Физико-математические аспекты затвердевания отливок разной геометрии в песчаной форме. Сообщение 2
Приведена математическая модель затвердевания отливок в песчаной форме и алгоритм расчета нестационарных температурных полей в системе отливка-форма-внешняя среда. Представлено математична модель тверднення виливків в піщаній формі та алгоритм розрахунку нестаціонарних температурних полів в системі...
Saved in:
| Published in: | Металл и литье Украины |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України
2014
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/159754 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Физико-математические аспекты затвердевания отливок разной геометрии в песчаной форме. Сообщение 2 / В.А. Мамишев, О.И. Шинский, Л.А. Соколовская // Металл и литье Украины. — 2014. — № 11. — С. 21-24. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859669230631256064 |
|---|---|
| author | Мамишев, В.А. Шинский, О.И. Соколовская, Л.А. |
| author_facet | Мамишев, В.А. Шинский, О.И. Соколовская, Л.А. |
| citation_txt | Физико-математические аспекты затвердевания отливок разной геометрии в песчаной форме. Сообщение 2 / В.А. Мамишев, О.И. Шинский, Л.А. Соколовская // Металл и литье Украины. — 2014. — № 11. — С. 21-24. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Металл и литье Украины |
| description | Приведена математическая модель затвердевания отливок в песчаной форме и алгоритм расчета нестационарных температурных полей в системе отливка-форма-внешняя среда.
Представлено математична модель тверднення виливків в піщаній формі та алгоритм розрахунку нестаціонарних температурних полів в системі виливок-форма-довкілля.
It is presented the mathematical model of castings solidification in the sandy mould and algorithm of calculate the nonstationary temperature fields in the system casting-mould-outward environment.
|
| first_indexed | 2025-11-30T13:02:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
21МЕТАЛЛ И ЛИТЬЕ УКРАИНЫ № 11 (258) ’2014
– дифференциальные уравнения переноса тепла
в отливке и форме:
– начальные условия распределения температу-
ры в отливке и форме:
– граничные условия теплообмена отливки с фор-
мой и внешней средой:
где: Т – температура, оС; t – время, с; r – координата,
м; R – полутолщина (радиус), м; pf – параметр кри-
визны фронта солидус ( р1 = 0 для плоского фронта;
р2 = 1 для цилиндрического фронта; р3 = 2 для сфе-
рического фронта);
T
TG
r
∂
=
∂
– градиент температу-
ры, oC/м; aэ = lэ / Сэ – температуропроводность, м2/с;
lэ = εп lт – теплопроводность, Вт/(м.K); εп – степень
перемешивания расплава; r – плотность, кг/м3; с –
удельная теплоемкость, Дж/(кг.K); Сэ = (с + Lкрqкр) –
объемная теплоемкость, Дж/(м3.K); qкр = –(dgT/dT) –
температура кристаллизации, K-1; Lкр – теплота
кристаллизации, кДж/кг; gT – доля твердой фазы;
DТ – температурный напор, oC; a1, a2 – коэффициен-
ты теплопередачи и теплоотдачи, Дж/(м2.c.K); индек-
сы: о – отливка; ф – форма; с – среда; к – контакт;
Б
ольшинство задач затвердевания отливок разной
массы и конфигурации не имеет строгого анали-
тического решения [1-3] в виде точных формул
расчета температуры в любой точке отливки и
формы для любого момента времени. Поэтому не-
обходимо применять [4-8] приближенные численные
методы расчета нестационарных температурных
полей в затвердевающей отливке и теплоаккуму-
лирующей форме с использованием персональных
компьютеров. Моделирование теплофизических про-
цессов литья численными методами в системе от-
ливка-форма-окружающая среда весьма актуально.
Методом вычислительного эксперимента [9] мож-
но получать численные решения сложных тепло-
вых задач затвердевания отливок из стали, чугуна
и других сплавов в податливых газопроницаемых
песчаных формах. Численное решение задачи за-
твердевания отливок разной массы и геометрии мо-
жет обеспечить достаточную для практики литейного
производства и металлургии точность расчета неста-
ционарных температурных полей в отливке и форме.
Чтобы разработать методику расчета нестацио-
нарных температурных полей при затвердевании и
охлаждении отливок или их фрагментов (если отлив-
ка сложной конфигурации расчленена на простые
геометрические тела), целесообразно упростить те-
плофизическую постановку задачи затвердевания
фасонных отливок при нагреве расплавом стенок
песчаной формы. Однако упрощенная математиче-
ская модель затвердевания должна адекватно от-
ражать реальные процессы теплообмена в системе
отливка-форма-окружающая среда.
Для математического моделирования процесса
затвердевания отливок разной массы и геометрии в
форме из кварцевого песка сформулированы диф-
ференциальные уравнения нестационарной тепло-
проводности в отливке и форме. Уравнения рас-
пространения теплоты в объеме затвердевающей
отливки и в стенках песчаной формы дополнены ус-
ловиями начального распределения температуры по
толщине отливки и формы и условиями внешнего те-
плообмена на границах теплового влияния формы на
отливку и окружающей среды на форму. Разработан-
ную математическую модель затвердевания отливок
разной массы и геометрии в песчаной форме удобно
представить в обобщенном виде:
УДК 621.746
В. А. Мамишев, О. И. Шинский, Л. А. Соколовская
Физико-технологический институт металлов и сплавов НАН Украины, Киев
Физико-математические аспекты затвердевания отливок
разной геометрии в песчаной форме. Сообщение 2
Приведена математическая модель затвердевания отливок в песчаной форме и алгоритм расчета
нестационарных температурных полей в системе отливка-форма-внешняя среда.
Ключевые слова: отливка, затвердевание, песчаная форма, температурное поле
(3)
о 0 РtT (r) T= =
ф 0 нtT (r) T= = (4);
;
о0 -r R< < (1), ,
2
э 2
f
T
pT Ta G
t rr
∂ ∂= − ∂ ∂
(2), ;о фR r R+ < <
2
ф 2
f
Т
pT Ta G
t rr
∂ ∂= − ∂ ∂
(5)
(6)
(7)
(8)
;
;
;
;
0 0Т rG = =
о 1 ко Δr RТG T= − =λ α
ф 1 ко
ΔТ r RG T= +
=λ α
фф 2 сΔRТG T=λ α
r = Rф
22 МЕТАЛЛ И ЛИТЬЕ УКРАИНЫ № 11 (258) ’2014
Температура в j-х узлах расчетных слоев отливок
разной геометрии (j = 3, 5, 7, …; 2 < j < M2 – 1) вычис-
ляется по явной конечно-разностной формуле:
Температура в i-х узлах отливок разной геометрии
(i = 2, 4, 6, …; 1 < i < M2) вычисляется по неявной
конечно-разностной формуле с учетом полученных
значений температуры в соседних ( j– и j+ ) расчетных
узлах отливки:
Температура поверхности охлаждения плоских,
цилиндрических и сферических отливок в зоне их
контакта с формой вычисляется по формуле:
н – начальный; р – расплав; п – перемешивание; ж –
жидкий; т – твердый; кр – кристаллизация; э – эффек-
тивный; f – фронт; (-) – слева; (+) – справа.
В дифференциальных уравнениях матема-
тической модели затвердевания отливок разной
геометрии в обычной (сухой или сырой) и низко-
температурной (охлажденной или замороженной)
песчаных формах учтены тепловые эффекты фа-
зовых переходов: теплота кристаллизации стали
и чугуна в отливке, теплота плавления прослоек
льда и теплота испарения пленок воды в замо-
роженной форме. Темп кристаллизации в выра-
жении объемной теплоемкости двухфазной зоны
отливки отражает процесс фазового перехода при
затвердевании расплава.
Теплофизическое воздействие вынужденной и
естественной (тепловой) конвекции расплава [10, 11]
в жидкой сердцевине затвердевающих отливок раз-
ной массы на их температурное состояние учтено с
помощью коэффициента перемешивания расплава.
�то необходимо для количественной оценки степени
влияния эффективной теплопроводности [12] жид-
кого и кристаллизующегося металла на процесс за-
твердевания отливок в песчаной форме.
Реализация на ПК математической модели
(1)-(8) затвердевания отливок разной геометрии в
форме из кварцевого песка позволяет исследовать
степень влияния геометрического фактора (пара-
метр кривизны [13] подвижного фронта солидус)
и теплофизического фактора (эффективная тем-
пературопроводность двухфазной зоны с учетом
темпа кристаллизации [14] железоуглеродистого
сплава) на кинетику затвердевания стальной или
чугунной отливки.
При разбивке отливок разной массы и геометрии
и стенок формы на расчетные слои можно вычислять
температуру в j-х точках (дискретных узлах) на гра-
ницах этих слоев и в расположенных между ними i-х
точках (узлах) системы отливка-форма в последова-
тельные моменты времени tk+1 от начала затверде-
вания отливки к моменту ее охлаждения до техноло-
гически заданной температуры выбивки из песчаной
формы полностью затвердевшей отливки.
Для численного решения задач затвердевания
отливок разной геометрии в теплоаккумулирующей
форме из кварцевого песка выполнена аппроксима-
ция (приближенное представление) дифференци-
альных уравнений нестационарной теплопроводно-
сти и граничных условий математической модели
затвердевания отливок в виде более простых алге-
браических уравнений. Используя эти уравнения,
разработан конечно-разностный алгоритм расчета
температурных полей в отливках типа стенка, ци-
линдр и шар (рисунок). Расчетные формулы алго-
ритма удобно записать для каждого последующего
момента времени tк+1.
Температура затвердевающих отливок в тепло-
вом центре шара, на оси цилиндра или в плоскости
симметрии стенки вычисляется по формуле:
Схематическое сопоставление изохрон температуры по тол-
щине отливок разной геометрии: 1, 2, 3 – стенка, цилиндр,
шар; t1, t2 – разные моменты затвердевания отливок
(11).
(9).( ) ( )1
1 1 1 1 22 1 Fok k k k
fT T p T T+ = − + ∆ −
( )1 1 1 1 11
- -
1
2
1 2 2 1
k k k k k k kf
i i i j j j j
Fo pT T T T T T T
Fo (i )
+ + + + +
+ +
∆
= − − − + − + ∆ −
( )1 1 1 1 11
- -
1
2
1 2 2 1
k k k k k k kf
i i i j j j j
Fo pT T T T T T T
Fo (i )
+ + + + +
+ +
∆
= − − − + − + ∆ −
( )к 1 к к к к к кf
1 1 1 1 1Δ 2
2 1j j j j j j jT
pT Fo T T T T T
(j )
+
− + − +
= − − − + − −
( )к 1 к к к к к кf
1 1 1 1 1Δ 2
2 1j j j j j j jT
pT Fo T T T T T
(j )
+
− + − +
= − − − + − −
(10).
k k k k k
k k
(12).
( ) ( )к 1 к к к к к
1 12 2 2 2 1 2 2
Δ 2 Δ 2f
M M M M N M M
pT T Fo Bi T T T T
M
+
−
= − + − − −
( ) ( )к 1 к к к к к
1 12 2 2 2 1 2 2
Δ 2 Δ 2f
M M M M N M M
pT T Fo Bi T T T T
M
+
−
= − + − − −
k k k k
k k
Те
м
пе
ра
ту
ра
Т t = 0
t1
t2
Тлик
Тсол
1
1
2
2
3
3
r0
Расстояние R0
23МЕТАЛЛ И ЛИТЬЕ УКРАИНЫ № 11 (258) ’2014
Температура внутренней (рабочей) поверхности
нагрева формы в зоне ее теплового контакта с за-
твердевающей отливкой вычисляется по формуле:
Температура в j-х узлах формы (j = N1 + 2, N1 + 4, …;
N1 + 1 < j < N2 – 1) на границах расчетных слоев вы-
числяется по явной конечно-разностной формуле:
Температура в i-х внутренних узлах формы (i =
= N1 + 1, N1 + 3, …; N1 < i < N2) вычисляется по неявной
конечно-разностной формуле с учетом полученных
значений температуры в соседних ( j_ и j+) расчетных
узлах формы:
Температура наружной поверхности охлаждения
стенок формы на их границе с окружающей средой
вычисляется по формуле:
где pf = 0, 1, 2 – параметр кривизны отливок;
M, N – число расчетных слоев в отливке и форме;
M2 = M + 1; N1 = M2 + 1; N2 = N1 + N – расчетные узлы
на границах отливки и формы; i, j – внутренние рас-
четные узлы в отливке и форме; ∆r1, ∆r2 – расчетные
шаги по толщине отливки и формы; ∆t – расчетный
шаг по времени; k – количество шагов к текущему
моменту времени;
э
1 2
1
ΔΔ
Δ
а tFo
r
= ;
ф
2 2
2
Δ
Δ
Δ
а t
Fo
r
= –
разностные аналоги критерия Фурье; 1 1
2
э
ΔΔ iM
rB α
=
λ
;
1 2
1
ф
ΔΔ iN
rB α
=
λ
;
2 2
2
ф
ΔΔ iN
rB α
=
λ
– разностные анало-
ги критерия Био.
Таким образом, разработанную методику расчета
температуры в системе отливка-форма можно при-
менять при математическом моделировании [15, 16]
процесса затвердевания отливок разной массы и гео-
метрии [17, 18] в формах из кварцевого песка. Вари-
антные расчеты нестационарных температурных по-
лей в затвердевающей отливке и стенках песчаной
формы целесообразно проводить на ПК по форму-
лам (9) – (16) конечно-разностного алгоритма явно-
неявного типа, который отличается повышенной точ-
ностью вычислений.
1. Вейник А. И. Тепловые основы теории литья. – М.: Машгиз, 1953. – 383 с.
2. Лыков А. В. Теория теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1967. – 599 с.
3. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1982. – 304 с.
4. Коздоба Л. А. Решение нелинейных задач теплопроводности. – К.: Наукова думка, 1976. – 300 с.
5. Никитенко Н. И. Исследование нестационарных процессов тепломассообмена методом сеток. – К.: Наукова думка,
1971. – 260 с.
6. Саульев В. К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. – М.: Физматгиз, 1960. – 324 с.
7. Рихтмайер Р., Мортони К. Разностные методы решения краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 418 с.
8. Самарский А. А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 654 с.
9. Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР, 1979. – № 5.
– С. 38-49.
10. Ефимов В. А. Разливка и кристаллизация стали. – М.: Металлургия, 1976. – 539 с.
11. Скребцов А. М. Конвекция и кристаллизация металлического расплава в слитках и отливках. – М.: Металлургия,
1993. – 143 с.
12. Карножицкий В. Н. Контактный теплообмен в процессах литья. – К.: Наукова думка, 1978. – 300 с.
13. Мамишев В. А. Особенности теплопереноса при формировании литых изделий с изменяющейся кривизной фронтов
затвердевания // Процессы литья, 1998. – № 3-4. – С. 63-67.
ЛИТЕРАТУРА
( ) ( )фк 1 к к k к к
2 11 1 1 2 1 1 1
о
Δ 2 Δ 2f
N N N M N N N
pT T Fo Bi T T T T
R N
+
+
δ
= + − − − −
( ) ( )фк 1 к к k к к
2 11 1 1 2 1 1 1
о
Δ 2 Δ 2f
N N N M N N N
pT T Fo Bi T T T T
R N
+
+
δ
= + − − − −
. (13)
k k
k k
k k
. (14)
( )
( )
ф
к 1 к к к к к к
2 -1 1 -1 1
ф
ф
2Δ 2
2
f
j j j j j j j
p
NT T Fo T T T T T
R M N j
N
+
+ +
δ
= + + − − − δ − + + −
( )
( )
ф
к 1 к к к к к к
2 -1 1 -1 1
ф
ф
2Δ 2
2
f
j j j j j j j
p
NT T Fo T T T T T
R M N j
N
+
+ +
δ
= + + − − − δ − + + −
k k k k k
kk
( )
( )
ф
к 1 к к 1 к 1 к к 1 к 12
j- -
ф2
ф
Δ 22
1 2 2
f
i i j j ji
p
Fo NT T T T T T T
Fo R M N i
N
+ + + + +
+ +
δ
= + + − − − δ+ ∆ − + + −
( )
( )
ф
к 1 к к 1 к 1 к к 1 к 12
j- -
ф2
ф
Δ 22
1 2 2
f
i i j j ji
p
Fo NT T T T T T T
Fo R M N i
N
+ + + + +
+ +
δ
= + + − − − δ+ ∆ − + + −
. (15)
k k k k k
k k
( ) ( )фк 1 к к к к
2 1 c2 2 2 2 2 2
ф
Δ 2 2 Δf
N N N N N N
δpT T Fo T T Bi T T
R N
+
−
= + − − − −
( ) ( )фк 1 к к к к
2 1 c2 2 2 2 2 2
ф
Δ 2 2 Δf
N N N N N N
δpT T Fo T T Bi T T
R N
+
−
= + − − − −
(16).
k k k k
k
24 МЕТАЛЛ И ЛИТЬЕ УКРАИНЫ № 11 (258) ’2014
14. Мамишев В. А., Соколовская Л. А. О математическом прогнозировании темпа кристаллизации железоуглеродистых
сплавов применительно к оптимизации двухфазной зоны затвердевания // Физико-химические воздействия на кри-
сталлизацию стали. – К.: ИПЛ АН УССР, 1982. – С. 12-18.
15. Мамишев В. А., Шинский О. И., Соколовская Л. А. Физико-технологические аспекты затвердевания фасонных отливок
в песчаной форме // Металл и литье Украины, 2014. – № 9. – С. 28-31.
16. Соколовская Л. А., Мамишев В. А. О математическом моделировании задач с фазовыми переходами в металлургии и
литейном производстве // Процессы литья, 2009. – № 2. – С. 24-29.
17. Мамишев В. А. Системный анализ затвердевания литых заготовок с переменной кривизной границ двухфаз-ной зоны
// Процессы литья, 2014. – № 1. – С. 19-26.
18. Мамишев В. А. О повышении эффективности теплообмена в системе литая заготовка-форма-окружающая среда //
Металл и литье Украины, 2012. – № 11. – С. 31-35.
Представлено математична модель тверднення виливків в піщаній формі та алгоритм розрахунку нестаціонарних
температурних полів в системі виливок-форма-довкілля.
Мамішев В. А., Шинський О. Й., Соколовська Л. А.
Фізико-математичні аспекти тверднення виливків різної геометрії в
піщаній формі. Повідомлення 2
Анотація
Ключові слова
виливок, тверднення, піщана форма, температурне поле
Mamishev V. , Shinskij O., Sokolovska L.
Physique-mathematical aspects of solidification castings the different
geometry in the sandy mould
Summary
It is presented the mathematical model of castings solidification in the sandy mould and algorithm of calculate the non-
stationary temperature fields in the system casting-mould-outward environment.
casting, solidification, mould, temperature field Keywords
Поступила 23.10.2014
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-159754 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2077-1304 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T13:02:14Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мамишев, В.А. Шинский, О.И. Соколовская, Л.А. 2019-10-13T14:44:21Z 2019-10-13T14:44:21Z 2014 Физико-математические аспекты затвердевания отливок разной геометрии в песчаной форме. Сообщение 2 / В.А. Мамишев, О.И. Шинский, Л.А. Соколовская // Металл и литье Украины. — 2014. — № 11. — С. 21-24. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 2077-1304 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/159754 621.746 Приведена математическая модель затвердевания отливок в песчаной форме и алгоритм расчета нестационарных температурных полей в системе отливка-форма-внешняя среда. Представлено математична модель тверднення виливків в піщаній формі та алгоритм розрахунку нестаціонарних температурних полів в системі виливок-форма-довкілля. It is presented the mathematical model of castings solidification in the sandy mould and algorithm of calculate the nonstationary temperature fields in the system casting-mould-outward environment. ru Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України Металл и литье Украины Физико-математические аспекты затвердевания отливок разной геометрии в песчаной форме. Сообщение 2 Фізико-математичні аспекти тверднення виливків різної геометрії в піщаній формі. Повідомлення 2 Physical and mathematical aspects of solidification castings the different geometry in the sandy mould Article published earlier |
| spellingShingle | Физико-математические аспекты затвердевания отливок разной геометрии в песчаной форме. Сообщение 2 Мамишев, В.А. Шинский, О.И. Соколовская, Л.А. |
| title | Физико-математические аспекты затвердевания отливок разной геометрии в песчаной форме. Сообщение 2 |
| title_alt | Фізико-математичні аспекти тверднення виливків різної геометрії в піщаній формі. Повідомлення 2 Physical and mathematical aspects of solidification castings the different geometry in the sandy mould |
| title_full | Физико-математические аспекты затвердевания отливок разной геометрии в песчаной форме. Сообщение 2 |
| title_fullStr | Физико-математические аспекты затвердевания отливок разной геометрии в песчаной форме. Сообщение 2 |
| title_full_unstemmed | Физико-математические аспекты затвердевания отливок разной геометрии в песчаной форме. Сообщение 2 |
| title_short | Физико-математические аспекты затвердевания отливок разной геометрии в песчаной форме. Сообщение 2 |
| title_sort | физико-математические аспекты затвердевания отливок разной геометрии в песчаной форме. сообщение 2 |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/159754 |
| work_keys_str_mv | AT mamiševva fizikomatematičeskieaspektyzatverdevaniâotlivokraznoigeometriivpesčanoiformesoobŝenie2 AT šinskiioi fizikomatematičeskieaspektyzatverdevaniâotlivokraznoigeometriivpesčanoiformesoobŝenie2 AT sokolovskaâla fizikomatematičeskieaspektyzatverdevaniâotlivokraznoigeometriivpesčanoiformesoobŝenie2 AT mamiševva fízikomatematičníaspektitverdnennâvilivkívríznoígeometríívpíŝaníiformípovídomlennâ2 AT šinskiioi fízikomatematičníaspektitverdnennâvilivkívríznoígeometríívpíŝaníiformípovídomlennâ2 AT sokolovskaâla fízikomatematičníaspektitverdnennâvilivkívríznoígeometríívpíŝaníiformípovídomlennâ2 AT mamiševva physicalandmathematicalaspectsofsolidificationcastingsthedifferentgeometryinthesandymould AT šinskiioi physicalandmathematicalaspectsofsolidificationcastingsthedifferentgeometryinthesandymould AT sokolovskaâla physicalandmathematicalaspectsofsolidificationcastingsthedifferentgeometryinthesandymould |