, 0, 0r uθ θ θθ = 〈σ 〉 = 〈τ 〉 = 〈 〉 = ; 0, , ; 0, , 0r rr l r l uθθ = < τ = τ θ = > 〈 〉 = ; (2) 0 1 0, , sin 2( ) sin 2 o s rr Cgr o r λ θ τ ⎛ ⎞θ = →∞ τ = α −β + + ⎜ ⎟⎝ ⎠α ; (3) 0 0 0 0 0 0sin ( )sin ( ) ( 2)sin( 2)( )sin( 2)( )g = λ λ π −α λ α −β − λ + λ + π −α λ + α −β . У цих формулах ;β −α θ π −α +β� � a〈 〉— стрибок a ; sτ = τ , якщо 0С < ; sτ = −τ , якщо 0С > ; 0g < . Розв'язок сформульованої задачі теорії пружності (див. рис. 3) є сумою розв’язків на- ступних двох задач. Перша відрізняється від неї тим, що замість третьої з умов (1) і першої з умов (2) маємо 0 1, 0; 0, , ,r rr l Cgr λθ θθ = β τ = θ = < τ = τ − 1 sin 2( ), sin 2 o sττ = τ − α −β α (4) а на нескінченності напруження затухають як (1/ )o r (у (3) відсутні перші два доданки). Друга задача — задача К. Оскільки розв’язок другої задачі відомий, достатньо побудувати розв’язок першої. Для побудови точного розв’язку першої задачі будемо використовувати метод Вінера— Гопфа у поєднанні з апаратом інтегрального перетворення Мелліна [9]. Розв’язок рівняння Вінера—Гопфа. Застосовуючи перетворення Мелліна до рівнянь рівноваги, умови сумісності деформацій, закону Гука, умов (1) та враховуючи другу з умов (2) і умови (4), приходимо до наступного функціонального рівняння Вінера—Гопфа: 1 2 0 ( ) tg ( ) ( ), 1 1 p p G p p p p + −τ τ Φ + + = − π Φ + + λ + (5) 1 2 1 8 2 6 4 5 9 2 5 4 7 2 1 4 2 3 ( )cos ( ) ; ( )sin ( ) ( ), ; G p p G p G p p G G π = π = Δ Δ Δ + Δ Δ + Δ Δ Δ + Δ Δ = Δ Δ + Δ Δ 1 2 3sin 2 sin 2 , sin 2 ( ) sin 2 , cos2 cos2 ;p p p p pΔ = α + α Δ = π −α − α Δ = α − α 4 5 6cos2 ( ) cos2 , sin 2 sin 2 , cos2 cos2 ;p p p pΔ = π −α − α Δ = β+ β Δ = β − β 2 2 2 7 82(sin sin ), sin 2 ( ) sin 2( );p p p pΔ = β − β Δ = α −β + α −β 0 9 2cos2 ( ) cos2( ), ;p Cgl λΔ = α −β − α −β τ = − 37ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 1 Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування 1 2 1 0 0 ( ) ( , 0) , ( ) . 4(1 ) p pr r r l uE p l d p d r ∞ + − θ =ρ θ= ∂ Φ = τ ρ ρ ρ Φ = ρ ρ ∂− ν∫ ∫ У цих формулах 1 2Re ,p−ε < < ε 1,2ε — досить малі додатні числа; E — модуль Юнга; v — коефіцієнт Пуассона. Розв’язок рівняння (5) має вигляд 1( ) ( ) ( 1) ( ) 1( ) ( ) ( 1) pG p K p K p pK p pG p G + + + + + + + ⎧ ⎡ ⎤τ −⎪Φ = − + +⎢ ⎥⎨ + −⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩ 2 0 0 0 0 ( 1)( ) 1 ( ) ( 1) ( 1) KK p p pG p G ++ + + ⎫⎡ ⎤τ −λ − ⎪+ +⎢ ⎥ ⎬+ λ + λ + −λ −⎢ ⎥ ⎪⎣ ⎦ ⎭ ( Re 0p < ); (6) 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) K p K p G p p G + − − − + ⎡ τ − Φ = +⎢ + −⎢⎣ 2 0 0 0 0 ( 1) ( 1)( 1) ( 1) K p G + + ⎤τ −λ − ⎥ + λ + λ + −λ − ⎥⎦ (Re 0)p > ; ( ) (Re 0),1 ln ( ) exp 2 ( ) (Re 0), i i G p pG z dz i z p G p p ∞ + − − ∞ ⎡ ⎤ ⎧ <⎪=⎢ ⎥ ⎨π −⎢ ⎥ >⎪⎩⎣ ⎦ ∫ (1 ) ( ) (1/ 2 ) p K p p ± Γ= Γ ∓ ∓ ( ( )zΓ — гамма-функція). Визначення довжини пластичної зони передруйнування. Виходячи з відомих асимп- тотик, маємо 0, 0, ~ 2 ( ) II r k r l r lp θθ = → + τ π − , 24(1 ) 0, 0, ~ 2 ( ) r IIu k r l r E l r ∂ − νθ = → − − ∂ π − . Тут IIk — коефіцієнт інтенсивності напружень у кінці лінії розриву дотичного переміщення. За теоремою абелевого типу одержуємо ( ) ~ , ( ) ~ ( ). 2 2 II IIk k p p p pl pl + −Φ Φ − →∞ − (7) За допомогою (6) знаходимо асимптотику 1 2 0 0 0 ( 1) ( 1) 1 ( ) ~ ( 1) ( 1) ( 1) K K p p G G + + − + + ⎡ ⎤τ − τ −λ − Φ +⎢ ⎥ − λ + −λ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ( p→∞ ). (8) Згідно з (7), (8) одержуэмо 38 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 1 А.О. Камінський, Л.А.Кіпніс, Т.В. Поліщук 0 1/2 1 2( ) ( ) ,sin 2( ) sin 2 o s IIk q Cl q lλ + ⎡ ⎤τ= α + α α −β − τ⎢ ⎥ α⎣ ⎦ (9) 0 1 0 0 2 ( 1) ( ) , ( 3 / 2) ( 1) g q G+ Γ λ + α = Γ λ + −λ − 2 2 2 ( ) . ( 1) q G+α = π − Довжина пластичної зони передруйнування визначається з умови обмеженості нап- ружень біля кінця лінії розриву дотичного переміщення, тобто з умови рівності нулю кое- фіцієнта IIk . Прирівнюючи до нуля праву частину (9), одержуємо наступну формулу для визначення довжини пластичних смужок при 0C < : 0 0 1/ 1/ 0 0 0 ( 1) ( 1) , 2 ( 3 / 2) ( 1)sin 2( ) sin 2 o s s C g G l G − λ − λ+ + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤π Γ λ + −⎢ ⎥= Λ Λ = ⎢ ⎥τ⎢ ⎥ Γ λ + −λ −τ − α −β ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥α⎣ ⎦ . Якщо 0C > , то 01/ sin 2( ) sin 2 o s s C l − λ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= Λ τ⎢ ⎥τ + α −β⎢ ⎥α⎣ ⎦ ( sin 2 sin 2( ) o s s ατ < − τ α −β ). Значенням α , що дорівнюють 100; 110; 120; 130; 140; 150; 160; 170 град, відповідають значення 0−λ , що дорівнюють 0,190; 0,335; 0,449; 0,541; 0,619; 0,689; 0,756; 0,831 град, і зна- чення Λ , що дорівнюють 7,524; 14,083; 12,996; 11,417; 10,208; 8,339; 7,654; 5,811 град. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Panasyuk V.V., Savruk M.P. Model for plasticity bands in elastoplastic failure mechanics. Mater. Sci. 1992. 28, № 1. P. 41–57. doi: https://doi.org/10.1007/BF00723631 2. Berezhnitskii L.T., Kundrat N.M. Plastic bands at the tip of a linear rigid inclusion. Strength of Materials. 1982. № 11. P. 1502–1505. doi: https://doi.org/10.1007/BF00768948 3. Berezhnitskii L.T., Kundrat N.M. Origin and development of plastic strains in the neighborhood of an acute- angled rigid inclusion. Mater. Sci. 1984. 19, № 6. P. 538–546. doi: https://doi.org/10.1007/BF00722124 4. Kaminskii A.A., Kipnis L.A., Khazin G.A. Study of the Stress State Near a Corner Point in Simulating the Initial Plastic Zone by Slipbands. Int. Appl. Mech. 2001. 37, № 5. P. 647–653. doi: https://doi.org/10.1023/ A:1012312513881 5. Kaminskii A.A., Kipnis L.A., Khazin G.A. Analysis of Plastic Zone at a Corner Point by the Trident Model. Int. Appl. Mech. 2002. 38, № 5. P. 611–616. doi: https://doi.org/10.1023/A:1019766106040 6. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон B.З. Основы механики разрушения материалов. Киев: Наук. думка, 1988. 488 с. 7. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. Москва: Наука, 1981. 688 с. 8. Vitvitskii P.M., Panasyuk V.V., Yarema S.Ya. Plastic deformation in the vicinity of a crack and the criteria of fracture (Review). Strength of Materials. 1973. № 2. P. 135–151. doi: https://doi.org/10.1007/BF00770282 9. Нобл Б. Применение метода Винера—Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. 279 с. Надійшло до редакції 29.05.2018 39ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 1 Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування REFERENCES 1. Panasyuk, V. V. & Savruk, M. P. (1992). Model for plasticity bands in elastoplastic failure mechanics. Mater. Sci., 28, No. 1, pp. 41-57. doi: https://doi.org/10.1007/BF00723631 2. Berezhnitskii, L. T. & Kundrat, N. M. (1982). Plastic bands at the tip of a linear rigid inclusion. Strength of Materials, Nо. 11, pp. 1502-1505. doi: https://doi.org/10.1007/BF00768948 3. Berezhnitskii, L. T. & Kundrat, N. M. (1984). Origin and development of plastic strains in the neighborhood of an acute-angled rigid inclusion. Mater. Sci., 19, No. 6, pp. 538-546. doi: https://doi.org/10.1007/BF00722124 4. Kaminskii, A. A., Kipnis, L. A. & Khazin, G. A. (2001). Study of the Stress State Near a Corner Point in Simulating the Initial Plastic Zone by Slipbands. Int. Appl. Mech., 37, No. 5, pp. 647-653. doi: https://doi. org/10.1023/A:1012312513881 5. Kaminskii, A. A., Kipnis, L. A. & Khazin, G. A. (2002). Analysis of Plastic Zone at a Corner Point by the Trident Model. Int. Appl. Mech., 38, No. 5, pp. 611-616. doi: https://doi.org/10.1023/A:1019766106040 6. Panasyuk, V. V., Andreykiv, A. E. & Parton, V. Z. (1988). Fundamentals of fracture mechanics. Kiev: Naukova Dumka (in Russian). 7. Parton, V. Z. & Perlin, P. I. (1981). Methods of the mathematical theory of elasticity. Moscow: Nauka (in Russian). 8. Vitvitskii, P. M., Panasyuk, V. V. & Yarema, S. Ya. (1973). Plastic deformation in the vicinity of a crack and the criteria of fracture (Review). Strength of Materials, Nо. 2, pp. 135-151. doi: https://doi.org/10.1007/ BF00770282 9. Noble, B. (1962). Using of the Wiener—Hopf method for the solve the partial derivative equations. Moscow: Izda-vo Inostr. lit. (in Russian). Received 29.05.2018 А.А. Каминский 1, Л.А. Кипнис 2, Т.В. Полищук 2 1 Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев 2 Уманский государственный педагогический университет им. Павла Тычины E-mail: fract@inmech.kiev.ua, polischuk_t@ukr.net О РАЗВИТИИ МАЛОМАСШТАБНЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ПОЛОС ИЗ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛИНИЙ МИКРОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ Определена маломасштабная пластическая зона предразрушения в точке пересечения линий микропла- стического деформирования. Задача о пластической зоне сведена к симметричной задаче теории упру- гости для плоскости с четырьмя прямыми линиями разрыва касательного смещения, исходящими из ее точки. Две из них полубесконечные, а две — конечной длины. Точное решение задачи построено методом Винера—Хопфа. Ключевые слова: маломасштабная пластическая зона предразрушения, пересечение линий микропласти- ческого деформирования, линии разрыва касательного смещения, метод Винера – Гопфа. A.A. Kaminsky 1, L.A. Kipnis 2, T.V. Polischuk 2 1 S. P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev 2 Pavlo Tychyna Uman State Pedagogical University Е-mail: fract@inmech.kiev.ua, polischuk_t@ukr.net ON THE DEVELOPMENT OF SMALL-SCALE PLASTIC STRIPS FROM THE POINT OF INTERSECTION OF MICROPLASTIC DEFORMATION LINES The small-scale plastic prefracture zone at the point of intersection of microplastic deformation lines is de- termined. The problem on the plastic zone is reduced to the symmetric problem of the theory of elasticity for a plane with four straight tangential displacement rupture lines emerging from its point. Two of them are semiin- finite, and two have a finite length. The exact solution of the problem is constructed by the Wiener—Hopf method. Keywords: small-scale plastic prefracture zone, intersection of microplastic deformation lines, tangential displace- ment rupture lines, Wiener—Hopf method.

Про розвиток маломасштабних пластичних смуг з точки перетину ліній мікропластичного деформування

Репозитарії

Схожі ресурси