Моделирование процесса электромагнитно-акустического преобразования при возбуждении крутильных волн

Разработана в виде дифференциального уравнения физико-математическая модель процесса преобразования электромагнитной энергии в акустическую в полом ферромагнитном стержне, намагниченном по окружности постоянным поляризующим магнитным полем. С помощью интегрального преобразования Фурье получено общее...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2017
Main Authors:	Плеснецов, С.Ю., Петрищев, О.Н., Мигущенко, Р.П., Сучков, Г.М.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут електродинаміки НАН України 2017
Series:	Технічна електродинаміка
Subjects:	Електротехнологічні комплекси та системи
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158924
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Моделирование процесса электромагнитно-акустического преобразования при возбуждении крутильных волн / С.Ю. Плеснецов, О.Н. Петрищев, Р.П. Мигущенко, Г.М. Сучков // Технічна електродинаміка. — 2017. — № 3. — С. 79-88. — Бібліогр.: 11 назв. — pос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-158924
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1589242025-02-23T18:25:18Z Моделирование процесса электромагнитно-акустического преобразования при возбуждении крутильных волн Моделювання процесу електромагнітно-акустичного перетворення при збудженні крутильних хвиль Modeling of electromagnetic-acoustic conversion when excited torsional waves Плеснецов, С.Ю. Петрищев, О.Н. Мигущенко, Р.П. Сучков, Г.М. Електротехнологічні комплекси та системи Разработана в виде дифференциального уравнения физико-математическая модель процесса преобразования электромагнитной энергии в акустическую в полом ферромагнитном стержне, намагниченном по окружности постоянным поляризующим магнитным полем. С помощью интегрального преобразования Фурье получено общее решение неоднородного дифференциального уравнения для режима бегущих крутильных волн. Оценен вклад жесткости намагниченного стержня в интенсивность возбуждаемого акустического поля. На модельном примере исследованы и объяснены частотные особенности электромагнитно-акустического преобразования. Установлена связь между геометрическими параметрами модели преобразователя и свойствами материала изделия с амплитудой возбуждаемых крутильных волн на заданной частоте. Результаты исследований могут применяться в энергетической, атомной, химической и других областях промышленности при ультразвуковом контроле трубчатых изделий. У вигляді диференціального рівняння розроблено фізико-математичну модель процесу перетворення електромагнітної енергії в акустичну в порожнистому феромагнітному стрижні, який намагнічений по периметру перетину постійним поляризуючим магнітним полем. За допомогою інтегрального перетворення Фур'є отримано загальне рішення неоднорідного диференціального рівняння для режиму біжучих крутильних хвиль. Оцінений внесок жорсткості намагніченого стрижня в інтенсивність збудженого акустичного поля. На модельному прикладі досліджені і пояснені частотні особливості електромагнітно-акустичного перетворення. Встановлено зв'язок між геометричними параметрами моделі перетворювача і властивостей матеріалу виробу з амплітудою збуджених крутильних хвиль на заданій частоті. Результати досліджень можуть застосовуватися в енергетичній, атомній, хімічній та інших галузях промисловості при ультразвуковому контролі трубчатих виробів. Physical and mathematical model of the process of transformation of electromagnetic energy into acoustic energy in the hollow ferromagnetic rod circumferentially magnetized by permanent polarizing magnetic field designed in the form of differential equations. With the help of the Fourier integral the general solution of the inhomogeneous differential equation for torsional mode of traveling waves was solved. The contribution of the stiffness of the rod magnetized in the intensity of the excited acoustic field was estimated. In the model example frequency characteristics of electromagnetic - acoustic conversion were investigated and explained. The relationship between the geometric parameters of the converter model and product properties of the material with the amplitude of the excited torsional waves at a given frequency was discovered. The research results can be used in the energy, nuclear, chemical and other industrial areas appropriate for ultrasonic inspection of tubular products. 2017 Article Моделирование процесса электромагнитно-акустического преобразования при возбуждении крутильных волн / С.Ю. Плеснецов, О.Н. Петрищев, Р.П. Мигущенко, Г.М. Сучков // Технічна електродинаміка. — 2017. — № 3. — С. 79-88. — Бібліогр.: 11 назв. — pос. 1607-7970 DOI: https://doi.org/10.15407/techned2017.03.079 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158924 620.179.16: 620.179.17 ru Технічна електродинаміка application/pdf Інститут електродинаміки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Електротехнологічні комплекси та системи Електротехнологічні комплекси та системи
spellingShingle	Електротехнологічні комплекси та системи Електротехнологічні комплекси та системи Плеснецов, С.Ю. Петрищев, О.Н. Мигущенко, Р.П. Сучков, Г.М. Моделирование процесса электромагнитно-акустического преобразования при возбуждении крутильных волн Технічна електродинаміка
description	Разработана в виде дифференциального уравнения физико-математическая модель процесса преобразования электромагнитной энергии в акустическую в полом ферромагнитном стержне, намагниченном по окружности постоянным поляризующим магнитным полем. С помощью интегрального преобразования Фурье получено общее решение неоднородного дифференциального уравнения для режима бегущих крутильных волн. Оценен вклад жесткости намагниченного стержня в интенсивность возбуждаемого акустического поля. На модельном примере исследованы и объяснены частотные особенности электромагнитно-акустического преобразования. Установлена связь между геометрическими параметрами модели преобразователя и свойствами материала изделия с амплитудой возбуждаемых крутильных волн на заданной частоте. Результаты исследований могут применяться в энергетической, атомной, химической и других областях промышленности при ультразвуковом контроле трубчатых изделий.
format	Article
author	Плеснецов, С.Ю. Петрищев, О.Н. Мигущенко, Р.П. Сучков, Г.М.
author_facet	Плеснецов, С.Ю. Петрищев, О.Н. Мигущенко, Р.П. Сучков, Г.М.
author_sort	Плеснецов, С.Ю.
title	Моделирование процесса электромагнитно-акустического преобразования при возбуждении крутильных волн
title_short	Моделирование процесса электромагнитно-акустического преобразования при возбуждении крутильных волн
title_full	Моделирование процесса электромагнитно-акустического преобразования при возбуждении крутильных волн
title_fullStr	Моделирование процесса электромагнитно-акустического преобразования при возбуждении крутильных волн
title_full_unstemmed	Моделирование процесса электромагнитно-акустического преобразования при возбуждении крутильных волн
title_sort	моделирование процесса электромагнитно-акустического преобразования при возбуждении крутильных волн
publisher	Інститут електродинаміки НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Електротехнологічні комплекси та системи
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/158924
citation_txt	Моделирование процесса электромагнитно-акустического преобразования при возбуждении крутильных волн / С.Ю. Плеснецов, О.Н. Петрищев, Р.П. Мигущенко, Г.М. Сучков // Технічна електродинаміка. — 2017. — № 3. — С. 79-88. — Бібліогр.: 11 назв. — pос.
series	Технічна електродинаміка
work_keys_str_mv	AT plesnecovsû modelirovanieprocessaélektromagnitnoakustičeskogopreobrazovaniâprivozbuždeniikrutilʹnyhvoln AT petriŝevon modelirovanieprocessaélektromagnitnoakustičeskogopreobrazovaniâprivozbuždeniikrutilʹnyhvoln AT miguŝenkorp modelirovanieprocessaélektromagnitnoakustičeskogopreobrazovaniâprivozbuždeniikrutilʹnyhvoln AT sučkovgm modelirovanieprocessaélektromagnitnoakustičeskogopreobrazovaniâprivozbuždeniikrutilʹnyhvoln AT plesnecovsû modelûvannâprocesuelektromagnítnoakustičnogoperetvorennâprizbudženníkrutilʹnihhvilʹ AT petriŝevon modelûvannâprocesuelektromagnítnoakustičnogoperetvorennâprizbudženníkrutilʹnihhvilʹ AT miguŝenkorp modelûvannâprocesuelektromagnítnoakustičnogoperetvorennâprizbudženníkrutilʹnihhvilʹ AT sučkovgm modelûvannâprocesuelektromagnítnoakustičnogoperetvorennâprizbudženníkrutilʹnihhvilʹ AT plesnecovsû modelingofelectromagneticacousticconversionwhenexcitedtorsionalwaves AT petriŝevon modelingofelectromagneticacousticconversionwhenexcitedtorsionalwaves AT miguŝenkorp modelingofelectromagneticacousticconversionwhenexcitedtorsionalwaves AT sučkovgm modelingofelectromagneticacousticconversionwhenexcitedtorsionalwaves
first_indexed	2025-11-24T09:19:48Z
last_indexed	2025-11-24T09:19:48Z
_version_	1849662886299828224
fulltext	ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2017. № 3 79 ЕЛЕКТРОТЕХНОЛОГІЧНІ КОМПЛЕКСИ ТА СИСТЕМИ УДК 620.179.16: 620.179.17 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ЭЛЕКТРОМАГНИТНО-АКУСТИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ВОЗБУЖДЕНИИ КРУТИЛЬНЫХ ВОЛН С.Ю. Плеснецов1, канд.техн.наук, О.Н. Петрищев2, докт.техн.наук, Р.П. Мигущенко1, докт.техн. наук, Г.М. Сучков1, докт.техн.наук 1 - Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт», ул. Кирпичова, 2, Харьков, 61002, Украина. E-mail: hpi.suchkov@gmail.com 2 - Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт», пр. Победы, 37, Киев, 03056, Украина. E-mail: petrischev@ukr.net Разработана в виде дифференциального уравнения физико-математическая модель процесса преобразования электромагнитной энергии в акустическую в полом ферромагнитном стержне, намагниченном по окружнос- ти постоянным поляризующим магнитным полем. С помощью интегрального преобразования Фурье получено общее решение неоднородного дифференциального уравнения для режима бегущих крутильных волн. Оценен вклад жесткости намагниченного стержня в интенсивность возбуждаемого акустического поля. На модель- ном примере исследованы и объяснены частотные особенности электромагнитно-акустического преобразо- вания. Установлена связь между геометрическими параметрами модели преобразователя и свойствами ма- териала изделия с амплитудой возбуждаемых крутильных волн на заданной частоте. Результаты исследова- ний могут применяться в энергетической, атомной, химической и других областях промышленности при ульт- развуковом контроле трубчатых изделий. Библ. 11, рис. 5. Ключевые слова: крутильные волны, электромагнитно-акустическое преобразование, трубчатое изделие, вол- новая характеристика преобразователя. Введение. Стальные трубки малого диаметра широко применяются в энергетической, атом- ной, химической и других областях промышленности и должны подвергаться обязательному ультра- звуковому неразрушающему контролю [2]. Применение для такого контроля традиционных контакт- ных методов сложно и дорого [2,3,8] из-за затрат на зачистку изделий и необходимости применения контактной жидкости. Для выявления в стенках трубок дефектов в виде трещин, расслоений, пор, об- ластей с аномалиями физико-механических характеристик и др. эффективно применение недисперги- рующих крутильных волн [2,3], которые возможно эффективно возбуждать только с помощью бес- контактного электромагнитно-акустического (ЭМА) способа возбуждения и приема ультразвуковых импульсов [10,11]. Недиспергирующие крутильные волны [2] обладают высокой чувствительностью к дефектам и значительной устойчивостью к воздействию помех различного вида при ультразвуко- вом контроле ферромагнитных стержней малого диаметра. Однако в информационных источниках сведений о теоретических и модельных исследованиях по возбуждению недиспергирующих крутиль- ных волн ЭМА преобразователями (ЭМАП) не обнаружено. Целью работы является математическое и компьютерное моделирование процесса преобразо- вания электромагнитной энергии в акустическую и последующее создание основ расчета и проектиро- вания ЭМАП для ультразвукового контроля полых ферромагнитных стержней малого диаметра недис- пергирующими крутильными волнами. Содержание и результаты разработки. Крутильные колебания поперечных сечений полого ферромагнитного стержня можно возбудить с помо- щью ЭМАП, конструкция которого схематически показана на рис. 1, где 1 − ферромагнитный полый стержень (трубка); 2 − проводник, по которому про- текает постоянный электрический ток 0I ; 3 – катушка (источник переменного магнитного поля). Проводник © Плеснецов С.Ю., Петрищев О.Н., Мигущенко Р.П., Сучков Г.М., 2017 I0 z ∗ ρϕσ 2 1 3 Рис. 1 80 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2017. № 3 Рис. 2 z ∗ ρϕσ а) б) ∗ ρϕσ ∗ ρϕσ O R r1 2 является источником постоянного поля подмагничивания, вектор напряженности которого в цилинд- рической системе координат ( z,,ϕρ ) (ось Oz совмещена с осью полого ферромагнитного стержня) имеет один круговой компонент )2/(IH 0 0 πρ=ϕ , где ρ - текущее значение радиальной координаты. При- чем 0R≥ρ ( 0R – радиус проводника 2). Поле подмагничивания ориентирует домены в объеме цилинд- ра таким образом, что переменное магнитное поле катушки 3 вызывает сдвиговые деформации. Для того чтобы учесть особенности напряженно-деформированного состояния намагниченно- го ферромагнитного цилиндра (рис. 2) рассмотрим его элемент длиной dz (рис. 2, а). В пределах это- го элемента выделим двумя плоскостями ϕ и ϕ+ϕ d сегмент (рис. 2, б). Вектор смещения матери- альных частиц сегмента в соответствии с [9] имеет один круговой компонент ρϕ=ϕu , где ρ - текущее значение радиальной координаты; ϕ - угол взаимно- го поворота двух бесконечно близко расположенных поперечных сечений полого цилиндра. Полагая, что угол взаимного поворота поперечных сечений ϕ за- висит от значений координаты z , приходим к выво- ду, что единственным отличным от нуля компонен- том тензора деформации является величина ( ) 2zzz ∂ϕ∂ρ=ε=ε ϕϕ . Физическое состояние элемента объема дефор- мируемого, предварительно намагниченного ферромагнетика определяется линеаризованными урав- нениями, которые следуют из более общих соотношений феноменологической теории магнитострик- ционных явлений [1]. Если в любой точке деформируемого ферромагнетика выполняется сильное неравенство ( ) ( )kk 0 xHxH >> , где ( )k0 xH - вектор напряженности постоянного поля подмагничива- ния; kx - координаты точки в декартовой (физической) системе координат; ( ) ( ) ( )kkk xhxHxH += ∗ , где ( )kxH∗ и ( )kxh - амплитудные значения изменяющихся во времени по закону tie ω ( 1i −= ; ω - кру- говая частота; t - время) векторов напряженности магнитного поля внешнего источника (например, катушки с переменным током) и внутреннего магнитного поля, которое возникает из-за движения магнитных доменов в механически деформируемом ферромагнетике, то из нелинейных соотношений [1] следует линейное приближение, которое записывается в виде ( )kk 0 ppkmn kH mnkmn hHHm x uc +− ∂ ∂ =σ ∗ , ( )mmjm q s0 ppjqsj hH x u HmB +μ+ ∂ ∂ = ∗ε , (1, 2) где mnσ - амплитудное значение компонента тензора механических напряжений, изменяющегося во времени по закону tie ω ; H mnkc - модуль упругости ферромагнетика, который экспериментально опре- деляется в режиме постоянства (равенства нулю) магнитного поля (символ H ) или, говоря иными словами, модуль упругости размагниченного ферромагнетика; ku - амплитудное значение k -го ком- понента, изменяющегося во времени по закону tie ω вектора смещения материальных частиц дефор- мируемого ферромагнетика. Символом pkmnm обозначена магнитострикционная константа, числовое значение которой, в принципе, зависит от величины и направления постоянного поля подмагничива- ния. Очевидно, что в случае поликристаллического металла материальные константы H mnkc и pkmnm являются компонентами изотропных тензоров четвертого ранга и определяются следующими соот- ношениями: ( )nkmnmkkmn H mnk Gc δδ+δδ+δλδ= , ( )kmpnknpm 21 mnpk2pkmn 2 mmmm δδ+δδ − +δδ= , где λ и G - константы Ламе (модули упругости); mnδ , …, kmδ - символы Кронекера; 1m и 2m - ли- нейно независимые, экспериментально определяемые константы. Способ экспериментального опре- деления констант 1m и 2m для магнитострикционных ферритов изложен в работе [6]. Символом jB в соотношении (2) обозначено амплитудное значение j -го компонента вектора ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2017. № 3 81 магнитной индукции, изменяющегося во времени по закону tie ω ; εμ jm - компонент тензора магнитной проницаемости намагниченного ферромагнетика, который экспериментально определяется в режиме постоянства (равенства нулю) механической деформации (символ ε ). При записи соотношений (1) и (2) по умолчанию было учтено, что выполняется положение о суммировании по дважды повторяю- щимся индексам. Изменение напряженно-деформированного состояния в направлении оси z ферромагнетика, намагниченного в окружном направлении, сопровождается появлением внутреннего магнитного по- ля, вектор напряженности которого практически полностью определяется аксиальным компонентом zh . При этом будем полагать, что магнитная индукция ферромагнитного стержня не изменяется в пределах его поперечного сечения, что существенно упрощает математическое описание напряжен- но-деформированного состояния тонкостенных трубок. В этом случае из общей формулировки (1) следует соотношение для расчета амплитудных значений напряжений, действующих в пределах выделенного сегмента ∗ ρ ∗ ρϕ ∗ ρϕρϕ πρ − −=−=σ=σ HI 4 mmHHm 0 210 2112 , =+−ε=σ ∗ ϕϕϕ )hH(HmG2 zz 0 2313zz 1 2 0 ( ) 4 z z m mG I H h z ϕρ πρ ∗−∂ − + ∂ , (3) где символами ∗ ρH и ∗ zH обозначены компоненты вектора напряженности переменного магнитного поля катушки. При этом вектор )z,(H ρ∗ удовлетворяет уравнениям Максвелла по определению. Указанная система напряжений формирует в каждой точке внутри объема выделенного сег- мента магнитострикционные силы (силы Джоуля), вектор объемной плотности которых имеет один отличный от нуля компонент ∗ ϕf , причем ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ρ∂ ∂ + ρπρ − − ∂ ∂ πρ − − ∂ ϕ∂ ρ= ρ σ + ∂ σ∂ + ρ∂ σ∂ = ∗∗ ρ∗ ρ ∗ ρϕϕ ∗ ρϕ∗ ϕ z HH H1I 4 mm z hI 4 mm z G2 z f z 0 21z 0 21 2 2 z . В соответствии с принципом Даламбера алгебраическая сумма моментов внутренних и внеш- них сил в любой момент времени уравновешивается моментом сил инерции движущихся материаль- ных частиц. Определим эти моменты относительно оси Oz . На поверхностях R=ρ и 1r=ρ (на внешней и внутренней боковых поверхностях полого стержня) выделенного сегмента действуют напряжения ∗ ρϕσ (рис. 2, б), которые создают момент сил [ ]dz)z,r(r)z,R(R2M 1 2 1 2 ρϕρϕσ σ−σπ= . (4) Распределенная по объему сегмента с плотностью ∗ ϕf сила Джоуля создает момент ( ) ( ) ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ∂ ϕ∂ − π =ϕρϕρρρ= ∫∫ π ϕ 2 2 4 1 4 2 0 R r f z GrR 2 dzddz,,(fdzM 1 ( )4 41 2 0 14 z f m m hI R r M z ∗ ⎤− ∂ − − ⎥∂ ⎦ , (5) где ∫ ρ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ρ∂ ∂ + ρ ρ − = ∗∗ ρ∗ ρ ∗ R r z 0 21 f 1 d z HH H1I 2 mmM - момент сил Джоуля магнитного поля внешнего источ- ника (катушки). В случае изотропной по магнитным свойствам среды из уравнения Максвелла t H t BErot ∂ ∂ μ−= ∂ ∂ −= ∗∗ следует, что 0Hdiv =∗ . Тогда 0Mf =∗ . Момент инерции материальных частиц выделенного сегмента определяется следующим обра- зом: ( )∫∫ π ϕ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ϕ∂ ρ− π = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ϕρρρρ= 2 0 R r 2 2 0 4 1 4 2 2 0m 1 t rR 2 dz t u dddzM , (6) где 0ρ - плотность ферромагнетика. Так как в любой момент времени должно выполняться равенство mf MMM =+σ , то подстанов- 82 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2017. № 3 ка в это равенство соотношений (4), (5) и (6) приводит к следующему результату: ( ) )z( z hrRI 4 mm t J z GJ z4 1 4 0 21 2 2 0p2 2 p ∗μ= ∂ ∂ − − − ∂ ϕ∂ ρ− ∂ ϕ∂ , (7) где ( ) 2rRJ 4 1 4 p −π= - полярный момент инерции поперечного сечения полого стержня; 0ρ - плот- ность; [ ] ∗∗ ρ ∗ ρ ∗ +− − =μ f110 21 M)z,r(Hr)z,R(RHI 2 mm)z( - линейная плотность внешних крутящих моментов. Исключим из уравнения движения элемента стержня (7) неизвестную производную zhz ∂∂ . Из уравнения Максвелла tBErot ∂∂−= следует условие ( ) 0)h(BBBdivBdiv MV =++= ∗ , где ( )qs 0 ppkqskV xuHmeB ∂∂= ; ke - единичный орт координатной линии системы координат; mkmkM heB εμ= . Так как 0Bdiv =∗ по определению, ( ) 0hB z z3zV =μ+ ∂ ∂ ε . (8) Так как z I 8 mmHmB 0 21 z 0 2323zV ∂ ϕ∂ π − =ε= ϕϕ , то из (8) следует, что 2 2 0 3 21z z I 8 mm z h ∂ ϕ∂ πμ − −= ∂ ∂ ε . Подставляя найденную величину zhz ∂∂ в уравнение движения (7), получаем [ ] [ ]Bp2 2 B p 0p 2 2 GJ )z( tGJ J z ∗μ = ∂ ϕ∂ρ − ∂ ϕ∂ , (9) где [ ]BpGJ - жесткость на скручивание намагниченного ферромагнитного стержня, причем [ ] [ ])GJ(1GJGJ pp B p Δ+= , где [ ] p3 2 1 22 021 p GJ32 )rR(I)mm( )GJ( επμ −− =Δ - увеличение крутильной жесткости при намагничивании или EΔ – эффект в режиме кручения полых цилиндров поляризованных окружным магнитным полем. Для никеля ( ГПа66G = ; мГн1077,330 5 03 −ε ⋅=μ=μ ; мГн1m1 = ; 2mm 12 −≅ ), при токе A6I0 = и размерах м102R 3−⋅= и м105,1r 3 1 −⋅= получаем ( ) 2 p 103,3GJ −⋅=Δ . Т.е. жест- кость стержня на скручивание изменяется на 3,3%, что, соответственно, вызовет увеличение скорости распространения недиспергирующих крутильных волн не более чем на 1,7%. Таким образом, можно констатировать, что учет связности упругих и магнитных полей при- водит к поправкам, которые в большинстве случаев не оказывают существенного влияния на количе- ственные и качественные характеристики получаемых результатов. Полагая, что все процессы в деформируемом стержне изменяются во времени по гармониче- скому закону tie ω , перепишем уравнение (9) в следующем виде: [ ]Bp 2 s2 2 GJ )z(k z ∗μ =ϕ+ ∂ ϕ∂ , (10) где B ss vk ω= - волновое число, а [ ] )J(GJv p0 B p B s ρ= - скорость волн сдвига или крутильных волн в намагниченном ферромагнитном стержне. Рассмотрим решение уравнения (10) для распространяющейся гармонической крутильной волны. Как правило, в промышленности используют трубки, длина которых существенно превышает их диаметр, поэтому будем считать их бесконечно длинными. Будем полагать, что внешние крутящие моменты сосредоточены в некотором объеме стержня в окрестности начала координат, ограниченном слева и справа сечениями Az ±= . Помимо этого потребуем, чтобы источник, порождающий внеш- ние нагрузки, удовлетворял условию физической реализуемости, что эквивалентно существованию несобственного интеграла по переменной z от линейной плотности сил ( )z∗μ . Поскольку при ∞→z источники возмущений отсутствуют, то искомое решение уравнения (10) должно удовлетворять условиям физической реализуемости напряженно деформируемого со- стояния, т.е. 0 z ;lim z = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ϕ∂ ϕ ∞→ . (11) ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2017. № 3 83 Для того, чтобы обеспечить выполнение условий (11) необходимо и достаточно положить, что волновое число sk является комплексной величиной, т.е. ( )α−= i1kk 0 ss , где 0 s 0 s vk ω= - волно- вое число, определенное без учета частотно-зависимого поглощения энергии ультразвуковых волн; 0 sv - скорость волн сдвига, измеренная в области очень низких частот, в которой поглощение энергии упругих колебаний можно не принимать во внимание; α − сколь угодно малая безразмерная величи- на – коэффициент затухания. В этом случае выражение для расчета углов поворотов поперечных се- чений стержня в гармонических волнах, уходящих влево и вправо от источника, ( ) ( ) tizik ee)t,z( s ω±±± Φ=ϕ ( ( )±Φ - угол поворота поперечного сечения стержня во фронте крутильной волны) принимает следующий вид: ( ) ( ) ( )zktizk 0 s 0 s ee)t,z( ±ωα±±± Φ=ϕ . Для волны, уходящей влево от ис- точника, сомножитель zk0se α при ∞−→z обращается в нуль. Для уходящей вправо волны сомножи- тель zk0se α− также обращается в нуль при ∞→z . Выполнение условий физической реализуемости (11) позволяет применить для решения урав- нения (10) метод интегральных преобразований [4]. При решении уравнения (10) введем интегральные образы функций ( )zϕ и )z(∗μ как прямое преобразование Фурье, заданное следующими выражениями: ∫ ∞ ∞− λ−ϕ π =λϕ dze)z( 2 1)( zi , ∫ ∞ ∞− λ−∗∗ μ π =λμ dze)z( 2 1)( zi , (12) где λ - неизвестный параметр интегрального преобразования, подлежащий определению в ходе ре- шения задачи. Переход к оригиналам функций, т.е. к величинам ( )zϕ и )z(∗μ осуществляется путем вычис- ления следующих интегралов: ∫ ∞ ∞− λ λλϕ=ϕ de)()z( zi , ∫ ∞ ∞− λ∗∗ λλμ=μ de)()z( zi . (13) Существование интегралов (12) и (13) обеспечивается условиями физической реализуемости источника внешних сил (это источник конечной мощности) и предельными условиями (11) для дина- мического напряженно-деформированного состояния стержня. Подвергая прямому интегральному преобразованию Фурье левую и правую части уравнения (10), после двукратного интегрирования по частям в первом слагаемом левой части получаем ( )( ) ( ) [ ]Bp 22 s GJ k λμ =λ−λϕ ∗ , откуда следует решение в терминах интегральных образов ( ) ( ) [ ] ( )22 s B p kGJ λ− λμ =λϕ ∗ и формальное решение уравнения (10) ( ) [ ] ( ) ( )∫ ∞ ∞− λ∗ λ λ− λμ =ϕ d k e GJ 1z 22 s zi B p . (14) При вычислении интеграла (14) необходимо принимать во внимание, что волновое число sk является комплексным со сколь угодно малой мнимой частью α0sk . Сообразно этому, можно предпо- ложить, что и параметр интегрального преобразования также является комплексным числом с веще- ственной частью λ . Т.е. в качестве параметра интегрального преобразования при вычислении инте- грала (14) необходимо рассматривать комплексную величину ζ+λ=ξ i . При таком подходе Фурье- образы )(ξμ∗ и )(λμ∗ совпадают при 0=ζ , т.е. на вещественной оси комплексной плоскости ζ+λ=ξ i . Поскольку линейная плотность внешних крутящих моментов соответствует физически реализуемому источнику, постольку функции )(ξμ∗ и )(λμ∗ являются аналитическими. Из теоремы единственности для аналитических функций [7] следует, что любую функцию, определенную для действительных значений переменной, можно продолжить до аналитической функции комплексной 84 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2017. № 3 Imξ Reξ C∞ Cρ A B C1 D D1 ξ1 α0sik 0 sk− Рис. 3 C переменной не более чем одним способом. Говоря иными словами, если )(ξμ∗ и )(λμ∗ совпадают хотя бы в одной точке комплексной плоскости, то они суть одна и та же функция. Следовательно, инте- грал (14) является частью интеграла по комплексной плоскости ξ . Поскольку речь идет об интегри- ровании аналитических функций, интегрирование по плоскости сводится к интегрированию по замк- нутому контуру. Рассмотрим волну, уходящую вправо от источника внешних сил, т.е. будем считать, что 0z > . Тогда контур интегрирования при определении угла поворота ( )zϕ будет целиком находиться в верхней полуплоскости комплексной плоскости ξ , рис. 3. При положительных ζ и z и ∞→z , выполняется условие (11) и подынтегральное выражение в формуле (14) обращается в нуль. Внутри контура интегри- рования знаменатель подынтегрального выражения 22 sk ξ− обращается в нуль в точке α+−=ξ 0 s 0 s1 ikk . В этой точке подынтегральная функция теряет аналитичность. Окружив точку 1ξ малой окружностью ρC с радиусом 0→ρ , мы исключим тем самым точку 1ξ из верхней полуплоскости. После этой операции можно утверждать, что подынте- гральное выражение (14) является аналитической функци- ей во всех точках области, окруженной контуром. В этом случае интеграл по замкнутому контуру равен нулю. Кон- тур интегрирования состоит из дуги бесконечного радиуса ∞C , интеграл вдоль которой в соответствии с леммой Жордана [7] равен нулю, отрезка AB , интеграл вдоль которого является искомым интегралом (14), и малой окружности ρC , интеграл по которой предстоит вычислить. Интегралы по отрезкам CD и 11DC взаимно уничтожаются, так как это по сути один и тот же отрезок, который проходит в двух противоположных направлениях. Воспользовавшись теоремой Коши [7], запишем ξ λ− ξμ −=λ λ− λμ ∫∫ ρ ξ∗ ∞ ∞− λ∗ d )k( e)(d )k( e)( C 22 s zi 22 s zi . (15) При вычислении интеграла по окружности ρC воспользуемся теоремой о среднем и предста- вим числитель в виде zi 1 1e)( ξ∗ ξμ . Что касается знаменателя, то ( )( )ξ+ξ−=ξ− ss 22 s kkk . При 1ξ→ξ сомножитель α−=ξ− 0 s 0 ss ikk2k . Второй сомножитель в разложении знаменателя ψρ=ξ+ i s ek , где ρ - фиксированное сколь угодно малое число, а ψ - полярный угол, изменяющийся в пределах от 0 до π2 . Так как ψρ=ξ+ i s ek , то ψρ=ξ ψdeid i , и правую часть выражения (15) запишем виде zi 10 s 0 s 2 0 i i 0 s 0 s zi 1 C 22 s zi 1 1 e)( ikk2 i2 e de ikk2 e)(id )k( e)( ξ∗ π ψ ψξ∗ξ∗ ξμ α− π = ρ ψρ α− ξμ =ξ ξ− ξμ ∫∫ ρ . (16) Следуя методу предельного поглощения [5], выполним в полученном результате предельный переход при 0→α . При этом [ ] )k(e kGJ i)z( s zik s B p s −μ π −=ϕ ∗− . (17) В формуле (17) 0 ss kk ≡ - индекс нуль опущен. Фурье-образ )k( s−μ∗ в формуле (17) вычисля- ется в соответствии с определением (12) при sk−=λ . Подставляя развернутое выражение для вели- чины )k( s−μ∗ в формулу (17), получаем конечный вид решения уравнения (10) для волны, уходящей вправо от источника внешних сил [ ] dze)z(e kGJ2 i)z( zikzik s B p ss ∫ ∞ ∞− ∗− μ−=ϕ . (18) Следует подчеркнуть, что выражение (18) определяет пространственно-развитую амплитуду ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2017. № 3 85 гармонически изменяющихся во времени углов поворотов поперечных сечений полого ферромагнит- ного стержня. Рассуждая аналогичным образом, можно получить решение для пространственно-развитой амплитуды крутильной волны, которая уходит влево от источника возмущений [ ] dze)z(e kGJ2 i)z( zikzik s B p ss ∫ ∞ ∞− −∗− μ−=ϕ . (19) Представленные формулами (18) и (19) резуль- таты можно записать в следующем виде: ( ) ( )⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −<Φ >Φ=ϕ + −− ,Az,e ,Az,e)z( zik zik s s (20) где ( )±Φ - смещения материальных частиц стержня во фронте волны; A± - границы области существования переменного магнитного поля или физическая беско- нечность для источника переменного магнитного поля, причем ( ) [ ] dze)z( kGJ2 i zik s B p s∫ ∞ ∞− ∗± μ−=Φ ∓ . (21) Поскольку характер распределения внешних на- грузок полностью определяется конструкцией их источ- ника, то величины ( )±Φ содержат в своем аналитиче- ском определении информацию о конструкции и основ- ных параметрах источника механических возмущений. Рассмотрим модельный пример (рис. 4) процесса возбуждения крутильных волн с помощью ЭМАП, кон- струкция которого схематически показана на рис. 1. Расчетная схема такого преобразователя показана на рис. 4, а, на котором изображена силовая линия магнит- ного поля катушки в некоторый фиксированный момент времени 0t . Так как вектор напряженности магнитного поля )z,(H ρ∗ является касательным вектором в каждой точке силовой линии, то это позволяет качественно оце- нить характер изменения амплитудных значений ком- понентов вектора )z,(H ρ∗ в пространстве. На рис. 4, б показаны модельные представления распределения вдоль оси z компонентов вектора )z,(H ρ∗ . Штриховой кривой на этом рисунке показано пространственное из- менение радиальной компоненты вектора напряженнос- ти переменного магнитного поля катушки. В присутствии постоянного кругового поляри- зующего магнитного поля )(H0 ρϕ на поверхности ферро- магнитного стержня формируются касательные напря- жения Джоуля 2/HH)mm( 0 21 ∗ ρϕ ∗ ρϕ −=σ . Эти напряжения создают крутящие моменты с плотностью )z(∗μ , харак- тер изменения которой по длине стержня показан на рис. 4, в. При качественной (модельной) оценке резуль- татов вычисления интеграла (21) можно воспользовать- ся аппроксимацией функции ( )z∗μ , показанной на рис. 4, в заштрихованными прямоугольниками. Полагая, Рис. 4 z б) - ∗ ρ ∗ H,Hz z в) - -( +δ) - +δ -δ +δ μ(z) ∗+ 0m z а) Ieiωt H H ∗ zH ∗ zH ∗ ρH ∗ ρH I0 ∗− 0m г) z - Ф0 -Ф0 ϕ(z) 86 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2017. № 3 что ( ) ∗∗ =μ 0mz при zδ δ− ≤ ≤ + и ( ) ∗∗ −=μ 0mz при zδ δ− − ≤ ≤ − + , получаем следую- щий результат: ( )s p 0)( kW GJ m2 δ =Φ ± ∓ , где символом ( )sW k обозначена зависящая от частоты (волнового числа sk ) функция, числовые зна- чения которой определяются по формуле ( ) δ δ = s s s s s k ksin k ksinkW . При 0ks → функция ( )sW k = 1 и [ ] [ ]BpB p0 )( GJ/MGJ/m2 ∓∓ ∗± =δ=Φ , где 0m2M δ=∗ – внеш- ний крутящий момент. Последний результат означает, что сечения δ+=z и δ−−=z поворачи- ваются на угол 0Φ± , величина которого определяется по формуле [ ]Bp0 GJ/M∗=Φ , т.е. в полном со- ответствии с элементарной теорией кручения стержней [6]. Участки стержня слева и справа от сече- ний z δ= − − и z δ= + поворачиваются при этом как единое жесткое целое. Расчетные дан- ные изменения углов поворотов поперечных сечений ( )±Φ при 0ks → приведены на рис. 4, г. Отмеченное соответствие результатов решения уравнения (10) с результатами известной тео- рии [9] кручения стержней кругового поперечного сечения свидетельствует в пользу достоверности выражения (21) для расчета амплитуды углов поворотов поперечных сечений стержня во фронте кру- тильной волны. Рассмотрим, как изменяются повороты поперечных сечений стержня по мере возрастания частоты смены знака магнитного поля катушки. На рис. 5 показаны расчетные данные изменения модуля функции ( )skW от изменения безразмерного волнового числа. Расчет числовых значений функции произведен в предположении, что 2/=δ . Из при- веденных данных следует, что с ростом значений безразмер- ного волнового числа sk или, что то же самое, безразмер- ной частоты 0ωτ ( 0 svτ = - масштабирующий временной интервал) резко уменьшаются значения функции ( )sW k , периодически достигая на частотах, которым соответствуют значения mπsk = ( ...,3,2,1m = ), нулевых значений. Сооб- разно значениям функции ( )sW k меняется величина углов поворотов поперечных сечений полого стержня во фронте крутильной волны. Причиной отмеченных особенностей поведения функции ( )skW является интерференция упругих волн. Для объяснения результатов, приведенных на рис. 5, рассмотрим малый участок стержня, ог- раниченный поперечными сечениями zz Δ±′ , находящийся в поле действия внешних крутящих мо- ментов в области ( )zδ δ′− < < + . Материальные частицы этого участка стержня движутся под действием внешних сил и обмениваются импульсом с соседними частицами, т.е. выделенный участок стержня можно рассматривать как некоторый элементарный (в смысле мощности) излучатель, кото- рый генерирует стационарное поле углов поворотов поперечных сечений, характеризующееся ста- ционарным распределением фаз по длине стержня. Другой малый участок, ограниченный сечениями zz Δ±′− ( )zδ δ′− − < − < − + , можно интерпретировать как другой элементарный излучатель, ге- нерирующий свое стационарное поле углов поворотов, которое на данной частоте имеет ту же длину волны, что и поле, излучаемое первым, симметрично расположенным, малым участком, и характери- зуется так же стационарным распределением фаз по длине стержня. Между этими двумя распределе- ниями фаз существует постоянный фазовый сдвиг, который пропорционален zk2 s ′ и в зависимости от частоты колебаний и расстояния между излучающими участками может приобретать значения в интервале от 0 до π2 . В зависимости от величины этого фазового сдвига может наблюдаться либо взаимное подавление излучения двух симметрично расположенных относительно плоскости 0 2 4 6 8 10 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 sk ( )skW Рис. 5 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2017. № 3 87 0z = участков стержня, либо сложение этих полей, которое максимально усиливает результирующее значение углов поворотов поперечных сечений стержня. При некоторых значениях частоты (безраз- мерного волнового числа) разность фаз между стационарными полями, излучаемыми различными элементарными участками стержня, расположенными симметрично относительно плоскости 0z = , достигает такой величины, что наступает полная взаимная компенсация углов поворотов поперечных сечений. Такая ситуация соответствует нулевым амплитудам углов поворотов и периодически повто- ряется с ростом частоты. Функция ( )sW k , частотно-зависимое изменение которой обсуждалось выше, является, по существу, частотной характеристикой рассматриваемого ЭМАП и её можно, в принципе, так и назы- вать. Однако это определение не является исчерпывающе полным. Действительно, при одних и тех же значениях частоты и геометрических параметров конструкции ЭМАП значения амплитуд углов поворотов для стержней из различных материалов будут различными. Это в достаточной мере оче- видно, так как значения функции ( )skW целиком определяются значениями волнового числа s sk = ω v . С учетом этого обстоятельства представляется целесообразным называть функцию ( )sW k не частотной, а волновой характеристикой ультразвукового преобразователя. Предлагаемый термин наиболее полно отражает внутреннее содержание аналитического описания процесса возбуж- дения упругих волн внешними силами, распределенными в объеме деформируемой трубки. Волновая характеристика ультразвукового преобразователя, являющаяся по своей сути мате- матической моделью устройства, имеет не только теоретическое, но и вполне четко определенное практическое значение. Действительно, имея в своем распоряжении достаточно полную (в смысле перечня учитываемых физико-механических и геометрических параметров объекта) математическую модель устройства, можно выполнить необходимые расчеты и, не прибегая к длительному и дорого- стоящему натурному моделированию, сформулировать рекомендации по выбору вариантов конст- руктивного исполнения ЭМАП, обладающего наперед заданными параметрами и характеристиками. Выводы. Разработана физико-математическая модель процесса электромагнитно-акустиче- ского преобразования, математическая часть которого сформулирована в виде дифференциального уравнения вынужденных крутильных колебаний в полом ферромагнитном стержне, предварительно намагниченном в окружном направлении. Дана количественная оценка EΔ -эффекту при кручении. Показано, что связность упругих и магнитных полей в первом приближении можно не учитывать. Построено общее решение дифференциального уравнения вынужденных бегущих крутиль- ных колебаний в бесконечном стержне. Анализ общего решения дифференциального уравнения и компьютерное моделирование по- зволили выделить часть решения в виде волновой характеристики преобразователя, которая устанав- ливает связь между геометрическими параметрами преобразователя и свойствами материала изделия с амплитудой возбуждаемых крутильных волн на заданной частоте. Такое теоретическое описание преобразователя позволяет проектировать ЭМАП с наперед заданными характеристиками. Для пре- образователей такого типа, в сравнении с традиционными, не требуется обязательная зачистка по- верхности изделия и использование контактной жидкости. 1. Власов К.Б. Некоторые вопросы теории упругих ферромагнитных (магнитострикционных) сред // Изв. АН СССР. Сер. физическая. – 1957. – Т. 21. – № 8. – С. 1140–1148. 2. Ермолов И.Н., Ланге Ю.В. Неразрушающий контроль. – М.: Машиностроение, 2004. – 864 с. 3. Ермолов И.Н. Неразрушающий контроль. – М.: Высшая школа, 1991. – 283 с. 4. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической фи- зики. – М.: Высшая школа, 1970. – 710 с. 5. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. – М.: Мир, 1974. – 327 с. 6. Патент України № 18475. G01R 33/18. Спосіб визначення фізико-механічних констант полікриста- лічних магнітострикційних (феромагнітних) матеріалів // Петрищев О.М., Трохимець А.П., Трохимець В.А. Опубл. 15. 11. 2006. Бюл. № 11. 7. Смирнов В.И. Курс высшей математики. – М.: Наука, 1974. – 672 с. 8. Судакова К.В., Казюкевич И.Л. О повышении эффективности контроля качества металлургической продукции // В мире неразрушающего контроля. – 2004. – № 3. – С. 8–10. 9. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1986. – 512 с. 88 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2017. № 3 10. Suchkov G.M., Taranenko Yu.K., Khomyak Yu.V. A Non-Contact Multifunctional Ultrasonic Transducer for Measurements and Non-Destructive Testing // Measurement Techniques. – 2016. – No 12. – Vol. 59. – Iss. 9. – Pp. 990–993. 11. Zhichao Cai, Suzhen Liu, Chuang Zhang, Oingxin Yang. Microscopic Mechanism and Experiment Re- search of Electromagnetically Induced Acoustic Emission // IEEE Transactions on Magnetics. – 2015. – Vol. 51. – No 11. Code 9401804. – 4pgs. УДК 620.179.16: 620.179.17 МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ ЕЛЕКТРОМАГНІТНО–АКУСТИЧНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРИ ЗБУДЖЕННІ КРУТИЛЬНИХ ХВИЛЬ С.Ю. Плєснецов1, канд.техн.наук, О.М. Петрищев2, докт.техн.наук, Р.П. Мигущенко1, докт.техн.наук, Г.М. Сучков1, докт.техн.наук 1 - Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут», вул. Кирпичова, 2, Харків, 61002, Україна. E-mail: hpi.suchkov@gmail.com 2 - Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут», пр. Перемоги, 37, Київ, 03056, Україна. E-mail: petrischev@ukr.net У вигляді диференціального рівняння розроблено фізико-математичну модель процесу перетворення електромагнітної енергії в акустичну в порожнистому феромагнітному стрижні, який намагнічений по периметру перетину постійним по- ляризуючим магнітним полем. За допомогою інтегрального перетворення Фур'є отримано загальне рішення неоднорідного диференціального рівняння для режиму біжучих крутильних хвиль. Оцінений внесок жорсткості намагніченого стрижня в інтенсивність збудженого акустичного поля. На модельному прикладі досліджені і пояснені частотні особливості елект- ромагнітно-акустичного перетворення. Встановлено зв'язок між геометричними параметрами моделі перетворювача і властивостей матеріалу виробу з амплітудою збуджених крутильних хвиль на заданій частоті. Результати досліджень можуть застосовуватися в енергетичній, атомній, хімічній та інших галузях промисловості при ультразвуковому контро- лі трубчатих виробів. Бібл. 11, рис. 5. Ключові слова: крутильні хвилі, електромагнітно-акустичне перетворення, трубчатий виріб, хвильова характеристика пере- творювача. MODELING OF ELECTROMAGNETIC-ACOUSTIC CONVERSION WHEN EXCITED TORSIONAL WAVES S.Yu. Plesnetsov1, O.N. Petrishchev2, R.P. Migushchenko1, G.M. Suchkov1 1 - National Technical University “Kharkiv Polytechnic Institute”, 2, Kirpichova str., Kharkiv, 61002, Ukraine. E-mail: hpi.suchkov@gmail.com 2 - National Technical University of Ukraine “Kyiv Polytechnic Institute”, 37, Prospect Peremohy, Kyiv, 03056, Ukraine. E-mail: petrischev@ukr.net Physical and mathematical model of the process of transformation of electromagnetic energy into acoustic energy in the hollow fer- romagnetic rod circumferentially magnetized by permanent polarizing magnetic field designed in the form of differential equations. With the help of the Fourier integral the general solution of the inhomogeneous differential equation for torsional mode of traveling waves was solved. The contribution of the stiffness of the rod magnetized in the intensity of the excited acoustic field was estimated. In the model example frequency characteristics of electromagnetic - acoustic conversion were investigated and explained. The rela- tionship between the geometric parameters of the converter model and product properties of the material with the amplitude of the excited torsional waves at a given frequency was discovered. The research results can be used in the energy, nuclear, chemical and other industrial areas appropriate for ultrasonic inspection of tubular products. References 11, figures 5. Keywords: torsional wave, electromagnetic - acoustic conversion, the tubular article, the wave converter characteristic. 1. Vlasov K. B. Several issues of elastic ferromagnetic (magnetostrictive) environments theory // Izvestiia AN SSSR. Seriia fi- zicheskaia. – 1957. – Vol. 21. – No 8. – Pp. 1140–1148. (Rus) 2. Ermolov Y.N., Lange Iu.V. Non-destructive testing. – Moskva: Mashinostroenie, 2004. – 864 p. 3. Ermolov Y.N. Non-destructive testing. – Moskva: Vysshaia shkola, 1991. – 283 p. (Rus) 4. Koshliakov N.S., Glyner E.B., Smirnov M.M. Partial derivative equations of mathematical physics. – Moskva: Vysshaia shkola, 1970. – 710 p. (Rus) 5. Myttra R., Ly S. The analytical methods of waveguide theory. – Moskva: Mir, 1974. – 327 p. (Rus) 6. Patent Ukrainy No 18475. Method for determining the physical and mechanical parameters of polycrystalline ferromagnetic or magnetostrictive material / Petryshchev O.M., Trokhymets A.P., Trokhymets V.A. Opubl. 15.11.2006. Biul. No 11. (Ukr) 7. Smyrnov V.Y. High math course. Volume III. Part 2. – Moskva: Nauka, 1974. – 672 p. (Rus) 8. Sudakova K.V., Kaziukevych Y.L. On increase of metallurgic product quality testing efficiency // V mire nerazrushaiushchego kon- trolia. – 2004. – No 3. – Pp. 8–10. (Rus) 9. Feodosev V.Y. Strength of materials. – Moskva: Nauka, 1986. – 512 p. (Rus) 10. Suchkov G.M., Taranenko Yu.K., Khomyak Yu.V. A Non-Contact Multifunctional Ultrasonic Transducer for Measurements and Non-Destructive Testing // Measurement Techniques. – 2016. – No 12. – Vol. 59. – Issue 9. – Pp. 990–993. 11. Zhichao Cai, Suzhen Liu, Chuang Zhang, Oingxin Yang. Microscopic Mechanism and Experiment Research of Electromagneti- cally Induced Acoustic Emission // IEEE Transactions on Magnetics. − 2015. – Vol. 51. – No 11. – Code 9401804. – 4 p. Надійшла 02.12.2016 Остаточний варіант 21.02.2017

Моделирование процесса электромагнитно-акустического преобразования при возбуждении крутильных волн

Institution

Similar Items