Об относительной компактности траекторий дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
A class of bounded perturbations of a linear differential equation in a Banach space is considered. Sufficient conditions for the precompactness of trajectories of the perturbed system are proposed. Such conditions are shown to be applicable for a nonlinear differential equation without assuming tha...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
"Доповіді НАН України"
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1600 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об относительной компактности траекторий дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / А.Л. Зуев // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 7-12. — Библиогр.: 14 назв. — рус. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860133121838546944 |
|---|---|
| author | Зуев, А.Л. |
| author_facet | Зуев, А.Л. |
| citation_txt | Об относительной компактности траекторий дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / А.Л. Зуев // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 7-12. — Библиогр.: 14 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | A class of bounded perturbations of a linear differential equation in a Banach space is considered. Sufficient conditions for the precompactness of trajectories of the perturbed system are proposed. Such conditions are shown to be applicable for a nonlinear differential equation without assuming that the corresponding infinitesimal generator is accretive.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:45:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2007
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9,531.36
© 2007
А.Л. Зуев
Об относительной компактности траекторий
дифференциальных уравнений в банаховом
пространстве
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.М. Ковалевым)
A class of bounded perturbations of a linear differential equation in a Banach space is consi-
dered. Sufficient conditions for the precompactness of trajectories of the perturbed system are
proposed. Such conditions are shown to be applicable for a nonlinear differential equation with-
out assuming that the corresponding infinitesimal generator is accretive.
Постановка задачи. Пусть X — вещественное банахово пространство, A — замкнутый
(вообще говоря, неограниченный) линейный оператор с областью определения D(A) ⊂ X
и значениями в X. Рассмотрим абстрактную задачу Коши на промежутке t ∈ [0,+∞):
ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x0 ∈ X. (1)
Будем предполагать, что область определения D(A) всюду плотна в X и что A является
инфинитезимальным генератором сильно непрерывной полугруппы (C0-полугруппы) ли-
нейных операторов {etA}t>0 в X (см. [1, гл. V]). Таким образом, задача Коши (1) корректно
поставлена для t ∈ [0,+∞), и всякое обобщенное решение представимо в виде
x(t) = etAx0, t > 0. (2)
Не претендуя на полноту, выделим работы [2–9], в которых исследовано асимптотичес-
кое поведение решений x(t) при t → +∞ для различных классов операторов A. Известным
достаточным условием существования ω-предельных точек решения (2) является предком-
пактность (относительная компактность) траектории γ(x0) = {etAx0 | t > 0}. Для урав-
нений с предкомпактными траекториями возможно исследование ω-предельных множеств
с помощью функционалов Ляпунова, удовлетворяющих принципу инвариантности ЛаСалля
[10; 5, 11]. Поэтому представляет большой интерес нахождение условий предкомпактности
траекторий дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. В статье [4] пред-
ложено достаточное условие предкомпактности траекторий γ(x0) уравнения (1) для слу-
чая аккретивного оператора — A, а также рассмотрены неавтономные дифференциальные
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 7
уравнения в гильбертовом пространстве. Как показано в работе [12], условие аккретивности
нарушено для дифференциального оператора, описывающего управляемое вращение упру-
гой балки, при этом все траектории рассмотренного уравнения предкомпактны. С целью
изучения более широкого класса уравнений (в том числе с немонотонными операторами)
рассмотрим возмущенную задачу Коши на промежутке t > 0 следующего вида:
ẋ = Ax + f(t)R(x, t), x(0) = x0 ∈ X, (3)
где f : [0,+∞) → R, R : X × [0,+∞) → X — непрерывные отображения.
В настоящем сообщении доказано сохранение свойства предкомпактности траекторий
при переходе от уравнения (1) к (3) с некоторыми дополнительными предположениями на
функцию f и отображение R. С помощью этого результата получены достаточные усло-
вия предкомпактности траекторий нелинейного автономного дифференциального уравне-
ния в банаховом пространстве. Как показывает пример, предложенные условия справедли-
вы без предположения об аккретивности генератора нелинейной полугруппы.
Вспомогательные утверждения. Предположим, что банахово пространство X имеет
базис {ei}, i = 1, 2, . . .. Обозначим через {fj} ⊂ X∗, j = 1, 2, . . ., сопряженную систему
ограниченных линейных функционалов, т. е. fj(ei) = δij , где δij — символ Кронекера. Тогда
для каждых x ∈ X, n ∈ N определены линейные операторы проектирования:
Sn(x) =
n
∑
i=1
fi(x)ei, Pn(x) = x − Sn(x).
Поскольку {ei} — базис, то операторы Sn : X → X ограничены в совокупности [1, с. 68]:
‖Sn‖ 6 M < ∞, n = 1, 2, . . . .
Для описания компактных подмножеств X сформулируем два вспомогательных результата.
Лемма 1. Пусть {ei} — базис в X. Ограниченное подмножество C ⊂ X относительно
компактно в X только тогда, когда
lim
n→∞
sup
x∈C
‖Pnx‖ = 0. (4)
Доказательство. Если C предкомпактно, то по критерию Хаусдорфа для всякого ε > 0
существует конечная
ε
2M
-сеть {x(j)}, j = 1, 2, . . . ,m(ε). Это означает, что для всякого x ∈ C
найдется j 6 m(ε), при котором ‖x − x(j)‖ < ε/2M , т. е.
‖Pnx‖ = ‖Pn(x − x(j)) + Pnx(j)‖ 6 ‖Pn‖
ε
2M
+ ‖Pnx(j)‖ <
ε
2
+ ‖Pnx(j)‖. (5)
Покажем теперь, что для достаточно больших n справедливо неравенство ‖Pnx(j)‖ < ε/2
при каждом j = 1, 2, . . . ,m(ε). В самом деле, поскольку {ei} — базис, то каждый элемент
сети представим сходящимся рядом:
x(j) =
∞
∑
i=1
c
(j)
i ei. (6)
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
По определению оператора Pn,
‖Pnx(j)‖ =
∥
∥
∥
∥
∥
∞
∑
i=n+1
c
(j)
i ei
∥
∥
∥
∥
∥
.
Последнее выражение не превосходит ε/2, начиная с некоторого индекса n = n(ε), по-
скольку каждый ряд (6) сходится по норме пространства X. Таким образом, из (5) следует
‖Pnx‖ < ε при n > n(ε), что доказывает (4).
Обратно, если множество C ограничено, то все конечномерные проекции
Cn = {Snx | x ∈ C}, n = 1, 2, . . .
предкомпактны. Из соотношения (4) следует, что для всякого ε > 0 при достаточно боль-
ших n любая конечная ε-сеть множества Cn может быть использована для покрытия C,
что доказывает лемму.
Будем называть C0-полугруппу линейных операторов {etA}t>0 в X равномерно ограни-
ченной [13, р. 8], если
‖etA‖ 6 N, ∀t > 0
при некоторой константе N < ∞.
Лемма 2. Пусть {ei} — базис в X, C — компактное подмножество X, {etA}t>0 — рав-
номерно ограниченная C0-полугруппа линейных операторов в X, для которой траектории
γ(x0) = {etAx0 | t > 0} предкомпактны при всех x0 ∈ C. Тогда
lim
n→∞
(
sup
t>0, x∈C
‖PnetAx‖
)
= 0. (7)
Согласно лемме 1, для доказательства (7) достаточно установить предкомпактность
множества
K = {etA | x ∈ C, t > 0}.
Пусть {yn} — последовательность элементов из K, т. е. yn = etnAxn при некоторых {tn} ⊂
⊂ [0,+∞), {xn} ⊂ C, n = 1, 2, . . .. Из компактности C следует существование сходящейся
подпоследовательности xn(k) → x∗ ∈ C при k → ∞. Предкомпактность траектории γ(x∗)
обеспечивает существование сходящейся подпоследовательности etn(k(m))Ax∗ → y∗ ∈ X при
m → ∞. Используя равномерную ограниченность полугруппы {etA}t>0, заключаем, что
etn(k(m))Axn(k(m)) → y∗ при m → ∞. Лемма 2 доказана.
Предкомпактность траекторий возмущенной задачи. По определению [13, c. 184],
слабым (mild) решением задачи (3) на промежутке 0 6 t < T 6 +∞ называется непрерыв-
ная функция x : [0, T ) → X, удовлетворяющая интегральному уравнению
x(t) = etAx0 +
t
∫
0
e(t−s)Af(s)R(x(s), s) ds. (8)
Имеет место достаточное условие предкомпактности траекторий задачи (3).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 9
Теорема 1. Пусть X — банахово пространство с базисом, A — инфинитезимальный
генератор равномерно ограниченной C0-полугруппы линейных операторов {etA}t>0 в X,
f ∈ L1[0,+∞), R(x, t) ∈ K при всех x ∈ X, t > 0, K — компакт. Предположим так-
же, что множества {etAy | t > 0} предкомпактны при всех y ∈ K ∪ {x0}. Тогда всякое
слабое решение x(t), t ∈ [0,+∞) задачи (3) содержится в некотором компактном под-
множестве X.
Доказательство. Пусть x(t) — слабое решение (3) на полуинтервале t > 0. Из интег-
рального уравнения (8) следует, что компактность {etAx0 | t > 0} и условия f ∈ L1[0,+∞),
R ∈ K обеспечивают ограниченность решения x(t). По лемме 1, для доказательства пред-
компактности траектории {x(t) | t > 0} достаточно выбрать какой-либо базис {ei} в X
и установить существование предела
lim
n→∞
sup
t>0
‖Pnx(t)‖ = 0.
Применяя оператор проектирования к обeим частям (8), получим
‖Pnx(t)‖ 6 ‖PnetAx0‖ +
∥
∥
∥
∥
∥
t
∫
0
f(s)Pn(e(t−s)AR(x(s), s))ds
∥
∥
∥
∥
∥
6
6 ‖PnetAx0‖ + ‖f‖L1 sup
s∈[0,t], y∈K
‖PnesAy‖.
Доказательство завершается применением лемм 1 и 2.
Определенный класс автономных дифференциальных уравнений с нелинейным инфини-
тезимальным генератором можно привести к виду (3) и построить оценку соответствующей
функции f(t) на решениях уравнения методом функционалов Ляпунова. Сформулируем
основной результат в этом направлении для абстрактной задачи Коши:
ẋ(t) = Ax(t) + h(x(t))B(x(t)), x(0) = x0 ∈ X, (9)
где h : X → R, B : X → X — локально липшицевы отображения. (Отображения h(x), B(x)
называются локально липшицевыми, если для всякого r > 0 существует константа L(r)
такая, что
|h(x) − h(y)| 6 L(r)‖x − y‖, ‖B(x) − B(y)‖ 6 L(r)‖x − y‖
при всех ‖x‖ 6 r, ‖y‖ 6 r.) Если w : X → R — дифференцируемый (по Фреше) функцио-
нал, то функция времени w(x(t)) дифференцируема на каждом классическом решении x(t)
задачи (9). Тогда для любого x ∈ D(A) ⊂ X производную w в силу (9) можно записать
следующим образом:
ẇ(x) = [∇w(x), Ax + B(x)h(x)],
где [·, ·] : X∗ × X → R — двойственное спаривание X∗ и X, т. е. [∇w(x), ξ] — значение ли-
нейного функционала ∇w(x) ∈ X∗ в точке ξ ∈ X.
Теорема 2. Пусть X — банахово пространство с базисом, A — инфинитезималь-
ный генератор равномерно ограниченной C0-полугруппы линейных операторов {etA}t>0 в X,
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
множества {etAy | t > 0} предкомпактны при всех y ∈ X, B : X → X — вполне непрерыв-
ный оператор. Предположим, что существует дифференцируемый функционал w : X → R,
удовлетворяющий условиям:
1) множества Mc = {x | w(x) 6 c} ограничены при всех c ∈ R;
2) inf
‖x‖6r
w(x) > −∞ при любом r > 0;
3) существует константа k1 > 0 такая, что
ẇ(x) 6 k1h(x) 6 0, ∀x ∈ D(A).
Тогда для любого x0 ∈ X задача Коши (9) имеет единcтвенное решение x(t) на [0,+∞),
при этом {x(t) | t > 0} — предкомпактное подмножество X.
Схема доказательства. Согласно теореме 1.4 из [13, c. 185], для каждого x0 ∈ X су-
ществует единственное максимальное слабое решение x(t) задачи (9) при t ∈ [0, tmax). Усло-
вия 1 и 3 обеспечивают ограниченность x(t), поэтому tmax = +∞. Положим в уравнении (3)
R(x, t) = B(x), f(t) = h(x(t)). Тогда условия 2 и 3 обеспечивают свойство f ∈ L1[0,+∞).
Таким образом, траектория {x(t) | t > 0} предкомпактна в X по теореме 1.
Отметим, что поскольку множества Mc инвариантны при выполнении условия ẇ(x) 6
6 0, то теорема 2 допускает локальную формулировку в подмножестве пространства X,
расположенном между поверхностями уровня функционала w.
П р и м е р . Рассмотрим гильбертово пространство ℓ2, элементы которого будем обозначать в ви-
де столбцов x = (u0, v0, u1, v1, u2, v2, . . .)
T . Линейные операторы A, B зададим c помощью бесконеч-
ных матриц:
A = diag
((
0 1
0 0
)
,
(
0 ω1
−ω1 0
)
,
(
0 ω2
−ω2 0
)
, . . .
)
+
+ (0, 1, 0,−J1, 0,−J2, . . .)
T · (−1,−1, ω1J1, 0, ω2J2, 0, . . .),
B = diag
((
0 0
0 0
)
,
(
0 0
−1/ω1 0
)
,
(
0 0
−1/ω2 0
)
, . . .
)
.
Функционал h : ℓ2 → R определим соотношением h(x) = −v2
0
. Будем предполагать, что коэффици-
енты матриц A и B удовлетворяют условиям: все ωn > 0,
∞
∑
n=1
J2
n < ∞,
∞
∑
n=1
1
ω2
n
< ∞.
Задача (9) с введенными таким образом отображениями A, B, h является обобщением уравнений,
рассмотренных в статье [14] для описания движения механической системы с упругими балками под
воздействием стабилизирующего управления. Положим J = 1 +
∞
∑
n=1
J2
n и зададим квадратичный
функционал w(x) в ℓ2 следующим образом:
w(x) = u2
0
+ Jv2
0
+
∞
∑
n=1
(u2
n + 2Jnv0vn + v2
n) > 0.
Легко видеть, что w(x) удовлетворяет условиям 1, 2 теоремы 2. Вычисляя производную ẇ(x) и при-
меняя неравенство Коши–Буняковского, убеждаемся, что условие 3 выполнено при k1 = 1 для зна-
чений x из некоторого шара с центром в точке 0 ∈ ℓ2. Используя теорему Люмера–Филлипса [13,
c. 15], теорему 3 из статьи [4], можно показать, что линейный оператор A порождает равномерно
ограниченную C0-полугруппу {etA}t>0 в ℓ2 с предкомпактными траекториями {etAy | t > 0}.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 11
Таким образом, для рассмотренной задачи Коши применима теорема 2 (в локальной
формулировке), т. е. для любого x0 из некоторой окрестности точки 0 ∈ ℓ2 существует
единственное слабое решение x(t) задачи (9) на полуинтервале t ∈ [0,+∞), при этом множе-
ство {x(t) | t > 0} предкомпактно. Обозначим −F (x) = Ax + h(x)Bx. Нетрудно проверить,
что оператор F не является монотонным, поскольку выражение 〈F (x1)−F (x2), x1−x2〉 при-
нимает значения обоих знаков при x1, x2 ∈ D(F ). Поэтому предкомпакность траекторий
нелинейного уравнения (3) не может быть установлена непосредственным применением ре-
зультатов работы [4].
Доказанное по теореме 2 свойство предкомпактности траекторий позволяет в дальней-
шем исследовать ω-предельные множества решений задачи (3) с помощью принципа ин-
вариантности.
1. Функциональный анализ. – 2-е изд. / Под ред. С. Г. Крейна. – Москва: Наука, 1972. – 544 с.
2. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом
пространстве. – Москва: Наука, 1970. – 536 с.
3. Bresis H. Monotonicity methods in Hilbert spaces and some applications to nonlinear partial differen-
tial equations // Contributions to Nonlinear Functional Analysis / Ed. E.H. Zarantonello. – New York:
Academic Press, 1971. – P. 101–156.
4. Dafermos C.M., Slemrod M. Asymptotic behavior of nonlinear contraction semigroups // J. Funct. Anal. –
1973. – 13. – P. 97–106.
5. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. –
Москва: Наука, 1990. – 320 с.
6. Barbu V. Analysis and control of nonlinear infinite dimensional systems. – San Diego, CA: Academic Press,
1993. – 476 p.
7. Luo Z.-H., Guo B.-Z., Morgul O. Stability and stabilization of nonlinear systems with applications. –
London: Springer, 1999. – 403 p.
8. Згуровский М.З., Мельник В.С. Нелинейный анализ и управление бесконечномерными системами. –
Киев: Наук. думка, 1999. – 631 с.
9. Oostveen J. Strongly stabilizable distributed parameter systems. – Philadelphia: SIAM, 2000. – 150 p.
10. LaSalle J. P. Stability theory and invariance principles // Intern. Symp. Dynamical Systems (Providence,
1974) / Eds. L. Cesari, J. K. Hale, J. P. LaSalle. – New York: Academic Press, 1976. – P. 211–222.
11. Зуев А.Л. Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных уравнений //
Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 5. – С. 629–637.
12. Coron J.-M., d’Andrea-Novel B. Stabilization of a rotating body beam without damping // IEEE Trans.
Automat. Contr. – 1998. – 44. – P. 608–618.
13. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. – New York:
Springer, 1983. – 279 p.
14. Zuyev A. L. Partial asymptotic stabilization of nonlinear distributed parameter systems // Automatica. –
2005. – 41, No 1. – P. 1–10.
Поступило в редакцию 27.07.2006Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1600 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:45:58Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | "Доповіді НАН України" |
| record_format | dspace |
| spelling | Зуев, А.Л. 2008-08-27T11:36:25Z 2008-08-27T11:36:25Z 2007 Об относительной компактности траекторий дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / А.Л. Зуев // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 7-12. — Библиогр.: 14 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1600 517.9,531.36 A class of bounded perturbations of a linear differential equation in a Banach space is considered. Sufficient conditions for the precompactness of trajectories of the perturbed system are proposed. Such conditions are shown to be applicable for a nonlinear differential equation without assuming that the corresponding infinitesimal generator is accretive. ru "Доповіді НАН України" Математика Об относительной компактности траекторий дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Article published earlier |
| spellingShingle | Об относительной компактности траекторий дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Зуев, А.Л. Математика |
| title | Об относительной компактности траекторий дифференциальных уравнений в банаховом пространстве |
| title_full | Об относительной компактности траекторий дифференциальных уравнений в банаховом пространстве |
| title_fullStr | Об относительной компактности траекторий дифференциальных уравнений в банаховом пространстве |
| title_full_unstemmed | Об относительной компактности траекторий дифференциальных уравнений в банаховом пространстве |
| title_short | Об относительной компактности траекторий дифференциальных уравнений в банаховом пространстве |
| title_sort | об относительной компактности траекторий дифференциальных уравнений в банаховом пространстве |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1600 |
| work_keys_str_mv | AT zueval obotnositelʹnoikompaktnostitraektoriidifferencialʹnyhuravneniivbanahovomprostranstve |