Алгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана
В рамках нелинейного обобщённого метода Канторовича предложен новый подход к локализации и анализу особых точек решения нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана: решение нелинейной краевой задачи сводится к решению последовательности нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных...
Saved in:
| Published in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/151067 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Алгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана / В.А. Громов // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2017. — № 1. — С. 97-113. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-151067 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Громов, В.А. 2019-04-23T19:28:27Z 2019-04-23T19:28:27Z 2017 Алгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана / В.А. Громов // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2017. — № 1. — С. 97-113. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1681–6048 DOI: https://doi.org/10.20535/SRIT.2308-8893.2017.1.0.08 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/151067 519.6, 539.3 В рамках нелинейного обобщённого метода Канторовича предложен новый подход к локализации и анализу особых точек решения нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана: решение нелинейной краевой задачи сводится к решению последовательности нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Одномерные краевые задачи решаются с помощью метода сведения нелинейной краевой задачи к эквивалентной задаче Коши, в процессе реализации которого строится матрица Фреше, вырожденность которой является необходимым и достаточным условием существования ветвления. Численное построение уравнений разветвления позволяет построить ветви, исходящие из точки бифуркации. Вычислительный эксперимент позволил установить бифуркационную картину для случая уравнения Кармана с обобщенной правой частью: решение характеризуются существованием ветвей первичного и вторичного ветвлений. У межах нелінійного узагальненого методу Канторовича запропоновано новий підхід до локалізації та аналізу особливих точок розв’язку нелінійної крайової задачі для рівнянь Кармана: розв’язання нелінійної крайової задачі зводиться до розв’язання послідовності нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Одновимірні крайові задачі розв’язуються за допомогою методу зведення нелінійної крайової задачі до еквівалентної задачі Коші, у процесі реалізації якого будується матриця Фреше; її виродженість є необхідною і достатньою умовою існування розгалуження. Числова побудова рівнянь розгалуження дозволяє будувати гілки, що виходять з точки біфуркації. Обчислювальний експеримент дозволив установити біфуркаційну картину для випадку рівнянь Кармана з узагальненою правою частиною: розв’язок характеризується наявністю гілок первинного та вторинного розгалужень. In the frameworks of the generalized Kantorovich method, a novel approach to detect and analyze singular points of a non-linear boundary problem for von Karman equations is proposed: an algorithm suggests that a sequence of single-dimensional boundary problems is constructed in order to solve the two-dimensional boundary problem in question. The aforesaid single-dimensional boundary problems are reduced to the equivalent Cauchy problems. In doing so, one calculates the Frechet matrix, whose degeneracy is necessary and sufficient conditions of branching. The simulation reveals the bifurcation structure for von Karman equations with the constant right term. In that case, the structure includes primary and secondary bifurcation paths. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Алгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана Алгоритм побудови біфуркаційної картини нелінійної крайової задачи для рівнянь Кармана Algorithm to construct bifurcation structure of non-linear boundary problem for von Karman equations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Алгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана |
| spellingShingle |
Алгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана Громов, В.А. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| title_short |
Алгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана |
| title_full |
Алгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана |
| title_fullStr |
Алгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана |
| title_full_unstemmed |
Алгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана |
| title_sort |
алгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для уравнений кармана |
| author |
Громов, В.А. |
| author_facet |
Громов, В.А. |
| topic |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| topic_facet |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Алгоритм побудови біфуркаційної картини нелінійної крайової задачи для рівнянь Кармана Algorithm to construct bifurcation structure of non-linear boundary problem for von Karman equations |
| description |
В рамках нелинейного обобщённого метода Канторовича предложен новый подход к локализации и анализу особых точек решения нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана: решение нелинейной краевой задачи сводится к решению последовательности нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Одномерные краевые задачи решаются с помощью метода сведения нелинейной краевой задачи к эквивалентной задаче Коши, в процессе реализации которого строится матрица Фреше, вырожденность которой является необходимым и достаточным условием существования ветвления. Численное построение уравнений разветвления позволяет построить ветви, исходящие из точки бифуркации. Вычислительный эксперимент позволил установить бифуркационную картину для случая уравнения Кармана с обобщенной правой частью: решение характеризуются существованием ветвей первичного и вторичного ветвлений.
У межах нелінійного узагальненого методу Канторовича запропоновано новий підхід до локалізації та аналізу особливих точок розв’язку нелінійної крайової задачі для рівнянь Кармана: розв’язання нелінійної крайової задачі зводиться до розв’язання послідовності нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Одновимірні крайові задачі розв’язуються за допомогою методу зведення нелінійної крайової задачі до еквівалентної задачі Коші, у процесі реалізації якого будується матриця Фреше; її виродженість є необхідною і достатньою умовою існування розгалуження. Числова побудова рівнянь розгалуження дозволяє будувати гілки, що виходять з точки біфуркації. Обчислювальний експеримент дозволив установити біфуркаційну картину для випадку рівнянь Кармана з узагальненою правою частиною: розв’язок характеризується наявністю гілок первинного та вторинного розгалужень.
In the frameworks of the generalized Kantorovich method, a novel approach to detect and analyze singular points of a non-linear boundary problem for von Karman equations is proposed: an algorithm suggests that a sequence of single-dimensional boundary problems is constructed in order to solve the two-dimensional boundary problem in question. The aforesaid single-dimensional boundary problems are reduced to the equivalent Cauchy problems. In doing so, one calculates the Frechet matrix, whose degeneracy is necessary and sufficient conditions of branching. The simulation reveals the bifurcation structure for von Karman equations with the constant right term. In that case, the structure includes primary and secondary bifurcation paths.
|
| issn |
1681–6048 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/151067 |
| citation_txt |
Алгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана / В.А. Громов // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2017. — № 1. — С. 97-113. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gromovva algoritmpostroeniâbifurkacionnoikartinynelineinoikraevoizadačidlâuravneniikarmana AT gromovva algoritmpobudovibífurkacíinoíkartininelíníinoíkraiovoízadačidlârívnânʹkarmana AT gromovva algorithmtoconstructbifurcationstructureofnonlinearboundaryproblemforvonkarmanequations |
| first_indexed |
2025-11-27T08:41:09Z |
| last_indexed |
2025-11-27T08:41:09Z |
| _version_ |
1850809741969719296 |
| fulltext |
В.А. Громов, 2017
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 97
УДК 519.6, 539.3
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.1.0.08
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ БИФУРКАЦИОННОЙ КАРТИНЫ
НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ КАРМАНА
В.А. ГРОМОВ
Аннотация. В рамках нелинейного обобщённого метода Канторовича пред-
ложен новый подход к локализации и анализу особых точек решения нелиней-
ной краевой задачи для уравнений Кармана: решение нелинейной краевой за-
дачи сводится к решению последовательности нелинейных краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений. Одномерные краевые задачи
решаются с помощью метода сведения нелинейной краевой задачи к эквива-
лентной задаче Коши, в процессе реализации которого строится матрица Фре-
ше, вырожденность которой является необходимым и достаточным условием
существования ветвления. Численное построение уравнений разветвления по-
зволяет построить ветви, исходящие из точки бифуркации. Вычислительный
эксперимент позволил установить бифуркационную картину для случая урав-
нения Кармана с обобщенной правой частью: решение характеризуются суще-
ствованием ветвей первичного и вторичного ветвлений.
Ключевые слова: уравнения Кармана, ветвление решений нелинейных крае-
вых задач для уравнений в частных производных, нелинейный обобщённый
метод Канторовича, первичное ветвление, вторичное ветвление.
ВВЕДЕНИЕ
Существенная нелинейность уравнений Кармана вместе с наблюдаемой
в большом количестве приложений множественностью возможных решений
обуславливает интерес к созданию алгоритма, позволяющего построить би-
фуркационную картину для нелинейной краевой задачи для указанных
уравнений.
Отметим, прежде всего, ряд работ, устанавливающих возможность
ветвления в уравнениях Кармана. В работе Рао [1] рассматриваются уравне-
ния Маргерра–Кармана и даются условия существования нетривиальных
решений этих уравнений. Работа [2] посвящена исследованию бифуркаций,
сохраняющих и нарушающих симметрию, для уравнений Кармана. Здесь
подавляющее количество исследований связано с нахождением бифуркаций
решения, близкого к тривиальному.
В работах М. Губинелли [3] в рамках алгебраического формализма с
использованием восходящего еще к Т. Лионсу понятию грубых путей (rough
paths) [4, 5] вводится понятие разветвляющихся грубых путей (ramifying
rough paths), которое позволяет построить общую схему установления суще-
ствования ветвления. Отметим, также, работу [6], в которой устанавливают-
ся необходимые и достаточные условия неединственности решения для не-
линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
В.А. Громов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 98
Переходя к рассмотрению численных методов построения ветвей ре-
шения, исходящих из точки бифуркации, отметим, что здесь магистральным
направлением является применение той или иной аппроксимации с после-
дующим решением конечномерной нелинейной задачи на собственные зна-
чения в точках неединственности решения: полученные в ходе решения
этой задачи собственные функции используются для получения ветвей
решения, связанных с рассматриваемой точкой неединственности. Так,
в работе [7] данный подход реализован с помощью конечноэлементной ап-
проксимации, в работе [8] — с использованием конечноразностной аппрок-
симации; в работах [9–12] используется разложение неизвестных функций
задачи в ряд Фурье.
Существенным недостатком этого подхода является зависимость ре-
зультатов от порядка аппроксимации вместе со сложностью решения возни-
кающих в рамках этого подхода систем нелинейных алгебраических урав-
нений высокой размерности.
В настоящей работе предлагается подход к получению бифуркацион-
ной картины, основанный на численном построении уравнений разветвле-
ния [13], причем размерность уравнений разветвления определяется исклю-
чительно порядком вырожденности матрицы Фреше в соответствующей
точке бифуркации.
НЕЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ КАРМАНА
Задача формулируется на прямоугольной области min
2
max
11
min
1 ;{ xxxx
2max
22 } Rxx , ограниченной кусочно-постоянным контуром
},{},{ maxmaxmin
2,1
maxminmin
jjjii
i
jjjii xxxxxxxxxx
, 2mod)1( ij .
Система уравнений в частных производных записывается в виде:
2
2
211
4
1 ),( uuuLua k ;
0),(
2
1
1
2
112
4
2 uuuLua k , (1)
где
2
2
2
12
1
2
2
2
x
k
x
kk
;
2
1
2
2
2
2
21
2
21
2
2
2
2
2
1
2
2),(
xxxxxxxx
L
.
Здесь и далее ),( 21 xxX ; )),(,),(()( 212211 xxuxxuXUU — вектор неиз-
вестных функций задачи; — параметр задачи; 1k , 2k , 1a , 2a — некото-
рые константы. Для построения краевой задачи уравнения (1) должны быть
дополнены условиями на границе :
0),( US . (2)
Aлгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 99
Среди особых точек решения данной нелинейной краевой задачи мож-
но выделить точки бифуркации (ветвления), в которых исходная ветвь ре-
шения пересекается с другой ветвью, и предельные точки, для которых
в окрестности соответствующего в особой точке значения параметра нагрузки
* либо не существует ни одного решения, либо существуют два реше-
ния, которые имеют общую касательную при * . Также выделяется ком-
бинированный случай — симметричная точка бифуркации — для которой
одна из ответвляющихся ветвей имеет горизонтальную касательную.
Обобщенное решение рассматриваемой нелинейной краевой задачи
дается парой функций )(),(),,( 02
2
2121 HuWuuuU , удовлетворяю-
щих интегральным тождествам:
211121112
2
21111 ]),,([),( dxdxvvuuQvudxdxvuKa k
;
2121212
2
21222 )],([),( dxdxvuQuvdxdxvuKa k
для пары произвольных функций )(),( 02
2
21 HvWv , где
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
),(
xxxxxx
K
21
2
21
2
2
2
2
2
2
2
)1(2
xxxxxx
;
1221
2
1
2
2
2
2121
2
2
2
1
2
1 ),,(
xxxxxxxxxxxx
Q
,
2121
22
1
2
2
22
2
2
1
2
2 2
1
2
1),(
xxxxxxxx
Q
;
)(0 H — замыкание пространства функций
0,0,)(2
2 n
W
в норме 21),( dxdxK
;
n
— производная по направлению, нормальному
к контуру ; — параметр задачи.
НЕЛИНЕЙНЫЙ ОБОБЩЁННЫЙ МЕТОД КАНТОРОВИЧА (НОМК)
Для отыскания решения нелинейной краевой задачи (1), (2) строится после-
довательность приближений к ее обобщенному решению с помощью пред-
ставления вектора неизвестных функций задачи на итерациях алгоритма
в виде [14]:
ixgxhxxuxxU
j
i
j
i ,})()({}),({),( _____
2,1
2
)(
1
)1(
j21j21 ;
В.А. Громов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 100
)()()( 2
22
)(
11
)1(
1 Wxgxh ii , )()()( 02
)(
21
)1(
2 Hxgxh ii , (3)
Для нечетных итераций функции )( 1
)1( xh i
j
вычислены на предыдущей
1i -й итерации, и уравнения разрешаются относительно функций )( 2
)(
j xg i ;
произвольные функции jv представляются в виде )()( 21
)1( xxhv j
i
jj , где
)( 2xj — произвольные функции переменной 2x . Аналогично для четных
итераций известны функции )( 2
)1( xg i
j
и уравнения разрешаются относи-
тельно )( 1
)(
j xh i с представлением функций jv в виде )()( 2
)1(
1 xgxv i
jjj
,
где )( 1xj — произвольные функции переменной 1x .
Представление (3) позволяет заменить разрешающие соотношения не-
линейной краевой задачи (1), (2) последовательностью систем обыкновен-
ных дифференциальных уравнений вида:
_____
11
1
j 8,1),),(),(( 21 jxaxhf
dx
dh xx
j ; (4)
_____
22
2
8,1),),(),(( 12 jxaxgf
dx
dg xx
j
j . (5)
Здесь и далее для краткости опущен верхний индекс, соответствующий
номеру итерации. Векторы )( 1xh и )( 2xg определяются как
})(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)({)( 12121212111111111 xhxhxhxhxhxhxhxhxh ;
})(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)({))(( 222222222121212122 xgxgxgxgxgxgxgxgxxg .
Компоненты векторов )( 2
1 xax , )( 1
2 xax представляют собой опреде-
ленные интегралы от компонент вектор-функций )( 1xh и )( 2xg соответст-
венно. Каждая из задач (4), (5) должна быть дополнена граничными
условиями на концах промежутков интегрирования, которые следуют из
граничных условий (2), сформулированных на контуре .
Рассматриваемый алгоритм предполагает организацию итерационного
процесса, в рамках которого подсистемы (4), (5) вычисляются отдельно, на
последовательных итерациях, при этом в качестве подынтегральных функ-
ций выбираются приближения, полученные на предыдущей итерации. Тем
самым решение двумерной нелинейной краевой задачи сводится к отыска-
нию решений последовательности нелинейных краевых задач для систем
обыкновенных дифференциальных уравнений: таким образом, определённый
итерационный процесс аналогичен обобщённому методу Канторовича [15].
МЕТОД СВЕДЕНИЯ ОДНОМЕРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
К ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ЗАДАЧЕ КОШИ
Для отыскания решения указанных нелинейных одномерных краевых задач
использовался метод сведения нелинейной краевой задачи к эквивалентной
задаче Коши (метод Ньютона).
Aлгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 101
Для описания указанного метода представим задачи (6),(7) в векторной
форме:
];[,),( baxYF
dx
dY
, (6)
0P , (7)
где })(,...,)({)( 1 xyxyxY N — неизвестная вектор-функция краевой задачи;
}),(,...,),({),( 1 YfYfYF N — вектор-функция правых частей системы
нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений; },{ 21 PPP —
вектор граничных условий, где 1P соответствует граничным условиям,
удовлетворяемым в начале промежутка интегрирования, 2P — в конце;
— параметр.
Для интегрирования задачи Коши, соответствующей системе обыкно-
венных дифференциальных уравнений (6), использовался метод Рунге–
Кутта 4-го порядка, который предполагает задание начального вектора
})(,...,)({)( 0010
0 xyxyxYY N в некоторой точке промежутка интегрирова-
ния ];[0 bax .
Будем полагать, что задача Коши эквивалентна краевой задаче (6), (7),
если решение )(xY задачи Коши, полученное интегрированием, начиная с
начального вектора 0Y , удовлетворяет граничным условиям (7) рассматри-
ваемой краевой задачи.
Поскольку решение )(xY полностью определяется заданным началь-
ным вектором 0Y , невязки граничных условий P могут рассматриваться
как функции указанного начального вектора:
0),()),(( 00 YPYYPP . (8)
Вследствие нелинейности оператора )( 0YY решение )(xY и вектор
граничных условий P являются нелинейными функциями 0Y . Вид опера-
тора ),( 0 YPP неизвестен, но существует алгоритм вычисления значений
вектора P по вектору 0Y и параметру . Данный алгоритм представляет
собой численное интегрирование задачи Коши из точки 0x в точки ax и
bx , в которых удовлетворяются краевые условия. Отметим, что постро-
енное таким образом неявно заданное отображение P является конечно-
мерным, причем его размерность не зависит от способа аппроксимации и
определяется лишь порядком уравнений Кармана.
Задача отыскания начального вектора 0Y для эквивалентной задачи
Коши состоит в разрешении векторного уравнения (8), т. е. системы N не-
явно заданных нелинейных алгебраических уравнений. Для решения данной
задачи использовался метод Ньютона:
),( )(01)(0)1(0 lll YPJYY .
Здесь )(0 lY обозначает l -е приближение к решению; J — матрица Фреше
системы уравнений (8), вычисленная для )(00 lYY :
В.А. Громов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 102
lYYj
k
y
pJ
00
0
.
Поскольку аналитические выражения для функций )( 0YP — невязок
граничных условий — не существуют, то используется приближенное пред-
ставление матрицы Фреше, полученное путем замены частных производных
их конечноразностными аналогами:
0
000
1
0000
1
0
),...,,...,(),...,,...,(
j
NjkNjjk
j
k
y
yyypyyyyp
y
p
.
Получение начального приближения, близкого к решению, обеспечива-
ется применением метода продолжения по параметру. Вычислительный
процесс по этому методу начинается со значений параметра , близких к
нулю, для которых решение )(XY почти линейное и, следовательно, реше-
ние соответствующей линейной краевой задачи может рассматриваться как
хорошее начальное приближение.
Увеличивая значение параметра 0 , 20 ,… и применяя рас-
смотренный выше итерационный процесс при каждом фиксированном зна-
чении параметра, можно шаг за шагом построить ветвь решения, при этом в
качестве начального приближения выбирается результат экстраполяции по
решениям, полученным при предыдущих значениях параметра. Если для
полученного таким образом начального приближения сходимость не дос-
тигнута, то шаг по параметру уменьшается в два раза («дробится»), после
чего итерационный процесс повторяется для нового начального приближе-
ния, также получаемого с использованием формулы экстраполяции. Если,
напротив, сходимость метода достигнута за малое количество итераций, то
шаг движения по параметру может быть удвоен.
Следует отметить, что не только параметр нагружения, но и всякий мо-
нотонно меняющийся компонент решения может использоваться в качестве
параметра продолжения. Критерием смены параметра является достижение
в результате «дробления» величины шага, меньшей некоторого предзадан-
ного значения. В частности, в окрестности предельной точки параметр про-
должения обычно меняется на самый быстроменяющийся компонент поком-
понентного произведения двух начальных векторов 0Y для двух одномерных
нелинейных краевых задач — (4) и (5). При этом бывший параметр продол-
жения включается в переменные задачи и подлежит определению с помо-
щью итерационного процесса.
ЛОКАЛИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК
При реализации метода Ньютона, используемого для решения одномерных
нелинейных задач (4) и (5), вычисляются матрицы Фреше
1xJ и
2xJ соот-
ветственно, вырожденность которых эквивалентна неединственности реше-
ния соответствующих краевых задач [6]:
2,1,0det iJ
ix . (9)
Aлгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 103
Характерный вид зависимости параметр — определитель матрицы
Фреше вдоль ветви решения показан на рис. 1. Точки O и A характеризу-
ются двукратным вырождением, точка B — однократным.
Для определения типа особой точки, локализированной с помощью ус-
ловия (9), рассматривается расширенная матрица Фреше, дополненная
столбцом производных «точечных» граничных условий по параметру про-
должения, J и множество квадратных матриц kJ , полученных из J
путём удаления k -го столбца. Тогда в точке бифуркации (в точке ответвле-
ния нового решения) выполняется условие
____
,1,rankrank NkNJJ k ,
в предельной точке —
____
,1,rank,rank NkNJNJ k .
Указанные условия могут быть записаны в виде, удобном для алгорит-
мической реализации:
– симметричная точка бифуркации — NkJJ k ,1,0detdet ;
– предельная точка — 0det,0det kJJ .
Проверка этих условий не предполагает существенных дополнитель-
ных вычислительных затрат (по сравнению с уже выполненным
)1(2 N -кратным решением задачи Коши, необходимым для построения
матриц Фреше).
Порядок вырожденности матрицы J в особой точке является важной
характеристикой при построении уравнений разветвления и анализе бифур-
кационной картины в целом: указанная величина определяется как разность
между размерами матрицы и ее рангом JNJ rankcorank . Для определе-
ния порядка вырожденности матрицы вычисляются сингулярные значения
Рис. 1. Характерный вид зависимости: параметр — определитель матрицы Фре-
ше вдоль ветви решеня; точки O и A — двукратное вырождение; точка B — од-
нократное
0,3 0,4 0,5 0,6
1,5·108
1,0·108
5,0·107
0
-5,0·107
2
det xJ
λ
O
B
В.А. Громов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 104
рассматриваемой матрицы, т.е. собственные значения произведения матри-
цы J на транспонированную TJ . В рассматриваемой задаче фиксировались
только особые точки с порядком вырожденности 1l или 2l . Характер-
ное поведение двух наименьших сингулярных значений (случай од-
нократной вырожденности) показано на рис. 2.
Формы функций решения, соответствующие ветвям решения, ответв-
ляющиеся в точках бифуркации, могут перестраиваться, либо вдоль одного
из координатных направлений, либо вдоль обоих направлений одновремен-
но. Это отражается в вырождении либо одной из матриц Фреше, либо в вы-
рождении обеих матриц одновременно:
1) 0det
1
xJ , 0det
2
xJ ;
2) 0det
1
xJ , 0det
2
xJ ;
3) 0det
1
xJ , 0det
2
xJ .
ЧИСЛЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РАЗВЕТВЛЕНИЯ
Используемый алгоритм позволяет построить малые решения системы (ре-
шения, принадлежащие малой окрестности точки бифуркации), ответвляю-
щиеся в рассматриваемой особой точке, и тем самым задать для каждой вет-
ви решения, исходящей из соответствующей точки бифуркации решения
нелинейной краевой задачи (6), (7), лежащую на ней точку, которая может
быть использована как стартовая позиция для движения (в рамках метода
продолжения по параметру) вдоль данной ветви. Здесь осуществляется по-
строение уравнений разветвления для одномерных нелинейных краевых за-
дач, формируемых на последней итерации НОМК; при этом сомножитель,
определяющий вид решения в одном направлении, остается неизменным —
таким, каким он был получен на предпоследней итерации алгоритма.
Для отыскания малых решений осуществляется численное построение
уравнений разветвления [13], невязки уравнений разветвления представляю-
тся как неявно заданные функции их аргументов; соответствующие уравне-
ния являются конечномерными, и их размерность равна порядку вырожден-
ности в соответствующей точке бифуркации — один или два.
Рис. 2. Характерное поведение двух наименьших сингулярных значений (случай
однократной вырожденности)
0,92 0,96 1,00 1.04 λ
s1
0,0012
0,0008
0,0004
0
0,92 0,96 1,00 1,04 λ
s1
0,014
0,013
0,012
0,011
Aлгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 105
Для численного построения уравнений разветвления представим неиз-
вестные величины задачи в виде 00 ~YYY ,
~* , где ),( *0 Y — со-
ответственно значение вектора неизвестных величин и значение параметра в
точке бифуркации, а 0~Y , ~ — малы, и запишем невязки уравнений в вариа-
циях в виде:
),()~,~(),~,,~(~ *0*00*00 YPYYPYYP .
Ранг матрицы Фреше r системы (6), (7) в точке бифуркации ),( *0 Y
строго меньше ее порядка Nr ; будем предполагать, что точка бифурка-
ции изолирована, т.е. существует такая ее окрестность, в которой отсутст-
вуют другие особые точки системы. Тогда для малых решений системы ис-
пользуем разложение вида:
0~
~
~
2
1
2
1
2
1
2221
1211 N
N
C
C
Y
Y
JJ
JJ , 0det 11 J ,
____
1 ,1},~{~ rjyY j ,
_________
2 ,1},~{~ NrjyY j ;
____
1 ,1},{ rkcC k ,
_________
2 ,1},{ NrkcC k ;
____
11 ,1,, rjkjJ kj ,
_____________
12 ,1,,1, NrjrkjJ kj ,
_____________
21 ,1,,1, rjNrkjJ kj ,
_________
22 ,1,, NrjkjJ kj ;
матрица
2221
1211
JJ
JJ
J ; 1N , 2N — высшие члены разложения, порядка
)||~||||Y~(||o 0 .
Будем предполагать, что ненулевой минор порядка r матрицы J за-
нимает ее верхний левый угол.
Произведя необходимые алгебраические преобразования [13], предста-
вим уравнения разветвления в виде
0~)()~( 21
1
112121
1
11212 NNJJCCJJYR . (10)
Соотношения (10) представляют собой систему неявно заданных ал-
гебраических уравнений относительно 2
~Y , в котором отсутствуют члены,
линейные по Y~ . В монографии М.М. Вайнберга и В.А. Треногина доказана
теорема, утверждающая, что количество малых решений данной системы
равно количеству малых решений задачи (6), (7), ответвляющихся в иссле-
дуемой точке бифуркации.
В качестве иллюстрации на рис. 3 в координатах
~ —
C
L
xxu
xxu
),(
),(
211
211 2 представлен характерный вид малых решений в
окрестности точки бифуркации. Выбор системы координат обусловливается
В.А. Громов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 106
тем, что, с одной стороны, выбранная система координат не зависит от фак-
тической амплитуды, а с другой — в данных координатах различные малые
решения наиболее четко отличимы друг от друга.
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
РАЗВЕТВЛЕНИЯ
Для обеспечения устойчивости вычислительного процесса предлагается не-
много отступить от точки бифуркации и искать решения на гиперсфере ма-
лого радиуса с центром в этой точке (своеобразный способ регуляризации
вычислительного процесса). При этом параметр, служивший параметром
продолжения при движении вдоль ветви, на которой была зафиксирована
точка бифуркации, вводится в переменные и определяется с использованием
вычислительного процесса [16].
В предположении изолированности рассматриваемой точки бифурка-
ции ответвляющиеся в ней решения уравнений разветвления представляют
собой непрерывные кривые в пространстве 1- rNR . Для формализации поня-
тия малости решения введем в рассмотрение гиперсферу ),),(( *0
1- YG rN
с центром в точке ),( *0 Y и радиусом , и в дальнейшем ограничимся рас-
смотрением уравнений разветвления внутри данной сферы. Представление
ветвей решения в координатах ~ —
C
L
xxu
xxu
),(
),(
211
211 2 позволяет оп-
ределить радиус : целесообразно выбирать порядка 110 от величины
отношения
C
L
xxu
xxu
),(
),(
211
211 2 на ветви, на которой была зафиксиро-
вана исследуемая точка бифуркации.
Рис. 3. Характерное поведение ветвей решения в окрестности точки бифуркации
-0,04 0,02 0,00 0,02 0.04
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
C
L
w
w
||||
||||
2
Aлгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 107
Выбирая радиус указанной сферы достаточно малым, можно добиться
того, что малые решения уравнения разветвления пересекают ее только
один раз, а графики решений, ответвляющихся в других точках бифуркации,
вообще не пересекают. Это приводит к необходимости решения системы
уравнений (10) на гиперсфере ),),(( *0
1r- YGN , определяемой соотноше-
нием
0)~,~()Y~,Y~()Y~( 2200 addR .
Таким образом, задача отыскания решений уравнения разветвления
сводится к отысканию решения неявно заданной системы нелинейных урав-
нений
),()~,~( 22 addRRRYY , (11)
размерность которой мала и определяется порядком вырожденности в соот-
ветствующей точке бифуркации }3,2{1corankdim
),( *0
Y
JR . Блок-
схема алгоритма отыскания решения уравнений разветвления показана на
рис. 4.
Для локализации малых решений, ответвляющиеся в точке бифурка-
ции, многообразие возможных значений векторов )~,~( 22 YY покрывается
сеткой достаточно малого шага, и в каждом узле сетки вычисляется значе-
ние невязок (11). Для уточнения локализованных таким образом решений
использовался тот же нелинейный обобщенный метод Канторовича.
Окончательно алгоритм анализа структуры ветвления нелинейной
краевой задачи может быть описан следующим образом:
1. Исходная двумерная нелинейная краевая задача сводится к последо-
вательности одномерных.
2. Каждая из одномерных краевых задач разрешается путем сведения к
эквивалентной задаче Коши путем нахождения вектора 0Y , обеспечиваю-
щего удовлетворение условия 0)( 0 YS .
3. Для построения ветви решения (и обеспечения хорошего начального
приближения для НОМК) используется продолжение по параметру.
4. В случае фиксации предельной точки ),( *0 Y ( ,0det
ix J
0det , kxi
J 2,1,,1
____
iNk ) происходит смена ведущего параметра.
)(
1
~ kY
)(
)(
2
~
~
k
kY
)(
2
)(
1
k
k
N
N )(kR
)(k
addR
Рис. 4. Блок-схема алгоритма отыскания решений уравнений разветвления
В.А. Громов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 108
5. В случае фиксации точки бифуркации ),( *0 Y (определители
2,1,,1,0detdet
____
, iNkJJ kxx ii
) осуществляется локализация областей
пересечения закритических ветвей, исходящих из данной точки бифуркации
с окружающей ее сферой малого радиуса с помощью покрытия многообра-
зия возможных значений векторов решения сеткой достаточно малого ра-
диуса. Полученные таким образом точки лежат на закритических ветвях и
были использованы как начальные точки для построения этих ветвей с по-
мощью метода продолжения по параметру.
СТРУКТУРА ВЕТВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ
УРАВНЕНИЙ КАРМАНА
Метод построения бифуркационной картины для анализа нелинейной крае-
вой задачи уравнений Кармана (1), описывающей поведение замкнутой ци-
линдрической оболочки, подвергнутой действию равномерного внешнего
давления ( const ). Соответственно область представляет собой замк-
нутый круговой цилиндр }20;40{ 21 xx , ;1,01 a ;12 a
;1501 k 3,0;02 k . В рассматриваемом случае структура решения пря-
мой задачи (рис. 5) включает в себя следующие элементы (здесь ветви опи-
сываются в терминах «норма решения — значение параметра »: исходя-
щие из нуля значений параметра ветвь решения с близкими к нулю нормами
решений, ветви первичного ветвления, которым соответствуют регулярные
в направлении 2x решения, и ветви вторичного ветвления, которым соот-
ветствуют решения, локализированные в направлении 2x . Ветви вторичного
ветвления соединяют между собой ветви первичного ветвления, которым
соответствуют решения с различными номерами главных гармоник разло-
жения функции в ряд Фурье (в направлении 2x ; в направлении 1x номер
главной гармоники равен 1 для всех ветвей первичного ветвления).
Здесь каждый последующий тип ветви характеризуется решениями
с меньшим количеством симметрий (в направлении 2x ) в сравнении с пре-
дыдущим. Так, решения, соответствующие исходящей из нуля ветви, харак-
теризуются бесконечным количеством симметрий, группа симметрий для
решений ветвей первичного ветвления конечна и состоит из поворотов на
угол n
2 (здесь n — номер главной гармоники решения в направлении
2x ), локальные формы характеризуются либо полным отсутствием симмет-
рий, либо (редкие исключения) одной симметрией; в последнем случае на-
блюдаются ветви третичного ветвления, для которых указанная симметрия
утрачивается.
Все зафиксированные на ветвях особые точки имеют однократное вы-
рождение и связаны с вырождением матрицы Фреше для системы, опреде-
ляющей вид решения в направлении 2x .
Значения параметра , при которых на исходящей из нуля ветви фик-
сируются точки бифуркации, образуют спектр первичного ветвления нели-
нейной краевой задачи.
Aлгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 109
Ветвь первичного ветвления характеризуется наличием симметричной
точки бифуркации, в которой она ответвляются от исходящей из нуля ветви
и предельной особой точки (иногда это также симметричная точка бифурка-
ции). На нисходящем участке ветви фиксируется по две точки бифуркации,
на восходящем – в зависимости от ветви – либо фиксируется одна точка би-
фуркации, либо не фиксируется ни одной.
Структура ветвей вторичного ветвления, ответвляющихся от различных
ветвей первичного ветвления, одинакова, что позволяет в дальнейшем огра-
ничиться исследованием лишь нескольких ветвей первичного и вторичного
ветвлений.
Структура ветви вторичного ветвления характеризуется некоторым ко-
личеством участков роста и падения значений параметра, соответствующих
этапам перестройки от решения одной ветви первичного ветвления к реше-
нию другой ветви первичного ветвления; указанным участкам соответству-
ют локализованные решения с различным количеством и расположением
минимумов и максимумов функции решения (рис. 6, 7).
Рис. 5. Характерный вид ветвей первичного и вторичного ветвлений в координатах
C
L
u
u
1
1 2 : — ветвь minmax 45 )( HGFEDA и ветвь maxmax 45
)( MLKA
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
C
L
w
w
||||
||||
2
0
Рис. 6. Последовательность поперечных сечений функций решения, соответ-
ствующих движению вдоль ветви вторичного ветвления minmax 45 (ветвь
HGFEDA на рис. 5)
В.А. Громов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 110
Обычно ветвь первичного ветвления с решениями, характеризуемыми
номером главной гармоники решения в направлении 2x , равным n , соеди-
няется через ветви вторичного ветвления с ветвями первичного ветвления,
которым соответствуют решения, номер главной гармоники которых мень-
ше n и составляет 1 nn , 2 nn .
Алгоритм позволил построить ветви вторичного ветвления, область
существования которых по параметру расположена левее, чем значение
параметра в первой точке спектра первичного ветвления. Например, для
5p
x2
n (номер главной гармоники для ветви первичного ветвления) такими
являются ветви minmax 56 , minmin 56 , minmin 46 , maxmax 35 ,
minmax 35 , maxmax 45 , minmax 45 , axmax 34 m (здесь числа означают
номер главной гармоники, а индексы указывают на то, что максимум или
минимум наблюдается в нуле координат для решения, соответствующего
ветви первичного ветвления).
Таким образом, описанная выше структура решения прямой задачи
теории бифуркаций проиллюстрирована на рис. 5–11.
Рис. 7. Последовательность поперечных сечений функций решения, соответст-
вующих движению вдоль ветви вторичного ветвления maxmax 45 (ветвь
MLKA на рис. 5)
Рис. 8. Ветвь вторичного ветвления maxmax 35
0,5 0,6 0,7 0,8
1,05
0,95
0,85
0,75
0,65
C
L
w
w
||||
||||
2
B
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
Q
λ
Aлгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 111
Ветвь первичного ветвления, связанная с первой точка спектра, и от-
ветвляющиеся от нее в первой точке бифуркации ветви вторичного ветвле-
ния ( maxmax 45 и minmax 45 ) в координатах —
C
L
u
u
1
1 2 , изобра-
жены на рис. 5. Последовательность сечений функций решения вида
const2
)( min
1
max
1
1 xxx , фиксируемых на ветвях вторичного ветвления,
показана на рис. 6 и 7. Вследствие симметрии функций решения на рис. 5–11
приведены лишь значения сечения на промежутке ];0[ .
Здесь ветви вторичного ветвления HFGEDA и
MLKA соединяют между собой ветвь первичного ветвления, кото-
рой соответствует решение с номером гармоники 5n , с ветвями первич-
ного ветвления, которым соответствуют формы деформации оболочки с но-
мером гармоники 4n .
На первой из этих ветвей ( HFGEDA ) фиксируются точка
бифуркации A , симметричная точка бифуркации H и четыре предельные
точки ( D , E , G , F ).
Участку DA соответствует форма решения с одним минимумом,
участкам ED и GE — переход к решению с тремя минимумами, уча-
Рис. 9. Последовательность поперечных сечений функций решения, соответствую-
щих движению вдоль ветви maxmax 35 ( QB ... , рис. 8)
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
C
L
w
w
||||
||||
2
B
B11
B12
B13
B14
B15
B16
B17
R
λ
Рис. 10. Ветвь вторичного ветвления maxmax 35
В.А. Громов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 112
сткам FG и HF — перестройка к решению другой ветви первичного
ветвления.
На второй ветви ( MLKA ) фиксируются точка бифуркации A ,
симметричная точка бифуркации M и две предельные точки (точки K , L ).
На ветви перестройка к решению другой ветви первичного ветвления осу-
ществляется в два этапа: на участках KA и LK происходит формиро-
вание и развитие формы с двумя минимумами, а на участке ML — пере-
стройка к форме другой ветви первичного ветвления.
Серия рис. 8, 9 и 10, 11 описывает характерную структуру ветвей вто-
ричного ветвления, связанного со второй точкой бифуркации, фиксируемой
на первой ветви первичного ветвления.
ВЫВОДЫ
1. Применение нелинейного обобщенного метода Канторовича в соче-
тании с методом продолжения по параметру позволяет строить ветви реше-
ния нелинейной краевой задачи для уравнений Кармана; метод сведения
нелинейных одномерных нелинейных краевых задач к эквивалентным зада-
чам Коши, составляющий неотъемлемую часть НОМК, позволяет локализо-
вать и провести анализ особых точек решения.
2. Численное построение уравнений разветвления позволяет построить
ветви, исходящие из точки бифуркации; прием смены параметра продолже-
ния – преодолеть предельные особые точки.
3. При постоянной правой части const уравнения Кармана характе-
ризуются существованием ветвей первичного и вторичного ветвлений; осо-
бые точки имеют порядок вырожденности, равный 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Rao B. Marguerre-von Karman equations and membrane model / B. Rao // Nonlinear
Analysis, Theory, Methods & Applications. — 1995. — Vol. 24, N 8. —
P. 11311140.
2. Vanderbauwhede A. Generic and Nongeneric Bifurcations for the von Karman Equa-
tions / A. Vanderbauwhede // J. of Mathematical Analysis and Applications. —
1977. — Vol. 66. — P. 550573.
3. Gubinelli M. Ramification of rough paths / M. Gubinelli // J. Differential Equations.
— 2010. — N 248. — P. 693721.
4. Feyel D. Curvilinear integrals along enriched paths / D. Feyel, A. de La Pradelle //
Electron. J. Probab. 11. — 2006. — P. 860–892.
Рис. 11. Последовательность поперечных сечений функций решения, соответ-
ствующих движению вдоль ветви minmax 35 ( RB ... , рис. 10)
Aлгоритм построения бифуркационной картины нелинейной краевой задачи для …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 113
5. Lyons T. System Control and Rough Paths / T. Lyons, Z. Qian. — Oxford: Oxford
University Press, 2002. — 300 p.
6. Keller J.B. Bifurcation Theory and Nonlinear Eigenvalue Problems / J.B. Keller,
S. Antman (Eds). — N.-Y.: Benjamin WA inc, 1969. — 250 p.
7. Fujii F. Static path jumping to attain postbuckling equilibria of a compressed
circular cylinder / F. Fujii, H. Noguchi, E. Ramm // Comp. Mech. — 2000. —
№ 26. — P. 259266.
8. Гуляев В.И. Устойчивость нелинейных механических систем / В.И. Гуляев,
В.А. Баженов, Е.А. Гоцуляк. — Львов: Львов. гос. ун-т, 1982. — 255 с.
9. Григолюк Э.И. Неосесимметричное закритическое поведение пологих сфериче-
ских куполов / Э.И. Григолюк, Е.А. Лопаницын // Прикладная математика и
механика. — 2003. — Т. 67, № 6. — С. 921932.
10. Григолюк Э.И. О методе непрерывного продолжения по параметру / Э.И. Гри-
голюк, Е.А. Лопаницын // Докл. РАН. — 1994. — Т. 335, № 5. —
С. 582585.
11. Григолюк Э.И. Продолжения решения нелинейных уравнений в окрестности
точек бифуркации / Э.И. Григолюк, Е.А. Лопаницын // Математичні методи
та фізико-механічні поля. — 1998. — Т. 41, № 1. — С. 3546.
12. Лопаницын Е.А. Модификация метода непрерывного продолжения для отыска-
ния бифуркационных решений стационарных самосопряженных краевых
задач / Е.А. Лопаницын, А.Б. Фролов // ПММ. — 2012. — Т. 76, № 6. —
С. 9931002.
13. Вайнберг М.М. Теория ветвления нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг,
В.А. Треногин. — М.: Наука, 1969. — 528 с.
14. Obodan N.I. Nonlinear behavior and stability of thin-walled shells / N.I. Obodan,
O.G. Lebedeyev, V.A. Gromov // Springer. — 2013. — 180 p.
15. Kantorovich L.V. Approximate Methods of Higher Analysis / L.V. Kantorovich,
V.I. Krylov. — N.-Y.: Interscience, 1958. — 682 p.
16. Пешков И.М. Ветвление решений математических моделей гипотетических
генных сетей / И. М. Пешков // Вестник НГУ. Сер. Математика, механика,
информатика. — 2007. — Т. 7, № 3. — С. 5972.
Поступила 19.07.2016
|