Розподіли перестрибків для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова
We deal with the distributions of overshoots for the almost semi-continuous processes defined on a Markov chain. For these processes, we get the limiting distributions of overshoots over the infinitely far and zero levels.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
"Доповіді НАН України"
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1599 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Розподіли перестрибків для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова / Є.В. Карнаух // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 13-17. — Бібліогр.: 4 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859879125541453824 |
|---|---|
| author | Карнаух, Є.В. |
| author_facet | Карнаух, Є.В. |
| citation_txt | Розподіли перестрибків для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова / Є.В. Карнаух // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 13-17. — Бібліогр.: 4 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | We deal with the distributions of overshoots for the almost semi-continuous processes defined on a Markov chain. For these processes, we get the limiting distributions of overshoots over the infinitely far and zero levels.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:52:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
© 2007
Є.В. Карнаух
Розподiли перестрибкiв для майже напiвнеперервних
процесiв, заданих на ланцюгу Маркова
(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)
We deal with the distributions of overshoots for the almost semi-continuous processes defined
on a Markov chain. For these processes, we get the limiting distributions of overshoots over
the infinitely far and zero levels.
У цiй роботi дослiджуються розподiли перестрибкових функцiоналiв для майже напiвне-
перервних знизу процесiв (процеси, що перетинають вiд’ємний рiвень лише показниковими
стрибками), заданих на ланцюгу Маркова. Для цих процесiв отриманi граничнi розподi-
ли перестрибкiв через нескiнченно вiддалений та нульовий рiвнi в термiнах iнтегральних
перетворень мiри додатних стрибкiв та матрицi, що визначає розподiл доповнення до мак-
симуму.
Розглянемо двовимiрний процес Маркова:
Z(t) = {ξ(t), x(t)}, t > 0.
Тут x(t) — скiнченний незвiдний неперiодичний ланцюг Маркова з множиною станiв E′ =
= {1 . . . m} та матрицею перехiдних iмовiрностей
P(t) = etQ, t > 0, Q = N(P − I),
де N = ‖δkrνk‖
m
k,r=1, νk — параметри показниково розподiлених випадкових величин ζk
(час перебування x(t) у станi k), P = ‖pkr‖ — матриця перехiдних iмовiрностей вкладеного
ланцюга, π = (π1, . . . , πm) — стацiонарний розподiл; ξ(t) — однорiдний процес з умовно
незалежними приростами при фiксованих значеннях x(t) (див. [1]).
Еволюцiя процесу Z(t) описується матричною характеристичною функцiєю (х.ф.):
Φt(α) = Eeıαξ(t) =
∥∥E
[
eıα(ξ(t)), x(t) = r/x(0) = k
]∥∥ = etΨ(α), Ψ(0) = Q.
Надалi будемо розглядати процеси, якi мають кумулянту
Ψ(α) =
∞∫
0
(eıαx − 1) dK0(x) + ΛF0(0)(C(C + ıαI)−1 − I) + Q, (1)
де dK0(x) = NdF(x) + Π(dx), F(x) = ‖P{χkr < x;x(ζ1) = r/x(0) = k}‖, χkr — стриб-
ки ξ(t) у моменти переходу x(t) зi стану k в r, Π(dx) = ΛdF0(x), F0(x) = ‖δkrF
0
k (x)‖,
F 0
k (x) — функцiї розподiлу вiд’ємних стрибкiв ξ(t), якщо x(t) = k, Λ = ‖δkrλk‖, λk > 0,
C = ‖δkrck‖, ck > 0. Процес Z(t) з такою кумулянтою є майже напiвнеперервним знизу
процесом (див. [2]).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 13
Позначимо екстремуми ξ(t):
ξ+(t) = sup
06u6t
ξ(u), ξ+ = sup
06u6∞
ξ(u); ξ(t) = ξ(t) − ξ+(t)
та перестрибковi функцiонали
τ+(x) = inf{t : ξ(t) > x}, γ+(x) = ξ(τ+(x)) − x;
γ+(x) = x − ξ(τ+(x) − 0), γ+
x = γ+(x) + γ+(x) (x > 0).
Нехай θs — показниково розподiлена випадкова величина (P{θs > t} = e−st, t > 0),
незалежна вiд Z(t). Позначимо розподiли ξ+(θs), ξ(θs): P+(s, x) = P{ξ+(θs) < x}, x > 0;
P−(s, x) = P{ξ(θs) < x}, x < 0; p+(s) = P{ξ+(θs) = 0}, p−(s) = P{ξ(θs) = 0}, q−(s) = Ps −
− p−(s), Ps = s(sI − Q)−1. Зауважимо, що розподiли екстремумiв для майже напiвнепе-
рервних процесiв були уточненi в [2]. Якщо позначити p−
∗ (s) = P−1
s p−(s), то для x < 0
P−(s, x) = ep−(s)CP
−1
s xq−(s) = Pse
R
−
∗ (s)x(I − p−
∗ (s)), R−
∗ (s) = p−
∗ (s)C.
Мета цiєї роботи — використовуючи уточнення розподiлу доповнення до максимуму та
формулу для спiльної генератриси {τ+(x), γ+(x), γ+(x), γ+
x }, отриману в [1], знайти граничнi
розподiли пар функцiоналiв {τ+(x), γ+(x)}, {τ+(x), γ+(x)}, {τ+(x), γ+
x } при x → ∞ та x → 0
для процесiв з кумулянтою (1). Аналогiчнi результати для напiвнеперервних знизу процесiв
(процеси, що перетинають нижнiй рiвень неперервним чином) були отриманi в [1].
Позначимо γ1(x) = γ+(x), γ2(x) = γ+(x), γ3(x) = γ+
x .
Vi(s, x, u) = E[e−sτ+(x)−uγi(x), τ+(x) < ∞],
W(x, u, v, µ) =
∞∫
x
e(u−v)x−(u+µ)zdK0(z), Wi(x, ui) = W(x, u1, u2, u3)
∣∣
ur=0,r 6=i
,
K0(x) = W(x, 0, 0, 0), Gi(s, x, u) =
0∫
−∞
dP−(s, y)Wi(x − y, u),
де Wi(x, u) — правi частини iнтегральних рiвнянь для генератрис Vi(s, x, u).
Лема 1. Для процесу Z(t) з кумулянтою (1) має мiсце спiввiдношення
E[e−sτ+(x)−uγi(x), τ+(x) < ∞] = s−1
x∫
0
dP+(s, y)P−1
s Gi(s, x − y, u), (2)
G1(s, x, u) = p−(s)
∞∫
x
eu(x−z)dK0(z) +
+ p−(s)C(R−
∗ (s) − uI)−1
∞∫
0
[ue−uz − R−
∗ (s)e−R
−
∗ (s)z]P−1
s q−(s)K0(x + z) dz;
G2(s, x, v) = p−(s)e−vxK0(x) + p−(s)C
∞∫
0
e−(R−
∗ (s)+vI)zP−1
s q−(s)K0(x + z) dz;
G3(s, x, µ) = Ps
∞∫
x
e−µz(I − eR
−
∗ (s)(x−z)P−1
s q−(s)) dK0(z).
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
З формули (2) пiсля обернення по u випливає
E[e−sτ+(x), γi(x) ∈ dz, τ+(x) < ∞] = s−1
x∫
0
dP+(s, y)p−
∗ (s) dzg
∗
i (s, x − y, z),
dzg
∗
i (s, x, z) = dzw
∗
i (x, z) + C
∞∫
x
eR
−
∗ (s)(x−y)(I − p−
∗ (s))dzw
∗
i (y, z) dy,
dzw
∗
1(x, z) = dzK0(x + z), dzw
∗
2(x, z) = dzI{z > x}K0(x),
dzw
∗
3(x, z) = I{z > x}dK0(z).
Позначимо
m0
1 =
m∑
k=1
πk
m∑
r=1
(
δkr
(∫
R
xΠk(dx)
)
+
∫
R
xνkdFkr(x)
)
,
m0
2 =
m∑
k=1
πk
m∑
r=1
(
δkr
∫
R
x2Πk(dx) +
∫
R
x2νkdFkr(x)
)
.
Зауважимо, що при m0
1 > 0 |R−
∗ (s)| → |R−
∗ (0)| 6= 0 i при m0
1 = 0 |R−
∗ (s)| → |R−
∗ (0)| = 0,
якщо s → 0. Крiм того, P{τ+(∞) < ∞} = 0, якщо m0
1 < 0; P{τ+(∞) < ∞} = 1, якщо
m0
1 > 0. Позначимо m+(0) = (m0
1)
−1P0,m0(0) = (m0
2)
−1P0C
−1.
Теорема 1. Якщо Z(t) має кумулянту (1), то
1) при m0
1 > 0 для z > 0
P{γ+(∞) > z} = m+(0)
∞∫
z
(I − e(z−y)R−
∗ (0)(I − p−
∗ (0)))K0(y) dy,
P{γ+(∞) > z} = m+(0)
∞∫
z
(I − e−R
−
∗ (0)y(I − p−
∗ (0)))K0(y) dy,
P{γ+
∞ > z} = m+(0)(R−
∗ (0))−1
∞∫
z
((e−R
−
∗ (0)y − I)(I − p−
∗ (0)) + R−
∗ (0)y) dK0(y);
(3)
2) при m0
1 = 0, m0
2 < ∞ для z > 0
P{γ+(∞) > z} = m0(0)
∞∫
z
(I + C
y∫
z
eR
−
∗ (0)(x−y) dx(I − p−
∗ (0)))K0(y)dy,
P{γ+(∞) > z} = m0(0)
∞∫
z
(I + yCe−R
−
∗ (0)y(I − p−
∗ (0))K0(y) dy,
P{γ+
∞ > z} = m0(0)
∞∫
z
(
yI−
y2
2
CΠ1 + y2Ce−R
−
∗ (0)y(I − p−
∗ (0))
)
dK0(y),
(4)
де Π1 — власний проектор матрицi −R−
∗ (0);
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 15
3) при m0
1 < 0
lim
ν→0
E[e−uγ+(θν)−vγ+(θν)−µγ+
θν , τ+(θν) < ∞] = O.
Для випадку x = 0 має мiсце твердження
Теорема 2. Для процесу Z(t) з кумулянтою (1) спiльний розподiл {τ+(0), γi(0)} ви-
значається спiввiдношеннями (z > 0)
E[e−sτ+(0), γ+(0) > z, τ+(0) < ∞] =
= s−1P̃0(s)
(
K0(z) + C
∞∫
z
e(z−y)R−
∗ (s)P−1
s q−(s)K0(y) dy
)
,
E[e−sτ+(0), γ+(0) > z, τ+(0) < ∞] = s−1P̃0(s)C
∞∫
z
e−yR−
∗ (s)P−1
s q−(s)K0(y) dy,
E[e−sτ+(0), γ+
0 > z, τ+(0) < ∞] =
= s−1P̃0(s)
(
K0(z) + C
∞∫
z
y∫
0
e−xR
−
∗ (s)dxP−1
s q−(s) dK0(y)
)
,
(5)
де
P̃0(s) = P{ξ(θs) = 0} = s(sI + Λ− N(‖pkrP{χkr = 0}‖ − I))−1.
При m0
1 < 0 та χkr ≡ 0
P{γ+(0) > z, τ+(0) < ∞} =
= (Λ − Q)−1
(
ΛF0(z) + C
∞∫
z
e(z−y)R−
∗ (0)(I − p−
∗ (0))ΛF0(y) dy
)
,
P{γ+(0) > z, τ+(0) < ∞} = (Λ − Q)−1C
∞∫
z
e−yR−
∗ (0)(I − p−
∗ (0))ΛF0(y) dy,
P{γ+
0 > z, τ+(0) < ∞} =
= (Λ − Q)−1
(
ΛF0(z) + C
∞∫
0
e−yR−
∗ (0)(I − p−
∗ (0))ΛF0(z ∨ y) dy
)
.
З теореми 2 та результатiв робiт [3, 4] можна отримати аналог двосторонньої нерiвностi
Лундберга. Припустимо, що χkr = 0, k, r = 1,m. Майже напiвнеперервнi процеси, що
задовольняють такi умови, можна розглядати як надлишковi процеси ризику з випадковими
премiями в марковському середовищi. Нехай k(r) — дiйсне власне значення з максимальною
дiйсною частиною (перонiв корiнь) матрицi K(r) = Ψ(−ır). Нехай γ — розв’язок рiвняння
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
k(r) = 0 i ν = (ν1, . . . , νm), h = (h1, . . . , hm)′ — вiдповiдно лiвий та правий власнi вектори
з додатними елементами матрицi K(γ) i такi, що νh = 1. Позначимо
C+ = max
j∈E′
1
hj
sup
x>0
F 0
j (x)
∞∫
x
eγ(y−x)F 0
j (dy)
, C− = min
j∈E′
1
hj
inf
x>0
F 0
j (x)
∞∫
x
eγ(y−x)F 0
j (dy)
.
Наслiдок 1. При m0
1 < 0 для будь-якого i ∈ E′ та всiх u > 0
C−hie
−γu
6 P{ξ+ > u/x(0) = i} 6 C+hie
−γu.
1. Гусак Д.В. Граничнi задачi для процесiв з незалежними приростами на скiнчених ланцюгах Маркова
та для напiвмаркiвських процесiв. – Київ: Iнститут математики НАН України, 1998. – 320 с.
2. Gusak D.V., Karnaukh E.V. Matrix factorization identity for almost semi-continuous processes on a
Markov chain // Theory of Stoch. Processes. – 2005. – 11(27), No 1–2. – P. 41–47.
3. Grigelionis B. Two-sided Lundberg inequalities in a markovian environment // Liet. Matem. Rink. – 1993. –
33, No 1. – P. 30–41.
4. Asmussen S. Ruin probabilities. – Singapore: World Sci., 2000. – 385 p.
Надiйшло до редакцiї 30.06.2006Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
УДК 519.872
© 2007
О.В. Коба, С. В. Пустова
Аналiтична модель функцiонування call-центру
(Представлено академiком НАН України I.М. Коваленком)
An analytical model of the call center operation is developed as a retrial queueing system
M/M/c with abandons. The main characteristics of an effective call center operation are defi-
ned, and some graphical dependences and numerical characteristics are given.
У сучасних умовах українського та свiтового ринку послуг для збiльшення ролi задоволення
потреб клiєнтiв важливим фактором є взаємозв’язок iз клiєнтами засобами телефонного
зв’язку, зокрема call-центрами.
У цiлому, call-центр — загальний термiн, який визначає процес обслуговування за учас-
тю людини з використанням телефону. Спочатку call-центри використовувались для обслу-
говування клiєнтiв лише за допомогою телефонних апаратiв. При цьому iнформацiя переда-
валась голосом оператора. Проте зараз розпочалася активна iнтеграцiя до call-центру таких
технологiй, як IP-телефонiя, електронна пошта, Iнтернет, бази даних, факсимiльний зв’я-
зок, чат тощо. Спостерiгається повсюдне вбудовування пiдприємствами до своєї структури
call-центрiв або укладання договору щодо надання послуг call-центрами стороннiм органi-
зацiям. Call-центри поступово отримують ознаки широкого поширення i певного стандарту
в соцiальнiй сферi та сферi обслуговування.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 17
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1599 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:52:09Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | "Доповіді НАН України" |
| record_format | dspace |
| spelling | Карнаух, Є.В. 2008-08-27T11:35:50Z 2008-08-27T11:35:50Z 2007 Розподіли перестрибків для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова / Є.В. Карнаух // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 13-17. — Бібліогр.: 4 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1599 519.21 We deal with the distributions of overshoots for the almost semi-continuous processes defined on a Markov chain. For these processes, we get the limiting distributions of overshoots over the infinitely far and zero levels. uk "Доповіді НАН України" Математика Розподіли перестрибків для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова Article published earlier |
| spellingShingle | Розподіли перестрибків для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова Карнаух, Є.В. Математика |
| title | Розподіли перестрибків для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова |
| title_full | Розподіли перестрибків для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова |
| title_fullStr | Розподіли перестрибків для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова |
| title_full_unstemmed | Розподіли перестрибків для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова |
| title_short | Розподіли перестрибків для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу Маркова |
| title_sort | розподіли перестрибків для майже напівнеперервних процесів, заданих на ланцюгу маркова |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1599 |
| work_keys_str_mv | AT karnauhêv rozpodíliperestribkívdlâmaiženapívneperervnihprocesívzadanihnalancûgumarkova |