Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной стоимости в условиях нечетких данных
При использовании доходного метода оценки стоимости бизнеса ряд показателей объемов ожидаемых денежных потоков, значений коэффициентов дисконтирования, а также величины "дисконтируемого дохода" в каждый год эксплуатации и за весь прогнозируемый период, в течение которого инвестор предполаг...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/151176 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной стоимости в условиях нечетких данных / Ю.А. Зак // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2017. — № 3. — С. 43-56 10. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-151176 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Зак, Ю.А. 2019-04-25T19:32:56Z 2019-04-25T19:32:56Z 2017 Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной стоимости в условиях нечетких данных / Ю.А. Зак // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2017. — № 3. — С. 43-56 10. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1681–6048 DOI: https://doi.org/10.20535/SRIT.2308-8893.2017.3.05 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/151176 336.646/648, 330.4 При использовании доходного метода оценки стоимости бизнеса ряд показателей объемов ожидаемых денежных потоков, значений коэффициентов дисконтирования, а также величины "дисконтируемого дохода" в каждый год эксплуатации и за весь прогнозируемый период, в течение которого инвестор предполагает владеть бизнесом, и остаточной стоимости активов представлены нечеткими множествами с функциями принадлежности прямоугольного, треугольного и трапециевидного типа. На основе методов fuzzy-арифметики и аппарата дискретных fuzzy-марковских цепей рассчитаны результирующие нечеткие множества, определяющие оценки стоимости бизнеса с позиций как конкретного инвестора, так и владельца бизнесом. В отличие от известных подходов введенные в работе диапазоны прогнозируемых обеими сторонами значений возможных рыночных стоимостей бизнеса обеспечивают допустимую каждой из сторон степень риска возможных потерь прибыли, решение вопросов целесообразности дальнейших переговоров и определение граничных значений стоимости для каждой из сторон. Під час використання прибуткового методу оцінювання вартості бізнесу ряд показників обсягів очікуваних грошових потоків, величин коефіцієнтів дисконтування, а також величини "дисконтованого доходу" в кожен рік експлуатації і за весь прогнозований період, протягом якого інвестор передбачає володіти бізнесом, і залишкової вартості активів подані нечіткими множинами з функціями належності прямокутного, трикутного і трапецієподібного типу. На основі методів fuzzy-арифметики і апарату дискретних fuzzy-марківських ланцюгів розраховані результуючі нечіткі множини, що визначають оцінки вартості бізнесу з позицій як конкретного інвестора, так і володаря бізнесом. На відміну від відомих підходів уведені в роботі діапазони прогнозованих обома сторонами значень можливих ринкових вартостей бізнесу забезпечують допустимий кожною зі сторін ступінь ризику можливих втрат прибутку, вирішення питань доцільності подальших переговорів і визначення граничних значень вартості для кожної зі сторін. When using a profitable method for estimating the value of a business, a number of indicators of the volumes of expected cash flows, the values of the discount coefficients, as well as the amount of "discounted income" in each year of operation and for the entire forecasted period during which the investor expects to own the business and the residual value of assets are fuzzy sets with Functions belonging to a rectangular, triangular and trapezoidal type. Based on the methods of fuzzy arithmetic and the apparatus of discrete Fuzzy-Markov chains, the resulting fuzzy sets are calculated, which determine the valuation of the business from the standpoint of a specific investor and from the point of view of the owner by the business. Unlike the known approaches, the ranges of possible market values of business predicted by both parties ensure the acceptable by each side risk of possible loss of profit, solve the questions of expediency of further negotiations and determine the boundaries for values for each of the parties. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной стоимости в условиях нечетких данных Оцінка компанії на основі дисконтованих фінансових потоків і її залишкової вартості в умовах нечітких даних Company valuation based on discounted financial flows and its residual value under fuzzy data Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной стоимости в условиях нечетких данных |
| spellingShingle |
Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной стоимости в условиях нечетких данных Зак, Ю.А. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| title_short |
Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной стоимости в условиях нечетких данных |
| title_full |
Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной стоимости в условиях нечетких данных |
| title_fullStr |
Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной стоимости в условиях нечетких данных |
| title_full_unstemmed |
Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной стоимости в условиях нечетких данных |
| title_sort |
оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной стоимости в условиях нечетких данных |
| author |
Зак, Ю.А. |
| author_facet |
Зак, Ю.А. |
| topic |
Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| topic_facet |
Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Оцінка компанії на основі дисконтованих фінансових потоків і її залишкової вартості в умовах нечітких даних Company valuation based on discounted financial flows and its residual value under fuzzy data |
| description |
При использовании доходного метода оценки стоимости бизнеса ряд показателей объемов ожидаемых денежных потоков, значений коэффициентов дисконтирования, а также величины "дисконтируемого дохода" в каждый год эксплуатации и за весь прогнозируемый период, в течение которого инвестор предполагает владеть бизнесом, и остаточной стоимости активов представлены нечеткими множествами с функциями принадлежности прямоугольного, треугольного и трапециевидного типа. На основе методов fuzzy-арифметики и аппарата дискретных fuzzy-марковских цепей рассчитаны результирующие нечеткие множества, определяющие оценки стоимости бизнеса с позиций как конкретного инвестора, так и владельца бизнесом. В отличие от известных подходов введенные в работе диапазоны прогнозируемых обеими сторонами значений возможных рыночных стоимостей бизнеса обеспечивают допустимую каждой из сторон степень риска возможных потерь прибыли, решение вопросов целесообразности дальнейших переговоров и определение граничных значений стоимости для каждой из сторон.
Під час використання прибуткового методу оцінювання вартості бізнесу ряд показників обсягів очікуваних грошових потоків, величин коефіцієнтів дисконтування, а також величини "дисконтованого доходу" в кожен рік експлуатації і за весь прогнозований період, протягом якого інвестор передбачає володіти бізнесом, і залишкової вартості активів подані нечіткими множинами з функціями належності прямокутного, трикутного і трапецієподібного типу. На основі методів fuzzy-арифметики і апарату дискретних fuzzy-марківських ланцюгів розраховані результуючі нечіткі множини, що визначають оцінки вартості бізнесу з позицій як конкретного інвестора, так і володаря бізнесом. На відміну від відомих підходів уведені в роботі діапазони прогнозованих обома сторонами значень можливих ринкових вартостей бізнесу забезпечують допустимий кожною зі сторін ступінь ризику можливих втрат прибутку, вирішення питань доцільності подальших переговорів і визначення граничних значень вартості для кожної зі сторін.
When using a profitable method for estimating the value of a business, a number of indicators of the volumes of expected cash flows, the values of the discount coefficients, as well as the amount of "discounted income" in each year of operation and for the entire forecasted period during which the investor expects to own the business and the residual value of assets are fuzzy sets with Functions belonging to a rectangular, triangular and trapezoidal type. Based on the methods of fuzzy arithmetic and the apparatus of discrete Fuzzy-Markov chains, the resulting fuzzy sets are calculated, which determine the valuation of the business from the standpoint of a specific investor and from the point of view of the owner by the business. Unlike the known approaches, the ranges of possible market values of business predicted by both parties ensure the acceptable by each side risk of possible loss of profit, solve the questions of expediency of further negotiations and determine the boundaries for values for each of the parties.
|
| issn |
1681–6048 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/151176 |
| citation_txt |
Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной стоимости в условиях нечетких данных / Ю.А. Зак // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2017. — № 3. — С. 43-56 10. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zakûa ocenkakompaniinaosnovediskontirovannyhfinansovyhpotokovieeostatočnoistoimostivusloviâhnečetkihdannyh AT zakûa ocínkakompaníínaosnovídiskontovanihfínansovihpotokívííízališkovoívartostívumovahnečítkihdanih AT zakûa companyvaluationbasedondiscountedfinancialflowsanditsresidualvalueunderfuzzydata |
| first_indexed |
2025-11-25T23:28:44Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:28:44Z |
| _version_ |
1850581497899122688 |
| fulltext |
Ю.А. Зак, 2017
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 3 43
TIДC
ПРОБЛЕМИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
І УПРАВЛІННЯ В ЕКОНОМІЧНИХ, ТЕХНІЧНИХ,
ЕКОЛОГІЧНИХ І СОЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
УДК 336.646/648, 330.4
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.3.05
ОЦЕНКА КОМПАНИИ НА ОСНОВЕ ДИСКОНТИРОВАННЫХ
ФИНАНСОВЫХ ПОТОКОВ И ЕЕ ОСТАТОЧНОЙ
СТОИМОСТИ В УСЛОВИЯХ НЕЧЕТКИХ ДАННЫХ
Ю.А. ЗАК
Аннотация. При использовании доходного метода оценки стоимости бизнеса
ряд показателей объемов ожидаемых денежных потоков, значений коэффици-
ентов дисконтирования, а также величины «дисконтируемого дохода» в каж-
дый год эксплуатации и за весь прогнозируемый период, в течение которого
инвестор предполагает владеть бизнесом, и остаточной стоимости активов
представлены нечеткими множествами с функциями принадлежности прямо-
угольного, треугольного и трапециевидного типа. На основе методов fuzzy-
арифметики и аппарата дискретных fuzzy-марковских цепей рассчитаны ре-
зультирующие нечеткие множества, определяющие оценки стоимости бизнеса
с позиций как конкретного инвестора, так и владельца бизнесом. В отличие от
известных подходов введенные в работе диапазоны прогнозируемых обеими
сторонами значений возможных рыночных стоимостей бизнеса обеспечивают
допустимую каждой из сторон степень риска возможных потерь прибыли, ре-
шение вопросов целесообразности дальнейших переговоров и определение
граничных значений стоимости для каждой из сторон.
Ключевые слова: стоимость покупки бизнеса, дисконтируемые денежные по-
токи, остаточные активы предприятия, fuzzy-арифметика, дискретные fuzzy-
марковские цепи, эффективные диапазоны прогнозируемых объемов стоимости.
ВВЕДЕНИЕ
Широкое распространение среди методов оценки стоимости предприятия
получил доходный метод на основе анализа дисконтированных денежных
потоков в течение всего предполагаемого инвестором периода владения
компанией и оценки стоимости ее остаточных активов в постпрогнозный
период [1–7]. Доходный подход, который считается наиболее приемлемым
с точки зрения инвестиционных мотивов, — это совокупность методов
оценки стоимости объекта, основанных на определении текущей стоимости
объекта имущества как совокупности ожидаемых доходов от его использо-
вания. При этом оцениваются будущие доходы от эксплуатации объекта на
протяжении срока предполагаемого его использования. Дисконтирование —
это удешевление будущих денег при приведении их к деньгам текущего пе-
риода. Этот метод предполагает оценку тех экономических выгод, которые
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 3 44
получает собственник от владения предприятием. В процессе такой оценки
используется вся доступная на рынке информация без учета каких-либо бла-
гоприятных и неблагоприятных форс-мажорных и чрезвычайных обстоя-
тельств.
Каждый инвестор имеет собственные планы развития и функциониро-
вания компании в планируемые им годы владения ею. Они связаны с его
(или их) инвестиционными планами, планами расширения или реорганиза-
ции профиля ее работы, изменениями объемов производства, развитием ры-
нка продаж, расширением коммерческих связей, изменением структуры ос-
новных фондов, модернизацией структуры менеджмента, изменением
объемов интеллектуальной собственности и повышением имиджа на внут-
реннем и внешнем рынках. Поэтому стоимость предприятия для каждого
инвестора является величиной субъективной. И в этих условиях прогнози-
руемые каждым инвестором денежные потоки связаны с существенной не-
определенностью или размытостью полученных расчетами различных экс-
пертов результатов. Это зависит от ряда факторов: изменения политической
и экономической ситуации в стране и в мире, темпов инфляции, которые
являются трудно предсказуемыми, уровнем изменения платежеспособности
покупателей, коньюнктуры рынка, курсов национальных валют и т.п.
Количественная оценка всех выявленных рисков определяет величину
возможных потерь в стоимостном измерении. Изменения упомянутых выше
внешних факторов могут оказывать и положительное влияние на величины
дисконтируемых денежных потоков и способствовать увеличению ожидае-
мых доходов в течение рассматриваемого периода владения бизнесом. Это
происходит за счет снижения затрат на сырье, материалы, энергоресурсы,
расширения рынка продаж и рабочей силы и т.п. В процессе расчета инвес-
тор, руководствуясь планами развития и ведения бизнеса, беря во внимание
мнения ряда экспертов, рассматривает возможные сценарии развития собы-
тий, определяет предполагаемые объемы ожидаемых денежных потоков и
значения коэффициентов дисконтирования. На основе этих данных устанав-
ливается либо наиболее вероятное, минимальное и максимальное значения
ожидаемого объема «дисконтируемого дохода» за весь прогнозируемый пе-
риод, в течение которого инвестор будет владеть компанией, либо некото-
рый диапазон возможных значений каждого из этих показателей. Кроме
того, определяется расчетный диапазон суммарной стоимости всех остаточных
активов в постпрогнозный период, определяемых стоимостью основных
фондов, оборудования, применяемых технологий, реорганизацией рынка
продаж, расширением коммерческих связей, модернизацией структуры ме-
неджмента, интеллектуальной собственности и повышением имиджа на
внутреннем и внешнем рынках. Расчетный диапазон суммарных значений
всех этих величин и является для инвестора основанием для оценки степени
риска, связанного с покупкой бизнеса, что может служить основанием для
переговоров с его настоящим владельцем.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ БИЗНЕСА С ПОЗИЦИЙ
ИНВЕСТОРА
На основе личных инвестиционных планов и представлений о функциони-
ровании предприятия в течение прогнозируемого периода инвестором осу-
ществляется оценка ожидаемых доходов или годового оборотного капитала
Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 3 45
компании, которые он может получить, владея этой компанией в течение
прогнозируемых им лет. Оценка этих финансовых показателей производит-
ся с учетом фактора изменения стоимости денег во времени на основе выбо-
ра и применения нормы дисконтирования при определении денежных пото-
ков или дохода за каждый планируемый инвестором используемый год.
Кроме того, определяется текущая в каждом году стоимость всех будущих
поступлений, а также рассчитывается величина ожидаемой стоимости всех
активов этой компании в постпрогнозный период. Результатом выполнен-
ных расчетов является суммарная стоимость будущих денежных потоков и
остаточная стоимость активов компании в постпрогнозный период за выче-
том всех обязательств. Этот итоговый результат принимается за стоимость
компании.
В рассматриваемых в литературе подходах прогнозируемые объемы
денежных потоков и значения коэффициентов дисконтирования для каждо-
го года прогнозируемого периода рассчитываются по известным методикам
и являются одинаковыми для всех инвесторов с различными возможностями
инвестирования и планами развития и реорганизации бизнеса.
В литературе [1–7] приведены различные формулы и методики расче-
тов свободных денежных потоков для каждого года прогнозируемого пе-
риода. Наиболее часто используются формулы
borrwingNetInvestmentWCRDATEBITFCFF )1( , (1)
где FCFF — объем свободных денежных потоков; EBIT — прибыль до вы-
чета процентов и налога на прибыль; T — ставка налога на прибыль; DA —
расходы, связанные с амортизацией; ∆WCR — изменения в требуемом рабо-
чем капитале; Investments — объем инвестиций; Net borrowing — разница
между полученными и погашенными кредитами/займами;
n
n
R
FCFF
R
FCFF
R
FCFF
R
FCFF
valueEquity
)1(
)(
...
)1(
)(
)1(
)(
)1(
)(
3
321
21
. (2)
В формуле (2) приведена модель оценки компании.
На практике используют прогнозы на 5 или 10 лет. Предлагается также
следующая двухстадийная модель оценки стоимости компании, которая со-
держит промежуточные денежные потоки и терминальную (остаточную)
стоимость перечисленных выше ее активов:
Q
R
FCFF
valueEquity
T
t
t
t
1 )1(
)( . (3)
В формулах (2), (3) valueEquity — оценка стоимости компании;
tFCFF)( — объем свободных денежных потоков в t-й год прогнозируемого
периода; tR)1( — коэффициент, учитывающий дисконтирование денеж-
ных средств в t-й год прогнозируемого периода; G — суммарная стоимость
остаточных активов в постпрогнозный период; T — предполагаемое коли-
чество лет владения бизнесом.
Рассматриваемые диапазоны «дисконтируемого дохода» как за каждый
год, так и за весь период владения бизнесом с учетом предполагаемых инве-
стиций и изменений структуры, технологии объемов производства, как и
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 3 46
суммы всех остаточных активов в постпрогнозный период с минимальными
и максимальными их граничными значениями, не могут быть прогнозиро-
ваны точно, а представлены экспертным советом инвестора — либо некото-
рой функцией распределения, либо fuzzy-множеством с функцией принад-
лежности прямоугольного, треугольного или трапециевидного вида. Такие
нечеткие множества охватывают не только три, как наиболее часто в на-
стоящее время предусматриваемые в расчетах, но и каждое из возможного
диапазона значений, включая наиболее вероятное, пессимистическое и оп-
тимистическое значения прогнозируемых величин. Математическая модель
рассматриваемой задачи в случае, когда величины «дисконтируемого дохо-
да» в каждый год эксплуатации и за весь прогнозируемый период, в течение
которого инвестор предполагает владеть бизнесом, представлены некото-
рым распределением вероятностей, рассмотрена в работе автора [10].
В случае представления дисконтируемых денежных потоков нечеткими
множествами оценка стоимости бизнеса осуществляется методами fuzzy-
арифметики [8, 9], а также некоторым fuzzy-множеством, функция принад-
лежности которого более объективно отразит реальность получения опреде-
ленных финансовых показателей.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ
Для простоты изложения введем обозначения: tF — некоторое нечеткое
множество значений дисконтируемых денежных потоков
t
t
R
FCFF
)1(
)(
, опреде-
ленное в t -й год анализа прогнозируемых инвестором денежных потоков;
E — нечеткое множество значений суммарной стоимости остаточных акти-
вов в постпрогнозный период.
Отметим, что если значения FCFF и )1( R представлены в виде не-
четких функций, которые обозначим соответственно A и B , то функция
принадлежности нечеткого множества tFtF )( может быть вычислена в
соответствии с выражением
))(),((minsup)(
:
yxz BAyxz
F
.
Так, например, если функции принадлежности нечетких множеств тре-
угольного вида, то
1)(BA
B
A
F
0&,0;;
2
2
1221
2
1
2
2
1221 BAif
m
bmmm
m
m
m
ambm
.
Здесь ),,( 111 bma и ),,( 222 bma — соответственно параметры нечетких мно-
жеств треугольного вида A и B .
Рассматриваются три вида функций принадлежности нечетких мно-
жеств, представляющих диапазон возможных значений дисконтированных
денежных потоков и стоимостей остаточных активов (рис. 1). Пусть
Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 3 47
];[ bax — диапазон возможных значений рассматриваемой расчетной ве-
личины.
Рассматриваются случаи, когда нечеткие множества приведенных ве-
личин одного из трех видов. Здесь, как правило, )(Aa , )(Ab — соответст-
венно пессимистическое и оптимистическое, а )(Am или )()( 21 AmAm —
наиболее вероятные по мнению экспертов значения прогнозируемой вели-
чины.
В соответствии с правилами fuzzy-арифметики [8, 9] операция сложе-
ния двух функций дает следующие результаты:
результат сложения fuzzy-множеств прямоугольного вида )(xA
)](),([ AbAa и )](),([)( BbBaxB — fuzzy-множество с функцией при-
надлежности прямоугольного вида
)]()(),()([)](),([)( BbAbBaAaCbCaxC ;
результат сложения fuzzy-множеств треугольного вида )(xA
)](),(),([ AbAmAa и )](),(),([)( BbBmBaxB — fuzzy-множество
с функцией принадлежности треугольного вида
)]()(),()(),()([)](),(),([)( BbAbBmAmBaAaCbCmCaxC ;
результат сложения двух функций принадлежности трапециевидного
вида )](),(),(),([)( 21 AbAmAmAaxA и )](),(),(),([)( 21 BbBmBmBaxB
— fuzzy-множество с функцией принадлежности трапециевидного вида
)](),(),(),([)( 21 CbCmCmCaxC
.)]()()(,)(),()(),()([ 2211 BbAbBmAmBmAmBaAa
Fuzzy-множества суммы n нечетких множеств iA , ni ,...,1 , с функ-
циями принадлежности равномерного, треугольного и трапециевидного ви-
дов определяются соответственно по формулам:
n
i
i
n
i
iC AbAaCbCax
11
)(,)()](),([)( ; (4)
Рис. 1. Функции принадлежности нечетких множеств видов; а — прямоугольного;
б — треугольного; в — трапециевидного
a b
x
1.0
y
a b
x
1.0
y
m a b
x
1.0
y
m1 m2
а б в
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 3 48
n
i
i
n
i
i
n
i
iC AbAmAaCbCmCax
111
)(,)(,)()](),(),([)( , (5)
)](),(),(),([)( 21 CbCmCmCaxC
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i AbAmAmAa
11
2
1
1
1
)(,)(,)(,)( . (6)
Для функций принадлежности общего вида
))((minsup)(
1
|
iA
xyi
C xy
in
i
i
.
Функция принадлежности нечеткого множества, являющегося частным
от деления двух нечетких множеств с функциями принадлежности произ-
вольного вида, где ,0)( Aa ,0)( Ab ,0)( Ba ,0)( Bb определяется вы-
ражением
)])(),([)],(),([|)(),((minsup)( BbBayAbAaxyxz BA
y
x
z
C
.
ОЦЕНКА СТОИМОСТИ БИЗНЕСА С ПОЗИЦИЙ ВЛАДЕЛЬЦА. АНАЛИЗ
СОСТОЯНИЯ ДИСКОНТИРОВАННЫХ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ
НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ ДИСКРЕТНЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
Если продажа бизнеса предполагается в течение текущего года, то владелец
предприятия не в состоянии точно оценить величину дисконтируемых де-
нежных потоков к концу этого года и может представить ее в виде некото-
рого нечеткого множества определенного вида. Изменение величины
дисконтируемых денежных потоков в последующие годы еще труднее
предсказать в виде детерминированных значений. В качестве одной из аль-
тернатив представляется возможным представить нечеткие множества, оп-
ределяющие эти значения в каждый год анализируемого периода, опреде-
лить с помощью некоторого распределения вероятностей, т.е. оценить
вероятности каждой из нескольких альтернатив пессимистических, ожидае-
мых (или наиболее вероятных) и оптимистических их значений, которые
соответственно обозначим: )(pes tFn , )]([ pes tFP n ; )(ver tFn , )]([ ver tFP n ; )(opt tFn ,
)]([ opt tFP n ; Nn ,...,1 , Tt ,...,1,0 . Здесь N — количество состояний каждого
из рассматриваемых значений; T — количество анализируемых периодов.
В этих условиях целесообразно динамику изменения величин )(pes tF j ,
)(ver tF j , )(opt tF j , которые в дальнейшем для простоты изложения будем
представлять переменной tF , а переменные )(pes tFn , )(ver tFn и )(opt tFn — пе-
ременной t
nF (где )][(
1
t
n
N
n
t
n
t FPFF
), описать некоторой дискретной цепью
Маркова, в которой значения вероятностей перехода для каждого года опре-
деляется владельцем бизнеса в зависимости от предлагаемых им условий
Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 3 49
изменения экономической ситуации, возможных объемов инвестиций, раз-
вития технологий и т.д. Такая цепь Маркова может быть нестационарной,
т.е. распределения вероятностей для каждого анализируемого года могут
быть различными.
Рассмотрим марковский процесс оценки стоимости компании и приня-
тия решений в условиях, когда состояния дисконтированных потоков пред-
ставлены с нечеткими множествами. Величина дисконтированных потоков
tF в каждый прогнозируемый t -й год владения компанией Tt ,...,1 , нахо-
дится в одном из N состояний, Nn ,...,1 , )(tFn . При этом заданы вероят-
ности 1)(0 tFP n того, что в t -й год анализа величина tF равна )(tFn .
При этом справедливо 1)(
1
N
n
n tFP , Tt ,...,1 .
Если в t -й год анализа величина tF была равна )(tFn , то в )1( t -й она
будет равна вектору значений )1( tFr и определяется с вероятностью, которая
выражается матрицей вероятностей переходов )(tqnr , Nrn ,...,1, ; Tt ,...,1 ,
)(...)()(
............
)(...)()(
)(...)()(
)(
21
22221
11211
tqtqtq
tqtqtq
tqtqtq
tQ
NNNN
N
N
, где
N
r
nr tq
1
1)( , Nn ,...,1 ; .,...,1 Tt
Матрицу )(tQ называют стохастической матрицей переходов. Если
)1()( tQtQ , )1(,...,1 Tt , то цепь Маркова является эргодической.
Если ))(( tFP n , Nn ,...,1 , распределение вероятностей значений )(tFn
в t -й год анализа, то распределение вероятностей этих значений )1( tFP n
в следующем )1( t -м году, т.е. значений )1( tFn , определяется по форму-
лам
)())(())1(( tQtFPtFP , или ttQtFPtFP )]1([))(())1((
т.е.
)())(()1(
1
tqtFPtFP
N
r
nrnn
, Nn ,...,1 ; Tt ,...,1 .
Здесь ttQ )]1([ — матрица вероятности переходов )]1([ tQ , возведенная
в t -ю степень.
В отличие от традиционных дискретных цепей Маркова анализируемые
состояния цепи определяются не действительными числами, а нечеткими
множествами. Параметры функций принадлежности этих fuzzy-множеств,
т.е. значения )(ta , )(tm или )(1 tm , )(2 tm , а также )(tb — действительные
числа. Следовательно,
)]([)],([)]([)( tFbtFatF nnnnntFn
— для прямоугольных функций
принадлежности;
)]}([)],([)],([{)]([)( tFbtFmtFatF nnnnnnntFn
— для треугольных
функций принадлежности;
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 3 50
)]}([)],([)],([)],([{)]([ ,2,1)( tFbtFmtFmtFatF nnnnnnnnntFn
— для тра-
пециевидных функций принадлежности.
Здесь
)()})({()})1({(
1
tqtFPtFP
N
r
nrnnnn
,
где )}1({ tFnn — приведенные выше параметры функций принадлежно-
сти этих fuzzy-множеств, т.е. значения )]([,)]([ tFbtFa nnnn и )]([,1 tFm nn ,
)]([,2 tFm nn или )]([ tFm nn .
Для каждого предполагаемого года владения бизнесом могут быть вы-
числены средние значения fuzzy-множеств дисконтируемых денежных по-
токов
N
n
nnnnn tFtFPtFL
1
)}({)})({()]([ , Tt ,...,1 ,
где )]([ tFL n — соответствующие значения параметров функций принад-
лежности, т.е. )]([)],([ tFbtFa nn и )]([)],([ 21 tFmtFm nn или )]([ tFm n .
Все параметры нечеткого множества суммы дисконтируемых денеж-
ных потоков за весь прогнозируемый период времени определяется сумми-
рованием этих нечетких множеств по формулам (4)–(6).
ЭКСПЕРТНЫЕ ОЦЕНКИ ДИАПАЗОНОВ СТОИМОСТИ БИЗНЕСА
Сумма дисконтируемых денежных потоков за все годы прогнозируемого
периода, которая рассчитывается по формулам (1)–(3), и прогнозируемая
расчетная стоимость бизнеса также могут быть представлены некоторым
fuzzy-множеством прямоугольного, трапециевидного или треугольного ви-
дов.
Определим возможные диапазоны ожидаемых значений анализируе-
мых величин и значения функций принадлежности для каждого из этих зна-
чений. Это даст возможность оценить некоторый диапазон ожидаемых зна-
чений, каждое из которых может быть достигнуто при значении функции
принадлежности не ниже некоторой наперед заданной величины.
На основе выполненных расчетов как инвестором, так и настоящим
владельцем бизнеса могут быть определены диапазоны допустимых для них
значений прогнозируемых дисконтируемых денежных потоков в каждый
год прогнозируемого периода владения бизнесом, а также стоимости
бизнеса, значения функций принадлежности для которых не ниже напе-
ред заданной ими величины, и наиболее вероятное значение этих показа-
телей как центр тяжести сответствующего результирующего нечеткого
множества.
Обозначим соответствующее результирующее нечеткое множество,
определяющее расчетную стоимость бизнеса с позиций инвестора и вла-
дельца бизнесом соответственно )}(,{ FF F и )}(,{ EE E , а диапазоны
возможных значений этих расчетных величин — )(Fa , )(Fb и )(Ea , )(Eb
Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 3 51
(т.е. для рассматриваемых выше видов функций принадлежности
0)]([)]([ FbFa FF и )())()( FbFxFa ; 0)]([)]([ EbEa EE и
)()()( EbExEa ).
Создание таких диапазонов для функций принадлежности треугольного
и трапециевидного видов проиллюстрировано на рис. 2. Для функций при-
надлежности прямоугольного типа такими диапазонами является вся об-
ласть возможных значений )](),([ FbFaF , )](),([ EbEaE .
Тогда наиболее вероятное значение расчетной стоимости бизнеса опре-
деляется по формулам:
Fb
Fa
F
F
Fb
Fa
dFF
dFFF
FM
)(
)(
)( ,
Eb
Ea
E
E
Eb
Ea
dEE
dEEE
EM
)(
)(
)( .
Пусть предполагаемые инвестором и владельцем бизнеса предельные
значения функции принадлежности результирующего нечеткого множества,
определяющую прогнозируемую по их расчетам стоимость бизнеса, которая
соответственно обозначается )(FΜ F и )(EΜ E . Заметим, что эти значения
могут и не совпадать, т.е. )()( EΜFΜ EF , так как требования к надежнос-
ти и степени риска принимаемого решения у инвестора и владельца бизне-
сом могут не совпадать. В частном случае для трапециевидных функций
принадлежности могут быть приняты значения 1)()( EΜFΜ EF . Допус-
тимый диапазон приемлемых расчетных значений стоимости бизнеса с пози-
ций предполагаемого инвестора ],[ maxmin FFF и владельца бизнесом
],[ maxmin EEE определяется по формулам:
)()(|min
)()(
min FΜFFF FF
FbFFa
)()(|max
)()(
max FΜFFF FF
FbFFa
;
Рис. 2. Допустимые диапазоны возможных значений стоимости
1,0
μE(E)
MF(F)
a(F) a(F) EFmin Fmax
μF(F)
ME(E)
1.0
a(E) a(E) E Emin Emax
а б
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 3 52
)()(|min
)()(
min EΜEEE EE
EbEEa
;
)()(|max
)()(
max EΜEEE EE
EbEEa
.
Определим интервал пересекающихся значений диапазонов величин F
и E , который обозначим как ],[ maxmin DDD . Различные возможные си-
туации при этом показаны на рис. 3.
Значения величин minD и maxD находятся в соответствии с выраже-
ниями
}&|),({min minminminminmin FEEFEFD
;
}&|),({min maxmaxmaxmaxmax FEEFEFD
.
В случаях, приведенных на рис. 3, а, б, D , т.е. области пересече-
ния нет (a — инвестору нет экономического смысла покупать бизнес, б —
покупка бизнеса для него является экономически выгодной). Случаи в, г, д и
е, как и б могут рассматриваться как предмет переговоров, в процессе кото-
рых в пределах диапазона D владелец бизнеса будет стремиться повысить
стоимость продажи, а инвестор — уменьшить цену покупки.
На основании рассчитанных данных инвестор и владелец предприятия
могут принять с учетом всех обстоятельств более взвешенное и объективное
решение о целесообразности покупки или продажи этого бизнеса.
ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР
В планах владельца нет желания вкладывать дальнейшие инвестиции в раз-
витие предприятия, которое он желает продать. Прогнозируемые дисконти-
руемые денежные потоки в текущем году он оценивает fuzzy-множествами
с функциями принадлежности треугольного типа со следующими показате-
лями:
пессимистическая оценка 8,1)0(pes tF , 3,0))0(( pes tFP ;
Рис. 3. . Соотношения интервалов допустимой стоимости бизнеса
Fmin Fmax
Fmin Fmax
Fmin Fmax
Fmin Fmax
Fmin Fmax
Emin Emax
Emin Emax Emin
Emax
Emin
Emax Emin Emax Emin
Emax
Fmin Fmax
Dmin Dmax
Dmin
Dmax
Dmin
Dmax
Dmin Dmax
а б в
г д е
Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 3 53
наиболее вероятная оценка 3,2)0(ver tF , 4,0))0(( ver tFP ;
оптимистическая оценка 5,2)0(opt tF , 3,0))0(( opt tFP .
То есть вектор распределения вероятностей каждого из этих значений —
)3,0;4,0;3,0()0(vlad tQ .
Изменения этих оценок в течение следующих четырех лет производит-
ся на основе однородной дискретной цепи Маркова с матрицей переходов
vladP . Остаточную стоимость предприятия к концу прогнозируемого перио-
да (млн дол.) владелец также оценивает fuzzy-множествами с функциями
принадлежности треугольного вида со следующими показателями:
1,5
pes
vlad E , 6,5ver
vlad E , 0,6opt
vlad E . Распределения вероятностей прогнози-
руемых дисконтируемых денежных потоков в каждый последующий год
4,3,2,1t рассчитываются таким образом:
)1(
vladvladvlad )()1()( tPtQtQ , 4,3,2,1t ,
где tP )( vlad — матрица vladP , возвышенная в степень t .
Потенциальный покупатель предприятия в соответствии со своими
планами инвестиций и развития бизнеса оценивает ожидаемые дисконти-
руемые денежные потоки в каждый из предполагаемых год владения бизне-
сом также fuzzy-множествами с функциями принадлежности треугольного
вида, которые обозначим соответственно )()0(pes
tR tF , )(ver tR , )(opt tR ,
4,3,2,1,0t (табл. 1).
Т а б л и ц а 1
Расчетные показатели прибыли прогнозируемых периодов Год
прогноруемого
периода )(
pes
tR )(ver tR )(opt tR
0 1,8 2,3 2,5
1-й 2,4 2,8 3,2
2-й 2,8 3,2 3,8
3-й 3,0 3,5 4,1
4-й 3,2 3,7 4,4
Остаточную стоимость предприятия к концу прогнозируемого периода
(млн дол.) владелец также оценивает fuzzy-множествами с функциями при-
надлежности треугольного вида со следующими показателями: 1,6
pes
inv E ,
3,6ver
inv E , 6,6opt
inv E .
Рассчитанные матрицы переходов tP )( vlad , 4,3,2,1t , а также матрица
1
vladvlad )(PP (для 0t ) приведены в табл. 2.
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 3 54
Т а б л и ц а 2
Матрицы переходов для разных лет прогнозируемого периода
vlad
P 2)(
vlad
P 3)(
vlad
P 4)(
vlad
P 5)(
vlad
P
0,25 0,35 0,4 0,8 0,2 0 0,78 0,2 0,02 0,776 0,2 0,024 0,7752 0,2 0,0248
0,2 0,35 0,45 0,7 0,2 0,1 0,76 0,2 0,04 0,772 0,2 0,028 0,7744 0,2 0,0256
0,2 0,3 0,5 0,6 0,2 0,06 0,74 0,2 0,06 0,768 0,2 0,032 0,7736 0,2 0,0264
Расчетные значения вероятностей разных значений пессимистической,
наиболее вероятной и оптимистической оценок прогнозируемых дисконти-
руемых денежных потоков в каждый год из следующих четырех анализи-
руемого периода, а также их средние значения приведены в табл. 3.
Т а б л и ц а 3
Расчетные показатели прибыли прогнозируемых периодов
Значения вероятностей ))((
vlad
tFP
Значения показателей
денежных потоков )(
vlad
tF
Год
прогнозируемого
периода
))((
pes
tFP ))(( ver tFP ))(( opt tFP )(
pes
tF )(ver tF )(opt tF
0 0,3 0,4 0,3 2,03 2,73 3,5
1-й 0,7 0,2 0,1 1,89 2,59 3,32
2-й 0,76 0,2 0,04 1,86 2,56 3,284
3-й 0,772 0,2 0,028 1,854 2,554 3,2768
4-й 0,7744 0,2 0,0256 1,8527 2,5504 3,2754
Суммарные расчетные значения прогнозируемых дисконтируемых де-
нежных потоков за весь анализируемый период оценивается как владельцем
бизнеса, так и инвестором также fuzzy-множествами с функциями принад-
лежности треугольного вида рассчитывается по следующим формулам и
соответственно равны:
5867,14)(
pespespes
vlad
4
0
vladvlad
EtF
t
, 5844,18)( ver
vlad
4
0
ver
vlad
ver
vlad
EtF
t
;
6562,22)( opt
vlad
4
0
opt
vlad
opt
vlad
EtF
t
; 3,19)( pes
inv
4
0
pes
inv
pes
inv
EtR
t
,
8,21)( ver
inv
4
0
ver
invinv
EtR
t
ver ; 6,24)( opt
inv
4
0
opt
inv
opt
inv
EtR
t
.
Координаты абсцисс центров тяжести этих нечетких множеств соответ-
ственно равны: 6091,18)6562,225844,185867,14(
3
1
)( vlad C ;
216)6,248,213,19(
3
1
)( inv C .
Поскольку )()( invvlad
CC , то с позиции инвестора целесообразно
вести переговоры о покупке бизнеса.
Оценка компании на основе дисконтированных финансовых потоков и ее остаточной …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 3 55
Соотношения fuzzy-множеств прогнозируемой стоимости бизнеса с по-
зиций владельца и предполагаемого инвестора приведены на рис. 4. На всех
сечениях функций принадлежности этих fuzzy-множеств есть диапазоны
взаимных интересов (ситуация, приведенная на рис. 3, г), в пределах кото-
рых можно вести переговоры об окончательной стоимости продажи этого
бизнеса.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложенные в работе подходы на основании методов fuzzy-технологий
к оценке стоимости бизнеса в соответствии с конкретными планами каждого
конкретного инвестора и расчетами владельца бизнеса позволят более обос-
новано принять решение о целесообразности покупки компании, оценив все
риски, связанные с изменениями политической и экономической ситуации
в отрасли, на рынках сбыта, покупки сырья, в стране и в мире, а также с тем-
пами инфляции. Рассмотрение в условиях нестабильной экономики с учетом
различных случайных событий, связанных с вложением инвестиций, изме-
нениями объемов производства, совершенствованием технологий, прогно-
зируемой стоимостью рабочей силы и энергоресурсов и т.п., которые могут
оказывать как положительные, так и отрицательные воздействия на резуль-
таты работы компании, даст возможность инвестору и владельцу бизнесом,
представив все анализируемые показатели в виде нечетких множеств, на
основе методов fuzzy-арифметики и аппарата дискретных fuzzy-марковских
цепей более детально оценить все возможные обстоятельства и проанализи-
ровать все риски, связанные с принятием решений. Введенные в работе диа-
пазоны прогнозируемых обеими сторонами возможных рыночных стоимо-
стей предприятия, обеспечивающие допустимую каждой из сторон степени
риска, позволяют решить вопросы целесообразности дальнейших переговоров
и определить граничные значения стоимости для каждой из сторон, за пре-
делы которых можно выйти только увеличив степень допускаемого риска.
optoptververpespes
invvladinvvladinvvlad
)( inv
1,0
0,75
0,5
)( vlad
Рис. 4. Соотношение fuzzy-множеств прогнозируемой стоимости бизнеса
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 3 56
ЛИТЕРАТУРА
1. Gordon M.J. Dividends, Earnings and Stock Price / M.J. Gordon // The Review of
Economics and Statistics. — 1959. — Vol. 41, N 2, Part 1. — P. 99–105.
2. Modigliani F. The cost of capital, corporation finance and the theory of investment /
F. Modigliani, M.H. Miller // American Economic Review. — 1958. — Vol. 48.
— P. 261–297.
3. Дамодаран А. Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых
активов / А. Дамодаран. — Изд. Альпина Паблишер, 2010 .
4. Мерсер З.К. Интегрированная теория оценки бизнеса / З.К. Мерсер,
Т.У. Хармс; под науч. ред. В.М. Рутгаузера. — Изд-во Маросейка, 2008.
5. Грязнова А.Г. Оценка стоимости предприятия (бизнеса) / А.Г. Грязнова,
М.А. Федотова, М.А. Эскиндаров, Т.В. Тазихина и др. — М.: Интерреклама,
2003. — 544 с. — Available at: http://www.ceae.ru/files/Enterprise-
estimation.PDF
6. Liu J. Equity valuation using multiples / J. Liu, D. Nissim, J. Thomas // Journal of
Accounting Research. — 2002. — Vol. 40, N 1. — P. 135–172.
7. Ballwieser W. Unternehmensbewertung: Prozeß, Methoden und Probleme /
W. Ballwieser. — 3. Aufl., Stuttgart, 2011.
8. Згуровский М.З. Модели принятия решений в нечетких условиях /
М.З. Згуровский, Ю.П. Зайченко. — К.: Наук. думка, 2011.
9. Зак Ю.А. Принятие решений в условиях размытых и нечетких данных /
Ю.А. Зак. — М.: URSS, 2013. — 352 с.
10. Зак Ю.А. Вероятностный подход к оценке перспективности покупки бизне-
са конкретным инвестором / Ю.А. Зак // Системнi дослiдження та
iнформацiйнi технолгii. — К., 2016. — № 4. — С. 23–34.
Поступила 21.06.2017
|