Неравновесные колмогоровского типа распределения частиц и их приложения

Представлено современное состояние исследований нестационарных и стационарных неравновесных (колмогоровского типа) функций распределения (НФР) частиц с потоком по спектру. На основе интегралов столкновений (ИС) Больцмана и в форме Ландау для нерелятивистских заряженных частиц (НЗЧ), взаимодействующи...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2010
Main Authors:	Захаров, В.Е., Карась, В.И.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України 2010
Subjects:	Применение ускорителей
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/15722
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Неравновесные колмогоровского типа распределения частиц и их приложения / В.Е. Захаров, В.И. Карась // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 2. — С. 204-209. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859478726113230848
author	Захаров, В.Е. Карась, В.И.
author_facet	Захаров, В.Е. Карась, В.И.
citation_txt	Неравновесные колмогоровского типа распределения частиц и их приложения / В.Е. Захаров, В.И. Карась // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 2. — С. 204-209. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	Представлено современное состояние исследований нестационарных и стационарных неравновесных (колмогоровского типа) функций распределения (НФР) частиц с потоком по спектру. На основе интегралов столкновений (ИС) Больцмана и в форме Ландау для нерелятивистских заряженных частиц (НЗЧ), взаимодействующих по закону Кулона с учетом статической экранировки, в однородной и изотропной среде аналитическими методами и с помощью полностью консервативных разностных схем рассмотрено формирование НФР частиц. Показано, как полученные результаты могут быть использованы для предсказания поведения проводников и полупроводников как с собственной, так и с примесной проводимостью, облучаемых пучками быстрых ионов или лазерным излучением. Наведено сучасний стан досліджень нерівноважних (колмогорівського типу) стаціонарних та нестаціонарних розподілів частинок з потоком за спектром. На основі інтегралів зіткнень Больцмана та у формі Ландау для нерелятивістських заряджених частинок, що взаємодіють за законом Кулона з урахуванням статичного екранування, в однорідному та ізотропному середовищі розглянуто аналітичними методами та за допомогою повністю консервативних різницевих схем формування нерівноважних функцій розподілу частинок. Показано, як отримані результати можуть бути використані для передбачення поведінки провідників та напівпровідників як з власною, так і з домішковою провідністю, що опромінюються пучками швидких іонів або лазерним випромінюванням. The modern condition of researches nonequilibrium (Kolmogorov type) stationary and non-stationary particle distributions with a flux on a spectrum is submitted. On the basis of Boltzmann collision integrals and in Landau form for not relativistic charged particles interacting under Coulomb law in view of static shielding, in homogeneous and isotropic matter by analytical methods and with the help completely conservative finite difference schemes consider formation of nonequilibrium particle distribution functions. It is shown, as the received results can be used for a prediction of behaviour of conductors and semiconductors both with own and with impurity conductivity irradiated with fast-ion beams or laser radiation.
first_indexed	2025-11-24T11:45:36Z
format	Article
fulltext	____________________________________________________________ PROBLEMS OF ATOMIC SCIENCE AND TECHNOLOGY. 2010. № 2. Series: Nuclear Physics Investigations (53), p.204-209. 204 УДК 533.9 НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОЛМОГОРОВСКОГО ТИПА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В.Е. Захаров, В.И. Карась* Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН, Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, Москва, Россия; *Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт», Харьков, Украина E-mail: zakharov@itp.ac.ru; zakharov@sci.lebedev.ru; karas@kipt.kharkov.ua Представлено современное состояние исследований нестационарных и стационарных неравновесных (колмогоровского типа) функций распределения (НФР) частиц с потоком по спектру. На основе интегралов столкновений (ИС) Больцмана и в форме Ландау для нерелятивистских заряженных частиц (НЗЧ), взаимо- действующих по закону Кулона с учетом статической экранировки, в однородной и изотропной среде ана- литическими методами и с помощью полностью консервативных разностных схем рассмотрено формирова- ние НФР частиц. Показано, как полученные результаты могут быть использованы для предсказания поведе- ния проводников и полупроводников как с собственной, так и с примесной проводимостью, облучаемых пучками быстрых ионов или лазерным излучением. 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ НФР ЧАСТИЦ С ПОТОКОМ ПО СПЕКТРУ Термодинамически равновесной ФР электронов в вырожденной или классической плазме в изотроп- ном пространственно однородном случае является соответственно ФР Ферми-Дирака или Максвелла, которая является точным решением соответственно квантового или классического ИС Больцмана [1]. Для классического (невырожденного) газа кинети- ческое уравнение (КУ) Больцмана имеет вид [1]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ×−⋅= ∂ ∂ 132321321 ,\|, pfpfpfpfppppWpdpdpd t pf rrrrrrrrrrr r ( ) ( )1 2 3 1 1 1E E E E p p p pδ δ× + − − ⋅ + − − r r r r , (1) где ( )321 ,\|, ppppW rrrr − вероятность перехода (ВП) вследствие столкновений, ( )pf r − ФР электронов, ip r , Ei − импульс и энергия i-го электрона, δ(x) − дельта- функция Дирака. ФР, удовлетворяющая условию: ( ) ( ) ( ) ( ) 0132 =− pfpfpfpf rrrr , (2) является стационарным решением уравнения (1). Легко видеть, что функциональное уравнение (2) с учетом законов сохранения энергии и импульса при столкновениях частиц приводит к термодинамически равновесной ФР Максвелла. Впервые А.Н. Колмогоровым [2] в теории турбу- лентности несжимаемой жидкости было построено в интервале масштабов, промежуточных между мас- штабами возбуждаемых и эффективно затухающих движений, универсальное (не зависящее от структу- ры источника и стока) СНР энергии по волновым числам εk − известный колмогоровский спектр гид- родинамической турбулентности, имеющий вид 3 11 3 2 1 − = kAIkε , (3) где A − постоянная, I1− поток энергии по спектру. При выводе формулы (3) использована гипотеза о локальности турбулентности, т.е. о том, что суще- ственно взаимодействуют между собой только близкие масштабы. Эта гипотеза для турбулентно- сти в несжимаемой жидкости (сильная турбулент- ность и т.п.) не доказана. В физических системах, в которых взаимодействие волн или частиц можно описать КУ для волн, квазичастиц или частиц, по- строение СНР сводится к решению КУ. В этом слу- чае локальность СНР отвечает сходимости ИС. Универсальные спектры волн, которые являются решениями для ИС между волнами, в рамках теории слабой турбулентности были впервые получены В.Е. Захаровым [3]. Универсальные СНР частиц ( sApf 2= ), которые являются точными решениями ИС Больцмана для ВП однородной функции им- пульсов (степени n ) во всем импульсном простран- стве (ИП), были впервые методом групповой сим- метрии найдены А.В. Кацем, В.М. Конторовичем, В.Е. Новиковым, С.С. Моисеевым [4]. С помощью разработанного В.И. Карасем метода (см. [5]) для определения показателя степени s в случае ВП (однородной функции импульсов степени n ) естественно под интегралом использовать пере- менные ppi / r , тогда (1) сводится к интегралу, не зависящему от p , и множителю 44 ++nsp , найдем поток частиц 0I и энергии 1I в ИП. При этом пото- ки определяются через ИС следующим образом: st i i t fE p ppjdiv ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ r )( , (4) где ii jpI 24π= , а E − энергия частиц. Решая (4), по- лучаем ( ) ( ) )1(29412 1294 , −+++− −+++ = insi i p ins nsRAI α , (5) где const=α . Из (5) для is , которые удовлетворяют условию 0)1(294 =−+++= insiγ , 0,1i = , (6) поток Ii либо постоянен в ИП, либо нулевой, если ( )nsR , имеет нуль первого порядка при iss = (при этом ИС равняется нулю). 205 ФР sAp2 отвечает неравновесной стационарной ситуации с постоянным потоком энергии или частиц в ИП, поддерживаемым источником и стоком. При этом направление потока определяется знаком про- изводной γddR / при 0=γ , а A − определяется выражением 1 0 12 lim − → −= γ α γ d dRIA i i . Покажем непосредственным вычислением [7-9], что для ИС Больцмана и Ландау в случае СНР функция ( )nsR , удовлетворяет вышеприведенным условиям. 1.1. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ИС ЛАНДАУ Хорошо известно, что в случае плазмы ИС, опи- сывающий взаимодействие НЗЧ, может быть запи- сан в форме Ландау (см., например, [1]) ( ) ∫ × − ⋅′Λ=−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 3 2 4 00 , u uuu pdejjdiv t pf kiik i st δ π rrr ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂′− ′∂ ′∂ × kk p pfpf p pfpf r r r r , (7) где ( )pp m u ′−= rrr 1 , Λ − кулоновский логарифм, m − масса электрона. Подстановкой в (7) изотропной степенной ФР sAp2 после довольно несложных вы- числений можно получить такое выражение: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⋅+ + +⋅+⋅+ +⋅+ ⋅Λ=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ++ ∞→ → 52 1 22 2 0 4242 )52( )1(2 22 12( 3 1 52321 5434[16 lim 2 1 ss p p s st p p s ss p p s ss sss sspAme t pf π r { ( ) )]. 32 2 2 32lim 32 1 22 2 0 2 1 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛+ − + ∞→ → ss p p p p s s p ps (8) Из (8) видно, что первое слагаемое в ИС, т.е. функция ),( nsR действительно содержит множите- ли )54( +s и )34( +s , причем в первой степени, что обеспечивает, с одной стороны, постоянство потока энергии, а, с другой стороны, обращение в нуль ин- теграла столкновений для показателя степени 4/51 −=s , что же касается показателя степени 4/30 −=s , то он соответствует нелокальной ФР, для которой ИС расходится (второй член под знаком предела во втором слагаемом не ограничен). 1.2. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ИС БОЛЬЦМАНА Используя выражение для ИС Больцмана (1) и подставив степенную ФР частиц в виде sAp2 , с по- мощью δ-функции, выражающей закон сохранения импульса, проинтегрируем (1) по 2p r , введя затем вместо 1p r , 3p r новые переменные 1p r , q r , приводим ИС к виду ( ) ( )∫ ×−+−= ∂ ∂ qpqpppWqdpdmA t pf rrrrrrrr r 111 2 ,\|, [ ] ( ))( 1 2 1 22 1 2 qppqppqpqp ssss rrrrrrrr −−⋅−−+× δ , (9) где 31 ppq rrr −= . Аргумент δ − функции может об- ратиться в нуль при 01 =−− qpp rrr или 0)( 1 =−− qppq rrrr . Первый случай не интересен, так как соответствует просто перестановке частиц мес- тами в результате столкновения, что обращает в нуль квадратную скобку (т.е. отвечает условию (2)), а значит и ИС. Введя углы θ , 1θ между вектором q r и соответственно векторами p r и 1p r , после перехода к сферическим координатам в (9) для 1p r и q r , про- интегрируем при помощи δ − функции по 1p и пе- рейдем к безразмерной переменной q~ ( p qq =~ ). Найдем поток частиц I0 и энергии I1 в ИП, учитывая, что в рассматриваемом случае потоки выражаются через ИС согласно (4). Для W, являющейся одно- родной функцией импульсов степени n, nqCW 1= , где n любое вещественное число, тогда ИС легко интегрируется по 11 ,, ϕϕθ , а затем по q~ . Выражение для ( )nsR , , входящее в частное решение для потока iI (см. (4)) имеет вид ( ) ( )( ) ( )−++ ++ − = 2,42{[ 321 4, 1 3 nsB ss CnsR π ( ) ( ) −−−−+++−−−− ]52,242,52 nsnBsnsB ( )( ) ( )( ) ×⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ++ −−−−+− 2/1sin 2/3sin1)22,2( s nssnnB π π −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−++ − + × 1; 2 52, 2 21;1, 2 22, 2 2 23 sssnnF (10) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) }, 2/1sin 2 32 2 1142 2321294742 2 252 +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− Γ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ Γ−Γ +Γ++++++ − −− snsnss sssnsnss π π где ( )zF qpqp ;,...;,... 11 ββαα − гипергеометрическая функция. Получено, что локальным СНР частиц (ИС для них сходится) отвечают показатели степени s , которые находятся в интервалах: 4 5 2 3;1 2 3 10 −<<−−<<− ss . (11) Индексы 1,0 отвечают constII =)(, 10 . В соответствии с (5) показателям степени из диапазона (11) отвечают такие показатели однород- ности ВП: ,13 −<<− n ,0 constI = (12) ,34 −<<− n .1 constI = (13) 1.3. УСЛОВИЯ ФОРМИРОВАНИЯ СНР ЧАСТИЦ В КОНЕЧНЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ИНТЕРВАЛАХ В случае кулоновского взаимодействия ( 4−=n ), как видно из приведенных неравенств (12),(13), ИС расходится (известная особенность в W~ для малых переданных импульсов). В [4] предположено, а в [5,7] показано, что эта расходимость устраняется дебаев- 206 ской экранировкой. Рассмотрим ИС (10), для веро- ятности перехода, которая отвечает экранированно- му кулоновскому потенциалу ( ) 2224 ~2~ − += aqeW ( pqq /~ = , paa /1= , 1a − дебаевский импульс). Для получения областей существования степен- ных ФР, соответствующих двум различным асим- птотикам ВП W~ , следует рассмотреть ИС для двух предельных случаев )1,1( >><< aa . Вначале для малых значений a ( 1<<a ) найдем зависимость ИС (10) от a . Вычисляя поток энергии, согласно (4), найдем, что поток энергии будет отрицательным и опреде- ляться логарифмическим слагаемым только при 005.02 <a . В интервале же 005.01.0 2 >> a направ- ление потока энергии противоположное (положи- тельное) его направлению при больших импульсах. Таким образом, показано [6, 7], что на участке ИП 1ap >> дебаевская экранировка, во-первых, устраняет кулоновскую расходимость, а, во-вторых, не влияет на показатель степени СНР частиц с по- стоянным потоком энергии в ИП. Показатель степе- ни отвечает асимптотике W с показателем степени 4−=n . Кроме того, установлено, что на некотором участке ИП направление потока энергии противопо- ложно (положительно) его направлению для больших импульсов. Причем плотность частиц в существую- щем локальном СНР определяется интенсивностью потока, а его консервативность обеспечивается ис- точником и стоком, расположение которых должно быть согласовано с найденным его направлением. Во многих конкретных физических задачах воз- никает вопрос о формировании, в результате дейст- вия в ИП источника и стока, СНР частиц в ограни- ченных энергетических интервалах, которые окру- жены участками с термодинамически равновесными ФР частиц [11-13]. Интеграл электрон-электронных столкновений для твердотельной плазмы вычисля- ется в приближении квадратичного закона диспер- сии. Расходимость, обусловленная кулоновским взаимодействием, устраняется введением, как и вы- ше, матричного элемента, описывающего экраниро- ванное кулоновское взаимодействие. ИС Больцмана в случае квантовой статистики (см., например, [1]), можно представить в виде ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ×−−−−× ×−⋅= ∂ ∂ ∫ )]1)(1()1( 1[ )2( 2 3211 323216 ppppp pppWpdpdpd t p rrrrr rrrrrr h r ηηηηη ηηη π η ( ) ( )111321 ppppEEEE rrrr −−+⋅−−+× δδ , (14) где ( ) ( )22 1 2 31 43 /22 appeW +−= rr hπ − матричный элемент, описывающий экранированное кулонов- ское взаимодействие; )( ip r η − числа заполнения. В [14,15] рассмотрен распространенный в твер- дотельной плазме случай, когда в интервале между источником и стоком энергии в ИП ФР электронов степенная, а за его пределами − термодинамически равновесная ФР Ферми-Дирака. Показано, что СНР электронов близко к универсальному ( 4/5−=s в случае безграничного инерционного интервала), если расположение источника и стока, а также их интен- сивности удовлетворяют ниже определенным усло- виям. Так, показатель степени s в распределении sη ( sη − числа заполнения) будет отличаться от 4/5− меньше, чем на 10%, если будут соблюдены условия: ( )'" 5...6 ,chp p p− ≈ ( ) ,10 3−>>psη ( )2...3ch ip a= (15) Таким образом, универсальное СНР электронов возможно даже при числах заполнения значительно (на один-два порядка) меньших равновесных. 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМИ- РОВАНИЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ ФР ЧАСТИЦ 2.1. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ФР ЧАСТИЦ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОГЛАСОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И СТОКОВ Рассмотрение формирования квазистационарных неравновесных ФР для пространственно однород- ной и изотропной плазмы, состоящей из одного сор- та частиц при наличии локализованных источников (стоков) частиц (энергии) в пространстве скоростей, имеет принципиальную трудность при численной реализации, а именно, нелинейность ИС. Поэтому используются разностные схемы, должным образом учитывающие нелинейность моделируемого урав- нения. Источник и сток энергии (частиц) может обеспечиваться ионными пучками, мощным лазер- ным излучением, током эмиссии, потоками заря- женных частиц, выделяемых при реакциях синтеза или деления, и т.п. [17-20]. Исследование основано на уравнении типа Ландау-Фоккера-Планка (ЛФП), которое является моделью уравнения Больцмана для произвольных потенциалов взаимодействия [21-23]. Для численного моделирования используются пол- ностью консервативные разностные схемы [21]. Для численного моделирования используется нелинейный оператор с симметричным ядром Q(v,w) для степенных потенциалов взаимодействия. Для заряженных частиц 1=β ( n =-4) и тогда Q(v,w) = (2/3)w3, при w < v и Q(v,w) = (2/3)v3, при w>v. Используя обычную процедуру обезразмерива- ния перейдем к следующим переменным: ; thv vv =′ ;32, ~ 143 β β β β β π − ==′ th th v ng vt t tt ;4 3 f n vf thπ =′ S Sth n StvS 34π =′ . (16) Для построения разностной схемы бесконечный интервал в пространстве скоростей заменяется ко- нечным отрезком [0, vmax], который выбирается так, чтобы учесть высокоэнергетичные частицы и гра- ничное условие для функции распределения будет ( ) 0,max =tvf . Источники и стоки берутся, главным образом, в виде δ -функций: ( ) 2/ vvvIS ±±± −= δ . (17) Если интенсивности источника и стока удовле- творяют соотношению 22 / +−−+ = vvII , тогда энергия, которая приходит в систему извне равна нулю, но плотность частиц в системе убывает (если источник 207 находится при больших скоростях, чем сток), т.е. реализуется в данной ситуации аналог постоянного потока энергии в ИП, но с несохранением плотности частиц в системе. Так как мы имеем дело с заряжен- ными частицами, то при уменьшении плотности электронов в некоторой области из-за возникшего электрического поля туда начнут поступать тепло- вые электроны из соседней области. В рамках рас- сматриваемой однородной по пространству модели это можно учесть введением еще одного источника с такой интенсивностью thI , чтобы не происходило уменьшение числа частиц, а значит не возникало электрическое поле. Таким образом, можно сформу- лировать согласованную модель с двумя источни- ками с интенсивностями thII ,+ и одним стоком с интенсивностью −I , в рамках которой не будет про- исходить изменения энергии и плотности частиц. Для этого интенсивности источников и стоков должны удовлетворять двум соотношениям: 0=+− +− IIIth , 0222 =+− ++−− vIvIvI thth . (18) Откуда получаются интенсивности источников, вы- раженные через интенсивность стока −I ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅= + −+ − + − −+ 22 22 22 22 , th th th th vv vvII vv vvII . (19) Кроме того, в численных расчетах иногда рас- сматривались источники (стоки), распределенные по скоростям экспоненциально [21-22] ( )2expS I b v v± ± ± ⎡ ⎤∝ − −⎣ ⎦ . (20) Такое выражение для источника-стока удобно для исследования зависимости неравновесных ФР от формы источника, часто источники (стоки) моде- лируются слагаемыми, пропорциональными иско- мой ФР, а именно: ),()( 2 tvf v vvIS − ± ±± − = δ . (21) Как уже отмечалось выше, в дискретном случае функция ( )1vv −δ отлична от нуля лишь при 1vv = . Начальное распределение выбирается Максвеллов- ским или типа δ-функции. Следует отметить, что результаты практически не зависят от вида началь- ной ФР, за исключением самой начальной стадии. На каждом шаге по времени функция итерируется, число частиц сохраняется с машинной точностью, а энергия сохраняется с точностью до 7-8 знака. Далее обсуждаются основные результаты численных рас- четов при наличии в ИП потоков энергии либо час- тиц [21,22]. В правой части КУ имеются источник +S и сток −S для обеспечения потока в ИП. Установ- лено, что ФР вне инерционного интервала является термодинамически равновесной, причем температура совпадает с первоначальной. В инерционном (соот- ветствующем постоянному потоку энергии между источником и стоком) же интервале устанавливается практически неизменяющаяся со скоростью (плато) ФР. Наиболее быстро устанавливается ФР вблизи источника, формирование же ФР в области стока со- ставляет сотни безразмерных времен. Увеличение интенсивности потока приводит к увеличению ФР. 2.2. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ФР ЧАСТИЦ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ НЕСОГЛАСОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И СТОКОВ В реальной экспериментальной (например, об- лучение твердотельной плазмы потоком быстрых ионов) ситуации мы имеем дело не только с несо- гласованными по интенсивности источниками и стоками, но даже нестационарными и распределен- ными в ИП. Как будет видно из дальнейшего [22] в этом случае ФР будут квазистационарными или не- стационарными. Формирование неравновесного распределения может быть разделено на три стадии. В течение пер- вого короткого периода система "помнит" началь- ные условия. Длительность этого периода не очень отличается для разных показателей β и равна прибли- зительно t ~ 1. В течение второй стадии происходит формирование основной части ФР. Продолжитель- ность этой стадии существенным образом зависит от местоположения источника +v и при небольших ин- тенсивностях не зависит от его интенсивности. ФР принимает форму плато или имеет слабо спадающую зависимость между источником и холодной обла- стью, в зависимости от величины интенсивности ис- точника. Установлением квазистационарного рас- пределения заканчивается формированием хвоста распределения. Длительность этой стадии сущест- венно зависит от показателя β. Эволюция основной части ФР в безразмерных единицах заканчивается при t ~ 50, для β = 1, при t ~ 2, для β = 2, и t ~ 1, для β = 4. Следует отметить, что даже относительно слабые источники приводят к разительному (на не- сколько порядков величины) увеличению неравно- весной части ФР. 2.3. СРАВНЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ С РЕЗУЛЬТАТАМИ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Проводимость среды определяется плотностью носителей, поэтому можно убедиться, что полупро- водниковая плазма с подобными неравновесными ФР должна обладать аномальными свойствами про- водимости и эмиссией, превышающей на порядки термоэмиссию. Проведем сравнение численного расчета с экспериментальными результатами по об- лучению полупроводниковой тонкой пленки GaAs потоком быстрых ионов Н+ с энергией 1.25 МэВ [22,23]. Поскольку длина свободного пробега про- тона равна 3⋅10-6 м и скорость иона равна vm= 7.5⋅106 м/с, можно вычислить временной проме- жуток, за который протон теряет основную энергию ttr= 4⋅10-13 с. Для данного образца GaAs с плотно- стью электронов пе=5⋅1024 м-3 характерная скорость равна thv = 6⋅105 м/с. Тогда соответствующее время электрон-электронной релаксации по порядку равно τee = 3⋅10-14 с. Отсюда следует, что благодаря нали- чию потока в пространстве скоростей успевает сформироваться неравновесная ФР. Интенсивность источников, возникающих из-за ионизации прямым электронным столкновением и за счет возбуждения плазменных волн, равна приблизительно 208 ≈+I 3.3⋅1037 м-3с-1. Тогда для расчетов мы должны взять нормализованную (безразмерную) интенсив- ность источника порядка 0.01…0.1 и время действия источника − порядка 10. Точка действия источника при v+,1 ≈3.5 соответствует возбуждению плазмона, a v+,2≈7 − ионизации за счет электронного столкно- вения. Основные потери из образца происходят за счет ион-электронной эмиссии с поверхности плен- ки. Электроны с энергией большей работы выхода А и приложенного задерживающего потенциала U покидают образец в течение времени exτ , посколь- ку глубина эмитирующего слоя eethem vd τ= превы- шает длину свободного пробега электрона λ в полу- проводнике. Функция стока равна нулю для энергий меньших ≈+= AEFε 5.65 эВ и распределена в про- странстве скоростей следующим образом ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =− thex ee v vfS τ τ ≈⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = them ee v vf d v 2 τλ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ thth v vf v v05.0 . (22) Источник с интенсивностью I+,1 = 0.1 в точке v+,1=3.5 выключен, начиная с t = 20; источник с интенсивно- стью I+,2 = 0.075 в точке v+,2 = 7 выключен, начиная с t = 2. Сток с интенсивностью (17) действуют в об- ласти v > 2. Зависимость тока эмиссии от задерживающего потенциала в рассматриваемой ситуации нестацио- нарных несогласованных источников и стоков из-за нестационарности ФР электронов будет функцией времени. ∫ ∞ ++ ⋅= eUAEF EdEEfconstJ )( , (23) где U − задерживающий потенциал. Для изучаемой экспериментальной ситуации [23,24] токи ионного пучка не превышают 10 мкА. В этом случае ток эмиссии отражает нестационарность источников, поскольку на каждом ионном треке электронная ФР имеет достаточно времени, чтобы пройти все стадии своего формирования. Поэтому зависимость эмис- сионного тока от задерживающего потенциала, на- блюдаемая в эксперименте, является суперпозицией токов, существующих на всех временных стадиях существования нестационарной ФР электронов. На Рис.1 представлена зависимость тока эмиссии от задерживающего потенциала: Рис.1. Зависимость тока ион-электронной эмиссии от задерживающего потенциала для арсенида гал- лия (GaAs), бомбардируемого ионами H+ с энергией 1,25 МэВ, точками обозначен ток, усредненный за время t = 10; тире − для t = 20; сплошная линия − для t = 100 и звездочками обозначены эксперимен- тальные результаты Главный результат сравнения с экспериментом заключается в том, что учет нестационарности ис- точников является существенным фактором, позво- ляющим объяснить зависимость тока от задержи- вающего потенциала при использованной экспери- ментальной методике сбора заряда вылетающего со всей поверхности пленки за достаточно длительный (несколько секунд) промежуток времени. Мы срав- нили полученные численным путем ФР с распреде- лениями по энергиям, взятыми из [20-22]. Они соот- ветствуют вторичной электронной эмиссии, инду- цированной 1 кэВ электронами из поликристалличе- ских алюминия и магния. Эти материалы не полу- проводники и для их описания, строго говоря, необ- ходимо использовать ИС Больцмана. Однако, как это показано, например, в [6], имеется некоторое подобие между спектрами электронов, эмитирован- ных из металлов и полупроводников. Рис.2,3 пока- зывают ФР электронов, найденные в результате численного интегрирования ИС в форме Ландау- Фоккера-Планка для различных моментов времени, экспериментальные данные из [22-24] отмечены звездочками для алюминия (Рис.2) и для магния (Рис.3). Рис.2. Зависимость плотности электронов с энерги- ей vvfEN )()( = от энергии для электронов эмиссии, индуцированной 1 кэВ электронами из поликристал- лического алюминия (Al). Сплошная и пунктирная кривая результаты численного моделирования, а звездочками отмечены экспериментальные данные Рис.3. Зависимость плотности электронов с энер- гией E − N(E)=f(v)v от энергии E для электронов эмиссии, индуцированной 1 кэВ электронами из поликристаллического магния (Mg). Сплошная и пунктирная кривая результаты численного моделирования, а звездочками отмечены экспериментальные данные Энергия объемного плазмона 10.5 эВ и работа выхода 4.64 эВ для Mg, а для Al энергия объемного плазмона 15.5 эВ и работа выхода 5.25 эВ [22,23]. Несмотря на определенную произвольность в срав- 209 ниваемых данных, характерные свойства ФР, как можно видеть, находятся в хорошем качественном согласии. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Для нерелятивистских заряженных частиц, взаи- модействующих по закону Кулона с учетом стати- ческой экранировки, в однородной и изотропной среде с локализованными в ИП источниками и сто- ками проанализированы условия существования локальных СНР частиц, которые соответствуют по- стоянному потоку энергии 1I . Для нелокализован- ных, нестационарных и несогласованных источни- ков и стоков в ИП, основываясь на численном моде- лировании ИС Ландау-Фоккера-Планка с помощью полностью консервативных разностных схем, изу- чено формирование неравновесных ФР частиц. По- казано, как полученные результаты могут быть ис- пользованы для предсказания поведения проводни- ков и полупроводников как с собственной, так и с примесной проводимостью, облучаемых пучками быстрых ионов или лазерным излучением. Авторы благодарны РФФИ и НАН Украины за частичную финансовую поддержку проекта 10-02- 90420 (81-02-2010). ЛИТЕРАТУРА 1. В.П. Силин. Введение в кинетическую теорию газов. М.: “Наука”, 1971. 2. А.Н. Колмогоров // ДАН СССР. 1941, т.30(4), с.299. 3. В.Е. Захаров // ЖПМТФ. 1965, т.4, с.35-39. 4. А.В. Кац, В.М. Конторович, С.С. Моисеев, В.Е. Новиков // Письма в ЖЭТФ. 1975, т.21, c.13-16. 5. В.И. Карась // Письма в ЖТФ. 1975, т.1(22), с.1020. 6. В.И. Карась, С.С. Моисеев, В.Е. Новиков // Письма в ЖЭТФ. 1975, т.21(9), с.525-528. 7. В.И. Карась, С.С. Моисеев, В.Е. Новиков // ЖЭТФ. 1976, т.71(4), с.1421-1433. 8. В.И. Карась, С.С. Моисеев, А.П. Шуклин // УФЖ. 1980, т.25(5), с.820-826. 9. С.И. Кононенко // Автореферат дисс. канд. физ.-мат. наук. Харьков: ХГУ, 1986. 10. С.И. Кононенко // Доповиди НАНУ. 2001, №1, с.87. 11. В.П. Журенко, С.И. Кононенко, В.И. Карась и др. //Физика плазмы. 2003, т.29(2), с.130. 12. В.И. Карась, С.С. Моисеев // Препринт ХФТИ АН УССР Харьков: ХФТИ, 77-24, 1977 13. В.И. Карась, С.С. Моисеев //УФЖ. 1979, 24(11), с.1724. 14. Е.Н. Батракин, И.И. Залюбовский, В.И. Карась и др. // Поверхность. 1986, №12, с.82. 15. Е.Н. Батракин, И.И. Залюбовский, В.И. Карась и др // ЖЭТФ. 1985, т.89(3), с.1098. 16. В.А. Бабенко, Н.П. Галушко, И.И. Залюбовский и др. // ЖТФ. 1980, 50(4), с.848. 17. В.М. Балебанов, В.И. Карась, И.В. Карась и др. // Физика плазмы. 1998, т.24(9), с.789. 18. В.М. Балебанов, В.И. Карась, И.В. Карась и др. // Атомная энергия. 1998, т.84(5), с.398. 19. В.И. Карась, И.Ф. Потапенко Физика плазмы. 2002, т.28(10), с.908. 20. В.И. Карась, И.Ф. Потапенко // ЖВММФ. 2006, 45, с.513. 21. I.F. Potapenko, M. Bornatici, V.I. Karas` // J. Plasma Physics. 2005, v.71, p.874. 22. С.И. Кононенко, В.М. Балебанов, В.П. Журенко и др. // Физика плазмы. 2004, т.30(8), с.722. Статья поступила в редакцию 27.01.2010 г. NONEQUILIBRIUM KOLMOGOROV TYPE PARTICLE DISTRIBUTIONS AND THEIR APPLICATIONS V.E. Zakharov, V.I. Karas` The modern condition of researches nonequilibrium (Kolmogorov type) stationary and non-stationary particle distributions with a flux on a spectrum is submitted. On the basis of Boltzmann collision integrals and in Landau form for not relativistic charged particles interacting under Coulomb law in view of static shielding, in homogene- ous and isotropic matter by analytical methods and with the help completely conservative finite difference schemes consider formation of nonequilibrium particle distribution functions. It is shown, as the received results can be used for a prediction of behaviour of conductors and semiconductors both with own and with impurity conductivity irra- diated with fast-ion beams or laser radiation. НЕРІВНОВАЖНІ КОЛМОГОРІВСЬКОГО ТИПУ РОЗПОДІЛИ ЧАСТИНОК ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ В.Є. Захаров, В.І. Карась Наведено сучасний стан досліджень нерівноважних (колмогорівського типу) стаціонарних та нестаціона- рних розподілів частинок з потоком за спектром. На основі інтегралів зіткнень Больцмана та у формі Ландау для нерелятивістських заряджених частинок, що взаємодіють за законом Кулона з урахуванням статичного екранування, в однорідному та ізотропному середовищі розглянуто аналітичними методами та за допомогою повністю консервативних різницевих схем формування нерівноважних функцій розподілу частинок. Пока- зано, як отримані результати можуть бути використані для передбачення поведінки провідників та напів- провідників як з власною, так і з домішковою провідністю, що опромінюються пучками швидких іонів або лазерним випромінюванням.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-15722
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1562-6016
language	Russian
last_indexed	2025-11-24T11:45:36Z
publishDate	2010
publisher	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
record_format	dspace
spelling	Захаров, В.Е. Карась, В.И. 2011-01-31T17:03:47Z 2011-01-31T17:03:47Z 2010 Неравновесные колмогоровского типа распределения частиц и их приложения / В.Е. Захаров, В.И. Карась // Вопросы атомной науки и техники. — 2010. — № 2. — С. 204-209. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1562-6016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/15722 533.9 Представлено современное состояние исследований нестационарных и стационарных неравновесных (колмогоровского типа) функций распределения (НФР) частиц с потоком по спектру. На основе интегралов столкновений (ИС) Больцмана и в форме Ландау для нерелятивистских заряженных частиц (НЗЧ), взаимодействующих по закону Кулона с учетом статической экранировки, в однородной и изотропной среде аналитическими методами и с помощью полностью консервативных разностных схем рассмотрено формирование НФР частиц. Показано, как полученные результаты могут быть использованы для предсказания поведения проводников и полупроводников как с собственной, так и с примесной проводимостью, облучаемых пучками быстрых ионов или лазерным излучением. Наведено сучасний стан досліджень нерівноважних (колмогорівського типу) стаціонарних та нестаціонарних розподілів частинок з потоком за спектром. На основі інтегралів зіткнень Больцмана та у формі Ландау для нерелятивістських заряджених частинок, що взаємодіють за законом Кулона з урахуванням статичного екранування, в однорідному та ізотропному середовищі розглянуто аналітичними методами та за допомогою повністю консервативних різницевих схем формування нерівноважних функцій розподілу частинок. Показано, як отримані результати можуть бути використані для передбачення поведінки провідників та напівпровідників як з власною, так і з домішковою провідністю, що опромінюються пучками швидких іонів або лазерним випромінюванням. The modern condition of researches nonequilibrium (Kolmogorov type) stationary and non-stationary particle distributions with a flux on a spectrum is submitted. On the basis of Boltzmann collision integrals and in Landau form for not relativistic charged particles interacting under Coulomb law in view of static shielding, in homogeneous and isotropic matter by analytical methods and with the help completely conservative finite difference schemes consider formation of nonequilibrium particle distribution functions. It is shown, as the received results can be used for a prediction of behaviour of conductors and semiconductors both with own and with impurity conductivity irradiated with fast-ion beams or laser radiation. ru Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Применение ускорителей Неравновесные колмогоровского типа распределения частиц и их приложения Нерівноважні колмогорівського типу розподіли частинок та їх застосування Nonequilibrium kolmogorov type particle distributions and their applications Article published earlier
spellingShingle	Неравновесные колмогоровского типа распределения частиц и их приложения Захаров, В.Е. Карась, В.И. Применение ускорителей
title	Неравновесные колмогоровского типа распределения частиц и их приложения
title_alt	Нерівноважні колмогорівського типу розподіли частинок та їх застосування Nonequilibrium kolmogorov type particle distributions and their applications
title_full	Неравновесные колмогоровского типа распределения частиц и их приложения
title_fullStr	Неравновесные колмогоровского типа распределения частиц и их приложения
title_full_unstemmed	Неравновесные колмогоровского типа распределения частиц и их приложения
title_short	Неравновесные колмогоровского типа распределения частиц и их приложения
title_sort	неравновесные колмогоровского типа распределения частиц и их приложения
topic	Применение ускорителей
topic_facet	Применение ускорителей
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/15722
work_keys_str_mv	AT zaharovve neravnovesnyekolmogorovskogotiparaspredeleniâčasticiihpriloženiâ AT karasʹvi neravnovesnyekolmogorovskogotiparaspredeleniâčasticiihpriloženiâ AT zaharovve nerívnovažníkolmogorívsʹkogotipurozpodíličastinoktaíhzastosuvannâ AT karasʹvi nerívnovažníkolmogorívsʹkogotipurozpodíličastinoktaíhzastosuvannâ AT zaharovve nonequilibriumkolmogorovtypeparticledistributionsandtheirapplications AT karasʹvi nonequilibriumkolmogorovtypeparticledistributionsandtheirapplications

Неравновесные колмогоровского типа распределения частиц и их приложения

Institution

Similar Items