Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації сингулярного інтегрального рівняння
Розглянуто крайову тріщину нормального відриву в напівнескінченній площині. Зону передруйнування біля фронту тріщини описано за допомогою моделі зони зчеплення, в основі якої лежить нерівномірний закон зчеплення—відриву. Сингулярне рівняння з узагальненим ядром Коші, що дає розв'язок задачі,...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2019 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2019
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158105 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Розв'язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації сингулярного інтегрального рівняння / М.Ф. Селіванов // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 5. — С. 34-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859881835199201280 |
|---|---|
| author | Селіванов, М.Ф. |
| author_facet | Селіванов, М.Ф. |
| citation_txt | Розв'язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації сингулярного інтегрального рівняння / М.Ф. Селіванов // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 5. — С. 34-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто крайову тріщину нормального відриву в напівнескінченній площині. Зону передруйнування біля
фронту тріщини описано за допомогою моделі зони зчеплення, в основі якої лежить нерівномірний закон
зчеплення—відриву. Сингулярне рівняння з узагальненим ядром Коші, що дає розв'язок задачі, після регуляризації розв’язується колокаційним методом, який дозволив врахувати зв’язаність зчеплення та відриву.
Представлений алгоритм розв'язання задачі також враховує умову плавності змикання берегів. Числовий
приклад побудовано в умовах граничного стану для степеневого закону зчеплення–відриву з ділянкою зміцнення. Встановлено, що регуляризація при розв’язанні задачі практично не впливає на значення критичного навантаження.
Рассмотрено краевую трещину нормального отрыва в полубесконечной плоскости. Зону предразрушения
у фронта трещины описано при помощи модели зоны сцепления, в основе которой лежит неравномерный
закон сцепления–отрыва. Сингулярное интегральное уравнение с обобщенным ядром Коши после регуляризации решается методом коллокаций, который позволил учесть связанность сцепления и отрыва. Построенный алгоритм решения задачи также учитывает условие плавности смыкания берегов. Числовой пример построен в условиях предельного состояния для степенного закона сцепления–отрыва с участком
упрочнения. Установлено, что регуляризация при решении задачи практически не влияет на значение
критической нагрузки.
An edge mode I crack in a semiinfinite plane is considered. The fracture zone at the front of the crack is modeled
with the use of the cohesive zone model, which is based on the non-uniform traction-separation law. The singular
integral equation with a generalized Cauchy kernel is solved by the collocation method after the regularization,
using the method allowing us to consider the coupling of traction and separation. The constructed algorithm for
solving the problem also includes the condition of smooth crack closure. The numeric example is built, by meeting
the limiting equilibrium condition for the power traction–separation law with a hardening segment. It is established
that the regularization in solving the problem has no effect on the value of critical loading.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:53:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 5
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.05.034
УДК 539.421
М.Ф. Селіванов
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: mfs@ukr.net
Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення
шляхом регуляризації сингулярного інтегрального рівняння
Представлено членом-кореспондентом НАН України В.М. Назаренком
Розглянуто крайову тріщину нормального відриву в напівнескінченній площині. Зону передруйнування біля
фронту тріщини описано за допомогою моделі зони зчеплення, в основі якої лежить нерівномірний закон
зчеплення—відриву. Сингулярне рівняння з узагальненим ядром Коші, що дає розв’язок задачі, після регуля-
ризації розв’язується колокаційним методом, який дозволив врахувати зв’язаність зчеплення та відриву.
Представлений алгоритм розв’язання задачі також враховує умову плавності змикання берегів. Числовий
приклад побудовано в умовах граничного стану для степеневого закону зчеплення–відриву з ділянкою зміц-
нення. Встановлено, що регуляризація при розв’язанні задачі практично не впливає на значення критичного
навантаження.
Ключові слова: крайова тріщина, модель зони зчеплення, інтегральне рівняння з узагальненим ядром Коші,
умова плавності змикання берегів тріщини.
У дослідженні [1], де інтегральне рівняння з узагальненим ядром Коші, що визначає роз в’я-
зок задачі про крайову тріщину, було розв’язано без регуляризації. Це призвело до осциля-
ції розв’язку за певних законів зчеплення—відриву (ЗЗВ).
Розглянемо задачу про стан граничної рівноваги крайової тріщини в напівнескінченній
площині за наявності зони передруйнування біля її фронту (рис. 1, а, де λ і β – вершини
фізичної та фіктивної тріщин відповідно, ( )xΔ — розкриття тріщини). Тріщина розташова-
на вздовж нормалі до границі півплощини, розподілене розтягувальне навантаження при-
кладене на значній відстані від тріщини вздовж нормалі до її площини.
Розв’язок задачі має вигляд (введені позначення ілюструє рис. 1, б)
0
max
1
( , ) ( ) ( ), 0 ,
( ) [ ( )] ( ), ( ) ( ) ,
( ) 0,
K d L
T H d
β
β
∞
ξ
ξ τ ϕ τ τ = ψ ξ < ξ<β
π
ψ ξ = σ − σ Δ ξ ξ− λ Δ ξ = ϕ τ τ
′Δ β =
∫
∫ (1)
© М.Ф. Селіванов, 2019
35ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 5
Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації...
( 1)/(2 )L = κ+ μ — пружна стала ( κ — стала Колосова, μ — модуль зсуву); H — функція Ге-
вісайда; ( )T Δ — заданий ЗЗВ; max/Δ = Δ Δ — безрозмірний відрив; міцність зчеплення maxσ
та критичний відрив maxΔ є фізичними параметрами моделі,
2
0
1
( , ) ( , ),
1
( , ) , {1, 6, 2}.
r
r
r r
r
K h
h d d
=
ξ τ = − ξ τ
τ−ξ
∂
ξ τ = ξ =
τ+ ξ∂ξ
∑
Зауважимо, що окрім функції ϕ в задачі (1) невідомою є і величина β . При дослідженні
стану граничної рівноваги у визначальну систему (1) необхідно додати рівняння max( )Δ λ = Δ .
Форму функції h обрано для зручності подальшого аналізу. Більш звична форма за-
пису цієї функції така:
2 2
3
4
( , ) .
( )
h
τ − ξτ−ξ
ξ τ =
τ+ ξ
Розділимо перше рівняння (1) на maxLσ ; після заміни tτ = β , xξ = β , , [0,1]t x∈ отримаємо
( , ) ( ),B f x x= σ (2)
1
max max 0
( ) ( ) 1
( ) , ( ) , ( , ) ( , ) ( ) .
t x
f t x B f x K x t f t dt
L
ϕ β ψ β
= σ = =
σ σ π ∫
Для регуляризації (2) розв’яжемо рівняння
1
0
1 ( )
( ),
f t
dt y x
t x
=
π −∫ (3)
вважаючи функцію
1
0
1
( ) ( ) ( , ) ( )y x x h x t f t dt= σ +
π ∫
відомою. Розв’язок рівняння (3) є добре відомим [2]:
1 1/2
1/2
0
1 ( ) ( ) (1 )
( ) , ( ) .
( )
X t y t t
f x dt X t
t xX x t
−
= − =
−π ∫
Рис. 1
36 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 5
М.Ф. Селіванов
Підставимо
1
0
1
( ) ( ) ( , ) ( )y t t h t s f s ds= σ +
π ∫
у вираз для ( )f x . Враховуючи, що
1
1/2 3/2
0
2
0
2 2
1 ( ) ( , ) ( , )
,
(1 )
1
( , ) 5 7 ( , ), ( , ) ( ) ,
( ) {17 19 3.5, 2(7 4)( 1), 2( 1) },
r
r
s s r r
r
X t h t s R x s
dt
t x s s
R x s x s R x s R x s c x x
s xx
c x x x x x x
=
= −
π − +
∂
= − + + =
+∂
= − + − − −
∫
∑
отримаємо
1
1/2 3/2
0
1 1 ( , ) ( )
( ) ( ) ,
( ) (1 )
R x s f s
f x P x ds
X x s s
⎧ ⎫⎪ ⎪= +⎨ ⎬π +⎪ ⎪⎩ ⎭
∫ (4)
де
1
0
1 ( ) ( )
( ) .
X t t
P x dt
t x
σ
= −
π −∫
Зазначимо, що за сталої силової функції 0( )xσ = σ матимемо 0( )P x = σ . Ядро R можна по-
дати у вигляді
2 2 2 2 2
3
(2 10 7) 2 (4 4 1) (2 2 1)
( , ) .
2( )
s s s xs s s x s s
R x s
s x
+ + − + + − + +
=
+
Складова цього ядра ( , )sR x t , яку називають узагальненим ядром Коші, має стаціонар-
ну сингулярність у лівому кінці інтервалу [0,1] .
Перепишемо (4) у вигляді
1
1/2 3/2
0
1 ( , ) ( )
( ) ( ) ( ).
(1 )
R x t f t
X x f x dt P x
t t
− =
π +∫
Це рівняння можна подати у формі
1
0
1
( ) ( ) ( , ) ( ) ( ),a x u x R x t u t dt P x− =
π ∫ (5)
де
1/2 3/2
1/2 3/2
( )
( ) (1 ) (1 ) , ( ) .
(1 )
f x
a x x x u x
x x
= − + =
+
Введемо вагову функцію bx в (5) та запишемо характеристичне рівняння для визна-
чення b (див. рівняння (25b) в [3]):
0 1 2
1
1 { (0) (0) (0) ( 1)} 0,
sin
c c b c b b
b
+ + + − =
π
звідси 1/2b = − . Таким чином, щоб виділити сингулярність у рівнянні (5) невідому функцію
треба шукати у вигляді 1/2( ) ( )/u x q x x= , де q — регулярна функція. З метою врахування
цього висновку та сингулярності в правому кінці інтервалу [0,1] шукатиме невідому функ-
37ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 5
Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації...
цію у вигляді
1/2( ) ˆ( ) , ( ) [ (1 )] .
ˆ ( )
q x
u x X x x x
X x
= = −
Для врахування умови плавності змикання берегів (третій рядок в (1)) збільшимо до-
вжину фіктивної тріщини з β до δ та перепишемо силову функцію у вигляді (рис. 1, в)
ˆ( ) [ ( )] ( / ) ˆ ( ) ( / ),x T x H x x H x∞σ = σ − Δ −λ δ +σ −β δ
де max/∞ ∞σ = σ σ , ˆ( )T Δ — подовжене на від’ємний відрив зчеплення (безрозмірне)
1
max
max
( ), 0,ˆ( ) ( ) ( ) , ,
( ), 0, x
T L
T x w f t dt w
P δ
⎧ Δ Δ δ σ
Δ = Δ = =⎨ ΔΔ Δ <⎩
∫ (6)
допоміжне напруження ˆ ( )xσ визначається з умови ( ) 0xΔ , 1xβ δ < ; геометричний па-
раметр δ обирається таким чином, щоб напевне виконувалась умова β < δ .
Рівняння (5) набуде вигляду
( , ) ( ),A q x P x= (7)
де ліва частина
13/2
1/2
0
3/2
1 1/2
1
(1 ) 1 ( )
( , ) ( ) ( , ) ,
ˆ ( )
( ) (1 )
( ) , ( ) ,
( ) (1 )
x q t
A q x q x R x t dt
x X t
f t t
q t t
t t
+
= −
π
+
= ω =
ω −
∫
а силова функція
1 1
/ /
ˆ( ) ( ) ( ),
ˆ ˆ1 ( ) [ ( )] 1 ( ) ( )ˆ( ) , ( ) .
P x P x P x
X t T x X t t
P x dt P x dt
t x t x
∞
λ δ β δ
= σ − +
Δ σ
= − = −
π − π −∫ ∫
(8)
Невідому регулярну функцію q визначатимемо з (7) у кусково-лінійній формі. Для
знаходження параметрів функції q перепишемо ліву частину (7) у формі
3/2
1/2
1
(1 ) 1
( , ) ( ) ( ) ,
n
k k
k
x
A q x q x J x q
x =
+
= −
π∑
де kq – значення шуканої функції ( )q x в квадратурних точках kt ,
1 2 1 1 1 1 1
1 1 1 1
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ), 2, , 1,
n n n n
k k k k k k k
J x t Q x S x J x t Q x S x
J x t Q x t Q S x S x k n
− − −
+ − − −
′ ′ ′ ′= − = − +
′ ′ ′ ′= − − + = … −
1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( ) , ( ) ,
( , ) ( , )
( , ) , ( , ) .
ˆ ˆ( ) ( )
k k k k
k k
k k
Q x t Q x t S x t S x t
Q x S x
t t
R x t tR x t
Q x t dt S x t dt
X t X t
+ +− −′ ′= =
Δ Δ
= =∫ ∫
38 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 5
М.Ф. Селіванов
Введемо позначення
( , ) , 0,1, 0,1, 2
ˆ( )( )
r k
kr r
t dt
I x t k r
X t t xx
∂
= = =
+∂ ∫
та обчислимо наявні в ньому інтеграли:
1/2
00 1/2 1/2
01 00
2
2
02 002 2
2 ( )
( , ) arctg ,
[ (1 )] (1 )
ˆ1 1 ( )
( , ) ( , ) ,
1 2
1 3 8 6 3 5 ˆ( , ) 2 2 ( , ) ( ) ;
4( 1) 2 ( )
x X t
I x t
x x x
X t
I x t x I x t
x t x
x tx t x
I x t x x I x t X t
x t x
⎡ ⎤
= − ⎢ ⎥
+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+ + +⎛ ⎞= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
10 00
1
11 002
2
1
12 0042 2
( , ) ( , ) ( ), ( ) 2arctg ( ),
1 ˆ( , ) ( , ) ( ) ,
1
4 2 ˆ( , ) ( ) ( , ) ( ) .
(1 ) 2( )
I x t xI x t I t I t X t
x
I x t I x t X t
x t x
x x tx t x
I x t x I x t X t
x t x
= − − =
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
⎡ ⎤+ − +
= + −⎢ ⎥
+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
Тоді
2
11
02
0
2
23 1 1
14 2 2
0
ˆ( , ) (7 ) ( ) ( ) ( ) ( , ),
ˆ ˆ( , ) (7 ){ ( ) ( )} ( ) ( ) ( , ).
r r
r
r r
r
Q x t x I t X t c x I x t
S x t x I t X t tX t c x I x t
=
=
= − − +
= − + − +
∑
∑
Неважко переконатись, що ( , )kS x t ( 1, ,k n= … ) і ( , )kQ x t ( 2, ,k n= … ) є обмеженими
при 0x → , а
1 1/2
( , ) (1),Q x t O
x
π
= − +
отже
1 1/2
( ) (1), ( ) (1), 2, , .kJ x O J x O k n
x
π
= + = = …
В точках колокації mx (які збігаються з квадратурними точками)
3/2
1 1/2
0, 1,
( , ) , ( ) (1 )
, 1,
n
m mk m mk k m m
mkk
m
m
A q x j q j J x x
m
x=
=⎧
⎪
= = + +⎨ δ >⎪
⎩
∑
де mkδ — символ Кронекера.
Права частина (7) міститиме вираз (див. (8))
1 1
1
/ /
ˆ1 ( ) [ ( )]
( ) , ( ) ( ) ( ) ,
t
X t T t
P x dt t w s q s ds
t x
λ δ δ
Δ
= − Δ = ω
π −∫ ∫ (9)
39ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 5
Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації...
отримати квадратуру якого є досить складним завданням. Замість цього вважатимемо функ-
цію ˆ[ ( )] ˆ ( )T x xΔ −σ ( xλ < < δ ) лінійною на кожному квадратурному інтервалі, тоді
1
ˆ( ) ( )( ˆ ), [ ( )],
n p
k k k k p k
k
P x Z x T x
−
∞ +
=
= σ − σ −σ σ = Δ∑ (10)
1 1 1 1
1
1
1
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ), 2, , 1;
( ) ( )
( ) ( , ), ( ) , ( ) ( , );
n n n
k k k
k k
k k k k k
k k
Z x T x Q x Z x T x Q x
Z x T x T x k n
T x T x
Q x Q x t T x T x T x t
t t
′ −
−
+
+
′= − = − +
′ ′= − = … −
−
′= = =
−
(11)
1
2
( ) ( )
( , ) ( )ln | | ( ),
( ) ( )
ˆ( , ) ( , ) ( ) ( ),
0, ,
( , ) ( ) ( , ) , 0,
ˆ2 ( ) ( ), 0.
X t X x
Q x t X x I t
X t X x
T x t Q x t I t X t
x t
Q x t t x Q x t x t
X t tI t x
−
= +
+
= + −
⎧ =
⎪
= − = π =⎨
⎪
− =⎩
Квадратура для ( )xΔ :
1( ) , { , , } ,T
nx wVq x x xΔ = = …
де матриця V наведена в [1], причому у виразах (6)—(7) вказаної роботи функцію ω треба
змінити на 1ω . Необхідні інтеграли
2
3 1
( ) ( ) 2 ( ),
2 2
3 1
( ) 1 ( ) ( 6 10) ( ),
2 6
R t U t t Y t
G t t U t t t Y t
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞= − − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
де
1/2
1 2 1/2
1/2
(1 )
( ) 2arctg ( ), ( ) , ( ) (1 ) .
(1 )
t
U t t t Y t t
t
− −
= α α = = −
+
Дискретизація рівняння (7) набуває вигляду
ˆ[ ( ) ],ˆJ Z T wV∞= σ − −q 1 q σ (12)
де 1 — 1n× вектор-стовпець одиниць,
[ ], , 1, , ,
[ ], ( ), 1, , , 1, , ,
mk
mk mk m k
J j m k n
Z z z Z x m n k n p
= = …
= = = … = … −
1
1
1
{ , , , 0, , 0},
ˆ ˆ( ) { , , }, ( ),
ˆ ˆ{0, , 0, , , },ˆ
n s
s
n p k p k
s
n p s
q q
T wV T w
−
− +
− −
= … …
= σ … σ σ =
= … σ … σ
q
q V q
σ
40 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 5
М.Ф. Селіванов
елементи вектора-рядка kV є елементами k -го рядка матриці V , індекс p відповідає ква-
дратурній точці px = λ δ .
Нелінійна система (12) містить n невідомих: n s− ненульових компонент вектора q та
s ненульових компонент вектора σ̂ . Щоб задовольнити умову плавності змикання берегів
необхідно вибрати індекс s таким чином, щоб для відповідного розв’язку системи (12) ви-
конувалась нерівність
0.n s−V q
Положення вершини зони зчеплення визначається з точністю до tΔ :
.n sx −β =
При дослідженні стану граничної рівноваги у визначальну систему (12) необхідно включи-
ти рівняння, яке відповідає критерію руйнування
1pw =V q
та додає в систему одну невідому ∗
∞ ∞σ = σ .
У числовому прикладі буде визначено напружено-деформований стан за умов саме гра-
ничного стану. З огляду на те, що відповідно до використаного ЗЗВ, максимальному відри-
ву відповідатиме нульове зчеплення, матиме ˆ[ ( )] 0pT xΔ = , що враховано в (10).
Напруження на контурі тріщини визначаються інтегралом
1max max
10
1
( ) ( , ) ( ) ( ) ( ),
n
k k
k
L L
x K x t w t q t dt q J x
=
σ σ
σ = − = −
π π ∑∫
функції ( )kJ x визначаються за схемою (11), де треба покласти
1
1
2
1
0
ˆ( , ) ( , ) ( , ),
( ) ( ) ( )ˆ ( , ) ( )ln ( 2) ( ) ( ),
( ) ( )
ˆ( , ) ( , ) ( ) ( , );r
r r
r
Q x t Q x t Q x t
w t x t
Q x t dt x x U t Y t
t x x t
Q x t h x t w t dt d x I x t
=
= +
α −α
= = ω + + −
− α +α
= =
∫
∑∫
(13)
функції
1( )ˆ ( , )
r
r r
w t
I x t dt
t xx
∂
=
+∂ ∫
після інтегрування набувають вигляду
0
2
1
2 2
ˆ ( , ) ( ) ( , )(1 ) (2 ) ( ) ( ),
2 ( )ˆ ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ),
1
1 3 ( , ) 4 1 ( )ˆ ( , ) ,
1 1( )( 1)
I x t x W x t x x U t Y t
x x
I x t x W x t U t Y t
x x t
W x t x x Y t
I x t
x x x t x tx x
= α − + − −
+ α
= −α − +
+ +
⎛ ⎞+ −⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + +α + ⎝ ⎠⎝ ⎠
де
1 ( ) ( )
( , ) ln .
1 ( ) ( )
x t
W x t
x t
−α α
=
+α α
41ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 5
Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації...
Випишемо другу визначальну функцію співвідношень (11):
2 1 1
2 2
2
0
ˆ( , ) ( , ) ( , ),
1 ( ) ( )ˆ( , ) ( )ln [( 2) ( 1) ] ( ) ( 2 ) ( ),
( ) ( ) ( )
( , ) ( , ) ( , ).r
r r
r
T x t T x t T x t
x t x
T x t t x x t x U t x t Y t
x t x
T x t Q x t dt d x I x t
=
= +
+ α −α
= − + + − + − + + −
α α +α
= = ∑∫
Функції ˆ( , ) ( , )r rI x t I x t dt= ∫ після інтегрування приймають вигляд
2 1 1
0 2 2
1
2 3
2 2
( , ) ( ) ( , )(1 )( ) [(2 ) (1 ) ] ( ) (2 ) ( ),
2 2
( , ) ( ) ( , ) 1 ( ) (2(1 ) ) ( ) ( ),
1 1
3 4 4 2 1 4
( , ) ( ) ( , ) 2 ( )
1( 1) (1 )
I x t x W x t x t x x t x U t x t Y t
x x
I x t x W x t x t x x t U t Y t
x x
t x x x x x
I x t x W x t U t
x t xx x
= α − + + − − − − + − −
+⎡ ⎤= α − − + + − − −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
− + + + − +⎛= α − + −⎜ + +⎝+ −
( )
.
1
Y t
x
⎞
⎟ +⎠
Окремо випишемо функції Q з (11):
3 2
1 2
1 2 (3 4 4 8) 1 ( )
( ) [ ln
( ) 1 ( )( 1)
x x x x x
Q x
Y x xx
+ − − −α
= − +
+α+
+ 3 23
24( (2 ) ( 2) 1)], ( ) 8 .nx x x Q x xπ + π+ + π+ − = π
Складові функції 1Q (див. (13)) є сингулярними, але, використовуючи асимптотичні
властивості, знайдемо 1(0) 4Q = − , 1(1) 4Q = π . Також неважко отримати асимптотичні влас-
тивості функції ( )kT x .
Числовий приклад побудуємо для ЗЗВ із ділянкою зміцнення
2
3
max
max
( ) ( )(1 ) ,
12 4
, 1 1.
( 4 ) 27
l n
n
l
l n l
T Δ = σ Δ +σ −Δ
⎛ ⎞σϕ
Δ = σ + =⎜ ⎟σ σ + σ σ⎝ ⎠
На рис. 2 проілюстрована безрозмірна щільність розкриття ( )q x (а), відносні зче-
плення ˆ[ ( )] ˆ ( )T x xΔ −σ та відрив ( )xΔ (б) при 1δ = см, 0,95nσ = , 2,8406lσ = , 40E = ГПа,
200ϕ = Н/м, max 35σ = МПа, 101n = (параметр дискретизації). Штриховою лінією на
рис. 2, б зображена дискретизована величина ˆ[ ( )] ˆ ( )T x xΔ −σ (напруження на лінії тріщини
[4, 5, 1]), яка демонструє осциляцію відносно ( )xσ на ділянці xβ < < δ . Але функція ˆ ( )xσ
є допоміжною і не несе фізичного змісту. Натомість щільність розкриття ( )q x не має осци-
ляції на відміну від розв’язку задачі без регуляризації.
Критичне значення зовнішнього навантаження max0,6021∗
∞σ = σ . Цей параметр гранич-
ної рівноваги отримано на рівні max0,6023σ при розв’язанні задачі без регуляризації [1].
Таким чином, в роботі побудовано та проілюстровано прикладом числово-аналітичний
метод теорії тріщин в рамках моделі зони зчеплення для випадку крайової тріщини. Інте-
42 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 5
М.Ф. Селіванов
гральне рівняння з узагальненим ядром Коші, яке дає розв’язок задачі, після регуляризації
розв’язано методом колокацій. Квадратурні формули побудовано з урахуванням стаціо-
нарної сингулярності зазначеного ядра. Використання регуляризації дозволило отримати
фізично коректний (без осциляції) розв’язок для щільності розкриття (функція ϕ в (1)).
Встановлено, що обидві процедури розв’язання (з регуляризації та без неї) дають дуже
близькі значення параметра граничної рівноваги, що за рахунок простоти реалізації робить
числово-аналітичний алгоритм, представлений в [1], більш привабливим.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Селіванов М.Ф. Крайова тріщина із зоною зчеплення. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 3. С. 46–54.
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.03.46
2. Muskhelishvili N.I. Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. Groningen: Noordhoff,
1953.
3. Savruk M.P., Madenci E., Shkarayev S. Singular integral equations of the second kind with generalized
Cauchy-type kernels and variable coefficients. Int. J. Numer. Meth. Engng. 1999. 45. P. 1457–1470.
4. Selivanov M.F., Chornoivan Y.O. A semi-analytical solution method for problems of cohesive fracture and
some of its applications. Int. J. Fract. 212. № 1. 2018. P. 113–121.
5. Selivanov M.F., Chornoivan Y.O., Kononchuk O.P. Determination of crack opening displacement and critical
load parameter within a cohesive zone model. Continuum Mech. Thermodyn. 2018. doi: http://doi.org/10.1007/
s00161-018-0712-0
Надійшло до редакції 23.01.2019
REFERENCES
1. Selivanov, M. F. (2019). An edge crack with cohesive zone. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., 2019, No. 3: рр. 46–54
(in Ukrainian). doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.03.46
2. Muskhelishvili, N. I. (1953). Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. Groningen: Noord-
hoff.
3. Savruk, M. P., Madenci, E. & Shkarayev, S. (1999). Int. J. Numer. Meth. Engng., 45, pp. 1457-1470.
4. Selivanov, M. F. & Chornoivan, Y. O. (2018). A semi-analytical solution method for problems of cohesive frac-
ture and some of its applications. Int. J. Fract., 212, 1, pp. 113-121.
5. Selivanov, M. F., Chornoivan, Y. O. & Kononchuk, O. P. (2018). Determination of crack opening displacement
and critical load parameter within a cohesive zone model. Continuum Mech. Thermodyn. doi: http://doi.
org/10.1007/s00161-018-0712-0
Received 23.01.2019
Рис. 2
43ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 5
Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації...
М.Ф. Селиванов
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: mfs@ukr.net
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КРАЕВОЙ ТРЕЩИНЕ С ЗОНОЙ СЦЕПЛЕНИЯ
ПРИ ПОМОЩИ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Рассмотрено краевую трещину нормального отрыва в полубесконечной плоскости. Зону предразрушения
у фронта трещины описано при помощи модели зоны сцепления, в основе которой лежит неравномерный
закон сцепления–отрыва. Сингулярное интегральное уравнение с обобщенным ядром Коши после регу-
ляризации решается методом коллокаций, который позволил учесть связанность сцепления и отрыва. По-
строенный алгоритм решения задачи также учитывает условие плавности смыкания берегов. Числовой
пример построен в условиях предельного состояния для степенного закона сцепления–отрыва с участком
упрочнения. Установлено, что регуляризация при решении задачи практически не влияет на значение
критической нагрузки.
Ключевые слова: краевая трещина, модель зоны сцепления, интегральное уравнение с обобщённым ядром
Коши, условие плавности смыкания берегов трещины.
M.F. Selivanov
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: mfs@ukr.net
SOLVING A PROBLEM ON AN EDGE CRACK WITH COHESIVE ZONE
BY THE REGULARIZATION OF A SINGULAR INTEGRAL EQUATION
An edge mode I crack in a semiinfinite plane is considered. The fracture zone at the front of the crack is modeled
with the use of the cohesive zone model, which is based on the non-uniform traction-separation law. The singular
integral equation with a generalized Cauchy kernel is solved by the collocation method after the regularization,
using the method allowing us to consider the coupling of traction and separation. The constructed algorithm for
solving the problem also includes the condition of smooth crack closure. The numeric example is built, by meet-
ing the limiting equilibrium condition for the power traction–separation law with a hardening segment. It is es-
tablished that the regularization in solving the problem has no effect on the value of critical loading.
Keywords: edge crack, cohesive zone model, integral equation with a generalized Cauchy kernel, condition of smooth
crack closure.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-158105 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:53:09Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Селіванов, М.Ф. 2019-07-15T15:53:25Z 2019-07-15T15:53:25Z 2019 Розв'язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації сингулярного інтегрального рівняння / М.Ф. Селіванов // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 5. — С. 34-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.05.034 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158105 539.421 Розглянуто крайову тріщину нормального відриву в напівнескінченній площині. Зону передруйнування біля фронту тріщини описано за допомогою моделі зони зчеплення, в основі якої лежить нерівномірний закон зчеплення—відриву. Сингулярне рівняння з узагальненим ядром Коші, що дає розв'язок задачі, після регуляризації розв’язується колокаційним методом, який дозволив врахувати зв’язаність зчеплення та відриву. Представлений алгоритм розв'язання задачі також враховує умову плавності змикання берегів. Числовий приклад побудовано в умовах граничного стану для степеневого закону зчеплення–відриву з ділянкою зміцнення. Встановлено, що регуляризація при розв’язанні задачі практично не впливає на значення критичного навантаження. Рассмотрено краевую трещину нормального отрыва в полубесконечной плоскости. Зону предразрушения у фронта трещины описано при помощи модели зоны сцепления, в основе которой лежит неравномерный закон сцепления–отрыва. Сингулярное интегральное уравнение с обобщенным ядром Коши после регуляризации решается методом коллокаций, который позволил учесть связанность сцепления и отрыва. Построенный алгоритм решения задачи также учитывает условие плавности смыкания берегов. Числовой пример построен в условиях предельного состояния для степенного закона сцепления–отрыва с участком упрочнения. Установлено, что регуляризация при решении задачи практически не влияет на значение критической нагрузки. An edge mode I crack in a semiinfinite plane is considered. The fracture zone at the front of the crack is modeled with the use of the cohesive zone model, which is based on the non-uniform traction-separation law. The singular integral equation with a generalized Cauchy kernel is solved by the collocation method after the regularization, using the method allowing us to consider the coupling of traction and separation. The constructed algorithm for solving the problem also includes the condition of smooth crack closure. The numeric example is built, by meeting the limiting equilibrium condition for the power traction–separation law with a hardening segment. It is established that the regularization in solving the problem has no effect on the value of critical loading. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації сингулярного інтегрального рівняння Решение задачи о краевой трещине с зоной сцепления при помощи регуляризации сингулярного интегрального уравнения Solving a problem on an edge crack with cohesive zone by the regularization of a singular integral equation Article published earlier |
| spellingShingle | Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації сингулярного інтегрального рівняння Селіванов, М.Ф. Механіка |
| title | Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації сингулярного інтегрального рівняння |
| title_alt | Решение задачи о краевой трещине с зоной сцепления при помощи регуляризации сингулярного интегрального уравнения Solving a problem on an edge crack with cohesive zone by the regularization of a singular integral equation |
| title_full | Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації сингулярного інтегрального рівняння |
| title_fullStr | Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації сингулярного інтегрального рівняння |
| title_full_unstemmed | Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації сингулярного інтегрального рівняння |
| title_short | Розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації сингулярного інтегрального рівняння |
| title_sort | розв’язання задачі про крайову тріщину з зоною зчеплення шляхом регуляризації сингулярного інтегрального рівняння |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158105 |
| work_keys_str_mv | AT selívanovmf rozvâzannâzadačíprokraiovutríŝinuzzonoûzčeplennâšlâhomregulârizacíísingulârnogoíntegralʹnogorívnânnâ AT selívanovmf rešeniezadačiokraevoitreŝineszonoiscepleniâpripomoŝiregulârizaciisingulârnogointegralʹnogouravneniâ AT selívanovmf solvingaproblemonanedgecrackwithcohesivezonebytheregularizationofasingularintegralequation |