Обмежені розв'язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта

Обмежені розв'язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта

Досліджується питання про існування єдиного обмеженого розв'язку лінійного різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта у скінченновимірному банаховому просторі. Для такого рівняння доведено критерій існування єдиного обмеженого розв'язку для довільної “вхідної...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Доповіді НАН України
Дата:2019
Автори: Городній, М.Ф., Кравець, В.П.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2019
Теми:
Математика
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/150501
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Обмежені розв'язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта / М.Ф. Городній, В.П. Кравець // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 2. — С. 12-16. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-150501
record_format dspace
spelling Городній, М.Ф.
Кравець, В.П.
2019-04-08T16:45:04Z
2019-04-08T16:45:04Z
2019
Обмежені розв'язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта / М.Ф. Городній, В.П. Кравець // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 2. — С. 12-16. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
1025-6415
DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.02.012
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/150501
517.929.2
Досліджується питання про існування єдиного обмеженого розв'язку лінійного різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта у скінченновимірному банаховому просторі. Для такого рівняння доведено критерій існування єдиного обмеженого розв'язку для довільної “вхідної” обмеженої послідовності. Детально розглядається випадок, коли матриці операторних коефіцієнтів зводяться до діагонального вигляду.
Исследуется вопрос о существовании единственного ограниченного решения линейного разностного уравнения второго порядка со скачком операторного коэффициента в конечномерном банаховом пространстве. Для такого уравнения доказан критерий существования единственного ограниченного решения для любой входной ограниченной последовательности. Детально рассматривается случай, когда матрицы операторных коэффициентов сводятся к диагональному виду.
We study the problem of existence of the unique bounded solution of a linear second-order difference equation with a jump of the operator coefficient in a finite-dimensional Banach space. For such an equation, the criterion for the existence and uniqueness of a bounded solution is proved for any “input” bounded sequence. The case where the matrix of operator coefficients reduces to a diagonal form is investigated in detail.
uk
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
Доповіді НАН України
Математика
Обмежені розв'язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта
Ограниченные решения разностного уравнения второго порядка со скачком операторного коэффициента
The bounded solutions of a second•order difference equation with a jump of the operator coefficient
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Обмежені розв'язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта
spellingShingle Обмежені розв'язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта
Городній, М.Ф.
Кравець, В.П.
Математика
title_short Обмежені розв'язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта
title_full Обмежені розв'язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта
title_fullStr Обмежені розв'язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта
title_full_unstemmed Обмежені розв'язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта
title_sort обмежені розв'язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта
author Городній, М.Ф.
Кравець, В.П.
author_facet Городній, М.Ф.
Кравець, В.П.
topic Математика
topic_facet Математика
publishDate 2019
language Ukrainian
container_title Доповіді НАН України
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
format Article
title_alt Ограниченные решения разностного уравнения второго порядка со скачком операторного коэффициента
The bounded solutions of a second•order difference equation with a jump of the operator coefficient
description Досліджується питання про існування єдиного обмеженого розв'язку лінійного різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта у скінченновимірному банаховому просторі. Для такого рівняння доведено критерій існування єдиного обмеженого розв'язку для довільної “вхідної” обмеженої послідовності. Детально розглядається випадок, коли матриці операторних коефіцієнтів зводяться до діагонального вигляду. Исследуется вопрос о существовании единственного ограниченного решения линейного разностного уравнения второго порядка со скачком операторного коэффициента в конечномерном банаховом пространстве. Для такого уравнения доказан критерий существования единственного ограниченного решения для любой входной ограниченной последовательности. Детально рассматривается случай, когда матрицы операторных коэффициентов сводятся к диагональному виду. We study the problem of existence of the unique bounded solution of a linear second-order difference equation with a jump of the operator coefficient in a finite-dimensional Banach space. For such an equation, the criterion for the existence and uniqueness of a bounded solution is proved for any “input” bounded sequence. The case where the matrix of operator coefficients reduces to a diagonal form is investigated in detail.
issn 1025-6415
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/150501
citation_txt Обмежені розв'язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта / М.Ф. Городній, В.П. Кравець // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 2. — С. 12-16. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT gorodníimf obmeženírozvâzkiríznicevogorívnânnâdrugogoporâdkuzístribkomoperatornogokoefícíênta
AT kravecʹvp obmeženírozvâzkiríznicevogorívnânnâdrugogoporâdkuzístribkomoperatornogokoefícíênta
AT gorodníimf ograničennyerešeniâraznostnogouravneniâvtorogoporâdkasoskačkomoperatornogokoéfficienta
AT kravecʹvp ograničennyerešeniâraznostnogouravneniâvtorogoporâdkasoskačkomoperatornogokoéfficienta
AT gorodníimf theboundedsolutionsofasecondorderdifferenceequationwithajumpoftheoperatorcoefficient
AT kravecʹvp theboundedsolutionsofasecondorderdifferenceequationwithajumpoftheoperatorcoefficient
first_indexed 2025-11-25T23:08:42Z
last_indexed 2025-11-25T23:08:42Z
_version_ 1850578850847653888
fulltext 12 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 2 © М.Ф. Городній, В.П. Кравець, 2019 Нехай X — m­вимірний комплексний банахів простір з нормою || · || і нульовим елементом 0; ,A B — лінійні оператори в X ; ,I O — одиничний та нульовий оператори в X . Розглянемо різницеве рівняння 1 12 , ,n n n n n nx x x F x y n Z+ −− + = + ∈ (1) у якому { , }ny n Z∈ — задана, а { , }nx n Z∈ — шукана послідовність елементів простору X , , 1, , 0n nF A n F B n= =� � . Мета цієї роботи – отримати необхідні і достатні умови на оператори ,A B , при вико­ нанні яких справджується така умова. Умова 1. Для довільної обмеженої в X послідовності { , }ny n Z∈ рівняння (1) має єдиний обмежений розв’язок { , }nx n Z∈ у просторі X . Аналогічне питання для різницевого рівняння першого порядку досліджувалося в [1], а для різницевого рівняння другого порядку зі сталими операторними коефіцієнтами та застосування таких рівнянь — у [2, c.17; 3] (див. також наведені у цих роботах посилання). Допоміжні твердження. Покладемо (1) 2 (1) (2) (2) , x X x x x X x    = = ∈       . Тоді 2X — 2m­ви­ мірний комплексний простір з покоординатним додаванням, множенням на скаляр і нор­ doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.02.012 УДК 517.929.2 М.Ф. Городній, В.П. Кравець Київський національний університет ім. Тараса Шевченка E­mail: toriiawik@ukr.net Обмежені розв’язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта Представлено академіком НАН України М.О. Перестюком Досліджується питання про існування єдиного обмеженого розв’язку лінійного різницевого рівняння дру­ гого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта у скінченновимірному банаховому просторі. Для та­ кого рівняння доведено критерій існування єдиного обмеженого розв’язку для довільної “вхідної” обмеженої послідовності. Детально розглядається випадок, коли матриці операторних коефіцієнтів зводяться до діагонального вигляду. Ключові слова: різницеве рівняння, скінченновимірний простір, лінійний оператор, обмежений розв’язок. 13ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 2 Обмежені розв’язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта мою (1) (1) (2) 2 (2) || || || || || ||, x x x x x X x ∗   = + = ∈    . Якщо , , ,E F G H — лінійні оператори в X , то, як і для випадку числових матриць, E F T G H   =    задає лінійний оператор в 2X за правилом (1) (2) (1) 2 (1) (2) (2) , Ex Fx x Tx x X Gx Hx x    + = = ∈    +    . Нехай 2 ,A A I I T I O + −  =    2 ,B B I I T I O + −  =    ( )ATσ — набір власних чисел оператора AT , { | | | 1}S z C z= ∈ = . У подальшому використовуються такі твердження. Лема 1. Для оператора AT існує обернений оператор 1 2A O I T I A I −   =  − +  . Лема 2. Число 0λ ≠ є власним числом AT , якому відповідає власний вектор v v λ     , тоді і тільки тоді, коли 1 2λ + − λ є власним числом А, якому відповідає власний вектор v. Лема 3. Якщо ( )ATλ ∈σ і йому відповідає власний вектор v v λ     , то 0λ ≠ , 1 ( )AT∈σ λ і йому відповідає власний вектор v v    λ  . Лема 4. ( )AT Sσ ∩ = ∅ тоді і тільки тоді, коли ( ) [ 4; 0]Aσ ∩ − = ∅ . Лема 5. Рівняння 1 2λ + − = µ λ має при заданому Cµ ∈ два корені, один з яких лежить усередині кола S, а інший — зовні S, тоді і тільки тоді, коли [ 4; 0]µ ∉ − . Доведення лем 1 — 5 тривіальні і у даній статті не наводяться. Відзначимо, що доведен­ ня леми 5 зразу випливає із властивостей функції Жуковського (див., наприклад, [4, §4]). Лема 6. Нехай в Х існує базис із власних векторів оператора А, а також ( )AT Sσ ∩ = ∅ . Тоді в 2X існує базис із власних векторів оператора AT , причому m векторам базису відпо­ відають власні числа оператора AT , що лежать всередині S, іншим m — зовні S. Доведення. Нехай 1 2, , , mµ µ µ… — власні числа оператора А (з урахуванням крат нос ті), 1 2, , , mu u u… — відповідні їм власні вектори А. Оскільки ( )AT Sσ ∩ = ∅, то внаслідок леми 4 маємо ( ) [ 4; 0]Aσ ∩ − = ∅ . Тому, скориставшись спочатку лемою 5, а потім лема ми 2, 3, ро­ бимо висновок, що для кожного 1 k m� � існує таке , | | 1k kλ λ < , що , 1 1 2,k k k k k µ = λ + − λ λ λ — власні числа оператора AT , яким відповідають власні вектори k k k u u λ     та k k k u u    λ  . Залишилося зауважити, що ці 2m векторів лінійно незалежні внаслідок лінійної не­ залежності векторів 1 2, , , mu u u… . Лема 7. Для того щоб умова 1 виконувалася для рівняння (1), необхідно і достатньо, щоб ця умова виконувалася для різницевого рівняння 1 , ,n n n nx G x y n Z+ = + ∈ (2) 14 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 2 М.Ф. Городній, В.П. Кравець в якому , 1, , 0.n A n BG T n G T n= =� � Доведення леми 7 стандартне і тут не наводиться. Нехай T — такий лінійний оператор в 2X , що ( )AT Sσ ∩ = ∅. Визначимо простори 2 ( ),X T− 2 ( )X T+ за таким правилом. Якщо ( )Tσ лежить усередині кола S , то 2 2( ) ,X T X− = 2 ( ) {0}X T+ = . Якщо ( )Tσ лежить зовні S , то 2 ( ) {0},X T− = 2 2( )X T X+ = . Якщо ж ( )Tσ має непорожні перетини з множинами { | | | 1}S z C z− = ∈ < і { | | | 1}S z C z+ = ∈ > , то зафіксуємо такий базис 1 2, , ke e e… , 1 2 2, ,k k mf f f+ + … у просторі 2X , в якому матриця оператора T має жорданову нормальну форму, причому 1 2, , ke e e… відповідають клітини Жордана з влас­ ними числами із S− , а 1 2 2, ,k k mf f f+ + … — клітини Жордана з власними числами із S+ . Тоді 2 ( ),X T− 2 ( )X T+ — лінійні оболонки векторів 1 2, , ke e e… та 1 2 2, ,k k mf f f+ + … відповідно. Із теореми 1 роботи [1] випливає, що справджується таке твердження. Теорема 1. Для різницевого рівняння (2) умова 1 виконується тоді і тільки тоді, коли ви­ конуються такі умови: (і) ( )AT Sσ ∩ = ∅ , ( )BT Sσ ∩ = ∅ ; (іі) 2 2 2( ) ( )A BX X T X T− += +& , тобто 2X є прямою сумою 2( )AX T− та 2( )BX T+ . Основні результати. Прямим наслідком леми 7 і теореми 1 є така теорема. Теорема 2. Для того щоб для різницевого рівняння (1) виконувалась умова 1, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови (і), (іі) теореми 1. У загальному випадку перевірка умов (і), (іі) є нетривіальною задачею. Один з випад­ ків, коли перевірка суттєво спрощується, описаний у нижченаведеній теоремі. Теорема 3. Нехай оператори А, В в одному і тому ж базисі простору Х зводяться до діа­ гонального вигляду (тобто мають один і той самий набір власних векторів 1 2, , , mu u u… , які утворюють базис в Х). Тоді для різницевого рівняння (1) умова 1 виконується у тому і тільки y тому випадку, коли ( ) [ 4; 0]Aσ ∩ − = ∅ , ( ) [ 4; 0]Bσ ∩ − = ∅ . (3) Доведення. Внаслідок леми 4 співвідношення (3) виконується тоді і тільки тоді, коли виконується умова (і) теореми 1. Отже, досить переконатися, що за вказаних умов на опера­ тори ,A B із (3) випливає, що умова (іі) теореми 1 також виконується. Нехай ,k kzµ — власні числа операторів ,A B відповідно, що відповідають спільному власному вектору ,1ku k m� � . Послідовно застосувавши леми 5, 2, 3, 6, робимо висновок, що для кожного 1 k m� � знайдуться такі числа , | | 1k kλ λ < , , | | 1k kν ν < , що 1 2,k k k µ = λ + − λ 1 2,k k k z = ν + − ν а також 2( )AX T− , 2( )BX T+ є відповідно лінійними оболонками векторів k k k u u λ     , 1 k m� � ; k k k u u    ν  , 1 k m� � . (4) Перевіримо, що 2m векторів із (4) лінійно незалежні. Справді, якщо існують такі числа , , 1k k k mα β � � , що 15ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 2 Обмежені розв’язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибком операторного коефіцієнта 1 1 m m k k k k k k k kk k u u u u= = λ    α = β   ν   ∑ ∑ , (5) то, записавши (5) покоординатно і скориставшись лінійною незалежністю векторів uk, ,1u k m� � , отримаємо, що для кожного 1 k m� � числа ,k kα β задовольняють систему 0 0 k k k k k k λ α −β = α − ν β = . Оскільки | | 1, | | 1,k kλ < ν < то звідси робимо висновок, що 0,k kα = β = 1 k m� � . Із лінійної незалежності векторів (4) випливає, що 2 2 2( ) ( )A BX X T X T− += ⊕ . Нижченаведений приклад показує, що умова (іі) теореми 1 не обов’язково виконується у випадку, коли справджується співвідношення (3), але оператори ,A B зводяться до діаго­ нального вигляду у різних базисах. Приклад 1. Покладемо 2X C= , 1 0 2 4 0 3 A     =       , 14 17 750 14 15 750 21 21 14 17 850 14 15 850 21 21 B  ⋅ + ⋅ + −     = ⋅ + ⋅ +  −     . Тоді 1 2 1 4 , 2 3 µ = µ = — власні числа A, яким відповідають власні вектори 1 0 , 0 1            ; 1 2 4 100 , 3 21 z z= = − 1 2 4 100 , 3 21 z z= = − — власні числа B , яким відповідають власні вектори 1 15 , 1 17            . Отже, 1 2 1 2 1 1 1 3 , , , 2 3 3 7 λ = λ = ν = ν = − 1 2 1 2 1 1 1 3 , , , 2 3 3 7 λ = λ = ν = ν = − . Тому 2 ( )AX T− , 2 ( )BX T+ є відповідно лінійними оболонками векторів 1 0 0 1 , 2 0 0 3                        та 3 7 15 3 7 17 , 1 3 15 1 3 17 − ⋅       − ⋅     ⋅       ⋅    , але ці чотири вектори лінійно залежні. ЦИТОВАНА ЛIТЕРАТУРА 1. Городнiй М.Ф., Гончар I.В. Про обмеженi розв’язки рiзницевого рiвняння зi змiнним операторним кое­ фi цiєнтом. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2016. № 12. С. 12—16. doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2016.12.012 2. Дороговцев А.Я. Периодические и стационарные режимы бесконечномерных детерминированных и стохастических динамических систем. Киев: Вища шк., 1992. 319 с. 3. Кабанцова Л.Ю. Линейные разностные уравнения второго порядка в банаховом прoстранстве и расще­ пление операторов. Изв. Сарат. ун­та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. 17, вып. 3. С. 285—293. doi: https://doi.org/10.18500/1816­9791­2017­17­3­285­293 4. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч.1. Функции одного переменного. Учебник для универ­ ситетов. 3­е изд. Москва: Наука, 1985. 336 с. Надійшло до редакції 13.11.2018 16 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 2 М.Ф. Городній, В.П. Кравець REFERENCES 1. Gorodnii, M. F. & Gonchar, I. V. (2016). On the bounded solutions of a difference equation with variable operator coefficient. Dopov. Nac. akad. nauk. Ukr., No. 12, pp. 12­16 (in Ukrainian). doi: https://doi.org/ 10.15407/dopovidi2016.12.012 2. Dorogovtsev, A. Ya. (1992). Periodic and stationary regimes of infinite­dimensional deterministic and sto­ chastic dynamical systems. Kiev: Vyshcha Shkola (in Ukrainian). 3. Kabantsova, L. Yu. (2017). Linear difference equation of second order in a banach space and operators splitting. Izv. Saratov. Univ. (N. S.) Ser. Math. Mech. Inform., 17, Iss.3, pp. 285­293 (in Russian). doi: https://doi. org/10.18500/1816­9791­2017­17­3­285­293 4. Shabat, B. V. (1985). Introduction to complex analysis. Part 1: Function of one variable. University textbook. 3th ed. Mosсow: Nauka (in Russian). Received 13.11.2018 М.Ф. Городний, В.П. Кравец Киевский национальный университет им. Тараса Шевченкo E­mail: toriiawik@ukr.net ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СО СКАЧКОМ ОПЕРАТОРНОГО КОЭФФИЦИЕНТА Исследуется вопрос о существовании единственного ограниченного решения линейного разностного урав­ нения второго порядка со скачком операторного коэффициента в конечномерном банаховом простран­ стве. Для такого уравнения доказан критерий существования единственного ограниченного решения для любой “входной” ограниченной последовательности. Детально рассматривается случай, когда матрицы операторных коэффициентов сводятся к диагональному виду. Ключевые слова: разностное уравнение, конечномерное пространство, линейный оператор, ограниченное решение. M.F. Gorodnii, V.P. Kravets Taras Shevchenko National University of Kiev E­mail: toriiawik@ukr.net THE BOUNDED SOLUTIONS OF A SECOND­ORDER DIFFERENCE EQUATION WITH A JUMP OF THE OPERATOR COEFFICIENT We study the problem of existence of the unique bounded solution of a linear second­order difference equation with a jump of the operator coefficient in a finite­dimensional Banach space. For such an equation, the criterion for the existence and uniqueness of a bounded solution is proved for any “input” bounded sequence. The case where the matrix of operator coefficients reduces to a diagonal form is investigated in detail. Keywords: difference equation, finite­dimensional space, linear operator, bounded solution.

Схожі ресурси