Термомеханика неупругих тонкостенных элементов конструкций с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении (обзор)

Представлено моделі, чисельно-аналітичні методи та результати дослідження вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву непружних тонкостінних елементів конструкцій з п’єзоелектричними сенсорами та актуаторами при моногармонічному механічному й електричному навантаженнях. Термомеханічна п...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Прикладная механика
Дата:	2017
Автори:	Карнаухов, В.Г., Киричок, И.Ф., Козлов, В.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2017
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158739
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Термомеханика неупругих тонкостенных элементов конструкций с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении (обзор) / В.Г. Карнаухов, И.Ф. Киричок, В.И. Козлов // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 1. — С. 9-74. — Бібліогр.: 158 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860067540490780672
author	Карнаухов, В.Г. Киричок, И.Ф. Козлов, В.И.
author_facet	Карнаухов, В.Г. Киричок, И.Ф. Козлов, В.И.
citation_txt	Термомеханика неупругих тонкостенных элементов конструкций с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении (обзор) / В.Г. Карнаухов, И.Ф. Киричок, В.И. Козлов // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 1. — С. 9-74. — Бібліогр.: 158 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Прикладная механика
description	Представлено моделі, чисельно-аналітичні методи та результати дослідження вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву непружних тонкостінних елементів конструкцій з п’єзоелектричними сенсорами та актуаторами при моногармонічному механічному й електричному навантаженнях. Термомеханічна поведінка пасивних і п’єзоактивних матеріалів описується концепцією комплексних характеристик. Прийнято, що вони залежать від температури й інваріантів тензора деформацій. Для моделювання коливань і дисипативного розігріву тонкостінних елементів з сенсорами та актуаторами використано класичні й уточнені термомеханічні теорії. Розв’язки нелінійних зв’язаних задач термомеханіки тонкостінних елементів отримано з використанням ітераційних та чисельних методів. Розглянуто теплове руйнування вказаних елементів. Описано методи розрахунку критичних параметрів електричного та механічного моногармонічного навантаження, а також методи аналізу закритичного стану. Досліджено вплив різних факторів на ефективність активного демпфування резонансних коливань непружних тонкостінних елементів конструкцій за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів. The models, numerical-analytical methods and results of studying the forced resonance vibrations and dissipative heating of the thin-wall inelastic structural members with piezoelectric sensors and actuators under monoharmonic mechanical and electric loading are presented. The thermomechanical behavior of passive and piezoactive materials is described using the concept of complex characteristics. It is assumed that these characteristics depend on temperature and the strain tensor invariants. The classical and refined thermomechanical theories are used in modeling the vibrations and dissipative heating of the thin-wall structural members with sensors and actuators. The solutions of nonlinearly coupled problems of thermomechanics of thin-wall structural members are obtained by use of iteration and numerical methods. The thermal failure of the structural members is considered. The methods of analysis of the critical parameters of electrical and mechanical monoharmonic loading as well as the methods of analysis of postcritical state are described. An influence of different factors on effectiveness of active damping of the resonance vibrations of inelastic thin-wall structural members by the piezoelectric sensors and actuators is studied.
first_indexed	2025-12-07T17:09:04Z
format	Article
fulltext	2017 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 53, № 1 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2017, 53, № 1 9 В . Г .К а р н а у х о в , И .Ф .К и р и ч о к , В .И .К о з л о в ТЕРМОМЕХАНИКА НЕУПРУГИХ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ С ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ СЕНСОРАМИ И АКТУТОРАМИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ (ОБЗОР) Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail:karn@inmech.kiev.ua Absrtact. The models, numerical-analytical methods and results of studying the forced resonance vibrations and dissipative heating of the thin-wall inelastic structural members with piezoelectric sensors and actuators under monoharmonic mechanical and electric load- ing are presented. The thermomechanical behavior of passive and piezoactive materials is described using the concept of complex characteristics. It is assumed that these characteristics depend on temperature and the strain tensor invariants. The classical and refined thermome- chanical theories are used in modeling the vibrations and dissipative heating of the thin-wall structural members with sensors and actuators. The solutions of nonlinearly coupled prob- lems of thermomechanics of thin-wall structural members are obtained by use of iteration and numerical methods. The thermal failure of the structural members is considered. The methods of analysis of the critical parameters of electrical and mechanical monoharmonic loading as well as the methods of analysis of postcritical state are described. An influence of different factors on effectiveness of active damping of the resonance vibrations of inelastic thin-wall structural members by the piezoelectric sensors and actuators is studied. Key words: thin-wall structural members, resonance vibrations, inelastic material, dis- sipative heating, piezoelectric sensors and actuators. Введение. Как конструктивные элементы, тонкие стержни, пластины и оболочки широко ис- пользуются в различных областях современной техники: авиа-, машино-, судострое- нии, космической и ракетной технике, строительстве, гидроакустике, медицине, элек- тронике и др. Одним из основных и наиболее распространенных режимов работы та- ких элементов являются вынужденные гармонические колебания, в частности, резо- нансные. Все материалы при колебаниях в той или иной степени обладают гистере- зисными потерями, в результате чего механическая или электромеханическая энергия превращается в тепловую. Гистерезисные потери существенно увеличиваются в неуп- ругих материалах – вязкоупругих, упругопластических и вязкоупругопластических. Этот эффект широко используется при разработке пассивных методов демпфирования вынужденных резонансных колебаний тонкостенных элементов с целью уменьшения их динамической напряженности, когда в структуру элемента с малым гистерезисом включаются компоненты с высокими гистерезисными потерями, что приводит к су- щественному уменьшению амплитуды колебаний конструкции. Исследованию пас- сивного демпфирования колебаний посвящена обширная литература в виде энцикло- педий, монографий и статей [10, 17, 19, 57, 62 – 65, 70, 76, 95, 138, 139]. Однако повышение гистерезисных потерь может сопровождаться существенным повышением температуры, которую в дальнейшем будем называть температурой дис- сипативного разогрева (ТДР). Она может повлиять как на механическое и тепловое состояния конструкции (распределение напряжений и деформаций в деформируемом теле, амплитудно- и температурно-частотные характеристики, частотную зависимость 10 коэффициента демпфирования), так и на динамическую и статическую устойчивость тонкостенных элементов, их механическое и тепловое разрушение, ползучесть [8, 9, 28, 66]. Кроме того, все материалы при определенной температуре (точке деградации) теряют свое функциональное назначение. Как правило, точке деградации соответствует переход материала из одного фазо- вого состояния в другое. Для пассивного материала точкой деградации является, на- пример, температура плавления, а для пьезоэлектрического материала – точка Кюри, при достижении которой теряется пьезоэффект. Поэтому, по мнению авторов данной статьи, ТДР необходимо учитывать при исследовании вынужденных колебаний эле- ментов конструкций из неупругих материалов, так как неучет этого явления может привести к недостоверным результатам. Несмотря на этот очевидный факт, подав- ляющее большинство работ по вынужденным резонансным колебаниям неупругих тонкостенных элементов выполнено без такого учета. В последние годы для демпфирования колебаний тонкостенных элементов эффек- тивно применяются активные методы, базирующиеся на включении пьезоактивных компонент в структуру пассивного тонкостенного элемента из металлического, поли- мерного или композитного материала. В большинстве случаев в качестве активных элементов используются пьезоэлектрические компоненты. Обзор зарубежных работ по активному управлению стационарными и нестационарными колебаниями элемен- тов конструкций представлен в [89, 90, 150, 153, 154]. Одни из указанных выше пье- зоактивных элементов (сенсоры) дают информацию о механическом состоянии тела, а при помощи других (актуаторов) к конструкции прикладывается электрическая на- грузка, компенсирующая действие механической нагрузки. Конструкции из пассив- ных материалов с присоединенными к ним пьезоактивными сенсорами и актуаторами, позволяющими управлять их механическим состоянием, называют смарт конструк- циями, а используемые для этой цели активные материалы смарт материалами (от английского слова smart – умный). К смарт материалам принадлежат также магнито- активные материалы, материалы с памятью формы и др. Smart или intelligent материа- лы способны реагировать на внутренние или внешние влияния (изменения внешней среды) и привести в действие свои функции в соответствие с этими изменениями. Од- ним из наиболее ярких примеров эффективного применения таких материалов и явля- ется активное демпфирование стационарных и нестационарных колебаний тонко- стенных элементов при помощи пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов. Эффективность активного демпфирования колебаний существенно зависит от эффективности работы сенсоров и актуаторов, на которую, в свою очередь, влияет много факторов: их геометрические и электромеханические характеристики; геомет- рические и механические характеристики пассивного элемента; механические и элек- трические граничные условия; температура. В зависимости от механических гранич- ных условий работа сенсора и актуатора будет наиболее эффективной при полном либо при частичном (в виде пятен) покрытии тонкостенного элемента пьезоэлектри- ческими слоями. При частичном покрытии тела из пассивного материала пьезослоями эти пятна можно формировать при помощи разрезных электродов. Особенно заметное влияние на эффективность работы сенсоров и актуаторов ока- зывает температура. При обсуждении этого вопроса, как правило, ограничиваются исследованием температуры, возникающей в результате теплообмена с внешней сре- дой [140]. Однако, гармонические во времени, в частности, резонансные колебания тонкостенных элементов из пьезоактивных и пассивных неупругих материалов из-за их значительных гистерезисных потерь, низкой теплопроводности и существенной зависимости свойств от температуры, вызванной механической и электрической на- грузками, могут сопровождаться значительным повышением ТДР вследствие превра- щения электромеханической энергии в тепловую. Это явление может отрицательно влиять на эффективность работы тонкостенных элементов с сенсорами и актуаторами по нескольким причинам: 1) зависимость электромеханических характеристик мате- риала от температуры может существенно повлиять на эффективность работы пьезоэ- лектрических включений и, как следствие этого, на эффективность активного демп- фирования колебаний тонкостенных элементов; 2) при достижении температурой диссипативного разогрева точки Кюри активный материал теряет пьезоэффект и ста- новится пассивным, т.е. имеет место специфический тип теплового разрушения, когда 11 тело не разделяется на части, но пьезоэлемент теряет свое функциональное назначение; 3) при нарушении баланса между поступлением тепла в тело из-за гистерезисных по- терь и потерями тепла в результате теплообмена с внешней средой в неупругих эле- ментах может иметь место так называемый тепловой взрыв, когда наблюдается ката- строфическое повышение ТДР. В пассивных диэлектриках это явление достаточно хо- рошо изучено и является классическим разделом физики диэлектриков [15, 72, 74, 75]. На важность диссипативного разогрева в механике деформируемого твердого тела ученые-механики обратили внимание после экспериментальных работ по разогреву твердотопливных ракетных зарядов, когда было обнаружено превращение топлива в жидкое состояние при вынужденных резонансных колебаниях [152]. После этих работ началось интенсивное теоретическое исследование явления диссипативного разогрева простейших вязкоупругих механических систем при квазистатическом механическом нагружении [12, 80, 81, 88, 151, 155], обзор которых представлен, например, в [88]. Эти теоретические результаты, по существу, повторяют работы по физике диэлектриков, когда в качестве источника тепла выступает диссипативная функция, порождаемая диэлектрическими, а не механическими потерями в материале. На важность влияния ТДР на колебания пьезоактивных элементов указано еще в ранних работах по экспе- риментальному исследованию колебаний пьезопреобразователей [4]. В них указано, что основным ограничителем их мощности является именно ТДР. Обзор исследова- ний по влиянию ТДР на механическое поведение элементов конструкций из неупру- гих пассивных материалов представлен в монографиях [8, 9, 23, 28, 66] и статьях [96, 104 – 106, 145 – 147]. В работах [24, 28, 29, 39, 83, 100, 106] дан обзор результатов по исследованию колебаний и диссипативного разогрева элементов конструкций из пьезо- электрических материалов. Однако в этих обзорах не рассмотрено влияние ТДР на эф- фективность работы сенсоров и актуаторов и на эффективность активного демпфиро- вания вынужденных гармонических колебаний тонкостенных элементов из пассив- ных материалов с их помощью. При резонансных колебаниях и высоких уровнях ме- ханической нагрузки возникает необходимость в учете влияния физической нелиней- ности, диссипативных свойств материалов и ТДР на эффективность работы сенсоров и актуаторов и на эффективность активного демпфирования колебаний тонкостенных элементов с их помощью. При этом следует различать физические нелинейности трех типов: первый порождается зависимостью механических характеристик пассивного материала от температуры и зависимостью диссипативной функции от деформаций и температуры; второй – зависимостью механических характеристик пассивного мате- риала и диссипативной функции от инвариантов деформаций; третий – учетом со- вместного влияния указанных двух типов нелинейности. Для гибких тонкостенных элементов амплитуда колебаний может быть сравнимой с их толщиной и возникает необходимость в учете еще и геометрической нелинейности при исследовании выну- жденных гармонических колебаний и диссипативного разогрева гибких тонкостенных элементов, когда используются нелинейные кинематические соотношения [11]. §1.Общие соотношения термомеханики вязкоупругих материалов. Теоретической основой для разработки моделей гармонических колебаний и дисси- пативного разогрева неупругих элементов конструкций являются модели вязкоупругости, пластичности и вязкоупругопластичности. Общая теория термовязкоупругости для пас- сивных и пьезоактивных материалов с учетом взаимодействия механических, темпера- турных и электромагнитных полей представлена в монографиях [8, 9, 23, 29, 66]. Приве- дем основные соотношения теории определяющих уравнений для пассивных материалов интегрального типа с затухающей памятью, представленные в этих монографиях. Структура определяющих уравнений для тензора напряжений Пиолы – Кирхгофа  , энтропии  и внутренней диссипации ̂ для таких материалов имеет вид:   0 ; 0; Rg s      (1.1)     00 ; ; ;E ss T         (1.2)     0 0 ; ; ; s s           (1.3) 12   2 0 1 ˆ ; 0;R s R h g        (1.4)   0 0 1 ˆ ; ; .t t E r r s s E                     (1.5) Здесь введены обозначения: [;] = [ , ; , , ];r r t t RE E g  , ...E и , ...E – частные произ- водные и производные Фреше;  – свободная энергия, в общем случае являющаяся функционалом прошлых историй больших деформаций и температуры ,r r t tE  ; функ- цией мгновенных деформаций, температуры и градиента температур , , RE g . Из соотношений (1.1) – (1.5) вытекают следующие фундаментальные свойст- ва термомеханики материалов с затухающей памятью: 1) согласно (1.1) функционал свободной энергии   0 ; s    не зависит от градиента температуры Rg ; 2) тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа  и энтропия  определяются функ- ционалом свободной энергии соотношениями (1.2), (1.3) и, как видно, не зависят от градиента температуры Rg ; 3) внутренняя диссипация ̂ определяется функционалом свободной энергии   0 ; s    соотношениями (1.5) и удовлетворяет неравенству ˆ 0  ; 4) функционал теплового потока   0 ;R s h   удовлетворяет обобщенному диссипатив- ному неравенству (1.4). С учетом (1.1) – (1.5) уравнение сохранения энергии принимает вид: 1 ˆDiv 0.R R h r       (1.6) Величина ̂ в уравнении (1.6) называется внутренней диссипацией (или некомпен- сированным теплом). Для однородных температурных полей Rg = 0 и из неравенства (1.4) получаем неравенство для внутренней диссипации ˆ 0.  Видно, что материал с затухающей памятью определяется двумя функционалами – функционалом свободной энергии 0 , ; ,t r r s E E        и функционалом теплового потока 0 , ; , , .t R r r R s h E E g       Конкретные определяющие уравнения получаем путем выбора конкретных выра- жений для этих функционалов. Различные варианты выбора свободной энергии при- ведены в монографиях [8, 9, 23, 29, 66]. Применяя к вышепредставленным опреде- ляющим уравнениям методы нелинейной механики для гармонических процессов деформирования, получим упрощенные определяющие уравнения, подробный анализ которых будет проведен ниже. Представленные выше результаты на случай пьезоактивных материалов обобще- ны в монографиях [23, 39], где изложена также общая теория для материалов с внут- ренними переменными и материалов интегро-дифференциального типа. §2. Определяющие уравнения для пассивных и пьезоактивных неупругих материалов при моногармоническом деформировании. В механике деформируемого твердого тела при моделировании колебаний и дис- сипативного разогрева неупругих элементов конструкций из пасссивных и пьезоактив- ных материалов фундаментальную роль играют определяющие уравнения для этих материалов. Для описания термомеханического поведения неупругих пассивных ма- териалов разработаны модели термовязкоупругости, термопластичности, термовязко- 13 пластичности различной сложности [8, 9, 21, 22, 68, 79, 85, 86]. Однако, для решения задач о гармонических колебаниях и диссипативном разогреве неупругих элементов конструкций необходимо разрабатывать упрощенные модели поведения материала, учитывающие специфику этого типа деформирования. Так, например, в линейной теории вязкоупругости разработаны общие модели дифференциального типа, модели интегрального типа и модели материалов с внутрен- ними переменными, которые при гармоническом деформировании принимают универ- сальную форму комплексных алгебраических уравнений (концепция комплексных ха- рактеристик) [5, 8, 9, 21, 62, 66, 68, 70]. При гармоническом деформировании задача сводится к экспериментальному определению коэффициентов этих уравнений. Разра- ботаны экспериментальные методы определения мнимой и действительной состав- ляющих комплексных характеристик материала [56, 87, 138, 139]. Возникает необхо- димость в обобщении указанной концепции на нелинейный случай, когда тензорно линейные определяющие уравнения для неупругих материалов при гармоническом деформировании имеют такой же вид, как и комплексные уравнения линейной теории вязкоупругости, но комплексные характеристики для пассивного материала зависят от температуры и инвариантов тензора деформаций. Ниже рассмотрен вопрос об обобщении концепции комплексных характеритик на не- линейные материалы. Для определения зависящих от деформаций комплексных характе- ристик необходимо разработать экспериментально-теоретическую программу, аналогич- ную разработанной в теории малых упругопластических деформациий с использованием простейших одномерных задач, и программу проверки достоверности полученных ре- зультатов путем решения задач, выходящих за пределы упомянутых простейших одноме- рных задач, и сравнения полученных теоретических результатов с экспериментальными. При отсутствии таких экспериментально-теоретических результатов использован следу- ющий подход: 1) предложена некоторая полная теоретическая модель термомеханическо- го поведения неупругого материала, т.е. определяющие уравнения одной из перечислен- ных выше теорий неупругости; 2) разработана экспериментально-теоретическая програм- ма для определения функций и параметров определяющих уравнений этой полной модели с использованием решения наиболее простых одномерных задач; 3) на основе математи- ческих методов нелинейной механики с использованием полной модели получены упро- щенные определяющие уравнения для моногармонического нагружения, основанные на концепции комплексных характеристик; 4) разработаны экспериментально-теоретические методы определения параметров и функций упрощенных моделей; 5) в рамках полной и упрощенной моделей решены более сложные задачи, выходящие за пределы одномерных задач, используемых для определения характеристик полной и упрощенной моделей; 6) проведено сравнение между собой полученных результатов для этих более сложных задач и на основе этого сравнения даны выводы о точности результатов, получаемых при помощи концепции комплексных характеристик. Как правило, при исследовании нелинейных колебаний механических систем с распределенными параметрами используют метод разделения переменных, когда ре- шение системы дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений в час- тных производных ищут в виде разложения по некоторой полной системе функций координат и исходную задачу сводят к системе обыкновенных дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений по времени, для решения которых приме- няют аналитические или численные методы. Такой подход позволяет в какой-то мере исследовать пределы применимости моногармонического приближения. Именно такой подход использван в большинстве работ, в которых исследованы нелинейные колебания механичесих систем с распределенными параметрами [59], в частности, в работах по нелинейным колебаниям тонкостенных элементов конструкций с учетом нелинейного гистерезиса [57, 63 – 65], который описан на основании модели Н.Н.Давиденкова [18]. Если принять, что выполняются условия, при которых моногармоническое при- ближение имеет место и которые установлены в математичесних работах по нелиней- ным колебаниям неупругих элементов, то можно применить такой подход (именуе- мый в дальнейшем первым) для исследования нелинейных колебаний механических систем с распределенными параметрами, когда к исходной нелинейной системе в час- тных производных применяется метод разделения переменных и решение с самого начала представляется в виде моногармонических функций по времени с неизвестны- 14 ми коэффициентами, которые зависят от координат. В результате получим нелиней- ную комплексную систему дифференциальных уравнений в частных производных по координатам, к которой уже можно применять разработанные в механике деформиру- емого твердого тела численно-аналитические методы. При этом принимаем, что опре- деляющие уравнения полной модели известны. Например, для вязкоупругих материа- лов это могут быть нелинейные дифференциальные или интегральные уравнения Во- льтерра. Для упругопластических и вязкоупругопластических материалов можно применить теорию малых упругопластических деформаций, разного рода модели тео- рии течения и т.п. Но можно использовать и второй подход, когда принимается гипо- теза о моногармоничности механического процесса при моногармоническом нагру- жениии и на ее основе построить теорию определяющих уравнений для неупругих материалов для этого специфического класса историй деформирования. Эта теория будет намного проще указанных выше полных теорий, которые описывают поведение неупругого материала для более общих историй деформирования, чем моногармони- ческие. Затем разработать программу экспериментального определения комплексных характеристик неупругого материала при гармоническом деформировании. Дополнив эти уравнения универсальными соотношениями механики для моногармонического процесса – уравнениями движения, кинематическими соотношениями, граничными условиями – можно получить замкнутую систему уравнений, которая описывает не- линейные моногармонические процессы в системах с распределенными параметрами. Первый из указанных подходов был использован, например, в монографии [142] для моделирования внутреннего трения в неупругих материалах и исследования нели- нейных колебательных процессов в механических системах с гистерезисом. При этом в качестве полной модели использована теория микропластичности А.Ю.Ишлинского [22, 142]. Применение к определяющим уравнениям этой теории метода гармоничес- кого баланса позволило получить нелинейные комплексные алгебраические опреде- ляющие уравнения, аналогичные определяющим уравнениям линейной теории вязко- пругости, но с зависящими от амплитуд деформаций комплексными характеристика- ми. При этом в [142] был установлен принцип соответствия, аналогичный принципу соответствия для линейных вязкоупругих материалов, который заключается в том, что в линейных уравнениях теории упругости необходимо заменить механические характеритики материала на комплексные и записать все уравнения в комплексной форме. Такой же подход был использован и в [8, 9, 23, 28, 39, 66] при построении тер- момеханических моделей вязкоупругих пассивных (без пьезоэффекта) материалов. В этих монографиях использованы указанные выше два подхода – первый из них за- ключается в использвании полных моделей вязкоупругости того или иного типа и построении на их основе с применением метода гармонического баланса приближен- ных определяющих уравнений для моногармонического деформирования. При использовании второго похода построена теория определяюших уравненний для моногармонических процессов деформирования диссипативных материалов неза- висимо от природы диссипации в материале, который может быть вязкоупругим, упру- гопластическим, вязкоупругопластическим. При этом по аналогии с теорией определя- ющих уравнений упругопластических материалов принимаем, что действительные и мнимые составляющие компонент тензора напряжений являются функциями действи- тельных и мнимых составляющих компонент тензора деформаций. Установлены усло- вия, при выполнении которых полученные таким образом определяющие уравнения могут быть записаны в комплексной форме, а также условия потенциальности этих ура- внений, когда определяющие уравнения могут быть получены через производные от некоторых двух скалярных функций, которые можно назвать потенциалами. При таком подходе квазилинейные определяющие уравнения принимают алгебраическую форму с некоторыми функциями и параметрами, которые, как и в нелинейной теории упругости и в теории малых упругопластических деформаций, определяются экспериментально. Для определения комплексных характеристик неупругого нелинейного материала разработана экспериментальная программа. С использованием полученных таким образом комплексных определяющих уравнений численными и аналитическими ме- тодами решаются задачи, выходящие за пределы тех простейших одномерных задач, которые использованы в упомянутой выше экспериментальной программе. Эти теоре- тические результаты сравниваются с соответствующими экспериментальными дан- ными и делается вывод о достоверности предлагаемых определяющих уравнений. 15 Такой подход изложен в монографии [39], где также представлено обобщение конце- пции комплексных характеристик на пьезоэлектрические материалы. В связи с про- блемой определяющих уравнений для случая моногармонического механического или электрического нагружения отметим следующее: при управлении колебаниями тон- костенных элементов из неупругих пассивных материалов при помощи пьезоэлектри- ческих включений толщина наносимых на поверхности этих элементов активных сло- ев значительно меньше толщины пассивного элемента. Поэтому, как правило, влия- ние активных слоев на динамические характеристики и ТДР управляемой конструк- ции из пассивного неупругого материала незначительно. В связи с этим в большинст- ве случаев неупругими и нелинейными свойствами пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов можно пренебречь, а основным вопросом при постановке задач о вынуж- денных гармонических колебаниях и диссипативном разогреве неупругих тел являет- ся установление определяющих уравнений для пассивных неупругих материалов для этого типа нагружения. 2.1. Постановка трехмерных задач о колебаниях и диссипативном разогреве тел из пассивных и пьезоактивных материалов. Для разработки моделей о гармони- ческих колебаниях и диссипативном разогреве тонкостенных элементов, состоящих из пьезоэлектрических и пассивных слоев, необходима постановка соответствующих трех- мерных задач. Она сводится к универсальным уравнениям движения [16, 23, 28, 29, 39] 2 , ;kl l k kF u    (2.1) кинематическим соотношениям ' ' 1 ( ); 2kl k l l ku u   (2.2) уравнениям электростатики , 0;k kD  (2.3) уравнению энергии , ,( ) .kl k l W t       (2.4) К уравнениям (2.1) – (2.4) следует присоединить стандартные начальные и гранич- ные условия, представленные, например, в [29, 52, 153, 154]. В уравнениях (2.1) – (2.3) все величины (кроме температуры) являются комплексными: , ... ,kl kl kli     при этом, например, напряжения ( ) Re cos sin .i t kl kl kl klt e t t         Остальные физи- ко-механические величины определяются по таким же формулам. Универсальные соотношения необходимо дополнить определяющими уравнениями, которые для гармо- нического деформирования превращаются в квазилинейные алгебраические комплекс- ные уравнения. При этом для пассивного материала они имеют вид [8, 9, 23, 39, 66] kl klmn mnE  , (2.5) а для пьезоактивного [23, 28, 39] , .E S kl klmn mn klm m k kl l klm lmc e E D E e       (2.6) Выражение диссипативной функции для пассивного материала приобретает форму ( ), 2 kl kl kl klW          (2.7) а для пьезоактивного – ( ). 2 kl kl kl kl k k k kW D E D E                (2.8) В уравнениях (2.5), (2.6) в общем случае все электромеханические характеристики зависят от полевых величин, например, от действительной и мнимой составляющих тензора деформаций ,kl kl   и аналогичных составляющих вектора напряженности 16 электрического поля ,k kE E  . Такая зависимость осуществляется через инварианты этих величин. Подробное освещение этого вопроса представлено в монографии [39]. Они также могут быть зависимы от температуры. Как видно из (2.7) – (2.8), диссипа- тивная функция для активного и пассивного материалов становится известной, если известны определяющие уравнения (2.5), (2.6). При постановке задач о колебаниях и диссипативном разогреве неупругих тел имеют место три указанные выше типа физи- ческих нелинейностей. При исследовании колебаний гибких тонкостенных элементов возникает четвертый тип нелинейности – геометрическая нелинейность, когда вместо соотношений (2.2) необходимо использовать нелинейные зависимости между дефор- мациями и перемещениями [11]. Представленная выше постановка трехмерных задач является основой для по- строения моделей неупругих тонкостенных элементов с сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении при помощи некоторых гипотез о распределнни полевых величин по толщине элемента. 2.2. Обоснование концепции комплексных характеристик для физически не- линейных материалов первого типа. Рассматриваемая ниже нелинейность первого типа порождается зависимостью комплексных характеристик от температуры и нели- нейной зависимостью диссипативной функции от температуры и амплитуд деформа- ций (или напряжений). В силу малого изменения температуры за период колебаний определяющие уравнения для этого типа нелинейности имеют такой же вид, как и определяющие уравнения для линейной теории вязкоупругости для гармонических процессов, т.е. они по форме совпадают с определяющими уравнениями линейной теории упругости, но являются комплексными, а коэффициенты этих уравнений зави- сят от температуры. Определяющее уравнение для диссипативной функции совпадает с усредненной за период мощностью, так что при известных определяющих уравнениях диссипативная функция становится также известной. Для пассивных материалов в работах [9, 16, 30, 66] представлены результаты экспериментов, свидетельствующие о высокой точности расчетов температуры диссипативного разогрева при использовании такой упрощен- ной модели. В работах [9, 12, 39, 66, 133] представлены расчеты с использованием полной модели вязкоупругости либо полигармонического приближения и дано сравне- ние с результатами расчетов по упрощенной модели. Это сравнение также свидетель- ствует о высокой точности результатов расчетов по упрощенной модели с использо- ванием концепции комплексных характеристик. Результаты экспериментальных ис- следований по определению комплексных характеристик пассивных материалов при- ведены в [9, 66, 80, 81], а для пьезоактивных материалов – в работах [82, 89, 143, 144]. 2.3. Обоснование концепции комплексных характеристик для физически не- линейных материалов второго типа. Нелинейность второго типа порождается за- висимостью комплексных характеристик и диссипативной функции от амплитуд де- формаций (или напряжений) и нелинейной зависимостью диссипативной функции от амплитуд деформаций. Постановка связанных задач термовязкоупругости с учетом такой нелинейности представлена в [23, 39, 66]. Нелинейности обоих типов имеют место как для полимерных, так и для металлических материалов. Но нелинейность первого типа проявляется более ярко для полимерных материалов, многие из которых очень чувствительны к изменению температуры. Нелинейность второго типа является типичной для металлических материалов, для которых зависимость комплексных ха- рактеристик от амплитуд деформаций имеет большее влияние на их поведение, чем их зависимость от температуры. Как указано выше, моногармоническое приближение реализуется в механических системах, в каком то смысле близких к упругим. Тогда для решения соответствующих нелинейных дифференциальных или интегро-диффе- ренциальных уравнений можно использовать методы нелинейной механики [59 – 61]. Для обоснования концепции комплексных характеристик для физически нелинейных материалов второго типа в работах [148, 149, 157] использована модель неупругого поведения материала, представленная в [85, 86]. С ее использованием получены гра- фики зависимости действительной и мнимой составляющих модуля сдвига от второго 17 инварианта ie девиатора тензора деформаций, т. е. ( ), ( )i iG G e G G e     . Модуль объемного расширения принят постоянным. Диссипативная функция определена пред- ставленной выше формулой. Полученная таким образом система уравнений ничем не отличается от системы, полученной при постановке задач термомеханики в моногар- моническом приближении с использованием нелинейных моделей теории вязкоупру- гости [23, 26, 39]. Она также не отличается от механических определяющих уравне- ний, полученных в упомянутой выше работе [142] с использованием метода гармони- ческого баланса. Отметим, что в [142] не учитывалось взаимодействия механических и тепловых полей. Для конкретизации зависимости комплексных характеристик от интенсивнос- ти деформаций использована одномерная задача о сдвиге (кручении), как это делается в деформационной теории пластичности [79]. Для определения комплексных характе- ристик неупругих материалов в [141] рекомендуется следующий подход: 1) сначала определяется динамический модуль 2 2( ) ( )E E E    ( E и "E – действительная и мнимая составляющие комплексного модуля E E iE   ) по так называемой цикли- ческой диаграмме, представляющей собой зависимость амплитуды напряжений a от амплитуды деформаций a , так что / ;a aE    2) затем по площади гистерезисной петли находится ;E  3) действительная составляющая комплексного модуля рассчи- тывается по формуле 2 2'E E E   . В работе [141] дано сравнение результатов расчетов амлитуд напряжений или де- формаций с использованием полной модели вязкопластичности и по приближенной модели с использованием циклической диаграммы и обнаружено очень хорошее со- гласование этих результатов. В работах [148, 149, 157] для определения составляю- щих комплексных амплитуд предложен аналогичный подход: динамический модуль определяется по размахам (амплитудам) напряжений и деформаций; мнимая состав- ляющая комплексного модуля рассчитывается по площади петли гистерезиса; дейст- вительная составляющая – по приведенной выше формуле. Такой подход назван мо- дифицированным методом для определения составляющих комплексного модуля. Дано сравнение результатов расчетов по полной модели, по стандартному методу гармонического баланса и по модифицированному методу. В качестве полной модели в этих работах использована модель неупругости [85, 86]. В результате обработки экспериментальных данных для алюминиевого сплава АМг-6 и стали по представлен- ной в [148] методике получены параметры полной модели. Затем с использованием полной модели определены циклические характеристики для историй 0 sine e t . Сравнение результатов расчетов по полной модели, по стандартному и модифициро- ванному методам гармонического баланса показывает, что модифицированная модель лучше согласуется с полной моделью по сравнению со стандартной. С использовани- ем полной и упрощенной постановок задач о колебаниях и диссипативном разогреве неупругих тел из пассивных материалов с учетом физической нелинейности второго типа решено большое количество конкретных задач и показано, что концепция ком- плексных характеристик дает достаточно точные результаты. Детальное обсуждение вопросов, связанных с обоснованием концепции комплексных характеристик на осно- ве сравнения результатов расчетов с использованием полной и упрощенной моделей, изложено в обзоре [147]. Следует отметить, что определяющие уравнения для моногармонических процес- сов деформирования имеют один и тот же вид как для вязкоупругих, так и для упру- гопластических или вязкоупругопластических материалов, так что они одинаковы для всех типов неупругих материалов. Большой цикл экспериментальных исследований по зависимости комплексных характеристик от амплитуд деформаций для пассивных материалов представлен в работе [84]. При деформировании в области микропласти- ческих деформаций результаты экспериментальных исследований зависимости дек- 18 ремента затухания от деформаций для широкого класса материалов приведены в [65]. При этом следует отметить, что эти эксперименты свидетельствуют о существенной зависимости мнимой составляющей комплексных модулей от деформаций и незначи- тельном влиянии деформаций на действительную составляющую комплексного модуля. В работах [92, 93, 157, 158] дано сравнение результатов решения задач об изгибных колебаниях неупругой балки с пьезоактивными слоями (актуаторами) с использова- нием полной модели неупругого поведения материала, приведенной в [85, 86], и кон- цепции комплексных характеристик и обнаружено их хорошее согласование. §3. Математические модели и численно – аналитические методы решения за- дач термомеханики неупругих тонкостенных элементов с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении. Ниже представлены математические модели и описаны итерационные методы, сводящие исходную нелинейную задачу к последовательности линейных задач вязко- упругости и теплопроводности с известным источником тепла. При построении математичеcких моделей колебаний и диссипативного разогрева тонкостенных эле- ментов с сенсорами и актуаторами можно использовать два подхода: первый из них заключается в применении тех или иных гипотез к этим линейным задачам электро- механики и теплопроводности; второй – на применении указанных гипотез непосред- ственно к поставленным в предыдущем разделе нелинейным задачам электромехани- ки и теплопроводности. Первый из указанных подходов целесообразно применять при решении задач численными методами, а второй – при аналитическом решении нели- нейных связанных задач. Дана вариационная постановка задач о колебаниях и диссипативном разогреве неупругих тонкостенных элементов с сенсорами и актуаторами и представлены коне- чно - элементные методы решения вариационных задач. Для решения одномерных задач использованы описанные ниже итерационные процедуры. Для решения линеа- ризированных задач на каждой итерации применен метод дискретной ортогонализа- ции в сочетании с конечно - разностными методами при решении задач теплопровод- ности с известным источником тепла. 3.1. Методы линеаризации для решения нелинейных связанных задач термо- электровязкоупругости. При решении связанной нелинейной задачи термоэлектро- вязкоупругости могут быть применены различные методы решения нелинейных диф- ференциальных уравнений. В частности, можно использовать метод Ньютона и раз- личные его модификации, аналоги методов переменных параметров и упругих реше- ний, асимптотические методы (метод ВКБ, метод усреднения Крылова – Боголюбова – Митропольского и др.). Кратко изложим некоторые итерационные методы, исполь- зуемые авторами при решении конкретных задач. Для решения нелинейной задачи термоэлектровязкоупругости с учетом физиче- ской нелинейности первого типа в [9, 23, 39, 66] использован метод пошагового ин- тегрирования по времени. Его суть состоит в следующем: 1) по заданному в началь- ный момент времени 0t  распределению температуры определяем элекромеханиче- ские характеристики материала и решаем линейную задачу электровязкоупругости; 2) по найденным элекромеханическим переменным определяем диссипативную функ- цию W ; 3) на интервале времени  10, t решаем задачу теплопроводности с извест- ным источником тепла, причем выбор значения 1t зависит от степени чувствительно- сти элекромеханических свойств материала к изменению температуры; 4) по задан- ному распределению температуры в момент времени 1t вычисляем комплексные ха- рактеристики материала и повторяем процесс решения задач 1) и 2); 5) по найденным значениям диссипативной функции и распределению температуры в момент 1t задачу решаем на следующем интервале времени  1 2,t t и т. д. Процесс завершаем при дос- тижении заданного значения времени kt t . Решение задачи пошаговым методом по- зволяет исследовать поведение пьезоэлементов как в установившемся тепловом со- стоянии, так и в процессе выхода температуры на стационарный режим. 19 В случае, когда учитывается зависимость свойств материала не только от темпе- ратуры, но и от амплитуд деформаций (напряжений) и напряжённости электрического поля, для линеаризации связанной задачи в [9, 23, 39, 66] использованы итерационные методы, основанные на идее метода переменных параметров упругости. Элементар- ная итерация включает в себя решение линеаризованной динамической задачи элек- тровязкоупругости и задачи теплопроводности. При этом для линеаризации задачи на n-ой итерации в температурно – и амплитудно – зависимых характеристиках материала используются значения полевых величин 1 1 1 1( , , , )n n n nE T     , вычисленных на ( 1)n  – ой итерации, т.е. реализуется метод последовательных приближений. С целью уско- рения сходимости метода переменных параметров был использован алгоритм типа Стеффенсена – Эйткена, описанный в [66, 78]. В обеих изложенных методах исходная нелинейная задача сводится к последовательности линеаризованных задач электроме- ханики и теплопроводности с известным источником тепла, для решения которых использованы численные методы. Так, при решении одномерных задач с зависящими от температуры свойствами материала использован метод пошагового интегрирова- ния по времени в сочетании с методом дискретной ортогонализации [14, 77]. При решении двумерных линеаризованных задач электровязкоупругости и тепло- проводности использован метод конечных элементов [3, 9, 66]. 3.2. Моделирование колебаний и дисипативного разогрева оболочек с использо- ванием гипотез Кирхгофа – Лява. При построении моделей вынужденных колебаний тонкостенных элементов с сенсорами и актуаторами следует иметь в виду следующее. Как и в трехмерном случае, основной проблемой термомеханики тонкостенных эле- ментов с сенсорами и актуаторами является проблема определяющих уравнений, свя- зывающих силовые факторы с кинематическими, поскольку универсальные уравне- ния (кинематические соотношения, уравнения движения, начальные и граничные ус- ловия) известны из механики тонкостенных элементов. Разработке моделей колеба- ний и диссипативного разогрева тонкостенных элементов с сенсорами и актуаторами с учетом физической нелинейности первого типа посвящены работы [23, 28, 29, 100]. Аналогичные модели для случая физически нелинейных материалов второго типа разработаны в [28, 30, 31]. Для вывода уравнений энергии можно использовать из- вестные методы приведения трехмерных задач к двумерным на основе тех или иных гипотез о распределении температуры по толщине элемента [52]. Рассмотрим тонкую трехслойную оболочку вращения толщиной 1 2 3H h h h   , составленную из трансверсально-изотропных слоев с толщинной поляризацией. Оболо- чка отнесена к криволинейной ортогональной системе координат ( , , )s z . В качестве базисной выберем срединную поверхность внутреннего слоя оболочки. Оболочка явля- ется достаточно тонкой, так что для моделирования ее механического поведения можно использовать гипотезы Кирхгофа – Лява, согласно которым 0, 0, 0.zz zs z     Кроме того, принимаем, что при деформировании нормаль к оболочке не изменяет своей длины и остается перпендикулярной к срединной поверхности. Меридиан бази- сной поверхности описывается уравнением ( ).r r x На поверхностях 0 1 2 3, , ,z a a a a ( 0 1,a a ограничивают первый внешний слой; 1 2,a a – средний слой, а 2 3,a a – второй внешний слой оболочки) размещены сплошные или разрезные электроды, на которых задаются потенциалы. Указанные выше механические гипотезы Кирхгофа – Лява до- полняются адекватными им гипотезами относительно электрических полевых вели- чин, когда принимаем, что отличными от нуля являются только нормальные состав- ляющие векторов напряженности электрического поля и электрической индукции ( 0, 0).z zE D  В соответствии с этими гипотезами получаем упрощенные уравнения состояния для k -го активного слоя оболочки ( 1,2)k  , приведенные в [28, 29, 100]. Для пассивного слоя упрощенные уравнения представлены, например, в [1, 14, 28]. Согласно кинематическим гипотезам Кирхгофа – Лява компоненты вектора пере- мещений и компоненты тензора деформаций оболочки запишем в виде 20 0 0 0 0 0 ( , ) ( , , ) ( , ) ; ( , , ) ( , ) ( , ) ; ( , , ) ( , ); , , ,ss ss ss s s s w s u s z u s z s z s w s v s z w s z w s r v z z z                                      (3.1) где деформации 0 , ... , , ...ss ss  определяются через перемещения (3.1) по известным из теории оболочек формулам [1, 14, 28]. Учитывая вышеуказанные гипотезы относительно электрических полевых вели- чин, получим упрощенные определяющие уравнения для активных и пассивных слоев [1, 14, 28]. Интегрируя их по полной толщине оболочки, получим комплексные нели- нейные определяющие уравнения для моментов и усилий для обоих типов указанных выше нелинейностей, т.е. 0 0 2 11 12 11 12 1 1 0 0 3 11 12 11 12 1 1 ( ),... ; ( ),... . k ss ss ss k kk k ss ss ss k kk H N C C K K V V H H M K K D D V V H                           (3.2) Здесь подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу k , а жесткостные характеристики и выражения для k iH определяются по формулам, предсталенным, например, в [29, 37]. Как видно из (3.2), определяющие уравнения по внешнему виду совпадают с ура- внениями состояния термоупругости тонкостенных оболочек с заменой теплового расширения на величину, зависящую от разности потенциалов. Представим вариaционную формулировку задачи, эквивалентную дифференциа- льной постановке задачи. С учетом гипотез Кирхгофа – Лява и предположения о по- стоянстве нормальной составляющей вектора электрической индукции в каждом слое после интегрирования по толщине и суммирования результатов по всему пакету слоев оболочки, приведем представленное в [16, 29, 39] трехмерное вариационное уравне- ние к двухмерному виду 1 2 3.Э Э Э Э      (3.3) Здесь введены такие обозначения: 20 0 0 0 2 0 2 1 11 12 22 44 0 0 0 0 11 12 21 22 0 2 2 2 44 11 12 22 44 2 2 2 2 2 1 0 0 2 0 1 { ( ) 2 ( ) ( ) 4 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 8 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 2 ss ss s F ss ss ss ss s s ss ss s Э C C C C K k K k K k K k K k D k D k k D k D k u v w u                                                 2 2 2 0 3 1 1 ; w w w w v rdsd s r s r                                 (3.4) 2 0 0 0 0 1 ( ) ; 2 s z s z s F L w Э P u P v P w rdsd N u N v N w M M dL s                (3.5) 0 01 3 2 3 1 ( ) ( ) .k kk k ss ssk F V V Э H H rdsd H              (3.6) В (3.4), (3.5) принято: 21 1 1 ; k k k k a a s s a a M f zdz M f zdz       ; (3.7) 1 1 1 2 1 2 3; ; k k k k k k a a a k k k a a a dz zdz z dz              (3.8) ( k – плотности материалов). В выражениях (3.6) – (3.8) перед интегралами опущен знак суммирования по ин- дексу .k В случае симметричного размещения слоев оболочки 11 22 33 0K K K   . Отметим, что из функционала 1 2 3Э Э Э Э   дифференцированием по деформациям приходим к определяющим уравнениям для усилий и моментов. При исследовании влияния температуры на активное демпфирование колебаний оболочки при помощи сенсоров и актуаторов приведенные выше уравнения необхо- димо дополнить уравнениями энергии, описывающими диссипативный разогрев. Для определения ТДР использовано трехмерное вариационное уравнение энергии, приведенное, например, в [52]. Для сведения этого уравнения к двумерному принима- ем, что нормальная составляющая теплового потоку q z изменяется по толщине паке- та слоев по линейному закону 0 1zq q q z  . В этом случае температура в каждом слое оболочки аппроксимируется квадратичным полиномом по толщинной координате z . При механическом нагружении на электродированных поверхностях в случае ра- зомкнутых электродов выполняются условия 0.z S D ds  (3.9) Из (3.9) определяем разность потенциалов между электродами 0 0 32 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) . kk k k ss ssk k k S S HH dS V V dS H H H                     (3.10) В (3.9), (3.10) S – площадь электродов, с которых снимается разность потенциа- лов. При этом электроды могут быть как сплошными, так и разрезными. При совместном использовании сенсоров и актуаторов для активного демпфиро- вания колебаний оболочек сенсоры дают информацию об их механическом состоя- нии, а к актуаторам подводится разность потенциалов, которая связана с показателя- ми сенсора уравнениями обратной связи [153, 154] 2 1 2 2 2 .s s a s V V V G V G G t t        (3.11) В случае гармонического деформирования уравнения обратной связи (3.11) при- нимают следующий вид: 2 1 2 3 ,a s s sV G V i G V G V    (3.12) где ( 1 3)iG i   – параметры управления. Для исследования влияния коэффициентов обратной связи на жесткостные, дис- сипативные и инерционные характеристики оболочки используем приведенные выше вариационные уравнения (3.3) – (3.6). Подставляя (3.12) в (3.6), получаем 2 0 01 2 3 3 2 3 1( ) 1( ) 0 0 2 1 3 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) [( ) / ( ) / ] . k ks s s ss ssk F k S k k k k ss ss S G V i G V G V Э H H dS H H H H H H dS r ds d                                    22 Конечно-элементный метод решения задачи. Решение вариационной задачи (3.3) на каждой итерации находится методом конечных элементов (МКЭ) с использовани- ем двенадцатиузловых изопараметрических четырехугольных элементов с аппрокси- мацией перемещений и геометрии оболочки полиномами третьей степени в пределах четырехугольника [3]. При этом прогиб оболочки в пределах элемента аппроксими- руется бикубическими полиномами Эрмита iL [3, 53, 134]: 24 4 8 12 1 .i i i i i i i i i w w w w L w L L L s r r s                             (3.13) В (3.13) 2, ( ) , ( ) , ( )i i i iw w s w r w r s        – амплитудные значения прогиба и его производных в узловых точках. Тангенциальные составляющие перемещений срединной поверхности оболочки в пределах элемента аппроксимируются кубическими полиномами iN [3, 53, 134]: 12 12 0 0 0 0 1 1 ; .i i i i i i u N u v N v      (3.14) Как глобальная система координат, в которой объеденяются все конечные элеме- нты, используется цилиндрическая система координат ( , , ).r s Меридиональная s и осевая x координаты связаны соотношениями 2; 1 ( ) .ds Adx A dr dx   Как локальная система координат, в которой определяются аппроксимирующие функции и проводится интегрирование, используется нормализованная система коор- динат , .  При этом связь между координатами , ,s r  и координатами местной сис- темы ,  определяется зависимостями 12 12 12 1 1 1 ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ,i i i i i i i i i s N s r N r N                где , ,i i is r  – узловые значения координат. Представим компоненты механического и электрического нагружения, действу- ющего в пределах элемента, в виде разложения 12 12 1 1 ; .i i i i i i P N P V N V      Учитывая выражения для перемещений и деформаций, из условия стационарности 1 0, ... M m mi i ЭЭ w w      функционала 1 2 3Э Э Э Э   получим комплексную систему ли- нейных алгебраических уравнений относительно тангенциальных перемещений, про- гиба и его производных. При этом дифференцирование по , , ,s sw w w w  проводится только в угловых точках, а по 0 0,u v – во всех точках элемента. Производные для каж- дого i -го узла элемента, совпадающего с угловой точкой, имеют вид 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , ... , . w w s w w s w w wm ik k ik k ik k ik k in n in n i i v v v v v v vs sm ik k ik k ik k ik k in n in n i i Э a w b w c w d w g u h v f w Э a w b w c w d w g u h v f v                       (3.15) В соотношениях (3.15) нумерация узлов является локальной ( 1, 2, 3, 4; 1, 2, ... , 12).k n  Комплексные коэффициенты системы (3.15) выражаются через электромеханические и геометрические характеристики оболочки, а правые части 0 0, ,u vw i i if f f определяют- ся путем разложения нагрузки по системе аппроксимирующих функций. 23 Представленная выше система алгебраических уравнений решается в комплексной области методом Гаусса. Это позволяет с высокой точностью получить решение сис- темы большой размерности без нарушения симметричности и ленточности ее струк- туры. По найденным значениям перемещений определяются компоненты тензора де- формаций, толщинная составляющая электрической индукции и компоненты вектора напряженности электрического поля в произвольной точке конечного элемента. Такой подход позволяет получить решение линейной задачи для оболочек вращения как при механическом, так и при электрическом нагружениях. В случае активного демпфирования колебаний вариация 3Э вносит вклад в соот- ветствующие коэффициенты разрешающей системы, которые имеют место при неиз- вестных величинах, и тем самым изменяют жесткостные, диссипативные и инерцион- ные характеристики оболочки. Двумерное вариационное уравнение теплопроводности решается на той же сетке конечных элементов. При этом производная /dT dt не варируется и заменяется выра- жением / [ ( ) ( )] /dT dt T t t T t t     . В дальнейшем используем неявную схему реше- ния уравнения теплопроводности. Для ускорения сходимости итерационного процесса на каждом шаге по времени t используем метод Стефенсена – Эйткена [66, 78]. 3.3. Моделирование колебания и диссипативного разогрева оболочек вращения с использованием уточненных теорий. Уточненные модели колебаний и диссипа- тивного разогрева тонкостенных элементов с сенсорами и актуаторами с учетом фи- зической нелинейности первого типа представлены в [23, 28, 29], а с учетом физиче- ской нелинейности второго типа – в [30, 31]. Изложим уточненную теорию, постро- енную на послойной аппроксимации перемещений [69]. Рассмотрим трехслойную оболочку вращения толщины 1 2 3,H h h h   cостав- ленную из трансверсально – изотропных вязкоупругих пьезоэлектрических слоев с толщинной поляризацией и отнесенную к криволинейной ортогональный системе координат ( , , )s z . Оболочка достаточно тонкая, т.е. такая, для которой сведение трехмерных уравнений к двумерным возможно произвести, приравнивая 0zz  и принимая квадратичный закон изменения сдвиговых деформаций sz и z в пределах каждого слоя. При этом сдвиговые напряжения zs , s должны удовлетворять усло- виям контакта на стыке слоев. Меридиан ее базисной поверхности описывается урав- нением ( )r r x . На пьезоэлектрических поверхностях 0 1 2 3, , ,z a a a a имеются сплошные или дискретные электродные покрытия, на которых задаются соответст- вующие значения потенциалов 0 1 3, , ,V V V   . Для моделирования электромеханическо- го поведения материалов используем концепцию комплексных характеристик. Упро- щенные определяющие уравнения, связывающие напряжения и деформации, получа- ем на основе уточненных механических гипотез, учитывающих деформации попереч- ного сдвига, и дополненных адекватными им гипотезами о распределении по толщине электрических полевых величин, согласно которым отличными от нуля являются компоненты вектора напряженности электрического поля и нормальная составляющая электрической индукции ( 0, 0, 0)z sD D D   . В результате приходим к комплекс- ным упрощенным уравнениям состояния для активных и пассивных слоев, которые не отличаются от указанных выше уравнений для гипотез Кирхгофа – Лява, за исключе- нием того, что к ним добавляются соотношения для 2 ,k k sz sz szG e  2k k z z zG e    с модифицированными выражениями для , .sz zG G Сдвиговые деформации в каждом слое аппроксимируются квадратичными функциями по толщинной координате z :        1 1 1 1 , ; e , . 2 2 k k k k sz zk k sz sz e u s q z v s q z G G   (3.16) Функции ( )kq z для трехслойной оболочки приведены в [37]. 24 В качестве базисной поверхности выбираем срединную поверхность внутреннего слоя оболочки. Используя соотношения Коши и интегрируя выражения (3.16) по толщин- ной координате z , выражения для компонент вектора перемещений запишем в виде    0 1 0 1 1 ; ,k k k kw w u u z u f z v v z v f z s r            (3.17) где 0 0,u v – тангенциальные перемещения поверхности 0z  , w – нормальный прогиб оболочки, а функции ( )kf z приведены в [37]. Используя соотношения Коши [1, 14] и зависимости (3.16), (3.17), компоненты тензора деформации к – го слоя оболочки представим в виде 0 0 0 1 1 ( ); ( ); 1 1 ( ); ( ); ( ). 2 2 k k k k ss ss ss ss k k k k k k s s s s sz z z f z z f z z f z e u q z e v q z                                 (3.18) Выражения для 0 ,..., ,..., ,...ss ss ss   в (3.18) через 0 0 1 1, , , ,u v w u v приведены, напри- мер, в [37]. Полагаем, что между слоями и на поверхностях оболочки нанесены бесконечно тонкие электроды, на которых заданы электрические потенциалы kV . Согласно ука- занным выше гипотезам относительно электрических полевых величин получим уп- рощенные определяющие уравнения для каждого из слоев. После интегрирования их по полной толщине оболочки получим определяющие уравнения для усилий и мо- ментов [37]. Универсальные уравнения остаются без изменений [69]. Отметим, что представленные ниже вариационные формулировки задач с использованием класси- ческих и уточненных гипотез эквивалентны локальным формулировкам. Конечно-элементный метод решения двумерной задачи. Для решения задач о ко- лебаниях и диссипативном разогреве слоистых оболочек вращения методом конечных элементов (МКЭ) исходим из трехмерных вариационных уравнений. С учетом приве- денных выше гипотез и соотношений трехмерное вариационное уравнение электро- механики для оболочки вращения сводится к двумерному (3.3), в котором 0 2 0 0 0 2 0 2 11 12 11 44 0 0 0 0 0 11 12 21 22 44 2 2 2 11 11 11 44 1 0 0 0 0 11 12 21 22 44 ( ) 2 ( ) 4 ( ) 2( 4 ) 2 41 2 2( 4 ss ss s ss ss ss ss s s ss ss s ss SS ss ss C C C C K K K K D D D D D Э C C C C C                                                                  11 12 21 11 44 11 12 0 2 2 2 2 2 22 44 55 1 55 1 ; ) 2( 4 ) 2 4 F s s ss ss ss ss s s s ss ss s rds d D D D D D D D D D C u C v                                                                      2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 2 3 1 1 2 2 4 1 1 6 0 1 0 1 5 0 0 1 ( ) 1 ; 2 1 1 2 2 2 F w w u v w u v s r Э r ds d w w w w u v u u v v u v s r s r                                                                 (3.19)        0 0 32 4 3 1 1 1 1 1 . 2 kk k k k ss ss ss zk k k F HH H Э P r ds d H H H                               Выражения для жесткостных характеристик приведены в [29]. 25 Отметим, что определяющие уравнения для усилий и моментов получаются из (3.19) дифференцированием 1 2 3Э Э Э Э   по деформациям. Решение вариационной задачи (3.3) осуществляется МКЭ на той же сетке конеч- ных элементов, что и решение классической задачи Кирхгофа – Лява. При этом про- гиб и его производные аппроксимировались бикубическими полиномами Эрмита, а тангенциальные составляющие перемещений и деформации поперечного сдвига – кубическими полиномами. Используемый элемент имеет 64 степени свободы: 8 сте- пеней 2 0 0 1 1, , , , , , , w w w w u v u v s r r s            в каждой угловой точке и 4 степени свободы 0 0 1 1( , , , )u v u v в каждом узле, расположенном на сторонах четырехугольника. В дальнейшем все рассуждения повторяют изложенное выше для классической гипотезы. Указанную выше систему линейных алгебраических уравнений на каждой итерации решаем в комплексной области методом Гаусса. Это позволяет с высокой точностью получить решение системы большой размерности без нарушения симмет- ричности и ленточности ее структуры. По найденным значениям перемещений опре- деляем компоненты тензора деформаций, толщинную составляющую электрической индукции и компоненты вектора напряженности электрического поля в произвольной точке конечного элемента. Данный подход позволяет получить на каждой итерации решение линейной зада- чи для оболочки вращения с учетом деформаций поперечного сдвига как при механи- ческом, так и при электрическом нагружениях. При механическом нагружении для случая разомкнутых электродов из условия (3.9) можно определить разность потен- циалов между электродами      0 0 32 4 1 1 1 1 1 1 . kk k k k ss ss ssk k k S k S HH H V V e e r dr d ds H H H H                      Здесь S – площадь электродов, с которых снимается разность потенциалов; k – но- мер слоя оболочки. При этом электродные покрытия могут быть как сплошными, так и дискретно расположенными. Для демпфирования колебаний в рамках уточненной модели применяется изло- женная выше технология с использованием соотношений (3.19). Для исследования влияния обратной связи на жесткостные, диссипативные и ине- рационные характеристики используем соотношение        0 0 32 4 3 1 1 1 1 kk k k k ss ss ssk k k F HH H Э V V e e r dr d H H H                    , которое можно записать в виде               2 0 0 32 4 3 1 2 3 1 1 1 1 0 0 32 4 1 1 1 1 , j j kk k ss ss ss jk k k j S k S kk k ss ss ssk k k F HH H Э G i G G e e ds ds H H H H HH H e e rdsd H H H                                              где jS  площадь электрода, с которого снимается показания сенсора. Изложенный выше подход дает возможность построить решение, удовлетворяющее условиям идеального механического контакта на стыке слоев оболочки и получить по- слойную аппроксимацию механических и электрических величин в пределах каждого слоя. Из приведенных решений, как частный случай, получаем решение задачи элек- тровязкопругости для неоднородных оболочек вращения, основанное на классической теории Кирхгофа – Лява. 26 Одной из широко используемых теорий при расчете напряженно-деформирован- ного состояния неоднородных пластин и оболочек МКЭ является теория С.П. Тимошенко [55]. Это объясняется тем, что функционалы, входящие в вариационные формулиров- ки задач, содержат только первые производные от перемещений. При разработке МКЭ в линейной теории оболочек обычно используется вариант так называемой пя- тимодульной теории, в которой поле перемещений характеризуется пятью независи- мыми функциями – прогибом w , двумя тангенциальными составляющими вектора перемещений срединной поверхности 0 0,u v и двумя функциями 1 1,u v , характери- зующими независимый поворот нормали [14, 55], т.е.            0 1 0 1, ; , , , , ; , , .w w s u s z u s zu s v v s zv s          Для реализации МКЭ используется вариационная формулировка задачи, предста- вленная в [32, 37]. При этом связь между компонентами деформаций и компонентами вектора перемещений определяется известными соотношениями [14, 52]. Для повышения точности вычислений при уменьшении толщины оболочки, т.е. чтобы получить решение, совпадающие с решением, полученным на основе классиче- ской теории Кирхгофа – Лява, для аппроксимации прогиба, его производных, танген- циальных перемещений и углов поворота используются упомянутые выше полиномы (3.13), (3.14). Для вычисления искомых величин по аналогии с вышеизложенным получаем комп- лексную систему алгебраических уравнений. Такой подход позволяет для изучения коле- баний вязкоупругих неоднородных оболочек вращения разработать единый алгоритм МКЭ как для классической теории Кирхгофа – Лява, так и теорий, учитывающих дефор- мации поперечного сдвига. Решение уравнения теплопроводности с известным источ- ником тепла получаем аналогично вышеизложенному. §4. Аналитические решения нелинейных задач о колебаниях и диссипатив- ном разогреве тонкостенных элементов. Аналитические решения имеют важное значение при исследовании колебаний и диссипативного разогрева неупругих тел. С одной стороны, они являются эталонны- ми при оценке различного рода численных методов. С другой – с их помощью значи- тельно проще исследовать влияние ТДР на термомеханическое состояние указанных тел. Так, например, из аналитического выражения для температуры можно получить максимальное значение ТДР. Приравнивая его значению в точке деградации материа- ла, найдем критическую нагрузку. Аналитические решения линейных и нелинейных задач (нелинейность первого типа) о резонансных колебаниях и диссипативном разогреве тонких шарнирно опер- тых и жестко защемленных цилиндрических оболочек, прямоугольных и круглых пластин с актуаторами представлены в [110, 113, 116, 117, 119 – 121]. Аналогичные решения для тех же элементов с сенсорами приведены в [122 – 124]. Аналитические решения задач об активном демпфировании указанных элементов при совместном использовании сенсоров и актуаторов приведены в [125 – 127]. Аналитические решения для элементов из нелинейного материала второго типа получены в [41, 42]. Проиллю- стрируем технику получения аналитических решений на конкретных примерах. 4.1. Аналитическое решение для шарнирно опертой прямоугольной пластины из физически нелинейного материала первого типа. Для рассматриваемой трех- слойной пластины с изотропным средним пассивным слоем и двумя внешними пьезо- электрическими слоями с противоположной поляризацией задача сводится к решению нелинейной комплексной системы дифференциальных уравнений относительно прогиба и температуры диссипативного разогрева, приведенной, например, в [120, 123, 126]. Аналитическое решение задачи активного демпфирования колебаний при помощи сенсоров и актуаторов получено методом Бубнова – Галеркина, когда в одномодовом приближении прогиб ˆ ( , )w Aw x y  , где ( , )w x y – функция формы, A – комплексная амплитуда. Для шарнирного опирания в качестве функции формы выбираем тригоно- метрические функции, автоматически удовлетворяющие граничным условиям. Завися- 27 щие от температуры T действительная и мнимая составляющие модуля сдвига пассив- ного материала (полиэтилена), представленные в [71], с высокой точностью аппрокси- мированы линейными соотношениям ;G G іG   0 1 ;G G G T    0 1G G G T    . Ме- ханические и теплофизические свойства этого материала приведены в [98, 101, 104]. Методом Бубнова – Галеркина получено кубическое уравнение относительно без- размерной величины / Cy T T 3 2 2 1 0 0y e y e y e    , (4.1) коэффициенты которого приведены в [120, 123, 126]. После определения температуры амплитуды колебаний получим согласно форму- лам, предствленным в [120, 123, 126]. Приравнивая величину y значению температу- ры в точке деградации, получим выражение для критической нагрузки [120, 123, 126]. 4.2. Аналитическое решение для шарнирно опертой пластины из физически нелинейного материала второго типа. Здесь представлено аналитическое решение задачи о колебаниях шарнирно опертой прямоугольной пластины из физически нели- нейного материала второго типа. Использованы экспериментальные данные работы [91] для модуля сдвига, которые с высокой точностью аппроксимированы функциями 2 2 1 1 2 2;G a b G a b       (4.2) ( 5 1 2,410 10 Па;a   5 2 1,810 10 Па;a   7 1 0,537 10 Па;b   7 2 0,380 10 Паb   ). Для шарнирно опертой пластины все величины при колебаниях на резонансе мо- жно представить следующим образом: sin sin ; ; ( , 1, 2, 3, ).mn m n m n m n w w k x p y k p m n a b        (4.3) Используя аппроксимации (4.2), (4.3), на основе метода Бубнова – Галеркина для квадрата амплитуды поперечного перемещения 2 2 mny w h получим кубическое уравнение вида (4.1) с коэффициентами, представленными в [42]. Стационарную температуру диссипативного разогрева пластины с теплоизолиро- ванными торцами находим из решения уравнения теплопроводности с известным ис- точником тепла. Точное решение для температуры имеет вид 0 1 2 12cos2 cos2 cos2 cos2 .m n m nk x p y k x p y        (4.4) Выражения для 0 1 2 12, , ,    представлены в [37]. Из (4.4) можно определить макси- мальную температуру max . Приравнивая ее температуре в точке деградации, получа- ем критическую нагрузку. §5. Влияние различных факторов на эффективность работы сенсоров и ак- туаторов и на эффективность активного демпфирования с их помощью. Ниже на основе полученных численно – аналитических решений приведены ре- зультаты исследования влияния различных факторов на эффективность работы пьезо- электрических сенсоров и актуаторов и активное демпфирование вынужденных резо- нансных колебаний с их помощью. Исследовано влияние следующих факторов: размеров, размещения пьезоактивных включений, механических граничных условий; деформаций сдвига; геометрической нелинейности; физической нелинейности первого и второго типов; совместное влия- ние геометрической нелинейности и физической нелинейности второго типа. Приве- дены лишь типичные графики, иллюстрирующие тот или иной эффект. 5.1. Влияние размеров, расположения пьезоактивных включений и механиче- ских граничных условий на эффективность их работы. Для исследования влияния указанных факторов на активное демпфирование колебаний тонкостенных элементов можно использовать аналитические решения соответствующих задач. При использо- вании численных методов необходимо проводить расчеты для различных вариантов 28 размещения и размеров пьезовключений и путем анализа числовых результатов вы- бирать оптимальное значение характеристик. Влияние размеров пьезовключений. В работе [120] представлено аналитическое решение задачи о колебаниях и диссипативном разогреве шарнирно опертой прямо- угольной пластины с актуатором с учетом физической нелинейности первого типа. График зависимости величины безразмерной разности потенциалов ,Y которую не- обходимо подвести к актуатору для компенсации механической нагрузки, от безраз- мерной диагонали пьезовключения /s l L представлен на рис. 5.1. Видно, что эта величина стремится к нулю при уменьшении диагонали и к единице при стремлении диагонали пьезовключения к диагонали пластины. Рис. 5.1 Рис. 5.2 Таким образом, для шарнирного опирания эффективность работы сенсора и актуатора будет наибольшей при полном покрытии поверхности пластины пьезовключениями. Для пластины с жестко защемленными торцами график аналогичной величины 2 2 0 1 312 2 0 15( ) ( ) 32 a a b Y V h h a b p         , характеризующей влияние размеров актуатора на эф- фективность его работы, получен в [99] и представлен на рис. 5.2. Как видно из этого графика, для жесткого защемления торцов имеется оптимальный размер наиболее эффективной работы актуатора. Аналогичные графики имеют место и при оценке ра- боты пьезоэлектрических сенсоров [100 – 102]. Влияние размещения пьезовключений. Выражение для разности потенциалов, ко- торую необходимо подвести к актуатору для компенсации механической нагрузки при резонансных колебаниях шарнирно опертой пластины, имеет вид [38] 0 0 2 2 1 . 16 sin sin sin sin 2 2 mn m n mn n nm n m n p k pab M k c p dk p k p    (5.1) Величина 0 mnM пропорциональна подводимой к актуатору разности потенциалов для компенсации механической нагрузки 0 P . Центр актуатора ( , )  и его размеры ( , )c d выбираем из условия минимальности этой разности. Из (5.1) видно, что это будет иметь место, если выполняются равенства sin 1; sin 1; sin 1; sin 1. 2 2 m n m n k c p d k p     Для моды, отвечающей резонансным колебаниям на первой частоте 11 , центр ак- туатора должен выбираться из условий 1sin 1, sin 1,nk p   так что его координа- 29 ты равны: / 2, / 2,a b   т.е. центр актуатора совпадает с центром пластины. При другом выборе центра актуатора имеем поверхность 0 1 1/ 1 / (sin sin ), o M m k p  (5.2) где 0 0 2 2 1 1 11 1 1 1 1( ) 16( )sin sin 2 2 k c p d m ab p k p k p     – константа. На рис. 5.3 представлена поверхность, изображающая зависимость величины 0 0 /M m , пропорциональной разности по- тенциалов, от безразмерных координат центра актуатора / , / .a b     Как видно из рисунка и формулы (5.2), при при- ближении координат центра актуатора к торцам пластины подводимая к нему раз- ность потенциалов стремится к бесконеч- ности. В окрестности точки ( / 2, / 2)a b имеется достаточно большая область, в которой потенциал мало отличается от своего минимального значения. Поэтому центр актуатора также можно размещать в этой области. Для других мод результаты по влиянию размещения актуаторов при- ведены в [38]. Аналогичные соображения имеют место и при расчете сенсоров. Пусть на пластину действует гармоническое во времени нагружение, распределенное по одной из форм колебаний. При шарнирном опирании торцов пластины прогиб выбирается в форме 0 sin sin exp( ).mn m nw w k x p y i t Эта форма колебаний будет выдерживаться с большой точностью, если частота нагружения близка к резонансной. Тогда величина, обратная заряду Q , определяется по формуле [38] 1 sin sin sin sin . 2 2 m n m n k c p d Q A k p       (5.3) Здесь A – константа, которая не зависит от координат центра и размеров актуатора. Основной принцип работы сенсора состоит в том, что заряд должен быть макси- мальным при заданном прогибе. Тогда величина (5.3) должна быть минимальной. Сравнение формул (5.1) и (5.3) показывает, что координаты центра сенсора и его размеры определяются по одинаковым формулам. Представленные выше соображе- ния о размещении и размерах актуатора для разных мод колебаний сохраняются без изменений и для сенсора. Если сенсор изготовить в виде некоторой моды колебаний, он будет реагировать только на эту моду, т.е. будет играть роль фильтра. Представленный выше анализ носит общий характер независимо от вида гранич- ных условий. Пусть в результате анализа частот и мод колебаний упругой пластины установлено, что при нестационарном нагружении основной вклад в деформирование вносит несколько мод, например, первые четыре моды. Тогда при соответствующем выборе координат центров и размеров четырех актуаторов можно, согласно представ- ленным выше формулам, устранить их действие на пластину. При этом необходимо иметь в виду, что указанные четыре электрода должны быть отделены друг от друга, т.е. необходимо использовать четыре разрезных электрода прямоугольной формы. Подводя к этим электродам разности потенциалов, рассчитанные по представленным выше формулам, устраним четыре основных моды, в результате чего прогиб сущест- венно уменьшится. Рис. 5.3 30 При использовании первого из указанных выше методов демпфирования резо- нансных колебаний к актуатору подводится такая разность потенциалов, что при со- вместном действии механического и электрического нагружения колебания соответ- ствующей моды не возникают. Этот факт имеет важное значение и при демпфирова- нии нестационарных колебаний, поскольку при устранении наиболее энергоемкой моды амплитуда нестационарных колебаний существенно уменьшится. Влияние механических граничных условий. Влияние механических граничных условий на эффективность работы сенсоров и актуаторов и на эффективность активного демпфирования колебаний проиллюстрируем на примере круглой пластины [137]. Рассмотрим трехслойную круглую пластину радиуса R , внутренний слой толщиной 3h которой изготовлен из пассивного материала, а на ее внешних поверхностях 3 / 2z h  размещены поляризованные по толщине пьезоэлектрические слои с радиу- сами 0r R и толщинами 2h и 1h , соответственно. Материалы пассивного и пьезоак- тивного слоев примем вязкоупругими. На внешние поверхности пьезослоев и на по- верхности, которые контактируют с пассивным слоем, нанесены сплошные бесконеч- но тонкие электроды. Внутренние электроды поддерживаются при нулевом потенци- але. Пьезоактивный слой толщиной 1h является актуатором, а пьезослой толщиной 2h – сенсором. На пластину действует гармоническое поверхностное давление ( ) cosP P r t с частотой  , близкой к резонансной. К электродам актуатора подво- дится разность потенциалов 33 1( / 2) ( / 2 ) Re( )i t Ah h h V e       . Рассмотрен случай разомкнутых электродов сенсора, на которых возникает разность потенциалов ком- плексной амплитуды S S SV V iV   . Задача сведена к решению системы нелинейных комплексных уравнений, приве- денных в [137]. К этим уравнениям добавлены граничные условия шарнирного опи- рания 0, 0, 0 ( )ru w M r R    или жесткого защемления 0, 0, 0 ( )u w r R    внешнего торца пластины. Граничные и начальные условия для уравнения энергии имеют вид 0( ) ( ); ( 0).r s T T T r R T T t r           Для решения задачи использован упомянутый выше итерационный метод поша- гового интегрирования по времени в сочетании с методом дискретной ортогонализа- ции. Числовые результаты получены для пластины из вязкоупругого полимера с та- кими зависящими от температуры механическими характеристиками [71]: 968 8,69 [МПа]; 87,1 0,7 [МПа]; , 2(1 )( , );G T G T E E G G           0,3636;  3 3 929кг /м ; 0,47Вт / (м град).    Экспериментальная зависимость свойств пье- зоматериала ЦТСтБС-2 от температуры характеризуется соотношениями, приведен- ными в [16, 137]. На рис. 5.4 в зависимости от безразмерного радиуса 0 0 /x r L пьезослоев, выполня- ющих функции сенсора и актуатора, показаны кривые распределения первой резонанс- ной частоты изгибных колебаний пластинки 4 110 c     (штрих-пунктирные линии), рассчитанных на этих частотах максимальных амплитуд прогиба 1 5( 0) 10 мE Ew w x   при подведении к актуатору электрического потенциала 1 , 0, 0A AV B V P    и pw  1 6( 0) 10 мpw x   при механическом нагружении с амплитудой 1Па, 0A AP V V    (штриховые линии), а также при этом же нагружении кривые эталонных значений потенциала 1 1, 10 BA A AV V V  актуатора и потенциала 1 1, 10 Bs s sV V V  сенсора (сплош- ные линии). 31 Рис. 5.4 Сплошная кривая asG характеризует зависимость от параметра 0x коэффициента управления 110as asG G   в соотношении обратной связи. При этом приведенные ре- зультаты на рис. 5.4, a характеризуют пластину с шарнирным опиранием краев, а на рис. 5.4, б – с жестким защемлением. Анализ кривых 1 pw (штриховые линии) показывает, что максимальные амплитуды прогибов пластины при механическом нагружении слабо зависят от параметра 0x , характеризующего площадь пьезонакладок. За исключением достаточно малой окрес- тности точки 0 0x  , показания сенсора 1 sV мало изменяются с увеличением парамет- ра 0x при шарнирном и монотонно уменьшаются – при жестком защемлении торца пластины. В то же время при электрическом нагружении актуатора зависимости мак- симальной амплитуды прогиба 1 Ew пластины и эталонного значения актуатора 1 AV являются немонотонными функциями параметра 0x . При этом 1 Ew достигает макси- мального, а 1 AV минимального значений при полном покрытии пьезонакладками вне- шних плоскостей пластины 0( 1)x  в случае шарнирного опирания и частичном по- крытии 0( 0,67)x  – при жестком защемлении. Для рассмотренной пластины разме- ры актуатора и сенсора являются наиболее эффективными с параметрами 00,7 1x  – при шарнирном и 00,5 0,7x  – при жестком закреплениях, соответственно. При таких размерах пьезоактивных составляющих подведенная к актуатору разность элек- трических потенциалов AV вызывает максимальные прогибы Ew пластины, а коэф- фициент обратной связи будет минимальным (кривые asG ). В случае шарнирного опирания пластины коэффициент 1asG  . На рис. 5.5, a , б для пластины рассмотренных размеров и условий закрепления в зависимости от параметра 0x показаны кривые 1, 2 максимальных амплитуд прогибов 3(0) 10 мw w  (штриховые линии) и температур саморазогрева max (0) CmT T  (штрих – пунктирные линии), рассчитанных на первой резонансной частоте. При этом кривые 1 рассчитаны при механическом нагружении с амплитудой 40,25 10 ПаP   , а кривые 2 – при совместном противофазном действии на пластину этого нагружения и подведенных к електродам актуатора амплитудных значений по- тенциала 310 BA AV V   (сплошные линии), рассчитанных на основе показаний сен- сора с учетом значений коэффициента asG , представленных кривой на рис. 5.4. 32 Из сравнения между собой кривых 1, 2 (штриховые линии) видно, что при компе- нсации гармонического механического нагружения с помощью противофазно подве- денной к актуатору разности электрического потенциала имеет место значительное уменьшение прогибов (кривые 2) во всем диапазоне изменения параметра 0x . При этом уменьшение максимальной температуры виброразогрева (штрих – пунктирные кривые 2) до уровня начальной температуры пластины имеет место лишь для оптима- льных параметров 0 0,4x  шарнирно опертой (рис. 5.5, a ) и 00,3 0,9x  в случае жесткого защемления ее краев (рис. 5.5, б). Для актуаторов, размеры которых выходят за размеры оптимальных, активное демпфирование механических колебаний пласти- ны может вызвать температуру разогрева, которая значительно превышает темпера- турный режим недемпфованной пластины. Последнее обусловлено необходимостью подвода к электродам актуатора больших значений электрического потенциала AV . На рис. 5.6 кривыми 1 – 4 показано распределение установившейся ( 0,5)  тем- пературы диссипативного разогрева вдоль радиальной координаты пластины, рассчи- танное при следующих значениях относительного размера 0x пьезонакладок, резона- нсной частоты p и амплитуды потенциала A AV V , подведенного к актуатору с противоположной к механическому нагружению фазой: 1) 1 0 0,1, 2390c , 2670 B;p Ax V    2) 1 0 0,2, 2430c , 700 B;p Ax V    3) 1 0 0,4, 2580c , 183B;p Ax V    4) 1 0 1,0, 3030c , 43,1Bp Ax V    – в случае шарнирного опирания края (рис. 5.6, a ); 1) 1 0 0,1, 4350 c , 1103В;p Ax V    2) 1 0 0,2, 4930c , 298,4 B;p Ax V    3) 1 0 0,4, 5170 c , 82,6 B;p Ax V    4) 1 0 0,7, 5370c , 47,46 Bp Ax V    – в случае жесткого защемления края (рис. 5.6, б). а б Рис. 5.5 33 Здесь сплошные кривые 1 – 4 отвечают случаю только механического гармонического нагружения с амплитудой 40,25 10 Па ( 0)AP V   . Штриховые кривые 1 – 4 рассчита- ны при совмесном действии на пластину механического нагружения P и компенсиру- ющего его соответствующего значения потенциала AV . Штриховые кривые 1' 4' отвечают случаю, когда в диссипативной функции не учитываются составляющие с пьезоэлектрическими и диэлектрическими потерями в пьезоматериале. Распределение диссипативной функции вдоль радиальной координаты для указанных вариантов по- казано кривыми 1 – 4 на рис. 5.7. Анализ кривых на рис. 5.6 показывает, что радиальная неравномерность темпера- туры разогрева (сплошные кривые) и ее уровень существенно зависят от величины площади пьезонакладок, выполняющих функции сенсора и актуатора, и граничных а б Рис. 5.6 а б Рис. 5.7 34 условий закрепления пластины. При активном демпфировании механических колеба- ний пластины путем противофазного подведения к электродам актуатора разности электрических потенциалов, компенсирующих действие механического нагружения, для оптимальных размеров сенсора и актуатора радиальное распределение темпера- туры виброразогрева становится однородным и по величине близким к начальной температуре (штриховые кривые 3, 4). Но для параметров, выходящих за размеры оптимальных, имеет место значительное повышение температуры диссипативного разогрева в области размещения пьезонакладок (штриховые кривые 1, 2). Сравнение между собой кривых 1, 2 и ,1 2  показывает, что процесс резкого повышения темпе- ратуры саморазогрева в зоне размещения пьезоактуаторов в значительной степени обусловлен необходимостью подведения к электродам актуатора малой площади больших амплитуд электрического потенциала. При этом в диссипативной функции членами, включающими пьезо – и диэлектрические потери, нельзя пренебрегать (кри- вые 1, 2 на рис. 5.7). Это обстоятельство свидетельствует о том, что при активном демпфировании неупругих пластин контроль вынужденных колебаний необходимо проводить не только по величине амплитуд прогибов, но и по уровню виброразогрева, который при некоторых неоптимальных размерах пьезонакладок и условиях эксплуа- тации элемента может достигать температуры точки Кюри, при которой пьезоэлемент теряет работоспособность из-за деполяризации пьезоматериала. На рис. 5.8 кривые 1, 2, 3 демонстрируют частотные зависимости амплитуд максима- льных прогибов 4(0) 10 мw w  (сплошные линии) и показателя сенсора 210 BS SV V   (штрих – пунктирные линии) механически нагруженной с амплитудой 40,25 10 ПаP   пластины с пьезонакладками безразмерного радиуса 0 0,2; 0,4;1,0x  при шарнирном (рис. 5.8, a ) и 0 0,2; 0,4; 0,7x  при жестком (рис. 5.8, б) закреплениях края пластины, соответственно. При этом электроды актуатора коротко замкнуты ( 0AV  ). Частотные зависимости максимального значения ( 0)x  установившейся ( 0,5)  температуры диссипативного разогрева с указанными размерами пьезонакладок сплошными кривыми показаны на рис. 5.9. Штриховые кривые 1, 2, 3 характеризуют амплитудно – частотные (рис. 5.8) и температурно – частотные (рис. 5.9) зависимости при совместном действии механического нагружения 40,25 10 ПаP   и значений ам- плитуд электрического потенциала (700;183; 43,1)BAV  при шарнирном опирании и (298; 82,6; 47,5) BAV  при жестком закреплении края пластины. Влияние температурной зависимости модулей пассивного и пьезоактивного мате- риалов механически нагруженной ( 40,25 10 ПаP   ) пластины на частотные характери- стики амплитуды максимального прогиба 4(0) 10 мw w  и потенциала 210 Bs sV V   на электродах сенсора демонстрируют кривые 1 и 2 на рис. 5.10. Расчеты выполнены для параметров 0 1,0x  и 0 0,7x  , которые отвечают оптимальным размерам сенсо- а б Рис. 5.8 35 ра и актуатора при шарнирном (рис. 5.10, a ) и жестком (рис. 5.10, б) закреплениях края пластины. Штрих-пунктирные линии отвечают изотермическим ( 0T T ), а сплош- ные – зависящим от температуры значениям вязкопругих модулей. Штриховые линии 1' характеризуют амплитудно-частотную зависимость прогибов w при совместном противофазном действии механического нагружения и подведенной к актуатору раз- ности потенциалов 43,1BAV  для шарнирного и 47,5BAV  для жесткого закрепле- ния края пластины. Анализ кривых на рис. 5.10 показывает, что влияние нелинейности первого типа в задаче о вынужденных колебаниях рассмотренной пластины сводится к уменьшению резонансной частоты и трансформации амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) прогибов w и показателей sV сенсора в нелинейные характеристики «мягкого» типа. В то же время числовые значения максимальных амплитуд w и sV на изотермическом и термомеханическом резонансах близки между собой. Поэтому при расчетах элект- рического потенциала актуатора для компенсации механического нагружения можно использовать показатели сенсора sV , вычисленные на резонансе изотермической сис- темы. Сравнение между собой результатов, показанных на рис. 5.10, a и рис. 5.10, б, приводит к выводу, что граничные условия существенно влияют на количественные значения частоты резонанса, амплитуд прогибов, температуры разогрева и оптималь- ных размеров сенсора и актуатора. а б Рис. 5.9 а б Рис. 5.10 36 Из проведенных расчетов и сравнения между собой показанных сплошными и штриховыми кривыми амплитудно-частотных (рис. 5.8) и температурно-частотных (рис. 5.9) характеристик вытекает, что при активном демпфировании вынужденных колебаний рассмотренных пластин амплитуды вынужденных механических колебаний в окрестности основной резонансной частоты уменьшаются на два порядка (рис. 5.10), а диссипативный разогрев пластины с оптимальными параметрами пьезонакладок практически отсутствует (рис. 5.9). 5.2. Влияние деформаций сдвига. Для оценки влияния деформаций сдвига на эффективность работы сенсоров и актуаторов в работах [32, 35 – 37] использовались как аналитические решения, так и решения, полученные с использованием метода конечных элементов и метода дискретной ортогонализации. При этом применены представленные в разделе 2 уточненные теории с квадратичной аппроксимацией деформаций сдвига и теория С.П.Тимошенко. Для пластины и цилиндрической панели из трансверсально-изотропного материала получена следующая простая формула для разности потенциалов, которую необходимо подвести к актуатору для компенсации действующего на пластину равномерного давления P [37]: 2 2 2 2 0 1 31 1 1 ( ) ( )a m n m n P V c k p h h k p       или 2 21 ( ) ,T K a a m nV V c k p     (5.4) где ,T K a aV V – разности потенциалов, рассчитанные с учетом гипотез С.П. Тимошенко и Кирхгофа – Лява, соответственно. Если в модели С.П.Тимошенко выбрать поправочный коэффициент равным 2 2 /12k  , то в формуле (5.4) – 2 2 2 22 1 D G h a c m n B G a b                                 . Тогда имеем такое равенство: 2 2 2 22 1 1 yt kl a a G h a V V m n G a b                             . (5.5) Для основной моды 1m n  из формулы (5.5) следует 2 2 2 1 1 1 yt kl a a G h a V V G a b                          . (5.6) Как видно из (5.6), поправка к классическому результату зависит от отношения модулей сдвигов трансверсально-изотропного материала ( )G G и отношения толщины пластины h к размеру a . В зависимости от их значений величина поправки может быть достаточно большой. В работе [37] аналогичное решение приведено также для коле- баний пластины с сенсорами и представлены формулы для снимаемого с сенсора заряда. Подробное исследование влияния деформаций сдвига на эффективность работы сенсоров и актуаторов и на эффективность активного демпфирования колебаний ци- линдрической панели и прямоугольной пластины с шарнирным опиранием торцов представлено в [32, 35 – 37]. Показано, что описанные в разделе 2 уточненные теории приводят к очень близким результатам. В [35 – 37] рассмотрена задача о колебаниях шарнирно опертой по торцам цилин- дрической пьезопанели толщиной H и радиуса R , находящейся под действием рав- номерно распределенного давления 0 cos .P P t На электродированных поверхностях поддерживается нулевое значение потенциала. Получено также аналитическое реше- ние этой задачи. Панель изготовлена из пьезоэлектрического материала PZT–ES-65, комплексные характеристики которого представлены в [143]. 37 Нагружение панели и ее геометрия характе- ризуются такими значениями параметров: 0P  410 Па; 0,1м; 0,1м; 0,1м;R a L b R      1 0,09м;r  2 0,11м;r  0,001м.H  Коэф- фициент теплопроводности и плотность ма- териала внешнего слоя имеют такие значе- ния: 1,25Вт / (м С)   , 4 30,75 10 кг /м .   Коэффициент теплоотдачи между окружаю- щей средой и материалом панели является постоянным и равным 225Вт / (м С)T   . На рис. 5.11 – 5.13 показаны АЧХ для значе- ний толщины и амплитуды нагрузки /H R  2 4 0 00,01; 10 Па; / 0,1; 10 Па;P H R P    / 0,2;H R  4 0 10 Па,P  соответственно. Кривые 1 отвечают результатам расчетов МКЭ в трехмерной постановке, кривые 2 – результатам, полученным на основе уточ- ненной теории, а кривые 3 – на основе гипо- тез Кирхгофа – Лява. Эти результаты полу- чены без учета нелинейности. На рис. 5.14, 5.15 представлены АЧХ и температурно – частотные характеристики (ТЧХ) при учете физической нелинейности первого типа. Здесь кривые 2 отвечают случаю линейной задачи, а кривые 1 – нелинейной [143]. Как видно из рис. 5.11, для тонкой обо- лочки ( / 0,01)H R  результаты расчетов с использованием всех теорий практически сов- падают. Из рис. 5.11 – 5.13 также видно, что амплитуды колебаний на резонансной частоте, полученные с использованием уточненной и трехмерной теорий, очень хорошо согласуют- ся между собой. Кроме того, результаты рас- чета с использованием аналитического реше- ния и МКЭ также очень близки. В работе [132] c использованием метода дискретной ортогонализации и гипотез С.П.Ти- мошенко решена одномерная задача о вынуж- денных колебаниях и диссипативном разогре- ве вязкоупругой круглой пластины толщиной h и радиуса R с пьезоэлектрическими актуа- торами. На внешние поверхности / 2z h  пластины нанесены актуаторы одинаковой тол- щины  и радиуса 0r . Материал пассивного слоя является вязкоупругим и изотропным, а поляризованные по толщине актуаторы вы- полнены из вязкоупругой пьезокерамики с противоположной друг к другу поляризаци- ей. В дальнейшем принимается, что поляри- зация в направлениях 0z  и 0z  характе- ризуется пьезомодулем 31d и 31( )d , соот- ветственно. На внешние плоскости актуато- Рис. 5.11 Рис. 5.12 Рис. 5.13 Рис. 5.14 38 ров, а также между актуаторами и пассивным слоем нанесены бесконечно тонкие электроды. Пластинка нагружена равномерно распре- деленным поверхностным давлением, которое изменяется во времени t по гармоническому закону 0 cosP P t с круговой частотой  , близкой к резонансной. К внешним электродам подводится разность электрических потенциа- лов ( / 2 ) ( / 2 ) 2 Re( )i th h Ve         с той же частотой, что и механическая нагруз- ка. Внутренние электроды поддерживаются при нулевом потенциале. Вязкоупругое по- ведение пассивного и пьезоактивного мате- риалов пластинки описывается концепцией комплексных модулей, зависящих от ТДР. Для моделирования электромеханических колебаний такой пластинки использованы гипотезы С.П. Тимошенко относительно механических переменных. Относительно электрических полевых величин принимается, что тангенциальными составляющими индукции ,rD D электрического поля в пьезослоях можно пренебречь по сравнению с нормальной составляющей zD , которая принимается независящей от толщинной координаты. При этом уравнения электростатики удовлетворяются тождественно, а тангенциальные составляющие вектора электрической напряженности ,rE E получа- ем из трехмерных уравнений состояния поляризованной пьезокерамики. Температуру диссипативного разогрева принимаем постоянной по всей толщине пластины. В силу структурной симметрии пластины, способа поляризации актуаторов и ха- рактера нагружения в пластине возбуждаются чисто изгибные осесимметричные ко- лебания. Для решения нелинейной задачи использован метод пошагового интегриро- вания во времени в сочетании с методом дискретной ортогонализации. После вычис- ления диссипативной функции уравнение теплопроводности решаем методом конеч- ных разностей с использованием явной схемы. Для определения оптимального значе- ния электрического потенциала AV , который необходимо подвести к электродам ак- туатора для гашения вынужденных колебаний, обусловленных поверхностным давле- нием с амплитудой 0P , используется линейное соотношение 0A AV k P  , где Ak – комплексный коэффициент управления. Влияние деформации сдвига и электромеха- нического сопряжения на фундаментальные характеристики колебаний пластины при раздельном и совместном механическом и электрическом нагружениях исследовано для пластины из полимера с актуаторами из пьезокерамики ЦТСтБС-2 [82]. Зависи- мость комплексного модуля сдвига пассивного полимера от температуры виброразо- грева описывается соотношением 968 8,69 [МПа]; 87,1 0,7 [МПа].G T G T     Остальные характеристики таковы: 30,3636; 929кг/м ;   0,47Вт/(м град);   2 0 2Вт/(м град).R    Зависимость электромеханических характеристик пьезокерамики от температуры представлена в [16, 82]. Кроме того, для пьезокерамики коэффициент 0 0 12 11/E s s   принимается постоян- ной вещественной величиной; 3 07520кг/м ; 20 C.c RT T T      При учете дефор- мации сдвига принимаем, что коэффициент 5 / 6sk  . На рис. 5.16, а, б для жестко закрепленной пластинки радиуса 0,2мR  и толщины 0,04мh  с актуаторами тол- щиной 30,1 10 м   и относительного радиуса 0 0,8x  , нагруженной гармоническим давлением интенсивности 0 1ПаP  , показано, соответственно, радиальное распределе- Рис. 5.15 39 Рис. 5.16 ние нормированных амплитуд прогибов 2( ; ) \| \| 10 / ( ; )n n p n nV V w A A    , 1, 2n  и сум- марных кривизн 2( ; ) \| \| 10 / ( ; )n n n nA A       . Сплошные линии соответствуют расче- там, основанным на гипотезах Кирхгофа – Лява. Штриховые линии относятся к отме- ченным «звездочкой» расчетным величинам, полученным с учетом деформации сдви- га. При этом кривые 1 (n = 1) соответствуют первой изгибной моде колебаний и зна- чениям 4 10,532 10 cp   , 7 1 0,2045 10 мA   (сплошные линии), а кривые 2 (n =2) – второй моде колебаний при 5 10,219 10 cp   , 8 2 0,1016 10 мA   (штриховые линии). Из приведенных результатов следует, что учет деформации сдвига в расчетах колеба- тельных характеристик рассматриваемых пластинок сопровождается уточнением ре- зонансных частот в сторону уменьшения ( )p p   , увеличением параметра макси- мального прогиба 1,2 1,2( )A A  и практически не изменяет формы колебаний. В боль- шей степени учет деформации сдвига проявляется в перераспределении вдоль радиу- са пластинки нормированной суммарной кривизны как на первой, так и, особенно, на второй модах колебаний. Последний фактор является определяющим при вычислении влияния деформации сдвига на коэффициент управления. Как показали числовые рас- четы для более тонких пластинок  / 1 / 20h R  , эти факторы нивелируются с умень- шением толщины. На рис. 5.17, а, б для жестко защемленной пластины, нагруженной давлением 0P  1Па , в зависимости от безразмерного радиуса 0x актуатора толщиной 30,1 10 м   приведены кривые распределения резонансных частот p (штрих-пунктирные линии) и коэффициентов управления  10 В / ПаAk k   ,  210 В / ПаAk k   (сплошные линии) для демпфирования первой (рис. 5.17, а) и второй (рис. 5.17, б) мод вынужден- ных изгибных колебаний, рассчитанных на основе гипотез Кирхгофа – Лява (кривые 1, 2) и с учетом деформации сдвига (кривые ,1 2  ). При этом кривые ,1 1 получены для пластинки толщиной 0,01мh  , а кривые ,2 2 – для 0,04мh  . Кроме того, на рис. 5.17, a сплошные кривые, отмеченные точками, характеризуют изменение макси- мальных значений амплитуды 4(0) 10 мEw w   для пластины толщиной 0,01мh  (кривые ,1 1 ) и амплитуды 5(0) 10 мEw w   при 0,04мh  (кривые 2, 2 ) при элек- трическом возбуждении единичным потенциалом 1В, 0.V V   Проведенные расчеты и анализ кривых на рис. 5.17 показали, что наиболее эффектив- ным (оптимальным) является актуатор таких геометрических размеров, при которых дос- тигаются максимальные амплитуды прогибов при электрическом возбуждении (сплош- 40 Рис. 5.17 ные линии с точками). При этом коэффициент управления будет минимальным (сплош- ные линии). Размеры такого актуатора зависят от толщины пассивного слоя. При коле- баниях с частотой первого резонанса жестко защемленной пластинки значения макси- мума электрически возбуждаемых амплитуд и коэффициента управления являются неоднозначными функциями относительно радиуса 0x кругового актуатора, а коэф- фициент управления достигает минимального значения при неполном покрытии пье- зослоями внешних плоскостей пластины 0(0,6 0,8)x  . Учет деформации сдвига при- водит к некоторому повышению коэффициента управления. Этот эффект становится бо- лее заметным с увеличением толщины пластинки и частоты колебаний со второй резо- нансной и выше. При вынужденных колебаниях пластины с частотой второго резонанса коэффициент управления является неоднозначной функцией параметра 0x (рис. 5.17, б). Рис. 5.18 На рис. 5.18 показаны АЧХ колебаний жестко защемленной пластинки толщиной 0,04мh  с актуатором относительного радиуса 0 0,8x  и толщиной 30,1 10 м   при гармоническом возбуждении в диапазоне частот первого (кривые ,1 1 ) и второго (кривые ,2 2 ) резонансов. Кривые ,1 2 рассчитаны на основе гипотез Кирхгофа – Лява, а кривые ,1 2  – с учетом деформации сдвига. Сплошные линии соответствуют случаю 41 возбуждения колебаний внешним давлением 3 0 0,8 10 ПаP   . АЧХ при совместном действии указанного механического нагружения и с той же частотой противофазно подведенного к актуаторам электрического потенциала AV характеризуются штрихо- выми линиями. Последние рассчитаны для следующих значений активной AV  и реак- тивной AV  составляющих амплитуд потенциала: 6,923ВAV    , 10,2856 10 ВAV     (кривые 1); 8,848ВAV    , 10,5365 10 ВAV     (кривые 1 ); 1,990ВAV    , 0,3166ВAV    (кривые 2); 5,541ВAV    , 0,3418ВAV    (кривые 2 ). Указанные результаты, как и в случае вышерассмотренных примеров, получены для независящих от температуры ( )RT T характеристик материала. Сравнение между собой кривых рис. 5.18 (сплошные и штриховые линии) позволяет сделать вывод о возможности гаше- ния механически возбуждаемых резонансных колебаний пластины путем выбора опти- мальной конфигурации актуатора и противофазного подвода к его электродам электриче- ского потенциала с частотой механического резонанса и соответствующей амплитудой. Выполненные расчеты показали, что учет влияния деформации сдвига на колебательные параметры рассматриваемых пластин способствует уменьшению резонансных частот и увеличению амплитуд прогибов при вынужденных колебаниях на этих частотах. a b c d Рис. 5.19, a – d Из рис. 5.18 и проведенных числовых экспериментов также следует, что с помо- щью актуатора одного и того же оптимального размера можно демпфировать вынуж- денные колебания рассматриваемой пластины с частотой как первого, так и второго 42 резонансов. Однако, в силу большой энергоемкости первой моды колебаний, для ее гашения необходимо подводить к электродам актуатора электрический потенциал большей амплитуды, чем при демпфировании второй моды. Кроме того, численными расчетами установлено, что значение реактивной составляющей AV  потенциала прак- тически не дает вклада в расчеты кривых АЧХ, обозначенных штриховыми линиями. Влияние учета деформации сдвига и температурной зависимости электромеханиче- ских свойств материалов на частотные зависимости максимальных значений ампли- туды относительных прогибов max \| (0) \| /w w h и температуры диссипативного разо- грева max (0)T T при вынужденных колебаниях пластины, возбуждаемых нагрузкой 3 0 1,4 10 ПаP   , демонстрируют кривые на рис. 5.19, a – d. При этом кривые на рис. 5.19, а; 5.19, c характеризуют поведение системы в окре- стности частот колебаний первого, а кривые рис. 5.19, b; 5.19, d – второго резонансов. Расчеты представлены для жестко защемленной пластинки радиуса 0,2мR  с актуато- ром толщиной 30,1 10 м   и относительным радиусом 0 0,8x  при следующих зна- чениях коэффициентов: 22Вт / (м град), 0,47Вт/(м град)     и 0 20 CRT T   . Сплошные кривые получены для независящих от температуры свойств материалов, а штриховые – при учете такой зависимости. При этом кривые 1, 2 рассчитаны в рамках гипотез Кирхгофа – Лява, а кривые ,1 2  – с учетом деформации сдвига. Из рис. 5.19 видно, что учет температурной зависимости свойств материалов (штриховые линии) приводит к эффекту трансформации АЧХ и ТЧХ в характеристи- ки «мягкого» типа со сдвигом резонансной частоты в сторону уменьшения и сниже- нием уровня амплитуд колебаний и температур диссипативного разогрева. При этом величина вклада термомеханического сопряжения в уточненной постановке задачи по отношению к изотермическому случаю (сплошные линии) имеет такой же порядок, как и при использовании классических гипотез. 5.3. Влияние геометрической нелинейности. Влияние нелинейности и диссипа- тивного разогрева на колебания и диссипативный разогрев тонкостенных элементов с сенсорами и актуаторами исследовано в [25, 26, 33, 46, 51, 101, 102, 112, 131, 134, 136]. В качестве примера рассмотрим гибкую трехслойную круглую пластинку радиуса R , средний слой толщиной 0h которой изготовлен из изотропного пассивного материала, а два внешних слоя одинаковой толщины 1h – из трансверсально-изотропного пьезоак- тивного материала с одинаковыми свойствами, но с противоположным направлением их поляризации по толщине [46]. Для конкретности считаем, что верхний 0( / 2)z h и нижний 0( / 2)z h  слои характеризуются значениями пьезомодуля 31d и 31d , со- ответственно. Внешние и внутренние поверхности пьезослоев – актуаторов, контак- тирующих с пассивным слоем, электродированы. Внутренние электроды поддержи- ваются при нулевом электрическом потенциале. На пластинку действует поверхностное давление, изменяющееся по гармоничес- кому во времени t закону с круговой частотой  , близкой к резонансной. К внешним электродам кругового актуатора радиуса 0r r R  с частотой механического нагру- жения подводится разность электрических потенциалов 0 1 0 1( / 2 ) ( / 2 )h h h h      Re(2 )i t AV e  . Электроды в области 0r r – закорочены ( 0)AV  . Контур пластинки свободен в радиальном и шарнирно или жестко защемлен в поперечном направлениях. На поверхностях пластинки реализуются условия конвективного теплообмена с внеш- ней средой с температурой sT . При активном демпфировании вынужденных колебаний пластинки, обусловленных механическим нагружением, необходимо на основе решения механической задачи рассчитать амплитуду и фазу электрического потенциал, кото- рый подводится к электродам актуатора для компенсации механического нагружения. 43 Для моделирования колебаний такой пластинки используем гипотезы Кирхгофа – Лява, дополненные адекватными им гипотезами относительно распределения элек- трических полевых величин (см. 3.2). Диссипативные свойства пассивных и пьезоак- тивных материалов описываются концепцией комплексных характеристик. Темпера- тура диссипативного разогрева принимается постоянной по толщине пакета слоев. Принимается, что деформации малы, но в кинематических соотношениях учитываются квадраты углов поворота. При этом уравнения движения являются также нелинейными. Постановка задачи и метод ее решения представлены в [46]. Рассмотрено два типа механических граничных условий: шарнирное и жесткое закрепления. При решении задачи наряду с основной частотой (частотой нагружения) удерживаются и другие гармоники, так что колебательный процесс является полигармоническим. В результа- те получена приближенная система нелинейных дифференциальных уравнений, кото- рую решаем итерационным методом квазилинеаризации. При этом линеаризирован- ная система обыкновенных дифференциальных уравнений на каждой итерации интег- рируется методом дискретной ортогонализации. Числовые расчеты проведены для круглой пластинки из пассивного вязкоупруго- го материала c представленными в 5.2 характеристиками. Пьезоэлектрические слои актуаторов изготовлены из вязкоупругой керамики типа ЦТСтБС–2 [82]. Размеры пластинки следующие: 3 6 0 10,2м; 0,1 10 м; 0,01м; 0,5 10 м.R h h        В связи с тем, что в пластинке реализуются, преимущественно, изгибные колебания, числовые расчеты проведены для частот нагружения, близких к первому резонансу изгибных колебаний. Рассмотрены три способа нагружения пластинки: механическое, электри- ческое и совместное противофазное действие механического и электрического нагру- жений. Ограничимся случаем равномерного поверхностного давления с амплитудой 0.zq q  Для компенсации действия механического нагружения при помощи актуато- ра необходимо рассчитать подводимую к нему разность потенциалов .AV По аналогии с линейной задачей [50] принята линейная зависимость между AV и 0q в виде 0 0( )A aV k x q , где 0 0 /x r R – безразмерный радиус кругового актуатора. Коэффици- ент управления ak рассчитываем, как отношение амплитуды максимального прогиба pw , вызванного на частоте линейного резонанса единичным механическим нагруже- нием ( 0 1Паq  ), и амплитуды прогиба Ew при подведении к электродам актуатора единичного электрического потенциала ( 1 ; 0)A AV В V   , так что max max/A p Ek w w . Если механическое нагружение изменяется во времени по гармоническому закону с частотой  , то электрическое нагружение должно изменяться по закону cos( )AV t   cos .AV t  На рис. 5.20 показаны рассчитанные на частотах p линейного резонанса кривые 1, 2 зависимости коэффициента управления ak (сплошные линии) и максимальные значения относительных прогибов 1 04 (0) /Ew w h и 2 0(0) /Ew w h (штриховые линии), вызванные еди- ничным электрическим нагружением, от безразмер- ного радиуса 0x кругового актуатора. Здесь кривые 1 отвечают жесткому, а кривые 2 – шарнирному закре- плениям края пластинки. Проведенные расчеты и представленные на рис. 5.20 графики показывают, что актуаторы с радиусами 0 0,67x  жестко защем- ленной и 0 1x  шарнирно опертой пластинок реали- зуют максимальные прогибы при минимальном зна- Рис. 5.20 44 чении коэффициента ak . Такие актуаторы являются наиболее эффективными при исполь- зовании их для активного демпфирования вынужденных механически колебаний. Ниже числовые исследования эффектов нелинейности представлены графиками на рис. 5.21 – 5.24, на которых сопоставлены результаты решения линейной (штриховые линии) и геометрически нелинейной (сплошные линии) задач. Графики на рис. 5.21, а; 5.22, а; 5.23, а получены для шарнирного опирания, а на рис. 5.21, б; 5.22, б; 5.23, б – жесткого закрепления края пластинки. а б Рис. 5.21 На рис. 5.21 показаны кривые 1 – 6 АЧХ максимального значения отнесенной к толщине пассивного слоя амплитуды прогиба 0(0) /w w h при механическом нагру- жении пластинки с такими значениями амплитуды  4 0 10 Паq  : 1) 0,05; 2) 0,10; 3) 0,15; 4) 0,20; 5) 0,30; 6) 0,35. При этом электрическое нагружение 0AV  . Для ука- занных амплитуд механического нагружения ТЧХ максимального значения стационар- ной ( 0,1)  температуры диссипативного разогрева при конвективном теплообмене на поверхностях пластинки с коэффициентом 215Вт / (м град)n R    представле- ны на рис. 5.22. а б Рис. 5.22 Из анализа кривых рис. 5.21 следует, что при нагрузке, которая приводит к мак- симальному значению относительного прогиба 0,2w  , можно ограничиться линей- ной постановкой задачи. Видно, что условия жесткого защемления края пластинки сопровождаются более высоким уровнем нагружения, при котором справедлива такая постановка задачи. При рассмотренных условиях теплообмена для жесткого защем- ления имеет место более высокий уровень температуры диссипативного разогрева (кривые 4, рис. 5.22, б), который менее заметен при шарнирном опирании (кривые 1, 45 рис. 5.22, а). С ростом амплитуды относительного прогиба ( 0,2)w  влияние геомет- рической нелинейности становится более заметным и проявляется в сдвиге резонанс- ной частоты в сторону ее увеличения и формирования АЧХ и ТЧХ жесткого типа. а б Рис. 5.23 Для рассмотренной пластинки с шарнирно опертым краем приведены АЧХ мак- симальных амплитуд прогибов 0(0) /Ew w h (рис. 5.23, а) и ТЧХ максимального значения температуры диссипативного разогрева mT (рис. 5.23, б), рассчитанные для линейной (штриховые линии) и нелинейной (сплошные линии) постановок задачи при подведении к электродам оптимального актуатора 0( 1)x  электрических потенциа- лов 46,8AV В  . Видно, что эффекты нелинейности аналогичны случаю механиче- ского нагружения. При таком нагружении результаты решения линейной и нелиней- ной задач в масштабе графиков совпадают с кривыми 3 на рис. 5.21, а и рис. 5.22, а. Представленные на рис. 5.23 штрих-пунктирные кривые являются АЧХ относитель- ного прогиба 2 0(0) / 10pEw w h  и ТЧХ пластинки при совместном действии механи- ческого нагружения 4 0 0,15 10 Паq   и противофазно подведенного к электродам ак- туатора потенциала 46,8ВAV  , компенсирующего механическое нагружение. Они демонстрируют результат активного демпфирования механических колебаний рас- смотренной пластинки. а б Рис. 5.24 На рис. 5.24 показаны зависимости максимальной температуры диссипативного разогрева mT от величины амплитуды механического нагружения 0q для коэффициен- тов теплообмена n = 25;15; 25Вт / (м град)R   (кривые 1 – 3). Числовые результаты 46 получены на частотах линейного резонанса 1482p c  при шарнирном (рис. 5.24, а) и 11010p c  при жестком (рис. 5.24, б) закреплениях внешнего края пластинки в линейной (штриховые линии) и геометрически нелинейной (сплошные линии) поста- новках задачи. Звездочкой на оси ординат показано значение температуры Кюри 180 CkT   пьезокерамики ЦТСтБС–2, при котором пьезоматериал деполяризируется. Анализ кривых на рис. 5.24 показывает, что при активном демпфировании колебаний пластинок из вязкоупругих материалов обязательно необходимо рассчитывать темпе- ратуру диссипативного разогрева, которая зависит не только от амплитуды нагруже- ния, но и от условий механического закрепления контура пластинки и теплообмена на ее поверхности. Учет геометрической нелинейности сопровождается понижением температуры разогрева. Принимая, что пьезоактуатор теряет свое функциональное назначение при дости- жении температурой точки Кюри, можно определить критическое значение амплиту- ды механического нагружения при известных условиях теплообмена и механического закрепления краев пластинки. 5.4. Влияние нелинейности первого типа. Влияние нелинейности первого типа на АЧХ и ТЧХ для пластин и оболочек исследовано в статьях [54, 113 – 127]. Следуя [54], для исследования влияния коэффициента обратной связи 2G на эффективность демпфирования рассмотрим задачу об активном демпфировании жестко защемленной по торцам трехслойной цилиндрической панели толщиной 1 22H h h  из вязкоупру- гим средним слоем при действии на нее равномерно распределенного механического давления 0 cos .P P t Она находится в условиях конвективного теплообмена с ок- ружающей средой, температура которой равна .CT Внешние слои панели изготовлены из пьезоэлектрического материала ЦТС Т БС-2, теплофизические и зависящие от температуры механические характеристики которо- го приведены в [82]. Комплексный модуль сдвига пассивного материала G G iG   зависит от температуры и рассчитывается по формулам 6 0 0 0 0 0[968 8,69( )] ; [87,1 0,7( )] ; 10 Па; 0,36.G T T A G T T A A          Эти данные представлены в работе [54] и они описывают поведение материала в широком интервале температур. Для температуры плавления принимается значение 140 C.T   Параметры геометрии оболочки, условий нагружения и теплообмена сле- дующие: 0,1м; 0,1м;R L  0 / 3;   0,01м;Н  12 0,0002м;h  2 0,0098м;h  410 Па;oP  220Bт / (м град);T   0,47 Bт / (м град);T   0 20 С;CT T   3 30,929 10 кг /м .   На рис. 5.25 и 5.26 представлены АЧХ и ТЧХ (в 0С ) в окрестности первого ре- зонанса колебаний панели для разных значений коэффициентов обратной связи 2G при 1 3 0G G  для случая независящих от температуры свойствах пассивного мате- риала. Верхняя, средняя и нижняя кривые отвечают значениям 5 2 20, 0,2 10 ,G G    5 2 0,5 10 .G   Как видно, выбором коэффициента обратной связи можно существенно повлиять на амплитуду колебаний и температуру диссипативного разогрева. 47 Рис. 5.25 Рис. 5.26 Рис. 5.27 Рис. 5.28 Рис. 5.27, 5.28 иллюстрируют влияние физической нелинейности первого типа на АЧХ и ТЧХ, а такжe влияние на них коэффициента обратной связи. Как видно, появ- ляются характерные для физической нелинейности резкие изменения в АЧХ и ТЧХ. С увеличением коэффициента обратной связи эти характеристики приближаются к динамическим характеристикам для независящих от температуры свойств материала. 5.5. Влияние нелинейности второго типа. Влияние указанной нелинейности на работу пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов и на эффективность активного демпфирования тонкостенных элементов исследовано в [40 – 42]. В качестве примера рассмотрим оболочку вращения, составленную из среднего неупругого изотропного пассивного слоя толщиной 2h и двух одинаковых внешних слоёв толщиной 1h с про- тивоположной поляризацией. На оболочку действует равномерно распределенное поверхностное гармоническое давление coszq q t с частотой  , близкой к резо- нансной. Торцы оболочки шарнирно опертые, а поверхности находятся в условиях конвективного теплообмена с внешней средой. При моделировании электромеханиче- ского поведения такой оболочки принимаем гипотезы Кирхгофа – Лява для механиче- ских величин и адекватные им предположения относительно электрических. Следуя [10, 142], для моделирования механического поведения материала прини- маем, что составляющие комплексного модуля сдвига зависят от второго инварианта тензора девиатора деформаций по закону 2 2(1 ); .G G rI G gGI     (5.7) Здесь параметры , , ,G r g  определяются экспериментально. Эти параметры для ряда материалов приведены в [10, 142]. Например, для алюминиевого сплава они имеют 48 такие значения: 11 20,265 10 /м ; 0,4; 0,0014; 12.G Н        При этом в (5.7) принято   4 (2 / 2) 2 2 ; ; – гамма-функция. ( 2) [( 1) / 2] (3 / 2) r g G Г g                 Числовые расчеты проведены для круговой цилиндрической панели с толщиной среднего пассивного слоя 2 0,00999м.h  Общая толщина панели 2 12 0,01м,H h h   а ее радиус и длина 0,1м, 0,1м.R l  Длина образующей 0,1м.s  Пассивный слой изготовлен из алюминиевого сплава с указанными выше характеристиками, а пьезо- слои – из вязкоупругого пьезоэлектрического материала со свойствами, представлен- ными в [143]. Коэффициент Пуассона принимаем постоянным и равным 0,31;  плотности пьезоактивного 4 30,75 10 кг /мa   и пассивного 4 30,28 10 кг /мп   ма- териалов. Коэффициент теплопроводности пассивного слоя 200Вт / (м грaд)T   , коэффициент теплообмена – 220Вт / (м град),Т   а начальная температура и темпе- ратура внешней среды 0 20 C.СТ Т   Частота нагружения принята близкой к резо- нансной, а амплитуда механического нагружения q  4 20,25 10 Н /м . Рис. 5.29 Рис. 5.30 На рис. 5.29 показана АЧХ такой панели. При расчетах использован подход, предста- вленный в [39], когда влияние коэффициента обратной святи учитывается путем введения комплексной плотности. Приведенные здесь кривые отвечают таким значениям мнимой составляющей комплексной плотности п i     (кривые обозначены сверху вниз): 0; 0,1; 0,5;1,0;  2,0. ТЧХ для тех же значений комплексной плотности представ- лены на рис. 5.30, а зависимость второго инварианта тензора деформаций 2I – на рис. 5.31. Последняя зависимость вводится для того, чтобы деформации цилиндричес- кой панели не превышали пределов упру- гости. Как видно, величина мнимой соста- вляющей комплексной плотности матери- ала существенно влияет на фундаменталь- ные динамические характеристики коле- баний цилиндрической панели из физиче- ски нелинейного материала второго типа. Эта мнимая составляющая легко опреде- ляется через показатели сенсора и пропор- циональна коэффициенту обратной связи. Рис. 5.31 49 5.6. Совместное влияние геометрической нелинейности и физической нели- нейности второго типа. Для иллюстрации совместного влиянии геометрической нелинейности на демпфирование колебаний тонкостенных элементов при помощи актуаторов рассмотрим представленную в [156] задачу о вынужденных колебаниях шарнирно опертой трехслойной балки, средний слой которой изготовлен из алюми- ниевого сплава АМг-6, а внешние – из пьезокерамики ЦТС-19. Поведение материала электрически пассивного (без пьезоэффекта) алюминиевого сплава характеризуется при помощи модели обобщенной теории течения [85, 86]. Пьезокерамические слои приняты упругими трансверсально-изотропными. Основные соотношения и свойства материалов приведены в статье [156]. Толщины пьезоактивных слоев равны: 1 3h h , полная толщина балки 1h h  2 3h h  , где 2h – толщина алюминиевого слоя. Длина балки 0,826L  м. Рассмотрены два варианта со следующими наборами толщин: а) 10,3 10h   м, 2 1 3 0,5 10h h    м, 1 2 0,2 10h   м (вариант А); б) h 10,6 10  м, 1 3h h 20,2 10  м, 1 2 0,56 10h   м (ва- риант В). Ширина балки – 10,3 10yb   м. Резонансная частота первой изгибной моды колебаний составляет 441 Гц для варианта А и 1167 Гц – для варианта В. Частота воз- буждения принята равной 10Гц.f  Пьезоактивные слои принято предварительно по- ляризованными по толщине, причем направления поляризации слоев противополож- ны (например, верхний слой поляризован в направлении, совпадающем с осью ,Oz а нижний – в противоположном направлении). Рассмотрены два типа гармонически изменяющихся во времени нагружений: мо- менты, приложенные на концах балки, и разность электрических потенциалов, пода- ваемая на электроды пьезослоев. Во всех случаях гармонический закон изменения нагрузки моделировался линейной функцией таким образом, чтобы заданная ампли- туда нагружения достигалась за 50 циклов колебаний. Такой подход обеспечил сим- метричные прогибы балки относительно оси, поскольку непосредственное задание гармонической нагрузки на первой же четверти цикла приводит к формированию по- стоянной составляющей прогиба за счет неупругого деформирования материала, при- чем дальнейшие колебания происходят относительно этого изогнутого положения. Для оценки взаимного влияния физической и геометрической нелинейностей ис- пользуем жесткостную характеристику для установившейся стадии процесса, харак- теризующей зависимость амплитуды прогиба от амплитуды изгибающего момента (рис. 5.32). Пунктирная кривая отвечает линейному случаю; штрих – пунктирной и штриховой линиями показаны жесткостные характеристики балки для случаев учета только геометрической и только физической нелинейностей, соответственно. Решение задачи с учетом обеих нелинейностей представлено сплошной кривой. Физическая нелинейность формирует характеристику мягкого типа, а геометрическая – жесткого ти- па. Уровень влияния нелинейностей зависит от уровня нагружения, геометрии балки и условий закрепления. Очевидно, что для более тонких балок доминирующей является геометрическая нелинейность. С увеличением толщины происходит нарастание влияния физиче- ской нелинейности. Для достаточно толстых эле- Рис. 5.32 Рис. 5.33 50 ментов конструкций неупругое деформирование может стать главным фактором, опре- деляющим реакцию элемента. Анализ рис. 5.32 позволяет выделить интервалы нагрузок, в которых на стадии установившихся колебаний система де- монстрирует линейное поведение 0(M  0,12МН·м), преимущественным будет геометрический тип нелинейности 0(0,12 0,24МН·м)M  или нагрузки, при которых влияние обеих нелинейностей ве- лико 0( 0,24МН·м).M  Для балки с кон- фигурацией A геометрическая нелиней- ность доминирует во всем рассмотренном интервале нагрузок. Пример нестационарной реакции бал- ки на гармоническое механическое возбу- ждение представлен на рис. 5.33. Здесь показана история изменения прогиба для конфигурации В при 0 0,27МН·мM  для случая полного учета как физической, так и геометрической нелинейностей. Видно, что после первых 50-ти циклов колеба- ний, когда амплитуда нагрузки принима- ет стационарное значение, происходит небольшое уменьшение амплитуды про- гиба, обусловленное упрочнением слоев алюминиевого сплава, прилежащих к пье- зокерамике. После окончания переходно- го процесса формируется симметричный относительно горизонтальной линии цикл колебаний балки. История изменения напряжения и не- упругой деформации в точке / 2,x L 2– / 2z h (крайняя нижняя точка алюми- ниевого слоя в центральном поперечном сечении балки) представлена на рис. 5.34, а и 5.34, б, соответственно. Эволюция вели- чины электрического тока, снимаемого с нижнего пьезокерамического слоя в режи- ме сенсора, представлена на рис. 5.34, в. Отмечено формирование симметричного цикла реакции напряжения на стадии ус- тановившихся колебаний. При нараста- нии нагрузки достигается предел упруго- сти материала. Этому моменту времени соответствует изменение угла наклона огибающей на рис. 5.34, а. Анализ рис. 5.34, б показывает, что при учете геометрической нелинейности история изменения неупругой деформа- ции не является симметричной относи- тельно нуля вследствие деформации оси Рис. 5.34 51 балки. Учет только физической нелинейности приводит к иной ситуации: при этом формируется симметричная история неупругой деформации. Момент начала неупру- гого деформирования легко идентифицировать по рис. 5.34, б. При работе в режиме сенсора электрический ток, снимаемый с одного пьезоактивного слоя, также характеризу- ется слабой асимметрией цикла относительно нуля. Такое поведение обусловлено тем, что возникающий (вследствие обратного пьезоэффекта) заряд определяется деформацией активного слоя, которая не является симметричной относительно нуля из – за влияния геометрической нелинейности. Детальное поведение электромеханических параметров в пределах стабилизированного цикла колебаний представлено на рис. 5.35. На рис. 5.35, а сплошной и штриховой линиями представлены изменения во вре- мени полных деформаций в точках с координатами 2( / 2, – / 2)L h и 2( / 2, / 2)L h , со- ответственно: штрих-пунктирной линией показана зависимость деформации оси бал- ки от времени, а пунктирной – временная зависимость тока, снимаемого с нижнего пьезоактивного слоя. Видно, что асимметрия деформационных циклов обусловлена влиянием геометрической нелинейности, в частности, деформацией оси балки. По- скольку ось испытывает деформации растяжения, то в пределах каждого полуцикла она увеличивает деформацию растянутых слоев и уменьшает деформацию противо- положных сжатых слоев балки. Аналогичная ситуация наблюдается и для тока. Отме- чается отклонение кривых от гармонического закона изменения во времени. В случае неучета геометрической нелинейности при прогибе балки все рассматриваемые зави- симости будут симметричными, а деформация оси балки – нулевой. На рис. 5.35, б тонкими сплошной и штриховой линиями показаны изменения за период колебаний прогиба балки и фазы механической нагрузки, соответственно. Жирная сплошная и штриховая линии отвечают неупругой деформации в точках с координатами 2( / 2, – / 2)L h и 2( / 2, / 2)L h , а пунктирная и штрих-пунктирная линии – напряжениям в этих же точках. Отмечается появление сдвига фаз между механиче- ской нагрузкой и прогибом, обусловленное неупругим деформированием материала центрального слоя. Наблюдаемый сдвиг фаз мал, поскольку мал относительный объ- ем материала, вовлеченного в неупругое деформирование. Аналогично рис. 5.35, а временные зависимости неупругой деформации и напряжения являются несиммет- ричными относительно нуля, вследствие учета геометрической нелинейности. Учет только физической нелинейности приводит к симметрии соответствующих кривых. При электрическом возбуждении колебаний путем подачи на электроды пьезоактив- ных слоев гармонически изменяющейся во времени разности потенциалов наблюдается аналогичное поведение всех механических величин. В результате проведенных расчетов построены графики, соответствующие рис. 5.33 – 5.35. Рис. 5.32 имеет подобный вид с тем отличием, что по оси абсцисс отложена амплитуда электрического напряжения 0.V а б Рис. 5.35 52 Пусть на шарнирно закрепленную трехслойную балку действуют гармонически изменяющиеся во времени механические моменты, приложенные на ее концах. Как и ранее, моменты модулируются линейным законом по времени так, чтобы максималь- ное значение достигалось за 50 циклов колебаний. После стабилизации цикла колеба- ний в некоторый момент времени st на электроды пьезоактивных слоев начинает по- даваться разность потенциалов ,V изменяющаяся по закону 0 0sin( ) sin( ),V V t V t          (5.8) где δ – некоторый дополнительный сдвиг фаз. Результаты расчетов для балки конфигурации A при учете только физической нелинейности представлены на рис. 5.36. На рис. 5.36, а штриховая линия соответст- вует режиму стационарных колебаний без подавления при помощи электрического напряжения при M0 = 100 кН·м и частоте 10 Гц, а пунктирная – иллюстрирует фазу механического возбуждения. Сплошные кривые отвечают режиму подавления коле- баний при 0 570кВV  и 0.  Кривая 1 – решение, получаемое в квазистатической постановке, а кривые с номерами 2 – 6 – решения в динамической постановке при  8; 8,001; 8,004; 8,0058; 00578 с,st  соответственно. На рис. 5.36, б детально пока- заны решения в квазистатической и динамической постановках, причем жирная кри- вая отвечает линии 1 (квазистатическое решение), а тонкая кривая – линии 6 (динами- ческое решение) на рис. 5.36, а. Оказывается, что при подавлении колебаний на час- тоте вынуждающей силы не удается погасить колебания полностью. Остаточные ре- зультирующие колебания характеризуются двумя особенностями. Во-первых, они происходят около изогнутого положения оси балки. Это положе- ние определяется неупругими деформациями материала и остается постоянным, если момент включения электрического напряжения совпадает с этапом упругого дефор- мирования, когда имеет место разгрузка или повторное нагружение в упругой области (см. сплошную и штриховую кривые на рис. 5.39, б). Если не учитывать инерционные эффекты, то амплитуда остаточных колебаний будет пренебрежимо малой (жирная кривая на рис. 5.36, б), а соответствующим подбором фазы δ можно полностью пода- вить указанные колебания. Средняя составляющая при этом остается и для ее устра- нения необходимо дополнительно вводить постоянную составляющую электрическо- го напряжения. Во-вторых, учет динамических эффектов качественно меняет характер остаточ- ных колебаний. Они также совершаются около изогнутого положения оси, однако их а б Рис. 5.36 53 амплитуда значительно возрастает и совершаются они с собственной частотой колеба- ний балки (быстрые составляющие на рис. 5.36), модулированной медленно изме- няющимися остаточными колебаниями на частоте внешнего воздействия. В этом слу- чае рассматриваемая задача становится эквивалентной задаче об упругих колебаниях изогнутой балки, имеющей в начальный момент времени некоторый прогиб и ско- рость. Эти величины определяются отклонением точек балки от изогнутого положе- ния и их скоростью в момент включения st электрического сигнала. Из рис. 5.36, а видно, что чем больше это отклонение, тем больше амплитуда собственных ко- лебаний. С другой стороны, амплитуда также зависит от скорости точек балки в момент времени .st Изменение характера поведения оста- точных колебаний при учете как физи- ческой, так и геометрической нелиней- ности, представлено на рис. 5.37 для бал- ки конфигурации в при 0 270кН·м,M  0 670кВ.V  Кривая 1 на рис. 5.37, а со- ответствует решению динамической зада- чи при 10,002сst  и 0.  Кривая 2 представляет динамическое поведение балки при 10,002сst  и ,Mw  где Mw – сдвиг фаз между механическим воз- буждением и прогибом, обусловленным неупругим деформированием. Кривые 3 и 4 иллюстрируют квазистатическое решение, отвечающее линии 1, для случая неучета и учета геометрической нелинейности, со- ответственно. Кривые 5, а и 6, а представ- ляют поведение неупругой деформации в точке 2( / 2, – / 2)L h в случае пренебре- жения и учета геометрической нелиней- ности, соответственно, а кривые 5, б и 6, б показывают аналогичные зависимости для точки 2( / 2, / 2).L h На рис. 5.37, б и рис. 5.37, в представ- лены установившиеся циклы колебаний после включения электрического напря- жения. Линии 1 и 2 соответствуют кри- вым с такими же номерами на рис. 5.37, а. Линия 3 представляет историю прогиба при отличающемся от (5.8) законе подавле- ния колебаний 0( ) sin( )V A t V t      0( ) sin( );A t V t    0; ; ( ) ( ) ; ; 1; , s s C s s C s C t t A t t t f N t t t N f t t N f          в Рис. 5.37 54 где f – частота колебаний; NC – количество циклов, в течение которых амплитуда гар- монически изменяющего во времени электрического напряжения возрастает до за- данного значения V0. Для кривой 3 принято 10с, 20.s Ct N  В этом случае из-за медленного нарастания амплитуды электрической нагрузки происходит постепенная компенсация механиче- ского возбуждения и медленное уменьшение амплитуды прогиба. В результате предот- вращается образование изогнутой оси балки вследствие неупругого деформирования и остаточные колебания совершаются относительно линии 0.z  Анализ рис. 5.37 показывает, что геометрическая нелинейность проявляется двумя эффектами. Во-первых, происходит уменьшение остаточного прогиба изогнутой оси бал- ки (линии 3 и 4 на рис. 5.37, а). Этот эффект вызван изменением характера поведения неупругой деформации по поперечному сечению, что, в свою очередь, обусловлено учетом растяжения оси балки. Сравнение кривых 5 и 6 на рис. 5.37, а указывает на то, что балка становится более жесткой. Во-вторых, геометрическая нелинейность в рассмотренной постановке является кубической по прогибу. Это приводит к появлению нечетных гармоник в спектре час- тот остаточных колебаний. Поскольку остаточные колебания являются упругими, то на рис. 5.37 наблюдаются биения как результат суммирования колебаний на частоте внешнего воздействия, кратных ему частотах и частоте первого изгибного резонанса для балки. Таким образом, для шарнирно опертой трехслойной балки с внешними пьезоактив- ными слоями изучены особенности механического и электрического возбуждения коле- баний. Для симметрично расположенных пьезослоев равной толщины с противоположно направленной толщинной поляризацией механическое и электрическое возбуждение ока- зываются эквивалентными как по прогибу, так и по всем параметрам напряженно- деформированного состояния. Этот факт может служить основой разработки методики гашения механически возбуждаемых колебаний при помощи подачи соответствующей разности потенциалов на контакты пьезослоев. При этом физическая нелинейность пове- дения материала пассивного слоя и геометрическая нелинейность существенно влияют на реакцию слоя – сенсора и конструкции в целом. Наличие нелинейного поведения и взаи- мовлияние нелинейностей как при переходных, так и при стационарных режимах работы препятствуют полному подавлению вынужденных колебаний. Влияние физической и геометрической нелинейностей проявляется в возникновении сдвига фаз между нагруже- нием и реакцией системы, формировании изогнутой оси балки, возникновении остаточ- ных колебаний с собственной частотой на первой изгибной моде и колебаний с частота- ми, кратными частоте возбуждения. Дальнейшее уменьшение амплитуд остаточных коле- баний возможно при использовании методов активно – пассивного демпфирования, на- пример, введения дополнительных рассеивающих покрытий, состоящих из материалов с высокой вязкостью, или организации электрических цепей с обратной связью. Влияние геометрической нелинейности на эффективность активного демпфиро- вания вынужденных изгибных колебаний вязкоупругих балок при помощи пьезоэлек- трических сенсоров и актуаторов исследовано в [129]. Показано, что при расчете ко- эффициента управления, необходимого для вычисления компенсирующего механиче- скую нагрузку электрического показателя актуатора, можно ограничиться линейной постановкой задачи. §6. Демпфирование нестационарных колебаний. Ниже рассмотрены задачи о демпфировании нестационарных колебаний прямо- угольных пластин при помощи актуаторов. Для моделирования колебаний используются гипотезы Кирхгофа – Лява и С.П.Тимошенко. Для демпфирования нестационарных колебаний применяются два метода. Согласно первому из них к актуатору подводится разность потенциалов, компенсирующая действие наиболее энергоемких мод механи- ческой нагрузки. Согласно второму – к актуатору подводится разность потенциалов, изменяющаяся по закону, определяемому методом оптимального управления. Прове- дено сравнение эффективности активного демпфирования с использованием указан- ных двух методов. Исследовано также влияние геометрической нелинейности на ак- тивное демпфирование нестационарных колебаний гибкой вязкоупругой пластинки. 55 Необходимость в исследовании активного демпфирования нестационарных коле- баний возникает при решении вопроса, как быстро реализуется режим стационарных колебаний при периодических механических и электрических воздействиях. 6.1. Активное демпфирование нестационарных колебаний прямоугольной плас- тины при помощи пьезоактуаторов. Для эффективного демпфирования нестацио- нарных колебаний пластин с использованием только пьезоэлектрических актуаторов выше использован классический подход, когда для компенсации механической на- грузки к актуаторам подводятся разности потенциалов, компенсирующие действие наиболее энергоемких мод. С целью повысить эффективность демпфирования неста- ционарных колебаний в [110] использованы методы оптимального управления [20]. В качестве примера рассмотрены нестационарные колебания шарнирно опертой прямоугольной упругой пластины под действием внешнего нормального давления ( , , )p x y t . На поверхности пластинки / 2z h  нанесено N пьезоэлектрических ак- туаторов с противоположной поляризацией. К ним подводятся разности потенциалов, вызывающие изгибные колебания. Рассчитаем ту разность потенциалов, которую не- обходимо подвести к актуаторам для компенсации действия механической нагрузки и таким образом уменьшить амплитуду колебаний пластины. Задача сводится к реше- нию стандартного уравнения нестационарных поперечных колебаний пластины, на которую действует нагрузка 2 2 0 0 2 2 ( , ) M M p x y x y       , где 0 0 31 1 1 ( ) N N i i i i a i i M M h h V       . Здесь N – количество актуаторов; 31 i – пьезоконстанта i -го актуатора; ih – толщина i -го актуатора; i aV – разность потенциалов, подводимая к i -му актуатору. При шар- нирном опирании торцов пластины поперечный прогиб w , механическая ( , , )p x y t и электрическая 0M нагрузки представляются в виде рядов по тригонометрическим функциям. В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравне- ний во времени [110]: 2 1 1 1 ( , 1, ), N i mn mn mn mn mn mn i W W p M m n h D h           (6.1) где принято 2 2 2 2 2 2/ ( / / ).mn D h m a n b     Обозначая 31 1 ( ) / i i i mn mn i mn mn S L h h F dxdy K D h       , представим соотношения (6.1) в виде 2 1 1 ( , 1, ). N i i mn mn mn mn mn a imn W W p L V m n hK         (6.2) Ограничимся числом Q гармоник по 1 2, , , Qm m m m  и числом S гармоник по 1 2, , , Sn n n n  . Введем обозначения: 2 1 2, , 1, , 1, , q s q sk m n k m nx W x W k QS q Q     1, .s S Тогда из (6.2) получим систему линейных дифференциальных уравнений по- рядка 2QS a  x Ax BV F , где ,A B – матрицы размером 2 2QS QS и 2QS N , соответственно; F – 2QS мерный вектор-столбец, которые представлены в [110]. Сформулируем задачу об оптимизации разностей потенциалов i aV , подводимых к актуаторам с целью демпфирования колебаний пластинки, которые вызваны внешней нагрузкой и начальными условиями. Поведение прогиба во времени в произвольной точке пластины определяется поведением величин mnW . Значит, демпфирование ко- лебательного процесса при минимальных энергозатратах обеспечивается путем ми- нимизации квадратичного функционала 56 2 2 2 1 10 QS N i i i i a i i J q x rV dt             , где iq и ir – весовые коэффициенты, позволяющие задавать приоритетность миними- зации той или иной фазовой координаты или управляющего воздействия. Запишем выражение для функционала J в матричной форме:   0 T T a aJ dt    x Qx V RV ; Q и R – квадратные диагональные матрицы со значениями iq и ir на главных диагоналях, соответственно. Представленные формулы позволяют формулировать задачу о синте- зе оптимального регулятора для линейной стационарной системы дифференциальных уравнений при квадратичном критерии оптимальности, т.е.   0 min;T T a aJ dt     x Qx V RV   0, 0 .a   x Ax BV F x x (6.3) Согласно работе [20], применяя метод динамического программирования, опти- мальное управление для задачи (6.3) находим по формуле 1 T a  V R B Kx , в которой матрицу K получим из алгебраического матричного уравнения Риккати [20] 1 0T T T T    KBR B K KA A K Q . В качестве конкретного примера рассмотрим шарнирно опертую квадратную металлическую пластинку длиной 20смa b  , толщиной, 1мм,h  37850кг м ,  18,315D  . На пластинку нанесен указанный выше квадратный пьезоэлектрический актуатор с длиной стороны, равной длине стороны пластинки, толщиной 10ммh  и значением коэффициента 31 18,2857   (материал ТЦТС БС -2). Центры актуатора и пластинки совпадают, а их стороны параллельны. На пластинку действует постоянная во времени нагрузка 2100Н мp  , распределенная по площади пластинки. В началь- ный момент времени пластинка не деформирована. При решении задачи принимаем в рассмотрение гармоники при , 1, 3, 5m n  . Матричное уравнение Риккати решаем численно, с использованием стандартной процедуры care.m пакета MATLAB. На рис. 6.1 показаны кривые изменения прогиба в центре пластинки: 4 – без управления; 2 – при 50, 1,18, 1;iq i r   3 – при 350, 1,18, 1iq i r   . На рис. 6.2 показано поведение оптимизированного управления aV : 2 – при 50, 1,18, 1iq i r   ; 3 – при 350,iq  1,18, 1.i r  Как видно, использование всего одного актуатора позволяет сущест- венно уменьшить амплитуды колебаний за достаточно малый промежуток времени. Рис. 6.2 Рис. 6.1 57 Кривые 1 на рис. 6.1, 6.2 показывают изменение W и требуемую разность потен- циалов при нулевых начальных условиях в случае, когда разность потенциалов выби- ралась не из условия оптимизации функционала, а из условия равенства нулю правой части уравнения (6.2) для низшей гармоники 1m n  при использовании только од- ного актуатора. Из анализа кривых на рис. 6.1, 6.2 видно, что при классическом под- ходе существенно уменьшается прогиб, но на порядок возрастает требуемая для демпфирования колебаний разность потенциалов. К тому же, основным недостатком такого подхода является то, что он не применим при ненулевых начальных условиях, так как компенсируется действие внешней силы и не учитываются собственные коле- бания пластинки. Отметим работу [135], в которой исследовано активное демпфирование прямо- угольной пластины при импульсном нагружении. 6.2. Демпфирование нестационарных колебаний прямоугольной пластины при помощи пьезоактуаторов с учетом деформаций сдвига. В [111] рассмотрена задача об оптимальном демпфировании нестационарных колебаний шарнирно закрепленной прямоугольной упругой пластины толщины h под действием внешнего нормального давления ( , , )p x y t с помощью пьезоэлектрических актуаторов, нанесенных на по- верхностях пластины / 2z h  . К данным актуаторам подводятся разности потен- циалов, которые вызывают изгибные колебания пластины. Необходимо определить закон изменения разностей потенциалов на каждом актуаторе для максимально воз- можного уменьшения амплитуды колебаний при минимальных энергозатратах. Постановка задачи представлена в [111]. Для шарнирного опирания торцов пла- стины решение ищем в виде разложений в ряды по тригонометрическим функциям. В результате задача сведена к решению бесконечной системы обыкновенных линей- ных дифференциальных уравнений по времени, т.е. 2 1 , , 1, , N i i mn mn mn mn mn a i W W p L V m n        коэффициенты которой приведены в [111]. Задачу решаем по методике, изложенной в предыдущем параграфе. В качестве чис- ленного примера рассмотрим металлическую пластинку со сторонами 20см,a b  толщиной 10ммh  , 37850кг м  . Материал пластинки – изотропный с такими механическими характеристиками: 11 22 10 H /м , 0,3E    . На пластинку нанесен указанный выше квадратный трансверсально изотропный пьезоэлектрический актуатор из ТЦТС БС -2 с длиной стороны, равной длине стороны пластинки толщиной 10ммh  . Центры актуатора и пластинки совпадают, а их стороны параллельны. На пластинку дейст- вует равномерно распределенная по ее площади нагрузка, изменяющаяся во времени по закону 2 117000cos(0,99 )Н мp t (т.е. с частотой, близкой к частоте резонанса низ- шей гармоники 1m n  ). В начальный момент времени пластинка недеформирована. При решении задачи ограничивались тремя гармониками: , 1, 3, 5m n  . На рис. 6.3 показана кривая изменения во времени прогиба центра пластины при от- сутствии управляющих воздействий (актуаторы отсутствуют). Видно, что возникает про- цесс биения с амплитудой 41,3 10 м  . Кривые изменения прогиба центра пластины W при оптимизированном активном демпфировании с помощью актуатора показаны на рис. 6.4, а при значениях коэффициентов 350, 1,18, 1iq i r   , а на рис. 6.4, а – при значени- ях коэффициентов 750,iq  1,18, 1.i r  На рис. 6.4, б и рис. 6.5, б показаны соответст- вующие графики оптимизированного управления aV (подводимой к актуатору разности потенциалов). Как видно, использование актуатора позволяет за достаточно малый про- межуток времени достичь режима установившихся (стационарных) колебаний с амплиту- дами, существенно меньшими, чем амплитуда вынужденных колебаний. 58 а б Рис. 6.4 а б Рис. 6.5 Рис. 6.3 59 а б Рис. 6.6 Кривые на рис. 6.6, а, б показывают изменение W и требуемую разность потен- циалов при нулевых начальных условиях в случае, когда разность потенциалов выби- ралась не из условия оптимизации функционала, а из условия равенства нулю правой части уравнения (5.41) для низшей гармоники 1m n  при использовании только одного актуатора. Из анализа кривых видно, что при классическом подходе на не- сколько порядков уменьшается прогиб и возрастает в 1,5 – 2 раза требуемая для демпфирования колебаний разность потенциалов. Однако, основным недостатком такого подхода является то, что он не применим при ненулевых начальных условиях, так как компенсируется действие внешней силы и не учитываются собственные коле- бания пластинки. 6.3. Активное демпфирование нестационарных резонансных колебаний гибкой прямоугольной пластины при помощи сенсоров и актуаторов [112]. Рассмотрим гибкую прямоугольную тонкую пластинку из пассивного (без пьезоэффекта) вязкоуп- ругого материала. Края пластинки шарнирно оперты. На пластинку действует нор- мальное давление ( , , )q x y t . Поверхности пластинки жестко скреплены с пьезоэлек- трическими слоями с противоположной толщинной поляризацией, которые выполня- ют роль сенсоров и актуаторов. Пусть пластинка имеет линейные размеры a и b , толщину h , плотность материала  . Толщину пьезоактивных слоев обозначим sh . Для моделирования электромеханического поведения такой трехслойной пластинки используем гипотезы Кирхгофа – Лява, дополненные адекватными им предположениями о малости тангенциальных составляющих напряженности электрического поля и ин- дукции. Для учета геометрической нелинейности примем простейший вариант теории гибких пластин [112], когда в кинематических соотношениях удерживаются квадраты углов поворота. Тангенциальными силами инерции в уравнениях движения пренебре- гаем. Механическое поведение пассивного материала описывается линейными урав- нения состояния интегрального типа теории вязкоупругости. Введя функцию усилий, тождественно удовлетворяющую уравнениям равновесия для усилий, и используя нелинейное уравнение совместности деформаций, получаем известную из теории гиб- ких пластин систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений относитель- но функции усилий  и прогиба W , предcтавленную в [112]. В этой системе попе- речная нагрузка q заменяется выражением 0q M  , где 0 310,5 ( )s aM h h V   изги- бающий момент от действия актуаторов, aV – разность потенциалов, подводимая к актуатору, а 31 – его пьезоконстанта. Демпфирование колебаний пластинки осуществляется путем подачи на актуатор разности потенциалов, пропорциональной скорости изменения разности потенциалов, 60 снятой с сенсора, т. е. a sV GV   . Здесь G – постоянный во времени коэффициент обратной связи. Снимаемая с сенсора площади S разность потенциалов определяется по формуле 2 2 2 31 ( ) 2 (1 ) ps s s p S kh h h V Wdxdy S d k       , а коэффициент 2 pk определяется из выражения  2 2 31 33 11 12 112 / 1 ; / .pk d s s s      Для шарнирно закрепленной пластинки решение задачи ищем в виде разложений в ряды Фурье по тригонометрическим функциям, удовлетворяющим граничным усло- виям. Для описания механического поведения пассивного материала использовано экспоненциальное ядро. Исследованы резонансные колебания по моде mn . В резуль- тате получено интегро-дифференциальное уравнение второго порядка 3 ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 0 0 ( ) ( ) ( ) , t t t t mn mn mn mn mn mn mn mnW GbW a W d W a e W d d W e W d Q q t                 (6.4) где 1 2 1 2 1, , , , ,b a a d d Q – постоянные во времени коэффициенты. Численное решение уравнения (6.4) построим на основе метода, изложенного в [2]. Пусть имеем интегро-дифференциальное уравнение такого вида: 0 ( ) , ( ), ( ), ( , , ( ), ( )) t u t F t u t u t t u u d                  (6.5) с начальными условиями 0 0 0 0( ) , ( ) .u t u u t u   (6.6) Дважды проинтегрировав уравнение (6.5) с учетом условий (6.6), получим 0 0 ( ) ( ) , ( ), ( ), ( , , ( ), ( )) t s t t u t t F t u t u t t u s u s ds d                . (6.7) Наличие множителя ( )t  в подынтегральной функции в (6.7) указывает на то, что ее значение в момент времени t равно нулю. Этот факт дал возможность постро- ить явный алгоритм численного решения задачи (6.5), (6.6) на основе квадратурных формул [3]. В качестве примера рассмотрена задача об активном демпфировании шарнирно опертой квадратной металлической пластинки со сторонами 20смa b  , толщиной 0,5ммh  , 37850кг м .  Материал пластинки принят изотропным 11 2( 2 10 H /м , 0,3).E    На пластинку нанесен указанный выше квадратный трансверсально-изотропный пьезоэлектрический актуатор из материала ТЦТС БС -2 с длиной стороны, равной длине стороны пластинки. Центры актуатора и пластинки совпадают, а их стороны параллельны. На пластинку действует равномерно распределенная по ее площади нагрузка, изменяющаяся во вре- мени по закону 2 11100sin Н мp t , т.е. с частотой, близкой к частоте резонанса низ- шей гармоники ( 1m n  ). В начальный момент времени пластинка не деформирована. На рис. 6.7, а – 6.10, а показаны кривые изменения во времени прогиба в центре пластинки, отнесенного к ее толщине, при таких значениях коэффициента обратной связи 2G (3.11): 0,005 , 0,01 , 0,025 , 0,04 , соответственно, а на рис. 6.7, б – 6.10, б – соответствующие зависимости от времени разностей потенциалов aV , подаваемых на 61 актуатор. Утолщенные кривые соответствуют решению геометрически нелинейной задачи – решению уравнения (5.49). Тонкие кривые соответствуют геометрически линейной постановке задачи. а б Рис. 6.7 а б Рис. 6.8 а б Рис. 6.9 62 а б Рис. 6.10 Из представленных результатов следует, что с увеличением параметра обратной связи 2G влияние геометрической нелинейности на амплитуду колебаний и подводи- мой к актуатору разности потенциалов уменьшается. §7. Тепловое разрушение системы активного управления вынужденными ко- лебаниями тонкостенных элементов. Как указано во введении, под тепловым разрушением понимаем достижение ТДР точки деградации пассивного или активного материала. При рассмотрении этой про- блемы следует выделить две основные задачи: первая из них состоит в определении критической нагрузки Kq , при достижении которой теряется функциональное назна- чение элемента; вторая – в определении критического времени Kt при действии на- грузки, превышающей критическую ( ).Kq q При решении первой задачи можно ограничиться стационарной постановкой связанной задачи термоэлектровязкоупруго- сти, а при решении второй – необходимо решать нестационарную связанную задачу при действии на вязкоупругий элемент закритической нагрузки и определить крити- ческое время Kt , при котором ТДР достигает точки деградации материала .K Решая вторую задачу для разных закритических нагрузок, можно построить кривую типа Веллера, представляющей собой зависимость между закритической нагрузкой и кри- тическим временем. Эта кривая сверху асимптотически приближается к критической нагрузке. Детальное освещение вопроса о тепловом разрушении тонкостенных эле- ментов конструкций из пассивных неупругих материалов представлено в [9, 39, 66] и обзорах [96, 145]. Первые результаты по тепловому разрушению пьезоэлектрических тонкостенных элементов, в указанном выше смысле, представлены в [103, 113], а краткий обзор по этому вопросу содержится в работах [96, 97, 100, 101]. Определению критических нагрузок с использованием аналитических решений связанных задач о колебаниях неупругих прямоугольных и круглых пластин, а также цилиндрических и сфериче- ских оболочек с учетом физической нелинейности первого типа посвящены работы [32, 34, 44, 45, 47, 49, 50, 98, 103, 107, 116, 117, 119 – 127, 131]. В этих работах с ис- пользованием полученных аналитических формул для ТДР критическая нагрузка оп- ределена путем приравнивания максимальной температуры значению K в точке де- градации материала. Аналогичные решения для круглых и прямоугольных пластин из физически нелинейного материала второго типа представлены в [34, 41, 42]. Тепловое разрушение балки с учетом физической нелинейности второго типа при ее поперечных колебаниях исследовано в [92 – 94], где рассмотрены вопросы опреде- ления критической нагрузки и критического времени при действии закритической нагрузки на балку. Для случая независящих от температуры свойств материала опре- деление критического времени при закритической нагрузке шарнирно опертых плас- 63 тин и цилиндрических оболочек методом Бубнова – Галеркина сводится к решению дифференциального уравнения первого порядка относительно максимальной темпе- ратуры 0 [34] 0 1 2 0 ,c c   (7.1) где постоянные 1 2,c c зависят от геометрических размеров элемента, механических и теплофизических свойств материала [34]. Интегрируя (7.1), получим следующее выражение для критического времени :Kt 2 2 1 2 1 .K K c c t c c c    (7.2) Если механические свойства неупругих материалов зависят от температуры по произвольному закону, тогда вместо представленных выше простых формул получим более сложные выражения как для АЧХ, так и для ТЧХ. Для вычисления критических значений параметра механического нагружения из трансцендентных уравнений необ- ходимо привлекать численные методы. Для определения критического времени вме- сто (7.2) получим выражение 0 , ( ) K K d t      (7.3) где функция ( ) определяется аппроксимацией экспериментальных данных о зави- симости механических характеристик от температуры. Для расчета критической нагрузки при вынужденных колебаниях и диссипатив- ном разогреве неупругих тонкостенных элементов можно использовать указанные выше численные методы решения стационарных и нестационарных связанных задач термоэлектровязкоупругости, основанные на итерационных процедурах, сводящих исходную нелинейную задачу к последовательности линейных задач механики и ли- нейных задач теплопроводности с известным источником тепла. Такой подход позво- ляет решать задачи с произвольной зависимостью механических характеристик от температуры и амплитуд деформаций, а также нелинейные задачи о колебаниях гиб- ких тонкостенных элементов. Однако, при этом критическая механическая нагрузка определяется путем перебора. Расчет начинаем с некоторой нагрузки, при которой максимальная температура диссипативного разогрева не достигает точки деградации материала. Затем задаем некоторое малое приращение механической нагрузки и для этой нагрузки снова решаем нелинейную задачу. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока при некотором значении механической нагрузки максимальная температура достигнет точки деградации материала. Это значение и будет критическим. Для опре- деления закритического времени аналогичным образом решаем нестационарные свя- занные задачи термоэлектровязкоупругости. На рис. 7.1 приведены типичные кривые 1 – 4 зависимости ТДР  тонкостенного элемента от амплитуды механической нагрузки q , рассчитанных на некоторой часто- те для независящих от температуры свойств пассивного материала с разными коэф- фициентами теплообмена 22; 5;10;15Вт / (м град)s   , соответственно, [48]. Звездоч- кой на оси ординат обозначено значение температуры деградации материала 100 Ckp   . Этой температуре на оси абсцисс соответствует значение амплитуды критической загруз- ки kpq . Типичная зависимость kpq от коэффициента теплообмена s представлена кривой на рис. 7.2 [48]. Из рис. 7.1, 7.2 видно, что значение критической загрузки kpq стремится к нулевому при полной теплоизоляции системы ( 0)s  и постепенно нарастает, стремясь к постоянной величине, при увеличении коэффициента теплообмена. 64 На рис. 7.3 представлена типичная зависимость максимальной ТДР от безразмерно- го времени для докритических (кривые 1, 2) и закритической (кривая 3) нагрузки [44]. Температура деградации материала отмечена крестиками. На рис. 7.4 представлены типичные кривые типа Веллера для разных коэффициентов теплообмена [44]. Крестиками отмечена температура деградации. Как видно, с увеличением коэффициента теплообмена критическая нагрузка увеличивается, что отвечает показанной на рис. 7.2 кривой. §8. Активное демпфирование резонансных колебаний пластин и оболочек при действии на них неизвестной механической нагрузки. В [43] предложен подход к активному демпфированию резонансных изгибных колебаний ортотропных вязкоупругих пластин при помощи совместного использова- ния сенсоров и актуаторов в случае, когда механическая нагрузка неизвестна. Суть Рис. 7.1 Рис. 7.2 Рис. 7.3 Рис. 7.4 65 его состоит в следующем. По показаниям сенсора (заряду или разности потенциалов) восстанавливаются амплитуда и фаза внешней нагрузки. После этого можно исполь- зовать первый из указанных выше методов, когда к актуатору подводится разность потенциалов, которую рассчитываем по уже известной нагрузке, определяемой по экспериментальным показаниям сенсора. Для примера рассмотрим прямоугольную пластину, на которую действует давле- ние, изменяющееся во времени по гармоническому закону с частотой, близкой к резо- нансной частоте пластины. Торцы пластины примем шарнирно опертыми. Для моде- лирования колебаний пластины используем гипотезы Кирхгофа – Лява (см. 3.2). Ог- раничимся исследованием демпфирования только изгибных колебаний. Пассивные слои могут быть металлическими, полимерными либо композитными. Примем их ор- тотропными, а пьезоактивные слои – трансверсально-изотропными и поляризованны- ми по толщине пластины. Если между слоями электроды отсутствуют, то на границе их раздела имеет место идеальный механический и электрический контакт. Диссипа- тивные свойства материалов пассивных и пьезоактивных слоев учитываем на основе концепции комплексных характеристик. Ограничимся случаем трехслойной пласти- ны, средний слой толщиной 0h которой изготовлен из пассивного (без пьезоэффекта) материала, а два внешних слоя одинаковой толщины 1h – из пьезоэлектрических ма- териалов с противоположным направлением поляризации. Для ортотропной пластины задача сводится к решению уравнения [43] 2 24 4 4 2 0 0 11 12 66 22 04 2 2 4 2 2 2( 2 ) ( , ) 0. M Mw w w D D D D w p x y x x y y x y                       (8.1) Здесь все жесткостные характеристики – комплексные. Для шарнирного опирания торцов пластины решение уравнения (8.1) имеет вид 2 2 4 2 2 4 2 11 12 66 22 ( ) . [ (2 ) ] mn m n mn mn m m n n mn p k p M w D k D D k p D p          (8.2) Из (8.2) следует, что для компенсации внешней механической нагрузки к актуатору необходимо подвести разность потенциалов, определяемую из соотношения 1 2 2 31 0 1/ ( ) ( ).mn mn m nV p k p h h   (8.3) При этом амплитуда колебаний на рассматриваемой моде будет равна нулю. Для равномерного механического давления 0 constp  из формулы (8.3) следует, что для компенсации первой моды необходимо приложить разность потенциалов 1 2 2 3111 11 1 1 0 1 11 0 1 1 11 0 1 1/ ( ) ( ); 4 / ; 4 / .V p k p h h p p k p V V k p     (8.4) Основные недостатки подхода, основанного на формулах (8.3), (8.4), состоят в том, что: 1) свободные колебания не демпфируются; 2) необходимо знать внешнюю меха- ническую нагрузку. Первый из указанных недостатков устраняется за счет диссипа- тивных свойств материалов. Для устранения второго недостатка используем показа- ния сенсора, покрывающего площадь 1.S Для коротко замкнутых электродов величи- на заряда определяется выражением 1 31 0 1 1 2 ( ) ( ) ( ) . S Q h h dxdy      (8.5) Для разомкнутых электродов разность потенциалов определяем по формуле 1 1 33/ .SV h Q S  (8.6) 66 Рассмотрим демпфирование основной моды. Для нее из (8.5), (8.6) получаем сле- дующие выражения для показаний сенсора: 11 31 0 1 1 1 1 1 114 ( )( / / ) ;Q h h k p p k w   (8.7) 1 0 1 31 1 1 11 11 1 33 1 1 4 ( ) .S h h h k p V w S p k          (8.8) Решение задачи о резонансных механических колебаниях на первой моде пла- стинки с шарнирным опиранием ее торцов имеет следующий вид: 11 11 4 2 2 4 2 11 1 12 66 1 1 22 1 11 . [ (2 ) ] p w D k D D k p D p        (8.9) Подставляя (8.9) в (8.7) или (8.8), получаем связь между показаниями сенсора и на- грузкой 4 2 2 4 2 11 11 1 12 66 1 1 22 1 11 11 31 0 1 1 1 1 1 [ (2 ) ] ; 4 ( )( / / ) Q D k D D k p D p p h h k p p k           4 2 2 4 2 11 1 33 11 1 12 66 1 1 22 1 11 11 31 0 1 1 1 1 1 [ (2 ) ] . 4 ( )( / / ) SV S D k D D k p D p p h h k p p k            (8.10) Подставим полученную из выражений (8.10) нагрузку в формулу (8.4) для разно- сти потенциала, компенсирующую данную нагрузку. В результате получим выраже- ния для этого потенциала в таком виде: 4 2 2 4 2 11 11 1 12 66 1 1 22 1 11 11 2 2 2 2 31 0 1 1 1 1 1 1 1 [ (2 ) ] ; 4 ( ) ( / / )( ) Q D k D D k p D p V h h k p p k k p            4 2 2 4 2 11 1 33 11 1 12 66 1 1 22 1 11 11 2 2 2 2 31 0 1 1 1 1 1 1 1 [ (2 ) ] . 4 ( ) ( / / )( ) SV S D k D D k p D p V h h k p p k k p             (8.11) Таким образом, при использовании предлагаемого подхода к актуатору подводит- ся разность потенциалов, определяемая через экспериментальные показания сенсора по формулам (8.11). При таком подходе необходимо знать лишь электромеханические свойства материалов пластины и ее размеры. При численном решении задачи посту- паем следующим образом. Решим эталонную задачу о резонансных колебаниях пла- стины при действии на нее единичной нагрузки, когда 11 1Па.p  По формулам (8.5), (8.6) определим показания сенсора (1) SV или (1) SQ . При неизвестной нагрузке 11p пока- зания сенсора будут равны: (1) 11s SV p V . (8.12) Здесь обе величины SV и (1) SV известны: первая равна показанию сенсора при неиз- вестной нагрузке, а вторая равна показанию сенсора при единичной нагрузке. Из (8.12) определяем неизвестную нагрузку (1) 11 / .s Sp V V (8.13) Для расчета разности потенциалов, которую необходимо подвести к актуатору для компенсации неизвестной нагрузки, определим разность потенциалов (1) AV , кото- рую следует подвести к актуатору для компенсации единичной нагрузки 0 1Па.p  67 Тогда для компенсации нагрузки 11p к актуатору необходимо подвести разность по- тенциалов (1) 11A AV p V . (8.14) Подставляя (8.13) в (8.14), окончательно получаем формулу (1) (1)/A A S SV V V V  . Здесь величины (1) AV и (1) SV определяются из решения эталонных задач, а sV равна показателю сенсора. Для коротко замкнутых электродов все представленные выше рассуждения оста- ются без изменений. При этом в полученных выше формулах необходимо заменить (1) , S SV V на (1) , S SQ Q , соответственно. При численном решении последней задачи необходимо решить две отдельные за- дачи: 1) определить прогиб Pw пластины в центре при 0 1ПаP  , 0;AV  2) опреде- лить прогиб Ew пластины в центре при 0 0P  , 1AV В . Тогда (1) AV определим из со- отношения (1) / .A P EV w w Примеры использования этого метода представлены в статьях [45, 130, 132, 137]. Заключение. В данном обзоре представлены результаты исследований: по разработке моделей резонансных колебаний и диссипативного разогрева неупругих тонкостенных элемен- тов с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами; по развитию численно- аналитических методов решения соответствующих нелинейных связанных краевых задач; по исследованию влияния различных факторов на эффективность работы сен- соров и актуаторов и на эффективность активного демпфирования колебаний неупру- гих тонкостенных элементов путем анализа решения конкретных задач. Для моделирования термоэлектромеханического поведения пассивных и пьезоак- тивных материалов использована концепция комплексных характеристик. При этом рассмотрены два типа физической нелинейности: первый тип порождается зависи- мостью действительной и мнимой составляющих комплексных характеристик от тем- пературы и зависимостью диссипативной функции от температуры и деформаций; второй тип обусловлен зависимостью этих составляющих и диссипативной функции от деформаций. Рассмотрена также геометрическая нелинейность, обусловленная не- линейной зависимостью деформаций от перемещений. Для описания колебаний и диссипативного разогрева тонкостенных элементов конструкций использованы как классические гипотезы Кирхгофа – Лява, так и уточ- ненные гипотезы, которые дополняются адекватными им гипотезами о распределении электрических и тепловых полей. Для численного решения нелинейных краевых задач с использованием этих гипо- тез применены итерационные методы. При этом решение исходных нелинейных задач сведено к последовательности линейных задач механики и линейных задач теплопро- водности с известным источником тепла. Решения этих линейных задач получены с привлечением численных методов: метода дискретной ортогонализации (при решении одномерных задач) и метода конечных элементов (при решении двумерных задач). Для получения аналитических решений применен метод Бубнова – Галеркина. При исследовании демпфирования нестационарных колебаний использованы методы оп- тимального управления. Путем анализа числовых результатов исследовано влияние геометрических пара- метров сенсоров и актуаторов, их расположения, механических граничных условий, деформаций поперечного сдвига, физических нелинейностей первого и второго ти- пов, геометрической нелинейности как на эффективность работы сенсоров и актуато- ров, так и на эффективность активного демпфирования резонансных колебаний тон- костенных элементов с их помощью. Так, например, при шарнирном опирании торцов пластины работа пьезовключений при колебаниях на первом резонансе будет наибо- 68 лее эффективной при полном покрытии поверхностей пластины или оболочки пьезо- сенсорами и актуаторами. При жестком защемлении торцов существуют оптимальные размеры пьезовключений, обеспечивающие их наиболее эффективную работу; при полном же покрытии управлять колебаниями становится невозможно. Указанные выше типы физической нелинейности оказывают существенное влияние на такие фундаментальные динамические характеристики как амплитудно- и температурно- частотные характеристики и зависимость коэффициента демпфирования от частоты. Установлено, что при определенных условиях уровень температуры диссипатив- ного разогрева приводит к потере функциональной способности системы управления резонансными колебаниями тонкостенных элементов в результате достижения темпе- ратурой точки деградации материала. Для активного материала такой точкой является, например, точка Кюри, когда пьезоматериал теряет пьезоэффект и становится пассивным. Для пассивного материала точкой деградации является температура, при которой резко изменяются его механические свойства, например, точка плавления. Представлены методы определения критических электрических или механических нагрузок, при превышении которых температура достигает точки деградации материа- ла, а также методы определения критического времени при закритическом нагружении. Предложены методы демпфирования колебаний тонкостенных элементов конст- рукций по показаниям сенсора, когда механическая нагрузка неизвестна. Р Е ЗЮМ Е . Представлено моделі, чисельно-аналітичні методи та результати дослідження ви- мушених резонансних коливань і дисипативного розігріву непружних тонкостінних елементів конс- трукцій з п’єзоелектричними сенсорами та актуаторами при моногармонічному механічному й елек- тричному навантаженнях. Термомеханічна поведінка пасивних і п’єзоактивних матеріалів описується концепцією комплексних характеристик. Прийнято, що вони залежать від температури й інваріантів тензора деформацій. Для моделювання коливань і дисипативного розігріву тонкостінних елементів з сенсорами та актуаторами використано класичні й уточнені термомеханічні теорії. Розв’язки неліній- них зв’язаних задач термомеханіки тонкостінних елементів отримано з використанням ітераційних та чисельних методів. Розглянуто теплове руйнування вказаних елементів. Описано методи розрахунку критичних параметрів електричного та механічного моногармонічного навантаження, а також методи аналізу закритичного стану. Досліджено вплив різних факторів на ефективність активного демпфу- вання резонансних коливань непружних тонкостінних елементів конструкцій за допомогою п’єзо- електричних сенсорів та актуаторів. 1. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. – М.: Наука, 1974. – 446 с. 2. Бадалов Ф.Б. Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений наследст- венной теории вязкоупругости. – Ташкент: Мехнат, 1987.– 269 с. 3. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. – М.: Стройиздат, 1982. – 448 с. 4. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их приме- нение в преобразователях // Физическая акустика / Под ред. У.Мэзона. – М.: Мир, 1966. – Т. 1, ч. А. – С. 204 – 326. 5. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. – М.: Мир, 1965. – 200 с. 6. Боголюбов Н.Н. Одночастотные свободные колебания в нелинейных системах со многими степе- нями свободы // Сб. трудов Ин – та строительной механики АН УССР. – 1949.– № 10. – С. 9 – 21. 7. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1974. – 504 с. 8. Булат А.Ф., Дырда В.И., Карнаухов В.Г., Звягильский Е.Л., Кобец А.С. Термомеханическая теория вязкоупругих тел. – К: Наук. думка, 2013. – 428 с. – (Прикл. механика упруго-наследственных сред: В 3-х томах. – Т. 3). 9. Булат А.Ф., Дырда В.И., Карнаухов В.Г., Звягильский Е.Л., Кобец А.С. Вынужденные колебания и диссипативный разогрев неупругих тел. – К.: Наук. думка, 2014. – 520 с. – (Прикл. механика уп- руго-наследственных сред: В 3-х томах. – Т. 4). 10. Вибрации в технике: Справочник.: В 6-ти т. / Ред. cовет: В.Н.Челомей (пред.). – М.: Машино- строение, 1981. – Т. 6. Защита от вибрации и ударов / Под ред. К.В.Фролова, 1981. – 456 с. 11. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – М.:Наука, 1972. – 432 с. 69 12. Волосевич P.M., C.Грач. Нестационарные колебания вязкоупругого материала с термомеханиче- скими связями и со свойствами, зависящими от температуры // Тр. амер. Общ-ва инженеров- механиков // Прикл. механика. – 1965. – 32, № 3. – С. 162 – 165. 13. Горелик Б.М., Гончаров Л.П., Карнаухов В.Г. Экспериментально-теоретическое исследование теплообразования в коротком вязкоупругом цилиндре при циклическом сжатии // Пробл. проч- ности. – 1977. – № 1. – С. 68 – 70. 14. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной толщины. – К.: Наук. думка, 1981. – 516 с. 15. Гринберг Г.А. Канторович М.И., Лебедев М.И. О протекании теплового пробоя во времени // Журн. техн. физики. – 1940. – 10, № 3. – С. 199 – 216. 16. Гринченко В. Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. – К.: Наук. думка, 1989. – 290 с. – (Механика связанных полей в элементах конструкций: В 5-ти томах. Т. 5). 17. Гузь А.Н., Кабелка И., Маркуш Ш. и др. Динамика и устойчивость слоистых композитных мате- риалов / Под ред. Гузя А.Н. – К.: Наук. думка, 1991. – 368 с. 18. Давиденков Н.Н. О рассеянии энергии при вибрациях // Журн. техн. физики. – 1938. – 8, вып. 6. – C. 483 – 499. 19. Дубенец В.Г., Хильчевский В.В. Колебания демпфируемых композитных конструкций. Т. 1. – К.: Вища шк., 1995.– 226 с. 20. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. – М.: Наука, 1981. – 336 с. 21. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. – М.: Наука, 1970. – 280 с. 22. Ишлинский А. Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. – М.: Физматлит, 2003. – 704 с. 23. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости. – К.: Наук. думка, 1982. – 260 с. 24. Карнаухов В.Г. Термомеханіка зв’язаних полів в непружних матеріалах та елементах конструкцій при гармонічному навантаженні // Вісник Київ. ун-ту. Серія фізико-математичні науки. – 2013. – № 3. – С.142 – 145. 25. Карнаухов В.Г., Карнаухова Т.В. Резонансные изгибные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой круглой пластины с пьезоэлектрическими сенсорами // Теор. и прикл. механика. – 2009. – Вып. 45. – С. 124 – 130. 26. Карнаухов В.Г., Карнаухова Т.В. Демпфирование резонансных изгибных колебаний гибкой шар- нирно опертой вязкоупругой круглой пластины при совместном использовании сенсоров и ак- туаторов // Теор. и прикл. механика. – 2009. – Вып. 46. – С. 125 – 131. 27. Карнаухов В.Г., Карнаухова Т.В., Петренко Н.В., Пересунько М.В. Про застосування однієї анало- гії між задачами термомеханіки й термоелектромеханіки // Теор. и прикл. механика. – 2013. – № 6 (52). – С. 125 – 134. 28. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Связанные задачи теории вязкоупругих пластин и оболочек. – К.: Наук. думка, 1986. – 222 с. 29. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Электротермовязкоупругость. – К.: Наук. думка, 1988. – 328c. – (Механика связанных полей в элементах конструкций: В 5-ти т.; Т. 4). 30. Карнаухов В.Г., Козлов В.І., Жук Я.О., Карнаухова Т.В. Термомеханічна зв’язана теорія шаруватих оболонок з пасивними фізично нелінійними непружними шарами та розподіленими п’єзоелект- ричними включеннями для контролю нестаціонарних коливань // Матем. методи та фіз.-мех. по- ля. – 2001. – 44, № 3. – С. 96 – 106. 31. Карнаухов В.Г., Козлов В.І., Жук Я.О., Карнаухова Т.В. Термомеханічна зв’язана теорія гармоніч- них коливань шаруватих оболонок з фізично нелінійними непружними пасивними шарами й розподіленими п’єзоелектричними включеннями для контролю коливань // Матем. методи та фіз.-мех. поля. – 2001. – 44, № 4. – С. 113 – 122. 32. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Карнаухова Т.В. Влияние деформаций сдвига на коэффициент ак- тивного демпфирования колебаний прямоугольной пластины с шарнирным закреплением тор- цов // Теор. и прикл. механика. – 2006. – Вип. 42. – С. 112 – 117. 33. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Карнаухова Т.В. Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами // Фізи- ко-математичне моделювання та інформаційні технології. – 2008. – Вип. 8. – С. 48 – 68. 34. Карнаухов В. Г., Козлов В. И., Карнаухова Т.В. Тепловое разрушение неупругой шарнирно опер- той прямоугольной пластины с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при вынужден- ных резонансных изгибных колебаниях // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Серія «Механіка» – 2011. – Вип. 15, № 2, № 5. – С. 68 – 75. 70 35. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Карнаухова Т.В. Влияние деформаций сдвига на колебания и дисси- пативный разогрев оболочек вращения с пьезоэлектрическими слоями // Теор. и прикл. механи- ка. – 2013. – № 7 (53). – С. 137 – 148. 36. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Карнаухова Т.В. Влияние деформаций сдвига на эффективность ра- боты пьезоактуаторов при активном демпфировании резонансных колебаний цилиндрической панели // Теор. и прикл. механика. – 2014. – № 8 (54). – С. 106 – 113. 37. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Карнаухова Т.В. Вплив деформацій зсуву на ефективність роботи п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів при активному демпфуванні резонансних коливань не- пружних пластин і оболонок // Опір матеріалів і теорія споруд. – 2015. – № 95. – С. 75 – 95. 38. Карнаухов В.Г., Козлов А.В., Пятецкая Е.В. Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин при помощи распределенных пьезоэлектрических включений // Акустический вестник. – 2002. – 5, № 4. – С. 15 – 32. 39. Карнаухов В.Г., Михайленко В.В. Нелинейная термомеханика пьезоэлектрических неупругих тел при моногармоническом нагружении. – Житомир: ЖГТУ. – 2005. – 428 с. 40. Карнаухов В.Г., Ткаченко Я.В. Исследование гармонических колебаний двухслойной цилиндриче- ской оболочки с физически нелинейным пьезоэлектрическим слоем // Вестник Донецкого ун-та. Cерия А. Естественные науки. – 2006. – Вип. 2. – С. 107 – 113. 41. Карнаухов В.Г., Ткаченко Я.В., Зражевська В.Ф. Дослідження гармонічних коливань сферичної оболонки з фізично нелінійного п'єзоелектричного матеріалу // Матем. методи та фіз.-мех. поля. – 2007. – 50, № 1. – С. 125 – 129. 42. Карнаухов В.Г., Шевченко А.Ю., Карнаухова Т.В., Петренко Н.В. Влияние физической нелиней- ности и температуры диссипативного разогрева на эффективность работы сенсоров и актуаторов // Теорет. и прикл. механика. – 2010. – Вып. 47. – С. 11 – 19. 43. Карнаухова Т.В. О новом подходе к активному демпфированию вынужденных резонансных из- гибных колебаний изотропных вязкоупругих пластин / Доп. НАНУ. – 2009. – № 5. – С. 78 – 82. 44. Киричок И.Ф., Жук Я.А. Влияние граничных условий и температуры виброразогрева на резонанс- ные осесимметричные колебания вязкоупругих цилиндрических оболочек с пьезоактуаторами и сенсорами // Теор. и прикл. механика. – 2013. – Вып. 7(53). – С. 133 – 140. 45. Киричок І.Ф., Карнаухова Т.В. Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластин за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів // Фізико-математичне моделювання та ін- формаційні технології. – 2009. – Вип. 9. – С. 67 – 78. 46. Киричок І.Ф., Карнаухова Т.В. Резонансні коливання і вібророзігрів гнучких круглих пластинок з п'єзоактуаторами при шарнірному та жорсткому закріпленнях // Акуст. вісник. – 2011. – 14, № 1. – С. 40 – 48. 47. Киричок И.Ф., Карнаухова Т.В. Осесиметричні резонансні коливання і вібророзігрів в’язкопруж- ної циліндричної оболонки з п’єзоелектричними сенсорами при врахуванні температурної залеж- ності властивостей матеріалів // Вісник Київ. нац. ун-ту. Сер.: фіз-матем. науки. – 2013. – Вип. 3. – С. 150 – 153. 48. Киричок И.Ф., Карнаухова Т.В. Резонансні осесиметричні коливання і дисипативний розігрів в’язкопружної замкнутої сферичної оболонки і їх демпфування п’єзоелектричними сенсором та актуатором // Вісник Запорізького нац. ун-ту. – 2013. – № 1. – С. 59 – 66. 49. Киричок И.Ф., Карнаухова Т.В., Пересунько Н.В. Резонансные осесимметричные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих цилиндрических оболочек и их контроль с помощью пье- зоэлектрических актуаторов // Теор. и прикл. механика. – 2009. – Вып. 46. – С. 132 – 140. 50. Киричок І.Ф., П'ятецька О.В., Карнаухов М.В. Згинні коливання та дисипативний розігрів кільце- вої в'язкопружної пластинки з п'єзоелектричними актуаторами при електромеханічному монога- рмонічному навантаженні // Вісник Київ. ун-ту. Сер.: фіз-матем. науки. – 2006. – Вип. 2. – С. 84 – 92. 51. Киричок И.Ф., Шевченко А.Ю. Резонансные колебания и виброразогрев гибкой вязкоупругой балки с пьезоэлектрическими сенсорами // Теор. и прикл. механика. – 2012. – Вып. 4(50). – С. 177 – 185. 52. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. – К.: Наук. думка, 1970. – 308 с. 53. Козлов В.І., Карнаухова Т.В., Пересунько М.В. Демпфірування вимушених осесиметричних коли- вань жорстко закріпленої в’язкопружної циліндричної оболонки за допомогою п’єзоелектричних актуаторів // Вісник Донецького ун-ту. Серія А. Природничі науки. – 2008. – № 1. – С. 142 – 145. 54. Козлов В.І., Карнаухова Т.В., Пересунько М.В. Чисельне моделювання активного демпфування вимушених термомеханічних резонансних коливань в’язкопружних оболонок обертання за до- помогою п’єзоелектричних включень // Математичні методи та фізико-механічні поля. – 2009. – 52, № 3 – С. 116 – 126. 71 55. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. – М.: Машиностроение, 1965. – 272 с. 56. Малкин А.Я., Аскадский А.А., Коврига В.В. Методы измерения механических свойств полимеров. – М.: Химия, 1978. – 336 с. 57. Матвеев В.В. Демпфирование колебаний деформируемых тел.– К.: Наук. думка, 1985. – 264 с. 58. Механика композитов: В 12 – ти т., Т. 1 – 12 / Под общей редакцией А.Н.Гузя. – К.: «А.С.К.», 1992 – 2005. 59. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. – К.: Наук. думка, 1971. – 440 с. 60. Митропольский Ю.А. Нелинейная механика. Одночастотные колебания. – К.: Институт матема- тики НАН Украины, 1997. – 344 с. 61. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производ- ных. – К.: Выща шк. – 1976. – 589 с. 62. Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфирование колебаний.– М.: Мир, 1988. – 448 с. 63. Писаренко Г.С. Рассеяние энергии при механических колебаниях. – К.: Изд-во АН УССР. – 1962. – 436 с. 64. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала. – К.: Наук. думка, 1970. – 377 с. 65. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Вибропоглощающие свойства конструкционных матриалов: Справочник. – К.: Наук. думка, 1971. – 375 с. 66. Потураев В.Н., Дырда В.И., Карнаухов В.Г. и др. Термомеханика эластомерных элементов конст- рукций при циклическом нагружении. – К.: Наук. думка, 1987. – 288 с. 67. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 1966. – 752 с. 68. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. – М.: Наука, 1977. – 384 с. 69. Рассказов А.О., Соколовская И.И., Шульга Н.А. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек. – К.: Вища школа, 1986. – 191 с. 70. Савченко Е.В. Пассивное демпфирование колебаний композитных конструкций. – Нежин: «Ас- пект – Полиграф», 2006. – 232 с. 71. Свойства полимеров и нелинейная акустика. Физическая акустика / Под ред. У.Мезона. Т. 2. Часть Б. – М.: Мир, 1969. – 420 с. 72. Сканави Г.Н. Физика диэлектриков. Т. 2. – М.: Физмагиз, 1958. – 980 с. 73. Старовойтов Э.И. Вязкоупругопластическкие слоистые пластины и оболочки. – Гомель: Бел- ГУТ, 2003. – 343 с. 74. Физика диэлектриков / Александров А.П., Вальтер А.Ф., Вул Б.М. и др.; / Отв. ред. А.Ф.Вальтер – Л.; М.: ГТТИ, 1932. – 560 с. 75. Франц В. Пробой диэлектриков. – М.: Изд-во иностр. лит., 1961. – 208 с. 76. Хильчевский В.В., Дубенец В.Г. Рассеяние энергии при колебаниях тонкостенных элементов кон- струкций. – К.: Вища шк., 1977. – 250 с. 77. Численное решение краевых задач статики ортотропных оболочек вращения на ЭВМ типа М-220 / Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Василенко А.Т. и др. – К.: Наук. думка, 1971. – 152 с. 78. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ-42. – К.: Наук. думка, 1966. – 244 с. 79. Шевченко Ю.Н., Савченко В.Г. Механика связанных полей в элементах конструкций: в 5 т. Т. 2: Термовязкопластичность / Под общей ред. А.Н. Гузя. – К.: Наук. думка, 1987. – 264 с. 80. Шепери Р.А. Влияние циклического нагружения на температуру вязкоупругого материала с изме- няющимися свойствами // Ракет. техника и космонавтика. – 1964. – 2, № 5. – С. 55 – 56. 81. Шепери Р.А. Термомеханическое поведение вязкоупругих сред с переменными свойствами при циклическом нагружении // Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Прикл. механика. – 1965. – № 3. – С. 150 – 161. 82. Шульга Н.Ф., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел. – К.: Наук. думка, 1990. – 228 с. 83. Шульга Н.А., Карлаш В.Л. Резонансні електромеханічні коливання п’єзоелектричних пластин. – К.: Наук. думка, 2008. – 272 с. 84. Blanter M.S., Golovin I.S., Neuauser H., Sinning H.R. Internal friction in metallic materials. – Handbook.: Springer Verlag, 2007. – 540 p. 85. Bodner S.R. Unified plasticity – an engineering approach. – Haifa: Israel Institute of Technology, 2000. – 106 p. 72 86. Bodner S.R., Partom Y. Constitutive equation for elastoviscoplastic strain hardening materials // Trans. ASME. J.Appl. Mech. – 1975. – 42. – P. 385 – 389. 87. Boiko A.V., Kulik V.M., Seoudi B.M., Chun H.H., Lee I. Measurement method of complex viscoelastic material properties // Int. J. Solid and Str. – 2010. – 47. – P. 374 – 382. 88. Dinzart F., Molinari A., Herbabach R. Thermomechanical response of a viscoelastic beam under cyclic bending; self-heating and thermal failure // Arch. Mech. – 2008. – 60, N 1. – P. 59 – 85. 89. Encyclopedia of Smart Materials, 1 – 2 (ed. Schwartz, Mal). – New York: Wiley & Sons, 2002. – 1176 p. 90. Gabbert U. Tzou H.S. Smart Structures and Structronic Systems.– Dordrecht / Boston / London: – Kluver Academic Pub.; – 2001. – 384 p. 91. Gandhi F. Influence of Nonlinear Viscoelastic Material Characterization on Performance of Constrined Layer Damping Treatment // AIAA Journal. – 2001. – 39, N 5. – P. 924 – 931. 92. Guz I.A, Zhuk Y.A., Kashtalyan M. Vibration analysis of thin-wall structures containing piezoactive lay- ers/IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering, 10 (2010) 012174 doi:10.1088/1757- 899X/10/1/012174. 93. Guz I.A., Zhuk Y.A., Kashtalyan M. Dissipative Heating and Thermal Fatigue Life Prediction for Struc- tures Containing Piezoactive Layers // Technische Mechanik. – 2012. – 32, 2 – 5. – P. 238 – 250. 94. Guz I.A., Zhuk Y.A., Sands C.M. Analysis of the vibrationally induced dissipative heating of thin-wall structures containing piezoactive layers // Int. J. of Non-Linear Mechanics. – 2012. – 47. – P. 105 – 116. 95. Jones D.I. Handbook of Viscoelastic Vibration Damping. – New York: Wiley&Sons, 2001. – 412 p. 96. Karnaukhov V.G. Thermal Failure of Polymer Structural Elements under Monoharmonic Deformation (Review) // Int. App. Mech. – 2004. – 40, N 6. – P. 622 – 655. 97. Karnaukhov V.G. Thermomechanics of coupled fields in passive and piezoactive inelastic bodies under harmonic deformations (Review) // J. of Thermal Stresses. – 2005. – 28, N 6 – 7. – P. 783 – 815. 98. Karnaukhov V.G. Thermomechanics of coupled fields in passive and piezoactive inelastic bodies under harmonic deformations // Proc. of 6th Int. Congr. on Thermal Stresses (Vienna, Austria, May 2005). – Vienna.: Vienna University of Technology, 2005. – P. 29 – 34. 99. Karnaukhov V.G. The Forced Harmonic Vibrations and Dissipative Heating of Nonelastic Bodies. In: Encyclopedia of Thermal Stresses. In 11 volumes. (Ed: R. B. Hetnarski). – New York, Dordrecht: Springer, 2014. – 7, N – P. – P. 3910 – 3919. 100. Karnaukhov V.G. Piezothermo-Inelastic Behaviour of Structural Elements: Vibrations and Dissipative Heating. In: Encyclopedia of Thermal Stresses. In 11 volumes. (Ed: R. B. Hetnarski). – New York, Dordrecht: Springer, 2014. 4, F – G. – P. 1711 – 1722. 101. Karnaukhov V.G., Karnaukhova T.V. Influence of temperature of dissipative heating on an active damping of the rezonant bending vibrations of a flexible rectangular plate by the distributed sensors and actuators // J. of Math. Sci. – 2009. – 161, N 1. – P. 54 – 61. 102. Karnaukhov V.G., Karnaukhova T.V., Mc. Gillicaddy O. Thermal failure of flexible rectangular viscoelas- tic plates with distributed sensors and actuators // J. of Engineering Math. – 2013. – 78, N 1. P. 199 – 212. 103. Karnaukhov V. G., Karnaukhova T. V., Kozlov V. I., Luts V. K. Influence of dissipation and vibroheat- ing on the vibration characteristics of three-layer piezoelectric shells of revolution // Akust. Vestn. – 2001. – 4, 3. – P. 39 – 52. 104. Karnaukhov V. G. Kyrychok I. F. Forced Harmonic Vibrations and Dissipative Heating-up of Viscoe- lastic Thin-Walled Elements (Review) // Int. App. Mech. – 2000. – 36, N 2. – P. 174 – 195. 105. Karnaukhov V.G., Kirichok I.F., Karnaukhov M.V. The Influence of dissipative heating on active vibra- tion damping of viscoelastic plates // J. Eng.Math. – 2008. – 61, N 2 – 4. – P. 399 – 411. 106. Karnaukhov V. G., Kirichok I. F., Kozlov V. I. Electromechanical Vibrations and Dissipative Heating of Viscoelastic thin-walled Piezoelements (Review) // Int. App. Mech. – 2001. – 37, N 2. – P. 182 – 212. 107. Karnaukhov V.G., Kozlov V.I., Karnaukhova T.V. Influence of dissipative heating on active damping of forced resonance vibrations of flexible viscoelastic cylindrical panel by piezoelectric actuators // J. of Math. Sci. – 2012. – 183, 2. – P. 205 – 221. 108. Karnaukhov V. G., Mikhailenko V. V. Nonlinear Single-Frequency Vibrations and Dissipative Heating of Inelastic Piezoelectric Bodies (Review) // Int. App. Mech. – 2002. – 38, N 5. – P. 521 – 547. 109. Karnaukhov V. G., Senchenkov I. K. Generaled Models of the Thermomechanical Behavior of Viscoe- lastic Materials with Allowance for the Interaction of Mechanical and Thermal Fields (Review) // Int. App. Mech. – 2000. – 36, N l. – P. 40 – 63. 110. Karnaukhov V.G., Tkachenko Ya.V. Damping the Vibrations of a Rectangular Plate whith Piezoelectric Actuators // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 3. – P. 182 – 187. 111. Karnaukhov V. G., Tkachenko Ya.V. Influence of Shear Strains on Damping the Vibrations of a Rectan- gular Plate with Dielectric Actuators // Int. App. Mech. – 2009. – 45, N 12. – P. 1365 – 1373. 73 112. Karnaukhov V. G. Tkachenko Ya.V. Active Damping of the Resonant Vibrations of a Flexible Rectan- gular Plate // Int. App. Mech. – 2011. – 47, N 4. – P. 457 – 463. 113. Karnaukhova T.V. Thermal depolarization of a piezoelectric layer under harmonic quazistatic electric loading // Prikl. Mekh. – 1998. – 34, N 4. – P. 81 – 84. 114. Karnaukhova T.V. Active Damping of Vibrations of Plates Subjected to Unknown Pressure // Int. App. Mech. 2010. – 46, N 5. – P. 562 – 566. 115. Karnaukhova T.V. Damping the Vibrations of a Clamped Plate Using the Sensor’s Reading // Int. App. Mech. – 2010. – 46, N 6. – P. 683 – 686. 116. Karnaukhova T.V. Influence of the temperature of dissipative heating on the damping of forced the resonance vibrations of a simply supported viscoelastic cylindrical panel with the help of piezoelectric actuators // J. of Math. Sci. – 2010. – 167, 2. – P. 173 – 181. 117. Karnaukhova T.V. Influence of the temperature of dissipative heating on the damping of forced reso- nance vibrations of unelastic rectangular plates // J. of Math. Sci. – 2010. – 165, 2. – P. 264 – 273. 118. Karnaukhova T.V. Active damping of forced resonance vibrations of an isotropic shallow viscoelastic cylindrical panel under the action of an unknown mechanical load // J. of Math. Sci. – 2010. – 168, 4. – P. 603 – 612. 119. Karnaukhova T.V., Pyatetskaya E. V. Basic Eguations for Thermoviscoelastic Plates with Distributed Actuators under Monoharmonic Loading // Int. App. Mech. – 2009. – 45, N 2. – P. 200 – 214. 120. Karnaukhova T.V., Pyatetskaya E. V. Damping the Resonant Flexural Vibration a Hinged Plate with Actuators // Int. App. Mech. – 2009. – 45, N 4. – P. 448 – 456. 121. Karnaukhova T.V., Pyatetskaya E. V. Damping the Flexural Vibration a Clamped Viscoelastic Rectan- Gular Plate with Piezoelectric Actuators // Int. App. Mech. – 2009. – 45, N 5. – P. 546 – 557. 122. Karnaukhova T.V., Pyatetskaya E. V. Basic Relations of the Theory of the Thermoviscoelastic Plates with Distributed Sensors // Int. App. Mech. – 2009. – 45, N 6. – P. 660 – 669. 123. Karnaukhova T.V., Pyatetskaya E. V. The Resonant Flexural Vibrations of a Hinged Viscoelastic Plate with Sensors // Int. App. Mech. – 2009. – 45, N 7. – P. 762 – 771. 124. Karnaukhova T.V., Pyatetskaya E. V. Resonant vibrations of a clamped viscoelastic rectangular plate // Int. App. Mech. – 2009. – 45, N 8. – P. 904 – 916. 125. Karnaukhova T.V., Pyatetskaya E. V. Basic Relations of the Theory of the Thermoviscoelastic Plates with Distributed Sensors and Actuators // Int. App. Mech. – 2010. – 46, N 1. – P. 78 – 85. 126. Karnaukhova T.V., Pyatetskaya E. V. Resonant Vibrations of a Hinged Viscoelastic Rectangular Plate with Sensors and Actuators // Int. App. Mech. – 2010. – 46, N 2. – P. 213 – 220. 127. Karnaukhova T.V., Pyatetskaya E. V. Resonant Vibrations of a Clamped Thermoviscoelastic Rectangu- lar Plate with Sensors and Actuators // Int. App. Mech. – 2010. – 46, N 3. – P. 296 – 303. 128. Кirichok I.F. Resonant Vibration and Heating of Ring Plates with Piezoactuators under Electrome- chanical Loading and Shear Deformation // Int. App. Mech. – 2009. – 45, N 2. – P. 214 – 222. 129. Kirichok I.F. Resonance Vibration and Dissipative Heating of a Rigidly Clamped Thermoviscoelastic Beam with Piezoactuators // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 4. – P. 421 – 429. 130. Кirichok I.F. Control of Axisymmetric Resonant Vibrations and Self-Heating of Shells of Revolution with Piezoelectric Sensors and Actuators // Int. Appl. Mech. – 2011. – 46, N 8. – P. 890 – 901. 131. Kirichok I.F. Forced Monoharmonic and Vibro –Heating of Viscoelastic Flexible Circular Plates with Piezolayers // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 6. – P. 715 – 725. 132. Kirichok I.F., Karnaukhov M.V. Monoharmonic Vibrations and Vibrational Heating of an Electrome- chanically Loaded Circular Plate with Piezoelectric Actuators Subject to Shear Strain // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 9. – P. 1041 – 1049. 133. Kirichok I.F., Mikhailenko V.V. Davidchuk S. P. Nonlinear Vibrations and Vibroheating of a Viscoelas- tic Rod with Cubic Elasticity // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 9. – P. 1125 – 1130. 134. Kozlov V.I., Karnaukhova T.V., Peresun’ko M.V. Numerical modeling of the active damping of forced thermomechanical resonance vibrations of viscoelastic shells of revolution with the help of piezoelec- tric inclusions // J. of Math. Sci. – 2010. – 171, 5. – P. 565 – 578. 135. Kubenko V.D., Yanchevsky I.V. Active damping of nonstationaty vibrations of a rectangular plate under impulse loading // Journal of Vibration and Control. – 2013. – 19, N 10. – P. 1514 – 1523. 136. Кyrychok I.F. Forced Resonant Vibrations and Self-Heating of a Flexible Circular Plate with Piezoac- tuators // Int. Appl.Mech. – 2012. – 48, N 5. – P. 583 – 591. 137. Kyrychok I.F., Karnaukhova T.V. Influence of boundary conditions and temperature of dissipative heat- ing on active damping of forced axisymmetric resonant bending vibrations of circular viscoelastic plates by piezoelectric sensors and actuators // J. of Math. Sci. – 2011. – 178, N 5. – P. 480 – 495. 74 138. Lazan B. Damping of materials and members in structural mechanics. – Oxford : Pergamon Press, 1968. – 318 p. 139. Li Z., Crocker M.J. A review on vibration damping in sandwich composite structures // Int. J. Acoust. Vib. – 2005. – 10, N 4. – P. 159 – 169. 140. Namita Nanda. Non-linear free and forced vibrations of piezoelectric laminated shells in thermal envi- ronments // The IES J., Part A: Civil & Structural Engineering. – 2010. – 3, N 3. – P. 147 – 160. 141. Ohno N. and Satra M. Detailed and simplified elastoplastic analysis of a cyclically loaded notched bar // J. of Engineering Materials and Technology. – 1987. – 109, N 3. – P. 194 – 202. 142. Pal'mov V.A. Vibrations of Elasto-Plastic Bodies. – New York: Springer, 1998. – 311 p. 143. Sabat R.G., Mukherjee B., Ren W., Yung G. Temperature dependence of the complete material coeffi- cients matrix of soft and hard doped piezoelectric lead zirconate titanate ceramics // J. Appl. Phys. – 2007. – 101. – P. 06411-1-7. 144. Sabat R.G., Ren W., Yung G., Mukherjee B. Temperure dependence of the dielectric, elastic and piezo- electric material constants of lead zirconate titanate (PZT) ceramic // Smart Srtructure and Materials. – 2006. – P. 6 1700A-61700A-8. 145. Senchenkov I.K., Zhuk Ya.A., Karnaukhov V.G. Modelling of the Thermomechanical Behaviour of Physically Nonlinear Materials under Monoharmonic Loading (Review) // Int. App. Mech. – 2004. – 40, N 9. – P. 943 – 969. 146. Senchenkov I.K., Karnaukhov V.G. Thermomechanical Behaviour of Nonlinearly Viscoelastic Materials under Monoharmonic Loading (Review) // Int. App. Mech. – 2001. – 37, N 11. – P. 1400 –1432. 147. Senchenkov I.K., Karnaukhov V.G., Kozlov V.I., Chervinko O. P. Steady Oscillations and Dissipative Heating of Viscoelastic Bodies with Periodical Load // Int. App. Mech. – 1986. – 22, N 6. – P. 538 – 544. 148. Senchenkov I.K., Tabieva G.A. Determination of the Parameters of the Bodner-Partom Model for Ther- moviscoplastic Deformation of Materials // Int. App. Mech. – 1996. – 32, №. 2. – P. 132 – 139. 149. Senchenkov I.K., Tabieva G.A., Zhuk Ya.A., Chervinko O.P. Monoharmonic Approximation in the Defor- mation of Viscoplastic Bodies with a Harmonic Load // Int. App. Mech. – 1997. – 33, N 7. – P. 560 – 566. 150. Tani J., Takagi T., Qui J. Intelligent material systems: Application of functional materials // Appl. Mech. Rev. – 1998. – 51, N 8. – P. 505 – 521. 151. Ting E.C. Thermomechanical coupling effects in the longitudinal oscillations of a viscoelastic cylinder // The J. Acoust. Soc. Amer. – 1972. – 52, N 3. – Р. 928 – 934. 152. Tormey J.F., Britton S.C. Effect of cyclic loading on solid propellant grain structures/ AIAA J. – 1963. – 1, № 8. – P. 1763 – 1770. 153. Tzou H.S. Piezoelectric Shells (Distributed Sensing and Control of Continua). – Boston - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1993. – 382 p. 154. Tzou H.S., Bergman L.A. Dynamics and Control of Distributed Systems. – Cambridge: Cambridge University Press, 1998. – 374 p. 155. Young R.W. Thermomecbanical response of viscoelastic rod driven by a sinusoidal displacement // Int J. Sol.Struct. – 1977. – 13, N 10. – P. 925 – 936. 156. Zhuk Ya.A., Guz I.A. Active Damping of the Forced Vibration of a Hinged Beam with Piezoelectric Layer, Geometrical and Physical Nonlinearities Taken into Account // Int. App. Mech. – 2009. – 45, N 1. – P. 94 – 108. 157. Zhuk Ya., Senchenkov I. Monoharmonic Approach to Investigation of the Vibrations and Selfheating of Thinwall Inelastic Members // J. of Civil Engineering and Management. – 2009. – 15, 1. – P. 67 – 75. 158. Zhuk Y.A., Guz I.A., Sands C.M. Monoharmonic approximation in the vibration analysis of a sandwich beam containing piezoelectric layers under mechanical or electrical loading // J. of Sound and Vibra- tion. – 2011. – 330. – P. 4211 – 4232. Поступила 21.03.2016 Утверждена в печать 29.11.2016
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-158739
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0032-8243
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T17:09:04Z
publishDate	2017
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
record_format	dspace
spelling	Карнаухов, В.Г. Киричок, И.Ф. Козлов, В.И. 2019-09-12T09:13:31Z 2019-09-12T09:13:31Z 2017 Термомеханика неупругих тонкостенных элементов конструкций с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении (обзор) / В.Г. Карнаухов, И.Ф. Киричок, В.И. Козлов // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 1. — С. 9-74. — Бібліогр.: 158 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158739 Представлено моделі, чисельно-аналітичні методи та результати дослідження вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву непружних тонкостінних елементів конструкцій з п’єзоелектричними сенсорами та актуаторами при моногармонічному механічному й електричному навантаженнях. Термомеханічна поведінка пасивних і п’єзоактивних матеріалів описується концепцією комплексних характеристик. Прийнято, що вони залежать від температури й інваріантів тензора деформацій. Для моделювання коливань і дисипативного розігріву тонкостінних елементів з сенсорами та актуаторами використано класичні й уточнені термомеханічні теорії. Розв’язки нелінійних зв’язаних задач термомеханіки тонкостінних елементів отримано з використанням ітераційних та чисельних методів. Розглянуто теплове руйнування вказаних елементів. Описано методи розрахунку критичних параметрів електричного та механічного моногармонічного навантаження, а також методи аналізу закритичного стану. Досліджено вплив різних факторів на ефективність активного демпфування резонансних коливань непружних тонкостінних елементів конструкцій за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів. The models, numerical-analytical methods and results of studying the forced resonance vibrations and dissipative heating of the thin-wall inelastic structural members with piezoelectric sensors and actuators under monoharmonic mechanical and electric loading are presented. The thermomechanical behavior of passive and piezoactive materials is described using the concept of complex characteristics. It is assumed that these characteristics depend on temperature and the strain tensor invariants. The classical and refined thermomechanical theories are used in modeling the vibrations and dissipative heating of the thin-wall structural members with sensors and actuators. The solutions of nonlinearly coupled problems of thermomechanics of thin-wall structural members are obtained by use of iteration and numerical methods. The thermal failure of the structural members is considered. The methods of analysis of the critical parameters of electrical and mechanical monoharmonic loading as well as the methods of analysis of postcritical state are described. An influence of different factors on effectiveness of active damping of the resonance vibrations of inelastic thin-wall structural members by the piezoelectric sensors and actuators is studied. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Термомеханика неупругих тонкостенных элементов конструкций с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении (обзор) Thermomechanics of Inelastic Thin-Wall Structural Members with Piezoelectric Sensors and Actuators under Harmonic Loading (review) Article published earlier
spellingShingle	Термомеханика неупругих тонкостенных элементов конструкций с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении (обзор) Карнаухов, В.Г. Киричок, И.Ф. Козлов, В.И.
title	Термомеханика неупругих тонкостенных элементов конструкций с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении (обзор)
title_alt	Thermomechanics of Inelastic Thin-Wall Structural Members with Piezoelectric Sensors and Actuators under Harmonic Loading (review)
title_full	Термомеханика неупругих тонкостенных элементов конструкций с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении (обзор)
title_fullStr	Термомеханика неупругих тонкостенных элементов конструкций с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении (обзор)
title_full_unstemmed	Термомеханика неупругих тонкостенных элементов конструкций с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении (обзор)
title_short	Термомеханика неупругих тонкостенных элементов конструкций с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении (обзор)
title_sort	термомеханика неупругих тонкостенных элементов конструкций с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении (обзор)
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158739
work_keys_str_mv	AT karnauhovvg termomehanikaneuprugihtonkostennyhélementovkonstrukciispʹezoélektričeskimisensoramiiaktuatoramiprigarmoničeskomnagruženiiobzor AT kiričokif termomehanikaneuprugihtonkostennyhélementovkonstrukciispʹezoélektričeskimisensoramiiaktuatoramiprigarmoničeskomnagruženiiobzor AT kozlovvi termomehanikaneuprugihtonkostennyhélementovkonstrukciispʹezoélektričeskimisensoramiiaktuatoramiprigarmoničeskomnagruženiiobzor AT karnauhovvg thermomechanicsofinelasticthinwallstructuralmemberswithpiezoelectricsensorsandactuatorsunderharmonicloadingreview AT kiričokif thermomechanicsofinelasticthinwallstructuralmemberswithpiezoelectricsensorsandactuatorsunderharmonicloadingreview AT kozlovvi thermomechanicsofinelasticthinwallstructuralmemberswithpiezoelectricsensorsandactuatorsunderharmonicloadingreview

Термомеханика неупругих тонкостенных элементов конструкций с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами при гармоническом нагружении (обзор)

Репозитарії

Схожі ресурси