Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства и упругой изотропной основы с приповерхностной выемкой кругового сечения
Развита математическая модель контакта при сжатии электроупругого полупространства с упругой изотропной основой, содержащей пологую выемку кругового сечения. Модель базируется на рассмотрении связанной системы уравнений электроупругости. Предложены два алгоритма решения проблемы, основанные на предс...
Saved in:
| Published in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/150939 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства и упругой изотропной основы с приповерхностной выемкой кругового сечения / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 4. — С. 120-132. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859470662840614912 |
|---|---|
| author | Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. |
| author_facet | Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. |
| citation_txt | Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства и упругой изотропной основы с приповерхностной выемкой кругового сечения / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 4. — С. 120-132. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Развита математическая модель контакта при сжатии электроупругого полупространства с упругой изотропной основой, содержащей пологую выемку кругового сечения. Модель базируется на рассмотрении связанной системы уравнений электроупругости. Предложены два алгоритма решения проблемы, основанные на представлении решений уравнений электроупругости. Найдено аналитическое решение задачи, определены геометрические размеры зазора между электроупругим полупространством и деформируемой основой при известных сжимающих усилиях. Для ряда пьезоэлектрических материалов на основе математического моделирования проведены числовые исследования контактного взаимодействия. Изучено влияние связанности силовых и электрических полей на параметры контакта тел. Выявлены характерные механические эффекты.
Розвинуто математичну модель контакту у разі стискання електропружного півпростору з пружною ізотропною основою, яка містить пологу виїмку кругового перерізу. Модель ґрунтується на розгляді зв’язаної системи рівнянь електропружності. Запропоновано два алгоритми для розв’язанння проблеми, які ґрунтуются на поданні розв’язку рівнянь електропружності. Знайдено аналітичний розв’язок задачі, визначено геометричні розміри зазору між електропружним півпростором і деформованою основою за відомих стискальних зусиль. Для ряду п’єзоелектричних матеріалів на основі математичного моделювання проведено числові дослідження контактної взаємодії. Вивчено вплив зв’язаності силових і електричних полів на параметри контакту тіл. Виявлено характерні механічні ефекти.
The mathematical model for the contact interaction under the compression of an electroelastic half-space with the elastic isotropic base containing a sloping groove of a circular section was developed. The model takes in account the connectedness of the electroelastic equations system. Two algorithms for solving the problem were proposed, which were based on the representation of solutions of the electroelasticity equations. The analytical problem solution was found, geometrical parameters of clearance between the electroelasticity half-space and deformable base under the known compression were obtained. The influence of connectedness of force and electricity fields on contact parameters of bodies was investigated.
|
| first_indexed | 2025-11-24T09:18:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук, 2016
120 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 539.3
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.4.12
МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
И УПРУГОЙ ИЗОТРОПНОЙ ОСНОВЫ
С ПРИПОВЕРХНОСТНОЙ ВЫЕМКОЙ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ
В.С. КИРИЛЮК, О.И. ЛЕВЧУК
Аннотация. Развита математическая модель контакта при сжатии электроуп-
ругого полупространства с упругой изотропной основой, содержащей пологую
выемку кругового сечения. Модель базируется на рассмотрении связанной
системы уравнений электроупругости. Предложены два алгоритма решения
проблемы, основанные на представлении решений уравнений электроупруго-
сти. Найдено аналитическое решение задачи, определены геометрические
размеры зазора между электроупругим полупространством и деформируе-
мой основой при известных сжимающих усилиях. Для ряда пьезоэлектриче-
ских материалов на основе математического моделирования проведены число-
вые исследования контактного взаимодействия. Изучено влияние связанности
силовых и электрических полей на параметры контакта тел. Выявлены харак-
терные механические эффекты.
Ключевые слова: математическое моделирование, связанная система уравне-
ний электроупругости, пьезоэлектрическое полупространство, упругая изо-
тропная основа, пологая осесимметричная выемка, два алгоритма решения,
параметры контакта, влияние связанности полей.
ВВЕДЕНИЕ
Возрастающее применение электроупругих (пьезоэлектрических) материа-
лов при создании различных типов датчиков, преобразователей энергии и
элементов измерительных приборов стимулирует интерес к исследованию
распределений силовых и электрических полей в электроупругих телах
вблизи концентраторов напряжений [1–6]. Для увеличения прочности пьезо-
элементов в инженерной практике также используются биматериалы, со-
стоящие из электроупругих компонентов и более жестких металлических
элементов. Однако при изучении пространственных задач для пьезоэлек-
трических тел или пьезоэлектрических элементов комбинированных тел
возникают значительные затруднения математического характера, вызван-
ные необходимостью решения граничных задач для связанной системы
уравнений электроупругости. Наряду с многочисленными исследованиями в
области контактных задач упругости рассмотрению статических контактных
Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 121
задач электроупругости для пьезоэлектрических тел в строгой постановке (с
учетом связанности силовых и электрических полей) посвящены только от-
дельные работы [4–6] и др.
Задачи контактного взаимодействия для упругих изотропных тел
с приповерхностными выемками кругового и эллиптического сечения рас-
сматривались в работах [7–9]. Однако моделирование контактного взаимо-
действия для электроупругого тела является задачей значительно более
сложной по самому объекту исследований, чем моделирование взаимодей-
ствия упругих изотропных тел. В случае электроупругого (пьезоэлектриче-
ского) тела необходимо решать систему из четырех связанных уравнений
электроупругости, в которую входят десять независимых постоянных, ха-
рактеризующих электроупругие свойства пьезоэлектрического материала, в
то время, как упругие свойства изотропного материала зависят только от
двух упругих постоянных, и система уравнений упругости содержит только
три уравнения значительно более простой структуры. Ведь в этом случае
приходиться полностью пренебречь анизотропией упругих и электрических
свойств материала и связанностью силовых и электрических полей.
В работе на основе математического моделирования, которое учитыва-
ет связанность силовых и электрических полей в пьезоэлектрическом мате-
риале, изучено контактное взаимодействие системы «упругая изотропная
основа с выемкой – электроупругое полупространство» при сжатии. При
постановке задачи предполагается, что поверхность раздела двух тел, вхо-
дящих в систему, расположена в плоскости изотропии пьезоэлектрического
материала. Полагается также, что поверхность выемки нагружена давлением
0P , и в контактной области осуществляется гладкий (без трения) контакт.
Предложены два алгоритма решения задачи, основанные на представлении
решения статических уравнений электроупругости посредством гармониче-
ских функций. Получено замкнутое решение математической задачи, най-
дены параметры контактного взаимодействия тел (геометрические размеры
зазора между телами при сжатии, значение сжимающих усилий, полностью
закрывающих зазор). Из найденного на основе математической модели ре-
шения задачи следуют соответствующие параметры контакта системы «уп-
ругая изотропная основа с выемкой – упругое трансверсально-изотропное
полупространство», а также параметры контакта упругого изотропного по-
лупространства с упругой основой [7].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим контактное взаимодействие пьезоэлектрического полупро-
странства (рис. 1, 1) с упругой изотропной основой (рис. 1, 2), содержащей
пологую осесимметричную выемку (под внутренним давлением 0P ), форма
которой описывается аналитическим выражением
)(,,)/1()( 0
2/322
0 bhbrbrhrf . (1)
Полагаем, что плоскость контакта является плоскостью изотропии
трансверсально-изотропного электроупругого материала и на поверхности
полупространства отсутствует электродное покрытие, т.е. она является не-
электродированной. Считаем также, что к телам приложены сжимающие
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 122
усилия p и реализуется гладкий (без трения) контакт. Из-за наличия выем-
ки в упругой основе контакт между телами осуществляется лишь по части
поверхности 0z (при ar ), где a — неизвестный радиус области кон-
такта (рис. 1). Значение радиуса a зависит от сжимающих усилий p и дав-
ления 0P , геометрии первоначальной выемки, упругих свойств основы и
электроупругих свойств полупространства. Дополним функцию )(rf со-
гласно выражению (1) нулевым значением в области br , имеем
.,0
,,)/1()(
2/322
0
br
brbrhrf (2)
На поверхности раздела (в плоскости 0z ) с помощью обозначения
(2) приходим к следующим граничным условиям:
0
)( Pi
zz , ar 0 ; rarfuu zz ),()2()1( )2,1( i ;
0)( i
zr , r0 ; razzzz ,)2()1( , )2,1( i ; (3)
0)1( zD , r0 ,
где zD — компонента вектора электрической индукции, а индексы «1» и
«2» соответствуют первому и второму телам. Заметим, что условия (3) по
электрическому состоянию соответствуют случаю неэлектродированной
поверхности электроупругого полупространства.
При рассмотрении задачи сформулируем условия гладкости смыкания
берегов выемки, которым удовлетворяет форма исходной выемки )(rf (со-
гласно формулам (2)) и форма выемки (обозначим ее ),( 211 xxf ), полученная
в результате контактного взаимодействия
0/),(/),( 22111211 xxxfxxxf , Lxx ),( 21 ,
где L — контур новой выемки. Отметим, что эти условия ранее были введе-
ны в работе [8] при рассмотрении задач контактного взаимодействия для
упругих изотропных тел, содержащих приповерхностные выемки.
Рис. 1. Контактное взаимодействие упругой основы с полупространством
1
2
Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 123
Далее воспользуемся суперпозицией двух состояний, первое из кото-
рых — сжатие вдоль оси z0 , т.е. pzz , 0zD (в электроупругом полу-
пространстве). Отметим, что в пьезоэлектрическом теле вследствие связан-
ности силовых и электрических полей компонента напряженности
электрического поля 0zE , а соответствующая компонента электрической
индукции zD равна нулю. При удалении от области контактного взаимо-
действия имеем
0,0, )()1()( i
zrz
i
zz Dp ( 2,1i ) при z ; (4)
0,0 )()( i
zr
i
rr ( 2,1i ) при r .
Формулы (4) описывают условия на бесконечности.
Для описания напряженного и электрического состояний в пьезоэлек-
трических телах приведем основные соотношения статики электроупруго-
сти для связанных силовых и электрических полей.
Основные уравнения и соотношения. Статические уравнения элек-
троупругости для пьезоэлектрического тела относительно компонентов век-
тора перемещений и электрического потенциала можно представить
в виде [4]
xyy
EE
zzx
E
yyx
EE
xxx
E uccucuccuc ,1211,44,1211,11 )(
2
1)(
2
1
0)()( ,1531,4413 xzxzz
EE eeucc ;
xyx
EE
zzy
E
xxy
EE
yyy
E uccucuccuc ,1211,44,1211,11 )(
2
1)(
2
1
0)()( ,1531,4413 yzyzz
EE eeucc ;
zzz
E
yyzxxz
E
yzyxzx
EE ucuucuucc ,33,,44,,4413 )())((
.0)( ,33,,15 zzyyxx ee (5)
В уравнениях (5) использованы следующие обозначения: ,,, 131211
EEE ccc
EE cc 4433, — независимые модули упругости; 331531 ,, eee — пьезомодули;
SS
3311, — диэлектрические проницаемости. Следовательно, электроупругие
свойства пьезоэлектрического трансверсально-изотропного материала ха-
рактеризуются десятью независимыми постоянными.
Решение системы уравнений (5) согласно [4] можно представить по-
средством четырех потенциальных функций j ( 4,1j ):
y
j
xjxu ,4
3
1
,
; x
j
yjyu ,4
3
1
,
;
3
1
,
j
zjjz ku ;
3
1
,
j
zjjl , (6)
где jj lk , — некоторые постоянные, а функции j удовлетворяют урав-
нениям
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 124
0,,, zzjjyyjxxj ( j =1, 2, 3 ), (7)
EEE ccc 1211444 /2 , а значения i ( 3,2,1i ) согласно работе [4] являются
корнями следующего алгебраического уравнения третьего порядка:
)()( 22312231
2
2121
3 DCDCBABADCBA
0)( 333323322332 DCBADCDCBABA . (8)
Значения jj lk , )3,2,1( j в формулах (6) связаны с величинами j
такими соотношениями:
j
j
j
S
j
E
j
E
jj
E
E
jj
E
j
de
lkc
ac
lekc
c
lekca
31
3333
13
3333
11
3113 , ( 3,2,1j ), (9)
j
S
jjjj
E
j lkedlekca 11151544 )1(;)1( , ( 4,3,2,1j ). (10)
При введении обозначений )4,1(2/1 jznz jj функции ),,,( 11 zyx
),,,( 22 zyx ),,( 33 zyx , ),,( 44 zyx согласно уравнениям (7) становятся
гармоническими функциями в соответствующих системах координат. Отме-
тим, что приведенные выражения (8)–(10) используются в дальнейшем при
проведении вычислений.
Для описания напряженно-деформированного состояния в упругой
изотропной основе воспользуемся представлением уравнений равновесия
посредством гармонической функции ),( zr согласно [10]. Приведем вы-
ражения отдельных компонентов перемещений и напряжений, что входят в
граничные условия задачи, на основе этой гармонической функции:
)1(22
z
zuz ;
zz
zzz
2
2
;
zr
zrz
2
. (11)
В выражениях (11) использованы обозначения модуля сдвига и ко-
эффициента Пуассона , характеризующих упругие свойства материала
основы.
Метод решения. Алгоритм 1. При построении решения граничной за-
дачи электроупругости воспользуемся представлением (6) для электроупру-
гого полупространства и выражением (11) для упругой основы с выемкой.
Потенциальные функции ),,( ii zyx и гармоническую функцию возьмем
в виде следующих гармонических потенциалов:
),,( ii zyx
1 0
22
2
2
1
22
2
2
1
*
)()(
)(
)()(
)(
2 S S ii
i
zyx
Sdr
zyx
Sdh
; (12)
),,( zyx
1 0
22
2
2
1
22
2
2
1 )()(
)(
)()(
)(
2
1
S S ii zyx
Sdr
zyx
Sdh
z
,
Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 125
где
2/322
2
22
1121 )//1(),( aahh , 2/322
2
22
1021 )//1(),( bbhr ,
1S и 0S — круговые площадки радиусов a и b соответственно (рис. 1). По-
ложим функцию 0)2(
4 . Постоянные *
i в формулах (12) определим из
системы линейных уравнений:
;1)1( 1544
3
1
*
jj
E
j
j lekc ;0/)1( 1544
3
1
*
jjj
E
j
j lekc
.0)1( 1115
3
1
*
j
S
j
j
j lke (13)
В выражениях (13) используются значения jjj lk ,, , введенные ранее.
При таком выборе гармонической функции и коэффициентов *
j в
формулах (12) удовлетворяются граничные условия по касательным напря-
жениям на поверхности раздела и условия (4). Также удовлетворяются ус-
ловия по электрическому состоянию вдоль поверхности полупространства
и выполняется равенство нормальных компонентов напряжений вне зазора
между телами. Необходимо удовлетворить оставшиеся граничные условия с
помощью нахождения следующих параметров контактной задачи: a — зна-
чение радиуса площадки контакта (рис. 1); 1h — максимальная высота зазо-
ра в результате контакта электроупругого и упругого тел. Условия гладко-
сти смыкания берегов зазора удовлетворяются автоматически вследствие
выбора потенциальных функций в виде формул (12).
Отметим, что потенциалы вида (12) использовались ранее при рассмот-
рении задачи контактного взаимодействия двух изотропных упругих тел [9].
Идея их применения близка к приему использования скачков перемещений
в задаче о трещине нормального отрыва. Однако для трещины ее поверх-
ность задана изначально, в то время как площадка контакта 1S и ее радиус
a в задаче контактного взаимодействия заранее не известны и определяют-
ся в процессе решения задачи.
На основе выбора гармонической функции и потенциальных функ-
ций согласно формулам (12) и (13), удовлетворяя оставшиеся граничные
условия, приходим к интегро-дифференциальному уравнению
1
22
2
2
1
2
2
2
2
)()(
)(
S izyx
Sdh
yx
),(2
)()(
)(
0
*
22
2
2
1
2
2
2
2
0
PpL
zyx
Sdr
yx S i
1),( Syx . (14)
В выражениях (14) значение jj
j
jkL
/1 3
1
** .
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 126
После проведения дифференцирования в формулах (14) воспользуемся
согласно работе [11] известными значениями следующих интегралов:
a
Sd
yx
aa
S
2
2/32
2
2
1
22
2
22
1
)()(
//1
;
222
2
2/32
2
2
1
22
2
22
1
2
1 3334
16)()(
//1
yxa
a
Sd
yx
aa
S
;
222
2
2/32
2
2
1
22
2
22
1
2
2 3334
16)()(
//1
yxa
a
Sd
yx
aa
S
.
Далее применим следующую схему решения задачи. Приравняем ко-
эффициенты при вторых степенях декартовых координат. В результате на-
ходим 3
01 )/(/ bahh . Из равенства коэффициентов при однородных сла-
гаемых приходим к квадратному уравнению относительно значения
неизвестного радиуса a , из которого находим значения неизвестных пара-
метров контакта:
0
*
0
3
)(41
h
bLPpba
;
2/3
0
*
0
01 3
)(41
h
bLPphh . (15)
Таким образом, из выражений (15) по известным размерам первона-
чальной выемки (параметры b и 0h ), значениям сжимающих усилий p и
давления 0P , двух упругих постоянных основы и десяти независимым зна-
чениям электроупругих постоянных пьезоэлектрического материала (входят
через величину *L ) определяем значение радиуса контакта a и максималь-
ную высоту зазора 1h (после контактного взаимодействия). Также из равен-
ства нулю выражения a находим значение силы сжатия *
0
0
*
4
3
bL
hPp
, при
котором выемка в упругом теле полностью заполняется материалом. Следо-
вательно, при сжатии *pp исходная приповерхностная выемка в упругой
основе в результате контактного взаимодействия полностью исчезает.
При переходе от пьезолектрического материала к чисто упругому
трансверсально - изотропному материалу имеем
))((
))((1
1321113111
4413
2/1
2
2/1
1
44
11Trans*
cnccnc
ccnn
c
cML
,
где 21, nn — корни квадратного уравнения 1133
2
44
2
4411 [ cccncc
0])( 4433
2
4413 ccncc , что зависят от упругих постоянных трансвер-
сально - изотропного материала. Заменив в выражениях (15) значение *M
величиной TransM , находим параметры контакта системы «упругое транс-
версально-изотропное полупространство — жесткая основа с выемкой».
Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 127
Последующий предельный переход от трансверсально-изотропного ма-
териала к упругому изотропному материалу приводит к переходу
/)1(TransM . При взаимодействии упругого изотропного полупро-
странства с упругой основой, содержащей осесимметричную выемку (част-
ный случай рассмотренной контактной задачи электроупругости), заменив в
формулах (15) величину *M значением 11 /)1( , приходим к полному
совпадению результатов с данными работы [7].
Алгоритм 2. Второй алгоритм решения задачи (в рамках используемой
математической модели) основан на применении аппарата парных инте-
гральных уравнений. Для решения задачи воспользуемся следующими вы-
ражениями гармонической функции ),( zr и потенциальных функций
),,()1(
jj zyx , ( 4,3,2,1j ):
0
0
)2( )()(),( drJeAzr z ;
0
0
)1(
*)1( )()(),,( drJeAzyx jz
jjj , ( 3,2,1j ); 0)1(
4 . (16)
Значения постоянных *
j в выражениях (16) определяем согласно
уравнениям (13), как и при использовании алгоритма 1. Тогда на поверхно-
сти 0z удовлетворяются такие граничные условия: 0)( i
zr , r0 ;
0)( i
zD , ).2,1( i
Из оставшихся граничных условий приходим к системе парных ин-
тегральных уравнений
arPpdrJAPpdrJA
0,)()(,)()( 0
0
0
)2(
0
0
0
)1( ;
0
0
)1(
3
1
* )()(/ drJAk jj
j
j
0
0
)2( ),()()(1 rarfdrJA ;
radrJAdrJA ,)()()()(
0
0
)2(
0
0
)1( . (17)
Полагая )2()1( AA и объединяя первое и третье уравнения системы
(17), приходим к системе парных интегральных уравнений. Следуя в даль-
нейшем схеме рассмотрения задачи о контакте двух упругих изотропных
полупространств (одно из которых содержит выемку) [7], сводим систему
парных интегральных уравнений к интегральному уравнению Абеля. Ана-
логично работе [7] приходим к явным выражениям компонент напряжений и
перемещений в области контакта электроупругого полупространства с упру-
гой основой.
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 128
Так, имеем
pz
i
zz 0
)( | ,
где
,,
2
1
arcsin
2
31
2
3arcsin2
,0,
2
31
4
3
2
22
2
2
22
2
2
*
0
220
2
2
*
0
0
ra
b
ara
b
r
ar
a
r
a
b
r
bL
h
ar
a
r
aPp
ar
b
r
bL
hPp
(18)
.,
!!2)52)(32(
!)!12(3
,0,
2
31
4
3
1
0
2
3
2
0
2
2
0
*
rb
b
r
nnn
n
r
bh
br
b
r
b
h
L
n
n
(19)
Для определения неизвестного радиуса зазора a воспользуемся усло-
вием ограниченности контактного давления на границе области контакта в
плоскости контакта 0z . Поскольку в формулах (19) отсутствуют сингу-
лярные члены, на основе анализа сингулярных слагаемых в формулах (18)
получаем
0
*
0
3
)(41
h
bLPpba
. (20)
Полагая 0a , приходим к значению сжимающих усилий *p , при ко-
тором зазор полностью закрывается
*
0
0
*
4
3
bL
hPp
. (21)
Сравнивая выражения (20), (21) с формулами (15), можно заключить,
что два используемых алгоритма решения задачи приводят к одним и тем же
выражениям для радиуса площадки контакта и величины усилий, полностью
закрывающим зазор между телами. Заметим, что при условиях гладкости
смыкания берегов выемки для алгоритма 2 также удовлетворяются.
Следовательно, два приведенных алгоритма являются достаточно эф-
фективными при решении рассматриваемой задачи. Их применение приво-
дит к одним и тем же аналитическим выражениям для параметров контакта.
В то же время алгоритм 2 дает возможность извлечь более детальную ин-
формацию о характере распределения напряжений в области контакта (по
сравнению с алгоритмом 1), однако его применение в силу уровня развития
соответствующего математического аппарата ограничено лишь осесиммет-
ричной формой выемки. Для алгоритма 1 такого ограничения нет и его по-
тенциальные возможности несколько шире.
Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 129
При переходе к чисто упругому трансверсально-изотропному материа-
лу имеем
))((
))((1
1321113111
4413
2/1
2
2/1
1
44
11Trans**
cnccnc
ccnn
c
cMML
,
где 21, nn — корни квадратного уравнения 1133
2
44
2
4411 [ cccncc
0])( 4433
2
4413 ccncc , которые зависят от упругих свойств трансвер-
сально - изотропного материала. После рутинных преобразований, основан-
ных на свойствах корней квадратного уравнения, значение TransM получаем
в виде
11
33
4411
4413131133
2
133311
11Trans 2)2(
)( c
c
cc
ccccc
ccc
cM
. (22)
Выражение (22) удобно тем, что в него можно сразу подставлять значе-
ния упругих постоянных трансверсально-изотропного материала, оно не
требует проведения промежуточных вычислений. Заменив в полученных
выражениях
1*L величиной TransM , получим параметры контактного
взаимодействия системы «упругое трансверсально-изотропное полупро-
странство – упругая основа с выемкой». Последующий предельный переход
от трансверсально-изотропного материала к упругому изотропному мате-
риалу приводит к переходу от значения TransM к /)1( . В результате в
частном случае рассмотренной задачи приходим к совпадению результатов
исследований с данными работы [7] для контактного взаимодействия двух
упругих изотропных тел, одно из которых содержит выемку.
Анализ результатов численных исследований. На рис. 2, 3 приведе-
ны зависимости радиуса и высоты зазора между упругой основой с припо-
верхностной выемкой и электроупругим полупространством от действую-
щих нагрузок (сплошные линии). На этих рисунках использовано
обозначение )3/(4 0
** hbLN . Показано изменение радиуса и высоты зазо-
ра при меняющейся нагрузке, которые зависят также от значения внутрен-
него давления 0P , геометрических параметров выемки ( 0,hb ), двух упругих
постоянных материала основы и десяти электроупругих постоянных пьезо-
электрического материала. Зависимость от свойств материалов контак-
тирующих тел осуществляется через величину *L . Согласно рис. 1 при-
поверхностная выемка полностью заполняется материалом при
p *
*0
1 p
N
P . Для значений нагрузок *
0 ppP радиус и высота зазора
между телами показаны на рис. 2 и 3 сплошными линиями. Влияние эффек-
та связанности силовых и электрических полей на параметры контакта в
рассматриваемой проблеме взаимодействия тел можно оценить на основе
вычислений отношения Trans* / MM для каждого конкретного вида пьезо-
электрического материала. Так, для пьезокерамических материалов PZT-4,
PXE-5, PZT-5, PZT-7A, BaTiO3, PZT-5H, P-7 получаем Trans* / MM = 0,6947;
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 130
0,7348; 0,6961; 0,7372; 0,8544; 0,7837; 0,7112 соответственно. То есть значе-
ние *M для перечисленных электроупругих материалов превышает соот-
ветствующее значение TransM в процентном выражении (для чисто упруго-
го трансверсально-изотропного материала с теми же упругими свойствами,
что и пьезокерамический материал) на 30,5; 26,5; 30,4; 26,3; 14,6; 21,6; 28,9.
При в *L переходим к жесткой основе (чтобы избежать влияния уп-
ругих постоянных основы) на параметры контакта. На рис. 2 и 3 штриховы-
ми линиями показано изменение параметров контакта жесткой основы
с чисто упругим трансверсально-изотропным полупространством, упругие
свойства которого соответствуют свойствам электроупругого материала
PZT-5H. Тогда, сравнивая параметры контакта (радиус зазора и его высоту)
для сплошных линий (пьезоэлектрический материал) и штриховых линий
(упругий трансверсально-изотропный материал) на этих рисунках, для ма-
териала PZT-5H можно оценить влияние связанности силовых и электриче-
ских полей на параметры контактного взаимодействия. Видно, что связан-
ность силовых и электрических полей препятствует закрытию выемки при
сжатии электроупругого полупространства с основой. Для закрытия зазора
при контакте с пьезоупругим полупространством требуются большие значе-
ния сжимающих усилий, чем для упругого трансверсально-изотропного
полупространства (с теми же упругими свойствами, что и электроупругий
материал).
1
2
(p–P0)N*
Рис. 2. Зависимость радиуса зазора от действующих нагрузок
1
2
(p–P0)N*
Рис. 3. Изменение высоты зазора при действии нагрузок
Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 131
Из выражений (15), (21), (22) видно, что при увеличении жесткости ма-
териала основы (увеличении модуля сдвига материала) зазор между телами
уменьшается медленней, чем для более эластичной основы. Величина *p
(значение сжимающих усилий, полностью закрывающих зазор) с увеличе-
нием жесткости основы также увеличивается, что соответствует физическим
соображениям. В предельном случае ( ) выемка в основе заполняется
только пьезоэлектрическим материалом, поскольку основа становится не-
деформируемой. В случае же более мягкой упругой основы совместное де-
формирование электроупругого материала и эластичной основы позволяет
затратить меньше усилий для полного закрытия выемки системы «пьезоэле-
ктрическое полупространство — упругая основа».
Проанализируем также влияние силовых параметров на процесс со-
вместного деформирования электроупругого материала и упругой основы
с выемкой. Из формул (15), а также (20), (21) видно, что внутреннее давле-
ние внутри выемки препятствует уменьшению размеров выемки при сжа-
тии. При этом на размеры зазора при деформировании влияет простая
разность усилий сжатия p и внутреннего давления 0P , которая входит
в выражения (15), (20).
Принципиально важным, с точки зрения авторов, является то обстояте-
льство, что для всех семи известных пьезокерамических материалов (PZT-4,
PXE-5, PZT-5, PZT-7A, BaTiO3, PZT-5H, P-7) эффект связанности силовых и
электрических полей приводил к увеличению значений усилий для полного
закрытия зазора по сравнению со случаем закрытия зазора в трансверсаль-
но-изотропном упругом материале (с теми же упругими свойствами, что и
соответствующий электроупругий материал). При этом эффект связанности
для рассмотренного ряда материалов является наименее выраженным для
пьезокерамического материала BaTiO3, а наиболее выраженным — для
PZT-4. Для упомянутых материалов Trans* / MM равно 0,8544 и 0,6947 соот-
ветственно.
Отметим также, что проведенные числовые исследования и оценка
влияния связанности силовых и электрических полей для конкретных пье-
зокерамических материалов позволяет в какой-то мере спрогнозировать по-
грешность, вносимую в результаты исследований контактного взаимодейст-
вия электроупругого полупространства, при использовании упрощенной
модели трансверсально-изотропного тела упругого тела (вместо электроуп-
ругого), которое имеет те же упругие свойства, что и соответствующий эле-
ктроупругий материал. При этом величина *M заменяется в формулах (15)
значением TransM и соответствующая погрешность (относительно *M ) сос-
тавляет (%) 30,5; 26,5; 30,4; 26,3; 14,6; 21,6; 28,9 для пьезокерамических
материалов PZT-4, PXE-5, PZT-5, PZT-7A, BaTiO3, PZT-5H, P-7 соответ-
ственно. Таким образом, наименьшая погрешность при использовании упро-
щенной модели для материала BaTiO3, наибольшая — для PZT-4.
ВЫВОДЫ
Таким образом, в настоящей работе на основе математической модели, учи-
тывающей связанность силовых и электрических полей в пьезоэлектриче-
ском материале, рассмотрена проблема контактного взаимодействия в сис-
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 132
теме «упругая основа с выемкой — электроупругое полупространство». Ис-
следуемое контактное взаимодействие зависит от 16 независимых парамет-
ров (значения сжимающей нагрузки p и давления 0P , двух геометрических
параметров исходной выемки, двух упругих постоянных материала основы
и десяти значений электроупругих постоянных), что входят в систему свя-
занных уравнений статики электроупугости и граничные условия. Предло-
жены два алгоритма решения задачи, приводящие к нахождению точного ее
решения. В виде замкнутых выражений получены основные параметры кон-
тактного взаимодействия тел. Найдены геометрические размеры зазора ме-
жду телами (радиус контакта, высота зазора), значение нагрузки для полно-
го закрытия зазора. Выявлено влияние связанности силовых и
электрических полей на контактное взаимодействие. Как частный случай из
полученных выражений следует решение задачи контактного взаимодейст-
вия упругого трансверсально-изотропного полупространства с упругой изо-
тропной основой, содержащей приповерхностную выемку.
ЛИТЕРАТУРА
1. Chang Ch.-R. Eshelby’s tensor for cubic piezoelectric crystals and its application
to cavity problems / Ch.-R. Chang // Eng. Frac. Mech. — 2016. — 155. —
P. 119–129.
2. Kaloerov S.A. Determination of intensity factors for stresses, induction and field
strength in multi-connected electro-elastic anisotropic media / S.A. Kaloerov //
Int. Appl. Mech. — 2007. — 43, № 6. — P. 77–84.
3. Xu C.H. Electroelastic singularities and intensity factors for an inter-
face crack in piezoelectric–elastic bimaterials / C.H. Xu, Z.H. Zhou, X.S. Xu,
A.Y.T. Leung // Appl. Math. Model. — 2015. — 39, № 9. — P. 2721–2739.
4. Podil'chuk Yu.N. Exact analytical solutions of static electroelastic and thermoelec-
troelastic problems for a transversely isotropic body in curvilinear coordinate
systems / Yu.N. Podil'chuk // Int. Appl. Mech. — 2003. — 39, № 2. — P. 132–170.
5. Кирилюк В.С. О влиянии температурного поля на контактное взаимодействие
нагретого плоского эллиптического штампа с пьезокерамическим полупро-
странством / В.С. Кирилюк // Теоретическая и прикладная механика. —
2009. — Вып. 46. — С. 29–35.
6. Кирилюк В.С. О расклинивании пьезокерамических материалов / В.С. Кири-
люк, О.И. Левчук // Прикладная механика. — 2010. — 46, № 5. — С. 46–57.
7. Монастирський Б.Є. Осесиметрична контактна задача для півпросторів з гео-
метричним збуренням поверхні / Б.Є. Монастирський // Фізико-хімічна
механіка матеріалів. — 1999. — № 6. — С. 22–26.
8. Кіт Г.С. Просторові контактні задачі для пружного півпростору і жорсткої ос-
нови з поверхневими виїмками / Г.С. Кіт, Р.М. Мартиняк // Математичні
методи та фізико-механічні поля. — 1999. — 42, № 6. — С. 7–11.
9. Мартиняк Р.М. Контакт пружних півпросторів за наявності між ними
еліптичного зазору з рідиною / Р.М. Мартиняк, Б.С. Слободян // Фізико-
хімічна механіка матеріалів. — 2009. — № 1. — С. 62–65.
10. Green A.E. Theoretical elasticity / A.E. Green, W. Zerna // Oxford, Clarendonpress,
1968. — 458 p.
11. Хай М.В. Двумерные интегральные уравнения ньютоновского потенциала и их
приложения / М.В. Хай. — К.: Наук. думка, 1993. — 256 с.
Поступила 27.05.2016
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-150939 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T09:18:05Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. 2019-04-19T19:03:04Z 2019-04-19T19:03:04Z 2016 Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства и упругой изотропной основы с приповерхностной выемкой кругового сечения / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 4. — С. 120-132. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1681–6048 DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.4.12 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/150939 539.3 Развита математическая модель контакта при сжатии электроупругого полупространства с упругой изотропной основой, содержащей пологую выемку кругового сечения. Модель базируется на рассмотрении связанной системы уравнений электроупругости. Предложены два алгоритма решения проблемы, основанные на представлении решений уравнений электроупругости. Найдено аналитическое решение задачи, определены геометрические размеры зазора между электроупругим полупространством и деформируемой основой при известных сжимающих усилиях. Для ряда пьезоэлектрических материалов на основе математического моделирования проведены числовые исследования контактного взаимодействия. Изучено влияние связанности силовых и электрических полей на параметры контакта тел. Выявлены характерные механические эффекты. Розвинуто математичну модель контакту у разі стискання електропружного півпростору з пружною ізотропною основою, яка містить пологу виїмку кругового перерізу. Модель ґрунтується на розгляді зв’язаної системи рівнянь електропружності. Запропоновано два алгоритми для розв’язанння проблеми, які ґрунтуются на поданні розв’язку рівнянь електропружності. Знайдено аналітичний розв’язок задачі, визначено геометричні розміри зазору між електропружним півпростором і деформованою основою за відомих стискальних зусиль. Для ряду п’єзоелектричних матеріалів на основі математичного моделювання проведено числові дослідження контактної взаємодії. Вивчено вплив зв’язаності силових і електричних полів на параметри контакту тіл. Виявлено характерні механічні ефекти. The mathematical model for the contact interaction under the compression of an electroelastic half-space with the elastic isotropic base containing a sloping groove of a circular section was developed. The model takes in account the connectedness of the electroelastic equations system. Two algorithms for solving the problem were proposed, which were based on the representation of solutions of the electroelasticity equations. The analytical problem solution was found, geometrical parameters of clearance between the electroelasticity half-space and deformable base under the known compression were obtained. The influence of connectedness of force and electricity fields on contact parameters of bodies was investigated. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства и упругой изотропной основы с приповерхностной выемкой кругового сечения Моделювання контактної взаємодії п’єзоелектричного півпростору і пружної ізотропної основи з приповерхневою виїмкою кругового перерізу Modeling of contact interaction of piezoelectric half-space and elastic isotropic base with surface groove of circular section Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства и упругой изотропной основы с приповерхностной выемкой кругового сечения Кирилюк, В.С. Левчук, О.И. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| title | Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства и упругой изотропной основы с приповерхностной выемкой кругового сечения |
| title_alt | Моделювання контактної взаємодії п’єзоелектричного півпростору і пружної ізотропної основи з приповерхневою виїмкою кругового перерізу Modeling of contact interaction of piezoelectric half-space and elastic isotropic base with surface groove of circular section |
| title_full | Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства и упругой изотропной основы с приповерхностной выемкой кругового сечения |
| title_fullStr | Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства и упругой изотропной основы с приповерхностной выемкой кругового сечения |
| title_full_unstemmed | Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства и упругой изотропной основы с приповерхностной выемкой кругового сечения |
| title_short | Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства и упругой изотропной основы с приповерхностной выемкой кругового сечения |
| title_sort | моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического полупространства и упругой изотропной основы с приповерхностной выемкой кругового сечения |
| topic | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| topic_facet | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/150939 |
| work_keys_str_mv | AT kirilûkvs modelirovaniekontaktnogovzaimodeistviâpʹezoélektričeskogopoluprostranstvaiuprugoiizotropnoiosnovyspripoverhnostnoivyemkoikrugovogosečeniâ AT levčukoi modelirovaniekontaktnogovzaimodeistviâpʹezoélektričeskogopoluprostranstvaiuprugoiizotropnoiosnovyspripoverhnostnoivyemkoikrugovogosečeniâ AT kirilûkvs modelûvannâkontaktnoívzaêmodíípêzoelektričnogopívprostoruípružnoíízotropnoíosnovizpripoverhnevoûviímkoûkrugovogopererízu AT levčukoi modelûvannâkontaktnoívzaêmodíípêzoelektričnogopívprostoruípružnoíízotropnoíosnovizpripoverhnevoûviímkoûkrugovogopererízu AT kirilûkvs modelingofcontactinteractionofpiezoelectrichalfspaceandelasticisotropicbasewithsurfacegrooveofcircularsection AT levčukoi modelingofcontactinteractionofpiezoelectrichalfspaceandelasticisotropicbasewithsurfacegrooveofcircularsection |