Физические свойства композитов с хаотической структурой
Базуючись на ідеях ренорм-групових перетвореннь та теорії фракталів визначені ефективні властивості неоднорідного середовища з хаотичною структурою. Для побудови моделі структури композита з випадковим розподілом компонентів (фаз) були використані фрактальні множини, отримані на прямокутних гратках...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Українське матеріалознавче товариство
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/15848 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Физические свойства композитов с хаотической структурой / В.В. Новиков // Вісник Українського матеріалознавчого товариства. — 2008. — № 1(1). — С. 71-96. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859665445836029952 |
|---|---|
| author | Новиков, В.В. |
| author_facet | Новиков, В.В. |
| citation_txt | Физические свойства композитов с хаотической структурой / В.В. Новиков // Вісник Українського матеріалознавчого товариства. — 2008. — № 1(1). — С. 71-96. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Базуючись на ідеях ренорм-групових перетвореннь та теорії фракталів визначені ефективні властивості неоднорідного середовища з хаотичною структурою. Для побудови моделі структури композита з випадковим розподілом компонентів (фаз) були використані фрактальні множини, отримані на прямокутних гратках [V. V. Novikov, “Physical properties of fractal structures”, p.93-284. In the book “Advances in Chemical Physics, Volume 133, Fractals, Diffusion and Relaxation in Disordered Complex Systems”(J. Wiley, Chichester-New York-Brisbane-Toronto-Singapore, 2006)] Проведено порівняння обчислень ефективних властивостей композита з експериментальними даними та з обчисленнями, які базуються на наближенні ефективного середовища.
Основываясь на идеях метода ренорм-групповых преобразований и теории фракталов определены эффективные свойства неоднородной среды с хаотической структурой. Для построения модели структуры композита со случайным распределением компонентов (фаз) были использованы фрактальные множества, полученные на прямоугольных решетках [V. V. Novikov, “Physical properties of fractal structures”, p.93-284. In the book “Advances in Chemical Physics, Volume 133, Fractals, Diffusion and Relaxation in Disordered Complex Systems”(J. Wiley, Chichester-New York-Brisbane-Toronto-Singapore, 2006)] Проведено сравнение вычисления эффективных свойств композита с экспериментальными данными и с вычислениями, основанными на приближении эффективной среды.
The effective property of a heterogeneous medium with chaotic structure is defined basing on the ideas of the renormalization group transformation method and the theory of fractals. The fractal sets obtained from rectangular lattices have been used to construct the structure of a composite with random distribution of components (phases) [V. V. Novikov, “Physical properties of fractal structures”, p.93-284. In the book “Advances in Chemical Physics, Volume 133, Fractals, Diffusion and Relaxation in Disordered Complex Systems”(J. Wiley, Chichester-New York-Brisbane-Toronto-Singapore, 2006)].The calculation of effective property of a composite is compared with experimental data and with the calculations based on effective medium approximation.
|
| first_indexed | 2025-11-30T10:41:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
ІІІ. Фундаментальні проблеми матеріалознавства
71
УДК 620.22:620.17; 620.22:620.18
В. В. Новиков*
ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИТОВ С ХАОТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ
Базуючись на ідеях ренорм-групових перетвореннь та теорії фракталів визначені
ефективні властивості неоднорідного середовища з хаотичною структурою. Для побудови
моделі структури композита з випадковим розподілом компонентів (фаз) були використані
фрактальні множини, отримані на прямокутних гратках [V. V. Novikov, “Physical
properties of fractal structures”, p.93-284. In the book “Advances in Chemical Physics, Volume
133, Fractals, Diffusion and Relaxation in Disordered Complex Systems”(J. Wiley, Chichester-
New York-Brisbane-Toronto-Singapore, 2006)] Проведено порівняння обчислень ефективних
властивостей композита з експериментальними даними та з обчисленнями, які базуються
на наближенні ефективного середовища.
Ключові слова: композит, фрактал, ренорм-групові перетворення.
Прогресс в физике неупорядоченных сред, то есть физике сред с стохас-
тическим распределением микронеоднородностей, определяется во многом
решением проблем, относящихся к установлению связи между свойствами на
микро уровне и свойствами на макроскопических масштабах. Эта проблема
аналогична задачам: замыкания цепочки уравнений в теории жидкости; тео-
рии гидродинамической турбулентности; теории фазовых переходов и др.
Методами традиционной статистической физики достаточно строго реше-
ны задачи, в которых сделаны допущения о полном хаосе (газ) или о полном
упорядочении (кристаллические твердые тела) микроскопической структуры.
Неупорядоченные среды и процессы, в которых при микроскопическом опи-
сании отсутствует как кристаллическая упорядоченность, так и полный хаос
не нашли адекватного описания. Это связано с тем, что в этих системах не вы-
полняется условие, что макроскопические переменные должны значительно
превышать масштабы корреляций микроскопических переменных. Для описа-
ния таких систем оказались эффективными фрактальные модели и ренорм-
групповые преобразования поэтапное осреднение на различных масштаб-
ных уровнях (на мезоуровнях).
Основной чертой фрактальных структур является зависимость их свойств
С от линейного масштаба L в виде ~С Lα , где α постоянное число.
Зависимость свойств от масштаба является следствием самоподобия
фрактальных структур. Типичным фракталом является перколяционный клас-
тер, который образуется в области “геометрического фазового перехода”, ко-
гда несвязанные множества переходят в связное множество. В реальных сре-
дах, обычно, эта зависимость ограничена так называемой областью
промежуточной асимптотики, которая определяется в виде 0l L ξ≤ ≤ , где l0 -
постоянная решетки (микроскопическая постоянная);ξ — длина корреляции.
*©Новіков Віталій Володимирович працює завідувачем кафедрою вищої мате-
матики Одеського національного політехнічного університету; доктор фіз.-мат.
наук, професор математики. Спеціальність: фізика, теоретична фізика. Викладач
математики. Наукові напрямки: перколяція, фрактали, нерівноважні процеси,
фізика неоднорідних серед, фізика композитів.
“Вісник” УМТ № 1 (1) 2008
72
В области масштабов L>>ξ микронеоднородная среда является однород-
ной (исчезает свойство самоподобия), и ее можно характеризовать эффектив-
ными свойствами.
Оказалось, что закономерности, выявленные в рамках теории фракталов и
перколяции, справедливы в общем случае для неоднородных стохастических
сред и, в частности, композиционных материалов хаотической структурой.
Нами были разработаны фрактальные модели хаотической структуры
композитов и итерационный метод осреднения физических свойств [1–14].
Рассмотрим основные результаты, представленные в этих работах.
Проводимость. Итерационный метод осреднения
Полученные в литературе формулы для эффективной проводимости ком-
позитов σ с хаотической структурой достаточно хорошо согласуются с экс-
периментальными данными эффективной проводимости, если проводимости
компонентов (σ1, σ2) композита отличаются не более, чем на два порядка или
при малых концентрациях одного из компонентов (например, 1p << ) [2].
Если отношение свойств системы σ2 /σ1 < 10–2, то расчеты по формулам,
полученным в литературе, и эксперимент сильно отличаются [1, 2].
Если отношение свойств системы σ2 /σ1 →0, то можно использовать ре-
зультаты теории перколяции [1]:
( ) ( )
( ) ( )
, 0,
, 0,
tp p p pc c
sp p p pc c
σ
σ
≈ − − >
−
≈ − − <
,
где t и s — критические индексы проводимости (t = s ≈1.1 для двумерных сис-
тем (d = 2) и t ≈ 2, s ≈ 0,8 для трехмерных систем (d = 3); cp порог перколя-
ции.
Если свойства системы лежат в диапазоне 0 < σ2 /σ1 < 10–2, до настоящего
времени не существовало достаточно строгой теории, которая позволяла прог-
нозировать эффективные свойства неоднородной среды.
Нами была сделана попытка решить эту задачу, опираясь на идеи метода
ренормгруповых преобразований и теорию фракталов, которую ещё называют
геометрией хаоса [1].
Рассмотрим случайную смесь полёиэдров двух сортов (рис. 1). Перейдем
от этой структуры к решетке с хаотическим распределением двух сортов свя-
зей. Для этого условно соединим центры полиэдров, получим сетку, которая
состоит из двух сортов связей 1 и 2: 1 — обладает свойствами черного полиэд-
ра; 2 обладает свойствами белого полиэдра.
В общем случае эти связи расположены случайным образом на решетке.
Будем предполагать, что расположение связей на решетке некоррелированное,
то есть нахождение связи в данном месте не влияет на то, какие связи будут
находиться по соседству (в дальнейшем можно будет рассмотреть случай, ког-
да связи на сетке коррелированны).
ІІІ. Фундаментальні проблеми матеріалознавства
73
Рис. 1. Моделирование хаотической структуры композита
Таким образом, проводимость композита можно моделировать решеткой
со случайно распределенными связями на ней двух видов: 1 и 2.
На начальном шаге ( 0k = ) рассматривали решетку конечных размеров с
вероятностью 0p , что связь между соседними узлами будет “черной” (“хоро-
шо проводящей”) и с вероятностью 01 p− , что связь между соседними узла-
ми будет белой “плохо проводящей”).
На следующем шаге ( 1, 2,...,k = ) каждая связь в решетке заменяется ре-
шеткой, полученной на предыдущем шаге (рис. 2). Итерационный процесс закан-
чивается, когда свойства решетки перестают зависеть от номера итерации k . Та-
ким образом, найденное с помощью итерационной процедуры множество связей
0 0 0( , )l pΩ зависит от размера начальной решетки 0L
и вероятности 0p [3].
На эффективную проводимость композита существенное влияние оказывают
две конфигурации: соединяющее множество из черных связей 1, которые связы-
вают пространство решетки между противоположными сторонами; не соединяю-
щие множество, для которого не существует траектории состоящей из черных
связей, таких, которые соединяют две противоположных стороны решетки.
Важной характеристикой хаотического фрактального множества Ω0 (L0, p0)
является вероятность R (L0, p0), что данная конфигурация принадлежит соеди-
няющему множеству. В нулевой стадии (то есть, начальном итерационном ша-
ге), эта вероятность зависит от начальной плотности черных связей p0 и от раз-
мера L0 образующей решетки и может быть определена как отношение числа
соединяющих конфигураций к общему количеству возможных конфигураций.
Определение эффективных свойств структурной модели в общем случае
можно вести по следующей схеме: сначала находятся свойства различных
конфигураций на первом этапе, проводится их усреднение, а затем эти свойст-
ва передаются на следующий этап. Определение свойств возможных конфигу-
раций множества связей приводит к достаточно громоздким вычислениям. По-
этому воспользуемся приближенным методом, который заключается в том,
чтобы не рассчитывать свойства конфигураций, получаемых при разбросах
целых связей на решетке, а выделить два вида множеств конфигураций связей:
соединяющие и не соединяющие множества.
“Вісник” УМТ № 1 (1) 2008
74
Рис. 2. Иллюстрация получения фрактального множества ( )0 0,n pΩ l для слу-
чая 0 2=l 0 1/ 2p = на втором итерационном шаге (к =2)
Рис. 3. Связанное множество( a) (СМ) и несвязанное множество (b) (НСМ)
ІІІ. Фундаментальні проблеми матеріалознавства
75
В качестве модели соединяющего множества и не соединяющего множества
использовалась ячейка “шар в однородном массиве” (рис. 3), то есть на каждом
шаге итерационного процесса вычисления свойств структуры СМ и НСМ моде-
лировались ячейкой “шар в однородном массиве”: соединяющее множество —
непрерывная среда из “хорошо проводящей” фазы с включением шара из “плохо
проводящей фазы”; не соединяющее множество — непрерывная среда из “плохо
проводящей фазы” с включением шара из “хорошо проводящей фазы”.
Для расчета проводимости соединяющего множества и не соединяющего
множества были использованы формулы, полученные на основе вариационных
оценок [2]. Проводимости соединяющего множества на к-м этапе итерации
определялись в виде:
( 1) ( 1) 2
( ) ( 1) ( 1) 1 1
1 1 ( 1) ( 1) ( 1)
1 1
(1 )( )(1 )
(1 ) 2
k k
k k k k k c n
c k c k n k k k
k n k c c
p pp p
p p
σ σ
σ σ σ
σ σ σ
− −
− − − −
− − − − −
− −
− −
= + − −
+ − +
, (1)
проводимость не соединяющего множества на к-м этапе итерации
определялись в виде:
( 1) ( 1) 2
1 1
( 1) ( 1) ( 1)
1 1
(1 )( )( ) ( 1) ( 1)(1 )1 1 (1 ) 2
k k
k k c n
k k k
k n k c n
n c n
p pk k kp pk k p p
σ σ
σ σ σ
σ σ σ
− −
− −
− − −
− −
− −− −= ⋅ + − −− − + − +
, (2)
где (0) (0)
1 2;c kσ σσ σ= = ; 1 ( )k kp R p− = 0p p= концентрация ком-
понента с проводимостью 1σ . В (1) и (2) нижние индексы k, c означают, что
данная величина относится : k — не соединяющее множество; c — соединяю-
щее множество; верхний индекс к указывает номер итерационного шага.
Рис. 4. Сравнение расчета (кривые) и эксперимента (точки)
В расчетах использовалась функция вероятности
( )0R p
[1]
“Вісник” УМТ № 1 (1) 2008
76
2 12 3 11 4 10 5 9( ) 5 (1 ) 68 (1 ) 398 (1 ) 1298 (1 )0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 8 7 7 8 6 9 52575 (1 ) 3288 (1 ) 2977 (1 ) 2000 (1 )0 0 0 0 0 0 0 0
10 4 11 3 12 2 13 141001 (1 ) 364 (1 ) 91 (1 ) 14 (1 )0 0 0 0 0 0 0 0 0
R p p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p p
= − + − + − + − +
+ − + − + − + − +
+ − + − + − + − + , (3)
порог перколяции для этой функции равен 0.17863pc ≅ .
Были проведены расчеты для двухкомпонентной среды. На рис. 4 пред-
ставлены сравнение расчета (при σ2/σ1 410−= ) по итерационному методу
(сплошная кривая), методу самосогласованого поля (пунктир), численному
моделированию (точки) [1]. Сравнение показывает хорошее согласие итераци-
онного метода (сплошная кривая) с численным экспериментом (точки) и су-
щественное расхождение метода самосогласованого поля (пунктир) с числен-
ным экспериментом.
Таким образом, разработанный итерационный метод расчета эффективной
проводимости σ можно использовать для прогнозирования проводимости
неоднородных материалов с хаотической структурой при любых значениях
проводимости компонентов композита (фаз) σ1 и σ2 и во всем диапазоне кон-
центраций 0 ≤ p≤ 1.
Полученные результаты могут быть использованы при анализе зависимос-
ти проводимости композита не только от свойств и концентраций их компо-
нентов, но и от такой характеристики структуры композита, как фрактальная
размерность.
Частотные зависимости диэлектрических свойств
металлодиэлектрических композитов
В последнее время большое внимание уделяется анализу зависимостей
свойств композитов типа металл — диэлектрик от частоты, что связано с
трудностями описания аномального поведения диэлектрических свойств в
низкочастотном пределе. Природу аномального поведения частотных зависи-
мостей диэлектрических свойств можно выяснить, если рассмотреть модель-
ную среду, состоящую из малых сферических металлических частиц, которые
описываются диэлектрической функцией Друдэ:
1
1
2
1( ) 1
( / )
p
i
ω
ε ω
ω ω τ
= −
+
и которые погружены в диэлектрическую матрицу с диэлектрической посто-
янной, равной единице ( 12ε = ); 1pω — плазменная частота, 1τ — время
релаксации металлической фазы.
Если такая среда подвергается воздействию электрического поля [3] и
учитывая, что решение электростатической задачи для сферического включе-
ния в однородной среде дает зависимость для электрического поля 1E внутри
сферической металической частицы в виде 3 /( 2)1 0 1E E ε= ⋅ + , получим, что
ІІІ. Фундаментальні проблеми матеріалознавства
77
электрическое поле 1E стремится к бесконечности при частотах в области
/ 31pω ω≅
На таких частотах приложенное поле находится в резонансе с модой ма-
лой металлической частицы, и в результате появляется сильное поглощение на
этой частоте, то есть в окрестности частоты / 3pω сильно возрастает мни-
мая часть эффективной диэлектрической проницаемости среды.
Для неоднородных сред типа металл–диэлектрик с хаотической структу-
рой картина еще больше усложняется.
Нами были проанализированы частотные зависимости диэлектрических
свойств композитов с хаотической структурой. Были приведены результаты
расчета диэлектрических свойств композитов типа металл–диэлектрик с хао-
тической, иерархической, самоподобной структурой на основе фрактальной
модели во всей области концентраций неоднородностей при различных часто-
тах внешнего поля [3].
Каждая k-я связь в множестве ( )00n p,lΩ обладала комплексным сопро-
тивлением (импедансом)
( )Zk ω
, которое состоит из активного сопротивле-
ния
Rk , индуктивности
Lk и емкости
Ck :
1 1( ) ( )Z R i L i Ck k k kω ω ω− −= + +
.
В дальнейшем каждая связь будет характеризоваться комплексной элек-
тропроводностью
*kσ
с учетом того, что выполняется
1* ( )kZkσ ω−=
.
Были проведены расчеты для двухфазной (двухкомпонентной) среды.
Расчеты диэлектрических свойств неоднородных сред при различных частотах
и концентрациях показали, что итерационный процесс сходится, то есть:
( )lim * k
ck
σ
→∞ =
( )lim * k
nk
σ
→∞ = *σ .
Комплексная локальная проводимость для металлической фазы с учетом
диэлектрической функции Друде (8) определялась в виде:
*
1 1 1 2 2( ) ( 1 )i
x
ω σ ω εσ
γ
= + −
+ ,
где
1/ ;1
1 1
x p
p
ω ω γ
ω τ
= =
.
Комплексная локальная проводимость диэлектрической фазы определя-
лась в виде:
*
2 2 2( ) iω σ ω εσ = + .
В расчетах было принято:
“Вісник” УМТ № 1 (1) 2008
78
1
1 11; 10; ; 30;2 1 1301 1 pp
ε ε γ ω τω τ= = = = =
1
2/ 102 1 ; 1σ σ τ−= = ; 0 .001 1 .5
p
ω
ω≤ ≤
На рис. 5 и 6 приведены зависимости эффективной проводимости
σ =Re( *σ ) и эффективной диэлектрической проницаемости
Im ( *) /ε σ ω= от концентрации металлической фазы p и относительной
частоты / pω ω . Нули эффективной диэлектрической проницаемости ε оп-
ределяют плазменные частоты системы, то есть определяют переход “металл
↔ диэлектрик”.
Рис. 5. Зависимость эффективной диэлектрической проницаемости композита с
хаотической структурой от концентрации металлической фазы p и частоты
ω
Рис. 6. Зависимость эффективной электропроводности композита с хаотической
структурой от концентрации металлической фазы p и частоты ω
Из расчетов (рис. 5, 6) следует, что на низких частотах возникает расхо-
димость эффективной диэлектрической проницаемости и эффективной прово-
димости (резкое возрастание потерь). Это объясняется тем, что в системе обра-
ІІІ. Фундаментальні проблеми матеріалознавства
79
зуются конечные кластеры из металлической фазы, которые разделены тонки-
ми диэлектрическими прослойками. Такие структуры образуют иррерахичес-
кую, самоподобную хаотическую емкостную сеть, которая и порождает систе-
му резонансных частот.
Кроме этого, на частотные зависимости эффективных свойств оказывают
влияние конфигурации конечных кластеров.
Остановимся на одном из возможных приложений рассмотренных выше
модельных представлений о диэлектрических свойствах фрактальных систем.
Оптические свойства коллоидных систем до последнего времени не нахо-
дили своего объяснения в рамках классической теории, например, теории Ми.
Так, в рамках классической теории, изменение окраски золей объяснялось по-
явлением в растворе разноразмерных частиц металла (серебра), что связыва-
лось с зависимостью резонансной (плазменной) частоты от радиуса частицы.
Однако экспериментальные исследования показали, что спектральные зависи-
мости коллоидов не коррелируют со статистической функцией распределения
частиц по размерам, то есть роль фактора размера частиц была признана не
существенной. Появление длинноволнового крыла в спектре коллоида можно
объяснить агрегацией частиц во фрактальные структуры.
Рис. 7. Зависимость эф-
фективной диэлектричес-
кой проницаемости
2/ε ε
коллоида типа металл —
диэлектрик от концент-
рации металлической
фазы (серебра) p при час-
тотах / pω ω =0,25 и
/ pω ω =0,3: а) расчет
на основании модели Лоре-
нца; b) расчет на основа-
нии фрактальной модели
“Вісник” УМТ № 1 (1) 2008
80
Так, например, малая серебряная частица имеет частоту плазменных
колебаний с длиной волны λ = 2πс/ωр = 140 нм. Классическая теория (Лоренц)
для объяснения пика при 650 нм требует присутствие в коллоиде объёмной
концентрации серебра, равного р ≅ 0,86 (рис. 7, а), а эксперимент дает
значения р на много меньше, что согласуется с нашими расчетами (рис. 7, б).
Таким образом, смещение пика в коллоидных растворах в область малых
концентраций металла объясняется образованием в них фрактальных структур.
Можно указать еще несколько объектов, которые имеют фрактальные
структуры. Например, при режимах напыления, которые соответствуют моде-
ли диффузионной агрегации, можно получить тонкие пленки из металличес-
ких фрактальных кластеров. Перколяционный кластер вблизи порога протека-
ния, структуры бинарных растворов и полимеров так же имеют фрактады.
Диэлектрические свойства всех этих объектов можно прогнозировать с помо-
щью рассмотреной выше фрактальной модели.
Проводимость в магнитном поле 3-х мерного композита с хаотической фракталь-
ной структурой
Для определения эффективных гальваномагнитных характеристик компо-
зита вводится тензор эффективных проводимостей eσ
)
:
11 12
12 22
33
,
0
0
0 0
eσ
σ σ
σ σ σ
σ
=
=
j E)
) .
Угловые скобки означают усреднение по объему V :
( ) ( )3 31 1, ,d r d r
V V
= =∫ ∫j j r E E r ,
где ( ) ( ),j r E r — случайные функции координат. Предполагают, что для ло-
кальных областей выполняется: ( ) ( ) ( )σ=j r r E r)
, где
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
11 12
12 22
33
0
0
0 0
σ σ
σ σ σ
σ
=
r r
r r r
r
)
.
Тензор проводимости можно представить в ви-
де: ( ) ( ) ( )s a
ij ij ijσ σ σ= +r r r) ) )
, где ( )s
ijσ r)
— симметричная часть тензора
( ) ( )( )s s
ij jiσ σ=r r) )
, а ( )a
ijσ r)
— антисимметричная часть тензора
( ) ( )( )a a
ij jiσ σ= −r r) )
. Антисимметричную часть ( )a
ijσ r)
ассоциируют с эффек-
том Холла.
Простейшая форма закона Ома в такой среде имеет
вид: ( ) ( )0σ+ × =j j β r r E ,где ( ) ( )β=β r r n — параметр Холла, пропор-
циональный внешнему магнитному полю H , направленный, как и само поле,
ІІІ. Фундаментальні проблеми матеріалознавства
81
по нормали к поверхности образца. Параметр Холла связан с коэффициентом
Холла:
0
R
H
β
σ
= − ,
Тензор проводимостей определяется в виде:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0
2
2
1 0
1 0
1
0 0 1
β
σ
σ β
β
β
−
= + +
r
r
r r
r
r
)
Тензор ( )σ r)
хорошо описывает нескомпенсированные металлы и полу-
проводники, а также импульсную плазму.
Поскольку нам не известны работы, в которых анализировалось влияние
фрактальной и хаотической структуры 3-х мерного композита на эффективные
гальваномагнитные свойства на основе фрактальной модели структуры компо-
зита и итерационного метода усреднения был проведен подробный анализ эф-
фективных холловских свойств композитов [4].
Предполагалось, что каждая к-я связь из множества ( ),f L pΩ обладала
набором холловских свойств ( ),k kσ β , состоящим из проводимости и пара-
метра Холла.
Двухфазная система описывалась функцией распределения
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
0 0
2 1
0 0
2 1
1
1
p p p
p p p
σ δ σ σ δ σ σ
β δ β β δ β β
= − − + −
= − − + −
,
где ( )xδ — функция Дирака; p — вероятность того, что данная локаль-
ная область обладает свойствами ( ) ( )0 0
1 1 1 1,σ σ β β= = , а (1 )p− — вероят-
ность того, что данная локальная область обладает свойствами
( ) ( )0 0
2 2 2 2,σ σ β β= = .
В этом случае после k итерационных шагов функция плотности прини-
мает вид:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
k
k
k
k
p
p
σ δ σ σ
β δ β β
= −
= −
В пределе же будем иметь:
( ) ( )
( ) ( )
lim lim
lim lim
k k
CK HCKk k
k k
CK HCKk k
σ σ σ
β β β
→∞ →∞
→∞ →∞
= =
= =
Трудности анализа эффективной проводимости композита с хаотической
структурой существенно возрастают при 0≠H . Это связано с тем, что при
0=H эффективная проводимость зависит только от двух параметров: от объ-
емной концентрации p и от отношения проводимостей компонентов: 2
1
x σ
σ
= .
“Вісник” УМТ № 1 (1) 2008
82
В случае, когда 0H ≠ , эффективная проводимость зависит от четырех
параметров: к двум параметрам ,x p , о которых сказано выше, добавляются
зависимости от магнитного поля H и от отношения подвижностей компонен-
тов: 2
1
y µ
µ
=
Критические индексы ,t s ,1 1t s определялись из зависимостей гальвано-
магнитных свойств вблизи порога перколяции:
( ) , if ( ) 0,
( ) , if ( ) 0,
sp p p pc c
tp p p pc c
σ
σ
−∼ − − >
∼ − − >
1( ) , if ( ) 0,
1( ) , if ( ) 0,
s
R p p p pc c
t
R p p p pc c
−
∼ − − >
∼ − − >
При расчетах критических индексах определялись функции
( , , , )p x y Hχσ и ( ), , ,R p x y Hχ :
( )
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
log ( , , , ) log ( , , , )10 10, , , ,
log log10 10
log ( , , , ) log ( , , , )10 10( , , , )
log log10 10
p p x y H p x y H
p x y H
p p p p pc c
R p p x y H R p x y H
p x y HR p p p p pc c
σ σ
χσ
χ
+ ∆ −
=
+ ∆ − − −
+ ∆ −
= + ∆ − − −
Критические индексы ,t s и ,1 1t s можно определить, если найти значе-
ние функций ( , , , )p x y Hχσ и ( ), , ,R p x y Hχ в перколяционном пределе
( , 0 ,p p xc→ → ), 1y xy→∞ →
( ) lim ( , , , ),
0
0
( ) lim ( , , , )
0
0
t H p x y H
p pc
x
y
s H p x y H
p pc
x
y
χσ
χσ
=
→ +
→
→∞
=
→ −
→
→∞
( ) lim ( , ),1 0
0
( ) lim ( , )1 0
0
t H p HRp pc
x
y
s H p HRp pc
x
y
χ
χ
=
→ +
→
→∞
=
→ −
→
→∞
На основе проведенных расчетов были определены приближенные значе-
ния критических индексов:
ІІІ. Фундаментальні проблеми матеріалознавства
83
1 1
5
1 1
1 1
0, 2.0 2.7, 0.85 0.9; 3.9 5.1, 1.6 2.2;
10 , 2.6 3.0, 1.4 1.3; 0 1.5, 0;
, 3.0 3.7, 1.4 1.3; 0;
H t s t s
H t s t s
H t s t s
→ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
= ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤ ≅
→∞ ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≅
В настоящее время в литературе достаточно полно исследованы критические ин-
дексы t и s , которые определены при 0H = . Сравнение расчета критических
индексов ,t s при 0H = с литературными данными 1,6 < t < 2,5, 0,7 < s < 0,9 [см.
Chapter 2] показывает, что наши значения 2,0 ≤ t ≤ 2,7, 0,85 ≤ s ≤ 0,9 завышены по
сравнению с литературными данными, поэтому наш анализ гальваномагнитных
свойств в перколяционном пределе ( ), 0, , 1p p x y xyc→ → → ∞ → можно
рассматривать как качественный анализ. Точность расчета гальваномагнитных
свойств зависит от адекватности функции вероятности ( )Y p и материальных
уравнений структуре и свойствам неоднородной среды.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
p
0
100
200
300
400
500
R
aL
0.2 0.4 0.6 0.8 1
p
0
10
20
30
40
50
60
70
R
bL
Рис. 8. Сравнение расчетов с экспериментами для зависимостей эффективного
коэффициента Холла композитов Bi-Cd (a) и для 3xNa WO (b) от концентрации
фазы одного из компонентов
На рис. 8 представлены расчеты эффективного относительного коэффициен-
та Холла (a) и относительной эффективной проводимости (б), когда значения
проводимостей компонентов равны, значение подвижности во втором компоненте
очень маленькое: 10
2 110µ µ−= при разных значениях магнитного поля H .
“Вісник” УМТ № 1 (1) 2008
84
Рис. 9. Зависимости эффе-
ктивного коэффициента
Холла а) и эффективной
электропроводности b)
композита от напряжен-
ности магнитного поля
H и концентрации компо-
нента p с проводимостью
1σ
Аномальная релаксация
В последнее время достаточно большое внимание уделяется анализу ано-
мальной релаксации, которая характеризуется не экспоненциальными релак-
сационным функциями, а проблема релаксации в неупорядоченных средах от-
несена к приоритетным задачам научных исследований.
Можно выделить три основных закона релаксации, встречающихся при
экспериментальном изучении сложных систем:
растянутый экспоненциальный
τα
τ
α
><<
−≈ t
t
tf ,10,exp)(
экспоненциально – логарифмический
⋅−≈
τ
α t
Btf lnexp)(
алгебраическое затухание
α
τ
−
≈
t
tf )(
, где , ,α β τ и B —
экспериментальные параметры.
Количественной микроскопической теории, которая могла бы объяснить
наблюдаемые зависимости, в настоящее время не предложено, и все чаще ут-
верждают, что такой теории не может быть создано. Это связано с тем, что
пространственная неоднородность, связанная, например, со случайным распо-
ложением примесных молекул в матрице или с расположением атомов в
ІІІ. Фундаментальні проблеми матеріалознавства
85
аморфных полупроводниках, и определяющая распределение межатомных
расстояний, приводит к тому, что диапазон микроскопических скоростей пе-
реходов оказывается весьма широким. Такой пространственный беспорядок
приводит к временному, а иногда и к энергетическому беспорядку.
Нами была предложена фрактальная модель [6, 7], которая позволила описать
аномальную релаксацию. Основные идеи, которые использовались при построе-
нии этой модели, опишем ниже на примере релаксации вязкоупругого тела.
Фрактальная модель релаксации
Для стандартного линейного тела (модель Зинера) вероятность перехода
( )f t из начального состояния (t=0) в произвольное состояние )(tµ определя-
ется по формуле:
0
0
0
( )( ) exp( )t tf t µ µ
µ µ τσ∞
−
= = −
−
, где 0,µµ∞ — ралаксированное
)( ∞→t и не релаксированное )0( =t значение модуля сдвига, соответст-
венно; τε — время релаксации при постоянной деформации тела.
Время релаксации τ согласно формуле Аррениуса рав-
но: 0
Qexp[ ]kTτ τ= , где Q — энергетический барьер между начальным и
конечным состоянием; T температура; k постоянная Больцмана; 0τ —
постоянная.
Согласно фрактальной модели и итерационному методу расчета модулей
сдвига при переходе из начального в конечное состояние система совершает
последовательную цепочку переходов:
( 0 ) (1) ( ) ( 1) ( )... ...i i nµ µ µ µ µ+→ → → → , каждый из которых
описывается вероятностью перехода fi(t) из i-го состояния в (i+1). Поскольку
функция fi(t) определяется экспонентой с временем релаксации iτ , задаваемым
формулой Аррениуса и высотой энергетического барьера Qi, можно написать
цепочку неравенств:
... ...0 1 1 ni iτ τ τ τ τ τ> > > > > =+ .
При этом для множества времен релаксации { }iτ существует нижний 0τ
и верхний предел τ . Следовательно, в соответствии с фрактальной моделью
множество времен релаксации { }iτ удовлетворяет критерию самоподобия и
ограничено нижним и верхним асимптотическими пределами.
Если предположить, что флуктуации вязкоупругих свойств на нулевом
масштабном уровне являются независимыми, то в этом случае независимо
действует набор параллельных каналов релаксации. Каждый канал отвечает
статистическому ансамблю α , который реализуется с вероятностью αϕ .
Наличие множества времен релаксации на ( )kl — масштабном уровне
может быть обеспечено только при условии, что потенциальные барьеры
αβQ , разделяющие различные минимумы кластеров ,α β , отличаются по
“Вісник” УМТ № 1 (1) 2008
86
высоте. Это приводит к тому, что потенциальный рельеф системы ( )U l имеет
иерархическую структуру: на крупномасштабные минимумы зависимости
( )U l накладываются более мелкие, на них еще мельче и так далее, то есть
получаем фрактальную зависимость ( )U l (рис. 10).
Иерархической цепочке переходов из начального состояния (t = 0) в ко-
нечное )( ∞→t можно поставить в соответсвие дерево Кейли (рис. 10). В
этом случае, статическим ансамблям α и β будут отвечать узлы дерева Кей-
ли (рис. 10), которым можно сопоставить точки в ультраметрическом про-
странстве, которые разделены расстоянием l α β .
Величина lαβ определяется числом шагов до общего узла по уровням де-
рева Кейли на рис. 10 и задает степень иерархической связи. Следовательно,
высота барьера αβQ и время релаксации αβτ связаны функциями расстоя-
ния αβl в ультраметрическом пространстве, то есть ( )Q Q lαβ αβ= ,
( )lαβ αβτ τ=
В связи с тем, что с удалением кластеров возрастает высота барьеров, раз-
деляющих кластеры, предполагается монотонно возрастающая зависи-
мостьQ ( )lαβ .
Рис. 10. К построению иерархической модели релаксации
ІІІ. Фундаментальні проблеми матеріалознавства
87
Таким образом, согласно фрактальной модели независимо действует на-
бор параллельных каналов релаксации. Вероятность перехода между каналами
α и β определяется по формуле:
( ) ex p [ / ]f t tαβ αβτ= − ,
0 e x p [ Q / ]k Tα β α βτ τ= ,
где Qαβ — высота энергетического барьера разделяющего каналы.
Параллельное действие различных каналов релаксации обеспечивается
только в условиях иерархического соподчинения соответствующего набора
статических ансамблей. Характер иерархического соподчинения выражается в
том, что пока не сработают каналы с заданным временем релаксации iτ не
включается параллельная сеть каналов следующего уровня, обладающего вре-
менем релаксации ii ττ >+1 . Таким образом, сначала протекают найболее
быстрые процессы, отвечающие преодолению барьеров минимальной высо-
тыQαβ . При этом происходит слияние статистических ансамблей, и система
переходит на более высокий иерархический уровень дерева Кейли.
Следовательно, статистические ансамбли βα , могут объединятся в кла-
стеры, каждый из которых характеризуется максимальной высотой Qαβ барье-
ра, отделяющего данный кластер от других. Такое иерархическое соподчинение
является причиной замедления релаксации, приводящего к трансформации де-
баевской экспоненты (5.13) в более медленно спадающие зависимости.
Действительно, согласно описанной модели релаксации можно опреде-
лить зависимость Q ( )lαβ и ( )lαω от расстояния в ультраметрическом
пространстве в виде
Q ( ) Q lnl lαβ ≈ , ( )
d fl lϕα
−
≈ ,
где d f фрактальная размерность.
В соответствии с нашими расчетами зависимость времени релаксации
( )lταβ от расстояния в ультраметрическом пространстве l имеет вид:
Q /( ) 0
k Tl lτ τα β =
Суммарную вероятность можно определить в виде:
( ) ( ) ( )( )
0
f t l f t l d lαβϕ
∞
= ∫
или
( ) ( ) exp
( )0
tf t l dl
lαβ
ϕ
τ
∞
= − ∫
,
“Вісник” УМТ № 1 (1) 2008
88
которая описывает релаксацию всеми наборами каналов релаксации, где ( )lϕ
— вероятность реализации статистического ансамбля.
С учетом полученных формул определим степеной закон релаксации
( ) ,f t t γ−≈ если t →∞ ,
1
Q/
fd
kT
γ
−
= ,
где fd фрактальная размерность множества времен релаксации ( fd <1).
Таким образом, на макроскопическом уровне результат осреднения релак-
сации напряжения по иерархическим мезоуровням приводит к аномальной
релаксации.
Аномальная диффузия
В последние годы появилось много работ посвященных аномальной диф-
фузии. Отличие аномальной диффузии от нормальной заключается в том, что
ширина диффузионного пакета растет по закону: 2x∆ ~ Ht , 1
2
H ≠ .
Для описания аномальной диффузии необходима дополнительная инфор-
мация о диффузионном процессе, например: описание конкретной физической
модели, (скачкообразных процессов); наложение некоторых условий, напри-
мер, условия самоподобия (автомодельность), согласно которому плотность
вероятности ( , )p x t , что частица в момент времени t находится в точке x
равна: ( , ) ( , )H Hp x t t f x t− −= , где H может быть не равной 1/ 2 , а
( )f x может быть не гауссовским распределением.
Нами была построена математическая модель, на основании которой полу-
чим обобщение для эффективного коэффициента аномальной диффузии [1, 6, 15].
Отличительной чертой диффузии с учетом инерциальных эффектов или,
как ее еще называют, мезоскопической диффузии является отклонение от за-
кона Фика, то есть для мезоскопической диффузии вместо закона Фика спра-
ведлив закон Максвелла-Каттанео, который вместе с уравнением непрерывнос-
ти приводит к уравнению для распределения плотности частиц ( , )p x t в виде
телеграфного уравнения с дробными производными:
2 2
2
2 2
1p p p
tt x
αα α
ααα υτ
∂ ∂ ∂+ =∂∂ ∂
.
Учитывая начальные условия уравнение можно уравнение переписать в
виде:
( )
( )
( )
( )
( )2 2
2 2 2
, , ,( ) ( )
1 2 1
p x t p x t p x tx x D
t t t t x
α αα
α
αα α α α
τ δ δ
τ
α α
∂ ∂ ∂
− + − =
∂ Γ − ∂ Γ − ∂
где 2D α
α υ τ= , а начальные условия имеют вид:
( )
2
2 2
( ,0) ( )
1 2
p x x
t t
α α α
α α
τ τ δ
α
=
∂
∂ Γ −
,
( )
( ,0) ( )
1
p x x
t t
α
α α
δ
α
=
∂
∂ Γ −
.
Применив преобразование Фурье, получим:
ІІІ. Фундаментальні проблеми матеріалознавства
89
2
1,1
1,22
2
1,1
1,22
(0,1)1 4 11 1
ˆ ( , ) 1
(0,1) (0, )2 21 4
(0,1)1 4 11 1
1
(0,1) (0, )2 21 4
k Dt
p k t H
k D
k Dt
H
k D
α α
α
α
α
α α
α
α
α
τ
αττ
τ
αττ
− −
= + − +
−
− +
+ −
−
,
где 1,1
1,2H функции Фокса.
С учетом четности ˆ ( , )p k t по k получим решение телеграфного уравне-
ния с дробной производной в виде интеграла:
( ) ( )
0
2 ˆ, , cos( )
2
p x t p k t k x dk
π
∞
= ∫ .
Второй момент или среднеквадратичное отклонение диффузионной час-
тицы от начального положения 2x равно:
( )
2
,1
12 1
1
t tx D E
α
α
α ατ τ τα
= − − +
Γ +
, где
,1
tEα τ
− функция
Mittag-Lefler‘а.
Для аномальной диффузии характерна более медленная степенная зависи-
мость второго момента от времени. При / 0,t τ → 2 2 /x D t α
α
α τ→ —
баллистическое движение, а при / ,t τ →∞ получаем 2 2x D tαα→ , этот
результат соответствует аномальной диффузии с учетом инерциальных эффектов.
Упругие свойства
Определение упругих свойств неоднородной среды с фрактальной струк-
турой [8] можно провести по итерационной процедуре аналогично тому, как
это было сделано в предыдущем разделе при определении эффективной про-
водимости.
Упругие свойства (объемная упругость K и модуль сдвига µ ) СМ и
НСМ можно определить с помощью формул Хашина-Штрикмана, полученных
в физике композиционных материалов.
Отрицательный коэффициент Пуассона
При внешнем воздействии на тело, его можно охарактеризовать двумя па-
раметрами, которые определяют способность тела оказывать сопротивление
изменению обьема — модуль всестороннего сжатия k и изменению формы —
модуль сдвига µ .
Упругое поведение тела при однородном растяжении можно охарактери-
зовать коэффициентом Пуассона, который определяется отношением попереч-
ного сжатия к продольному растяжению.
“Вісник” УМТ № 1 (1) 2008
90
Типичные окружающие нас материалы имеют положительные коэффици-
енты Пуассона, 0>ν . Коэффициент Пуассона ν связан с k и µ : для трех-
мерного изотропного тела (d = 3):
1 3 2 1 3 2
2 3 2 2 3 2
k x
k x
µ
ν
µ
− − = = + +
;
для двухмерного изотропного тела (d = 2):
1
1
k x
k x
µ
ν
µ
− −
= =
+ +
, x=µ /k.
Таким образом , коэффициент Пуассона зависит от размерности простран-
ства d и в общем случае для d — мерной изотропной среды коэффициент Пу-
ассона можно определить в виде:
2 2
( 1) 2 ( 1) 2
kd d x
d d k d d x
µ
ν
µ
− −
= =
− + − +
;
т.о. коэффициент Пуассона может, изменяться в пределах
-1<ν <
1
1
−d
;
т.о. коэффициент Пуассона может принимать отрицательные значения, если
2
dx > .
Для обычных материалов (d = 2,3) значения x = µ /k < 1, то есть для обыч-
ных материалов ν > 0.
Материал с отрицательным коэффициентом Пуассона можно получить
следующими способами: выбором материала для которого выполнялось
2/kd>µ , или созданием структуры материала размеренность которой была
меньше значения k/2µ , то есть d < 2 k/µ , или сочетанием первого и второ-
го способа. Изменение размеренности возможна в фрактальных структурах.
Один из фрагментов фрактальной структуры, который имеет отрицательный
коэффициентом Пуассона, представлен на рис. 11.
Рис. 11. Фрагмент фрактальной структуры с отрицательным коэффициентом
Пуассона.
Нами были приведены численные расчеты коэффициента Пуассонаν хао-
тической среды на основе разработанного итерационного метода усреднений
[9] (рис. 12).
ІІІ. Фундаментальні проблеми матеріалознавства
91
Рис. 12. Зависимость коэф-
фициента Пуассона от кон-
центрации р и свойств ком-
понентов
1 1 2 2/ / /K K Kµ µ µ= =
: a), б)
Вязкоупругие свойства
Если внешнее воздействие зависит от времени, то есть напряжения ( )tσ и
деформации ( )tε зависят от времени, то закон Гука можно записать в виде:
*( ) ( ) ( )Сσ ω ω ε ω= ,
где ( ), ( )σ ω ε ω преобразование Фурье функций ( )tσ и ( )tε соответственно
( )( ) i te t dtωσ ω σ
∞
−∞
= ∫ ,
( )( ) i te t dtωε ω ε
∞
−∞
= ∫ ,
( )1( )
2
i tt e dωσ σ ω ω
π
∞
−
−∞
= ∫ ,
( )1( )
2
i tt e dωε ε ω ω
π
∞
−
−∞
= ∫ ,
Комплексный модуль упругости равен
C*(ω) = C´(ω)+ iC´´(ω), (A7),
где действительная и мнимая части модуля C*(ω) равны [5]:
' ( ) ( ) sinC C g t t dtω ω ω
∞
∞
−∞
= + ∫ ,
'' ( ) ( ) cosC g t t dtω ω ω
∞
−∞
= ∫ .
Закон Гука относительно тензора модулей податливости S можно записать
в виде:
*( ) ( ) ( )Sε ω ω σ ω= ,
где S*(ω) = S'(ω) + iS''(ω), S'(ω) — податливость накоплений, S''(ω) — податли-
вость потерь.
Можно показать, что относительное рассеяние упругой энергии связано
только с мнимой составляющей S''(ω) упругих модулей.
В дальнейшем будем рассматривать изотропные среды, для которых мож-
но ввести понятие комплексного объёмного модуля упругости Κ*(ω).
“Вісник” УМТ № 1 (1) 2008
92
Комплексный модуль сдвига *µ и комплексную вязкость *η можно за-
писать в виде:
*µ (ω ) = µ´(ω) + iµ´´(ω) , * */ iη µ ω= , *η (ω ) = η´(ω) + iη´´(ω)
Связь между '( ), "( )µ ω µ ω и '( ), "( )η ω η ω определяется в виде:
µ´(ω)= ωη´´(ω); µ´´(ω)= ωη´(ω)
Для среды, которая является ньютоновской жидкостью, выполняется
µ*(ω) =iω η´(ω)
Нами был проведен анализ вязкоупругих свойств композитов с фракталь-
ной структурой [10—13].
Отрицательный модуль сдвига
В литературе было показано, что можно создать материалы с экстремаль-
ными, необычными свойствами, а именно с отрицательным модулем сдвига.
Рис. 13. Схема предлагаемой конструкции для нагружения.
Идея получения таких материалов базируется на поведении конструкции
изображенной на рис. 13. Эта конструкция (линейка изогнутая в виде буквы
“S”) находится в предварительно нагруженном состоянии. При приложении к
ней касательных сил она не будет сопротивляться внешнему воздействию, а
будет способствовать смещению в направлении приложения сил. Таким обра-
зом, коэффициент пропорциональности (модуль сдвига) между касательными
напряжениями и смещением будет отрицательным.
Такие конструкции нестабильны. Стабилизировать конструкцию можно,
если их поместить в матрицу (в столбики) с стабильными свойствами, напри-
мер, в полимер. Таким образом, можно создать композиционный материал,
состоящий из включений с отрицательным модулем сдвига и матрицы-
полимера с положительным модулем сдвига.
Нами были рассмотрены упругие свойства неоднородной среды с хаоти-
ческой, фрактальной структурой в которой одна фаза обладала отрицательным
модулем сдвига. Анализ был проведен на основе фрактальной, иерархической
модели структуры двухфазной среды и итерационного метода расчета упругих
свойств [7—13]. Каждая связь характеризуется комплексным модулем сдвига
µ* (iω) = µ′(ω) + i µ′′(ω).
Проведено сравнение расчетов вязкоупругих свойств по формулам Хашина-
Штрикмана (“композит Хашина-Штрикмана”) композита с фрактальной структу-
рой (рис. 14). Из расчетов вязкоупругих свойств следует, что в композите с фрак-
тальной структурой возникают пики (“резонансы”) в широком диапазоне концен-
траций фаз, в то время как в “композите Хашина-Штрикмана” существует только
один пик.
ІІІ. Фундаментальні проблеми матеріалознавства
93
Основное различие в зависимости эффективного модуля сдвига от у меж-
ду фрактальной структурой и “композитом Хашина-Штрикмана” заключается
в том, что при концентрациях первой фазы 0 < р < 0,8 в неоднородной среде с
фрактальной структурой существуют “резонансные” точки при различных
значениях 2 2
2 1
'' ',
' '
y xµ µ
µ µ
= = , а в “композите Хашина-Штрикмана” возникает
только одна “резонансная” точка, когда р→1 (рис. 14, a, б).
Рис. 14. Зависимость модуля сдвига от концентрации р и разных значений 2 1'/ 'x µ µ=
при 3''/ ' 102 2y µ µ −= =
В заключение отметим, что создание материалов с фрактальной структу-
рой, которые будут иметь упругие свойства, адекватные рассмотренным мо-
дельным расчетам, можно провести по следующей схеме: на первом масштаб-
ном уровне создаются “таблетки”, например, при создании материала с
высокими демпфирующими свойствами “таблетка” состоит из полимерной
оболочки с включением из доменов ферромагнитного материала; на втором
масштабном уровне создаётся «таблетка» включениями, в которой служат
“таблетки”.
“Вісник” УМТ № 1 (1) 2008
94
Рис. 15. Модели, полученные на первом ма-
сштабном уровне и так далее.
Реологическую модель процесса ползучести
В 1910 г. Андраде провел испытание на ползучесть металлов при высоких
температурах и при напряжениях от средних до высоких. Им была установле-
на зависимость деформации ε от времени t в виде
tktmt pc ⋅+⋅++= αεεε )( , где cε — упругая деформация; pε — мгновен-
ная деформация; m, k, α — постоянные. Было установлено, что 1<α ( из об-
работки экспериментальных данных было получено:
3
2
4
1
<<α ).
Все существующие теории объясняют главным образом стадию установив-
шейся ползучести. Убедительной теории, объясняющей неустановившуюся пол-
зучесть, до настоящего времени нет. Это можно объяснить сложностью описа-
ния дислокационной структуры, которая изменяется от начальной структуры,
возникшей в результате мгновенной пластической деформации, до дислокаци-
онной структуры, которая появляется в процессе установившейся ползучести.
Нами была создана реологическая модель процесса ползучести [14]. Для описа-
ния процесса перехода в пластическое состояние с учетом ее стохастической природы
был введено понятие “пластмона” единичного носителя перехода из упругого в
пластическое состояние. Это могут быть дислокации, дефекты и другие носители.
В этом случае переход в пластическое состояние можно описать по следующей схеме:
вначале возникают единичные пластмоны с линейными размерами порядка 0l (нуле-
вой масштабный уровень) затем возникают скопления (кластеры) пластмонов с ли-
нейными размерами 1l (первый масштабный уровень) и так далее пока на nl мас-
штабном уровне не появится область, перешедшая в пластическое состояние и
пронизывающая весь образец. В этом случае пластмоны образуют фрактальное мно-
жество, то есть самоподобное множество, “масса” которого зависит от масштаба в
виде fd
f lM ~ , где fd — фрактальная размерность данного множества.
В работе [14, 17] рассмотрено неравновесное состояние среды, которое опреде-
ляется фрактальной природой. Предполагалось, что неравновесное состояние опре-
деляется множеством времен событий, в которых следующее событие случается
через время iτ после того, как произошло предыдущее событие. В этом случае в
процессе эволюции системы из непрерывных состояний системы исключаются не-
которые отрезки по заданному закону. Такой процесс можно характеризовать как
процесс, порождаемый фрактальным состоянием с заданной фрактальной размер-
ностью d f .
ІІІ. Фундаментальні проблеми матеріалознавства
95
На основе реологической модели было получено дифференциальное урав-
нение с дробными производными, которое описывало неустановившуюся
ползучесть. Решение уравнения имеет вид:
+=+= 010 [)()( stt εεε
[ ] σ
α
τ
α
⋅
++Γ
⋅−
⋅∑
∞
=
+
∞ ]
1)1(
)1(
0
)1(
1
n
n
n
n
t
s ,
Если 1=α ,то получаем
+= 0[)( stε σ
τ
⋅
+Γ
⋅−
⋅∑
∞
=
+
∞ ]
)2(
)1(
0
)1(
1
n
n
n
n
t
s σ
τ
⋅
−−+= ∞
1
0 exp1
t
ss
Здесь учтено, что
( )
[ ] )exp(
)1(
)1(
0
z
n
z
n
nn
−=
+Γ
⋅−∑
∞
=
,
τ
t
z =
Было показано, что переход от строго экспоненциальной к аномальной за-
висимости ползучести происходит при переходе от непрерывного распределе-
ния )1( =α к фрактальному распределению времен релаксации
( 10 <=< fdα ).
На основе полученных решений можно записать
σ
τ
ε
α
⋅
−−≈
1
exp1)(
t
t
, что согласуется с результатами исследований Андраде.
Действительно, если ограничиться первыми членами ряда, то зависимость
)(tε от времени примет вид: ⋅⋅⋅+⋅+= αεε tat 10)( , где первый член 0ε
определяет ползучесть не зависящую от времени , а второй член – неустано-
вившуюся ползучесть.
Из полученного решения следует, что скорость неустановившейся ползу-
чести определяется в виде: ⋅⋅⋅+⋅⋅= −1
1
1 )( ααε
ta
dt
td
.
Полученные зависимости совпадають с зависимостями Андраде, которые
определены из экспериментальных исследований. Сравнение полученных
зависимостей позволяет предположить, что фрактальное множество времен
релаксации, которое лежит в основе неустановившейся ползучести Андраде,
имеет размерность
3
2
4
1
<< fd .
Выводы
Предложена простая перколяционная модель, построенная на иерархиче-
ских решетках. Главная идея состоит в поэтапном усреднении физических па-
раметров на различных уровнях масштаба неоднородной среды. Разработанная
модель полезна для анализа проводимости, диэлектрических и упругих свойств
неоднородных сред с фрактальной структурой. Известно, что некоторые из та-
ких сложных структур могут обладать удивительными свойствами. Системы,
которые показывают необычные свойства, нами изучались компьютерным мо-
делированием и аналитически. Полученные нами результаты, являются более
общими, чем результаты, которые базируются на модели эффективной среды,
“Вісник” УМТ № 1 (1) 2008
96
теории перколяции и теории возмущений, так как в нашей модели нет малого
параметра (мы используем функцию ренормализации, которая точна при любых
значениях концентраций компонентов неоднородной среды).
Основываясь на идеях метода ренорм-групповых преобразований и теории фракталов
определены эффективные свойства неоднородной среды с хаотической структурой. Для
построения модели структуры композита со случайным распределением компонентов
(фаз) были использованы фрактальные множества, полученные на прямоугольных решет-
ках [V. V. Novikov, “Physical properties of fractal structures”, p.93-284. In the book “Advances
in Chemical Physics, Volume 133, Fractals, Diffusion and Relaxation in Disordered Complex
Systems”(J. Wiley, Chichester-New York-Brisbane-Toronto-Singapore, 2006)] Проведено срав-
нение вычисления эффективных свойств композита с экспериментальными данными и с
вычислениями, основанными на приближении эффективной среды.
Ключевые слова: композит, фрактал, ренорм-групповые преобразования.
The effective property of a heterogeneous medium with chaotic structure is defined basing on the
ideas of the renormalization group transformation method and the theory of fractals. The fractal sets
obtained from rectangular lattices have been used to construct the structure of a composite with random
distribution of components (phases) [V. V. Novikov, “Physical properties of fractal structures”, p.93-
284. In the book “Advances in Chemical Physics, Volume 133, Fractals, Diffusion and Relaxation in
Disordered Complex Systems”(J. Wiley, Chichester-New York-Brisbane-Toronto-Singapore,
2006)].The calculation of effective property of a composite is compared with experimental data and with
the calculations based on effective medium approximation.
Keywords: composites, fractal structure, renormalization group transformation method.
1. Novikov V. V. Physical Properties of Fractal Structures: In the book “Fractals, diffusion
and relaxation in disordered complex systems” Edited by Stuart A. Rice, Guest editors:
William T. Coey and Yuri P. Kalmykov, JOHN WILEY & SONS, New York – Chiches-
ter – Brisbane – Toronto – Singapore, 2006.
2. Privalko V. P., Novikov V. V. “The Science of Heterogeneous Polymers: Structure and
Thermophysical Properties”, Chichester, London, Wiley, 1995.
3. Новиков В. В., Белов В. П. Обратное ренормгрупповое преобразование в задаче о
протекании по связям, ЖЭТФ, 106, 780, (1994).
4. Новиков В. В., Wojciechowski K. W. Частотная зависимость диэлектрических
свойств композитов типа металл-диэлектрик, ФТТ, 44, 1963 (2002).
5. Novikov V. V., Zubkov D. Y. Conductivity in a magnetic field of a three — dimensional
composite with a random fractal structure, Phys. Rev. B 73, 1 (2006).
6. Novikov V. V., Privalko V. P. Temporal fractal model for the anomalous dielectric relaxation
of inhomogeneous media with chaotic structure, Phys. Rev. E, 64, 031504, (2001).
7. Novikov V. V., Wojciechowski K. W., Komkova O. A., Thiel T. Anomalous relaxation in dielec-
trics. Equations with fractional derivatives, Materials Science — Poland, 23, No. 4, (2005).
8. Novikov V. V., Wojciechowski K. W., Belov D. V., Privalko P. V. “Elastic properties of
inhomogeneous media with chaotic structure”, Phys. Rev. E 63, 036120 (2001).
9. Новиков В. В., Wojciechowski K. W. Отрицательный коэффициент Пуассона фрак-
тальных структур, ФТТ, 41, 2147 (1999).
10. Novikov V.V., Friedrich Chr., Viscoelastic properties of composite materials with ran-
dom structure, Phys. Rev. E72, 021506 (2005).
11. Новиков В. В., Wojciechowski K. W. Вязкоупругие свойства неоднородных сред с
фрактальной структурой, ЖЭТФ, 95, 462 (2002).
12. Новиков В. В., Wojciechowski K. W. Вязкоупругие свойства фрактальных сред,
ПМТФ, 41, 149 (2000).
13. Novikov V. V., Wojciechowski K. W. Extreme viscoelastic properties of composites of
strongly inhomogeneous structures due to negative stiffness phases, Phys. Stat. Sol. (b)
242, No. 3, 645–652 (2005).
14. Новиков В. В. Фрактальная модель ползучести неоднородных сред, Укр. Физ. Ж.,
49, Nо. 1, 117—122, (2001).
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-15848 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0036 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T10:41:58Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Українське матеріалознавче товариство |
| record_format | dspace |
| spelling | Новиков, В.В. 2011-02-01T21:38:47Z 2011-02-01T21:38:47Z 2008 Физические свойства композитов с хаотической структурой / В.В. Новиков // Вісник Українського матеріалознавчого товариства. — 2008. — № 1(1). — С. 71-96. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. XXXX-0036 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/15848 620.22:620.17; 620.22:620.18 Базуючись на ідеях ренорм-групових перетвореннь та теорії фракталів визначені ефективні властивості неоднорідного середовища з хаотичною структурою. Для побудови моделі структури композита з випадковим розподілом компонентів (фаз) були використані фрактальні множини, отримані на прямокутних гратках [V. V. Novikov, “Physical properties of fractal structures”, p.93-284. In the book “Advances in Chemical Physics, Volume 133, Fractals, Diffusion and Relaxation in Disordered Complex Systems”(J. Wiley, Chichester-New York-Brisbane-Toronto-Singapore, 2006)] Проведено порівняння обчислень ефективних властивостей композита з експериментальними даними та з обчисленнями, які базуються на наближенні ефективного середовища. Основываясь на идеях метода ренорм-групповых преобразований и теории фракталов определены эффективные свойства неоднородной среды с хаотической структурой. Для построения модели структуры композита со случайным распределением компонентов (фаз) были использованы фрактальные множества, полученные на прямоугольных решетках [V. V. Novikov, “Physical properties of fractal structures”, p.93-284. In the book “Advances in Chemical Physics, Volume 133, Fractals, Diffusion and Relaxation in Disordered Complex Systems”(J. Wiley, Chichester-New York-Brisbane-Toronto-Singapore, 2006)] Проведено сравнение вычисления эффективных свойств композита с экспериментальными данными и с вычислениями, основанными на приближении эффективной среды. The effective property of a heterogeneous medium with chaotic structure is defined basing on the ideas of the renormalization group transformation method and the theory of fractals. The fractal sets obtained from rectangular lattices have been used to construct the structure of a composite with random distribution of components (phases) [V. V. Novikov, “Physical properties of fractal structures”, p.93-284. In the book “Advances in Chemical Physics, Volume 133, Fractals, Diffusion and Relaxation in Disordered Complex Systems”(J. Wiley, Chichester-New York-Brisbane-Toronto-Singapore, 2006)].The calculation of effective property of a composite is compared with experimental data and with the calculations based on effective medium approximation. ru Українське матеріалознавче товариство Фундаментальні проблеми матеріалознавства Физические свойства композитов с хаотической структурой Physical Properties of the Composites with Chaotic Structure Article published earlier |
| spellingShingle | Физические свойства композитов с хаотической структурой Новиков, В.В. Фундаментальні проблеми матеріалознавства |
| title | Физические свойства композитов с хаотической структурой |
| title_alt | Physical Properties of the Composites with Chaotic Structure |
| title_full | Физические свойства композитов с хаотической структурой |
| title_fullStr | Физические свойства композитов с хаотической структурой |
| title_full_unstemmed | Физические свойства композитов с хаотической структурой |
| title_short | Физические свойства композитов с хаотической структурой |
| title_sort | физические свойства композитов с хаотической структурой |
| topic | Фундаментальні проблеми матеріалознавства |
| topic_facet | Фундаментальні проблеми матеріалознавства |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/15848 |
| work_keys_str_mv | AT novikovvv fizičeskiesvoistvakompozitovshaotičeskoistrukturoi AT novikovvv physicalpropertiesofthecompositeswithchaoticstructure |