Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач
Уведено розширену соболєвську шкалу на гладкому компактному многовиді з краєм. Її утворюють гільбертові простори Хермандера, для яких показником регулярності служить радіальна функція, RO-змінна
 на нескінченності за Авакумовичем. Ці простори не залежать від вибору локальних карт на многовид...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2019 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2019
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158073 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач / Т.М. Касіренко, О.О. Мурач, І.С. Чепурухіна // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 3. — С. 9-16. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860206500767596544 |
|---|---|
| author | Касіренко, Т.М. Мурач, О.О. Чепурухіна, І.С. |
| author_facet | Касіренко, Т.М. Мурач, О.О. Чепурухіна, І.С. |
| citation_txt | Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач / Т.М. Касіренко, О.О. Мурач, І.С. Чепурухіна // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 3. — С. 9-16. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Уведено розширену соболєвську шкалу на гладкому компактному многовиді з краєм. Її утворюють гільбертові простори Хермандера, для яких показником регулярності служить радіальна функція, RO-змінна
на нескінченності за Авакумовичем. Ці простори не залежать від вибору локальних карт на многовиді.
Уведена шкала складається з усіх гільбертових просторів, інтерполяційних для пар гільбертових просторів
Соболєва, отримується інтерполяцією з функціональним параметром цих пар та замкнена відносно цієї
інтерполяції. Як застосування уведеної шкали наведено теорему про нетеровість загальної еліптичної
крайової задачі на відповідних просторах Хермандера і знайдено достатні умови належності її узагальнених розв’язків до простору p ≥ 0 разів неперервно диференційовних функцій.
Введена расширенная соболевская шкала на гладком компактном многообразии с краем. Ее образуют
гильбертовы пространства Хермандера, для которых показателем регулярности служит радиальная функция, RO-меняющаяся на бесконечности по Авакумовичу. Эти пространства не зависят от выбора локальных карт на многообразии. Введенная шкала состоит из всех гильбертовых пространств, интерполяционных для пар гильбертовых пространств Соболева, получается интерполяцией с функциональным параметром этих пар и замкнута относительно этой интерполяции. В качестве применения введенной
шкалы приведена теорема о нетеровости общей эллиптической краевой задачи на соответствующих пространствах Хермандера и найдены достаточные условия принадлежности ее обобщенных решений пространству p≥0 раз непрерывно дифференцируемых функций.
We introduce an extended Sobolev scale on a smooth compact manifold with boundary. The scale is formed by
innerproduct
Hörmander spaces, for which a radial function ROvarying
in the sense of Avakumovic serves as a
regularity index. These spaces do not depend on a choice of local charts on the manifold. The scale consists of
all Hilbert spaces that are interpolation ones for pairs of innerproduct
Sobolev spaces, is obtained by the
interpolation with a function parameter of these pairs, and is closed with respect to this interpolation. As an
application of the scale introduced, we give a theorem on the Fredholm property of a general elliptic bounda ryvalue
problem on appropriate Hörmander spaces and find sufficient conditions, under which its generalized
solutions belong to the space of p≥ 0 times continuously differentiable functions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:12:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
9ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 3
У сучасному математичному аналізі важливу роль відіграють простори розподілів, для яких
показником регулярності служить не число (як у класичних просторах Соболєва), а досить
загальний функціональний параметр, залежний від частотних змінних (див., наприклад,
[1–5]). Понад півстоліття тому Л. Хермандер [1] увів і дослідив широкі класи таких просто
рів та навів їх застосування до диференціальних рівнянь, заданих у евклідових областях.
Утім довгий час простори Хермандера не знаходили широкого застосування в теорії багато
вимірних крайових задач, що було пов’язано з браком зручних аналітичних методів для ро
боти з цими просторами і відсутністю коректного їх означення на многовидах. В останній
час ситуація істотно змінилася завдяки роботам В.А. Михайлеця, О.О. Мурача та їх учнів
(див. [5] і наведену там літературу). Ними виділено класи гільбертових просторів Херман
дера, які отримуються інтерполяцією з функціональним параметром пар соболєвських
просторів і допускають коректне означення на многовидах (незалежне від вибору локаль
них карт). Для таких класів вдалося побудувати теорію розв’язності загальних еліптичних
крайових задач.
Серед цих класів найширшою є сім’я усіх гільбертових просторів, інтерполяційних для
пар гільбертових просторів Соболєва. Її уведено і досліджено в [6–8] для евклідових облас
© Т.М. Касіренко, О.О. Мурач, І.С. Чепурухіна, 2019
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.03.009
УДК 517.982.27
Т.М. Касіренко, О.О. Мурач, І.С. Чепурухіна
Інститут математики НАН України, Київ
Email: kasirenko@imath.kiev.ua, murach@imath.kiev.ua, Chepurukhina@gmail.com
Простори Хермандера на многовидах
та їх застосування до еліптичних крайових задач
Представлено членомкореспондентом НАН України А.Н. Кочубеєм
Уведено розширену соболєвську шкалу на гладкому компактному многовиді з краєм. Її утворюють гільбер
тові простори Хермандера, для яких показником регулярності служить радіальна функція, ROзмінна
на нескінченності за Авакумовичем. Ці простори не залежать від вибору локальних карт на многовиді.
Уведе на шкала складається з усіх гільбертових просторів, інтерполяційних для пар гільбертових просторів
Соболєва, отримується інтерполяцією з функціональним параметром цих пар та замкнена відносно цієї
інтерполяції. Як застосування уведеної шкали наведено теорему про нетеровість загальної еліптичної
крайо вої задачі на відповідних просторах Хермандера і знайдено достатні умови належності її узагальне
них розв’язків до простору p � 0 разів неперервно диференційовних функцій.
Ключові слова: простір Хермандера, розширена соболєвська шкала, інтерполяція просторів, інтерполя
ційний простір, еліптична крайова задача.
10 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 3
Т.М. Касіренко, О.О. Мурач, І.С. Чепурухіна
тей і замкнених гладких многовидів та названо розширеною соболєвською шкалою. Вона
замкнена відносно інтерполяції гільбертових просторів з функціональним параметром.
Мета цієї роботи — увести розширену соболєвську шкалу на довільному гладкому ком
пактному многовиді з краєм і дослідити її властивості, зокрема інтерполяційні. Крім того,
ми наведемо деякі застосування цієї шкали до загальних еліптичних крайових задач.
1. Простори Хермандера на многовидах. Нехай M — компактний орієнтовний нескін
ченно гладкий многовид вимірності 1n� з краєм M∂ ≠ ∅ . Уведемо клас гільбертових функ
ціональних просторів на : \M M M= ∂o , узявши за основу простори Хермандера µ, ( )n
pB R
[1, п. 2.2; 2, п. 10.1], де = 2p , а функція µ частотного аргументу ξ ∈ nR набуває вигляду
( ) ( )µ ξ = ϕ 〈ξ〉 ; тут 2 1/2: (1 | | )〈ξ〉 = + ξ , а ROϕ∈ .
За означенням, множина RO складається з усіх вимірних за Борелем функцій : [1, ) (0, )ϕ ∞ → ∞
: [1, ) (0, )ϕ ∞ → ∞ , для яких існують числа 1b > і 1c� такі, що − ϕ λ ϕ1 ( ) ( )c t t c� � для будьяких
1t� і λ ∈[1, ]b (числа b і c залежать від ϕ ). Клас RO введений В.Г. Авакумовичем [9], до
пускає простий опис і досить повно вивчений (див., наприклад, [10, додаток]). Функцію
ϕ ∈RO називають ROзмінною на нескінченності.
Як відомо [10, с. 88], для кожної функції ROϕ∈ існують дійсні числа 0 1s s� та додатні
числа 0c і 1c такі, що
ϕ λ
λ λ
ϕ
0 1
0 1
( )
( )
s st
c c
t
� �
для довільних
1, 1.t λ� � (1)
Поклавши тут : 1t = , бачимо, що ця функція є міжстепеневою. Її зв’язок зі степеневими
функціями характеризують числа 0( )σ ϕ і 1( )σ ϕ , перше з яких є супремумом усіх дійсних
0s таких, що виконується ліва частина нерівності (1), а друге є інфімумом усіх дійсних 1s
таких, що виконується права частина нерівності (1). Числа 0( )σ ϕ і 1( )σ ϕ називаються від
повідно нижнім і верхнім індексами Матушевської [11] функції ROϕ∈ . Зокрема, якщо во
на правильно змінна на нескінченності [10, с. 9], то ці індекси дорівнюють її порядку.
Нехай ROϕ∈ . Нагадаємо означення вказаного простору Хермандера 2, ( )( )nB ϕ 〈⋅〉 R ,
який будемо позначати через ϕ( )nH R . Ми розглядаємо комплекснозначні функції і розпо
діли та комплексні функціональні простори. За означенням, лінійний простір ( )nH ϕ R
складається з усіх повільно зростаючих розподілів w на nR таких, що їх перетворення
Фур’є ŵ є локально інтегровним за Лебегом на nR і задовольняє умову
2 2 2
,
ˆ|| || : ( )| ( ) | .n
n
w w d
ϕ
= ϕ 〈ξ〉 ξ ξ < ∞∫R
R
Простір ( )nH ϕ R гільбертів і сепарабельний відносно норми
ϕ
⋅
,
|| || nR
.
У випадку степеневої функції ( ) st tϕ ≡ він стає гільбертовим простором Соболєва
( )( )s nH R порядку s ∈R . Узагалі виконуються щільні неперервні вкладення
( ) ( )1 0( ) ( ) ( )
s sn n nH H Hϕ⊂ ⊂R R R
для довільних дійсних чисел s0 і s1, які задовольняють умову (1), зокрема, для довільних
0 0( )s < σ ϕ і 1 1( )s > σ ϕ . Клас просторів ( ) : RO{ }nH ϕ ϕ∈R досліджено в [7; 5, п. 2.4.2] і на
звано розширеною соболєвською шкалою.
11ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 3
Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач
Для відкритої непорожньої множини nΩ ⊂ R простір ϕ Ω( )H складається, за озна
ченням, із звужень на Ω усіх розподілів ( )nw H ϕ∈ R . Цей простір гільбертів і сепарабель
ний відносно норми
ϕ
ϕ Ω ϕ
= ∈ = Ω
, ,
|| || : inf || || : ( ), ,n
nu w w H u w
R
R
де ( )u H ϕ∈ Ω . Він є ізотропним випадком просторів, досліджених Л.Р. Волевичем і
Б.П. Па неяхом [12, § 3]. Нас окремо цікавить випадок, коли множина Ω є півпростором
−
+ = ∈ >′ ′ 1: {( , ) : , 0}n n
n nx x x xR R .
Означимо тепер гільбертів простір ϕ o( )H M за допомогою локальних карт і розбиття
одиниці на M та норм у просторах ϕ( )nH R і ( )nH ϕ
+R . Із C∞ структури на компактному
многовиді M виберемо якийнебудь його скінченний атлас. Не обмежуючи загальності,
вважаємо, що останній складається з l локальних карт +π ↔: n
j jMR , де = …1, ,j l , і 0l ло
кальних карт π ↔: n
j jMR , де = + … + 01, ,j l l l . Тут відкриті (у топології на M ) множини
jM , де 01, ,j l l= … + , утворюють покриття многовиду M таке, що jM M∩∂ ≠ ∅ тоді і лише
тоді, коли j l� . Звісно, −
+ = ∈′ ′ 1: ( , ) : , 0{ }n n
n nx x x xR R � . Крім того, виберемо розбиття оди
ниці на M , утворене деякими функціями )(MCj
∞∈χ , де = … + 01, ,j l l , які задовольняють
умову supp j jMχ ⊂ .
Нехай, як і раніше, ROϕ∈ . За означенням, простір ( )H Mϕ o є поповненням лінійного
многовиду ∞( )C M за нормою
+
ϕ ϕ ϕ+= = +
= χ π + χ π
∑ ∑o o o
1/2
0
2 2
, , ,
1 1
|| || || ( ) || || ( ) || .
l ll
j j n j j nM
j j l
u u u
R R
Тут, звісно, ( )j juχ πo позначає функцію ( ) ( ( ))j ju xχ π аргументу +∈ nx R або ∈ nx R . Цей
простір гільбертів і сепарабельний відносно вказаної норми.
Теорема 1. Гільбертів простір ϕ o( )H M , де ϕ ∈RO , не залежить з точністю до еквіва
лентності норм від вибору атласу многовиду M і відповідного розбиття одиниці на M .
Клас просторів ( ) : RO{ }H Mϕ ϕ∈o називаємо розширеною соболєвською шкалою на
M o . Якщо ϕ ≡( ) st t для деякого ∈s R , то ϕ o( )H M стає гільбертовим простором Соболє ва
порядку s , який позначаємо через o( )( )sH M . У випадку, коли функція ϕ правильно змін
на на нескінченності за Й. Караматою, простір ϕ o( )H M уведено і досліджено в [13, п. 3].
Я кщо oM — евклідова область Ω (обмежена з межею класу ∞C ), то ( ) ( )H M Hϕ ϕ= Ωo з точ
ністю до еквівалентності норм. У цьому випадку розширена соболєвська шкала досліджена
в [8] (навіть для областей з ліпшіцевою межею).
Кожний простір ϕ o( )H M неперервно вкладається у лінійний топологічний простір усіх
продовжуваних розподілів на oM . Тому ці простори можна порівнювати.
Теорема 2. Нехай ϕ ϕ ∈0 1, RO . Вкладення
ϕ ϕ⊂o o1 0( ) ( )H M H M виконується тоді і тіль
ки тоді, коли функція 0 1ϕ ϕ обмежена в околі нескінченності. У цьому випадку вкладення
неперервне. Воно компактне тоді і тільки тоді, коли 0 1( ) ( ) 0t tϕ ϕ → при → ∞t .
З теореми 2 випливає, що для довільних дійсних чисел 0s і 1s , які задовольняють (1),
виконуються неперервні вкладення ϕ⊂ ⊂o o o( ) ( )1 0( ) ( ) ( )
s s
H M H M H M . Ці вкладення ком
пактні, якщо < σ ϕ0 0( )s і 1 1( )s > σ ϕ .
в
12 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 3
Т.М. Касіренко, О.О. Мурач, І.С. Чепурухіна
Обговоримо зв’язок простору ϕ o( )H M з його аналогом на ∂M ; тут 2n� . Зауважимо, що
∂M — замкнений нескінченно гладкий многовид вимірності −1n . Простір ( )H Mη ∂ , де
ROη∈ , уведено і досліджено в [6] (див. також [5, п. 2.4.2]). Він є поповненням лінійного
многовиду ( )C M∞ ∂ за нормою
η ∂ −η
=
= χ π ⋅
∑
1/2
2
, 1,
1
|| || || ( ) ( ( , 0)) || .
l
M j j n
j
h h
R
Простір ( )H Mη ∂ гільбертів та сепарабельний відносно цієї норми і з точністю до ек ві
валентності норм не залежить від вибору локальних карт −π ⋅ ↔ ∩ ∂1( , 0) : n
j jM MR , які по
кривають многовид M∂ , та відповідного розбиття одиниці на M∂ [6, с. 32].
Теорема 3. Нехай ϕ ∈RO і 0( ) 1 2σ ϕ > . Тоді відображення : | MR u u ∂a , де ( )u C M∞∈ ,
продовжується єдиним чином (за неперервністю) до обмеженого лінійного оператора сліду
1/2
: ( ) ( )R H M H M
−ϕ ϕρ→ ∂o . Цей оператор сюр’єктивний і має обмежений лінійний правий обер
нений оператор
−ϕρ ϕ∂ → o
1/2
: ( ) ( )S H M H M такий, що відображення S не залежить від ϕ .
Тут і далі використано функціональний параметр ( ) :t tρ = аргументу 1t� . Отже, 1/2−ϕρ
позначає функцію 1/2( )t t −ϕ аргументу t .
З теореми 3 випливає, що простір ( )H Mη ∂ , де ROη∈ і 0( ) 0σ η > , складається зі слідів
на ∂M усіх розподілів ηρ∈ o
1/2
( )u H M , а норма у цьому просторі еквівалентна нормі
ηρ
ηρ
∈ =
o
o
1/2
1/2,
inf || || : ( ), ,
M
u u H M Ru h
де ( )h H Mη∈ ∂ .
2. Інтерполяційні властивості просторів Хермандера. Розширена соболєвська шкала
на oM складається (з точністю до еквівалентності норм) з усіх гільбертових просторів, ін
терполяційних для пар соболєвських просторів o( )0 ( )
s
H M і
( )1 ( )
s
H M o , де 0 1s s< . Нагадаємо,
що гільбертів простір X називають інтерполяційним для пари 0 1[ , ]H H гільбертових про
сторів, другий з яких неперервно вкладений у перший, якщо задовольняються такі дві влас
тивості: а) виконуються неперервні вкладення 1 0H X H⊂ ⊂ ; б) як тільки якийнебудь лі
нійний оператор T є обмеженим на 0H і на 1H , то він є також обмеженим на X . Зазначена
інтерполяційна властивість цієї шкали випливає з такого результату:
Теорема 4. Нехай ∈0 1,s s R і 0 1s s< . Гільбертів простір X є інтерполяційним для пари
соболєвських просторів o( )0 ( )
s
H M і
( )1 ( )
s
H M o тоді і тільки тоді, коли ϕ= o( )X H M з точ
ністю до еквівалентності норм для деякого параметра ROϕ∈ , який задовольняє умову (1).
Зауважимо тут, що умову (1) можна переформулювати за допомогою індексів
Матушевської. А саме — вона еквівалентна такій парі умов: i) 0 0( )s σ ϕ� , причому < σ ϕ0 0( )s ,
якщо в означенні σ ϕ0( ) супремум не досягається; ii) σ ϕ1 1( ) s� , причому 1 1( ) sσ ϕ < , якщо в
означенні σ1(ϕ) інфімум не досягається.
Для застосувань просторів ϕ o( )H M важливо, що вони отримуються інтерполяцією з
функціональним параметром деяких пар гільбертових соболєвських просторів на M o . У
цьому зв’язку нагадаємо означення методу інтерполяції з функціональним параметром пар
13ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 3
Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач
гільбертових просторів, запропонованого Ч. Фояшом і Ж.Л. Ліонсом [14]. У його викла
ді спираємося в основному на монографію [5, п. 1.1].
Нам достатньо обмежитися випадком регулярної пари 0 1: [ , ]H H H= сепарабельних
гільбертових просторів. Її регулярність означає, що 1H неперервно і щільно вкладено в 0H .
Для неї існує самоспряжений додатно визначений оператор J у гільбертовому просторі 0H
з областю визначення 1H , який встановлює ізометричний ізоморфізм між гільбертовими
просторами 1H і 0H . Цей оператор визначається за парою H однозначно.
Нехай вимірна за Борелем функція ψ ∞ → ∞: (0, ) (0, ) обмежена на кожному відрізку
[ , ]a b , де 0 a b< < < ∞ , і відокремлена від нуля на кожній множині ∞[ , )r , де 0r > . Множину
усіх таких функцій позначимо через B . У гільбертовому просторі 0H за допомогою спект
ральної теореми означений (взагалі кажучи, необмежений) оператор ( )Jψ як борелева
функція ψ від самоспряженого оператора J . Позначимо через 0 1[ , ]H H ψ або коротко через
Hψ область визначення оператора ( )Jψ , наділену нормою
ψ
= ψ
0
|| || : || ( ) ||H Hu J u , де ψ∈u H .
Простір Hψ гільбертів і сепарабельний, до того ж виконується неперервне і щільне вкла
дення ψ ⊂ 0H H .
Функцію ψ називають інтерполяційним параметром, якщо для довільних регулярних
пар = 0 1: [ , ]H H H і = 0 1: [ , ]G G G гільбертових просторів та для довільного лінійного відобра
ження T , заданого на 0H , виконується така властивість: якщо при кожному ∈{0, 1}j зву
ження відображення T на простір jH є обмеженим оператором →: j jT H G , то і звужен ня
відображення T на простір ψH є обмеженим оператором ψ ψ→:T H G . Тоді кажуть, що прос
тір ψH отримано інтерполяцією з функціональним параметром ψ пари H . Функція ψ ∈B
є інтерполяційним параметром тоді і тільки тоді, коли існує вгнута функція 0 : ( , ) (0, )rψ ∞ → ∞
: ( , ) (0, )ψ ∞ → ∞ така, що обидві функції 0ψ ψ і ψ ψ0 обмежені на ∞( , )r , де >> 1r .
Теорема 5. Нехай ϕ ∈RO , а дійсні числа <0 1s s задовольняють умову (1). Означимо ін
терполяційний параметр ψ ∈B за формулами
− − −ψ τ = τ ϕ τ( ) 1 ( )0 1 0 1 0( ) : ( )
s s s s s
, якщо 1τ� , і
( ) : (1)ψ τ = ϕ , якщо 0 1< τ < . Тоді
ϕ
ψ=o o o( ) ( )0 1( ) [ ( ), ( )]
s s
H M H M H M з еквівалентністю норм.
Зауважимо, що будьякі числа 0 0( )s < σ ϕ і > σ ϕ1 1( )s задовольняють умову (1) сто
совно ϕ ∈RO .
Розширена соболєвська шкала на M o замкнена відносно розглянутого методу інтерпо
ляції з функціональним параметром.
Теорема 6. Нехай 0 1, ROϕ ϕ ∈ і ψ ∈B . Припустимо, що функція 0 1/ϕ ϕ обмежена в околі
нескінченності, а функція ψ є інтерполяційним параметром. Тоді
ϕ ϕ ϕ
ψ =o o o0 1( ), ( ) ( )[ ]H M H M H M з еквівалентністю норм,
де функція 0 1 0( ) : ( ) ( ( ) ( ))t t t tϕ = ϕ ψ ϕ ϕ аргументу 1t� належить до класу RO .
У випадку, коли oM — евклідова область, теореми 4–6 доведено в [8].
3. Застосування. Розглянемо на oM еліптичну крайову задачу
Au = f на M°, Bju = gj на ∂M, j = 1, ..., q (2)
14 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 3
Т.М. Касіренко, О.О. Мурач, І.С. Чепурухіна
(див., наприклад, [15, п. 1.2]). Тут A — лінійний диференціальний оператор на M довіль
ного парного порядку 2 2q� , а кожне jB — крайовий лінійний диференціальний оператор
на M∂ довільного порядку 0jm � . Усі коефіцієнти цих операторів належать до класів
( )C M∞ і ∞ ∂( )C M відповідно. Покладемо 1: ( , , )qB B B= … і 1: max{ , , }qm m m= … .
Теорема 7. Нехай ROϕ∈ і σ ϕ > +0( ) 1 2m . Тоді відображення …a 1( , , , , )qu Au B u B u , де
∞∈ ( )u C M , продовжується єдиним чином (за неперервністю) до обмеженого лінійного опе
ратора на парі гільбертових просторів
1 22
1
( ) ( ) ( ).
mq jq
j
H M i H M H M
− −−ϕ ϕρ ϕρ
=
⊕ ∂⊕o o
Цей оператор нетерів. Його ядро лежить в ∞( )C M і разом з індексом не залежить від ϕ.
Ця теорема виводиться із соболєвського випадку (коли ϕ ≡( ) st t ) за допомогою інтер
поляційної теореми 5 та її аналогу для просторів Хермандера на M∂ .
Нехай U — відкрита (у топології на M ) підмножина многовиду M , а = ∩ ∂ ≠ ∅:V U M .
Позначимо через ϕ
loc( )H U , де ROϕ∈ , лінійний простір усіх продовжуваних розподілів u
на oM таких, що ( )u H Mϕχ ∈ o для довільної функції ( )C M∞χ∈ , яка задовольняє умову
supp Uχ ⊂ . Аналогічно позначимо через η
loc( )H V , де ROη∈ , лінійний простір усіх розподі
лів h на ∂M таких, що ( )h H Mηχ ∈ ∂ для довільної функції ( )C M∞χ∈ ∂ , яка задовольняє
умову χ ⊂supp V .
Теорема 8. Припустимо, що функція
> +
∈ ∪ ( )
1 2
( )s
s m
u H M є розв’язком еліптичної крайо
вої задачі (2), праві частини якої задовольняють умову
− −−ϕρ ϕρ
=
… ∈ ×∏
1 22
1 loc loc
1
( , , , ) ( ) ( )
mq jq
q
j
f g g H U H V
для деякого параметра ϕ ∈RO такого, що σ ϕ > +0( ) 1 2m . Тоді ϕ∈ loc( )u H U .
З цієї теореми і версії теореми вкладення Хермандера [1, с. 59] для простору ( )H Mϕ
випливає
Теорема 9. Нехай ціле число 0p� . Припустимо, що функція u задовольняє умову тео
реми 8, де
∞
+ − −ϕ < ∞∫ 2 1 2
1
( ) .p nt t dt (3)
Тоді ( )pu C U∈ . Умова (3) є точною.
Публікація містить результати досліджень, проведених за грантом Президента України
за конкурсним проектом Ф75/29007 Державного фонду фундаментальних досліджень.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. Москва: Мир,
1965. 380 с.
2. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В 4х т.
Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. Москва: Мир, 1986. 456 с.
15ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 3
Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач
3. Jacob N. Pseudodifferential operators and Markov processes: In 3 vol. London: Imperial College Press., 2001,
2002, 2005.
4. Nicola F., Rodino L. Global Pseudodifferential Calculus on Euclidean spaces. Basel: Birkhäuser, 2010. x+306 p.
5. Mikhailets V.A., Murach A.A. Hormander spaces, interpolation, and elliptic problems. Berlin, Boston: De
Gruyter, 2014. xii+297 p.
6. Михайлец В.А., Мурач А.А. Об эллиптических операторах на замкнутом многообразии. Допов. Нац.
акад. наук Укр. 2009. № 3. С. 13—19.
7. Михайлец В.А., Мурач А.А. Расширенная соболевская шкала и эллиптические операторы. Укр. мат.
журн. 2013. 65, № 3. С. 368—380.
8. Mikhailets V.A., Murach A.A. Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces. Results Math. 2015. 67,
№ 1. P. 135—152.
9. Avakumović V.G. O jednom Oinverznom stavu. Rad. Jugoslovenske Akad. Znatn. Umjetnosti. 1936. 254.
P. 167—186.
10. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. Москва: Наука, 1985. 144 с.
11. Matuszewska W. On a generalization of regularly increasing functions. Stud. Math. 1964. 24. P. 271–279.
12. Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения. Успехи
мат. наук. 1965. 20, № 1. С. 3—74.
13. Михайлец В.А., Мурач А.А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II. Укр.
мат. журн. 2006. 58, № 3. С. 352—370.
14. Foiaş C., Lions J.L. Sur certains théorèmes d'interpolation. Acta Sci. Math. (Szeged). 1961. 22, № 3—4.
P. 269—282.
15. Agranovich M.S. Elliptic boundary problems. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 79. Partial
differential equations, IX. Berlin: Springer, 1997. P. 1—144.
Надійшло до редакції 11.12.2018
REFERENCES
1. Hörmander, L. (1963). Linear partial differential operators. Berlin: Springer.
2. Hörmander, L. (1983). The analysis of linear partial differential operators. (Vol. 2). Differential operators
with constant coefficients. Berlin: Springer.
3. Jacob, N. (2001, 2002, 2005). Pseudodifferential operators and Markov processes (in 3 vols). London: Impe
rial College Press.
4. Nicola, F. & Rodino, L. (2010). Global Pseudodifferential Calculus on Euclidean spaces. Basel: Birkhäuser.
5. Mikhailets, V. A. & Murach, A. A. (2014). Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. Berlin,
Boston: De Gruyter.
6. Mikhailets, V. A. & Murach, A. A. (2009). Elliptic operators on a closed compact manifold. Dopov. Nac. akad.
nauk. Ukr., No. 3, pp. 1319 (in Russian).
7. Mikhailets, V. A. & Murach, A. A. (2013). Extended Sobolev scale and elliptic operators. Ukr. Math. J., 65,
No. 3, pp. 435447.
8. Mikhailets, V. A. & Murach, A. A. (2015). Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces. Results
Math, 67, No. 1, pp. 135152.
9. Avakumović, V. G. (1936). O jednom Oinverznom stavu. Rad. Jugoslovenske Akad. Znatn. Umjetnosti, 254,
pp. 167186.
10. Seneta, E. (1976). Regularly varying functions. Berlin: Springer.
11. Matuszewska, W. (1964). On a generalization of regularly increasing functions. Studia Math., 24, pp. 271279.
12. Volevich, L. R. & Paneah, B. P. (1965). Certain spaces of generalized functions and embedding theorems.
Russ. Math. Surv., 20, No. 1, pp. 173.
13. Mikhailets, V. A. & Murach, A. A. (2006). Refined scales of spaces, and elliptic boundary value problems. II.
Ukr. Math. J., 58, No. 3, pp. 398417.
14. Foiaş, C. & Lions, J.L. (1961). Sur certains théorèmes d’interpolation. Acta Sci. Math. (Szeged), 22, No. 34,
pp. 269282.
15. Agranovich, M.S. (1997). Elliptic boundary problems. In Encyclopaedia of Mathematical Sciences (Vol. 79).
Partial differential equations, IX (pp. 1144). Berlin: Springer.
Received 11.12.2018
16 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 3
Т.М. Касіренко, О.О. Мурач, І.С. Чепурухіна
Т.Н. Касиренко, А.А. Мурач, И.С. Чепурухина
Інститут математики НАН Украины, Киев
Email: kasirenko@imath.kiev.ua, murach@imath.kiev.ua, Chepurukhina@gmail.com
ПРОСТРАНСТВА ХЕРМАНДЕРА НА МНОГООБРАЗИЯХ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ
Введена расширенная соболевская шкала на гладком компактном многообразии с краем. Ее образуют
гильбертовы пространства Хермандера, для которых показателем регулярности служит радиальная функ
ция, ROменяющаяся на бесконечности по Авакумовичу. Эти пространства не зависят от выбора локаль
ных карт на многообразии. Введенная шкала состоит из всех гильбертовых пространств, интерполяцион
ных для пар гильбертовых пространств Соболева, получается интерполяцией с функциональным пара
метром этих пар и замкнута относительно этой интерполяции. В качестве применения введенной
шка лы приведена теорема о нетеровости общей эллиптической краевой задачи на соответствующих про
странствах Хермандера и найдены достаточные условия принадлежности ее обобщенных решений про
странству 0p� раз непрерывно дифференцируемых функций.
Ключевые слова: пространство Хермандера, расширенная соболевская шкала, интерполяция пространств,
интерполяционное пространство, эллиптическая краевая задача.
T.M. Kasirenko, A.A. Murach, I.S. Chepurukhina
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev
Email: kasirenko@imath.kiev.ua, murach@imath.kiev.ua, Chepurukhina@gmail.com
HÖRMANDER SPACES ON MANIFOLDS, AND THEIR APPLICATION
TO ELLIPTIC BOUNDARYVALUE PROBLEMS
We introduce an extended Sobolev scale on a smooth compact manifold with boundary. The scale is formed by
innerproduct Hörmander spaces, for which a radial function ROvarying in the sense of Avakumović serves as a
regularity index. These spaces do not depend on a choice of local charts on the manifold. The scale consists of
all Hilbert spaces that are interpolation ones for pairs of innerproduct Sobolev spaces, is obtained by the
interpolation with a function parameter of these pairs, and is closed with respect to this interpolation. As an
application of the scale introduced, we give a theorem on the Fredholm property of a general elliptic bounda ry
value problem on appropriate Hörmander spaces and find sufficient conditions, under which its generalized
solutions belong to the space of 0p� times continuously differentiable functions.
Keywords: Hörmander space, extended Sobolev scale, interpolation between spaces, interpolation space, elliptic
boundaryvalue problem.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-158073 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:12:37Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Касіренко, Т.М. Мурач, О.О. Чепурухіна, І.С. 2019-07-10T12:13:08Z 2019-07-10T12:13:08Z 2019 Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач / Т.М. Касіренко, О.О. Мурач, І.С. Чепурухіна // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 3. — С. 9-16. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.03.009 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158073 517.982.27 Уведено розширену соболєвську шкалу на гладкому компактному многовиді з краєм. Її утворюють гільбертові простори Хермандера, для яких показником регулярності служить радіальна функція, RO-змінна
 на нескінченності за Авакумовичем. Ці простори не залежать від вибору локальних карт на многовиді.
 Уведена шкала складається з усіх гільбертових просторів, інтерполяційних для пар гільбертових просторів
 Соболєва, отримується інтерполяцією з функціональним параметром цих пар та замкнена відносно цієї
 інтерполяції. Як застосування уведеної шкали наведено теорему про нетеровість загальної еліптичної
 крайової задачі на відповідних просторах Хермандера і знайдено достатні умови належності її узагальнених розв’язків до простору p ≥ 0 разів неперервно диференційовних функцій. Введена расширенная соболевская шкала на гладком компактном многообразии с краем. Ее образуют
 гильбертовы пространства Хермандера, для которых показателем регулярности служит радиальная функция, RO-меняющаяся на бесконечности по Авакумовичу. Эти пространства не зависят от выбора локальных карт на многообразии. Введенная шкала состоит из всех гильбертовых пространств, интерполяционных для пар гильбертовых пространств Соболева, получается интерполяцией с функциональным параметром этих пар и замкнута относительно этой интерполяции. В качестве применения введенной
 шкалы приведена теорема о нетеровости общей эллиптической краевой задачи на соответствующих пространствах Хермандера и найдены достаточные условия принадлежности ее обобщенных решений пространству p≥0 раз непрерывно дифференцируемых функций. We introduce an extended Sobolev scale on a smooth compact manifold with boundary. The scale is formed by
 innerproduct
 Hörmander spaces, for which a radial function ROvarying
 in the sense of Avakumovic serves as a
 regularity index. These spaces do not depend on a choice of local charts on the manifold. The scale consists of
 all Hilbert spaces that are interpolation ones for pairs of innerproduct
 Sobolev spaces, is obtained by the
 interpolation with a function parameter of these pairs, and is closed with respect to this interpolation. As an
 application of the scale introduced, we give a theorem on the Fredholm property of a general elliptic bounda ryvalue
 problem on appropriate Hörmander spaces and find sufficient conditions, under which its generalized
 solutions belong to the space of p≥ 0 times continuously differentiable functions. Публікація містить результати досліджень, проведених за грантом Президента України
 за конкурсним проектом Ф75/29007 Державного фонду фундаментальних досліджень. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач Пространства Хермандера на многообразиях и их применение к эллиптическим краевым задачам Hörmander spaces on manifolds, and their application to elliptic boundaryvalue problems Article published earlier |
| spellingShingle | Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач Касіренко, Т.М. Мурач, О.О. Чепурухіна, І.С. Математика |
| title | Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач |
| title_alt | Пространства Хермандера на многообразиях и их применение к эллиптическим краевым задачам Hörmander spaces on manifolds, and their application to elliptic boundaryvalue problems |
| title_full | Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач |
| title_fullStr | Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач |
| title_full_unstemmed | Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач |
| title_short | Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач |
| title_sort | простори хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158073 |
| work_keys_str_mv | AT kasírenkotm prostorihermanderanamnogovidahtaíhzastosuvannâdoelíptičnihkraiovihzadač AT muračoo prostorihermanderanamnogovidahtaíhzastosuvannâdoelíptičnihkraiovihzadač AT čepuruhínaís prostorihermanderanamnogovidahtaíhzastosuvannâdoelíptičnihkraiovihzadač AT kasírenkotm prostranstvahermanderanamnogoobraziâhiihprimeneniekélliptičeskimkraevymzadačam AT muračoo prostranstvahermanderanamnogoobraziâhiihprimeneniekélliptičeskimkraevymzadačam AT čepuruhínaís prostranstvahermanderanamnogoobraziâhiihprimeneniekélliptičeskimkraevymzadačam AT kasírenkotm hormanderspacesonmanifoldsandtheirapplicationtoellipticboundaryvalueproblems AT muračoo hormanderspacesonmanifoldsandtheirapplicationtoellipticboundaryvalueproblems AT čepuruhínaís hormanderspacesonmanifoldsandtheirapplicationtoellipticboundaryvalueproblems |