Stressed State of a Hollow Cylinder with a System of Cracks under Longitudinal Shear Harmonic Oscillations
This paper solves the problem of determining the stress state near cracks in an infinite hollow cylinder of arbitrary cross section during longitudinal shear oscillations. We propose an approach that allows us to separately satisfy conditions both on the cracks and boundaries of a cylinder. The prob...
Saved in:
| Published in: | Проблеми машинобудування |
|---|---|
| Date: | 2019 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2019
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158813 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Stressed State of a Hollow Cylinder with a System of Cracks under Longitudinal Shear Harmonic Oscillations / O.I. Kyrylova, V.H. Popov // Проблеми машинобудування. — 2019. — Т. 22, № 1. — С. 16-24. — Бібліогр.: 13 назв. — англ, укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860113535732809728 |
|---|---|
| author | Kyrylova, O.I. Popov, V.H. |
| author_facet | Kyrylova, O.I. Popov, V.H. |
| citation_txt | Stressed State of a Hollow Cylinder with a System of Cracks under Longitudinal Shear Harmonic Oscillations / O.I. Kyrylova, V.H. Popov // Проблеми машинобудування. — 2019. — Т. 22, № 1. — С. 16-24. — Бібліогр.: 13 назв. — англ, укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблеми машинобудування |
| description | This paper solves the problem of determining the stress state near cracks in an infinite hollow cylinder of arbitrary cross section during longitudinal shear oscillations. We propose an approach that allows us to separately satisfy conditions both on the cracks and boundaries of a cylinder. The problem reduces to the equations of motion in a flat domain with the defects bounded by arbitrary smooth closed curves under anti-plane deformation conditions.
В роботі розв’язана задача з визначення напруженого стану поблизу тріщин в нескінченному порожнинному циліндрі довільного перерізу під час коливань повздовжнього зсуву. Запропоновано підхід, що дозволяє окремо задовольнити умови на тріщинах та на границях циліндра. Задача зводиться до рівнянь руху в плоскій області з дефектами, обмеженими довільними гладкими замкненими кривими, в умовах антиплоскої деформації.
В работе решена задача по определению напряженного состояния вблизи трещин в бесконечном полом цилиндре произвольного сечения при колебаниях продольного сдвига. Предложен подход, позволяющий отдельно удовлетворить условия на трещинах и на границах цилиндра. Задача сводится к уравнениям движения в плоской области с дефектами, ограниченными произвольными гладкими замкнутыми кривыми, в условиях антиплоской деформации.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:35:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Проблеми машинобудування, 2019, Т. 22, № 1
УДК 539.3
НАПРУЖЕНИЙ СТАН
ПОРОЖНИННОГО
ЦИЛІНДРА
З СИСТЕМОЮ ТРІЩИН
ЗА ГАРМОНІЧНИХ
КОЛИВАНЬ
ПОВЗДОВЖНЬОГО
ЗСУВУ
О. І. Кирилова
olga.i.kyrylova@gmail.com
ORCID: 0000-0002-9221-182X
В. Г. Попов
dr.vg.popov@gmail.com
ORCID: 0000-0003-2416-642X
Національний університет
«Одеська морська академія»,
65029, Україна, м. Одеса,
вул. Дідріхсона, 8
В роботі розв’язана задача з визначення напруженого стану поблизу трі-
щин в нескінченному порожнинному циліндрі довільного перерізу під час
коливань повздовжнього зсуву. Запропоновано підхід, що дозволяє окремо
задовольнити умови на тріщинах та на границях циліндра. Задача зво-
диться до рівнянь руху в плоскій області з дефектами, обмеженими дові-
льними гладкими замкненими кривими, в умовах антиплоскої деформації.
Схема розв’язання базується на використанні розривних розв’язків рівнянь
руху пружного середовища зі стрибками переміщень на поверхнях дефек-
тів. Переміщення в циліндрі з дефектами подаються сумою розривних
розв’язків, побудованих для кожного дефекту, і невідомої характерної фу-
нкції, що забезпечує виконання умов гармонічного навантаження на межах
тіла. Ця функція розшукується у вигляді комбінації лінійно незалежних
розв’язків рівнянь теорії пружності у частотній області з невідомими
коефіцієнтами. Сконструйоване подання дає змогу окремо задовольнити
крайові умови на поверхні дефектів з отриманням сукупності систем інте-
гральних рівнянь, що відрізняються тільки правими частинами і не зале-
жать від форми межі тіла. Отримані системи інтегральних рівнянь
розв’язуються методом механічних квадратур. Далі задовольняються умо-
ви на границях циліндричного тіла, з яких методом колокацій визначаються
невідомі коефіцієнти введеної характерної функції. Застосовуючи запро-
понований підхід, проведено розрахунки коефіцієнтів інтенсивності на-
пружень в околі дефектів, за допомогою яких досліджено вплив на їхні зна-
чення частоти та розташування дефектів.
Ключові слова: порожнинний циліндр, гармонічні коливання, коефіцієнти
інтенсивності напружень, система тріщин.
Вступ
Дослідження напруженого стану обмежених тіл з тріщинами є актуальним як для встановлен-
ня умов руйнування тіл через оцінку коефіцієнтів інтенсивності динамічних напружень в околі трі-
щин, так і діагностики таких дефектів, виходячи з інформації про їхній вплив на резонансні частоти.
Отримані результати у цьому напрямі переважно належали до необмежених та напівобмежених тіл з
дефектами [1–4]. Ситуацій, де тіла займають обмежену область, розглянуто значно менше. Це
пов’язано з тим, що із застосуванням методу граничних інтегральних рівнянь вихідні задачі зводяться
до зв’язаних систем інтегральних рівнянь, заданих і на поверхні дефектів, і на межі тіла [5–7], що
суттєво ускладнює числову реалізацію, особливо у випадку непоодиноких дефектів та багатозв’язних
областей. В поданій роботі пропонується метод, що дозволяє незалежно послідовно задовольняти
граничні умови на дефектах і на поверхні тіла.
Постановка задачі
Розглядається порожнинний пружний циліндр з твірними,
що є паралельними осі Oz, переріз якого площиною xOy являє со-
бою двозв’язну плоску область, яка обмежена довільними замкне-
ними гладкими кривими. Ці криві в полярній системі координат,
центр якої співпадає з початком координат xOy, визначаються рів-
няннями: ( )φψ= 00rr –зовнішня, ( )φψ= 11rr –внутрішня границі,
π<φ≤ 20 . У циліндрі міститься N наскрізних тріщин з центрами в
точках ( ),, kk dс що у площині xOy не виходять за межі перерізу і
займають відрізки довжиною Nkak ,1,2 = (рис. 1).
Рис. 1 Нескінченний порожнинний
циліндр з тріщинами
О. І. Кирилова, В. Г. Попов, 2019
DYNAMICS AND STRENGTH OF MACHINES
ISSN 0131–2928. Journal of Mechanical Engineering, 2019, vol. 22, no. 1
У циліндрі відбуваються коливання повздовжнього зсуву внаслідок дії на бічну поверхню са-
моврівноважувального гармонічного навантаження ( ) ti
eGP
ω−φ , де −G модуль зсуву; ( )−φP знерозмі-
рена задана амплітуда навантажень, ω –частота коливань. Множник ti
e
ω− всюди далі опущений. За
таких умов відмінною від нуля є тільки z-компонента вектора переміщення, яка задовольняє рівняння
Гельмгольца [8]. Це рівняння у полярній системі має вигляд
,
11
;0
2
2
22
2
2
2
φ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆=κ+∆
rrrr
ww (1)
де −ρ
ρ
=
ω
=κ ; ; 2
2
2
G
С
С
густина матеріалу циліндра.
Зовнішня поверхня циліндра вважається завантаженою
( )( ) ( ) π<φ≤φ=φφψτ 20 ,,00 GPrzn , (2)
внутрішня – нерухомою
( )( ) .20 ,0,11 π<φ≤=φφψrw (3)
Для формулювання граничних умов на тріщинах з центром кожної пов’язується локальна сис-
тема координат NkyOx kkk ,1 , = (рис. 1). Зв’язок між локальними та глобальною системами задається
формулами
α+α+=
α−α+=
.cossin
,sincos
kkkkk
kkkkk
yxdy
yxcx
(4)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
α−α+α−α+α−+α−−=
α−α−α−α+α−+α−=
,cossincossin
,sincossincos
lkklkkllkllkl
lkklkkllkllkl
yxddccy
yxddccx
.,...2,1, Nlk =
Між локальними та полярною системою координат зв’язок має вигляд
( ) ( )
( ) ( )
α−φ−α−φ=
α−φ+α−φ=
.sincoscossin
,sinsincoscos
lllll
lllll
crdry
drcrx
(5)
Нехай ( )kkk yxw , – z-компонента вектора переміщень під час переходу від полярних коорди-
нат до декартових за формулами (5). Тріщини вважаються вільними від навантажень
( ) ( ) Nkaxx
y
w
Gx kkk
k
k
kzyk
,1 , ,00,0, =<=
∂
∂
=τ . (6)
Також на поверхнях тріщин розривні переміщення зі стрибками
( ) ( ) ( ) Nkaxxxwxww kkkkkkkkk ,1 , ,0,0, =<χ=−−+= . (7)
З умов змикання тріщин випливає, що ( ) 0=±χ kk a .
За таких умов ставиться задача визначення напруженого стану в околі тріщин.
Розв’язання задачі
Для кожної тріщини в локальній системі координат будується розривний розв’язок [9] зі
стрибками (7)
( ) ,),()(),( 2∫
−
η−ηηχ
∂
∂
=
l
l
a
a
lll
l
ll
d
l dyxr
y
yxw (8)
де ( ) ( )1
0
22
2
1
02 ,)(
4
),( HyxH
i
yxr llll
+−ηκ−=−η –функція Ханкеля.
ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Проблеми машинобудування, 2019, Т. 22, № 1
Далі в полярній системі координат переміщення подається у вигляді
( )( ) ( )( ) ( )( )∑
=
φ+φ=φ
N
l
g
l
gg rwrwrw
1
0 ,,, , (9)
де ( )( )φ,rw
g
l – розривні розв’язки (8) після переходу до полярних координат, ( )( )φ,0 rw
g – деяка невідома
функція, яка є розв’язком рівняння Гельмгольца Ошибка! Источник ссылки не найден. і за рахунок
якої будуть задовольнятися умови (2), (3) на поверхні циліндра.
Далі ця функція подається у вигляді лінійної комбінації частинних розв’язків рівняння Гельм-
гольца (1)
( )( ) ( ) ( )( )∑
=
φ+φ=φ
M
s
ssss
g rhВrgArrw
1
00 ,,, , (10)
де ;sin)(),( ,)1cos()(),( 222112 φκ=φφ−κ=φ −− mrHrhmrHrh mmmm
φκ=φφ−κ=φ −− mrJrgmrJrg mmmm sin)(),(,)1cos()(),( 222112 .
Ці функції лінійно незалежні і утворюють повну замкнену систему в області перерізу [10].
Для реалізації граничних умов (6) на тріщинах в системі координат, пов’язаної з k-ю тріщи-
ною, переміщення подається аналогічно (9)
( ) ( ) ( )∑
=
+=
N
l
kk
l
kkkkkkk yxwyxwyxw
1
0 ,,, , (11)
де ( )kkk yxw ,0 отримано з ( )( )φ,0 rw
g після перетворень координат за (5), а ( )kk
l
k yxw , в результаті підс-
тановки в ( )( )φ,rw
g
l ll yx , за іншими формулами (4).
Після цього підстановка (11) в (6) приводить до системи інтегро-диференціальних рівнянь,
яка після відокремлення сингулярних складових набуває вигляду
( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]
( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
.2,1 ;,...1 ;,...,1
,,
2
1
,
2
1
ln
2
11
2
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
02
0
2
1
1
1
===
ς=
τςττφ
π
+τςτ′τφ
π
+
+τς−τ+ς−τκγ−τφ
π
+τ
ς−τ+
ς−τ
′τφ
π
∑ ∫∫
∫∫
≠
= −−
−−
iMsNk
fdFdF
dRdR
i
sk
N
kl
l
kl
i
slkl
i
sl
kk
i
skk
i
sk
(12)
Ядра інтегральних операторів ( )ςτ,0
klF ,
( )( )ςτ,1
klF –функції нескінченно диференційовні за
1,1 <ςτ≤− , а для інших має місце асимптотика
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 ,ln ,ln 201 →== zzzOzRzzOzR kk .
Праві частини в (12) мають вигляд
( )( )
( ) ( )( )
( )
k
ks
sk
k
ks
sk
y
ah
rf
y
ag
rf
∂
ς∂
−=ς
∂
ς∂
−=ς
0,
;
0,
0
2
0
1 .
Під час виведення системи (12) також використовувались позначення
( ) ( ) ( ) ( ). , ,
, , , , , ,
0
0
0
0
0
020
τ′φ=τ′χτχ=τφα−=α
==ς=τ=η=γκ=κ
llllllllkkl
k
k
k
kkkk
k
k
aaaa
r
d
d
r
c
caxa
r
a
r
Окрім того, внаслідок лінійності (12) невідомі функції було подано у вигляді
( ) ( )( ) ( )( )( )∑
=
τφ+τφ=τφ
M
s
slsslsll BAa
1
21 , ( ) ( )( )( ) ( )( )( )∑
=
′τφ+′τφ=η′φ
M
s
slsslsl BA
1
21
(13)
DYNAMICS AND STRENGTH OF MACHINES
ISSN 0131–2928. Journal of Mechanical Engineering, 2019, vol. 22, no. 1
До (12) слід додати ще рівність, яка випливає з умов змикання тріщин
( )( )( )∫
−
=τ′τφ
1
1
0d
i
sk . (14)
Розв’язання інтегральних рівнянь (12), (14) ґрунтується на поданні похідних невідомих функ-
цій у вигляді [11]
( )( )( )
( )( )
Nk
i
ski
sk ,...,2,1 ,
1 2
=
τ−
τψ
=′τφ (15)
і наближенні функцій ( )( )τψ i
sk таким інтерполяційним багаточленом:
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
∑
= τ′τ−τ
τ
ψ=τψ
n
m mnm
n
m
i
sk
i
sk
T
T
1
, (16)
де ( )τnT –багаточлен Чебишева; mτ –його корені, ( )( ) ( )( )m
i
skm
i
sk τψ=ψ .
Як показано у [4], з формул (15), (16) для ( )( )τφ i
sk випливає наближення
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
∑∑
−
=
−
=
ττ
ψ−=ττ−=τφ
1
1
1
1
2 2
,1
n
p
pmp
n
m
m
i
skn
i
skn
i
sk
i
sk
p
UT
n
LL (17)
Формули (15), (17) дають можливість скористатися для розв’язання рівнянь методом механіч-
них квадратур з використанням як точки колокації коренів багаточлена Чебишева
( )ς−1nU : .1,...,2,1,cos −=
π
=ς nj
n
j
j У разі застосування цього методу для інтегралів Коші використову-
ється відома квадратурна формула [11], для інтегралів з регулярними ядрами відповідно до формули
Гаусса-Чебишева. Інтеграл з логарифмічною особливістю обчислений за формулою, отриманою з [4]
( )∫ ∑
− =
ψ=τς−ττφ
1
1 1
,ln
n
m
jm
k
smmjmm
k
s Cad 1,...,1 ;,...,1 −== njnk ,
( )
( )
( )
( )
. ;;
2
12
,
1
1cos
1cos
cos
22cos
2
1
2ln
1
2
n
a
n
j
n
m
p
p
p
p
p
C
mjm
n
p
j
j
m
jmjm
π
=
π
=σ
π−
=β
+
σ+
−σ−
β
−
σ−τ= ∑
−
=
В результаті отримано сукупність добре обумовлених систем лінійних рівнянь відносно вуз-
лових значень ( )( )
m
i
skψ
( )( ) ( )( ) [ ]
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
.2,1 ,,...,1 ;,...,1 ;1,...,1
.0
,
2
1
2
11
2
1
1
1 11
1
2
0
2
1
===−=
=ψ
ς=
ψ+ψ
π
+
++κγ−ψ
π
+
+
ς−τ
ψ
π
∑
∑ ∑∑
∑∑
=
≠
= ==
==
iMsNknj
a
fEaFa
DCaRa
n
m
m
i
skm
j
i
sk
N
kl
l
n
m
kl
jmm
i
slm
n
m
kl
jmm
i
slm
n
m
k
jmjmkm
i
skm
n
m
k
jm
jm
m
i
skm
(18)
ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Проблеми машинобудування, 2019, Т. 22, № 1
У Ошибка! Источник ссылки не найден.
( )( )jmk
k
jm RR ς−τ= 1 , ( )( ),1
jmkl
kl
jm FF ς−τ= ( ) ∑
=
ς−=
n
r
jrksm
k
jm zRBD
1
0
),( ∑
=
ς−=
n
r
jrklrm
kl
jm zFBE
1
0
),(
,
)sin()cos(
1
sin
1
2
1
1
∑
−
=
ρβ
+
π
+
−=
n
p
rm
rm
p
pp
n
r
n
B .cos,
1
,
2
)12(
sssm z
n
s
n
n
ρ=
+
π
=ρ
π−
=β
Невідомі коефіцієнти kA , kB у (10) визначаються з умов (2), (3) на границях циліндра. Для
реалізації (2) знаходиться напруження
( )( ) ( )( ) ( )( ) yyzxxzzn сrсrr φφψτ+φφψτ=φφψτ ,,, 000 . (19)
У формулі (19) yx сс , – напрямні косинуси вектора нормалі.
Після підстановки у (19) знайдених виразів для напружень гранична умова (2) набуває вигляду
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )φ=
φ+τφττφ+
φ+τφττφ ∑ ∑∫∑ ∑∫
= = −= = −
PFdGBFdGA
M
s
N
k
sksks
M
s
N
k
sksks
1 1
1
1
22
1 1
1
1
11 ,, (20)
Умова на внутрішній поверхні (3) після подання невідомих функцій у вигляді (13) запишеться так:
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) .0,,,,
1 1
11
1
1
2
1 1
11
1
1
1 =
φφψ+τφττφ+
φφψ+τφττφ ∑ ∑∫∑ ∑∫
= = −= = −
M
s
N
k
sksks
M
s
N
k
sksks rhdUBrgdUA (21)
Наближення (17) дає можливість замінити інтеграли в (20), (21) інтегральними сумами з вико-
ристанням квадратурної формулою Гаусса-Чебишева, після чого, застосувавши метод колокації у вуз-
лах ,
2
M
r
r
π
=σ ,,..,1 Mr = з (20), (21) отримано систему M2 лінійних рівнянь для визначення sA та sB .
Величинами, що встановлюють можливість розвитку тріщини, є коефіцієнти інтенсивності
напружень (КІН) у вершинах ll ax ±= , які у даному випадку визначаються за формулами
)0,(1lim 2
01
ττ−ς=
±±→ς
±
lzyll aaK
l
.
Після розв’язання (18) та системи, отриманої після задовольняння умов на границях, для них
знайдено безрозмірні значення
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
2
ctg1
2
ctg1
2
1
1 1 1 1
1
2
1
1
1
γ
ψ−+
γ
ψ−
−
== ∑ ∑ ∑ ∑
= = = =
±±+±
±
M
s
n
m
M
s
n
m
ml
sm
m
s
ml
sm
m
s
n
l
l
l BA
naG
K
k
де .
2
)12(
n
m
m
−π
=γ
Результати числових досліджень
Як приклад розглядався циліндр з перерізом, обме-
женим двома еліпсами (рис. 2).
Вважалося, що зовнішня межа знаходиться під на-
вантаженням ( ) φ=φ 2sinP , ексцентриситети внутрішнього і
зовнішнього еліпсів одинакові і дорівнюють 5,0 , відно-
шення півосей еліпсів 5,001 =rr .
Спершу досліджувалась залежність абсолютних
значень КІН від безрозмірного хвильового числа 020 rκ=κ
Рис. 2. Переріз циліндра з тріщиною
для різних кутів нахилу тріщини стосовно поверхонь тіла. Рис. 3 відповідає випадку нахиленої трі-
щини з фіксованою довжиною, яка дорівнює одній третій відстані між вершинами еліпсів AB , та з
центром тріщини на рівній відстані від меж перерізу. Криві 1–5 ілюструють поведінку КІН для кутів
DYNAMICS AND STRENGTH OF MACHINES
ISSN 0131–2928. Journal of Mechanical Engineering, 2019, vol. 22, no. 1
00000
90 ,60 ,45 ,30 ,0 відповідно. Як показав аналіз
розрахунків, поведінка КІН ідентична для обох вер-
шин тріщини, але +− < kk . З огляду на це результа-
ти числових досліджень поведінки абсолютних зна-
чень КІН у частотній області, зокрема їхнього виходу
на резонансний режим, наведено для +
k (рис. 3).
До досягнення першої частоти резонансу за
збільшення кута нахилу тріщини КІН зменшуються.
Кут нахилу також суттєво впливає на кількість та зна-
чення резонансних частот. Так, для кутів нахилу
00=α та 090=α відсутній резонанс при 6,20 ≈κ ,
який спостерігається для інших значень кута нахилу.
Однак всі розглянуті випадки характеризуються ре-
зонансною поведінкою КІН, коли 8,30 ≈κ .
Рис. 3. Залежність поведінки КІН від частоти
за зміни кута нахилу тріщини
На рис. 4 проілюстровано залежність поведінки КІН від частоти під час зростання відносної до-
вжини тріщини при наближенні вершини до меж циліндра. Рис. 4, а відповідає тріщині вздовж осі абс-
цис ( )0
0=α зі змінною довжиною, так що лівий кінець тріщини С зафіксовувався, а правий D набли-
жався до зовнішньої межі перерізу. Це досягалося зміною параметра 0ra=γ від 0,094 до 0,189, коли
тріщина виходить на зовнішню поверхню. Криві 1, 2, 3 відповідають значенням =γ 0,094; 0,141; 0,188.
З’ясувалось, що така параметризація майже не впливає на абсолютні значення КІН −
k у від-
даленій від зовнішнього контуру вершині тріщини С. У розглянутому випадку КІН +
k за зростання
відносної довжини тріщини і за наближення її вершини до зовнішньої межі циліндричного тіла збі-
льшуються. Резонансні явища спостерігаються у частотному діапазоні 43 0 <κ< (рис. 4, а).
На рис. 4, б наведено графіки поведінки КІН для цієї ж тріщини у випадку, коли правий кі-
нець зафіксовувався, а лівий наближався до внутрішньої поверхні за тих же значень γ . З’ясувалось,
що така параметризація впливає на поведінку −
k , в той час як для +
k значення майже незмінні.
a
б
Рис. 4. Залежність поведінки КІН від частоти під час зростання відносної довжини тріщини у разі
наближення вершини:
а –до завантаженої поверхні; б – до нерухомої (внутрішньої) поверхні
ДИНАМІКА ТА МІЦНІСТЬ МАШИН
ISSN 0131–2928. Проблеми машинобудування, 2019, Т. 22, № 1
За зростання довжини тріщини та її наближення до внутрішньої межі циліндричного тіла, на
відміну аналогічних результатів для кінця тріщини, що наближається до зовнішньої межі (рис. 4, а),
абсолютні значення КІН зменшуються. Резонансні явища спостерігаються, як і в попередньому випа-
дку, у частотному діапазоні 43 0 <κ< (рис. 4, б).
Висновки
Запропоновано ефективний аналітично-числовий метод визначення динамічних напружень у
порожнистому циліндричному тілі довільного перерізу з наскрізними тріщинами за антиплоскої де-
формації, що дозволяє розв’язувати окремо інтегральні рівняння на дефекті та задовольняти умови на
межі тіла, забезпечуючи цим полегшення числової реалізації.
Метод може бути узагальнений на випадок стану плоскої деформації. Це підтверджують ре-
зультати робіт [12], [13], де подібні задачі розв’язано для циліндричного тіла, перерізом якого є од-
нозв’язна область. Певні труднощі під час застосування цього методу виникають при наближенні де-
фекту до межі і негладкої межі циліндра. Але взагалі запропонований метод дозволяє наближено об-
числювати коефіцієнти інтенсивності напружень та досліджувати вплив на їхні значення геометрич-
них параметрів тріщини і циліндра в досить широкому частотному діапазоні.
Показано, що присутність тріщин у пружному порожнистому циліндрі за гармонічного наван-
таження супроводжується як інтенсивністю динамічних напружень в околі дефектів, так і резонанс-
ним характером їхньої зміни внаслідок генерації хвильового процесу в обмеженій області.
У розглянутому частотному діапазоні виявлено можливості досягнення одного або двох резо-
нансів залежно від кута нахилу тріщини стосовно межі тіла. Зміна кута нахилу, як і наближення трі-
щини до зовнішньої поверхні, суттєво впливають на значення КІН та стрімкість їхнього виходу на
резонансний режим з низькочастотної області.
Література
1. Попов В. Г. Сравнительный анализ дифракционных полей при прохождении упругих волн через дефекты
различной природы. Изв. РАН. Механика твердого тела. 1995. № 4. С. 99–109.
2. Ang D. D., Knopoff L. Diffraction of scalar elastic waves by a finite strip. Proc. Math. Sci. USA. 1964. Vol. 51.
No. 4. P. 593–598. https://doi.org/10.1073/pnas.51.4.593
3. Mykhas’kiv V., Zhbadynskyi I., Zhang Ch. Elastodynamic analysis of multiple crack problem in 3-D bi-
materials by a BEM. Int. J. Num. Meth. Biomed. Eng. 2010. Vol. 26. No. 12. P. 1934–1946.
https://doi.org/10.1002/cnm.1285
4. Попов В. Г. Взаимодействие плоских упругих волн с системами радиальных дефектов. Изв. РАН. Меха-
ника твердого тела. 1999. № 4. С. 118–129.
5. Chirino F., Domingues J. Dynamic analysis of cracks using boundary element method. Eng. Fracture Mech.
1989. Vol. 34. No. 5–6. P. 1051–1061. https://doi.org/10.1016/0013-7944(89)90266-X
6. Бобылев А. А., Доброва Ю. А. Применение метода граничных элементов к расчету вынужденных коле-
баний упругих тел конечных размеров с трещинами. Вестн. Харьк. нац. ун-та. 2003. № 590. Вып. 1. С.
49–54.
7. Zhang Ch. A 2D hypersingular time-domain traction BEM for transient elastodynamic crack analysis. Wave Mo-
tion. 2002. Vol. 35. No. 1. P. 17–40. https://doi.org/10.1016/S0165-2125(01)00081-6
8. Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 328 с.
9. Попов В. Г. Сравнение полей перемещений и напряжений при дифракции упругих волн сдвига на раз-
личных дефектах: трещина и тонкое жесткое включение. Динам. системы. 1993. Вып.12. C. 35–41.
10. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.: ОГИЗ, 1948. 296 с.
11. Белоцерковский С. М, Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.:
Наука, 1985. 253 с.
12. Кирилова О. І., Михаськів В. В. Плоска динамічна задача для циліндричного тіла довільного перерізу з
тонким жорстким включенням. Вісн. Київ. нац. ун-ту. Сер. Фіз.-мат. науки. 2015. № 5. С. 167–173.
13. Кирилова О. І., Попов В. Г. Напружений стан у нескінченному циліндрі довільного перерізу з тунельною
тріщиною при коливаннях в умовах плоскої деформації. Вісн. Київ. нац. ун-ту. Сер. Фіз-мат. науки.
2017. № 3. С. 71–74.
Надійшла до редакції 11.09.2018
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-158813 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0131-2928 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-07T17:35:50Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Kyrylova, O.I. Popov, V.H. 2019-09-14T14:08:54Z 2019-09-14T14:08:54Z 2019 Stressed State of a Hollow Cylinder with a System of Cracks under Longitudinal Shear Harmonic Oscillations / O.I. Kyrylova, V.H. Popov // Проблеми машинобудування. — 2019. — Т. 22, № 1. — С. 16-24. — Бібліогр.: 13 назв. — англ, укр. 0131-2928 DOI: https://doi.org/10.15407/pmach2019.01.016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158813 539.3 This paper solves the problem of determining the stress state near cracks in an infinite hollow cylinder of arbitrary cross section during longitudinal shear oscillations. We propose an approach that allows us to separately satisfy conditions both on the cracks and boundaries of a cylinder. The problem reduces to the equations of motion in a flat domain with the defects bounded by arbitrary smooth closed curves under anti-plane deformation conditions. В роботі розв’язана задача з визначення напруженого стану поблизу тріщин в нескінченному порожнинному циліндрі довільного перерізу під час коливань повздовжнього зсуву. Запропоновано підхід, що дозволяє окремо задовольнити умови на тріщинах та на границях циліндра. Задача зводиться до рівнянь руху в плоскій області з дефектами, обмеженими довільними гладкими замкненими кривими, в умовах антиплоскої деформації. В работе решена задача по определению напряженного состояния вблизи трещин в бесконечном полом цилиндре произвольного сечения при колебаниях продольного сдвига. Предложен подход, позволяющий отдельно удовлетворить условия на трещинах и на границах цилиндра. Задача сводится к уравнениям движения в плоской области с дефектами, ограниченными произвольными гладкими замкнутыми кривыми, в условиях антиплоской деформации. en Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблеми машинобудування Dynamics and Strength of Machines Stressed State of a Hollow Cylinder with a System of Cracks under Longitudinal Shear Harmonic Oscillations Напружений стан порожнинного циліндра з системою тріщин за гармонічних коливань повздовжнього Напряженное состояние полого цилиндра с системой трещин при гармонических колебаниях продольного сдвига Article published earlier |
| spellingShingle | Stressed State of a Hollow Cylinder with a System of Cracks under Longitudinal Shear Harmonic Oscillations Kyrylova, O.I. Popov, V.H. Dynamics and Strength of Machines |
| title | Stressed State of a Hollow Cylinder with a System of Cracks under Longitudinal Shear Harmonic Oscillations |
| title_alt | Напружений стан порожнинного циліндра з системою тріщин за гармонічних коливань повздовжнього Напряженное состояние полого цилиндра с системой трещин при гармонических колебаниях продольного сдвига |
| title_full | Stressed State of a Hollow Cylinder with a System of Cracks under Longitudinal Shear Harmonic Oscillations |
| title_fullStr | Stressed State of a Hollow Cylinder with a System of Cracks under Longitudinal Shear Harmonic Oscillations |
| title_full_unstemmed | Stressed State of a Hollow Cylinder with a System of Cracks under Longitudinal Shear Harmonic Oscillations |
| title_short | Stressed State of a Hollow Cylinder with a System of Cracks under Longitudinal Shear Harmonic Oscillations |
| title_sort | stressed state of a hollow cylinder with a system of cracks under longitudinal shear harmonic oscillations |
| topic | Dynamics and Strength of Machines |
| topic_facet | Dynamics and Strength of Machines |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158813 |
| work_keys_str_mv | AT kyrylovaoi stressedstateofahollowcylinderwithasystemofcracksunderlongitudinalshearharmonicoscillations AT popovvh stressedstateofahollowcylinderwithasystemofcracksunderlongitudinalshearharmonicoscillations AT kyrylovaoi napruženiistanporožninnogocilíndrazsistemoûtríŝinzagarmoníčnihkolivanʹpovzdovžnʹogo AT popovvh napruženiistanporožninnogocilíndrazsistemoûtríŝinzagarmoníčnihkolivanʹpovzdovžnʹogo AT kyrylovaoi naprâžennoesostoâniepologocilindrassistemoitreŝinprigarmoničeskihkolebaniâhprodolʹnogosdviga AT popovvh naprâžennoesostoâniepologocilindrassistemoitreŝinprigarmoničeskihkolebaniâhprodolʹnogosdviga |